C3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand C 33

C

C3 Elastizitätstheorie

J. Lackmann, Berlin; J. Villwock, Berlin

C3.1 Allgemeines

Aufgabe der Elastizitätstheorie ist es, den Spannungs- undVerformungszustand eines Körpers unter Beachtung der gege-benen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Größen �x ,�y , �z , �xy , �xz , �yz , "x , "y , "z , �xy , �xz , �yz , u, � , w zuermitteln. Für diese 15 Unbekannten stehen zunächst die Glei-chungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verfügung. Hinzukommen drei Gleichgewichtsbedingungen (Bild 1) mit den Vo-lumenkraftdichten X, Y, Z.

@�x

@xC @�yx

@yC �zx

@zCX D0;

@�xy

@xC @�y

@yC @�zy

@zCY D0;

@�xz

@xC @�yz

@�C @�z

@zCZ D0;

9>>>>>>>=

>>>>>>>;

(1)

sowie für isotrope Körper die sechs verallgemeinerten Hooke’-schen Gesetze

"x D �x ��.�y C�z/

E;

"y D �y ��.�x C�z/

E;

"z D �z ��.�x C�y /

E;

�xy D �xy

G; �xz D �xz

G; �yz D �yz

G:

9>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>;

(2)

in ihrer dehnungsexpliziten Form

�x D E

1C�

�"x C �

1�2�

�"x C"y C"z

��;

�y D E

1C�

�"y C �

1�2�

�"x C"y C"z

��;

�z D E

1C�

�"z C �

1�2�

�"x C"y C"z

��;

�xy DG�xy ; �xz DG�xz ; �yz DG�yz :

9>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>;

(2a)

Damit stehen 15 Gleichungen für 15 Unbekannte zur Verfü-gung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erhält mandrei partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Ver-schiebungen:

G

�

�uC 1

1�2�

@"

@x

�

CX D0;

G

�

�� C 1

1�2�

@"

@y

�

CY D0;

G

�

�wC 1

1�2�

@"

@z

�

CZ D0

9>>>>>>>=

>>>>>>>;

(3)

Bild 1. Gleichgewicht am Element

mit �u D @2u=@x2 C@2u=@y2 C@2u=@z2 usw. und " D "x C"y C"z D@u=@x C@�=@yC@w=@z.Die Navier’schen Gln. (3) eignen sich zur Lösung von Proble-men, bei denen als Randbedingungen Verschiebungen vorge-geben sind. Eliminiert man aus den zitierten 15 Gleichungenalle Verschiebungen und deren Ableitungen, so bleiben sechsGleichungen für die unbekannten Spannungen:

��x C 1

1C�

@2�

@x2C2

@X

@xC �

1��

�@X

@xC @Y

@yC @Z

@z

�

D0

(4a)(entsprechend für die y- und z-Richtung) und

��xy C 1

1C�

@2�

@x @yC @X

@yC @Y

@xD0 (4b)

(entsprechend für die y- und z-Richtung).Hierbei ist � D �x C �y C �z . Die Beltrami’schen Gln. (4)eignen sich zur Lösung von Problemen, bei denen als Rand-bedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischtenRandbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen.Lösungen der Differentialgleichungen (3) und (4) liegen imWesentlichen für rotationssymmetrische und ebene Problemevor.

C3.2 RotationssymmetrischerSpannungszustand

Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglichdie Spannungen �r ; �t; �z ; �rz D �zr D � auf (Bild 2). DieGleichgewichtsbedingungen in r- und z-Richtung lauten

@

@r.r�r/C @

@z.r �/��t CrRD0;

@

@r.r �/C @

@z.r�z/CrZ D0:

9>>>=

>>>;

(5)

Die Hooke’schen Gesetze haben die Form

"r D @u

@rD �r ��.�t C�z/

E;

"t D u

rD �t ��.�r C�z /

E;

"z D @w

@zD �z ��.�r C�t/

E;

�rz D @u

@zC @w

@rD �

GD 2.1C�/�

E:

9>>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>>;

(6)

Bild 2. Rotationssymmetrischer Spannungszustand

K.-H. Grote, J. Feldhusen (Hrsg.), Dubbel, 24. Aufl., DOI 10.1007/978-3-642-38891-0_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

C 34 Festigkeitslehre – C3 Elastizitätstheorie

Ihre Auflösung nach den Spannungen liefert

�r D2G

�@u

@rC �

1�2�"

�

;

�t D2G

�u

rC �

1�2�"

�

;

�z D2G

�@w

@zC �

1�2�"

�

; � DG

�@u

@zC @w

@r

�

;

9>>>>>>>>=

>>>>>>>>;

(7)

wobei

"D"r C"t C"z D @u

@rC u

rC @w

@z: (8)

Wird die Love’sche Verschiebungsfunktion ˚ eingeführt, somuss sie der Bipotentialgleichung

�@2

@z2C @2

@r2C 1

r

@

@r

��@2˚

@z2C @2˚

@r2C 1

r

@˚

@r

�

D��˚ D0 (9)

genügen. Lösungen der Bipotentialgleichung sind z. B. ˚ Dr2 , lnr , r2 lnr , z, z2 und

pr2 Cz2 sowie Linearkombinatio-

nen hiervon [1,3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgendann aus

uD� 1

1�2�

@2˚

@r @z;

w D 2.1��/

1�2��˚ � 1

1�2�

@2˚

@z2;

�r D 2G�

1�2�

@

@z

�

�˚ � 1

�

@2˚

@r2

�

;

�z D 2.2��/G

1�2�

@

@z

�

�˚ � 1

2��

@2˚

@z2

�

;

�t D 2G�

1�2�

@

@z

�

�˚ � 1

�

1

r

@˚

@r

�

;

� D 2.1��/G

1�2�

@

@r

�

�˚ � 1

1��

@2˚

@z2

�

:

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(10)

Beispiel: Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Bild 3.– Die Randbedingungen lauten

�z .z D0; r ¤0/D0; �.z D0; r ¤0/D0:

Mit dem Ansatz ˚ D C1RCC2z ln.z CR/, wobei R D pr2 Cz2 ist,

folgt aus den Gln. (10)

�z D�2G

��

C1 � 2�

1�2�C2

�z

R3C 3

1�2�.C1 CC2/

z3

R5

und

� D�2G

��

C1� 2�

1�2�C2

�r

R3C 3

1�2�.C1 CC2/

r z2

R5

:

Bild 3. Einzelkraft auf Halbraum

Während die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt ausder zweiten C2 D .1�2�/=.2�/ C1 und damit �z D �C1.3G/=.�Œ1�2��/ � .z3=R5/. Aus F D �R

1

rD0�z2   r dr ergibt sich dann C1 D

F �.1�2�/=.2 G/ und damit aus den Gln. (10)

uD F

4 G

�r z

R3�.1�2�/

r

R.z CR/

;

w D F

4 G

�

2.1��/1

RC z2

R3

;

�z D� 3F

2 

z3

R5;

�r D F

2 

�

.1�2�/1

R.z CR/�3

zr2

R5

;

�t D F

2 .1�2�/

�z

R3� 1

R.z CR/

;

� D� 3F

2 

r z2

R5:

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(11)

Wegen �z=� D z=r lassen sich �z und � zum Spannungsvektor sR Dp�2

z C�2 D 3F z2=.2 R4/ zusammenfassen, der stets in Richtung Rzeigt. Für �r ergeben sich gemäß �r D0 Nullstellen aus sin2 ˇcosˇ.1Ccosˇ/D .1�2�/=3 im Fall � D0;3 zu ˇ1 D15;4ı und ˇ2 D83ı. Zwi-schen den durch 2ˇ1 D30;8ı und 2ˇ2 D166ı bestimmten Kreiskegelnwird �r negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspan-nung). Aus �t D 0 folgt cos2 ˇ Ccosˇ D 1, d. h. ˇ D 52ı, für ˇ < 52ı

wird �t positiv (Zugspannung), für ˇ >52ı negativ (Druckspannung).

C3.3 Ebener Spannungszustand

Er liegt vor, wenn �z D 0; Z D 0, �xz D �yz D 0, d. h., wennSpannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichge-wichtsbedingungen lauten für konstante Volumenkräfte

@�x

@xC @�yx

@yCX0 D0;

@�y

@yC @�xy

@xCY0 D0: (12)

Die Hooke’schen Gesetze haben die Form

"x D �x ���y

E; "y D �y ���x

E; �xy D �xy

G; (13)

und für die Formänderungen gilt

@u

@xD"x ;

@�

@yD"y ;

@u

@yC @�

@xD�xy : (14)

Dies sind acht Gleichungen für acht Unbekannte. Aus Gl. (14)folgt die Kompatibilitätsbedingung

@2"x

@y2C @2"y

@x2D @2�xy

@x @y; (15)

und durch Einsetzen von Gln. (13) in (15) ergibt sich

1

E

�@2�x

@y2��

@2�y

@y2C @2�y

@x2��

@2�x

@x2

�

D 1

G

@2�xy

@x @y: (16)

Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (12) durch Ein-führung der Airy’schen Spannungsfunktion F DF .x;y/ derartbefriedigt, dass

�x D @2F

@y2; �y D @2F

@x2; �xy D @2F

@x @y�X0y�Y0x (17)

ist, so folgt aus Gl. (16) für F(x, y)

@4F

@x4C2

@4F

@x2@y2C @4F

@y4D��F D0; (18)

d. h., die Airy’sche Spannungsfunktion muss der Bipotential-gleichung genügen. Die Bipotentialgleichung hat unendlichviele Lösungen, z. B. F Dx, x2, x3, y, y2 , y3, xy, x2y, x3y,

Literatur C 35

C

xy2, xy3, cosx �coshy, xcosx �coshy usw., ferner bihar-monische Polynome [2] sowie die Real- und Imaginärteile vonanalytischen Funktionen f .z/ D f .x ˙ iy/ usw. [1]. Mit demAnsatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lösungen ver-sucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen unddamit das ebene Problem zu lösen.

Beispiel: Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lösung werden Polarko-ordinaten verwendet (Bild 4 a). Dann gilt für die Airy’sche Spannungs-funktion

��F D�

@2

@r2C 1

r

@

@rC 1

r2

@2

@'2

��@2F

@r2C 1

r

@F

@rC 1

r2

@2F

@'2

�

D0

und für die Spannungen (mit X DY D0)

�r D 1

r

@F

@rC 1

r2

@2F

@'2; �t D @2F

@r2; �rt D� @

@r

�1

r

@F

@'

�

:

Die Randbedingungen lauten

�t.r; ' D0/D0; �t.r; ' D /D0;

�rt.r; ' D0/D0; �rt.r; ' D /D0:

Mit dem Ansatz F.r;'/DC r' cos' folgt

��F D0; �r D�C2

rsin ' ; �t D0; �rt D0:

Die Lösung erfüllt die Randbedingungen. Mit der Scheibendicke hfolgt die Konstante C aus der Gleichgewichtsbedingung

PFiy D 0 DR  

0�r sin' �hr d' CF0 D 0 zu C D F0=. h/. Wegen �rt D 0 sind die

�r und �t Hauptnormalspannungen, d. h., die zugehörigen Trajektoriensind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Krei-se um den Nullpunkt (Bild 4 b). Die Hauptschubspannungstrajektorienliegen dazu unter 45° (s. C 1.1.1). Der Verlauf der Spannungen�r ergibt

Bild 4. Halbebene unter Einzelkraft

sich für r DRDconst zu �r D�2F0=. hR/�sin' bzw. für ' D =2 zu�r D�Œ2F0=. h/�=r (Bild 4 c).

Literatur

Spezielle Literatur

[1] Szabó, I.: Höhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Springer,Berlin (2001) – [2] Girkmann, K.: Flächentragwerke, 5. Aufl.Springer, Wien (1959) – [3] Timoshenko, S., Goodier, J. N.:Theory of Elasticity, 3rd ed. McGraw-Hill, Singapore (1987)