SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP

Diskreetaja süsteemid: mudelid, analüüs, modelleerimine, parameetrite hindamine

http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov

eduard.petlenkov@ttu.ee, TTÜ ICT-502b, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut

Arukate süsteemide keskus

Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale

Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-

väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.

Pidevaja süsteemi olekumudel

îíì

=+=)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

.

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)(;

)(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

ty

tyty

ty

tu

tutu

tu

tx

txtx

tx

mrn

!!!

kus A – nxn; B – nxr; C – mxn;

ïïî

ïïí

ì

=

+= ò¬

-

-

¬-

Cx(t)y(t)

)()0()(0

)(min

)(

)0(min

t

tuesundliiku

tA

xevabaliiku

At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt

Ekvivalentne diskreetne süsteem (1)

Antud on pidevaja süsteemi olekumudel

îíì

=+=

)0(),()()()()(

xtCxtytButAxtx!

)()()()()()(

k

k

k

tytytxtxtutu

®®®

tk-1 tk tk+1

D/A A/DSüsteem

Kell

u(tk) u(t) y(t) y(tk)

kus A – nxn; B – nxr; C – mxn.

Lähtume pidevaja olekumudeli lahendist

ò -+=t

AAt dtBuexetx0

)()0()( ttt

● tk→t (üleminek)

ò -- +=t

t

tAk

ttA

k

k dBuetxetx ttt )()()( )()(

● t→tk+1

ò

ò+

++

+

++

--

--+

+=

=+=

1

11

1

11

)()(

)()()(

)()(

)()(1

k

k

kkk

k

k

kkk

t

tk

tAk

ttA

t

t

tAk

ttAk

tBudetxe

dBuetxetx

t

tt

t

t

NB! tk → tk+1 u(t)=u(tk)

Ekvivalentne diskreetne süsteem (2)

kus

),(),()(),()( 111 kkkkkkk tutttxtttx +++ G+×F=

ò-

+

-+

+

+

×=G

=Fkk

kk

ttA

kk

ttAkk

Bdett

ett1

1

01

)(1

.),(

,),(

tt

Eeldame !,2,1,01 ==-+ khtt kk

teisiti .,2,1,0 !== kkhtk

îíì

=G+F=+);0(),()(

)()()(xkhCxkhy

khukhxhkhx

kus

,

,

0ò=G

=Fh

A

Ah

Bde

e

tt

Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)

ekvivalentne diskreetne süsteem.

Probleem – h valik!?îíì

=G+F=+)0(),()(

)()()1(xkCxky

kukxkxh!

Olekuvõrrandi lahendamine: k=k0 (→ tavaliselt k0=0)

)1()()()1()1()2(

)()()1(

0002

000

000

+G+FG+F=

=+G++F=+G+F=+

kukukx

kukxkxkukxkx

å-

=

---

---

GF+F=

=-G+GF+F=1

10

01

0

0

0

00

)()(

)1()()()(k

kj

jkkk

kkkk

jukx

kukukxkx !

Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)

tk tk+1

t ?ò-

-

=G

=Fk

k

ttA

k

ttAk

Bdett

ett

0

)(

.),(

,),(

tt

),(),()(),()( kkkk tutttxtttx G+F=

kus

NB! h valitakse Shannon-Kotelnikovi teoreemi alusel.

Näide No.1 Φ ja Γ arvutamine

îíì

=+=),()(

)()()(tCxty

tButAxtx!

[ ].01,10

,0010

=úû

ùêë

é=úû

ùêë

é= CBAkus

Leiame Φ ja Γ üldkujul

úû

ùêë

é=+úû

ùêë

é+úû

ùêë

é+úû

ùêë

é=+++==F10

10000

000

1001

!2

22 hhhAAhEeAh !!

òò úû

ùêë

é=úû

ùêë

é×úû

ùêë

é==Ghh

A

hh

dBde0

2

0

2/10

101

tt

tt

[ ] )(01)(

)(2/

)(10

1)(

2

khxkhy

khuhh

khxh

hkhx

=

úû

ùêë

é+úû

ùêë

é=+

Φ Γ

CΦ ja Γ arvutasime eAh astmerea alusel.

Meil on antud olekumudel

îíì

=G+F=+)0(),()(

)()()1(xkCxky

kukxkx

Soovime leida ülekandemudeli (sisend-väljund mudeli).

Võtame kasutusele operaatori z

)1()()1()()(

1 -=

+=- kykyz

kykzyky

)()()()()()(

)()()()1(

kukxzEkukxkzx

kukxkzxkx

G=F-G=F-

G+F==+

)()()()(

)()()(

)(),(

1

)(

1

kuzECkCxky

kuzEkx

zHuyzH

zHux

!!"!!#$

!"!#$

GF-==

GF-=

-

-

H(z) – ülekandemaatriks– m x r.

Eeldame, et m=r=1 → ühemõõtmeline süsteem.

)()()(

1)()()()()(

11

11

1

1

kukyzH

zazazbzb

zAzBzAzBzH

nn

nn

=

+++++

==

=

--

--

-

-

!!

ülekandefunktsioon

),()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-=-++-+ !!

diferentsvõrrand.

Kui u(k)! on antud, siis y(k) !on leitavad

)()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-+-----= !!

Näide No.2

îíì

=G+F=+

),()()()()1(

kCxkykukxkx

[ ].01,2/

,10

1 2

=úû

ùêë

é=Gúû

ùêë

é=F Chhh

kus

h!

úû

ùêë

é---

=úû

ùêë

é-úû

ùêë

é=F-

GF-= -

101

101

1001)()( 1

zhzh

zzE

zECzH

Olgu h=1, siis ,1011úû

ùêë

é---

=F-z

zzE úû

ùêë

é---

-=F- -

1011

)1(1)( 2

1

zz

zzE

[ ] =-

+=

úúû

ù

êêë

é×úû

ùêë

é-

--

= 22 )1(

)1(21

121

1011

)1(101)(

z

z

zz

zzH

21

21

2 215.05.0

125.05.0

--

--

+-+

=+-

+=

zzzz

zzz

)()(

215.05.0)( 21

21

kuky

zzzzzH «

+-+

=--

--

)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-=-+-- kukukykyky

)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-+---= kukukykyky

[ ].)2(),1(),2(),1()( ----= kukukykyfky

Süsteemi järk on 2.

8115.4245.41125.032115.0025.010001000000)()1()2()1()2( kykukukykyk ----

u(k)=1, k≥0

1 2 3 4

8

6

4

2

y(k)

k

reaalaeg !?

h=1 → k=4 → kh=4h≠1 → k → kh=t

z-teisendus

{ }!,2,1,0);( =kkx jada

å¥

=

-=0

)()(k

kzkxzX

kujutis originaal

1952 – 1958Jury

BarkerTsõpkin

îíì

=G+F=+)0(),()(

)()()1(xkCxky

kukxkx

å å

å å¥

=

¥

=

--

¥

=

¥

=

--

G+F=

=úûù

êëé -+=+

0 0

0 0

)()(

)0()1()1(

k k

kk

k k

kk

kuzkxz

xkxzzkxz

)()(

)()(

0

0

zUzku

zXzkx

k

k

k

k

=

=

å

å¥

=

-

¥

=

-

[ ] )()()0()( zUzXxzXz G+F=-

!!! "!!! #$!! "!! #$ )()()0()()( 11 zUzEzxzEzX GF-+F-= --

GF-= -1)()( zECzH

Mõned z-teisendused:

,1

)(0,1)(-

=®³=zzzXkkx

)()( kxtx h¾®¾[ ]

ïî

ïíì

+=

=

=

ò¥

-

wt js

dtetxsX

txLsX

st

!0

)()(

)()( [ ]

ïî

ïíì

+=

=

=

å¥

=

-

Jr jz

zkxzX

kxZzX

k

k

0)()(

)()(

Aeg - pidev Aeg - diskreetne

x(t), t ≥ 0 x(k), k ≥ 0

z=esh, h-diskreetimissamm

2)1()(0,)(

-=®³=zhzzXkkhkhx

alati

alati ei saa !

s zR=1

Näide No.3x(k) arvutamine X(z) alusel.

ïî

ïí

ì

=

+-=

+-=

å¥

=

-

--

-

0

21

2

2

)()(

5.05.1110

5.05.110)(

k

kzkxzX

zzz

zzzX

10 5.05.12 +- zz!+++ --- 432 5.171510 zzz

- 21 51510 -- +- zz21 5150 -- -+ zz

321 5.75.2215 --- ++ zzz-32 5.75.170 -- -+ zz

432 75.825.265.17 --- +- zzz-43 75.875.180 -- -+ zz

x(0)=0x(1)=0 ← x(h)x(2)=10 ← x(2h)x(3)=15 ← x(3h)x(4)=17.5 ← x(4h)

H(z)u(k) y(k)

U(z) Y(z)

Y(z)=H(z)∙U(z)

Süsteemifunktsioonid diskreetaja süsteemides (nullised algtingimused):

)()(

)()()(

)()()( 1

1

-

-

===zAzB

zAzBzH

sAsBsH

Lugeja järk võib olla nimetaja järguga võrdne

Neg.astmete puhul: lugeja ja nimetaja järgud võrdsed

[ ]

úûù

êëé=

=

-

-

ssHLtg

sHLth)()(

)()(

1

1 [ ]

úûù

êëé

-×=

=

-

-

1)()(

)()(

1

1

zzzHzkg

zHzkh

H(s)/ H(z) –ülekandefunktsioon, h(t)/ h(k) – impulsskaja, g(t) / g(k) – hüppekaja.

Süsteemide modelleerimine (1)Vaatleme reaalsele süsteemile (matemaatilise) mudeli koostamise protsessi:

● Matemaatilise mudeli koostamisel on aluseks antud rakendusvaldkonnas kehtivad seaduspärasused ja süsteemis toimuvad protsessid ning tulemuseks on modelleeritava süsteemi mudel.

● Mudel oma ülesehituselt on kas ülekandemudel (ehk sisend-väljund mudel) või olekumudel (sisend-olek-väljund mudel). On oluline märkida, et sisend- ja väljundmuutujad on reaalsed ning seega üldjuhul mõõdetavad.

Süsteemide modelleerimine (2)● Reaalse süsteemi mudeli koostamisel on probleemiks mudeli parameetrite (ehk kordajate või koefitsientide) määramine, mida nimetatakse parameetrite hindamiseks.

● Parameetrite hindamisel on aluseks süsteemi muutujate (tavaliselt sisend- ja väljundmuutujate) mõõtetulemused ja mudeli struktuur. Parameetrite hindamine võib toimuda ka reaalajas.

● Parameetrite hindamise baasmeetodiks on vähimruutmeetod. Johann Carl Friedrich Gauss`i poolt 1795.aastal välja pakutud ja tema poolt planeetide orbiitide määramisel kasutatud meetod.

Süsteemide modelleerimine (3)● Meie kõik tunneme vähimruutmeetodit kui ülemääratud lineaarsete võrrandisüsteemide ligikaudse lahendamise meetodit.

● Sõltuvalt mudeli kujust on lisaks klassikalisele vähimruutmeetodile süsteemide modelleerimisel kasutusel ka mitmed selle meetodi modifikatsioonid.

● Praktikas on olulise tähtsusega rekurrentne vähimruutmeetodi arvutusskeem, mis võimaldab mudeli parameetrite hindamist reaalajas.

● Süsteemide modelleerimisega seonduvad märksõnad: system modeling, system idendification, parameter estimation, least-squares estimation.

Parameetrite hindamine - süsteemimudelParameetri hindamise probleemi esitamisel lähtume skalaarse lineaarse statsionaarse süsteemi diskreetaja mudelist kujul

)k(u)z(Bz=)k(y)z(A 1-d-1- (*)

kus

m-m

2-2

1-1

1-

n-n

1-1

1-

zb...+zb+zb=)z(B

,za+...+za+1=)z(A

ja d hilistumine mõõdetuna diskreetimise sammudes.

Lineaarse statsionaarse süsteemi mudel võib olla antud ka diferentsvõrrandi kujul

)--(...)2--()1--()-(...)1-()(

2

11

mdkubdkubdkubnkyakyaky

m

n

+++=+++

(**)

Eeldame, et y(k) ja u(k) tähistavad signaalide variatsioone s.t. reaalsete signaalide Y(k) ja U(k) kõrvalekaldeid väljakujunenud väärtustest Y∞ ja U∞

.Y-)k(Y=)k(y,U-)k(U=)k(u

∞

∞

Parameetrite hindamine seisneb polünoomide A(z-1) ja B(z-1)kordajate ai ja bj hindamises u(k) ja y(k) mõõtetulemuste alusel, eeldusel, et polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on teada.

Parameetrite hindamine - vähimruutmeetod

Parameetrite hindamisel enamkasutatavaks meetodiks on vähimruut-meetod. Vähimruutmeetodi tuletamiseks lähtume matemaatilisest mudelist kujul (**). Ajahetkel k on meil olemas järgmised u(k) ja y(k)mõõtetulemused:

...),2-k(u),1-k(y

...),2-k(u),1-k(u

Kui teame polünoomide A(z-1) ja B(z-1) kordajate hinnanguid ai ja bj on võimalik mudeli (**) alusel hinnata (prognoosida) süsteemi väljundit

).m-d-k(ub+...+)1-d-k(ub+

+)n-k(ya-...-)1-k(ya-=)1-kk(y

m1

n1

Väljundi hinnangu vea defineerime järgmiselt

),1-kk(y-)k(y=)k(ekus y(k) on mõõdetud väärtus.

Arvestades eelnevat on mudel (**) esitatav kujul

),k(e+)1-k()k(=)k(y T Qj

kus φ(k) on andmevektor kujul

[ ],)m-d-k(u,...),1-d-k(u);n-k(y,...),1-k(y=)k(Tj

(***)

1)-(kΘ on parameetrite vektor kujul

[ ]m1n1T b,...,b;a,...,a=)1-k(Q

ja e(k) väljundi prognoosi viga.

Eeldades, et meil on piisavalt u(k) ja y(k) mõõdetud väärtusi, moodustame

─ andmemaatriksi, mille ridadeks on andmevektorid

)1-N+d+m(,...),1-d+m( TT jj ja

m+n>N (hinnatavate parameetrite arv);

─ parameetrite vektori Q─ väljundite vektor Y, on veeruvektor, mille elementideks on

väljundi mõõtetulemused y(m+d), ... , y(m+d+N);─ veavektori E, on veeruvektor, mille elementideks on

e(m+d), ... , e(m+d+N).

;

Mudel (***) on esitatav kujul

.E+=Y FQ

)-Y()-Y(21

=EE21

=I TT FQFQ

saame, et selleks tuleb lahendada normaalvõrrandite süsteem

,Y=ˆT FQFFmille lahend on esitatav kujul

.Y)(=ˆ T FFFQ -1

Saadud tulemus ei ole kasutatav reaalajas, kuna eeldab teatava aja vältel mõõteandmete kogumist ja alles siis on võimalik saada parameetrite hinnangud.

Järgnevalt lahendame parameetrite hindamise ülesande vähimruutmeetodil, minimiseerides vea ruutu

Saab tõestada, et vähimruutmeetod on esitatav kujul

[ ],)1-k(ˆ)k(-)k(y)k(K+)1-k(ˆ=)k(ˆ QjQQ

,)k()1k(P)k()1k(P)k()1k(P)1k(P1)k(P T

T

÷÷ø

öççè

æj-j+l-j-

-l

= -

,)k()k(P=)k(K j

kus φ(k) on andmevektor,

Θ(k) ja Θ(k-1) on parameetrite vektorid,

P(k) ja P(k-1) on (n+m)*(n+m) parameetrite hinnangute kovariatsioonmaatriksid,

K(k) on kaalukoefitsientide vektor,

λ on mälutegur (λ<1).

Parameetrite hindamine -vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid

Vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid:

1. Mudeli parameetrite algväärtustamine;

2. Meetodi koonduvustingimused;

3. Sisendite ja väljundite väljakujunenud väärtuste U∞ ja Y∞ hindamine;

4. Vähimruutmeetod ( ja selle erinevad modifikatsioonid) on realiseeritud ja kasutatavad rakenduskeskkonnas Matlab/Simulink.

Rekkurrentse vähimruutmeetodi kasutamisel on probleemiks parameetrite algväärtustamine. Otstarbekas on valida algväärtused järgmiselt:

.1kus,I)0(P,0)0(ˆ

>>aa=-=Q-

Vähimruuthinnangud koonduvad parajasti siis, kui on täidetud järgmised tingimused:

- polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on antud;- u(k)=U(k)-U∞ ja y(k)=Y(k)-Y∞

- E{e(k)}=0 ja e(k) ei ole korreleeritud andmevektorielementidega s.t. e(k) väärtused on statistiliselt sõltumatud.

Järelikult põhiprobleemiks vähimruutmeetodi rakendamisel on U∞ ja Y∞ väärtuste hindamine ja mudeli (**) modifitseerimine.

,C)mdk(Ub...)1dk(Ub)nk(Ya...)1k(Ya)k(Y

m1

n1

+--++--++-----=

Mudeli (**) esitame kujul

kus ¥¥ +-+++= U)b...b(Y)a...a1(C m1n1

Sisuliselt on vaja laiendada andmevektorit φ(k) lisades lõppu ühe elemendi väärtusega 1 ja samuti tuleb lisada parameetrite vektorile

lõppu üks element – parameeter C ning siis võib korraldada kõik arvutused sisendite ja väljundite reaalsete väärtustega.

1)(kΘ -ˆ

Parameetrite hindamine - üldistatud vähimruutmeetod

Järgnevalt vaatleme diskreetaja süsteemi parameetrite hindamist juhul, kui süsteem kirjeldub stohhastilise mudeliga

kus

ja d on hilistumine mõõdetuna diskreetimissammudes ning v(k)valge müra, matemaatilise ootusega null ja dispersiooniga σ2.

Vähimruutmeetod ei ole otseselt kasutatav, kuna v(k) on mitte-mõõdetav.

,)k(v)z(C)k(uz(Bz)k(y)z(A 11d1 ---- +=

nn

11

1

mm

11

1

nn

11

1

zc...zc1)z(C

,zb...zb)z(B

,za...za1)z(A

---

---

---

+++=

++=

+++=

Üheks võimaluseks on kasutada v(k) asemel väljundi prognoosi viga

)1k(ˆ)k()k(y)k(e T -Qj-=

ja laiendada andmevektorit ja parameetrite vektorit järgmiselt

,)nk(e,...),1k(e

);mdk(u,...),1dk(u);nk(y,...),1k(y)k(T ú

û

ùêë

é--

--------=j

[ ].c,...,c;b,...,b;a,...,a)1k(ˆ n1m1n1T =-Q

Nüüd võib kasutada polünoomide A(z-1), B(z-1) ja C(z-1) kordajate hindamiseks rekurrentset arvutusskeemi, vastavat meetodit nimetatakse üldistatud vähimruutmeetodiks.