ELEKTRICITEITSLEER 2012 Hoofdstuk 02 Statische Electr Velden_theorie PDF

ELECTRICITEITSLEER Hoofdstuk 2a: STATISCHE ELEKTRISCHE VELDEN: de elektrische potentiaal: theorie 2.1 Inleiding 2.2 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte voor de statische toestand. 2.3 Invoeren van de elektrische potentiaal; de vergelijkingen van La Place en van Poisson 2.4 Elektrisch veld en elektrische potentiaal om een elektrische “puntlading” q 2.5 Elektrisch veld en elektrische potentiaal om een willekeurige ladingsverdeling 2.6 De wet van Coulomb 2.7 De energie van het elektrische veld 2.8 Opgaven 2.09 Addendum: de plaatsvector rsf en de vectoroperator ∇ 2.1 Inleiding 2.11 Nadat in hoofdstuk 1 de wetten van Maxwell in de vrije

ruimte in het algemeen behandeld zijn, zullen we in een aantal hoofdstukken enkele bijzondere gevallen bekijken. In dit hoofdstuk maken we een begin met het behandelen van de statische toestand met de nadruk op het invoeren van de elektrische potentiaal U en het berekenen van U(r), kortweg U en E(r), kortweg E , uitgaande van de velden die door een “puntlading” worden veroorzaakt.

Omdat de condensator en de dipool (en quadripool) heel

belangrijk zijn, worden die in aparte hoofdstukken behandeld, alhoewel ze tot de statische toestand behoren (behalve de situatie bij het opladen of ontladen van een condensator).

2.12 In macroscopische zin is er in de statische toestand

geen bewegende materie. In microscopische zin bewegen de elektronen natuurlijk wel om hun kernen, maar zodanig dat er macroscopisch bezien geen magnetisch veld is omdat we de situatie in de vrije ruimte bekijken, dus zonder magnetiseerbare of polariseerbare materie. In macroscopische zin is er dan alleen een elektrisch veld E, veroorzaakt door stilstaande elektrische ladingen.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 2 uit 21 ============================================================ 2.13 We zullen zien dat het elektrisch veld E in deze

situatie rotatievrij is en daarom mag worden voor-gesteld door de gradiënt van een scalarveld. Dit scalarveld heeft de naam “elektrische potentiaal” kortweg “potentiaal” . In dit dictaat zullen we voor de potentiaal het symbool U gebruiken. (Bij de theorie van elektrische netwerken wordt vaak de kleine letter u gebruikt)

NOOT: In een volgend hoofdstuk zullen we zien dat ook in de

stationaire toestand het veld E kan worden voorgesteld door de gradiënt (of de negatieve gradiënt) van U.

2.14 Verder zullen we zien dat het berekenen van E in het

meetpunt op drie manieren kan geschieden: a. door de Wet van Gauss toe te passen, hetgeen alleen in

bijzondere gevallen handig is; b. door uit te gaan van de elektrische veldsterkte E om

een puntlading (een vector-veld) en dan superpositie toe te passen, dit leidt tot integralen die in principe steeds zijn op te lossen ;

c. door eerst de elektrische potentiaal U in het meetpunt uit te rekenen (een scalar-veld) uitgaande van de potentiaal van een puntlading en daaruit het elek-trisch veld = (- grad U) te berekenen, hetgeen altijd kan, maar niet altijd de eenvoudigste manier is.

2.15 Om praktische redenen is dit hoofdstuk in twee delen

verdeeld: deel 2 in verband met de theorie en deel II in verband met enkele uitgewerkte standaard voorbeelden.

2.2 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte voor de statische toestand. 2.21 We gaan ervan uit dat vanaf (t = -∞) tot het moment

van meten verplaatsing geweest is van elektrische ladingen zodat er gebieden in de ruimte zijn met ladingen, maar dat vanaf het moment van meten alle materie in macroscopische zin in rust is. De ladingsdichtheid ρe is wel een functie van de plaats maar niet van de tijd en Je is nul (geen stromende

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 3 uit 21 ============================================================

ladingen). Ook de velden die dan heersen zijn wel een functie van de plaats, maar geen functie van de tijd.

NOOT: We kunnen de ladingsdichtheid ρe(r) verdelen naar

dichtheid per volume-eenheid = ρVol,el of ρV,e (in Coulomb/m3) of naar daarvan afgeleide benaderingen met name de dichtheid per oppervlakte-eenheid = ρarea,el of ρA,e (in Coulomb/m2) en per lengte-eenheid = ρs,e (in Coulomb/m).

. 2.22 Magnetische monopolen zijn (nog) niet aangetoond. Verder zijn E en H in de statische toestand geen

functies van de tijd. Ook gaan we er van uit dat er “in de vrije ruimte”

geen gepolariseerde/polariseerbare dan wel gemagnetiseerde/magnetiseerbare materie is.

Onder die omstandigheden gaan de wetten van Maxwell in

de vrije ruimte over in: =================================== In integraalvorm

Ia [ E.ds ] = 0

S

Ib [ H.ds ] = 0

S In differentiaalvorm IIa rot E = 0 ; IIB rot H = 0 IIc Div E = (ρ /ε0) ; IIc Div H = 0 Verder gelden de Wetten van Gauss :

[ ε0 E.da ] = (totaal door A omvatte

A elektrische lading Qe,omvat)


[ μ0 H.da ] = (totaal door A omvatte

A magnetische lading Qm,omvat ) ≡ 0 ============================================== NOOT: Bedenk dat een ruimtelading ρ mogelijk is, omdat we het

stromen van ladingen vanaf (t = -∞) tot het moment van meten hebben toegestaan, maar dat vanaf het moment van meten alle materie in macroscopische zin in rust is.

2.23 Uit metingen blijkt dat er in de statische toestand

geen magnetisch veld is indien er geen magnetiseerbare materie is (dus geen permanente magneten). Dit is ook theoretisch aan te tonen, omdat in deze toestand zowel Div H als rot H overal nul zijn. Er zou dan nog een uniform H-veld kunnen zijn (geen functie van de plaats), maar een uniform H-veld dat eindig is maar zich oneindig uitstrekt, zou leiden tot een oneindige hoeveelheid magnetische energie.

Op grond hiervan stellen we dat er in de statische

toestand geen (macroscopisch) magnetisch veld is : H is overal nul. We hoeven in de vrije ruimte in de statische toestand dus alleen naar het elektrisch veld te kijken.

2.24 Omdat in de statische toestand (en ook in de

stationaire toestand) steeds geldt: [ E.ds ] = 0 , is dit veld rotatievrij. S

Verder geldt ook : [ (qE).ds ] = 0 Joule S Daarbij is (qE) de kracht (Fq,e) die op de lading q wordt

uitgeoefend. Elk krachtenveld F waarvoor geldt : [ F.ds ] = 0 Joule

S

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 5 uit 21 ============================================================ heet in de natuurkunde “conservatief”, omdat de arbeid

die bij rondgang verricht wordt, netto gelijk is aan nul: de hoeveelheid energie van het systeem wordt bij een rondgang geconserveerd. Zodra er wrijving optreedt, is het veld niet meer conservatief. Ga na waarom dat zo is.

Door natuurkundigen wordt het E-veld in de statische

toestand “conservatief” en door wiskundigen “rotatie-vrij” genoemd.

2.3 Invoeren van de elektrische potentiaal. 2.31 Omdat de circulatie van E nul is, is ook de rotatie (per definitie) nul en mogen we schrijven : E = ± (grad Ψ) . Voor het scalarveld Ψ wordt als regel het symbool U gekozen met de naam “elektrische potentiaal”. NOOT: Als de circulatie van een vectorveld nul is, is de rotatie per definitie ook nul (herlees hoofdstuk 8 van inleiding vector analyse). Bewezen kan worden dat het omgekeerde ook geldt: indien de rotatie van een vectorveld overal nul is, dan kan dit veld geschreven worden als (+/-) de gradiënt van een scalarveld. Zie o.a. ook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Potentiaal 2.32 Uit het voorgaande volgt bij ruimtelijk integreren van

punt ra = a naar punt rb = b: b b b E.ds = ± (grad U). ds = ± dU = ± [U(b)–U(a)] a a a NOOT: Herlees hoofdstuk 6 van inleiding vectoranalyse. 2.33 Aangezien indertijd als uitkomst van de integraal

gekozen is voor +[U(a) – U(b)], moeten we stellen:


E = - (grad U). Dit betekent ook dat E de richting heeft van afnemende U. Vergelijk dit met het zwaar- tekrachtsveld: de kracht wijst in de richting van afnemende potentiële energie.

2.34 Beredeneer dat E.ds van punt ra = a naar punt rb = b onafhankelijk is van de gekozen weg van a naar

b. Dat betekent tevens dat [U(a)–U(b)] eenduidig vast ligt, onafhankelijk van de gekozen weg. We kunnen dus spreken van HET potentiaalverschil tussen twee punten, indien het E-veld rotatievrij is.

2.35 Indien we de uitdrukking b

[U(a)–U(b)] = E.ds volt a

links en rechts met een kleine lading Δq vermenigvul-digen, staat aan de rechterkant de arbeid in joule die het elektrische veld verricht om Δq te verplaatsen van punt a naar punt b . De dimensie van de elektrische potentiaal is dus [joule/coulomb] . Voor deze dimensie is destijds de naam “volt” ingevoerd. Zoek “Volta” op internet !

We kunnen ook stellen dat [U(a)–U(b)] in getalwaarde

gelijk is aan de arbeid die het in de ruimte aanwezige elektrische veld E zou verrichten bij het verplaatsen van de eenheidslading ( 1 coulomb) van punt a naar punt b, dan wel de arbeid die een uitwendige bron verricht om de eenheidslading vanuit punt b naar punt a te brengen . Zie ook paragraaf 2.48 en paragraaf 2.73 .

2.36 Omdat we in paragraaf 2.35 het potentiaalverschil

berekenen, mogen we een punt r0 in de ruimte als referentiepunt kiezen en de potentiaal in dat punt op nul stellen. Stel dat we in paragraaf 2.35 het punt b als referentie punt kiezen en voor het punt a een variabel punt r . Dan vinden we :

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 7 uit 21 ============================================================ r0 [U(a)–U(b)] = [U(r)–U(r0)] = U(r)= E.ds volt r In dat geval wordt U(r) de absolute potentiaal ten

opzichte van U(r0) genoemd, vaak kortweg de absolute potentiaal.

We moeten bedenken dat de absolute potentiaal altijd

geldt ten opzichte van een referentiepunt, waar we de potentiaal op nul stellen. In de netwerktheorie is dat als regel het “aardpunt”. Bij het behandelen van puntladingen kiezen we het “oneindige” als referentie ”punt”.

2.37 Indien we de absolute elektrische potentiaal U(r)

kennen, dan vinden we het elektrisch veld E(r) uit: E = - grad U.

Omgekeerd kunnen we bij bekende E(r) , in een cartesiaans stelsel, U(r) terugvinden uit:

- het berekenen van een lijnintegraal E. ds - het bepalen van 3 primitieve functies, met name:

∂U/∂x = - Ex -> U = - Ex dx + f1(y,z)

∂U/∂y = - Ey -> U = - Ey dy + f2(x,z)

∂U/∂z = - Ez -> U = - Ez dz + f3(x,y)

Daarbij staat het integraal teken voor onbepaald

integreren (het bepalen van de primitieve functie). f1(y,z) is een functie die alleen van y en z kan

afhangen. Bij het optellen van de termen worden combinaties die al voorkomen NIET nogmaals meegenomen.

Zie verder de wiskunde colleges en opgave 2.81

In vele gevallen is U gemakkelijker te berekenen dan

E, omdat U een scalarveld is . Bij berekeningen aan vectorvelden moeten de 3 componenten (Ex, Ey en Ez in een cartesiaans stelsel) apart worden berekend.


2.38 In sommige boeken wordt de potentiaal U ingevoerd middels de definitie:

def b [U(a)–U(b)] = E.ds (mits E rotatievrij is)

a In dat geval kan aangetoond worden dat moet gelden: E = - grad U. In paragraaf 2.31 zijn we “aan de andere kant”

begonnen met E = - grad U, en hebben daaruit de uitdrukking voor [U(a)–U(b)] afgeleid.

In de natuurkunde bestaat de neiging om de potentiaal

U in te voeren middels de hierboven gegeven integraal. In de wiskunde bestaat de neiging om te beginnen met

E = - grad U .

2.39 Uitgaande van E = - grad U en div E = (ρ / ε0), vinden we:

div E = - div grad U =(in een cartesiaans stelsel) = -{∇.∇}U = (ρ /ε0) ================================== {∇.∇}U = -(ρ /ε0) Dit is de vergelijking van Poisson Op plaatsen waar ρ nul is, geldt: {∇.∇}U = 0 Dit is de vergelijking van La Place. =======================================

De vergelijkingen van La Place en van Poisson doen

denken aan het zoeken van de homogene oplossing en een particuliere oplossing bij lineaire differen-tiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten .

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 9 uit 21 ============================================================ 2.4 Het elektrisch veld en de elektrische potentiaal om een elektrische puntlading q 2.41 Strikt genomen kan een elektrische puntlading niet

bestaan omdat een eindige lading in een oneindig klein volume op die plaats tot een singulariteit leidt. We zullen dit begrip echter toch hanteren in die zin dat we bedoelen dat de afmeting van de lading verwaar-loosbaar klein wordt geacht.

In paragraaf 2.4 wordt de “puntlading” in de oorsprong

van ons assenstelsel gedacht. In paragraaf 2.5 kiezen we een willekeurig punt en gaan we bovendien over op ruimtelijk verdeelde ladingen.

2.42 Bij ronddraaien van een bolsymmetrische lading, dus

ook een puntlading, om een willekeurige as, mag het elektrisch veld niet veranderen. Ga zelf na waarom dat zo is. Dit kan alleen indien het veld

- óf radiaal gericht is: de werklijn van E valt in ieder punt r0 samen met een radiaal vanuit de oorsprong ( = plaats van de puntlading) naar dat punt.

- óf cirkelvormig is in vlakken loodrecht op de radialen, met het snijpunt van radiaal en vlak als centrum ; dit laatste is niet toestaan omdat de circulatie van E overal nul is in de statische toestand.

Conclusie: het door ons beschouwde E-veld (puntlading)

is radiaalgericht en heeft bolsymmetrie. 2.43 Ga uit van de wet van Gauss volgt dan:

[ ε0 E.da ] = (totaal door A omvatte

A elektrische lading Qe,omvat)= q Kies nu een bol met straal r om de puntlading, met de

lading in het centrum. Dan valt ook de werklijn van da samen met een radiaal, omdat da loodrecht op het oppervlak van de bol staat. Verder mag |E| alleen een functie zijn van r : langs het oppervlak van de bol heeft E overal dezelfde grootte (de richting verandert natuurlijk wel steeds).

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 10 uit 21 ============================================================ In de wet van Gauss gaat (E.da) dan over in (E da),

met E een constante. Voor de oppervlakte integraal vinden we dus:

eis

(ε0 E) da = totaal omvatte lading = q

Daaruit: (ε0 E)( 4 π r2 ) = q Dus: E(r) = [q /(4 π ε0 r2) en E(r) = E(r) = [q/(4 π ε0 r2)] er (r ≠ 0 ) NOOT: Ga na dat we in dit geval zowel E(r) als

E(r) mogen schrijven. (r ≠ 0) 2.45 Voor het potentiaalverschil tussen twee punten (ra = a

en rb = b) die we voorlopig op dezelfde radiaal plaatsen, met de puntlading q in de oorsprong, vinden we:

b b U(a) – U(b) = E.ds = E.ds = a a b

= (q/(4 π ε0) (1/r2) dr

a = (q/(4 π ε0)( -1/b + 1/a} NOOT: a = |a| en b = |b| ; zie ook par. 2.47 Als b naar het oneindige gaat, gaat (1/b) naar nul.

Het is daarom gebruikelijk om als referentie punt het oneindige te kiezen.

Dan geldt dus: U(a) – U(b) = U(a) – 0 = = U(a) = (q/(4 π ε0)(1/a}

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 11 uit 21 ============================================================ Dus: voor de absolute potentiaal in punt ra met het

oneindige als referentiepunt geldt: U(a)absoluut = (q/(4 π ε0)(1/a} =(q/(4 π ε0 a) (a ≠ 0) of in het algemeen U(r,absoluut) = (q/(4 π ε0 r ) (r ≠ 0) Als regel wordt de aanduiding “absoluut” weggelaten,

maar dan moet inderdaad de potentiaal in een referen-tiepunt (in dit geval het oneindige) op nul gesteld worden.

NOOT 1: Bij het maken van opgaven zullen we ontdekken dat de

keuze van het oneindige als referentiepunt alleen zinvol is als alle lading in het eindige zit. Bij een puntlading in de oorsprong is dat zeker het geval.

NOOT 2: Zie ook paragraaf 2.49 . 2.47 Omdat E(r) (= - grad U) radiaal gericht is, zijn de

niveau-oppervlakken (equipotentiaal-oppervlakken) van U bolschillen om de oorsprong: U(r)absoluut is langs het oppervlak van een bol om de puntlading, overal constant .

Willen we dus het potentiaalverschil berekenen tussen twee punten die niet op dezelfde radiaal liggen, dan zijn alleen de twee afstanden tot het middelpunt (waar de puntlading zit) van belang. Ga zelf na waarom.

2.48 Uit de manier waarop we U(r)absoluut berekenen volgt dat

U(r)absoluut in getalwaarde gelijk is aan de arbeid die het elektrisch veld verricht om de eenheidslading vanuit punt a naar het oneindige te brengen dan wel de arbeid die een uitwendige bron verricht om de eenheidslading vanuit het oneindige naar punt a te brengen. Zie ook paragraaf 2.36 en paragraaf 2.73

2.49 Controleer dat bij een puntlading in de oorsprong voor

E(r) en U(r,abs) en (r ≠ 0 ) geldt:

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 12 uit 21 ============================================================ E(r) = - grad U(r) en div E(r) = 0 2.5 Elektrisch veld en elektrische potentiaal om een willekeurige ladingsverdeling 2.51 Plaatsen we de puntlading q niet in de oorsprong, maar

in een willekeurig, maar in het eindige liggend, punt rs dan vinden we in een meetpunt rf, met nog steeds het oneindige als referentiepunt:

E(rf) = [q /(4 π ε0 rsf2)] esf ( |rsf| ≠ 0 ) U(rf)abs = [q /(4 π ε0 rsf)] ( |rsf| ≠ 0 )

rf : de plaatsvector van het meetpunt (field) rs : de plaatsvector van het bronpunt (source) rsf = ( rf - rs ) = de plaatsvector vanuit het

bronpunt naar het meetpunt; esf = rsf/|rsf| de eenheidsvector in de richting van

rsf NOOT : Het behandelen van de plaatsvector rsf hoort

thuis bij het onderdeel vectoranalyse. Middels het addendum zijn de hoofdzaken nader toegelicht.

2.52 Indien we niet over een puntlading spreken, maar over

een gebied met daarin continu verdeelde lading ρvol(rs), dan verdelen we dat gebied in kleine volume delen ΔVol met daarin de ruimtelading (ρvol(rs) ΔVol ). Zie fig 2.01, maar nu met een gebied van ruimtelading (i.p.v.


een puntlading) in de omgeving van rs. Het meetpunt rf mag binnen dit gebied vallen.

NOOT : Bij verdeling van de lading over een oppervlak (in

plaats van over een ruimtelijk gebied) gebruiken we ρarea(rs)(dA)i en bijverdeling langs een lijn:

ρline(rs)(dS)i 2.53 Het E-veld in het meetpunt vinden we dan middels het

superpositiebeginsel door over het gebied met ruimtelading vectorieel te sommeren. In het navolgende schrijven we ρ ipv ρvol.

E(rf) ≈ ∑[{ρ(rs) ΔVol esf}/(4 π ε0 rsf2)]i lim {ΔVol}i -> 0 In de limiet gaat de sommatie over in een ruimtelijke

integratie en het ”≈“ teken in het ”= “ teken. Dan vinden we:

E(rf) = [ρ(rs) esf /(4 π ε0 rsf2)] dVol Voor de potentiaal U(rf) vinden we op dezelfde manier

nadat de limiet overgang {ΔVol}i -> 0 is uitgevoerd:

U(rf,abs) = [ρ(rs)/(4 π ε0 rsf )]dVol =(1/4 π) [ρ(rs)/(ε0 rsf )]dVol

=(1/4 π) [div E(rs)/rsf ]dVol NOOT 1: Ga na waarom bij het veld E(rf)in eerste instantie het

symbool “≈” is gebruikt en niet “=”. (Bedenk dat ΔVol wel klein, maar niet “oneindig” klein is, zoals een puntlading)

NOOT 2: Ga goed het verschil na tussen rf, rs en rsf .

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 14 uit 21 ============================================================ Merk met name op dat bij het ruimtelijk integreren om E(rf) te bepalen, alleen de plaatsvector van de bron ( = rs ) verandert en daarbij het gebied met ruimtelading “aftast”. NOOT 3: Indien het gebied met ruimtelading het meetpunt bevat, dan wordt rsf nul zodra rs en rf samenvallen. We lossen dit probleem op door om het meetpunt een kleine bolschil B met straal β te plaatsen en het gebied binnen B niet bij het integreren te betrekken. Bij de limietovergang (β –> 0), gaan (dVol/rsf2) respectie- velijk (dVol/rsf) naar nul, zodat de betreffende ruimtelijke integralen blijven convergeren. Ga na waarom ! Ga ook na waarom we dit NIET bij een puntlading kunnen toepassen. Bij een puntlading moeten we dus blijven eisen : |rsf | ≠ 0. Bij het behandelen van de driedimensionale stoot- functie δ(r) komen we hierop terug. 2.53 Indien we niet een ruimtelading maar een oppervlakte-

lading beschouwen, dan gaan de volume-integralen over in oppervlakte-integralen.

Iets soortgelijks indien we lading over een dunne

cilinder beschouwen. We moeten echter oppassen indien het oppervlak of de

cilinder oneindig uitgebreid/lang is, omdat er dan lading in het oneindige is aangebracht, terwijl we in paragraaf 2.45 (bij het invoeren van de absolute potentiaal) hebben aangenomen dat alle lading in het eindige zit.

2.6 De wet van Coulomb 2.61 In de statische toestand gaat de krachtenwet van

Lorentz over in: Fe = qe E Newton Als qe positief is, heeft de kracht dus dezelfde

richting als het E-veld.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 15 uit 21 ============================================================ Indien we twee “puntladingen” q1 en q2 op de plaatsen r1

en r2 beschouwen,dan vinden we voor de kracht F(2 door 1) = F2,1 die q1 uitoefent op q2:

F2,1 = q2 E1(r2) = q2 [q1/(4 π ε0 r122)] e12 (r12 ≠ 0 ) Omdat e12 de richting heeft van 1 naar 2, wordt q2 door

q1 afgestoten indien beide positief of beide negatief zijn. Omgekeerd trekken ongelijksoortige ladingen elkaar aan. Ga dat na !

Op precies dezelfde wijze vinden we voor de kracht die

q2 uitoefent op q1: F1,2 = q1 E2(r1) = q1 [q2/(4 π ε0 r212)] e21 (r12 ≠ 0 ) Aangezien r12 = r21 en e12 = - e21, krijgen we, zoals te

verwachten was : F1,2 = - F 2,1

2.62 Beide krachten F1,2 en F2,1 staan bekend als coulomb krachten en de uitdrukkingen voor deze krachten staan bekend als “de wet van Coulomb”.

Meestal wordt de scalar vorm gegeven, die dan luidt

dat de wederzijdse kracht die twee puntladingen in de vrije ruimte op elkaar uitoefenen gelijk is aan:

|Fcoulomb | = (q1 q2 ) /(4 π ε0 r122) Daarbij geldt dus dat gelijksoortige ladingen elkaar

afstoten en ongelijksoortige ladingen elkaar aantrekken.

Zie o.a. ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb's_law 2.7 De energie van het elektrische veld 2.71 Indien we een voorwerp omhoog brengen, zeggen we dat

de potentiële energie van dit voorwerp is toegenomen. Bij loslaten verliest het voorwerp de opgenomen potentiële energie en zet deze om in kinetische energie.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 16 uit 21 ============================================================ Er zijn echter ook teksten waarbij gesteld wordt dat

niet de energie van het voorwerp is toegenomen, maar de energie van het gravitatieveld dat om het samen-stelsel (aarde + voorwerp) heerst. (Alle andere voorwerpen worden dan even niet in beschouwing genomen).

Bij het maken van berekeningen maakt het uiteraard niet uit welke zienswijze gehanteerd wordt. NOOT: Bij zwaartekrachtsvelden zijn er naast het voorgaande, twee theorieën die WEL essentieel verschillen: die van Newton en die van Einstein. Bij het maken van berekeningen komt het verschil echter pas tot uiting bij hoge snelheden, met name in de buurt van de lichtsnelheid. 2.72 Binnen de elektriciteitsleer bestaat een soortgelijk

dualisme in denken met betrekking tot geladen deeltjes en het elektrisch en/of het magnetisch veld in de ruimte. Bijvoorbeeld: indien een geladen deeltje vanuit het oneindige naar het eindige gebied wordt gebracht (hetgeen in het algemeen arbeid kost) neemt dan de energie van het deeltje toe of is het de energie van het elektrisch veld dat is toegenomen ?

In de praktijk worden beide zienswijzen naast elkaar

gehanteerd maar zal vaker dan bij het zwaarte-krachtsveld, gewerkt worden met de energie van het veld.

2.73 Een bekend voorbeeld om het voorgaande te verduide-

lijken bestaat uit het in gedachten transporteren van een aantal puntladingen vanuit het oneindige naar het eindige. Daarbij wordt de arbeid die nodig is om de puntladingen te “assembleren” NIET in beschouwing genomen.

We stellen de potentiaal in het oneindige op nul en

werken in het eindige dus met absolute potentialen . In het navolgende gebruiken we 3 puntladingen, maar het principe is uit te breiden tot een onbeperkt aantal.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 17 uit 21 ============================================================ Zie o.a. ook : http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy Stap 1 We gaan uit van een beginsituatie zonder lading in het

eindige. In het eindige is er dan geen elektrisch veld en het transporteren van de eerste lading q1 naar r1 kost dan geen arbeid: W1 = 0 joule.

Stap 2 Bij het brengen van de tweede lading q2 naar punt r2

verrichten we de arbeid W2 = q2 (U veroorzaakt door q1 in r2= U2,1) = = q2 [q1/(4 π ε0 r12)] joule. (Zie paragraaf 2.48) Maar dat is ook te schrijven als : w2 = q1 [q2/(4 π ε0 r12)] joule = q1 [(U1 door q2 in r1= U1,2)] . NOOT: r12 = |r1 - r2| Stap 3 Bij de derde lading q3 (naar r3) wordt de arbeid W3: W3 = q3 [( U3,1 door q1 + U3,2 door q2)]= = q3 [q1/(4 π ε0 r13)] + q3 [q2/(4 π ε0 r23)] joule Maar daarvoor mogen we ook schrijven: W3 = q1[q3/(4 π ε0 r13)] + q2[q3/(4 π ε0 r23)] joule = q1 [(U1,3 door q3)] + [q2 (U2,3 door q3)] . Stap 4 Tellen we alle verkregen resultaten bij elkaar op, dan krijgen we: 2 Wtot = 2 W1 + 2 W2 + 2 W3 joule = = 0 + + q2 (U2,1 door q1) + q1 (U1,2 door q2) + + q3( U3,1 door q1 + q3(U3,2 door q2) + + q1 (U1,3 door q3)+ q2(U2,3 door q3) =

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 18 uit 21 ============================================================ = q1 [(U1,2 door q2) + (U1,3 door q3)] + + q2 [(U2,1 door q1) +(U2,3 door q3)] + + q3 [(U3,1 door q1) +(U3,2 door q2)] . Stap 5 Noem nu (U1,2 door q2) + (U1,3 door q3) = U1,tot en iets soortgelijks voor U2,tot en U3,tot Dan vinden we: 2 Wtot = q1 U1,tot + q2 U2,tot + q3 U3,tot NOOT: U1,tot wordt dus veroorzaakt door alle ladingen behalve q1 ! Iets soortgelijks voor U2,tot en U3,tot Dit patroon zet zich voort bij het vanuit het

oneindige naar het eindige brengen van 4, 5 …. puntladingen.

NOOT: Strikt genomen moeten we nog nagaan of we bij het

verplaatsen van ladingen vanuit het oneindige naar het eindige de vóóronderstelling (statische toestand: geen bewegende ladingen) geweld hebben aangedaan.

We kunnen hieraan ontkomen door het verplaatsen van de ladingen te realiseren in de periode voorafgaand aan het ingaan van de periode van statische ladingen. Het bepalen van de arbeid die daarbij verricht is, kan achteraf geschieden, waarbij de ladingen niet meer bewegen. Herleesparagraaf 2.21.

2.74 We kunnen nu afstappen van het verplaatsen van

puntladingen en overgaan op het verplaatsen van kleine volume elementen ΔVol met daarin ruimtelading ρvol,e = ρ(r). Het sommeren om 2Wtot te krijgen gaat dan over in het integreren over de ruimte waar de lading vanuit het oneindige naar toe wordt gebracht. Met name vinden we dan :

2 Wtot ≈ ∑ ρ(r) ΔVol(r) U(r) = lim ΔVol(r) -> 0


= ρ(r) U(r) dVol In deze integraal kunnen we invullen: div E(r) = ρ(r)/ε0 dus ρ(r) = ε0 div E(r) .

Ook kunnen we daarna schrijven: U(r) div E(r) = div[U(r)E(r)] – grad U(r).E(r) Ga dat na !) En met [– grad U(r)] = E(r) vinden we uiteindelijk (reken dat na !)

2 Wtot/ε0 = div (U(r)E(r))dVol +

[ E(r). E(r)] dVol joule

De eerste volume-integraal gaat via de stelling van Gauss over in :

(U(r)E(r)). da Indien alle lading in het eindige is, zijn U(r), |E(r)| en da voor zeer grote r evenredig aan (1/r), (1/r2) en r2. De oppervlakte integraal gaat dan voor ( r -> ∞ ), naar nul. Onder de voorwaarde r -> ∞ en alle lading in het eindige , vinden we dus:

Wtot = (ε0/2) [ E(r). E(r)] dVol joule Deze uitdrukking geeft aanleiding om aan het elektrisch veld de energiedichtheid toe te kennen van: WE = (ε0/2)E

2(r) [joule/m3]

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 20 uit 21 ============================================================ NOOT 1: Ga na dat we in paragraaf 2.52, noot 2, gekeken hebben naar een volume integraal voor r –> 0 en in deze paragraaf naar een oppervlakte-integraal voor r-> ∞ . NOOT 2: Herlees opgave 7.74 van hoofdstuk 7 van inleiding vectoranalyse. In fig. 7.04 mogen we oppervlak A2 naar oneindig laten gaan. 2.75 Bij het behandelen van magnetische velden zal blijken

dat we aan het magnetisch veld de energiedichtheid toe kennen van:

(μ0/2)H2(r) [joule/m3] Verder zullen we bij het behandelen van de stationaire

toestand het inwendig product van E en J onderzoeken en bij het behandelen van golfverschijnselen de vector van Poynting leren kennen . Zie o.a.ook http://en.wikipedia.org/wiki/Poynting_vector

2.8 Opgaven 2.81 Gegeven is de vector F(x,y,z): F(x,y,z) = (2x + 3y) i + (3x + 2z)j + 2y k a. Onderzoek of F rotatievrij is b. Bereken de lijnintegraal van (F. ds ) tussen de grenzen (x,y,z) en (x0,y0,z0) NOOT: kies bijv. de wegen (x,y,z) naar (x0,y,z) van (Fx dx) + (x0,y,z) naar (x0,y0,z) van (Fy dy) en (x0,y0,z) naar (x0,yo,z0) van Fz dz c. Indien F rotatievrij is, stel dan F = + grad ψ en bereken ψ op een constante na. Toon aaqn dat het antwoord van de lijnintegraal te schrijven is als: [ψ(x0,y0,z0)_ - ψ(x,y,z) ]. Antwoorden: a F is inderdaad rotatievrij

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 02; docent o.spong; blz 21 uit 21 ============================================================ b Voor de lijnintegraal vinden we: + ( x02 + 3x0 y0 + 2y0 z0) - ( x2 + 3x y + 2y z) + + ( 3x0 y + 2y0 z - 3x0 y -2y0 z)

c ψ(x,y,z) = x2 + 3 x y + 2 y z + constante Het antwoord van opgave b kunnen we dus ook schrijven als: [ ψ(x0,y0,z0)_ - ψ(x,y,z) ] 2.09 Addendum: de plaatsvector rsf en de vectoroperator ∇ Zie fig 2.01 bij paragraaf 2.51 rsf = (xf – xs)i + (yf – ys)j + (zf – zs )k rsf = [(xf – xs)2 + (yf – ys)2 + (zf – zs )2]1/2

Bij het bepalen van de gradiënt van een scalarveld in punt rf ten gevolge van lading(en) in rs, werkt het differentiëren alleen op rf. In cartesiaanse coördinaten vinden we bij een scalarveld dat alleen van de afstand van bron naar meetpunt (= rsf) afhangt:

∇f ψ(rsf) = = (∂ψ/∂rsf) (i ∂rsf) /∂fx + j (∂rsf) /∂fy + k ∂rsf) /∂fz ) Daarbij geldt: (∂rsf) /∂fx) = (1/2)[(xf – xs)2 ….]-1/2 2(xf – xs) 1 Dus: [(i ∂rsf)/∂fx + ….] = [ i(xf – xs) + … ] / rsf

= rsf/rsf = esf

Probeer door uitschrijven aan te tonen dat geldt ∇s ψ(rsf) = - ∇f ψ(rsf)

ELEKTRICITEITSLEER 2012 Hoofdstuk 02 Statische Electr Velden_theorie PDF

Documents

Transcript of ELEKTRICITEITSLEER 2012 Hoofdstuk 02 Statische Electr Velden_theorie PDF