Eindhoven University of Technology

MASTER

Een model voor het elektrische systeem in een auto

Braam, A.J.J.

Award date:1988

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

https://research.tue.nl/nl/studentthesis/een-model-voor-het-elektrische-systeem-in-een-auto(a8151043-5b61-4d58-bc89-aff4339e30ab).html

Faculteit der ElektrotechniekVakgroep Elektromechanica en Vermogenselektronlca

Afstudeerverslag

Een model voor het elektrische

systeem in een auto.

EMV 88-52 A.J.J. Braam

1-880614

Hooglera(a)r(en): prof. ir. J. A. Schot

Mentor(en) ir. W. J. de Zeeuw, ir. J. Schreur (Volvo)

Eindhoven, december 1988

De Faculteit der Elektrotechniek van de Technische Universlteit Eindhoven aanvaardt geen verantwoordelijkheid voorde inhoud van stage- en afstudeerverslagen.

Samenvatting

De laatste jaren constateert men een toenemend elektriciteits-

verbruik in de auto. Bij Volvo is men zich bewust van deze

toename naar de vraag van elektrische energie.

Om een optimale dynamo-accu-combinatie te kunnen kiezen, is

het noodzakelijk dat het tamelijk complexe elektrische systeem

in de auto voor berekening toegankelijk is. Dit systeem

bestaat uit de onderdelen dynamo, accu en verbruikers.

In de auto-wereld is het gebruikelijk onder de dynamo (Engels:

alternator) het geheel van een synchrone machine, twee

driefasenbrugmutatoren (gecombineerd tot een geheel) en een

spanningsregelaar te verstaan.

Twee modellen voor het vermogenselectronische gedeelte worden

beschreven: een model waarin de commutatie in de gelijk-

richters in een oneindig klein tijdsinterval plaatsvindt en

een meer realistisch model waarin de duur van de commutatie

eindig lang is.

Voor het model van de accu werd dat van Gretsch genomen. Voor

de synchrone machine werd aangetoond dat het model van

Hoeijmakers gebruikt mocht worden. De verbruikers werden als

weerstand gemodelleerd.

De parameters van de dynamo zijn gemeten, de accuparameters

werden van Gretsch overgenomen.

Een beperking van het model is dat het aIleen geldig is voor

constante of slechts langzaam veranderende toerentallen.

De parameters van het model zijn d.m.v. meting bepaald; de

verificatie van het complete systeemmodel kon door tijdgebrek

niet plaatsvinden.

SUDIIIary

The last few years the use of electrical energy in cars is

increasing. At Volvo they are aware of this increasing

demand.

In order to be able to choose an optimal combination of a car

generator and an accumulator it is a necessity that the elec-

trical system in a car is accessible for computations. This

system consists of the parts alternator, accumulator and

loads.

The unit containing a synchronous machine. two three phase

bridge rectifiers (combined as a whole), and a voltage

regulator is commonly called an alternator (by car

manufacturers) .

Two models for the power electronic part are described; in the

first one where the commutations arise in infinitely short

time intervals, in the second one where the endurance of the

commutation is of finite length.

For the accumulator the model of Gretsch is taken. For the

synchronous machine it has been proved tha t the mode 1 of

HoeiJmakers may be used. The loads are modelled as

resistances.

The parameters of the generator have been measured. The

parameters describing the accumulator have been taken from the

report of Gretsch.

A constraint of the model is that it is only valid at constant

or slowly varying speeds.

The parameters of the model have been measured; the

verification has not been carried out because of lack of time.

Lijst van gebrulkte symbolen.

symbool

a

A

b

c

C

D

e

f

g

G

H

i

I

j

k

K

1

1

l

eenheid

m

A2mm

m

A

Asy- l

JK- l

Asy-l

JK- l

y

Y-1

s

m

YsA- l

Am- l

A

A

Ah

cm

YsA- l

omschrljvlng

halve statorboring (a)

fouriercoefficient (al

)

draadoppervlakte (A)

halve rotordiameter (b)

fouriercoefficient (bl

)

G G Gcapaciteit (cA

; c ; cR

)p G

warmtecapaciteit (c )w

capaciteit (CA; ~)

warmtecapaciteit (C )w

gemiddelde relatieve in-tijd schakelaar in

spanningsregelaar (D)

spanning (ea ; eab; eac ' eb; ebc ; e c ; e s ;

eA; eR)

topwaarde wisselspanning (e; e )a

frequentie (f; f ,f 1)max pu s. ( r s r, de fr, qe )wlkkelfactor f ; f ; f ;

w,v w,v w,v U w,vluchtspleetlengte (g; g k; g )wer .machinegeometriefactor (G ; GU )m mmagnetische veldsterkte (H)

stroom 0; i a ; i al ; i b ; i c ' ide; if; i g ;

i gd , i sk; i qe , i l ; i 2 ; i 3 ; iG

; IE)

gelijkstroom (I ; If; I , I , I )a g gen,max vimaginaire eenheid (~)

groefnummer (k)

factor van Carter (k )c

aantal in serie geschakelde accucellen•(k )

accucapacltelt (~)•accukengetal (~)

statorlengte (1; 1 )G a

Inductlvlteit (1 )

draadlengte (l)

inductivlteit (l ", l lde. If "lqe. l )c rs' rs' rs' rs' s

weerstandGrUL

)

weerstand

symbool

M

n

N

P

p

q

Q

r

R

t

T

eenheid

VsA- 1

rpm

w

s

s

a

OIDSchrijving

mutuele inductiviteit (M)

aantal metingen (M)

toerental (n; nO)

aantal windingen (Nde ; Nqe , Nr ; Ns )

poolpaartal (p)• •ladingstoestand accu (p ; Pr)

vermogen lP )v

parktransformatiematrix (P).... .ontladingsgraad accu (q ; q )

rinverse parktransformatiematrix (Q)

=G G G G G Glrp; r s ; rOE; r OL; r G; rr;

+(Ra ; ~; Rc ; Rde ; ~; ~; ~F;

Rf ; Rg; Rga , Rgd ; Rgv ' ~l; ~l,leemte;

~l,leemtevrij; Rqe ; Rs ; Rsp ' Rve1d ' Rv1 ;R . R )

vl,leemte' vl,leemtevrijtijd (t)

tolerantie (tol)

periodetijd (T; T . )mln

(=jaren) leeftijd accu (TB

)

U

U

vx

Z

v

vV

-1WI(

spanning (ua ; uai ; ~; ~i; uc ; uci ; udei ;

Gu ·u·u ·u·u u·u ·u·ds' f' fi' g' gv' G' mintak' qei'- +

uqs ' ~; ~; ~F)gemiddelde spanning over de tijd (Ug; Usp )nominale accuspanning (UN)

geliJkspanning (Ua ; Ub; Ug; UI )

effectieve waarde wisselspanning

(UabO,eff)warmtegeleidingscoefficient (V )wdimensieloze tiJd (x)

gemeten waarde (x )v

gemlddelde waarde aantal waarnemlngen (x)

koperbelegging (Z)

Impedantie (Z; Z )- -s

Griekse symbolen.

symbool eenheid a.schrijving

plaatsaanduiding in cilindrisch statorco-

ordinatenstelsel (a )sfactor (~)

spoelmidden (~; ~w)

factor (~R)

rotorhoek (7)

momentane relatieve in-tijd van de

schakelaar in de spanningsregelaar (~)

(£:; £: • £: )r' s

hulphoek «;

Indices.

symbool

a

A

b

B

c

de

D

eff

E

g

G

h

i

I

L

m

N

P

q

qe

r

R

s

sp

T

U

v

veld

w

o1

omschrijving

statorfase-aanduiding

betreft arbeidstak accu

statorfase-aanduiding

Batterlj (=accu)

statorfase-aanduldlng

chopper (R ; hoofdstuk 5)c

betreft de demperwikkeling op de hoofdas

betreft een diode

effectlef

ontladen

gelljkgericht

boven: Gretsch-genormeerd

onder: betreft de gas-tak

hoofd-

stroomafhankelijk; Inwendig

de lnwendlge weerstand van de accu

betreffend

laden

mechanlsch

nominaal

betreft ladingstoestandsafhankelijkheid

betreft ontladlngsgraad-afhankelijkheid

betreft de demperwikkellng op de dwarsas

rest-; rotor-

rust

zelfontladings-; stator-

betreft de spanningsregelaar

betreft leeftljdafhankelijkheld; drempel-

betreft de omzetting van materiaal in de

accu

betreft optredende verliezen; veld-

veld-

betreft een wikkellng; warmte-

nullasto1 haraonische aangevend; algemene index

symbool

2

3

•e

omschrijving

algemene index

algemene index

geeft dimensieloosheid aan

betreft temperatuurafhankelijkheid

spreidings-

Inhoud.

1. Inleiding. 1

2. De accu. 2

2.1. De keuze van het model. 2

2.2. Het model van Gretsch. 4

2.3. Definities. 11

2.4. Vereenvoudigingen in het vervangingsschema. 16

2.5. Het model van de accu. 21

3. De synchrone machine. 24

4. De mutator. 35

4.1. De mutator met oneindig snelle commutatie en

ideale dioden. 35

4.2. De mutator met oneindig snelle commutatie en

niet-ideale dioden. 45

4.3. De niet oneindig snel commuterende mutator met

niet-ideale dioden. 48

5. Het elektrische systeem in een auto. 59

5.1. Inleiding. 59

5.2. Hodellering van de blokken in het elektrische

systeem biJ oneindig snelle commutatie. 60

5.3. Aspecten waarmee men rekening dient te houden. 66

5.4. Het model van het ideale totale elektrische

systeem. 70

5.5. De koppeling van het model van de synchrone

machine met dat van het ideale totale systeem. 77

5.6. Het model van het totale elektrische systeem in

een auto met niet-ideale componenten. 81

5.7. Een eerste aanzet tot het ontwerp van een

algorithme. 95

156

136

147

153

6. Bepaling van de systeemparameters. 98

6.1. Inleiding. 98

6.2. Metingen aan de machines. 99

6.3. Metingen aan de dioden. 110

6.4. Metingen aan de spannlngsregelaar van Bosch. 111

6.5. Bekend gegeven: de kabelweerstand van de

kabel(s) tussen de generator en de accu. 113

7. Conclusies en aanbevelingen. 115

8. Li teratuur. 117

Appendices

A: De grootten van de parameters uit het model van

Gretsch voor een accu. 120

B: Gebruikte figuren uit [2] en [9]. 122

C: Uitdrukkingen voor de factoren uit de tabel in

appendix A, gevonden door Biemans [11]. 128

0: Analyse van het luchtspleetveld. 131

0.1: Algemene theorie. 131

0.2: De fluxen, gekoppeld met de wikkelingen in de

machine.

0.3: Het complete machinemodel.

0.4: De algemene machinevergelijkingen.

0.5: De elektrische machine tijdens stationair

bedrijf.

E: Berekening van de grondharmonische component van de

stroom i . 158aF: Berekening van I 162

gG: De berekening van de gemiddelde waarde en de

tolerantie van een grootheld uit een aantal

waarnemlngen. 164

H: Bepallng van de weerstandswaarden van de statorfase-

wlkkellngen ult dIe van twee wlkkellngen In serle. 165

I: De afleiding van de grondharmonische component van

de fasewikkelingsstroom i biJ niet oneindig snellea

commutatie en niet-ideale dioden.

1. 1: 1nleiding.

1.2: Het verloop van i a in het interval ~ ~ wot-K Sw6+~c·

Sow1.3: Het verloop van i a in het interval ~ ~ wot-KSow

S """"6"" + ~c1.4: De berekening van de grondharmonische component

van i .a

J: Afleiding van formules (S.22a) en (S.22b).

Bijlagen

1: Gebruikte meetapparatuur.

2: Meetgegevens synchrone machine.

3: De afleiding van de parameter L uit de grafischersweergave van de nullastkarakteristieken van de

machines.

167

167

167

170

171

177

180

181

186

1. Inleidlng.

In de auto treft men tegenwoordig steeds meer comfort aan:

verwarmde stoelen, elektrisch bediende ramen, aircondi-

tioning enz.. Soms wordt hierom door de consument gevraagd en

nemen autofabrikanten het daarom in hun leveringsprogramma op.

Soms ook is er sprake van het kweken van een behoefte.

Voor dit comfort is energie nodig, die door de generator-accu-

combinatie in de auto moet worden geleverd.

Volvo levert auto's over de gehele wereld. Men is zich bij dit

bedrijf bewust van de groeiende energiebehoefte in de auto.

Daar men bij Volvo wil kunnen voorspellen of een bepaalde

generator-accu-combinatie onder gegeven omstandigheden aan de

gestelde eisen voldoet, is een model van het elektrisch

systeem in de auto nodig.

Men heeft zich daarom tot de Technische Universiteit Eindhoven

gewend met de vraag een dergelijk model op te stellen, met

behulp waarvan het mogelijk moet zijn een bepaalde

generator-accu-combinatie te vinden die voldoet aan de eisen.

Daar in de vakgroep Elektromechanica en Vermogenselektronica

onderzoek wordt verricht op het gebied van elektrische

machines in combinatie met elektronische energie-omzetters, is

men hier terecht gekomen.

Mijn opdracht luidt:

, Ontwikkeling van een mathematisch model van de

elektrische energiehuishouding in een personenauto,

waarbij vooral de generator en de accu voor dit doel op

passende wijze moeten worden beschreven'.

1

2. De accu.

2. 1. De keuze van hel model.

In 1974 heeft Runge [1] reeds een model voor de accu

opgesteld. Schleuter [3] heeft dit model overgenomen en heeft

er nog wat aan toegevoegd: voor verschil1ende typen accu's

heeft hij de parameters van het beschrijvende model bepaald.

Een zeer geavanceerd model is opgesteld door Gretsch [2]. Van

Dongen [4] tenslotte heeft een veel eenvoudiger model

afgeleid, uitgaande van de relatie voor de tijdsduur gedurende

welke een constante stroom aan een accu kan worden onttrokken.

Deze relatle werd in 1897 reeds door Peukert empirisch

vastgesteld.

Van de onderzochte modellen kan worden gezegd dat ze

theoretlsch zijn afgeleid wat de vorm van de vergelijkingen

betreft. De parameters die men nodig heeft zijn d.m.v.

experimenten bepaald.

In tabel 2.1 worden de verschillende modellen vergeleken. Deze

tabel is overgenomen uit Schleuter [3], bIz. 46. Het model van

Van Dongen is hieraan toegevoegd, andere (niet onderzochte)

modellen zijn weg gelaten.

Ui t deze tabel lezen we het volgende af: voor een

autofabrikant is het model van Gretsch het meest interessante

vanwege het fei t dat di t model het nauwkeurigst is

(temperatuurinvloeden en dynamische belastlng worden

meegenomen) .

2

Tabel 2.1: Overzlcht van verschlI lende onderzochte

len.

accumodel-

Runge/Schleuter Gretsch Van Dongen

criterium

geeft einde x x x

ontlading aan

bootst

spannings- x x x

gedrag navervangings-

schema x x x

empirisch model x x x

electrochemische

achtergrond x x x

Geldig voor:

ontladen x x x

laden x x

veranderlijke

stromen x x (x)

gassen x

ze lfontlad ing x

verschillende

temperaturen (x) x

loodaccu x x x

leeftijd (x)

(x) geeft aan dat het model voor dit item slechts beperkt geldt.

3

2.2. Bet model van Gretsch.

2.2.1. Inleiding.

Bet gedrag van de accu wordt bepaald door drie grootheden: de

nominale klemspannlng, de nomlnale capacitelt en de

koudstartstroom. De eerste term spreekt voor zichzelf, de

andere twee behoeven enige ultleg.

Met de nomlnale capacltelt van een accu wordt de hoeveelheid

lading bedoeld dIe onder gestandaardlseerde condltles aan de

accu kan worden onttrokken (zle ook de deflnitie van ~, bIz.

10). Ze wordt uitgedrukt in ampere-uur (Ampere-uur, 1 Ah =3600 As = 3600 Coulomb).Blj koude blijkt niet de capacl tei t, maar de mogelijkheid

gedurende enige tijd grote stromen aan de accu te onttrekken

van belang: men wil immers dat de auto bij koude goed start en

dat men tljdens de rlt daarna ook nog de achterruitverwarming

kan gebrulken. Een maat voor de startmogelljkheid bij koude is

de zgn. koudstartstroom. Dlt Is de waarde van de stroom die na

30 seconden ontladen nog een accuspannlng geeft van minstens

8,4 volt en na 180 seconden een klemspanning van mlnstens 6ovol t, blj een omgevlngstemperatuur van -18 C en volle accu

met een nominale klemspannlng van 12 volt.

De klemspannlng en de capacltelt van de accu zijn afhankelijk

van grootheden als temperatuur, ladlngstoestand en stroom;

deze afhankelljkheden zljn nlet eenvoudlg te beschrljven.

Om een en ander wat aanschouwelljker te maken, Is door Gretsch

een vervanglngsschema opgesteld.

Olt vervanglngsschema Is In flguur 2.1 gegeven.

4

Fig. 2.1: Het vervanginqsscheaa

gens Gretsch (2).

Yoor de accu yol-

De dioden in dit vervangingsschema geven aan dat rgE en r~.G G G Ggebruikt moeten worden als 1 >0 en r DL en r UL als i

gemaakt van de processen die zich in de accu voordoen. De

figuur geeft de reactles aan tiJdens de ontlading van de accu.

TiJdens het laden verlopen de reacties in omgekeerde richting.

u- I+

PbSO" H2SO" H2SO"PbSO"

I J \"'-...50,-t

Pb··

H2O tI \ 2e·Pb·· S04- H· Pb····

tH. 0·-

•2e· H· Pb02Pb .... 0-·

\1

H2O

Fig. 2.2: Schematische voorstelling van de reacties

die zich in de accu voordoen tijdens het

ontladen.

De elektronen die biJ stroomlevering worden getransporteerd,4+ 2+worden gebrulkt voor de omzettlng van Pb in Pb . Het

vierwaardige loodion zIt in het loodoxyde op de posi tleve

plaat (gebonden). De reactie zoals deze plaats vindt, is

hieronder gegeven.

- Aan de positieve elektrode:

in de elektrode zelf: Pb4+ + 2e ~ Pb2++ 2-in het elektrolyt: 2H + 0 ~ H20+ 2-

H2SO4 ~ 2H + S04

aan het oppervlak: Pb2+ + SO 2- ~ PbSO4 4

De vorming van water uit de waterstof- en zuurstoflonen

verloopt zeer snel. In praktlJk zou een scheikundige zeggen

dat het absurd is te stellen dat 02- zou ontstaan.

BiJ de verschl11ende omzettingen treden remmende werkingen op,

die veroorzaakt worden door:

1) Viscositeit van het elektrolyt: door dit elektrolyt moeten

6

de waterstof- en sulfaationen zich een weg banen naar het

elektrodeoppervlak: zij verzorgen het ladingstransport in

het zuur.

Drijvende krachten: elektrisch veld en concentratie-

gradient.

2) Loodoxyde en loodsulfaat op de platen: gesteld dat deze2-laagjes poreus zijn, moet 50

4door deze laagjes heen

dringen om bij het Pb2+ te komen.

- Aan de negatieve elektrode:

in de elektrode zelf: Pb ~2+aan het oppervlak: Pb +

Pb2+ + 2e2-50

4~ Pb50

4

De remmende werking aan deze elektrode vindt haar oorzaak in:

4) De bindingsenergie van de elektronen: het kost energie om2+Pb om te zetten in Pb .

5) De aanwezigheid van loodsulfaat op de elektrode: deze doet

het actieve oppervlak verkleinen, de sulfaat-ionen kunnen

de lood-ionen moeilijker bereiken dan wanneer het sulfaat

niet aanwezig zou zijn. Naarmate de tijd verstrijkt. zullen

meer elektronen zijn getransporteerd met als gevolg dat de

hoeveelheid lood die is omgezet in loodsulfaat is

toegenomen. Het loodsulfaat bedekt de plaat (zie ook 2».

Bet laadproces.

Bij het laden van de accu treden de reacties in omgekeerde

volgorde op. Hierbij treedt de remming als gevolg van de

bindingsenergie nu aan de positieve elektrode op en niet aan

de negatieve. Deze remming zal groter zijn dan die bij het

ontlaadproces, daar nu twee elektronen van een al positief ion

moeten worden 'afgesnoept'.

Bet gassen.2+ 2-

Ais bij het laden een van de twee reagentia Pb of 504'opgebruikt' is, dan wordt de getransporteerde lading gebruikt

7

+voor de elektrolyse van water: H20 dissocieert in H en OH en

aan de negatieve elektrode ontstaat HZ' terwijl 0z aan de

positieve elektrode wordt gevorDd.

Het 'opgebruikt' zijn van Pb2+ kan men zlen als het

onbereikbaar worden van de loodlonen als gevolg van hetZ-sulfaat op de elektroden. Het •opgebrulkt' zijn van 50

4betekent dat er (nagenoeg) geen sulfaationen meer In het

elektrolyt aanwezlg zljn. Het dissocieren van water kost

energle, immers: er moet een polalre verbinding tussen atomen

worden verbroken.

2.2.3. De elementen uit het vervangingsschema en hun

chemlsche achtergrond.

De gedachten in de vorige paragraaf laten zien dat er

componenten zijn waarvan het gedrag bij laden en ontladen niet

hetzelfde is: met name de verl1ezen bij laden en ontladen

verschillen van elkaar.

De verliezen worden in een elektrisch vervangingsschema door

dissipatieve elementen (weerstanden) weergegeven, de

mogelijkheid tot omzetting van stoffen door niet-dissipatieve

elementen (condensatoren).

r~ Deze weerstand verdisconteert de verliezen dIe optreden blj

de beweging van de lonen door het elektrolyt: dlt Is Immers

visceus. De viscositeit is afhankeliJk van de temperatuur.

Bovendien hangt deze saaen met de diffusiecoefficient

(Ouits: Dlffusionskoefflzient) van de lonen. Volgens Fick

speelt blj de beweging een concentratiegradH~nt een roi.

Dit verklaart dan ook de stroomafhankel1jkheld van deze

weerstand: wanneer de accu wordt opgeladen, ontstaan

sulfaationen In de buurt van de elektroden, blJ ontladen

8

verdwiJnen ze Juist.

De concentratiegradienten

ontladen verschillen.

2-van 504 zullen biJ laden en

Gr U De verliezen biJ het omzetten (OUits: umwandlen) van

loodsulfaat in loodoxyde en lood worden in deze weerstand

verdisconteerd. Het verschil tussen laden en ontladen zit

hem in het verschil tussen de totale hoeveelheid warmte die

vriJkomt biJ de exotherme reacties en de totale hoeveelheid

energie die nodig is om de endotherme reacties te doen

verlopen.

Gr I Deze weerstand representeert de geleidbaarheid van het lood

en het elektrolyt. HiJ is onafhankelijk van de richting van

de strcom.

(inwendige weerstand = innere Widerstand).

Gr G De verliezen die biJ het gassen optreden zijn in deze

weerstand verwerkt. Men denkt hierbiJ aan de verliezen die

optreden biJ het ontleden van water.

(gassen = gasen).

GrOok als de accu niet wordt gebruikt, treden er reacties op,simmers: de reagentia ziJn niet van elkaar gescheiden. De-

zelfde reacties als biJ het ontladen treden op als men de

accu onbelast laat. Doordat in het geval van een onbelaste

accu geen stroom aan de accu wordt onttrokken, zal het

elektrolyt nauweliJks in beweging komen; hierdoor wordt de

zelfontlading (gelukkig) beperkt.

(zelfontlading =Selbstentladung).

Gr polarisatieweerstand (OUits: Polarisationswiderstand)p 2+ 2-

De vorming van PbS04

uit Pb en 504 gaat met verliezen

9

gepaard: eerst zullen de ionen in de goede richting moeten

verkeren (rotatie), vervolgens zullen ze dicht genoeg bij

elkaar moeten zijn (translatie), wi! een reactie kunnen

verlopen. Het roteren van een object met ruimtelijke uitge-

breidheid in een visceus medium kost energie; het

transleren van zo'n object natuurlijk ook. De verliezen die

bij de rotatie optreden, worden door r G in rekeningG p

gebracht, die bij de translatie door r D (zie aldaar). De

condensator cG, samen met r G, verdisconteert de traagheidp p

die het roterende object in de vloeistof t.o.v. het

aangelegde wisselende veld vertoont: het ion kan een snel

wisselend veld niet volgen. De traagheid bij de translatie

wordt bepaald door de tijdconstante r~.c~.

De verliesvrije component en.

GcA De arbeidscapaciteit (Duits: Arbeitskapazitat). Deze geeft

de hoeveelheid zuur in de porien aan en de hoeveelheid lood

waarmee het een reactie aan kan gaan. Ze geeft dus de

hoeveelheid direct omzetbaar materiaal aan.

GcR De rustcapaciteit (Duits: Ruhekapazitat). Deze capaciteit

is een maat voor de hoeveelheid zuur die zich tussen de

platen bevindt.

Gc Deze capaciteit wordt de polarisatiecapaciteit (Duits:p

Polarisationskapazi tat) genoemd. Ze heeft niets te maken

met de mogelljkheid tot het omzetten van materiaal. ZieGverder de beschrijving biJ r .p

lG Deze h eeft te maken met de stroomverdellng over de2-accuplaten in verticale richting: de concentratie van 504

2-zal t.g.v. gravitatie (504 wordt naar beneden getrokken)

en gassen (meesleureffect van het gas) beneden aan de plaat

10

anders zijn dan boven.

GuG De zenerdiode waarmee deze spanning overeenkomt, geeft aan

dat er een bepaalde minimale spanning nodig is (afhankelijk

van de temperatuur), wil de dissociatie van water optreden.

Opmerking bij de discussie over de componenten:

Men heeft een scheiding gemaakt tussen de verliezen en de

mogelijkheid tot materiaalomzetting door deze effecten te

verdisconteren in weerstanden resp. condensatoren. De

condensatoren worden constant verondersteld (zie appendix A).

In werkelijkheid hangt de accucapaciteit zowel van de stroom

als van de temperatuur af. Men brengt deze stroomafhankelijk-

heid in rekening d.m.v. de weerstanden rg en r~. De gedachte

hierachter is dat het gaat om de tijdconstanten die met de

verschillende processen gemoeid zijn.

2.3. Definities.

In deze paragraaf zal ik onderscheid maken tussen dimensie-

loze grootheden, 'Gretsch-genormeerde' en werkelijke (d. w. z.

op geen enkele wijze genormeerde) grootheden.•De eerste zullen aIle van een bovenindex worden voorzien. De

grootheden uit de tweede groep zullen worden aangeduid met eenGKleine letter en bovenindex , terwijl die uit de laatste

groep door Kleine letters zonder enige index zullen worden

voorgesteld.•De reden voor het niet gebruiken van de bovenindex voor de

'Gretsch-genormeerde' grootheden is, dat deze een dimensie

hebben (nl. dezelfde als de overeenkomstige werkelijke groot-

heden) .

~, nomlnale capaclteit (Duits: Nennkapazltat)

De nomlnale capaciteit van een startaccu is gedefinieerd

als de totale hoeveelheid lading die aan een volle accuoonttrokken kan worden bij een temperatuur van 27 C en een

11

eonstante stroom gedurende 20 uur, totdat de spanning is

afgenomen tot 1,75 V per eel. De waarde van de eonstante

werd,

(2.1b)

(Duits:

(2.1a)

ontnomen=

eindspanning

ontlaadstroom voor.

Restladegrad)

•:= 1 - q

QE' die aan

gedefinieerd:tE

J iE"dt QE• 0p =1------;~~-=1-~

In deze formule stelt i E de

restladingstoestand (Duits:

stroom is de nominale waarde. In formule:o

~ = TN"IN; 9N = 27 C;TN = 20 h voor startaeeu's;

einde ontlading bij deGSehlussspannung) u = 1,75 V per eel.

• sp , ladingstoestand (Duits: Ladegrad)•q , ontladingsgraad (Duits: Entladegrad)

De ladingstoestand is door de hoeveelheid ontnomen lading,•een volle eel (p

•qr' relatieve ontladingsgraad (Duits: relative Entladegrad)

Tengevolge van veroudering, temperatuur, ontlaadstroom

e.a. kan niet altijd de volledige eapaeiteit van de aeeu

worden benut, doordat de spanning al eerder tot de

eindspanning is gedaald. Derhalve kan in de aeeu nog een

hoeveelheid restlading aanwezig zijn, welke met de•restladingstoestand overeen komt. p Zal i.h.a. positiefr

ziJn, maar kan onder gunstige omstandigheden (9)9N, iE

geldt het volgende verband:

•k (2. ie)

Bet is gebruikeliJk bij accu's de stroom naar of van de

accu uit te drukken in een aantal malen de accucapaciteit .•Daarom wordt hier het dimensieloze getal ~ ingevoerd,

dat dezelfde waarde heeft als het kenplaatgegeven ~ (in

Ah) van de accu. Gretsch voert nu de volgende

rekengrootheden in, die dezelfde dimensie hebben als de

oorspronkelijke in grote letters aangegeven

(2. if)

(2.1g)

grootheden. In het algemeen geldt voor een willekeurige

spanning u en een willekeurige stroom i:

G uu =--.

k

i G = !•~

Voor willekeurige weerstandswaarde R, dito capaciteit C en

eveneens willekeurige inductantie L gelden:

•G ~.Rr = --.-

k•

P~.L

=--.-k•G k ·Cc = --.-~

(2.ih)

(2. Ii)

(2. 1j)

P , verliesvermogen (Duits: Verlustleistung)v

C , warmtecapaciteit (Duits: Warmekapazitat)w

V , warmtegeleidingscoefficient (Duits: Verlustziffer)w

Zoals we in §2.2.3 al zagen, treden in de accu verliezen

op. Bet totale verliesvermogen in de accu wordt door twee

bijdragen bepaald:

1) de som van de verl1esvermogens in elk der in het

vervangingsschema voorkomende weerstanden, Pv,r

13

(2.1k)

2=rRoi =rv v v v

G •r ok_v__o (K-~o i G)2

• -~ v~

•• G G 2= k oK-_or r o(i )-~ v v v

In deze formule is v een teller.

Pv,r

2) het deel van de warmteontwikkeling bij het gassen,

overeenkomende met de warmteontwikkellng in de ideaal

veronderstelde zenerdiode, P G'v, G

Opmerking hierbij is dat de gasspanning uG verminderd

moet worden met 1,3 Vice I , omdat deze spanning nodig is

om de ontleding van water te doen laten plaatsvinden;

het gedeelte l,3oig (in Watt) wordt dus niet in warmte

omgezet (zie [2] bIz 65).• • G·· Gpv,G = (uG - k 01,3)oiG = (k °UG - l,3

0k )o~oiG

• • G G= ~ 0k 0(uG - 1, 3) 0i G (2. 11)

Derhalve is P gelijk aan:v

P = P + Pv v,r v,G

= k·OK-·o(r r Go (iG)2+ (uG - 1 3)OiG) (2.1m)-~ v v v G ' G

De warmtebalans leert ons dat dit vermogen wordt gebruikt

omd9

1) de accu op te warmen C °dt = Pw opw2) warmte naar de omgeving af te voeren V 0(9 - 9 ) = P

w 0 afgEn er geldt:

P + P f = P , of:opw a g v

Cw·:~ + Vw·(9 - 90 ) = k·o~o(~ r~.(i~)2+ (ug - l,3)Oig)(2.1n)

factorenG

r O' basiswaarde van een weerstand

ri

, stroomafhankelijke factor in een weerstand

r9

, temperatuurafhankelijke factor in een weerstand

r , ladingstoestandsafhankelijke factor in een weerstandp

Omdat vanwege de grote spreiding eenvoudlge benaderingen

14

voldoen, werd in aIle gevallen de aannameG G • G G •r (l ,O,p) = rOori(l )oro(o)orp(p) (2.10)

gemaakt. Een weerstandswaarde wordt dus bepaald (gedacht)

door het product van een constante waarde en drie

factoren, die elk slechts van een parameter afhangen; aIle

wederzijdse afhankelljkheden zijn te verwaarlozen (aldus

[2], bIz. 54).

f G, temperatuurafhankelijke factor in de gasspanning

TB, leeftijd van de accu (Batterie)

Zoals bekend, is de gasspanning afhankelijk van de

temperatuur en de leeftijd van de accu; biJ lage

temperatuur zal de accu pas bij hogere spanning gassen dan

bij hoge temperatuur. Oit verschijnsel houdt verband met

de reactlesnelheid (wet van Nernst). Oe temperatuur-

afhankelijke factor brengt dit effect in rekenlng.

Een oude accu zal, bij dezelfde temperatuur, eerder gassen

dan een nieuwe. Oi t laatste heeft te maken met het fei t

dat een startaccu meestal niet volledig geladen is•(p ~O,8). Er is dan altiJd sulfaat op de platen aanwezig.

Als sulfaat lang sulfaat blijft, gaat het van de ene vorm

(I) over in een andere (kristallijne) toestand (II).

Sulfaat van de vorm II is niet meer om te zetten in ionen,

zodat de hoeveelheid te activeren massa in de tijd

afneemt.

Men merkt dit,

jaar) aan het

(de accu is

verouderinq zich

bij ontladinq, na verloop van tijd

minder worden van de capacltei t van de

qesul fateerdL Bi j het laadproces ui t

in het eerder qassen dan voorheen.

(paar

accu

de

Oi t laatste effect wordt door de leeftljdsafhankelljke

factor in het model beschreven.

Een r_edie teqen (snelle) verouderinq van een accu is dan

ook de accu zo nu en dan een tl jdlanq op te laden, zodat

het. sUlfaat vollediq o~ezet wordt in ionen (dit merk je

aan het. qassen) . Bet krijqt dan qeen kans in vorm II over

te qaan.

De formule voor de gasspanning zlet erult als:

15

(2.1q)

G TBuG = 1,75 + 0,1 0 (7 - a-)ofG (2.1p)In deze formule staat a voor annee (= jaar). Oit symbool

geeft aan dat de leeftijd van de accu, TB

, in jaren is

gegeven.

termen

• IIPri,stroomafhankelijke term van Pr

• IIPre' temperatuurafhankelijke term van Pr• IIP T,leeftijdsafhankelijke term van Pr r

Zoals Peukert al in 1897 bepaalde, kan men minder lading

aan de accu onttrekken naarmate de ontladingsstroom groter•is. p . Brengt dit in rekening.rl

Bij lage temperaturen is de accucapaciteit ook lager dan

bij hoge: de porH~n zullen bij lage temperatuur eerder

verstopt zijn, doordat de ionen zich traag door het

elektrolyt bewegen vanwege de hogere viscosi tei t; eerst

zal het zuur in de directe omgeving van de platen worden

omgezet, wat de porien doet verkleinen vanwege het grotere

volume dat loodsulfaat inneemt t.o.v. loodoxyde.

Oe derde term tenslotte verdisconteert het verschijnsel

'sulfatering' .

Er geldt:• • • •

Pr = Pri + Pre + PrT

2.4. Vereenvoudigingen in het vervangingsschema.

2.4.1. Algemene vereenvoudigingen.

Het in §2. 2.1. gegeven vervangingsschema bevat alle

componenten; in dit schema worden nog aIle facetten van een in

bedrijf zijnde accu meegenomen: laden, ontladen,

zelfontlading, gassen.

Natuurlijk hoeft men niet met aIle facet ten tegelljk rekenlng

te houden: als men de accu ontlaadt, zal geen gasvorming

optreden; als men een grote stroom aan de accu onttrekt, kan

men bovendien de zelfontlading verwaarlozen.

16

De functie van de dioden in de 'D-tak' en de 'U-tale' is inG G§2.2.1. reeds aangegeven: ziJ geven aan dat r D en r U

verschillend ziJn bij laden resp. ontladen. Hen lean deze

takken dan oole vereenvoudigen door in de functiebeschrijvingG Gvan r D en r U de richting van de stroom aan de accuklemrnen (!)

te betrekken: deze takken veranderen dan in een enkele

weerstand.

EEm algemene vereenvoudiging is nu al in te voeren: de takG Gr -c kan leomen te vervallen. Stel nameliJk het maximalep p

generatortoerental op n (rpm). De generator is p-polig, dus ispon

de frequentie van de opgewelete wisselspanning f- 60 (Hz). Ais

de gelijkrichter 2 0 m pulsen per periode produceert, dan is de

pulsfrequentie fpuls

2omo~~n . Nemen we in de beschrijving van

de puIs in het frequentiedomein h harmonischen mee, dan is de

maximale frequentie in dit signaalh 0 2 0 mo p o n

f = 60 (Hz) (2.2a)maxof

60Tmin = h 2 (s) (2.2b)o omoponBij h=10, m=3 (driefasenbrugmutator), p=6 (12-polige machine,

6 poolparen) en n=lS000 rpm voIgt: T i ~ 11 ~s.G G m n

De tak r -c heeft volgens appendix A een tijdconstante vanp p G

1.4 ~s. De spanning over condensator c zal daardoor dep

klemspanning van de accu direct volgen, zodat de stroom door

r G verwaarloosbaar klein wordt (1_e-(11~S/1.4~S)~ 1-S o10-S).p

Ui teen experiment met een (niet in een auto te gebruiken)

accu is gebleken dat de zelfinductie in het vervangingsschema

te verwaarlozen is. De reden voor het gebruik van deze accu

is. dat deze voorhanden was.

Uit appendix A kan men m.b.v. (2.1) de waarden voor de

werkelijke parameters (~. CA, Ru. RI en L) voor een accu met•nominale spanning UN = 12 V (k = 6) en nominale capaciteit ~= 16S Ah berekenen. In tabel 2.2 zijn de relevante (gemiddel-

de) waarden van de parameters ui t appendix A overgenomen en

17

die voor de gegeven accu hieruit bepaald.

Tabel 2.2: De werkellJke par~eters voor een 165 Ah-accu. met

een no.lnale accuspann1n9 van 1ZV, bepaald ult de

door Cretsch bepaalde overeenk~st1ge par..eters.

Gretsch ' Onze accu'

(eenheidscel, (UN=12 V, ~=165 Ah)

UN=2 V, ~= 1 Ah)

grootheid waarde eenheid grootheid waarde eenheid

G20 kF CR

550 kFcRG 40 F CA

1100 FcAG 300 mQ I\; 11 mQr UG 150 mQ RI

5,5 mQr IlG 5 JlH L 0,2 JlH

Bij het laden van de accu met een 70A-generator van Bosch

werd, bij kamertemperatuur en bij n = 4000 rpm, een rimpel in

de stroom gemeten van ca. 0,25 01, waar I de geIijkstroomcom-

ponent van de stroom is.

Vergelijking van de termen (I\; + RI)oI en Lo:~ levert:

= 2-m o p o n (Hz)60met £puIs

0,017 01

Lo O,25 0 I1 12°r

puIs

~ 0 5 01-£ oL = 0 5_1020306-4000_0 2 010-6, puIs ' 60 '

L_ didt

(I\; + RI

) 0 I ~

Lo di ~ Lo t1I =dt t1t

= 2,4 010-40 1 « 1,7010-2 -1.

diDit toont aan dat de term LOdt

verwaarIoosd kan worden t.o.v.

de term (Ru + RI)oI in dit geval. In het geval van toepassingvan een 55 Ah-accu kan men nog niets zeggen over de

verwaarloosbaarheid van lG in het vervangingsschema, daar dit

18

nog niet is gemeten. Het rapport van Gretsch toont de

impedantie van een 6 V, 55 Ah-accu voor een ladingstoestand

p~0.8. Vergelijking van de gemeten kromme met een schema

analoog aan dat van figuur 2.4 levert voor frequenties groter

dan 10 kHz aanzienlijke verschillen op. In appendix B is dit

plaatje getoond.

Weglaten (= kortsluiten) van P betekent in het plaatje vanGretsch dat het imaginaire deel van de complexe accu-

impedantle al snel nul wordt bij toenemende frequentie: het

reele deel blijft hetzelfde. Deze constatering is weI te

begrijpen: als we de accu als een ideale spanningsbron zien

met in serie een weerstand, dan moet de stroom de spanning

zelfs voor elke frequentie direkt volgen.

Gegeven het feit dat de term L.~~ in een bepaald geval

verwaarloosd kon worden, dat de complexe impedantie van de

accu die door Gretsch gemeten werd niet overeenkomt met die

ui t het door hem gegeven vervangingsschema, het fei t dat H.

Biemans (die tljdens een HIS-stage aan het zelfde onderwerp

heeft gewerkt) de zelfinductie uit het vervangingsschema ook

heeft verwaarloosd en het feit dat ons zegt dat de stroom de

spanningsverandering bij lage frequentles direkt zal volgen,

zou lk op deze plaats een laatste algemene vereenvoudiging

willen Invoeren: de zelfinductie in het vervangingsschema zal

worden weggelaten.

Bovenstaande overweglngen lelden tot het vereenvoudigde

vervanglngsschema van flguur 2.3.

19

·Gr G rG rG< I I U 0

++ +

+ +uG e

G cG eG c GA A R R

Flq 2.3: Ret vereenvoudlqde vervBnqlnqsscheaa van

de accu, dat als basis %al dlenen voor

verdere vereenvoudlqlnqen.

2.4.2. Het vervangingsschema tijdens ontladen.

Bij het ontladen zal geen gassen optreden, zodat bij voorbaatG G

de tak uG-rG uit het schema verwijderd wordt.

Bovendien gaan we er bij de ontlading in eerste instantie van

uit, dat de onttrokken stroom aan de accu vele malen groter is•dan de zelfontladingsstroom. Het vervangingsschema voor

ontlading komt er dan uit te zien als in figuur 2.4.

Zetten we de accu onbelast weg, dan gaat het vervangingsschema

van figuur 2.4 uiteraard niet meer op: de zelfontlading is dan

juist bepalend voor de toestand van de accu.

Flq 2.4: Ret vervanqlnqsschema voor de accu tlJdens

ontladen. De aan de accu onttrokken strooaC

(1 ) .oet vele malen qroter %lJn dan de

zeIContladlnqsstroo•.

20

2.4.3. Het vervangingsschema tijdens laden.

Tljdens het laden van de accu kan men verschillende effecten

nlet verwaarlozen: gassen kan optreden, zeker wanneer de

temperatuur wat hoger wordt. Wellswaar heeft de

spannlngsregelaar op de generator tot doel gassen In de accu

te voorkomen, maar bestuderlng van Blld 53 van [9] toont dat

nlet altljd aan deze voorwaarde wordt voldaan.

Verder blljkt dat r DL en rUL groot worden voor een bijna~ p p

volle accu (p>O,95), zle appendlx B.•

Met de

0,2 lIlA

Daarom

parameters van Cretsch komt de

(U =2 V, r =10kOhm).

kan m.l. de 'gas-tak' nlet

zelfontladlnqsstroom op

zonder meer worden

weggelaten. Het vervanglngsschema tljdens laden van de accu

moet er, bovenstaande beschouwlng in acht nemende, daarom

uitzlen als in figuur 2.5.

·GrG r:G rG~ I U D

+ + + ++ +

uG eG cG eG cGA A R R

Flq. 2.5: Het vervanlnqaachema voor de accu tlJdens

laden.

2.5. Het model van de accu.

2.5.1. Inleiding.

We zagen in §2. 4. 3 dat de 'gas-tak' niet zomaar kan worden

weggelaten. Treedt gassen nlet op, dan gaat het schema van

flg. 2.5 over In dat van fig. 2.4, immers: er vloeit dan geen

deoverwaarde van de spanning

gassen weI of niet optreedt:

stroom door de 'gas-tak'. De richtlng van de stroom aan deGaccuklemmen, i, en de

G'gas-tak', e , bepalen of

Ais i G

(2.4a)

(2.4d)

(2.4c)

(2.4b)

Gr

IAis gassen

GG deR

(cR

O

dt+

d9C 0-- + Vwo(9 - 90

) = pw dt vG G

e - us

niet optreedt, betekent dlt dat geen stroom door de

'gas-tak' vloeit. Aangetoond kan worden dat deze situatieGovereenkomt met r G-4 m.

We kunnen dan ook de volgende algemene vergelijkingen

toevoegen:

· · {'uG_ eG)2 (eG _ eG)2 G G 2P k o~o G s s A (eA - eR)= + + +v G GrI

r U r O

(eG _ uG)2 G G - Ugl}(u - 1.3)o(es G G s (2.4e)+ +G Gr G r G

(2.4f)=Ge s

G G G G G G G G GrUorGou + rlorGoeA+ rlorUouG

G G G G G GrUorG + r10rG + r10rU G G G G G

Tenslot te moeten nog de waarden van r I' r U' r 0' r G en uGworden bepaald. Gretsch [2] heeft deze waarden gegeven in

grafische vorm: ze ziJn i.h.a. afhankelijk van de stroom i G,•de temperatuur, 9 en de ladingstoestand p of een van de

• •hiervan afgeleide grootheden q of q .r

H. Biemans [11]. student aan de Technische Hogeschool te

Breda. heeft tiJdens zijn stage biJ Volvo deze grafieken

m.b.v. de computer in analytische vorm geschreven, zie

(2.4g)Iiodt=~

•q

appendix C.

Hier moet nog worden toegevoegd:•~ G= ~oIi odt

22

• •p = 1 - q (2.4h)

(2.41)

(2.4J)

(2.4k)

23

3. De synchrone machine.

In een auto hebben we te maken met een twaalfpolige synchrone

mach1ne d1e als generator bedreven wordt. Na het openschroeven

van zo'n generator, werd 1n het 1nwend1ge het volgende

waargenomen:

- de dr1e fasew1kkel1ngen op de stator z1jn 1n zesendertlg

groeven ondergebracht. de groefopen1ng wordt gekarak-

ter1seerd door de hoek 2'e;

- de rotor 1s een zgn. klauwpoolrotor: twee 1jzeren platen met

punten d1e naar elkaar toe gebogen z1jn met daartussen een

rad1aal gew1kkelde spoel, zie f1guur 3.1;

- als de ene spoelzijde van een statordeelspoel in groef k

l1gt, dan 11gt de erbiJ behorende andere spoelzijde in groef

k+3, z1e figuur 3.2;

de statorspoelen bevatten een aantal in serie geschakelde

w1ndingen; laagverschu1ving wordt niet toegepast;

- de statorspoelen z1jn in ster geschakeld;

- de spoelen z1jn onderl1ng over twee groeven t. o. v. elkaar

verschoven, dus als spoelzijde 1 van fasewikkel ing a in

groef k 11gt, dan ligt spoelzijde 1 van fasewikkeling b in

groef k+2 en spoelz1jde 1 van fasewikkeling c in groef k+4;

- de statorspoelen hebben een golfvorm.

Een en ander is in figuren 3.1 en 3.2 weergegeven...............

F19. 3.1: De klauvpoolrolor.

24

k k+4k+2

groefnummer

fasewikkeling afasewikkeling bfasewikkeling c

F1q. 3.2: De qolfw1kkel1nq yen een stetorfeBe 1n

'onze' _ch1ne; 2'13 1s de spoelw1Jdtes

On rad1alenl Yan een deelspoel.

Noemen we

voIgt uit

TP

de poolsteek Tp

deze waarnemingen:2'n n

= ~ = 6 radialen

en de statorgroefsteek T sg ' dan

en2'n n .

Tsg = 36 = 18 radlalen.De spoelwijdte. 2·13 • van een deelspoel op de stator is drie

sn ngroeven oftewel 18'3 = 6 radialen. De spoelwijdte komt dusovereen met een poolsteek; de statorspoelen zijn zgn.

diameterspoelen. Verder bIijkt uit de waarnemingen dat iedere

volgende fasewikkeling twee groeven of tweederde poolsteek

t. o. v. de voorgaande fasewikkeling verschoven is. Tenslotte

wordt opgemerkt dat de statorspoelen niet verdeeld zijn:

iedere groef bevat precies een spoelzijde.

In figuur 3.3 is een doorsnede van de machine getekend.

25

stator

rotor

9

Flq. 3.3: Een doorsnede van de synchrone aachlne.

De slreePJes op de slalor slellen de

qroeven voor, waarln de slalorwlkkelln-

qen zlJn onderqebrachl.

In het dictaat Elektrische Machines I van Prof. Schot [13]

vinden we, dat een meerpolige machine kan worden beschreven

als een tweepol ige indien men rekening houdt met het aantal

poolparen p.

Dit rekening houden bestaat erin dat 1. p. v. de werkelijke

hoeksnelheid, wm' voor de hoeksnelheid van de rotor een

grotere hoeksnelheid, nl. w=p·w moet worden genomen, immers:1 m

indien de rotor -x een hele omwenteling heeft gemaakt, komtp

het volgende poolpaar in dezeIfde positie als het vorige even

daarvoor. Voor de wikkelingen echter maakt het niet uit welk

poolpaar een veIdverandering teweeg brengt. Dit geldt omdat de

deelspoeIen in serie geschakeld zijn, zie figuur 3.2. Met p=6

en w =2·w.~ voIgt voor w:m 60w·n

w = 5 (3.1)Het verband tussen het tweepolige machinemodel uit appendix D

(§ D.4 en §D.5) en de twaalfpolige machine waar het in dit

hoofdstuk om gaat, bestaat dus uit de aanpassing van de

gebruikte rotorhoeksnelheid (hierop wordt in §D.l ingegaan).

26

Uit berekeningen is gebleken dat onder de voorwaarden

- de rotor draait met constant toerental;

- elke statorfase wordt met dezelfde lineaire belastingsimpe-

dantie afgesloten;

- de rotor wordt bekrachtigd met een geliJkstroom If

de volgende betrekkingen voor de statorfasespanningen ua ' ~

en U kunnen worden afgeleid. De stromen door decfasewikkelingen bedragen resp. ia' i b en i c

U (t)3 dia

- R °i + woL 01 °sin(wot) (3.2a)= -_oL 0_-a 2 s dt s a rs f

~(t)3 dib 2 0 n (3.2b)= -_oL 0_- - R °i + woL 01 °sin(wot----)2 s dt s b rs f 3

u (t)3 dic 4 0 n (3.2c)= -_oL 0_- - R °i + woL 01 0sin(wot----)c 2 s dt s c rs f 3

met

w = pow (3.2d)m

Met behulp van dit model kunnen L en L (onder verwaarlozingrs s

van R ) worden bepaald.s

De verwaarlozing van R t. o. v. woL is gerechtvaardigd. Ers s

geldt nl. (zie hoofdstuk 6):n02,50S00 = rad

R s 3 mO, L ~ 0,16 mH en w ~ 5 400 0n Dus:s s sR

s s 3 ~woL 400 0n'0,16 0,015.

s

Nullastkarakteristiek.

Als we de machine niet belasten, d.w.z. i = i = i = 0, danabcgeldt:

uao(t) = w'L ·1 ·sin(w·t)rs f (3.3a)

(3.3b)

(3.3c)

Meting van w, If en uaO - ~O levert de waarde van Lrs:

uit (3.3) vinden we nameliJk

27

= ~30woL 01 osln(wot + ~)rs f 6

(3.4)

De effectleve waarde van dlt spannlngsverschil bedraagt:~3

(UaO - UbO)eff = UabO,eff = wOLrsoIfoVZ (3.5)waarult tensiotte voIgt:

LrsuabO,eff ~2

= WOlf onDe nuIIastkarakterlstlek zlet erult ais In flguur 3.4.

(3.6)

( V )

lFig. 3.4: De nullastkarakterlstlek van de onafhan-

kelljk bekrachtlgde synchrone machine.

De waarde van L wordt ais voIgt ult de nuIIastkarakterlstiekrsbepaaId: we nemen een punt op de karakterlstlek en trekken een

rechte door de oorsprong en dit punt. De

bepaalt de waarde van L volgens (3.6)rsEr geldt dus:

L 50~2 UabO,eff 1rs = J(oY3 ° n 0 If

Belastingskarakteristiek.

We vonden voor UaO(t) de ultdrukklng

u (t) = woL 01 osln(wot)aO rs f

Dlt kunnen we schrijven aIs:

28

heIIlng van deze Iljn

met w volgens (3. 1).

(3.1)

(3.3a)

uaO(t) = Im{WoLrsolfoejOwot} = Im{~aooejOwot}

20 ook:

(3.8a)

(3.8b)

en

(3.8e)

fasoren

(3.10 )

(3.9)

Op dezelfde wijze geldt als i (t) = i osin(wot-K-~.):a a 1

i = i oe-jo(K+~i)-a a di (t)

aVeer de faser van dt = woi oeos(wot-K-~.) =woi oeos((Wot-K-~.+~)-~) = wot oSin(wot-K-~l.+~) kunnen we dan

a 122 a 12sehrijven:jowoi oe-Jo(K+~i) = jowoi

a -a

De operator ~t in het tijddomein komt dus overeen met de

vermenigvuldiging met jow in het frequentiedemein.

De uitdrukkingen veor de statorfasespanningen ua(t), ~(t) en

u (t) uit (3.2) luiden met de definitie vane 2 0 w

~ = e-joT (3.10

(3. 14a)

(3.13)

(3. 12e)

(3. 12b)

(3. 12a)-~oj-woL 01 -R 01 +02 5 -a 5 -a -a03-_ojowoL 01 -R 01 +0 o~2 5 -b 5 -b -aO -

-~ojowoL 01 -R -1 +0 _~22 5 -c 5 -c -a0 -o =-c

Met3

~s = 20JowoLs+Rsworden deze uitdrukkingen:

~a = -~s·!a + ~aO

0 =-a

~ =

(3. 14b)

29

Q = -z oi + Q oAZ (3.14c)-c -s -c -aO-We belasten de machine nu met een Iineaire impedantie, nl. de

serieschakeling van een spoel en een weerstand, zie figuur

3.5. In het frequentiedomein wordt deze impedantie voorgesteld

(3.19)

door

Z = R + jowoLu_ aO + L. L

uL_ bO + • L

u_ cO + L. L

Flq. 3.S:De s~etrlsch belaste onafhankelljk

bekrachtlqde synchrone machine.

UaO

' ubO

en ucO

zljn de nullastspannlnqen

van de statorfasen.

L en R vormen de Impedantle van des s

statorfasewlkkellnqen, voor ledere fase

qelljk.

R en L vormen de belastlnqslmpedantle.

Met een dergeIijke Iineaire belasting geIdt:Zon

ib(wot) = ia(wot-~)en

(3. 16a)

4 0 nic(wot) = ia(wot-~)dan voIgt door het oplossen van de vergeIijkingen

(3. 16b)

(3.18)

(3. 17a)

(3. 17b)

=1-a

11 = z o l-a --aQ = -z -1 + Q 0-a -s -a -ade fasor 1 .

-aWe vlnden voor 1 :-a

~Oz + z

-sia(t), ib(t) en ic(t) worden gevonden door:

30

(3.21)

(3.22)

(3.24)

door vergelljklngen (3.2) gegeven wordt, kan

ia(t) = Im{!aoejOwot} (3. 19a)

Ib (t) = Im{!aO~_ejOwot} (3. 19b)

l c (t) = Im{!a_~2oejOwot} (3.19c)

Nemen we als belastlng de kortslultlng, dus R=O en L=O, of

Z = 0 (3.20)

dan geldt voor 1 (t) met (3.17), (3.8a), (3.18a) en (3.19):a

[~OWOL ]

~i.k = arctan 2 Rs

s

Onder de aanname R «woL geldt:s swoLrsoIf. 1l 2oLrsoIf 1l

i (t) = -=-----osln(wot--) = osin(wot--)a ~owoL 2 3 0 Ls 22 s

Als R verwaarloosd kan worden t.o.v. woL dan is is s' aonafhankelljk van w en 11neair afhankelijk van If'

De kortsluitkarakteristieken werden bepaald. Er werd inderdaad

een 11nealr verband gevonden tussen i a en If volgens:

i a = bO + b10 I

f(3.23)

De term bO In deze ultdrukklng wordt veroorzaakt door het feit

dat blj If=O het aanwezlge remanent magnetlsme een spannlng

doet ontstaan zodat een stroom het gevolg ls. Deze term hadden

we niet verwacht (a prlorl nul gesteld) doordat we ervan ult

glngen dat remanent magnetlsme nlet voor zou komen. Nemen we

In ultdrukklng (3.26) aIleen de term mee dle 11nealr ls In If'

dan voIgt met (3.25):

2-L_ rsLs - 3-b

1Het model dat

nlet worden gebrulkt als de belastlng nlet-Ilnealr ls, zoals

het geval ls blj belastlng met een dlodebrug.

31

In appendix D, §D.4, zijn de algemene machinevergelijkingen

afgeleid. Deze blijken, onder de in §D.4 genoemde voorwaarden,

overeen te komen met de machinevergelijkingen welke

Hoeijaakers [14] presenteerde op de 'International Conference

on Electrical Machines' te MUnchen (1986). AIleen de door mij

gebruikte parktransformatie verschilt van die van Hoeijmakers.

Het ingewikkelde model dat op deze conferentie werd

gepresenteerd. diende als ui tgangspunt voor een eenvoudiger

model (zie [15]).

Dit eenvoudiger model ziet eruit als in figuur 3.6.

ea + Lc

+ Lc

Lc

ryyo.~--

Fig. 3.6: Het model voor de synchrone machine, dat

geldig is als de machine aan de

statorziJde met een diodebrug Mordt belast.

in di t schema geldt (wederom onderVoor de spanningsbron ea

verwaarlozing van R ):s die = weL e1 -sin(w-t) - (~-L - L )--!!

a rs f 2 s c dt(3.25)

(3.26)

component van i .a

we1alecos(wet-K-.l) uit (3.25)

- we (Ls-Lc)e1alecos(wet-K-.i)

+ W-(Ls-Lc)-1al-Sin(wet-K-·i-~)

Met i al de grondharmonische

Ais voor i al geldt

i al = 1a1 -sin(wet-K-·i )dial

dan vinden we met ar-- =ea = weLrse1fesln(wet)

= woLrse1fesin(wet)

32

i 'II'}- o(K+ +-) owotI wo(L -L )oi 0e J ~i 2 oeJseal(3.27)

e = woL 01 - Jowo(L -L )01 oe-Jo(K+~i)-a rs f s c al

Uit (3.26) voIgt de fasor

1 = 1 oe-Jo(K+~i)-al al

zodat met (3.28) geldt:

(3.28)

(3.29)

!a + Jowo(Ls-Lc)o.!al = wOLrsoIf (3.30)

In flguur 3.7 is het fasordiagram getekend dat met (3.30)

overeen komt. In deze flguur komt de fasor, welke met woLrs'I fwordt aangeduld, overeen met de nullastspanning van de

machine.

o

Flq. 3.7: Fa.ordlaqra. dat met (3.30) overeenkomt.

De spanning e kan niet worden gemeten; deze bevindt zich ina

het inwendige van de machine. Het verschll tussen e en dea

werkeliJke (= meetbare) spanning aan de klemmen van de machine

wordt opgevangen door L in het schema van figuur 3.6.c

Uit het fasordiagram van figuur 3.7 is de waarde van e te be-a

rekenen als w, If' L , L, L en~. bekend ziJn. Ult ders s c 1

33

flguur voIgt:

~CD = ~CA A ~DC =~BAC ~ ~ODC en ~BAC zijn gelijkvormigDan geldt: ~CBA = ~COD ~iVoor de rechthoekige driehoek AOAB geldt (stelling van

Pythagoras) :

OA2 = OB2 - AB2 C3.31alOnder gebruikmaking van de betrekkingen die voor rechthoekige

driehoeken gelden, voIgt voor AB en DC:

AB = CBocosCc!>i)DC = OA - CA =OA - CBosin(ft)Combinatie van vergelijkingen C3.31a)

/2 2 2 .

OC = OB - CB °cos C4>i) - CBosinCc!>t)De hoek K voIgt uit:

C3.31b)

C3.31c)

tim C3.31c) leidt tot:

C3.32a)

K =Met

arcsin( ~ )

Ie I = e en-a a

(CBocosC4>i) )

= arcs in -...,O=B=----

Ii 11 = i 1 voIgt tenslotte-a a

C3.32b)

Czie figuur 3.7);

woCL -L")oi °sinC4>.)s al 1

C3.33a)

(woCLs-L")oialocosC4>t) )

K = arcsin L I C3.33b)w· rs· f

Met de vergelljklngen C3.33) is de fasor e vastgelegd.-a

Uit flguur 3.7 lezen we de fasor e af. Met C3.27) vlnden we-a

voor e Ct) het volgende verband:a

e Ct) =e oslnCwot-K) (3.34)a a

In deze formule worden e en K vastgelegd door (3.33). De top-a

waarde van de grondharmonlsche component van de stroom 1 ,a

la1

, kan worden berekend m. b. v. een vervanglngsschema Czle

hoofdstuk 4).

34

4. De mutator.

4.1. De mutator met oneindig snelle commutatie en ideale

dioden.

In deze paragraaf zal de mutator worden besproken. De comrnuta-

tie-inductiviteit L (zie figuur 3.5) wordt aanvankelijkc

verwaarloosd (op nul gesteld).

We bespreken het circuit van figuur 4.1.

+eo i

01 03 05+ 0R

e 9_ b + i

b iug 9

e i tVb~J3' ••;nW_ c +c

-:*;-06°2f

04

II

f1q. 4.1: Het schema van het elektrlsch circuit

waarln de mutator, bestaande ult de dlo-

den 0 tIm 0 • Is opqenomen.1 6

In de vermogenselektronica is het gebruikelijk de stroom aan

de gelijkstroomzijde te begrenzen met een spoel i.p.v. met een

weerstand ter beperking van de verllezen. In de auto echter.

past men een dergelijke spoel niet toe. De eerste reden voor

di t fei t is dat er behoorlljk grote stromen kunnen vloeien.

waardoor de spoel groot (en dus duur) zou worden. De tweede

reden is dat de spanning aan de gelljkspanningszijde wordt

geregeld door de spanningsregelaar. die samen met de

weerstanden in het circuit zorgen voor de noodzakelijke

stroombegrenzing.

De dioden in het schema van figuur 4.1 worden ideaal

35

verondersteld. Wat hiermee wordt bedoeld, wordt duidelijk uit

figuur 4.2: als een diode geleidt (stroom voert), is de

spanning over die diode gelijk aan nul; als de spanning over

een diode negatief is, voert die diode geen stroom.

Fig. 4.2: De I-U-karakterlstlek van de ideale

diode.

Voor de wisselspanningsbronnen ea , eb en ec in het schema van

die

(4. lc)

(4.1b)

(4.1a)

Ingrootste.deeenslechts

figuur 4.1 geldt:

e = eosin(wot-K)a

eb

= eosin(wot-K-2;n). . ( t 4 o n)e c = eOSln wo -K-~

De spanning eb ijlt dus na op ea , ec ijlt na op eb.

Van de zes spanningsverschi lIen e -eb , e -e , eb-e , eb-e,a a c c ae -e en e -eb is er gedurende tijdsintervallen van eenc a cbepaalde lengte

tijdsintervallen (bepaald door een ondergrens, og, en een

bovengrens, bg) geleiden slechts twee dioden. Bijvoorbeeld: inn nhet tijdsinterval dat wordt bepaald door 6 < wot-K < 2 is het

spanningsverschil ea-eb het grootst. In dit geval geleiden de

dioden 01

en 04, De spanningen over deze (ideale) dioden zijn

dan nul, de spanningen over de overige dioden zijn negatief,

Op de momenten dat twee van de zes spanningsverschlllen aan

elkaar gelijk zijn, treedt een bijzondere situatie op: stel in

het bovenstaande voorbeeld namelijk dat e -e gelijk wordt aana c

ea-eb, Dan wordt de spanning over diode 06 gelijk aan nul en

36

deze diode kan in geleiding komen. Na di t bewuste tijdstip

geldt dat e -e groter is dan e -eb

, Er is nu een anderea c a

situatie ontstaan: diode 06 geleidt nu en diode 04 is gedoofd.

Het proces waarbij de belastingsstroom die eerst door een

diode vloeide, wordt overgenomen door een andere wordt

commutatie genoemd. Men spreekt - in di t geval - over het

commuteren van de stroom van diode 04 naar 06'

In de ideale situatie die we bespreken, geleiden steeds twee

dioden: 01 en ° 4, 01 en ° 6 , 03 en ° 6 , 03 en 0Z' 05 en 0z of

05 en 04'

Oe mutator kan dus in zes verschillende toestanden verkeren.

Oeze toestanden treden na elkaar op. We noemen de toestanden

resp. I, II, III, IV, V en VI en de resp. bijbehorende

tijdsintervallen ogI ~ w·t - K < bgI , ogII~ w·t - K < bgII ,

enz.

Tabel 4. 1 vat de deflni ties van deze toestanden en de

grenzen van de bijbehorende tijdsaintervallen samen.

Tabel 4.1: De verschillende toestanden van de mutator met de

qrenzen van

optreden,

de tlJdslntervallen waarln zlJ

dioden in geleiding grenzen interval

toestand bovenste onderste onder- boven-

mutator deel v.d, deel v.d. grens grens

brug brug

I °1 °4 ogI bgI

II °1 °6 ogII bgII

III °3 °6 ogIII bgIII

IV °3 °z ogIV bgIV

V °5 °2 ogv bgV

VI °5 °4 ogVI bgVI

31

Er kan bewezen worden dat geldt: nogl1 = ogl + 3' oglll =n n nogl1 + - enz. en ogll = ogl + 3' og111 = 0811 + 3' enz..3'We voeren nu In de spanningen

e = e - eb = v'3-e-sIn(w-t - K + !!J (4.2a)ab a 6e = e - e = v'3-e-sin(w-t - I' - !)ac a c 6

v'3-e-sIn(w-t n ~) (4.2b)= - I' + 6 3ebc = e - e = v'3-e-sIn(w-t - I' -

!)b c 2

v'3-e-sIn(w-t n'J[

(4.2c)= - I' + 6 - 2--)3-v'3-e-sin(w-t neba = eb - e = - I' + -)a 6v'3-e-sin(w-t n n) (4.2d)= - I' + - -

6

-v'3-e-sIn(w-t ne = e - e = - I' - -)ca c a 6v'3-e-sin(w-t n n (4.2e)= - I' + - - 4°-)6 3

-v'3-e-sin(w-t necb = e - eb = - I' - -)c 2v'3-eosln(w-t n

'J[(4.2[)= - I' + - - 5--)

6 3Voor de gelijkspanning U stellen we:aU = v'3-e-sInU;;) (4.3)aWe leggen

,

"\..n; -

I

i

,

U).t - Ie

'-~ rr

,./

F1q. 4.3: Enkele spannlnqen ult het clrcult van

flquur 4.1 met hlerln de deflnltle van de

091 en PgI voor leemtevrlJ bedrlJf.

Als 01 en 04 geleiden (toestand I), gelden voor het schema van

fig. 4,1 de volgende betrekkingen:

(4.6)

(4.Sb)

(4.Sa)

(4.4a)

(4.4b)

(4.4c)

(4.4d)

(4.4e)

(4.4f)

1g

Deze onge11jkhe1d vloe1t voort u1t het gegeven dat een d10de

u = e - ebg au = V + R ·ig a g gi = 1a gi b = -ig

e , eb, U , V , 1 , 1b en 1 u1t de verge-a g a a cl1jk1ngen (4.4) m.b.v. (4.2a) en (4.3), verkr1jgen we:

19

= v~~e.{s1n(w.t-K+~) - Sin«)}ogl $ W·t-K $ bglVoor 1 geldt verder de onge11jkhe1dg

i?: 0

i = 0cogl ~ W·t-K ~ bg lNa e11m1nat1e van

de stroom slechts 1n een r1cht1ng gele1dt.

De grenzen van het t1jds1nterval gedurende hetwelk de d10den

D1 en D4 gele1den, og1 en bg1, hangen af van Va' In het geval

dat 1n flguur 4.3 1s getekend, heeft d1 t tljds1nterval de

39

maximale lengte. De grenzen van di t interval worden in di t

geval bepaald door:

ecb (ogl) =eab(bgI ) =bgI > ogl

Oplossing

tot:

van (4.7) in het tijdsinterval 0 s wot-K S

(4.7a)

(4.7b)

(4.7c)

It leidt

_ Itogl - (; (4.8a)

(4.9)

(4.8b)

het tijd-

voIgt uit (4.9) met (4.2a), (4.3) en (4.4b):

(4.10)

niet onderbroken stroom i in degtijd leemtevrij bedrijf; het geval waarin de stroom i ggedurende bepaalde tijdsintervallen nul is, wordt leemtebe-

Itbg1 =ZAls geldt dat U groter is dan de waarde van e b op

a astip wot-K = ~. dan wordt ogl groter en bg

1kleiner.

De vergelijkingen (4.8) gelden dus voor:

Use I Ita ab wot-K-6

Na enig rekenwerkIto S l;; S 3

We noemen het geval van een

drijf genoemd.

Uit (4.10) vinden we:

leemtevrij bedrijf: 0 S l;; ItS 3 (4. lla)

It It3sl;;sZ (4.11b)

leemtebedrijf kan worden berekend dat geldt:

(4.12a)

leemtebedrijf:

In het geval van

ogl = l;; - ~S°lt~ - l;; (4. 12b)

eerder werd opgemerkt, kan worden aangetoond dat geldtIt It

ogll =ogl + 3 en bg11 =bg1 + 3' AIleen in leemtevrij bedrijfgeldt dat de intervallen (ogrbgl)' (ogII,bgII ) enz. op elkaar

aansluiten, of: ogll = bgI , oglll = bg11 enz.De gegevens worden nog eens samengevat in tabel 4.2.

bg1 =Zoals

40

Tabel 4.2: De verschlilende toestanden van de autator met de

tlJdslntervallen waarln zlJ optreden voor zowel

leemtevrlJ - als leeatebedrJJF.

grenzen interval

toestand geleidende leemtevrij leemtebedrijf

mutator dioden bedrijf

onder- boven- onder- boven-grens grens grens grens

I °1 °4n n < - n Son -

Tabel 4.3: De spannlng Ug

en de stro.en la' lb en lc In arhan-

kelljkheld van de toestand van de .utator.

t1jds1nterval

toestand u 1 1b 1(z1e tabel 4.2)g a c

mutator onder- boven-

grens grens

I e ab 1 -1 0 ogI bgIg g

II e 1 0 -1 ogl1 bgl1ac g g

III ebc 0 1 -1 ogII1 bgIIIg g

IV eba-i 1 0 ogIV bgIVg g

V e -1 0 1 ogv bgVca g g

VI e cb 0 -i i g ogVI bgVI"g

In f1guur 4.4 1s de stroom i getekend voor zowel leemtevrij -g

als leemtebedr1jf van de mutator.

42

t..' t"-"-t-~ ---l__-r- ~tu. - Ie

a) b)

" t· t::.

"-c-i·/C

Fig. 4.4: De spannlngen e ,e I e en Uab cb ac b

en de

(4.l4a)

stromen 1 en 1 t 1 jdens 1eemtevr 1 jg a

bedrljf (a) en tljdens leemtebedrljf van

de mutator (b).

De spanningen ea , eb en ec in figuur 4.1 stellen de

fasewikkelingsspanningen van de synchrone machine voor. De

amplituden van deze spanningen zijn afhankelijk van de

grondharmonische componenten, i al , i bl en i cl ' van de resp.

fasewikkelingsstromen, i, i b en i . 20 is de spanning ea c aafhankelijk van de grondharmonische component van de

fasewikkelingsstroom i a , ial' Tijdens leemtevrij bedrijf geldt

voor deze component, zie appendix E:

ial(t) = ialesin(wet-K)met

i al = ~::ge{; + ~eY3 - 2esin(~) } (4.l4b)

o :S ~ :S !! (4.l4c)3

De symmetrie van de schakeling (en ook de informatie in tabel

43

C4.i6a)

(4.15a)

(4.15a)

e en 1 R dan geldt:ai -nl,leemtevrlj'

4.3) zegt ons dat geldt:Zon

lbl(wot) = lal(wot-~)4 0 '11'

lcl(wot) = laiCwot-~)Noemen we het quotlent van

noR'bi,leemtevrlj = ~o-n-"""':"i-_i -

3 + 2oY3 - 20s1n«)met

o s

bgl

U =~oJe (wot-K)od(wot-K) (4.18)g n ab

og1

Met (4.2a) en de gegevens in tabel 4.2 voIgt voor de

gemlddelde waarden van de geliJkgerichte spanning tiJdens

leemtevrlj - en leemtebedrijf, u I resp. u I :g, . g, .v.- 6°v'3 n nu = --oeocos(~), - s ~ s - (4.19a)g,1. n 3 2

3°v'3 _ nu = - ...-oe, 0 s ~ s -3 (4. 19b)g, 1. v. ..Ais de mutator wordt belast met een stroombron lb' heeft de

stroom i het verloop als aangegeven in figuur 4.6.a

Flq 4.6: Het verloop van de stroom 1, als dea

mutator wordt belast met een stroombron I .b

In dit geval wordt de grondharmonische component van de stroom

i , i 1 ,gegeven door:a a ,s2°v'3° lb

i = (4.20)al,s n

4.2. De mutator met oneindig snelle commutatie en niet-ideale

dioden.

De werkelijke karakteristiek van een diode zal in deze

paragraaf worden benaderd met een stuksgewijs lineaire, zoals

in figuur 4.6 is gelilustreerd.

45

t(1)

10""00

""0

(1)..r:()C/)

c..r:()

l(l)+J v-

UT

stu ksgewijs

benaderende

karakteristiek

UoFig. 4.7: De werkellJke dlodekarakterlstlek en de

stuksgewlJs llnealr benaderende dlodeka-

rakterlstlek.

De stuksgewiJs lineair benaderende diodekarakteristiek wordt

gekenmerkt door twee getallen: de drempelspanning, uT' en de

diodeweerstand, ~ (zie figuur 4.7). Men kan deze

karakteristiek ontstaan denken uit de som van de

karakteristieken van

1) een ideale diode

2) een ideale spanningsbron (geen inwendige weerstand)

3) een weerstand (zuiver ohmse impedantie)

Het vervangingsschema van de technische diode komt hiermee op

dat van figuur 4.8.

+

Fig. 4.8: Een verv&nglngsscheaa voor de technlsche

diode. De diode In dlt sche.. Is een

Ideale diode aet een karakterlstlek als

In (lquur 4.2.

In het vervolg zullen we de dioden die met de kathode aan de

46

plus-rail van het gelljkstroomclrcult vast zltten, aandulden

met 'plusdloden'. Met 'mlndloden' bedoelen we die dloden

waarvan de anoden verbonden zljn met de min-rail van het

gellJkstroomclrcult. In flguur 4.1 zljn de dloden °1, 03 en 05dus plusdloden; dloden °2, 04 en 06 zljn mlndloden.We veronderstellen nu dat de plusdloden onderllng dezelfde

karakterlstlek hebben. Dezelfde aanname wordt voor de

wordt gekenmerkt+Ill, de

mlndloden gemaakt. De plusdlodekarakterlstlek+door resp. de drempelspannlng uT

en de dlodeweerstand

mlndlodekarakterlstlek door resp. ~ en ~.

In het geval van onelndig snelle commutatie gelelden steeds

twee dloden: een plusdlode en een mlndlode. In sltuatie I (zie

§ 4.1) geldt bljvoorbeeld het schema van figuur 4.9.

R9

+·ob

OJ,

RDu

b

Flq. 4.9: Met schema van het systeem ult flq. 4.1

voor sltuatle I (zle tabel 4.1, § 4.1)

.et hlerln het model van de technlsche

diode ult flq. 4.8.

Voor de sltuatles II tIm VI kunnen soortgelljke schema's

worden opgesteld. We zlen dat de gelljkspannlngsbron U ui ta§ 4.1 nu vervangen moet worden door de bron

+ -U~ = Ua + Ur + Ur (4.21a)en de weerstand R door

g+ -

R~ = Rg + III + III (4.21b)

47

Noemen we -analoog aan de formulering in § 4.1, formule (4.3)-

U' = v3'e'sinU:' ) (4.22)adan volgen met de theorie ui t § 4.1 voor de weerstanden

R' en R' de b t kklv1,leemtevrij v1.leemte e re ngen

R'v1,leemtevrij"'R'= __g._----:,.....-_l _

3 n 13 + Z'V3 - 2'sin(~' )(4.23a)

(4.23b)

R'v1.leemte

~ ~ ~' s ~3 2

(4. 23c)

(4.23d)

4.3. De niet oneindig snel commuterende mutator met niet-ide-

ale dioden.

4.3.1. Inleiding.

In de vorige twee paragrafen werd het principe van de mutator

zoals deze in het elektrische systeem van een auto voorkomt,

beschreven.

In deze paragraaf wordt de werkel1jkheid beter benaderd: de

invloed van de in hoofdstuk 3, figuur 3.6, ingevoerde

commutatie-inductiviteit L , zal nu worden bekeken.cIn § 4.1 vonden we, dat de mutator zich in zes toestanden kon

bevinden: de overgang van een toestand naar een andere yond in

een zeer klein (te verwaarlozen) tiJdsval plaats. Met een

spoel opgenomen in serie met de spanningsbronnen e , eb en ea cin figuur 4. I, wordt de stroomovername van bijvoorbeeld DSnaar D1 vertraagd. D1 t komt enerzijds doordat de stroom-

voerende spoel de stroom 'doordrukt', anderziJds houdt de

spoel die nog geen stroom voert de hierin opkomende stroom

tegen.

48

Dit heeft als gevolg dat, als bijv. D3 in geleiding komt, Dlnog niet is gedoofd, d. w. z. D

lnog stroom voert. Ditzelfde

effect treedt natuurlijk ook op bij de andere toestandsover-

gangen. In plaats van de zes toestanden die eerder werden

beschreven, hebben we nu twaalf toestanden; er zijn zes

overgangstoestanden bij gekomen.

Deze toestanden treden aIleen op bij leemtevrij bedrijf van de

mutator, immers: tijdens leemtebedrijf is er een duidelijk

onderscheid tussen de verschillende toestanden (de stroom aan

de gelijkstroomkant wordt even nul, dus ook die door aIle

dioden) .

4.3.2. De werking van de mutator bij eindig snelle commutatie.

Om het principe van de werking van de mutator in di t geval

onder de knie te krijgen, wordt de situatie besproken, waarbij

de mutator aan de gelijkstroomzijde wordt belast met een bron

van constante stroom, zie figuur 4. 10.

Opgemerkt moet worden dat deze situatie niet in de auto

voorkomt: in het elektrische systeem in de auto wordt de

stroom begrensd door weerstanden. Een spoel komt in het

gelijkstroomcircuit niet voor; de stroom aan de gelijkstroom-

zijde is dan ook geen zuivere gelijkstroom, maar een

pulsvormige, zie bijv. figuur 4.4.

Dat de gelijkrichter met deze belasting wordt besproken, heeft

de volgende redenen:

1) de werking van de gelijkrichter is in deze si tuatie vrij

eenvoudig te begrijpen;

2) bij de bepaling van de parameter L werd de hoofdbrug (ziec

hoofdstuk 5) belast met een spoel, zodat de stroom aan de

geliJkstroomzijde weI een zuivere gelijkstroom was.

49

eo iL °1 °3 °5+ c0

e L_ b + ib

c1I g~

ei

L- c + cc

°2 °4 °6

Fig. 4.10: De nlet-ldeaal co_uterende gel 1 jkrlch-

terbrug, belast met een Btroombron met

conBtante bronstroom.

(nlet representatlef voor het Bysteem In

de auto).

In figuur 4.11 zijn enkele spannings- en stroomvormen

getekend, die optreden in het circuit van figuur 4.10.

so

-

l 'I I I I I I'1 ~ L ': Or I I 0, II OJ I~I-~---+.z~--~II-~IID~ ~ r-Da.

I II II,· -+-......-1-..... I

(or, 'l---~""""'---r++-------+---

-1, iII

J;.'OT

-X,IIII

I

r,. . -1 III"l

- ~lI lit

1 II III I I 'I

~, I(~

I I I

-I1I I II lorI I

t r t 1ftllrt If ..I

lJ..% :r-olt Jf..IU ir.."ifI

......__.I,ct

o IFlq 4.11: De exclterende apannlnqen. enkele dlode-

atr~n en de f.aevlkkellnqaatroa. I die•

In bet circuit van flquur 4.10 optreden.

We zijn geinteresseerd in een beschrijving van het verloop van

een fasewikkelingsstroom als functie van de tijd. Als we deze

beschrijving eenmaal hebben gevonden. kan hieruit de

grondharmonische component worden berekend. Deze hebben we

51

nodig bij de berekening van de spanningen e , eb en e alsa cfunctie van de tijd (zie hoofdstuk 3).

We recapituleren de relaties die bestaan tussen de

fasewikkelingsstromen la' I b en Ie (deze volgen uit de

symmetrie van de machine en ui t de symmetrle van de belas-

= 1 (w-t _ 2-n)a 3

1 (w-t) = 1 (w-t _ 4-n)c a 3

In figuur 4.11 zien we dat

i (w-t + n) = -i (w·t)a a

ook geldt:

(4.24a)

(4.24b)

(4.25)

Het is eenvoudig in te zien dat relatie (4.25) moet gelden:

bij de overgang van toestand VI naar toestand I (DS' D4 en D1geleiden), is i positief. Het moment waarop deze

aovergangstoestand (VI~I) begint, is precies dat moment waarop

in de ideale situatie D1 begint te geleiden. Ook nu begint D1op dit moment te geleiden. Het verschil tussen deze situatie

en de ideale bestaat er aIleen in dat D1 niet meteen na de

stroomovername de volle belastingsstroom voert. Omdat de

dioden aIle dezelfde karakteristiek hebben, geldt dat iedere

overgangstoestand op hetzelfde moment aanvangt als in de

ideale si tuatie de commutatie van de overeenkomstige dioden

plaatsvindt; eenvoudiger gezegd: de overgangstoestand I~II

begint op het moment dat in de ideale si tuatie diode D6

in

gelelding komt. Overgangstoestand II~III begint op het moment

waarop In de Ideale sltuatle diode 03 In geleidlng komt, enz.

Er zlj op deze plaats nogmaals opgemerkt dat de vergelijking

van de aanvangsmomenten boven aIleen geldt voor leemtevrij

bedrljf.

De duur van de overgangstoestanden 15 vanwege de symmetrle

voor aIle overgangstoestanden gelljk. De lengte van dlt commu-

tat Ie-Interval noemen we At , de lengte In radialen 15 ~ . Erc c

52

geldt de relatle

wol1t c = IJc(4.26)

Met behulp van deze 1nformatle kan men nu tabel 4.4 samenstel-

len, waar1n de toestanden zljn vermeld met de t1jds1ntervallen

waar1n deze toestanden geld1g zlJn (zle ook f1guur 4.11).

label 4.4: De toe.tanden die kunnen optreden blJ elndlq snelle

ca.-utatle van de .utator.

d10den 1n gele1d1ng grenzen tljds1nterval

toestand van bovenste onderste wot-/C

de mutator deel v.d. deel v.d. onder- boven-

brug brug grens grens

VI °5 °4-n n6 + IJ 6c

VI-?I ° 5 ,°1 °41t n6 6 + IJc

I °1 °41t n6 + IJ 2c

I-?II °1 ° 4,°61t n2 2 + IJc

II °1 °61t Son- + IJ 62 c

II-?III ° 1,°3 °6Son Son6 6 + IJc

III °3 °6Son 7 0 n6 + IJ 6c

II I-?IV °3 ° 6 ,°27·n 7 0 n6 6 + IJc

IV °3 °27 0 n 3 0 n6"" + IJ 2c

IV~V °3'°5 °23 0 n 3 0 n

+ IJ2 2 cV °5 °2

3 0 n llon2 + IJ -6-c

V~VI °5 °2'°4llon llon

+ IJ-6- -6- c

U1 t deze tabel (en ook ult f1guur 4.11 ) lezen we af dat het

gele1dlngslnterval (in rad1alen) van een d10de met JLc ls

toegenomen Lo.v. dat 1n de Ideale sltuatle b1j leemtevr1j

bedrljf.

53

4.3.4. Berekening van bet tijdsverloop van de fasewikke-

lingsstroolll i .a

Zoals in § 4.3.2, formule (4.25), al werd opgemerkt, is het

voldoende het verloop van de fasewikkellngsstroom i in heta

tijdsinterval 0 ~ wo t - fC < 7( te berekenen: deze stroom is

immers periodiek met periode 2 0 7( en er geldt relatie (4.25).

dat de fasewikkellngs-5°7(

+ ~c swot - fC < ~ de con-

7(~ wet - fC < 6 + ~c geldt het circuit

de schakeling is z6 getekend, dat er

ua flguur 4.11 en tabel 4.4 blljkt7(

stroom i a in het tiJdsinterval 6stante waarde I heeft.

g 7(In het tijdsinterval 6van figuur 4.12 (let op:

geen kruisende liJnen in voorkomen).

FIV· •• 12: De achakellnv die hoort blj de oyer-

vanvatoeatand VI~I van de autator.7( 7(

(- S WO t - fC < - + ~ )6 6 c

Voor deze schakeling kunnen we bet volgende stelsel

vergelijkingen noteren:di + +

ea - Lco d/ - Ur - iao~ = ec (4.27a)

54

i + i = 1a c gi b = -lgAls beginwaarden treden op:

(4.27b)

(4.27c)

(4.28)

(4.27g)

(4.27d)

(4.27e)

(4.27f)

i = 0ai b = -lgi = 1c gAls begintijdstip geldt

nwet - fC = '6Eliminatie van i uit vergeliJkingen (4.27a) en (4.27b) levert

cde volgende differentiaalvergeliJking voor i :

di a2 0 L o--! + 2o~oi = e - e + 1 o~ = e + 1 o~c d t --D a a c g -lJ ac g -lJmet de beginwaarde i = 0 (zie 4.27d) en geldig voor de tijd-anstippen wet - fC ~ '6 (zie ook 4.27g).Voor e vonden we, zie de uitdrukking (4.2b) in § 4.1:ac

eac = '3oeosin(wot - fC + ~ - j) (4.2b)nNoemen we nu wet - fC - '6 = x, dan gaat (4.28) met (4.2b) over

in:di

2owoLc°dxa + 2o~oia = '3oeosin(x) + +1 oR..- x ~ 0g -lJ 'i a (x) Ix=O = 0

(4.29)

(De deflni tie van x wi I in fei te niets anders zeggen dan dat

we het

interval

referentietijdstip

hebben verplaatst.

near het begin

Het tijdstip wet

van het

n- fC =

6+ JJ. komt

cop de nieuwe tl jdas overeen .et x = JJ. ).

c

Met behulp van de laplace-transformatie vinden we (we passen

de techniek van het splitsen in partHHe breuken toe), zie

appendix I:

i (x)a

-x

'3oe 1 { T= __0 ° T 0e x2.~ 1 + T~ X

- T °cos(x)x

55

+ SlD[Xl} +

(4.30a)

waarlnCol°Lc

T =xl(

x = Col°t - IC - 6o ::5 X < IlcIn het tljdslnterval

cuit van figuur 4.13

(4.30b)

(4.30c)

(4.30d)SOl( SOl(~ ::5 Col°t - IC < ~ + ~c geldt het clr-

(zie figuren 4.11 en 4.1 en tabel 4.4) .

'.....

..IA T

~c

_ .-.. !AT

FlQ. 4.13: De Bchakellnq die boorl blJ de over-

QanQBloesland 11-+111 van de .ut.alor.SOl( SOl((- S ColO l - IC < -- + Il )

6 6 c

Veer deze schakellng kunnen we het velgende stelsel

vergelijkingen neteren:dia + + dib + +

ea - Lco dt - ~ - lao~ = eb - Lcodt - ~ - ibo~ (4.31a)

56

i + i = 1a b gie = -IgAls beglnwaarden

i = 1a gi b = 0

i = -Ie g

(4.31b)

(4.31e)

treden nu op, zie figuur 4.11 en tabel 4.3:

(4.31d)

(4.31e)

(4. 31f)

Eliminatie van ib

ui t de vergelijkingen (4.31a)

levert de volgende differentiaalvergelijking voorSon Son

op het tijdsinterval ---6 ~ wet - K < ---6 + ~ :di e

2 0 L o--! + 2oiao~e dt -1)

met als beginwaarde:

i = 1a gen geldig op intervalSon Son~ ~ wet - K < ~ + ~e

en (4.31b)

i , geldiga

(4.32a)

(4.32b)

(4.32e)

(De laatste gelijkheid in (4.32a) werd verkregen m.b.v.

(4. 2a) ).

SonNoemen we in dit geval x = wet - K - ~' dan vinden we alsoplossing van de

TX

vergelijkingen-x

-'3 o e 1 { TX= __0 ° T 0e+ 2 x

2o~ 1 + TX

woLe=--

(4.32) :

-x

+ I~.{l + e TX} (4.33.)

(4. 33b)

Sonx =wet - K - ~o $ X < ~c

S7

(4.33e)

(4.33d)

Dlt re.ultaat I. loql8ch: heeft In dlt tl jd.lnterval nl.

hetze I fde ver loop al. I even daarvoor.a

Bovendlen qeldt I = I - I •a q b

(4.34a)

Noemen we x = w·t - K - ~, dan voIgt uit de voorgaande con-de waarde I heeft in het tijdsinterval

gstatering dat

! $ w·t - K <6

i (x) = Ia g

nx = w·t - K - 6 (4. 34b)

2·no $ x < ""3 (4.34c)Het tijdsverloop van i is nu bekend middels de vergeIijkingena( 4. 30 ) , (4. 33) en (4. 34).

Uit dit tijdsverloop kan nu de grondharmonische component van

i a , i al , worden berekend. Deze berekening is in appendix I

uitgevoerd.

S8

5. Het elektrische systeem in een auto.

5.1. Inleiding.

In dit hoofdstuk wordt het totale elektrische systeem van een

auto besproken. Er wordt eenvoudig begonnen: eerst wordt het

systeem beschreven als de belastingsstromen in een oneindig

klein tijdsinterval van een diode in de gelijkrichters

overgaat naar een andere, later worden de vergelijkingen

gegeven die de werkelijkheid beter benaderen.

Het doel van de beschouwing van dit eenvoudige (niet

realistische!) systeem is de lezer erop attent te maken welke

moeilijkheden moeten worden overwonnen bij de berekening van

de spanningen en stromen die in het echte systeem optreden. De

vergelijkingen welke de werkelijkheid beter benaderen geven

weinig inzicht wat dit laatste betreft.

Aan de orde komen ook de koppe1ingen van de generator met de

overige componenten in het systeem.

Het oneindig sne1 commuterende systeem noemen we ideaal, ze1fs

a1s de dioden niet de idea1e diodekarakteristiek hebben.

Het e1ektrische systeem in een auto bestaat ruwweg ui t drie

b1okken, t.w. de generator, de accu en de verbruikers. Wanneer

men het systeem wat nauwkeuriger bekijkt, dan b1ijkt de

generator verscheidene e1ementen te bevatten, n1. 1) een

synchrone machine, waarvan de door een 2} (hoofd}brugmutator

gelijkgerichte spanning gerege1d wordt door een

3) spanningsrege1aar, die op zijn beurt wordt gevoed met de

door een 4) (veld)brugmutator gelijkgerichte spanning van de

synchrone machine.

De ve1dbrug en de hoofdgelijkrichterbrug zijn beide

driefasenbrugge1ijkrichters (niet-stuurbare driefasen brugmu-

tatoren), gerealiseerd met slechts negen dioden; de mindioden

van de hoofdbrug worden ook gebruikt voor de ve1dbrug.

In figuur 5.1 is een b10kschema getekend, dat de verschi11ende

59

blokken laat z1en.

2 Ihoofdbrug + v

1 synchrone verbrui

~.U

Ilach1ne i g kers!-

veldbrug U Ia a4 - +

I accu I

I I •~9aO---- 3 spannings-~9sregelaar

Fig. 5.1: Een blokschema van het elektrische

systeem in een auto met hierln de

belangrijkste component en, Ingangen en

ul tgangen.

Als 1ngangen treden de volgende grootheden op:

n toerental van de synchrone mach1ne

BaO omgev1ngstemperatuur van de accu

B temperatuur van de spann1ngsregelaars

Men 1s geYnteresseerd in de grootheden:

U de (gem1ddeld) ge11Jkger1chte spann1ng aan de klemmen vangde generator

U de spann1ng aan de klemmen van de accua

I de stroom d1e de accu u1t komt b1J de pos1t1eve klema

Iv de stroom d1e aan de verbru1kers geleverd wordt

5.2. Modellering van de blokken in het elektrische systeem bij

oneindig snelle commutatie.

5.2.1 Hodel van de accu.

Het model van de accu wordt beschreven In hoofdstuk 2. Daar de

spann1ng aan de accuklemmen 'langzaam' verandert, mag 1n d1t

hoofdstuk de accuspann1ng als constant worden beschouwd.

Met het 'langzaam' veranderen van de accuspann1ng wordt h1er

60

bedoeid dat de accuspanning (nagenoeg) constant verondersteid

wordt gedurende het tljdsinterval waarin twee dioden van de

hoofdbrug geleiden.

Voor de maximale waarde van dit tijdsinterval, dt kan deg,max'volgende betrekking worden genoteerd:dt 'I( 5 (5.1)

g,max = 3 0 w = 3 0 nmin nwaarbij gebruik is gemaakt van de relaties: w = 2 0'1(0-- en w =

m 60pow (zie hoofdstuk 3, (3. 1d». In deze ultdrukking wordt

mdt gegeven in seconden en n i in rotatles per minuutg,max m n(rpm); p is het poolpaartal (dimensieIoos).

Bij n i = 2000 rpm is dt = 0,8 ms.m n g,maxModelleren we een accu met een nominale capaciteit ~ van 36

Ah en een nominale spanning UN van 12 V even ais een

condensator CA van 120 F (Arbeitskapazitit, zie theorie

hoofdstuk 2 en tabel in appendix A), dan voIgt dat in di t

tljdsinterval bij een maximaal door de generator te leveren

stroom I van 70 A , de accuspanning toeneemt metgen,maxI edt -3

du = gen,max g,max = 70 0 0,8 0 10 = 0 5 Vaccu C

A120 ' m

Er zij opgemerkt dat over een grotere tijdspanne (enkele

tlenden van een seconde) de accuspanning niet meer constant

mag worden gezien.

5.2.2. Model van de synchrone machine.

Voor het model van de synchrone machine zij verwezen naar

hoofdstuk 3. Bij oneindig snelle commutatie geldt (3.33) met

Lc = O.

5.2.3. Model van de spanningsre,elaar.

De spann1ngsregelaar 1s een chopper. Een chopper is een

vermogenselektron1sche omzetter die een gel1jkspanning omzet

in een andere gelijkspanning d.m.v. het resp. periodiek

verb1nden en afschakelen van de belastlng met resp. van de

61

.'2

voedende gelijkspanningsbron.

Het principeschema van de chopper is geschetst in figuur 5.2.

i 1 S+ O,--~)----,/_---_..rYY'\...-""""+----'

o

Fig. 5.2: Het prlnclpesche.a van de spannlngsrege-

laar.

De schakelaar 5 is gesloten in het tijdsinterval 0 < t < o-T.

In dit tijdsinterval is de belasting, bestaande uit de

serieschakeling van Rf en Lf , verbonden met de voedende

spanning VI' In het tljdsinterval 0- t < t < T is 5 open. De

stroom i 2 kan in dit tijdsinterval via diode D verder vloeien

(vrijlopen) .

We veronderstellen de schakelaar 5 (ultgevoerd als darlington-

transistor) en de diode D ideaal, hoewel dit voor een

darlington eigenlijk niet mag (als de transistor geleidt, valt

over de collector-emi tter-overgang nl. een spanning van ca.

1,5 V).

Op tijdstip t = 0 heeft i 2 de waarde 12 (0). Werkt de chopperin leemtevrlj bedrijf, dan kunnen de volgende dlfferentlaal-

vergelljklngen worden genoteerd:

o < t < o-T: 11 = 12 di2R -I + Lf -dt = VIf 2o-T < t < T: 1 = 01 d12R -I + L --- = 0f 2 f dtWe definleren de tij