C 38 Festigkeitslehre – C5 Flächentragwerke

C5 Flächentragwerke

J. Lackmann, Berlin; J. Villwock, Berlin

C5.1 Platten

Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h klein zur Flä-chenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist,ergibt sich mit der Flächenbelastung p(x, y) und der Plattenstei-figkeit N DEh3=Œ12.1��2/� für die Durchbiegungen w.x;y/

die Bipotentialgleichung

��w D @4w

dx4C2

@4w

@x2 @y2C @4w

@y4D p.x; y/

N: (1)

Die Biegemomente Mx und My sowie das TorsionsmomentMxy folgen aus

Mx D�N

�@2 w

@x2C�

@2 w

@y2

�;

My D�N

�@2 w

@y2C�

@2 w

@x2

�;

Mxy D�.1��/N@2 w

@x @y:

(2)

Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite er-geben sich aus

�x D Mx

W; �y D My

W; � D Mxy

W; (3)

wobei das Widerstandsmoment W D h2=6 ist. Bei rotati-onssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w D w.r/, undGl. (1) geht in die gewöhnliche Euler’sche Differentialglei-chung

w0000.r/C 2

rw000.r/� 1

r2w00.r/C 1

r3w0.r/D p.r/

N(4)

über. Ferner gilt

Mr D�N�w00 C �

rw0�; Mt D�N

��w00 C 1

rw0

�; (5)

�r D Mr

W; �t D Mt

Wmit W D h2

6: (6)

Torsionsmomente treten wegen der Rotationssymmetrie nichtauf. Im Folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse für ver-schiedene Plattentypen zusammengestellt (Querdehnungszahl� D0;3).

C5.1.1 Rechteckplatten

Gleichmäßig belastete Platte (Bild 1)Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalenSpannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf:

�x Dc1

pb2

h2; �y Dc2

pb2

h2; f Dc3

pb4

Eh3: (7)

In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkräfte F Dc4pb2,die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 1).

Bild 1. Rechteckplatte

p(x,y)

x

yz

b

a

Bild 2. Gelenkig gelagerte Rechteckplatte

Für eine allgemeine Belastung p(x,y) (Bild 2) existierenNäherungslösungen für die ringsum gelenkig gelagerte Recht-eckplatte (Kantenlängen a und b). Hierzu wird für die Durch-biegung und die äußere Flächenlast jeweils eine FourierscheDoppelreihe angesetzt:

w.x;y/D1X

mD1

1XnD1

wmn sin� m�x

a

�sin

� n�y

ab

�

(erfüllt die Randbedingungen) bzw.

p.x;y/D1X

mD1

1XnD1

pmn sin� m�x

a

�sin

� n�y

ab

�

mit

pmn D 4

ab

aZxD0

bZyD0

p.x;y/sin� m�x

a

�sin

� n�y

b

�dy dx;

m;nD1;2;3;:::

in Gl. (1) eingesetzt und über Koeffizientenvergleich die Fou-rierkoeffizienten wmn bestimmt:

wmn D pmn

N��

m�a

�2 �n�ab

�2�2

; m;nD1;2;3;:::

Für die quadratische Platte (Kantenlänge a) mit Einzellast inder Mitte gilt [8]

pmn D 4F

a2sin

� m�

2

�sin

� n�

2

�; m;nD1;2;3;:::

Dabei ist für kleine Belastungsflächen und insbesondere beiAngriff von Einzellasten darauf zu achten, dass die Kon-vergenz, inbesondere für die aus der Durchbiegung w(x,y)abgeleiteten Reihen der Querkräfte und Momente, schlecht ist.So findet sich für die Einzelkraft keine konvergente Lösung fürdie Schnittlasten.

Tabelle 1. Faktoren c1–c5 in Abhängigkeit von a=b

Gelenkig gelagerte Platte Ringsum eingespannte Platte

a=b c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c5

1,0 1,15 1,15 0,71 0,26 0,53 0,53 0,225 1,24

1,5 1,20 1,95 1,35 0,34 0,48 0,88 0,394 1,82

2,0 1,11 2,44 1,77 0,37 0,31 0,94 0,431 1,92

3,0 0,97 2,85 2,14 0,37 — — — —

4,0 0,92 2,96 2,24 0,38 — — — —

1 0,90 3,00 2,28 0,38 0,30 1,00 0,455 2,00

K.-H. Grote, J. Feldhusen (Hrsg.), Dubbel, 24. Aufl., DOI 10.1007/978-3-642-38891-0_15, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

C5.1 Platten C 39

C

Bild 3. Platte auf Einzelstützen

Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen undDurchbiegungen in Plattenmitte nach Gl. (7) treten maximaleBiegespannungen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Wertes. Tab. 1):

�y Dc5

pb2

h2; zugehörig �x D0;3�y :

Abhebende Auflagerkräfte in den Ecken in Form von Einzel-kräften treten nicht auf. Ausführliche Darstellung aller Schnitt-lasten und Auflagerreaktionen in [4, 7].

Gleichmäßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte aufEinzelstützen (Bild 3). Mit der Stützkraft F D4a2p sowie2b �h ergibt sich für Spannungen und Durchbiegungen

�xA D�yA D0;861pa2

h2;

�xB D�yB D�0;62F Œln.a=b/�0;12�

h2;

fA D0;092pa4

N; fC D0;069

pa4

N:

C5.1.2 Kreisplatten

Gleichmäßig belastete Platte

Gelenkig gelagerter Rand (Bild 4 a). Die maximalen Span-nungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: �r D�t D1;24 �pR2=h2, f D0;696 �pR4=.E h3/.

Eingespannter Rand. In der Mitte

�r D�t D0;488pR2

h2; f D0;171

pR4

E h3I

am Rand

�r D0;75pR2

h2; �t D��r D0;225

pR2

h2:

Bild 4. Flächenlast (a) und Einzellast (b)

Platte mit Einzellast (Bild 4 b)

Für eine Kraft F D  b2p in der Mitte, die gleichmäßig aufeiner Kreisfläche vom Radius b verteilt ist, gilt bei:gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durch-biegung treten in der Mitte auf

�r D�t D1;95

�b

R

�2"

0;77�0;135

�b

R

�2

� ln

�b

R

�#pR2

h2;

f D0;682

�b

R

�2"

2;54��

b

R

�2 �1;52� ln

�b

R

��#pR4

Eh3I

eingespanntem Rand: In der Mitte

�r D�t D1;95

�b

R

�2"

0;25

�b

R

�2

� ln

�b

R

�#pR2

h2;

f D0;682

�b

R

�2"

1��

b

R

�2 �0;75� ln

�b

R

��#pR4

Eh3I

am Rand

�r D�0;75

�b

R

�2"

2��

b

R

�2#

pR2

h2; �t D��r :

Weitere ausführliche Ergebnisse für Kreis- und Kreisringplat-ten unter verschiedenen Belastungen in [5].

C5.1.3 Elliptische Platten

Gleichmäßig mit p belastetHalbachsen a>b (a in x-, b in y-Richtung).

Gelenkig gelagerter Rand: Maximale Biegespannung in derMitte

�y ��

3;24� 2b

a

�pb2

h2:

Eingespannter Rand: Mit c1 D 8=�3C2.b=a/2 C3.b=a/4

gilt in der Mitte

�x D3c1 pb2 .b=a/2 C0;3

8h2;

�y D3c1 pb2 1C0;3 .b=a/2

8h2;

f D0;171 c1

pb4

E h3I

am Ende der kleinen Achse

min � D�y D�0;75 c1

pb2

h2; �x D��y I

am Ende der großen Achse

�x D�0;75 c1

pb4

a2 h2; �y D��x :

C5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte

Gleichmäßig mit p belastet

Ringsum gelenkig gelagert (Bild 5): Für den Plattenschwer-punkt S gilt mit der Plattensteifigkeit N DEh3=Œ12.1��2/�

�x D�y D0;145pa2

h2; f D0;00103

pa4

N:

Die Maximalspannung tritt bei x D0;129a und y D0 auf undist �y D0;155 �pa2=h2.

C 40 Festigkeitslehre – C5 Flächentragwerke

Bild 5. Dreieckplatte

C5.1.5 Temperaturspannungen in Platten

Bei einer Temperaturdifferenz �t zwischen Ober- und Unter-seite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rändern keineSpannungen, bei allseits gelenkig gelagerten Platten nach derPlattentheorie [6].Bei allseits eingespannten Platten wird

�x D�y D ˛t �t E

2.1��/D�r D�t :

C5.2 Scheiben

Hierbei handelt es sich um ebene Flächentragwerke, die inihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung derSpannungen mit der Airy’schen Spannungsfunktion s. C 3.3.Im Folgenden werden für einige technisch wichtige Fälle dieSpannungen angegeben. Die Dicke der Scheiben sei h.

C5.2.1 Kreisscheibe

Radiale gleichmäßige Streckenlast q (Bild 6).

�r D�t D� q

h; �rt D0:

Gleichmäßige Erwärmung �t. Bei einer Scheibe mit ver-schieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungenu.r/D˛t �t r , aber keine Spannungen. Bei unverschieblichemRand (uD0) gilt

�r D�t D� E ˛t �t

1��; �rt D0:

C5.2.2 Ringförmige Scheibe

Radiale Streckenlast innen und außen (Bild 7 a).

�r D� qi r2i

h�r2

a �r2i

��

r2a

r2�1

�� qa r2

a

h�r2

a �r2i

��

1� r2i

r2

�;

�t DC qi r2i

h�r2

a �r2i

��

r2a

r2C1

�� qa r2

a

h�r2

a �r2i

��

1C r2i

r2

�;

�rt D0:

Gleichmäßige Erwärmung �t. Bei einer Scheibe mit ver-schieblichen Rändern ergeben sich nur Radialverschiebungenu.r/D˛t �t r , aber keine Spannungen. Bei unverschieblichemäußeren Rand (uD0) gilt

�r D�E ˛t �tr2

a

.1��/r2a C.1C�/r2

i

�1� r2

i

r2

�;

�t D�E ˛t �tr2

a

.1��/r2a C.1C�/r2

i

�1C r2

i

r2

�;

�rt D0:

Bild 6. Kreisscheibe

Bild 7. Kreisringscheibe

Bild 8. Scheibe mit Bohrung

Bild 9. Keilförmige Scheibe

Ringförmige Schublast (Bild 7 b). Sind �i und �a D�i r2

i =r2a die einwirkenden Schubspannungen, so gilt

�rt D �i r2i

r2; �r D�t D0:

C5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung(Bild 8)

Infolge Innendrucks p Dq=h entstehen die Spannungen

�r D� pr2i

r2; �t DC pr2

i

r2; �rt D0:

C5.2.4 Keilförmige Scheibe unter Einzelkräften (Bild 9)

Für die Spannungen gilt

�r D� 2F1 cos'

r h.2ˇCsin 2ˇ/C 2F2 sin'

r h.2ˇ�sin2ˇ/;

�t D0; �rt D0:

C5.3 Schalen C 41

C

C5.3 Schalen

Hierbei handelt es sich um räumlich gekrümmte Bauteile,welche die Belastungen im Wesentlichen durch Normalspan-nungen �x und �y sowie Schubspannungen �xy (bzw. beiRotationsschalen durch �' und �# sowie �'# ), die alle inder Schalenfläche liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wirdMembranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifen-blasen, Luftballons, dünne Metallfolien usw.), d. h. biege-schlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmenkönnen (Bild 10 a, b). Dünnwandige Metallkonstruktionengenügen in der Regel in weiten Bereichen dem Membran-spannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Störstel-len (z. B. Übergang von der Wand zum Boden) und in allendickwandigen Schalen treten zusätzlich Biegemomente undQuerkräfte auf, d. h. Biegenormal- und Querkraftschubspan-nungen (wie bei Platten), die zu berücksichtigen sind. Dannhandelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespan-nungszustand. Dieser, d. h. die Störung des Membranspan-nungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfer-nung von der Störstelle ab.

C5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalenund Membrantheorie für Innendruck

Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Bild 10 a) inRichtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Bild 10 b)in Vertikalrichtung liefern

�'

R1

C �#

R2

D p

h; �# D F

2 R1 h sin2 #:

Hierbei ist �# die Spannung in Meridianrichtung, �' die inBreitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultie-rende äußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h.

F D#Z

#D0

p.#/R2.#/ 2  R1.#/ sin # cos# d# :

Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Pro-jektionsfläche, d. h. F Dp r2 Dp .R1 sin#/2.

Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck.

�' D pr

hD pd

2h; �# D�x D0:

Kugelschale unter konstantem Innendruck.

�' D�# D pr

2hD pd

4h:

Zylinderschale mit Halbkugelböden unter konstantemInnendruck (Bild 11).

Im Zylinder

�' D pr

hD pd

2h; �x D pr

2hD pd

4h;

Bild 10. Membranspannungszustand

Bild 11. Geschlossene Zylinderschale

Bild 12. Elliptischer Hohlzylinder

Tabelle 2. Faktoren c1 und c2 in Abhängigkeit von a=b

a=b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

c1 3,7 2,3 1,4 0,7 0,3 0

c2 5,1 2,9 1,7 0,8 0,3 0

Bild 13. Umschnürter Hohlzylinder

in der Kugelschale

�' D�# D pr

2hD pd

4h:

C5.3.2 Biegesteife Schalen

Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Bild 12).Überlagert man den Membranspannungen die Biegespannun-gen, so ergibt sich für die Punkte A und B

�A D pa

hCc1

pa2

h2; �B D pb

hCc2

pa2

h2

(s. Tab. 2).

Umschnürter Hohlzylinder (Bild 13). Infolge Schneiden-last q entstehen Umfangsspannungen

�' .x/D� qrp2Lh

e�x=L sin� x

LC  

4

�;

�' .x D0/D� qr

2Lh

mit

LD 4

sr2 h2

3.1��2/

und Biegespannungen in x-Richtung

�x.x/D 3qLp2h2

e�x=L cos� x

LC  

4

�;

�x.x D0/Dmax�x D1;5qL

h2:

C 42 Festigkeitslehre – C5 Flächentragwerke

Bild 14. Rohrbogen

Bild 15. Gewölbter Boden

Tabelle 3. Faktor c1 in Abhängigkeit von hB=rz

hB=rz 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

c1 6,7 3,8 2,0 1,3 1,0

Rohrbogen unter Innendruck (Bild 14). In Längsrichtungdes Bogens ergeben sich die Spannungen �x D p r=.2h/ Dp d=.4 h/, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlos-senen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt

�' D pd

2h� R=d C0;25 sin '

R=d C0;5 sin ':

Für Bogenober- und Bogenunterseite (' D 0 bzw. 180°) folgt�' .0/Dpd=.2h/, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischenRohr. Für Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist

�' .90ı/D pd

2h� R=d C0;25

R=d C0;50bzw.

�' .�90ı/D pd

2h� R=d �0;25

R=d �0;50;

d. h., �'.90ı/ ist kleiner, �' .�90ı/ größer als �' .0/.

Gewölbter Boden unter Innendruck (Bild 15). Für dieSpannungen in der kugeligen Wölbung gilt (wie bei der Kugel-schale) �' D �# D p rB=.2h/. Für die (maximalen) Meridian-spannungen in der Krempe gilt

�# Dc1

prZ

2hDc1

pdZ

4h;

s. Tab. 3.

Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außen-druck (Bild 16). Es liegt ein räumlicher Spannungszustand

Bild 16. Dickwandiger Kreiszylinder

vor mit den Spannungen (im mittleren Zylinderbereich)

�x Dpi

r2i

r2a �r2

i

�par2

a

r2a �r2

i

;

�' Dpi

r2i

r2a �r2

i

�r2

a

r2C1

��pa

r2a

r2a �r2

i

�1C r2

i

r2

�;

�r D�pi

r2i

r2a �r2

i

�r2

a

r2�1

��pa

r2a

r2a �r2

i

�1� r2

i

r2

�:

Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt die größte Span-nung an der Innenseite als �'.r D ri / auf. Die Biegeeinspan-nung des Zylinders in den Boden ist hierbei nicht berücksich-tigt.

Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck.Es liegt ein räumlicher Spannungszustand vor mit den Span-nungen

�' D�# Dpi

r3i

r3a �r3

i

�1C r3

a

2r3

��pa

r3a

r3a �r3

i

�1C r3

i

2r3

�;

�r D�pi

r3i

r3a �r3

i

�r3

a

r3�1

��pa

r3a

r3a �r3

i

�1� r3

i

r3

�:

Die Maximalspannung ergibt sich aus �'.r Dri /.

Literatur

Spezielle Literatur

[1] Girkmann, K.: Flächentragwerke, 6. Aufl., Nachdruck der5. Aufl. Springer, Wien (1963) – [2] Nádai, A.: Die elasti-schen Platten. Springer, Berlin (1925) (Nachdruck 1968) –[3] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEBVerlag f. Bauwesen (1962) – [4] Czerny, F.: Tafeln für viersei-tig und dreiseitig gelagerte Rechteckplatten. Betonkal. 1984,Bd. I. Ernst, Berlin (1990) – [5] Beyer, K.: Die Statik imStahlbetonbau. 2. Aufl. Springer, Berlin (1956) – [6] Worch,G.: Elastische Platten. Betonkal 1960, Bd. II. Ernst, Berlin(1960) – [7] Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S.: Theoryof plates and shells, 2nd ed. McGraw-Hill, Kogakusha (1990) –[8] Altenbach H., Altenbach J., Naumenko K.: Ebene Flächen-tragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung vonScheiben und Platten. Springer, Berlin (1998)