INLEIDING TOT DE KWANTUMMECHANICA...inleiding tot de kwantummechanica 3 Fundamentele constanten...

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K

I N L E I D I N G T O T D EK W A N T U M M E C H A N I C A

2 jan dezider kees koomen-majernik

Fundamentele vergelijkingen

De Schrödingervergelijking:

ih∂Ψ∂t

= HΨ

Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking:

HΨ = EΨ

Standaard Hamiltoniaan:

H = − h2

2m∇2 + V

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg:

σxσp ≥h2

Paulivergelijking:[1

2m(σ · (p− qA))2 + qφ

]|ψ〉 = ih

∂

∂t|ψ〉

Diracvergelijking: (cα · p + βmc2

)ψ = ih

∂ψ

∂tPauli matrices:

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)

Algemene onzekerheid:

σAσB ≥∣∣∣∣ 12i〈[A, B]〉

∣∣∣∣2

inleiding tot de kwantummechanica 3

Fundamentele constanten

Constante van Planck: h = 1.05457 · 10−34 Js

Gravitatieconstante: G = 6.672 · 10−11 m3/kgs

Constante van Avogadro: NA = 6.022136736 · 1023 1/mol

Lichtsnelheid: c = 2.99792 · 108 m/s

Massa van een elektron: me = 9.10939 · 10−31 kg

Massa van een proton: mp = 1.67262 · 10−27 kg

Lading van het elektron: −e = −1.60218 · 10−19 C

Permittiviteit van het vacuüm: ε0 = 8.85419 · 10−12 C2/Jm

Constante van Boltzmann: kB = 1.38066 · 10−23 J/K

Inhoudsopgave

I Theorie 9

De klassieke mechanica 11

Elektromagnetisme 17

Kwantummechanica 41

II Simulatie 61

Het waterstofatoom 63

Voorwoord

Al vanaf jongs af aan was ik geïnteresseerd in het doen van huis-tuin-en-keuken experimenten uit populaire wetenschaps boe-

ken. Mijn interesse in de wetenschap begon met scheikunde toen ikop elf jarige leeftijd een boek heb gekregen van mijn moeder over defundamentele bouwstenen van de chemie. Daarna ontwikkelde ikeen grote belangstelling voor de natuur- en wiskunde, maar vooralvoor de kwantummechanica. De eerste keer dat ik in contact kwammet de kwantummechanica was ik compleet overrompeld door demagie van dit vak. Ik denk dat we veilig kunnen stellen dat geen éénwetenschapper kwantummechanica echt goed begrijpt. Uit verschil-lende experimenten blijkt onomstotelijk dat kwantummechanica démethode is voor het beschrijven van het aller kleinste in ons univer-sum.

In dit profielwerkstuk wordt de nadruk gelegd om op een uitge-breide maar duidelijke manier een compleet beeld te krijgen van defundamentele bouwstenen van de natuurkunde. In het eerste deelvan dit profielwerkstuk komen de volgende theorieën aan bod: klas-sieke mechinica, de vier Wetten van Maxwell, de Lorentzkracht, deWet van Ohm en de Schrödingervergelijking. Ook zullen we in heteerste deel de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom af-leidden. In het tweede deel gaan we met behulp van de gevondenoplossing een simulatie maken van de kansdichtheid van het elek-tron.


Het is sterk aan te raden dat de lezer een gevorderde kennis heeftvan de analytische wiskunde. De lezer moet op de hoogte zijn vande volgende theorieën: differentiaalrekening, integraalrekening,vectorrekening, rijen en reeksen en differentiaalvergelijkingen. Isdeze bagage noodzakelijk? Natuurkunde kan je vergelijken mettimmerwerk. Gebruikmakend van het juiste gereedschap maakt hetvak een stuk makkelijker.

Als laatste wil ik alle mensen bedanken die mij hebben geholpenmet het realiseren van dit profielwerkstuk. Ik wil in het bijzonderbedanken de heer N.G. Schultheiss en mevrouw A. Toll.

Jan Dezider Kees Koomen-Majernik

Maart 2012

Deel I

Theorie

De klassieke mechanica

Introductie

De mechanica is het onderdeel van de natuurkunde die zich be-zig houdt met evenwicht en beweging van voorwerpen onder

invloed van de krachten die erop werken. De klassieke mechanica be-schrijft het gedrag van macroscopische objecten zoals astronomischeobjecten, projectielen, sterren, planeten, sterrenstelsels en nog veelmeer. Ze is van toepassing op ’allerdaagse’ situaties waar er sprakeis van snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid ofniet al te sterke zwaartekrachtvelden en waar het gedrag van de ma-terie op atomaire schaal te verwaarlozen is. Wanneer we objectengaan bestuderen die zeer klein zijn moeten we een andere vorm vanmechanica gaan gebruiken namelijk kwantummechanica. Wanneerobjecten zich voortbewegen met snelheden die bijna zo groot zijnals de lichtsnelheid wordt de klassieke mechanica versterkt door despeciale relativiteitstheorie.

Isaac Newton leverde ons de fundamentele wetten van de klas-sieke mechanica. Deze drie natuurwetten zijn in 1687 geformuleerdin zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

De Wetten van Newton

De Wetten van Newton vormen samen met de wet van behoud vanimpuls en de wet van impulsmoment de grondslag van de klassiekemechanica. We beginnen simpel met de Wetten van Newton geschre-ven in de conventionele vorm:

1. Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, is in rust ofbeweegt zich rechtlijnig met constante snelheid voort

2. Als op een voorwerp een nettokracht werkt, krijgt het een versnel-ling. Kracht is gelijk aan massa maal versnelling: F = ma.

3. Een kracht komt nooit in z’n eentje, maar is altijd de helft van eentweeling. Actie en reactie zijn even groot, maar tegengesteld vanrichting.


Deze wetten zijn zo bekend dat we soms hun betekenis als een na-tuurkundige wet uit het oog verliezen. De Eerste Wet van Newton isweinigzeggend zonder het woord "kracht". Een woord dat Newtonin alle drie zijn wetten gebruikt. De Tweede Wet van Newton geefteen toelichting wat precies een kracht is, namelijk: een kracht die uit-geoefend wordt op een object is gelijk aan de snelheid waarmee hetimpuls van een bewegend object veranderd. Newton definieerde hetimpuls als het product van de massa en de snelheid.

~p ≡ m~v

Dus de tweede wet van Newton kan nu geschreven worden als

~F =d~pdt

=ddt

(m~v) (1)

Het ging Newton om de verandering van de beweging, dus massa ensnelheid mogen beide variëren. Als de massa m constant is kunnenwe de tweede wet herschrijven tot de volgende welbekende vergelij-king:

~F = m~a

waarin ~F de kracht in Newton is in de richting van de versnelling,m de massa in kilogram en~a de versnelling in m/s2. Eigenlijk zijn deeerste en de tweede wet van Newton geen "wetten" maar kunnenbeter beschouwd worden als definities, omdat afstand, tijd en massaconcepten zijn die we al begrijpen.


Behoudswetten

Laten we nu eens gaan kijken naar de mechanica van een individueelobject en daarvan de behoudswetten uit proberen af te leiding. Wemoeten benadrukken dat dit geen bewijs is voor de behoudswettenmaar een een afleiding. Om te kunnen concluderen of deze wettencorrect zijn moeten we ze testen. Het feit dat deze wetten kloppenbewijst hoe perfect en elegant de wetten van Newton zijn, althans inde klassieke mechanica.

De eerste behoudingswet betreft de lineaire impuls van een deeltje.Als een deeltje vrij is, dat wil zeggen dat er geen kracht op het deeltjewordt uitgeoefend, dan wordt vergelijking (1) simpelweg d~p

dt = 0.Dat betekend dat de vector ~p constant blijft in de tijd. Dus de eerstebehoudingswet wordt

1. De totale lineaire impuls ~p van een deeltje is een behouden groot-heid wanneer de totale kracht op het deeltje gelijk is aan nul.

We kunnen deze uitspraak ook in andere termen formuleren. Latenwe~s een constante vector zijn zo dat ~F ·~s = 0 en onafhankelijk is vande tijd. Dan wordt de vergelijking

d~pdt·~s = ~F ·~s = 0

wanneer we deze integreren naar de tijd krijgen we

~p ·~s = constant

wat betekend dat de lineaire impuls in de richting van de krachtconstant is in de tijd.

De Wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerpeenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is het de neiging heeftom die draaiing vol te houden. Er is dus een externe kracht, of lievergezegd een moment, nodig om dat te veranderen. Het impulsmo-ment is als volgt gedefinieerd

~L ≡~r× ~p

Het krachtmoment, of simpelweg moment, wordt gedefinieerd als

~N ≡~r× ~F

waar~r de plaatsvector voorstelt vanaf het middelpunt tot aan hetpunt waar aan kracht ~F uitgeoefend op wordt.


Omdat ~F = m d~vdt kunnen we de vergelijking voor het krachtmoment

herschrijven. Deze wordt

~N =~r×md~vdt

= r× d~pdt

Laten we de vergelijking voor het impulsmoment differentiëren. Ditzal uiteindelijk een verband geven tussen het impulsmoment en hetkrachtmoment. Dus

d~Ldt

=ddt

(~r× ~p) = ~r′ × ~p +~r× ~p′

maar

~r′ × ~p = ~r′ ×m = m(~r′ ×~r′

)= 0

dus

d~Ldt

=~r× ~p′ = N

Dus als er geen krachtmoment op een deeltje wordt uitgeoefend (dusN = 0) dan is d~L

dt = 0, maar ~L is een vector die constant blijft wanneerde tijd vordert. Dit lijdt tot de tweede behoudingswet die luidt:

1. Het impulsmoment van een deeltje is een behouden grootheidwanneer het niet onderworpen is aan een krachtmoment.

Als er een kracht ~F op een deeltje wordt uitgeoefend en het deeltjeverandert van toestand 1 naar toestand 2 dan wordt de arbeid dienodig is voor het veranderen van de toestand gedefinieerd als

W12 ≡2ˆ

1

~F · d~r (2)

Wanneer we de kracht ~F uitschrijven en de integraal herschrijven metde kettingregel krijgen we

W12 =

2ˆ

1

~F · d~r =2ˆ

1

md~vdt

d~r

De variabele waarnaar geïntegreerd wordt, kunnen we herschrijvenin d~r = ~v · dt

2ˆ

1

md~vdt

d~r =

2ˆ

1

md~vdt·~v dt = m

2ˆ

1

~v · d~v =

(12

mv2)∣∣∣∣2

1


De arbeid die verricht wordt door een kracht ~F op een object is gelijkaan het verschil in kinetische energie

W12 =

(12

mv2)∣∣∣∣2

1=

12

m(

v22 − v2

1

)= T2 − T1 = ∆T

waar T ≡ 12 mv2 de kinetische energie is van het object. Als T1 > T2

dan is W12 < 0 wat betekend dat het object arbeid heeft verricht metals resultaat een afname van de kinetische energie.

Laten we eens vergelijking (2) van een andere kant bekijken. Inveel voorkomende natuurkundige processen heeft de kracht ~F deeigenschap om een object van plaats A naar een plaats B te verplaat-sen en met dezelfde hoeveelheid aan energie weer terug te plaatsennaar zijn beginpositie. Stel dat een deeltje op aarde met een massa momhoog wordt geheven tot een hoogte h, dan wordt er arbeid mghverricht om het deeltje omhoog te heffen. Maar het deeltje kan metdezelfde hoeveelheid aan arbeid terug keren naar zijn oorsprong. Dearbeid waarmee een object terug kan keren naar zijn oorsprong metdezelfde hoeveelheid aan arbeid die verricht is om het te verplaatsenwordt potentiële energie genoemd.

We kunnen de potentiële energie definiëren als de arbeid die no-dig is om een object van plaats A naar B te verplaatsen verricht dooreen kracht ~F:

2ˆ

1

~F · d~r ≡ U1 −U2


Limitaties van de Newtoniaanse mechanica

In dit hoofdstuk hebben we concepten als positie, tijd, impuls, mo-mentum en energie geïntroduceerd. We hebben aangenomen datze allemaal meetbare kwantiteiten zijn die gemeten kunnen wor-den met speciale instrumenten. Deze formules zijn getest op allerleimacroscopische objecten en zijn bewezen dat ze kloppen. Maar wan-neer we een meting willen uitvoeren op microscopische schaal danondervinden we een bepaald limiet van nauwkeurigheid in de meet-resultaten.1 Men zou bijvoorbeeld de plek van een elektron kunnen 1 We nemen aan dat de meetapparatuur

oneindig nauwkeurig is.meten door een foton op het elektron te botsen, maar we kunnen deplaats van dit elektron niet exact meten vanwege de onzekerheid σx

die veroorzaakt wordt door de golflengte van het foton. Doordat weeen meting proberen te verrichten door het elektron te beschieten meteen foton veranderen we de toestand van het elektron, omdat tijdensde botsing tussen het elektron en het foton een impuls wordt over-gedragen van het foton aan het elektron. De standaardafwijking vande onbekende hoeveelheid impuls die overgedragen wordt, wordtaangeduid met σp. Het product σxσp is een maat in hoeverre men deplaats en de impuls van een deeltje tegelijkertijd kan meten. In 1927

werd aangetoond dat het product van σxσp groter moest zijn dan eenspecifieke minimum waarde. De minimum waarde voor σxσp is on-geveer 10−34 Js. Dit is een extreme kleine waarde voor het beschrijvenmacroscopische objecten. Dus dat betekend dat het geen enkel pro-bleem is om objecten op laboratorium schaal de positie en de impulstegelijkertijd te meten. Dat betekend dat Newtoniaans mechanica niettoegepast kan worden op subatomaire deeltjes. Hiervoor moest eennieuwe natuurkundige theorie opgesteld worden: de kwantumme-chanica.

Een ander probleem met Newtoniaanse mechanica is het conceptvan de tijd. Tijd is volgens de Newtoniaanse mechanica een abso-lute begrip. Volgens de Newtoniaanse mechanica is het mogelijkom exact te kunnen bepalen of twee gebeurtenissen tegelijkertijdhebben plaatsgevonden of de een na de ander. Dat betekend datinformatie met een oneindige snelheid reist, maar dit is onjuist. Inter-acties tussen objecten planten zich voor met een eindige snelheid. Demaximum snelheid waarmee informatie zich kan voortplanten is desnelheid van het licht in vacuüm: c = 3 · 108m/s. Dit leidde allemaaltot de conclusie dat tijd juist geen absolute eenheid is en dat tijd enruimte een verband met elkaar hebben. De theorie die de oplossingbiedt voor dit probleem is de speciale relativiteitstheorie.

Elektromagnetisme

Introductie

Elektromagnetisme is de tak van de natuurkunde die zich bezighoudt met het verklaren van de krachten tussen elektrisch geladendeeltjes. Deze krachten worden beschreven door middel van elek-tromagnetische velden. De elektromagnetische kracht is een van devier fundamentele natuurkrachten die er in dit universum bestaanen wordt veroorzaakt door de ijkboson het foton. Veel krachten diemen regelmatig voelt zijn er aan te danken. Bijvoorbeeld: je zakt nietdoor een vloer als deze de kracht erop kan verdragen. Deze ontstaatdoordat atomen in het materiaal zich verzetten tegen verplaatsing uithun evenwichtsstand. In dit hoofdstuk zullen we de vier vergelijkin-gen van Maxwell beschrijven en bewijzen. De Wet van Ohm, Gauss,Coulomb, Faraday, Ampere, Biot-Savart en de Wet van Kirchhoff zijnallemaal speciale gevallen van de Wetten van Maxwell.

Elektrostatische velden

De Wet van Coulomb

De Franse kolonel Charles-Augustin de Coulomb voerde rond 1770

een serie experimenten uit om kwantitatief de kracht te bepalen vantwee elektrisch geladen objecten. De wet die hieruit voortkwam heetde Wet van Coulomb die stelt dat de kracht tussen twee kleine objec-ten die van elkaar verwijderd zijn omgekeerd kwadratisch evenredigis met de afstand.

F = kQ1Q2

R2

waar Q1 en Q2 de positieve en negatieve ladingen zijn van de tweeobjecten, R de afstand is tussen de twee objecten en k een constanteis. De constante k is

k =1

4πε0


waar ε0 de permittiviteit van het vacuum is en gemeten wordt inFarads per meter F/m,

ε0 = 8.854 · 10−12 .=

136π

10−9 F/m (3)

De Wet van Coulomb wordt dan

F =Q1Q2

4πε0R2

We kunnen de Wet van Coulomb ook in vectorvorm schrijven. Latenwe~r1 de vector zijn die de plaats aangeeft waar de lading Q1 bevinden~r2 voor Q2. De afstand tussen de twee vectoren is dus ~R12 =

~r2 −~r1. De wet van Coulomb in vectorvorm wordt dan

~F =Q1Q2

4πε0R212~a12 (4)

waar~a12 de eenheidsvector is, oftewel

~a12 =~R12∣∣∣~R12

∣∣∣ = ~r2 −~r1

|~r2 −~r1|

Elektrische veldsterkte

Stel dat we één lading onbeweegbaar maken, bijvoorbeeld Q1, en webrengen een andere lading Q2 in het elektrische veld van lading Q1.De lading Q2 zal overal een kracht ervaren dus is er sprake van eenkracht veld. De lading Q2 noemen we voor het gemak de testladingQt. De kracht op deze testlading wordt gegeven door de Wet vanCoulomb.

~F =Q1Qt

4πε0R212

~a12

We herschrijven deze formule zodat we als eenheid kracht per ladingkrijgen.

~FQt

=Q1

4πε0R212~a12 (5)

Het rechter lid van formule (5) is een functie van Q1 en de afstandtussen de testlading en Q1. Deze formule beschrijft een vectorveld enwordt de elektrische veldsterkte genoemd. We definiëren de elektri-sche veldsterkte als een kracht vector per testlading met als grootheid~E

~E =~FQ


Distributie van ladingen

Stel we hebben een gebied in de ruimte dat geladen is met eenenorme hoeveelheid aan aparte ladingen die van elkaar gescheidenzijn met een relatief kleine afstand. Ondanks de ladingsverdeling dis-creet is, mag men een continu model toepassen waarbij de distributievan ladingen wordt beschreven door de ladingsdichtheid. We noterende ladingsdichtheid met ρv en heeft als eenheid coulombs per meterC/m3.

De minuscule lading ∆Q in een minuscule volume ∆v is

∆Q = ρv∆v

waar we ρv mogen definiëren als een limiet

ρv = lim∆v→0

∆Q∆v

Dus de totale lading over een eindig oppervlak kan berekend wordendoor te integreren over dat volume

Q =

ˆvol

ρ dv

De incrementele bijdrage aan de elektrische veldsterkte in~r gevormddoor een incrementele lading ∆Q op~r′ kan dan worden berekenddoor

~E(r) =ˆ

vol

ρv(~r′)dv′

4πε0 |~r−~r′|2~r−~r′|~r−~r′|


Elektrische flux

Rond 1937 raakte de directeur van de Royal Society in Londen Mi-chael Faraday zeer geïnteresseerd in statische elektrische velden ende effecten van verschillende isolatoren op elektrische velden. Dezevraag viel hem lastig tijdens de tien jaar dat hij bezig was met hetonderzoeken van inductiespanningen. Toen hij klaar was met zijn ex-perimenten over inductiespanning bouwde hij een opstelling om deeffecten van elektrische velden nader te bestuderen. Hij construeerdetwee metalen bollen waarvan de één kleiner was dan de andere zodatde kleinere bol binnen in de grotere bol paste, zie figuur 1.

Figuur 1: Aangepast van EngineeringElectromagnetics (p. 55), door WilliamH. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:McGraw-Hill Science.

De ruimte tussen de kleine en de grote bol vulde hij op met eenisolator (ook wel een diëlektricum genoemd). We nemen aan de deisolatoren die hij gebruikt ideale isolatoren waren.

Zijn experiment bestond hoofdzakelijk uit de volgende stappen:

1. De binnenste binnenste bol werd een bekende positieve ladinggegeven.

2. De buitenste bol werd er omheen gemonteerd met de diëlektricumertussen.

3. De buitenste bol werd voor een korte tijd ontladen door het teverbinden met de aarde.

4. De buitenste bol werd voorzichtig gedemonteerd en de ladingwerd nauwkeurig gemeten op de bollen.

Faraday kwam erachter dat de totale lading op de buitenste bol evengroot is als de binnenste bol ongeacht welk diëlektricum er gebruiktwerd. Hij concludeerde dat er sprake was van een soort van ver-plaatsing van de binnenste bol naar de buitenste die onafhankelijkwas van het soort medium dat er gebruikt werd, men noemt dezeverplaatsing de elektrische flux.

De Wet van Gauss

Het resultaat van het experiment van Faraday kan gezien worden alseen wet die luidt dat de elektrische flux dat door een denkbeeldigebolvormig oppervlak heen gaat gelijk is aan de lading die omslotenwordt door dat denkbeeldige oppervlak. De fluxdichtheid veranderdnaarmate het denkbeeldig bolvormig oppervlak verder van de bron-lading verwijderd maar de lading van het denkbeeldige oppervlakis gelijk aan de bronlading. Als de totale lading Q is dan zal er ookeen elektrische flux van Q coulombs door het omsluitende oppervlakgaan. Op elk punt van het oppervlak zal er een elektrische flux dicht-heid ~DA heersen waarbij de subscript A er ons aan herinnerd dat ~Dberekend moet worden aan het oppervlak.


Laten we ons een klein stukje ∆A van de totale oppervlakte voor-stellen. ∆A heeft een bepaalde plek in de ruimte waardoor en be-paalde flux doorheen gaat. De enige unieke richting die kan wordengeassocieerd met ∆A is de richting die normaal op het gekozen op-pervlakte staat, zie figuur 2

Figuur 2: Overgenomen van EngineeringElectromagnetics (p. 58), door WilliamH. Hayt, Jr, John A. Buck, 2000, Atlanta:McGraw-Hill Science.

Beschouw op een willekeurig punt P een klein oppervlakte ∆A enlaat ~DA een hoek θ maken met ∆A zoals te zien is in figuur 2. De fluxdie door ∆A heen gaat is het product van de normale component van~DO en ∆A,

Φ = f lux die door ∆A gaat = DA,normaal∆ = DA A cos θ∆A = ~DA · ∆~A

ook wel het inwendig product genoemd.Om de totale flux te berekenen die door gehele oppervlakte gaat

moeten we⟨~DA|∆A

⟩van al die kleine oppervlakte elementen bij

elkaar optellen. Omdat van ~DA het inwendig product genomen moetworden met ∆A en opgeteld moet worden totdat je de gehele opper-vlakte gehad heb kunnen we dit herschrijven tot een integraal.

Φ =

˛A~DA · d~A

?= Q

We kunnen heel gemakkelijk bewijzen dat¸

A~DA · d~A gelijk moet zijn

aan Q door de integraal uit te werken waarbij D = Q4πr2 voor een bol

en ~D = ε0~E.

˛A~DA · d~A =

(Q

4πr2

)(4πr2

)= Q

En voor¸

A~EA · d~A wordt het dan

˛A~EA · d~A =

(Q

4πε0r2

)(4πr2

)=

Qε0

Dus de Wet van Gauss is

Φ =

˛A~E · d~A =

Qε0


Wet van Gauss in differentiële vorm

De eerste Wet van Gauss, ook wel de eerste Wet van Maxwell ge-noemd, kan ook in differentiële vorm geschreven worden. De viervergelijkingen van Maxwell vormen de basis van de elektromagneti-sche theorie.


Laten we een punt P voorstellen in cartesische het coördinatenstel-sel. De waarde van ~D op het punt P kan uitgedrukt worden in de x,y, en z componenten, ~D0 = Dx0~ax + Dy0~ay + Dz0~az, zoals te zien isop afbeelding 3. Wij kiezen een vierkant om punt P heen als een ge-sloten oppervlakte met als zijden ∆x, ∆y en ∆z waar we de Wet vanGauss op gaan toepassen,

˛A~D · d~A = Q

Om de integraal te kunnen nemen over een vierkant moeten we deintegraal opsplitsen in zes aparte integralen, één voor elke zijde,

˛A~D · d~A =

ˆvoor

+

ˆachter

+

ˆlinks

+

ˆrechts

+

ˆboven

+

ˆonder

Laten we de eerste integraal uitwerken. Aangezien hot oppervlakte-element heel klein is kunnen we zeggen dat ~D vrijwel constant is opdit oppervlakte-element dus,

ˆvoor

·= ~Dvoor · ∆~Avoor

·= ~Dvoor · ∆y∆z~ax·= Dx,voor∆y∆z

waar we alleen de waarde van ~Dx moeten benaderen. De voorzijde is∆x2 van P verwijderd dus,

~Dx,voor·= Dx0 +

∆x2× snelheid van verandering van D tot x

·= Dx0 +

∆x2

∂Dx

∂x

waar Dx0 de waarde van Dx is op met punt P. We gebruiken eenpartiële afgeleide, omdat de verandering van D ook afhangt van x, y,en z. We hebben nu

ˆvoor

·=

(Dx0 +

∆x2

∂Dx

∂x

)∆y∆z


Beschouw nu de integraal voor de achterkant.ˆ

achter

·= ~Dachter · ∆~Aachter

·= ~Dachter · (−∆y∆z~ax)·= −Dx,voor∆y∆z

waar

~Dx,achter·= Dx0 −

∆x2

∂Dx

∂x

wat geeft

ˆvoor

·=

(−Dx0 +

∆x2

∂Dx

∂x

)∆y∆z

Als we deze twee integralen combineren krijgen we

ˆvoor

+

ˆachter

·=

∂Dx

∂x∆x∆y∆z

Dit kunnen we ook doen voor de andere zijden

ˆrechts

+

ˆlinks

·=

∂Dy

∂y∆x∆y∆z

en

ˆboven

+

ˆonder

·=

∂Dz

∂z∆x∆y∆z

Wanneer we dit combineren krijgen we

˛A~D · d~A ·

=

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)∆x∆y∆z

ofwel

˛A~D · d~A = Q ·

=

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)∆v

Deze uitdrukking is een benadering die beter wordt als ∆v nul na-dert. De Wet van Gauss voor een gesloten oppervlak ∆v geeft ons eenbenadering die stelt dat

Lading omsloten door ∆v ·=

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)× volume ∆v (6)


Divergentie

Vergelijking (6) geeft een benadering voor de Wet van Gauss. Wezouden een exacte relatie kunnen krijgen voor de Wet van Gaussdoor ∆v naar nul te laten gaan. Vergelijking (6) wordt dan

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)·=

¸A~D · d~A∆v

=Q∆v

of als een limiet

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)= lim

∆v→0

¸A~D · d~A∆v

= lim∆v→0

Q∆v

Het is duidelijk dat de laatste term de ladingsdichtheid ρv voorstelt,dus

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)= lim

∆v→0

¸A~D · d~A∆v

= ρv

Deze vergelijking bevat te veel informatie om in een keer te bespre-ken, daarom splitsen we ze op en bespreken we ze afzonderlijk.

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)= lim

∆v→0

¸A~D · d~A∆v

(7)

(∂Dx

∂x+

∂Dy

∂y+

∂Dz

∂z

)= ρv (8)

We bespreken vergelijking (8) in de volgende paragraaf. Bij vergelij-king (7) is er nog geen sprake van ladingsdichtheid. De methode diehierboven is uitgelegd had op elke willekeurige vector ~B toegepastkunnen worden. Dit lijdt tot de algemene vergelijking

(∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z

)= lim

∆v→0

¸A~B · d~A∆v

waar ~B een snelheid, temperatuur gradiënt, kracht of een anderevector veld. Omdat deze operatie voor vaak voorkomt heeft dezeeen eigen naam gekregen, divergentie. De divergentie van ~B wordtgedefinieerd als

div ~B = lim∆v→0

¸A~B · d~A∆v

(9)

en wordt meestal afgekort als div ~B. De natuurkundige interpretatievan de divergentie van een vectorveld hangt af van de operaties dieaan het rechter lid van vergelijking (9) uitgevoerd worden. Laten wenu ~B beschouwen als een vector van de fluxdichtheid familie om defysische interpretatie makkelijker te maken.


De divergentie van een fluxdichtheid vector ~B is de uitstroom van fluxuit een klein gesloten oppervlak per volume eenheid als het volume naar nulgaat.

Bijvoorbeeld, laten we eens gaan kijken naar de divergentie van desnelheid van water nadat de kraan geopend is. De netto uitstroomvan het water door een gesloten oppervlak moet gelijk zijn aan nulomdat de instroom en de uitstroom aan elkaar gelijk zijn. Vandaardat de divergentie van de snelheid gelijk is aan nul.

Echter, indien we de divergentie nemen van de luchtsnelheid vaneen zojuist geperforeerde fietsband is deze groter dan nul omdat delucht in de band uitzet naarmate de druk in de band daalt.

De eerste vergelijking van Maxwell

We kunnen met de kennis van de vorige paragrafen de Wet vanGauss in differentiële vorm schrijven

div ~D = lim∆v→0

¸A~D · d~A∆v

=Q∆v

(10)

div ~D = ∇ · ~D = ρv (11)

waarbij ∇ als de del operator gedefinieerd wordt.

∇ =∂

∂x~ax +

∂

∂y~ay +

∂

∂z~az

Wanneer we Q delen door een volume ∆v krijgen we vanzelfspre-kend de ladingsdichtheid. Dit is de eerste vergelijking van de viervergelijkingen van Maxwell die elektrische en stationaire magnetischevelden beschrijven. Uit deze vergelijking kan opgemaakt worden datde elektrische flux die door een volume ∆v heen gaat exact het zelfdeis aan de ladingsdichtheid in dat volume v.


Stoom, geleiders en weerstand

Stroom en stroomdichtheid

Als elektrische ladingen in beweging zijn, dan is er sprake vanstroom. De eenheid van stroom is ampère (A) die gedefinieerd wordtals de hoeveelheid lading die per tijdseenheid in een punt stromen.Stroom wordt aangegeven door het symbool I, dus


I =dQdt

In de veldtheorie is men meestal geïnteresseerd in gebeurtenissenop een bepaald punt dan op een groot oppervlak. De stroom diedoor een punt heen gaat kunnen we herschrijven als een product vaneen zogeheten stroomdichtheid, die gemeten word in ampère pervierkante meter (I/m2). Stroomdichtheid is een vector die aangeduidwordt met ~J.

De stroom ∆I die normaal door een heel klein oppervlakte ∆S gaatis

∆I = JN∆S

De totale stroom kan verkregen worden door te integreren over hetoppervlak.

I =ˆ

S~J · dS

Stroomdichtheid is gerelateerd worden aan de snelheid van destroomdichtheid volume op een bepaald punt. Beschouw een la-dingselement ∆Q = ρv∆v = ρv∆S∆L, zoals te zien is op afbeelding4a. In een tijdinterval ∆t heeft de lading een afstand van ∆x afgelegdzoals te zien is op afbeelding 4b. De stroom is dan

∆I =∆Q∆t

= ρv∆S∆x∆t

Als we het limiet nemen met respect tot de tijd krijgen we

∆I = ρv∆S vx

waar vx voor de snelheid in de richting van de x-as is. Dus in hetalgemeen kunnen we zeggen, in termen van stroom dichtheid

~J = ρv~v (12)


De laatste vergelijking laat heel goed zien dat een lading in bewe-ging een stroom veroorzaakt. Een goede analogie voor stroomdicht-heid is een tunnel waar auto’s doorheen rijden. De dichtheid vanauto’s door de tunnel kan worden verhoogt worden door de auto’ssneller te laten rijden of door meer auto’s per vierkante meter te latenrijden.


Metalen geleiders

In de natuurkunde beschrijft men het gedrag van elektronen die omde nucleus heen bewegen in termen van totale energie van het elek-tron. De totale energie van het elektron is de som van de potentiëleenergie en de kinetische energie. Volgens de kwantummechanica be-staan er alleen bepaalde energielagen waar het elektron in zich kanbevinden als het om de nucleus heen "beweegt". Dat betekent dat eenelektron alleen een bepaalde hoeveelheid aan energie kan absorberenen emitteren, ook wel kwanta genoemd, om naar een ander energieniveau te kunnen gaan. In een vaste kristallijne stof, zoals een metaalof een diamant, zitten de atomen dicht bij elkaar, dus er zijn meerelektronen beschikbaar en kunnen verschillen energie niveaus be-zet worden. Bij een temperatuur van -273,15 graden Celsius zijn alleenergie niveaus in het atoom netjes in volgorde bezet door elektro-nen. De elektronen met de hoogste hoeveelheid aan energie wordenvalentie elektronen genoemd en bevinden zich in de valentie band.Als er hogere energie niveaus zijn toegestaan in de valentie band ofals er een geleiding band dicht tegen de valentie band aan zit kunnenelektronen onder invloed van een veld gaan stromen door de vastestof, zoals te zien is in afbeelding 5a Dit wordt elektrische geleidingvan metalen genoemd.


Maar als de de hoeveelheid energie die nodig is om van de va-lentie band naar de geleidingsband erg hoog is om van de elektronin de geleidingsband te verplaatsen dan is de stof een isolator. Zieafbeelding 5b

Als de energie gap tussen de valentie band en de geleidingsbandniet al te groot maar niet al te klein is zoals te zien in de afbeeldingis er sprake van een halfgeleider die onder speciale omstandighedenstroom kan geleiden zoals onder invloed van hitte. Deze stoffenworden halfgeleiders genoemd, afbeelding 5c


Beschouw een geleider waar de elektronen bewegen onder in-vloed van een elektrisch veld. Onder invloed van een veld ~E zal eenelektron een kracht ondervinden.

~F = −e~E

Een elektron zou in de ruimte continu versnellen, maar in de kristal-lijne stof zal het elektron voortdurend botsen tegen atomen waardooreen gemiddelde maximale snelheid behaalt wordt. Deze gemiddeldemaximale snelheid vd wordt de drift snelheid genoemd en is evenre-dig met elektrische veld met een constante µ die de mobiliteit van hetelektron aanduidt in de stof. Dus

~vd = −µ~E (13)

Uit deze vergelijking kunnen we opmaken dat de snelheid van hetelektron in een andere richting is dan de richting van het elektrischeveld. Vergelijking (12) laat ook zien dat de mobiliteit gemeten wordtin de eenheid vierkante meter per voltseconde; voor aluminium isdeze waarde 0.0012, 0.0032 voor koper en 0.0056 voor zilver. Wanneerwe vergelijking (13) in vergelijking (12) substitueren krijgen we

~J = −ρeµe~E (14)

waar ρe de elektronen ladingsdichtheid is. De totale ladingsdichtheidρv is nul omdat er evenveel positieve als negatieve deeltjes in hetneutrale materiaal bevinden.

De relatie tussen ~J en ~E voor een metalen geleider is ook een even-redig verband met de constante σ die de elektrische geleiding aan-geeft.

~J = σ~E (15)

waar σ gemeten wordt in siemens per meter (S/m). De geleiding iseigenlijk een functie van de temperatuur. De weerstand, wat de om-gekeerde is van de geleiding, varieert lineair wanneer de temperatuurrond de kamertemperatuur bevindt.

Als we vergelijking (15) en (18) combineren zien we dat de ge-leiding een product is van ladingsdichtheid en de mobiliteit van deelektronen.

σ = −ρeµe


Vergelijking (15) wordt ook wel De Wet van Ohm in punt vormgenoemd. We kunnen de Wet van Ohm herschrijven die van toepas-sing is op macroscopische schaal. Laten we aannemen dat ~J en ~Ehomogeen zijn, zoals te zien is in het cilindrische gebied in figuur 6.Omdat ze uniform zijn is


I =ˆ

S~J · d~A = J A

De potentiële energie is de integraal van de kracht over de afstand

Vab = −ˆ a

b~E · d~L = −~E ·~Lba

oftewelV = E L

DusJ =

IA

= σE = σVL

oftewel

V =L

σAI

De verhouding van het potentiaalverschil tussen de twee uiteindenvan de cilinder wordt de weerstand genoemd dus

V = I R (16)

waar

R =L

σA(17)


Magnetisme

De Lorentzkracht

Als er stroom door een metaal wordt gestuurd dan zullen alleen deelektronen in het metaal bewegen. De positieve nucleus blijft op zijnplek. De elektronen gaan bijna met de snelheid van het licht door dehet metaal wat betekend dat er relativistische effecten optreden.

Figuur 7: DoctorPhys. (2011,augustus 31). D2. The MagneticField [Video file]. Geraadpleegd ophttp://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc

Beschouw een metalen draad zoals te zien is in afbeelding 7. Dezwarte stippen stellen de elektronen voor die naar links bewegen meteen drift snelheid van v0. Om het niet al te complex te maken be-schouwen we Llab de afstand tussen de elektronen die overal uniformis. Het draad is elektrisch neutraal en als de lading q niet beweegt zalhet ook geen aantrekkingskracht voelen naar de draad toe. Maar alsde lading q gaat bewegen met een snelheid v dan zal er lengtecon-tractie optreden waarbij het lijkt voor de landing q alsof de afstandtussen de elektronen kleiner wordt, terwijl de afstand tussen de po-sitieve nuclei het zelfde blijft toen de lading q stil stond. De lading qzal dan een aantrekkingskracht voelen richting de draad. Dit wordtde magnetische kracht genoemd.

De lading q zal een bepaalde elektrische veldsterkte voelen wan-neer het zich verplaatst met een snelheid v. De elektrische veldsterktein een draad wordt gegeven door

E =1

2πrρ

ε0

waarbij ρ de ladingsdichtheid is in het draad. In dit geval is er sprakevan twee lijnen van ladingen namelijk de lijn van de bewegende elek-tronen en de positieve lijn van lading van de nuclei. De elektrischeveldsterkte die de lading q voelt in het K

′frame is

E′=

12πr

ρ′− − ρ

′+

ε0> 0 (18)

en de vector ~E′= E

′ · j omdat de aantrekking loodrecht op de draadstaat.

In dit geval zijn er drie verschillende referentiekaders namelijk:

• Referentiekader K: is het laboratorium frame waarbij men als warenaar de opstelling kijkt en stilstaat relatief tot de opstelling.

• Referentiekader K′: is het frame dat meebeweegt met de lading q

met een snelheid v.

• Referentiekader K′′: is het frame dat meebeweegt met de elektro-

nen met een snelheid v0.


De lading q "ziet" de positieve ladingen naar links bewegen met eensnelheid van β = v

c en ziet de negatieve ladingen bewegen met eensnelheid van βT = vT

c . De snelheid βT kan berekend worden door dede snelheden v en v0 relativistisch op te tellen.

βT =β0 + β

1 + β0β(19)

De ladingsdichtheid wordt berekend door de formule ρ = QL waarbij

L de afstand is tussen twee ladingen in. In het laboratorium framenemen we Q

Llabwaar elke lading Q met een lengte Llab van elkaar

verwijderd is. De lading van de draad is in de laboratorium frameneutraal omdat er evenveel positieve ladingen als negatieve ladin-gen bevinden. In de K

′′is de separatie tussen de ladingen L

′′. Om de

elektrische veldsterkte te kunnen berekenen hebben we de waardenvoor ρ

′− en ρ

′+ nodig die bepaald kunnen worden door de formule

voor lengtecontractie. Gezien vanuit het K′

frame wordt de lengte-contractie voor de positieve deeltjes gegeven door

L′+ = Llab

√1− β2

en voor de elektronen wordt deze gegeven door

L′− = L

′′√

1− β2

dus

ρ′− = Q

L′′√

1−β2T

en ρ′+ = Q

Llab√

1−β2

De elektrische veldsterkte gezien uit het K′

frame wordt

E′=

12πrε0

Q

L′′√

1− β2T

− QLlab

√1− β2

We willen de L

′′kwijt zien te krijgen omdat we alles meten in het

laboratorium frame. Gezien uit de laboratorium frame is de lengte-contractie tussen de electronen

Llab = L′′√

1− β20

We substitueren 1L′′

=

√1−β2

0Llab

in de vergelijking van E′

wat geeft

E′=

12πrε0

QLlab

√

1− β20√

1− β2T

− 1√1− β2

(20)


Als we βT uitschrijven krijgen we

E′=

12πrε0

QLlab

√

1− β20√

1−(

β0+β1+β0β

)2− 1√

1− β2

De vergelijking lijkt er niet makkelijker op, maar we zullen laterzien dat er heel veel termen tegen elkaar kunnen weg strepen. Laten

we eerst√

1− β2T herschrijven en daarna dit in vergelijking (20)

substitueren en herleiden.

√1−

(β0 + β

1 + β0β

)2=

√1 + 2β0β + β2

0β2 − β20 − 2β0β− β2

(1 + β0β)2√1−

(β0 + β

1 + β0β

)2=

√1 + β2

0β2 − β0 − β2

(1 + β0β)2 =

√(1− β2

0)(1− β2)

(1 + β0β)2

E′=

12πrε0

QLlab

(1 + β0β)√

1− β20√(

1− β20)(1− β2)

− 1√1− β2

E′=

12πrε0

QLlab

((1 + β0β)

(1− β2)− 1√

1− β2

)

E′=

12πrε0

QLlab

√1− β2

((1 + β0β)− 1)

E′=

12πrε0

QLlab

√1− β2

β0β

De kracht op het elektron in y richting is

F′y = qE

′=

q2πrε0

QLlab

√1− β2

β0β

Hou er rekening mee dat dit een kracht is in de richting van de y-as. Alle referentiekaders bewegen in de richting van de x-as dus datbetekend dat de y-component van de impuls geen relativistischeeffecten ondervindt.

Fy =dpydt en F

′y =

dpy

dt′


Dit geldt echter niet voor de tijd. Er treedt namelijk tijd dilatatie op

dt = dt′

√1−β2

wat we kunnen herschrijven tot dt′=√

1− β2dt.

Wanneer we dit in de vergelijking F′y =

dpy

dt′substitueren krijgen we

F′y =

dpy

dt′=

1√1− β2

dpy

dt=

Fy√1− β2

Dus in het laboratorium frame krijgen we

Fy = qE =q

2πrε0

QLlab

β0β

Fy = qE =q

2πrε0

QLlab

vo

cvc

Fy =q

2πr

(1

ε0c2

)(Q

Llabv0

)v

De term(

1ε0c2

)wordt ook wel gedefinieerd als

(1

ε0c2

)≡ µ0 waar µ0

de magnetische permeabiliteit van het vacuüm voorstelt. De (abso-lute) permeabiliteit µ van een medium is de mate waarin het mediumeen magnetisch veld geleidt. Letterlijk betekent de magnetische door-dringbaarheid.

Fy =q

2πrµ0

(Q

Llabv0

)v

De volgende groep(

QLlab

v0

)is niks anders dan de elektrische stroom

omdat v0 = Llabt dus Q

Llabv0 = Q

Llab

Llabt = Q

t = I. Dus de formule wordtdan

Fy = qvµ0 I2πr

Het product qv beschrijft de eigenschap van de bewegende lading zo-als te zien is in afbeelding 7. Het product µ0 I

2πr heeft betrekking op eenexterne krachtveld. Dit veld wordt het magnetische veld genoemd enwordt aangeduid met de letter B.

B =µ0 I2πr

De grootte van de kracht is

Fy = qvB


Figuur 8: DoctorPhys. (2011,augustus 31). D2. The MagneticField [Video file]. Geraadpleegd ophttp://www.youtube.com/watch?v=0H3_yOYYZdc

Maar de kracht Fy heeft een bepaalde richting namelijk naar de draadtoe dus ~Fy = qvB j waarbij ~B = µ0 I

2πr θ en ~v = v i in de richting van dex-as zijn zoals the zien is in afbeelding 8. We kunnen hier hetkruisproduct toepassen om de kracht ~F uit te drukken

~F = q~v× ~B

waar

~B =µ0 I2πr

θ

De algemene wet die magnetische en elektrische velden beschrijftwordt de Wet van Lorentz genoemd.

~F = q~E + q~v× ~B

We kunnen net als bij de Wet van Gauss een denkbeeldige lijn om dedraad denken2 en het hele proces wat we bij de Wet van Gauss 2 Bij de Wet van Gauss wordt er een

denkbeeldige oppervlakte genomenmaar nu nemen we een denkbeeldigelijn en volgen het zelfde proces als bijhet uitwerken van de Wet van Gauss.

gedaan hebben uitvoeren maar dan nu van achter naar voren. Wat wekrijgen als we de integraal uitwerken is de Wet van Ampère.

B =µ0 I2πr

,B (2πr) = µ0 I ,˛

~B · d~l = µ0 I

De Wet van Ampère is˛

~B · ~dl = µ0 I

Omdat bij een een magnetisch veld de veldlijnen altijd terug kerennaar de bron kunnen we zeggen dat

‹~B · d~A = 0


De Wet van Faraday

De Wet van Faraday luidt als volgt

˛~E · d~l = −dΦB

dtwaar ΦB de magnetische flux is. De magnetische flux kan berekendworden door het magnetische veld te vermenigvuldigen met deoppervlakte waar het magnetische veld door heen penetreert, dusΦB = BA. We gaan deze wet proberen af te lijden door middel vanafbeelding 9.

Figuur 9: DoctorPhys. (2011,augustus 31). D3. Faraday’sLaw [Video file]. Geraadpleegd ophttp://www.youtube.com/watch?v=gWwSiVr90og

In de afbeelding stellen de "x"-en de magnetische veldlijnen voordie het papier in gaan. In het magnetische veld hebben we voor eendeel een gesloten draad ingezet die met een snelheid v uit het mag-netische veld getrokken wordt. Alleen de lading q die helemaal linksin de draad is weergegeven zal een kracht ervaren die een stroom zalveroorzaken. De twee ladingen in het midden van de draad zullenniet bijdragen aan een stroom omdat deze ladingen een kracht er-varen die ze van de draad af wil "trekken". De meest linkse ladingq zal in de draad gaan bewegen met een kracht F = qvB. Omdat ereen inductiespanning gecreëerd wordt zal er ook een elektrisch veldgecreëerd worden. Het elektrische veld kan berekend worden metde formule E = vB aangezien F = qvB = qE. De snelheid v wordtgegeven dor

v = − dldt

waar l de lengte is van het draad dat in het magnetische veld be-vind zoals te zien is in afbeelding 9. De minus voor de afgeleide isessentieel omdat l steeds kleiner zal worden. Dit geeft ons

E = vB = − dldt

B (21)

Laten we een lijnintegraal opstellen over het elektrische veld˛

~E · d~l = Ew (22)

Zijde l komt niet in de vorige vergelijking voor omdat de Lorentz-kracht een hoek van 1/2π radialen maakt met de draad en is hetinwendig product gelijk aan nul. Wanneer we vergelijking (21) invergelijking substitueren krijgen we.

˛~E · d~l = − dl

dtBw

Maar als we het draad ook omhoog bewegen moeten we w in de af-geleide plaatsen. In ons voorbeeld is w constant maar in de gevallenw niet constant is moet het in de afgeleide staan.


˛~E · d~l = −d (lw)

dtB = −dA

dtB

Doordat we l en w in de afgeleide plaatsen, krijgen we de opper-vlakte. In ons voorbeeld is B constant dus we zouden ook B in deafgeleide plaatsen. Indien B wel variabel is kunnen we het voor-alsnog in de afgeleide laten, omdat het tocht het zelfde effect zalveroorzaken volgens experimenten. De Wet van Faraday wordt

˛~E · d~l = −dΦB

dt

waar ΦB = AB


De Wet van Ampère met Maxwell zijn correctie

Maxwell focuste op het feit dan een verandering in magnetischeflux een elektrisch veld creëert. Maak is het andersom ook waar?Kan een verandering in een elektrisch veld een magnetisch veldopwekken? Maxwell heeft uitgevonden dat dit mogelijk is. Maarvoordat we naar Maxwell zijn correctie op de Wet van Ampère gaankijken, herhalen we de Wet van Gauss op een oneindig grootte plaatmet een ladingsdichtheid σ. We stellen ons een vierkant volume voordie een deel van de plaat omsluit zoals te zien is in afbeelding 10.

Figuur 10:

We passen de Wet van Gauss toe op het het denkbeeldige opper-vlak waar Q de lading is van de plaat

‹~E · d~A =

Qε0

Het elektrische veld is omhoog gericht aan de boven kant van deplaat en naar beneden gericht op de onderkant van de plaat, duskunnen we zeggen

Ebeneden A + Eboven A =σAε0

dus E is dan

E =σ

2ε0

Figuur 11:Figuur 10 & 11. DoctorPhys. (2011,augustus 31). D4. The DisplacementCurrent [Video file]. Geraadpleegd ophttp://www.youtube.com/watch?v=q0oejYO-PQ0

Deze zullen we later nodig hebben voor de afleiding. Om de laatstevergelijking van Maxwell af te leiden maken we gebruik van eencondensator zoals te zien is in afbeelding 11. Een condensator is eenelektrische component die een lading kan opslaan. De stroom I gaatnaar één van de platen die het circuit onderbreekt. Omdat de stroomniet verder kan lopen zal de lading op de platen steeds groterworden. Het elektrische veld wordt dus dan ook steeds groter op deplaat. We weten dat volgens de Wet van Ampère

¸~B · ~dl = µ0 I dat er

rond de draad een magnetische veld gecreëerd wordt maar Maxwellvroeg zich af wordt er ook een magnetisch veld opgewekt tussen deplaten waar geen draad is? Kan een verandering in het elektrischeveld een magnetisch veld opwekken?

Op elke plaat in de condensator kan je de elektrische veldsterkteberekenen. Dat is de formule die we zojuist opgesteld hebben.

E =σ

2ε0

Doordat de ene plaat positief geladen is en de andere negatief ver-sterken ze elkaar dus wordt het elektrische veld twee maal zo sterkdus


E =σ

ε0

waar σ de ladingdichtheid is die geschreven kan worden als σ = QA .

Het elektrische veld veranderd in de condensator dus

dΦEdt

=d (EA)

dt=

ddt

[σ

ε0A]=

ddt

[σ

ε0A]=

ddt

[Qε0

]=

Iε0

Laten we zeggen dat de ook een magnetische veld heerst buitende platen, dan geld de Wet van Ampère hier ook

¸~B · ~dl = µ0 I.

In deze vergelijking staat er aan het rechte lid de term µ0 I maarwij hebben dΦE

dt = Iε0

verkregen. We kunnen dΦEdt = I

ε0met µ0ε0

vermenigvuldigen om toch µ0 I te verkrijgen

µ0ε0dΦEdt

=I

ε0µ0ε0 = µ0 I

Dit moeten we toevoegen aan de Wet van Ampère wat geeft

˛~B · ~dl = µ0 I + µ0ε0

dΦEdt


De vier vergelijkingen van Maxwell, de Lorentzkracht en de Wet van Ohm

‹~E · d~A =

Qε0‹

~B · d~A = 0

˛~B · ~dl = µ0I + µ0ε0

dΦE

dt

˛~E · d~l = −dΦB

dt

∇ · ~E =ρ

ε0

∇ · ~B = 0

∇× ~B = µ0~J + µ0ε0∂~E∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

~F = q(~E +~v× ~B

)V = I

LσA

Kwantummechanica

Introductie

In tegenstelling tot de Newtoniaanse mechanica, Maxwell zijn the-orie over elektrodynamica of Einstein zijn theorie over relativiteit

is de kwantummechanica niet door één persoon ontdekt, sterker noghet herinnert men eraan aan de traumatische jeugd die de kwantum-mechanica onderging. Elke wetenschapper kan kwantummechanica"doen", maar waarom de deeltjes zo gedragen die met behulp van devergelijkingen in de kwantummechanica beschreven worden begrijptniemand goed. Een bekende pionier op het gebied van kwantumme-chanica was Richard Feynman die zei: "I think I can safely say thatnobody understands quantum mechanics."

De kwantumtheorie benaderd de werkelijkheid op een hele anderemanier dan dat de klassieke mechanica. De klassieke mechanica gaater vanuit dat er een waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid is endat natuurkundige grootheden continue variabelen zijn die in elkegewenste combinatie gemeten kunnen worden. In de kwantumthe-orie zijn de grootheden gekwantificeerd (ze variëren in stapjes) en iser geen waarnemer-onafhankelijke werkelijkheid. De keuzen die dewaarnemer maakt bij het opstellen van zijn experiment bepaald ingrote mate de uitkomst van het experiment, iets wat in de klassiekemechanica niet aan de orde is. Het product van de onnauwkeurig-heden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden (bijvoor-beeld plaats en impuls) heeft volgens de onzekerheidsrelatie vanHeisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootstmogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijde-lijk geheel onbepaald en onbepaalbaar. Vanwege deze onzekerheiddie er heerst op kwantumniveau doet de kwantumtheorie slechtestatistische uitspraken over een reeks van waarnemingen.


De Schrödingervergelijking in 1-D

De Schrödingervergelijking

Als we een deeltje met een massa m, die beperkt wordt om alleen inde x-richting te bewegen, onderworpen is aan een kracht F(x, t) kun-nen we (met behulp van de juiste initiële waarden) x(t) berekenenmet behulp van de Wetten van Newton.

De kwantummechanica benaderd dit probleem op een hele anderemanier. Men is op zoek naar een golffunctie Ψ(x, t) van het deeltjedie gevonden kan worden door het oplossen van de Schrödingerver-gelijking

ih∂Ψ(x, t)

∂t= − h2

2m∂2Ψ(x, t)

∂x2 + V(x, t)Ψ(x, t) (23)

waar h de Dirac constante is. Wat is nou die golffunctie? Immers iseen deeltje is altijd gelokaliseerd op een specifiek punt terwijl degolffunctie verspreid is in de ruimte. Hoe kan een deeltje beschrevenworden als een golffunctie? Het antwoord op deze vraag wordtgegeven door de waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born die steltdat |Ψ(x, t)|2 je de kans geeft om een deeltje te vinden op plaats x optijd t, beter gezegd

|Ψ(x, t)|2 dx =

{kans om het deeltje te vinden

tussen xen (x + dx), op tijd t.

}(24)


Normalisatie

Laten we gaan kijken naar vergelijking 24 die stelt dat de kansdicht-heid voor het vinden van een deeltje op plaats x op tijd t het kwa-draat is van de golffunctie. Men weet niet waar het deeltje bevindt,maar we weten wel dat het deeltje ergens zich in de ruimte moetbevinden. Dit kunnen we als volgt in een vergelijking opschrijven

+∞ˆ

−∞

|Ψ(x, t)|2 dx = 1 (25)

Zonder deze regel zou de statistische interpretatie onzin zijn. Dezeeis zou je moeten storen, omdat immers de golffunctie wordt bepaalddoor de Schrödingervergelijking. Als we naar vergelijking 23 kijkenzien we dat Ψ(x, t) en AΨ(x, t) oplossingen zijn waarbij A een(complexe) constante is. We moeten dus een waarde voor A vindendie voldoet aan vergelijking 25. Dit proces wordt normalisatie van degolffunctie genoemd. Voor sommige oplossingen van deSchrödingervergelijking is de integraal oneindig, in dit geval zal geenenkele constante "1" als uitkomst maken. Het zelfde geldt voorΨ = 0. Deze oplossingen kunnen niet genormaliseerd worden en duskunnen ze geen fysische deeltjes beschrijven.

Maar wacht eens even! Stel dat we de golffunctie genormaliseerdhebben voor tijd t = 0. Hoe weet men dat de golffunctie genormali-seerd blijft als de tijd verstrekt en Ψ evolueert? Men kan de golffunc-tie niet blijven normaliseren want dan wordt A en functie van t endan heb je niet langer meer een oplossing voor de Schrödingerver-gelijking. Gelukkig bezit de Schrödingervergelijking de eigenschapdat het deels automatisch de golffunctie normaliseert. Zonder dezecruciale functie zou de Schrödingervergelijking incompatibel zijnmet de statistische interpretatie en zou de hele theorie ineenstorten.Dus laten we hier pauzeren en een bewijs leveren voor dit belangrijkepunt.


ddt

+∞ˆ

−∞

|Ψ(x, t)|2 dx =

+∞ˆ

−∞

∂

∂t|Ψ(x, t)|2 dx (26)

De ∂∂t |Ψ(x, t)|2 term kunnen we uitschrijven door middel van de

productregel.

∂

∂t|Ψ|2 =

∂

∂t(Ψ∗Ψ) = Ψ∗

∂Ψ∂t

+∂Ψ∗

∂tΨ

De Schrödingervergelijking leert ons dat

∂Ψ∂t

=ih2m

∂2Ψ∂x2 −

ih

VΨ

en de complexe geconjugeerde van de Schrödingervergelijking is dan

∂Ψ∗

∂t=

ih2m

∂2Ψ∗

∂x2 −ih

VΨ∗

dus

∂

∂t|Ψ|2 =

ih2m

(Ψ∗

∂2Ψ∂x2 −

∂2Ψ∗

∂x2 Ψ)=

∂

∂x

[ih2m

(Ψ∗

∂Ψ∂x

+∂Ψ∗

∂xΨ)]

De integraal van vergelijking (26) kan nu uitgewerkt worden. Ditgeeft ons

ddt

+∞ˆ

−∞

|Ψ(x, t)|2 dx =ih2m

(Ψ∗

∂Ψ∂t

+∂Ψ∗

∂tΨ)∣∣∣∣+∞

−∞

Maar Ψ(x, t) moet de nul gaan naderen als x naar (±) oneindig gaat,want anders is de golffunctie niet normaliseerbaar en representerenze geen deeltjes. Hieruit volgt dat

ddt

+∞ˆ

−∞

|Ψ(x, t)|2 dx = 0

en dus is de integraal een constante (tijdonafhankelijke). Als Ψ genor-maliseerd is op t = 0, dan zal Ψ voor altijd genormaliseerd blijven.QED


De tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking

In de vorige paragraaf hebben we een aantal eigenschappen van deSchrödingervergelijking uitgelegd en bewezen. Laten we nu gaankijken naar misschien de belangrijkste vraag "hoe lossen we de Schrö-dingervergelijking op?" We nemen aan dat de potentiële energie Vonafhankelijk is van t. In dit geval kunnen we de Schrödingerverge-lijking oplossen door middel van scheiden van variabelen (de eersteaanval die men doet voor het oplossen van partiële differentiaalver-gelijkingen). We zoeken oplossingen die simpele producten zijn,

Ψ(x, t) = ψ(x) f (t) (27)

waarbij ψ alleen een functie is van x en f alleen van t. Op het eerstegezicht lijkt dit heel absurd, want de meeste oplossingen zullen mis-schien niet in de vorm van twee simpele en variabel onafhankelijkeproducten voorkomen, maar we zullen later zien dat de oplossingendie we krijgen door middel van deze aanname hele speciale oplossin-gen zijn.

Als eerst substitueren we (27) in de Schrödingervergelijking, ditgeeft

ih∂ψ(x) f (t)

∂t= − h2

2m∂2ψ(x) f (t)

∂x2 + V(x)ψ(x) f (t)

Uitwerken van de afgeleiden geeft

∂Ψ∂t

= ψd fdt

,∂2Ψ∂2x

=d2ψ

dx2 f

de Schrödingervergelijking wordt dan

ihψd fdt

= − h2

2md2ψ

dx2 f + Vψ f

Nu deelt men beide leden door ψ f zodat het linkerlid alleen afhan-kelijk is van f (t) en het rechterlid alleen van ψ(x)

ih1f

d fdt

= − h2

2m1ψ

d2ψ

dx2 + V(x) (28)

Het linkerlid is nu alleen een functie van t en het rechterlid is alleeneen functie van x.3 De enige manier dat vergelijking (28) waar kan 3 Merk op dat dit niet het geval is als V

een functie van x en t zou zijn.zijn is als beide leden in feite een constante zijn. Wij noemen dezeconstante E. We zullen later zien waarom we deze constante E noe-men.

ih1f

d fdt

= E


d fdt

= − iEh

f (29)

en

− h2

2m1ψ

d2ψ

dx2 + V(x) = E

− h2

2md2ψ

dx2 + V(x)ψ = Eψ (30)

Door de aanname te maken dat de oplossing voor de Schrödin-gervergelijking een product moet zijn van onafhankelijke variabelennamelijk Ψ(x, t) = ψ(x) f (t), hebben we een partiële differentiaal-vergelijking omgezet in twee gewone differentiaalvergelijkingen(vergelijking 29 en 30). Differentiaalvergelijking 29 is makkelijk omop te lossen. De algemene oplossing is Ce−

iEth , maar we kunnen de

constante C ook samenvoegen met de integratieconstante die zal op-duiken bij het oplossen van vergelijking 30, omdat de uiteindelijkeoplossing toch een product is van ψ en f , dus

f (t) = e−iEth

Vergelijking 30 wordt ook de tijdonafhankelijke Schrödingervergelij-king genoemd. We kunnen niet verder gaan met oplossen totdat Vgespecificeerd is.

Nu we de Schrödingervergelijking omgezet hebben in een tijdon-afhankelijke Schrödingervergelijking vragen we ons af waarom dezeaanname zo speciaal is, want de meeste oplossingen voor de tijdaf-hankelijke Schrödingervergelijking zullen niet in deze vorm ψ(x) f (t).


De oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking

De algemene oplossing voor de tijdonafhankelijke Schrödingerverge-lijking is een oneindige combinatie van oplossingen (ψ1(x), ψ2(x), ψ3(x) . . .)elk met een met een daarbij behorende scheidingsconstante (E1, E2, E3,...)

Ψ1(x, t) = ψ1(x)e−iE1t

h , Ψ2(x, t) = ψ2e−iE2t

h

Dus elke combinatie van een oplossing (in vorm van een som) is dusook een oplossing. Dit kunnen we in een wat meer algemene vormopschrijven.

Ψ(x, t) =∞

∑n=1

cnψn(x)e−iEnt

h

De bovenstaande formule lijkt veel op de exponentiële vorm van deFourier series. Met behulp van de Fourier series kan men elke conti-nue functie construeren. Dus elke oplossing voor de (tijdafhankelijke)Schrödingervergelijking kan in de bovenstaande vorm geschrevenworden. Dat betekend dat het scheidden van de Schrödingervergelij-king met de aanname Ψ(x, t) = ψ(x) f (t) alle oplossingen geeft. Alsje de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking hebt opgelost ben jebijna klaar. Het oplossen van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelij-king is simpel, alleen moet je En vinden.


De Schrödingervergelijking in 3-D

De Schrödingervergelijking in het Cartesisch coördinatenstelsel

In de vorige paragraaf hebben we de Schrödingervergelijking inéén dimensie beschreven en opgesplitst in twee gewone onafhanke-lijke differentiaal vergelijkingen, waarbij de potentiële energie alleenafhangt van de plaats. In deze paragraaf gaan we kijken naar deSchrödingervergelijking in drie dimensies. Het herschrijven van deSchrödingervergelijking in meerdere dimensies is vrij voor de handliggend. De Schrödingervergelijking in het algemeen is

ih∂Ψ∂t

= HΨ

waar de Hamiltoniaan H verkregen wordt door substitutie van ope-rators in de klassieke vergelijking voor kinetische energie

12

mv2 + V =1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+ V

waar het impuls p in x, y en z coördinaten in de kwantummechanicagefineerd wordt als

px →hi

∂

∂x, py →

hi

∂

∂y, pz →

hi

∂

∂z

oftewel

~p→ hi∇

Dus de Schrödingervergelijking in drie dimensies is dan

ih∂Ψ∂t

= − h2

2m∇2Ψ + VΨ

waar

∇2 ≡ ∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2

gedefinieerd wordt als de Laplaciaan in het Cartesisch coördinaten-stelsel.


De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten

Vaak is de formule voor de potentiële energie V alleen een functievan de afstand tot de oorsprong, dan het het vanzelfsprekend ombolcoördinaten (r, θ, φ) te gebruiken. In bolcoördinaten neemt deLaplaciaan de volgende vorm aan

∇2 =1r2

∂

dr

(r2 ∂

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

(∂2

∂φ2

)In bolcoördinaten wordt de tijdonafhankelijke Schrödingervergelij-king

− h2

2m

[1r2

∂

dr

(r2 ∂ψ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

(∂2ψ

∂φ2

)]+Vψ = Eψ

(31)We gaan nu weer kijken naar oplossingen in vorm van simpele pro-ducten

ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ)

Wanneer we dit substitueren in vergelijking 31 en de afgeleiden ne-men krijgen we

− h2

2m

[Yr2

ddr

(r2 dR

dr

)+

Rr2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y∂θ

)+

Rr2 sin2 θ

(∂2Y∂φ2

)]+V RY = E RY

Daarna delen we beide leden door R Y en vermenigvuldigen webeide leden met −2mr2

h2 om de variabelen te kunnen scheidden.

{1R

ddr

(r2 dR

dr

)− 2mr2

h2 [V(r)− E]}+

1Y

{1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y∂θ

)+

1sin2 θ

(∂2Y∂φ2

)}= 0

De eerste term in de accolades is alleen een functie van r, terwijlde tweede term alleen een functie is van θ en φ. Dus, zoals eerderuitgelegd, elke term is gelijk gelijk aan een constante. Deze schei-dingsconstante noemen we l (l + 1). We krijgen dus twee apartedifferentiaalvergelijkingen

1R

ddr

(r2 dR

dr

)− 2mr2

h2 [V(r)− E] = l (l + 1) (32)

1Y

{1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y∂θ

)+

1sin2 θ

(∂2Y∂φ2

)}= −l (l + 1) (33)

Vergelijking 32 kunnen we niet verder vereenvoudigen of oplossentotdat V(r) bepaald is. In vergelijking 33 hangt Y af van θ en φ. Deze


vergelijking kunnen we, net als de vorige vergelijkingen, opsplitsenin twee gewone differentiaalvergelijkingen. We vermenigvuldigenvergelijking 33 eerst met Y sin2 θ, dit geeft

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂Y∂θ

)+

(∂2Y∂φ2

)= −l (l + 1) sin2 θY (34)

Daarna gaan we de partiële differentiaalvergelijking proberen op telossen door scheiden van variabelen:

Y(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)

We voeren dit, in vergelijking (34) en nemen de afgeleiden en delendoor Θ Φ geeft geeft ons

{1Θ

[sin θ

ddθ

(sin θ

dΘdθ

)]+ l(l + 1) sin2 θ

}+

1Φ

d2Φdφ2 = 0

De eerste term is alleen een functie van θ en de tweede term is alleeneen functie van φ, dus de termen verschillen van elkaar een constantedie we m2 noemen

1Θ

[sin θ

ddθ

(sin θ

dΘdθ

)]+ l(l + 1) sin2 θ = m2 (35)

1Φ

d2Φdφ2 = −m2 (36)

De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de azimutale vergelijking

Vergelijking 36 is vrij eenvoudig om op te lossen en heeft als oplos-sing:

1Φ

d2Φdφ2 = −m2 ⇒ Φ(φ) = eimφ

Als nu φ zich verplaatst met 2π dan komen we precies op het zelfdepunt in de ruimte terecht waar we starten, dus

Φ(φ + 2π) = Φ(φ)

dus

eim(φ+2π) = eimφ

dus

e2πim = 1

Hieruit volgt dat m een geheel getal moet zijn.

m = 0,±1,±2, . . .


De Schrödingervergelijking in bolcoördinaten: de geassocieerde Legendrevergelijking

Om de poolcoördinatenvergelijking (35) op te lossen moet deze her-leidt worden tot de geassocieerde Legendrevergelijking. De poolcoör-dinatenvergelijking die we gaan oplossen is

1Θ

[sin θ

ddθ

(sin θ

dΘdθ

)]+ l(l + 1) sin2 θ = m2

herleiden geeft

1sin θ

ddθ

(sin θ

dΘdθ

)+

(l (l + 1)− m2

sin2 θ

)Θ = 0 (37)

Daarna gebruiken we de substitutie P (cos θ) = Θ(θ) en x = cos θ. Deafgeleiden worden dan

ddθ

=dxdθ

= − sin θd

dxWanneer we dit substitueren in vergelijking 37 geeft dit

1sin θ

(− sin θ)ddθ

(sin θ (− sin θ)

dPdx

)+

(l (l + 1)− m2

sin2 θ

)P = 0

ddx

(sin2 θ

dPdx

)+

(l (l + 1)− m2

sin2 θ

)P = 0

Omdat

sin2 θ + cos2 θ = 1

kunnen we de volgende substitutie maken

sin2 θ = 1− cos2 θ = 1− x2

wat geeft

ddx

((1− x2

) dPdx

)+

(l (l + 1)− m2

1− x2

)P = 0

Als we de afgeleide in de eerste term uitwerken met behulp van deproductregel krijg je

(1− x2

) d2Pdx2 − 2x

dPdx

+

(l (l + 1)− m2

1− x2

)P = 0

Nu hebben we de poolcoördinaten vergelijking van de Schrödin-gervergelijking omgezet in de geassocieerde Legendrevergelijkingwaarvan de oplossing in de wiskundige literatuur te vinden is. Deoplossing voor de geassocieerde Legendrevergelijking is


Pml (x) =

(1− x2

) |m|2(

ddx

)m ( 12l l!

)(d

dx

)l (x2 − 1

)l

Nu we de oplossingen voor de geassocieerde Legendrevergelijkingen de azimutale vergelijking hebben gevonden moeten we de norma-lisatiefactor vinden. Deze normalisatiefactor voor de geassocieerdeLegendrevergelijking en de azimutale vergelijking samen is√

2n + 14π

(n−m)!(n + m)!

dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking 34 is

Ymn (θ, φ) =

√2n + 1

4π

(n−m)!(n + m)!

eimφPml (cos θ) (38)


Het waterstof atoom

De geassocieerde Laguerre vergelijking

Het waterstof atoom bestaat uit een zware bewegenloze kern (die wein de oorsprong plaatsen) met een lading e waar omheen een elektronbeweegt met dezelfde lading e. Tussen het elektron en het protonheerst er een elektrisch veld vanwege de lading van het proton enelektron. Deze kracht wordt beschreven door de Wet van Coulomb.Door de Wet van Coulomb te vermenigvuldigen met r krijgen we eenformule voor de potentiële energie die we in de Schrödingervergelij-king kunnen invullen.

V(r) = − e2

4πε0

1r

Vergelijking (32) leert ons dat

1R

ddr

(r2 dR

dr

)− 2mr2

h2 [V(r)− E] = l (l + 1)

waar V(r) de potentiële is. Door de bovenstaande vergelijking teherleiden en voor V(r) de potentiële energie te substitueren krijgtmen

− h2

2md2udr2 +

[− e2

4πε0

1r+

h2

2ml (l + 1)

r2

]u = Eu (39)

We moeten nu u(r) vinden en bepalen wat de toegestane waardenvoor E zijn. Als eerste gaan we de constanten samenvoegen en ma-ken hier één constante van om de vergelijking overzichtelijk te hou-den.

k ≡√−2mE

h(40)

Als we vergelijking (39) delen door E krijgen we

1k2

d2udr2 =

[1− me2

2πε0h2k1

(kr)+

l (l + 1)

(kr)2

]u (41)

Deze vergelijking kunnen we nog korter opschrijven door de vol-gende substitutie

p ≡ kr, en p0 ≡me2

2πε0h2k(42)

Dus vergelijking (41) wordt dan

d2udp2 =

[1− p0

p+

l (l + 1)p2

]u (43)


Laten we nu het asymptotische vorm van de oplossingen bekijken.Als p → ∞ zal de term in de haakjes domineren en ongeveer gelijkzijn aan 1. Dus de vergelijking wordt dan

d2udp2 = u

met als algemene oplossing

u(p) = Ae−p + Bep

maar ep zal oneindig groot worden als ρ → ∞ dus B = 0, wantanders is dit in strijdt met de statistische interpretatie van de golf-functie. De oplossing voor grote waarden van p is

u(p) ∼ Ae−p

Aan de andere hand, als p → 0 zal de centrifugale term domineren.De vergelijking wordt dan

d2udρ2 =

l (l + 1)p2 u

de algemene oplossing is

u(p) = Cpl+1 + Dp−1

maar de oplossing p−1 zal het oneindige naderen als p → 0 dus isD = 0. De oplossing voor kleine waarden van p is

u(p) ∼ Cpl+1

Men hoopt dat de oplossing voor vergelijking (41) in de volgendevorm is, waar v(p) een onbekende functie is die Cpl+1 en Ae−p aanelkaar vast "lijmt".

u(p) = pl+1e−pv(p)

Nu moeten we v(p) vinden. Dit doen we door een differentiaalver-gelijking op te stellen en oplossen voor v(p). We beginnen als eerstemet het nemen van de eerste en tweede afgeleiden van u(p)

dudp

= ple−p((l + 1− p) v + p

dvdp

)

d2udp2 = ple−p

((−2l − 2 + p +

l (l + 1)p

)v + 2 (l + 1− p)

dvdp

+ pd2vdp2

)Nu kunnen we vergelijking (43) gelijkstellen aan de bovenstaandevergelijking. Na wat algebraïsche tussenstappen vindt men dat


pd2vdp2 + 2 (l + 1− p)

dvdp

+ (p0 − 2 (l + 1)) v = 0 (44)

We nemen aan dat de oplossing voor v(p) uitgedrukt kan worden ineen (oneindige) machtreeks. Deze methode wordt ook

v(p) =∞

∑j=0

aj pj

Het doel is nu om de onbekende coëfficiënten (a0, a1, a2, . . .) te bepa-len. Wanneer we de eerste afgeleidde nemen krijgen we

dvdp

=∞

∑j=0

jaj pj−1 =∞

∑j=0

(j + 1) aj+1 pj

Nogmaals differentiëren geeft

d2vdp2 =

∞

∑j=0

j (j + 1) aj+1 pj−1

Het is de bedoeling dat we een recursief voorschrift krijgen voor hetbepalen van de coëfficiënt aj. Als eerste substitueren we de afgeleid-den in, in vergelijking (41), dit geeft

∞

∑j=0

j (j + 1) aj+1 pj + 2 (l + 1)∞

∑j=0

(j + 1) aj+1 pj− 2∞

∑j=0

jaj pj +(p0 − 2 (l + 1))∞

∑j=0

aj pj = 0

We kunnen nu de vergelijking onderbrengen onder één sommatie ende pj eruit factoriseren

∞

∑j=0

(j (j + 1) aj+1 pj + 2 (l + 1)

((j + 1) aj+1 pj

)− 2

(jaj pj

)+ (p0 − 2 (l + 1))

(aj pj

))= 0

Maar pj waarbij j = 0, 1, 2, 3, . . . zal nooit nul worden, dus

j (j + 1) aj+1 + 2 (l + 1) (j + 1) aj+1 − 2jaj + (p0 − 2 (l + 1)) aj = 0

wanneer we aj+1 vrijmaken, krijgt men

aj+1 =

{2 (j + l + 1)− p0

(j + 1) (j + 2l + 2)

}aj

Dit recursief voorschrift geeft ons alle coëfficiënten en dus de functiev(p). Men start met de coëfficiënt a0 = A die bepaalde wordt doornormalisatie.

Maar we moeten nu controleren of de gevonden oplossing v(p)niet "opblaast" als j→ ∞.


limj→∞

(2 (j + l + 1)− p0

(j + 1) (j + 2l + 2)

)aj ≈

2j

j!A

dus

v(p) = A∞

∑j=0

2j

j!pj = Ae2p

en dus is u(p)

u(p) = Apl+1ep

Maar u(p) zal het oneindige naderen als j → ∞ en dit is in strijdmet de statistische interpretatie van de golffunctie, omdat ze nietnormalizeerbaar zijn. Er is maar één oplossing voor dit dilemma endat is de series aflopen moeten zijn zodat

ajmax+1 = 0

dat betekend dat

2 (jmax + l + 1)− p0 = 0

We definiëren

n ≡ jmax + l + 1

(waarbij n het hoofdkwantumgetal genoemd wordt) dus

p0 = 2n (45)

Maar p0 bepaald de energie (vergelijking (40) en (42)), dus

E = − h2k2

2m= − me2

8π2ε20 h2 p2

0

Dat betekend dat de toegestane energieniveaus in het waterstofatoom berekend kunnen worden door

En = −[

m2h2

(e2

4πε0

)2] 1n2 =

E1

n2 , n = 1, 2, 3, . . .

Dit is de bekende formule van Bohr die deze formule gevondenheeft door klassieke mechanica te combineren met de toen jongekwantummechanica. Met behulp van vergelijking (42) en (45) krijgenwe

k =

(me2

4πε0h2

)1n=

1an


waar

a ≡(

me2

4πε0h2

)−1

= 0.529× 10−10 m

de Bohr radius genoemd wordt. Uit vorige vergelijking en vergelij-king (42) volgt dat

p =r

anBlijkbaar wordt de golffunctie voor het waterstofatoom bepaald doordrie kwantumnummers (n, m en l)

ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Yml (θ, φ)

waar

Rnl(r) =1r

pl+1e−pv(p)

waar v(p) een polynoom is waar de coëfficiënten bepaald wordendoor

aj+1 =2 (j + l + 1− n)

(j + 1) (j + 2l + 2)aj

De polynoom v(p) waar de coëfficiënten bepaald worden door deformule hierboven komt veel voor in de toegepaste wiskunde. Dieook als volgt geschreven wordt

v(p) = L2l+1n−l−1 (2p)

waar

Lpq−p(x) ≡ (−1)p

(d

dx

)pLq(x)

waar

Lq(x) ≡ ex(

ddx

)q (e−xxq)

De polynomen die uit Lpq−p(x) worden de geassocieerde Laguerre

polynomen genoemd.De algemene formule voor de normalisatiefactor voor de geassoci-

eerde Laguerre vergelijking is

N =

√(n− l − 1)!2n(n + 1)!

(2

na

)3

Dus de genormaliseerde oplossing voor vergelijking (39) is

Rnl(r) =

√(n− l − 1)!2n(n + 1)!

(2

na

)3e−

2na

(2rna

)lL2l+1

n−l−1

(2rna

)


De golffunctie voor de grondtoestand

De golffunctie voor ψ100, dus de eerste schil van het waterstof atoomis

Ψ100(r, θ, φ) = R10(r)Y00 (θ, φ)

Het recursief voorschrift voor v(p) wordt al afgekapt bij de eersteterm en geeft ons alleen de constante a0.

R10(r) =a0

ae−

ra

Nu moeten we alleen nog R10(r) normaliseren om a0 te vinden

∞

0

|R10|2 r2dr =|a0|2

a

∞

0

e−ra r2dr = |a0|2

a4= 1

dus a0 = 2√a terwijl Y0

0 = 1√4π

, dus

Ψ100(r, θ, φ) =1√

4πa3e−

ra


De golffunctie van het waterstofatoom

We hebben in het begin de aanname gemaakt dat de oplossing Ψvoor het waterstofatoom in vorm van een product zal voorkomen

Ψ(r, θ, φ) = N R(r)Y(θ, φ)

waar N de normalisatiefactor is. Verder hebben we ook ontdekt datbij het oplossen van de drie vergelijkingen (R(r), Θ(θ) en Φ(φ)) ookdrie speciale gehele getallen n, l en m voorkomen. Als we alle oplos-singen R(r), Θ(θ), Φ(φ) en de normalisatiefactor N aan elkaar vastplakken krijgen we de algemene oplossing voor het waterstofatoom.

Ψnlm(r, θ, φ) =

√(n− l − 1)!2n(n + 1)!

(2

na

)3e−

rna

(2rna

)lL2l+1

n−l−1

(2rna

)√2n + 1

4π

(n−m)!(n + m)!

eimφPml (cos θ)

(46)

Deel II

Simulatie

Het waterstofatoom

Inleiding

In het eerste deel van dit werkstuk hebben we veel theorie behan-deld van klassieke mechanica tot kwantummechanica. Ook heb-

ben we de Schrödingervergelijking voor het waterstofatoom opgelostwaarbij we speciale effecten zoals relativistische effecten hebbenverwaarloost. Het waterstofatoom is het enige atoom waarbij deSchrödingervergelijking in zijn meest "eenvoudigste" vorm exact op-gelost kan worden. Dit maakt op zich niet heel veel uit, omdat degolffunctie van hogere elementen bijna het zelfde zijn als die van eengeëxciteerd waterstofatoom.

Het doel is om met behulp van Wolfram Mathematica 8® een dicht-heidsplot te maken van de kansdichtheid. Met MathWorks MAT-LAB® zullen we een drie dimensionaal beeld te creëren van de golf-functie van het waterstofatoom en deze te analyseren. Dit vereistkennis over de syntaxis van Wolfram Mathematica 8® en MathWorksMATLAB®.

Implementatie

In het vorige deel hebben we de algemene oplossing voor het wa-terstofatoom afgeleidt. Het handigste zou zijn als we een functiekunnen vinden voor Mathematica waarbij we alleen de waarden voorn, l en m hoeven in te voeren en dat Mathematica de juiste bijbeho-rende golffunctie geeft. Op het internet is de volgende functie voorhet waterstofatoom te vinden voor Mathematica,

1 Hydrogen [ n_ , l_ , m_] :=2 Sqrt [2^3/(n * a ) ^3]3 Sqrt [ ( n − l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] *4 Exp[− r /(n * a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l *5 LaguerreL [ n − l − 1 , 2 * l + 1 , (2 * r ) /(n * a ) ] *6 SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ]7 // FullSimplify


4Deze voeren we in Mathematica en drukken op enter op om de 4 jjjj

functie in het geheugen op te slaan. Regel 6 stelt vergelijking 38 vooren regel 7 zorgt ervoor dat de oplossing zo veel mogelijk herleidtwordt. De rest spreekt voor zich.

Met behulp van deze code hoeven we alleen de waarden voor n, l enm in te voeren en Mathematica zal ons de juiste oplossing voor dedesbetreffende waarden geven. Als we voor Ψnlm = Ψ321 degolffunctie willen weten hoeven we alleen het volgende inMathematica in te voeren

Hydrogen [ 3 , 2 , 1 ]

De a moet nu nog gedefinieerd worden, dit is de Bohr radius inångström die we als volgt invoeren in Mathematica.

a = 0 . 529

Wanneer we verschillende waarden voor n, l en m invoeren krij-gen we de golffunctie Ψnlm voor de desbetreffende waarden, maardeze oplossing geeft nog niet de kansdichtheid van het elektron.Om de kansdichtheid te krijgen uit de golffunctie Ψnlm moeten westatistische interpretatie van Born toepassen op de golffunctie.5 De 5 Vergelijking 24 is de statistische in-

terpretatie van Born in het Cartesischecoördinatenstelsel. Vergelijking 24 voorbolcoördinaten is

´|Ψ|2 d3~r = 1

golffunctie die Mathematica ons levert moet gekwadrateerd wordenen vermenigvuldigd worden met 4πr2. Nadat we de oplossing Ψnlm

vermenigvuldigd hebben met 4πr2 moeten we een coördinatentrans-formatie toepassen. De algemene oplossing voor de golffunctie isin bolcoördinaten terwijl het handiger is met het driedimensionaleCartesisch coördinatenstelsel in Mathematica te werken. Wanneerwe l en m nul laten dus Ψnlm = Ψn00 is de golffunctie alleen eenfunctie van r. Maar als we l niet nul laten, dus Ψnlm = Ψnm0, wordtde golffunctie een functie van r en θ. En als Ψnlm = Ψnlm dan is degolffunctie een functie van r, θ en φ.

Stel we willen een plot hebben waar Ψnlm = Ψn00 dan hebben wein principe voldoende aan een 2D plot waar de kansdichtheid eenfunctie is van de afstand r. Om een plot te maken van Ψ100 moetenwe eerst de golffunctie krijgen. Daarvoor gebruiken we de functieHydrogen[n, l, m]. Wanneer we een 2D plot willen maken van deafstand tegen de kans moeten we eerst de golffunctie krijgen. Alsvoorbeeld nemen we Ψ100. Als eerste voeren we het volgende stukjecode in on de golffunctie te krijgen,

Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ]

dit geeft ons

Ψ100 =

√1a3 e−

ra

√π


De kansdichtheid voor Ψ100 wordt dan

PΨ100(r) =4e−

2ra r2

a3

Om een 2D plot te maken van deze functie gebruiken de onder-staande syntaxis. De afstand r doen we in n termen van de Bohrradius, dus a, 2a, 3a, . . . na.

Plot [ f , { x , x−min , x−max } ]

dus voor PΨ100(r) wordt deze

Plot [ ( Hydrogen [ 1 , 0 , 0 ] ) ^ 2 * 4 * Pi * r ^2 , { r , 0 , 5 a } ,AxesLabel −> {Å, 4 \[ Pi ] r ^2 Subscript [R , nl ] ^ 2 } ,PerformanceGoal −> " Quali ty " ,PlotRange −> Full ,PlotSty le −> { Thick , Thick }]

Voor golffuncties waarbij Ψnlm = Ψnm0 is de oplossing niet meerpunt- en draaisymmetrisch wat wel het geval is bij golffunctie waarΨnlm = Ψn00 dus moeten we gebruik maken van een 3D plot waarde x-as de kansdichtheid voorstelt en y en z de afstand als m = 0.t6 6 De z-as omhoog, de y-as rechts en de

x-as het papier uitEen oplossing van de golffunctie waarbij Ψnlm = Ψnm0 zal altijd eenfunctie zijn van r en cos θ (zie vergelijking 46), dus moeten we r encos θ uitschrijven in termen van x en y. Daarvoor gebruiken we devolgende substitutie

r =√

x2 + y2

cos θ =z√

y2 + z2

De syntaxis voor de 3D plot in Mathematica is

Plot3D [ f , { x , x−min , x−max } , { y , y−min , y−max } ]

De 3D plot voor bijvoorbeeld PΨ210(x, y) is

Plot3D [( E^(−( Sqrt [ x^2+y^2]/a ) ) ( x^2+y^2)^4 ( x/Sqrt [ x^2+y ^2 ] )^2 )/(288 a ^5 ) ,{ x , −20a , 20a } , { y , −20 , 20a } ,PlotRange −> All]

De meest belangrijkste plot die we gaan gebruiken is de kansdicht-heidsplot. Deze plot zal met behulp van kleuren aangeven waar dekans het grootst zal zijn om het elektron te vinden. De syntaxis diewe gaan gebruiken voor de dichtheidsplot is


DensityPlot [ HydrogenNxz [ n , l , 0 ] , { y , −b , b } , { z , −b , b } ,Mesh −> False ,Frame −> False ,PlotPoints −> 100 ,ColorFunctionScaling −> True ,ColorFunction −> " SunsetColors " ,PerformanceGoal −> " Quali ty " ,Axes −> True ,Ticks −> False ,]

De functie HydrogenNxz heb ik zelf gedefinieerd waar

HydrogenNxz[n, l, m] = (Hydrogen[n, l, m])2 4πr2

r =√

y2 + z2

θ = arctan(y

z

)Als laatste gaan we een contourplot maken van alle mogelijke

golffuncties gaande van n = 1 tot n = 5 waarbij we ook l en mvariëren. Deze plot kunnen we niet maken in Mathematica, omdatMathematica niet geavanceerd genoeg is. In plaats daarvan gebrui-ken we MathWorks MATLAB® voor het plotten. Het script dat wegaan gebruiken is

1 % P l o t t i n g hydrogen o r b i t a l s2 c lose a l l ;3 % Quantum numbers ==========================4 n=1 ;5 l =0 ; % 0<= l <n6 m=0 ; % −l <= m <= l7 %===========================================8 p r o b a b i l i t y =1E−5;9 a =1 ; % Bohr r a d i u s

10 % N o r m a l i z a t i o n11 N=abs ( sign (m) * sqr t ( 2 ) +( sign ( abs (m) )−1) * 2 ) ;12 % Angular p a r t13 SphericalYlm=@( l ,m, theta , phi ) sqr t ( ( 2 * l +1) /(4* pi ) *

f a c t o r i a l ( l−abs (m) ) / . . . f a c t o r i a l ( l +abs (m) ) )

* AssociatedLegendre ( l ,m, cos ( t h e t a ) ) . * exp (1 i *m*phi ) ;

14 Y=@( l ,m, theta , phi ) ( SphericalYlm ( l ,m, theta , phi ) +SphericalYlm ( l ,−m, theta , phi ) ) /N;

15 % R a d i a l p a r t16 R=@( n , l , r ) sqr t ( ( 2 / ( a *n ) ) ^3* f a c t o r i a l ( n−l −1) /(2*n*


f a c t o r i a l ( n+ l ) ) ) . * . . . exp(− r /( a *n ) ) . * ( 2 *r /( a *n ) ) .^ l *1/ f a c t o r i a l ( n−l −1+2* l +1) . * . . .AssociatedLaguerre ( n−l −1 ,2* l +1 ,2* r /( a *n ) ) ;

17 % Wave f u n c t i o n18 ps i=@( n , l ,m, r , theta , phi ) R( n , l , r ) . * Y( l ,m, theta , phi )

;19 % S e t t i n g t h e g r i d20 border =32 ;21 accuracy =100 ;22 [ x , y , z ]= ndgrid ( l inspace (−border , border , accuracy ) ,

l inspace (−border , border , accuracy ) , l inspace (−border , border , accuracy ) ) ;

23 % C o n v e r s i o n C a r t e s i a n t o s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s24 r=sqr t ( x .^2+y.^2+ z . ^ 2 ) ;25 t h e t a =acos ( z ./ r ) ;26 phi=atan2 ( y , x ) ;27 % P l o t o r b i t a l , − and + wave f u n c t i o n p h a s e28 c o l o r s =sign ( ps i ( n , l ,m, r , theta , phi ) ) ;29 i s o s u r f a c e ( ps i ( n , l ,m, r , theta , phi ) . ^ 2 , p r o b a b i l i t y ,

c o l o r s ) ;30 t i t l e ( [ ’n = ’ num2str ( n ) ’ , l = ’ num2str ( l ) ’ , m =

’ num2str (m) ] , ’FontName ’ , ’ Times ’ , ’ FontSize ’ , 1 2 );

31 s e t ( gcf , ’ c o l o r ’ , [ 1 1 1 ] ) ;32 daspect ( [ 1 1 1 ] ) ;33 axis o f f ;34 view ( 3 ) ;35 camlight ( ’ l e f t ’ ) ;36 camzoom ( 0 . 9 5 ) ;37 l i g h t i n g phong ;38 axis vis3d ;39 ro ta te3d on ;40 brighten ( 1 ) ;

We hoeven alleen de waarden voor n, l en m te wijzig in regels 4, 5 en6 om een contourplot te krijgen. Voor grotere waarden van n zullenwe ook de waarden in regels 8 en 20 wijzigen en eventueel ook regel21 om de rekentijd in tekorten.


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψn00

Als eerste beginnen we met de gemakkelijkste golffuncties waarbijwe n variëren en waar we l = m = 0. Als eerste gaan we de functieHydrogen[n, l, m] definiëren in Mathematica door in te voeren:

Hydrogen [ n_ , l_ , m_] := Sqrt [2^3/(n * a ) ^3] Sqrt [ ( n− l − 1 ) ! / ( 2 * n * ( ( n + l ) ! ) ^3) ] * Exp[− r /(n *

a ) ] * ( ( 2 * r ) /(n * a ) ) ^ l * LaguerreL [ n − l − 1 ,2 * l + 1 , (2 * r ) /(n * a ) ] *SphericalHarmonicY [ l , m, \[ Theta ] , \[ Phi ] ] //FullSimplify

dan moet a nog gedefinieerd worden. De eenheid van de Bohr radiusdoen we in de ångström.

a = 0 . 529

We voeren in Mathematica het volgende in on de formules voor degolffuncties te verkrijgen:

Hydrogen [ n , 0 , 0 ]

waar we apart voor n de waarden n = 1, 2, 3, 4, 5 invullen. Dit geeftons vijf golffuncties die allemaal tot de s-orbitalen horen.7 7 De "a" heb ik expres niet uitgewerkt,

omdat dan de formules in de tabelhieronder onoverzichtelijk wordenΨnlm = Ψn00 Golffunctie Ψn00(r)

n = 1

√1

a3 e−ra

√π

n = 2

√1

a3 e−r

2a (2− ra )

8√

2π

n = 3

√1

a3 e−r

3a (27a2−18ar+2r2)486a2

√3π

n = 4

(1

a3

)3/2e−

r4a (192a3−144a2r+24ar2−r3)

36864√

π

n = 5

√1

a3 e−r

5a (9375a4−7500a3r+1500a2r2−100ar3+2r4)5625000a4

√5π

Vervolgens maken we een plot van de afstand gezien vanaf hetproton tegen de kansdichtheid.


Figuur 12:

PY100

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Å

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

4 Πr2 Rnl2

PY200

2 4 6 8Å

0.02

0.04

0.06

0.08

4 Πr2 Rnl2

PY300

5 10 15Å

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

4 Πr2 Rnl2

PY400

5 10 15 20Å

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

4 Πr2 Rnl2

PY500

0 5 10 15 20 25 30Å

1. ´ 10-6

2. ´ 10-6

3. ´ 10-6

4. ´ 10-6

5. ´ 10-6

6. ´ 10-6

4 Πr2 Rnl2

Met deze grafieken kunnen we heel goed analyseren waar hetelektron het meeste van zijn tijd doorbrengt. In de grafiek van PΨ100

zien we dat de top van de grafiek als x-coordinaat 0.529 A heeft. Ditis exact de afstand die N.Bohr berekend heeft voordat deSchrödingervergelijking opgesteld werd. Een ander interessantfenomeen is dat bij golffuncties waarbij n > 1 er plaatsen (de dalen)zijn waar de kans dat we het elektron kunnen vinden 0 is. Dus alseen elektron van de ene kant van het dal naar de andere wilt gaan,ondergaat het elektron tunneling.

Naast de normale plot maken we ook een een dichtheidsplot.


Figuur 13:


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnl0

Het hoofdkwantumgetal n is de hoofdverdeling van de energieni-veaus in een atoom (de (hoofd)schillen). Het impulsmoment verdeeltde (hoofd)schillen in subschillen. Voor een hoofdkwantumgetal nkan l de waarden 0, 1, 2, . . . n − 1 bezitten. De subschillen wordenaangegeven door een letter uit de reeks s, p, d, f , g, h, i, j, k, . . . (voorl = 0, 1, . . . n− 1) toe te voegen aan het hoofdkwantumgetal n. An-ders dan de hoofdkwantumletters, worden deze letters nog steedsveelvuldig in natuur- en scheikunde gebruikt. De mogelijke combi-naties van l die bij een bepaalde waarde van n horen die we gaanplotten staan in de tabel hieronder

Ψnlm s-orbitalen p-orbitalen d-orbitalen f-orbitalen g-orbitalenn = 1 Ψ100 - - - -n = 2 Ψ200 Ψ210 - - -n = 3 Ψ300 Ψ310 Ψ320 - -n = 4 Ψ400 Ψ410 Ψ420 Ψ430 -n = 5 Ψ500 Ψ510 Ψ520 Ψ530 Ψ540

. . . l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4

Nu we verschillende waarden voor l invullen in onze functie Hy-drogen[n, l, m] krijgen we oplossingen die een functie zijn van r encos θ. Voordat we een plot kunnen maken van de kansdichtheid,moeten we eerst een coördinatentransformatie toepassen (zie vorigeparagraaf).


Figuur 14:


Kansdichtheden van het waterstofatoom waar Ψnlm = Ψnlm

Het magnetische kwantumgetal ml beschrijft het magnetische impulsin een willekeurige richting. Het magnetisch kwantumgetal kan dewaarden −l0 ≤ ml ≤ l0 aannemen. Het magnetisch kwantumgetalml heeft geen invloed op de energie van het elektron, maar het veran-derd wel de kansdichtheid. Alle mogelijke golffunctie die we kunnentekenen met n = 1, 2, . . . 5 staan in de tabel hieronder

l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4 . . .

n = 1 ml = 0 - - - -n = 2 0 -1, 0, 1 - - -n = 3 0 -1, 0, 1 -2, -1, 0, 1, 2 - -n = 4 0 -1, 0, 1 -2, -1, 0, 1, 2 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 -n = 5 0 -1, 0, 1 -2, -1, 0, 1, 2 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 -4, -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nu we waarden voor ml gaan invoeren betekend dat de golffunctieΨnlm een functie wordt van r, θ en φ. Om de orbitalen te plottengebruiken we MATLAB®, omdat Mathematica® minder geavanceerdis in het plotten van 3D grafieken. We moeten alleen de waarden vann, l en m wijzigen en het script runnen.

Voor elke energieniveau n zullen we een 3D plot maken met MAT-LAB.


s( l=

0)p( l=

1)m

=0

m=

0m

=±

1s

pz

px

py

n=

1

n=

2

n=

3

n=

4

n=

5Tabel

1:


p(l=

2 )m

=0

m=±

1m

=±

2d z

2d x

zd y

zd x

yd x

2 −y2

n=

1n=

2

n=

3

n=

4

n=

5Ta

bel2

:


f( l=

3)m

=0

m=±

1m

=±

2m

=±

3fz 3

fxz 2fyz 2

fxyzfz( x

2−y

2)fx( x

2−3y

2)fy( 3x

2−y

2)

n=

1n=

2n=

3

n=

4

n=

5Tabel

3:


g(l=

4 )m

=0

m=±

1m

=±

2

n=

1n=

2n=

3n=

4

n=

5

g(l=

4 )m

=±

3m

=±

4

n=

1n=

2n=

3n=

4

n=

5Ta

bel4

:

INLEIDING TOT DE KWANTUMMECHANICA...inleiding tot de kwantummechanica 3 Fundamentele constanten...

Documents

Transcript of INLEIDING TOT DE KWANTUMMECHANICA...inleiding tot de kwantummechanica 3 Fundamentele constanten...