Computermeetkundepakket GeoGebra

vijfde jaar

G

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2016 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 25 september 2019

INLEIDING

Onze maatschappij evolueert naar een informatie- en kennismaatschappij: de hoeveelheid informatie neemt exponen-tieel toe, maar de wijze waarop informatie beschikbaar is verandert ook. Deze maatschappelijke ontwikkeling vereistdat leerlingen straks voorbereid moeten zijn op de nieuwe manier van informatie verwerken via de informatie- encommunicatietechnologie (kortweg ICT), onder andere om een plaats te verwerven op de arbeidsmarkt.

De maatschappelijke verandering is niet alleen afkomstig vanuit economische beweegredenen, ook de informatiever-werking van jongeren verandert: zij kunnen tegenwoordig veel meer informatie opnemen dan vroeger en maken zelfuit wat ze lezen en waar ze naar kijken. Het onderwijs moet zich aanpassen op de leefwereld van de jongeren, hierbijspeelt ICT een grote rol.

Ten slotte mondt de bovenstaande economische en sociale evolutie uit in een onderwijskundige verandering. De nadrukkomt binnen het onderwijs steeds meer te liggen op leren leren: het leren omgaan met informatie en informatiebronnen.Fundamenteel is dat omgaan met niet begrepen wordt als het slaafs opvolgen van commando’s. Men dient tijdens ditproces ook inzicht te verwerven in informatieverzameling maar ook computertoepassingen zoals rekenwerk, grafischemogelijkheden, dataverwerking, onderzoeksopdrachten enzovoort.

Waarom GeoGebra?

Het symbool van GeoGebraverwijst naar de stelling datelke kegelsnede (zoals eenellips) volledig bepaald is

door vijf punten.

Tijdens de lessen wiskunde maak je geregeld gebruik van de grafische rekenmachineTI-84 Plus. In al zijn eenvoud is dit ICT-middel dan ook vrij beperkt, denk bij hetplotten van grafieken van functies maar aan het zoeken van geschikte vensterinstel-lingen en het interpreteren van een grafiek die afgebroken wordt. Daarom willen weje ook kennis laten maken met een meer geavanceerd computermeetkundepakket.

GeoGebra is interactieve en dynamische software voor meetkunde, en is erg populairin het middelbaar onderwijs.1 Met GeoGebra kun je meetkundige figuren maken doormiddel van een algebraısch voorschrift of met behulp van constructiestappen. Het dy-namisch aspect van GeoGebra laat leerlingen toe om eigenschappen beter te begrijpen.

Ook in de meest recente doelstellingen vanuit het ministerie van onderwijs onder-streept men het belang van ICT-gebruik. Zo vermeldt het leerplan voor de derdegraad ASO voor studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde hetgebruik van ICT als een algemene eindterm, en moedigt men een kennismaking meteen computermeetkundepakket (los van de grafische rekenmachine) aan.

Wat wordt er van je verwacht?

Lessen GeoGebra vinden plaats in een computerklas (wordt vooraf aangekondigd).

1. Samenwerken Je neemt per twee plaats achter een computer. Je meldt je aan met gebruikersnaam en paswoord(van jou of van degene met wie je samenwerkt). Daarna open je het programma GeoGebra.

2. Zelfstudie Jullie doorlopen de blaadjes van de GeoGebra les. De uitleg in de tekst moet volstaan om de leerstofte begrijpen. Het is aangeraden om de voorbeelden uit de tekst ook effectief uit te voeren met GeoGebra.

3. Oefeningen maken Bij elke GeoGebra les hoort een invultaak die jullie samen maken met behulp van Geo-Gebra. Noteer ook jullie namen.

4. Zelfevaluatie Nadien krijgen jullie de oplossingen van de taak mee naar huis. Als de tijd dat toelaat dankunnen jullie tijdens de les zelf de taak verbeteren. Gebruik daarvoor een groene pen. Op basis daarvan gevenjullie jezelf een eindcijfer op tien. De invultaak wordt ingediend op het einde van de les. De oplossingen die jevan de leerkracht krijgt, voeg je dan bij deze bundel.

1Het computermeetkundepakket GeoGebra werd in 2001 ontworpen door Markus Hohenwarter aan de University of Salzburg. Deofficiele website van GeoGebra is http://www.geogebra.org/ .

G-i

GEOGEBRA LES 1

PRECALCULUS 1 - VEELTERMFUNCTIES EN RATIONALE FUNCTIES

1.1 GeoGebra openen

Open met behulp van de snelkoppeling de applicatie GeoGebra.1 Je verkrijgt de linkerfiguur. Klik met je muis

op een willekeurige plaats in het assenstelsel. Onder de knoppen is het scherm verdeeld in twee velden zoals aangeduidop de rechterfiguur:

1 het algebravenster waar je bovenaan objecten kan ingeven in het invoerveld;

2 het tekenvenster toont de meetkundige voorstellingen van die objecten: punten, grafieken, hoeken enzovoort.

1.2 De grafiek van een functie plotten

In deze paragraaf leer je met GeoGebra de grafiek van een functie grafisch tekenen (plotten) en inzoomen.

3 Voorbeeld 1. Plot met GeoGebra de grafiek van de tweedegraadsfunctieI-29

f(x) = 0, 4x2 + 4x− 8.

Oplossing. Wij schrijven het decimaal getal 0, 4 met een komma, maar in Engelstalige landen schrijft men eenpunt. Dat moet ook zo in GeoGebra. In het invoerveld tikken we dus: f(x) = 0.4 x∧2+4x-8 gevolgd doorEnter. In het tekenvenster verschijnt de grafiek van de functie, voorschrift wordt toegevoegd aan algebravenster.

1In deze tekst gebruiken we de klassieke versie GeoGebra 5. De recentere versie GeoGebra 6 wijkt slechts licht af. Indien GeoGebra nogniet op de computer geınstalleerd is, open dan een internetbrower en ga naar https://www.geogebra.org/classic .

G-1

We kunnen in- en uitzoomen door met de muis op het tekenvenster te staan en te scrollen met het wieltje aan decomputermuis. In- en uitzoomen kan ook door met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op deassen of de grafiek) en met Zoom de zoomfactor in te stellen (zie linkerfiguur). Het tekenvenster verplaatsen kan

door eerst op de knop bovenaan te klikken. Nu kun je met de muis het tekenvenster verslepen. Je kan ook

handmatig waarden ingeven voor xMin, xMax, yMin en yMax door met de rechtermuisknop op het tekenvenster teklikken (niet op de assen of de grafiek) en te kiezen voor Tekenvenster. Je vindt het tabblad op de rechterfiguur.

Met dat tabblad kun je er meteen voor zorgen dat de x-as en de y-as benoemd zijn. Kies bovenaan voor xAs

en tik of kies bij label de x (zie linkerfiguur). Analoog benoem je ook de y-as met y. Sluit nadien het tabblad(kruisje rechtsboven). De ijk op de x-as en de y-as kent een standaardverhouding van 1 : 1. Die kun je wijzigendoor met de rechtermuisknop op het tekenvenster te klikken (niet op de assen of de grafiek) en met xAs:yAs een

andere verhouding te kiezen. Een alternatief is om eerst op de knop te klikken (Tekenvenster verplaatsen)

en daarna de muis op de x-as of de y-as te brengen zodat het symbool↔ verschijnt. Dan kun je die as handmatiguitrekken of induwen.

Verplaats nu het tekenvenster en rek de assen uit zodat de grafiek en de snijpunten met de assen goed zichtbaarzijn. Wil je de coordinaten van die snijpunten kennen, dan klik je op het functievoorschrift links en kies je voorbijzondere punten. (Als dat bij jou niet zichtbaar is, sluit de app dan af en start opnieuw op.)

G-2

1.3 Kenmerken van een functie

Naast de toepassing Bijzondere punten van de vorige pagina, kun je ook zogenaamde Functie onderzoeker gebruiken.Daarmee kun je met GeoGebra een tabel van enkele functiewaarden, de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van defunctie bepalen. De kenmerken van de functie die je daarvoor nodig hebt, worden weergegeven in een afzonderlijkvenster. We leggen dit uit aan de hand van een voorbeeld.

3 Voorbeeld 1 (vervolg). Bepaal met GeoGebra de tabel stijgen/dalen van de functie

f(x) = 0, 4x2 + 4x− 8.

Oplossing. Na het plotten van de grafiek van f klik je met de muis op de knop Hoek Daarmee open je een

menu. Kies nu de laatste optie Functie onderzoeker (linkerfiguur). Daarna klik je met de muis op de grafiekvan de functie f . Daarmee open je een venster waarin je enkele kenmerken van de grafiek van f kan aflezen(rechterfiguur).

Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, heb je de x-waarden nodig waar de grafiek van f een extremum (maximumof minimum) bereikt. De grafiek heeft duidelijk een minimum. Om die x-waarde te vinden, versleep je de rodepunten van de grafiek tot het minimum binnen het aangeduide rode gebied valt. Je zal merken dat de waardenin het venster van de Functie onderzoeker veranderen. Op die manier kun je de coordinaat van de top bepalen(linkerfiguur). Zo vinden we de tabel stijgen/dalen van de functie f .

x −5

f(x) ↘ min ↗

Merk op dat de tabel van de Functie onderzoeker ook de nulwaarden in het rode gebied weergeeft, waarmeeje dan de tekentabel van de functie kan opstellen. Een tabel van enkele functiewaarden vind je door eerst tekiezen voor Punten en daarna te klikken op de knop Toon tabel met functiewaarden (rechterfiguur). Je kanopnieuw het rode punt op de grafiek van f verslepen. Nadien kun je het venster gewoon afsluiten.

G-3

1.4 Snijpunten van functies bepalen

In deze paragraaf tonen we hoe je met GeoGebra de snijpunten van grafieken kan bepalen.

3 Voorbeeld 2. Bepaal met GeoGebra de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g waarbij

f(x) = x3 − 3x2 + x + 3 en g(x) = (x− 1)2.

Oplossing. We openen een nieuw tekenvenster door rechts bovenaan op het icoon te klikken en te kiezen

voor Nieuw. Als er geen rooster is, dan klik je met de rechtermuisknop op het tekenvenster en vink je Rooster

aan. Daarna plotten we de grafiek van f en de grafiek van g.

Om met GeoGebra de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g te berekenen, gaan we als volgt te

werk. Klik met de muis naar de knop Nieuw punt bovenaan en kies je Snijpunt(en) van twee objecten

(linkerfiguur). Daarna klik je met de muis in de buurt van een snijpunt eerst op de grafiek van f en daarnaop de grafiek van g. In het algebravenster verschijnen de coordinaten van de drie snijputen (afgerond op tweedecimalen nauwkeurig, zie rechterfiguur).

1.5 Asymptoten van een rationale functie bepalen

GeoGebra bevat heel wat voorgeprogrammeerde commando’s. Tik je bijvoorbeeld Delerslijst(38) in het invoerveld,dan berekent GeoGebra de positieve gehele delers van het getal 38 (probeer dit). Het is uiteraard niet de bedoelingom al deze commando’s uit het hoofd te leren. Wel moet je in staat zijn om een commando op te zoeken, zoalsbijvoorbeeld het commando voor het berekenen van de asymptoten van een rationale functie. Hieronder laten we zienhoe je zo’n commando kan vinden.

3 Voorbeeld 3. Bepaal met GeoGebra alle eventuele horizontale, verticale en schuine asymptoten aan de grafiekI-55

van de functie

f(x) =x2 + 2x

x− 1.

Oplossing. Eerst plotten we de grafiek van de functie f . Daarna klikken we bij een nieuwe invoerregel op hetplusteken en kiezen we voor Help. Het commando voor asymptoten vinden we onder Functies en analyse. Klikhet commando Asymptoten(<Functie>) aan om het te kopieeren naar je invoerregel (of tik het commando over).Het menu geeft aan dat we binnen de haakjes de functie moeten oproepen. We schrijven dus: Asymptoten(f).GeoGebra plot nu alle eventuele horizontale, verticale en schuine asymptoten aan de grafiek van de functie f enin het algebravenster kun je de vergelijkingen van deze asymptoten gewoon aflezen.

G-4

Onze-Lieve-Vrouwecollege

Assebroek

TAAK

Wiskunde

Leerkracht: . . . . . . . . . . . .

Namen : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Voornamen : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Klas : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Richting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Klasnrs. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Datum: . . . / . . . / 20. . . Resultaat :

GeoGebra Les 1Precalculus 1 - Veeltermfuncties en rationale functies

Oefening 1. Gegeven is de functieI-57

f(x) =3x2 + 5

x2 − x.

Plot met GeoGebra de grafiek van de functie f . Pas het tekenvenster aan zodat de grafiek samen met de assen duidelijkzichtbaar is. Noteer hieronder de dimensies:

xMin : . . . xMax : . . .

yMin : . . . yMax : . . .

Oefening 2. Gegeven is de functieI-38

f(x) =1

14x4 +

1

14x3 − 13

14x2 − 1

14x.

Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken van de functie f aan.

(a) De functie f heeft . . . . . . verschillende nulwaarden (vul een getal in).

(b) De kern van de functie f wordt gegeven door (rond elke nulwaarde af op twee cijfers na de komma):

ker f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oefening 3. Gegeven zijn de functies

f(x) =x4

2+

x3

16− 15x2

8en g(x) = −x3

2.

Vul met behulp van GeoGebra de volgende kenmerken aan. Rond telkens af op twee cijfers na de komma.

(a) De tekentabel van f wordt gegeven door:

x

f(x)

(b) De snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g worden gegeven door (geef van elk snijpunt decoordinaten):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) De grafiek van g ligt onder de grafiek van f voor (geef intervalnotatie):

x ∈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zie volgende bladzijde!

G-5

Oefening 4. Los de volgende ongelijkheden op met GeoGebra. Rond af op twee cijfers na de komma.

(a) x4 + 6x3 + 8x2 − 6x ≤ 9I-57

Oplossingsverzameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b)x

2x− 1≥ 2x + 1

xI-61

Oplossingsverzameling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oefening 5. Bepaal met GeoGebra de tabel stijgen/dalen van de functie

f(x) = x4 − 5x3 + 8x + 1.

Rond af op twee cijfers na de komma.Antwoord.

x

f(x)

kliefhamer

Oefening 6. Bij de firma Klop worden dagelijks een aantal kliefhamers geproduceerd.De kosten worden gegeven door de functie

K(q) = 3q3 − 15q2 + 36q + 24

en de omzet wordt gegeven door de functie

O(q) = 30q.

Hierbij wordt de kost K en de omzet O uitgedrukt wordt in een veelvoud van 100euro, en stelt q het aantal hamers vermenigvuldigd met 1000 voor. Los de volgendevragen op met GeoGebra. Rond je resultaten zinvol af.

(a) Bij welke productie bedragen de kosten 57 000 euro?

Antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Bij welke productie is de omzet 33 000 euro?

Antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Hoeveel kliefhamers moet men produceren opdat er met winst verkocht wordt?

Antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?Oefening 7. Plot met GeoGebra de grafiek van de functie

f(x) =x4 − 19x3 − 666x2 + 2x− 19

x2 − 19x− 666.

Duid daarna aan welke van de onderstaande beweringen correct zijn.

# De grafiek van f is een parabool.

# Het domein van de functie f is gelijk aan R.

# Het beeld van de functie f is gelijk aan R+.

# De grafiek van f heeft geen verticale asymptoten.

# De grafiek van f heeft geen horizontale asymptoten.

# De grafiek van f heeft geen schuine asymptoten.

# De grafiek van f heeft geen perforaties.

Succes!

G-6