Kun Shan University

崑山科技大學

機械工程系專題報告

ANSYS 應用與分析

指導老師：王 文 榮 老師

參與學生：黃 啟 偉 C930H014

林 志 航 C930H015

中 華 民 國 九 十 四 年 十 一 月

簡 介：

有限元素分析 Finite Element Analysis (FEA)；

也就是一般我們所說的有限元素法，它是一個數值的

程序，可以用來求解像是包含應力分析、熱傳、電磁

及流體流動等廣泛的工程問題，為工程科學中重要的

工具，其重要性可謂僅次於數學，近來由於套裝軟体

的興盛，而呈現多樣的發展。

在許多的技術學院與科技大學的課程中，多以學

習套裝軟體應用為主，藉由此專題的研究，我們將配

合理論基礎與套裝軟體做相互的結合，在由 ANSYS 軟

體與 MATLAB 軟體做一同步的印證！

【ANSYS】

是目前世界上最著名的 CAE（計算機輔助設計）軟件

和服務的提供商之一。34 年来，ANSYS 公司一直致力於分

析設計軟件的開發及分析咨詢服務，為全球工業界所廣泛

接受，並擁有了全球最大的用户群体；許多國際化大公司

以 ANSYS 軟件作為其設計分析標準。這些用户群體涵蓋了

機械制造、能源、石油化工、電子、土木建築、汽車、鐵

道、核子技術、航空、造船、地礦、水利、生物醫学、日

用家電等諸多工業領域，ANSYS 是這些工業領域進行國際

國内優化設計、技術交流的主要平台。

【MATLAB】

是集數學計算、圖形處理和程序語言設計與一體的著

名數學軟件。MATLAB 原意就是矩陣實驗室，在二十世紀

七十年代，已經有解線性方程式的 LINPACK 軟件包和解特

徵值問題的 EISPACK，這兩個 FORTRAN 子程序庫，新墨西

哥大學計算機科學系主任 Cleve Moler 教授，在講授線性

代數課程時，為了使學生能方便地使用 LINPACK 軟件和

EISPACK 軟件，編寫了街口程序，這就是最初的 MATLAB。

（MATLAB）演變過程

1983 年

Cleve Moler 教授到斯坦福大學講學，一為工程師 Jonh

Little 察覺到 MATLAB 在工程運算中的巨大潛力，與 Moler、

Steve Bangert 合作開發了第二代的專業版。

1984 年

年成立的 MathWorks 公司正式將 MATLAB 推向市場。

1987 年

年推出 MATLAB3.0 版以及格 991 年的版還是在 DOS 平台上。

1993 年

年在 Windows3.0 平台上的 3.5K 板出台。

1995

年緊接著 MATLAB4.0 版被開發出來，在 Windows3.x 上進行；

並開始 有了 Symbolic Math 符號運算軟件包。

1997

年 MATLAB5.0 版被開發出來，計算數度更快。

摘 要：

本次專題中，我們一開始主要先學習

Pro/Engineering (簡稱 Pro/E)繪圖軟體強大的繪圖

功能，藉由循序漸進的學習方式，以特殊的單元設計，

使複雜龐大的繪圖功能變的簡單明瞭，而主要學習這

套繪圖軟體的原因是，Pro/E 除了 3D 實體模型的傑出

表現外，其核心是由上而下的連貫設計(Top-Down

Design)，是其他 3D 軟體無法相比，也是一套極適合

產品開發整合的應用軟體；而藉由繪圖軟體在幾何圖

形上的功能繪出，ANSYS 也可以經由 CAD 系統，用 IGES

檔、SAT 檔、Pro/E 檔、UG 檔與 PARA 參數實體檔匯入

進行分析，最後我們在藉數學分析軟體 MATLAB 和力學

分析計算理論，與 ANSYS 做一個互相的驗証。

目 錄

一、前言

二、數值方法

三、有限元素和 ANSYS 的沿革

四、有限元素法的基本步驟

五、電腦輔助工程分析(CAE)之基本架構

六、桁架

桁架的定義 桁架之基礎理論 1-D 傳統法 2-D 座標轉換

七、結果

ANSYS 與 MATLAB 比較結果 ProE 圖片

八、結論與建議

九、致謝

十、參考文獻

一、前言：

一般而言，工程問題即物理狀態下的數學模組，而數學模組

即是有一套對應邊界和初始條件的微分方程式，藉由基礎法則和

自然原理對系統或控制體積而得到的微分方式，這些統御方程式

代表著質量、力或能量的平衡。可能的話，這些方程式的精確解

給予一組狀態之下系統詳細的行為。解析解由兩部份組成：(1)

通解；(2)特解。在任何的工程問題中，有兩組參數會影響到系

統的行為。第一，那些提供關於系統自然運作下所得資料之參

數，而這些參數包含有彈性系數、熱傳導和黏性等等。

另一方面，亦有參數會在系統內產生『擾動』，這類型的參

數簡述於(表 1)。這些『干擾』包括外力、力矩、介質溫度差異

及流體壓力差異。

(表 1) 在 各 式 工 程 系 統 內 引 起 擾 動 的 參 數

問題類型 系統內產生擾動的參數範例

固體力學

熱傳遞

流體流動和管路

電路系統

外力和力矩

溫度差異；輸入熱

壓力差異；流率

電壓差異

各種工程系統的物理特性支配了系統的自然運作，而這些特

性總是出現在一個統御微分方程式解的通解裡。相對地，造成擾

動的參數則出現在特解中。所以，就它們個別出現在勁度或傳導

矩陣，負載或受力矩中。了解這些參數在有限元素模組裡所扮演

的角色是非常重要的，且這些系統特性也會一直顯示在勁度矩

陣、傳導矩陣或阻抗矩陣裡，而擾動的參數都會一直存在負載矩

陣裡。

二、數值方法：

有很多實際的工程問題我們無法獲得精確解，這種難以獲得

解答可歸因於複雜的統後微分方程式或是難以處理的邊界和初

始條件，要處理這類的問題，只能訴於數值的近似值。與解析解

做對比，解析解顯示系統內任一點精確的行為，而數值近似值的

解卻只存在於分離不連續的點，我們稱之為“節點＂上。任何一

個數值程序的第一步驟即是做分離，其過程是將介質分成很多區

域和節點。有兩個比較普通的數值法：(1)有限差分法 和(2)有

限元素法。使用有限差分法，每個節點會被賦予一個微分方程

式，且導式會被差分方程式取代。這個方式會產生一組聯立線性

方程式，雖然有限差分法能易於了解且能套用於一些簡單的問

題，但一旦碰上複雜的幾何或是邊界條件時，它們就變得很難去

應付這類的問題，同時，有些問題帶有非等向材料特性時，這種

難以處理的情況一樣也會發生。

相反地，有限元素法使用積分公式法來創造一個代數方程式

的系統，而不是用微分方程式。此外一個近似連續的函數，可用

來表示每個元素的解答，藉由連結或組合個別的解，完整的解即

可產生。

三、有限元素和 ANSYS 的沿革：

有限元素法是一個數值的程序，它可應用到各種的工程問題

上以獲得解答。穩態、暫態、線性或非線性問題的應力分析、熱

傳遞、流體流動和電磁等問題，都可以用有限元素法來分析。現

代有限元素法的起源，可回溯到 1900 年的早期，當時一些研究

者用相同的不連續彈性桿來模擬和塑造連續彈性，而 Courant 所

發表的文件中，使用連續的多項式內插三角形區塊，來研究扭曲

的問題。

其次比較重大的進步是在 1950 年時，波音(Boeing)公司也

採用了有限元素法，利用三角形應力元素來模擬機翼，隨後也有

多家公司跟進。然而直到 1960 年，Clough 定名“有限元素＂才

廣為流傳。在 1960 年代期間，研究的學者開始將有限元素法應

用到其它的工程領城，像是熱傳遞和滲流問題。在 1976 年，

Zienkiewicz 和 Cheung(1967)寫了第一本完全是介紹有限元素

法的書，1971 年，ANSYS 第一次發表。

ANSYS 是一個廣泛針對一般性目的的有限元素電腦程式，包

含超過 100,000 行的程式。ANSYS 能夠執行靜力、動力、熱傳遞、

流體流動和電磁方面的分析。ANSYS 成功地帶領 FEA 程式已超過

20 年之久。現今 ANSYS 的版本有一個全新的面貌，即結合使用

者圖形介面(GUI)的多層視窗，下拉式選單，對話框和工具列。

如今可以發現 ANSYS 使用在很多工程領城裡，其中包含航太、汽

車、電子和核能方面。為了要“聰明的＂使用 ANSYS 或任何其它

套裝的 FEA 電腦程式，首先有必要了解有限元素法的基本概念和

限制。

四、有限元素法的基本步驟：

前 處 理 階 段

1. 建立並分離解成為有限元素； 即將問題再細分成節點和元素。

2. 假設一個形狀函數代表一個元素 的物理行為，那麼，一個近似連

續函數就是代表一個元素的解。

3. 替一個元素發展其方程式。 4. 組合多個元素來呈現整個問題，

建構總體的勁度矩陣。

5. 施加邊界條件、初始條件和負載。

求 解 階 段

6. 同時求解一組線性或非線性代數方程式

以獲得節點的結果，像是在熱傳遞的問題

中，不同的節點之位移值或溫度值

後處理階段

7. 獲得其它重要資訊，在此可能對主應力、

熱通量等產生興趣。一般而言要將有限元

素問題公式化有幾個方法：

A.直接公式法

B.最小總位能法

C.殘值權重法

※ 另外，不管我們如何產生有限元素模組，

有一點很重要且必須注意的是，在任何有

限元素分析裡，其基本步驟仍將如上所列

五、電腦輔助工程分析(CAE)之基本架構：

電腦輔助工程分析的軟體程式，經由以下六個主要

步驟定義一個問題，並進行分析。

(一)元素、截面及材料定義(Elements、Sections and Materials)

(1)元素型式(Element Type)

元素型式的定義是告訴電腦，問題將要以什麼樣的元素模型來分析。

元素型式包括 0-D 的質點及空隙等元素、1-D 的樑及柱等元素、2-D 的板及

殼、3-D 的四面體及六面體等元素。

(2)實體常數(Real Constants)

實體常數是定義分析模型的截面特性，在樑或桁架模型中，則必須定

義其截面尺寸、在膜或板模型中，必須定義厚度。若截面特性未輸入，則

無法進行分析。

(3)材料性質(Material Properties)

材料性質部分，必須定義的參數包括剛性係數 EX 及 EY、剪彈性模數

GXY 和薄松比 NUXY 等，依材料類型而定。對於等向(Isotropic)材料而言，

必須定義楊氏係數 E，程式內建蒲松比 NUXY 為 0.3，剪彈性模數之值為

GXY=E/2(1+NUXY)。(※在彈性分析中，蒲松比不可以設定為 0.5，因為這

樣將使剛性係數(Bulk Modulus)變成無限大，程式將無法執行。塑性分析

中則無此限制，因為塑性力學將材料視為不可壓縮，只能因剪力而變形。)

對於正交(Orthotropic)材料而言，必須定義 EX 及 EY。對於非等向

(Anisotropic)材料而言，每個方向的材料參數都不同，因此必須定義所有

方向的數值。在塑性分析中，尚且需要輸入材料性質曲線。在潛變分析中，

則需要輸入材料之時間曲線。若進行振動分析則需輸入材料密度。

較常使用的單位系統有三種：

單位系統 長度 時間 質量 力

SI 公尺 秒 公斤 牛頓

MKS 公尺 秒 公斤 公斤力*

FPS 英尺 秒 磅** 磅

*相當於一公斤重的力為單位 **相當於一磅重的質量為單位

※一般使用 SI 單位，尤其牽涉加速度的問題。因為在 F=ma 式中，由 MKS

或 FPS 單位系統定義的問題，必須修正加速度的值。在 SI 單位中則無

此顧慮。

※ANSYS 或電腦程式的單位。其實程式是沒有單位的，只是我們給定材

料參數時，其數值本身就隱含某特定單位值，因此所有其他數據也必須

用同一單位系統，尤其是當您直接從程式內建之資料庫選取材料時，單

位的一致是非常重要的。應力常用的公制單位為 Pa(N/m²)，英制則以

psi(lb/in²)為單位。

(二)繪製幾何圖形(Geometry)

幾何圖形可由軟體提供之功能繪出，也可以經由 CAD 系統，用 IGES 檔、SAT

檔、Pro/E 檔、UG 檔與 PARA 參數實體檔匯入。

絕大多數的軟體都提供 1-D、2-D 及 3-D 的繪圖功能。幾何圖形包括點

(Keypoint)、線(Line)、面(Area)、及體(Volume)。

(三)分格(Meshing)

結構體外形定義完畢後，再將它分成小網格(Mesh)以供後續分析計算。網格

分得愈細，所計算之結果誤差愈小，但所需要的時間愈長。在線性分析時，時間

並不是一個很嚴重的問題，但是在非線性分析，如塑性力學分析中，時間將是一

個很重要的問題。因此，網格不宜無限制細分。

網格之產生有下列數種：

A.直接分格

逐一定義節點及元素，不經過幾何圖形。

B.自動分格

先定義幾何圖形，如線、面、或體，再進行分格。

要提高分析的精確度，有下列三種調適網格法

Ⅰ.綱絡細分法(h-Method)

程式自動細分網格。

Ⅱ.高次元素法(p-Method)

選擇高次元素進行分析。

Ⅲ.混合並行法(hp-Method)

上述兩者並用

※ 對於複雜的結構，分格後會產生重疊的節點，必須用

Preprocessor>Numbering Ctrla>Merge Items>Nodes 指令消除重

複節點，以免產生不連續的元素及奇異點(Singularities)，並使

用壓縮節點編號指令 Preprocessor>Numbering Ctrla>Compress

Numbers >Nodes，來減少矩陣之主自由度(Master Degress of

Freedom)，以節省計算時間。

(四)負載及夾持(Loads and Constraints)

這個步驟主要定義以下兩部分資料：

(1)夾持(Constraints)或稱邊界條件(Boundary Conditions,BC)

夾持是定義一個結構固定的部分。在分析一個結構前，必須適當地定

義邊界條件。在對稱受力而無夾持的問題中，有些軟體必須定義“軟彈簧＂

(Soft-Spring)，否則無法進行分析。

(2)負載(Loads)

負載可包含集中力、分布力(Distributed Load)、加速度及預存應變

(Prestrain)等。在夾持點上不宜再施力於同一自由度。線性問題中多重負

載狀況(Multiple Load Cases)可以分別定義，並於後處理程序中以各種比

例組合輸出結果。

(五)分析(Analysis)

在進入分析這一步驟之前，整差分析模型必須定義完成。進行分析以前的步

驟，稱為前處理(Pre-Processing)；包括前述四個部份。在分析以後的各步驟，

稱為後處理(Post-Processing)，提供應力、應變、位移等資料的圖示及列示

(Plotting and Listing)。

(六)結果(Results)

此一步驟包括全部後處理的功能。包括列示(List)、圖示(Plot)分析結果，

也可以動態顯示振動模型或其他分析結果之圖形。ANSYS 還有一個 Query 詢問資

料的功能，將圖形視窗中游標位置的數據顯示出來，甚為方便。

六、桁架

◆ 桁架的定義

桁架為一工程結構，由直的構件組成，這些構件以螺栓、鉚

釘、栓銷或焊接方式連結在一起。在桁架裏的構件可能由鐵或鋁

管、木桿、金屬柱、以角形或槽形組成。桁架解決了許多工程上

結構問題，像是動力傳遞塔、橋樑及建築物的屋頂。平面桁架意

指其構件存在於單一平面上，作用於此桁架的力量也必須位於平

面上。桁架的構件通常被視為二力構件，此名詞意指內力順著構

件相同和相反的方向而起作用，如圖：

在下面的分析裏，假設構件在三維桁架中，由平滑的栓銷及

球銷接合連結一起。此外，只要相接的構件相交在同一上，則被

螺栓栓住或焊接接合的桁架可視為平滑的栓銷(無彎曲)。另一重

要假設是關於負載作用施加的方法，所有的負載作用必須施加在

接點上。就大部分情況而言，此假設是正確的，因為桁架的設計

方法是在接點上施加大部分的負載。和施加的負載作用相比，構

平的重量通常是微小的。但是，如果將構件的重量列入考量，則

每一構件的一半重量會用於接點上。靜定桁架問題，此問題可用

截點或截面的方法來分析。但這些方法不能提供接點撓度的資

訊，因為桁架構件被視為剛體，因此靜定問題將無法分析，而有

限元素法可用來消除剛體的限制，並解決此類問題。

◆ 桁架之基礎理論

(1)傳統法

我們設定桿件其長度為 L、截面積為 A、楊氏系數為 E，受

到 X軸方向之拉力 F作用後，假設此桿的位移沿 x軸方位，位移

量為 u。因為受力後位移量與原來長度比非常小，所以不需要假

設到位移函數。而我們由材料力學中得知，伸長量與作用力之關

系為：

PLAE

AEPL

δ

δ

=

⇒ =

(1a)

(1b)

(2)

而有限元素法的整体平衡方程式：

F= k X

其中 k稱為剛性係數。將(1b)跟(2)式對照後得知：

[ ] AEKL

= (3)

接著，假設桿件兩端分別為 i節點與 j節點，我們可以得到 i 節

點與 j節點的整体平衡方程式：

-Fi =K(u j - ui ) (4a)

-Fj =K(u i- uj ) (4b)

(5a)

(5b)

亦可寫成

Fi =K(ui - uj )

Fj =K(u j - ui )

將(5a)與(5b)以矩陣的形式表示成：

Fi K K UiFj K K Uj

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(6)

其中：

稱為剛性矩陣

[ ] K KKK K

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(7)

其中[K]即

(2)座標轉換

我們指定總體座標系為 X-Y，並在元素端點建立一局部座標

系為 x-y，如下圖所示

設元素兩端點分別為 i節點與 j節點，相對於總體座標所造成的

兩節點的位移函數為：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

UXi = uxi × cosθ ＋ uxj × 0

UYi = uxi × sinθ ＋ uxj × 0

UXj = uxi × 0 ＋ uxj × cosθ

UYj = uxi × 0 ＋ uxj × sinθ

將上式以矩陣的形式表示成：

cos 0sin 00 cos0 sin

uv

θθ

θθ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

UXi

UYi

UXj

UYj

＝ (9)

上式可化成：

{U}=[T]{u}

其中[T]為轉換矩陣

代表為局部座標系，在總體座標系與局部座標系之

{U}

)式中，可得：

K][T]-1{U}

我們由標準式得知：

{f}=[K]{u}

其中小寫字母

間經由轉換矩陣進行變換，可得：

{U}=[T]{u}

{F}=[T]{f}

亦即：

{u}=[T]-1

{f}=[T]-1{F}

將上式帶回(12

[T]-1{F}=[K][T]

-1{U}

亦即：

{F}=[T][

(11)

(10)

(12)

cos 0sin 00 cos0 sin

T

θθ

θθ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(13)

(14)

(15)

(16)

上式可化成：

(17) {F}=[K]{U}

其中

[K]=[T][K][T]-1

因正交座標軸之轉換矩陣具有下式之關係：

[T][T]-T =[I]

其中[I]表示為單位矩陣。由矩陣之定義[T][T]-1 =[I]，故我們

可得知：

(18)

(19)

(20)

(21)

[T]-1 =[T]

-T

將上式代入(18)式可以得到：

[K]=[T][K][T]-T

1-D 傳統法例題

問題：

一階級桿上方固定後，在下方以一個 Y軸方向集中力，以有

限元素法求 B點與 C點之位移，如下圖所示。

條件：

楊氏係數E1 = E2 = 3.0×107 ibf/in2 ，截面積A1=5.25 in2和

A2 = 3.75 in2，長度L1 = L2 = 12 in，P = 100 lbf。

(一)分解為兩元素

(二)求元素 1之剛性矩陣

節點 i=1，j=2

該元素之剛性係數為：

1 11

1

A EKL

= (1)

(2) 1 1 1

2 1 1

F K K uF K K u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1

2

該元素之力平衡方程式為：

(三)求元素 2之剛性矩陣

節點 i=2，j=3

該元素之剛性係數為：

2 22

2

A EKL

= (3)

該元素之力平衡方程式為：

(四)合伴兩元素

之後將兩元素的力平衡方程式合併在一起，得到：

接著將各條件代入力平衡方程式中，可得：

(五)加入邊界條件：

其中 F2 沒有外力作用，故 F2=0；F1 為固定端，故為反作用

力 R，位移為 0；又因其為固定端，所以可將其忽略，而得到新

的力平衡方程式：

亦即：

2 2 2 2

3 2 2 3

F K K uF K K u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(4)

1 1 1 1

2 1 1 2 2 2

3 2 2 3

0

0

F K K uF K K K K uF K K u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(5)

1 1

1 1 2 2 2

2 2 3

0 00

100 0

R K KK K K K u

K K u

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(6)

1 2 2 2

2 2 3

0=

100K K K u

K K u+ −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭(7)

12 1 2 2

3 2 2

0=

100u K K Ku K K

−+ −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(8)

(六)計算剛性係數

得： 將上式代入(8)，可

(七)解出節點位移

最後求出各節點之位移：

76

7

15.25 3.0 10 13.125 10 /

123.57 3.0 10 /62 9.375 10

12

K lbf in

K lb= = × f in

× ×= = ×

× ×

(9a)

(9b)

3 0.0762 0.18295 100u62 0.0762 0.0762 010

u⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= ×⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎨ ⎬⎢ ⎥ (10)

6 5

6 4

1

2

3

0.0762 10 100 0.762 100.18295 10 100 0.18295 10

u inu in

− −

− −

=

=

× × = ×

× × = ×

0u =

(11)

2-D 座標轉換例題

2 10 290 , 32.3 , 6.9 10 / , 2.54A cm E N m L mθ = ° = = × =

N，FY1=-111000 N二力，

2 10 20 , 38.7 , 20.7 10 / , 2.54A cm E N m L mθ = ° = = × =

2 10 245 , 25.8 , 20.7 10 / , 3.59

問題：

假設一桁架在A點處承受FX1=22200

以有限元素法求A點撓度。

條件：

A cm E N m L mθ = − ° = = × =

(一) 分解成元素

我們可將

2 10 290 , 32.3 , 6.9 10 / , 2.54A cm E N m L mθ = ° = = × =

2 4 21 32.3 32.3 10A cm m−= = ×

桁架先分成元素 1、元素 2、元素 3 與節點①、節

(二) 剛性係數

節點 i=2，j=3

②→③

將已知條件代入得到元素１之剛性係數，其中

節點 i=2，j=1

②→①

點②、節點③(設向右、向上為正)如下圖所示：

61 111

87.7 10 ( / )A EK N mL

= = ×

2 10 20 , 38.7 , 20.7 10 / , 2.54A cm E N m L mθ = ° = = × =

6190 ,cos 0,sin 1, 87.7 10 ( / )K N mθ θ θ= ° = = = ×且剛性係數

到元素 2之剛性係數如下：

節點 i=2，j=3

當

代入得之如下所示：

將已知條件代入得

62 22 315 10 ( / )A EK N m= = ×

節點 i=3，j=1

③→①

其中元素 3之剛性係數如下：

(三) 轉換剛性矩陣

[K]=[T][K][T]-T

=

2L

2 10 245 , 25.8 , 20.7 10 / , 3.59A cm E N m L mθ = − ° = = × =

63 333

148.8 10 ( / )A EK N mL

= = ×

cos 0sin 00 cos

θθ

0 sinθθ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

K KK K

⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥−

cos sin 0 00 0 cos sin

θ θ

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ θ θ ⎥⎣ ⎦

0 0

11 0 87.7 87.7 0 1 0 00 0 87.7 87.7 0 0 0 1

K

⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

0 0

0 0 0 87.7 0 87.70 1

⎡ ⎤

⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 0 00 87.7 0 87.70 0 0 00 87.7 0 87.7

0 1⎣ ⎦⎡ ⎤

1 0⎢=0 87.7 0 87.7⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥=

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2

1 00 0 0

0 1 315 315 0 0 1 0K

⎡ ⎤⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎦

1 0⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 1 11 1 1 1

74.41 1 1 1

1 1 1 1

− −

0 0 315 315 1⎢ ⎥ −⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥=

0⎢⎣ 0

0 0 315 0 315 0⎢ ⎥ −0 1 315 0 315 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ×⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

節點 i=2，j=1

當

<

當

0 ,cos 1,sin 0, ( / )N mθ θ θ= ° = = × 6K2=315 10且剛性係數代入得之如下所示

元素 3>節點 i=2，j=1

1 10.707,sin 0.7072 2

θ −45 ,cosθ θ= °

( / )N m

= = = = − =

× 63K =148.8 10

且剛性係數

代入得之如下所示

31 148.8 10 0

K

1 021 1 10 0 0

148.8 148.82 2 248.8 1 10

2 2 2

02

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− −

⎡

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎥⎣ − −

⎢ ⎥= ⎢⎦ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣

1⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥

1 1 1 11 1 1 1

74.41 1 1 1

1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ×⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(三)平衡方程式

3 3

3 3

1 1

1 1

11 1 1 1

74.41 1 1 1

1 1 1 1

X X

Y Y

Y Y

F UF U

UF U

− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

將

1 1 1

X XF

1K 代入得之如下所示

將 2K 代入得之如下所示

將 3K 代入得之如下所示

{ } { }F = K U⎡ ⎤⎣ ⎦

2 2

2 2

3 3

3 3

0 0 0 00 87.7 0 87.70 0 0 00 87.7 0 87.7

X X

Y Y

X X

Y Y

F UF UF UF U

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(1)

2 2

2 2

1 1

1 1

315 0 315 00 0 0 0315 0 315 00 0 0 0

X X

Y Y

X X

Y Y

F UF UF UF U

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(2)

(3)

1

1

1

1

22200 389.4 74.4111000 74.4 74.4

389.4 74.4 22200

X

Y

X

UU

U −

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

亦即：

1 74.4 74.4 111000YU ⎢ ⎥− −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

程式

接著將各條件代入(4)中可得：

1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

315 74.4 315 0 74.4 74.474.4 74.4 0 0 74.4 74.4315 0 315 0 0 00 0 0 87.7 0 87.7

74.4 74.4 0 0 74.4 74.474.4 74.4 0 87.7 74.4 74.4 87.7

X

Y Y

X X

Y Y

X X

Y Y

F UF UF UF UF UF U

+ − − − ⎤ ⎧⎥− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥

− − − +⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1

1

2

2

3

3

22200 398.4 74.4 315 0 74.4 74.4111000 74.4 74.4 0 0 74.4 74.4

315 0 315 0 0 0 00 0 0 87.7 0 87.7 0

0 74.4 74.4 074.4 74.4 0 87.7 74.4 162.1 0

X

Y

X

Y

Y

UU

RR

R

− − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪−⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪⎥

− − −⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎭

2, 2, 3, 3,X Y X YR R R R ，如下所示。此外，我們可得知，

題目中的垂直桁架不受力，此桁架可省略之。

1

1

22200 398.4 74.4 315 0 74.4 74.4111000 74.4 74.4 0 0 74.4 74.4

315 0 315 0 0 00 0 0 87.7 0 87.7 0

74.4 74.4 0 0 74.4 74.4 087.7 74.4 162.1 0

X

Y

X

Y

X

UU

RRR

− − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪−⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

(四) 合併平衡方

1 74.4X⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪ ⎢

(五) 加入邊界條件

74.4 74.4 0XR −⎪ ⎢

2, 2, 3, 3X Y X YF F F F0， (5)，

其中 為固定端，故為反作用力

且位移皆為 所以可將其忽略，而得到

2

2

3

3 74.4 74.4 0YR

00

− − −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎦ ⎩

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎭

1

1

2

2

3

22200 398.4 74.4 315 0 74.4 74.4111000 74.4 74.4 0 0 74.4 74.4

315 0 315 0 0 00 0 0 87.7 0 87.7 0

74.4 74.4 0 0 74.4 74.4 087.7 74.4 162.1 0

X

Y

X

Y

X

UU

RRR

− − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪−⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣3 74.4 74.4 0YR − − −⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎦ ⎩

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪

⎪ ⎪⎭⎢ ⎥⎣

(4)

(5)

(六)解出撓度

3

3

1

1

0.281905 101.773840 10

X

Y

U mU m

−

−

= − ×

= − ×(6)

七、結果

ANSYS 與 MATLAB 比較結果

問題： 一階級圓桿上方固定後，在下方施予一個 FY=-100 lbf 的集中力，分析桁架之撓度。 條件： L1=L2=12 in；A1=5.25 in

2；A

2=3.57 in

2；

E1=E2=3.0×10

7 lbf/in

2；ν(蒲松比)=0.3；

FY=-100 lbf； PRINT DOF NODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN GLOBAL COORDINATES NODE UX UY 1 .00000 .00000 2 -.76190E-05 3 -.18286E-04 MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 0 3 VALUE .00000 -.18286E-04

(1)1-D 傳統法例題

元素 2之剛性矩陣 >> clear A2=3.75 E2=3.0e7 L2=12

KK=[K2,-K2;-K2,K2] A2 =

E2 =

L2 = 12 K2 = 9375000 KK =

5000 -9375000 -9375000 9375000

K2=A2*E2/L2

3.7500

30000000

937

元素 1之剛性矩陣 >> clear

=3.0e7

=

=

= 0

=

-13125000 13125000

A1=5.25 E1L1=12 K1=A1*E1/L1 KK=[K1,-K1;-K1,K1] A1 = 5.2500 E1 30000000 L1 12 K1 1312500KK 13125000 -13125000

解出位移： clear format short g %用有效數字 5位的浮點 K1=[13125000,-13125000,0;-13125000,13125000,0;0,0,0] %元素 1 剛性矩陣 K2=[0,0,0;0,9375000,-9375000;0,-9375000,9375000] %元素 2 剛性矩陣 KK=K1+K2 %總剛性矩陣 m=KK(2:3,2:3) %KK 矩陣之第 2、3列和第 2、3行取出來構成一個 2*2 的矩陣 mm=inv(m) %m 矩陣的反矩陣 F=[0;100] %節點承受外力 u=mm*F %位移量 u = 7.619e-006 1.8286e-005

(1)2-D 座標轉換例題

×104 m

2；A2=38.7×10

4 m

2；

蒲松比)=0.3；

FX=22200 N；FY=-111000N；

ODAL SOLUTION PER NODE ***** POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING ***** LOAD STEP= 1 SUBSTEP= 1 TIME= 1.0000 LOAD CASE= 0 THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN GLOBAL COORDINATES NODE UX UY 1 .00000 .00000 2 .00000 .00000 3 -.28156E-03 -.17747E-02 MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 3 3 VALUE -.28156E-03 -10.303

問題： 一等腰直角三角形的桁架左側兩端固定後，在右側施予 FX=22200 N與FY=-111000 N的集中力，分析桁架之撓度。 條件： L1=L2=2.54 m；A1=32.3 A3=25.8×10

-4 m

2; E1=6.9×10

10 N/m

2;

E2=E2=20.7×10

10 N/m

2；ν(

PRINT DOF N

元素 3之剛性係數

E3=20.7e10 L3=3.59

0.0026

2.0700e+011 L3 = 3.5900 K3 = 1.4876e+008

>> clear A3=25.8e-4

K3=A3*E3/L3 A3 =

E3 =

元素 1之剛性係數

0.0032

6.9000e+010

素 2 之剛性係數

=38.7e-4

=A2*E2/L2

0.0039

>> clear A1=32.3e-4 E1=6.9e10 L1=2.54K1=A1*E1/L1

A1 =

E1 =

L1 = 2.5400 K1 = 8.7744e+007 元>> clear A2E2=20.7e10 L2=2.54 K2 A2 = E2 = 2.0700e+011 L2 = 2.5400 K2 = 3.1539e+008

元素 1之剛性矩陣 >> clear foTheta=pi/2 %Matlab 沒θ符號， π/2 代替 T=[cos(Theta),0;sin(Theta),0;0,cos(Theta);0,sin(Theta)] %轉K1=8.7744e7 KK=[K1,-K1;-K1,K1] TT=transpose(T) %轉換矩陣的轉置 KK1=T*KK*TT %元素 1之轉換剛性矩陣 Theta = T 6.1232e-017 0 1 0 0 6.1232e-017 0 1 K1 87744000 KK 87744000 -87744000 -87744000 87744000 TT 6.1232e-017 1 0 0 0 0 6.1232e-017 1 KK 3.2899e-025 5.3728e-009 -3.2899e-025 -5.3728e-009 5.3728e-009 8.7744e+007 -5.3728e-009 -8.7744e+007 -3.2899e-025 -5.3728e-009 3.2899e-025 5.3728e-009 -5.3728e-009 -8.7744e+007 5.3728e-009 8.7744e+007

rmat short g 所以 90°以

換矩陣

1.5708 =

=

=

=

1 =

元素 2之剛性矩陣

e8 -K2,K2]

陣

Theta =

1 0

15390000

15390000 -315390000

1 0 0 0

5390000 0 -315390000 0

>> clear Theta=0 T=[cos(Theta),0;sin(Theta),0;0,cos(Theta);0,sin(Theta)]K2=3.1539KK=[K2,-K2;TT=transpose(T) KK2=T*KK*TT %元素 2之轉換剛性矩

0 T = 0 0 0 1 0 0 K2 = 3KK = 3 -315390000 315390000TT = 0 0 1 0 KK2 = 31 0 0 0 0 -315390000 0 315390000 0 0 0 0 0

元素 3之剛性矩陣 r

n(Theta),0;0,cos(Theta);0,sin(Theta)]

TT=transpose(T) K*TT %元素 3之轉換剛性矩陣

4

1 0 -0.70711 0

0 0.70711 0 -0.70711

0 0711

+007 -7.438e+007 7.438e+007 7.438e+007 -7.438e+007 -7.438e+007 7.438e+007 7.438e+007 -7.438e+007 7.438e+007 -7.438e+007 -7.438e+007 7.438e+007

>> cleaformat short g Theta=-pi/4T=[cos(Theta),0;siK3=1.4876e8 KK=[K3,-K3;-K3,K3]

KK3=T*K Theta = -0.785T = 0.7071 K3 = 148760000 KK = 148760000 -148760000 -148760000 148760000TT = 0.70711 -0.70711 0 0 0 0.70711 -0.7KK3 = 7.438e+007 -7.438e+007 -7.438e+007 7.438e

合併 >> clear format short g KK1=[0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,8.7744e7,0,-8.7744e7;0,0,0,0,0,0;0,0,0,-8.7744e7,0,8.7744e7] KK2=00,0,315390000,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0] KK3=[7.48380e7,-7.48380e7,0,0,-7.48380e7,7.48380e7;-7.48380e7,7.48380e7,0,0,7.48380e7,-7.48380e7;0,0,0,0,0,0;-7.48380e7,7.48380e7,0,0,7.48380e7,-7.48380e7;0,0,0,0,0,0;7.48380e7,-7.48380e7,0,0,-7.48380e7,7.48380e7] KK=KK1+KK2+KK3 m=KKmm=inv(m) F=[2U=mm U = -0.00028156 -

[315390000,0,-315390000,0,0,0;0,0,0,0,0,0;-3153900

(1:2,1:2)

2200;-111000] *F

0.0017648

3

3

0.281905 10XY

U mU m

−

−

= − ×

比較結果(1-D)： 理

ANSYS Matlab

論值

1

1 1.773840 10= − ×

NO1 2 3

DE UX UY .00000 .00000 -.76190E-05 -.18286E-04

u =

7.619e-006 1.8286e-005

比較結果(2-D)： 理

ANSYS Matlab

論值

NODE UX UY 1 .00000 .00000 .00000 .00000 3 -.28156E-03 -.17747E-02

U =

-0.00028156 -0.0017648

2

1

2

3

uu iu i

6 50.0762 10 100 0.762 10 n− −= × × = ×6 40.18295 10 100 0.18295 10 n− −= × × = ×

0=

ProE 圖片

八、結論與建議

在製作與探討過程中，組員在軟體使用上常常會碰到一些問

Ansys 的部份，組員之間討論就花

了相當多的時間，在轉檔過程中常常會碰到轉檔失敗或轉檔之

，最後也

並且找出最正確的操作方法。組員也在

MATLAB

題，例如：在 Pro/e 要轉成

後，卻發現實際上做出來的分析與想像中有很大的落差

只有想辦法去慢慢克服，

Pro/e 軟體上花了相當多的時間去熟悉操作方法，也在

這都必須要

也只有如此方法才能

「工欲

的寫程式上花了相當多時間去了解如何撰寫程式並且寫出來的

程式最後數據必須與 Ansys 分析出來的數據上相同，

靠多多練習，一點一滴去累積出來的經驗，

得到，在操作上最正確去撰寫所需要的程式和兩者數據分析比

較，所以做任何事之前必須先去了解，就是俗語所說的：

善其事，必先利其器。」

九、致謝

此次專題能夠順利完成，承蒙王文榮老師及賴俊傑學長在軟

體操作與技術上的分享與教導，才得以順利完成，也感謝研究中

心的學長的協助與幫忙深表感謝之意。

http://home.kimo.com.tw/mcad_cafe/id/id.htm

http://study.quarx.com.tw/course/view.php?id=8

http://datas.ncl.edu.tw/theabs/1/

http://www.gau-lih.com.tw/newbook/350392.htm

十、參考文獻

書有限元素分析-理論與應用 ANSYS SAEED MOAVENI

譯者： 發行所： 圖書有限公司

出版者： 總代理： 台灣培生教育出版股份有限公司 新科技書局

名： 原著作者：

陳新郁．林政仁 高立

書名： 原著作者： 應用數值方法：使用 MATLAB Steven C. Chapra 譯者： 總代理： 王晉中 滄海書局 出版者： 美商麥格羅．希爾國際股份有限公司

書名： 原著作者： 材料力學(上)(下) 劉上聰 出版者： 全華科技圖書股份有限公司 印行

書名： 原著作者： 循序學習Pro/E 200i

2、2001 康鳳梅．王照明

(上)(下) 出版者： 全華科技圖書股份有限公司 印行