Colofon - Desda · Spijtig denkt ze aan de paraplu die ze thuis heeft gelaten. Het zou een mooie...

�� "!�� #$��%!�� &

Colofon‘Volgens Bartjens’ is het verenigingsblad van de wiskundestudievereniging DESDA, en wordt uitge-geven door de commissie Bartjens.

Het algemeen bestuur van DESDA

Tjapko Struik (voorzitter)Anna Kiriliouk (secretaris)Moniek Messink (penningmeester)Willem van Zuijlen (comm. int. betr.)Tim Verheijen (comm. ext. betr.)

Instituut WiNStvoor Wiskunde Natuurkunde en Sterrenkunde

Radboud Universiteit Nijmegen

Tekening voorkant: Corine Baayen

Winter 2009Drieentwintigste jaargang

Nummer 2

HoofdredactieRuud van der Weide

RedactieCorine BaayenJan van Haren

Mike HoffmeisterHanne Kause

Simeon NiemanBart Nikkelen

Veerle TimmermansWouter van Orsouw

Redactieadres‘Volgens Bartjens’

p/a Wiskundestudievereniging DESDAToernooiveld 1

6525 ED Nijmegen

Giro298846

Fax024-3652140Emailadres

[email protected]

http://www.desda.science.ru.nl

TypografieLATEX 2ε

Oplage190 exemplaren

DrukCopycenter The Print

Aan dit nummer werkten meeNoud Aldenhoven, Corine Baayen, Elroy Jumpertz, Wesley van Haren,

B.C. Kauseband, Bas van Schriek, Joris Sprunken, Tjapko Struik, SepThijssen, Tim Verheijen, Ruud van der Weide

Inhoudsopgave

Redactioneeltje 1

Woordje van de voorzitter 2

Nieuws uit en voor het WiNSt 3

DESDA bowlingavond 4

Rijtje 7 5

Antwoord rijtje 6 6

Pannenkoek-eet-ren-festijn 6

Gedichtenwedstrijd 8

Pi 8

Inleiding in Functioneel Pro-grammeren 10

Spellencompetitie 18

Interview met Erik Koelink 19

DESDA / MARIE CURIE poker-toernooi 22

Avonduren van een nerd 23

Op schoot bij Sinterklaas 26

Millennium Puzzels 27

Varieteavond 28

Linux hacks 31

Gehoord en gezien 33

Redactioneeltje

door Ruud van der Weide

Geen idee of tegen de tijd dat de VolgensBartjens uitkomt dit nog mag, maar ik doe hetgewoon. Gelukkig nieuwjaar allemaal! 2008 waseen bijzonder jaar. De eerste DESDAstudiereissinds mensenheugenis, Freek is afgestudeerd,het grootste aantal eerstejaars studenten sindslange tijd, zeven studenten hebben hun pro-pedeuse summa cum laude gehaald, Freek isafgestudeerd, eerste vakantieboekje sinds enkelejaren, Freek is afgestudeerd, de www-Cie heeftpost gekregen en, last but not least, Freek isafgestudeerd.

In deze Volgens Bartjens is er ook weer eennieuw initiatief begonnen, de gedichtenwed-strijd, georganiseerd door Abel en onze eigenVeerle. Er zijn vele gedichten ingestuurd, leukegedichten, originele gedichten. En de leukstegedichten staan nu in de Volgens Bartjens.

Ik hoop dat iedereen de Volgens Bartjens metveel plezier zal lezen en ik hoop dat iedereeneen leuk en gezellig 2009 zal beleven.

Volgens Bartjens—Wintereditie 1

WOORDJE VAN DE VOORZITTER

Woordje van de voorzitter

door Tjapko Struik

Spijtig denkt ze aan de paraplu die ze thuisheeft gelaten. Het zou een mooie dag worden,had zij zich laten vertellen. Sterker nog, het zoueen heel mooi jaar worden, 2009. Weliswaar nietop economisch vlak, de recessie woekert voort,en ook niet op educatief vlak, maar daar had zijzelf voor gekozen. Toch is haar woede tot eenhoogtepunt gekomen, ze kookt. Het mag tochop zijn minst droog blijven op zo’n dag dat je jeparaplu thuis laat liggen. Heeft zij daarvoor eenjaar lang gezwoegd? Heeft zij daarvoor de kerstzo vroom doorgebracht? Heeft zij daarvoor aldie goede voornemens voor het nieuwe jaar tothoogste prioriteit verheven?

Wat jullie hier aantreffen, is een simpel voor-beeld van de hoge verwachtingen van 2009. Eennieuw jaar geeft nieuwe kansen. Een nieuw jaargeeft nieuwe hoop. Bovenal geeft een nieuw jaarweer een frisse aanblik op tal van zaken. Dat iswaar wij op rekenen, dat is waar wij vanuitgaan.Tijd om ons te richten op alles wat voor ons ligt!Maar niet voordat... we hebben teruggeblikt op2008.

Het collegejaar begon met de introductie.1 Eenkleine 50 nieuwe studenten, die net als wij ookdenken dat wiskunde leuk is, beginnen vol goe-de moed de stad en universiteit te bekijken. Be-gin oktober leren zij, als zij nog zich nog steedsvertrouwd voelen binnen de wiskundegemeen-schap, de ouderejaars kennen op het jaarlijkseDESDA-weekend. Dit jaar op fietsafstand2 en ikbetwijfel of het hier aan heeft gelegen, maar er

waren bijzonder veel eerstejaars! Dat heeft, te-zamen met een creatieve en goed voorbereideweekendcie, geleid tot een geslaagd weekend.Ook het wiskundetoernooi, iets eerder in het jaar,trok weer volle zalen. Daarnaast was er nog deuitwisseling, die in de meivakantie haar vervolgzal kennen. Laten we echter vooral niet de klas-sieke activiteiten vergeten. Het pannenkoek-eet-renfestijn en de variete-avond maken ieder jaarhun traditie weer waar en ondanks dat het weernog somber is, weet de sport-en-spelcommissieSpringer de wiskundigen met bowlen, poolenen een spellenborrel in beweging te houden enwordt de geest scherp gehouden met een quizhierover. Naast de spellenborrel heeft Brouwerook alleen nog enkele borrels neergezet. Zo eensper maand komen we, al dan niet met thema,even gezellig bij elkaar en ter afsluiting van ditkalenderjaar is de jaarlijse kerstborrel zowaaruitgebreid tot een diner. De eerstejaarscommis-sie kent als vanzelfsprekend opstartproblemen,maar wist zich toch krachtig te manifesteren meteen uiterst geslaagde pokerborrel, samen metMARIE CURIE.

Om terug te komen op de vergeten paraplu,kan ik melden dat er ook aan onze paraplu, dekoepelvereniging OLYMPUS, nog enkele woordente wijden zijn. DESDAis sinds dit jaar, ook buitenhet vestuur om, actief binnen de paraplu. Al jarenhebben we zitting in het bestuur van OLYMPUS,dit jaar weer een wiskundige op de post van pen-ningmeester, dus dat zit sowieso goed. Daarnaasthebben we nu mensen in de voorraadcommissie,

1En ieder collegejaar eindigt met de introductie: het is zo belangrijk, dat we dit standaard tweemaal meerekenen ineen collegejaar.

2Ieder jaar op fietsafstand, maar dit jaar ook voor de niet-sportieve wiskundigen op fietsafstand

2 Volgens Bartjens—Wintereditie

NIEUWS UIT EN VOOR HET WINST

zij die er door het aanvoeren van bier en noot-jes, altijd weer voor een vertrouwde ambianceweten te zorgen binnen de kantine. Ook bij hetlustrum van OLYMPUS, enkele weken geleden,hebben wiskundigen geholpen. Klein minpunt-je, ondanks onze bijdrage binnen de organisatiewist wiskunde niet te winnen bij Battle of theProfs. Handig tellen, een vaardigheid die je leertbij discrete wiskunde, komt ook pas in de tweedehelft van het tweede jaar. Het zij de organisatiedaarom vergeven.

Wat kan ik jullie verder nog vertellen? Wij heb-ben, in tegenstelling tot sommige anderen die in

de regen verzeilen, onze paraplu niet vergeten.Hierdoor, en door alle andere activiteiten die al-weer gepland staan voor 2009, zullen wij niet vande regen in de drup geraken. Ondanks recessie,ondanks gebrek aan plannen voor onze studie,belooft het een schitterend jaar te worden. DeBetadag, een symposium, de Batavierenrace, deuitwisseling en nog veel meer. Met als afsluiter,we zouden dit immers dubbel tellen, de intro-ductie. Verder is mijn advies voor 2009: Urenmaken binnen de wiskunde en voor alle tijd dieje daarnaast nog overhoudt: kom eens langs opeen DESDA-activiteit!

Nieuws uit en voor het WiNSt

Geslaagd!

De volgende mensen zijn in de afgelopen peri-ode geslaagd voor een examen. Gefeliciteerd!

Bachelor Wiskunde, 27 november, MaartenSchaeffers, Jan van HarenBachelor Wiskunde, 18 december, Gijs HendrixMaster Wiskunde, 18 december, Mirte Dekkers

Nieuws

Nicolo de Groot is de nieuwe onderwijsdirecteurvan het WiNSt.Hans Maassen wordt buitenlandcoordinator wis-kunde.


DESDA BOWLINGAVOND

DESDA bowlingavond

door Wesley van Haren

Anderhalve maand geleden was het weer tijdvoor een DESDA-bowling avond. Na de fascine-rende lessen van die dag, besloot ik dat het nietde moeite was om nog even naar huis te gaan omte eten. Daarom ging ik mee met een behoorlij-ke groep mensen die bij de Refter gingen eten.(Ja, alweer?) Na het eten, dat die dag volgensmij best lekker was, zijn we naar de bowlinghalgegaan. Daar wachtten buiten al een groep men-sen en werd de teamindeling bekend gemaakt. Ikzat bij Tom, Monique, onsmam (of: Marleen) enCorine. Toen ik die namen hoorde besefte ik dathet allemaal ouderejaars waren en dan moet jenatuurlijk een goede indruk maken! Maar nadatCorine, Monique en Marleen eerst hadden over-legt wie nu eigenlijk de slechtste bowler zou zijnmaakte ik me daar opeens niet zo druk meer om.Nadat iedereen had uitgevogeld bij wie ze zaten,wie nu wie was en de spelregels uitgelegd wer-den (het beste team krijgt een prijs, de hoogstelosse score krijgt een prijs en natuurlijk moet detweede plek een stukje schrijven) liepen we naarbinnen.

Het was een verassend mooie bowlinghal meteen barretje wat er ook erg leuk uitzag. Toen webij onze banen waren konden we bijna meteenbeginnen met bowlen. Een potje bowlen gaat erbij mij altijd wel in trouwens, ik bowl ongeveerjaarlijks sinds groep 4 geloof ik. Daarom kan ikondertussen dan ook wel de goot vermijden. Naeen worp of vier kwam ik erachter dat ik boven-aan stond met wat speling dus mijn competatievekant kwam naar boven. Thom loerde echter in deschaduwen. Na nog een worp of twee keerde na-melijk het tij. Ik denk nog steeds dat het kwamomdat Marissa toen (eindelijk) binnen kwam lo-

pen. Want afgeleid door deze haast engelachtigeverschijning, waar Thom ondertussen wel ge-wend aan is, ging het mis. Thom liep uit tot eenredelijke voorsprong en bij de laatste worp konik alleen winnen als ik twee strikes zou gooien,of Thom moest in de goot gooien. Ik gokte maarniet op het tweede, want er was vast een redendat hij bovenaan stond. Warempel gooide ik deeerste strike ook nog, maar helaas hield het daarop en Thom won met een handvol punten ver-schil. Gefeliciteerd Thom ;-). Na het eerste potjewerden ook de teamscores vergeleken en daarbijhadden we heel netjes de laatste plaats.

Nadat duidelijk was gemaakt dat alleen deeerste ronde zou tellen voor de prijzen werd erbegonnen aan een tweede ronde. Deze rondeging ons team een stuk beter en ik een stuk min-der, Marleen had na ongeveer 6 worpen al meerpunten dan in de eerste ronde in totaal. He-laas kon deze ronde niet afgemaakt worden enmoesten we naar het cafeetje voor de prijsuitrei-king. De laatste plek (Monique) kreeg een troost-prijs, het beste team en de beste speler kregensnoep en ik kreeg het “recht” om een stukje teschrijven, in combinatie met een regenzakje voormijn fietszadel waar ik ontzettend blij mee was.Zo blij dat ik hem in eerste instantie binnen lietliggen maar gelukkig namen bepaalde mensenhem mee en gaven ze hem weer terug. Omdathet nog veel te vroeg was om naar huis te gaankwam het idee om met z’n allen naar Samsonte gaan. Een idee dat door redelijk wat mensenvan harte werd ontvangen. Bij Samson was hetdaarna nog erg gezellig, met als hoogtepunt deweddenschap tussen Tjapko en Anna dat An-na de vierdaagse ging uitlopen, samen met de


RIJTJE 7

rest van ons dappere DESDA-vierdaagseteam. Ofook: mafketels.

Alles bij elkaar was het een erg geslaagde

avond en ik plan om volgend jaar weer van departij te zijn. Organisatie: bedankt namens alledeelnemers!

Rijtje 7

door Sep Thijssen

Rijtjes zijn in de meeste gevallen helemaal niet leuk om te doorgronden. Uren staren zonder eenaanknopingspunt te vinden geeft nu eenmaal geen bevredigend gevoel. Het andere uiterste is na-tuurlijk ook niets. Gelukkig betekent dit dat het verzinnen van geschikte rijtjes wel de moeite waardis. Vandaar dat ik deze nobele taak uit Nouds handen heb genomen, notabene met de smoes dat hijdan ook een keer kan meepuzzelen. Uren en uren heb ik niet aan mijn scriptie gewerkt en mij ge-bogen over het vraagstuk: waarom zou de lezer zich wagen aan mijn rijtjes? Nou, omdat het eerstewel te doen is, maar toch gemener is dan je aanvankelijk dacht. Het tweede is al een stuk minderdoorzichtig. Maar mischien. . . heel mischien krijg je een idee na het oplossen van de eerste rij. Vande derde rij vind ik het moeilijk in te schatten wat zijn niveau is. Maar na twee rijen doorgrondt depuzzelaar het brein van de meester (ik dus) en zo zal ook de laatste rij gekraakt worden.

Nog even voor de goede orde: nummering van de rijtjes gaat verder waar Noµd gebleven was.De opgave is om het eerste ontbrekende getal in de gegeven rijtjes te bepalen. Denk je het te weten,dan moet je een mailtje sturen naar de commissie Bartjens of naar Nσud. En van laatst genoemdekrijg je dan ook nog een hoop drop als het goed was. Succes!

7 0, 1, 28, 3, 14, 57, 1896, 7, 7586, 29, 948, 115, 118, 3793, 3824, 15, 474, 15173, 15180, 59, 62, 1897,1912, 231, 60722, 237, . . .

8 3, 5, 23, 47, 89, 101, 149, 157, 163, 173, 179, . . .

9 3, 6, 13, 7, 4, 8, 19, 11, 5, 9, 23, 14, 6, 10, 29, 19, 8, 14, 43, 29, 10, . . .


PANNENKOEK-EET-REN-FESTIJN

Antwoord rijtje 6

door Noud Aldenhoven

Voor degene die de laatste weken goed opgelet heeft op de wiskunde op het interwebz: wat is hetvolgende getal van dit rijtje?

5, 3, 11, 23, 3, 47, 3, 5, 3, 101, 3, 7, 11, 3, 13, 233, 3, 467, ...

Het antwoord is natuurlijk 3. Ik heb geen enkel antwoord ontvangen en vrees dus dat ik jullieiets te hoog heb ingeschat. De rij stond trouwens bijna letterlijk op de blog van de wiskundemeisjes(priemformule, 25 juli 2008).

Ik heb wegens gebrek aan tijd geen nieuw rijtje kunnen verzinnen. Dit hoop ik goed te kunnenmaken met de Millennium Puzzels.

Pannenkoek-eet-ren-festijn

door Tjapko Struik

Het PER-festijn, dit jaar geen spannende strijdmaar de traditie leeft nog. . . en dat heeft prioriteit

Daar staan wij dan, aan de start. Met een sa-mengeraapt team van mensen die niemand wildehebben.3 De traditie om onafgebroken ieder jaarvan je studie mee te doen aan deze legendarischeactiviteit, het Pannenkoek-Eet-Renfestijn, is er bijmij wel ingeslagen. Inmiddels zit ik in mijn der-de jaar en ik ga de activiteit zo onderhand zelfook echt waarderen. Bovendien brengt zo’n sa-mengeraapt team je ook dichter bij elkaar. Deliefde van de man gaat immers door de maag.Niet dat ons team zo hecht is geworden, maareen benadering ervan is ook voldoende. Voorons plezier, een degelijk avondmaal en het gezel-

lig samenzijn met wiskundigen deden wij in feitemee. Ook hadden wij geen enkele moeite gesto-ken in onze outfit, dus we liepen geen enkel risicoop een prijs of iets dergelijks. Mis dus, zoals iederwelopgevoed DESDA-lid weet moet ‘nummer 2’een stukje schrijven. Wij dus, we hadden onszelfzwaar onderschat.

Wie hebben zich dan wel serieus voorbereid,wie zijn wel de laatste week op pannenkoeken-dieet geweest om niet pas gedurende de wed-strijd voor onaangename verrassingen te komente staan en wie hebben wel enorm veel tijd gesto-

3Willem, Simeon en ik hebben ons redelijk op het laatste moment ingeschreven en een-derde van ons team is daar paslater over ingelicht.


PANNENKOEK-EET-REN-FESTIJN

ken in hun outfit? Het eerste wat je ziet wanneerde wedstrijd begint zijn toch de outfits. Daaromeerst een beschrijving hiervan. Althans, van deoutfits die ertoe doen. Op rolschaatsen,4 donkeropgemaakt en gehuld in heksenkleding5 haddenHanne en Moniek goede kansen voor de origina-liteitsprijs. Helaas voor hen wisten Janneke enBart het voor elkaar te krijgen om Joris6 nog vooreen zesde maal in hun team te krijgen. Gekleedin doktersjassen, met het thema ‘voedingsdienst

van waren’7, sleepten zij voor de zoveelstemaal de alom pretentieuze originaliteitsprijs inde wacht. Gefelicititeerd!

De echte wedstrijd is enkel interessant geweest

op het niveau subtop. Met kop en schouders sta-ken de oude veteranen SEP8 en de heer Caspers 9,ondersteund door hardloper Tim 10, boven de restvan het klassement uit. Een totaal van 46 pannen-koeken maakt gehakt van de schrale hoeveelheidvan 34 pannenkoeken, die wij als nummer 2 naarbinnen wisten te metselen. Ik hoop van harte dater volgend jaar een team serieus de concurrentiemet de onverschrokken pannenkoekeneters aan-gaat. Desalniettemin een mooie prestatie, zoveelpannenkoeken eten in een half uur. Daarom wilik als laatste nog kwijt: ‘Hulde aan deze grotevreters! Zij nemen hun taak tenminste serieus!’

4Ja, gedurende de gehele wedstrijd.5Inclusief enorme hoed met wiskundeteksten.6de jongen die wiskunde heeft ingeruild voor echt werk en die wij daarom nog maar zelden op de uni zien.7Mocht ik dit in ernstige mate verkeerd geınterpreteerd hebben, dan houd ik mij aanbevolen voor rectificatie van hun

zijde. (Red: Het was de ”Commissie Tegen Inferieure Baksels”)8Slikt Elke Pannenkoek.9vorig jaar nog Martijn, maar sinds zijn aanstelling als AIO krijgt hij praatjes.

10Geen pannenkoek gegeten, maar daarom niet minder winnaar.


PI

Gedichtenwedstrijd

door verscheidene mensen

Afgeleid

door Stephanie CornelisZoals jij afleidt,Lijk ik niet op te vallen

Zoals jij ontbindt,Probeer ik me te binden

Zoals jij de macht verheft,Voel ik me machteloos

Zoals jij kans berekent,Ben ik kansloos bij jou

Zoals jij de limiet bepaalt,Zijn er geen grenzen aan mijn gevoel

Maar bewijzen kan ik als de beste,

Dat ik van je houd

Berekende Liefde

door Veerle TimmermansModulo gerekendVormen wij een getallenpaarNet twee lijnen, evenwijdigMaar in het echt ver van elkaar

Ik het begin en jij het eindEn het midden niet gelezenDat onze formule niet kan werkenIs voortijdig al bewezen

Het zijn experts die me vertellenDat jij mijn “=” niet bentMaar ik de sinus, jij de tangens,

Vind ik jou mijn complement

Jij bent 3 en ik 1

3

Gescheiden nog alleenMaar vergis je niet, want maal elkaarZijn wij samen 1

Pi

door Marleen Kock

Zij heeft een snede,maar dat is geen gulden snedeZij heeft een verhouding,maar dat is geen gulden snedeHij is niet integeren zij geen veelvoud van:

n plus wortel vijf, gedeeld door twee.

Zij heeft een logaritmemaar dat is niet natuurlijkZij heeft een oplossing,maar dat is natuurlijk niet

Haar gezicht is anti-symmetrischhaar menstruatie een cykelLeid haar niet af,inverteer maar een anderZij wil niet integreren,zij is een anderlanderEen getalsoort,niet eens zozeer complex,

Maar nog nooit gedefinieerd.


PI

Een limerick van Abel

door Abel PlantingEr was een paraboloıdeDie dacht steeds dat men op hem spieddeZo kreeg hij een naamKwam bekend te staanAls paranoıdoloıde

Limerick – een terugblik

door Tim VerheijenHet DESDA-bestuur uit Nijmegenwas heel hard aan het overwegen“Lopen we mee of niemet de Vierdaagse in juliNee, dat is toch te veel bewegen”

Jaaaa-laaa-lalaa-lalaajaaaa-laaa-lalaa

Op het pannenkoek-eet-ren-festijndaar waren de verschillen niet kleinSep, Tim en Martijngingen als een treinen wonnen uiteind’lijk soeverein


In oktober gingen we bowlenOok dit jaar weer op uitglijzolenDe winnende baanzat waarschijnlijk aanepo of aan de anabolen


Spannend was het ook bij het poolenDat kon men vooraf al aanvoelenMen besloot de equipevan Erik en Wiebin de finale uit te joelen


Op de avond van ’t varietebrachten veel studenten hun fluit meeGeweldige notenGeweldig genotenHet publiek was na afloop tevree


Het kerstdiner ’s achter de kiezengegeten met werwerpserviezenWeer wat extra gewichtDe tijd komt in zichtom al die kilo’s te verliezen


En dat was het eerste halve jaarHet was heel gezellig, ja echt waarIk zeg nu dus “Mensen,de allerbeste wensenen nu ben ik met rijmen klaar!”

Jaaaa-laaa-lalaa-lalaajaaaa-laaa-lalaaPom-pom.


INLEIDING IN FUNCTIONEEL PROGRAMMEREN

Inleiding in Functioneel Programmeren

door Elroy Jumpertz

Inleiding

Aangezien informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om eenstukje te schrijven over een onderwerp dat voor wiskundigen interessant is, namelijk functioneelprogrammeren. Voor dit artikel beperk ik me tot de taal Clean, die door de subfaculteit informaticais ontwikkeld.

Vrijwel iedereen heeft al eens wat geprogrammeerd, bijvoorbeeld in Java, PHP of Matlab, maarwaar je misschien niet van op de hoogte bent is dat deze talen allemaal behoren tot de klasse derimperatieve talen. Deze programmeerstijl wordt gekenmerkt door de mogelijkheid om waarden aanvariabelen toe te kennen en de programmacode wordt van boven naar beneden uitgevoerd, sta-tement voor statement. Daarnaast bestaat er een verzameling functionele talen. Functionele talenhebben geen variabelen en geen assignments; er bestaan uitsluitend functies die aan elkaar wordengeregen.

Een ander belangrijk kenmerk van functionele talen is dat ze doorgaans statisch getypeerd zijn.Dat betekent dat de types van de gebruikte functies in compile-time bekend moeten zijn en op elkaaraan moeten sluiten. Compilers beschikken dan ook over een type-afleidingsmechanisme.

Recursie

Doordat je enkel met functies kunt werken en geen loops en globale variabelen hebt, kom je al snelterecht bij recursie. Een recursieve functie is simpelweg een functie die zichzelf aanroept. Als klas-siek voorbeeld neem ik de faculteitsfunctie. Een recursieve wiskundige definitie is:

fac : N → N : n 7→

{

1 n ≤ 1

n · fac (n − 1) anders

In Clean zou je het als volgt opschrijven:

fac :: Int -> Intfac n| n <= 1 = 1| otherwise = n * fac(n-1)

Het is meteen duidelijk hoe dicht de Clean-syntax bij de wiskunde ligt. De recursieve aanroep(fac(n-1)) zorgt ervoor dat het “probleemgebied” iets kleiner wordt gemaakt (in dit geval een



kleinere n) en dat dezelfde functie wordt gebruikt om een uitkomst te berekenen. De functie ter-mineert zogauw n gelijk wordt aan 1; dan worden alle tussenresultaten vermenigvuldigd om deuiteindelijke uitkomst op te leveren.

Lijsten

In een functionele taal is het erg handig om met lijsten te werken. Een lijst is een rijtje van data vanhetzelfde type, ongeveer zoals een array in andere talen. Ook lijsten zijn recursief opgebouwd: zebevatten een kop en een staart, die op zijn beurt weer een lijst is. De lijst van integers [1, 2, 3,4] wordt dus intern gerepresenteerd als een lijst met een integer 1 en een lijst [2, 3, 4]. Dezelijst bevat een 2 en de lijst [3, 4], enzovoort. Notatie: [1: [2: [3: [4: [] ]]]]. Hetsymbool [] staat voor de lege lijst. Omdat lijsten van zichzelf een recursieve structuur hebben, lenenze zich goed voor recursieve algoritmen. De volgende functie draait een lijst om:

reverse :: [a] -> [a]reverse [] = []reverse [x:xs] = reverse xs ++ [x]

Hier worden een aantal nieuwe concepten geıntroduceerd die nadere toelichting vereisen. Hettype van de functie is [a] -> [a]. De a hierin is een typevariabele (een soort jokerteken), wat bete-kent dat de functie werkt op lijsten van elk willekeurig type. Dit mogen dus lijsten van integers zijn,of van reals, of van bools, etc.

Daarnaast wordt er gebruik gemaakt van pattern matching. Ik definieer meerdere “versies” vanreverse, afhankelijk van de data die worden aangeboden. Als reverse wordt aangeroepen meteen lege lijst, wordt er simpelweg een lege lijst teruggegeven. De tweede regel komt in actie als ereen lijst met inhoud wordt aangeboden. De lijst “matcht” dan op [x:xs]. Dit is meteen de enigemanier om in Clean met lijsten te werken: je hebt de kop (de x) en de rest (xs). Merk op dat x dusvan het type a is en xs van het type [a].

Het bijbehorende algoritme inverteert middels recursie eerst de staart van de aangeboden lijst(reverse xs) en plakt daar later het eerste element (x) achter. Omdat de ++ operator, die twee lijs-ten aan elkaar lijmt, van het type [a] [a] -> [a] is, moeten we twee lijsten aanbieden. reversexs levert al een lijst op (kijk maar naar de functiedefinitie), maar van xmoeten we even een singleton-lijst [x] maken; dat is een lijst met maar een element erin.

Hogere-orde functies

Het volgende onderdeel waarin een functionele taal verschilt van zijn imperatieve broeders, is hogere-orde functies. Functies die werken op argumenten van een bepaald primitief type (Ints, Chars) zijneerste-orde functies. Functies die andere functies als argument hebben of die een functie opleveren,



heten hogere-orde functies. Het favoriete voorbeeld van elke functioneel programmeur is de functiemap, die een andere functie toepast op alle elementen van een lijst:

map :: (a -> b) [a] -> [b]map f [] = []map f [x:xs] = [f x: map f xs]

Hier wordt duidelijk dat map twee argumenten wil hebben: een functie van type a -> b en eenlijst [a]. Het resultaat is een lijst [b]. In de functie met type a -> b worden twee verschillendetypevariabelen gebruikt om aan te geven dat het een functie mag zijn die een parameter van eenwillekeurig type accepteert, en een ander willekeurig type oplevert. Deze types hoeven dus niet het-zelfde te zijn (maar het mag wel!).

In het algoritme wordt de functie f recursief op de lijst [x:xs] uitgevoerd door eerst f los te latenop x, en de staart van de op te leveren lijst recursief af te handelen. Merk op dat een functie-aanroepgeen haakjes vereist. f x betekent dus: pas f toe op x. Zo is map f xs een aanroep van map metals argumenten f en xs. Aan het einde van het liedje is de hele oorspronkelijke lijst getransformeerdnaar iets van het type [b].

Een voorbeeld is hier wellicht op zijn plaats. Als input-lijst neem ik [1, 2, 3, 4, 5] en alsfunctie isEven. Deze functie is van het type Int -> Bool en bepaalt van een integer of het eeneven getal is. Voorbeeld: isEven 3 = False. Nu geldt:

map isEven [1, 2, 3, 4, 5] = [False, True, False, True, False]

Ik heb dus een functie van type Int -> Bool gegeven, plus een lijst van Int, en ik krijg een lijstvan Bool. Handig toch?

Termreductie

De manier waarop de Clean-compiler programma’s evalueert is door middel van termreductie. Ditkan het beste worden uitgelegd met een voorbeeld. De expressie 1 + 2 * 3 wordt gereduceerdnaar 1 + 6 en dat wordt gereduceerd naar 7. In dit geval is er maar een manier waarop er gere-duceerd kan worden, maar vaak kan het op meerdere manieren. Stel we hebben een functie die eenkwadraat berekent:

square :: Int -> Intsquare x = x * x

Dan kan de expressie square (1 + 2) als volgt worden gereduceerd:

square (1 + 2) (definitie van +)=====

= square 3 (definitie van square)



========= 3 * 3 (definitie van *)

====== 9

Ik onderstreep telkens het deel van de expressie dat ik ga reduceren. Deze reduceerbare expressiewordt heel creatief een redex genoemd. Naast elke reductiestap noteer ik welke regel ik toepas. Deuitkomst is 9, en omdat deze expressie niet verder gereduceerd kan worden heet dit een normaalvorm.Maar we kunnen onze expressie ook anders reduceren:

square (1 + 2) (definitie van square)==============

= (1 + 2) * (1 + 2) (definitie van +)=====

= 3 * (1 + 2) (definitie van +)=====

= 3 * 3 (definitie van *)=====

= 9

Zoals er vele wegen naar Rome leiden, zijn er meerdere reductiepaden die tot een normaalvormleiden. Clean kent een eigenschap die ervoor zorgt dat als een expressie een normaalvorm heeft,deze altijd hetzelfde is, ongeacht het gekozen reductiepad.

Correctheidsbewijzen

Tot slot wil ik het nog even hebben over correctheidsbewijzen. Het is af en toe wel fijn als je opformele wijze een bepaalde eigenschap van je programma kunt bewijzen; dan weet je immers ze-ker dat een functie of een programma doet wat het moet doen en heb je uiteindelijk minder bugs.In imperatieve talen is dat nogal een omslachtig proces maar in een functionele taal is dat een stukeenvoudiger. De strikte typering en de recursieve opbouw van de code pleiten al snel voor inductie.Laten we een voorbeeld erbij nemen.

Stel dat we een nieuwe operator o introduceren (deze operator zit standaard al in Clean, maarwe houden ons even van de domme). Dit is het bolletje dat je kent uit de wiskunde en dat wordtgebruikt voor functiecompositie. We definieren onze operator als volgt (het type is even niet vanbelang):

(f o g) x = f (g x) (1)

Ik nummer de definitie zodat ik er later naar kan verwijzen. Daarnaast nemen we nogmaals dedefinitie van map:



map f [] = [] (2)map f [x:xs] = [f x: map f xs] (3)

We zouden nu de volgende eigenschap kunnen bewijzen:

map (f o g) xs = map f (map g xs)

voor alle eindige lijsten xs en alle functies f en g.

Het bewijs gaat met inductie over de lengte van xs. Allereerst bewijzen we de eigenschap voorde lege lijst (de inductiebasis). Daarna nemen we aan dat de eigenschap geldt voor lijsten van lengten en concluderen daaruit dat de eigenschap ook geldt voor lijsten van lengte n+1 (de inductiestap).We maken hierbij gebruik van de genummerde functiedefinities die hierboven staan. We gaan opzoek naar syntactische gelijkheid door expressies te reduceren.

Inductiebasis

Aanname: xs = []Te bewijzen: map (f o g) [] = map f (map g [])Bewijs:

map (f o g) [] (definitie 2)==============

= [] (2) (van rechts naar links)==

= map f [] (2) <===

= map f (map g [])

. . . en dat is wat we in deze stap moesten bewijzen. Vervolgens nemen we aan dat onze eigenschapal geldt voor een willekeurige lijst xs en benoemen dit tot de inductiehypothese:

map (f o g) xs = map f (map g xs) (I.H.)

Wat we in de inductiestap gaan doen, is het bewijs leveren voor de lijst [x:xs]; dat is de lijst xsmet een element meer.

Inductiestap

Aanname: xs = [x:xs]Te bewijzen: map (f o g) [x:xs] = map f (map g [x:xs])Bewijs:

map (f o g) [x:xs] (3)==================

= [(f o g) x: map (f o g) xs] (I.H.)==============



= [(f o g) x: map f (map g xs)] (1)=========

= [f (g x): map f (map g xs)] (3) <============================

= map f [g x: map g xs] (3) <==============

= map f (map g [x:xs])

. . . waarmee we ook de inductiestap hebben bewezen. Per inductie hebben we nu aangetoond datde eigenschap geldt voor alle eindige lijsten xs.

Het reclamepraatje

Ik heb mijn best gedaan om op zeer beknopte wijze enkele interessante eigenschappen van functio-neel programmeren onder de aandacht te brengen. Nu rest mij enkel nog een schaamteloos reclame-praatje voor onze fijne informaticasubfaculteit. De volgende tekst moet worden beschouwd als eengrote knipperende neonreclame. . .

De bachelorcursus Functioneel Programmeren wordt elk jaar aangeboden bij informatica en kanprima deel uitmaken van je bijvakpakket naast de opleiding wiskunde. Als je meer informatie wilthebben, aarzel dan niet om mij een mailtje te sturen: [email protected].


SPELLENCOMPETITIE

Spellencompetitie

door Tim Verheijen

In het begin van dit collegejaar heeft het DESDA-bestuur het initiatief genomen om een spellen-competitie op te zetten. Dit houdt in dat er elke woensdag tussen 12.15 uur en 13.45 uur spelletjeskunnen worden gespeeld in de Noordkantine. De winnaar van elk spel verdient punten, die bijondergetekende kunnen worden gemeld en die door mijn persoontje ook worden bijgehouden. Dereden voor het opzetten van deze spellencompetitie was dat er weinig tot geen wiskundestudentenhun pauze in de Noordkantine vertoeven. Enerzijds brengt dit het risico met zich mee dat we onzepositie in de Noordkantine kunnen verliezen en anderzijds kan het tot overlast leiden wanneer wemet z’n allen bij de 37-gang blijven hangen.

Enfin, genoeg gedramatiseerd. Zoals ik in de vorige Volgens Bartjens had beloofd, zou ik in elkeeditie een tussenstand geven van de spellencompetitie. Helaas is er tot op heden slechts een selectgroepje dat heeft meegedaan aan de spellencompetitie. Toch gek, want wie wil er nou niet een eer-volle vermelding in de Volgens Bartjens? De huidige tussenstand ziet er als volgt uit:

Positie Naam Puntenaantal1 Frank 3002 Freek 2403 Tim 1204 Luuk 855 Moniek 606 Abel 25

Meedoen met de spellencompetitie kan natuurlijk nog altijd. Ga gewoon met wat medestudentennaar de Noordkantine en maak het er gezellig met (of zonder) een spelletje. Op de posters in deNoordkantine en op de deur bij de 37-gang kun je lezen hoeveel punten je voor elk spel kunt verdie-nen. Staat een spel niet op de lijst? Neem dan even contact met me op ([email protected]),dan zet ik het spel erbij en zijn we allemaal weer blij.


INTERVIEW MET ERIK KOELINK

Interview met Erik Koelink

door B.C. Kauseband

Wie: Prof. Dr. H. T. KoelinkGeboren op: 30 april 1964Favo stelling: Onder andere de spectraalstelling voor (onbegrensde) zelf-geadjungeerde operatorenop een Hilbertruimte.

Geboorteplaats: CoevordenHobby’s: Wat zijn hobby’s?Alles dat niet met wiskunde of het huishouden te maken heeft.Oh, dan blijft er weinig tijd over. Ik heb een tijd aan tafeltennis gedaan, maar de tennisvereniging inMalden leek me leuker dus heb ik me daar ingeschreven. Ik doe het nog niet veel, de buitenbanenzijn nu nog te koud. Af en toe doe ik ook aan hardlopen. Dit is dan wel vooral omdat ik vind dat hetmoet, niet omdat ik het echt leuk vind. Ik heb wel eens meegedaan aan de Zevenheuvelenloop. Mijnbroer doet dit vaker, dus ik kon niet achterblijven.

Bent u nog in de prijzen gevallen?Nee, mijn eindtijd is echt voor verbetering vatbaar. Veel van mijn collega’s zijn beter, we kunnen weleen team vormen.

U werkt nog niet zo lang aan onze Universiteit. Wat is uw reden geweest om vanuit Delft naar hetoosten te trekken?Ik kon hier hoogleraar worden, dat was eigenlijk de belangrijkste reden. Aan de TU in Delft lag ditniet in perspectief. Bovendien werd het forenzen veel te veel. Een groot voordeel van Nijmegen isdat het niet in de Randstad ligt, het is daar naar mijn mening veel te druk.

Merkt u een groot verschil tussen de twee universiteiten?Er is een groot verschil in het soort onderwijs dat wordt gegeven. Aan de TU wordt veel serviceon-derwijs geleverd aan de andere faculteiten. Hierdoor is het mogelijk dat de wiskundeafdeling veelgroter is. Ik ben ook echt van mening dat alle wiskundevakken in Nijmegen gegeven zouden moetenworden door wiskundigen. Dat is toch ons werk!

Er is ook wel een verschil in mentaliteit van de studenten: In Delft zijn de studenten praktischer ge-orienteerd. Maar in Nijmegen heerst er een zeer positieve sfeer tussen de studenten, er wordt meersamen gedaan. Het is hier duidelijk gezelliger. Een goed voorbeeld hiervan vind ik de studiereis.Deze was niet alleen zeer goed georganiseerd maar ik heb me ook buitengewoon vermaakt. Ik hoopdat er snel weer een komt. En dan niet per se om zelf mee te gaan. Oh, en natuurlijk het pooltoernooi!

Doet u dit vaak?Nee, gemiddeld een keer per jaar.



En u veegt ons wel gemakkelijk van tafel!Ik heb het eens veel gedaan op een congres. Daar was naast een grote hoeveelheid Spanjaarden maareen Nederlander, dus toen hebben we met zijn tweeen de tijd gevuld met poolen.

U bent niet begonnen met studeren aan de TU Delft. Wat is het verloop van uw wiskundig leven?Ik ben in 1982 wiskunde gaan studeren in Groningen. In die tijd waren wij de eerste lichting van detweede fase, maar daar heb ik me weinig van aangetrokken. Er stond ineens vier jaar voor de studie,maar ik heb er prachtig vijf en een half jaar over gedaan. Ik vond het wel tijd voor een vaste baan,dus ik ben gaan werken voor het Nationaal Lucht- en Ruimtevaartlaboratorium. Ik heb daar ander-half jaar voornamelijk geprogrammeerd en dit vond ik helemaal niks. Daarom was ik blij toen ik aande KU Leuven als postdoc aan de slag kon. Hierna ben ik aangesteld als Universitair Docent in Delft.

Dus u bent nooit echt naar het buitenland geweest?Nee, niet echt. Dit was toch ook in overleg met mijn vrouw. Ik heb haar leren kennen in mijn school-tijd.

Bent u een van die mensen die al zijn hele leven wiskunde heeft willen studeren?Nee, ik heb pas in 6 atheneum gekozen voor wiskunde. Ik heb lange tijd getwijfeld tussen informa-tica en wiskunde.

Wat heeft de doorslag gegeven?Dat kan ik maar beter niet zeggen tegen een journalist, haha. Ik heb in ieder geval niet vanuit alwe-tendheid gekozen, maar ben er altijd blij mee geweest, hoor. Dit is echt wat ik wil.

Als u nu uw leven zou omgooien, wat zou u doen?Als ik het echt moet omgooien. Dat vind ik een moeilijke vraag. Er is niet specifiek iets dat altijd almijn wens is geweest. En als ik naar andere vakgebieden kijk, vind ik dit echt het leukst.

Wat is uw eerste leuke herinnering aan wiskunde?De introductieweek van de opleiding in Groningen. We moesten de fout vinden in een bewijs voorde trisectie van een hoek.

En aan welke opdracht heeft u nachtmerries overgehouden?Dit zou ik niet weten eigenlijk. Ik heb me altijd vermaakt tijdens de studie, er zijn geen blijvendeherinneringen in ieder geval.

Zijn uw kinderen ook grote fans van wiskunde?Nee, absoluut niet. Mijn oudste zoon wil graag naar de kunstacademie. Zacht uitgedrukt “ligt zijnhart niet helemaal bij de wiskunde”. Mijn jongste zoon wil vooral geld verdienen, en ik vermoed dathij dat niet gaat doen door wiskunde te studeren.



Ik heb wel laatst een gastles gegeven in de klas van mijn dochter, groep 5. Ik heb toen eerst uitgelegdwie Radboud was, en wat wiskunde is. Dat we het elke dag gebruiken zonder dat we het weten.Daarna heb ik ze wat laten doen met meetkunde, maar ze wisten eigenlijk niet eens hoe ze een pas-ser moesten gebruiken. Toch vonden de meesten het achteraf erg leuk, sommigen hadden zelfs hunouders gevraagd hoe je een lijnstuk in tweeen deelt.

Wat staat er op uw iPod?Amy McDonald, Bruckner, Brahms, Beethoven, Bach, Boudewijn de Groot, Nick Cave, Soundtrackvan Amelie Poulin, The Clash, U2, Bowie, Richard Strauss, Vivaldi, Kaiser Chiefs.

Dat ik naar de Kaiser Chiefs luister komt vooral door het spel Guitar Hero. Ik vind het een erg leukspel, maar ik ben gestopt omdat mijn kinderen beter werden. Dat ging veel te snel helaas.


DESDA / MARIE CURIE POKERTOERNOOI

DESDA / MARIE CURIE pokertoernooi

door Bas van Schriek

Maandag 1 december. Voor mij was de verlei-ding ’s middags groot om thuis te blijven. Hettreinverkeer had voor de verandering weer eensvertraging, maar ik moest toch echt naar de uni:het pokertoernooi mocht niet gemist worden!

Om half vijf stroomde de zuid-kantine vol enuiteindelijk zaten tweeendertig mensen, verdeeldover vier tafels, klaar om te pokeren. Na enkeleminuten waren de eerste slachtoffers al geval-len, al mocht de eerste niet klagen: hij kreeg alstroostprijs de chocoladeletter P, van ‘Pechvogel’(of was het nou ‘Prutser’?).

Een paar uur later begon de tijd ook partente spelen, mensen gingen ‘blind all-in’ omdat zemoesten gaan. Hierdoor werd de groep van over-gebleven deelnemers meteen al een stuk kleiner,waardoor we tegen zeven uur nog met acht manaan de finaletafel zaten. Opvallend was dat Ru-pert daar ook nog zat, als chip-leader notabe-ne. Ook hij moest eerder eigenlijk gaan, en ging‘blind all-in’. Echter, hij bleef maar winnen, dushij moest wel doorgaan. Uiteindelijk had hij on-geveer een kwart van de tafel nodig om zijn chipsneer te zetten.

Het werd pas spannend toen we nog met z’nzessen aan tafel zaten; drie van MARIE-CURIE en

drie van DESDA: Rupert, Ton en ik. Rupert konzijn ‘tactiek’ helaas niet volhouden, en eindigdeals vijfde, nadat er al een van MARIE-CURIE wasafgevallen.

De grote klap werd later uitgedeeld door Ton.Hij ging all-in en kreeg de twee MARIE-CURIE-leden met zich mee. Je raadt het al: hij won. Ditbetekende dat er nog 2 DESDA-leden over wa-ren, DESDA zou dit pokertoernooi dus sowieso alwinnen! Woei!

Er moest nog om twee dingen gestreden wor-den: wie krijgt de hoofdprijs, en wie moet hetstukje schrijven. In de finale was het meer gelukdan wijsheid, we gingen een paar keer all-in enhoopten dat de ander meeging. Op een gegevenmoment viel dan ook voor mij het doek, ik ver-loor met two pair van de zogenaamde ‘quads’:vier tweeen.

Ach, dit was volgens mij de hoogste hand vanhet toernooi, dus een beter einde kon ik me ookniet bedenken. De prijzen maakten het toch nogwel af. Ton kreeg het boekje ’Fysica in een no-tendop’, en de winnaar van MARIE-CURIE (denummer drie dus) kreeg het boekje ’Wiskunde ineen notendop’.


AVONDUREN VAN EEN NERD

Avonduren van een nerd


Home sweet home.

– English saying

After spending some time in England, visitinga couple of friends, I was heading home. I spentthe morning shopping with one of these friends,with whom I now was standing at the airport.I actually had already checked in online, but Ihad an extra bag with me on the way home. Thisbag belonged to a Dutch friend of mine. She hadmoved to England in September, to spend a yearworking and living in England, and needed meto take this bag back to the Netherlands.

After standing in line for ages, I finally got tothe check-in desk. The people that had been infront of me in line were particularly slow. I wasalready nervous about going back—I don’t flythat often—and waiting for these people only gotme agitated even more. But I finally got to thedesk and I managed to check the bag in withouttoo much of a hassle.

The Dutch friend I mentioned before had actu-ally already left a day earlier. She had had sometrouble finding a job, so she decided to go backa little earlier than she had planned, to find a jobin the Netherlands and save some money beforegoing back to England. Fortunately I knew some-one else in England, and that is the friend I waswith at the airport.

After saying goodbye to my English friend, Iwent through customs, fortunately without anyproblems, and made it to the right gate in time.The delay I had suffered though, meant I had to

wait in line before I would be able to board theplane. Waiting in line is quite uncomfortable, sin-ce you have to stand all the time. I spent a lot oftime walking around through Cambridge, so myfeet were already sore. Needless to say, I wasn’texactly looking forward to standing in line.

After standing in this line for about half anhour, I was finally able to board my plane. Thefunny thing when you go back home is that youstart noticing all the Dutch people on the airpla-ne. I already was agitated by all the waiting, andthese people—who were particularly loud andannoying—didn’t really improve my mood.

As some people might know, I love Englishpeople. In my personal experience, English peo-ple are much friendlier and way more polite thanDutch people. Of course, not all Dutch people areunfriendly people, I know plenty of great peop-le in the Netherlands. However, I do notice thatEnglish people just are a bit more friendly andhelpful towards strangers.

Shuffling through the plane, I found an emptyrow, allowing me to sit next to a window. Quicklyshoving my backpack in the overhead compart-ment, as not to block the aisle, I made my wayto my seat. I settled in, got my book, and startedreading. I got this book in England, it’s a novel byTom Clancy, called “Clear and Present Danger”.I only got to read the prologue while in England,and I was hoping to get through the first chapter


AVONDUREN VAN EEN NERD

on the flight back home. I hadn’t read novels forquite some time, so it took me some getting usedto.

I never actually got to reading much. Like Imentioned earlier, the people in the row behindme were particularly loud and annoying. Theflight got delayed for an hour and they spenttheir time discussing what could have delayedthe flight. They weren’t content with being ab-le to just hear one another though, they had tomake sure everyone in the airplane was able tohear them. They were talking loud enough thatI guess even the people in the back of the planewere able to hear their every word.

There also was a crying baby on board of theairplane. I actually don’t get annoyed by cryingbabies. When I hear a baby cry and I see or hearthe parents comforting it, I think it’s cute. I don’tthink a baby could ever annoy me, no matterhow noisy it is. The people in the row behindme though were getting more annoying by theminute.

They noticed a man-lift driving by. Now these“ladies” were contemplating what the man in theman-lift was doing. And one of them, the noi-siest and most annoying one of them all, had it.He was there to “swaffel” the pilots. “Swaffelen”is a Dutch term which, as far as I know, hasn’t gotan English translation. It basically means to slapsomeone with your. . . little John. If you don’tknow what I am talking about, just try lookingfor the word on the internet, I’m sure you’ll findsome lovely images.

Now, mind you, I don’t mind sexual jokes. Imake them as much as the next guy, probablyeven more. However, certain places just aren’t

appropriate for this type of language, includingairplanes where everyone is crammed into eachother. Furthermore, I already was extremely agi-tated by the long waits I had to endure and thesegirls were making it so much worse with theirannoying voices.

When the plane finally took off, the engineswere making enough noise to be able to drownout the girls, finally allowing me some rest. Ididn’t manage to read much in my book though,because by the time we were in the air I was soworn out I almost immediatly fell asleep. WhenI woke up I was really confused though. It wasvery dark outside and I couldn’t tell wether wewere flying, or if I had dreamt the take-off.

I get really disoriented after I wake up. Thishas caused some funny situations before. Likethis one time, my alarm clock woke me up. AndI couldn’t figure out where this noise was co-ming from. And then I figured I could stop it byturning on my computer. . .

After some while though, I figured out thatwe actually were flying and that I was on myway home. The girls in the row behind me werestill annoying, but fortunately the engines we-re still loud enough so I wouldn’t have to heartheir mindless babbling. After a little while thepilot was heard on the intercom, politely apologi-sing for the delay, telling us we had just enteredDutch airspace and we were well on our way toEindhoven. My ordeal was over and those Dutchgirls would soon be out of my life forever. Whileapproaching the runway, they managed to makesome dumb remarks, but it couldn’t bother me.Because after spending two hours in a small air-plane, I finally was. . . home.


OP SCHOOT BIJ SINTERKLAAS

Op schoot bij Sinterklaas

door Corine Baayen

Het gaat toch maar goed met Sinterklaas. Iederjaar lijkt hij weer een stukje jonger. En dat terwijlhij het zo druk heeft. Gelukkig had de Sint on-danks de drukte toch tijd om ons vier decembereven te bezoeken. Nadat hij zijn staf en rode boekaan zijn pieten had afgestaan nodigde hij enke-le brave DESDA-kindertjes uit om plaats te ne-men op zijn schoot. Wouter en Marleen mochtenlangskomen omdat ze dit jaar zoveel kusjes had-den uitgedeeld op het DESDA-weekend. Zoveelliefde moet natuurlijk beloond worden met eencadeautje. De Sint stelde het vervolgens erg opprijs als Wouter en Marleen een liedje wilden zin-gen. Wouter besloot ‘Sinterklaas kapoentje’ nogmaar een keer te zingen, een erg korte, maar nietzozeer originele keus, aangezien we dat al had-den gezongen toen Sint binnenkwam. Nou vraagik me toch even af, wat betekent dat kapoentjetoch? Sommige Sinterklaasliedjes zijn voor mijaltijd een raadsel gebleven. Ik heb me ook altijdverwonderd over de zin ‘wie de roe krijgt wie degard’. Dat is toch allebei even onplezierig? Totdatik er onlangs achterkwam dat je hoort te zingen‘Wie er koek krijgt, wie de gard’. Ja, dan krijg jeweer animo om braaf te zijn. Maar goed, laat ikjullie hier niet langer mee lastig vallen. We gaanverder met Marleen. Zij zong liever niet in haareentje en met enige moeite kreeg ze ons zover ommet haar mee te zingen.

Aangezien Richard wel luidkeels heeft dur-ven zingen op onze karaoke-borrel kreeg hij eenmooie roze microfoon. Ook Ruud werd gevraagdte komen, maar helaas was hij er niet. Freekhad zich ook al verscholen en dat terwijl hij ditjaar zo braaf is afgestudeerd. De Sint wilde tochgraag zijn praatje houden en daarom mocht Luuk

als plaatsvervangende Freek op de wit bejurkteknieen plaatsnemen.

Bart en ik werden ook naar voren gevraagd.Helaas was Bart er niet, dus moest ik de Sint al-leen trotseren. Ik moet bekennen dat het de eer-ste keer in mijn leven was dat ik bij Sinterklaasop schoot heb gezeten. Vroeger zou geen menshet kleine, verlegen Corientje op zijn knie hebbengekregen. Wie weet ben ik dan toch een stapjedichter bij volwassenheid gekomen.

Ik werd beloond met een heel gepast cadeau-tje, namelijk een palet en een kwast, zodat ik nogbeter mijn best kan doen voor de Volgens Bart-jens en voor posters. Ik kon aan het liedje zingenontsnappen door te beloven dat ik dit stukje zouschrijven. Nou vooruit... en wees de Sint maardankbaar, want mij wil je echt niet horen zingen.

Artjom kwam nog net op tijd binnen om ookbij de Sint gevraagd te worden. De onwillige jon-geman moest door de twee pieten naar voren ge-haald worden. Enigzins angstig kijkend nam hijuiteindelijk ook plaats bij de Sint. Zijn liefde voorpoker werd even aangehaald en het leek de Sinthet beste als Artjom eerst maar eens ging oefenenmet was speelgeld. Aangezien Artjom geen Sin-terklaasliedje kende, zongen we allemaal samenmaar een mooi lied voor Sinterklaas.

Anna schrok zich rot toen ook zij naar vorenmocht komen. Nadat ze de Sint er kordaat vanhad verzekerd dat ze niet zou zingen ging ze ge-zellig bij hem op schoot zitten om een prachtige,handgemaakte schoorsteen te ontvangen. Na-dat daar een dot watten uit viel, bleken er twee


MILLENNIUM PUZZELS

mooie oorbellen in te hangen. Want natuurlijkverdient Anna ook een waardering voor haar ve-le bijdrages aan DESDA en de faculteit. Verblijdmet dit cadeautje besloot onze secretaris om tocheen liedje te zingen en iedereen blerde vrolijk

mee.

Tenslotte zwaaiden we Sint uit met een en-thousiast ‘Dag Sinterklaasje!’.

Millennium Puzzels

door Noud Aldenhoven

Zoals elke wiskundige waarschijnlijk weet zijnrond de millenniumwisseling door de Clay Ma-thematics Institute zeven (on)opgeloste proble-men verzameld. Voor het goed oplossen van zo’nprobleem win je de millenniumprijs en heel veelroem onder de wiskundigen. Vanuit de www-Cie leek het ons een leuk idee om dit ook voorDESDA te doen. We hebben een lijst gemaakt vanproblemen die makkelijk zijn (een ster ?), moei-lijk zijn (twee sterren ??) of nog onopgelost zijndoor de www-Cie (drie sterren ? ? ?). De komen-de maanden zal een aantal van die problemen in

de Volgens Bartjens komen te staan. Jullie wor-den aangemoedigd te proberen de problemen opte lossen en de antwoorden naar de www-Cie([email protected]) te sturen. De mooi-ste oplossingen komen in de Volgens Bartjens testaan. Het is ook mogelijk om problemen in testuren. Als die goed genoeg zijn, worden ze ookals Millennium Puzzel gebruikt.

De deadline voor oplossingen van de opgavenis 1 juli 2009.

Problem 2009/1.1 (?)

For which a, b ∈ N, a < b does the following limit converge in R? If it is convergent, what is its limit?

limn→∞

[

1

an + 1+

1

an + 2+ ... +

1

bn

]

Problem 2009/1.2 (??)

Let X be a Hausdorff 11 space and let x ∈ X . Prove or reject: there always exists a countable indexedset of open subsets Ui such that {x} = ∩iUi.

11Felix Hausdorff (1868 − 1942), German mathematician who made important contributions to topology, set theory,measure theory, and functional analysis.


VARIETEAVOND

Problem 2009/1.3 (??)

(a) Do there exist two functions f and g which are Riemann12 integrable while their composition(f ◦ g) is not for every interval on R?

(b) Do similar functions exist if we change Riemann integrable to Lebesgue13 integrable?

Varieteavond

door Joris Sprunken

Terwijl de laatste uren van 2008 onder begelei-ding van de hoogst genoteerde nummers in detop 2000 langzaam wegtikken, graaf ik diep inmijn geheugen om dit verslag te kunnen doenvan dat andere muzikale hoogtepunt in het afge-lopen jaar: DESDA’s varieteavond, onder leidingvan Anna en Moniek.

Geheel in de stijl van de decembermaand werdeen oude traditie ook op deze 16e december instand gehouden: op het vooraf bedachte tijdstipvan aanvang was de zaal dusdanig leeg dat dearme Renee en Lorijn een half uur extra in zenu-wen moesten zitten voordat zij de spreekwoorde-lijke spits af mochten bijten. Voor deze specialegelegenheid hadden beide dames hun blokfluituit een ongetwijfeld stoffige hoek van het huisvandaan getoverd om ons te verblijden met, naareigen zeggen, traditionele en moderne blokfluit-muziek. In hoeverre de componisten van de tra-ditionele nummers het eens waren met de titel“traditioneel” is, door de talloze intermezzo’sin de vorm van onophoudelijke lachsalvo’s endaarmee gepaard gaande gemiste of foute noten

door de beide artiesten, hoogst twijfelachtig. Hetbracht echter wel een lacherige sfeer in de zaaldie geschikt was voor het tweede gedeelte vanhun optreden: een muziekquiz waarin zij enkelenoten van een bekend nummer de zaal in slin-gerden en hoopten dat iemand moedig genoegwas om te zeggen dat hij of zij hierin melodieenvan grootheden als Britney Spears of Kylie Mi-nogue herkende. Gelukkig waren vooral oud-promovendi Peter en Rogier niet geremd doorenige schaamte over hun kennis in deze tak vande popmuziek, wat hen een welverdiende over-winning en bijbehorende, door de dames gedra-gen, kerstmutsen opleverde.

Als mijn geheugen me niet in de steek laat,was de volgende act die van Klaas Landsman.Op het idee gebracht door de dames uit de eersteact, bracht hij een passage uit zijn roman “Requi-em voor Newton”. Om het stuk in zijn contextte plaatsen, begon Klaas met het voorlezen vaneen gedeelte uit een niet al te positieve recensievan zijn boek, waarna hij verder ging met eenpassage die ons een wijze levensles heeft geleerd:

12Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 − 1866), German mathematician who made important contributions toanalysis and differential geometry.

13Henri Leon Lebesgue (1845− 1941), French mathematician mostly known for his theory of integration.


VARIETEAVOND

mocht je ooit een gesprek aanknopen met eenmooie Deense AIO over het bewustzijn van in-secten, waarvan je vermoedt dat dit wel eens uitzou kunnen draaien op een gesprek over culinai-re behoeften na de daad van deze insecten, zorgdan dat je eerst gecontroleerd hebt of de vloervan haar kamer niet toevallig in een zover gevor-derde staat van ontbinding verkeert dat het nietin staat blijkt het gewicht van twee volwassenpersonen te dragen.14

Als een van de volgende artiesten in chrono-logische volgorde van optreden genoemd mochtworden, berust dit op zuiver toeval: de schrijvervan dit stuk is hierbij niet hoofdelijk aansprake-lijk.

Naar mijn eigen, persoonlijke en vooral be-scheiden mening is december een uitstekendemaand om je verjaardag in te vieren. Er zijn ech-ter ook mensen waarvan de verjaardag het helejaar door gevierd wordt, zelfs al weten zij er zelfweinig tot niets vanaf. Zo ook Claudia. Als ik hetverhaal goed onthouden heb, was Claudia eenvrouw die nietsvermoedend op een avond naareen cafe in Nijmegen ging, om tijdens de eerstevan twaalf achtereenvolgende klokslagen luiddoor vrienden bezongen te worden. Het toevalwil dat er net op deze avond wiskundigen in de-ze kroeg te vinden waren die een naam voor eennog op te richten band probeerden te verzinnen.Toen de wiskundigen het luidkeelse gezang vanClaudia’s vrienden hoorden, besloten zij onmid-dellijk de werktitel “Gerjan op gitaar” overboordte gooien en de eerste DESDA-band om te dopentot “Claudia’s Birthday”. Tijdens hun eerste op-treden (dat plaatsvond in twee etappes) brachtenzij enkele covers ten gehore die niet zouden mis-staan op een leuke bandavond in een cafe. Voor-

alsnog heb ik geen platenbazen met rinkelendeeurotekens in hun ogen op de achterste rij zienscouten, maar ga vooral door jongens (en meisje)!

Omdat goed voorbeeld vaak doet volgen, waser naast de eerste act nog een act waarin blokflui-ten de show stalen. Terwijl Pim omringd werddoor vier dames op blokfluit en een op dwars-fluit, werd het publiek omringd door een geluidvan bekende kerstliedjes. De verleiding om meete zingen met deze liedjes was erg groot, maaraangezien ik nooit weet wat de tekst is van “Deherdertjes lagen bij nachte” na de regel “Ajax!Ajax!” besloot ik het volume niet tot een niveaute laten stijgen dat voldoende was om het geluidvoorbij mijn voortanden hoorbaar te laten zijn.

In de tijd waarin wij leven, onder het ken-merkende motto “meer, meer, meer”, is het nietverrassend dat er een traditie toegevoegd werdaan de toch al met voorspelbare bekendhedenoverladen wintermaand: voortaan wordt hetDESDA-bestuur ook geacht om een act op te voe-ren tijdens de varieteavond. Willem besloot on-middellijk met deze traditie te breken (officieelmet als reden dat hij het te druk zou hebben)en liet zijn overige vier bestuursgenoten alleenachter. Aangezien Tjapko toen ook nog beslootom op die avond net toevallig ziek te zijn, moestzelfs zijn voorganger Matthias als understudy ge-bruikt worden. In totale harmonie noemden debestuursleden een voor een een decimaal van π

op (waarbij zelfs de komma niet vergeten werd),tot zij de honderdste decimaal bereikt hadden.Terwijl ik stiekem zat te wachten op de rij vannegenennegentig negens, haakte het ene na hetandere bestuurslid met een ingestudeerd smoesjeaf, waarna Tim in zijn eentje de overige 90 deci-malen mocht noemen. Tsja. . . mocht je ooit een

14Uiteraard is dit een vrije interpretatie van de schrijver van dit stuk: in hoeverre dit daadwerkelijk de wijze les wasdie we uit dit stuk moesten onthouden, is zelfs met de grootst mogelijke moeite van de wereld niet eens twijfelachtig tenoemen.


VARIETEAVOND

nauwkeurige benadering van de oppervlakte, ofomtrek van een cirkel nodig hebben, weet je wieje kunt bellen.

Terug naar de muziek. Met het grote aantalpianospelers dat DESDA rijk is, is het verrassenddat alleen Anna de stoute schoenen (in dit gevalnog geen wandelschoenen) aantrok om ons eenklassiek stuk van Beethoven voor te schotelen.Naar eigen zeggen heeft Anna tijdens dit optre-den ongeveer een op de vijf noten fout gespeeld,maar aangezien ik gezegend ben met de oren vaneen niet-kenner heb ik (en velen met mij) hierniets van gemerkt.

Een prestatie die prima zou passen in een afle-vering van “Wedden dat?!” werd geleverd doorMargo: zij speelde een stuk op haar accordeon,terwijl ze zichzelf begeleidde op piano. Voordatde lezer zich allemaal spookbeelden voor ogenhaalt over een Margo met vier armen, moet ikhier wel aan toevoegen dat het pianowerk al eer-der op band was opgenomen en nu werd afge-speeld. Waarschijnlijk zal het door deze toevoe-ging niet meer kunnen schitteren in de eerdergenoemde tv-show, maar gelukkig wel tijdens devarieteavond.

De meest afwijkende act van de avond wasdie van Mike. Nadat hij ons een jaar eerder ge-trakteerd had op een imitatie van de schizofreneGollem uit Lord of the Rings, speelde hij nu eenscene van al bijna even gestoorde Jack Sparrowuit Pirates of the Carribean. Aangezien ik eenvan de drie Nederlanders ben die deze film nognooit gezien heeft, kan ik niet oordelen of Mikesacteerprestaties leken op die van Johnny Depp.Om hem daarom nu het twijfelachtige compli-ment te geven dat hij zeer geloofwaardig is in hetspelen van geesteszieke personages lijkt me ookniet zo geschikt, dus houd ik het maar bij een op-merkingen over zijn trefbalkunsten: de knuffel

die eerst langs mijn oren suisde richting podium,werd op de terugweg feilloos door mijzelf gevan-gen, oftewel: Mike is af!

Hoewel de beschrijvingen tot nu toe erg fees-telijk klinken, was de varieteavond niet voor ie-dereen een fijne avond. Daarom wil ik nu graagstilstaan bij het arme drumstel. Nadat het eerstmet een dodemansrit door Janneke was afgele-verd en al enkele klappen te verduren had ge-kregen van de drummer van Claudia’s Birth-day (wiens naam mij even ontschoten is), wasde avond rijp voor een stevig pak slaag. Nadateerst Ruud het arme instrument met zijn stok-ken mishandeld had, was het daarna de beurtaan Tim, die uit alle macht probeerde om debegeleidende (bas)gitaarmuziek te overstemmenen daarbij niet terugdeinsde voor een portie ge-weld waarvoor menig computerspel uit de Ame-rikaanse markt genomen is. Ik geloof dat hetinstrument deze drumsolo’s zonder grote kleer-scheuren heeft doorstaan, maar een minuut stiltevoor dit drumstel lijkt me na deze klappen welop zijn plaats.

December is ook een tijd waarin afscheid ge-nomen wordt. Meestal gaat het om iets simpelsals het afscheid nemen van weer een jaar, maarin dit geval ook om het afscheid van een per-soon. Hoewel het officiele afscheid een paar da-gen later plaatsvond, was de act van Ruben tij-dens deze avond ook een mooi onderdeel in deafscheidstournee van een persoon die de afgelo-pen jaren ongelofelijk veel betekend heeft voorde Nijmeegse wiskundestudie. Al zijn werk tij-dens de afgelopen jaren heeft ervoor gezorgd datde PR van de studie ontzettend veel verbeterdis, met als absolute hoogtepunt natuurlijk ons ei-gen wiskundetoernooitje dat uitgegroeid is toteen gigantisch evenement. Ik kon helaas wegenswerkverplichtingen niet aanwezig zijn bij zijn af-scheid, maar bij deze wil ik Ruben toch bedanken


LINUX HACKS

voor al dit goede werk. Ook wil ik hem bedan-ken voor zijn optreden tijdens deze varieteavond:op een manier die mij aan Spinvis deed denken,bracht Ruben poetische teksten over zijn leven alswiskundige, aangevuld door een aantal prachti-ge liedjes. Ik weet niet of iedereen deze vormvan optreden waardeerde, maar voor mij wasdit, zonder de andere artiesten tekort te doen, hetbeste optreden van de avond.

Dan is het nu tijd om de varieteavond, teza-men met het jaar 2008 definitief gedag te zeggen.Ik hoop dat ik, buiten die jongen waarvan ik denaam niet weet die een eigen gecomponeerd stukop piano speelde, niemand vergeten ben. Mochtdit wel het geval zijn: je m’excuse.

Linux hacks


De command line in Linux is een machtig,doch ondergewaardeerd, stuk gereedschap. Alsje de command line kent en beheerst kun je er he-mel en aarde mee verzetten, als je de commandline niet beheerst is het een bron van frustratie.Ik werk zelf al een paar jaar met Linux en benin de tussentijd redelijk bekend geraakt met decommand line. Ik heb besloten enkele handigetrucjes te laten zien in deze serie. Als je deze leertkennen en weet wanneer je ze kunt gebruiken,kun je vele malen productiever werken met decommand line.

Het tweede deel in deze serie gaat over dewindow-manager/terminal-emulator screen.screen is een window-manager die typisch ineen terminal draait en die meestal wordt gebruiktom meerdere terminals in een terminal-emulatorte draaien. Omdat screen een licht programmais, is dit dus ook uitermate geschikt om via eennetwerkverbinding op een andere computer tedraaien.

screen Start je op door in een terminal hetcommando screen in te voeren. Er wordt nu inje terminal een nieuwe terminal geopened. Determinal ziet er nog steeds exact hetzelfde uit, hetenige verschil is dat je nu een screensessie begon-nen bent.

Een van de mooie dingen van een screensessieis dat je binnen deze sessie meerdere terminalskunt openen die naast elkaar draaien. Hiertoeheb je enkele commando’s die met het toetsen-bord worden ingevoerd. Om een commandoin screen te kunnen invoeren begin je met hetcommando Control-a (wat ik voortaan zal afkor-ten met C-a), gevolgd door een ander comman-do. Zo open je bijvoorbeeld een nieuwe terminalbinnen je screensessie met het commando C-aC-c, kun je naar de volgende terminal binnende screensessie gaan met C-a C-n en kun je descreensessie op slot zetten met C-a C-x. Een vol-ledige lijst met commando’s kun je vinden in deman-page van screen (man screen).


LINUX HACKS

Deze commando’s zijn echter een beetje aan delange kant, en uiteindelijk zul je bij veelgebruiktecommando’s toch sneltoetsen willen aanmaken.Dit kan. Je maakt hiertoe het configuratiebestand/.screenrc aan, waarin je sneltoetsen kunt de-finieren. Elke definitie moet haar eigen regel krij-gen, die in de volgende vorm staat:

bindkey -k k6 screen

Bindkey geeft aan dat je een sneltoets wilt defi-nieren, -k is, simpel gezegd, een optie waarm-mee je het makkelijker maakt de sneltoets te de-finieren. k6 Staat voor de toets F6 en tot slotgeef ik aan wat ik wil dat deze sneltoets doet(in dat geval open ik een nieuwe terminal, methet commando screen). In de man-page vanscreen staat, in de tabel waar ook alle com-mando’s staan, wat er allemaal aan sneltoetsengebonden mag worden.

Ik kan nog langer doorpraten over de moge-lijkheden van screen, maar de belangrijkste din-gen heb ik nu genoemd. Door gebruik te makenvan de man-page kun je makkelijk bekend rakenmet de opties die screen biedt. Echter, als jevaker met screen werkt, zul je op een probleemstuiten. screen Geeft je geen enkele informa-tie over hoeveel terminals je open hebt staan. Jekunt deze informatie wel opvragen, maar als jedat iedere keer handmatig moet doen wordt dattoch veel werk. Hier bestaat ook een oplossingvoor, de zogenaamde hardstatus-line.

De hardstatus-line is een regel waar informa-tie geprint wordt over de screensessie. Dezekun je zelf configureren op de manier die je fijnvindt. De hardstatus die ik gebruik—met dankaan Felix—is de volgende:

hardstatus alwayslastline"%{=b}%{G} screen(s):

%{b}%w %=%{G}%0c:%s "

(Let op dat dit een enkele regel is!!!)Deze regel zet je in het configuratiebestand,/.screenrc. De precieze betekenis ga ik hierniet uitleggen, daarvoor kun je het beste in deman-page van screen kijken. Het resultaat vandeze regel is dat onderaan in de screensessieeen extra regel staat, met in het groen de tekst“screen(s): ”, gevolgd door in het blauw een lijstvan alle geopende terminals, gevolgd door in hetgroen en rechts uitgelijnd de tijd.

Het laatste voordeel dat screen biedt ten op-zichte van normale terminals, is dat de screenses-sie op de achtergrond draait. Dit betekent onderandere dat je niks kwijt bent als de grafische om-geving vastloopt, of—als je via het

netwerk bent ingelogd—je van het netwerkwordt geschopt . Immers, je screensessie blijftop de achtergrond draaien en kan overnieuwaan een terminal bevestigd worden. Je kunt eenscreen overnieuw aan een terminal bevestigenmet het commando screen -r (screen reat-tach). Zo kun je ook screensessies loskoppelenvan een terminal en aan een andere terminal be-vestigen. Dit alles staat ook in de man-page uit-gelegd.

screen Is een mooi commando, waarmee jeveel kan. Het is echter ook een commando waarje even aan moet wennen om er efficient mee tekunnen werken. In deze column heb ik de lezervooral naar de man-page verwezen, maar ik hebook gepoogd een overzicht te geven van de mo-gelijkheden van screen. Ik gebruik zelf screensinds ongeveer een half jaar en nu ik er eenmaalmee overweg kan, gebruik ik screen altijd enoveral.


GEHOORD EN GEZIEN

Gehoord en gezien

– Luuk, gapend: “Ik heb gisternacht tot 2.30 uur gecomputerd. Ja, wat moet je anders? Rond dietijd is er echt niks meer op tv.”

– Eerstejaars Jan (Schoone): “Als een aandeel op 0 euro staat, zou ik em niet kopen.”

– Moniek na de spellenborrel tegen Luuk en Freek: “Willen jullie ook even helpen met de ergsterommel opruimen?” Luuk tegen Freek: “Kom, we gaan; de ergste rommel opruimen.”

– Janneke over de soep van de www-Cie bij het kerstdiner: “Ik denk wel dat we de soep vegeta-risch moeten maken. Maar bouillon, groente en gehaktballetjes is ook zo saai. . . ”

– Anna wedt voor 100 euro met Tjapko dat ze de vierdaagse uit gaat lopen.Corine: “Hoeveel kilometer moet je dan lopen?”Anna: “40”Corine: “Per dag?”

– Wesley heeft wel eens per ongeluk een BH bij iemand losgemaakt.Freek zijn versiertruuk: “Oh, heb ik iets bij je losgemaakt?”

– Tijdens een werkcollege getallen:Jan: “Je kunt bijna alles met inductie bewijzen.”Robin: “Je kunt zelfs met inductie koken.”

– Mike krijgt een foutmelding:“Javascript-fout op regel 2: undefined is not defined”

– Abel: “Dit ruikt naar inductie!”

– Er zijn een aantal mogelijkheden om het vak Maat en Integraal af te sluiten: een mondeling,een schriftelijk tentamen, een take-home tentamen, etc.Bram W.: “Ow, mogen we ook een poster maken?”


Colofon - Desda · Spijtig denkt ze aan de paraplu die ze thuis heeft gelaten. Het zou een mooie...

Documents

Transcript of Colofon - Desda · Spijtig denkt ze aan de paraplu die ze thuis heeft gelaten. Het zou een mooie...