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    Notas de Algebra Moderna

    Enrique Rodrguez Castillo

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    Contenido

    I Grupos 5

    I.1 Denici on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.3 El grupo simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.4 El Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.5 Acciones de grupos en conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.6 Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.7 Homomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.8 Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.9 Mas aplicaciones de acciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 29I.10 Teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.11 El grupo alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    I.12 Automorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.13 Productos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39I.14 Productos semidirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41I.15 Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    II Anillos 53II.1 Denici on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.2 Dominios enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.3 Anillos cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.4 Adjunci on de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.5 Polinomios en Z[x] y Q [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    II.6 Dominios de factorizaci on unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72II.7 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.8 Matrices y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.9 Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.10 Matrices de presentaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87II.11 Sumas directas de m odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.12 Aplicaciones a operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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    4 CONTENIDO

    III Campos y Teora de Galois 99III.1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99III.2 Teora de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106III.3 Campos de descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111III.4 Teorema Fundamental de la Teora de Galois . . . . . . . . . . . 113III.5 Solubilidad por radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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    CAP ITULO I

    Grupos

    Las raices histoicas de la Teora de Grupos surgen en la Geometra al comienzodel siglo XIX, en la Teora de Numeros y en la Teora de Ecuaciones Algebraicasal nal del siglo XVIII. El matematico frances E. Galois (1811-1832) fue quienintrodujo por primera vez el concepto de Grupo al que-hacer matem atico ydenio las nociones de subgrupos normales y grupos cocientes; su trabajo fue elinspirador para crear toda esta teora.

    I.1. Denici on y ejemplos La primera denicion de grupo abstracto se debe almatem atico britanico A. Cayley (1821-1895) quien

    hacia enfacis en la necesidad de tener una denici on abstracta de lo que es ungrupo, pues en aquel tiempo, s olo se consideraban grupos de permutaciones yCayley demostro que los grupos abstractos que el denio eran algebraicamenteequivalentes a subgrupos de algun grupo de permutaciones; la denici on antualde grupo fue dada por primera vez por el matem atico alem an W. von Dyck(1856-1934).

    Denici on I.1.1. Un grupo es un conjunto G provisto de una operaci on bi-naria : G G G tal que (G1) La operaci on es asociativa, es decir, para cualesquiera tres elementos a ,b y c de G se satisface que a(bc) = ( ab)c.(G2) Existe un elemento e G tal que ea = a = ae para todo a G.(G3) Para cada a G existe un elemento b G tal que ab = e = ba.

    Notese que, por (G2), un grupo es no vaco. Al grupo que consta de un s oloelemento se le llama grupo trivial .

    Si tomamos cuatro elementos de un grupo G, digamos a,b,c y d, podemospreguntarnos de cu antas maneras diferentes podemos asociarlos para formarproductos de estos cuatro elementos? Se puede ver que las siguientes son todas

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    6 Grupos

    las maneras diferentes en que podemos poner parentesis a los productos decuatro elementos en un grupo:

    a(b(cd)) , a((bc)d), (ab)(cd),

    ((ab)c)d, (a(bc))d.

    Notese que siempre se tiene un que queda fuera de los parentesis. Encon-traremos una formula recursiva para determinar el n umero de maneras diferentesde introducir parentesis a un producto de una cantidad nita de elementos deun conjunto no vaco con una operaci on binaria:

    Sea cn el numero de maneras distintas de poner parentesis para multiplicarlos elementos a1 , a 2 , . . . , a n +1 . Es claro que c0 = 1. c1 = 1, ya que a1 a2 esel unico producto que podemos formar. c2 = 2 pues tenemos a1 (a2 a3) y(a1a2)a3 . En general, para multiplicar a los n+1 elementos, podemos primerocontar el n umero de maneras en que el producto se asocia a1 (a2 an +1 ) yel parentesis lo podemos asociar de cn 1 maneras distintas; luego, contamos losproductos que se ven ( a1 a2)(a3 an +1 ) y nuevamente, tenemos c1cn 2 yas sucesivamente; al nal, se tiene la f ormula

    cn = c0cn 1 + c1cn 2 + + cn 1c0 =n 1

    i=1

    ci cn 1i .

    A los numeros cn , se les conoce como numeros de Catalan . Ahora veremosuna consecuencia de la asociatividad de la operaci on en un grupo.

    Lema I.1.1. Cualquier manera de asociar a1 , a 2 , . . . , a n para multiplicarlos con una operaci on binaria asociativa en el orden dado da el mismo resultado.

    Demostraci on. Probaremos el Lema por inducci on a partir de n = 3. La aso-ciatividad de la operaci on binaria nos da el primer paso, as que supondremosque el resultado es valido para todo entero positivo menor que n. Sea P elresultado de una manera de asociar a1 , a 2 , . . . , a n . Como antes lo mencionamos,existe un que queda fuera de los parentesis, podemos concluir que existe1 i n 1 tal que P = ( a1 a i ) (a i +1 an ). Por hip otesis inductiva,el producto ( a i+1 an ) nos da el mismo resultado de cualquier forma que loasociemos, as que ( a i+1 an ) = ( a i +1 an 1)an y por la asociatividad sesigue que

    (a1 a i )[(a i +1 an 1)an ] = [(a1 a i )(a i +1 an 1)]an .Nuevamente, por la hip otesis inductiva, ( a1

    a i )

    (a i+1

    an 1) lo podemos

    asociar de cualquier forma as que P = ( a1 an 1)an , donde en ( a1 an 1)no importa como se asocie el producto.Ejercicio. Sea G un grupo. Muestre que existe un unico elemento e G tal que ea = a = ae. Tambien muestre que para cada a G existe un unico elemento b tal que ab = e = ba.

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    I.1 Denici on y ejemplos 7

    Denici on I.1.2. Al elemento e lo llamaremos elemento identidad del grupoy lo denotaremos por 1. Si a

    G, el elemento b que satisface a

    b = 1 = b

    alo llamaremos inverso de a y lo denotaremos por a1 .

    Al usar notacion aditiva, al elemento identidad se le suele denotar por 0y al elemento inverso de a por a. A continuaci on, presentamos dos de laspropiedades basicas de los inversos.Ejercicio. Sea G un grupo. Si a G, muestre que (a1)1 = a; tambibenmuestre que si b G, entonces (ab)1 = b1a1 .

    Denici on I.1.3. Sea G un grupo. Denimos a0 def = 1 y para cada n umeronatural n, an def = an 1a y a

    n = ( a1)n .

    Hemos denido as las potencias enteras de elementos de un grupo. Ennotaci on aditiva, las potencias seran los m ultiplos de elementos del grupo y sedenotaran por na en lugar de an . En el siguiente ejercicio, se enuncian las leyesde los exponentes.

    Ejercicio. Sean G un grupo, a G y m, n Z . Muestre que am an = am + n y (am )n = amn .Ahora, veremos una de las consecuencias de la existencia de inversos en un

    grupo.

    Lema I.1.2. (Leyes de cancelaci on) . Sea G un grupo y a, b y c tres elementos de G.

    1. Si ab = ac, entonces b = c.2. Si ba = ca, entonces b = c.

    La demostracion quer a como ejercicio.

    Denici on I.1.4. Un grupo G se llama abeliano si a b = b a para todoa, b G.En un grupo abeliano G se tiene que (ab)

    n = anbn para a, b G y paratodo entero n. Adem as, si (ab)n = an bn para todo par de elementos de ungrupo G y tres enteros consecutivos, entonces G debe ser un grupo abeliano.

    Esta proposicion queda como un ejercicio.

    Denici on I.1.5. El orden de un grupo G es su cardinal y se denota por

    |G

    |.

    Diremos que G es un grupo nito si |G| es nito; de lo contrario, diremos que G es un grupo innito .Ejemplo:

    1. El conjunto de los numeros enteros Z con la operaci on binaria + es ungrupo abeliano innito.

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    8 Grupos

    2. Los campos Q , R y C son grupos abelianos aditivos innitos.

    3. Denimos F = F {0}, donde F es un campo. Los conjuntos F songrupos abelianos multiplicativos. Tambien, R+ def = {x R : x > 0} es ungrupo abeliano multiplicativo innito.

    4. Si n es un numero natural, denimos el conjunto

    C ndef = {ei

    2 kn : k Z}.

    C n es un grupo abeliano multiplicativo nito.

    5. El conjunto de numeros complejos de modulo 1 se denota por S1 , el cuales un grupo abeliano multiplicativo innito.

    6. Si X es un conjunto no vaco, denimos

    S (X ) def = {f : X X |f es biyectiva }.S (X ) es un grupo llamado grupo simetrico en X . En general, S (X ) noes abeliano. Denimos [ n]def = {1, 2, . . . , n } y al grupo S ([n]) lo denotamossimplemente por S n y lo llamamos grupo simetrico de grado n.

    7. Sea F un campo y denamos el conjunto de matrices de nn con entradasen el campo F como el conjuntoM n (F )

    def = {(a ij )n n : a ij F}.El conjunto de todas las matrices invertibles en M n (F ) lo denotaremospor GL n (F ) y se llama grupo lineal general .

    8. Sean G y H dos grupos y formemos su producto cartesiano, G H . De-namos en G H un producto componente-a-componente:(g1 , h1)(g2 , h2)

    def = ( g1 g2 , h1 h2).G H se llama el grupo producto de G y H .

    De ahora en adelante, se omitir a la notaci on ab para el producto del elementoa con el elemento b y se denotar a al producto simplemente por ab.

    I.2. Subgrupos El concepto de subgrupo es muy util en el estudio de grupos,pues algunas de las propiedades que poseen los subgrupos son

    transferidas al grupo.

    Denici on I.2.1. Sea G un grupo. Un subconjunto H de G se llama subgruposi

    (S1) para todo a, b H se tiene que ab H ,

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    I.2 Subgrupos 9

    (S2) el elemento identidad de G es elemento de H ,

    (S3) cada elemento de H tiene su inverso en H .

    En el caso cuando H es subgrupo de un grupo G, lo denotaremos por elsmbolo H G. Si H es un subconjunto propio de G y es un subgrupo de G,lo denotaremos por H < G .Ejercicio. Si H es un subgrupo de un grupo G, muestre que H es un grupo.

    Observe que la familia de subgrupos de un grupo G es no vaca, pues al menos

    {1} es un subgrupo de G. Si G es no trivial, entonces la familia de subgruposde G tiene al menos dos elementos, el grupo trivial y G mismo.Lema I.2.1. Sean I un conjunto de ndices y {H i : i I } una familia de subgrupos de un grupo G, entonces

    iI

    H i

    G.

    La demostracion queda como un ejercicio.

    Denici on I.2.2. Sea S G. El subgrupo generado por S es el subgrupode G m as peque no que contiene a S y lo denotamos por S .De la denici on anterior, vemos que si H G y S H , entonces S H .Por tanto, tenemos que

    S =S H G

    H.

    Ejercicio. Sea S G. Muestre que

    S = {1}{s11 s22 skk : k N, 1 i k, s i S, i = 1}.

    Denici on I.2.3. Un grupo G se llama cclico si existe un elemento g Gtal que G = {g}. En tal caso, {g} lo denotamos por g . Al elemento g lollamamos generador de G. El orden de un elemento a G es o(a)

    def = | a |.Observe que g = g1 para todo elemento g.

    Proposici on I.2.2. Sea a un elemento de orden nito de un grupo G, entonces o(a) es el mnimo entero positivo k para el cual ak = 1 .

    Demostraci on. Si a = 1, entonces o(a) = 1. Si a = 1 tomemos m N talque 1,a ,a 2 , . . . , a m 1 son elementos distintos de G y existe 0 i < m talque am = ai . Si i > 0, entonces am i = 1 con 0 < m i < m , lo que esabsurdo, por la eleccion de m; por lo que i = 0, es decir, am = 1. Ahora,sea k Z, por el algoritmo de la division, existen enteros q y r tales quek = mq + r con 0 r < m ; luego, tenemos que ak = aqm + r = ( am )qa r = a r yas, a = {1,a ,a 2 , . . . , a m 1}.

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    10 Grupos

    Ejemplo:

    1. El grupo aditivo Z es cclico innito generado por 1. Si n Z, n < Ztambien es innito.2. Sea H = An GL 2(Q ) : An =

    1 n0 1 , n Z . H es un subgrupo

    cclico innito de GL 2(Q ).

    3. El grupo C n es un subgrupo cclico nito del subgrupo innito S1 delgrupo multiplicativo C.

    4. El grupo R + es un subgrupo de R.

    5. El conjunto SL n (F )def = {A GLn (F ) : det A = 1} es un subgrupo deGL n (F ). Se le llama grupo lineal especial .

    6. Los conjuntos G {1} y {1}H son subgrupos de G H .

    I.3. El grupo simetrico El primer matematico que estudio las permutacionesfue el frances J. L. Lagrange (1736-1813) en su trabajo

    sobre Teora de Ecuaciones Algebraicas al estudiar como actuaban las permuta-ciones de las raices de una ecuacion cubica. El matematico frances A. L. Cauchy(1789-1857) realiz o uno de los trabajos mas importantes sobre permutacionesen el siglo XIX al estudiar las permutaciones de las raices de una ecuacion alge-braica, lo que lo condujo a estudiar las permutaciones por s mismas. A Cauchyse le atribuyen los conceptos de orden de una permutaci on , potencias enteras de permutaciones , la notaci on ciclica y el concepto de permutaciones conjugadas .

    Una forma usual de escribir una permutaci on S n es = 1 2 n(1) (2) (n)

    ;

    tambien podemos omitir el primer rengl on y los parentesis para escribir a lapermutacion como una palabra: = (1)(2) (n).Denici on I.3.1. Sean X un conjunto no vaco, nito y S (X ). Diremos que ja a un elemento a X si (a) = a; diremos que mueve a un elemento a X si (a) = a. Si k es un n umero natural mayor que 1, decimos que es un k-ciclo si existen k elementos distintos de X , digamos a1 , a 2 , . . . , a k ,tales que

    1. para 1 i < k se tiene (a i ) = a i+1 ,2. (ak ) = a1 ,

    3. ja a todo elemento de X {a1 , a 2 , . . . , a k}.Si es un k-ciclo, lo denotaremos por ( a1a2 ak ). Esta notaci on no esunica, de hecho, hay k formas distintas de escribir el mismo k-ciclo.

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    I.3 El grupo simetrico 11

    Denici on I.3.2. Un 2-ciclo se llama transposici on . Dos ciclos (a1a2 ak )y (b1b

    2 b

    m) son disjuntos si

    {a

    1, a

    2, . . . , a

    k} {b

    1, b

    2, . . . , b

    m } =

    .

    Ejercicio. Muestre que dos ciclos disjuntos conmutan entre si. Adem as, el orden de un k-ciclo es k.

    Ejemplo: Sea X = [7] y

    = 1 2 3 4 5 6 71 5 7 4 3 6 2 ,

    entonces = 1574362 = (2537) es un 4-ciclo de S 7 .

    A continuacion veremos la importancia que tienen los ciclos en S n .

    Proposici on I.3.1. Sea X un conjunto nito y no vaco. Toda permutaci on distinta de la identidad es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos.

    Demostraci on. Sea m el numero de elementos en X que mueve y hagamosinducci on sobre m. Como = 1, entonces m > 1. Si m = 2, entonces mueve solo dos elementos de X y as, es una transposici on. Supongamos quela proposici on es valida para todas las permutaciones que mueven menos de melementos y sea a1 X un elemento al que mueve, si denimos ai = (a i1)para i 2 sabemos que existe un entero positivo k tal que

    k = min {i N : a i+1 {a1 , a 2 , . . . , a i}};

    ahora, mostremos que (ak ) = a1 : sabemos que existe 1 i k tal que(ak ) = a i y si i = 1 tendramos que (ak ) = a i = (a i1) lo que contradice lainyectividad de . Denamos ahora las siguientes permutaciones: = ( a1a2 ak )

    y

    (a) = a si a {a1 , . . . , a k}(a) en otro casoAs, = y mueve menos elementos que . El resultado se sigue de aplicarla hip otesis inductiva a .

    Ejercicio.

    Muestre que la factorizacion en ciclos disjuntos de una permutaci ones unica, salvo el orden en que aparecen los ciclos. Adem as, muestre que el numero de k-ciclos en S n es n (n 1) (n k+1)k .

    Denici on I.3.3. Sea S n . Una inversi on de es una pareja ordenada (i, j ) [n] [n] tal que i < j y (i) > ( j ). El n umero de inversiones de lodenotaremos por inv(). Denimos el signo de como sgn() def = ( 1)inv( ) .

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    12 Grupos

    Ejemplo: La permutacion identidad no tiene inversiones, por lo que inv(1) = 0y sgn(1) = 1.

    Denici on I.3.4. Para 1 k < n denimos kdef = ( k(k + 1)) y le llamamos

    transposici on simple .

    Observe que inv( k ) = 1 para todo 1 k < n .Lema I.3.2. Sea S n , entonces inv( k ) = inv( ) 1 para toda 1 k < n .Demostraci on. Denotemos por i = (i) y escribamos

    = 1 k k + 1 n1 k k+1 dots n.

    Si k < k +1 , entonces ( k, k + 1) no es inversion de y si es inversion de kya que

    k =1 k k + 1 n1 k +1 k dots n

    ;

    De aqu se sigue que inv( k ) = inv( ) + 1. Ahora, si k > k+1 , entonces(k, k + 1) es inversion de pero no es inversi on de k por lo que se tieneinv( k ) = inv( ) 1.Corolario I.3.3. Para S n y 1 k < n se tiene sgn() = sgn( k ).Si = i 1 i 2 i l , entonces sgn() = ( 1)l . Adem as, si = i 1 i 2 i 1 = j 1 j 2 j m , entonces l m mod 2.

    Ahora, veremos que papel juegan las transposiciones en S n .

    Proposici on I.3.4. Toda permutaci on en S n es producto de transposiciones.

    Demostraci on. Sea S n . Si = 1, entonces 1 = (12)(12). Si = 1, sabemosque es un producto de ciclos disjuntos, as que bastar a probar el resultadopara ciclos. Podemos ver que el k-ciclo (a1a2 ak ) se puede expresar como elproducto ( a1ak )(a1ak1) (a1a2).Teorema I.3.5. S n est a generado por el conjunto de transposiciones simples.

    Demostraci on. Bastara mostrar que toda transposici on se puede expresar comoproducto de transposiciones simples. Sea = ( ij ), con i < j . Podemos ver que

    = i

    j

    3( j

    2 j

    1 j

    2) j

    3

    i

    Este resultado nos dice que a pesar de que S n es un grupo muy grande, den! elementos, posee un conjunto muy peque no de generadores, el n umero detransposiciones simples en S n es n 1.Corolario I.3.6. Sean , S n , entonces sgn() = sgn( )sgn( ).

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    I.3 El grupo simetrico 13

    Demostraci on. Supongamos que = i 1 i 2 i l y = j 1 j 2 j m , entonces = i 1

    i 2

    i l

    j 1

    j 2

    j m

    y as

    sgn() = ( 1)l+ m = ( 1)l (1)m = sgn( ) sgn( ).

    Ejercicio. Sea = ( a1a2 ak ) y S n . Muestre que 1 = ( (a1)(a2) (ak )) .

    Corolario I.3.7. Para toda permutaci on

    S n , sgn() = sgn( 1).

    Denici on I.3.5. Decimos que una permutaci on S n es par si sgn() = 1 ;en otro caso, decimos que es impar . Denamos el conjuntoAn

    def = { S n : es par }.Teorema I.3.8. Para cada n N, An S n y es llamado grupo alternante .Ejercicio. Muestre que |An | = n !2 .

    Ahora, estudiaremos un concepto ligado al de inversi on de permutaciones.

    Denici on I.3.6. Una expresi on reducida para

    S

    n es un producto de

    transposiciones simples = i 1 i 2 i l de longitud mnima. La longitud de = 1 , denotada por (), es la longitud de cualquier expresi on reducida para .Denimos (1) def = 0 .

    Ejemplo: Considere = 1 2 33 2 1 = (13) .

    Es claro que = (23)(12)(23) y tambien = (12)(23)(12). En este caso vemosque inv( ) = 3 y as sgn( ) = 1; esto nos dice que se expresa como unproducto de un numero impar de transposiciones, y como no es una trans-posicion simple, las expresiones dadas para son expresiones reducidas y portanto, () = 3.

    Lema I.3.9. Si S n , entonces inv() ().Demostraci on. Sea k = (), sabemos que existen k transposiciones simples,digamos i 1 , i 2 , . . . , i k S n , tales que i 1 i 2 i k es una expresi on reducidapara . Recordemos que inv( i j ) = 1 y por el Lema I.3.2, inv( i 1 i 2 ) 2.

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    14 Grupos

    Probaremos por inducci on que inv( i 1 i j ) j : el caso j = 1 es claro; sisuponemos cierta la armaci on para todo entero menor que j , vemos queinv( i 1 i j 1 i j ) = inv( i 1 i j 1 ) 1 ( j 1) + 1 = j.

    Por tanto, inv( ) k = ().Teorema I.3.10. Para cada S n se tiene que inv() = ().Demostraci on. Si = 1 es claro. Supongamos que = 1 y por el Lema anterior,basta demostrar que () inv(): sean k = inv( ) y (i, j ) una u inversion de, entonces i < j y (i) > ( j ). Denamos ahora

    m def = min {r : i < r j, (i) > (r )}para tener que ( i, m ) es una inversi on de y (i) (m 1), de donde se con-cluye que ( m 1, m ) es una inversi on de . Sabemos que inv( l1 ) = inv( ) 1,donde l1 = m 1. Si inv( l1 ) = 0, entonces inv( ) = 1 y esto nos diceque es una transposicion simple por lo que inv( ) = (); si inv( l1 ) > 0,podemos repetir el proseso anterior k-veces para obtener transposiciones simples l2 , . . . , lk tales que inv( l1 l2 lk ) = 0. As, vemos que l1 l2 lk = 1 yse obtiene una expresion para como el producto lk lk 1 l1 de transposi-ciones simples. Por tanto, k = inv( ) ().Ejercicio. Sea a < b. Calcule inv( ), donde = ( ab). Si es el k-ciclo (a1a2 ak ), calcule sgn(). Tambien, muestre que el conjunto

    {1, (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) }es un subgrupo de S 4 .

    I.4. El Teorema de Lagrange El matem atico suizo L. Euler (1707-1783) estu-dio la aritmetica modular y aun que no la rela-

    ciono con el concepto de grupo, dio la demostraci on de un caso particular delTeorema de Lagrange as como algunas concecuencias de tal Teorema aplicadoa grupos ciclicos.

    La relaci on de congruencia en el conjunto de numeros enteros motiva lasiguiente denicion, que es la adaptacion para grupos de dicha relaci on.

    Denici on I.4.1. Sean G un grupo, H G y a, b G. Decimos que a escongruente con b modulo H si a1b H y lo denotamos por a H b.Lema I.4.1. La relaci on de congruencia m odulo un subgrupo es una relaci on de equivalencia en G.

    Demostraci on. Como H es subgrupo de G, tenemos que a1a = 1 H paratodo elemento a G. Si a H b, entonces a1b H y tambien su inversob1a H por lo que b H a. Si a H b y b H c, entonces tanto a1bcomo b1c estan en H y por la cerradura del producto de H , tenemos quea1c = ( a1b)(b1c) H .

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    I.4 El Teorema de Lagrange 15

    Denici on I.4.2. Sean G un grupo, H G y a G. Una clase lateralizquierda de H en G es el conjuntoaH def = {ah : h H }.

    Al conjunto de clases laterales izquierdas de H en G lo denotaremos por G/H .

    Lema I.4.2. Para cada a G, tenemos aH = {g G : g H a}.Demostraci on. Sea g aH , entonces existe h H tal que g = ah y as, a1g =h H . Ahora, si g H a, entonces a1g H y as, existe h H tal quea1g = h y se obtiene as la otra contenci on.

    Este resultado nos dice que el conjunto de clases laterales forma una partici onde G y as, las clases laterales son disjuntas y cubren a todo el grupo. Vemosque H es una clase lateral ya que H = 1H y es la unica clase lateral que es unsubgrupo de G, pues 1 H .Corolario I.4.3. Sean G un grupo, H G y R un conjunto de representantes de la relaci on de congruencia m odulo H , entonces

    G =a

    R

    aH,

    donde denota uni on disjunta.Tambien podemos denir la relaci on de congruencia modulo un subgrupo enotra forma:

    Denici on I.4.3. Sean G un grupo, H G y a, b G. Diremos que a escongruente por derecha con b m odulo H si ab1 H y lo denotaremos por aH b.Ejercicio. Muestre que la relacion de congruencia por derecha m odulo un sub-grupo es una relacion de equivalencia en G. Si a G y H G, denamos el conjunto

    Ha def = {ha : h H } y llamemoslo una clase lateral derecha de H en G. Al conjunto de clases laterales derechas de H en G lo denotaremos G\H . Muestre que para cada a

    G se tiene Ha =

    {g

    G : gH

    a

    }. Ademas, muestre que los conjuntos

    G/H y G\H tienen la misma cardinalidad.Denici on I.4.4. Sea H G. El ndice de H en G es el n umero de clases laterales de H en G y se denota por [G : H ].Lema I.4.4. Sean G un grupo, H G y a, b G, entonces existe una biyecci on entre los conjuntos aH y bH . En particular, si H es nito, |aH | = |bH |.

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    16 Grupos

    Demostraci on. Considere la funci on f : aH bH denida por g ba1g.Vemos que f (g1) = f (g

    2) si y solo si ba

    1g

    1 = ba

    1g

    2 y multiplicando ambos

    lados por ( ba1)1 tenemos que g1 = g2 , por lo que f es inyectiva. Para cadag bH , digamos g = bh con h H , tenemos que g = ah aH yf (g) = ba1g = ba1(ah) = bh = g,por lo que f es suprayectiva.

    Corolario I.4.5. Sea G un grupo. Si H G, entonces |G| = [G : H ]|H |.Demostraci on. Si expresamos a G como union disjunta de clases laterales de H en G podemos ver que |G| = aR |aH |, donde R es un conjunto de repre-sentantes de clases laterales de H en G. Por el Lema I.4.4, |aH | = |H | y as,|G| = aR |H | = [G : H ]|H |.Teorema I.4.6. (Lagrange). Si H es un subgrupo de un grupo nito G, en-tonces |H | divide a |G|.

    El Teorema de Lagrange tiene varias consecuencias interesantes para gruposnitos.

    Corolario I.4.7. Sea G un grupo nito. Para cada a G, o(a) divide a |G|.

    Ejercicio. Sea a G un elemento de orden nito. Muestre que ak = 1 si y solo si o(a) divide a k.

    Corolario I.4.8. Sea G un grupo nito. Si a G, entonces a|G | = 1 .

    Ejercicio. Sean p un numero primo y G un grupo de orden p. Muestre que Ges cclico y que cualquier elemento distinto de 1 genera a G.

    Un resultado aritmetico sobre los ndices es el siguiente

    Teorema I.4.9. Sean K H G, entonces [G : K ] = [G : H ][H : K ].Demostraci on. Si expresamos a H como union disjunta de clases laterales deK tenemos H =

    iI

    hi K ; del mmismo modo, G =

    jJ

    gj H y se concluye

    que G puede ser expresado como jJ gj iI hi K y como las uniones sondisjuntas,G =

    jJ iI

    gj h i K

    que es una expresi on de G en clases laterales de K . Por tanto, [ G : K ] =

    |J I | = |J | |I | = [G : H ][H : K ].

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    I.5 Acciones de grupos en conjuntos 17

    I.5. Acciones de grupos enconjuntos

    Las acciones de grupos son una de las herramien-tas modernas de la Teora de Grupos. Algunasde sus aplicaciones se encuentran en la Topologa

    Algebraica, en la Geometra, en Combinatoria y en la misma Teora de Gruposcomo veremos mas adelante.

    Denici on I.5.1. Sea G un grupo y X un conjunto no vaco. Una acci onde G en X es una aplicaci on G X X que asocia a cada pareja (g, x) un elemento g.x X tal que

    (Ac1) 1.x = x para todo x X ,(Ac2) g.(h.x ) = ( gh).x para todo par de elementos g, h G y todo x X .

    Diremos que G act ua en X , o bien X es un G-conjunto , si existe una acci on de G en X .

    Ejemplo: Sea G un grupo.

    1. G act ua en G/H para cualquier subgrupo H por translacion: denimosG G/H G/H por g .(xH ) = ( gx)H .

    2. G act ua en s mismo por conjugaci on: denimos G G G por g.x =gxg1 .3. G act ua en si mismo por translaci on: denimos G G G por g.x=gx.4. Sea H G y X un G-conjunto, entonces X es un H -conjunto por re-stricci on de la accion.

    Denici on I.5.2. Sea X un G-conjunto y g G. Denimos g : X X por g (x) = g.x.

    Ejercicio. Muestre que

    1. 1 = idX ,

    2. g h = gh para todo g, h G,3. g 1 es la funcion inversa de g para todo g G.

    Teorema I.5.1. Sean G un grupo y X un conjunto no vaco. Existe una biyecci on entre las acciones de G en X y los homomorsmo de G en S (X ).

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    18 Grupos

    Demostraci on. Sea G X X una acci on y denamos X : G S (X ) porg

    g. Por el ejercicio anterior,

    X es un homomorsmo de grupos. Ahora, sea

    : G S (X ) un homomorsmo de grupos y denamos la aplicaci on GX X por g.x = (g)(x). Veamos que esto dene una accion: si x X , entocnes1.x = (1)( x) = idX (x) = x y si g, h G, entoncesg.(h.x ) = g.(h)(x) = (g) (h)(x) = (gh)(x) = ( gh).x,

    por lo que G act ua en X . Resta ver que estas asignaciones son inversas: Si Gact ua en X , entonces la acci on que induce de X es la misma ya que X (g)(x) =g (x) = g.x; del mismo modo, sea un homomorsmo de grupos de G en S (X ),la accion que dene este homomorsmo es g.x = (g)(x), pero el homomorsmo(X ) se dene por X (g) = g la cual a cada x le asocia g .x = (g)(x).

    Ejemplo:

    1. Sea F un campo, entonces GLn (F ) act ua en F n : denimos GLn (F )F n F n por A.x = Ax , donde la operacion de la derecha es la multiplicaci onde matrices, viendo a x como una matriz de n 1.

    2. Para cada n N , S n act ua en [n] por evaluaci on: denimos S n [n] [n]por .i = (i).3. Tambien, S n act ua en Fn permutando coordenadas: sea S n y B =

    {e 1 , e 2 , . . . , e n } la base can onica de F n ; denimos .e i = e ( i ) y para cadax F n , tenemos.x def =

    n

    i=1

    x i e ( i ) =n

    j =1

    x 1 ( j ) e j .

    As, tenemos .(x1 , x2 , . . . , x n ) = ( x 1 (1) , x

    1 (2) , . . . , x 1 (n ) ).

    Ejemplo:

    Denici on I.5.3. Denotemos por O(n) al conjunto de todas las matrices en GL n (R ) que satisfacen AT A = I d, es decir,

    O(n) def = {A GLn (R ) : AT A = Id}.A los elementos de O(n) se les llaman matrices ortogonales .

    Teorema I.5.2. El conjunto O(n) es un subgrupo de GLn (R ) llamado grupoortogonal .

    Estudiaremos el caso n = 2: Si A O(2), entonces A =a bc d y se tiene

    AT A = Id = AAT = a bc da cb d =

    a2 + b2 ac + bdca + db c2 + d2

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    I.5 Acciones de grupos en conjuntos 19

    En consecuencia, se tiene que (a, b) 2 = 1 = (c, d) 2 y (a, b), (c, d) = 0.Por tanto, los renglones de la matriz A forman una base ortonormal deR 2 ; como AT = A1 O(2), se sigue que las columnas de A tambienforman una base ortonormal para R 2 .Ahora, si A O(2), entonces

    1 = det Id = det( AT A) = det( AT )det A = (det A)2 ,

    por lo que det A = 1. Sea A O(2); analicemos estos casos por separado.det A = 1 . Como la primera columnas de A tiene norma 1, existe [0, 2) tal que su primera columna es de la forma (cos , sen ). Sabe-

    mos que la segunda columna de A tiene norma 1 y es ortogonal a laprimera, por lo que se tienen las siguientes dos posibilidades:

    Ae 2 =cos( + 2 ), sen( +

    2 ) = ( sen , cos )

    cos( + 32 ), sen( + 3

    2 ) = (sen , cos )Como det A = 1, la segunda posibilidad no es valida y por tanto

    A = cos sen sen cos R .

    R se llama matrz de rotaci on por un angulo .

    det A = 1. En este caso, vemos que A toma la forma

    A = cos sen sen cos Rx ,

    donde x es un vector ortogonal a la recta con pendiente . Rx sellama matrz de reexi on a travez de la recta con pendiente.

    Sea R una matriz de rotaci on por un angulo y supongamos que existenx , y R 2 tal que R x = y , entonces y se encuentra al rotar a x un angulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

    Denici on I.5.4. Para cada n N denimos el conjuntoSO (n) def = {A O(n) : det A = 1}.

    Teorema I.5.3. Para cada n N , el conjunto SO(n) es un subgrupo de O(n)llamado grupo ortogonal especial .

    Ahora, estudiaremos la din amica que presenta una acci on de grupo.

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    20 Grupos

    Denici on I.5.5. Sea X un G-conjunto y x X . La G-orbita de x es el conjuntoOG (x)

    def = {g.x : g G}.El estabilizador de x es el conjunto

    Gxdef = {g G : g.x = x}.

    Ejercicio. Sea X un G-conjunto y x X . Muestre que Gx G.Ejemplo:

    1. Sea = ( a1a2 ak ) S n y H = , entonces H actua en [n] porrestricci on de la acci on de S n . Vemos que i (a1) = a1+ i y as, es claroque OH (a i ) = {a1 , a 2 , . . . , a k}.

    2. Considere la acci on de GL2(R ) en R2 , entonces O(2) act ua en R2 porrestricci on. Si x = ( r, 0), para r > 0, vemos que

    OO (2) (x ) = {y R 2 : y = r}.3. Considere la acci on de S n en [n] por evaluaci on. Si x = n, entonces

    (S n )x = { S n : (n) = n}.

    Ejercicio. Sea X un G-conjunto, entonces para cada g G y x X tenemos Gg.x = gGx g1 . Aqu, gGx g1

    def = {ghg1 : h Gx}.

    Denici on I.5.6. Un G-conjunto X es transitivo si existe x X tal que OG (x) = X , o equivalentemente, si X = y para toda pareja x, y X existe g G tal que y = g.x.Ejercicio. Muestre que las dos deniciones dadas en la Denici on I.5.6 sonequivalentes.

    Observemos que si X es un G-conjunto y denimos la relaci on x G y si ysolo si existe g G tal que y = g.x, entonces G es una relaci on de equivalenciaen X y las clases de equivalencia son las distintas orbitas en X . Si R es unconjunto de representantes de las orbitas en X , entonces

    X =x

    R

    OG (x);

    adem as, cada orbita es un G-conjunto transitivo.

    Ejemplo:

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    I.5 Acciones de grupos en conjuntos 21

    1. G/H es un G-conjunto transitivo.

    2. [n] es un S n -conjunto transitivo.

    3. La accion de G en si mismo por conjugaci on no es transitiva, en este casolas orbitas OG (x) se llaman clases de conjugaci on y se denotan porconjG (x)

    def = {gxg1 : g G}.4. La accion de G en s mismo por translaci on es transitiva.

    5. Considere la acci on de GLn (F ) en Fn . Dados x , y Fn {0} podemosencontrar A GL n (F ) tal que A. x = y . El procedimiento es el siguiente:sean {x , x 2 , . . . , x n }, {y , y 2 , . . . , y n } bases de Fn y A : F n F n la trans-formaci on lineal denida por x

    y y para 2

    i

    n , x i

    y i . Luego,

    es claro que la matriz A asociada a la transformaci on lineal A satisfaceAx = y y A GLn (F ). Esto muestra que OGL n (F) (x ) = Fn {0} paracualquier x = 0.

    Denici on I.5.7. Sean X y Y dos G-conjuntos. Una aplicaci on f : X Y es un homomorsmo de G-conjuntos si para todo g G y x X se cumple f (g.x) = g.f (x). Diremos que los G-conjuntos son isomorfos si existe un homomorsmo de G-conjuntos f : X Y que sea biyectivo; en tal caso lodenotaremos por X = G Y .Proposici on I.5.4. Sean X un G-conjunto transitivo y x X , entonces X = GG/G x , donde la acci on de G en G/G x es por translaci on de clases laterales.Demostraci on. Denamos f : G/G x X por gGx g.x, la cual esta biendenida y es inyectiva pues gGx = hGx h1g Gx h1 .(g.x) =(h1g).x = x g.x = h.x . Ahora, al ser X un G-conjunto transitivo, paracada y X existe g G tal que g .x = y y as, f (gGx ) = y.Corolario I.5.5. Sean X un G-conjunto y x X , entonces OG (x) = G G/G x .Si G es nito, entonces |OG (x)| = [G : Gx ].Ahora, veremos algunas aplicaciones de acciones de grupos a la Teora de Gru-pos.

    Denici on I.5.8. Sea g G. El centralizador de g en G es el conjuntoC G (g)

    def = {h G : hg = gh}.Observe que para cada x G, C G (x) es el estabilizador de x cuando Gact ua en s mismo por conjugaci on y as, C G (x) G. Ademas, se tiene queconjG (x) = G G/C G (x) y si G es nito, |conjG (x)| = [G : C G (x)].

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    22 Grupos

    Denici on I.5.9. Sea S G. El centralizador de S en G es el conjuntoC G (S ) def = {g G : gs = sg para todo s S }.

    El centro de G es el conjunto

    Z (G) def = {g G : gh = hg para todo h G}.Observe que C G (S ) = sS

    C G (s) G y Z (G) = C G (G) G. Ademas,g Z (G) C G (g) = G.Recuerde que S (G) denota la familia de subgrupos de G y denamos unaaccion de G en S (G) por g.H = gHg1 llamada acci on de G por conju-gacion en su familia de subgrupos.

    Ejercicio. Muestre que G

    S (G)

    S (G) denida por g.H = gHg1 es una

    accion de G en S (G).

    Denici on I.5.10. Sea H G. El normalizador de H en G es el conjuntoN G (H )

    def = {g G : gH = Hg}.Notese que N G (H ) es el estabilizador de H en la accion de G por conjugaci on

    en su familia de subgrupos, por lo que N G (H ) G. Tambien tenemos que{gHg1 : g G} = G G/N G (H ) y si G es nito, [G : N G (H )] es el numero desubgrupos de G conjugados a H .Ejercicio. Sean H, K G y denamos la aplicacion (H K ) G G por

    (h, k ), g hgk1. Muestre que esta aplicaci on dene una acci on de H K en G.

    Denici on I.5.11. Sean H, K G y g G. Una clase lateral doble de H y K en G es el conjuntoHgK def = {hgk : h H, k K }.

    Es claro que OH K (g) = HgK para todo g G.Proposici on I.5.6. Sea G un grupo nito y H, K G, entonces para todog G se tiene

    |HgK | = |H

    | |K

    ||H gKg1|.Demostraci on. Vemos que

    (H K )gdef = {(h, k ) H K : (h, k ).g = g} = {(h, k ) : hgk1 = g}= {h H : g1hg K } = {(h, k ) : g1hg = k}= {h H : h gKg1} = H gKg1

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    I.6 Subgrupos normales 23

    y as tenemos

    |HgK | = |OH K (g)| = [H K : (H K )g ] = |H K ||(H K )g | = |H | |K ||H gKg1|

    .

    Denici on I.5.12. Sean S, T G. Denimos ST def = {st : s S, t T }.

    Corolario I.5.7. Si S, T G, entonces |ST | = |S ||T ||S T | .I.6. Subgrupos normales En el trabajo de E. Galois se presenta por primera

    vez el concepto de subgrupo normal y es el primermatem atico que trabaja con cocientes de estructuras algebraicas. Esta noci ontiene sus respectivos an alogos en otras estructuras como lo veremos en anillos,

    modulos y espacios vectoriales.Denici on I.6.1. Sea N G. Diremos que N es un subgrupo normal de Gsi para todo g G se tiene gN = N g. En tal caso, lo denotaremos por N G.

    Notese que N G si y solo si para todo g G se tiene gNg1 = N .Ejercicio. Todo subgrupo de ndice 2 es normal.

    Lema I.6.1. Un subgrupo N de G es normal si y s olo si gNg1 N para todog G.Demostraci on. La necesidad es evidente. Para la suciencia, sea b G, entoncesbNb1

    N y tambien tenemos que b1Nb = ( b1)N (b1)1

    N , de donde seconcluye que N bN b1 .Ejemplo:

    1. Considere T +2 (Q ) GL 2(Q ) el grupo de matrices triangulares superioresde orden 2 con entradas racionales y sea H el subgrupo cclico generadopor la matriz con entradas igales a 1, es decir,

    H = 1 10 1 A1 .Si A es la matriz diagonal con entradas 2 , 1 y An = ( A1)n H , se tieneque AAn A1 = A2n . De aqu vemos que A1 /

    AHA1 y por tal razon,H no es un subgrupo normal de T +2 (Q ).

    2. En S 4 considere el 4-grupo de Klein

    V = {1, (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) }.Si V {1}, entonces su factorizacion en ciclos disjuntos se conformadel producto de dos transposiciones disjuntas y como todos los posibles

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    24 Grupos

    productos de dos transposiciones disjuntas en S 4 son los elementos de V , setiene que V contiene a todas las permutaciones con tipo cclico (2 , 2). Porun ejercicio anterior, sabemos que todos los conjugados tienen el mismotipo cclico as que V contiene a todos los conjugados de cada uno de suselementos. Por tanto, V S 4 .

    3. Si G es un grupo abeliano, H G para todo H S (G).4. Considere SL n (F ) GLn (F ). Si A SL n (F ), entonces para toda B GL n (F ) se tiene que

    det( BAB 1) = det B det A (det B )1 = det A = 1 .Por tanto, BAB 1 SLn (F ) y se concluye que SLn (F ) GL n (F ).

    Ejercicio. Sean H, K G. Muestre que H K G si y solo si H K = KH .Proposici on I.6.2. Sean H, K G.

    (1) Si K G, entonces HK G y H K H .(2) Si H, K G, entonces HK G y H K G.

    Demostraci on. (1) Sea h H , entonces hK = Kh por ser K un subgruponormal de G y as, hK K H para todo h H . Por tanto, H K K H .La otra contencion es similar. Por el ejercicio anterior, H K G.Si h H y g H K , entonces hgh 1 H , por ser g un elemento de H , ytambien hgh

    1

    K , por ser K normal en G. As, vemos que H

    K H .

    (2) Por la parte (1) se tiene HK G. Si g G y hk HK , entoncesg(hk)g1 = ( ghg1)(gkg1) HK , por ser ambos subgrupos normalesde G. Por tanto, HK G. El resto de la demostraci on queda comoejercicio.

    Si N G, denimos una operacion binaria en G/N :

    (aN )(bN )def = ( aN )(bN ), (I.1)

    donde la operacion en el lado derecho es el producto de subconjuntos en G.Observe que ( aN )

    (bN ) = ( ab)N ya que (aN )(bN ) = a[(Nb)N ] = a[(bN )N ] =

    (abN ).Teorema I.6.3. Sea G un grupo y N G, entonces G/N es un grupo con la operaci on denida en (I.1).Denici on I.6.2. Sean G un grupo, N un subgrupo normal de G y G/N el grupo denido en el Teorema I.6.3. El grupo G/N se llama grupo cocientede G por N .

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    I.7 Homomorsmos 25

    I.7. Homomorsmos El matem atico alem an C. Jordan (1838-1922) fue el pri-mero en denir lo que es un isomorsmo de permuta-

    ciones y trabajo con series de composici on de grupos de permutaciones, despues,el tambien matem atico alem an O. Holder (1859-1937) generalizo el trabajo de C.Jordan a grupos abstractos. Aqui estudiaremos las aplicaciones que preservanla estructura de grupo.

    Denici on I.7.1. Sean G y H dos grupos. Una aplicaci on : G H se llama homomorsmo de grupos si para cualesquiera a, b G se tiene que (ab) = (a)(b).

    Un homomorsmo biyectivo se llama isomorsmo ; en tal caso, decimos que los grupos G y H son isomorfos y lo denotamos G = H . Si : G G es un isomorsmo, lo llamaremos automorsmo .

    Observe que si : G H es un homomorsmo de grupos, entonces (1) = 1,(a1) = (a)1 y para todo n Z se tiene que (an ) = (a)n .Ademas, si : G H y : H K son homomorsmo de grupos, entonces : G K es tambien un homomorsmo de grupos; si es isomorsmo,entonces 1 : H G es tambien un isomorsmo.Teorema I.7.1. La relaci on de isomorsmo de grupos es una relaci on de equiv-alencia en la clase de grupos.

    Ejemplo:

    1. El grupo aditivo de los enteros es isomorfo al grupo

    H = 1 n0 1 : n Z .

    2. Sea G un grupo y g G, entonces existe un unico homomorsmo degrupos : Z G tal que (1) = g.3. Sea N G y denamos : G G/N por (a) = aN . se llama laproyecci on canonica y es un homomorsmo de grupos.4. La funcion det : GLn (F ) F es un homomorsmo.5. Sea X un conjunto con n elementos, entonces S (X ) = S n .6. Sean H, K

    G, entonces H

    = K no implica que H y K sean conjugados.

    7. Si H y K son dos subgrupos conjugados de G, entonces H = K .8. Sea a G y denamos a : G G como a (b) = aba1 , entonces a esun automorsmo de G.9. Si denimos G H como g 1, entonces esta aplicacion es un homo-morsmo llamado el homomorsmo trivial y se denota por 0 : G H .

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    26 Grupos

    Denici on I.7.2. Sea : G H un homomorsmo de grupos. El nucleo de es el conjunto

    1(1) y se denota por ker. La imagen de es el conjunto

    (G) y se denota por Im.

    Observe que Im H y ker G.Ejemplo:

    1. ker det = SLn (F ).

    2. Si : G G/N , entonces ker = N .

    Teorema I.7.2. (Teorema del homomorsmo). Sea : G H un homomor- smo de grupos y N G. Si N

    ker, entonces existe un unico homomorsmode grupos : G/N H tal que = , donde : G G/N es la proyecci on can onica.

    G

    H

    G/N !

    Demostraci on. Denamos : G/N H por (aN ) = (a) y veamos que esta bien denida: sabemos que

    aN = bN b1

    aN = N b1

    a N kerpor lo que (b)1(a) = (b1a) = 1 y as, (a) = (b). Es claro que = y como es un homomorsmo de grupos,

    ([aN ][bN ]) = ([ab]N ) = (ab) = (a)(b) = (aN )(bN ).

    Ahora, sea : G/N H un homomorsmo de grupos tal que = , entonces(aN ) = (a) = (a) = (aN )

    para todo aN G/N .Teorema I.7.3. (Primer Teorema de Isomorsmo). Sea : G

    H un homo-

    morsmo de grupos, entonces G/ ker = Im.Teorema I.7.4. (Segundo Teorema de Isomorsmo). Sean G un grupo y N G. Si H G, entonces HN/N = H/ (H N ).Teorema I.7.5. (Tercer Teorema de Isomorsmo). Sean H y K dos subgrupos normales de un grupo G. Si K H , entonces G/H = (G/K )(H/K ) .

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    I.8 Grupos cclicos 27

    Teorema I.7.6. (Teorema de Correspondencia). Sea : G H un homomor- smo suprayectivo y denamos los conjuntos S (G,) def = {K G : ker K }, S (H )

    def = {L H : L H },entonces la aplicaci on f : S (G,) S (H ) denida por f (K ) = (K ) es biyectiva y satisface

    (1) f (1(L)) = L para todo L S (H );(2) para K 1 , K 2 S (G,) se tiene K 1 K 2 si y s olo si f (K 1) f (K 2).Adem as, [K 2 : K 1] = [f (K 2) : f (K 1)];(3) si K 1 , K 2 S (G,), K 1 K 2 si y s olo si f (K 1) f (K 2). Adem as,K

    2/K

    1 = f (K

    2)/f (K

    1).

    La demostracion de estos teoremas queda como ejercicio.

    Denici on I.7.3. Sea X un G-conjunto y X : G S (X ) el homomorsmoinducido por la acci on de G en X . Decimos que la acci on es el si X es inyectivo.

    Teorema I.7.7. (Cayley) . Todo grupo nito G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simetrico S n .

    Demostraci on. Sabemos que G act ua en s mismo por translaci on. Esta acciondene un homomorsmo de grupos G : G S (G) que esta denido por g g : G

    h

    gh

    G. Veamos que G es inyectivo: si g = idG , entonces

    gh = g (h) = h lo que implica g = 1. Por tanto, la acci on es el. Sea n = |G|,entonces S (G) = S n y as G = G (G) S (G) = S n .I.8. Grupos cclicos En esta secci on veremos algunos resultados que fueron

    descubiertos por L. Euler y por K. F. Gauss (1777-1855)usando Teora de N umeros, pero en el contexto de la Teora de Grupos. Uno delos resultados mas importantes sobre grupos ciclicos fue demostrado por Gaussal estudiar el orden de los elementos de un grupo cclico, aun que no usaba estaterminologa.

    Lema I.8.1. Todo subgrupo de un grupo cclico es cclico.

    Demostraci on. Sea H un subgrupo de G =

    a y denamos

    m = min {i N : a i H }.Como ejercicio queda mostrar que H = am .Lema I.8.2. Sea G = a un grupo cclico de orden n. Si d es un divisor de n ,entonces existe un unico subgrupo H d de G tal que |H d | = d.

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    28 Grupos

    Demostraci on. Si d = 1 entonces H d = {1}. Si d > 1, entonces H d = and =

    1, an

    d , . . . , a( d 1) n

    d el cual es claramente un subgrupo de orden d de G. SeaK G tal que |K | = d, entonces K = am para m = min {i N : ai K }y se tiene ( am )d = 1 por lo que n divide a md. As, existe un entero l tal quenl = md y se concluye que

    am = ( and ) l H d ,

    de donde inferimos que K H d , pero |K | = |H d |. Por tanto, K = H d .Proposici on I.8.3. Sea G = a un grupo cclico de orden n. Si d1 y d2 son dos divisores de n, entonces

    (1) H d1 H d2 = H (d1 ,d 2 ) ;(2) H d1 H d2 = H [d1 ,d 2 ].

    Demostraci on. (1) Sea d = |H d1 H d2 |, entonces d divide tanto a d1 como ad2 ya que H d es subgrupo simultaneamente de H d1 y H d2 . Supongamosque k es un divisor com un de d1 y d2 , entonces existen enteros k1 y k2tales que d1 = kk1 y d2 = kk2 . Sea m Z tal que n = md1 , entonces

    ank = a

    md 1d 1 /k 1 = amk 1 = a

    nd 1

    k1

    H d1

    por lo que H k H d1 ; similarmente, H k H d2 y se tiene que H k H d1 H d2 = H d . De aqu que k sea un divisor de d y se concluye qued = ( d1 , d2).(2) Sea d = |H d1 H d2 |, entonces tanto d1 como d2 son divisores de d ya queH d1 , H d2 H d .

    Ejercicio. Verique que [d1 , d2] divide a d.

    Sea k N un multiplo com un de d1 y d2 , entonces ( an

    d 1 )k = 1 = ( an

    d 2 )k ;como a

    nd H d1 H d2 entonces

    and k = a

    nd

    k= a

    nd 1

    s 1 an

    d 2s 2

    k= ( a

    nd 1

    s 1 )k (an

    d 2s 2 )k = 1

    por lo que n divide a nd k. As, existe un entero positivo l tal que nl = nd k

    y se concluye que dl = k, es decir, d divide a k. Por tanto, d = [d1 , d2].

    Observe que si G es un grupo cclico innito generado por a y m, n Z ,an = am si y solo si m = n.Lema I.8.4. Sea G un grupo cclico innito generado por a. Si d N, entonces ad es el unico subgrupo de G con ndice d.

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    I.9 Mas aplicaciones de acciones de grupos 29

    Demostraci on. Sea H = ad , entonces H ,aH, . . . , a d1H son una familia desubconjuntos ajenos de G. Ademas, si m

    Z existen q, r

    Z tales que m =

    qd + r con 0 r < d y as,am = aqd + r = ar (ad )q a

    r H.

    Por tanto, H ,aH, . . . , a d1H son las clases laterales de H en G y as [G : H ] = d.Supongamos que K es un subgrupo de G con ndice d, entonces K = ak paraalgun entero k y por lo anterior, k = [G : K ] = d y se concluye que K = H .

    Ejercicio. Sea G un grupo cclico innito generado por a. Si d1 , d2 N,muestre que (1) ad1

    ad2 = a [d1 ,d 2 ] ;

    (2) ad1 ad2 = a (d1 ,d 2 ) .

    I.9. Mas aplicaciones deacciones de grupos

    Sea R un conjunto de representantes de las clases deconjugaci on de G. Observe que a Z (G) si y solo siC G (a) = G y sabemos que |G| = aR |conjG (a)| =

    aR |G ||C G (a )| y se tiene la ecuacion de clase :

    |G| = |Z (G)|+a

    Ra /

    Z (G )

    |G||C G (a)|

    . (I.2)

    Teorema I.9.1. Sea p un n umero primo y G un grupo de orden pn , con n N ,entonces Z (G) = {1}.Demostraci on. Si a R y a / Z (G), entonces C G (a) < G y as, p divide a|G ||C G (a ) | y como p divide a |G|, entonces p debe de dividir a |Z (G)|. Por tanto,Z (G) tiene al menos p > 1 elementos.

    Sabemos que si b G, entonces Z (G) C G (b).Corolario I.9.2. Si G es un grupo de orden p2 con p un n umero primo, en-tonces G es abeliano.

    Demostraci on. Sea b G. Si Z (G) = C G (b), entonces b Z (G); si Z (G)

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    30 Grupos

    Demostraci on. Sea |G| = pn 11 pn ss y n =si =1 n i . Haremos inducci on sobre

    n: Si n = 1, entonces

    |G

    | = p y por tanto G es cclico de orden p y cualquier

    elemento no trivial de G lo genera. Ahora, supongamos que n > 1 y que elTeorema es valido para todo entero positivo m < n . Sea a G{1} y N = a ;como G es abeliano, N es normal. Si p divide a |N |, entonces existe k N talque pk = |N | y se tiene ak = 1 pero ( ak ) p = a pk = 1, es decir, o(ak ) = p; si p no divide a |N |, entonces p divide a |G|/ |N | = |G/N | y G/N es un grupode orden menor que G, por lo que tiene un n umero menor de factores primos.Por hip otesis inductiva, G/N tiene un elemento de orden p, digamos bN por loque b / N pero b

    p N . Luego, vemos que ( b

    p)|N | = 1 y denamos c = b|N |;si c = 1, entonces b|N | = 1 y se tiene que ( bN )|N | = b|N |N = N por lo que pdivide a |N |, lo que es absurdo. Por tanto, c = 1 y se concluye que o(c) = p.Teorema I.9.4. (Teorema de Cauchy para grupos). Sean G un grupo nitoy p un n umero primo. Si p divide a |G|, entonces existe un elemento de G de orden p.Demostraci on. (Primera demostraci on) Sea |G| = pn 11 pn ss y n = si=1 n i .Haremos induccion sobre n: El caso n = 1 es claro ahora. Supongamos v alidoel Teorema para todo grupo cuyo n umero de factores primos sea menor quen > 1. Si existe H < G con p un divisor de |H | el resultado se sigue porhip otesis inductiva; si p no divide el orden de cualquier subgrupo propio de G,entonces p no divide a |C G (a)| para todo a / Z (G) y por tal motivo, p debe dedividir a |G ||C G (a ) | para todo a / Z (G). Como p divide a |G| y por la ecuaci on declase, se tiene que p divide |Z (G)| por lo que Z (G) no puede ser un subgrupopropio de G, es decir, Z (G) = G. El resultado se sigue ahora por el Teoremade Cauchy para grupos abelianos.

    Demostraci on. (Segunda demostraci on) Sea X = G G G = G p. Sabemosque S p act ua en X permutando coordenadas y considere la acci on de C =(12 p) por restriccion en X . Denamos

    Y = {a = ( a1 , . . . , a p) X : a1 a p = 1},el cual es un conjunto no vaco pues (1 , . . . , 1) Y . Es claro que |Y | = |G| p1 yaque la ultima coordenada queda totalmente determinada por las primeras p1entradas. Veamos que C.Y Y : sea = (12 p), entonces i .(a1 , . . . , a p) =(a i , . . . , a p , a 1 , . . . , a i1) y conjugando a a1 a p con ai a p se obtiene

    (a i a p)(a1 a p)(a i a p)1 = ai a pa1 a pa1 p a11= ai , . . . , a p , a 1 , . . . , a i1 .As, si a = ( a1 , . . . , a p) Y , entonces i .a Y para todo 1 i p, es decir,Y es un C -conjunto. Luego, sabemos que las C -orbitas de Y son de tama no 1o p; si OC ((a1 , a 2 , . . . , a p)) es de tamano 1, entonces a1 = a2 = = a p y as,a p1 = 1. Esto muestra que bastar a con encontrar una C -orbita de tama no 1:

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    I.10 Teorema de Sylow 31

    sean A = {a Y : |OC (a )| = 1} y B = {b Y : |OC (b)| = p}, entoncesY =

    aA

    OC (a )bB

    OC (b)

    y como p divide a |G|, a |Y | y a |OC (b)|, se tiene que p debe de dividir a |A|.Por tanto, |A| > 1, es decir, existe a A {(1, . . . , 1)} tal que a p1 = 1.Ejercicio.

    1. Muestre que (Z , +) es un subgrupo de (R , +) y R/ Z= (S1 , ).

    2. Si F es un campo nito con q = pn elementos, calcule |GL n (F )| y |SL n (F )|.

    I.10. Teorema de Sylow Una de las herramientas fundamentales para el estu-dio de los grupos nitos son los llamados Teoremas de

    Sylow, los cuales veremos aqui como un solo Teorema. El matem atico noruegoL. Sylow (1832-1918) dedico gran parte de su vida a la docencia y a publicar losarticulos de su compatriota N. H. Abel (1802-1829), sin embargo, su aportaci ona la Teora de Grupos queda plasmada en las concecuencias del Teorema quelleva su nombre.

    Denici on I.10.1. Sean G un grupo nito y p un n umero primo que divide a

    |G|. Denotemos por |G| p a la m axima potencia de p que divide a |G|. Diremos que g G es un p-elemento si o( p) es una potencia de p; G es un p-grupo si

    |G

    | es una potencia de p. Diremos que un subgrupo H de G es un p-subgrupo

    si es un p-grupo. Si H es un p-subgrupo de G tal que |H | = |G| p , diremos que H es un p-subgrupo de Sylow de G.Ejercicio. Muestre que

    T n (F ) = {(a ij ) GL n (F ) : a ii = 1 , a ij = 0 si i > j }es un p-subgrupo de Sylow de GL n (F ) cuando F es un campo nito con q = pnelementos.

    Teorema I.10.1. (Sylow). Sea G un grupo nito y p un divisor de |G|, entonces (1) G tiene al menos 1 p-subgrupo de Sylow;(2) todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados;

    (3) cualquier p-subgrupo de G esta contenido en alg un p-subgrupo de Sylow de G;

    (4) el n umero de p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 m odulo p.

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    32 Grupos

    Demostraci on. Sea |G| = pn m con ( p, m) = 1 y n > 0. Denamos el conjuntoX = {S G : |S | = pn }

    el cual es un G-conjunto con la accion por translacion a la izquierda.

    I. Hay una biyecci on entre el conjunto de orbitas T de X tales que p nodivide a |T | y el conjunto de p-subgrupos de Sylow de G:sea T una G-orbita de X tal que p no divide a |T | y tomemos A T . Si1 / A, sea a A y tomemos ahora el conjunto a1A = A T ; por tanto,podemos suponer que 1 A. Consideremos GA , el estabilizador de A, ycomo 1 A se sigue que GA GA .A = A por lo que |GA | |A| = pn yGA es un p-subgrupo de G. Sabemos que p no divide a |T | = [G : GA ]y como |G| = |GA |[G : GA ] = |GA ||T |, se concluye que pn divide a |GA |y por tanto, GA = A es un p-subgrupo de Sylow de G y T

    = G G/G A .

    Ahora, a cada T le asociamos GA , donde 1 A; notese que A es el unicosubgrupo de G en T . Recprocamente, sea P un p-subgrupo de Sylow deG y denimos T P = G/P . Vemos que p no divide a |T P |.

    II. El conjunto X = {S X : p no divide a |OG (S )|} es no vaco:Escribamos a X X como union disjunta de orbitas cuya cardinalidades un multiplo de p por lo que p divide a |X X | = |X | |X |, es decir,|X | |X | mod p. Es claro que n p(G), el numero de p-subgrupos de Sylowde G, coincide con el numero de orbitas de X contenidas en X y cadauna de estas orbitas tiene cardinalidad m. Por tanto, n p(G)m = |X | |X | mod p y como ( p, m) = 1 existen enteros a y b tales que 1 = ap + bmpor lo que

    |G | pn b n p(G)(1 ap) n p(G) mod p.Notese que n p(G) no depende de la estructura de G si no de |G|; enparticular, n p(G) n p(C pn m ) = 1 mod p. As, hemos demostrado (1) y(4).

    III. Sean Q un p-subgrupo de G y P un p-subgrupo de Sylow de G. Es claroque Q act ua en Y = {gP g1 : g G} por conjugaci on y si R Y ,entonces |OQ (R)| = [Q : QR ] = pk para alg un k {0, 1, 2, . . . , n }, pero|Y | = [G : N G (P )] que divide a m = [G : P ] = [G : N G (P )][N G (P ) : P ] dedonde concluimos que p no divide a |Y |. Como Y es una uni on disjuntade orbitas, p no puede dividir a la cardinalidad de todas las orbitas por loque existe una orbita de cardinal 1, digamos OQ (P 1) para alg un P 1 Y .Por tanto, qP 1q 1 = P 1 para todo q Q por lo que se tiene QP 1 = P 1Qlo que implica que QP 1 G. Sabemos que

    |QP 1| = |Q| |P 1||Q P 1|

    = |P 1|[Q : Q P 1] = |P 1| pr ,pues [Q : Q P 1] divide a |Q|, por lo que QP 1 es un p-subgrupo, peroP 1 QP 1 de donde se tiene QP 1 = P 1 ; luego, Q = Q P 1 P 1 y P 1 es

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    I.11 El grupo alternante 33

    un p-subgrupo de Sylow de G. As, hemos mostrado (3) y para (2) tomeQ un p-subgrupo de Sylow de G.

    Corolario I.10.2. n p(G) divide a |G|/ |G| p = m.Demostraci on. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G, entonces n p(G) es elnumero de subgrupos conjugados a P , es decir, n p(G) = [G : N G (P )] quees un divisor de [G : P ] = m.

    Corolario I.10.3. (Teorema de Cauchy). Si p divide a |G|, entonces existe un elemento de orden p en G.Demostraci on. Sean P un p-subgrupo de Sylow de G y a P {1}. Es claroque o(a) = pk , para alg un k > 0. Ahora, el elemento g = a p

    k 1es un elemento

    de orden p en G.

    Ejercicio.

    1. Sean G un grupo, P un p-subgrupo de Sylow de G y N un subgrupo normal de G. Si p divide a |N |, entonces P N es un p-subgrupo de Sylow de N y PN/N es un p-subgrupo de Sylow de G/N .

    2. Sean H G y P un p-subgrupo de Sylow de G. Si p divide a |H |, entonces existe g G tal que gP g1 H es un p-subgrupo de Sylow de H .3. Sean p y q dos numeros primos distintos. Muestre que C p C q es cclico.

    I.11. El grupo alternante Abel, en la primera mitad del siglo XIX, dio laprimera demostraci on aceptada de la irresolubili-

    dad de la ecuaci on general de quinto grado al mostrar que el grupo A5 era ungrupo simple y por tal motivo, S 5 no es un grupo soluble. Sin embargo, Galoisfue el primero en darse cuenta de que la estructura de un subgrupo de permuta-ciones asociado a una ecuacion algebraica estaba relacionado con la solubilidadde tal ecuaci on por radicales. De hecho, el concepto de grupo soluble se da gra-cias a la observaci on de Galois. Adem as, Galois mostro que el grupo simple noabeliano mas pequeno tenia 60 elementos, que era isomorfo al grupo A5 .

    Recordemos que An es el subgrupo de S n que consta de todas las permuta-ciones pares de S n . Considerando al grupo cclico C 2 = {1}, sabemos que

    sgn : S n C 2es un homomorsmo suprayectivo con ker sgn = An , por lo que An S n y[S n : An ] = 2. Adem as, S n es la union disjunta de An y (12)An .

    Denici on I.11.1. Un grupo G se llama simple si sus unicos subgrupos nor-males son {1} y G.

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    34 Grupos

    En esta secci on veremos una de las propiedades mas notables del grupoalternante: su simplicidad. Para esto, necesitaremos de los siguientes resultados.

    Proposici on I.11.1. Sea An . conjS n () = conj A n () si y s olo si existe una permutaci on impar tal que = .Demostraci on. Sabemos que conj A n () conjS n ().() Sea S n An y como 1 = , entonces

    1 = ( 1)1 = ( )( )1

    con An por lo que 1 conjA n ().() Como (12) (12) conjA n (), existe An tal que 1 = (12) (12)por lo que [(12)] = [(12)] con (12) S n An .Ejercicio. Si An no conmuta con ninguna permutaci on impar, entonces conjS n () se parte en dos clases de conjugacion del mismo tama no con repre-sentantes y (12)(12) , respectivamente.

    Lema I.11.2. An esta generado por todos los 3-ciclos.

    Demostraci on. Es claro que An esta generado por todos los productos de dostransposiciones as que basta con demostrar que cada uno de estos generadoresde An se pueden expresar como producto de 3-ciclos. Sea ( ab)(cd) un productode dos transposiciones,

    Caso 1. Si (ab) = ( cd), entonces ( ab)(cd) = 1 = ( abc)(cba).

    Caso 2. Si |{a, b} {c, d}| = 1, supongamos que a = c y b = d. As, tenemosque (ab)(ad) = ( abd).Caso 3. Si las transposiciones son disjuntas, entonces ( ab)(cd) = ( cad)(abc).

    Teorema I.11.3. Para n 3, el grupo An es simple.Demostraci on. Sea N An y supongamos que N = {1}. Por el Lema I.11.2,bastara con demostrar que cada 3-ciclo esta en N .Hecho 1. Si N contiene un 3-ciclo, entonces contiene a todos los 3-ciclos.

    Como n

    5, entonces ( abc) conmuta con ( de) y por la Proposicion I.11.1,

    conjS n = conj A n N , por ser N normal en An .Ahora, analizaremos por casos:

    Caso 1. Supongamos que N contiene una permutaci on cuya factorizacion enciclos ajenos contien un k-ciclo (a1 ak ), con k 4. Denamos =(a1a2a3) y por la normalidad de N , 1 N . Luego, N 11 =[1 , ] = ( a1a3ak ). Por el Hecho 1, se tiene que N = An .

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    I.11 El grupo alternante 35

    Caso 2. Supongamos que N contiene una permutaci on cuya factorizacion enciclos ajenos contiene al menos dos 3-ciclos, digamos ( a

    1a

    2a

    3) y (a

    4a

    5a

    6).

    Sea = ( a1a2a4), entonces N [1 , ] = (a1a4a2a6a3) y por el Hecho 1,N = An .Caso 3. Supongamos que N contiene una permutaci on cuya factorizacion en

    ciclos ajenos contiene s olo un 3-ciclo y el resto son productos de transposi-ciones disjuntas. Sea = ( abc) , con un producto de transposicionesdisjuntas entre si y disjuntas a ( abc), entonces N 2 = ( acb) y por elHecho 1, N = An .

    Caso 4. Supongamos que N contiene una permutaci on que se expresa comoun producto de transposiciones disjuntas, digasmo = ( ab)(cd) , donde es un producto de transposiciones disjuntas entre si y disjuntas a ( ab)y (cd). Sea = ( abc), entonces N

    [1 , ] = (ac)(bd) y como n

    5,

    existe e [n] {a,b,c,d} por lo que = ( ace) An . Luego, vemos queN [[1 , ], ] = y por el Hecho 1, N = An .

    Ejercicio. Sea A un grupo abeliano. Muestre que A es simple si y solo si A es cclico de orden p, para alg un n umero primo p.

    Teorema I.11.4. Cualquier grupo simple de orden 60 es isomorfo a A5 .

    Demostraci on. Sea G un grupo de orden 60 = 2 2 3 5. Veamos los siguienteshechos:Hecho 1. G no contiene subgrupos propios de ndice menor que 5.

    Supongamos que existe H < G tal que [G : H ] < 5. Sabemos que G/H es un g-conjunto y sea H el homomorsmo inducido por la accion de Gen G/H ; como H es un subgrupo propio de G, entonces ker H = G. Alser G un grupo simple, se debe de tener ker H = {1}, es decir, H esinyectivo. Pero entonces, la imagen de G en S (G/H ) es un subgrupo deorden 60 en un grupo de orden a lo mas 4! = 24, lo que es absurdo.

    Hecho 2. G contiene un subgrupo de ndice 5.Supongamos que G no contiene subgrupos de ndice 5 y sea P un 2-subgruop de Sylow, entonces [ G : N G (P )] {1, 2, 5, 15} y por el Hecho 1y nuestra suposicion, [G : N G (P )] = 15. Sea Q otro 2-subgrupo de Sylowde G distinto de P y supongamos que P Q = {1}; sea g P Q {1},entonces |C G (g)| > 4 y 4 | |C G (g)| por lo que [G : C G (g)] 5. Luego, setiene que G = C G (g) y as, g Z (G) G y por la simplicidad de G, estoforza a tener G = Z (G) lo que es absurdo. As, P Q = {1} lo que nosda 15(4 1) = 45 elementos en G de orden 2 o 4.Ahora, G contiene mas de un 5-subgrupo de Sylow y sea R uno de ellos,entonces [ G : R] = 12 y as, [G : N G (R)] {1, 2, 3, 4, 6, 12}; por el Hecho 1

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    36 Grupos

    y nuestra hipotesis, existen al menos 6 subgrupos de Sylow de G de orden5 y se puede ver, como antes, que la intersecci on de dos 5-subgrupos deSylow de G es trivial por lo que tenemos 6(5 1) = 24 elementos de orden5. Pero esto nos da mas de 60 elementos en G, lo que es absurdo.

    Sea H un subgrupo de ndice 5. Sabemos que G actua en G/H y tenemosun homomorsmo de grupos H : G S (G/H ) = S 5 , el cual es inyectivo,pues H = 0 y G es simple. Identcando a G con su imagen en S 5 , vemos queG S 5 con [S 5 : G] = 2 por lo que G S 5 . Si suponemos que G = A5 , entoncesGA5 S 5 y

    |GA5| = |G| |A5||G A5|

    > 60

    por lo que se tiene GA5 = S 5 . Luego, |GA5| = |G||A5|/ |GA5| = (60 60)/ 120 =30 por lo que {1} < G A5 A5 lo que es absurdo.Ejercicio.

    1. Sea n 5. Si H es un subgrupo propio no trivial y normal de S n , entonces H = An .2. Muestre que A4 no contiene subgrupos de orden 6.

    3. Si n 3, entonces Z (S n ) = {1}.4. Sea G un grupo que satisface alguna de las siguientes condiciones:

    (a) el orden de G es 2m pn , donde p es un numero primo impar y 2k 1 mod p, para cada 1 k m;(b) el orden de G es 30;(c) el orden de G es 105.

    Muestre que G no es simple.

    5. Muestre que si G/Z (G) es cclico, entonces G es abeliano.

    I.12. Automorsmos Galois fue quien dio importancia al estudio de gruposde automorsmos en su trabajo sobre Teora de Ecua-

    ciones algebraicas al estudiar un subgrupo del grupo de automorsmos de unaextensi on del campo de coecientes de los polinomios.

    Sabemos que la composicion de homomorsmos de grupos es nuevamente un

    homomorsmo de grupos; adem as, si : G G es un automorsmo, entonces1 es tambien un automorsmo de G. Claramente, idG es un automorsmode G y es por tal motivo que

    Aut( G) def = { : G G | es un automorsmo de G}tiene estructura de grupo, con la composici on de funciones como operacionbinaria.

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    I.12 Automorsmos 37

    Denici on I.12.1. Al grupo Aut( G) se le conoce con el nombre de grupo deautomorsmo de G.

    Ejercicio. Sea a G. Muestre que a : G G denida por g aga1 es un automorsmo de G. A los automorsmos a se les llama automorsmosinteriores . Ademas, muestre que para todo automorsmo de G se tiene la formula

    a1 = (a ) , para todo a G.

    Sabemos que a b = ab para todo a, b G y que 1 = idG , ( a )1 = a 1 .As, el conjunto de todos los automorsmos interiores, que denotaremos porInn( G), de G es un subgrupo de Aut ( G).

    Denici on I.12.2. El grupo Inn(G) se llama grupo de automorsmos in-teriores de G

    Mas aun, por el ejercicio anterior, Inn ( G) Aut( G). Si denimos : G Aut( G) como a a , el cual es un homomorsmo de grupos; es claro queker = {a G : a = idG } = {a G : aba1 = b para todo b G}

    = {a G : ab = ba para todo b G} = Z (G),y por el Primer Teorema de Isomorsmo, G/Z (G) = Inn ( G).Denici on I.12.3. Denimos Out( G) def = Aut( G)/ Inn( G) y se llama grupode automorsmos exteriores de G; un automorsmo exterior de G es

    un automorsmo en Aut( G) Inn( G).Ejercicio. Calcule Aut( Z 2 Z 2).Ejemplo:

    1. Aut( Z ) = C 2 .2. Considere el grupo cclico C n = x . Sean xm G, con 0 m < n , C =y un grupo cclico innito y m : C C n denido por yk xmk .Vemos que yn ker m y as, existe un unico homomorsmo de gruposm que hace conmutar el siguiente diagrama:

    C

    m

    C n

    C / yn

    m

    por lo que m : C n C n denido por x xm es un endomorsmo deC n . Ahora, es claro que Aut ( C n ) = {m : m = 0 , (m, n ) = 1}.

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    38 Grupos

    Proposici on I.12.1. Para cada n N, sea Zn el conjunto de unidades en Zn ,entonces Aut( C n

    )

    = (Zn

    ,

    ).

    Ejercicio. Muestre que [m] m esta bien denida.

    Demostraci on. Denamos : Zn Aut ( C n ) como [m] m . Vemos que([m])([k]) = m k = km = mk = ([m][k]),

    por lo que es un homomorsmo de grupos. Es claro que es suprayectivo ysi ([m]) = idC n , entonces xm = x para todo x C n de donde se concluye quen divide a m 1, es decir, m 1 mod n. Por tanto, [ m] = [1] y se sigue que es inyectivo.Corolario I.12.2. Si p es un n umero primo, entonces Aut( C p) = C p1 .Sea Aut ( G) y H G, entonces aplica H isomorfamente sobre (H ).Denici on I.12.4. Diremos que Aut( G) ja a un subgrupo H de G si (H ) = H ; diremos que L Aut( G) ja a un subgrupo H de G si todoelemento en L ja a H . Diremos que un subgrupo H de G es caractersticoen G si Aut( G) ja a H ; en tal caso, denotamos H car G.

    Ejemplo: Si N es un subgrupo normal de G, entonces Inn ( G) ja a N .

    Notese que el ser caracterstico implica ser normal pero la conversa no esvalida en general.

    Ejercicio. Muestre que Z (G) es caracterstico en G.

    Lema I.12.3. Sean H, K G. Si H car G y K car H , entonces K car G.La demostracion queda como un ejercicio.

    Denici on I.12.5. Sean a, b G. El conmutador de a con b es el elementoaba1b1 def = [ a, b]. El subgrupo derivado de G es el subgrupo

    G def = [a, b] : a, b G .Observe que [ a, b]1 = [b, a] y para todo a G, [a, a ] = 1. Ademas, G esabeliano si y s olo si G = {1}.

    Lema I.12.4. El subgrupo derivado de G es caracterstico en G.

    Demostraci on. Sean Aut ( G), a y b dos elementos de G, entonces([a, b]) = (aba1b1) = (a)(b)(a)1(b)1 = [(a),(b)]

    por lo que (G) G. Como 1 Aut , entonces tenemos 1(G) G yaplicando a esta relaci on, se tiene la otra contenci on.

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    I.13 Productos directos 39

    Proposici on I.12.5. Sean G un grupo y N un subgrupo normal de G. G/N es abeliano si y s olo si G

    N .

    Demostraci on. Veamos primero que G/G es abeliano: como G car G, entoncesG G. Luego, para a, b G tenemos

    [aG , bG] = aG bGa1Gb1G = [a, b]G = G,

    es decir, ( G/G ) = {G}.() Supongamos que G N . Por el tercer Teorema de Isomorsmo,tenemos que G/N = (G/G )/ (N/G ) con G/G abeliano, por lo que G/N esabeliano.

    () Si G/N es abeliano, entonces N = [aN,bN ] = [a, b]N para todo a, b Gpor lo que [a, b] N para todo a, b G, es decir, G N .I.13. Productos directos Los productos son un concepto categ orico que nos

    ayudan a descomponer, en este caso a los grupos,en grupos mas pequenos y generalmente, mas amigables. Aqui, veremos cualesson las condiciones para poder descomponer a los grupos en productos de sussubgrupos.

    Considere una familia de grupos {Gi : i [n]} y tomemos el productocartesiano de tal familia G = ni =1 G i . Denamos una multiplicaci on por com-ponentes en G , la cual hace de G un grupo.

    Denici on I.13.1. El grupo G = G1 G2 Gn se llama productodirecto externo de los grupos G1 , G2 , . . . , G n .Notese que

    |G

    | = ni =1

    |Gi

    | y si

    S n entonces G = ni=1 G ( i ) .

    Lema I.13.1. Sea G = G1 G2 Gn , entonces (1) H i = {(1, . . . , 1, gi , 1, . . . , 1) : gi Gi} G ;(2) G / H i = G1 Gi Gn , donde G i indica que el factor Gi se omite;(3) cada elemento g de G se escribe de manera unica como un producto g =

    h 1h 2 h n , con h i H i para cada 1 i n.La demostracion de este Lema se deja como ejercicio.

    Lema I.13.2. Sean G un grupo y H 1 , H 2 , . . . , H n G tales que (i) H i G para cada 1 i n.

    (ii) Para cada g G existen unicos elementos hi H i , con 1 i n, tales que g = h1h2 hn .Entonces

    (iii) G = H 1H 2 H n ;

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    40 Grupos

    (iv) H i [H 1

    H i H n ] = {1};

    (v) si i = j , entonces hi h j = h j h i para todo hi H i y hj H j ;(vi) si g = h1 hn y g = h1 hn , entonces gg = ( h1h1) (hn hn ).Demostraci on. (iii) Es claro por (ii).(vi) Sea g H i [H 1 H i H n ], entoncesh i = g = h1 h i hn = h1 h i11h i +1 hn ,con h j H j para cada 1 j n. Por la unicidad de la expresi on en (ii),tenemos h i = 1 y por tanto, g = 1.(v) Por (i), hi (h j h1i h1j )

    H i y (h i h j h1i )h1j

    H j . Por (vi), tenemos que

    [h i , h j ] = 1 si i = j .(vi) Se sigue de aplicar (v) y la asociatividad a la expresi on

    (h1 hn )(h1 hn )

    Observe que si (i) y (ii) del Lema I.13.2 son v alidas, entonces existe unisomorsmo de grupos : G H 1 H n tal que

    (H i ) = {1} {1} H i {1} {1}para cada 1

    i

    n.

    Denici on I.13.2. Si G es un grupo que satisface (i) y (ii) del Lema I.13.2,decimos que G es el producto directo interno de los subgrupos H 1 , . . . , H ny lo denotamos por G = H 1 H n .Lema I.13.3. Sea G un grupo que satisface (i) del Lema I.13.2, entonces la condici on (ii) del Lema I.13.2 es equivalente a las condicniones (iii) y (iv) del Lema I.13.2.

    Demostraci on. Solo falta ver que (iii) y (iv) implican (ii): es evidente que paracada g G (iii) implica la existencia de elementos h1 H 1 , . . . , h n H n talesque g = h1 hn . Supongamos que un elemento g G tiene otra representaci on,digamos k1 kn con ki H i para cada 1 i n, entonces

    (k1 kn 1)1(h1 hn 1) = kn h1n H n [H 1 H n 1]y por (iv) tenemos que kn h1n = 1, es decir, kn = hn ; inductivamente, se tendr a(ii).

    Lema I.13.4. Sea G un grupo con subgrupos normales H y K tales que G =HK , entonces G/ (H K ) = [H/ (H K )] [K/ (H K )].

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    I.14 Productos semidirectos 41

    Demostraci on. Sea L = H K , entonces L G. Por el Teorema de Corre-spondencia, H/L,K/L G/L cumpliendose as (i) del Lema I.13.2. Adem as,tenemos H/L K/L = ( H K )/L = {1} por lo que se satisface (vi) del LemaI.13.2. Como G = HK , entonces G/L = ( H/L ) (K/L ) con lo que se satisface(iii) del Lema I.13.2.

    Proposici on I.13.5. Sean G un grupo nito y H 1 , H 2 , . . . , H n G. Si Ges el producto directo de los subgrupos H 1 , H, 2, . . . , H n y (|H i |, |H j |) = 1 para i = j , entonces cualquier subgrupo K G es producto directo de los subgrupos K H 1 , K H 2 , . . . , K H n .Demostraci on. Probaremos el resultado para n = 2 y un argumento inductivocompletara la prueba: es claro que K H 1 , K H 2 K , pues H 1 , H 2 G;tambien es evidente que

    (K H 1) (K H 2) = K (H 1 H 2) = K {1} = {1}.Sabemos que los elementos de H 1 conmutan con los elementos de H 2 , por ser Gel producto directo de los subgrupos H 1 y H 2 ; si k K , entonces existen h1 H 1 , h2 H 2 tales que k = h1h2 y veamos que h1 , h2 K : es claro que h1 h2 = {1} por lo que o(k) = o(h1h2) = [o(h1), o(h2)] y como (|H 1|, |H 2|) = 1 yo(h i )||H i |, entonces [o(h1), o(h2)] = o(h1)o(h2); por tanto,

    h1 h2 = h1 h2 = k K,es decir, h1 , h2 K . As, K = ( K H 1)(K H 2).I.14. Productos semidirectos Ahora, veremos una variaci on de los productos

    que nos permitiran generar grupos con propie-dades importantes. Adem as, aplicaremos aqui el estudio sobre automorsmohacho previamente.

    Denici on I.14.1. Sean G un grupo con subgrupos N y H tales que

    (PS1) N G,

    (PS2) G = N H ,

    (PS3) N H = {1}.Decimos entonces que G es el producto semidirecto interno de los sub-grupos N y H ; en tal caso, lo denotamos por G = N H .

    Observe que si H G, entonces G es el producto directo de los subgruposN y H .

    Ejemplo: Consideremos el grupo simetrico S 3 y los subgrupos A3 y (12) .Sabemos que A3 S 3 y que A3 (12) = {1}; por cardinalidades, tenemosS 3 = A3 (12) y por tanto, S 3 = A3 (12) .Supongamos que G = N H , entonces tenemos las siguientes consecuencias:

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    42 Grupos

    por la condici on (PS2), G/N = (NH )/N ; por el Segundo Teorema deIsomorsmo, ( NH )/N =

    H/ (H

    N ) y por la condici on (PS3) se tiene

    que H/ (H N ) = H . Si G es nito, entonces |G| = |N ||H |, por (PS3). Para cada g G existen elementos unicos n N y h H tales queg = nh: la existencia se tiene por (PS2) y si g = n1h1 para n1 N yh1 H , entonces N n1n1 = hh 11 H por lo que n = n 1 y h = h1 ,por (PS3). Sean g1 , g2 G y supongamos que g1 = n1h1 y g2 = n2h2 para algunosn1 , n 2 N y h1 , h2 H , entonces

    g1g2 = ( n1h1)(n2h2) = [n1(h1n2h11 )][h1h2],

    donde n 1(h1n2h11 ) N por (PS1) y h1h2 H . Sea h H y denamos h : N N como n hnh 1 . Es claro que cada h es un automorsmo de N y : H Aut ( N ) denido por h h esun homomorsmo de grupos. El producto en G lo escribimos ahora como

    g1g2 = n1 h 1 (n2)h1h2 .

    Observe que si es el homomorsmo trivial, entonces G es el producto directode los subgrupos N y H . Adem as, si no es trivial, entonces G no es abeliano:existe un elemento h H tal que h = idN por lo que debe de existir unelemento n N con h (n) = n, es decir, hnh 1 = n que es equivalente a tenerhn = nh .Ejercicio.

    1. Muestre que Aut ( Z Z ) = GL 2(Z ).2. Sea G un grupo abeliano y a1 , a 2 , . . . , a n G. Muestre que existe ununico homomorsmo de grupos : Zn G tal que (e i ) = ai , donde e i = (0 , . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) para cada 1 i n.

    Sean N y H dos grupos y : H Aut( N ) un homomorsmo de grupos.Consideremos G = N H , el producto cartesiano de los conjuntos N y H , ydenamos una operaaci on binaria de la siguiente manera:(n1 , h1) (n2 , h2)

    def = n1[(h1)][n2], h1h2 . (I.3)

    Ejercicio. Muestre que es asociativa. Claramente, vemos que

    (n, h ) (1, 1) = n(h)(1) , h 1 = n 1, h = ( n, h );

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    I.14 Productos semidirectos 43

    Analogamente, tenemos

    (1, 1) (n, h ) = 1(1)( n), 1 h = 1 idN (n), h = (1 n, h ) = ( n, h )

    de donde se concluye que (1 , 1) es el elemento identidad en G para . Luego,podemos ver que ( n, h )1 = (h1)(n1), h1 , por lo que G tiene estructurade grupos.

    Denici on I.14.2. Sean N y H dos grupos y : H Aut ( N ) un homomor- smo de grupos. El conjunto G = N H con la operaci on denida en (I.3) es un grupo, el cual llamamos producto semidirecto externo de los gruposN y H mediante el homomorsmo y se denota por G = N H .

    Lema I.14.1. Sea G = N H y denamos N = N {1} y H = {1} H ,entonces 1. N G y H G;2. N = N y H = H ;3. G = NH ;

    4. N H = {(1, 1)};5. (1 ,h ) (n, 1) = (h)(n), 1 para todo n N y todo h H ;6. si H : H H y N : N N son los isomorsmos de grupos (1, h) hy (n, 1) n , respectivamente, entonces existe un isomorsmo de grupos N : Aut( N ) Aut ( N ) tal que hace conmutar el siguiente diagrama:

    H

    H

    Aut( N )

    N

    H Aut ( N )

    Demostraci on. 1. Si (n1 , 1), (n2 , 1) N , entonces(n1 , 1) (n2 , 1) = n1(1)( n2), 11 = n1 idN (n2), 1 = ( n1n2 , 1) N ;an alogamente, si (1 , h1 ), (1, h2) H , entonces

    (1, h1) (1, h2) = 1 (h1)(1) , h1h2 = (1 1, h1h2) = (1 , h1h2) H .Ahora, si ( n, h )

    G y (n1 , 1)

    N , entonces

    (n, h ) (n1 , 1) (n, h )1 = n(h)(n1), h (h

    1)(n1), h1

    = n(h)(n1)(h)(h1)(n1), 1

    = n(h)(n1)n1 , 1 ,

    por lo que N G.

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    44 Grupos

    2. Los isomorsmos estan dados por n (n, 1) y h (1, h). En la parte 1,vemos que estas aplicaciones son homomorsmos de grupos y claramenteson biyectivas.

    3. Para ( n, 1) N y (1, h) H tenemos(n, 1) (1, h) = n(1)(1) , h = ( n 1, h) = ( n, h ),

    de donde concluimos que G = NH .

    4. Es evidente.

    5. Para ( n, 1) N y (1, h) H se tiene (1 ,h ) (n, 1) = (1 , h) (n, 1) (1, h

    1)

    = (h)(n), h (1, h1)

    = (h)(n)(h)(1) , hh 1 = (h)(n), 1 .

    6. Denimos N : Aut( N ) Aut( N ) como 1N N y es claro queN es un homomorsmo de grupos; vemos que ( N )1 se dene por N 1N y as, N es isomorsmo. Ahora, veremos que H = N :sea (1, h) H , entonces si n N

    N (1, h)(n) = N (1 ,h ) 1N (n) = N (1 ,h ) (n, 1)

    y por la parte 5, N (1 ,h ) (n, 1) = (h)(n) = H (1, h)(n).

    Observe que si tenemos dos homomorsmos , : H Aut( N ) entoncesN H no necesariamente debe de ser isomorfo a N H .Ejemplo: Considere al grupo simetrico S 3 con los subgrupos A3 y (12) . Ten-emos dos posibilidades para : (12) Aut( A3) que son el homomorsmotrivial y el homomorsmo que asocia a 1 el automorsmo idA 3 y a (12) le asociael automorsmo que a cada elemento de A3 lo transforma en su cuadrado, esdecir, (12) () = 2 para A3 . As, A3 (12) = S 3 y si = 0,entonces A3 0 (12) = C 3 C 2 = C 6 , el cual es abeliano por lo que C 6 = S 3 .

    Ejercicio. De un isomorsmo explcito de S 3 en C 3 C 2 . Adem as, muestre que S n = An (12) para toda n N .

    Ejemplo: Sea D2n = R 2 n , S O(2), donde

    R = cos 2

    n sen 2nsen 2n cos 2n , S =1 00 1

    .

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    I.14 Productos semidirectos 45

    Queda como ejercicio mostrar las siguientes igualdades:

    1. o(R 2 n ) = n;2. o(S ) = 2;

    3. SR 2 n

    S = R12 n

    ;

    4. D2n = {1, R 2 n , . . . , R n 12 n ,S ,R 2 n S , . . . R n 12 n S }.La parte 3 muestra que R 2

    nD 2n ; la parte 4 muestra que D2n = R 2 n S

    y es claro que R 2 n S = {1}. Por tanto, D 2n = R 2 n S = C n C 2 ,

    donde : C 2 C n esta denido por (1) : C n b b1 C n .Consideremos el conjunto de puntos en R2V n = (cos 2kn

    , sen 2kn

    ) : k Z ,el cual tiene n elementos. Podemos ver que D 2n actua en V n lo que induce unhomomorsmo n : D2n S n .Ejercicio. Muestre que n es inyectiva y calcule las imagenes de los gener-adores de D 2n bajo n .

    Proposici on I.14.2. Sean H un grupo cclico y N un grupo. Si , : H Aut( N ) son dos homomorsoms de grupos inyectivos tales que Im = Im ,entonces N H = N H .Demostraci on. Sea H = x , entonces (x) = (x) Aut ( N ) y as, existenenteros k1 y k2 tales que (x)k1 = (x) y (x) = (x)k2 . Denamos

    : N H (n, h ) (n, h k1 )N H y veamos que es un homomorsmo de grupos: sean ( n, h ), (n1 , h1) N H ,entonces

    (n, h ) (n1 , h1) = (n (h)(n1), hh 1) = n (h)(n1), (hh 1)k1

    = n(hk 1 )(n1), hk1 hk11 = ( n, hk1 ) (n1 , h

    k11 )

    = (n, h ) (n1 , h1) .

    De manera similar, : N H (n, h ) (n, h

    k 2

    ) N

    H es un homomor-smo de grupos y se tiene (n, h ) = ( n, h k1 k2 ), pero

    (x) = (xk2 ) = (xk2 k 1 )

    y por la inyectividad de , x = xk1 k1 ; luego, = idN H . Analogamente, lainyectividad de tiene como consecuencia que = idN H por lo que esun isomorsmo de grupos.

  • 8/10/2019 Curso de Algebra Moderna

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    46 Grupos

    Proposici on I.14.3. Sean N y H dos grupos y : H Aut( N ) un homo-morsmo de grupos. Si : N

    N es un automorsmo de N y denimos : Aut ( N ) Aut ( N ) como 1 , entonces N H = N H .Demostraci on. Sea : N H N H denido como (n, h ) ((n), h).Para ( n, h ), (n1 , h1) N H tenemos

    (n, h ) (n1 , h1) = (n(h)(n), hh 1) = (n)(h)(n1), hh 1

    = (n)(h)(1(n1)) , hh 1

    = (n)(h)1((n1)) , hh 1

    = (n), h (n1), h1

    = (n, h ) (n1 , h1) ,

    de donde concluimos que es un homomorsmo de grupos. An alogamente, sidenimos : N H N H como (n, h ) (1(n), h), entonces esun homomorsmo de grupos y se tiene que = idN H y = idN H por lo que es un is