Inleiding

Reeksen, een erg leuk onderwerp uit de wiskunde, omdat bijna alles waar maar iets van een regelmaat in zit, wel betekenis (een limiet-waarde) heeft (bijv. een half + een kwart + een achtste ... = 1). Reeksen zijn ook enorm belangrijk, want anders konden we getallen als 'pi' en 'e', nooit (willekeurig nauwkeurig) benaderen.Heb je je wel eens afgevraagd hoe je cos(1) of ln(5,44) uitrekent? Ook kan het je erg veel werk schelen, als je bijv. de getallen 5 t/m 31 bij elkaar moet optellen, enz.

Qua niveau is deze pagina geschikt voor bijv. een VWO-leerling of iets dergelijks, als je maar geïnteresseerd bent.

Somreeksen

Eenvoudige somreeksen

Eerst een aantal eenvoudige reeksen:

De Rekenkundige reeks

Hiermee wordt bedoeld de som van een aantal opeenvolgende getallen. Bijvoorbeeld:

oftewel:

Wij doen het hier algemeen van m tot n:

Bewijs:

achterstevoren:

optellen:

Oftewel: 2S is (n-m+1) keer (m+n).

Dit kunnen we ook doen voor bijvoorbeeld kwadraten. Willen we dus weten wat de som van de eerste n natuurlijke kwadraten zijn, dan krijgen we:

De Meetkundige reeks

Deze reeks is de som van opeenvolgende machten van een getal, zeg a.

Eerst de bepaalde, eindige somreeks, dus vanaf de m-de tot de n-de macht van a:

Bewijs:

Vermenigvuldigen met a

Het verschil hiertussen:

En tenslotte S er uitwerken, dan volgt genoemde formule.

Nu de (standaard) meetkundige reeks, die hieruit volgt, voor i van 0 tot oneindig (dit werkt uiteraard alleen voor -1<a<1):

Oneindige somreeksen

Nog een aantal bijzondere reeksen:

Reeks van Euler

De reeks van Euler is de omgekeerde kwadraat-reeks:

Naar het getal e

De volgende eenvoudige reeks convergeert naar het getal e ( bewijs):

Naar het getal Pi

Ook Pi valt te benaderen met een somreeks, volgens Leibniz ( bewijs):

Oftewel:

Naar ln(2)

Een reeks die veel op die van Leibniz lijkt, maar nog eenvoudiger is ( bewijs):

Oftewel

Productreeksen

Faculteit

Een eenvoudig voorbeeld van een (eindige) produktreeks is de faculteit:

Naar het getal Pi

Pi is met de door Wallis bedachte productreeks te benaderen:

Oftewel:

Convergentie

Wanneer bereikt een reeks nu een bepaalde waarde, en wanneer niet? Bijvoorbeeld, waarom geldt:

maar:

Definitie van convergentie en divergentie

Eerst willen we weten wat convergentie nou precies inhoudt.

Stel

De reeks

is convergent als de limiet

bestaat. Als de reeks niet convergent is, heet hij divergent.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Om aan te tonen of een gegeven reeks al dan niet convergent is, hebben we de beschikking over een aantal kenmerken die hierover uitsluitsel kunnen geven: quotiëntkenmerk, wortelkenmerk en integraalkenmerk.En verder natuurlijk nog een heleboel stellingen, waarmee je reeksen tot andere reeksen kunt herleiden e.d. In het komende voorbeeld gebruiken we het integraalkenmerk.

Integraalkenmerk - harmonische reeksen

Beschouw de reeks

We zullen nu uitleggen waarom deze som wel bestaat voor bijv. p=2, maar dat de reeks divergeert voor p=1.

Eerst merken we op dat f dalend is als p>0, voor alle n>0. Dat heeft als gevolg, dat de oppervlakte onder de grafiek tussen punt k en k+1 kleiner is dan f(k), en groter dan f(k+1).Immers, de integraal tussen die punten geeft in dit geval gewoon het gemiddelde aan van f tussen die punten.Oftewel:

Als we k nu laten lopen van 1 tot N, krijgen we:

Nu laten we N naar oneindig gaan, en dan geldt f(N)=0, en krijgen we:

Aangezien f(1)=1 zal het duidelijk zijn dat de gevraagde som precies dan bestaat als de integraal bestaat (eindig is).De primitieve van f is:

..tenzij p=1, want dan krijgen we ln(x).Als we x naar oneindig laten gaan, bestaat de integraal (en dus de somreeks) precies dan als (-p+1)<0, d.w.z. p>1. Dus krijgen we o.a. dat de reeks divergeert voor p=1, en convergeert voor p=2 (wat de uiteindelijke waarde dan is hebben we nu nog niet berekend, maar dat volgt nog bij 'voorbeelden en toepassingen' van 'fourierreeksen', we weten alleen dat die waarde bestaat).

Taylor-reeksen

Wat zijn Taylor-reeksen

Taylor wilde iedere willekeurige functie schrijven als een polynoom. Eventueel met graad oneindig, oftewel: als een oneindige reeks. De gedachte achter dit polynoom is, dat hij voor het punt x=0 de zelfde waarde heeft als f(x), maar ook dezelfde afgeleide en 2e afgeleide, enz. De algemene formule luidt daarom:

met coëfficiënten

Oftewel:

Voorbeelden en toepassingen

Voorbeeld:

Ook kunnen we nu de eerder genoemde reeks van Leibniz verklaren. Neem x=1, immers

En op dezelfde manier voor de reeks van het getal e (neem x=1):

Tenslotte nog de reeks van ln(2), neem weer x=1:

Fourier-reeksen

Wat zijn Fourier-reeksen

Fourier-reeksen komen ongeveer op het zelfde neer: we gaan nu een functie zo goed mogelijk benaderen met een trigoniometrisch polynoom, op het interval [-pi, pi], te weten:

Nu moeten we voor de coëfficiënten nemen:

en

en:

Voorbeelden en toepassingen

Voorbeeld: Neem de 2pi-periodieke functie f(x) = x² op het interval [-pi, pi] (allemaal parabooltjes dus). De fourier-ontwikkeling van f is (reken dit na!):

En als we nu x=pi nemen, krijgen we:

Hadden we f(x)=x genomen, dan hadden we gekregen:

voor alle n. Als we nu weer x=pi invullen, krijgen we de reeks van Leibniz nog eens een keer weer, na wat manipuleren.

Hetzelfde resultaat krijgen we door voor f de 2pi-periodiek trapfunctie te nemen:

f(x) = 1 voor -pi/2 < x < pi/2, en 0 daarbuiten. Uiteindelijk moet je dan x=0 invullen om de reeks van Leibniz te krijgen