H1 Basis Rekenvaardigheden

Case Apple IPAD

De inkoopprijs van een microprocessor die in een iPAD van Apple gaat, bedraagt 20 euro inclusief btw. Apple krijgt een korting van 10% op de inkoopprijs exclusief btw als men minimaal 10.000 microprocessoren inkoopt.

Teun de Wilde, stagiaire van de opleiding Bedrijfseconomie, krijgt de vraag voorgelegd hoeveel korting Apple krijgt, maar dan uitgedrukt in euro.

Case Apple IPAD

Teun zit te denken hoe hij dit het makkelijkst kan berekenen. Moet hij nu 19% vermenigvuldigen met 20 euro en dan vermenigvuldigen met 10%? Of ging het toch anders?

Optellen en aftrekken

Hoe bereken je

8 + 9 – 2 + 7 – 12 + 5?

Je begint met 8 + 9 = 17.

Hiervan moet 2 af, dus 17 – 2 = 15.

Dan weer 7 er bij, dus 15 + 7 = 22.

Nu weer 12 er af, dus 22 – 12 = 10.

En tot slot tel je er 5 bij op, 10 + 5 = 15.

Optellen en aftrekken

Regel 1

Bij optellen en aftrekken begin je vooraan en verwerk je term voor term.

Vermenigvuldigen en delen

Er zijn vier situaties bij vermenigvuldigen:

5 x 4 = 20

5 x (-4) = -20

(-5) x 4 = -20

(-5) x (-4) = 20

Vermenigvuldigen en delen

Regel 2

 

+ maal + is +

+ maal – is –

– maal + is –

– maal – is +

Vermenigvuldigen en delen

Er zijn ook vier situaties bij delen:

20/4 = 5

-20/4 = -5

20/-4 = -5

-20/-4 = 5

Vermenigvuldigen en delen

Regel 3

 

+ gedeeld door + is +

– gedeeld door + is –

+ gedeeld door – is –

– gedeeld door – is +

Haakjes wegwerken

Hoe bereken je (40 : (4 x 2)) – 1 + 5 x 6?

Eerst van binnen naar buiten de haakjes wegwerken

4 x 2 = 8

40 : 8 = 5

 

Nu heb je 5 – 1 + 5 x 6.

Haakjes wegwerken

De regel is dat vermenigvuldigen en delen voorgaan voor optellen en aftrekken.

Dus 5 x 6 = 30

Dan krijg je

5 – 1 + 30 = 34

Haakjes wegwerken

Regel 4

 

Eerst haakjes wegwerken.

Machtsverheffen gaat voor,

dan vermenigvuldigen of delen en

dan optellen of aftrekken.

Rekenen met variabelen

Voorbeeld:

5 x 4 + 3 x 4 = 8 x 4

Verwissel de 4 voor een a dan zie je

5 x a + 3 x a = 8 x a

Anders geschreven is dit

5a + 3a = 8a

Rekenen met variabelen

Voorbeeld:

Wat komt er uit 3a + 3b + 2a – 2b – a?

Zoek de termen met een gemeenschappelijke factor

Dit zijn 3a, 2a en –a → 3a + 2a – a = 4a

Nu nog 3b en 2b → 3b – 2b = b

Het eindantwoord is 4a + b

Rekenen met variabelen

Voorbeeld:

Wat komt er uit 2ab x 4cd?

Je hoeft alleen maar 2 x 4 uit te rekenen, dit is 8. De andere variabelen kun je niet samen nemen en blijven daarom staan.

2ab x 4cd = 8abcd

Breuken

Voorbeeld:

Bereken

Je mag de tellers 1 en 3 bij elkaar optellen en dan vind je

1 3

8 8+

4

8

Breuken

Regel 5

 

Als je twee breuken hebt en de noemers zijn gelijk, dan mag je de tellers bij elkaar op tellen.

Breuken

Voorbeeld: Bereken

Je moet op zoek gaan naar het kleinst gemene veelvoud van 6 en 8 en dat is 24.

Vermenigvuldig in de teller en noemer met 4,

dus

Vermenigvuldig in de teller en noemer met 3,

dus

1 1

6 8+

1

6

1

8

24

4

4

4*6

1

243

33*81

Breuken

Nu zijn de breuken gelijknamig en mag je ze bij elkaar optellen. Je vindt dan:

1 1 4 3 7

6 8 24 24 24+ = + =

Breuken

Regel 6

 

Bij het optellen van breuken maak je de noemers gelijknamig.

Daarna mag je de tellers optellen en de noemer laten staan.

Breuken

Delen van breuken gaat volgens:

Regel 7

 

Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.

Breuken

Voorbeeld:

Bereken

Dit mag je herschrijven naar

1213

2

3

1

3*2

1

Machtsverheffen

Wanneer je 4 maal de 2 met zichzelf vermenigvuldigt dan heet dan machtsverheffen

Hierbij heet 2 het grondtal en 4 heet de exponent.

422*2*2*2

Machtsverheffen

Regel 8

 

waarbij x n maal genoemd.

 

x en n kunnen hier willekeurig gekozen worden.

. ... ,=nx x x x

Machtsverheffen

Voorbeeld:

Regel 9

. +=n m n mx x x

725 3)3*3(*)3*3*3*3*3(3*3

Machtsverheffen

Voorbeeld:

Regel 10

43

7

55*5*5

5*5*5*5*5*5*555

mnm

n

xxx

Machtsverheffen

Voorbeeld:

Regel 11

.( ) =n m n mx x

84424 2)2*2*2*2(*)2*2*2*2(2*2)2(

Machtsverheffen

Regel 12

Verheffen tot een negatieve macht betekent delen door de exponentiële uitdrukking

1- =nn

xx

Machtsverheffen

Regel 13

0 1=x

Worteltrekken

Voorbeeld:

Joris is voor zijn studie bezig met een financiële analyse van het bedrijf Drimo. Hij heeft wat gegevens op internet gevonden en komt tot de conclusie dat de omzet van het bedrijf de afgelopen twee jaar verviervoudigd is!

In woordformule:

Omzet na 2 jaar = 4 x oude omzet

  

Worteltrekken

Vervolg voorbeeld:

Stel nu dat de omzet gelijkmatig is gegroeid de afgelopen twee jaar, dus ieder jaar gegroeid met een gelijke ‘factor’.

omzet na 2 jaar = factor x factor x oude omzet

Worteltrekken

Vervolg voorbeeld:

Nu weet je wel hoe groot de groei in 2 jaar is, maar weet je niet de jaarlijkse groeifactor. Wat je wel weet is:

factor x factor = 4

Ofwel

factor2 = 4

Je zoekt dus een getal dat tot de macht ‘2’, ‘4’ oplevert.

Worteltrekken

Vervolg voorbeeld:

Dit kun je oplossen door gebruik te maken van worteltrekken. Dit schrijf je wiskundig als:

Je spreekt dit uit als factor is de tweedemachtswortel van 4. De factor moet dan wel gelijk zijn aan 2, dus:

= 2factor 4

=2 4 2

Worteltrekken

Voorbeeld:

Bij de tweedemachtswortel wordt de ‘2’ weggelaten, dus 24 4=

162want216

82want28

42want24

44

33

22

Worteltrekken

Voorbeeld:

want -2 x -2 x -2 = -8

bestaat niet

Regel 14

Een onevenmachtswortel over een negatief getal levert een negatief getal op.

Een evenmachtswortel over een negatief getal kan niet.

283 4 16

Worteltrekken

Voorbeeld:

Regel 15

De n-de machtswortel van een getal kan her-schreven worden als dit getal tot de macht 1/n.

1172 7210 10 en x x= =

=1

nnx x

Logaritmes

In sommige situaties weet je wel het grondtal en de uitkomst, maar niet de exponent.

Regel 16

Als dan geldt dat =nx y =log y

nlog x

Logaritmes

Voorbeeld:

Dan kun je n als volgt vinden:

is inderdaad 729, dus het klopt.

n3 729=

log729n 6

log3= =

63

Procent rekenen

Voorbeeld:

Als je € 100,= hebt en je krijgt hier 5% rente per jaar over dan heb je na één jaar 5/100 x 100 = 5 euro rente. Het totale bedrag is € 105,=

In feite kom je aan dit bedrag door € 100,= te vermenigvuldigen met 1,05.

Deze 1,05 heet de groeifactor.

Procent rekenen

Vervolg voorbeeld:

Je hebt nu € 100,= hebt en je vraagt je af wat je een jaar geleden had. Noem dit bedrag X.

Dan geldt 1,05 X = 100 dus

X = 100/1,05 = 94,24 euro.

Procent rekenen

Regel 17

Bij terugrekenen met procenten moet je delen door de groeifactor.

Oplossen case Apple IPAD

De inkoopprijs van een microprocessor voor de Apple iPAD is 20 euro inclusief btw. Voor de inkoopprijs exclusief btw moet je terugrekenen, dus delen door de groeifactor 1,19.

Je krijgt dan 20/1,19 = 16,81 euro.

De inkoopprijs exclusief BTW is € 16,81.

Oplossen case Apple IPAD

Apple krijgt korting over de16,81 euro als men 10.000 exemplaren afneemt.

De korting is dan 10% x 16,81 = 1,68 euro per stuk.

Voor 10.000 exemplaren is dat een korting van 10.000 x 1,68 = 16.800 euro.