Kansdefinitie van Laplace

P(gebeurtenis) =

je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn

bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje

dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even

waarschijnlijkdus P(meer dan 4 ogen) = 2/6 = ⅓

hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstigrond kansen af op 3 decimalen, tenzij anders wordt gevraagd

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

De complementregel

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte)

11.1

Het vaasmodel

bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel

11.1

a P(geen wagens met dezelfde lampen) =

b P(minstens twee met defecte lampen) = 1 – (P(geen) + P(één)) =

= 1 –

c P(meer dan drie met goede lampen) = P(4) + P(5) =

=

30 5

24 5

≈ 0,298

30 5

24 5

6 1

30 5

24 4

.

+ ≈ 0,254

24 4

30 8

6

1

. 24 5

30 5

+ ≈ 0,746

a P(niets wint) =

b P(100 euro) = P(1 x € 100) + P(2 x € 50) =

c P(20 euro) = P(2 x € 10) =

d P(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – P(niets) – P(10 euro) – P(20 euro) =

= 1 -

50 3

43 3

≈ 0,630

1

150 3

43 2

. 2

250 3

43 1

.

+ ≈ 0,048

4 2

50 3

43 1

.

≈ 0,013

50 3

43 3

4

150 3

43 2

.

-

4

250 3

43 1

.

- ≈ 0,173

KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk:– Zet de uitkomsten bij de kansboom.– Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.– Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt

van START naar de betreffende uitkomst.

11.2

opgave 19

a Vul in.b P (Sander wint in 3 beurten) = P (rswrrs)

=

c Vul in.

2 2 1

4 5 40,05

2

4

2

5

1

4

opgave 24

a Vul in.b P(Anton pakt zwarte knikker) =

P(mz) = = 0,2

c P(Anton pakt rode knikker) =

P(krI) + P(mrII) = ≈ 0,586

d P(Anton pakt twee keer wit) =

P(kwkw) = ≈ 0,036

e) P(Anton pakt twee keer rood) =P(krIkrII) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) =

≈ 0,318

1 2

2 5

1 4

2 7

1 3

2 5+

1 3 1 2

2 7 2 6

1 4 1 3

2 7 2 6 +

1 4 1 3

2 7 2 5 +

1 3 1 4

2 5 2 7 +

1 3 1 2

2 5 2 4

1

2

1

2

4

7

3

7

3

5

2

5

2

6

3

6

2

4

0,01 0,99

0,70 0,30 0,20 0,80

0,007 0,003 0,7920,198

opgave 26

0,01 0,99

0,70 0,30 0,20 0,80

70 30 79201980

100 9900

opgave 26

In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.

a P(rr) =

b P(rode en witte) = 2 · P(rw) =

21 ( 1)

50 49 50 49 2450

p p p p p p

De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers,

waarvan er p – 1 rood zijn.

250 2 (50 ) (50 ) 502

50 49 2450 1225 1225

p p p p p p p p

Er zijn 50 – p witte knikkers

Toevalsvariabelen

Bij het kansexperiment uit opgave 31 wordt aselect (= willekeurig)een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling.Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele.

complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0)somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)

11.3

In een grabbelton zitten 20 doosjes.In 8 van deze doosjes zit een briefje van 10 euro,de overige 12 doosjes zijn leeg.Arjan pakt 2 doosjes uit de grabbelton.X = het totale bedrag in de 2 doosjes.a P(X = 20)

= P(2 doosjes met 10 euro)

= ≈ 0,147

b P(X > 0)= 1 – P(X = 0)= 1 – P(2 lege doosjes)

= 1 - ≈ 0,653

82

202

122

202

voorbeeld

Kansverdelingen

De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waardevan X de bijbehorende kans is vermeld.

De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1.

kanshistogram

11.3

opgave 38

a P(X = 0) =

P(X = 1) =

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X = 4) =

84

124

41

124

42

124

43

124

44

124

83

82

81

≈ 0,141

≈ 0,453

≈ 0,339

≈ 0,065

≈ 0,002

·

·

·

x 0 1 2 3 4

kans 0,141 0,453 0,339 0,065 0,002

x

kans

O 0 1 2 3 4

b) P(Y = 3) = P(rrr) = 6 5 6 180

12 11 10 13

3

2220 --

De verwachtingswaarde

Werkschema : het berekenen van de verwachtingswaarde E(X)1 Stel de kansverdeling van X op.2 Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.3 Tel de uitkomsten op.

a U = uitbetaling per lot

E(U) = 0 · 0,96 + 10 · 0,03 + 50 · 0,01 = 0,80De verwachtingswaarde van de uitbetaling per lot is € 0,80.

b W = winst = uitbetaling - 2E(W) = E(U) – 2 = 0,80 – 2 = -1,20Dus de verwachtingswaarde van de winst is - € 1,20 per lot.

c W = winst = uitbetaling - 0E(W) = E(U) – 0 = 0,80 – 0 = 0,80Een lot moet dan € 0,80 kosten.

u 0 10 50

kans 0,96 0,03 0,0196

100

3

100

1

100

W = winst = 0,50 – uitbetaling

P(W = -0,50) = P(2 bellen) = = 0,1875

P(W = -1) = P(2 bananen) = = 0,140625

P(W = -2) = P(2 appels) = = 0,03125

P(W = 0,50) = 1 – 0,1875 – 0,140625 – 0,03125 = 0,640625

E(W) = -2 · 0,03125 + -1 · 0,140625 + -0,50 · 0,1875 + 0,50 · 0,640625 = -0,02De verwachtingswaarde van de winst per spel voor de eigenaar is € 0,02.

w -2 -1 -0,50 0,50

kans 0,03125 0,140625 0,1875 0,640625

totaal 8 8

3 4

8 8

2 1

8 8

3 3

8 8

Succes en mislukking

De complement-gebeurtenis van succes.

De kans op succes geven we aan met p.

11.4

Binomiaal kansexperimentBij een binomiaal kansexperiment is :• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd• X het aantal keer succes• p de kans op succes per keer• De kans op k keer succes is gelijk aan

P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk

11.4

a p = P(2 rode en 1 witte) = = 0,5

b p = P(3 rode) + P(3 witte) = = 0,2

62

103

41·

63

103

43

103

+

Binomiaal kansexperimentBij een binomiaal kansexperiment is :• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd• X het aantal keer succes• p de kans op succes per keer• De kans op k keer succes is gelijk aan

P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk

a n = 6 en p = = 0,4

P(X = 4) = · 0,44 · 0,62 ≈ 0,138

b n = 12 en p = = 0,9

P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230

8

20

64

18

20

1210

Toevalswandelingen

opgave 58

a X = aantal keer in de richting ‘links’.X is binomiaal verdeeld met n = 9 en p = ½.

P(X = 4) = ≈ 0,246

b P(X = 6) = ≈ 0,164

c P(via postk. bij museum) = ≈ 0,117

d P(via postk. bij kerk) = ≈ 0,020

94

12

12

_ _4 5

96

12_ 6 1

2_ 3

52

12_ 1

2_2 3 4

212_ 2 1

2_ 2

· · · ·

52

12_ 1

2_2 3 4

412_ 4

· · · ·

4

5

6

3

· ·

· ·2

3

2

2

2

3

4

__·

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)

11.4

11.4

opgave 60

a X = het aantal keer banaan.P(X = 5) = binompdf(10, 0.4, 5) ≈ 0,201

b X = het aantal keer appel.P(X = 3) = binompdf(18, 0.2, 3) ≈ 0,230

c X = het aantal keer appel.P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.2, 2) ≈ 0,206

d X = het aantal keer banaanP(X = 4) = binompdf(5, 0.4, 4) ≈ 0,077

0,42

5

0,21

5

Binomiale kansen berekenen

Werkschema : het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten1 Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X.2 Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met

binompdf of binomcdf.3 Bereken de gevraagde kans met de GR.

P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)

P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7)

11.5

opgave 74a Om in A uit te komen moet je 3 keer rechts.

X = het aantal keer rechts.P(X = 3) = binompdf(9, ¼, 3) ≈ 0,234

b Om via C in B uit te komen moet je eerst2 van de 4 keer naar rechts en dan nog eens4 van de 6 keer naar rechts.X = het aantal keer rechts.P(X = 2) · P(X = 4) = binompdf(4, ¼, 2) · binompdf(6, ¼, 4) ≈ 0,007

3

2

42

26

opgave 77a X = het aantal personen uit de klasse ’65 plus’.

P(X > 20) = 1 – P(X ≤ 20) = 1 – binomcdf(80, 0.13, 20) ≈ 0,001

b X = het aantal personen uit de klasse 20-39 jaar.P(X ≤ 15) = binomcdf(80, 0.31, 15) ≈ 0,010

c 0,20 · 80 = 160,40 · 80 = 32X = aantal personen uit de klasse 40-64 jaar.P(X tussen 16 en 32) = P(X ≤ 31) – P(X ≤ 16)

= binomcdf(80, 0.31, 31) – binomcdf(80, 0.31, 16) ≈ 0,926

p = 0,13

p = 0,31p = 0,31

De binomiale en de normale verdeling combineren

opgave 88a X = het aantal handelingen dat langer dan 3 minuten duurt.

X is binomiaal verdeeld met n = 80 enp = normalcdf(180, 1099, 160, 15) ≈ 0,091 …P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – binomcdf(80, 0.091 … , 9) ≈ 0,192

b 2 en een halve minuut is 150 secondenopp = normalcdf(-1099, 150, 160, 15) ≈ 0,2525De kans dat een handeling korter duurt dan 2½ minuut is 0,2525.180 · 0,2525 ≈ 45 handelingen minder dan 2½ minuut.

c X = het aantal handelingen dat langer dan 2 min. en 45 sec. duurt.Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,99 metp = normalcdf(165, 1099, 160, 15) ≈ 0,369 … ? TI

1 – binomcdf(n, 0.369 … , 4) > 0,99

Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.369 … , 4).

Maak een tabel en lees af

voor n = 27 is y1 ≈ 0,989

voor n = 28 is y1 ≈ 0,992.

Dus minstens 28 remmen.

Casio

1 – P(X ≤ 4) > 0,99

Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,01

Proberen geeft

voor n = 27 is P(X ≤ 4) ≈ 0,011

voor n = 28 is P(X ≤ 4) ≈ 0,008.

Dus minstens 28 remmen.

150

11.5

Kansschaal

6.1

opgave 3

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

a de som van de ogen 10 is3 gunstige uitkomsten36 mogelijke uitkomstenP(som is 10) = 3/36 ≈ 0,083

b som is minstens 815 gunstige uitkomstenP(som minst. 8) = 15/36 ≈ 0,417

c rood meer dan geel15 gunstige uitkomstenP(rood meer dan geel) = 15/36 ≈ 0,417

Samengestelde kansexperimenten

het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een kansexperimentkenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet vante voren vastligtvoorbeelden zijn:het gooien met een dobbelsteen en een geldstukhet gooien met 2 dobbelstenenhet gooien met 3 geldstukkenhet kopen van 3 loten in een loterij

het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij:2 kansexperimenten met een rooster3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of

handig tellen

6.1

Samengestelde kansexperimenten

heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken jekansen als volgt :bereken het aantal mogelijke uitkomstentel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren

en/of handig te tellendeel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten

zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis‘som van de ogen is 15’aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk

555663 , 636 , 366654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465

dus P(som is 15) = ≈ 0,0461 + 3 + 6

216

10

216=

6.1

opgave 12

v

dc

dc

500

50

50

50

50

500

dc

dc

v

a de vliegreis wintP(vliegreis) = 1/36 = 0,028

b de troostprijs wintP(troostprijs) = 12/36 = 0,333

c prijswaarde minstens 550 euroP(minstens 550 euro) = 5/36 = 0,139

d niets wintP(niets) = 13/36 = 0,361

Empirische en theoretische kansen

wet van de grote aantallendoor een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen

1 empirische kansenv.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog)empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruikenempirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken

2 theoretische kansenbij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een gebeurtenis is v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6je gebruikt de kansdefinitie van Laplace

3 subjectieve kanshoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de 100m.? onmogelijk

6.2

opgave 18

aantal fietsers per minuut 5 6 7 8 9 10

frequentie 15 20 8 10 4 3

a de telling duurde 15 + 20 + 8 + 10 + 4 + 3 = 60 minutenb totaal = 5×15 + 6×20 + 7×8 + 8×10 + 9×4 + 10×3 = 397 fietsersc P(er passeren 5 per minuut) empirische kans

schatting = 15/60 = 0,25

opgave 18

aantal per minuut 5 6 7 8 9 10

kans 0,25 0,333 0,133 0,167 0,067 0,05

d

20/60 =

aantal per minuut 5 6 7 8 9 10

frequentie 15 20 8 10 4 3

8/60 = 10/60 = 4/60 = 3/60 =

0 6 7 8 9 10

0,10

0,20

0,30

0,40

5

kans

aantal fietsers per minuut

e de som van alle kansen is 1je hebt alle mogelijke uitkomsten

opgave 19

b P(meer dan 3 minuten te laat) ≈ 0,2 + 0,2 = 0,4c P(minstens 2 minuten, niet meer dan 4 minuten) ≈ 0,15 + 0,25 + 0,2 = 0,6

a

0 1 2 3 4 5

0,10

0,20

0,30

0,40

0

kans

3/20 = 0,15

1/20 = 0,05

2/20 = 0,15

0,25

0,20 0,20

0,15

0,05

0,15

aantal minuten te laat

Simuleren

door een kansexperiment voortdurend te herhalen kun je kansen schattendat is echter een tijdrovend karweib.v. : de kans dat bij een vliegtuig de automatische piloot uitvaltdit soort kansexperimenten gaat men simuleren (nabootsen) met de computerdoor vervolgens relatieve frequenties te berekenen, schat je kansende grafische rekenmachine heeft opties om toevalsgetallen te genereren

6.2

Simuleren met de GR

TI

MATH-PRB-menu randIntmet randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6

Casio

OPTN-NUM-menu Intg enOPTN-PROB-menu Ran#met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4

6.2

opgave 26

Bij een spel kan Rob per keer € 2 winnen, € 1 winnen, quitte spelen, € 1 verliezen en € 2 verliezen

elke mogelijkheid heeft dezelfde kans

Rob begint met € 20

Schat m.b.v. een simulatie de kans dat Rob na 10 spelletjes minstens € 25 bezit

selecteer de Random generator en kies bij instellingenvan -2tot 2aantal getallen per experiment 10vink gemiddelde aanvoer het experiment een aantal keren uit en tel hoeveel keer het gemiddelde minstens gelijk is aan 0,5de relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans

43 + 4 + 1

voorbeeld 1 kruistabel

82151849

3351018geen

14716overige

162410supermarkt

191315krantenwijk

171615

leeftijda P(geen bijbaantje) = ≈ 0,402

b P(ouder dan 15) = ≈ 0,402

c P(krantwijk+16) = ≈ 0,037

d P(Een 16 jarige heeft krant) = ≈ 0,167

e P(Een supermarktwerker is 15) = ≈ 0,625

f P(jonger dan 17 en geen krantenw.) = ≈ 0,731

g P(Een 16 jarige met bijbaan, werkt in supermarkt) = ≈ 0,500

33

8218 15

+

82

382

3

82

318

3

181016

10 16

10 + 4 + 6 + 1 + 18 + 1049 + 18

er geldt P(Rh + onder de voorwaarden A) = P(Rh+)

dus

x =

170

200

x

60

voorbeeld 2 kruistabel

A niet A totaal

Rh+ x 170

Rh- 30

totaal 60 140 200

bloedgroepa

=

60 · 170200

= 51

51

9

b P(bloedgroep A en Rh-) = ≈ 0,045

c P(met Rh+ heeft A) = ≈ 0,3

9

20051

170

Kansbomen

bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruikenje gaat als volgt te werk :

– zet de uitkomsten bij de kansboom

– bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt

– vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst

6.3

Draaiende schijven

Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom

6.3

Onafhankelijke kansexperimenten

we gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijndat betekent dat ze elkaar niet beïnvloedenalleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigenals de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen

afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor

6.3

opgave 39

a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4= 2/24 ≈ 0,083

b P(ke,ke,ke) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042

c P(ci,ci,ba) = 1/4 × 1/3 × 1/2= 1/24 ≈ 0,042

d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0= 0

opgave 40

a empirische kansb P(soep,vlees,ijs) = 0,6 × 0,5 × 0,8 = 0,24c P(salade,vegetarisch,pudding) = 0,4 × 0,2 × 0,2 = 0,016d P(soep,vis,ijs) = 0,6 × 0,3 × 0,8 = 0,144

dus naar verwachting 500 × 0,144 = 72

De somregel

als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebbendus als de gebeurtenissen elkaar uitsluitenhebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan

geldt de somregel niet zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aanP(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’

en ‘product is 4’ hebben de uitkomst gemeenschappelijk

voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel:

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

6.4

opgave 46

a P(geen banaan) = P(bbb)

= 2/4 × 2/3 × 3/5= 12/60 = 0,2

b P(2 citroenen en 1 banaan)= P(ccb) + P(cbc) + P(bcc)= 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5= 8/60 ≈ 0,133

c P(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk)= 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5= 7/60 ≈ 0,117

d P(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk)= 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5= 9/60 = 0,15

e P(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb)= 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5= 26/60 ≈ 0,433

opgave 49

a P(3 rode) = P(r r r)= 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064

b P(geen rode) = P(r r r)= 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216

c P(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096

d P(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288

2 rood van de 53 niet rood van de 52 rood van de 5

1 blauw van de 5

2 rood van de 5

3 niet rood van de 5

opgave 55

jaarlijks 15% van de Nederlanders op vakantie naar Spanjevoor een onderzoek worden willekeurig 10 Nederlanders gevraagd

a P(niemand) = 0,8510 ≈ 0,197

b P(precies 2) = × 0,152 × 0,858 ≈ 0,276

In een klas krijgen alle 23 leerlingen de opdracht om willekeurig 10 Nederlanders te ondervragen.

c P(precies 2) = 0,276Dus de verwachting is dat het bij 0,276 × 23 ≈ 6 leerlingen is.

10 2