Opg. 1. [Bernoulli lemniscaat] Het Bernoulli lemniscaat is de verzameling

L := {(x, y) ∈ R2 | ||(x, y)− (1, 0)|| ||(x, y) + (1, 0)|| = 1 }

a. Laat zien dat (x, y) ∈ L dan en slechts dan als

F (x, y) = (x2 + y2)2 − 2x2 + 2y2 = 0 .

b. Laat zien dat (0, 0), (√

2, 0) en (12

√3, 1

2) elementen van L zijn.

c. Bereken de partiele afgeleiden ∂F (x,y)∂x en ∂F (x,y)

∂y . Ga na of deze inverteerbaar zijn inde bovengenoemde punten.

d. Bewijs de volgende uitspraken met behulp van de impliciete functiestelling:

i) Er bestaan een ε > 0 en δ > 0 en een C∞ functie Y : (12

√3−ε, 1

2

√3+ε)→ (1

2−δ,12 +δ)

met de volgende eigenschap: x ∈ (12

√3 − ε, 1

2

√3 + ε) en y ∈ (1

2 − δ,12 + δ) voldoen aan

F (x, y) = 0 dan en slechts dan als y = Y (x).

ii) Er bestaan een ε > 0 en δ > 0 en een C∞ functie X : (12−δ,

12 +δ)→ (1

2

√3−ε, 1

2

√3+ε)

met de volgende eigenschap: x ∈ (12

√3 − ε, 1

2

√3 + ε) en y ∈ (1

2 − δ,12 + δ) voldoen aan

F (x, y) = 0 dan en slechts dan als x = X(y).

iii) Er bestaan een ε > 0 en δ > 0 en een C∞ functie X : (−δ, δ)→ (√

2− ε,√

2 + ε) metde volgende eigenschap: x ∈ (

√2− ε,

√2 + ε) en y ∈ (−δ, δ) voldoen aan F (x, y) = 0 dan

en slechts dan als x = X(y).

e. Waarom is er niet zo’n functie x 7→ Y (x) met Y (√

2) = 0? Waarom zijn er niet zulkefuncties x 7→ Y (x) en y 7→ X(y) met X(0) = 0 of Y (0) = 0?

2. [Cylindercoordinaten, Inleveropgave] Laat de afbeelding f : R3 → R3 gegevenzijn door

f(r, φ, z) = (r cosφ, r sinφ, z) .

a. Bereken de totale afgeleide Df(r, φ, z). Laat zien dat

detDf(r, φ, z) = r .

Laat nu zien dat Df(r, φ, z) inverteerbaar is dan en slechts dan als r 6= 0.

b. Bewijs dat ieder punt (r, φ, z) ∈ R3 waarvoor r 6= 0 een open omgeving U heeft metde eigenschap dat f : U → f(U) ⊂ R3 een inverteerbare afbeelding is met C∞ inverse(f |U )−1 : f(U)→ U .

c. Laat zien dat f niet injectief is.

d. Definieer D := (0,∞) × (−π, π) × R. Definieer B := f(D), het beeld van f beperkttot D. Laat zien dat B gelijk is aan het complement in R3 van R≤0 × {0} × R. Laat nuzien dat de beperking f |D van f tot D injectief is door aan te tonen dat (f |D)−1 : B → Dgegeven wordt door

(f |D)−1(x, y, z) = (√x2 + y2, 2 arctan

(y

x+√x2 + y2

), z) .

Toon aan dat deze laatste een C∞ afbeelding is.