12RUIMTEMEETKUNDE

12.1 VLAKKE VOORSTELLINGEN VAN EEN RUIMTELIJKE FIGUUR

Op verkenning

Laat jonge kinderen uit de familie of buurt een huisje tekenen, en verzamel detekeningen van kinderen van verschillende leeftijden.

Naargelang de leeftijd van de jonge kunstenaar is er een evolutie te zien in hetweergeven van onze driedimensionale leefwereld op het tweedimensionaletekenblad.

Natuurgetrouw tekenen is niet zo eenvoudig!Schilders, wetenschappers, architecten en wiskundigen hebben allerleitekenmethodes bedacht om een ruimtelijk voorwerp voor te stellen op eenvlak.

In Pienter – 1e jaar en de lessen Technologische Opvoeding maakten we al ken-nis met enkele van deze tekenmethodes.

in de kleuterklas in het 1e leerjaar

in het 3e leerjaarin het 6e leerjaar

De lengte, de breedte ende hoogte (of diepte)zijn de drie dimensiesvan een voorwerp.

211

12.1.1 HET NATUURLIJK PERSPECTIEF

Op een foto of op een schilderij zien we een natuurgetrouwe weergave vaneen voorwerp. Zo zien we de dingen in onze omgeving.

Werkwijze

Verticale lijnen worden verticaal getekend.Andere evenwijdige lijnen, in de werkelijkheid, worden zo getekend dat hunverlengden elkaar snijden in een vluchtpunt op de horizon.

Wie op basis van een natuurlijk perspectief een voorwerp moet maken,beschikt hiermee echter niet over de correcte gegevens.

Een ‘versmallende’ weg met bomenrij?

RUIMTEMEETKUNDE 12.1 VLAKKE VOORSTELLINGEN VAN EEN RUIMTELIJKE FIGUUR

212

12.1.2 HET ISOMETRISCH PERSPECTIEF

Werkwijze

Eén verticale wordt vooraan getekend.De vluchtlijnen maken een hoek van 30° met dehorizontale.Evenwijdige lijnen worden ook evenwijdig getekend.Elk lijnstuk wordt op ware grootte getekend.

De verkregen figuur komt goed overeen met hetnatuurlijk perspectief en wordt veel gebruikt,bijvoorbeeld in het handboek TechnologischeOpvoeding.

12.1.3 HET CAVALIÈREPERSPECTIEF

Werkwijze

Eén zijvlak (het voorvlak) wordt op ware grootte getekend.De vluchtlijnen maken een hoek van 45° met de horizontale.Evenwijdige lijnen worden ook evenwijdig getekend.Een vluchtlijn wordt half zo lang getekend als haar ware lengte.

In wiskundeboeken is dit de meest gebruikte voorstelling. In devolgende paragraaf zullen we zien waarom.

12.1.4 PROJECTIE OP DRIE VLAKKEN

Het principe van de Europese projectie met drie aanzichten is vorig jaar in delessen Technologische Opvoeding aangeleerd. Ook in Pienter – 1e jaar zijnverschillende toepassingen hierop gemaakt.

isos (Gr) gelijkmetrein (Gr) meten

RUIMTEMEETKUNDE12.1 VLAKKE VOORSTELLINGEN VAN EEN RUIMTELIJKE FIGUUR

213

12.1.5 ONTVOUWING

Van alle zijvlakken van het voorwerp zien we nu de juiste vorm en grootte.Maar een ruimtelijke indruk ontbreekt.

12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

Op verkenning

Van een kubus krijgen we verschillende vlakke voorstellingen.Beantwoord voor elke voorstelling de volgende vragen.

a) Hoeveel zijvlakken, hoekpunten en ribben zijn zichtbaar?b) Hoeveel ribben zijn op ware grootte afgebeeld?c) Hoeveel rechte hoeken zijn als rechte hoek getekend?d) Zijn evenwijdige ribben ook evenwijdig afgebeeld?e) Hoeveel zijvlakken zijn als een vierkant getekend?

Welke vorm hebben de andere zijvlakken?

‘Open het werkbladMaquette’

RUIMTEMEETKUNDE 12.1 VLAKKE VOORSTELLINGEN VAN EEN RUIMTELIJKE FIGUUR

214

Uit de ‘Op verkenning’ blijkt dat het cavalièreperspectief, alsafbeelding, het grootst aantal eigenschappen van een kubus bezit.(8 ribben op ware grootte, 8 rechte hoeken, evenwijdigheid blijft behouden,2 zijvlakken zijn vierkanten).Dat is ook de reden waarom in wiskundeboeken het cavalièreperspectief devoorkeur krijgt.

BESLUIT

Welke voorstellingswijze we ook kiezen, steeds zal een deel van de informa-tie (lengte en hoekgrootte) niet op de afbeelding te herkennen zijn!

Dankzij de afspraken (zie werkwijze) voor isometrisch en cavalièreperspectiefkunnen we voor kubus en balk wel de nodige informatie vinden over de lengtevan de ribben.

Deze schoenendoos is voorgesteld in cavalièreperspectief op schaal 1: 6.Bepaal de werkelijke inhoud van de doos.De gegeven getallen zijn de gemeten lengtes op de figuur.

Inhoudbalk = l � b � h

werkelijke lengte = (2,5 � 2) � 6 cm

werkelijke breedte = 3 � 6 cm

werkelijke hoogte = 2 � 6 cm

Inhouddoos = 6480 cm3

2,5 cm

3 cm

2 cm

RUIMTEMEETKUNDE12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

215

De werkelijke afmetingen van het bovenvlak van dit vijfzijdig prisma zijn niet tebepalen op deze perspectiefafbeelding. Hiervoor hebben we ook een boven-aanzicht nodig!

12.2.1 CAVALIÈREPERSPECTIEF EN AANZICHTEN

Op verkenning

Op het linkerzijvlak van een kubus met ribbe 3 cm zijn de diagonalengetekend. Op het grondvlak zijn de middens van opeenvolgende ribben metelkaar verbonden.Elk zijvlak van een kubus is in werkelijkheid een (congruent) vierkant.

a) Welke eigenschappen van de diagonalen van een vierkant zijn nog na temeten op de perspectiefvoorstelling (ze snijden elkaar middendoor).Welke eigenschappen zijn niet meer waar te nemen (even lang enloodrecht op elkaar).

b) Welke figuur is er op het grondvlak getekend (een parallellogram)?c) We tekenen het vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht van de

kubus (met diagonalen en figuur in het grondvlak).

Kubus met figuren inzijvlakken

RUIMTEMEETKUNDE 12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

216

d) In welk aanzicht zien we de diagonalen op ware grootte en zijn al huneigenschappen na te meten? (LA)

e) In welk aanzicht zien we de correcte vorm en grootte van de figuur in hetgrondvlak? (BA)

BESLUIT

Van een perspectiefafbeelding is een deel van de meetkundigeinformatie niet correct af te lezen.Met behulp van een gepast aanzicht vinden we soms wel correcteinformatie.

VA

BA

LA

RUIMTEMEETKUNDE12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

217

Hoeveel kubussen bevat dit bouwwerk?

Het juiste aantal kubussen van dit bouwwerk is maar te bepalen als we ookbeschikken over aanzichten.Welke aanzichten hebben we nodig? Welk aanzichten zijn overbodig?

Het juiste aantal kubussen staat onderaan deze bladzijde.

Kubussenbouwwerk

VA

BA

LA

Hetbouwwerkbevat10kubussen.

RUIMTEMEETKUNDE 12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

218

12.2.2 PERSPECTIEF, AANZICHTEN EN DOORSNEDE

Op verkenning

In de perspectiefvoorstelling van de kubus (met ribbe 3 cm) is driehoek AECgetekend.

a) Welke zijden en hoeken van de driehoek zien we op ware grootte in deperspectiefvoorstelling?

b) Welke zijden en hoeken van de driehoek zien we op ware grootte in de drieaanzichten?

Om de juiste vorm en grootte van een figuur in een lichaam te vinden gaan weals volgt te werk.

Driehoek AEC ligt volledig in rechthoek AEGC.Rechthoek AEGC is de figuur die we vinden als we de kubusdoorsnijden volgens het diagonaalvlak AEGC.De rechthoek noemen we de doorsnede van het diagonaalvlaken de kubus.

Zijden [AC] en [EG] zijn zijvlakdiagonalen,zijden [AE] en [GC] zijn ribben van de kubus.

Driehoek in kubus

A B

E

VA

F

E

BA

F

H G

D A

H

LA

E

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

219

– Teken een (zijvlak)diagonaal d in een vierkant met zijde 3 cm.– Teken een rechthoek met d als lengte en met breedte 3 cm.

We vinden een voorstelling van rechthoek AEGC op ware grootte, dus ook voordriehoek AEC.

12.2.3 PERSPECTIEF EN ONTVOUWING

Op verkenning

Op een doos, met ribben van 2 cm, 3 cm en 4 cm, zit een mier (M) en ligt ereen brokje suiker (S). M en S bevinden zich in het midden van een ribbe.

Wat is de kortste weg van M naar S?Via F naar S?Via E naar S?Of is er nog een kortere weg?

Informatie die we op een perspectiefvoorstelling aflezen, is niet altijd correct!Een juist beeld van deze opgave verkrijgen we door een ontvouwing van dedoos.

We voeren de nodige metingen uit.

�ME � + �ES � = 1 cm + 4,3 cm = 5,3 cm�MF � + �FS � = 4,1 cm + 1,5 cm = 5,6 cm

De kortste weg tussen twee punten is rechtdoor, ook in een driedimensionalesituatie!

�MS � = 4,7 cm (!)

A d C

3 cm3 cm

3 cm

GE

d

A B

C

GH

E

M

FS

Vergelijk de meet-resultaten met het Cabriapplet: Kortste weg naarhet klontje suiker.

RUIMTEMEETKUNDE 12.2 VLAKKE VOORSTELLINGEN EN INFORMATIE OVER MEETKUNDIGE LICHAMEN

220

12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

Op verkenning

a) Neem twee meetlatten of potloden.Ze stellen twee rechten voor.Stel nu alle verschillende situaties voor diemogelijk zijn met twee rechten in eenvlak (op tafel) en in de ruimte.

b) Neem er een blad papier bij. Dat stelt eenvlak voor (mooi vlak en zonder grenzen).Welke verschillende situaties kunnen wevoorstellen met een vlak en een rechte?

c) Neem twee bladen papier en stel alle ver-schillende situaties voor die mogelijk zijnmet twee vlakken.

H G

F

S

E

BA

M

RUIMTEMEETKUNDE12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

221

12.3.1 ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE RECHTEN

We herhalen wat we in het leerboek van het eerste jaar leerden.

Rechten EH en AE hebben juist één puntgemeenschappelijk, namelijk punt E.Twee snijdende rechten liggen altijd in éénzelfdevlak. Hier is dat het linkerzijvlak.

Rechten EH en AE zijn snijdende rechten.

Rechten EH en FG hebben geengemeenschappelijk punt.Ze liggen wel in éénzelfde vlak, namelijk hetbovenvlak.

Rechten EH en FG zijn evenwijdige rechten.

Rechten EH en BF hebben geengemeenschappelijk punt en liggen niet inéénzelfde vlak.

Rechten EH en BF zijn kruisende rechten.

Twee rechten kunnen ook samenvallende rechten zijn.In dat geval hebben ze oneindig veel punten gemeenschappelijk.

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE 12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

222

Toepassing

Hier hebben we opnieuw te maken met debeperkingen van een vlakke voorstelling vaneen ruimtelijke situatie.

Is punt S op de figuur het snijpunt van de rech-ten EB en HM?Of zijn de rechten EB en HM kruisend enbestaat S niet?Is de informatie die we aflezen op deperspectiefvoorstelling wel correct?

Enkel met een logische redenering kunnen weop die vragen antwoorden.

We tekenen het diagonaalvlak EBCH.Hierin liggen de punten E, B, M en H.Door twee punten gaat maar één rechte.Dus liggen de rechten EB en HM ook in hetdiagonaalvlak.Twee rechten in eenzelfde vlak gelegen kunnenelkaar niet kruisen!S is wel degelijk het snijpunt van beide rechten.

Het is ook mogelijk om met een draadmodel van een kubus en enkele stokjesde situatie voor te stellen.

A B

M

S

CD

E F

GH

A B

S

M

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

223

12.3.2 ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE ENEEN VLAK

De lichaamsdiagonaal EC snijdthet rechterzijvlak.Zij hebben het punt C (het snijpunt) gemeenschappelijk.

Rechte EA (en ook ribbe [EA]) is evenwijdigmet het rechterzijvlak.Zij hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.

Rechte CG (en ribbe [CG]) ligt inhet rechterzijvlak.Zij hebben oneindig veel punten gemeenschappelijk,namelijk alle punten van de rechte.

A B

C

D

E F

GH

A B

C

D

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE 12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

224

Let op!

Het lijnstuk [HP] snijdt het rechterzijvlak niet, maar de rechte HP snijdt wel het(onbegrensde) vlak waar het rechterzijvlak maar een klein deel van is.Hoe we de juiste plaats van het snijpunt (S) kunnen bepalen isleerstof voor één van de volgende schooljaren.

12.3.3 ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN

Het rechterzijvlak en het linkerzijvlak van de kubus zijnevenwijdig.Zij hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.

A B

S

P

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

225

Het rechterzijvlak en het voorvlak snijden elkaar volgensde snijlijn FB.Zij hebben oneindig veel punten gemeenschappelijk,namelijk alle punten van snijlijn FB.In de gegeven situatie spreken we van loodrecht snijden.

Zoals twee rechten volledig kunnen samenvallen, zo kunnen ook twee vlakkensamenvallen. Zij hebben dan al hun punten gemeenschappelijk.

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE 12.3 RECHTEN EN VLAKKEN IN DE RUIMTE

226

12.4 PIRAMIDE – KEGEL – BOL

12.4.1 PIRAMIDE

Een piramide is een lichaam gevormd door:– een (willekeurige) veelhoek die we het grondvlak noemen,– driehoekige zijvlakken (de opstaande zijvlakken) die één zijde

gemeenschappelijk hebben met het grondvlak en samenkomen in éénpunt, de top.

Een piramide benoemen we naar de vorm van zijn grondvlak.

RUIMTEMEETKUNDE12.4 PIRAMIDE – KEGEL – BOL

227

Deze vijfzijdige piramide heefteen vijfhoek als grondvlaken vijf opstaande zijvlakken.De opstaande zijvlakken zijndriehoeken met top T alsgemeenschappelijk hoekpunt.

De hoogte (h) van een piramide isde afstand van de top tot het grondvlak.Is het grondvlak een regelmatige veelhoek en zijn deopstaande zijvlakken congruente gelijkbenige driehoeken,dan spreken we van een regelmatige piramide.

Dit zijn regelmatige vierzijdige piramides.

Een regelmatige driezijdige piramide, die gevormd wordt door vier congruentegelijkzijdige driehoeken, noemen we een regelmatig viervlak of tetraëder.

h

T

tetra, tessera (Gr.): vier

Tetraëder en kubusbehoren tot de vijfPlatonische lichamen.Dat zijn de enigeveelvlakken die gevormdkunnen worden metcongruente regelmatigeveelhoeken.

Onderzoek de‘Platonische lichamen’op de cd-rom.

RUIMTEMEETKUNDE 12.4 PIRAMIDE – KEGEL – BOL

228

12.4.2 OMWENTELINGSLICHAMEN

a) Draaien we een rechthoek om één van zijn zijden, danbekomen we een cilinder. De lengte van de zijde waarrondwe draaien, is de hoogte (h) van de cilinder. De lengte vande andere zijde is de straal (r) van het grondvlak. Hetgebogen zijvlak noemen we de mantel van de cilinder.We zeggen dat de cilinder een omwentelingslichaam is.Alle omwentelingslichamen hebben een symmetrieas,namelijk de rechte waarrond we draaien.Op een perspectiefvoorstelling van een cilinder zien wemeestal het grondvlak getekend als een ellips.

b) Draaien we een rechthoekige driehoek om één van zijn rechthoekszijden,dan bekomen we een kegel. De lengte van de rechthoekszijde waarrondwe draaien, is de hoogte (h) van de kegel. De lengte van de andere recht-hoekszijde is de straal (r) van het grondvlak. Het gebogen zijvlak noemenwe de mantel van de kegel. Net zoals de piramide heeft de kegel een top eneensymmetrieas.Ook de kegel is een omwentelingslichaam.

c) Draaien we een halve cirkel om zijn middellijn, dan bekomen we een bol.De straal van de cirkel noemen we ook de straal van de bol. Het middelpuntvan de cirkel wordt het middelpunt van de bol. Alle punten van de bolliggen even ver van het middelpunt. Net zoals een cirkel heeft een bol ookeen diameter.Een bol heeft enkel een gebogen zijvlak.

Omwentelingslichamen

RUIMTEMEETKUNDE12.4 PIRAMIDE – KEGEL – BOL

229

12.5 INHOUD VAN PIRAMIDE, KEGEL EN BOL

Op verkenning

a) Zoek de formules op voor de inhoud van een prisma en een cilinder(Pienter 1e jaar).

b) Voer één van de experimenten uit die beschreven staan op het werkblad‘Inhoud van piramide, kegel en bol’.

Het is de bedoeling om de inhoud van eenpiramide, een kegel en een bol te vergelijkenmet de inhoud van een prisma of een cilindermet eenzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.

12.5.1 INHOUD VAN EEN PIRAMIDE

De inhoud van een piramide is precies één derdevan de inhoud van een prisma met hetzelfdegrondvlak en dezelfde hoogte. Met G stellen wede oppervlakte van het grondvlak voor, met hstellen we de hoogte voor.

Inhoud prisma = G � h

formule Inhoud piramide = 13 � G � h

In plaats van inhoudgebruikt men ook debenaming volume.

h

G

UITBREIDING

RUIMTEMEETKUNDE 12.5 INHOUD VAN PIRAMIDE, KEGEL EN BOL

230

12.5.2 INHOUD VAN EEN KEGEL

De inhoud van een kegel is één derde van de inhoud van een cilinder methetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.

Inhoud cilinder = G � h � r2 � � � h

formule Inhoud kegel = 13r2 � � � h

12.5.3 INHOUD VAN EEN BOL

Vergelijken we de inhoud van een bol met de inhoud van een cilinder metdezelfde diameter (en een hoogte gelijk aan de diameter), dan stellen we vast

dat de inhoud van de bol 23 is van de inhoud van de cilinder.

Inhoud cilinder = r2 � � � h

Inhoud bol = 23 � r2 � � � h

Inhoud bol = 23 � r2 � � � 2r (h � 2r)

formule Inhoud bol = 43 � r3 � �

UITBREIDING

RUIMTEMEETKUNDE12.5 INHOUD VAN PIRAMIDE, KEGEL EN BOL

231

12.6 VRAAGSTUKKEN IN VERBAND MET INHOUD

a) Een circustent heeft de vorm van een cilinder met een straalvan 12 meter en een hoogte van 3 meter.Het dak van de tent heeft de vorm van een kegel en de nokbevindt zich op 6 meter hoogte.Hoeveel kubieke meter lucht is er in de tent?Het resultaat mag afgerond worden op 1 dm3.

Inhoud volledige tent = inhoud cilinder (r = 12 en h = 3) +inhoud kegel (r = 12 en h = 6 − 3 = 3)

Inhoud volledige tent = 122 � � � 3 �13 � 122 � � � 3

= 1 809, 557 m3 lucht

Merk op dat we hier ook 43 kunnen nemen van de inhoud

van de cilinder!

b) De aardbol heeft een straal van ongeveer 6 380 km.De zon heeft echter een straal van 696 000 km.Vergelijk de inhouden van aarde en zon.

Inhoud aardbol = 43 � (6 380)3 � �

= 1,087 803 985 � 1012

= 1 087 803 985 000 km3

Om een zo nauwkeurig mogelijk resultaat te berekenen voorde inhoud van de zon, passen we een rekenregel van demachten toe:

Inhoud zon = 43 � (696 000)3 � �

= 43 � (696 � 1 000)3 � �

= 43 � (696)3 � (1 000)3 � �

= � 43 � (696)3 � �� � (1 000)3

= 1 412 265 429 � (1 000)3

= 1 412 265 429 000 000 000 km3

De aarde kan ongeveer 1 298 272 keer in de zon!!

UITBREIDING

RUIMTEMEETKUNDE 12.6 VRAAGSTUKKEN IN VERBAND MET INHOUD

232

c) Verbinden we het midden van de opeenvolgende zijvlakken van een kubus,dan vinden we een regelmatig achtvlak (of octaëder). Net zoals de kubus ishet regelmatig achtvlak een Platonisch lichaam omdat alle zijvlakkencongruente regelmatige veelhoeken zijn (gelijkzijdige driehoeken).

We berekenen de inhoud van het regelmatig achtvlak als de kubus ribben heeftvan 5 cm.

Het regelmatig achtvlak bestaat uit twee congruente regel-matige vierzijdige piramides met zelfde grondvlak.In de doorsnede ABCD zien we duidelijk dat het grondvlak eenvierkant is met de halve oppervlakte van het vierkant ABCD.

De hoogte van elke piramide is de helft van een ribbe van dekubus.

I regelmatig achtvlak = 2 � �13 � G � h� I kubus = r3= 125 cm3

= 2 � �13 �5 � 5

2 �52�

= 1256 cm3

De inhoud van het regelmatig achtvlak is blijkbaar één zesde van de inhoudvan de kubus.

A B

CD

h

A 5 cm

5 cm

B

D C

Octaëder in kubus

UITBREIDING

RUIMTEMEETKUNDE12.6 VRAAGSTUKKEN IN VERBAND MET INHOUD

233

Vlakke voorstellingenvan een ruimtelijkefiguur

natuurlijk perspectief

isometrisch perspectief

cavalièreperspectief

projectie op drie vlakken

Correcte informatie in verband met eenmeetkundig lichaam gaat verloren bij een vlakkevoorstelling. Soms kan een tweedevoorstellingswijze een oplossing bieden.

RUIMTEMEETKUNDE SAMENVATTING

234

ontvouwing

Correcte informatie in verband met een meetkundig lichaam gaatverloren bij een vlakke voorstelling. Soms kan een tweedevoorstellingswijze een oplossing bieden.

Onderlinge ligging vantwee rechten

snijdend

evenwijdig

kruisend

samenvallend

rechten EH en EA zijn rechten EH en FG zijnsnijdend evenwijdig

rechten EH en FB zijn kruisend

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDESAMENVATTING

235

Onderlinge ligging vaneen rechte en een vlak

snijdend

evenwijdig

de rechte ligt in het vlak

rechte EC snijdt het rechte AE is evenwijdigrechterzijvlak met het rechterzijvlak

rechte CG ligt in het rechterzijvlak

Onderlinge ligging vantwee vlakken

snijdend

evenwijdig

het voorvlak en het het linkerzijvlak enrechterzijvlak snijden elkaar het rechterzijvlak zijnvolgens rechte FB evenwijdig

A B

C

D

E F

GH

A B

C

D

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

RUIMTEMEETKUNDE SAMENVATTING

236

Piramide, kegel en bol

piramide Een piramide is een lichaam met

h

T

– een veelhoek als grondvlak,– driehoekige opstaande zijvlakken

die samenkomen in de top.

regelmatige piramide Een regelmatige piramide is een piramide met– een regelmatige veelhoek als grondvlak,– congruente gelijkbenige driehoeken als opstaande zijvlakken.

kegel Een kegel is het omwentelingslichaam dat ontstaat door eenrechthoekige driehoek te draaien rond één van zijn rechthoeks-zijden.

bol Een bol is het omwentelingslichaam dat ontstaat door een halvecirkel te draaien om zijn middellijn.

Inhoud van piramide,kegel en bol

piramide Ipiramide = 13 � G � h

(G is de oppervlakte van het grondvlak, h is de hoogte)

kegel Ikegel = 13 � r2 � � � h

(r is de straal van het grondvlak, h is de hoogte)

bol Inhoudbol = 43 � r3 � �

(r is de straal van de bol)

UITBREIDING

RUIMTEMEETKUNDESAMENVATTING

237

RUIMTEMEETKUNDE SAMENVATTING

238