30 EUCLIDES 89 | 4

figuur 2 het speelveld van Noortje en Sarah

GanZenborden voor GevorderdenIn dit artikel laat Hans Schipper zien hoe een klassiek spel door leerlingen in een modern jasje wordt gehesen. En ondertussen leren ze ook rekenen met negatieve getallen.

figuur 1 het Ganzenbord uit Getal en Ruimte

inleidingIn de brugklasboeken van Getal en Ruimte [1] staat een spel, dat is geïnspireerd op het aloude Ganzenbord, zie figuur 1. Gaan de vakjes bij het originele spel van 1 tot en met 71, bij het spel in het wiskundeboek kan men vanaf de start in positieve richting van 1 tot en met 20 en in negatieve richting van –1 tot en met –10. Elke speler heeft één pion die bij nul begint. Er gaat geworpen worden met twee dobbelstenen. Om ook in een negatieve richting te kunnen gaan, is er een negatieve en een positieve dobbelsteen bedacht. De spelers gooien om de beurt met beide dobbelstenen. Gooit iemand –5 en +3, dan gaat de pion twee vakjes vooruit. Wie +2 en –6 gooit, verschuift de pion vier vakjes achteruit. Winnaar is degene die het eerst bij 20 komt. Maar komt je op –10, dan ben je af. Er is zelfs een put ingebouwd die voor een dip zorgt: terugplaatsing van 11 naar –4. Dan geeft –7 meer soelaas: een schietstoel brengt de pion naar 7.‘Gaan we dit ook een keer doen, meneer?’ vraagt Melle, die altijd alles wil behalve sommen maken. Een meerstem-mige herhaling van zijn verzoek uit vele kelen trekt mij over de streep.

literatuurDe Amsterdamse hoogleraar ontwikkelingspsychologie Bert van Oers[2] benadrukt het belang dat ‘(…) de verspeel-sing van de wiskunde de vorm aanneemt van spelletjes die de kinderen willen spelen omdat ze spannend zijn, omdat er gewonnen kan worden’. Ook in dit geval is een bepaalde wiskundige structuur het uitgangspunt, maar de activiteit is voor de kinderen aantrekkelijk, maakt hen

betrokken en zet hen aan tot beheersing van de struc-turen, omdat daarmee het spel gewonnen kan worden. Kenmerkend voor dit soort spel is vaak dat het herha-ling mogelijk maakt en dus uitstekend geschikt is voor automatisering van specifieke operaties. In zulke spelen zit vaak een competitie-element. Het automatiseren van de rekenkundige bewerkingen door middel van het maken van rijtjes opgaven is, denk ik, onontkoombaar, maar als het ter afwisseling op een andere manier kan, grijp ik die mogelijkheid graag aan. In het boek Games: Purpose and Potential in Education [3] worden in de inleiding acht redenen genoemd waarom een spel in het onderwijs goed kan werken:- een spel is interactief;- een spel is ongelimiteerd;- een spel is vrijwillig;- de speler neemt in een spel een identiteit aan;- vrschillende mensen houden van verschillende spelen;- een spel is creatief;- binnen een spel is er vrije beweging;- een spel is sociaal.Vygotski stelt in Play and its role in the Mental Development of the Child [4] bovendien dat de regels van een spel in onderling overleg moeten kunnen worden aangepast.Toen ik aan het zoeken was naar een manier om Ganzenbord te kunnen gebruiken, vroeg ik mij af of ik zelf een op Ganzenbord geënt spel zou ontwerpen. Het gevaar dat bij een dergelijk handelen op de loer ligt, is dat het spel niet goed valt bij de klas. De leerlingen zouden het maar oubollig kunnen vinden om te moeten gaan Ganzenborden. Of het door mij gekozen thema zou ver van de leerlingen af kunnen staan. Waarom dan niet de leerlingen zelf een Ganzenbord laten ontwerpen? Voordat men hier in de klas toe over gaat, moet men

Hans Schipper

31FEBRUARI 2014

proberen zich een voorstelling te maken van het verloop en het resultaat. De mogelijkheid bestaat dat leerlingen in hun ontwerp heel dicht bij het bestaande Ganzenbord blijven, omdat ze zich niet toestaan iets nieuws te bedenken, of omdat het nu eenmaal Ganzenbord heet. Daarnaast wil ik natuurlijk graag dat er sommetjes uit het hoofdstuk worden geoefend. Dat zal wellicht niet gebeuren als ik het niet als randvoorwaarde stel. Om er iets van zichzelf in te kunnen leggen en om geen last te hebben van de beperkende associatie met het bestaande Ganzenbord moet het spel een eigen naam en een eigen thema hebben. Op internet vind ik een site[5] waar tegen een zacht prijsje tienvlaksdobbelstenen in allerlei kleuren te koop zijn. Ik bestel er dertig, zodat de leerlingen er in paren van twee gebruik van kunnen maken bij het spelen van het spel. Na enig gepieker kom ik tot de volgende opdracht:

Ganzenbord met positieve en negatieve getallen[1] Ontwerp met zijn tweeën een door Ganzenbord

geïnspireerd spel, in het midden is de Start;[2] Teken naar links in een kronkelroute de negatieve

getallen, naar rechts de positieve getallen (vanaf –35 tot en met +35);

[3] Bedenk een thema, bijvoorbeeld ‘Liefde’ of ‘Auto’s’ of, om maar eens wat te noemen, ‘Tuinieren voor begin-ners’;

[4] Bij het spel moeten twee gewone dobbelstenen of bijvoorbeeld twee tienvlaksdobbelstenen worden gebruikt;

[5] Bij de start van het spel spreken de spelers af welke dobbelsteen negatief is en welke positief; werpt een speler bijvoorbeeld –5 en +6, dan mag de pion een hokje in positieve richting verschoven worden;

[6] In plaats van ‘put’ of ‘gevangenis’ bij het echte Ganzenbord moeten rekenkundige opdrachten ingebouwd worden.

[7] Voorbeelden van rekensommen als een pion op een bepaald vakje is aangekomen:- Verschuif (–5 keer de laatste worp). Was de

laatste worp –3, dan mag er +15 verschoven worden.

- Verschuif (3 keer de laatste worp +12). Was de laatste worp 4, dan mag +24 verschoven worden

De laatste twee regels heb ik er met een bedoeling bij gezet: bij het gebruik van twee dobbelstenen waarbij de uitkomst positief of negatief kan zijn, bestaat het gevaar dat de pion na een flink aantal worpen gemiddeld niet verplaatst blijkt. Het gemiddelde resultaat is op de lange duur immers 0. Daarom moeten er voorzieningen in het spel worden ingebouwd die de pion een slinger geven. Er kunnen ladders en bruggen tussen verschillende punten van de route worden aangebracht, maar dat is natuurlijk het gewone ladderspel. Veel aardiger is het om die slinger te laten plaatsvinden door rekenkundige opdrachten.

Het nut van regels voorafHet zijn heel wat regels. Met een zekere schroom kom ik er mee voor de dag. Er zijn in de hoek van de ontwik-kelingspsychologen spelpuristen die vinden dat het kind zoveel mogelijk vrij moet zijn in het spel. Het spel gebruiken in lessituaties mag eigenlijk niet, want het spel zou in de eigen wereld van het kind thuishoren.[6] Op zich begrijp ik dat standpunt wel, maar ja, ik wil natuurlijk net iets meer dan alleen maar spelen. Ik wil dat de leerlingen in het Ganzenbordspel wiskunde oefenen (of, beter nog: ontdekken). Wat ik merk als ik het onderwerp introdu-ceer, is dat leerling onmiddellijk beginnen te vragen of bepaalde dingen die ze verzonnen hebben mogen. De leerlingen vragen naar regels. Dat schept veiligheid. Door de regels te geven, sla ik de piketten waarbinnen het spel (ook het ontwerpen is een spel) moet plaatsvinden. Uiteindelijk zitten ze niet in de zandbak op zaterdag-middag, maar bevinden ze zich in het wiskundelokaal.

Thema’s en ontwerpenAlle drie de brugklassen die ik deze opdracht laat doen, gaan met een enorme energie aan de slag. Om het speel-bord te ontwerpen, heb ik eerst A4’tjes uitgedeeld. Is er eenmaal een basisontwerp, dan mogen de leerlingen een gekleurd A3-vel komen halen. Aan het eind van de les moeten deze worden dubbelgevouwen, waarna ik de stapel in een enveloppe bewaar.Het werkrumoer is precies zoals ik het hebben wil: er wordt zachtjes gepraat en het overleg is nooit storend voor mij of voor de leerlingen.‘Meneer, mogen wij ‘De Maffia’ als thema?’ vragen twee stoere jongetjes. Twee meisjes hebben als thema ‘Liefde’ gekozen. De getallen kronkelen zich in een hartvormige baan over het speelbord, zie figuur 2. Zij delen me desge-vraagd mee een liefdesspel te maken. Twee serieuze jongens gaan aan de slag met ‘Licht en Duisternis’. De positieve getallen voeren naar Het Licht en de negatieve getallen laten de speler afdalen naar De Duisternis.De volgende les heb ik de stapel op mijn bureau liggen en in minder dan geen tijd hebben de duo’s zich over hun ontwerp ontfermd om er snel mee verder te gaan. Er zijn kleurdozen meegebracht en met een hartverwarmende inzet worden de plannen uitgewerkt. Dit soort opdrachten bevordert de affectie voor het vak. Ik had gehoopt dat één en ander in twee lessen af zou zijn, maar dat valt tegen. Pas in de derde les kan er gespeeld worden.

eigen wereld komt terugIn mijn mavo/havo-klas hebben Yael en Irene ook een liefdesspel bedacht. Eén van hun regels is: ‘Je hebt die leuke jongen in de gang gezien. Sla een beurt over om naar hem te kunnen staren’.

32 EUCLIDES 89 | 4

enkele spelen kort besprokenJulién en Daniel komen weer met iets anders: ze hebben als thema een computergame. Hier wordt de eigentijdse game, die het bordspel gedeeltelijk heeft verdrongen, gebruikt als thema van een nieuw ontworpen bordspel. Sandrien en Danique hebben het Groot Vakantiespel. Bij –15 is men plotseling helemaal door de zon verbrand en een aftocht naar –18 moet worden aanvaard. Hier zou ik dus graag een opdracht hebben gehad als ‘Ga 5 ´ je laatste worp plus 20 verder of zoiets. Het op deze wijze gebruiken van de variabele wordt door veel leerlingen maar liever omzeild, bijvoorbeeld door te kiezen voor een variant op het ladderspel. Mijn drie klassen vergelijkend constateer ik dat er in de mavo/havo-klas zelden met een variabele wordt gewerkt, in de havo/vwo-klas iets meer en in de gymnasiumklas in ongeveer 50% van de gevallen. Als ik dit er in wil hebben, zal ik het voortaan nadrukkelijker moeten noemen bij de regels.In de gymnasiumklas hebben Jessica en Ana het beoogde leerdoel ‘rekenen met een variabele’ wel bereikt, maar als je goed kijkt, zie je dat er reden is voor een gesprekje met hen. Wie op een bijzondere plaats komt, moet een kaart uit de stapel trekken. Deze kaarten zijn uiteraard hartvormig, zie figuur 3. Het lijkt er op dat negatief en achteruit is vormgegeven als gebroken hartje. De … op een kaart is van wiskundige aard: ‘Ga je vorige worp plus 7 vooruit’ staat op een niet-gebroken hart. Ik vraag me af of wat er gebeurt als de laatste worp –15 is. De uitkomst is dan –15 + 7 = –8. Zal –8 vooruit juist worden geïnter-preteerd? Snappen de leerlingen dat ‘vorige worp + 7’ toch achteruitgang kan betekenen?‘Doe –19 keer je laatste worp’. Er staat niet bij hoe er dan verschoven moet worden. Dat kan een verschuiving in positieve richting zijn. En wat moet de speler doen als de pion buiten de rand van het speelveld terecht komt? ‘Laatste worp ´ 5 – 3 + 2 en ga zoveel stappen achteruit’ staat er op een gebroken hartje. Als de laatste worp –2 is, dan is de uitkomst van de berekening –11. Wordt –11 stappen achteruit opgevat als 11 stappen vooruit?

Als ik volgend jaar weer de opdracht ‘Bouw je eigen Ganzenbord’ doe, besteed ik aandacht aan een aantal zaken. Als er niet genoeg dobbelstenen zijn, kan er ook twee maal met één dobbelsteen worden geworpen. De eerste worp is negatief, de tweede worp is positief. Het spel nodigt uit tot reflecteren na de introductie van de bewerkingen +, – en ´ op positieve en negatieve getallen. Leerlingen mogen spelregels veranderen. Dat is interessant: door een spelregel te veranderen, verandert ook het spel. Het maken van het spel neemt 2 à 3 lessen in beslag

spel als werkvormDit artikel geeft een beschrijving van het ontstaan en het ontwikkelen van het idee om met de klas een eigen Ganzenbord te gaan bouwen, alsmede van het lesverloop en de resultaten daarna. In de Ganzenborden worden wiskundige begrippen zoals negatief getal en variabele gekoppeld aan iets dat leerlingen leuk vinden: Spel. Eén van mijn doelen was het scheppen van een positieve beleving van het vak wiskunde. Gelet op het plezier waarmee de leerlingen werkten, kan ik stellen dat dit doel ruimschoots is bereikt. De opbrengst, per klas een veertiental kleurrijke en humoristische Ganzenborden, toont dat nog eens aan. Spel als werkvorm is een waarde-volle aanvulling op de bestaande wiskundedidactiek.

noten[1] Reichard, e.a. (2003, 2007). Getal en Ruimte, deel 1

vwo en 1 havo/vwo §3.2 ‘Positieve getallen optellen en aftrekken’, Houten: EPN

[2] Van Oers, B. Spel en de ontwikkeling van het mathematiseren (gedownload van http://home.planet.nl/~oers0054/TEKST spel & mathematiseren.pdf, op 2 mei 2009; op 21 augustus 2013 helaas niet meer op het Internet te vinden)

[3] Miller, Ch. (Ed.) (2009). Games: Purpose and Potential in Education. New York: Springer-Verlag

[4] Vygotski, L. (1933). Play and its role in the Mental Development of the Child (te downloaden op www.marxists.org/archive/vygotsky/works/1933/play.htm, geraadpleegd op 21 augustus 2013)

[5] www.summoner.nl, geraadpleegd op 21 augustus 2014

[6] Van der Teems, I. (1997) Spel en spelen - Plaats, functie en visies, o.a. blz. 152. Baarn: H. Nelissen.

over de auteurHans Schipper is leraar wiskunde aan het Baudartius College te Zutphen. Hij verkende als Leraar in Onderzoek (LIOn) de mogelijkheden van het Spelelement in de Wiskundeles. Over dit onderwerp verschenen eerder twee artikelen van hem in Euclides. E-mailadres: h.schipper@baudartius.nl

figuur 3 regels en kaartjes van Jessica en Ana