Curso de algebra i

Algebra IEl álgebra es el lenguaje a través del cual se describen patrones. Considérala como taquigrafía. En lugar de tener que hacer algo una y otra vez, el álgebra te da una forma simple de expresar ese proceso repetitivo. También se ve como un tema "guardián". Una vez que logras entender el álgebra, los temas avanzados de matemáticas se vuelven accesibles. Sin ella, es imposible avanzar. Es utilizada por personas con diversos trabajos, como carpinteros, ingenieros y diseñadores de moda. En estas lecciones, cubriremos mucho terreno. Algunos de los temas incluyen ecuaciones lineales, desigualdades lineales, funciones lineales, sistemas de ecuaciones, factorización de expresiones, expresiones cuadráticas, exponentes, funciones y proporciones.

Fundamentación.

A partir del Ciclo Escolar 2009-2010 la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior cuyo propósito es fortalecer y consolidar la identidad de este nivel educativo, en todas sus modalidades y subsistemas; proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita establecer una relación entre la escuela y su entorno; y facilitar el tránsito académico de los estudiantes entre los subsistemas y las escuelas.

Para el logro de las finalidades anteriores, uno de los ejes principales de la Reforma Integral es la definición de un Marco Curricular Común, que compartirán todas las instituciones de bachillerato, basado en desempeños terminales, el enfoque educativo basado en el desarrollo de competencias, la flexibilidad y los componentes comunes del currículum.

El enfoque educativo:Establecer en una unidad común los conocimientos, habilidades, actitudes y valores que el egresado de bachillerato debe poseer.

Las competencias a desarrollar:Encontramos las genéricas; que son aquellas que se desarrollarán de manera transversal en todas las asignaturas del mapa curricular y permiten al estudiante comprender su mundo e influir en él, le brindan autonomía en el proceso de aprendizaje y favorecen el desarrollo de relaciones armónicas con quienes les rodean.

Las competencias disciplinares básicas; refieren los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que los estudiantes se desarrollen en diferentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Asimismo, las competencias disciplinares extendidas implican los niveles de complejidad deseables para quienes opten por una determinada trayectoria académica, teniendo así una función propedéutica en la medida que prepararán a los estudiantes de la enseñanza media superior para su ingreso y permanencia en la educación superior.

Las competencias profesionales; preparan al estudiante para desempeñarse en su vida con mayores posibilidades de éxito.

Objetivos del plan de estudio de la Dirección General del Bachillerato:

Proveer al educando de una cultura general que le permita interactuar con su entorno de manera activa, propositiva y crítica (componente de formación básica);

Prepararlo para su ingreso y permanencia en la educación superior, a partir de sus inquietudes y aspiraciones profesionales (componente de formación propedéutica);

Y finalmente promover su contacto con algún campo productivo real que le permita, si ese es su interés y necesidad, incorporarse al ámbito laboral (componente de formación para el trabajo).

La asignatura de MATEMÁTICAS I

Tiene la finalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de ideas que conlleven el despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores, en la resolución de problemas matemáticos que en sus aplicaciones trasciendan el ámbito escolar. La finalidad de la asignatura de Matemáticas I es la de permitir al estudiante utilizar distintos procedimientos algebraicos para representar relaciones entre magnitudes constantes y variables, y resolver problemas de la vida cotidiana.

Introducción.Se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de Matemáticas que promueve la asignatura. Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una relación vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer este tipo de relaciones al promover el trabajo disciplinario, en similitud a la forma como se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. Matemáticas I, permite el trabajo interdisciplinario con las asignaturas de: Química I y II, Introducción a las Ciencias Sociales, Matemáticas II, III y IV, Física I y II, Biología I y II, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Temas Selectos de Biología II, Temas Selectos de Física I y II.

Rol Docente:Facilita el proceso educativo al diseñar actividades significativas integradoras que permitan vincular los saberes previos de los estudiantes con los objetos de aprendizaje; propicia el desarrollo de un clima escolar adecuado, afectivo, que favorezca la confianza, seguridad y autoestima del alumnado, motivándolo al proponer temas actuales y significativos que los lleven a usar las Tecnologías de la Información y la Comunicación como un instrumento real de comunicación; despierta y mantiene el interés y deseo de aprender al establecer relaciones y aplicaciones de las competencias en su vida cotidiana, así como su aplicación y utilidad, ofrece alternativas de consulta, investigación y trabajo utilizando de manera eficiente las tecnologías de información y comunicación, incorpora diversos lenguajes y códigos (iconos, hipermedia y multimedia) para potenciar los aprendizajes del alumnado, coordina las actividades de las alumnas y los alumnos ofreciendo una diversidad importante de interacciones entre ellos, favorece el trabajo colaborativo de las y los estudiantes, utiliza diversas actividades y dinámicas de trabajo que estimulan la participación activa en la clase, conduce las situaciones de aprendizaje bajo un marco de respeto a la diferencia y de promoción de valores cívicos y éticos y diseña instrumentos de evaluación del aprendizaje considerando los niveles de desarrollo de cada uno de los grupos que atiende, fomentando la autoevaluación y coevaluación por parte del alumnado y el trabajo colegiado interdisciplinario con sus colegas.

Matemáticas I. Ubicación de la materia y relación con las asignaturas en el Plan de Estudios.

Contenido:Bloque I: Resuelves problemas aritméticos y algebraicos.

En el Bloque I aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos.

Bloque II:Utilizas magnitudes y números reales.

Aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables.

Bloque III: Realizas sumas y sucesiones de números.

Se estudiarán sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales).

Bloque IV: Realizas transformaciones algebraicas. I

Bloque V: Realizas transformaciones algebraicas II.

En los Bloques IV y V se estudiarán operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones racionales).

Bloque VI: Resuelves ecuaciones lineales I.

Bloque VII: Resuelves ecuaciones lineales II.

Bloque VIII: resuelves ecuaciones lineales III. En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de

1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.

Bloque IX: Resuelves ecuaciones cuadráticas I.

Bloque X: Resuelves ecuaciones cuadráticas II.

Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática.

COMPETENCIAS GENÉRICASLas competencias genéricas son aquéllas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando

otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el

mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales.11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Bloque I: Resuelves problemas aritméticos y algebraicos.

En el Bloque I aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque.

Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.

Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

La magnitud es una propiedad que poseen los fenómenos que pueden ser medidos, dicha medida se representa por una cantidad. Una magnitud es un resultado de una medición utilizando diversos números los cuales veremos a continuación:

Números naturalesNúmeros enterosNúmeros racionalesNúmeros reales

Los números Naturales: Estos números fueron los que utilizaron los hombres primitivos para contar la naturaleza y se representan con el símboloN , aunque en realidad en ese momento no existía una representación como en nuestra actualidad; simplemente se hacía un acto de correspondencia uno a uno para poder contar.Las civilizaciones antiguas fueron encontrando la manera de representar las magnitudes, a través de la escritura. Como por ejemplo los números Babilónicos, los números romanos, los números chinos, etc…Todas estas civilizaciones tenían en común el inicio del conteo ya que éste comenzaba en el número 1, no existía una representación de la magnitud donde no había “nada”.Fue hasta la civilización Maya con su sistema de representación numérico basado en el números 20, los que por primera vez representaron un vacío a través de un símbolo en forma de concha de mar que representaba el vacío.

Retomando la lección tenemos que los números naturales se representan con la letra N y su campo de estudio inicia desde el cero hasta el infinito positivo son:

N=¿0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … …∞+¿ ¿ (hasta el infinito)

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

En los números naturales se cumplen las siguientes:

Propiedades para la adición:

1. Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

2. Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:

7 + 6 = 5 + 8

13 = 13

Propiedades para la multiplicación:

3. Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

4. Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:

10 · 6 = 5 · 12

60 = 60

5. Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 ...

6. Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.

Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6

5·9 = 15 + 30

45 = 45

Dentro de los números Naturales existen también los números ordinales pueden funcionar como adjetivos cuando se los utiliza en una frase, como por ejemplo, “la guerra y la paz, es el primer libro que debes leer” o “se esforzó mucho a pesar de llegar segundo”.

Notación de los números ordinales.

Los Números ordinales tienen distintas notaciones, en ocasiones se los expresa en forma de palabras y en otras se los puede expresar en forma de cifras. Para expresarlos en forma de cifras debemos tomar el número ordinal o la posición del elemento de la sucesión y añadirle una letra volada superior para denotar dicha posición, por ejemplo 3º para el masculino tercero y 3ª para el femenino tercera. Sin embargo en el español americano se utilizan otras maneras de expresarlos, como añadiendo un sufijo de la terminación del número ordinal determinado, siendo 1º o 1ro, para primero; 2º o 2do, para segundo; 3ro para tercero, 4to para cuarto, 5to para quinto, 7mo para séptimo,

8vo para octavo 9no para noveno y así sucesivamente, incluso a veces se omite el uso del punto en la tipografía de abreviaturas.

Mientras que Números Cardinales son expresiones idiomáticas que se relacionan a la aritmética o la matemática pues sirven para determinar cantidades en relación a cosas, animales o personas. La definición de números cardinales es que son numerales que pueden enunciar el monto o la cantidad de elementos en relación a los números naturales y toda su serie, incluyendo al cero que significa una cantidad nula.

Números Enteros.Los números enteros se representan son el símbolo Z y están conformados por los números naturales y sus números opuestos, es decir la parte positiva y la parte negativa, su campo de estudio inicia desde el infinito negativo pasando por “cero” y terminando en el infinito positivo.

Z = { ∞−¿ …¿ …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … … ∞+¿ ¿}

Los números Enteros se pueden representar en la recta numérica con distancias entre sus enteros negativos y positivos equidistantes.

Las Propiedades de los Números Enteros:

a) Valor absoluto de un número entero: El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

¿−5∨¿5∨5∨¿5

b) Representación de los números enteros: En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,... A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los

números negativos: − 1, −2, −3,... c) Orden en los números enteros.

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

d) Criterios para ordenar los números enteros: - Todo número negativo es menor que cero.

−7<0

- Todo número positivo es mayor que cero. 7>0

- De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7>−10∨−7∨¿∨−10∨¿

- De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10>7∨10∨¿∨7∨¿

Suma de números enteros: - Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le

pone el signo común. 3+5=8(−3)+(−5)=−8

- Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

−3+5=23+(−5)=−2

Propiedades de la suma de números enteros: a. Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a+b3+(−5)

b. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a+b)+c=a+(b+c) ·(2+3)+(−5)=2+[3+(−5)]5−5=2+(−2)0=0

c. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a2+(−5)=(−5)+2−3=−3

d. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a+0=a(−5)+0=−5

e. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el

cero. a+(−a)=05+(−5)=0

f. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. −(−5)=5

Resta de números enteros:

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a−b=a+(−b)7−5=27−(−5)=7+5=12

Propiedades de la resta de números enteros: a. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.

a−b10−(−5)

b. No es Conmutativa: a−b≠ b−a5−2≠2−5

c. Multiplicación de números enteros: La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos +2 ·+5=+10(−2 ) · (−5 )=+10+2 ·(−5)=−10(−2 ) ·+5=−10

Propiedades de la multiplicación de números enteros: a. Interna: El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

a ·b2 ·(−5)

b. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a ·b)· c=a ·(b · c)(2 ·3) ·(−5)=2 ·¿6 ·(−5)=2·(−15)−30=−30

c. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a ·b=b ·a2 ·(−5)=(−5)·2−10=−10

d. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a ·1=a(−5) ·1=(−5)

e. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a ·(b+c)=a ·b+a · c(−2)·(3+5)=(−2) ·3+(−2)·5(−2)·8=−6−10−16=−16

Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a ·b+a·c=a· (b+c )(−2)·3+(−2)·5=(−2)·(3+5)

División de números enteros: La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

+10+5

=+2

−10+5

=−2

+10−5

−2

−10−2

=+2

Propiedades de la división de números enteros: a. No es una operación interna: El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro

número entero. (−2): 6

b. No es Conmutativo: a :b≠b :a6 :(−2)≠(−2): 6

Potencia de números enteros:La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1) Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2) Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades. a0=1a1=a

Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. am · an=am+n

(−2)5 ·(−2)2=(−2)5+2=(−2)7=−128

División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. am

an =am−n

(−2)5

22=(−2)5−2=(−2)3=−8

Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (am)n=am∗n

[(−2)3 ]2=(−2)6=64Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases an· bn=(a · b)n

(−2)3 ·(3)3=(−6)3=−216

Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. anbn:=( a

b )n(−6)3

¿¿

Números racionales.Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción común.Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo

http://numerosenteros.net/

dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante

fracciones equivalentes, por ejemplo 12 puede ser expresado como

24 ó 48 , debido a que estas son

fracciones reducibles.

Representación de números racionales.

Los números racionales se representan en la recta numérica.

Para representar con precisión los números racionales:

- Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.- Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos.

En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.- Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos

segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

Propiedades de la suma de números racionales:

a. Interna:a+b∈Q

b. Asociativa:(a+b)+c=a+(b+c)

c. Conmutativa:

a+b=b+a

d. Elemento neutro:

a+0=a

e. Elemento opuesto

a+(−a)=0

f. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Propiedades de la multiplicación de números racionales:

a) Interna:a∗b∈Q

b) Asociativa:

(a ·b)· c=a ·(b · c)

c) Conmutativa:

a ·b=b ·a

d) Elemento neutro:a ·1=a

e) Elemento inverso:

f) Distributiva:a ·(b+c)=a ·b+a · c

g) Sacar factor común:

a ·b+a·c=a· (b+c )

Operaciones con números racionales. a) Suma y resta de números racionales.- Con el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el

denominador.

b) Suma y resta con distinto denominador- En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se

restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

c) Multiplicación de números racionales.

d) División de números racionales.

abcd

=adbc

5716

=5∗67∗1

=307

e) Potencias de números racionales. - Potencias de exponente entero y base racional

http://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.html

- Propiedades

- Producto de potencias con la misma base:

- División de potencias con la misma base:

- Potencia de una potencia:

- Producto de potencias con el mismo exponente:

- Cociente de potencias con el mismo exponente:

Fracciones:

En matemáticas, una fracción, número fraccionario, es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común.

Una Fracción Común se va dividir en: - Fracción Propia.- Fracción Impropia.- Fracción Mixta.- Fracción Decimal.

Una fracción común debe cumplir con la forma ab donde b siempre debe ser diferente de cero.

Mientras a y b son dos números enteros:

b Denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

a Numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas.

Fracciones propias: Se caracterizan cuando el numerador es más pequeño que el denominador.

Fracciones impropias: Se caracterizan cuando el numerador es mayor que el denominador.

Fracciones decimales: Se identifican cuando se tienen como denominador una potencia de 10.

Fracción mixta: Está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria (Fracción Propia o Impropia).Para pasar de número mixto a fracción impropia:

a. Se deja el mismo denominador.b. El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el

numerador, del número mixto.

3 25=

(3∗5 )+25

=175

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

ab= c

dsi a∗d=b∗c

a y d , son los extremos.

b y c , son los medios.

Radicación Es la operación inversa a la potenciación. Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

(Raíz )índice=Radicando

En la raíz cuadrada el índice es2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

(Raíz )2=Radicando

Raíces cuadradas:La raíz cuadrada de un número "a" es exacta cuando encontramos un número "b" que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2=a .

Ejemplo:La raíz cuadrada exacta tiene de residuo 0 . Ejemplo:

Cuadrados perfectos:Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

Algunos de esos números son: 1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 , 49 ,64 ,81 ,100 ,121 ,144 ,169 ,.. .

Raíz cuadrada entera:Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Ejercicios, raíz cuadrada.

1) √25…

Es un cuadrado perfecto

= 5²

Es una raíz cuadrada exacta

2) 49…

Es un cuadrado perfecto

Es una raíz exacta

= 7

3) E l va lo r 35 en la expres ión √35 es . . .

El radicando

La raíz

El índice

4) E l res to que resu l ta a l reso lver √53 es . . .

0 Porque la raíz es exacta.

4 Porque el cuadrado perfecto inmediatamente inferior a 53 es 49.

11 Porque el cuadrado perfecto inmediatamente superior a 53 es 64.

1)

2)

3 )

4 )

5 ) E l res to que resu l ta de hacer una ra íz exac ta . . .

Siempre es 0

Depende de la raíz en cuestión

Siempre es 1

6) El índ ice de√81 es . . .

No tiene

1

2

7) El resu l tado de la expres ión de l e je rc ic io 6 es . . .

9

1

0

8) √27es. . .

Una raíz exacta

Una raíz entera con resto 2

Una expresión que no tiene sentido

9) Completa:

√25=

√64=

√144=

√529=

= 5

= 9

= 31

= 58

Ejercicios números cardinales y ordinales.

Indica el tipo de números naturales en cada caso:

1) Mario quedó el segundo en la carrera de obstáculos.

Cardinal

Ordinal

Ni cardinal ni ordinal

2) Mi hermana vive en un quinto piso.

Cardinal

Ordinal


3) Mi número de socio en el club de vela es 59872.

5_5.

8_8.

12_12.

25_25.

81_81.

961_961.

3364_3364.

http://www.vitutor.com/di/n/numeros_naturales.html#ei

Cardinal

Ordinal


4) Ismael tiene tres hermanos y una hermana.

Cardinal

Ordinal


5) Este ejercicio tiene 8 apartados.

Cardinal

Ordinal


6) El rio Ebro tiene una longitud total de 930 km.

Cardinal

Ordinal


7) El código postal de mi pueblo es 29100.

Cardinal

Ordinal


8) Es la tercera vez que te regañan esta semana.

Cardinal

Ordinal


Números naturales.

9) ¿Qué propiedad de la suma se da en las siguientes operaciones? 17 + (5 + 10) = (7 + 5) + 10

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

10) 1 + 0 = 1

Conmutativa

Elemento neutro

Operación interna

11) 12 + 2 es un número natural

Conmutativa

Operación interna

Asociativa12) 3 + 4 = 4 + 3

Conmutativa

Operación interna

Elemento neutro

13) 0 + 8 = 8

Operación interna

Asociativa

Elemento neutro

14) 9 + 1458 es un número natural.

Operación interna

Elemento neutro

Asociativa

15) (1 + 0) + 9 = 1 + (0 + 9)

Conmutativa

Asociativa

Operación interna

Completa:

16) 1231 − 121 =

17) 43 − = 23

18) 1235 − = 446

19) − 149 = 145

Multiplicación de números naturales.

¿Qué propiedad del producto se usa en las siguientes operaciones?

20) 3 · (7 + 12) = 3 · 7 + 3 · 12

Asociativa

Factor común

Distributiva

21) 5867 · 1 = 5867

Elemento neutro

Conmutativa

Operación interna

22) 567 · 234 = 234 · 567

Distributiva

Conmutativa

Asociativa

23) 5 · 3 + 8 · 3 = (5 + 8) · 3

Asociativa

Factor común

Conmutativa

24) (7 · 8) · 12 = 7 · (8 · 12)

Asociativa

Distributiva

Operación interna

25) 56794 · 23461 es un número natural.

Elemento neutro

Operación interna

Conmutativa

Saca factor común o utiliza la propiedad distributiva en las siguientes expresiones, según corresponda en cada caso:

26) 13 · 5 + 4 · 5 =

27) 7 · 23 − 7 · 19 =

28) (12 + 21) · 5 =

29) 2 · 34 − 2 · 31 =

30) 2 · (55 − 23) =

31) 11 · (5 + 11) =

Realiza las siguientes operaciones con potencias, dejando el resultado en forma de potencia.

32) 2 3 · 2 5 =

33) 2 7 · 2 4 =

34) (2 3 ) 2 =

35) 2 3 · 2 4 · 2 5 =

36) (2 2 ) 2 · (2 3 ) 3 =

37) (2 3 ) 4 : (2 2 ) 3 =

38) { [ (2) 0 ] 1 } 2 =

39) (2 5 :2 3 ) 4 · [ (2 ) 3 ] 5 =

1 )

2 )

3 )

4)

5)

6 )

7 )

8 )

9 )

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40) 2 5 · 5 5 =

Bloque II:Utilizas magnitudes y números reales.

Aprenderás el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la variación proporcional como caso simple de relación lineal entre dos variables.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas,

ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales.

Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa.

Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales.

Los números realesEl conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los números irracionalesUn número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

π=3.141592653589 .. .

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e=2.718281828459 ...

El número áureo Φ , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Representación de los números realesLos números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Operaciones de números reales.

1) Suma de números realesPropiedades:

Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a+b

+¿

Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a+b )+c=a+(b+c )

Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

a+b=b+a

Elemento neutro: El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a+0=a

π+0=π

Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e−e=0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−Φ)=Φ

2) Diferencia de números realesLa diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a−b=a+(−b)

Producto de números reales: La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades:

Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a ·b∈R

Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a ·b)· c=a ·(b · c)

(e ·π )·Φ=e ·(π·Φ)

Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a ·b=b ·a

Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1=a

π·1=π

Elemento opuesto: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a ·(b+c)=a ·b+a · c

π·(e+Φ)=π· e+π ·Φ

Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a ·b+a·c=a· (b+c )

π∗e+π∗Φ=π∗(e+Φ)

3) División de números realesLa división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Definición de intervalo: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto: Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a ,b)={x ϵ R/a< x<b }

Intervalo cerrado: Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a ,b]={x ϵ R/a≤ x≤ b }

Intervalo semiabierto por la izquierda: Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

¿={x ϵ R /a<x≤ b }

Intervalo semiabierto por la derecha: Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

¿={x ϵ R /a≤ x<b }

Nomenclatura para varios conjuntos.

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo ℧ (unión) entre ellos.

Semirrectas: Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x>a

(a ,+∞)={x ϵ R/a< x<+∞}

x≥a

¿={x ϵ R /a≤ x<+∞ }

x<a

(−∞,a)={xϵ R/−∞<x<a }

x≤ a

¿={x ϵ R /−∞<x ≤ a }

Valor Absoluto: Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

¿5∨¿5∨−5∨¿5∨0∨¿0

¿ x∨¿2 x=−2 x=2

¿ x∨¿2−2<x<2 x (−2 ,2)

|x|>2 x<2ó x>2 (−∞,2 )℧ (2 ,+∞)

¿ x−2∨¿5−5<x−2<5

−5+2<x<5+2−3<x<7

Propiedades:

Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

¿a∨¿∨−a∨¿

Ejemplo:

¿5∨¿∨−5∨¿5

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

¿a ·b∨¿∨a∨·∨b∨¿

Ejemplo:

¿5 ·(−2)∨¿∨5∨·∨(−2)∨¿

¿−10∨¿∨5∨·∨2∨¿

10=10

El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

¿a+b∨≤∨a∨+¿b∨¿

Ejemplo:

¿5+(−2)∨≤∨5∨+¿(−2)∨¿

¿3∨¿∨5∨+¿2∨¿

3≤7

Distancia: La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d (a ,b) , se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d (a ,b)=¿b−a∨¿

Ejemplo:

La distancia entre−5 y 4es :

d (−5 , 4)=¿ 4−(−5)∨¿∨4+5∨¿∨9∨¿

Definición de entorno: Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er (a)o E(a , r) , al intervalo abierto (a−r , a+r ) .

Er (a)=(a−r , a+r )

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

Er (0)=(−r , r ) se expresa también ¿ x∨¿ r , o bien, −r<x<r .

Er (a)=(a−r , a+r ) Se expresa también ¿ x−a∨¿ r , o bien, a−r<x<a+r .

Entornos laterales

Por la izquierda:

Er ¿

Por la derecha:

Er ¿

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E r∗(a)={x (a−r ,a+r ) , x ≠ a }

Potencias con exponente entero.

Con exponente racional o fraccionario

Propiedades:

a0=1

a1=a

Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am· an=am+n

(−2)5 ·(−2)2=(−2)5+2=(−2)7=−128

División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am

an =am−n

Ejemplo:

(−2)5

(−2)2=(−2)5−2=(−2)3=−8

Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a¿¿m)n=amn ¿

Ejemplo:

(−2¿¿3)2=23∗2=26=64¿

Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

an· bn=(a · b)n

Ejemplo:

(−2)3 ·(3)3=(−6)3=−216

Cociente o división de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an

bn =( ab )

n

Ejemplo:

−63

33=−(63 )

3

=−23=−8

4) Radicales

Un radical es una expresión de la forma n√a, en la que nϵ N y aϵ R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Potencias y radicales: Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción a índice común.

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se

multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores en un radical: Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores en un radical: Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Suma: Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Introducción de factores en un radical. Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Radicales del mismo índice. Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

http://www.vitutor.com/di/re/r10.html

Radicales del mismo índice. Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

5) Potencia.Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

6) RaízLa raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

7) Racionalización


La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

Racionalización del tipo: Se multiplica el numerador y el denominador por

Racionalización del tipo:

Se multiplica numerador y denominador por

Racionalización del tipo: y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

7) LogaritmosDefinición: El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Ejemplos:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a dé a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos:

a. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

b. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

c. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

d. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo:

e. Cambio de base:

Ejemplo:

Ejercicios: Anota cada expresión al conjunto numérico al que pertenece:

I. Rellena el círculo que tú creas que corresponde la representación gráfica dada.

1. Observa el punto gris.

2.

3.

4.

Propiedades de los números reales.

I. Rellena el círculo que tú creas que corresponde a la Elige la propiedad de las operaciones con números reales que se aplica en cada caso:

5.

Propiedad distributiva de la suma.

Propiedad asociativa de la suma.

Propiedad conmutativa de la suma.

6.

Propiedad conmutativa del producto.

Propiedad distributiva de la suma respecto del producto.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.7.

El neutro de un neutro es el mismo número de partida.

El opuesto de un opuesto es el mismo número de partida.

El opuesto de un opuesto es el mismo número opuesto.8.

Propiedad asociativa de la resta.

La suma de un número y su opuesto es el elemento nulo.

La suma de un número y su inverso es el elemento nulo.

9.

Propiedad conmutativa del producto.

Propiedad distributiva del producto.

Elemento neutro del producto.

10.

Elemento neutro del producto.

Propiedad neutra de los números reales.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

11.

Todo número multiplicado por su inverso es igual a la unidad.

Todo número multiplicado por su neutro es igual a la unidad.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.12.

Propiedad interior de la suma de números reales.

Propiedad interna de la suma de números reales.

Las dos respuestas anteriores son correctas.Intervalos.

Elige la opción correcta:

12.El intervalo (2, 8) está formado por ...

Todos los números del 2 al 8 ambos inclusive.

Todos los números del 2 al 8, sin incluir ni el 2 ni el 8.

Los números 2 y 8.

13.El intervalo [−3, 1) está formado por ...

Todos los números comprendidos entre −3 y 1 incluyendo el −3 pero no el 1.

Todos los números comprendidos entre −3 y 1 incluyendo el 1 pero no el −3.

Todos los números comprendidos entre −3 y 1 no incluidos por no ser cerrado el intervalo.

14.Escribir (−2, −1) es equivalente a escribir ...

15.Escribir es equivalente a ...

(3, 7)

[3, 7)

(3, 7]

16.La expresión indica todos los números contenidos entre ...

3 y 5 incluyendo el 5 pero no el 3

3 y 5 incluyendo el 3 pero no el 5

3 y 5 ambos números inclusive.

17.El intervalo [2, 5) se corresponde a la representación gráfica ...

18.La representación gráfica indica ...

Cualquier número contenido entre 3 y 7 pero sin incluirlos.

Cualquier número contenido entre 3 y 7 ambos inclusive.

Cualquier número menor que 3 y mayor que 7.

19.La representación gráfica indica...

Cualquier número menor que −3 y mayor que 2.

Cualquier número menor que −3 y mayor o igual a 2.

Cualquier número mayor que −3 y menor o igual a 2.

20.La representación gráfica se corresponde con la expresión...

21.La representación gráfica se corresponde con ...

(4, 12)

[4, 12)

(4, 12]

Valor absoluto.

22.La solución de la expresión ¿ x−5∨¿2 se puede escribir como...

23.¿−8∨·∨9∨¿ ...

−72

72

56

24.¿ x+3∨.. .

= |x| + |3|

≤ |x| + 3

≤ x + 3

25.¿2 x−5∨≤ .. .

|2x| − 5

2x + 5

|2x| + 5

26.d (−5 ,−2)=.. .

|−5 − (−2)| = 3

|−5 − (−2)| = −3

|−5 − (−2)| = 7Entornos

27.La expresión también se puede escribir como:

28.La representación corresponde al entorno ...

29.La representación gráfica del entorno es ...

30.La representación corresponde al entorno ...



33.La representación corresponde al entorno que se lee como...

Entorno de centro 1 y radio 3.

Entorno lateral por la izquierda de centro 1 y radio 3.

Entorno reducido de centro 1 y radio 3.

Potencias con exponente fraccionario.

34.Escribe en los espacios vacíos los números de las potencias con exponente fraccionario que le es correspondiente:

Operaciones con sucesiones

I. Elige la opción correcta:

1(2 ,5 ,8 ,11 , ...)−(3 , 4 ,5 ,6 , ...)

(−1 ,1,3 ,5 ,...)

(1 ,1,3 ,5 ,...)

(5 ,9 ,13 ,17 , ...)

2(1 ,2,3 ,4 ,5 , ...)+(1 ,2 ,4 ,8 ,16 , ...)=.. .

(2 ,4 ,7 ,12 ,21)

(2 ,4 ,7 ,12 ,21 ,22 ,...)

(2 ,4 ,7 ,12 ,21 ,38 ,...)

3 Si tenemos dossucesiones an=2n−3 , bn=n , entonces .. .

(an+bn)=(3n−3)=(2 ,6 ,9 , ...)

(an ·bn)=(2n2−3)=(−1,5 ,15 ,...)

(an ·bn)=(2n2−3n)=(−1 ,2 ,9 ,...)

4 Dadas las sucesiones(an)=(3n) ,(bn)=(2n−5) , se tieneque .. .

(an−bn)=(n+5)

(an−bn)=(5n−5)

(an−bn)=(n−5)

5 La sucesión(an)=(2,4 ,6 ,...)es invertible y su inversa es ...

Lasdos respuestas anteriores soncorrectas .

6 La sucesión(bn)=(1 ,0 ,3 ,0 ,5 , ...) .. .

es invertible y suinversa es

noes invertible porquetiene elementos nulos .

Lasdos respuestas anteriores son incorrectas .

7 La sucesión(0 ,1 ,2 ,4 ,8 ,).. .

noes invertible .

es invertible y su inversaes (0 ,1 ,0.5 ,0.25 ,0.125 ,...)

es invertible y su inversa es (1 ,0.5 ,0.25 ,0.125 , ...)

8 La sucesión ...

es invertible y es lainversade (5 ,10 ,15 , ...)

es invertible y es lainversade (1 ,5 ,10 ,15 ,...)

noes invertible y es lainversade (5 ,10 ,15 , ...)

Dadas las sucesiones an=2n+4 , bn=2n , cn=10n2+20n ,dn=5 , en=n2−¿ 4 elige la opción correcta:

9

10

5n+20n

5n+10

5+10n

11

2n2+4 n

2n+4

2n2+4

12

No se puederesolver .

2(n−2)

Reducción de radicales a índice común.

35.En los espacios vacíos anotar los procedimientos y encontrar el índice común.

Bloque III: Realizas sumas y sucesiones de números.

Se estudiarán sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales).

Desempeños del estudiante al concluir el bloque Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas y así como sus propiedades. Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y

geométricas. Emplea la calculadora para la verificación de resultado en los cálculos de obtención de

términos de las sucesiones. Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en una

sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y geométricas.

Límites de sucesiones: Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1 , a2 , a3 , ... , an

Los números a1 , a2 , a3 , .. .; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Límite de una sucesión

Límite finito

Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que ¿an−L∨¿ ε.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Se dice que una sucesión an tiene por límiteL si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε , existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito


Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M >0 existe un término ak , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an>M .

Se dice que una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N>0 existe un término ak , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an<−N.

Propiedades de los límites

1. El límite si existe es único.

2. Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismmo límite que an.

3. Todas las sucesiones convergentes están acotadas.

4. Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.

5. Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.

6. Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

Infinitésimos

Una sucesión an es un infinitésimo si tiene por límite cero.

Propiedades:

a) La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.b) El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.c) El producto de infinitésimos es un infinitésimo.d) El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.e) Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an−L) es un infinitésimo. f) Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Operaciones con límites

lim (an+bn)=lim (an)+lim (bn)

lim (an−bn)=lim (an)−lim (bn)

lim (an ·bn)=lim (an) · lim (bn)

lim k·an=k· lim an

lim ank=(lim an)k

lim logaan=loga lim an

Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:

Hay que advertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente igualdades, puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de expresar resultados.

∞ ±k=∞

∞ ±∞=∞

∞−∞=Ind

∞∗k=∞

∞∗∞=∞

∞∗0=Ind

0k=0 k

0=∞

k∞

=0 ∞k

=∞

0∞

=0 ∞0

=∞

00=Ind ∞

∞=Ind

k 0=10∞=0∞∞=∞

0k={0 si k>0∞ si k>0

k ∞={ ∞ si k>10 si0<k<1

00=Ind ∞0=Ind 1∞=Ind

Determinación de una sucesión.

Por el término general

an=2n−1

Por una ley de recurrencia. Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an ybn:

an=a1 , a2, a3 , ... , an

bn=b1 ,b2 , b3 , ..., bn

Suma con sucesiones.

(an)+(bn)=(an+bn)

(an)+(bn)=(a1+b1, a2+b2 , a3+b3 , ... , an+bn)

Propiedades

1) Asociativa:

(an+bn)+cn=an+(bn+cn)

2) Conmutativa:

an+bn=bn+an

3) Elemento neutro

(0)=(0 ,0 ,0 ,...)

an+0=an

4) Sucesión opuesta

(−an)=(−a1 ,−a2 ,−a3 , ... ,−an)

an+(−an)=0

Diferencia con sucesiones.

(an)−(bn)=(an−bn)

(an)−(bn)=(a1−b1 , a2−b2, a3−b3 , ..., an−bn)

Producto con sucesiones.

(an) ·(bn)=(an ·bn)

(an) ·(bn)=(a1· b1 , a2· b2 , a3· b3 , ... , an·bn)

Propiedades.

1) Asociativa:

(an ·bn)· c n=an·(bn· c n)

2) Conmutativa:

an ·bn=bn·an

3) Elemento neutro

(1)=(1,1 ,1 , ..)

an ·1=an

4) Distributiva respecto a la suma

an ·(bn+cn)=an· bn+an· c n

Sucesión inversible: Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Cociente: Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones

Sucesiones Monótonas{ Estrictamente crecientes¿ Estrictamente decrecientes

I. Sucesiones estrictamente crecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1>an

II. Sucesiones crecientes: Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1≥ an

III. Sucesiones estrictamente decrecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1<an

IV. Sucesiones decrecientes: Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1≤ an

V. Sucesiones constantes: Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an=k .

an=an+1

VI. Sucesiones acotadas inferiormente: Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto númeroK , que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente: Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K ', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an≤ k '

- A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.- Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.- Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas: Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número kmenor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K ' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K ' .

k ≤ an≤ K '

a. Sucesiones convergentes: Son las que tienen límite finito. b. Sucesiones divergentes: Son las que tienen límite infinito (+∞ó−∞ ) .

Sucesiones oscilantes: No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1 ,0 ,3 ,0 ,5 ,0 ,7 , ...

Sucesiones alternadas: Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

Progresiones aritméticas: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d .

Término general de una progresión aritmética

1. Si conocemos el 1er término.

an=a1+(n−1)· d

2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an=ak+(n−k )· d

Interpolación de términos:

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

d=b−am+1

Suma de términos equidistantes: Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai+aj=a1+an a1 , a2 , a3 ,…an−2 , an−1 ,an

a3+an−2=a2+an−1=a1+an

Suma de n términos consecutivos

Sn=( a1+an )n

2

Progresiones geométricas: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

r=an

an−1

Término general de una progresión geométrica:

a. Si conocemos el 1er término.

an=a1 ·rn−1

b. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an=ak · rn−k

Interpolación de términos: Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

r=m+1√ ba

Suma de n términos consecutivos

sn=an∗r−a1

r−1

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

s=a11−r

Producto de dos términos equidistantes: Sean aiy aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj=a1 . an

a1 , a2 , a3 ,…an−2 , an−1 ,an

a3 · an−2=a2 · an−1=...=a1· an

Producto de n términos equidistantes

Término general de una sucesión.

1. Comprobar si es una progresión aritmética. 2. Comprobar si es una progresión geométrica. 3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (−1)n.

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (−1)n−1.

5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

Estudio de las indeterminaciones:

Infinito partido infinito

∞∞

Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Regla práctica

I. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

lim ank+…bnk+…

=ab

II. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ±∞ , dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

lim ± ank +r+…bnk+…

=±∞r∈R

III. Si el denominador tiene mayor grado el límite es0.

lim ank+…bnk+r+…

=0 r∈R

Infinito menos infinito

∞−∞

Ejercicios.

II. Elige la opción correcta:1La sucesiónan=(3.5−0.5n).. .

Es convergente y tiene límite 1.

Es divergente.

Es oscilante.

2La suces ión . . .

Es convergente y su límite es 3/2.

Es divergente.

Es oscilante.


Es convergente y su límite es 0.

Es divergente.

Es oscilante.


Es convergente y sus límite son 2 e infinito.

Es divergente.

Es oscilante.

Los términos de esta sucesión alternan de mayor a menor y viceversa, con lo que la sucesión no es convergente ni divergente. Este tipo de sucesiones se llama oscilante.

5La suces ión an=(2,5 ,8 ,11 ,14 ,) .. .

Es estrictamente decreciente.

Es estrictamente creciente.

No es monótona.

6La suces ión (bn)=(5 ,4 ,3 ,3 ,2 ,1 ,0 ,0 ,...) . . .

Es monótona decreciente.

Es monótona creciente.

Es constante.

7La suces ión (bn)=(20 ,10 ,5 ,2.5 ,1.25 ,...). . .



Es constante.

8La suces ión an=(2,4 ,3 ,5 ,4 ,6 ,) . . .



No es monótona.

9La suces ión an=(1 ,1 ,2 ,3 ,4 ,4 ,5 ,...) . . .

Es monótona estrictamente creciente.


Las dos respuestas anteriores son correctas.


Es estrictamente creciente.

Es estrictamente decreciente.

Es constante.

11La suces ión (an)=(1 ,3 ,5 ,7 , ...). . .

Está acotada inferiormente.

Está acotada superiormente.

Está acotada.

12La suces ión (an)=(−1 ,1,−1 ,1 , ...). . .

Está acotada inferiormente.

Está acotada superiormente.

Está acotada.


Está acotada inferiormente por 1.

Está acotada inferiormente por 0.

Está acotada inferiormente por 0 y superiormente por 3.


Está acotada superiormente y 10 es una cota superior.

Está acotada inferiormente y 0 es una cota inferior.

Está acotada inferiormente y 2 es una cota inferior.


Tiende a su ínfimo.

Tiende a su supremo.

No es acotada y por tanto no tiene límite.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.


Tiene ínfimo (y mínimo) 8.

No es convergente.

No está acotada superiormente y es creciente.

Las tres respuestas anteriores son correctas.


Está acotada inferiormente y tiende a su ínfimo, que es 0.

Es decreciente.

Está acotada.


18La suces ión (an)=(4n+7) . . .

Está acotada superiormente y su supremo es 11.

Está acotada inferiormente y su ínfimo (y mínimo) es 11.

Converge a 11 porque es su ínfimo (y mínimo).

Converge a 11 porque es su supremo.

19La suces ión (an)=(8 ,4 ,2,1 ,0.5 ,...) . . .

Está acotada superiormente y su supremo es 0.

Está acotada inferiormente y su ínfimo es 0.

Tiene límite su ínfimo, 8.

Tiene límite su supremo, 0.


Es creciente, acotada superiormente por 0 y converge a 0.

Es decreciente, acotada inferiormente y converge a 1.5.

Es creciente, acotada superiormente, con supremo 2 y converge a 2.


III. Di si las siguientes progresiones son aritméticas o no:

1 . La suces ión (an)=(29 ,27 ,25 ,23 ,21 ,...) es una progres ión a r i tmét ica .

Sí y su distancia es d = 2

Sí y su distancia es d = −2

No

2. La suces ión (an)=(1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,...) es una progres ión a r i tmét ica .

Sí y su distancia es 3

Sí y su distancia es 2n+1

No

3. La sucesión (an)=(1 ,2,3 ,11 ,12 ,13 ,21, ...) es una progresión aritmética.

Sí pero no tiene distancia.

Sí y sus distancias son d1 = 1 y d2 = 8

No

3. La suces ión (an) = (1 , 5 , 9 , 13 , 17, . . . ) es una progres ión a r i tmét ica .

Sí y su término general es (an) = 4n − 3

Sí y su término general es (an) = 4n + 5

No

IV. Completa con lo que se pida en cada caso:

5 . (an) = ( 4 3 , 36 , 29 , 22 , . . . )

a 1 =

d =

6. (bn) = ( 5 , 8 , 11 , 1 4 , . . . )

bn

=

7. (bn) = ( 3 .7 5 , 4 , 4 . 2 5 , 4 . 5 , . . . )

a 2 0 =

43;-7

3n+2_3•n+2_3*n+

d =

8. (bn) = ( 1 , 1 . 1 , 1 .2 , 1 . 3 , 1 . 4 , . . . )

bn

=

V. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas conociendo los datos indicados de cada una:

9 . a 3 = 5 , a 1 0 = 61

a 1 =

d =

a 9 = 4 , a 1 5 = 13

a 1 =

d =

8.5;0.25_1/4

0.1n+0.9_0.1•n+0

-11;8

-8;1.5

a 1 0 = 17 , a 1 3 = 23

an =

d =

2n-3_2*n-3_2·n-3

a 2 5 = − 11 5 , a 2 = 0

an =

d =

VI. Completa sabiendo que los números son términos de progresiones aritméticas:

2 , , , , 2 6

− 5 , , , 3 0

39 , , , 2 7

− 9 , , , , , 5

VII. Realiza las siguientes sumas de términos consecutivos de progresiones aritméticas:

Calcula la suma de los primeros siete términos de la progresión aritmética.

(an) = (−4 , 1 , 6 , 11 , 16 , . . . )

S 7 =

10-5n_10-5·n_10

8;14;20

2;9;16;23

35;31

-6.2;-3.4;-0.6;2.2

77

Calcu la la suma de los p r imeros 4 té rminos de la suces ión (an)=(3n−1)

S n =

¿Cuál es la suma de los p r imeros 100 números natu ra les?

S 1 0 0 =

VI I I . Realiza el siguiente problema:

Marco, Ana, José y Eva son hermanos que se llevan 3 años cada uno con su siguiente. Sus edades suman 38 años. Sabiendo que José tiene 11 años y que el orden en que se dan los nombres es de menor a mayor edad ¿sabrías decir la edad de cada uno de ellos?

Marco

Ana

José

Eva

Bloque IV: Realizas transformaciones algebraicas. I

Desempeños del estudiante al concluir el bloque. Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios. Comprende las diferentes técnicas de factorización, como, de extracción de factor común y

agrupación; de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.

Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

26

Álgebra:Es una parte de las ciencias Matemáticas que se encarga de estudiar números y letras de forma general. Al trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Conceptos Básicos:

Termino Algébrico: Es una expresión matemática que está compuesta por varios elementos, cada término puede llegar a formar parte de una expresión matemática mayor: binomio, trinomio, polinomio. Por tanto un término también se le conoce como monomio (ya que el monomio se distingue por tener un solo termino) y un polinomio puede estar formado por “n” cantidad de términos.

Elementos de un término algebraico.

Signos: los términos que están precedidos de un signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que están precedidos del signo – se llaman términos negativos.

Coeficiente: se llama coeficiente al número que se coloca delante de una cantidad para multiplicarla.

Parte literal: La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Términos Semejantes:Son aquellos que tiene idéntico “factor literal”, es decir tienen las mimas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

Reducción de términos semejantes:Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal.

Ejemplo:

Expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr , donde res el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S=l2 donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo:V=a3, donde a es la arista del cubo.

Evaluar una expresión algebraica consiste en “sustituir” las letras por los “valores” numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.

Ejemplo: Si a=1 , b=−1 y c=−2, entonces a4+b3−3c2

Sustituimos….(1)4+(−1 )3−3(−2)2= +1−1−3 (+4 )=0−12=−12

Resuelve:

1) Si a=−2 , b=−3 yc=4, entonces ab2−a3

c=¿

2) Si x=−5 , y=2 , z=12 , entonces ( x+ y ) z=¿

4. Si a=−2 y b=7, encuentra el valor de cada expresión

3ab – b+2ab+3b

4) 2a2−32

a2b−1=¿

5) 3a2b−7 a2b=¿

Lenguaje algebraico: ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana. Por lo que es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir,

cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X . ,Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o

expresión algebraica.

Ejemplos:

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x2

Un tercio de un número:x3

Un cuarto de un número: x4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

a. Valor numérico

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

b. Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Operaciones con monomios.

a) Suma de Monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

b) Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

c) Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

d) Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x )=an x n+an−1 x n−1+an−2 xn−2+ ...+a1x 1+a0

Siendo an ,an−1...a1 , ao números, llamados coeficientes.

N , un número natural.

x, la variable o indeterminada.

ao, es el término independiente.

a. Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

b. Polinomio completo

Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado

c. Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

d. Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.e. Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Operaciones con polinomios.

Suma de polinomios:Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia: consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Multiplicación de polinomios:

- Producto de un número por un polinomio: Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

- Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

- Producto de polinomios Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio. Se suman los monomios del mismo grado.

División de polinomios:

P(x )Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:

D=d · c+r

Regla de Ruffini.Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

(x4−3x2+2): (x−3)

- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. - Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

- Sumamos los dos coeficientes.

- Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.- El último número obtenido es el resto.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes

son los que hemos obtenido.

Identidades notables.

a) Binomio al cuadrado.

(a±b)2=a2±2· a · b+b2

b) Suma por diferencia

(a+b)·(a−b)=a2−b2

c) Binomio al cubo.

(a±b)3=a3±3 · a2 · b+3 · a · b2±b3

Factorización de un polinomio.

1. Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

2. Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Observaciones.

1. Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.2. A cada raíz del tipo x=a le corresponde un binomio del tipo (x−a) . 3. Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo x — a, que se correspondan a las raíces x=a que se obtengan. 4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio. 5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x=0, ó lo que es lo

mismo, admite como factor x.

6. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Métodos para factorizar un polinomio.

A. Sacar factor común: Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a ·b+a·c+a ·d=a(b+c+d)

- Igualdades notables- Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2−b2=(a+b)·(a−b)

B. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2±2ab+b2=(a± b)2

C. Trinomio de segundo grado

ax2+bx+c=a·( x−x1)·( x−x2)

D. Polinomio de grado superior a dos: Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.1) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2 ,±3.2) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.3) Dividimos por Ruffini.4) Por ser la división exacta, D=d · c 5) Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que

obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.

Fracciones algebraicas.

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes:

o Dos fracciones algebraicas

Son equivalentes, y lo representamos por:

Si se verifica que P(x )· S (x)=Q(x) ·R (x) .

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas.

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

o Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.

o Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

o Operaciones con fracciones algebraicaso Suma y diferencia de fracciones algebraicaso Fracciones algebraicas con igual denominadoro La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica

con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.o Fracciones algebraicas con distinto denominadoro En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador, posteriormente

se suman los numeradores.

Producto de fracciones algebraicas.

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Cociente de fracciones algebraicas.

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

I. Completa la siguiente tabla, colocando dentro de los recuadros lo que se te indica.

II. Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

a) 13 x3=¿b) 5 x−3=¿c) 3 x+1=¿d) √4 x=¿

e)−34

x4=¿

III. Realiza las sumas y restas de monomios.f) 2 x2 y 3 z+3 x2 y 3 z=¿g) 2 x3−5 x3=¿h) 3 x4−2 x4+7 x4=¿i) 2a2bc3−5a2bc3+3a2bc3−2a2bc3=¿

IV. Efectúa los productos de monomios.

j) (2 x3 )· (5 x3 )=¿k) (12 x3 ) · (4 x )=¿l) 35 ·(2 x2 y3 z )=¿m) (5 x2 y3 z )· (2 y3 z2 )=¿n) (18 x3 y2 z5 ) · (6 x3 y z2 )o) (−2 x3 )· (−5 x ) · (−3 x2 )=¿

V. Realiza las divisiones de monomios.

p)(12x3 )

(4 x )=¿

q)(18x6 y2 z5 )(6 x3 y z2 )

=¿

r) (36 x3 y7 z4 )¿¿

s) 4 x5+18 x4−18 x5 y 4−48 x10 y3

6 x2 y3=¿

t) 12x3 y5+18 x5 y7−48 x12 y6

3 x2 y2=¿

VI. Calcula las potencias de los monomios.

u) (2 x3 )3=¿

v) (−3 x2 )3=¿

w) ( 23 x3)2

=¿

VII. Desarrolla los siguientes binomios:

1) ( x+5 )2=¿2) (2 x−5 )2=¿3) (3 x−2 )2=¿

4) (x2−12 x)2

=¿

VIII. Desarrolla los siguientes binomios al cubo:

5) (2 x−3 )3=¿6) ( x+2 )3=¿7) (3 x−2 )3=¿8) (2 x+5)3=¿

IX. Desarrolla los siguientes productos:9) (3 x−2 ) · (3 x+2 )=¿10) ( x+5 ) · ( x−5 )=¿11) (3 x−2 ) · (3 x+2 )=¿12) (3 x ²+5)·(3 x ²−5)=¿

X. Desarrolla las expresiones:13) (x2−x+1 )2=¿14) 8 x3+27=¿

15) 8 x3−27=¿16) ( x+2 ) (x+3 )=¿

XI. Factorización y raíces de polinomios.

Factorizar

17) x3+ x2=¿

18) 2 x4+4 x2=¿19) x2−4=¿20) 9+6x+x2=¿21) 2 x4+x3−8 x2−x+6=¿22) 2 x3−7 x2+8 x−3=¿23) x3−x2−4=x3+3 x2−4 x−12=¿24) 6 x3+7 x2−9 x+2=¿

XII. Dados las siguientes operaciones elige la opción correcta:a) (x+5)2=.. .

2 x2+2 ·5 · x+52

x2+25x+10

x2+10x+25

b) (2 x3−6)2=...

2 x6−24 x3+36

4 x6−24 x3+36

4 x6+24 x3−36

c) (2+3)2 Se puede hacer usando la fórmula del binomio cuadrado...

Y esta es la única forma de hacerlo.

Y también se puede hacer: (2+3)2=52=25, que es más rápido.

Y esta es la forma más eficaz de hacerlo.

d) (3 x2+7)(3x2−7)=...

9 x4−49

9 x2−49

3 x4−49

e) 25−4 x6=.. .

(5−2x )(5+2 x)

(5−2x3)(5+2 x3)

(5+x3)(5−x3)

f) (2 x−5)3=.. .

8 x3−30 x2+150 x−125

8 x3+60x2+150 x+125

8 x3−60 x2+150 x−125

g) (4 x2+5 y+3)2=.. .

16 x4+25 y2+9+40x2 y+24 x2+30 y

16 x2+25 y2+9+40 x2 y+24 x2+30 y

16 x2+25 y2+9+20x2 y+24 x2+30 y

h) 27 x6−125=...

(3 x3−5)(9 x4+15 x4+25)

(3 x2+5)(9x4−15 x2+25)

(3 x2−5)(9 x4+15 x2+25)

i) (3 x+5)(3 x−5)=...

9 x2−25

9 x2−5

3 x2– 25

XI I I . Ca lcu la los va lo res numér icos ind icados en cada caso:

A(x )=7 x3−3 x2−x+10A(2) =

A(2)=7 ·23−3 ·22−2+10=¿

P(x )=5 x7−4 x2−11 x+17¿7 ·8−3 ·4−2+10=¿56−12−2+10=52

P(−1) =

B (x )=x4−5 x2+7x−20P(−1)=5 ·(−1)7−4 ·(−1)2+11 ·(−1)+17=¿

¿5 ·(−1)−4 ·1+11 ·(−1)+17=¿

¿−5−4−11+17=−3

B(0) =

BLOQUE VRealizas transformaciones algebraicas II. En los Bloques IV y V se estudiarán operaciones con polinomios en una variable y factorizaciones básicas y de trinomios (incluyendo productos notables y expresiones racionales).

Desempeños del estudiante al concluir el bloque Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x2+bc+c Y ax2+bx+c.

Con, a≠0,1 , como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas.

Expresa trinomios de la forma x2+bc+c Y ax2+bx+c. Con, a≠0,1 , como un producto de factores lineales.

Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas.

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la

división de polinomios. Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factores comunes y la

división de polinomios. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Factorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión significa escribirla como un producto de otras expresiones.Consiste en escribir una expresión como producto de las otras expresiones.El primer paso de factorización es determinar si todos los términos del polinomio tienen un Máximo Factor Común (MFC) y si es así factorizar por él.

52_52.;

-3;-3.

Los casos de factorización son: Factor común monomio Factor común polinomio Factor común por agrupación Diferencia de cuadrados perfectos Diferencia de cubos perfectos Suma de cubos Perfectos Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x2+bc+c Trinomio de la forma a x2+bc+c

a) Método Agrupaciónb) Método Cruzadoc) Sustitución.

Factorización de polinomios.

CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

I. Factor Común Monomio: Para factorizar monomios se realizara el siguiente procedimiento.

a. Factorizar los coeficientes por m.cd.b. Factorizar la parte literal.

Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.1) a2+2

Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término común y el m .c .d (1,2)es 1Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es a.La solución entonces viene dada por:a2+2a=a(a+2a)

2) 10b−30abFactorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el m .c .d (10,30) descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene que m .c .d (10,30)=10Factorización de la parte literal: En este caso el único factor común es b.La solución entonces viene dada por: 10b−30ab2=10b (1−3ab)

3) 2b x2+2b2 x−3b2 x3Factorización de los coeficientes: En este caso los coeficientes no tienen un término común y el m .c .d (3,2)es 1Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término bx .La solución entonces viene dada por: 2b x2+2b2 x−3b2 x3=bx (2 x+2b−3b x2)

4) 93a3 x2 y+62a2x3 y−124a2 x

Factorización de los coeficientes: En este caso se tiene que hallar el m .c .d (93 ,62 ,124) , descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia se obtiene que m.c.d (93, 62, 124)=31

Factorización de la parte literal: En este caso tenemos como factor común el término La solución entonces viene dada por:

5) Factorización de los coeficientes: En este caso el factor común es 1 Factorización de la parte literal: Para obtener factor común de la parte literal primero se debe hallar el m.c.d de los exponentes de cada término. Para el caso del término a se tiene m.c.d (24, 12, 16) = 4 y para el

término y m.c.d (15, 21, 9) = 3, por lo tanto el factor común de la parte literal es La solución entonces viene dada por:

b) Factor Común Polinomio: Para factorizar polinomios se deberá hallar el binomio o polinomio de la expresión dada que es común para los demás términos.

Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1)

En esta expresión los términos a y b tienen como factor común el binomio , por lo tanto la solución

viene dada por:

2) Para poder factorizar la expresión dada primero debemos hacer una manipulación, factorizando el signo menos que acompaña a x y a 2, nos queda entonces:

Expresión en la cual se ve de manera más clara que se tiene como factor común el binomio , por lo tanto la solución viene dada por:

3) Para poder factorizar la expresión dada primero debemos hacer una manipulación, factorizando el signo

menos que acompaña , nos queda entonces

Expresión en la cual se ve de manera más clara que se tiene como factor común el binomio , por lo tanto la solución viene dada por:

CASO II: Factor común por agrupación de términos. En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la

expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1) Al observar detalladamente la expresión dada se puede apreciar que los dos primeros términos tienen a x como factor común y los dos últimos términos tienen a y como factor común, por lo tanto podemos reescribir

la expresión como: y en esta expresión el binomio es factor común del término x y del término y por lo que la solución viene dada por:

La expresión dada también puede ser factorizada considerando el primer y tercer término tienen como factor

común a y el segundo y cuarto término tienen como factor común a , podemos entonces reescribir la

expresión dada como: y en esta expresión el binomio es factor común del término a y del término b por lo que la solución viene dada por:

2) Observando la expresión dada podemos notar que el primer y el tercer término tienen como factor común a 2x y el segundo y cuarto término tienen como factor común a 3y, reescribiendo se tiene:

, factorizando signo menos en la se tiene: por lo

tanto nos queda: , expresión que tiene como factor común el binomio , por lo tanto la solución es:

3) En la expresión dada se pueden agrupar los términos de varias maneras en este caso agruparemos de la siguiente manera: primer y tercer término, segundo y quinto termino y finalmente cuarto y sexto termino, tenemos entonces:

Agrupación de primer y tercer término: Tienen como factor común el término .

Agrupación de segundo y quinto término: Tienen como factor común el término .

Agrupación de cuarto y sexto término: Tienen como factor común el término .Reescribiendo se tiene:

Si observamos detalladamente todavía podemos seguir factorizado, ya que el segundo y tercer término tienen

como factor común el binomio , por lo tanto:

En esta última expresión aún podemos factorizar un poco más ya que en se tiene a como factor común, nos queda entonces:

, y en esta

expresión resultante factorizando el signo menos se tiene al binomio como factor común, por lo que tiene:

El resultado final es:

Nota: La forma en que se agruparon los términos no es única, se le recomienda al estudiante que agrupe los términos de manera diferente para verificar que se obtiene el mismo resultado.

CASO III: Trinomio Cuadrado Perfecto.Antes de entrar en detalle sobre este caso es recomendable que el estudiante tenga claro algunos conceptos básicos necesarios para poder reconocer y factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Entre esos conceptos básicos se tienen los siguientes:Cuadrado Perfecto: Se dice que una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.

Ejemplo: Es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de , es decir: Raíz Cuadrada de un Monomio: Para extraer la rías cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y el exponente de la parte literal se divide entre dos.

Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de

Solución: Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomio iguales.

Ejemplo: Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos, y el segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo: Dado determine si es un Trinomio Cuadrado Perfecto.Para determinar si es un trinomio cuadrado perfecto debemos aplicar la regla anterior, para ello debemos determinar si el primer y tercer término son cuadrados perfectos y si el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer monomio.

Se cumplen las condiciones por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto.Regla para factorizar un trinomio es cuadrado perfecto.La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1)

Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Cálculo de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

Doble producto de las raíces: Si es un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:

2) Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.Cálculo de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

Doble producto de las raíces: Si estamos en presencia de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto aplicando la regla para factorizar, tenemos:





CASO IV: Trinomio de la forma .

Para poder factorizar un trinomio de la forma se debe cumplir las siguientes condiciones:El coeficiente del primer término es 1.El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Regla para factorizar un trinomio de la forma: .1) Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

3) Si los dos factores binomios tienen en medios signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio, mismos que serán los segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en medios signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor es el segundo término del segundo binomio.

Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1.Pasos:

En este ejercicio es fácil ver que los valores son: por lo tanto la solución es:

2.Pasos:


3.

Pasos:

(I)

(II)En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de x1 y x2 que cumplan con las ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos el tercer término y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los números buscados. En nuestro caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, es decir:

En nuestro ejercicio tenemos:

Obtenemos entonces dos valores para , dichos valores son -18 y 12, tomamos los valores absolutos de estos números, es decir, x1=18 y x2=12 por lo tanto la solución es:

CASO V: Trinomio de la forma .Para factorizar este tipo de trinomios realizaremos lo siguientes pasos.1) Multiplicar el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el producto de por

2) Reescribimos la expresión como: y aplicamos el procedimiento empleado

para factorizar trinomios de la formaEjemplos: Factorizar las siguientes expresiones.

1) Pasos:

A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma

, es decir,

(I)

(II)


Pero como inicialmente multiplicamos por 6, se debe dividir por 6 para obtener la solución final, tenemos entonces:

Como ninguno de los binomios es divisible por 6, se descompone el 6 en 2 * 3, para tener:

Finalmente el resultado buscado es:

2) Pasos:

A partir de este momento se trabaja con el procedimiento para factorizar trinomios de la forma

, es decir,

(I)

(II)

En este ejercicio no es tan fácil encontrar los valores de que cumplan con las ecuaciones dadas anteriormente, una forma de hallarlos es descomponer en factores primos el tercer término y variando los factores formar combinaciones al tanteo, hasta hallar los números buscados. En nuestro caso aplicaremos la fórmula para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, es decir:

En nuestro ejercicio tenemos:

Obtenemos entonces dos valores para , dichos valores son -15 y 8, tomamos los valores

absolutos de estos números, es decir, por lo tanto la solución es:

Pero como inicialmente multiplicamos por 20, se debe dividir por 20 para obtener la solución final, tenemos entonces:

Como ninguno de los binomios es divisible por 20, se descompone el 20 en 4 * 5, para tener:

Finalmente el resultado buscado es:

CASO VI: Factorización por Completación de cuadrados.

Se dice que en un trinomio cuadrado de la forma con , se ha completado

cuadrados, si se han encontrado tres números reales , , y tal que se cumpla:

Donde: por lo tanto:

Igualando los coeficientes de los términos semejantes se tiene;

Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomioSi aplicamos las fórmulas anteriores se tiene:

Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:

Procedimiento para completar cuadrados en un trinomio de la forma sin hacer uso de las fórmulas anteriores:

1) Obtener factor común del coeficiente del término

2) Multiplicar y dividir por 2 el término

3) Elevar al cuadrado al coeficiente y sumarlo y restarlo a la expresión

4) Seleccionar de la expresión resultante los términos correspondiente a un producto notable de la

forma

Ejemplo: Completar cuadrados en el siguiente trinomioSiguiendo los pasos para completar cuadrado se tiene:

1)

2)

3)

4) Si queremos verificar que el resultado es el mismo que obtuvimos por fórmula realizamos las operaciones algebraicas necesarias:

Por lo tanto el resultado de completar cuadrados en la expresión dada es:

Ejercicios de factorización de un polinomio

Elige la opción correcta:

1) Las raíces del pol inomio 2x 3 − 4x 2 son. . .

0 y 20 y −22

2) Las raíces del pol inomio x 2 − 3x − 4x + 12 son.. .

2 y 32 y 43 y 4

3) El pol inomio x 2 − 36 se factor iza como.. .

(x + 6) 2 y su única ra íz es −6 (x − 6) 2 y su única ra íz es 6 (x − 6)(x + 6) y sus raíces son 6 y −6

4) Las raíces del pol inomio 16x 4 − 256 son. . .

2 y −2

2, −2, y

2

5) Las raíces de x 4 − 18x 2 + 81 son.. .3 y −33 que es raíz doble.−3 que es ra íz doble.

6) 9x 2 + 72x + 144 t iene como raíz. . .

4 que es una raíz doble.−4 que es una ra íz doble.2 que es una raíz doble.

7) Las raíces del pol inomio x 2 − 5x − 176 son. . .

8 y −1111 y −16−11 y 16

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) Las raíces del pol inomio x 4 − 10x 2 + 9 son. . .

3 y 13, −3, 1 y −1 9 y 1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) Las raíces del pol inomio x 3 − 3x 2 − 4x + 12 son.. .

−2, 2 y 32, −3 y 34, 3 y 2

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) Las raíces del pol inomio 16x 3 − 4x 2 − 32x + 15 son. . .

BLOQUE VIRESUELVES ECUACIONES LINEALES I En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la

relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. Modela situaciones para

escribirlas como una ecuación lineal y/ o una función lineal. Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones

lineales en una variable y/ o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/ o resultados al solucionar problemas de

ecuaciones y/ o funciones lineales; tanto algebraica como gráfica. Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal. Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

BLOQUE VIIRESUELVES ECUACIONES LINEALES II En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal. Desempeños del estudiante al concluir el bloque Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones dos incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes Algebraicos: Eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución. Gráficos. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Identifica gráficamente sí un sistema de ecuaciones simultaneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

BLOQUE VIIIRESUELVES ECUACIONES LINEALES III En los Bloques VI, VII y VIII se estudiarán, respectivamente, los sistemas de ecuaciones de 1x1, 2x2 y 3x3, en estrecha conexión con la función lineal. Desempeños del estudiante al concluir el bloque Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes. Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta), sustitución. Gráficos. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

BLOQUE IX RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS I. Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática. Desempeños del estudiante al concluir el bloque Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable: Completa: . Con , Incompleta: Y . Con ,| Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta. Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y formula general para ecuaciones incompletas. Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completas. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias. Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas. Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.

BLOQUE X RESUELVES ECUACIONES CUADRÁTICAS II. Finalmente en los Bloques IX y X se estudiarán las ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática. Desempeños del estudiante al concluir el bloque Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas. Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables como una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo. Transforma la función cuadrática a la forma estándar ( ) así obteniendo las coordenadas del V(h, k) para trazar su gráfica. Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución de la ecuación cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante √ tiene soluciones reales, imaginarias o complejas. Visualiza que al cambiar los parámetro de “a, b y c” en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical. Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles.

Curso de algebra i

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