Gr 11 Gatskop wiskunde Finaal · 2020. 7. 24. · 6. AB is loodreg op CD 7. PQ is ewewydig aan TR...

GatskopWiskundatskopWiskunWiskundeGatskoskundeGatsk

ppp

GatskopWiskundtskopWiskunGWiskundeGatskopiskundeGats

pppp

GatskopWiskundeskopWiskunWiskundeGatskopundeGatsk

ppp

GatskopWiskundepWiskunp

WiskundeGatskopGatskpp

deopde

p

ko

pnkonsnkonko

epppeeMeetkunde

Oplossings van Meetkundeprobleme: M Smit & M van NiekerkTaalversorging: C Oosthuizen

KopieregDie inhoud van hierdie boek is die intellektuele eiendom van Morné Smit.

Ongemagtige duplisering van enige aard kan lei tot strafregtelike vervolging

Saamgestel deur M. Smit

Uitgegee deur:

Tel: 014 592 6083Cell: 079 092 0519(no sms Vodacom)/063 133 6292(no sms MTN)Email: [email protected]/ www.amaniyah.co.zaISBN 978-1-928528-05-0eISBN 978-1-928528-13-5

Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyneII

Baie dankie dat jy hierdie meetkundewerkboek aangekoop het. Dit is beslis ‘n goeie belegging in jou

akademiese toekoms. Ek glo en vertrou dat jy baie baat hierby gaan vind.

Hierdie werkboek is spesiaal saamgestel om meetkunde baie makliker en lekkerder vir jou te maak. Uit

jare se ondervinding, weet ek waarmee leerders die meeste sukkel en daarom glo ek in my spesiale

onderrigbenadering wat tot voordeel van alle leerders strek. Werk sorgvuldig deur hierdie werkboek en jy

sal ongetwyfeld die vrugte van sukses in die toetse en eksamens pluk.

Wiskunde is nie ‘n vak vir toeskouers nie. As jy die heeltyd net soos ‘n toeskouer gaan kyk hoe jou

onderwyser of maats die somme doen, gaan jy nooit sukses in wiskunde behaal nie. Jy moet te alle tye

aktief betrokke bly en SELF die somme aanpak en doen. Ek sê altyd vir my leerders: “Al het jy die beste

wiskunde-onderwyser in die hele wêreld … as jy dit nooit SELF inoefen nie, sal jy dit nooit SELF kan doen

nie”.

Alle “verstaanwerk“ het eers ‘n gedeelte “leerwerk” wat jy 100% moet ken. As jy iets in wiskunde nie

verstaan nie, is dit bloot omdat daar seker leergedeeltes (wette, teorieë, stellings ens.) is wat jy nog nie

goed genoeg uit jou kop uit ken nie. Maak te alle tye seker dat jy jou kant bring met die “leerwerk”.

Baie sterkte met jou wiskunde op skool. Onthou: Wiskunde sluit baie deure oop en maak die toekoms vir

jou oop!

Groete.

Morné Smit

Hierdie boek word opgedra aan Henna Cornelius – ‘n baie spesiale ouma wat my nog altyd aangemoedig

en gehelp het om my drome te laat realiseer!

VOORWOORD

Meer oor die outeur …

Mnr. Morné Smit het meer as 15 jaar ervaring in die suksesvolle

onderrig van Wiskunde. Met die graad 11- & 12- eksterne

eksamens tree hy al vir ‘n hele paar jaar as eksaminator,

moderator, adjunkhoof– en hoofnasiener in die provinsie op.

In 2015 wen mnr. Smit die National Teaching Awards en word

aangewys as die beste wiskunde-onderwyser in Suid-Afrika.

GatskopWiskundeatskopWiskunWiskundeGatskopskundeGatsk

ppp

GatskopWiskundetskopWiskunp

GWiskundeGatskopiskundeGatspppp

GatskopWiskundeskopWiskunWiskundeGatskopundeGatsk

ppp

GatskopWiskundepWiskunp

WiskundeGatskopWi k d G t kGatskpp

1

2

3

4

5

6

7

8

INHOUDSOPGAWE

Hoeke binne ‘n sirkel: Omtrekshoeke, Middelpuntshoeke en Hoeke in ‘n semi-sirkel

Inleiding en eksamenriglyne

Hersiening van vorige meetkundige konsepte

Die stelling van Pythagoras

Die lynstukke binne ‘n sirkel

Koordevierhoeke

Oplossings

Raaklyne aan sirkels

1bladsy 1

bladsy 5

bladsy 15

bladsy 19

bladsy 31

bladsy 50

bladsy 73

bladsy 107

2

3

4

5

6

7

8

Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne1

Jy moet ALLE stellings en meetkundefeite ken.

Jy moet ALLE stellings en meetkundefeite in diagramme kan toepas.

Jy moet in elke probleem jou EIE bewerings gee en dan die korrekte rede wat jou

bewering ondersteun.

Jy moet 4 stellings foutloos in toetse en eksamens kan bewys. Maak seker jy leer altyd heel eerste jou stellings! Dit is pasella-punte !

In graad 11-sirkelmeetkunde gaan die volgende van jou verwag word:

Euklidiese Meetkunde beteken dat jy nooit

die hoeke of sye mag meet nie, maar dat jy

MEETKUNDE-TEORIE (stellings en feite) gebruik

om die vrae te beantwoord.

Jy mag dus nooit dink jy kan die sye met

‘n liniaal of die hoeke met ‘n gradeboog meet

om die antwoorde van ‘n meetkundeprobleem

te kry nie.

INLEIDING

Feit 1

Feit 2

Feit 3

Feit 4

Moenie meetkunde vir jouself onnodig moeilik

maak nie. As jy al die meetkunde-stellings en

feite ken, is meetkunde ‘n baie makliker afdeling

as algebra.

Wanneer meetkundevrae beantwoord word,

moet daar ‘n BEWERING (dit wat jyself bereken

of aflei) en REDE (dit wat jou berekening of

afleiding ondersteun) gegee word.

Die volgende nasienriglyne is baie belangrik, omdat jou onderwyser(es) dit streng gaan toepas elke keer as hy/sy jou meetkundetoets of –vraestel nasien:

Feit 1 Jou bewering MOET KORREK wees voordat jy ‘n punt vir die rede mag kry. Jy kry geen punte vir ‘n korrekte rede as die bewering verkeerd is nie. Gee dus baie aandag aan die korrekte bewerings.

Jy mag nooit vir enige hoek ‘n bepaalde grootte gee nie. Jy mag byvoorbeeld nie stel dat ‘n sekere hoeke 30° ensovoorts is nie. Jy mag wel ‘n hoekgrootte gelyk stel aan x (of enige ander veranderlike).

Feit 2

Feit 3 Jy gaan altyd ‘n stelling kry om te bewys. Maak seker dat jou konstruksielyn altyd korrek is anders kry jy GEEN punte vir die stelling nie. Dit staan bekend as ‘n “break down ” in wiskunde.

(Die voorgeskrewe stellings waarvan die formele bewyse vir eksamendoeleindes geken moet word, word aan die einde van elke module gegee en bewys).

Gewoonlik verdien elke meetkundefeit/stelling wat jy in graad 11 geleer het twee punte (� bewering en � rede) as dit in ‘n probleem toegepas word. Alle vorige feite/stellings (gr. 8 – 10) verdien slegs een punt as dit in ‘n meetkundeprobleem toegepas word.

Feit 4

2Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne

Terminoloige Simbool / Afkorting

HoekHoeke eHoek A ÂHoek A en Hoek B is saam 180° Â+ B̂ =180°Driehoek �SirkelSirkel met middelpunt A ARegoorstaande hoeke regoorst. eTeenoorstaande hoeke teenoorst. eLoodregEwewydig IIKoordevierhoek kvhParallelogram Parm of IIm

Gelykvormige driehoeke ��Middelpunt Midpt.Ooreenkomstige hoeke Ooreenk. eVerwisselende binnehoeke Verw.binne e

T

AANVAARBARE AFKORTINGS EN SIMBOLE IN MEETKUNDE#1

Leer die gebruik van die volgende simbole baie goed:

Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne3

Wanneer jy redes gee is daar sekere aanvaarbare afkortings of simbole wat jy mag gebruik. Hier volg ‘n paar van hierdie aanvaarbare afkortings of simbole:

Stelling Aanvaarbare rede1. As twee reguit lyne mekaar sny, is die regoorstaande

hoeke ewe groot.regoorst. e

2. Hoeke op ‘n reguit lyn is saam 180°. e op reguit lyn

3. Die som van die binnehoeke van ‘n driehoek is 180°. binne ��

4. Die buitehoek van ‘n driehoek is gelyk aan die som van die binneste teenoorstaande hoeke.

buite ��

5. As AB II CD dan is die ooreenkomstige hoeke gelyk. ooreenk. e [AB II CD]

6. As AB II CD dan is die KO-binnehoeke saam 180°. ko-binne e [AB II CD]

7. As AB II CD dan is die verwisselende binnehoeke gelyk. verw.binne e[AB II CD]

Graad 8 - Meetkunde

Graad 10 - Meetkunde

Stelling Aanvaarbare rede8. Die lynstuk wat die middelpunte van twee sye van ‘n

driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die derde sy.

midpt.-stelling

9. Twee driehoeke wat op dieselfde basis en tussen dieselfde ewewydige lyne lê, is gelyk in oppervlakte.

dies.basis;dies. hoogte /

dies.basis;dies. II lyne

Die som van die binnehoeke van ‘n driehoek is 180°. binne ��

10. Die teenoorstaande sye van ‘n parallelogram is gelyk. teenoorst.sye van parm

11. Die teenoorstaande sye van parallelogram is ewewydig. teenoorst.sye van parm

12. Die teenoorstaande hoeke van parallelogram is ewe groot. teenoorst. e van parm

13. Hoeklyne van parallelogram halveer mekaar. hoeklyne van parm

14. Hoeklyn van parallelogram halveer oppervlakte. hoeklyn parm halveer opp.

Stelling Aanvaarbare rede15. Die lyn vanuit die middelpunt van ‘n sirkel loodreg na die

koord, halveer die koord.loodlyn uit midpt. na koord

16. Die lyn vanuit die middelpunt van die sirkel na die middelpunt van die koord, is loodreg op die koord.

lyn midpt. ; midpt. koord

17. Die middelpuntshoek is twee maal die omtrekshoek. midpt. = 2× omtrek

18. Die hoek in halwe sirkel (of semi-sirkel) is 90°. in 1/2

19. Omtrekshoeke onderspan deur dieselfde boog of koord, is gelyk (die STRIKDASSIE).

e in dies. segment


4Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne

20. Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is saam 180°.

teenoorst. e van kvh

21. Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan die binneste teenoorstaande hoek.

buite van kvh

22. Die radius van ‘n sirkel is loodreg op die raaklyn. rad

T

raaklyn

23. Die hoek tussen ‘n raaklyn en koord is gelyk aan die hoek in die teenoorstaande sirkelsegment.

raaklyn- koordstelling / tussen raaklyn en koord

24. Die raaklyne getrek vanuit dieselfde punt na die sirkel, is gelyk.

raaklyne vanuit dies. punt


Stelling Aanvaarbare rede25. Die lyn ewewydig aan een sy van ‘n driehoek verdeel die

ander twee sye in eweredige dele. (veronderstel AB II CD )

eweredigheid.st [AB II CD]

of lyn II��

26. As twee driehoeke gelykvormig is, dan is hulle ooreenstemmende sye eweredig.

��

Skryf die volgende bewerings oor in ‘n verkorte weergawe sodat dit in alle toetse en eksamens aanvaarbaar sal wees:(1 word as voorbeeld vir jou gedoen)

Meetkundige bewerings Aanvaarbare verkorte weer-gawe

1. Die teenoorstaande hoeke van ‘n parallelogram

Die teenoorst. e van ‘n parm

2. Die middelpuntshoek van ‘n sirkel3. Driehoek ABC en driehoek PQR is

gelykvormige driehoeke4. Die binnehoeke van ‘n koordevierhoek5. Die teenoorstaande hoeke van ‘n

koordevierhoek6. AB is loodreg op CD7. PQ is ewewydig aan TR8. Lyn KM is twee keer so lank soos LP9. Lyn AB is die helfte van lyn CD10. Verwisselende binnehoeke 11. Ooreenkomstige hoeke12. Hoek A is net so groot soos hoek B13. Hoek P is drie keer so groot soos hoek M14. Hoek X en Hoek Y is saam 120°15. Die sirkel met middelpunt O

Oefening 11 2 365

4 987

+

-x

_..%

c

.0 =

A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde5

Hoe benoem ons hoeke?

DA

BC

�1 2

�

AÊD = �Lyne AE en ED vorm die hoek �. Die hoek word by E gevorm en daarom is daar ‘n kappie op die E.(Gly jou vinger van A na E na D… Die middelste letter (E) is waar die hoek gevorm word)

CÊB = �

Lyne CE en EB vorm die hoek �. Die hoek word by E gevorm en daarom is die kappie op die E.(Gly jou vinger van C na E na B… Die middelste letter (E) is waar die hoek gevorm word)

As die hoeke genommer is, is daar ‘n korter manier om die hoeke te skryf:

Ê1 =

Ê2 =

AÊD + CÊB + Ê1 + Ê2 = 360°(omwenteling) / <e om ‘n punt.

HERSIENING VAN BASIESE MEETKUNDE#2

6Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde

Hoeke gevorm deur twee lyne

Soorte hoeke Beskrywing van hoeke

Korrekte meetkundige rede

DA

BC

E�

�

As twee reguit lyne mekaar sny, is die regoorstaande hoeke ewe groot.

A D = C Bregoorst. e

D

A B C

Die AANGRENSENDE hoeke wat op ‘n reguit lyn gevorm word, is SAAM 180° (supplementêre hoeke)

+ = 180°

A D + D C= 180° e op reguit lyn

D

A B C

E

Komplementêre hoeke is SAAM 90°.

+ = 90°

D E + E C = 90°Komplementêre e


Hoeke van ‘n driehoek

Soorte hoeke Beskrywing van hoeke

Korrekte meetkundige rede

A

B C

+ + = 180°

Die binnehoeke van ‘n driehoek is saam 180°.

As jy al die hoeke van ‘n driehoek “afknip”, dan pas als mooi op ‘n reguit lyn.

+ + = 180°Binne e van �

A

B C

��

Wanneer twee sye van ‘n driehoek gelyk is, is die hoeke teenoor die gely-ke sye ewe groot.

In ‘n gelykbenige driehoek, is twee hoeke altyd ewe groot.

= e teenoor gelyke sye

A

B C

��

Wanneer al 3 die sye van ‘n driehoek gelyk is, is al 3 die hoeke ewe groot en gelyk aan 60°.

= = = 60°

= = = 60°Gelyksydige �


Buitehoek van ‘n figuurDie buitehoek van ‘n figuur is ‘n konsep waarmee die meeste leerders soms klei

trap. Die groot rede is omdat baie leerders net fokus op die “buite”-gedeelte.

is ‘n buitehoek ��

DA

B C

Is NIE ‘n buitehoek NIE ��

D

A

B C

A D = B C + A C �� )

= +

��!

+ + "�#$%&��

��'��!

+ = 180° ( e �'��

+ = + +

= +

D

A

B C

Die buitehoek van enige driehoek of vierhoek is die hoekwat aan die buitekant teenaan een van die sye van die figuur gevorm word, deur een van die sye van die figuur reguit (met ‘n liniaal) te verleng.


Ewewydige lyne

F)��

>

> =

UKo-binnehoeke

> >

+ = 180°

N*��

> >

=


Hoe word lyne ewewydig bewys?

A B

C D

E

G

H

F

��,��.��/ke ?

)��2��'�OOREENKOMSTIGE e

��3�"�43.�"�

� ��4�)��5� e

��

x (180 – x)

A

B

C

D

E G

H F

��,��7��#$%&�� ?

)��2��'�

9)/�:;;<� e5�

�3�>��3��"�x + (180° – x��"�180°

� ��4�)��9)/�� e

��#$%&�

A B

C D

E

G

H

F

��,��?��/ke ?

)��2��'�*<@�:��<A<;4<��:;;<�

�3�"��3G = � ��4

�)��5�� e ��


Eienskappe van vierhoekeTrapesium Parallelogram

Ruit (Rhombus) Reghoek

Vierkant Vlieër

1 paar teenoorstaande sye ewewydig.

>

>1area = (som van ewewydige sye) x

T

h2

>

>

>> >>

2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.

2 pare teenoorstaande sye is ewe lank.

2 pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.

Hoeklyne halveer mekaar.

area = basis x

T

h

>>

>

>>>>

2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.Al 4 sye is gelyk.2 pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.Hoeklyne halveer hoeke.Hoeklyne halveer mekaar loodreg.area = basis x

T

h

>

>

>

>> >>

2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.2 pare teenoorstaande sye is gelyk.Al 4 hoeke is 90°.Hoeklyne halveer mekaar en is gelyk.area = basis x

T

h

>

>

>

>>>>

2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.

Al 4 sye ewe lank.

Al 4 hoeke is 90°.

Hoeklyne is ewe lank.

Hoeklyne halveer mekaar reghoekig en halveer hoeke 45°

area = l x l

2 pare aangrensende sye is ewe lank.

1 paar teenoorstaande hoeke is ewe groot.

Langste hoeklyn halveer hoeke.

Langste hoeklyn halveer kortste hoeklyn reghoekig.

>

1area = (hoeklyn1 x hoeklyn2) 2


‘n Segment is die oppervlakte gevorm tussen die koord en die omtrek van die sirkel. ‘n Koord verdeel ‘n sirkel altyd in ‘n groot en klein segment.

‘n Koord is ‘n lynstuk vanaf een punt op die sirkelomtrek na ‘n ander punt op die sirkelomtrek.

‘n Boog is ‘n gedeelte van die omtrek van die sirkel. ‘n Koord of radius van ‘n sirkel dui gewoonlik die betrokke boog aan.

‘n Sektor is die oppervlakte gevorm tussen twee radiusse en die omtrek van die sirkel.

Middelpunt

Middellyn

Sektor

Radius

Boog

Raaklyn Klein Segment

Koord

Segment

Sektor

Komponente van ‘n sirkel


#1

#2

4x

3x

2x

A

B C

Gegee ��ABC met = 3x ; = 4x en = 2x Bereken die waarde van x en gevolglik die grootte van elke hoek.

3x180° - 7x

>

>P

Q R S

T

In elk van die volgende gevalle moet daar redes vir jou bewerings gegee word

Bewering Rede

=

=

=

Bewering Rede

Gegee � PQR met P = 3x en RPT = 180°-7x

QS ll PT

Druk die volgende hoeke uit in terme van x:

a) PRS

b) PQR

c) PRQ

Oefening 21 2 365

4 987

+

-x

_..%

c

.0 =


In elk van die volgende gevalle moet daar redes vir jou bewerings gegee word

Bewering Rede

=

=

Bewering Rede

PTQ =

QPT =

S =

TPS =

SUP =

#3

#4

3x– 40°

120°– xA

B C

DGegee parallelogram ABCD met

B =3x-40° en D =120°-x.

Bereken die waarde van:

a) x

b) B

c) A

P S

U

TQ Rx

Gegee parallelogram PQRS met QR verleng na T. Lyn PT word getrek sodat PQ = PT. Q = x.Druk die volgende hoeke uit in terme van x:

a) PTQ

b) QPT

c) S

d) TPS

e) SUP

A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetikunde15

Die stelling van Pythagoras (graad 8)

Reghoeksy2 + Reghoeksy2 = Skuinssy2

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2

PYTAGORAS#3A

B C

9

16

3 5

4

25

! B/DDit is BAIE belangrik dat jy die stelling van Pythagoras korrek neerskryf. Indien jy die stelling verkeerd formuleer, word dit as ‘n breakdown (B/D) beskou en verloor jy al jou punte by daardie betrokke vraag.


Los op vir x in die volgende kwadratiese vergelyking: x2 + (x – 1)2 = (x + 1)2

Oplossing:x2 + x2 – 2x + 1 = x2 + 2x + 1x2 - 4x = 0x(x – 4) = 0x = 0 of x = 4

Bepaal die waarde van x in die volgende reghoekige driehoek.

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2 … Pythagoras (x)2 + (x – 1)2 = (x + 1)2 … Elke sylengte in EIE hakie x2 + x2 – 2x + 1 = x2 + 2x + 1x2 - 4x = 0x(x – 4) = 0x = 0 of x = 4Maar x is ‘n SYLENGTE en kan NIE negatief of nul wees nie. Slegs x = 4

A

CB

x+1x

x-1

A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetikunde17

#1 #2A

B C M

T

K

2x

x + 3

63x - 2

x

2x + 2

Bereken die waarde van x in die volgende reghoekige driehoeke:

Oefening 3A1 2 365

4 987

+

-x

_..%

c

.0 =


#1 #2P

Q R M

T

K

x + 2

x + 1

�� 12

52

x

132

x

Bereken die numeriese waarde van die sylengtes in die volgende reghoekige driehoeke:

Oefening 3B1 2 365

4 987

+

-x

_..%

c

.0 =

Gr 11 Gatskop wiskunde Finaal · 2020. 7. 24. · 6. AB is loodreg op CD 7. PQ is ewewydig aan TR...

Documents

Transcript of Gr 11 Gatskop wiskunde Finaal · 2020. 7. 24. · 6. AB is loodreg op CD 7. PQ is ewewydig aan TR...