indrumar ss2 (1)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)

http://slidepdf.com/reader/full/indrumar-ss2-1 1/151

MARIA CLAUDIA SURUGIU IONEL PETRESCU

Semnale şi sisteme

- Aplicaţii practice-

Bucureşti 2012

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


2 SEMNALE ŞI SISTEME - APLICAŢII PRACTICE

Cuvânt înainte

Îndrumarul de laborator ’’Semnale şi sisteme – Aplicaţii – ’’ se adreseză in principal, studenţilor din anul IIIai specializării ’’Telecomenzi şi Electronică î nTransporturi’’, de la faculatea Transporturi.

În acelaşi timp, lucrarea este utilă şi studenţilor

din profilul electronic din alte facutăţi şi universităţi, precumşi studenţilor de la specialităţi inrudite.

Tematica, volumul şi numărul lucrărilor secorelează cu activitatea de laborator prevăzută în planul de î nvăţămant, la diciplina ’’Semnale şi sisteme’’. Coordonarealucării este asigurată de către titularul de curs.

Fiecare lucrare inclusă î n î ndrumar are o amplăintroducere teoretică, permiţand astfel o bună pregătire astudenţilor in vederea efectuării lucrărilor de laborator.

Aceste noţiuni formează cadrul teoretic pentru î nţelegereaesenţei, pemiţand astfel canalizarea in timpul orelor delaborator asupra părţii practice. Lucrăriile sunt î nsoţite desimulări cu programul MatLab, determinând o fixare anoţiunilor prezentate.

Anexa 1 prezintă noţiuni legate de mediul deprogramare MatLab şi de instrucţiuni disponibile în acestmediu de programare, iar în Anexa 2 sunt date listingurile şirezultatele programelor de simulare.

Autorii

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)



5. LUCRAREA 5. STUDIUL CIRCUITELORCORECTOARE DE FAZĂ ŞI A LINIILOR DE ÎNTÂRZIERE

64

5.1. Scopul lucrării 64

5.2. Noţiuni teoretice 64

5.3. Modul de lucru 72

5.4. Rezultate experimentale şi concluzi 73

6. LUCRAREA 6. CIRCUITE CU CALARE PEFAZĂ PLL 74

6.1. Scopul lucrării 74



6.4. Rezultate experimentale şi concluzii 84

7. LUCRAREA 7. STABILITATEA CIRCUITELORCU REACŢIE 86

7.1.

Scopul lucrării 86



7.4. Rezultate experimentale şi concluzii 92

8. ANEXA 1 PREZENTAREA MEDIULUI DEPROGRAMARE MATLAB 94

9. ANEXA 2 APLICAŢII MATLAB 99

10. BIBLIOGRAFIE 151

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Nomenclator figuri 5

Nomenclator figuri

Figura 1 Reprezentarea uniporţilor şi diporţilor 9

Figura 2 Cuadripol 10

Figura 3 Parametrii „h” 13

Figura 4 Scheme echivalente pentru cuadripolul reciproc nesimetric: a) în T ; 16

Figura 5 Cuadripoli cu un singur element: a) cu impedanţă longitudinală; b) cu impedanţăt ransversală. 18

Figura 6 Cuadripol: a) în Γ ; b) în Γ întors ; 18

Figura 7 Cuadripol: a) în Γ ; b) în Γ întors 19

Figura 8 Cuadripolul in X 20

Figura 9 Cuadripol în T nesimetric (a), rezultat prin conectarea în serie a doi cuadripolimai simpli (b) 20

Figura 10 Cuadripol în T simetric (a), rezultat prin conectarea în lanţ a doi cuadripoli în Γ(b) . 21

Figura 11 Cuadripolul in Π nesimetric (a), rezultat prin conectarea în paralel a doicuadripoli mai simpli (b). 22

Figura 12 Cuadripolul în Π simetric (a), rezultat prin conectarea în lanţ a doi cuadripoli în Γ (b) 22

Figura 13 Cuadripol in punte simetric (a) rezultat prin conectarea in paralel a unorcuadripoli mai simpli (b) 23

Figura 14 schema montaj 24

Figura 15 Reprezentarea filtrelor în sistemul internaţional 27

Figura 16 Reprezentarea filtrelor – forme de undă 28

Figura 17 Filtru LC de tip k – constant 29

Figura 18 Variaţia părtilor reale şi imaginare a impedentei filtrului şi a atenuării imagine 30

Figura 19 Filtre trece jos: secţiune Ί, secţiune T şi secţiune 31

Figura 20 Filtre trece banda: secţiune T, secţiune 32

Figura 21 Filtre opreşte bandă: secţiune T, secţiune 32

Figura 22 Filtru derivat „m” 33

Figura 23 Filtru derivat „m”, T.J 34

Figura 24 Variaţia atenuării pentru un filtru derivat „m” 34

Figura 25 Fitre derivate „m”, secţiune , secţiune T 35

Figura 26 Circuit RC trece-jos 41

Figură 27 Forma semnalului de răspuns a unui circuit RC 42

Figură 28 Forma semnalului de răspuns pentru un semnal rectangular 44

Figură 29 Atenuator RC 46

Figura 30 Amplificatore operaţionale – simboluri 50

Figura 31 Sursă de tensiune comandată în tensiune 50

Figura 32 Variaţia modulului funcţiei de transfer – FTJ 51

Figura 33 Filtru trece jos 52

Figura 34 Variaţia modulului funcţiei de transfer - FTS 53

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 35 Filtru trece sus 54

Figura 36 Variaţia modulului funcţiei de transfer – FTB 56

Figura 37 Filtru trece bandă 56

Figura 38 Tipuri de filtre cu reacţie negativă multiplă 60

Figura 39 Tipuri de filtre cu sursă comandată în tensiune 62

Figura 40 Conectarea unui care nu are caracteristică liniara 65

Figura 41 S chemă de diport echivalent în T podit a unei linii de întârziere artif iale 66

Figura 42 Compensarea în frecvență a) cu avans de fază; b) cu grup RC 67

Figura 43 Rețea defazoare de ordinul întâi 68

Figura 44. Rețea defazoare de ordinul întâi 69

Figura 45. Structura unui circuit PLL 75

Figura 46.Principiul calării de fază 75

Figura 47. Compararea a două frecvenţe 76

Figura 48. Schema bloc a circuitului PLL 78

Figură 49.Defazajul semnalelor s1 şi s2 79

Figura 50. Reprezentarea benzilor de urmărire şi captură 79

Figura 51. Schema bloc a circuitului integrat lm565 81

Figura 51. Montaj experimental (1) 83

Figura 52. Montaj experimental (2). Demodulator AM 84

Figura 53. Schema bloc a unui circuit cu reacţie 86

Figura 54. Circuit 1 – montaj practic 91

Figura 55. Circuit 2 – montaj practic 92

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Elemente de Circuit Rezistive. Uniporţi şi Diporţi Rezistivi 7

LUCRAREA 1. ELEMENTE DE CIRCUITREZISTIVE. UNIPORŢI ŞI DIPORŢI REZISTIVI

1.1. Scopul lucrării

Măsurarea şi determinarea parametrilor caracteristici pentru structuride diporţi. În cele ce urmează se vor defini teoretic diporţii şi va fi analizatmodul de lucru pe impedanţe imagine. Totodată se vor măsura şi determina

valori pentru diporţii de bază.

1.2. Noţiuni teoretice

Elementele de circuit rezistive (pe scurt, rezistorii) suntelemente de circuit cu două (sau mai multe) terminale ale căror modele suntdescrise de o relaţie algebrică (respectiv mai multe) care defineşte răspunsulunui astfel de circuit în funcţie de curenţi şi tensiuni. Cel mai familiar elementde circuit rezistiv este bineînţeles modelul rezistorului liniar care satisfacelegea lui Ohm:

u(t)=R•i(t) sau i(t)=G•u(t) (1)

unde R este rezistenţa rezistorului liniar, G este conductanţa acestuia,iar u şi i fiind asociate în acelaşi sens. Plecând de la rezistorul liniar unelement de circuit biterminal va fi numit rezistiv daca satisface o relaţie deforma:

f(u,i)=0 (2)

unde u este tensiunea de la bornele elementului de circuit, iar i estecurentul ce circulă prin acesta. Bineînţeles u şi i se referă la valorileinstantanee ale curentului şi tensiunii. Relaţia (2) determină o curbă în planulde coordonate (u,i) sau (i,u), curbă care se numeşte caracteristica curent-tensiune a rezistorului. Dacă rezistorul este variant în timp relaţia (2) devine:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



f(u,i,t)=0 (3)

Elemente de circuit rezistive biterminale de bază: 1. Sursele de tensiune şi de curent independente sunt elemente de

circuit rezistive variante sau invariante în timp după cum sursele respectivesunt variabile sau constante. Aceşti rezistori sunt caracterizaţi de următoareleecuaţii:

Sursa de tensiune continuă: u-E=0;

Sursa de tensiune variabilă: u(t)-e(t)=0;

Sursa de curent continuă: i-J=0;

Sursa de curent variabilă: i(t)-j(t)=0.

2. Dioda ideal ă este un element de circuit rezistiv neliniar .Caracteristica tensiune-curent poate fi scrisă matematic sub forma:

u•i=0, i=0 dacă u<0 şi u=0 dacă i>0 (4)

3. Dioda semiconductoare (reală) este un dispozitiv care, pentrufrecvenţe joase poate fi modelat de un element de circuit rezistiv neliniar,invariant în timp, caracterizat de o relaţie de forma:

0=1]- )U

u( [ I -i

T

s exp (5)

Deoarece tensiunea u poate fi exprimată ca o funcţie de curentul ielementul rezistiv se spune că este comandat şi în curent.

Un circuit rezistiv este format din unul sau mai multe elementerezistive interconectate. Circuitele rezistive care conţin numai rezistoareliniare (la care caracteristica curent-tensiune este determinată de funcţiiliniare) sunt circuite rezistive liniare. Dacă în circuit există un singur elementrezistiv neliniar, atunci circuitul rezultat este neliniar.

Un circuit care are doar două borne de acces din exterior se numeşteunipor t. La aceste borne se pot pune în evidenţă cele două mărimi electrice:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Elemente De Circuit Re zistive. Uniporţi şi Diporţi Rezistiv 9

tensiunea între cele două borne, u, (tensiunea de la intrarea uniportului) şicurentul care circulă prin cele două borne, i, (curentul de la intrareauniportului), aşa cum se arată în figura 1.

Un uniport rezistiv este un uniport la care cele două mărimi satisfac orelaţie de forma:

f(u,i,t)=0 (6)

unde t este variabila de timp. Relaţia (6) se numeşte caracteristica deintrare a uniportului.

Dacă circuitul este invariant în timp, relaţia (6) devine:

f(u,i)=0 (7)

Dacă uniportul este liniar atunci relaţia (7) este de forma:

a(t)•u(t)+b(t)•i(t)+c(t)=0 (8)

iar dacă în plus este şi invariant în timp atunci este satisfăcută o relaţiede forma:

a•u+b•i+c=0 (9)

Figura 1 Reprezentarea uniporţilor şi diporţilor

Se numeşte cuadripol diport sau numai cuadripol uncuadripol general ale cărui borne sunt grupate în două porţi de acces (figura2).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



cuadripolU1 U2

I1

I1

I2

I2

Figura 2 Cuadripol

Funcţionarea unui cuadripol poate fi descrisă prin mai multe seturide parametri.

1.2.1. Parametrii diporţilor (cuadripolilor)

Parame trii impedanţă (Z)

Prin intermediul parametrilor impedanţă mărimile U1 şi U2 sedefinesc în funcţie de curenţii I1 si I2

Parametrii impedanţă se definesc prin relaţiile

01

111

2

I

I

U Z

(11)

Mărimea se măsoară în şi se numeşte impedanţa de intrare cuieşirea în gol

02

222

1

I I U Z

(12)

Mărimea se măsoară în şi se numeşte impedanţa de ieşire cuintrarea în gol

02

112

1

I

I

U Z

(13)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Mărimea se măsoară în şi se numeşte transimpedanţa de la intrare

01

221

2

I

I

U Z

(14)

Mărimea se măsoară în şi se numeşte transimpedanţa de la ieşire

la intrare cu ieşirea în gol.

Parametrii admitanţă(Y)

Prin intermediul parametrilor admitanţă mărimile I1 şi I2 suntdefinite în functţe de mărimile U1 şi U2

2221212

2121111

U Y U Y I

U Y U Y I

(15)

Cu semnificaţiile:

01

111

2

U

U

I Y

(16)

Mărimea se măsoară în (Siemens) -1 şi se numeşte admitanţă deintrare cu ieşirea scurtcircuitată.

02

222

1

U

U I Y (17)

Mărimea se măsoară în -1 şi se numeşte admitanţa de ieşire cu

intrarea scurtcircuitată.

02

112

1

U

U

I Y

(18)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Mărimea se măsoară în -1 şi se numeşte admitanţa de transfer întreintrare şi ieşire cu intrarea scurtcircuitată.

01

221

2

U

U

I Y

(19)

Mărimea se măsoară în -1

şi se numeşte admitanţa de transfer întreieşire şi intrare cu ieşirea scurtcircuitată.

Parametri i hi brizi(h )

2221212

2121111

U h I h I

U h I hU

(20)

Din aceste ecuaţii se defineşte semnificaţia parametrilor hibrizi:

01

1

11

2

U I

U h

(21)

-impedanţa de intrare când ieşirea este scurtcircuitată

1

112

2 0 I

U h

U

(22)

-transferul invers de tensiune (adminesional) când intrarea este îngol.

2

221

1 0U

I h

I

(23)

-amplificarea în curent când ieşirea este scurtcircuitată

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



02

222

1

I

U

I h

(24)

-admitanţa de ieşire cu intrarea în golPe baza setului de ecuaţii funcţionale se poate construi circuitul

echivalând cu parametrii h al cuadripolului. (figura 3)

Figura 3 Parametrii „h”

Sistemele de ecuaţii functionale pot fi scrise şi ma triceal.Pentru cele trei descrieri prezentate obţinem:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

(1)

(2)

(3)

U I h I U

U I Z

U I

I U Y

I U

(24)

Cu observaţia că din 24 (2) şi 24 (3) rezultă:

I Y Z (25)

De unde rezultă identităţile

1(4) Z Y

(26)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1(5)Y Z

Relaţiile 26 (4) şi 26 (5) ne furnizează relaţiile de echivalare a parametrilor Y Z şi ZY

Demonstraţie pe caz general:

A

A A

A A

A A A

A A

A A A

A A A A A

*

1

1121

1222*

2212

2111

2221

1211

(27)

Se obţin relaţiile:

21122211

1122

2121

1212

2211

Z Z Z Z Z Z

Z Y

Z

Z Y

Z

Z Y

Z

Z Y

(28)

respectiv

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



21122211

1122

2121

1212

2211

Y Y Y Y Y

Y

Y Z

Y

Y Z

Y

Y Z

Y

Y Z

(29)

Transformarea de la parametrii admitanţă la parametrii hibrizi

2

11

12

11

11 U

Y

Y

Y

I U

(30)

11

12212221

11

212222

11

12

11

1212

Y

Y Y Y U I

Y

Y U Y U

Y

Y

Y

I Y I

(31)

Prin identificare se obţin relaţiile:

1111

12212211

11

2121

11

1212

11

11

1

Y

Y

Y

Y Y Y h

Y

Y h

Y

Y h

Y h

(32)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1.2.2. Structuri de diporţi particulari

Schemele electrice echivalente pentru cuadripolulreciproc şi nesimetric sunt reprezentate în figura 4 .

Figura 4 Scheme echivalente pentru cuadripolul reciproc nesimetric: a) înT ;

b) în Π ; c ) în punte

Impedanţele care intervin în schemele echivalente se exprimăîn funcţie de parametrii cuadripolului, după cum urmează:

a) Pentru schema echivalentă în T:

Z1

= Z11

+Z12

= Z10

– Zmo

(33)

Z2= Z

12= Z

mo (34)

Z3

= Z12

– Z22

= Z20

– Zmo

(35)

b) Pentru schema echivalentă în Π :

Y1= Y

11+ Y

12= Y

1K – Y

mk (36)

Y2= - Y

12= Y

mk(37)

Y3= Y

12 – Y

22= Y

2K – Y

mk(38)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



c) Pentru schema echivalentă în punte, reprezentată înfigura 10c, avem admitanţele Y

1, Y

2, Y

3ce pot fi exprimate şi în

funcţie de parametrii sistemului Y , astfel:Y

1= Y

11 – Y

12= Y

1k+ Y

mk (39)

Y2= Y

11 +Y

12= Y

1k- Y

mk (40)

Y3= - Y

11 – Y

22= Y

2k+ Y

1k(41)

1.2.3. Analiza cuadripolilor elementari

În situaţia când cuadripolul cu structura complexă se poate consideracă este compus din cuadripoli mai simpli, interconectaţi într -un anumit mod,ecuaţiile întregii scheme pot fi stabilite pe baza ecuaţiilor cuadripolilorcomponenţi. Rezolvarea problemei este mult simplificată prin aplicareacalculului matricial. După cum se ştie, matricea cuadripolului compus seobţine din matricele cuadripolilor componenţi, aplicând diferite reguli decalcul, în funcţie de modul de conectare al acestora. Determinarea

parametrilor cuadripolilor cu structura complexă în funcţie de parametriicuadripolilor componenţi necesită în mod evident cunoaşterea acestora dinurmă. Expresiile matricelor cuadripolilor elementari sunt relativ simple.

1.2.3.1

Cuadripolu l cu un singur element

Cei mai simpli cuadripoli sunt formaţi dintr -o singurăimpedanţă longitudinală sau dintr -o impedanţă transversală (ca înfigura 5).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



a b

Figura 5 Cuadripoli cu un singur element: a) cu impedanţă longitudinală; b) cuimpedanţă transversală.

1.2.3.2 Cuadripolul in Γ

Cuadripolul în Γ, reprezentat în figura 6 a si b, se poate consideraformat dintr-un cuadripol cu impedanţa transversală Z

2şi un cuadripol cu

impedanţa longitudinală Z1, conectaţi în lanţ:

a b

Figura 6 Cuadripol: a) în Γ ; b) în Γ întors ;

În teoria filtrelor electrice, impedanţele longitudinală şi transversalăale cuadripolului în Γ se notează în mod obişnuit cu Z

1/2, respectiv cu 2Z

2

(ca în figura 7).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



a b

Figura 7 Cuadripol : a) în Γ ; b) în Γ întors

Cu aceste notaţii, expresiile parametrilor caracteristici pentrucuadripolul în Γ, devin:

2

1

21

41 Z

Z

Z Z Z

(42)

2

121

41

Z

Z Z Z Z T

(43)

Pentru cuadripolul în Γ întors, expresiile devin:

2

121

41

Z Z Z Z Z T

(44)

2

1

21

41

Z

Z

Z Z Z

(45)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1.2.3.3 Cuadri polul în X

Cuadripolul în X este reprezentat în figura 8.

a b

Figura 8 Cuadripolul in X

1.2.3.4 Cuadripolu l in T

Cuadripolul în T, reprezentat în figura 9, se poate consideraformat prin conectarea in serie a unui cuadripol în U şi a unui cuadripol cuimpedanţa transversală.

a b

Figura 9 Cuadripol în T nesimetric (a), rezultat prin conectarea în serie a doicuadripoli mai simpli (b)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Cuadripolul în T se putea considera format şi prin conectareaîn lanţ a trei cuadripoli componenţi mai simpli şi anume, un cuadripol cuimpedanţa longitudinală Z

1, un cuadripol cu impedanţa transversală Z

2,

urmat de un cuadripol cu impedanţa longitudinală Z3. Dacă impedanţele Z

1

şi Z3

sunt egale, cuadripolul în T este simetric. Cuadripolul în T simetric

poate fi considerat format şi prin conectarea în lanţ a doi cuadripoli în Γ, caîn figura 10.

a b

Figura 10 Cuadripol în T simetric (a), rezultat prin conectarea în lanţ a doicuadripoli în Γ (b) .

Trebuie arătat faptul că, parametrii caracteristici ai cuadripolului înT se exprimă în mod foarte simplu în funcţie de parametrii caracteristici aicuadripolilor în Γ care îl compun. Impedanţa caracteristică Z

Ca

cuadripolului în T simetric este egală cu impedanţa caracteristicăcorespunzătoare Z

Ta cuadripolului în Γ, adică:

2

121

41

Z

Z Z Z Z Z T C

(46)

Cuadripolii în Γ fiind conectaţi în lanţ, este evident că pentrucuadripolul în T simetric care rezultă, constanta de transfer va fi de două orimai mare decât constanta de transfer a cuadripolului component în Γ .

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1.2.3.5 Cuadripolul in Π

În modul cel mai simplu, cuadripolul în Π, reprezentat înfigura 11 .

a b

Figura 11 Cuadripolul in Π nesimetric (a), rezultat prin conectarea în paralel adoi cuadripoli mai simpli (b).

Cuadripolul in Π simetric se poate de asemenea considera format din

doi cuadripoli in Γ conectaţi în lanţ, aşa cum este prezentat în figura 12 .

a b Figura 12 Cuadripolul în Π simetric (a), rezultat prin conectarea în lanţ a doi

cuadripoli în Γ (b)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1.2.3.6 Cudr ipolul în pun te simetr ic

Cuadripolul în punte simetric este reprezentat în figura 13 şi secaracterizează prin faptul că impedanţele din laturile opuse ale punţii suntegale.

a b

Figura 13 Cuadripol in punte simetric (a) rezultat prin conectarea in paralel aunor cuadripoli mai simpli (b)

1.3. Modul de lucru

1. Se vor determina experimental impedanţele imagine pentrusecţiunile de diporţi prezentate în figurile (6,7,8,10,11) prin metodamăsurării impedanţelor de gol şi de scurtcircuit pentru fiecare în

parte şi folosind următoarele formule:

Z Z Zg sc01 1 1

, sc g Z Z Z 2202 , thgZ

Z

Z

Z

sc

g

sc

g

1

1

2

2

Datele experimentale vor fi trecute în tabelul de mai jos:

Z1g Z2g Z1sc Z2sc Z01 Z02 thgk gk Fig. dip. kΩ kΩ kΩ kΩ kΩ kΩ Np

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Utilizând următorul circuit:

Figura 14 schema montaj

Şi folosindu-se formula:

01

02

2

2

1

01

02 ln2

1

2

1ln

Z

Z

U

U

Z

Z

U

U g

să se determine exponentul de transfer g şi să se compare rezultateleobţinute cu cele de la punctul anterior pentru fiecare tip de diport studiat.

1.4. Rezultate experimentale şi concluzii

1. Pentru diportul rezistiv in se vor calcula pornind de laelementele schemei, parametrii de scurt şi gol verificand rezultateleexperimentale.

2. Pentru diportul rezistiv in T nesimeric, se vor calcula pornind dela elementele schemei, parametrii imagine şi se vor ver ifica rezultateleexperimentale.

3. Concluzii şi observaţii personale.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Filtre Realizate cu Componente Discrete (Filtre de Tip K-Ct. şi Derivate „M”) 25

LUCRAREA 2. FILTRE REALIZATE CUCOMPONENTE DISCRETE (FILTRE DE TIP K-CT. ŞIDERIVATE „M”)


Măsurarea şi determinarea parametrilor caracteristici pentru structuri

de filtre realizate cu componente discrete, respectiv de tip K – ct. şi derivate’’m’’. În cele ce urmează se vor defini teoretic tipurile de filtre. Totodată sevor măsura tesiunile la ieşirea filtrelor şi determina valori pentru atenuărilela diferite frecvenţe.


Circuitele pasive care determină o modificare a tensiunii la bornelede ieşire în funcţie de frecvenţa semnalului aplicat la intrare, poartă numele

de FILTRE. Filtrele electrice sunt circuite care se comportă selectiv îndomeniul frecvenţei.

Filtrul ideal este un diport care introduce o atenuare nulă într -uninterval de frecvenţă numit bandă de trecere şi o atenuare infinită înintervalul de frecvenţă numită bandă de blocare (sau de oprire). Frecvenţelecare separă banda de trecere de cea de blocare se numesc frecvenţe de tăiere

( 1 şi 2 ).Filtrele pot fi clasificare după modul în care sunt dispuse benzile de

trecere şi de oprire în:

a) F.T.J (filtru trece jos) – la creşterea frecvenţei peste o anumităvaloare, numită frecvenţa de tăiere, amplitudinea semnalului scade.

b) F.T.S. (filtru trece sus) – la scăderea frecvenţei sub o anumităvaloare, numită frecvenţă de tăiere, amplitudinea semnalului creşte.

c) F.T.B. (filtru trece bandă)– lasă să treacă toate frecvenţele cuprinseîntre cele două frecvenţe de tăiere ale filtrului fc1 (sau ft1) şi fc2 (sauft2).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



d) F.O.B. (filtru opreşte bandă) – lasă să treacă toate frecvenţele maimici decât frecvenţa de tăiere a filtrului fc1 (sau ft1) şi mai mari decâtfrecvenţa de tăiere a filtrului fc2 (sau ft2). Acest tip de filtru are douăfrecvenţe de tăiere:

- fc1 (sau ft1);- fc2 (sau ft2).Se defineşte funcţia de transfer pentru un filtru ideal:

0

)(

)(

j

in

ies e A jU

jU j H

(47)

.ct A j H

(48)

0 - fază liniară

ct j H U

U a

in

ies

1

lnln

(49)

a - atenuarea sistemului ideal ce este independentă de frecvenţă

0 b- defazarea sistemului (filtrului) ideal, este o funcţie

liniară de frecvenţă.

În continuare sunt prezentate simbolurile filtrelor:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 15 Reprezentarea filtrelor în sistemul internaţional

Unde H reprezintă funcţia de transfer a filtrului definită in relaţia(47)

H = )(

)(

f V

f V

i

O

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 16 Reprezentarea filtrelor – forme de undă

1.6.1. Parametrii caracteristici ai filtrelor

Parametrii specifici ai filtrelor sunt următorii:

- Frecvenţa de tăiere a filtrului (frecvenţa critică) – este frecvenţa lacare atenuarea filtrului scade cu 3dB.- Banda de frecvenţă a filtrului B

– se defineşte între două frecvenţef MAX şi f MIN şi determină lungimea benzii de lucru a filtrului. Banda de

frecvenţă include cele două frecvenţe critice fc1 (frecvenţa joasă) şi fc2 (frecvenţa înaltă) pentru F.T.B şi F.O.B. - Factorul de calitate O – se defineşte ca raportul între frecvenţa derezonanţă f 0 şi banda de frecvenţă B a F.T.B şi F.O.B.

B

f Q 0

(50)

- Impedanţa filtrului: - impedanţa de intrare a filtrului Zin;- impedanţa de ieşire a filtrului Zies.

Filtre de tip K constant sunt de structură simplă, realizate cu bobină şicondensator (filtre LC).

Se vor avea în vedere următorii parametri: Impedanţa de intrare:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



LC Z LC C

L Z in

2

0

2 11

(51)

Impedanţa de ieşire:

LC Z

LC C

L Z

20

20

1

1

1

1

(52)

Atenuarea imagine:

LC j LC ai 21ln

(53)

LC

10

c

0ia nu apare atenuare

c

1ln 2 LC ai

Frecvenţa critică (tăiere)

LC f c

c

2

1

2

(54)

Figura 17 Filtru LC de tip k – constant

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 18 Variaţia părtilor reale şi imaginare a impedentei filtrului şi a atenuăriiimagine

Sunt prezentate în continuare filtre particulare de tip trece-jos, trece-

sus, de tip K-ct în forme , T sau .

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 19 Filtre trece jos: secţ iune Ί , secţiune T şi secţ iune

Figura 20 Filtre trece sus: secţiune Ί, secţiune T, secţiune

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 201 Filtre trece band ă: secţiune T, secţiune

Figura 212 Filtre opreşte bandă: secţiune T, secţiune

1.6.2. Filtre drivate m

Filtre de tip K-ct prezintă două inconveniente:- impedanţa variază cu frecvenţa; - atenuarea în afara benzii nu este suficientă pentru diferite aplicaţii.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Filtrele cu structură m – derivate se obţin din filtre de tip K -ct, astfelobţinându-se:

a) minimizarea impedanţei b) atenuarea în afara benzii, mică.

Pentru circuitul considerat:

Figura 223 Filtru derivat „m”

121

2

1

1 1 C L L

C

L Z i

(55)

C

L Z 0

(56)

212 12

1

2

1

2

1

ba C LC L f

(57)

S-a definit frecvenţa f pentru un filtru derivat „ m” , T.J.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 234 Filtru derivat „m”, T.J

Figura 245 Variaţia atenuării pentru un filtru derivat „m”

Sunt prezentate în continuar e structuri de filtre derivate ”m”

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 256 Fitre derivate „m”, secţiune , secţiune T

1.7. Modul de lucru

Aparate necesare: - generator de semnal- osciloscop- sursă de alimentare

1. Realizaţi structura de filtru de mai jos:

2. Identificaţi structura filtrului; 3. Conectaţi un generator de semnal la intrarea filtrului cu amplitudinea

semnalului de 2V şi frecvenţa 100 kHz;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



4. Conectaţi osciloscopul la ieşirea filtrului şi măsuraţi amplitudineasemnalului obţinut, notând valorile în tabelul de mai jos. Creşteţifrecvenţa semnalului pornind de la 400 kHz cu pas de 10 kHz, pânăcând amplitudinea semnalului de ieşire rămâne constantă.

f [kHz] V0 V0/Vref 20log10V0/Vref

100

400

450

….

800

900

5. Realizaţi filtrul de tip derivat m ca în figura :

6. Conectaţi un generator (cu Zieş.gen = 50 ) la intrarea filtrului; ungenerator de semnal cu amplitudinea semnalului de 2 V şi frecvenţade 100kHz.

7. Conectaţi osciloscopul la ieşirea filtrului şi măsuraţi amplitudineasemnalului.

8. Porniţi măsurătorile de la 400 kHz şi creşteti frecvenţa generatoruluicu pas de 10kHz, până în momentul în care amplitudinea semnalulu i

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



de ieşire nu mai variază, notând valorile obţinute în tabelul de mai jos.

f

[kHz] V0 V0/Vref 20log10V0/Vref

100

400

450

….

800

900

9. Identificaţi structura de filtru trece sus din figura de mai jos:

10. Conectaţi un generator de semnal la intrarea filtrului cuamplitudinea semnalului de 2V şi frecvenţa 1000kHz.

11. Conectaţi osciloscopul la ieşirea filtrului şi măsuraţi amplitudineasemnalului obţinut, notând valorile în tabelul de mai jos. Scadeţifrecvenţa semnalului pornind de la 600 kHz cu pas de 10 kHz, pânăcând amplitudinea semnalului de ieşire rămâne constantă

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



f

[kHz] V0 V0/Vref 20log10V0/Vref

1000

600

590

….

….

200

100

12. Aceleaşi cerinţe ca mai sus pentru F.T.B, F.O.BR gen = 500

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



f [kHz]

0 0/Vref 20log

10V0/Vref

50

60

...

..

90

00

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



f [kHz] V0 V0/Vref 20log10V0/Vre

f

350

360

....

...

...

690

700

100

0

1.8. Rezultate experimentale ăi concluzii

1. Se reprezintă grafic, pentru fiecare montaj curba modululuiatenuării funcţie de frecvenţe pentru fiecare tip de filtrustudiat.

2. Se justifică deosebirile intre rezultatele teoretice şi celeexperimentale.

3. Concluzii şi observatii personale.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Circuite Liniare RC Trece-Jos 41

2. LUCRAREA 3. CIRCUITE LINIARE RC TRECE-JOS


Studiul experimental al trecerii semnalelor de diferite forme prin

circuite le RC trece-jos (RC-TJ) cu evidenţierea fenomenul de distorsiunesuferit de semnalul ce se transmite prin astfel de circuite, fenomenul

integrării acestor semnale, utilizarea divizoarelor de tensiune compensate înfrecvenţă.

2.2. Noţiuni teoretice. Circuite RC trece-jos

Schema circuitului RC trece- jos este prezentată în figura 26 şi secaracterizează prin proprietatea de divizor de tensiune având raportul de

divizare dependent de frecvenţă. Dacă semnalul aplicat la intrare este periodic nesinusoidal, atunci componentele sale de frecvenţă joasă apar laieşire cu o atenuare mai mică decât componentele de frecvenţă înaltă.Răspunsul circuitului RC-TJ pentru diferite semnale va fi prezentat prin

rezultatele finale ale analizei teoretice.

Figura 26 Circuit RC trece-jos

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Semnalul de intrare sinusoidal de frecvenţa f va fi atenuat şi defazatconform relaţiilor:

A(ω) =2)(1

1

RC ; )()( RC arctg

(79)

Unde f 2

Semnal de intrare impuls cu perioada de repetiţie T şi durată aimpulsului ti << T forma răspunsului este dată în figura 27 pentru diferiterapoarte ti/τ, τ = RC.

Figură 27 Forma semnalului de răspuns a unui circuit RC

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Pentru un semnal rectangular cu perioada T şi T1 T2 forma

răspunsului pentru două situaţii extreme ale valorii constantei de timp =

RC, << min(T1, T2) (figura 28.b), >> max(T1, T2) (figura 28.c).

Pentru T1 = T2 = T/2 sau n = 0,5, se obţin următoarele valori pentru parametrii din figura 27:

U1 = RC

T

RC

T

e

eU 2

2

1

12

(80)

U2 = RC

T

RC

T

e

eU

2

2

1

1

2

(81)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figură 28 Forma semnalului de răspuns pentru un semnal rectangular

2.2.1. Circuitul RC trece-jos ca circuit de integrare

Dacă circuitul are constanta de timp = RC >> T, atunci un circuit

RC trece-jos poate lucra ca un circuit de integrare:

ue = dt t u RC

i )(1

(82)

Pentru un semnal sinusoidal de intrare, în cazul ideal de integrator,

trebuie să se îndeplinească condiţia de defazaj φ= - 90o, deci τ = RC → ∞,condiţie practic nerealizabilă. Pentru ωRC = 10 defazajul φ = - 84.3o şi atenuarea a = 0,1;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



pentru ωRC = 100 defazajul φ = - 89.4o şi atenuarea a = 0,01, valoriacceptabile în practică.

2.2.2. Atenuatoare RC

În multe situaţii este necesară utilizarea unor divizoare de tensiunerezistive. Datorită existenţei unor capacităţi parazite la ieşirea divizorului

rezistiv, atenuatorul se comportă practic ca un circuit RC trece-jos, ceea ceface ca tensiunea de la ieşire să fie deformată faţă de tensiunea de la intrare.Pentru a înlătura distorsiunea introdusă de divizor, în practică se leagă în

paralel cu rezistenţa R 1 un condensator C1 de valoare:

C1 = 2

1

2 C R

R

(83)

În acest fel se obţine un atenuator RC a cărui tensiune de ieşiredepinde de relaţia (83). În figura 29d sunt reproduse răs punsul la un semnal

treaptă al unui atenuator RC în funcţie de mărimea condensatorului C1.

21

2121 )(

R R

R RC C

(84)

Atenuatoarele RC sunt utilizate şi la osciloscoapele catodice, la care

R 2 şi C2 reprezintă rezistenţa şi capacitatea de intrare a osciloscopului, iar R 1 şi C1 sunt elemente constructive ale sondelor de măsură cu atenuare.

Avantajele utilizării unei sonde de măsură cu atenuare constau în:

21

2121 )(

R R R RC C

(85)

Ue(0) = U21

1

C C

C

(86)

Ue( ) = U21

2

R R

R

(87)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



a. introducerea unei atenuări a semnalului cu raportul de atenuare datde sonda aleasă;

b. mărirea rezistenţei de intrare a circuitului de măsură, văzută decircuitul măsurat (de dorit să avem o rezistenţă cât mai mare pentru a nu

influenţa circuitul măsurat); c. faptul că prin ajustarea capacităţii condensatorului C1 se va

înlătura efectul de distorsionare a semnalului aplicat osciloscopului, deci o

vizualizare corectă a tensiunilor din circuitul de măsură.

Figură 29 Atenuator RC

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



2.3. Modul de lucru

1. Studiul circuitului RC trece-jos:

Se vor utiliza schemele experimentale din figurile 44 şi 46, în care se

va alimenta de la un generator de tensiune cu semnal sinusoidal sau

rectangular, şi se vor vizualiza pe osciloscop forme de undă de la intare şi de

la ieşire. Operaţiile se vor executa în succesiunea următoare:

2. Se stabilesc parametrii semnalului: amplitudine, frecvenţă derepetiţie, durată.

3. Se vizualizează, în regim de sincronizare declanşat extern cu

semnalul ui(t), tensiunile de intrare şi de ieşire din punctele Y1 şi Y2.


1. Se vor trasa formele de undă obţinute şi se va comenta fiecare

dintre cazuri.2. Se vor comenta formele de undă obţinute pentru tipurile de

circuite studiate.


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Filtre Active Realizate cu Am plificatoare Operaţionale 48

3. LUCRAREA 4. FILTRE ACTIVE REALIZATE CU

AMPLIFICATOARE OPERAŢIONALE


Scopul lucrării este studiul filtrelor active realizate cu amplificatoare

operaţionale prin ridicarea caracteristicilor lor de frecvenţă.

3.2. Noţiuni teoretice. Filtre active

Filtrele active (cu tranzistoare bipolare, cu tranzistoare cu efect de

câmp sau cu amplificatoare operaţionale ) realizează aceleaşi funcţii ca şifiltrele cu elemente pasive – filtre trece jos, filtre trece sus, filtre trece

bandă, etc. – dar sunt capabile să asigure o amplificare de putere

supraunitară şi acoperă un domeniu de frecvenţe mult mai larg, în special

spre frecvenţe joase (fără a necesita bobine şi condensatoare de dimensiuni

foarte mari) .

Realizarea filtrelor active cu amplificatoare operaţionale prezintă şi

avantajul unei mai bune independenţe a caracteristicii de transfer şi a parametrilor filtrelor de parametri elementelor active utilizate şi, implicit, de

variaţia acestora la modificări ale mediului ambiant.

Sunt numeroase posibilităţi de realizare a filtrelor active cu

amplificatoare operaţionale caracterizate printr -o funcţie de transfer cu doi

poli, după modul de utilizare a amplificatorului operaţional şi de structura

reţelei pasive selective utilizate. În lucrare, amplificatorul operaţional este

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



folosit ca o sursă de tensiune comandată în tensiune (deci ca un amplificator

ideal de tensiune) conform schemei din figura 30.a.

Amplificatorul din figura 30.a este caracterizat prin:

- amplificare de tensiune, k Au , dependentă de cele două

rezistenţe din reţeaua de reacţie, a R şi b R :

a

b

R

Rk 1

(88)

- impedanţa de intrare , i Z , foarte mare;

- impedanţa de ieşire, 0o Z , foarte mică.

În acest fel, impedanţa de intrare şi impedanţa de ieşire nu vor afectacircuitele de reacţie selective conectate între ieşirea şi intrarea

amplificatorului.În continuare, pentru amplificatorul din figura 30.a, realizat cu

amplificator operaţional, va fi folosit simbolul din figura 30.b.

3.2.1. Filtre active realizate cu amplificatoare operaţionale

Schema de principiu a filtrelor active realizate cu amplificatoroperaţional folosit ca sursă de tensiune comandată în tensiune, estereprezentată în figura 31.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 30 Amplificatore operaţionale – simboluri

Figura 31 Sursă de tensiune comandată în tensiune

Funcţia de transfer a circuitului se obţine sub forma:

)1()()(

)()(

231443215

41

k Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y k

sV

sV s H

i

o

(89)

Prin particularizarea admitanţelor iY se pot obţine filtre cu diversecaracteristici de frecvenţă.

Funcţia de transfer a unui filtru trece jos (FTJ), având numitorul un polinom de gradul 2 este:

2

00

2

2

0)(

s

k s H

(90)

în care:

k este amplificarea în bandă, la frecvenţe joase ;

0ω este frecvenţa caracteristică a filtrului;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



α este coeficientul de amortizare.Variaţia modulului funcţiei de transfer, pentru un regim sinusoidal

permanent, la scară dublu logaritmică, este reprezentată în figura 32, pentrumai multe valori ale factorului de amortizare. Amplificarea la frecvenţacaracteristică va fi:

α

ω

k j H )( 0

(91)

ceea ce înseamnă că, pentru α<1, se obţin caracteristici de frecvenţăcu supracreşteri în bandă, dar cu o scădere mai rapidă a amplificării în afara

benzii de trecere.

Figura 32 Variaţia modulului funcţiei de trans fer – FTJ

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 33 Filtru trece jos

Se observă că, pentru 0α , la frecvenţa caracteristică,amplificarea de tensiune tinde către infinit, ceea ce arată că circuituloscilează pe frecvenţa caracteristică.

În figura 33 este desenată schema unui filtru trece jos corespunzătorschemei de principiu din figura 31, pentru care se deduc relaţiile:

2121

0

1

C C R R

(92)

2

1

22

11

11

22 )1(1 R

R

C R

C Rk

C R

C R

(93)

Amplificarea în bandă este k iar în af ara benzii, la frecvenţe

suficient de mari faţă de 0ω , amplificarea scade cu 40 db pe decadă, scăderespecifică funcţiei de transfer cu doi poli.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



3.2.2. Filtru trece sus – funcţia de transfer

Funcţia de transfer a unui filtru trece sus (FTS) având numitorul un polinom de gradul 2 este:

2

00

2

2

)(

s s

ks s H

(94)

în care: k este amplificarea în bandă, la frecvenţe înalte ;

0ω este frecvenţa caracteristică a filtrului ;

α este coeficientul de amortizare al filtrului.

Figura 34 Variaţia modulului funcţiei de transfer - FTS

Variaţia modulului funcţiei de transfer, pentru un regim sinusoidal permanent, la scară dublu logaritmică, este reprezentată în figura 34 pentrumai multe valori ale factorului de amortizare. Amplificarea de tensiune lafrecvenţa caracteristică devine:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



k j H )( 0

(95)

Din figura 34 se constată că, pentru α<1, se obţin caracteristici defrecvenţă cu supracreşteri în bandă, dar cu o scădere mai pronunţată a

amplificării pentru ω> 0ω . Pentru 0α , amplificarea de tensiune la

frecvenţa caracteristică tinde spre infinit, ceea ce înseamnă că circuituloscilează pe această frecvenţă. În figura 35, este desenată schema unui filtru trece sus

corespunzătoare schemei de principiu din figura 31, pentru care se deducrelaţiile :

Figura 35 Filtru trece sus

2121

0

1

C C R R

(96)

11

22

1

2

22

11 )1(1C R

C Rk

C

C

C R

C R

(97)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Pentru filtrul trece sus, la frecvenţe mari, începe să se producăscăderea amplificării, determinată de banda de frecvenţe limitată aamplificatorului operaţional real utilizat; în figura 34, această scădere ester eprezentată punctat.

3.2.3. Filtru trece bandă – funcţia de transfer

Funcţia de transfer a unui filtru trece bandă (FTB), având numitorulun polinom de gradul 2, este:

2

0

02

0

)(

sQ

s

sQ

k

s H

(98)

în care:

0ω este frecvenţa caracteristică (sau de acord, de rezonanţă,

centrală) a filtrului; Q este factorul de calitate al circuitului (inversul

coeficientului de amortizare, α , folosit pentru celelalte

filtre) ;

K este amplificarea la acord a filtrului.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 36 Variaţia modulului funcţiei de transfer – FTB

Figura 37 Filtru trece bandă

Variaţia modulului funcţiei de transfer, la scară liniară pe ambelecoordonate, este reprezentată în figura 36; se defineşte banda de trecere a

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



filtrului ca fiind domeniul de frecvenţe pentru care modulul amplificării este

mai mare decât 2

1

din valoarea maximă a amplificării:

Q B 0

12

(9

În figura 36 este desenată schema unui filtru trece bandăcorespunzătoare schemei de principiu din figura 31, pentru care se deduc

următoarele relaţii:

21321

0

1

R R RC C II

(100)

21

21

3122

21321

11

1

C C

C C

R R RC

k R R RC C

Q

IIII

(101)

Banda la 3 db, definită cu relaţia (99) se obţine sub forma:

21

21

3122

112

C C

C C

R R RC

k f B B

II

(102)

Pentru fiecare parametru al filtrului activ (de exemplu, frecvenţăcaracteristică, factor de calitate, etc.) se poate defini un factor de

sensibilitate faţă de unul dintre parametrii schemei (rezistenţe, capacităţi,etc.). Pentru filtrul trece bandă, se calculează factorul de sensibilitate alfactorului de calitate, Q, în raport cu variaţiile amplificării amplificatoruluide bază, conform relaţiei :

k k

QQS k

Q/

/

(103)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



3.3. Modul de lucru

1. Se vor studia filtrele cu reacţ ie negativa multipla prezentatemai jos cu următorii parametrii:

Pentru filtrul FTJ:

A =1

2

R

R ;

2132

1

321

23 )111

(

2

1

C C R R

C R R R

R R

;

2132

10

C C R R

Pentru filtrul FTS:

A=1 ;1

25.1 R

R ;

21

10

R RC

Pentru filtrul FTB:

A=1

3

2 R

R;

21

321

10

R R

R R RC

;3

2

CR

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



FTJ

FTS

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



FTB

Figura 38 Tipuri de filtre cu reacţie negativă multiplă

2. Se identifică cele trei filtre cu reacţie negativă multiplă (FTJ, FTS,FTB), pe baza figurii 38 .

3. Se alimentează montajul diferenţial, la 12V.

4. Se conectează generatorul de semnal sinusoidal la intrarea I1 a FTJ.

5. Se conectează spotul 1 osciloscopului la intrare şi spotul 2 la ieşire.

6. Se întocmeşte un tabel de tipul celui de mai jos in care frecvenţa vavaria cu pas logaritmic (1,2,5,10,20,50,...200k)

f[Hz]Ui[V]Ue[V]

7. Se repeată punctele 3, 4, 5, 6, pentru filtrele trce sus şi trece bandă.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



8. Se repeată punctele 2, 3, 4, 5, 6, pentru cel de-al doilea tip de montaj(pentru filtrele cu sursă comandată în tensiune).

FTS

FTJ

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



FTB

Figura 39 Tipuri de filtre cu sursă comandată în tensiune


1. Se ridică caracteristica de atenuare în funcţie de frecvenţa pentruFTJ cu reacţie negativă.

2. Se repetă punctual 2, 3, 4, 5, 6 pentru FTS respectiv FTB cureacţie negativă.

3. Se repetă punctele 2, 3, 4, 5, 6 pentru filtrele cu sursă comandatăîn tensiune.

4. Se ridică caracteristica V0=f(Vi) pentru frecventă de tăiere, încazul tuturor filtrelor studiate.

5. Se calculează parametrii filtrelor studiate, cu ajutorul relaţiilorteoretice prezentate şi se compară cu rezultatele experimentale.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



6. Cum apreciaţi comparativ performantele celor două tipuri defiltre?


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Studiul Circuitelor Corectoare de Fază şi a Liniilor de Întârziere 64

4. LUCRAREA 5. STUDIUL CIRCUITELORCORECTOARE DE FAZĂ ŞI A LINIILOR DEÎNTÂRZIERE



Cauzele care duc la apariţia distorsiunilor sunt următoarele: Transmiterea cu bandă laterală reziduală (parţial suprimată); Caracteristica amplitudine-frecvenţă cu pante abrupte; Neliniaritatea componentelor active din circuitele electronice; Regimul de funcţionare al etajelor componente ale emiţătorului; Existenta elementelor reactive în componenţa etajelor componente.

În scopul obţinerii parametrilor de calitate optimi pentru semnalultransmis, emiţătoarele au în componenţa lor diferite circuite corectoare (de

predistorsionare a semnalului). Ele sunt introduse direct în calea semnaluluivideo şi/sau în traseul frecvenţei intermediare.

4.2.1. Circuite corectoare de amplitudine

Din punctul de vedere al caracteristicii de amplitudine, un sistemeste considerat ideal dacă – în banda de frecvenţe care interesează:

],[ 21 - atenuarea sau amplificarea sunt constante, adică:

as ( ) = a0 = const., ],[ 21

(104)

Dacă se face referire la atenuare (as este atenuarea sistemului), sau

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Circuite cu Calare pe Fază P LL 65

As = )( j H = A0 = const., ],[ 21

(105)

Dacă se face referire la amplificare (As este amplificarea sistemului).În general, un sistem care nu are catracteristică de atenuare ideală, se

conectează în cascadă cu un circuit corector, ca în figura 40.

Figura 40 Conectarea unui care nu are caracteristică liniara

Circuitul corector se calculează astfel încât caracteristica de atenuarea întregului ansamblu, în banda de frecvenţe de interes ],[ 21 , să fieideală, adică

as ( ) + ac ( ) = const., (105)

4.2.2. Circuite corectoare de fază

Din punctul de vedere al caracteristicii de fază, un sistem esteconsiderat ideal dacă – în banda de frecvenţe care interesează: ],[ 21 - faza b ( ), este proporţională cu pulsaţia , adică:

bs ( ) = tg , pentru ],[ 21 (106)

Circuitele corectoare de fază trebuie să îndeplinească condiţiile: Să nu introducă distorsiuni de atenuare, adică circuitul corector

trebuie să fie un „Filtru trece tot”, care are amplificare unitară latoate frecvenţele.

Să lucreze adaptat, atunci când circuitul este terminat la porţi printr -o rezistenţă nominală.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Condiţiile de mai sus sunt îndeplinite dacă circuitul corector este undiport în X, în care impedenţele Za şi Z b sunt inverse în raport cu rezistenţanominală R:

Za Z b = R (107)

În acest caz impedanţa caracteristică a circuitului este:

Zc = ZZ ba = R (108)

Liniile de întârziere artificiale se realizează pe baza celuleianalizate, însă la realizări efective, schema diportului în X se transformăîntr=o schemă de diport echivalent în T podit.

Figura 41 S chemă de diport echivalent în T podit a unei linii de întârziere artifiale

Distorsiunile formei semnalului la ieşire, provocate de defazajulrelativ diferit al componentelor armonice ale unui semnal complex, senumesc distorsiuni de fază.

Defazajul relativ al diferitelor componente armonice ale semnalului

nu se modifică dacă timpul de întârziere de fază al acestor componenteramâne constant şi independent de frecvenţă. Într -un sistem de coordonaterectangulare, funcţia care reprezintă caracteristica de fază ideală este olinie dreaptă. Distorsiunile de fază introduse de etajele de amplificare seapreciază prin deviaţia caracteristicii de fază de la linia dreaptă.

Măsurarea distorsiunilor de fază este dificilă. De aceea în practică se preferă măsurarea timpului de întârziere de grup

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



(109)

Compensarea în frecvenţă a amplificatoarelor operaţionale

Metoda practică şi cel mai adesea utilizată pentru compensare, estecea care foloseşte o capacitate de reacţie pe unul din etajele de amplificare.

Figura 42 Compensarea în frecven ţă a) cu avans de fază; b) cu grup RC

În figura 43 sunt prezentate două scheme de compensare a unuiamplificator operaţional prin metodele cu "avans de fază" şi respectiv "cugrup RC". Ambele procedee sunt preferate pentru compensarea externă,motivul principal fiind legat de aria de circuit necesară pentru montareacondensatorului.

Amplificatorele operaţionale se compensează în general îndomeniul frecvenţă. Compensările de fază nu se fac în mod special peamplificator, deoarece compensarea de fază se realizeză pe ansamblulemiţătorului printr -un corector special.

Importanţa acestor circuite rezidă din faptul că acestea pot fifolosite în numeroase aplicaţii precum: Linii de întârziere Linii de bandă largă Corectori de fază.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Utilizarea amplificatorului operaţional permite realizarea unor reţeletip „trece tot” fară a mai face apel la bobine, folosindu -se doar rezistori şicondensatori.

Limitările reţelelor astfel concepute provin din limitărileamplificatoarelor operaţionale. În analizele următoare, se vor presupuneideale toate A.O., cosiderând că ele lucrează conform relaţ iei:

V0 = A ( V+ - V-) (110)

Unde V0 = semnalul de iesireV+ , V-= semalul de pe intrarea neinversoare, respectiv inversoare.Se vor utiliza următoarele montaje:

1. Reţele defazoare de ordinul întâi

a) Montajul din figura de mai jos utilizeaza un A.O de tipul LM741, cualimentarea diferenţială, avănd aplicat pe intrarea inversoaresemnalul de intrare prin intermediul unui rezistor R 2, egal cadimensiune cu rezistorul de reacţie dintre ieşire şi aceeaşi intrare.Intrarea neinversoare este pusă la masă.Costanta de timp a circuitului este τ =RC, iar funcţia de transfer

este:

H(p) = (1-pRC)/( (1+pRC) (111)

Figura 43 Re ţ ea defazoare de ordinul întâi

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



b) Montajul din figura de mai jos diferă de primul prin faptul că reacţ iadintre ieşirea AO şi intrarea inversoare a acestuia este de k ori maimare decât rezistenţa de pe intrarea neinversoare. Constanta de circuitrămâne aceeaşi, iar funcţia de transfer devine:

H(p) =(1+k) (1-pRC)/( (1+pRC); (112)

Figura 44. Re ţ ea defazoare de ordinul întâi

c) De data aceasta intrarea neinversoare nu mai este pusă la masădirect, ci prin capacitatea C1, primind în acelaşi timp semnal deintrare prin rezistenţa R 3. Constanta de timp rămâne aceeaşi, iarfuncţia de transfer este

H(p) = (1-pRC)/( (1+pRC) (113)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



d) Intrarea invesoare este pusă pe capacitatea 2kC (respectiv C2),iar reacția nu mai este pur rezistivă, ea având și componentacapacitivă.Costanta de timp rămâne acceași, iar funcția detransfer devine:

H(p) = k(1-pRC)/((1+k)(1+pRC)) (114)

2. Reţele defazoare de ordinul doi

Acestea au o funcţie de transfer mai complexă şi este de forma:

H(p) = (1-2αpτ+p τ )/(1+2αpτ+p τ ) (115)

Unde p = σ+jω α = o costantă, cu dimesiune inversă a constantei de timp τ = costanta de timp a circuitului;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



8/18/2019 indrumar ss2 (1)



4.3. Modul de lucru1. Se realizează montajele de la reţelele defazoare descrise.2.

Se alimentează montajul la ± 12V.

3. Se aplică la intare semnal sinusoidal cu o amplitudine de 1.5V. 4. Se conectează un osciloscop cu două spoturi, unul la intare ş icelălat la ieşire.5. Se variază frecvenţa semnalului de intrare în plaja 10Hz – 200kHz, cu pas logaritmic (10,20,50,..).6. Se întocmeşte tabelul de tipul:

f(Hz) 110 220 550 1100 2200 5500

UVi(V)

Ff e(Hz)

UVe(V)

ΦΦ(( grad)

Se masoară defazajul dintre semnalul de intare şi cel de ieşire ladiferite frecvenţe.

7. Se modifică tensiunea de alimentare de la 12V la 17V. 8. Studiaţi efectul acestei modificări a tesiunii de alimenatre asuprafrecevnţei semnalului de la intare şi a defazajului.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



4.4. Rezultate experimentale şi concluzi

1. Se calculează constantele de timp ale fiecarui circuit.

2. Se reprezintă grafic pentru fiecare montaj:

Curba frecvenţelor de ieşire funcţie de cele de intare Curba defazajului funcţie de frecvenţa de intrare. Curba amplitudinii semnalului de ieşire funcţie de frecvenţa

de intrare.3. Se justifică deosebirile între rezultatele teoretice şi celeexperimentale.

4. Ce consecinţe ar avea modificarea tensiunii de alimenatre in plaja12V – 17V?


8/18/2019 indrumar ss2 (1)



5. LUCRAREA 6. CIRCUITE CU CALARE PE FAZĂPLL


1. Studiul circuitelor cu Calare pe fază

2. Măsuarea parametrilor caracteristici circuitului PLL

3. Utilizarea circuitului PLL în diferite aplicaţii


Circuitele PLL (Phase Locked Loop) sau buclele cu calare pe fază prelucrează semnale alternative, având largi aplicaţii în telemetrie,telecomunicaţii. Se utilizează ca demodulatoare pentru semnale modulate înfrecvenţă (MF), în sinteza frecvenţelor, la sincronizarea în transmitereadatelor, codarea şi decodarea telemetrică, stabilizarea frecvenţelor, filtrareazgomotelor, etc.

Circuitul a fost conceput pentru implementarea unui procedeu derealizare a recepţiei sincrone a unui semnal de radiofrecvenţă modulat înamplitudine. Realizarea sa sub formă de circuit integrat, (analogică saudigitală, DPLL) a permis o largă aplicare a circuitului pentru:

• demodularea semnalelor MF în prezenţa perturbaţiilor • realizarea sintetizoarelor de frecvenţă, • realizarea sincronizării de bit la transmisiuni cu MIC etc. Circuitul prezintă o structură simplă, dar analiza completă a

circuitului necesită tratarea funcţionării sale neliniare care, în condiţiile încare semnalul aplicat la intrare este însumat cu zgomot, conduce ladificultăţi majore.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 45. Structura unui circuit PLL

Principiul calării pe fază

Bucla PLL poate fi privită ca un sistem de reglaj automat alfrecvenţei f 2 a unui semnal generat de un oscilator, cum se vede pe figura demai jos:

Figura 46 .Principiul calării de fază

Această frecvenţă trebuie să rămână egală cu valoarea prescrisă f1, indiferent de perturbaţiile p care acţionează în sistem: zgomoteexterne, variaţia parametrilor generatorului sub influenţa temperaturii sau atensiunii de alimentare, etc. Orice modificare a frecvenţei f 2 faţă defrecvenţa f 1 este transmisă prin reacţia negativă la intrare.

Eroarea e = f 1- f 2 furnizată de elementul de comparaţie este

prelucrată după o anumită lege f 2(e), până la atingerea frecvenţei dorite f 1. Înacest moment se spune că sistemul "a captat" frecvenţa f 1 , sau "s-a prins" peaceastă frecvenţă. Mai mult, captarea frecvenţei f 1 este însoţită desincronizarea celor două semnale, cel generat în buclă şi cel aplicat laintrare. În momentul atingerii regimului staţionar caracterizat de f 2 = f 1,defazajul între cele două semnale rămâne constant, adică semnalale suntcalate pe fază.

Pentru a realiza un circuit PLL este nevoie deci de un elementde comparaţie pentru frecvenţele celor două semnale (de intrare şi de ieşire)şi de un oscilator comandat, capabil să-şi modifice frecvenţa în funcţie de

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



semnalul de eroare furnizat de comparator. În circuitele integrate monoliticese utilizează următorul principiu:

A. COMPARAREA FRECVENŢELOR

Multiplicând două semnale sinusoidale s1 = U 1 sinω1 t, s2 = U 2 sinω2

t semnalul rezultat conţine două armonici, de frecvenţă f 1+ f 2 si f 1- f 2 :

)cos[(]){cos[(2

121212121 t t U U s s

(116)

În cazul că f1 şi f2 sunt suficient de apropiate, frecvenţa celor douăarmonici sunt destul de îndepărtate:

f 1- f 2 < f T <f 1+ f 2 (117)

astfel că armonica utilă având frecvenţa e = f 1- f 2 poate fi uşorseparată de un filtru trece-jos (FTJ) cu banda de trecere f T. Ca urmarecompararea a două frecvenţe poate fi realizată cu un circuit multiplicatorurmat de un filtru trece- jos (FTJ) ca în figură:

Figura 47 . Compararea a două frecvenţe

Acelaşi raţionament este valabil atunci când unul sau ambelesemnale sunt dreptunghiulare. Produsul lor conţine o armonică de joasăfrecvenţă egală cu diferenţa frecvenţelor fundamentale. Filtrul trece-josavând răspunsul la frecvenţă F(jω) va reţine numai armonica de joasăfrecvenţă, iar semnalul de ieşire va avea forma:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



u0(t) = K φU1U2 F (j |ω1 –ω2|) cos[(ω1 –ω2)t – φ] (118)

Unde K φ reprezintă coeficientul de scară al multiplicatorului.Tensiunea de ieşire din filtru se numeşte semnal de eroare, deoarece conţineinformaţii în legătură cu eroarea dintre frecvenţele celor două semnale.

Observaţie. Dacă cele două frecvenţe sunt prea îndepărtateinformaţia asupra erorii se pierde, deoarece armonica este suprimatăcomplet de FTJ, semnalul de ieşire rezultând de valoare neglijabilă.

e = f 1- f 2> f T , F (j |ω1 –ω2|)→ 0 (119)

În cazul frecvenţelor suficient de apropiate, semnalul de ieşireacţionează asupra oscilatorului, modificându-i frecvenţa f 2, până lasincronism, când f 1 = f 2. Din acest moment semnalul de eroare rămâneconstant.

u0(t) = K φU1U2 F0 cos φ = K D cos φ = K D sin θ (120)

În expresia de mai sus s-a notat: F 0 - câştigul static al FTJ (pentru frecvenţă nulă) φ - eroarea de fază, adică defazajul invariant în timp între semnale,

în care este inclus şi defazajul introdus de FTJ unghiul de eroare de fazăconsiderată faţă de referinţa

θ = (л/2) – θ unghiul de eroare de fază considerată faţă de referinţa л/2

K D = K φU1U2 F0 sensibilitatea comparatorului de fază Observaţie. Sensibilitatea K D reprezintă panta caracteristicii u0( θ)

pentru variaţii mici ale unghiului de eroare, când u0(t) = K D θ. B. GENERAREA FRECVENŢEI DE IEŞIRE F2

Generatorul semnalului s2 este un oscilator comandat în tensiune(OCT) (voltage controlled oscilator-VCO), comandat de câtre semnalul deeroare u0. Pentru u0=0 oscilatorul oscilează cu frecvenţa oscilaţiilor libere

fosc=ωosc /2л Apariţia semnalului de eroare (u0. nenul) produce var iaţii liniare ale

pulsaţiei semnalului s2 în jurul pulsaţiei libere, până la anularea erorii ω1 – ω2 , atunci când ω2 = ωosc + K 0u0 . În expresia de mai sus K 0 reprezintăsensibilitatea oscilatorului comandat în tensiune.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Schema bloc a circuitului PLL astf el conceput este prezentată înfigura de mai jos:

Figura 48. Schema bloc a circuitului PLL

Circuitul este neliniar, dificil de analizat pentru cazul general..

Bucla PLL în regim staţionar sincron

În cazul în care f 1 este suficient de apropiată de frecvenţa liberă f osc reacţia negativă permite captarea frecvenţei f 1 la ieşire, adică modificareafrecvenţei OCT până la valoarea f 2 = f 1. Circuitul sincronizat pe frecvenţa

prescrisă va fi caracterizat simultan de relaţiile anterioare, adică:

ω = ω = ω +K 0 K D cosφ

Defazajul φ depinde deci de distanţa pulsaţiei de referinţă faţă de pulsaţia liberă a OCT şi de amplitudinea U 1 şi U 2 ale semnalelor (prin K D).De obicei circuitele PLL integrate au U2=constant, iar U1 este limitat la oanumită valoare Ualim , indiferent de de mărimea reală a amplitudiniisemnalului exterior, mai mare ca această limită. Schimbarea frecvenţei la

intrare este sesizată de către u0 care comandă modificarea frecvenţei OCT, până la stabilirea egalităţii f 1= f 2≠ f osc. Defazajul semnalelor s1, s2 se modifică în mod corespunzător, îndepărtându - se faţă de valoarea centralăл/2. Posibilitatea măririi distanţei între f 1 şi f osc este limitată de condiţiarealizării unui defazaj φ cuprins între 0 şi л limite în interiorul cărora u0

variază monoton, în concordanţă cu modificările frecvenţei f 1 – f osc.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figură 49.Defazajul semnalelor s1 şi s2

În momentul în care defazajul φ depăşeşte una dintre aceste limite,u0 scade în valoare absolută şi nu mai poate furniza nivelul cerut de OCT

pentru a urmări variaţia frecvenţei f 1. Sistemul se desprinde din sincronism,u0 devine nul, iar frecvenţa OCT devine egală cu fosc indiferent de f 1, carenu mai poate fi urmărită.

Figura 50. Reprezentarea benzilor de urmărire şi captură

Pentru a se putea caracteriza posibilitatea urmăririi frecvenţei f 1 decătre bucla PLL aflată la sincronism, se defineşte:

-banda de urmărire BU , ca fiind domeniul frecvenţelor în jurulfrecvenţei centrale fosc , în care sistemul PLL poate menţine sincronismulcu semnalul de intrare. Valoarea benzii de urmărire este dată de valoareamaximă a expresiei anterioare, adică condiţia cosφ = 1, pentru f 1 =f U .

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



BU = 2│f U - f osc│= (K 0 K D)/л = K A/л. (121)

Captarea frecvenţei semnalului de intrare

În cazul în care f1 diferă mult de fosc armonicele de la ieşireamultiplicatorului sunt suprimate în întregime de FTJ, iar tensiunea de eroareuo este nul, OCT oscilând pe frecvenţa proprie fosc. Pentru a putea intra în sincronism, ar trebui ca generatorul să poata oscila pe frecvenţa f 1 =f 2.Pentru aceasta el are nevoie de o tensiune de comandă conform relaţiei:

u0osc= (ω1 - ω2)/K 0 (122)

având valori cu atât mai mari cu cât ω1 este mai îndepărtat de ωosc.Această tensiune trebuie să fie furnizată de FTJ, care conform relaţieianterioare poate da la ieşire tensiunea:

u0(t) = K DF (j |ω1 –ωosc|) cos[(ω1 –ωosc)t – φ]. (123)

cu atât mai mic cu cât ω1 diferă mai mult de ωosc.Micşorarea distanţei ω1 –ωosc permite atingerea limitei pentru

care u0 = uOCT , adică pentru care bucla PLL se poate prinde pe frecvenţa f 1.În acest sens se defineşte

-banda de captură BC , ca fiind domeniul frecvenţelor în jurulfrecvenţei centrale fosc pentru care bucla PLL poate intra în sincr onism cusemnalul de intrare. Neliniaritatea sistemului nu permite calculul exact al

benzii de captură.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 511. Schema bloc a circuitului integrat lm565

Circuitul se compune dintr-un oscilator controlat în tensiune (OCT)foarte stabil şi cu o bună liniaritate; un comparator de fază dublu echilibrat(CP) care permite o bună suprimare a purtătoarei şi amplificatorul A1 acărui reziatenţă de ieşire R 1 împreună cu componentele legate întreterminalul 7 şi masă constiuie FTJ.

Frecveţa de oscilaţie liberă: RC

f 7,3

10

Banda de captură: C RkA Bc 1/)2(1

Banda de urmărire: kA

V f B

cc

u 216 0

Sensibilitatea OCT:ccV

f k 0

0 54 (rad/sec)

Sensibilitatea CP: k D = 0,68(124)

Câştigul de c.c al buclei de reacţie:ccV

f kA 036

(124)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



5.3. Modul de lucru

1. Se realizează montajul din figura 52.

2. Se alimentează circuitul la o sursă de alimentare de ±12V.

3. Se comectează osciloscopul la ieşirea circuitului studiat.

4. Se vizualizeză cu osciloscopul : - semanlul dreptunghiular de pe terminalul 9;- semnalul dreptunghiular de pe terminalul 4;

5. Se vizualizeză semnalul de ieşire, aplicand pe terminalul 2semnal de la un generator de semnal sinusoidal, de la bornele acestuia. Seutilizează semnale cu frecvenţa cuprinsă între 5kHz şi 50kHz, având

amplitudinea de 0,5V.Frecvenţa se variază lent şi continuu, urmărind punctele în care bucla se calează sau pierde sincronizarea (se vizualizeză semnalele deintrare şi de ieşire).

Bucla calată se manifestă prin obţinerea unei imagini stabile peosciloscop pentru ambele semnale. Se estimează defazajul între intrare şiOUT.

Se determină benzile de captură şi de urmărire.

6. În banda de urmărire se măsoară cu un voltmetru de c.ctensiunea de pe terminalul 7 faţă de masă şi faţă de terminalul 6.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 521. Montaj experimental (1)

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Figura 532. Montaj experimental (2). Demodulator AM


1. Se vor calcula valorile frecvenţelor pentru cele douămontaje experimentale utilizând formula:

007,3

1

C R f

2. Se calculează : f 0 frecvenţa de oscilaţie liberă

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Bc banda de captură

Bu banda de urmărire

K 0 sensibilitatea OCT

K D câştigul de c.c al buclei de reacţie,

utilizând relaţiile (124)

3. Concluzii şi observaţii personale

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Stabilitatea Circuitelor cu Reacţie 86

6. LUCRAREA 7. STABILITATEACIRCUITELOR CU REACŢIE


Prezentarea schemei bloc, a terminologiei şi a criteriilor de

stabilitate specifice circuitelor cu reacţie, exemplificarea acestora folosind

scheme de oscilatoare elementare.


Un sistem cu reacţie (cu feedback ) se caracterizează prin faptul că

legătura intrare-ieşire este bidirecţională: semnalul de la intrare circulă spre

ieşire parcurgând o aşa-numită cale directă, iar semnalul de la ieşire este

recirculat spre intrare parcurgând o cale inversă, denumită cale de reacţie.

Schema-bloc a unui astfel de circuit se prezintă în figura 50:

Figura 543. Schema bloc a unui circuit cu reacţie

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 87

Blocul notat cu kA(p) se numeşte amplificator pe calea directă, iar

cel notat cu B(p) se numeşte amplificator pe calea de reacţie. Reacţia se

consideră negativă dacă semnalul recirculat de la ieşirea circuitului spre

intrare tinde să micşoreze semnalul total aplicat intrării amplificatorului de

bază, (k>0). În caz contrar, reacţia se consideră pozitivă (k<0).

Funcţia de transfer a circuitului, denumită funcţ ie de transfer în

buclă închisă, se calculează cu formula de mai jos (considerând reacţianegativă):

kA(p)B(p)+1

kA(p)B(p)=(s) H r

(125)

Mărimea kA(p)B(p) se numeşte funcţie de transfer în buclă deschisă

a circuitului cu reacţie.

Studiul stabilităţii unui circuit cu reacţie se poate efectua utilizând

criteriul general de stabilitate a unui circuit liniar, criteriul Routh-Hurwitz.

Totuşi, ţinând cont de forma particulară a funcţiei de transfer a circuitului s-

au elaborat şi criterii specifice, care folosesc următorul principiu: studiind

funcţia de transfer în buclă deschisă a circuitului se trag concluzii privind

stabilitatea circuitului în buclă închisă. Este un principiu extrem de util în

practică, deoarece în cazul unui sistem cu reacţie instabil, închiderea buclei

poate deveni periculoasă, putând conduce la distrugerea circuitului.

Dintre criteriile de stabilitate specifice circuitelor cu reacţie

menţionăm:

- Criteri ul Nyquist : Un sistem cu reacţie este stabil dacă hodograful

funcţiei de transfer în buclă deschisă înconjoară punctul (-1,0) de P ori în

sens trigonometric (sens invers acelor de ceasornic).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Există câteva mărimi de interes care se definesc în contextul

utilizării acestui criteriu:

Z: numărul de zerouri din semiplanul drept ale funcţiei 1+kA(p)B( p)

(care reprezintă, în acelaşi timp, poli ai funcţiei de transfer în buclă închisă);

P: numărul de poli din semiplanul drept ai funcţiei de transfer

în buclă deschisă kA(p)B(p);

N: numărul de înconjururi pe care le efectuează hodografulfuncţiei de transfer în buclă deschisă în jurul punctului ( -1,0). N se

consideră pozitiv dacă înconjurul se efectuează în sens orar şi negativ dacă

se efectuează în sens trigonometric.

Criteriul Nyquist presupune utilizarea formulei Z = N+P şi pentru ca

sistemul în buclă închisă să fie stabil este necesar ca Z = 0.

După cum ştim, hodograful unei funcţii complexe se trasează într -un

sistem de coordonate reprezentat de partea sa reală, respectiv partea sa

imaginară. Semnificaţia unui punct de pe hodograf este următoarea: dacă

unim originea cu punctul respectiv, lungimea vectorului este egală cu

modulul funcţiei de transfer în buclă deschisă, iar unghiul format de

vectorul respectiv cu axa absciselor este egal cu argumentul funcţiei de

transfer în buclă deschisă în dreptul unei anumite frecvenţe.

- Locul rădăcinilor: Un sistem cu reacţie este stabil dacă locul

geometric descris de soluţiile ecuaţiei: 1+kA(p)B(p)=0 pentru diverse valori

ale lui k (grafic care este denumit locul rădăcinilor) nu are porţiuni cuprinse

în semiplanul drept. Acest grafic se trasează aplicând un set de reguli foarte

simple, dintre care enumerăm:

- locul rădăcinilor pleacă din polii şi se termină în zerourile funcţiei de

transfer în buclă deschisă;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 89

- porţiunile din locul rădăcinilor aflate pe axa absciselor se găsesc la

stânga unui număr impar se singularităţi (poli sau zerouri);

- porţiunile din locul rădăcinilor aflate pe axa absciselor şi cuprinse

între 2 singularităţi de acelaşi fel se desprind de pe axă sub un unghi de 90;

- ramurile spre care porţiuni din locul rădăcinilor tind asimptotic

formează cu axa absciselor unghiuri care se calculează cu relaţia:

Z - P

1)+(2k =k

(126)

în care P şi Z reprezintă numărul de poli, respectiv de zerouri finite

ale funcţiei de transfer în buclă deschisă.

Observaţie: P şi Z au altă semnificaţie decât la criteriul Nyquist!

- asimptotele se intersectează într -un punct plasat întotdeauna pe axa

reală, denumit centru de greutate, a cărui abscisă se calculează cu formula:

Z - P

z abs- pabs

=c

i

i

i

i g

(127)

Semnificaţia unui punct de pe locul rădăcinilor este următoarea:

coordonatele acestuia reprezintă valoarea (reală sau complexă) a unei soluţii

a ecuaţiei 1+kA(p)B(p)=0 pentru o valoare particulară a parametrului k.

Acesta este motivul pentru care se spune că locul rădăcinilor este gradat în

valori ale lui k (în sensul că în loc să precizăm coordonatele în planul

complex ale unui punct de pe grafic putem indica valoarea lui k pentru care

punctul respectiv este soluţie a ecuaţiei mai sus menţionate).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Criteri ul Barkhausen: Un sistem cu reacţie este stabil în buclă

închisă dacă modulul funcţiei de transfer în buclă deschisă este subunitar în

dreptul frecvenţei la care faza acesteia este 180.

Se definesc următoarele mărimi:

- rezerva de amplitudine: diferenţa dintre 1 şi modulul funcţiei de

transfer în buclă deschisă în dreptul frecvenţei la care argumentul acestei

funcţii este 180.- rezerva de fază: diferenţa dintre argumentul funcţiei de transfer în

buclă deschisă în dreptul frecvenţei la care modulul acestei funcţii este 1 şi

unghiul de 180.

Pentru ca sistemul să fie stabil în buclă închisă rezerva de

amplitudine trebuie să fie pozitivă (tipic 6-10 dB), respectiv rezerva de fază

să fie pozitivă (tipic 45-60). Procesul prin care se asigură aceste valori (şi

implicit stabilitatea circuitului) se numeşte compensare.

6.3. Modul de lucru

1. Se realizează circuitul din figura 54, cu R = 1,5 kΩ, C = 33nF,

R1=1,5kΩ:

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 91

Figura 554. Circuit 1 – montaj practic

- calculaţi funcţia de transfer a circuitului, considerând

amplificatorul operaţional ideal.

Aplicăm la intrare semnal armonic de la generator. Semnalul de la

ieşirea circuitului se aplică pe intrarea Y a osciloscopului, iar semnalul de la

generator pe intrarea X. Pe ecran va apare o figură Lissajous de forma unei

elipse. Se modifică frecvenţa semnalului până când elipsa degenerează într -

o linie dreaptă cu panta pozitivă.

- care este valoarea defazajului intrare-ieşire în acest moment?

Fără a mai modifica frecvenţa se modifică poziţia cursorului

potenţiometrului până când modulul funcţiei de transfer (amplificarea)

devine egal cu 1.

2. În acest moment se îndepărtează generatorul şi se realizează

conexiunea directă între intrare şi ieşire. Introducând baza de timp se poate

observa pe ecran o oscilaţie a cărei frecvenţă se va măsura.

- care este frecvenţa teoretică de oscilaţie?

Modificând cursorul potenţiometrului se observă că într -un sens

oscilaţia dispare, iar în celălalt sens se menţine, dar ieşirea amplificatorului

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



operaţional intră rapid în saturaţie. În acelaşi timp, frecvenţa oscilaţiei se

modifică.

- care este explicaţia modificării frecvenţei de oscilaţie?

- ce ar trebui facut pentru ca oscilaţia să fie armonică (ieşirea

amplificatorului operaţional să nu ajungă în saturaţie)?

- care este valoarea minimă a amplificării conexiunii de amplificator

neinversor pentru ca regimul oscilant să se amorseze?

3. Se repetă experimentul în cazul circuitului din figura 55 :

Figura 565. Circuit 2 – montaj practic

- calculaţi funcţia de transfer a circuitului, considerând

amplificatorul operaţional ideal.

- care este frecvenţa teoretică de oscilaţie?


1. Propuneţi o funcţie de transfer care să corespundă unui

sistem instabil în buclă închisă, fapt justificat de aplicarea

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 93

criteriului Nyquist şi care să se dovedească stabil aplicând

criteriul Barkhausen.

2. În ce condiţii un sistem instabil în buclă deschisă este

stabil în buclă închisă?

3. Cum trebuie să fie caracteristica de frecvenţă a unui circuit

selectiv plasat în bucla de reacţie a unui amplificator

neselectiv pentru ca stabilitatea frecvenţei să fie bună? 4. Modelaţi amplificarea amplificatorului operaţional cu o

funcţie de transfer de ordinul I, de forma: A(p) = A0ω0/s+ω0.

Cum se modifică funcţiile de transfer în buclă deschisă ale circuitelor

studiate? Studiaţi stabilitatea în buclă închisă a circuitelor cu reacţie de mai

înainte.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



ANEXA 1 PREZENTAREA MEDIULUI DEPROGRAMARE MATLAB

Numele Matlab este o prescurtare a cuvintelor “Matrix Laboratory”.Aceasta deoarece, iniţial programul a fost destinat pentru calculul cu

matrici. Limbajul a evoluat şi a devenit un standard în universităţi când estevorba de cursuri introductive sau avansate de matematică sau inginerie.Funcţiile specifice unui anumit domeniu sunt grupate în colecţii de funcţiisau “toolboxes”.

MATLAB (MATrix LABoratory) este un pachet de programe deînaltă performanţă dedicat calculului numeric şi a reprezentărilor grafice.Sunt acceptate sisteme liniare şi neliniare, modelări continui.

I nterpretorul de comenzi

Fereastra principală a programului permite accesul direct la interpretorulde comenzi. Acesta este un instrument care execută o secvenţă de cod liniecu linie. Secvenţa de cod poate fi introdusă direct de la tastatură, iar dupăfiecare linie se apasă tasta Enter sau poate fi scrisă într -un fişier de tip text,care se salvează cu extensia “.M” şi se execută prin simpla scriere a numeluifişierului.

Limbajul Matlab respectã principiile programării structurale, astfelcã existã o foarte mare asemănare între sintaxa si structurile sale cu cea alimbajului C.

Se considerã pentru exemplificare următoarea secvenţa de cod:

>>suma = 0; for i=1:10 suma = suma + i;a(i) = i;end

suma =a

plot(a,'k*')

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 95

Prin scrierea acesteia linie cu linie la prompter se va obţineurmătorul rezultat:

>>suma = 55>>a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

precum si un grafic cu valorile vectorului “a”. Se observã cã în prima linie am definit o variabilã cu numele “suma”

care va conţine în final suma numerelor de la 1 la 10. Structura de tip ”for”face ca variabila “i” sã ia succesiv valori de la 1 la 10. La fiecare iteraţie

variabila “suma” este incrementatã cu cantitatea “i”. Vectorul “a” va avea pefiecare poziţie valoarea indicelui. Se pot desprinde imediat câteva particularităţi importante: rezultatul fiecărei operaţii este afişat dacã operaţianu se terminã cu simbolul “;”. Astfel pentru afişarea rezultatelor se scrienumele variabilei si se apasă Enter.

In continuare sunt prezentate regulile aritmetice de lucru cu arici sivectori.

1. Defin ir ea vari abilelor scalare

>> x = 2 (apoi apăsaţi “Enter” ) x =

2>>x = 3

y =3

>> z = x + y z =

5

2. Defini rea 2 vectori

>> x = [1 2 3]

x =1 2 3

>>y = [4 5 6]

y =

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



4 5 6>> y(1)

ans =4

şi se repetă pentru y(2) şi y(3). Matlab foloseşte numerele întregi laindexul serie. Primul element este y(1), al doilea este y(2), etc. zero, saunumerele negative nu sunt premise la index serie.

3.

Defi ni rea matricilor>> A = [ 1 2 3

4 5 6

7 8 9]; Se multiplică matricea A cu x transpus definit anterior:

>> A* x'

ans =143250

De exemplu o matrice cu zero de dimensiune 3 rânduri şi 6 coloane poate fi definită ca:

>> zeros(3,6) ans =

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Primul număr, 3, indică numărul de rânduri, al doilea număr, 6, estenumărul de coloane. Acesta poate fi realizat o dată:

>> ones(3,6)

ans =1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

4.

Defi ni rea vectori lor largi

>> x = cos(0.1* pi* (0:99));

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 1 97

>> x = [1:1:50];

al doilea rând indică creşterea de la1 la 50. Când creşterea este un"1", este necesara doar specificaţia primului şi ultimului număr al seriei:

>> x = [1:50];

Se poate deasemenea specifica ce rând de valori ale lui x suntdefinite:

>> x(51:100) = [50:-1:1]

Aceasta este o metodă utilizată de specificare a valorilor

"time" (timp) pentru grafic. De exemplu, să presupunem un interval simplu,care în exemplul de mai sus era 1 milisecundă.>> time = [0:0.001:0.099] ;

5. Reali zarea graf icelor

Se folosesc comenzile:>> plot(time,x)

>> xlabel( ' time (msec)')

>> ylabel(' x(t)')

O altă metoda de prezentare a diagramelor de succesiunesau semnale discret-timp este folosirea comandei "stem":

>> stem(t ime,x)

>> xlabel(' time (msec)')

>> ylabel(' x(t)') În aceastã etapã este util a se urmări documentaţia modulelor

următoare: matlab\general - Comenzi de uz generalmatlab\ops - Operatori si caractere specialematlab\lang - Structurile limbajului de programare

matlab\elmat - Matrice elementare si manipularea acestoramatlab\elfun - Funcţii matematice elementarematlab\specfun - Funcţii matematice specializate dspblks\dspblks - Informaţii despre toolbox-ul DSPsignal\signal - Informaţii despre toolbox-ul procesare de semnalsimulink\simulink - Informaţii despre instrumentul Simulink (de

exemplu pentru a afla mai multe despre operatori se tastează: “help ops”sau “help matlab\ops”).

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Pentru obţinerea de informaţii în format Html sau Pdf (este vorbadespre manualele complete ale toolbox-urilor) se poate tasta “helpdesk” siastfel se deschide o paginã de ti p Html în care informaţiile necesare se potgăsi uşor prin apelarea funcţiei “Search” sau prin urmărirea link-urilor dinacea paginã. Toate variabilele definite sunt menţinute în memorie până laştergerea acestora explicitã sau închiderea programului. Aceste variabile potfi afişate folosind comenzi de la tastaturã sau în mod grafic (prin apelareafuncţiei “Show Workspace” din meniul “File”). Se deschide astfel o

fereastrã în care sunt arătate variabilele aflate în acest moment în memorie,dimensiunea si tipul acestora si memoria ocupatã de fiecare. Prin selectare siapăsarea butonului “Open” este vizualizat conţinutul acestora iar prinapăsarea butonului “Delete” pot fi şterse.

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



ANEXA 2 APLICAŢII MATLAB

LABORATOR 1

g sco Z Z Z 111 *

g sco Z Z Z 222 *

g

sc

g

sc

Z

Z arcth

Z

Z arcth g

2

2

1

1

1. Diport

21

211

*

Z Z

Z Z Z sc

; 11 Z Z g ;

22 Z Z sc ; 212 Z Z Z g ;

Cod sursă Matlab

disp( 'Diport gama' ); Z1 = input( 'Z1 = ' ); Z2 = input( 'Z2 = ' ); Z1sc = (Z1 * Z2)/(Z1 + Z2); Z1g = Z1;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Z2sc = Z2; Z2g = Z1 + Z2; Zo1 = sqrt(Z1sc * Z1g); Zo2 = sqrt(Z2sc * Z2g); g = atanh(sqrt(Z1sc/Z1g));t = sprintf( 'Z1sc = %.2f; Z1g = %.2f' , Z1sc, Z1g);disp(t);t = sprintf( 'Z2sc = %.2f; Z2g = %.2f' , Z2sc, Z2g);disp(t);

t = sprintf( 'Zo1 = %.2f; Zo2 = %.2f' , Zo1, Zo2);disp(t);t = sprintf( 'g = %.2f' , g);disp(t);

Exemplu rezultat execuţie

Diport gama Z1 = 25 Z2 = 50 Z1sc = 16.67; Z1g = 25.00

Z2sc = 50.00; Z2g = 75.00 Zo1 = 20.41; Zo2 = 61.24 g = 1.15

2. Diport întors

21 Z Z sc ; 211 Z Z Z g ;

21

212

*

Z Z

Z Z Z sc

; 12 Z Z g ;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 101

Cod sursă Matlab

disp( 'Diport gama intors' ); Z1 = input('Z1 = '); Z2 = input('Z2 = '); Z1sc = Z2; Z1g = Z1 + Z2; Z2sc = (Z1 * Z2)/(Z1 + Z2);

Z2g = Z1; Zo1 = sqrt(Z1sc * Z1g); Zo2 = sqrt(Z2sc * Z2g); g = atanh(sqrt(Z1sc/Z1g));t = sprintf( 'Z1sc = %.2f; Z1g = %.2f' , Z1sc, Z1g);disp(t);t = sprintf( 'Z2sc = %.2f; Z2g = %.2f' , Z2sc, Z2g);disp(t);t = sprintf( 'Zo1 = %.2f; Zo2 = %.2f' , Zo1, Zo2);disp(t);t = sprintf( 'g = %.2f' , g);

disp(t);


Diport gama intors Z1 = 25 Z2 = 50 Z1sc = 50.00; Z1g = 75.00 Z2sc = 16.67; Z2g = 25.00 Zo1 = 61.24; Zo2 = 20.41

g = 1.15

3. Diport T

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



23

23

11

*

Z Z

Z Z Z Z sc

; 311 Z Z Z g ;

31

3122

*

Z Z

Z Z Z Z sc

; 322 Z Z Z g ;

Cod sursă Matlab

disp( 'Diport T' );

Z1 = input( 'Z1 = ' ); Z2 = input( 'Z2 = ' ); Z3 = input( 'Z3 = ' ); Z1sc = Z1 + (Z3 * Z2)/(Z3 + Z2); Z1g = Z1 + Z3; Z2sc = Z2 + (Z1 * Z3)/(Z1 + Z3); Z2g = Z2 + Z3; Zo1 = sqrt(Z1sc * Z1g); Zo2 = sqrt(Z2sc * Z2g); g = atanh(sqrt(Z1sc/Z1g));t = sprintf( 'Z1sc = %.2f; Z1g = %.2f' , Z1sc, Z1g);

disp(t);t = sprintf( 'Z2sc = %.2f; Z2g = %.2f' , Z2sc, Z2g);disp(t);t = sprintf( 'Zo1 = %.2f; Zo2 = %.2f' , Zo1, Zo2);disp(t);t = sprintf( 'g = %.2f' , g);disp(t);


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 103

Diport T Z1 = 20 Z2 = 15 Z3 = 25 Z1sc = 29.38; Z1g = 45.00 Z2sc = 26.11; Z2g = 40.00 Zo1 = 36.36; Zo2 = 32.32 g = 1.12

4. Diport

21

211

*

Z Z

Z Z Z sc

;

321

321

1

*

Z Z Z

Z Z Z Z g

;

32

322

*

Z Z

Z Z Z sc

;

321

2132

*

Z Z Z

Z Z Z Z g

;

Cod sursă Matlab

disp( 'Diport PI' ); Z1 = input( 'Z1 = ' ); Z2 = input( 'Z2 = ' ); Z3 = input( 'Z3 = ' ); Z1sc = (Z1 * Z2)/(Z1 + Z2); Z1g = (Z1*(Z2 + Z3))/(Z1 + Z2 + Z3); Z2sc = (Z2 * Z3)/(Z2 + Z3); Z2g = (Z3*(Z1 + Z2))/(Z1 + Z2 + Z3); Zo1 = sqrt(Z1sc * Z1g); Zo2 = sqrt(Z2sc * Z2g);

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 105

LABORATOR 2

Se trasează grafcul Zi şi Zo în funcţie de frecvenţă.

1. Filtre tip K-constant

ig isci Z Z Z *

og osco Z Z Z *

1.1. Filtrul trece jos

1.1.a F.T.J. tip Ί

Structura FTJ tip Ί

L Z isc

C L Z ig

1

1* 2 LC C

L Z i

12

LC

L Z os c

C Z og

1

1

1*

2

LC C

L Z o

1.1.b. F.T.J. tip T

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



12

11

2 C L L Z isc

C L Z ig

2

1

1* 2 LC

C

L Z i

io Z Z

1.1.c. F.T.J. tip

12

22

LC

L z oz c

22

122

2

LC C

LC Z og

1

1*

2

LC C

L Z

o

oi Z Z

Cod sursă Matlab

clear all ;close all ;

disp( 'FTJ' );

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 107

Ro = input( 'Ro[ohmi] = ' ); fc = input( 'fc[Hz] = ' ); L = Ro/(2*pi*fc);C = 1/(2*pi*Ro*fc);t = sprintf( 'L [H] = %f\n' , L);disp(t);t = sprintf( 'C [F] = %f\n' , C);disp(t);oc = 2 * pi * fc;

Fj = 0 : 1 : fc-1;[m, n] = size(Fj); for i = 1 : n

O(i) = 2 * pi * Fj(i); ZI(i) = sqrt(L/C)*sqrt(abs((O(i)^2*L*C)-1)); ZO(i) = sqrt(L/C)*1/sqrt(abs((O(i)^2*L*C)-1));

end figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTJ L' ); plot(Fj, ZI, '-r' );hold on;

plot(Fj, ZO, '-b' );

axis([Fj(1) Fj(n)+Fj(n)/10 0 2*sqrt(L/C)]); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );legend( 'Zi' , 'Zo' , 1);

figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTJ T' ); plot(Fj, ZI, '-r' ); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );

figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTJ PI' );

plot(Fj, ZO, '-b' );axis([Fj(1) Fj(n)+Fj(n)/10 0 2*sqrt(L/C)]);

xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );

Fpass = fc - fc/20; %% Passband Frequency - fst Fstop = fc + fc/10; %Stopband Frequency - fp Apass = 1; % Passband Ripple (dB) - ap Astop = 60; % Stopband Attenuation (dB) - ast Fs = fc * 3; % Sampling Frequency

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



hs = fdesign.lowpass(Fpass,Fstop,Apass,Astop,Fs);hd = design(hs,'equiripple' );

fvtool(hd);


FTJ Ro[ohmi] = 300

fc[Hz] = 1000 L [H] = 0.047746C [F] = 0.000001

Impedanţele Zi, Zo pentru FTJ tip Π

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 109

Impedanţa Z pentru FTJ tip T

Impedanţa Z pentru FTJ tip

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Atenuarea pentru FTJ

1.2. Filtrul trece sus

1.2.a F.T.S. tip L

L

C

ZoZi

C Z isc

1

C

LC Z ig

12

C L

C Z i

221

12

LC

L Z osc

L Z og

LC

L Z o

21

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 111

1.2.b. F.T.S. tip TC

L/2Zi Zi

C

C

L

C Z Z oi

22

1

1.2.c. F.T.S. tip

Zo ZoL

C/2

x xL

LC

L Z Z oi

21

Cod sursă Matlab


disp( 'FTS' ); Ro = input( 'Ro[ohmi] = ' ); fc = input( 'fc[Hz] = ' ); L = Ro/(2*pi*fc);C = 1/(2*pi*Ro*fc);t = sprintf( 'L [H] = %f\n' , L);disp(t);t = sprintf( 'C [F] = %f\n' , C);disp(t);oc = 2 * pi * fc;

Fs = fc : 1 : 5*fc;[m, n] = size(Fs);

for i = 1 : nO(i) = 2 * pi * Fs(i);

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



ZI(i) = sqrt(abs((1/(O(i)^2*C^2)) - (L/C))); ZO(i) = O(i)*L/sqrt(abs((1-(O(i)^2*L*C))));

end

figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTS L' ); plot(Fs, ZI, '-r' );hold on;

plot(Fs, ZO, '-b' );axis([Fs(1) Fs(n)+Fs(n)/10 0 2*sqrt(L/C)]);

xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );legend( 'Zi' , 'Zo' , 1);

figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTS T' ); plot(Fs, ZI, '-r' ); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );

figure( 'Name' ,'Zi, Zo penru FTS PI' );

plot(Fs, ZO, '-b' );axis([Fs(1) Fs(n)+Fs(n)/10 0 2*sqrt(L/C)]); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Zi, Zo [ohmi]' );

Fstop = fc - fc/10; % Stopband Frequency - fst Fpass = fc + fc/20; % Passband Frequency - fp Astop = 60; % Stopband Attenuation (dB) - ast Apass = 1; % Passband Ripple (dB) - ap Fss = fc * 3; % Sampling Frequency - fs

hs = fdesign.highpass(Fstop,Fpass,Astop,Apass,Fss);hd = design(hs,'equiripple' );

fvtool(hd);


FTS Ro[ohmi] = 300 fc[Hz] = 1000 L [H] = 0.047746

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 113

C [F] = 0.000001

Impedanţele Zi, Zo pentru FTS tip Π

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Impedanţa Z pentru FTS tip T

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 115

Impedanţ a Z pentru FTS tip

Atenuarea pentru FTS

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



1.3. Filtrul trece bandă

1.3.a. F.T.B. tip T

1

11

2

12

1

C

C L Z

)1( 22

2

22

C L

L Z

21

2

1 Z Z Z Z i

1.3.b. F.T.B. tip

1

112

11

C C L Z

22

2

22

1

2

C L

L Z

21

2

21

Z Z

Z Z Zo

Cod sursă Matlab

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 117


Ro = input( 'Ro[ohmi] = ' ); f1 = input( 'f1[Hz] = ' ); f2 = input( 'f2[Hz] = ' ); L1 = Ro/(pi*(f2-f1)); L2 = Ro*(f2-f1)/(4*pi*f1*f2);

C1 = (f2-f1)/(4*pi*Ro*f1*f2);C2 = 1/(pi*Ro*(f2-f1));t = sprintf( 'L1 [H] = %f\n' , L1);disp(t);t = sprintf( 'L2 [H] = %f\n' , L2);disp(t);t = sprintf( 'C1 [F] = %e\n' , C1);disp(t);t = sprintf( 'C2 [F] = %e\n' , C2);disp(t);

F = 0 : 1 : 2*f2;[m, n] = size(F); for i = 1 : n

O(i) = 2 * pi * F(i); Zi1(i) = ((O(i)^2*L1*C1)-1)/(O(i)*C1); Zi2(i) = O(i)*L2/(1-(O(i)^2*L2*C2)); ZI(i) = sqrt(abs(Zi1(i)^2+Zi1(i)*Zi2(i)));

Zo1(i) = (O(i)^2*L1*C1-1)/(O(i)*C1); Zo2(i) = O(i)*L2/(1-O(i)^2*L2*C2); ZO(i) = sqrt(abs(Zo1(i)*Zo2(i)^2/(Zo1(i)+Zo2(i))));

end

figure( 'Name' ,'Z penru FTB T' ); plot(F, ZI, '-r' );axis([f1 f2 0 2*Ro]);

xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Z [ohmi]' );

figure( 'Name' ,'Z penru FTB PI' ); plot(F, ZO, '-b' );

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



axis([f1 f2 0 2*Ro]); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Z [ohmi]' );

Fstop1 = f1; % First Stopband Frequency Fpass1 = f1 + 10; % First Passband Frequency Fpass2 = f2; % Second Passband Frequency Fstop2 = f2 + 10; % Second Stopband Frequency Astop1 = 60; % First Stopband Attenuation (dB)

Apass = 1; % Passband Ripple (dB) Astop2 = 60; % Second Stopband Attenuation (dB) Fs = 3 * f2; % Sampling Frequency

hs = fdesign.bandpass( 'fst1,fp1,fp2,fst2,ast1,ap,ast2' , Fstop1, Fpass1, ...

Fpass2, Fstop2, Astop1, Apass, Astop2, Fs);

hd = design(hs,'equiripple' ); fvtool(hd);


Ro[ohmi] = 300 f1[Hz] = 100 f2[Hz] = 300 L1 [H] = 0.477465 L2 [H] = 0.159155C1 [F] = 1.768388e-006C2 [F] = 5.305165e-006

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 119

Impedanţa Z pentru FTB tip T

Impedanţa Z pentru FTB tip

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Atenuarea pentru FTB

1.4. Filtrul opreşte bandă

1.4.a. F.O.B. tip T

)1(2 11

2

11

C L

L Z

2

22

2

2

1

C

C L Z

21

2

1 Z Z Z Z i

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 121

1.4.b. F.O.B. tip

11

2

11

1 C L

L Z

2

22

2

2

)1(2

C

C L Z

21

2

21

Z Z

Z Z Zo

Cod sursă Matlab


disp( 'FOB' ); Ro = input( 'Ro[ohmi] = ' ); f1 = input( 'f1[Hz] = ' ); f2 = input( 'f2[Hz] = ' ); L1 = Ro*(f2-f1)/(pi*f2*f1);

L2 = Ro/(4*pi*(f2-f1));C2 = (f2-f1)/(pi*Ro*f1*f2);C1 = 1/(4*pi*Ro*(f2-f1));t = sprintf( 'L1 [H] = %f\n' , L1);disp(t);t = sprintf( 'L2 [H] = %f\n' , L2);disp(t);t = sprintf( 'C1 [F] = %e\n' , C1);disp(t);t = sprintf( 'C2 [F] = %e\n' , C2);

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



disp(t);

F = f1-f1/10 : 1 : f2+f2/10;[m, n] = size(F);

for i = 1 : nO(i) = 2 * pi * F(i);

Zi1(i) = (O(i)*L1)/(2*(1-O(i)^2*L1*C1)); Zi2(i) = (O(i)^2*L2*C2-1)/(O(i)*C2);

ZI(i) = sqrt(abs(Zi1(i)^2+Zi1(i)*Zi2(i)));

Zo1(i) = (O(i)*L1)/(1-O(i)^2*L1*C1); Zo2(i) = (2*(O(i)^2*L2*C2-1))/(O(i)*C2); ZO(i) = sqrt(abs(Zo1(i)*Zo2(i)^2/(Zo1(i)+Zo2(i))));

end

figure( 'Name' ,'Z penru FOB T' ); plot(F, ZI, '-r' );axis([f1 f2 0 2*Ro]);

xlabel( 'f [Hz]' );

ylabel( 'Z [ohmi]' );

figure( 'Name' ,'Z penru FOB PI' ); plot(F, ZO, '-b' );axis([f1 f2 0 2*Ro]);

xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Z [ohmi]' );

Fpass1 = f1 - 10; % First Passband Frequency Fstop1 = f1; % First Stopband Frequency Fstop2 = f2; % Second Stopband Frequency

Fpass2 = f2 + 10; % Second Passband Frequency Apass1 = 1; % First Passband Ripple (dB) Astop = 60; % Stopband Attenuation (dB) Apass2 = 1; % Second Passband Ripple (dB) Fs = 3 * f2; % Sampling Frequency

h = fdesign.bandstop( 'fp1,fst1,fst2,fp2,ap1,ast,ap2' , Fpass1, Fstop1,... Fstop2, Fpass2, Apass1, Astop, Apass2, Fs);

Hd = design(h, 'equiripple' );

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 123

fvtool(Hd);


FOB Ro[ohmi] = 300 f1[Hz] = 100 f2[Hz] = 300 L1 [H] = 0.636620

L2 [H] = 0.119366C1 [F] = 1.326291e-006C2 [F] = 7.073553e-006

Impedanţa Z pentru FOB tip T

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Impedanţa Z pentru FOB tip

Atenuarea pentru FOB

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 125

LABORATOR 3. CIRCUITE RC

1. RC FTJ

21 RC

V V i

o

Graficul Vo în funcţie de frecvenţă

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Cod MATLAB

clear all close all clc% %FTJ

ftj_vo = figure; R = 10^3; fr = 10^4;

C = 1/(2*pi*R*fr);wr = 2*pi*fr; f = 1:100:3*10^4;w = 2*pi*f;[l n] = size(w);vi = 1;

for i=1:n H(i) = 1/sqrt(1+(w(i)/wr)^2);vo(i) = H(i)*vi;

end figure(ftj_vo);

plot(f, vo, 'b' );title( 'FTJ RC - Vo, Vi = 1V, fr = 10kHz' ); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Vo [V]' ); grid;

2. RC FTS

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 127

21 RC

RC V V io

Graficul Vo în funcţie de frecvenţ ă

Cod MATLAB

clear all close all clc

fts_vo = figure;

R = 10^3; fr = 10^4;C = 1/(2*pi*R*fr);wr = 2*pi*fr;

for i=1:n H(i) = w(i)*R*C/sqrt(1+(w(i)*R*C)^2);vo(i) = H(i)*vi;

end figure(fts_vo); plot(f, vo, 'b' );

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



title( 'FTS RC - Vo, Vi = 1V, fr = 10kHz' ); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'Vo [V]' ); grid;

3. RC integrator

RC

dt t V RC

V i

10

Cod MATLAB


syms t ;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 129

H1 = 2/pi*sin(pi*t); H3 = 2/(3*pi)*sin(3*pi*t); H5 = 2/(5*pi)*sin(5*pi*t); H7 = 2/(7*pi)*sin(7*pi*t); H9 = 2/(9*pi)*sin(9*pi*t); H11 = 2/(11*pi)*sin(11*pi*t); H13 = 2/(13*pi)*sin(13*pi*t); H15 = 2/(15*pi)*sin(15*pi*t);

H17 = 2/(17*pi)*sin(17*pi*t);vi = H1+H3+H5+H7+H9+H11+H13+H15+H17; figure(1);inti = int(vi);ez1 = ezplot (vi,[0,8]);hold on;ez2 = ezplot (inti,[0,8]);

set(ez1,'color' ,[1 0 0]); xlabel( 't [s]' ); ylabel( 'vi, vo [V]' );legend( 'vi' , 'vo' , 1);

title( 'RC integrator' );axis auto; grid on;

4. RC derivator

dt

t dV RC V i

o

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 131

figure(2);ez1 = ezplot (vi,[0,8]);

set(ez1,'color' ,[1 0 0]);hold on;ez2 = ezplot (deriv,[0,8]);

xlabel( 't [s]' ); ylabel( 'vi, vo [V]' );legend( 'vi' , 'vo' , 1);title( 'RC derivator' );

axis auto; grid on;

5. Atenuatoare

i

o

i

o

V

V N

V

V a

lg20

a) Ateunuator T

1

2

1

1

2

22

1

2121

N

N R R

N

N R R

R R R R

o

o

o

b) Atenuator

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 133

%T R1 = Ro*(N-1)/(N+1); R2 = Ro*2*N/(N^2-1);disp( 'Atenuator T' );disp(sprintf( 'R1 = %.2f, R2 = %.2f' , R1, R2));

%PI R1 = Ro*(N^2-1)/(2*N); R2 = Ro*(N+1)/(N-1);

disp( 'Atenuator PI' );disp(sprintf( 'R1 = %.2f, R2 = %.2f' , R1, R2));

2. Se dau R1 şi R2 şi se calculează Ro şi a.

R1 [ohmi] = 100 R2 [ohmi] = 200 Atenuator T Ro = 223.61, a = 8.36 Atenuator PI Ro = 89.44, a = 8.36

Cod MATLAB


syms x

R1 = input( 'R1 [ohmi] = ' ); R2 = input( 'R2 [ohmi] = ' );

%T Ro = sqrt(R1^2+2*R1*R2);ec1 = sprintf( '(%.2f*(x-1)/(x+1))-%.2f' ,Ro, R1);

N = double(solve(ec1));a = 20*log10(N);disp( 'Atenuator T' );disp(sprintf( 'Ro = %.2f, a = %.2f' , Ro, a));

%PI

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 135

LABORATOR 4. FILTRE ACTIVE

I. Filtre trece jos

FTJ activ de ordinul I

FTJ activ de ordinul I

f f

s

f

f f

r

RC

R

R

H

C R f

1

21

I.a. FTJ Sallen-Key

FTJ Sallen-Key

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



13

32

2

1

1

222

AC R

A H

A

RC f

R

R A

r

a

b

I.b. FTJ Rauch

FTJ Rauch

1111

2

2

1

232

321

2132

2

1

32

2

3

3

2

1

2

2132

1

3

C R R R R R

C C R R

A H

R

R R

R

R

R

R

C

C

C C R R f

R

R A

r

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


8/18/2019 indrumar ss2 (1)



for i = 1 : sn H(i) = A/(w(i)^2*R^2*C^2+w(i)*(3-A)+1);

end plot(f, H, 'r' );hold on

%ordin I Rs = 10^3; Rf = 10^4;

A = Rf/Rs; fr = 10^4;wr = 2*pi*fr;Cf = 1/(wr*Rf);

f = 1:100:5*10^4;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) = A/(w(i)*Rf*Cf+1);

end plot(f, H, 'g' );

title( 'FTJ activ' );legend( 'ord II - Rauch' , 'ord II - Sallen-Key' , 'ord I' , 1); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'H(w)' ); grid;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 139

II. Filtre trece sus

FTS activ de ordinul I

FTS activ de ordinul I

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



s s

f s

s s

r

RC

RC H

C R f

1

2

1

II.a. FTS Sallen-Key

FTS Sallen-Key

13

32

21

1

222

222

A RC C R

C AR H

A

RC f

R

R A

r

a

b

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 141

II.b. FTS Rauch

FTS Rauch

1

2

2

1

32112312

2

3121

2

32

1

2

3

3

2

2

1

2312

2

1

C C C RC C R R

C C R R H

C C

C

C

C

C

C

R

R

C C R R f

C

C A

r

Cod sursă MATLAB Comparaţie între cele 3 tipuri de filtre trece sus


%FTS

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



%Rauch R1 = 10^4; R2 = 10^5; xi = 0.1/2;C1 = 3*10^-8;C2 = 10^-8;

Ao = C1/C2; fr = 10^3;wr = 2*pi*fr;

C3 = 1/(wr̂ 2*R2*R1*C2); f = 1:100:5*10^3;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) =

w(i)^2*R2*R1*C1*C3/(w(i)^2*R2*R1*C3*C2+w(i)*R1*(C1+C3+C2)+1);end

plot(f, H);hold on

% %Sallen-Key Ra = 10^4; Rb = 20*10^3; As = 1 + Rb/Ra; R = 10^4; frs = 10^3;wrs = 2*pi*frs;C = 1/(frs*R);

f = 1:100:5*10^3;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) = w(i)^2*As*R^2*C^2/(w(i)^2*R^2*C^2+w(i)*R*C*(3-

As)+1);end

plot(f, H, 'r' );hold on

%ord I Rs = 10^3; Rf = 3*10^3;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 143

A = Rf/Rs; fr = 10^3;wr = 2*pi*fr;Cs = 1/(wr*Rs);

f = 1:100:5*10^3;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) = w(i)*Cs*Rf/(w(i)*Rs*Cs+1);

end plot(f, H, 'g' );title( 'FTS activ' );legend( 'ord II - Rauch' , 'ord II - Sallen-Key' , 'ord I' , 4);

xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'H(w)' ); grid;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



III. Filtre trece bandă

FTB activ de ordinul I

FTS activ de ordinul II

s s f f

f s

s s

h

f f

l

s f

c

RC RC

RC H

C R f

C R f

C R f

11

2

1

2

1

2

1

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 145

III.a FTB Sallen-Key

FTB Sallen-Key

1

2

5

2

2

2

52

2

2

1

222

A RC

C R

RC A

H

A

RC f

R

R A

r

a

b

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



III.b.FTB Rauch

FTB Rauch

21212121123

2

321

1

2

2

1

213

21

21213

1

2

3

1

2

111

2

1

1

1

R RC C R RC C R R R

R RC H

C

C

C

C

R R R

R R

R RC C R

f

C

C

R

R A

r

Cod sursă MATLAB

Comparaţie între cele 3 tipuri de filtre trece bandă


%FTB

%Rauch R1 = 10^3; xi = 0.1/2;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 147

C1 = 10^-7;C2 = 10^-7;

Ao = 5; R3 = R1*Ao*(1+C1/C2); fr = 10^3;wr = 2*pi*fr;

R2 = R1/(wr̂ 2*R1*R3*C1*C2-1); f = 1:100:10^4;w = 2*pi*f;

[sl sn] = size(w); for i = 1 : sn H(i) =

((w(i)*C2)/((R1/R3)*(1/R1+1/R2)))/(w(i)^2*C1*C2*R1*R2*R3/(R1+R2)+( w(i)*R1*R2*(C1+C2)/(R1+R2))+1);

end plot(f, H);hold on

% %Sallen-Key Ra = 10^3;

Rb = 4*10^3; A = 1 + Rb/Ra; R = 10^3; frs = 10^3;wrs = 2*pi*frs;C = sqrt(2)/(wrs*R);

f = 1:100:10^4;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) = (w(i)*A*R*C/2)/((w(i)^2*R^2*C^2/2)+(w(i)*R*C*(5-

A)/2)+1);end

plot(f, H, 'r' );hold on

%ord I Rs = 10^3; Rf = 5*10^3; fc = 10^3;wc = 2*pi*fc;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Cs = 1/(wc*Rf);Cf = 1/((2*pi*500)*Rf);

f = 1:100:10^4;w = 2*pi*f;[sl sn] = size(w);

for i = 1 : sn H(i) = w(i)*Cs*Rf/((w(i)*Rs*Cs+1)*(w(i)*Rf*Cf+1));

end plot(f, H, 'g' );

title( 'FTB activ' );legend( 'ord II - Rauch' , 'ord II - Sallen-Key' , 'ord II' , 1); xlabel( 'f [Hz]' ); ylabel( 'H(w)' ); grid;

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 149

LABORATOR 7. TESTAREA STABILITĂŢIISISTEMULUI ÎN MATLAB

Cod MATLAB


NUM = input( 'Numarator = ' ); DEN = input( 'Numitor = ' ); H = tf(NUM, DEN) size(H)if (isstable(H) == 1)

disp( 'Sistemul este stabil' );else

disp( 'Sistemul este instabil' );end

figure(1)iopzmap(H)

figure(2) pzmap(H) sgrid

Exemplu execuţie

Numarator = [1 0] Numitor = [1 2 10]

Transfer function: s

-------------- s^2 + 2 s + 10

Transfer function with 1 output and 1 input.Sistemul este stabil

8/18/2019 indrumar ss2 (1)



Grafic fără reţea

Grafic cu reţea

8/18/2019 indrumar ss2 (1)


Anexa 2 151

7. BIBLIOGRAFIE

1. Alexandrescu, C.M, Bureţea, D. - Semnale, circuite şi sisteme,

Îndrumar de laborator , 1994;

2. Alexander T., Adaptive Signal Processing . Theory and

Applications, Springer Verlag, New York, 1988;

3. Dobre O. D. – Dispozitive si circuite electronice, Indrumar de

laborator , 1998;

4. Giorgio, R., Mc Graw Hill - Principles and Applications of

Electrical Engineering , New York, 2004

5. Isar,D., Isar, Al. - Filtre, Ed. POLITEHNICA, Timisoara – 2003;

l l h d

indrumar ss2 (1)

Documents

Transcript of indrumar ss2 (1)