Juni 1987 WPA-rapport nr.WPA-0442 - Pure - …2.2.1 De SBC en het programma 2.2.2 De versterker...
75
MODELSTUDIE EN SIMULATIE VAN £EN LlNEAlRE ROBOTARM W.T.J. Smits A. Udo Juni 1987 WPA-rapport nr.WPA-0442
Transcript of Juni 1987 WPA-rapport nr.WPA-0442 - Pure - …2.2.1 De SBC en het programma 2.2.2 De versterker...
MODELSTUDIE EN SIMULATIE VAN £EN
LlNEAlRE ROBOTARM
W.T.J. Smits
A. Udo
Juni 1987
WPA-rapport nr.WPA-0442
INHOUDSOPGA VE
SAMENVATIING
VOORWOORD
HI INLEIDING
H2 DE ROBOTARM
§ 2.1 ALGEMENE BESCHRIJVING VAN DE ROBOTARM
§ 2.2 WERKING EN BESTURING VAN DE ROBOTARM
§ 2.2.1 De SBC en het programma
§ 2.2.2 De versterker
§ 2.2.3 Het meetsysteem
§ 2.2.4 Het regelsysteem
H3 RET ONTWERPEN VAN EEN MODEL VOOR DE LlNEAlRE ROBOTARM
§ 3.1 DE THEORETISCHE ACHTERGROND
§ 3.2 MODELVORMING
§ 3.2.1 Model van de motor
§ 3.2.2 Model van motor en tacho
§ 3.2.3 Model van motor, tacho en spindel
§ 3.2.4 Model van het gehele systeem
1
3
3
5
5
7
7
8
11
11
16
16
18
22
27
H4 UITWERKING VAN MODELLEN MET BEHULP VAN SIMULATIEPROGRAMMA'S 30
§ 4.1 ALGEMENE INFORMATIE OVER PCMATLAB 30
§ 4.2 ALGEMENE INFORMATIE OVER TRIP 30
§ 4.3 UITWERKING VAN MODELBEWERKINGEN 31
§ 4.3.1 Model van de motor 32
§ 4.3.2 Model van motor en tacho 34
§ 4.3.3 model van motor, tacho en spindel 37
H5 BE PALEN VAN DE SYSTEEMOVERDRACHT MET BEHULP VAN EEN ANALYZER 40
§ 5.1 DE WERKING VAN DE ANALYZER
§ 5.2 HET METEN VAN VERPLAATSINGSFUNCfIES
§ 5.3 HET METEN VAN DE SYSTEEMOVERDRACHT
H6 NABESPREKING EN EINDCONCLUSIE
LITERATUURLI.IST
BIJLAGEN
40
41
44
45
50
51
SAMENVATTING
Dit verslag beschrijft het afstudeerwerk dat door ons. bij de afdeling
Werktuigbouwkunde aan de Technische Universiteit te Eindhoven. werd
verricht. De opdracht was het opstellen van een model van een lineaire
robotarm. Het gevonden theoretische model moest aan de praktijk
getoetst worden. Hiervoor werd het model bewerkt met
simulatieprogramma's. De resultaten hiervan werden vergeleken met de
meetresultaten die voortkwamen uit metingen aan de robotarm.
De verschillen en overeenkomsten tussen theorie en praktijk moeten een
beter inzicht geven in het systeemgedrag van de lineaire robotarm. Het
totale gedrag is na dit onderzoek zeker nog niet vastgelegd. Daarom
kan dit rapport dienen als inleiding voor verder onderzoek aan de
robotarm of als handleiding voor de aanpak van soortgelijke projecten.
VOORWOORD
Ooze afstudeerperiode hebben wij doorgebracht op de Technische
Universiteit Eindhoven, afdeling Werktuigbouwkunde. De TUE (voorheen
Technische Hogeschool Eindhoven) bestaat momenteel 31 jaar en biedt
plaats aan zo'n 6000 studenten. Sinds de oprichting zijn er ongeveer
8000 studenten afgestudeerd op de TUE.
De afdeling Werktuigbouwkunde op de TUE heeft 1000 studenten en 200
medewerkers (zowel leraren als technische medewerkers). Deze afdeling
is opgedeeld in diverse vakgroepen, waaronder de vakgroep WPA
(Werktuigbouwkunde, Productietechnologie en Automatisering). Binnen
deze vakgroep hebben wij gewerkt aan onze opdracht.
Deze opdracht bestond uit het opstellen van een model van een lineaire
robotarm. Gedurende de gehele periode van afstuderen hebben wij samen
gewerkt aan de diverse modellen en simulatieprogramma's. Het
uiteindelijke verslag is ook door ons beiden in onderling overleg tot
stand gekomen. A. Udo heeft het grootste gedeelte geschreven van de
hoofdstukken 3 en 5, W. Smits heeft het meeste werk verricht aan de
hoofdstukken 1, 2 en 4. Hoofdstuk 6 is niet aan een persoon toe te
schrijven.
Tenslotte willen we onze afstudeerbegeleider, de heer Ir. p.e.
Mulders. hartelijk danken voor zijn hulp en adviezen. Verder bedanken
wij ook onze afstudeermentor, mevrouw Ir. J. Jansen. de medewerkers
Ing. H. van Rooij en Ir. H. Smit en de studenten Jean Heren. Pascal
Mazure en Leon Pijls voor de prettige samenwerking.
HI INLEIDING
Wanneer men meerdere producten kan maken op eenzelfde
bewerkingsmachine. spreekt men van een Ilexibele machine. Een goed
voorbeeld van een flexibele machine is de industriele robot. De
besturing hiervan geschiedt met behulp van micro-electronica. waardoor
deze machine snel is en eenvoudig om te schake len.
De drie Technische Universiteiten in Nederland doen gezamenlijk
onderzoek naar Flexibele Automatisering en Industriele Robots ( het
zogenaamde FAIR-project ). Dit project heeft tot doel om Nederland een
vooraanstaande positie te geven op dit gebied. Op de Technische
Universiteit Eindhoven draagt men ondermeer bij aan het FAIR-project
op de afdeling Wektuigbouwkunde. vakgroep WPA ( Werktuigbouwkunde.
Productietechnologie en Automatisering ).
Gedurende de afstudeerperiode is er gewerkt aan een digitaal geregeld
servosysteem, een zogenaamde lineaire actuator oftewel robotmodule.
De afstudeeropdracht was in eerste instantie het opstellen van een
model van de actuator. Vervolgens moest dit model ingevoerd worden in
diverse simulatieprogramma's, waarna de resultaten vergeleken moesten
worden met de werkelijkheid. Dit onderzoek moet leiden tot een beter
inzicht in het systeemgedrag van de actuator.
Het raport is ingedeeld naar de volgorde waarin het onderzoek verricht
1s. In hoofdstuk 2 wordt een beschrijving gegeven van de versch111ende
- 1 -
onderdelen van de actuator. In hoofdstuk 3 staat beschreven hoe naar
het uiteindelijke model van de actuator is toegewerkt. Hoofdstuk 4
geeft een beschrijving van de gebruikte simulatieprogramma's en de
resultaten die de modellen geven in deze programma's. In hoofdstuk 5
zijn enkele metingen beschreven die aan de actuator zijn verr1cht.
Deze metingen. die bestaan uit verplaatsingsmetingen en
overdrachtsmetingen. zijn met een dynamic signal analyzer verricht. In
hoofdstuk 6 worden de resultaten van de simulat1eprogramma's met de
resultaten van de analyzer vergeleken. In dit hoofdstuk wordt dus de
theorie aan de praktijk getoetst. Hoofdstuk 7 geeft tot slot de
eindconclusies van dit onderzoek en aanbevelingen voor verder
onderzoek.
- 2 -
H2 DE ROBOT ARM
§ 2.1 ALGEMENE BESCHRIJVING VAN DE ROBOTARM
Het eerste ontwerp en de realisatie van de robotarm is in 1984
verwezenlijkt door L.van Bommel. Hij is toen blj de ontwikkeling van
de robotarm uitgegaan van enkele. zeer strenge. eisen. Zo moest de
verplaatsingssnelheid 1 mls. de maximale versnelling 5 mls2 en de
maximale last 50 kg zijn. De arm moest bovendien op 10 ~m nauwkeurig
kunnen positioneren. Voordat besloten werd om de robotarm zelf te
ontwikkelen werd onderzocht of er ergens een robotarm te koop was die
aan al deze eisen voldeed. Er waren er te koop die gedeeltelijk
voldeden. maar geen voldeed aan aIle eisen.
De opbouw van de robotarm is als in figuur 2.1.
2 7
4
6
figuur 2.1. opbouw van de robotarm.
De robotarm bestaat uit de volgende onderdelen: een
gelijkstroom-servomotor (I) met tacho (2). een spindel (3). een
- 3 -
armprofiel (4). een moer (5) en een meetlineaal (6). Voor de motor is
een op het anker gestuurde gelijkstroom-servomotor gekozen. Het
toerental van dit type motor is continu en goed regelbaar. Ook wordt
het maximale koppel geleverd bij lage snelheden. omdat een
schijfankergestuurde motor een klein massatraagheidsmoment heeft ( de
rotor is dun en licht ). Dit is nodig om vanaf stilstand een grote
versnelling te reali~eren. Uiteindelijk is gekozen voor een motor.
type MCI9P. die standaard uitgerust is met een analoge tachogenerator.
Van het signaal dat de tachogenerator levert kan de snelheid van de
motor worden afgeleid. Het tachosignaal kan als terugmeldingssignaal
van het systeem gebruikt worden. Aan de rotor van de motor is de
spindel bevestigd. De spindel heeft een grote spoed van 25 mmlomw.
( meestal heeft een spindel een spoed van 10 mmlomw.). De spindel moet
bij een snelheid van 1 mls een hoeksnelheid kunnen halen van 40
omw./s. Deze eis is aIleen haalbaar als oliesmering wordt toegepast en
als de spindel tweezijdig wordt gelagerd. Deze tweezijdige lagering
geeft ook de mogelijkheid om de spindel een bepaalde voorspanning te
geven. Het beweegbare gedeelte van de robotarm heeft aIleen al een
gewicht van zo'n honderd kilo. Er is ook een mogelijkheid om de
robotarm een willekeurige beweging te "leren" met behulp van een
krachtsensor (7). De gemeten kracht wordt door de Single Board
Computer ( SBC ) omgezet in een stuurspanning voor de motor waardoor
de arm zich beweegt. Deze beweging kan opgeslagen worden in de SBC. en
later nog eens worden nagespeeld.
- 4 -
§ 2.2 WERKING EN BESTURING VAN DE ROBOTARM
De robotarm wordt bestuurd volgens figuur 2.2
I ,-----L-I ---, I~II~I
ssc MECH OEEL
L-__________ --~TELLER
Figuur 2.2. besturing van de robotarm.
De besturing wordt voornamelijk uitgevoerd door de software in de SBC.
De actuele plaats en snelheid van de arm worden rechtstreeks afgeleid
van de meetlineaal. Deze waarden worden in de SBC vergeleken met de
gewenste waarden van plaats enlof snelheid. Aan de hand van deze
verschilsignalen en de ingestelde regelactie. wordt een signaal
gegeven aan de DAC. De DAC geeft een analoog signaal aan de versterker
waarmee de motor gestuurd wordt. Er is dus een constante
terugkoppeling van systeem naar SBC.
§ 2.2.1 De SBC en het programma
Voor de SBC is een Intel 86/05 single board computer gekozen. Deze SBC
is gebaseerd op een 8086 CPU. Het geheugen bestaat uit S kilobytes
statische RAM en 64 kilobytes ROM. Het programma wordt in de SBC
- 5 -
geladen met een Intel ontwikkelsysteem. Na het laden van de SBC en het
opstarten van het programma voIgt het met een toetsenbord ingeven van
de parameters. Eerst wordt de sampletijd gevraagd {deze is minimaal
1.2 ms}. Dit geeft aan dat de SEC elke 1.2 ms de positie van de arm
inleest en de motor aanstuurt. Hierna wordt de belasting van de arm
gevraagd en tot slot kunnen de regelparameters van de PID-regelaar
ingegeven worden. Na deze initialisatie verschijnt er een menu op het
scherm. Dit menu geeft de gebruiker een keus uit de volgende functies:
-[D]rive robot to required position.
Dit houdt in dat je een bepaalde positie in kunt geven waar de robot
met een constante snelheid naar toe beweegt.
-[GJo to position with control-algorithm.
De robot beweegt nu ook naar een in te geven positie. maar nu met
maximale snelheid en met behulp van de PID-regelaar.
-[T]each operation via force-sensor.
Met deze functie kan met de hand een traject ingegeven worden. Door
een lichte druk uit te oefenen op de kracht-sensor kan de arm bewogen
worden. Deze beweging wordt in het geheugen opgeslagen.
-[RJeplay teached trajectory.
Hiermee kan de ingegeven beweging herhaald worden.
-[P]arameter initialisation.
Met deze functie kunnen de parameters geherinitialiseerd worden.
-[S]teprespons.
Een positieve of negatieve snelheid kan ingegeven worden. Deze
beweging wordt gestart en gestopt met een interruptkey.
-[O]utput robotrespons.
Hiermee kan een uitgevoerde beweging geregistreerd worden met een
plotter.
-6-
§ 2.2.2 De versterker
Voor de versterker is een Axodyn 05LV05 gekozen. Dit is een standaard
versterker bij de toegepaste servomotor. Deze versterker kan in twee
rotatierichtingen werken en dus zowel in motor- als ook in
generatorbedrijf functioneren. De versterker heeft een maximale
outputstroom van 40 A. Hierdoor wordt de maximale snelheid en
versnelling van de motor bepaald.
§ 2.2.3 Het meetsysteem
In de eerste versie van de robotarm, werd de positie van de arm
bepaald aan de hand van het tachosignaal. Met deze indirecte
meetmethode werd de vereiste positioneernauwkeurigheid niet gehaald.
Dit was een gevolg van het feit dat er door torsie een zekere fout
gelntroduceerd werd. Op dit moment wordt de positie van de arm direct
bepaald met behulp van een meetlineaal. Deze lineaal, die onder op de
arm gemonteerd zit, heeft een raster van 40 ~m. De lineaal wordt
afgetast met een lichtbron en twee detectoren (zie fig. 2.3.a). Bij
beweging van de arm worden deze twee detectoren, die een onderlinge
afstand hebben van 50 ~m geactiveerd. Uit de signalen die de twee
detectoren afgeven kan. na versterking (fig. 2.3.b) de
bewegingsrichting bepaald worden (fig. 2.3.c). Oak kan uit deze twee
signalen de plaats bepaald worden op 10 ~m nauwkeurig. Uit de
positiegegevens van de robotarm wordt door de SBC de snelheid en de
versnelling van de arm berekent.
- 7 -
Ud 2,2
d bed
§ 2.2.4 Het regelsysteem
o
o
c fi- ->,
b l I
I 'd Ic::::- _:1 a
o Ud 2,1
'---_l....-_"--- U d 2 ,2 o
figuur 2.3. theorie meetsysteem.
Het schema van de regelkring met regelaar en proces ziet er als voIgt
uit. zie fig 2.4.
REGELAAR "~
PROCES I I - i
110.. X . UI
.~ - R P
I ' I ,
i I I I -. - - ... - - - ~ - - - --
Xw
ftguur 2.4. schema regetkrtng.
- 8 -
Uit de figuur blijkt dat de regelaar bestaat uit het regelorgaan, met
een overdracht R, en uit een vergelijkingsorgaan. Het
vergelijkingsorgaan bepaalt het verschilsignaal tussen de ingestelde
waarde X en de gemeten waarde X van de te regelen procesuitgang: n w
x = X - X n w
Het type regelaar wordt gekenmerkt door de vorm van de
overdrachtfunctie R van de regelaar. De regelaar kan combinaties
bevatten van proportionele-. differentierende- en integrerende acties.
Deze regelaars worden ook weI kort PID-regelaars genoemd. De
overdrachten van de drie acties zijn achtereenvolgens:
proportioneel: U. (t) = K * x(t) 1
dx(t) differentierend: U. (t) = Td * dt 1
1 T", integrerend: U. (t) = :r*!x{t) dt
1 i 0
De drie basis akties zijn naar eigen keuze in te vullen. waardoor p,
PD. PI en PID-regelaars gekozen kunnen worden. Voor een PID-regelaar
geldt dan de volgende algemene vergelijking:
1 T ~ dx(t) Ui(t) = K * x(t) + Ti * b x{t) dt + Td * dt
Bij digitale regelsystemen wordt de procesuitgang X niet continu, w
maar op zekere sampletijdstippen gemeten. Het signaal X is dus slechts
op de sampletijdstippen k*T aanwezig. Door het samplen verandert de s
bovenstaande formule in:
x(nT)-x(nT-T) 1 Ui(nT) = K * x(nT) + Td * +
T T.
n * ! T * x(kT)+x{kT-T) + k=l s 2
s 1
- 9 -
Hierin zijn
K = proportionele constante
Ti= integratietijd
Td= differentiatietijd
T = sampletijd s
Met behulp van bovenstaande formule kan een digitale PID-regelaar
samengesteld worden. Het grote voordeel van de softwarematig
samengestelde PID-regelaar is zijn flexibiliteit. Het is softwarematig
namelijk zeer eenvoudig om de regelparameters K. Ti en Td te
veranderen. Hierdoor is eenvoudig elk soort PID-regelaar in te
stellen.
Om een voorbeeld te geven van bovenstaand verhaal. zie bijlage I.
Bijlage Ia geeft een verplaatsing weer van 1 mm met een last van 0 kg.
Hierbij is gewerkt met ideale regelparameters. zoals die uitgerekend
kunnen worden met een programma in PCMATLAB. Op dit programma wordt
hier verder niet ingegaan. omdat het werkt met de state-space methode.
Deze figuur is bepaald met een verplaatsingsopnemer. een
meetversterker en een analyzer. In bijlage Ib is deze zelfde
verplaatsing te zien zoals die geregistreerd is rechtstreeks met de
meetgegevens van het besturingsprogramma van de robotarm. Tussen Ia en
lb is een grote overeenkomst te zien. zodat gesteld mag worden dat de
meting met de analyzer betrouwbaar is.
In bijlage Ie is. bij wijze van demonstratie. de D-regeling verkleind
en in bijlage ld is deze vergroot. Vergelijk bijlage Ia met Ie en Id
en geeonstateerd mag worden dat de parameters die gebruikt zijn in Ia
inderdaad guns tiger zijn dan die gebruikt zijn in Ie en Id.
- 10 -
H3 RET ONTWERPEN VAN EEN MODEL VOOR DE LlNEAlRE ROBOTARM
§ 3.1 DE THEORETISCHE ACHTERGROND
Wanneer van een systeem een model wordt opgezet. wordt geprobeerd om
de verschillende onderdelen van dit systeem met behulp van
vergelijkingen te beschrijven. Het systeem. de lineaire robotarm.
wordt in de volgende onderdelen opgesplitst: motor. tacho. spindel.
moer en arm. De onderdelen worden hierna apart besproken.
De motor kan met een electrische vergelijking beschreven worden. Om te
beginnen is er de impedantie van de motor. Deze wordt bepaald door
eerst de rotor vast te zetten. waarna een sinusvormige spanning met
een varierende frequentie op de motor gezet wordt. De stroom die gaat
lopen wordt gemeten en de impedantie voIgt uit de spanning gedeeld
door de stroom. De impedantie bIijkt te bestaan uit een weerstand in
serie met een parallel geschakelde spoel en weerstand. zie fig. 3.1.
La
Ia R
Rl
ftguur 3.1. etectrisch uus motor (I).
De weerstand RL staat voor de verliezen in het magnetisch circuit. ~
is meestal groter dan R. Het effect van ~ op de motorwerking is erg
klein waardoor deze weerstand verwaarloosd kan worden.
- 11 -
Ten tweede ontstaat er een spanning tegengesteld aan de aangelegde
motorspanning de zgn. tegen-EMK. Deze tegen-EMK ontstaat wanneer de
rotorspoelen in het magnetisch veld van de stator draaien. hierdoor
wil er een stroom tegengesteld aan de voedingsstroom I gaan lopeno De a
grootte van de tegen-EMK blijkt evenredig aan de hoeksnelheid van de
motor te zijn. Uit deze gegevens kan het volgende vervangingsschema
v~~r de motor afgeleid worden. fig. 3.2.
R La
figuur 3.2. etectrisch vvs motor (2).
De vergelijking vor de motor wordt dan:
U (t) = L i (t) + RI (t) + U k(t). m a a a em
Verder geldt nog dat: U k(t) = K wet) . wet) staat voor de em e
hoeksnelheid van de rotor en K voor de spanningsconstante van de e
motor. K bepaalt de snelheid van de motor bij een zekere e
voedingsspanning. In K zitten de magnetische eigenschappen van de e
motor verwerkt.
Ook kan de motor met een mechanische vergelijking beschreven worden.
Er wordt bij deze vergelijking uitgegaan van het koppel dat de motor
levert. Omdat het magnetisch veld van de motor constant is. is de
stroom die door de stator gaat lopen evenredig met het door de motor
geleverde koppel. of wei: Tm(t) = Kt1a(t). Hier staat Kt voor de
koppelconstante van de motor. In dit geval geldt dat K = K . Het t e
- 12 -
koppel dat de motor levert wordt verdeeld over een versnellingskoppel
{Ta(t)}. een constant wrijvingskoppel {Tf(t)}. een visceus
dempingskoppel {Td(t)} en een koppel dat aan de last wordt toegevoerd
{T1(t)}. Of in formule: Tm(t) = Ta(t) + Tf{t) + Td{t) + T1{t).
Het koppel voor de versnelling is gelijk aan de massatraagheid (Jm)
van de rotor maal de hoekversnelling [~(t)J van de rotor :
T (t) = J ~{t}. a m
Het koppel voor de constante wrijving is een constant koppel en is dus
onafhankelijk van de hoeksnelheid.
Het koppel voor de visceuze demping is weer weI afhankelijk van de
hoeksnelheid. hiervoor geldt: Td(t)= Dw(t). D staat voor de visceuze
dempingsfactor.
Het koppel dat op de last aangrijpt, wordt gebruikt voor het
overwinnen van de massatraagheid en de wrijving van de last. T (t) kan m
nu als voIgt geschreven worden:
Er is tot nu toe uitgegaan van het feit dat de snelheid van de motor
gelijk is aan die van de last. Dit is in werkeIijkheid niet zo omdat
de as tussen motor en last een zekere elasticiteit heeft waardoor
torsie optreedt. Door deze torsie is het zelfs mogeIijk dat bij
sommige frequenties de snelheden van rotor en last tegengesteld
gericht zijn. Dit verschijnsel wordt resonantie genoemd.
Bekijken we het volgende systeem. fig. 3.3.:
- 13 -
LAST MOTOR
if (JJI.Dl) k1 , d 1 5) Jm,Dm) Pm
Figuur 3.3, mod,eL voor motor met Last.
k staat voor de torsieconstante van de as, ~ staat voor de
hoekverdraaiing ; ~(t) = wet).
Voor het systeem uit figuur 3.3 geldt:
T (t) = J ~ (t) + Tf(t) + D w (t) + Tl(t) m mm mm en:
T1(t) = Jl~l(t) + D1w1 = Jl~l(t) + Dl~l(t)
Wordt de as nu niet ideaal voorgesteid dan geldt:
Uit deze gegevens voIgt de volgende vergelijking:
Voor de tacho en de spindel kunnen dezelfde mechanische vergelijkingen
worden opgesteld als voor de motor. De last in figuur 3.3 kan
vervangen worden door tacho of spindel. De vergelijking van b.v. de
tacho wordt dan:
Door de moer wordt de roterende beweging van de spindel omgezet in een
translerende beweging. De moer wordt als ideaal beschouwd in de
volgende paragrafen. De spoed van de spindel (h) is gelijk aan 25 mm.
Wanneer de spindel een omwenteling maakt voIgt er een verplaatsing van
25 mm. van de arm.
-14-
Wanneer de arm ook in het model opgenomen wordt, moeten de massa en de
wrijving die in translerende richting werken omgezet worden in
roterende grootheden. De hoeksnelheid is gelijk aan w of ~ [radls],
dit is ~/2v omwentelingen per seconde. De snelheid. V van de arm, is
dan: V= hw/2v. Voor de kinetische energie van de arm geldt:
~in= ~ mV2 = ~ m * (whl2v)2 . Bij een roterende beweging geldt:
F_ . = ~ J w2 . Uit deze twee vergelijkingen voIgt dat: inn v
~ m * (whl2v)2 = ~ J w2 • Om de massa van de arm (m ) om te schrijven
v a
in een massatraagheid (J ) kan de volgende formule worden gebruikt: v
Voor het omzetten van de wrijving van translerend naar roterend geldt
iets dergelijks.
roterend
T .,. WrlJvlng = D ~ v
W = Td<.p
Nu geldt ook
Td<.p = T~t
Wanneer de overbrenging van
geldt dat : D w2 = D V2 v a
V = (h/2v) * w
translerend
Fwrijving
W = Fdx
Fdx = F~dt
roterend naar translerend ideaal is.
} D w2 (h/2V}2 * w2 = D * ~ v a
dan
Om een wrijving om te schrijven van roterend naar translerend geldt
dus: D = D * (h/2V)2. v a
Voor het omschrijven van roterende naar translerende grootheden is de
moer steeds ideaal verondersteld.
- 15 -
§ 3.2 MODELVORMING
In eerste instantie is begonnen met het opstellen van een zo eenvoudig
mogelijk model. Dit model bevat aIleen maar de motor. Vanuit dit
eenvoudige model wordt verder gewerkt naar een steeds complexer model.
In het Iaatste model zijn aIle onderdelen van de robotarm verwerkt.
met uitzondering van de moer die steeds ideaal verondersteld wordt.
§ 3.2.1 Model van de motor
In deze paragraaf wordt het model besproken van een losstaande motor.
Voor deze motor kunnen de volgende vergelijkingen opgesteid worden :
U (t) = L i (t) + RI (t) + U k(t) m a a a em
T (t) = J ~ (t) + D ; (t) m mm mm
T (t) = K I (t) m ea
U mk(t) = K w (t) = K ; (t) e e m e m
U (t) = L i (t) + RI (t) + K ; (t) m aa a em
o = -K I (t) + J ~ (t) + D ; (t) ea mm mm
} ~ Omgeschreven naar het frequentiedomein (Laplacenotatie) geeft dit
U (s) = (R + sL ) * I (s) + sK ~ (s) m a a e m
o = -K I (s) + (S2J + sD ) * ~ (s) earn m m
- 16 -
~ Deze twee vergelijkingen in matrixnotatie. geeft
[
R+sLa
-K e
sK e
s2J +sD m m
Hieruit wordt de overdrachtsfunctie Hi{s) = W {s)/U (s) van de motor m m
berekend.
[ R+sLa
-K <P (s)
e = m
[ R+sLa
-K e
=
U (5) m
U (s) m
0
sK e
s2J +sD m m
s<p (5) m
U (s) m
1 =
1
=
K U {s} e m
{R+sL )*(S2J +sD ) a m m
K e
+ sK 2 e
(R+sL )*(sJ +D ) + Ke2
a m m
Dit is een tweede-orde systeem met een electrische en een mechanische
tijdconstante. Het vervangingsschema hiervan is te zien in figuur 3.4.
1 I K T 1 W .', a m m
R + sL e D + sJ a m m
Kt
figuur 3.4. blokdiagram motoruergelijking.
Indien het systeem niet teruggekoppeld is. liggen de polen op p =-RIL e a
en op p =-D /J . Door de terugkoppeling zullen de polen. langs de m m m
poolbaan naar elkaar toeschuiven. Nu blijkt pool p • in verhouding tot e
- 17 -
p • bijna niet te verschuiven. De electrlsche tijdconstante (T ) is m e
dan evenredig met p (T =-2~/p ). Wordt L I door z'n kleine waarde bij e e e a
Iage frequenties verwaarloosd. dan verandert Hi(s) in :
K e
sJ R + RD + K 2 m m e
= [K /(RD +K 2)]
e m e
1 + s[RJ /(RD +K 2)] m m e
De pool p blijkt nu verschoven te zijn naar -[(RD +K 2)1RJ ]. De m m e m
mechanische tijdconstante (T ) wordt dus [2~RJ /(RD +K 2)]. Uit deze m m m e
gegevens blijkt dat de mechanische tijdconstante in dit systeem een
veel grotere ro1 speelt in de lage frequentieband. en dat de
electrische tijdconstante een veel grotere rol speelt in de hoge
frequentieband.
In ons systeem gelden de volgende waarden :
R = 4.00 * 10- 1 Q L = 1.00 * 10- 4 H a
J m 1.20 * 10-:3 kgm 2 D = 3.82 * 10- 4 Nms/rad ::: m
K = 2.12 * 10- 1 NmlA e
Ingevuld geeft dit : Pe = -4.00 * 10+:3
p = -9.40 * 10+ 1
m
§ 3.2.2 Model van motor en tacho
In deze paragraaf wordt een model opgesteld van een systeem dat
bestaat uit een motor-tacho-combinatie. Voor dit model kunnen de
volgende vervangingsschema's opgesteld worden (zie figuur 3.5).
- 18 -
d1
Jt Jm
Ut U m
~ m.echanisch el.ectrisch
Figuur 3.5, vvs. m.otor-tacho.
Uit deze schema's volgen de onderstaande vergelijkingen
U (t) = L i (t) + RI (t) + U k m a a a em
Tm(t} = Ke1aCt)
= Jm~mCt) + Dm~m(t) + Jt~t{t) + Dt~t{t)
k1 * [~m(t) - ~t(t)J + d 1 * [~m(t) - ~t(t)] = Jt~t(t) + Dt~t(t}
~ Dit geeft in Laplacenotatie :
~ Dit geeft in matrixnotatie
[ R+sLa sK 0 I (5) U (5) e a m
-K s2J +sD 52Jt+5Dt * ~m(s} = 0 e m m
0 -(sd 1+kd s2Jt+s{Dt+dt}+k1 CPt(s) 0
Uit deze matrix kan Ha{s) = W (s)/U (5) afgeleid worden. m m
- 19 -
.p (s) = m
R+sL U (s) 0 a m
-K e
o o
o s2Jt+sDt
S2J +s(D +d 1 )+kl t t
A
A staat voor de determinant.
H2(S) = s.p (s)/U (s) m m = Ke* [s2Jt+s{D
t+d 1 )+k 1 ]
A/s
De nulpunten van deze overdrachtsfunctie Iiggen op
-(Dt+d 1 ) ! j/[4Jtkt-(Dt+dl)2J
2Jt
Hier voIgt uit dat W ongeveer geIijk is aan l(kt/J t ). rl
A/s = (R+sL ) * {[sJ +D ]*[S2J +s(D +d 1 }+k1 ] + [sd1 +k1 J*[sJt
+DtJ} + a m m t t
Ke2 * [s2Jt+s(Dt+dl)+klJ.
H2 (0) = K I [R(D +D )+K 2J e m t e
Bij lage frequenties gelden de volgende benaderingen
(1) s2J +s(D +d 1 )+kl ~ k1 t t
(2) sdt+kt ~ kl
{3} R+sL ~ R a
Em
Voor lage frequenties geldt dus :
{A/s)l = R * {[sJ +D J*[k 1 J + [sJ +D J*[k1 ]} + Ke2k1' aag mm tt
= k1 * [s(Jm+Jt)R + (Dm+Dt}R + Ke2]
= k, M [ R(Dm+Dtl + K.2 1 M [ I + (Jm+Jt)R * s 1 R(Dm+D t > + Ke 2
Uit de pool. die uit deze vergelijking tevoorschijn komt. kan de
mechanische tijdconstante gehaald worden :
- 20 -
\
p = -[R(D +D )+K 2]/[R(J +J )] m m t e m t
T = -2T/p = 2TR(J +J )/[R(D +D )+K 2J m m mt mt e
De andere polen corresponderen met frequenties die veel hoger liggen.
Uit (A/s)l kan afgeleid worden dat in het hoge frequentiegebied aag
geldt :
s » [R(Dm+Dt}+Ke2]/[R(Jm+Jt)] dus:
sR{Jm+Jt ) »Ke2 en s(Jm+Jt ) »(Dm+Dt ) ~
~ Hierdoor verandert A/s voor hoge frequenties in :
Jm » Jt
~ (A/s)h = sJ * [R+sL J * [S2J +s(D +d 1 )+k1 ] oog - mat t
De onderstreepte s. staat hier voor (s-p ). p is reeds gevonden uit m m
{A/s)1 . De tweede pool p = -RiL correspondeert met de aag e a
electrische tijdconstante (p = -T 12T). Er blijven nu nog twee e e
toegevoegd complexe polen. PI 2' over. Deze twee polen corresponderen . met de resonantiefrequentie van motor en tacho.
-(Dt +d 1 ) ! j[[4Jtk 1 -(Dt +d 1 )2] P1 2 = ----------------____ __
2Jt
~ hieruit voIgt dat w ~ [(k 1 /J t).
r2
De totale overdrachtsfunctie kan nu dus geschreven worden als
(1+2j~lWlw -w2 lw ) H
2(jw) = H
2(O) * __________ r_l ___ r_l ___ _
met
- 21 -
Resonantiefrequentie van de tacho t.o.v de motor;
De motor draait constant rondo de tacho draait al
resonerend mee.
Resonantiefrequentie van motor en tacho t.o.v elkaar
De bewegingen van motor en tacho zijn in tegenfase.
w /2~ De inverse mechanijchp tijdconstante van de motor. m
w /2~ De inverse electrische tijdconstante van de motor. e
In dit model gelden de volgende waarden :
R = 4.00 * 10- 1 0 L = 1.00 * .10- 4 H a
Jm = 1.20 * 10- 3 kgm2 D = 3.82 * 10- 4 Nms/rad m
J t 1.60 * 10- 4 kgm 2 Dt 3.82 * 10- 4 Nms/rad = =
ki = 1.10 * 10+ 3 Nm/rad d 1 = 9.95 * 10-6 Nms/rad
K = 2.12 * 10- 1 Nm/A e
Ingevuld geeft dit
n1 = -2.00 * 10- 1 + 3.49 * 10+ 2
n2 = -2.00 * 10- 1 3.49 * 10+ 2
Pm = -8.32 * 10+ 1
Pe = -4.00 * 10+ 3
Pi = -1.38 * 100 + 2.62 * 10+ 3
P2 = -1.38 * 100 2.62 * 10+ 3
§ 3.2.3 Model van motor. tacho en spindel
Figuur 3.6 geeft een vervangingsschema van het in deze paragraaf
beschreven model.
- 22 -
! , JI
I I
~~
dl d2
ftguur 3.6, 1'1'S IlOtor-tacho-sptndel.
Voor dit model kunnen de volgende formules opgesteld worden:
U (t) = L i (t) + RI (t) + U k m a a a em
Tm(t} = Ke1a{t)
= Jm~m(t) + Dm~m{t) + Jt~t{t) + Dt~t(t) + Js~s + Ds~s
kl * [~m{t) - ~t(t)J + d 1 * [~m(t) - ~t(t)J = Jt~t(t) + Dt;t{t)
k2 * [~ (t) - ~ (t)] + d2 * [~ (t) - ~ (t)] = J ~ (t) + D ; (t) m s m s s s s s
~ Dit geeft in Laplacenotatie :
U {s} = (R + sL ) * I (5) + 5K ~ (s) m a a e m
o = -K I (5) + (S2J + sD ) * ~ (s) + (S2J + 5D ) * ~ (s) + ea m m m t t t
(S2J + sD ) * ~ (s) ~ s s s
o = -(sd i + k t ) * ~ (5) + [S2J + s * (Dt + d1) + k1] * ~ (s) m t t
o = -(sd2 + k2) * ~ (s) + [S2J + s * (D + d2) + k2] * ~ (5) m s s 5
R+sL sK 0 0 I (s) a e a
-K s2J +sD s2Jt+sDt s2J +sD ~m{s} e m m S 5 * 0 -(sd 1 +kd s2J +s(D +d t )+k1 t t . 0 ~t{s)
0 -(sd2+k2) 0 S2J +s{D +d2 }+k2 ~s{s) s S
- 23 -
=
U (s) m
o
o
o
Uit deze matrix wordt H3(S) = ws(s}lUm(s) = s'Ps(s}lUm(s}
Um(s) R+sL sK 0
-K e
o
o
a e
S2J +sD m m
-(sd 1+kl)
-(sd2+k2)
s2Jt+sDt
s2J +s(D +d 1 )+kl t t
o
o
o
o 'Ps(s) = ---------------------------------------
A/s
A/s = (sL +R) * { [sJ +D J[S2J +s(D +d t }+k t J[S2J +s(D +d2}+k2J + a mm t t s s
[sd 1 +klJ[SJ +D J[S2J +s(D +d2)+k2J + t t s s
[Sd2+k2J[SJs+DsJ[S2Jt+s(Dt+dl}+klJ } +
K 2 * { [S2J +s(D +d 1 )+k 1 J[S2J +s(D +d2)+k2J }. e t t s S
H3(O} = K I(RD +K 2} erne
De overdrachtsfunctie heeft een reeel en twee complexe nulpunten.
De toegevoegd complexe nulpunten liggen op
-(Dt +d 1 ) ! j/[4k1 J t -(Dt +d 1 )2J
2J t
Hieruit voIgt dat wrt
~ /(k 1 /Jt
).
De overdrachtsfunctie heeft dus 6 polen. Het is onmogelijk om deze
punten precies te bepalen. maar ze zijn weI te benaderen. V~~r de lage
frequenties geIden de volgende benaderingen
- 24 -
(l) s2Jt+s{Dt+dl}+kl ~ kl en s2J +s(D +d2}+k2 ~ k21 s s
(2) sd 1+kl ~ kl en sd2+k2 ~ k2
(3) R+sL ~R a
~ (A/s)l = sRk1 k2(J +J +J ) + Rklk2(D +Dt+D ) + K 2k1k2 aag mts m s e
= k1k2 * { sR[J +J +J ] + [R(D +D +D }+K 2] } m t s m t s e
De pool die correspondeert met de laagste frequentie is
R{D +D +D )+K 2 m t s e
Pm = - -R-(-J-+-J-+-J-)m t s
~
Deze pool is evenredig met de mechanische tijdconstante van motor,
tacho en spindel. De andere polen corresponderen met frequenties die
veel hoger liggen. Uit (A/s)l kan afgeleid worden dat voor hoge aag
frequenties geldt :
R(D +D +D )+K 2 m t 5 e s»
R(Jm+Jt+Js )
~ 5R{Jm+J t +Js } » Ke 2 en s(Jm+Jt+Js »> (Dm+Dt+Ds) ~
~ (A/s}h = 5(sL +R) * { J [5 2J +s(D +d 1 )+k1 ][S2J +s(D +d2)+k2] + oog - a m t t s s
Js[s2Jt+s(Dt+d1}+kt][sd2+k2] + Jt[s2Js+s(Ds+d2)+k2] }
In deze vergelijking staat de onderstreepte s voor de pool p die al m
gevonden was op een lage frequentie. De tweede pool p =-R/L , is e a
evenredig met de electrische tijdconstante van de motor. Uit de rest
van de noemer kunnen nog 2 toegevoegd complexe poolparen gevonden
worden.
De massatraagheid van de motor blijkt in de praktijk zo'n 6 a 7 keer
groter te zijn dan de massatraagheden van tacho en spindel. Daarom
kunnen de termen met J en J in (A/s)h verwaarloosd worden. Als we t s oog
ook de reeds gevonden polen uitsluiten, houden we van (A/s}h over: oog
-25-
De twee toegevoegd complexe polen die staan voor de
resonantiefrequentie van motor en tacho. liggen ongeveer op
-(Dt +d 1) ! 1[4Jt k 1-(Dt+d1)2]
Pi 2 = ------.---------------------2J
t
Hieruit voIgt dat de resonantiefrequentie w ~ l(k1/Jt ) r2 De twee toegevoegd complexe polen die staan voor de
resonantiefrequentie van motor en spindel liggen ongeveer op
-(D +d2 ) + 1[4J k 2-(D +d2 )2] s - S S
P3 4 = ---------------------------2J s
Hieruit volgt dat de resonantiefrequentie w ~ l(k2/J ) r3 s
De gehele overdracht kan nu geschreven worden als :
ws(s) (s-n1 )(s-n2 )(s-n3) H;)(s) = = H;)(O) * ______________ _
w1/2-rr
w 12-rr m
w 12-rr e
Um(s) (s-p )(s-p )(S-P1)(S-P2)(S-P3)(S-P4) m e
De inverse tijdconstante door elasticiteit van de spindel
De inverse mechanische tijdconstante van motor. tacho en
spindel
De inverse electrische tijdconstante van motor, tacho en
spindel.
Resonantiefrequentie van de tacho t.o.v. de motor (de motor
draait constant rond. de tacho draait al resonerend mee).
Resonantiefrequentie van motor en tacho t.o.v. elkaar
(beweging van motor en tacho zijn in tegenfase).
Resonantiefrequentie van motor en spindel t.o.v. elkaar
(beweging van motor en spindel zijn in tegenfase).
- 26 -
R = 4.00 * 10- 1 0 L = 1.00 * 10- 4 H a
Jm = 1.20 * 10-:) kgm2 D = 3.82 * 10-4 Nms/rad m
J t = 1.60 * 10- 4 kgm2 Dt = 3.82 * 10- 4 Nms/rad
J s = 2.51 * 10- 4 kgm2 D = 4.00 * 10- 4 Nms/rad s
d 1 = 9.95 * 10- 5 Nms/rad d 2 = 9.95 * 10-5 Nms/rad
ks = 1.10 * 10+:) Nm/rad k2 = 1.33 * .10+:3 Nm/rad
K = 2.12 * 10- 1 Nm/A e
Ingevuld geeft dit
nl = -2.00 * 10- 1 + 3.49 * 10+ 2
n2 = -2.00 * 10- 1 3.49 * 10+ 2
n:) = -1.34 * 10+ 7
Pm = -7.00 * 10+ 1
Pe = -4.00 * 10+ 3
Pi = -1.38 * 100 + 2.62 * 10+ 3
P2 = -1.38 * 100 2.62 * 10+ 3
P3 = -9.95 * 10- 1 + 2.30 * 10+ 3
P ... = -9.95 * 10- 1 2.30 * 10+ 3
§ 3.2.4 Model van het gehele systeem
Het uiteindelijke model wordt schematisch weergegeven door figuur 3.7
- 27 -
J s
fig 3.7. vvs. motor-tacno-spindel-arm.
De variabele i staat hier voor de overdracht van de moer. Omdat deze
overdracht ideaal verondersteld wordt. kunnen de translerende
grootheden m en D omgezet worden in de roterende grootheden J en a a v
en
De vervangende grootheden J en D kunnen nu opgeteld worden bij J en v v s
D. s
J I = J + J s s v en D I = D + D
5 5 V
De vergelijkingen en de matrix die van dit model opgesteld kunnen
worden. zijn dezelfde als die uit de vorige paragraaf. met J =J I en s s
D =D '. Uit de nieuwe matrix wordt H4(S} afgeleid. s s
H4(5) = ~ (5)/U (5) = (2~/h)*V (5)/U (s) 5 m a m
Hierin is V (5) de translerende snelheid van de arm. a
H4(S) heeft dezelfde nulpunten als H3(S) uit de vorige paragraaf.
evenals de polen p . P1 en P2' De polen p . P3 en P4 verschuiven weI. e m R(D +D +D )+K 2
m t s e
P3 4 = ------------------------------2J I
s
- 28 -
Ingevuld geven deze polen
Pm = -1.41 * 10+ 1
Pa = -2.05 * 100 + 8.53 * 10+ 2
P4 = -2.05 * 100 - 8.53 * 10+ 2
- 29 -
H4 UITWERKING VAN MODELLEN MET BEHULP VAN SIMULATIEPROGRAMMA'S
§ 4.1 ALGEMENE INFORMATIE OVER PCMATLAB
PCMATLAB is een simulatieprogramma voor modellen. MATLAB staat voor
MATrix LABoratory. Oorspronkelijk was het programma bedoeld voor het
rekenen met matrices. maar in de loop van de tijd zijn er steeds meer
mogelijkheden gelmplementeerd.
MATLAB bezit op dit moment ook grafische mogelijkheden. Verder kan men
zelf functies schrijven die in MATLAB aangeroepen kunnen worden.
En modelbeschrijving kan op twee rnanieren ingegeven worden. In de vorm
van een overdrachtsfunctie of in de vorm van een state-space
beschrijving. Deze laatste methode is niet toegepast omdat de
theoretische kennis daarvoor niet aanwezig was.
§ 4.2 ALGEMENE INFORMATIE OVER TRIP
Het simulatieprogramrna TRIP is gebaseerd op de filosofie dat een
lineair. single-input-single-output systeem voorgesteld kan worden op
diverse rnanieren (zie figuur 4.1). In TRIP is het mogelijk om een
bepaalde voorstelling van een model om te zetten naar een andere
voorstelling. Deze verschillende omzettingen zijn ook te zien in
figuur 4.1.
- 30 -
transfer function
Figuur 4.1. opbouw van TRIP.
Een nadeel van TRIP is dat er bij elke omzetting van tijddomein en
frequentiedomein een bepaalde fout gelntroduceerd wordt. Dit komt
doordat in deze domeinen, modellen beschreven worden in een bepaald
aantal punten.
§ 4.3 UITWERKING VAN DE MODELBEWERKINGEN
In deze paragraaf worden de modellen. zoals die in hoofdstuk 3
gevonden zijn. ingevuld en uitgewerkt. Verder wordt de totale
overdracht van het systeem. van ingaande spanning naar uitgaande
snelheid van de arm, voor ieder model apart bekeken. Hierin 1s dan een
- 31 -
dUidelijke evolutie te zien van een model waarin enkel de motor
niet-ideaal verondersteld is, naar het uiteindelijke model waarin
motor, tacho en spindel niet-ideaal verondersteld worden.
In de volgende paragrafen worden de volgende waarden gebruikt
J = 1.20 * 10- 3 kgm2 D = 3.82 * 10- 4 Nrns/rad m m
J t = 1.60 * 10- 4 kgm2 Dt = 3.82 * 10- 4 Nms/rad
J s = 2.51 * 10- 4 kgm2 D = 4.00 * 10- 4 Nrns/rad s
d s = 9.95 * 10- 6 Nms/rad d 2 = 9.95 * 10- 6 Nms/rad
kl = 1.10 * 10+ 3 Nmlrad k2 = 1.33 * 10+ 3 Nmlrad
R = 4.00 * 10- 1 0 L = 1.00 * 10- 4 H a
m = 1.00 * 10+ 2 kg a h = 2.50 * 10-2 m
K = 2.12 * 10- 1 NmlA e
§ 4.3.1 model van de motor
In § 3.2.1 is de overdrachtsfunctie van de motor gevonden
wm(s) Ke H1 (5) = __ = ~ _____________ ...",-__
S2 + [(J R+L D )/J L ]s + (RD +K 2)/J L u (s) m m am rna m e ma
Dit is een tweede-orde systeern met:
de eigen hoekfrequentie r.3 7a~10+6 -_ 6.13*10+ 2 Wo = ". . V"'" rad/S} ~
~ De dempingsfactor. ~ = 3.26. is groter als 1. dus het tweede-orde
- 32 -
systeem is te ontbinden in twee eerste-orde systemen.
D f i h f b kf ' 9.63""-10+ 1 rad/s en eze unct e ee t twee ree requentles voor w = -voor w = 3.90*10+ 3 rad/s. Het schematisch verloop van Hi(s) is gegeven
in figuur 4.2.
H(O) 1---...:.
-2
W1 WO W 2
figuur 4.2, schematisch uerLoop uan H1(s) en H (5). u1
Nu worden de massatraagheden en wrijvingscoeficienten van de tacho en
spindel in dit model betrokken. Hi '(s) = Hi(s) met J = J ' en m m
D = D '. Het vervangingsschema is te zien in figuur 4.3 m m
Jm' = Jm + J t + J s + Jv
D'=D +D +D +D m m t s v
~m'
figuur 4.3, uus. geheLe systeem (1).
met Jv = ma (h/2u)2
met D = D (h/2V)2 v a
- 33 -
J . = 3.19 * 10- 3 kgm2 m
D . = 3.06 * 10- 3 Nms/rad m
W • (s) ~ H1 '(S) = _m __
Um(s)
2.12*10- 1
= -=----------~----------~ S2 + 4.00*10+ 3 s + 1.45*10+ 5
Omdat het systeem vanaf de motor star verondersteld wordt. mag gezegd
worden dat wm'(s) = wt(s)
Dus H1 '(s) = W '(s)/U (s) m m
= W (5). S
= W (s)/U (s) s m
De overdracht van ingaande spanning naar uitgaande translerende
snelheid van de robotarm [H (s)J is : hl2v * W (s)/U (s) v 1 5 m H (s) = 8.44*10-
4
Vi 52 + 4.00*10+ 3 s + 1.45*10+ 5
Wo = 11.45*10+ 5 = 3.80*10+ 2 rad/s
-1.65*10+ 2 dB
3.70*10+ 1
H (s) = H (0) * ____ ---:-;_ Vi Vi (s + 3.70*10+ 1 )
H (s) heeft dus twee breekfrequenties op w=3.70*10+ 1 rad/s en op V 1
w=3.96*10+ 3 rad/s (zie fig. 4.2). Voor de uitwerking van dit model zie
bijlage II (IIa ~ MATLAB ; lIb ~ TRIP).
§ 4.3.2 Model van motor en tacho
In § 3.2.2 is de overdrachttsfunctie van ingaande motorspanning naar
uitgaande motor-hoeksnelheid gevonden (met inachtneming van de
tachogenerator)
wm{s) H2{S) = __ =
U (s) m
[JtKeJS2 + [Ke (Dt+d1»)s + k1Ke
()
- 34 -
met:
6 = [J JtL ]s· + [J (DtL +JtR}]S3 + [J klL +Jt(ktL +K 2)JS2 + m a m a m a ae
[(D +d1 )K 2+ klL (D +D )+ k 1R(J + J )]s + [klR(D + Dt }+ k1K 2] t e amt m t m e
3.40*10- 6 s 2 +1.02*10-·s +2.33*10+ 2
H2(S} = ______ ~~------~~--------~~------~------~~ 1.92*10- 11 S· +7.68*10- 8 S 3 +1.56*10-·s2 +5.98*10- 1
5 +4.98*10+ 1
= 4.69*10° = 13~4 dB
H2(S) is via een staartdeling op te lossen in componenten en te
schrijven als
H2(S} = H2 (0} * (s+1.5+2.62*10+3 j )(s+1.5-2.62*10+ 3 j)
(s+8.30*10+1)(s+3.80*10+ 3 }(s+65+2.70*10+3 j }(s+65-2.70*10+3j)
Het schematisch verloop van deze overdrachtsfunctie is weergegeven in
figuur 4.4, waarbij geldt
W 1 = 8.30*10+ 1
(,)2 = 3.80*10+ 3
w = 2.62*10+ 3
r 1
w = 2.70*10+ 3
r2
rad/s H(OI
rad/s
rad/s - 2
rad/s
W1 Wrl Wr2 W2
figuur 4.4, schemattsch vertoop van H2(S) en H (s). v 2
Nu wordt dit model zo aangepast dat het gehele systeem beschreven
wordt. Hierbij zijn aIle verbindingen, met uitzondering van de
motor-tacho verbinding, star verondersteld. Figuur 3.5 gaat dan over
in figuur 4.5.
- 35 -
Jt
ftguur 4.5, vvs. geheLe systeem (2).
Dit geeft de volgende veranderingen in H2(S) te zien :
D ---+ D ' , waarbij D ' = D + D + D m m m m 5 v
= 2.68 * 10-:3
kgm2 }
Nms/rad ~
J ---+J' m m waarbij J ' = J + J + J m rn s v = 3.03 * 10-:1
W '(5) =*12' (s)= _m __
Urnes) 3.40*10- 5
52 +1.02*10- 4
5 +2.33*10+ 2
= --------~~---------=~--------~~~------~----------~ 4.85*10- 11S
4 +1.94*10- 7 s:3 +3.58*10- 4 52 +1.40*100s + 5.08*10+ 1
Omdat de motor-spindel verbinding star verondersteld wordt, mag gezegd
worden dat w '(s) = W (5) = 2~/h * V (s) m 5 arm W '(s)
Hv (s) = ::.- * _m __ 2 2~ U (s)
rn
= --------~~---------=~--------~~~-------=----------~ 4.85*10- 118
4 +1.94*10- 7 s 3 +3.58*10- 4 52 +1.40*10°5 + 5.08*10+ 1
H (0) = 1.83*10- 2 = -34.8 dB V2
Ook deze functie i5, via een staartdeling, op te delen in componenten.
H (s) = H (0) * V2 V2
Het schematisch verloop van deze functie is te zien in figuur 4.4.
waarbij :
- 36 -
= 3.63*10+ 1 rad/s
= 2.62*10+3 rad/s
= 2.69*10+ 3 rad/s
Voor de uitwerking van dit model zie bijlage III (IlIa ~MATLAB
IlIb ~ TRIP) .
§ 4.3.3 Model van motor. tacho en spindel
In § 3.2.3 is de overdrachtsfunctie van ingaande motorspanning naar
uitgaande spindel-hoeksnelheid gevonden (met inachtneming van de
motor-tacho- en de motor-spindel-verbinding).
(Us(s) H3(S) = =
Um(S)
J d2K 53 + K {D d2 +d 1 d2 +J k2)s2 + K (d2k1+Dtk2+d 1k2)S + k1k2K teet tee
o = J JtJ L 5° + J J J Rs5 + m 5 a m t s
[JtJ (L k2+K 2)+L (J J k1+J t J k1+J J t k2)]5· s a e a m ssm
met
+ [J Rk1(J +J t )+JtRk2(J +J )J S 3 + [L k 1 k2(J +Jt)+J k 1 {L k2+K 2)+
5 m ms a m sa e
Jtk2Ke2]s2 + k 1k2[R(J +J +J )+L D ]s + k1k2[R(D +D +D )+K 2] m t s as m t 5 e
Ingevuld :
H3(5) = 3.36*10- 9 s3 + 4.48*10- 252 + 1.59*10- 15 + 3.08*10+6
o met:
o = 4.82*10- 15so +1.93*10- 11 s 5 +7.02*10- 8 5. +2.74*10-·s3 + 2.58*10- 1 52
H3(0) = 4.67 = 13.4 dB
H3(5) i5 via een staartdeling op te lossen in componenten en te
schrijven als :
- 37 -
H3{s) = H3(0} * (s+1.33*10+ 7 )(s+1.78+2.62*10+3
j)(s+1.78-2.62*10+3j)
{)
met {) = (s+3.42*10+ 2)(s+7.04*10+ 1)
(s+4.31*10+ 2+1.81*10+3 j )(s+4.31*10+ 2-1.81*10+3 j )
(s+1.36*10+3+3.26*lO+3 j ){s+1.36*10+ 3 -3.26*10+3 j )
Het schematische verloop van H3(S) is weergegeven in figuur 4.6.
waarbij geldt dat : H{O) 1---......
W2 = 3.42*10+ 2 rad/s
w:l = 1.33*10+ 7 rad/s - 2
w = 1.86*10+ 3 rad/s -4 r 1
w = 3.53*10+ 3 rad/s -3 r2
w = 2.62*10+ 3 rad/s W2Wrl Wr3Wr2W3 r3 Wl
figuur 4.6. schematisch vertoop van H3(S).
Nu wordt H3(S) omgewerkt tot het uiteindelijke model. waarbij aIleen
de moer ideaal verondersteld is. Figuur 3.6 gaat dan over in figuur
4.7.
, Jt J s
ftguur 4.7. vvs. gehele systeem (3).
~ J ~ J . = J + J = 1.83*10-3
S S S v
D ~ D . = D + D = 2.30*10- 3
S S S v
kgm2 }
Nms/rad ~
- 38 -
met
H (s) V:l
h ws'(s) = * =
21T U (s) m
1.34*10- 11 s 3 +
Na een staartdeling ontstaat uit deze functie :
H (s):: H (0) * (s+1.35*10+ 7 )(s+1.78+2.63*10+ 3 j)(s+1.78-2.63*10·3j)
V3 V3 {j
met
(j = (s+3.52*10+ 1 )(s+1.62*10+ 3)
(s+1.93*10+ 2 +1.18*10+ 3 j)(s+1.93*10+ 2 -1.18*10+ 3 j)
(s+9.84*10+ 2 +2.74*10+ 3 j){s+9.84*10+ 2 -2.74*10+ 3 j)
De schematische voorstelling van deze overdrachtsfunctie is te zien in
figuur 4.8, waarbij :
W 2 :: 1.62*10+3 rad/s
w:l = 1.35*10+ 7 rad/s
W = 1.20*10+ 3 rad/s r1
W = 2.63*10+ 3 rad/s r2
W :: 2.91*10+ 3 rad/s r3
HIO) f--~
I .-_1_. ... ~-.
Wl Wr1
-3
-4
-2
I 1\-4
I I I \-3 I I \
1. . .L.. L ... _I __
W2Wr2Wr3W3
figuur 4.8, schematisch vertoop van H (s). V:l
Voor de uitwerking van dit model zie bijlage IV (IVa ~ MATLAB ;
IVb ~ TRIP).
- 39 -
H5 BEPALEN VAN DE SYSTEEMOvERDRACfIT MET BEHULP VAN EEN ANALYZER
§ 5. 1 DE WERKING V AN DE ANALYZER
De HP5423 A is een dynamic signal analyzer die in drie domeinen kan
werken. het tijddomein. het frequentiedomein en het modale domein. De
analyzer is gebaseerd op een snelle Fourier transformatie. Di t is een
mathematische methode om meetwaarden om te zetten van het tijddomein
in het frequentiedomein. De meetwaarden kunnen niet continu omgezet
w()r,den naar het frequentledomein. het ingangssignaal wordt daarom
gesampeld. Al de sampels in het tijddomein zijn nodig om het
frequentiespectrum te berekenen. Elke twee tijddomeinsamples worden
omgezet in een frequentiedomeinsample. De frequentiedomeinsample bevat
echter informatie van zowel amplitude als fase. Omdat bij
·domeintransformaties veel uitgebreide berekeningen voorkomen is de
analyzer voorzien van een computer.
Voor het meten van een overdrachtsfunctie van e~n systeem moeten twee
grootheden van het systeem gemeten worden. Bekijken we b.v. een motor
dan kan het ene signaal de voedingsspanning. Um(t). zijn en het andere
, signaal zou de boeksnelheid van de rotor. wm
( t) ,kunnen zijn. Er kan I
nu een overdrachtfunctie w (t)IU (t) berekend worden. De analyzer kan m m
van deze overdrachtfunctie een amplitude- en fasediagram laten zien
Voor bet bepalen van een systeemoverdracht in het frequentiedomein
wordt vaak een bepaald gedeelte van de frequentieband bekeken. Om in
dat gedeelte van defrequentieband een goed inzicht in het
- 40 -
MEETLIN.
SBe ~ V
ROBOT
VERPLOPN --3!-- ANALYZER
/
;
Figuur5.1. meetopstetttng uoor uerptaatstngsfunctie.
Eerst zijn er verplaatsingsfuncties bepaald die zonder regelalgoritme
uitgevoerd zijn. De robotarm verplaatst zich hierbij met een constante
snelheid naar een van te voren opgegeven positie. De SBC controleert
steeds uit de gegevens van de meetlineaal of de gewenste positie al
bereikt is. Zolang deze niet bereikt is stuurt de SBC een vaste
stuurspanning naar de versterker. Is de positie weI bereikt dan wordt
de stuurspanning 0 en stopt de arm. Om de verplaatsing te compenseren
die net na het afschakelen van de voedingsspanning nog afgelegd wordt.
wordt de uitgelezen waarde Yan de meetlineaal vergeleken met een·
posi tiewaarde{x ) die net iets voor de gewenste positie ligt. Het· . v ~
verschil tussen x en de gewenste positie is ongeveer gelijk aan de v
remafstand van de arm bij de vaststaande snelheid. Voor de resultaten
hiervan zie bijlage Va.
Ten tweede zijn er verplaatsingsfuncties bepaald die met het .
- 42 -
regelalgoritme uitgevoerd zijn. Voor een schema van de robot met de
terugkoppeling via de PID-regelaar zie fig 5.2.
BUFFER1 Xn
Xw .. ROBOT & VERST. "
Uj X
-X
PIO-REGEL RECONSTRUC TIE
X' - I X
I
ftguur 5.2. terugkoppettngsschema.
Bij het verplaatsen van de robotarm met gebruik van het regelalgoritme
probeert de robot zo snel mogelijk op de van tevoren opgegeven
positie(x } te komen. De robot bevindt zich echter op de plaats x • n w
die de meetlineaal doorgeeft. Het verschil tussen x en x is de n w positiefout x. Uit de positiefout wordt ook de snelheidsfout berekent.
De positiefout en de snelheidsfout worden doorgegeven aan de
PID-regelaar die hieruit een nieuwe stuurspanning(U.} berekent. Uit 1
deze nieuwe stuurspanning voIgt weer een nieuwe positle x • en zo w
begint de regellus opnieuw. Voor de resultaten van de verplaatsing met
regelalgoritme zie bijlage Vb.
Uit de bijlage Va en Vb valt af te leiden dat de verplaatsing met
regelaar. sneller verloopt. Ook is te zien dat de arm met PID-regelaar
- 43 -
sneller afremt. in de buurt van de gewenste positie. dan wanneer de
regelaar niet gebruikt wordt. Er treedt zelfs overshoot op doordat de
arm niet zo snel kan remmen als hij eigenlijk zou willen. Dit komt
omdat de versterker maximaal 40 A. kan leveren. terwijl voor het
maximaal remmen veel meer nodig is.
De verplaatslng die in de bijlage uitgezet is was in beide gevallen 5
em. Ult de resultaten blijkt duidelijk dat de robot met gebruik van de
regelaar veel effieienter werkt dan zonder gebruik van de regelaar te
maken.
§ 5.3 HET METEN VAN EEN OVERDRACI-ITFUNcrIE
Met de analyzer is de overdrachtfunctie van de robotarm bepaald om
deze te kunnen vergelijken met de overdrachtfunetie die bij het model
gevonden is. De meetopstelling die gebruikt werd voor het bepalen van
de overdraehtfunetie staat in fig 5.3
2 VERSNfLLlNGS OPN,
ANAL YZ ER 1
\ t WI TTE RUI S GEN, .., 1:0 ROBO T
V figuur 5.3. meetopstelltng voor overdrachtfunctie.
- 44 -
De overdrachtfunctie die hier bepaald is staat voor de (snelheid van
de arm)/(de stuurspanning van de motor). Of in formule:
V (t) H{t) = _a __
Um{t)
Als stuurspanning voor de motor is witte ruis gebruikt. die via de
versterker aan de motor werd toegevoerd. De snelheid van de arm is
afgeleid van een versnellingsopnemerdie op de arm gemonteerd was
Eerst werd de overdracht(versnelling arm)/{stuurspanning motor)
bepaald. Uit deze overdracht kan na integratie de overdrachtfunctie
.Va(t)
Um(t}
gehaald worden. De resultaten hiervan staan in bijlage VIa en Vlb. In
bijlage VIa staat de overdrachtfunctie die bij een zo kort mogelijk
gebruikte spindellengte hoort. Inbijlage Vlb staa,t de
overdrachtfunctie die bij een zo lang mogelijk gebruikte spindellengte
hoort.
De verschillen en overeenkomsten van de resultaten die bij de
modelbewerking zijn gevonden en die met behulp van de analyzer zijn
gevonden. worden in hoofdstuk 6 besproken.
- 45 -
H6 NABESPREKING EN EINDOONCLUSIES
Zie bijlage II : a-HieS) en b-H 1 (s) zijn de bodediagrammen van het
model uit § 3.2.1 en § 4.3.1. Dit model heeft 2 polen die overeenkomen
met de breekfrequenties van het model. Bij elke breekfrequentie daalt
de amplitude verder met -6 dB/octaaf. Deze breekfrequenties zijn uit
de bodediagrammen te halen bij een fase van -45 en een fase van -135.
De fase voor w = oneindig is gelijk aan -180. Ditzelfde verhaal gaat
op voor a-H (s) en b-H (s). Cesteld kan worden dat de figuren Vi Vi
gemaakt met TRIP. veel onduidelijker zijn dan de figuren in MATLAB. De
frequentie in TRIP wordt weergegeven in rad/s. MOD en ARC geven de
modulus en het argument van de cursor weer.
Zie bijlage III : a-H2(s) en b-H2(S) geven het model uit § 3.2.2 en
§ 4.3.2 weer. We hebben hier te maken met 2 resonantiefrequenties die
vrij dicht bij elkaar liggen. De resonantiefrequentie w /2v (uit de r 1
teller) veroorzaakt een fasesprong van +180 en w /2v geeft een r2
fasesprong van -180. TRIP geeft deze gegevens goed weer, MATLAB geeft
eerst een fasedaling en daarna een fasestijging. In de MATLAB-manual
wordt hier weI voor gewaarschuwd. maar het is tach een gebrek. Dit
gebrek treedt slechts af en toe op. zoais te zien is in a-H (s). waar V2
het programma weer weI goed werkt. De uiteindelijke fase gaat naar
-ISO. omdat er twee polen meer zijn dan nulpunten.
Zie bijlage IV : a-H3(s) en b-H3(S) horen bij het model uit § 3.2.3 en
§ 4.3.3. In dit model treden 3 resonantiefrequenties op die in de
bodediagrammen relatief kort op elkaar volgen. Bij w /2v daalt de r 1
- 46 -
fase -lS0. Bij w /2~ stijgt de fase 1S0 en bij W /~ daalt de fase rn r2
weer -lS0. In de bodediagrammen zijn de eerste twee
resonantiefrequenties niet te zien. omdat ze elkaar opheffen. De
uiteindelijke fase moet naar -270 lopeno Het fasediagram a-H3(s) is
dus weer erg dubieus terwijl de amplitudekarakteristiek in TRIP weer
erg onduidelijk is. Het uiteindelijke model van het gehele systeem uit
§ 3.2.4 en § 4.3.3 is ook te zien in bijlage IV. Hier gaan eigenlijk
dezelfde bezwaren op die hiervoor ook zijn genoemd. Ais de funeties
H (s). H (s) en H (5) na elkaar bekeken worden. kan men de V1 V2 Vn
veranderingen in het bodediagram van het totale systeem. als het model
uitgebreid wordt. zien.
Resumerend kan gezegd worden dat in het simulatieprogramma MATLAB
nogal eens een fasefout sluipt. als het model wat uitgebreider wordt.
Dit in tegenstelling tot TRIP. Daar staat tegenover dat de plaatjes
die MATLAB produceert stukken duidelijker zijn dan de plaatjes uit
TRIP.
Ais laatste worden de bodediagrammen van het model van het gehele
systeem (zie bijlage IVa en IVb). die met behulp van Matlab en Trip
berekend zijn • vergeleken met de meetresultaten van de Dynamic Signal
Analyzer (bijlage VIa). De resultaten van de Dynamic Signal Analyzer
zijn niet in dB-waarden uitgezet. De frequentie-assen zijn niet
allebei in dezelfde eenheid. de een is in Hz en de ander in rad/s.
Wanneer men metingen verricht met de analyzer dan moet de meetduur van
een meting overeenkomen met tien maal de periodetijd van de laagst
- 47 -
gemeten frequentie, wat hier overeenkomt met een tijdsduur van 100 ms
voor een meting. Omdat de meetduur niet zo groot genomen is zijn de
meetwaarden tussen de 100 en 200 Hz niet betrouwbaar. De
amplitude-karakteristiek moet hier een vlak verloop hebben evenwijdig
aan de horizontale-as. in de rratlab-grafiek is dit weI goed. Wanneer
vanaf de 300 Hz gekeken wordt dan daalt de ampli~ude-grafiek langzaam.
wat erop wijst dat zich hiervoor een pool bevindt. In de
matlab-grafiek is deze pool weI te zien. De eerste piek in de
analyzer-grafiek en de daling geIijk erna kunnen ook teruggevonden
worden in de matlab-grafiek. aIleen Iiggen diepieken niet op dezelfde
frequentiewaarden. De rest van de beide grafieken zijn moeilljk met
eikaar te combineren. Het bIijkt dus dat de praktijk en de theorie
niet met elkaar overeenkomen. Oorzaken hiervan kunnen zljn dat
parameterwaarden die in het model gebruikt zijn niet goed bepaald
zijn. Of dat het model te veel geYdealiseerd is en nog verder moet
worden uitgewerkt. De moer. die in het model ideaal gesteld is. zou
een grotere rol in het gehele systeem kunnen spelen dan voorzien was.
Ook kunnen er fouten zijn gemaakt bij het meten met de analyzer. Het
was beter geweest om de metingen in een kleiner bandbreedtegebied te
doen. en dan meerdere metingen uit te voeren.
De eindconclusie van dit rapport is dat het opgestelde model nog
verder uitgewerkt moet worden om een betere vergelijking met de
werkelijkheid te krijgen. Ook zouden de parameterwaarden nog eens
gecontroleerd moeten worden. Wanneer er metingen met de analyzer aan
de robot worden gedaan moet dit in kleinere frequentiegebieden gedaan
worden. Ook moet een betere meetopstelling bedacht worden om de
- 48 -
overdracht van de robot te bepalen. Het zou beter zijn om eerst de
overdracht van de verschillende onderdelen apart te bepalen en daarna
pas van het geheel. Hieruit kunnen dan ook beter de fouten of
tekortkomingen van het model afgeleid worden.
- 49 -
LITERATUURLIJST
- Arends.Ir.J .• Reimert.Ir.F., Schrage,Ir.J.J., Inleiding tot de
regeltechniek. 1983, Nijgh en van Ditmar, 's Gravenhage.
- Bommel,L.V.M.van. Ontwerp,productie en de dynamische analyse van een
lineaire actuator, T.H.Eindhoven. oktober 1984, WPB-0067.
- Min,Ir.J.L .• Schrage.Ir.J.J .• Ontwerpen van analoge en digitale
regelsystemen, 1982. Nijgh en van Ditmar, 's Gravenhage.
- Mulders.Ir.P.C., Besturingstechnologie deel I. collegedictaat
TU-EindhoveIl, 1986.
- Mulders,Ir.P.C .. Oosterling.J.A.J .. Wolff.Prof.dr.ir.A.C.H.van der.
A model study of a feeddrive for a numerical controlled lathe.
Brugge. CIRP Annals 1982. vol.3/1, pp 293-298.
- 50 -
BIJLAGEN
Ia Verplaatsingsfunetie met optimale PID-regeling,
opgenomen met analyzer.
Ib Verplaatsingsfunetie met optimale PID-regeling,
opgenomen met gegevens uit SBC.
Ie Verplaatsingsfunetie met verkleinde D-aetie.
Id Verplaatsingsfunetie met vergrote D-aetie.
II Uitwerking model motor in MATLAB (a) en TRIP (b).
III Uitwerking model motor en taeho in MATLAB (a) en TRIP (b).
IV Uitwerking model motor,tacho en spindel in MATLAB (a) en TRIP
(b).
Va Verplaatsingsfunctie zonder gebruik van regelaar.
Vb Verplaatsingsfunetie met gebruik van regelaar.
VIa Overdrachtfunctie bij korte spindellengte.
Vlb Overdrachtfunctie bij lange spindellengte.
- 51 -
BIJLAGE Ia Verplaatsingsfunctie met optimale PID-regeling. opgenomen
met analyzer.
>::-4.2403 m TI AVG 1
550.00 m
REAL
200.00 m
•
t
./
I ,
I
I 1 ,
l II V
/
I
0.0
1.1::50.139 m
! I i
I :/ I ;r !
IA' i I !
I J i
I I I
I I
I i I
I I
I I , ; I I , , I
i I
I I , I
I i I
I I
1-0
fA: 1 EXPAND
_/ v--- I
I
I
( I I
I ! j
I I 1 I I
I I
I I I
! i !
\
SEC 45.000 •
BI.JLAGE Ie Verplaatsingsfunctie met verkleinde D-aetie.
>::-6.5558 III
TI AVG 1 AX: 79. '"798 III
fA: 1 EXPAND
1--- f --t--~-+----+-~ f I I ! I I i I
---r-t-H I I : 1
REAL I , '--+---+-------i-----+
L: -_--~
t~-+-,', -- I ~ )1 I i I
--L I :! 1-----4---+-+----.<i-----.---+----+-- i I ! 1
1- --t------+I_+_----+-_--i-i --W l I I , I ! ! I
250m, 00 +---O-;'-----+_ ! --II~-_+I----r-----+---t---I
0.0 SEC 70.000 III
1.2
BI,rrAGE Id Verplaats1ngsfunct1e met vergrote D-act1e.
>':-13.502 III
TI AVG 1 aX: 62.952 III
fA: 1 EXPAND BOO. 00 --r-r---r----r----r-~=::z:;lI"'---;:r::::::-:::===~
m I --------'" V.....·! I /- .------.---t--~
_~, I ___ --+-I _ ,II r :/ -~-: . V - e- j-- I
I .I+4----+-----+----i--L--------4!
I /1 I ! I - --,----.~_+------~--------~------4_----.~~----.--
I / i
REAL
.. -
I
-10.000 III SEC 40.000 II
1-3
. ,. . . I
" -, ,. .",,"w
... 130
-135 ill -140 a -145 9 -150
~ -155 B -160 ] -165
-170
a-Hies) ··"· ... -~:-rrT .. j·"·A __ -r-/
: ': ~ :~~.'~:. -: JI , I
........ c· " ••. ) ... : ..• : .. ( .. :. I , , •. I ••• I •. ~ •• : • ·:·(·1·:·········.····(···(··
..... ... ( ..... ) ... : ... : .. ( .. :., .) (. , . "' ... · . . . . . · . . · . . · . . · . . · .... '" " .......... -. • 0 o •
- •••••••• /# '" ... '" •••••••••••• · . . '" · . . '" · . . o • • o
'" . . . . . . . . ••••••• 1.· ••• ' ••• • ••• • •• 1 •• ·.1.\1 ••••••••• • •• · . . . . . . .
• • • • • • • t
. , , , , .
. . . . . · ·
( ..
...... -.. ",. .
... •• If
•• 'f'
. · . . •••••• \ •••• ' ••• 1 ••
,. " ~ . . ,. "I •• '. ",', t · .. · ..
· · ..... :. · ... : ... U . " {. \ . \ ; ......... : ..... ; ...... : .. ; .. ;. ;. ; ;. .. . . . ....... \ .. \ .. ~ .; .; li ::.. : : : : : .~::' : ; : : .,,, .. :.:.:.;;,, ..... ,, "".: .. :.~.:: ......... :,,) ]"'''' j:~'
· . -............ .
• •••••• ( ••••• ) ••• :. 0 .:- • ~ •• :. I .) « ••••••••• : .•••• I ••• 1 •• ) •• : •• :. (. I .: ••••••••• ) •••• ~ :\~ •• ( •• : •• : •• ;. , · . ,.. . : . . . : : ..... \:1 • ( •.••• ) •.• : ••• :' ( •• :. I .) ( • . . ,.. .. :. , .• , I ... I .. ) •. :' .:' (. I ':. . . • • , • ) .. , (. ( .• (1\:' . ~~ ,'. (
, . : : . ~: : . . . . . ~ . . . "\ . • ••••• , ••• « ••••• " .. - ........ .
• 1; , il I I 1 • • • • I •
" .... , . . . • " ••••••• I •••••• · . . . ... ... .. . 1 I I ,
.. " ....... . . . . · . · . •• I' ••• . ~ .. ;"; ';~\l
-175 101 102 103
. . 'I
1(
h a s e
o -20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160 10l
.. . , : ; : :J I.: ••••• ' ••• I,.~ ":_ ,;. <., .; .. , .. I If') t ••• ( ••• ( •• ~ •• ~ •• ~ •• ~ ( · .. . .. . ~ ~ I
o . . " .. " . . ... · . .. , . . . . . . .. . . . . . . . . '"~ ••• _II' ••••••••• · . · . ..... : .. : .. LL~U
I
I ~ . ~ . f
•• :. , ••• I • - -, • -? ,.:' 0:' ~. ! ':' ...... , " . . . , ( ... ( .. ( .. !, .!, '~' ~ J
1 • \ I t · . . . . ~ . · . . . . { .
..... ;- :' : {.. .. .. .. ~ ... ~ .. ~ .. ; .? . H1
• ( •••• I)' •• :- •• :. I (. ':'1.) (. o ••
· . · . • 1 •• • J . . - . .. . . . . ... , . , ..... , .................. . · . . . · . . . · . · • · . · . 'II' " ••• ( ••••• ) ••• : ••• :-. (I ':.1 .) ( .•...
· . , ... : ••..• I •• 'I .. )
.. . . . . . .. . . . . . ••• I • •••• 1. •• , ••••• ,. I • • '. I .\ , ••••••••• '. , •••• , ••••• \
• •• • I • • • • It. . . . . .. . . . ""
• I .. • t • t • • • f , , ; I .. . .... ) .... ( ... ( , . (, .: .. : .. :. (l
:~~o:. :1 • ": •• :.~. ~ .; •• , •••••• ~. I, • ~ •• : •• '"II' < l~" . .. .. . ~ I
•• : •• : •• : .. ('..f ••• ( ••••• ) .... : •• ,I: •• « •• :. I .) ( ...... ., ••• : ••••• I •• , I ' • ) I .: •• :. «. I .: .••••• , •• ) ... " • c ••• c.
4 0// J. ~
II--l
II
4 O~ .1 ..
! , I
I
"dill: HOD dB ARG deg FREQ rls Act: -111.55 -6.87486 18 Hax: 58 58 18888
Hin: -Z8tJ -288 18
U-2
-160
-170
-180 II a 9 -180
[ -200 d ~ -210
-220
-230
a-H (s) Vi
· . " . , .. ,
.~: :::::: · . · .
I $ : 1: ~ 1: ttl :- :; • t • '''I\~'' II I. . , .................. . ................ -............ 1-....... . ......... . .. : .. :::~ .. : .... . tf • til If't,
• • • • • • • • • II •
· . .. .. . . . .. ••••• 1 ••• 1 •• 1 •• ·.1.\11.· ••
: : : · . , , . · . . . . .. . ..
••••• I ••• I •• I. ,', 1.\ II,',. · . ·
.. ::::~.::: ::::: •• !" • • ,.. I' •• \ .. '. I I'. II I. .. • • • • • , • \ ...... I , I • t. \ • I • . . . .. . "" . . . . ..
: .':: . ,': ;':". . . . , , .. : :~ ... , · . . ....
If .', ••• '. , .' •• \ ,', •• ',-. 'I. , • _ .. t. • •• . · .. --N'" .. •••• r. , •• ~ ... " • I • I \ I I I • · . . .. ..
, I •
o • I • ••
· . . · 'I ' . · , ~.~
· 'I ' . , . , : I . . . .
.' '" , I. ,'. ,'. I · . ,',
, ,t, • ,
· ,
.. . . .. I • •••• ', I ,'. · . " . . . . · . , , , 0
• 0 · .. . o , . ; ; : : ; :, . , . . . . ... .... · · .. · . . .. .
• • • • • • • • 'I . . . . . . -...... -...... .
· · • I
. ,. , . ,.. . " . " . ·,\·,,··.·\'1\\·.'·
• t •• . . . .. . . . .. , • • , t • • • , •
•••• 1 ••••• ·.1.\11.·,.
1 '," ·
t ,' ...
.. . , . , ,
• ', •• '.' • I ',1 I
. ,
. . . ..... .
.. ' .... · .
• ,', • ,', ... t· ••• ·.·t·. , · . · . · . · .
I • "1 •• ,
.. ', ... ·
· . f' • f · . It , •• _ •••• , • · .. · . ...
... . . " I •• I ' J • I '.' I ,\ 1
· . · . · , • • t 1" . \ .. \ .. , .... '." • • I.
..... ..... . t.~. II •• ,... .
. .. , .... : ... : .......
-it\. : 't' J ~> '-,' I' '. It'. I r " . .,. : :
", I \' • , "
.... 0
:~: . · . • I • .' •• I •
100 101 102 103 1(
~ a s e
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
, . · . , · · ... , ~ ... ~ o.! 0 .;. ~.~ ~ ~ 'N:" ... ~ .... : ... :. '? .:. ! .:.:.:' . · ... - . .. .. . · ..... . . ,
•• : •• 0 .) 0 • ) • t • t .:.) I ( . t·· I .:. (,.:,.:.,
· . . ... • •••••• " •••• I • _ ••••
· .. . , . .. . .
• •••• I ... ( .. I •• :. < .) ( ( .:' • , • • 0
· . . . .. . •••••• , ........... 1 ........ ,
· . · .. · ..
='-.= · . · . - . "-.' .:. ,~ ,:. : .:..:.:. ... , ....... . . .... . : :
; \, . . . ., ... : ''Io.J : , . · .
. . - . . , ..... . · . · · . · . .. :, ... :,. ': .. ~.N 1:':':_, •• : •••• , ... ) • 1 ' t .:.) I ( •
• I. _,.' . t
: :::-.,..: : It •••• ~ •
: :::::.~: . - . ...,. - .. • p, , :. I: .:_ : :1: ~ .. , . Ie, , ,.
" , " .. , . · .
· . · " ....... . · . · . · . · . o. 0
· . · . o •
. . .. . · . .. (.. " •• :. .. (.. -: •• : t I
• 0
, ", ....
•• ". '1·" ( •. J •• :. c·)« <.: .•••••• :- ••• : ••• : .• ) .:. 1-:':':'· ~' • e .. •• < •• ( •• :. ':·1
• • t , · ... · .. .. . · . . . . ... ••••••••• ' •• 1 •• ·./.\1/.· ••• · . · .
o • · , • •••• I •• , « •• I' J:. (.) c c·:" ..
o • · . · ..
o • . . . , .. . . .. ..
•• I.e •• • ••• e •• \ •••• , ................ . • 'f J" , • • • o • •
. . . ' .. :::", : ~ : : : :: ,; •• III'" ~
e •••• '.\., •••••• ,. o • ·
o · . .. • : •••• : •• -: •• ) .:. I .. :.:.: ••••••• : •••• ) •• ) • I • I .:.) 1« • o ( •
, .. I •
o • . o ,
, . · .
, . · . o • · . " , ,
-160 100 101 102
II-3 10
Ha.: noD dB ABG deg FREQ rls Act: -186.214 -45.7728 36.8911 ftax: 58 58 18888
"in: -288 18
II-4
II a
20
10
o
· . · . • .. • • • • • • I ••••• _ ........ " •••
• • t •• •
· . · . · . · . · . , . . . .. . . •• II '., •• \' '" ',' \" \\ ........... . · . . . . . . ..
· . · .
:~:::: :! ... ~ .. : ':~~'I I", 'HI' II ., ... If ....
I .. ........ If. '" " • · . . , . . . . ".. .. , • • •• I,! t.. . f
;; >! l;,::!: ':' , ':' '! ':': ';':':" .. ' ,-:--,~: 'r:::'"
.::: : .. '-;..::::
. ...... . .
....... , 'I" .
. .. . · "H ... · , . . . · . . .. · . . ..
•••••• M' · . . .. , .... : ! I • r
. . . . . . . .
9 -10 [
· . · . . .. . . . · . . . . . . . . . . . . .. . . . ... ... . .. . . ... ~
· .
: t : : -,.. I 1
.. .... ; .. ; .. :.:.~;.~~ ............. ~.1.~.;.~~;~ ... · . . . . , .. · ... , ., f 1ft I.' .. . · . . · . · .
d · . -20 · . . . .. .
B • I ••• ( •• t •• : I (.)«.: ....
] · . · . · .
-30 ·I···~··I·,:,(·) ( < .: ••
· . · .
-40 100 101
0
-50
-100
~ -150
a -200 s e
-250
· . · . · , · · . · . · . · . · . . · .
• • I • • •
• • • I ••• I •• I • I'. I .. \ 1 I .f ...... . . .
· " . . ••• , ••••• 1 ••••• •• .
· · . . .. 1.\11.· ••
• • I I • · . . . . . ............... , .... " .. " . · , , . , . · . . . ., . ..... , ... \ ....... ,., .. \ ... ,
· . · . . , .. . t , 1: • • •• -300 ••••••• ,.1 ••••• ·.1.\11.· ••
-350 100
· . · .
101
. , ,.:."
. .: ... .
If." • ·
· . ..... ·
· . '"~
· "".
· . .. . . . . '-. . ',:.
· . • • :. " .: l .) _:_ . . :, .
· .
... . . . . " , . . ) .. ) . I . I .:. ) I ( .
, .. " ... ~~', .. .
• • : ••• :" II t .:. I · . , ': ' , " .. , ' I ' ~ -;-' I < ' , , .. ,<, , , ':' . < . .J1~: · .
· . · .
• • t,
· tt. ,
102
· · . 1', .' ... t .. . . i,'.',' ... · , ..
.
· ·
· " ... ". ." .. ,. " tt ......
, . , . . .. • , • I • ,
. . . . ..
103
. . , . . . . . . . 4 •• I .t ••
• • • • r t • " . , .. ,., ... , .... , ',,' • '.'" ' •• I .,' ,',' t •••• '." , ., • '1'1 •• ' •• ' 1\' · .. . .
• -' t t . · .. · ..
, .. . . . . . .
I • • • • I I I
.. . , .. •• ." \. '.' ',J •
. .............. ,." ......... ' ......... . .. \ ...... ,'.·.\.1 ... ,. .. , .. . . .
,'" . ,. ,", .. , " , ..
; "
HaM: ItOD dB ARG des FREQ 1'1 S
Act: -111.621 -6.8491 18 Hax: 58 188 18888 , .... " .. ",_ .. , · ......... -T·-.... - .. '· .. -·--'f· ..... --.... ~;--··--' ...... --r ........ '-·--; .... - .. - .. "--:--.' .... -... '~----:--.... ---;-.--....... ".~
~ ~ !
~ .. ,.-,-...... ---" .. -....... -....... -., ............. -.-----------....... --.............. .-,., ........ _ ................... , ....... ------. __ .. _---_.-. __ ........... -....... ~
-1 ------ j
-~ ~------,..---t--------~-" ....... ~, -~ --_11'" ...... , ~
." .. ~===== .. _ .... _-.... _"-_ .. _-m ... -.. - .......... _--........ --.. -........ ···---· .... · ...... -·· .. ·· .. t .. -----J ~ ... ~
----------= "in: -288 -288 18
II a 9 [ d B ]
~ a s e
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
a-H (s) V2
, · ......................... . · .. · .. . . · . · .
· . · . · . • I · . · . · . · .
• • • • • III • t • • • • •••• •• II • • •••
• I ••• '. \ I J • •• • , ••• I • .. I • I', I "" I 1,', •• , •• ,', , •• ', t ,} •• \ ,', I ,t, J, ' ••••• · " ... · . .. · . · . . . . . . .. ..•.• 1 ... 1 ..•.. ·.1."'.· .. · ,.. ·
• I
· . · .. . • • I ••• , . , .. . · ................... .
· . · . .. . . .. , , ....... \.,\\.,' . · , · . .. . " . ". .. · . . . . . . ..
• ••• It ••• 1 • • 1 •• ·.1.\ II.· ••• , , · . · ,
· .. · . · .. • • • III •• · . · . · . · . · . · . . ....,. .., .............. \, ................ ' .... \ .. , · . . . . . · . · · ·
. . t.. • • ., .. .. . . . . . . .. .
It '" •• Nt ••• 11 •• tt , •••••••••••••••• , ............ .
· . · . .. . . . · .. , . . ..
• '.' , , 't' • 't' 4 I '.' • ,,'" ,t •••••• I' ... . . , , . • •• I I
. '. · . · · · .. · . · .. . .
.. • • • • • I , '/ ,·,'.'.·.·/1\' · . . .. · t • , I. .. . .... · . ,. · , ..
. . , , . .. · .... , ... · .. '.·.I ... ~.· ..... , • t~ • ~ • \ •• \ • t • I ,'." I I.
-100 100 101 102 103
40
20 • •••• I ••• ( .. I ' .:. (.,. ( ( .: ..• • .~ •••• ) •• ) • I • I .:.) let . , , , ,
· .
· •• • i ~ ·
· • I • , ·
'. : a.' . ':.
· \'
· • I,
· . . . ... .,.' •• I •• i.e",' ·
. . .. · . . , ,. . , • I' ••••••
,' •• I. ,',
.: •• (t .: •• :.1
,
.'J ' , , . · . · , , . · , · , · . ','
10~
0 • ., ••• , ••• C- -I' .:. e·t c e·:····· .. : .... :,. ':.,) -:., ':.:.: ....... :- ...••.• '1·' .:.) 1(-····· ( •• , . -20 -40 -60 -80
-100
: : : : : :~ : ......... ,. ............ _'~"II' · . . . . . . . . . · ..... . . . . · . . .. .. . . .. : . . " . .. . . . ,''" . · .. . . . .. . .. •••• , • •• 1 • • 1 • • '.1.\ 11.'.1 I , . , · ..
, · • •••• I: I · · . . • ••••• I •••
· , . . .
• •••••••••• 41 41 • _ •••••••••• · , · .
, . · . • ••••• ta ••
· . . . · . . . . . · . . .. . · . ,.. .. . ... .. ... . .... . . .. , " • • • lit •• , , , ...
• ... • I • , , . , , . · .
· . . .. " . . '" , ............. ,.. . , , • • • lit • • • I •• · . . ... ....... , .. \.,., ... \',. · , · .
, · . . ... t ............. I I I tl' ••••
•• '1'" (. -I' .:. (.) (e·:··· · .: ...• : ... : .. ) .:. I .:.:.: •...... : ... · ( · '.
-120 •••• ·1· •• (. ·1· .:.«.) (<< .: •• •• : .... : ... : .. ) ·:-1·:·:·:···,·· .:- .. ,) .. ) 'I"':') IC······ C · " , . · . , , · . , . · . .. "
• t • • •• · . . . , , · . . ... -140 ............ , ...................................................... .
-160 100
• •.. ",., • I' .,.... • " .. . . . . .
101 1II-3
, . · . · . . .. · .... a ••••••••••
• • • •• & · . . .
103
, : • •••••• I' .I'~.".' · . . .. .. • • ... It' •
: : : :,::
104
·2
NaJl: I10D dB Act: -183.978 flax: 58
ARG deg -15.4176 58
FREQ 'lIs 18 18888
: .. --..... - .. -......... -.~-.. ; ... -.----.~--.-... - . ..--r~--... - .. ···· ... ··r----... ·· .. ; ... ------r .. ----r' i
~ .. 1 :
,.-_ ... __ .. ,,----.. _-----------....
. , : . ~ . . : ·'u·· .. · .... ~ .. ····_·····,l· __ .. _ ... ·, ,~ ... _ ............ ______ ,~" ____ ..... , ..... _ ........ :.._ ... _. __ .. ____ ... _ ... ----..a_ .... _._ ..... ____ ~ ____ ~
Hin: -288 -288
II a 9
[ d B ]
'-'0 '" 10
o -10
-30
-40
-50
-60
· . , , •• t • , • , •• I.
.. . .... ,'.,,\/,,'1f , . · ,
· • t ... , ...... , , •• I " • I • ,' .. I .. \ , I .t ....... ~
· . , , · . , . .. . .. .. .. .. ..... , ... , ....... \.,\\ .... . . · .... · .. · · , , .
....... · ·
; s': t t~~:t:: t : ; : : : ': : t'\ 1:' '\ t , 1: i ,!:" f! t
! !!!!~ ~! . :::::: =.., :: • • .......... .. It • .. a ..
.... ',. ""~ .... , ... !.:., .... !,. ~~i-..t~ .. ~ ,; ,!.\ :; ...
. . ., , .. ~: : :::: .. ----.. .. ...... t ;-". .. t , J
: : : -~.J It .. .. . .. .. ... " •• 't' .. 't I · . . . . . " •• ' I . ............... ·"·'·1'.·.·' .. .
t ..... . , . ............................................................................ · . .. .. .. .. ".. .. . .. .. . .... · . · · .. , . , , ,
• I • • • 1"" •• .. .. .. .. . .. .. . . . .. .. .. .. ... . .. " ........ " ..... , ......... _ .... " , , t ., ,t t • • " J •
· . · • • , it , • • •
• I ' •• < •• I •• :. ( ,) ( ( .:... •• , •• = .. , .: t • ':' ., .:. , ': t :' :.
, . , t , , •• _
•••• - •• - • • ... • .... I • · . · . . . ... · , . . , . ..... , ... \ ... " .. \.,\\ .... , .. . , .
, , .t. . , , t •• , •• ,. . , ,
.. . . , ',' • , '.' " ',' 'I • " I ".,' "
, • , t • " . ..
. · , , ,.
........... , ••••••••• t •••• " I I , I . , .
.. .. . . . . ••• :, •• " ,.) -1-,-:1) 1( •
· . ,
· . t '"
, ., , . "
••••• ,/,-:",,','/1\' . .
, . , t :' t I: !', " t ,
• .. .. I .. .... ' ....
( ,
. \ .
It • • ..
:. : : ~
. , "'J • t .... It "
.. • 10 ... ..
t t t : It
I, It .. I' .. I .' ..
. . . ~ .. I ..... '."
-70 100 101 102 103 10 o
-50
-100
~ -150
a -200 s e
-250
-300
-350 o
· . · . · . . . . . . ..
.... J ••• I •• I •• ·.'.\II.· ••••• · . · , · ·
, . . . -.... ..... . ! -:--.;. ... : :
; ;)S; ........... ,t .~ •••••• ~ ••• :
,. -... . -.....,. :
· , . ,
-"....,.,. : ......... +....=_= it I.
, .,. ••• t ............. ,.. 'it
,,', ••• ' •• ,1,.\ .'" "':':" I .......... ~ ..... "I.,.\*'r'~ •• • 1, •• ,.,. : : : : ::: -1\ i .. . . . . . . . . , ..
• • • • 'I' • .•... / ..•.. ·.1.\1'.· ....... · .. · . . . , , · .
.~., , . '" ..., • t", ,\ ,'. I t' t " ' •• .
, . . , ,
. . .. , .. . • • • • • it ••
•• \ •• \.1.1.'.\1/,.,
· , · ., , ., .,. ·\t , .. ;.
, " , • • • • • • j , , • , , ............ , ............. , ... . .... ., .. ,' .
, , · . · , .. · .. , · , , .. . . ... .f 'I' I, \. ~ I' '.' \'1 \\.,'.
, , ·
, . , .
'" . . . . .. • '.' • , '.' , ' ... 'I '.' • 't''',' • .
• 9' , • ..., ••
" , " • • Itt ,. I ,
••••• 1 ••••• ·.1.\11.· ••••••• ' •••• • ••• ·,.\.· •• ".·.· •• . . · , · .
1
, . . .
· , · . . , . .
· , I •• " • . • I • • I .
. , it' • ., . · \ .. \ .
· · · . · , ... I ••••
· · : · · · · · . . , I '1 '.' I 1\ • . ',' \ .
" · · · . , , . · , · , · · · , . · · · , : · , , · · I , I ... \ II • . , , .' . I. ,',
: . , . . · . · ,
,I, I · , , .
· , , ',II
· · ,''I' •
rtaa: rtoD dB Act: -122.141 ttax: !it)
AHG deg FREQ rls -385.126 3822.14 !it) 18688
;"--,,---:---~-,,--,,---:----,,!, ...... -,.~"""",,--.......--.--,---",",,,!,,--........,~
} ... ! '1
~
-; ;
j
4 4 , -1 'j '1
_""""~"~"_~ __ II",""!"! ___ '~+'~
.... ---.. ----, .. -. ....-oo! ~
~ ""'1 -1 ....
---.:
-.~ \_ .. ,_ .... _.w .. __ .. " ,;, .. _, .. .,_.--6.,,., ...... ~._ ..... __ ..i..._ .•.• ~ .. _ ........ -4. ... _ ......... _._. _ ........... __ i_." ... __ .. _ •• _~. ____ ..i.-................ -...l..-__ .... .
Hin: -288 18
IV-2
a-H (s) V3
-30
-40 • • . I ..• ( •.•.. :. ( ., ( ( .: •..
, . . ,,'~.:.I':·:·:' .: ... . ~ •. ~ • I • I .:. ) I « '
:----:~ .. ... ~ ... · . , .. -=-. . . . · . . . . -,..,., . .. . . -50 • •••• f ••• ( •• , •• :. (. t i (.: ........ :. I .: ••• : •• ) .:. , .:.:.: ....... , • ) • t ~ • t • , .:. ) I ( ••... · · .. :::.. . ~ .. · .... .~:: ::::~ , . . .. ~ t ! t I -60 ......................... , ..... . •• • _ • ., .. I ...... .. , . -.......... ., .... , .
11 a 9
[ d
-70 -80
-so B -100 ] -110
~
-120 -130
100
250
200
150
100
· . · .. . .. . .. . · . · . . • • • • • • I •
• ~ ••• , •• I •• ·.,.\II.· ••
· I .... It .... t •• "
.. . . • I ••• (. 1":'« .) ( ( .: •.
. ,', "
· . .. · . · ,', ,',.\ .' .. , ......... . · . . ..
· , , ... •• I •• W,"., •
· .. · ..
· . .
• ,!, ... : .... : •• :. I .:.:.: ..
· . · ••• , ••• (- 1":,(-)«,:" ":' · .: ... : ... ) .:. , .:.:.: ... · . . · "
............ " .. , ......... . ... " .,. ,I •••• " M ...... .,
• t •• t • · .
101
· . · ............ , ............. .
· . . .. . ..... ••••• 1 ••• 1 •• 1 •• ·./.\ II,",.
· . · . · · · · · . · . . . , .
••••••• 1 ••••• ·.1.\ I I,; ••
... ·
• t;. .. • t
· . ·
102
· .. " . .. , . ................. \.1.1.·.·.· ..... · ..." .
· . ,' .... ', . · .
· . · · .. .. ,'_ • \ .'. i .r. l;. ' ..... .
" " .. . • • t • t t , · . · . · . .
. . " .. . , . .. . . .. · , .. .. , .
• • I. " .. ., , , • \ • I ...... \ • , •
10 • .. •• . .. · " .. . •••• "5 •
, : .. , . ) .. ~ . I . I ':. ) I ( ..
• .: •••• ) •• ~ • 1 ·1·:·) 1('
...... ·
.. . ', ...
· ".' ... ·
• •••• t_ ••••
• •• • t .
.. .
103
.. . . ... . .\ .t\ .1.1.',\ II •
, . . . . . . . . .....
t\ •• l,. i., ,t,\ II.
\;A; hJ\
..: .
· (.
: ; \. . I '.' ,'\ .. ,,' : \:
.:" ( •. : .. ~ I
:\: : : .\: :
., ........ \ " " "'~,
,", .'.1
• I, /, ,',
· . ,
a 50 · · . · . · .. · . . . . ~. · .. • • lit I • t .... fU ......... tu .. . J! !!
• I • , f ~ I I .' I "*",
S · . · .. e 0 · . · . · . • • I • 't" \ 'I \ \ '.' •
-50 · . · . · . · . · . t: •••
• ............ I • . . . . '" 1.\11.' •••
· , · . · . · . · .
· .. · .. . . ... , •• , ••• '.' • I,. '/ t,' Itt' ,1.' • · .... .. t • t ..,. I •
~. : ; :;;::~ t •• ..... ,. , • t. t • t.
. , . ':' ... : ... "" \ ':' ! .:.:':' . · " ...
, . · . . .. .. • It " , • 'I ' , I ' I • t '.' I
• t t t •
"~"""" ..... '.\
- ::-....:.
· · \. . . . ',' . \. ','
· . , . ., ••• " •• 1.
-100 ~ __ ~ ______ 4J.~~~,~ __ ~ __ ~~~.~~ ____ ~~-L~~~~ __ ~~~~~~
o J 1
Ha,,: WJD dB Act: -39.538b 11ax: 58
ARG deg -58.8b81 58
FREQ rls 58 4999.99
~-'-"-"-"""'-'M':-""'''''''''''-r--''---r--~--r''''-''''''''''T''--'''' ... ; .. '.,.--r·-··--'· ...... '..,...---:·~--·l
~ ~
, •• ".<~ ••••••••••• - •• ,-............ - ....... , •••• ----.--...... _ ........ _,_ ....... __ ........ __ ....... " ........................................ -----.----.-. .. --.... --------~
~ .. l
"'1 1
~
~__*""'n"UIf.~It<.~"---+-~im.-""".'"*-----,At-lnal--iwuu ....... "'~liUI--i . . . . .... _----, ---_. -. . . . :
~
-i 1 . ..., -.. : '" ......
~ ~. -~,."._. __ ._._.''"._.; ••••• _. __ , •••••• '' .. ....i. ......... ,.,." .. _._..,;. ..................... _ ...... _ •••• __ .... , ..... .i.... __ ...... _ ... _ .. ".i. ....•. ___ .,.,i. ..... ~_:.... __ , ....... '-____ ..A......_ .. --..J 'fin: -158 58
IV-4
BI,DLAGE Va Verplaatsingsfunctie zonder gebruik van regelaar.
X: 0.0 Tl AVS 1
0.0
tl.: 420.22 m
v-a
'(:3.5820 fA: 4
SEC 900.00 •
BIJLAGE Vb Verplaatsingsfunctie met gebruik van regelaar.
X: 0.0 TI AVe 1
3.5000
REAL
0.0
~
0.0
t>:21L82m Y:3.5665 fA: 1
.-. '--' I""" ._- --f--- . -- ~!--
( I r---r-I
I -f-o--- '---- -
. I I ---l---i---t--+--
+---t !----t-·--t-+--+- ,
I I I I I i -1-' --t---t-·---t~·-~-l---t-·- --
I I J I I I
SEC 900.00 ..
V-I
BI.ULAGE VIa Overdrachtfunctie bij korte spindellengte.
TRANS 1 fA: 10
I f - 1 B.OOOO • t __ --+_._ ... __ ._; ____ 1 ___ • _ --4-__ . .-.l __ ~ __ ....L ___ _
! : !
, ,
---i"-_._'"-"..-...i
MAS
.. -.--..... _.- --' .. ----- ~--.--,.-;..--.- .. -'-.--- .. _._---,
0.0 . t" . -. - -~. 1 -- j . -.-.--~ .. ---,
200.00 HZ 900.00
TRANS 1 f.A: 10 180.00 -r---r-'-'--r'
, , .
~----. --~.---.--t----IIi----t------""""'- ----r I. , i :
PHASE
-180.00 --------1f----+--.-i--.-...s;.----+---+----+---i'
200.00 HZ 900.00 VI-O
BIJLAGE Vlb Overdrachtfunctie bij lange spindellengte.
TRANS 1 fA: 10
! 5.0000 J- ---t-
MAG
0.0 200.00 HZ 900.00
TRANS 1 fA: 10 180.00 T -.-.-y--------.,----,--,......,;;;;c
-II II, I ~ I "' +- I' +-'---+',-, ---1 I ;1
I I j
PHASE
; j i
-180 .00 L-+-i----~~-_1_L...--+__-___t---t---...., 200.00 HZ 9OC.OO
VI-l
