Appendix A: Oplossingen van de opgaven · a2 Appendix A: Oplossingen van de opgaven 2) c = – 2...

Appendix A: Oplossingen van de opgaven

A.1 Algemene grondbegrippenParagrafen 1 en 2

1) M1 = {1, 2, 3, 4}; M2 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31}

S1 = {– 2; 0,5}; S2 = {0, 4)

2) M1 ∪ M2 = (– 2, 4); M1 ∩ M2 = [0, 2); M1 \ M2 = [2, 4)

3) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {n | n ∈ N* en n ≤ 6}

4) Figuur A-1

5) a) Figuur A-2

b) Figuur A-3

c) Figuur A-4

d) Figuur A-5

Paragraaf 3

1) a) x1 = 1,31, x2 = 0,19 b) x1 = 3, x2 = – 5

c) x1 = 14,95, x2 = – 4,95 d) S = {} = 0/ e) S = ,35

37$ .

f ) x1 = – 3,38, x2 = – 5,62 g) x1 = x2 = – 2 h) S = {– 1}

b a c

0 2– 5 8

b < a < c

2 10 x

2 < x < 10

x2

x > 2

x– 8 2

– 8 < x < 2

1 x < 2

x1 2

Appendix A: Oplossingen van de opgavena2

2) c = – 2

3) a) x1 = 0, x2 = x3 = 2 b) t1/2 = ± 2, t3/4 = ± 3

c) x1 = 0 d) x1 = 0, x2/3 = ± 1,618, x4/5 = ± 0,618

e) x1/2 = ± 6 f) x1 = – 2, x2 = 3, x3 = – 1

g) x1 = – 3, x2/3 = 2 , x4/5 = ± 5

4) a) x1 = 3,5; b) geen reële oplossing c) geen reële oplossing d) x1 = – 1

5) a) InfiguurA-6zienwedatdeoplossinghetsnijpuntisvandeparabooly1 = x2 – xendelijny2 = 24: x1 = – 4,424, x2 = 5,424

b) Demodulusfunctiesy1 = | x + 1 | en y2 = | x – 1 |snijdenelkaarvoorx1=0(hetzelfdealshetsnijpuntvanderechtelijnen(hetzelfdealshetsnijpuntvanderechtelijneny = x + 1 en y = – (x – 1) = – x+1;ziefiguurA-7).Deenigeoplossingiszodoendex1=0.

Figuur A-6

Figuur A-7

c) InfiguurA-8zienwedatdeoplossingendesnijpuntenzijnvandeparabooly1 = –x2 + x + 6 endelijny2 = 2x + 4: x1 = – 2, x2 = 1

Figuur A-8

–4,424 5,424

x

y

y = 242

y = x – x12

y = x – x| |2

1

1

x

y

–1

y1

y2

y = x + 11 | |

y = x – 12 | |

1

1

5

x

y

– 2

y = 2x + 4| |

y

y2

y = –x + x + 612

y = 2x + 42

A.1 Algemene grondbegrippen a3

d) InfiguurA-9zienwepreciesviersnijpunten(oplossingen).Dezevolgenuitonderstaandevergelijkingen:

x2 + 2x – 1 = – x (metx < 0) ⇒ x1 = –3,303

– (x2 + 2x – 1) = – x (metx < 0) ⇒ x2 = – 1,618

– (x2 + 2x – 1) = x (metx > 0) ⇒ x3 = 0,303

x2 + 2x – 1 = x (metx > 0) ⇒ x4 = 0,618

Hetgaatdusomdeintotaalvieroplossingenvandebeidetweedegraadsvergelijkingen x2 + 2x – 1 = ± x.

Figuur A-9

Paragraaf 4

1) a) Defunctiesy1 = 2x – 8 en y2 = | x |snijdenelkaarvoorx1=8(gelijkaanhetsnijpuntvanderechtelijneny = 2x – 8 en – 8 en y = x;ziefiguurA-10).Wehebbenoplossingenvoor y1 > y2,dusS = (8, ∞) of x>8.

b) InfiguurA-11zienwedatdeparabooly1 = x2 + x + 1 geheel boven de x-as(y2=0)ligt.Dus:S = (– ∞, ∞).

Figuur A-10 Figuur A-11

2

2

x

y

– 4

x1 x2 x3 x4

y1

y1

y2

y = x2 | |

y = x + 2x –112| |

2 8

2

8

x

y

– 2–2

y = x2 | |

y2

y = 2x – 81

1

2

0,75

5

x

y

– 0,5

y = x + x + 112

y = 02


c) Geenoplossingenomdaty1 = | x |voorx≥ 0 evenwijdigismetdelijny2 = x – 2: S = ∅(ziefiguurA-12).

d) UitfiguurA-13volgt:S = {x | – 2,562 < x < 1,562} (de parabool y1 = x2snijdtdelijn y = – (x – 4) = – x+4indepuntenx1 = – 2,562 en x2=1,562).


e) De krommen y1 = | x2 – 9 | en y2 = | x – 1 | snijden elkaar in de punten x1 = – 3,702, x2 = – 2,372, x3 = 2,702 en x4=3,372(ziefiguurA-14).

Figuur A-14

Hetzijndeoplossingenvandeonderstaandevierkantsvergelijkingen:

– (x2 – 9) = – (x–1) (metx < 0) ⇒ x1 = –3,702

x2 – 9 = – (x–1) (metx < 0) ⇒ x2 = – 2,372

x2 – 9 = x–1 (metx > 0) ⇒ x3 = 2,702

– (x2 – 9) = x – 1 (metx > 0) ⇒ x4 = 3,372

(Oplossingenvandebeidevierkantsvergelijkingenx2 – 9 = ± (x–1).)

1 2 5

1

x

y

–1–1

– 2

y = x1 | |

y1y = x – 22

1 4 5

1

5

x

y

–1

1,562–2,562

y = x – 42 | |

y2

y = x12

1 5

1

5

9

x

y

–1

y = x – 12 | |

y = x – 912| |

y2

y1

y1

y1

x1 x2 x3 x4

A.1 Algemene grondbegrippen a5

f) Demodulusfunctiesy1 = | x – 1 | en y2 = | x + 2 |snijdenelkaarbijx1=–0,5(gelijkaanhetsnijpuntvanderechtelijneny = x + 2 en y = – (x – 1) = – x+1;ziefiguurA-15).Aandeeisy1 ≥ y2isalleenvoldaanvoorx ≤–0,5.ZodoendeisS = (– ∞;–0,5]degevraagdeoplos-singsverzameling.

g) De parabool y1 = – x2ligtinhetheleinterval(–∞, ∞) onderdelijny2 = x+4(ziefiguurA-16).Dus:S = (– ∞, ∞).


h) Deongelijkheidwordteerstmetdenoemerx + 1 ≠0vermenigvuldigd,waarbijwetweemogelijkhedenmoetenonderscheiden:

Mogelijkheid 1: x + 1 > 0 en x – 1 < x + 1 ⇒ S1 = (– 1, ∞)

Mogelijkheid 2: x + 1 < 0 en x – 1 > x + 1 ⇒ S2 = ∅

Oplossing: S = S1 ∪ S2 = (– 1, ∞),datwilzeggenx > – 1

2) a) 2 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2

b) 1 + x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≥ – 1 ⇒ x ∈ R

c) 4 – x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 4 ⇒ | x | ≤ 2 of – 2 ≤ x ≤ 2

d) (1 – x)(x + 2) ≥ 0

Erzijntweemogelijkheden:

Mogelijkheid 1: 1 – x ≥ 0 en x + 2 ≥ 0 ⇒ S1 = [–2, 1]

Mogelijkheid 2: 1 – x < 0 en x + 2 < 0 ⇒ S2 = ∅

Oplossing: S = S1 ∪ S2=[–2,1],dus–2≤ x ≤ 1

e) 1 – x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 1 ⇒ | x | ≥ 1

1

1

5

x

y

– 2

–0,5

y = x + 22 | |y1

y2

y = x – 11 | |11

5

x

y

–1– 5

–1

y = –x12

y = x + 42


f) x

x2

4+- ≥ 0 (x ≠ – 2)

Erzijntweemogelijkheden:

Mogelijkheid 1: 4 – x ≥ 0 en x + 2 > 0 ⇒ S1 = (–2, 4]

Mogelijkheid 2: 4 – x < 0 en x + 2 < 0 ⇒ S2 = ∅

Oplossing: S = S1 ∪ S2=(–2,4],dus–2<x ≤ 4

Paragraaf 5

1) a) x1 = 3, x2 = – 1, x3 = – 4 b) x = – 0,6463, y = 2,0769, z = 1,0615

c) u = 1, υ = – 3, w = 4 d) x = 1,23, y = 3,57, z = – 0,51

2) Alswebijde3erij2 keerde2erijoptellenkrijgenwedevergelijking0· x1 + 0 · x2 + 0 · x3 = 6, dieleidttoteentegenspraak(0=6).Hetstelselisdusonoplosbaar.

3) Hetstelsellineairevergelijkingenheeftoneindigveeloplossingenomdatweéénvandedriegroothedenvrijkunnenkiezen.Westellenz = λ(parameter);alleoplossingenzijn:

x = 35 λ, y = –

32 λ, z = λ (λ ∈ R )

4) x1 = 2, x2 = – 4, x3 = 6, x4 = – 8

5) Wekunnenééngrootheidvrijkiezen(parameter).Westellenx2 = λ;alleoplossingenzijn:

x1 = 21 λ, x2 = λ, x3 = 2λ (λ ∈ R )

6) a) Erzijnoneindigveeloplossingendieafhankelijkzijnvantweeparametersλ en μ.Wekie-zenx3 = λ en x4 = μ; alleoplossingenzijn:

x1 = – λ + 2μ+7.x2 = λ – 4, x3 = λ, x4 = μ (λ, μ ∈ R )

Voorbeeld:voorλ = 0, μ = 1 is de oplossing: x1 = 9, x2 = – 4, x3 = 0, x4 = 1

b) x = 3, , y = 4, z = – 1

Paragraaf 6

1) a) 715 b) 252 c) 78

2) n k

k 1

+

+e o =

( ) !( )( )( ) ... ( )

kn k n k n k n n

11 2 1+

+ + - + - +

A.2 Vectoralgebra a7

3) a) 1024 = (100 + 2)4 = 108 243 216

b) 995 = (100 – 1)5 = 9 509 900 499

c) 9963 = (1000 – 4)3 = 988 047 936

4) a) (x + 4)5 = x5 + 20x4 + 160x3 + 640x2 + 1280x + 1024

b) (1 – 5y)4 = 1 – 20y + 150y2 – 500y3 + 625y4

c) (a2 – 2b)3 = a6 – 6a4b + 12a2b2 – 8b3

5) a) 1,0312 = (1 + 0,03)12 ≈ 1,4257

b) 0,9920 = (1 – 0,01)20 ≈ 0,8179

c) 2,018 = (2 + 0,01)8 ≈ 266,4210

6) (2 + 3x)10 = 210 + 10

1e o · 29 · (3x)1 +

10

2e o · 28 · (3x)2 +

10

3e o · 27 · (3x)3 +

+ 10

4e o · 26 · (3x)4+...=

= 1024 + 15 360x + 103 680x2 + 414 720x3 + 1 088 640x4+...

7) a) (1 – 4x)8 = k

8

k 0

8

=

e o/ · 18 – k · (– 4x)k = k

8

k 0

8

=

e o/ · (– 4x)k

de5emachtvanxvoork = 5:

8

5e o · (– 4x)5 =

8

5e o · (– 4)5 · x5= – 57 344 · x5

coëfficiënt

b) (x + 0,5a)12 = k

12

k 0

12

=

e o/ · x12 – k · (0,5a)k

de5emachtvanxvoork = 7:

12

7e o · x12 – 7 · (0,5a)7 =

12

7e o · (0,5a)7 · x5 = 6,1875a7 · x5

coëfficiënt

A.2 VectoralgebraParagrafen 2 en 3

1) a) s 1 = 4

9

20-

f p , | s 1 | = 22,29 b) s 2 = 99

0

128-

f p , | s 2 | = 161,82

c) s 3 = 22

19

8

-

-

f p , | s 3 | = 29,53 d) s 4 = 60

326

256

-

-f p , | s 4 | = 418,82

*

*


2) F = – ( F 1 + F 2 + F 3 + F 4) = 200

175

10

-

-f p N

3) F = ,

,

87 69

199 41e o N, | F |=217,84N,richtingshoek:α = 66,26°

4) r (P1) = 0

0

0

f p , r (P2) = a

0

0

f p , r (P3) = a

a

0

f p , r (P4) = a

0

0

f p ,

r (P5) = a

0

0f p , r (P6) = a

a

0f p , r (P7) = a

a

a

f p , r (P8) = a

a

0

f p ,

5) e a = 21

12

1

4

f p = ,

,

,

0 436

0 218

0 873

f p , e b = 89

13

4

8

-f p = ,

,

,

0 318

0 424

0 848

-f p ,

e c = 3

11

1

1

-

-

f p = ,

0,577

0,577

0 577-

-

f p

6) e = – a

a = – 26

11

4

3

-f p = ,

,

,

0 196

0 784

0 588

-

-

f p

7) r (Q) = r (P) + 20 a

a = 3

1

5-

f p + 2 2

3

5

4

-f p = ,

,

,

11 49

13 14

6 31

-f p ⇒

Q = (11,49; – 13,13; 6,31)

8) r (P) = r (λ) = r (P1) + λP P1 2 = 10 9

5 3

1 6

m

m

m

-

-

- +

f p (λ ∈ R )

BijhetpuntQbehoortdeparameterwaardeλ = 0,5:

r (Q) = r (λ = 0,5) = ,

,

10 4 5

5 1 5

1 3

-

-

- +

f p = ,

,

5 5

3 5

2

f p ⇒ Q = (5,5; 3,5; 2)

9) Ja.Devergelijkingvandelijnis: r (P) = r (λ) = 3 2

4 3

m

m

m

-

-

f p (λ ∈ R )

10) a) a · b = 1 b) (a – 3b ) · (4c ) = 288 c) (a + b ) · (a – c ) = 12

11) a) φ = 79,92° b) φ = 51,34° c) φ = 157,90°


12) Uita · b =0volgta ⊥ b (a , b ≠ 0 ).

13) Ergeldt(ziefiguur2-77):b + c = a ,dus:c = a – b .Wenemenhetinproductvanc metzichzelf:

c · c = (a – b ) · (a – b ) = a · a – a · b – b · a + b · b =

= a · a + b · b – 2a · b = a2 +b2 – 2ab · cos γ

14) Ergeldt:

e 1 · e 1 = e 2 · e 2 = e 3 · e 3 = 1 (eenheidsvectoren) en

e 1 · e 2 = e 2 · e 3 = e 3 · e 1 = 0 (orthogonale vectoren).

15) c = a + b (rekenditna)ena · b =0dusa ⊥ b .Zodoendezijna en b debeiderecht-hoekszijdenenisc dehypothenusa.

16) a) | a | = 3 , α = β = γ = 54,74°

b) | a | = 17 , α = 75,96°, β = 14,04°, γ = 90°

c) | a | = 29 , α = 42,03°, β = 56,15°, γ = 111,80°

17) | a | = BC = 20 , | b | = AC = 29 , | c | = AB = 17

α = 54,16°, β = 77,47°, γ = 48,37°, A = 9

18) s = P P1 2 = 3

18

4

-

-

f p m, W = F · s = 110 Nm, φ = 57,49°

19) φ = 60

20) a) b a = /

/

/

22 9

22 9

11 9

-f p b) b a = /

/

/

28 9

28 9

14 9

-

-

f p c) b a = /

/

/

20 9

20 9

10 9

-f p

21) γ = 90°, ax = 8,66, ay = 5, az=0 Devectora ligtdusinhetx, y-vlak.

22) a) α = 39,51°, β = 81,12°, γ = 51,89°

b) α = 107,64°, β = 59,66°, γ = 143,91°

c) α = 42,83°, β = 97,66°, γ = 48,19°

23) a) a × b = 2

14

9

-

-

f p b) (a – b ) × (3c ) = 93

9

6-

f p

c) (– a + 2c ) × (– b ) = 12

26

1

-

-

-

f p d) (2a ) × (– b + 5c ) = 236

2

38

-f p


24) a) A = | a × b | = 48,89 b) A = | a × b | = 51,16

25) 0,2 m · F + 0,5 m · 600 N = 1 m · 400 N ⇒ F = 500 N

26) Uit(a b c )=0volgtλ=–43/31.

27) Dedrievectorenzijnafhankelijkalshunblokproductgelijkaannulis.Ditisina)eninb)hetgeval.

28) Vblok = |[a b c ]| = 75

29) Aanbeidekantenvanhetgelijktekenstaatdevector

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a b a b c a b a b c

a b a b c a b a b c

a b a b c a b a b c

z x x z z x y y x y

x y y x x y z z y z

y z z y y z x x z x

- - -

- - -

- - -

f p

30) a) Uitdevectorvergelijkingλ1a + λ2 b = 0 volgthethomogenelineairestelselvergelijkingen

3λ1 + λ2 = 0 3λ1 + λ2 = 0

0λ1 + 5λ2=0 resp. 5λ2 = 0

λ1 + λ2 = 0 λ1 + λ2 = 0

metdeuniekeoplossingλ1 = λ2=0.Devectorena en b zijnduslineair onafhankelijk.

b) Hetblokproductvandedrievectorena , b en c isongelijkaannul:

[a b c ] = 1

1

1

6

2

2

4

2

3

-

-

-

- = 12 ≠ 0

Devectorenzijnduslineair onafhankelijk.

31) a) b = – 3a ⇒devectorena en b zijncollineair(antiparallel)enduslineair afhankelijk.

b) Hetblokproductvandedrievectorena , b en c isgelijkaannul:

[a b c ] = 1

1

5

2

2

10

5

3

1

- - = 0

Devectorenzijnzodoendelineair afhankelijk.

32) Webepalentelkenshetblokproductvandedrievectoren.

a) [a b c ] = 1

5

1

1

1

2

2

2

3

-

= 30 ≠ 0

Devectorenzijnduslineair onafhankelijk.

b) [a b d ] = 1

5

13

1

1

5

2

2

2

-

= 0

Devectorenzijnduslineair afhankelijk.


Paragraaf 4

1) a) r (P) = r (λ) = r 1 + λa = 4

3

m

m

m

-

-

f p (λ ∈ R )

λ = 1: Q1 = (3; 1; 2); λ = 2: Q2 = (2; 2; 1);

λ = – 5: Q3 = (9; – 5; 8)

b) r (P) = r (λ) = r 1 + λa = 3 5

2 2

1 3

m

m

m

+

- +

+

f p (λ ∈ R )

λ = 1: Q1 = (8; 0; 4); λ = 2: Q2 = (13; 2; 7);

λ = – 5: Q3 = (– 22; – 12; – 14)

2) a) r (P) = r (λ) = r 1 + λ( r 2 – r 1) = 1 5

3 2

2 10

m

m

m

+

+

- +

f p (λ ∈ R )

λ = – 2: Q1 = (– 9; – 1; – 22); λ = 3: Q2 = (16; 9; 28);

λ = 5: Q3 = (26; 13; 48)

b) r (P) = r (λ) = r 1 + λ( r 2 – r 1) = 2 3

3 3

1 4

m

m

m

- +

-

+

f p (λ ∈ R )

λ = – 2: Q1 = (– 8; 9; – 7); λ = 3: Q2 = (7; – 6; 13);

λ = 5: Q3 = (13; – 12; 21)

3) r (P) = r (λ) = r 1 + λ( r 2 – r 1) = 10 9

5 3

1 6

m

m

m

-

-

- +

f p (λ ∈ R )

BijhetmiddenQvanP P1 2 behoortdeparameterwaardeλ=0,5.DusQ=(5,5;3,5;2).

4) Ja.Devergelijking van de lijn is: r (P) = r (λ) = 3 2

4 3

m

m

m

-

-

f p (λ ∈ R )

DegegevenpuntenP1, P2 en P3behorenachtereenvolgensbijdeparameterwaardenλ = 0, λ = 1 en λ=5.

5) d = ( )

a

a r rQ 1# - = 1,22

6) d = ( )

a

a r r2 1# - = 4,74


7) cos α = cos cos1 2 2b c- - = 0,5 ⇒ α = 60°

Richtingsvector: a = cos

cos

cos

a

a

a

$

$

$

a

b

c

f p = ,

,

/

0 5

0 5

1 2

f p

Vergelijking van de lijn: r (P) = r (λ) = r 1 + λa = ,

,

/

1 0 5

2 0 5

8 2

m

m

m

+

- +

+

f p (λ ∈ R )

Snijpunt met het x, y-vlak: Sxy = (– 4,66; – 7,66; 0)

Snijpunt met het y, z-vlak: Syz = (0; – 3; 6,59)

Snijpunt met het x, z-vlak: Sxz = (3; 0; 10,83)

8) cos γ = cos cos1 2 2a b- - = – 0,5 ⇒ γ = 120°

Wekunnendenormvandevectora zelfkiezen.Westellen| a | = a=1envinden:

a = cos

cos

cos

a

a

a

$

$

$

a

b

c

f p = /

,

3 2

0

0 5-

f p

Vergelijking van de lijn: r (P) = r (λ) = r 1 + λa = ,

5123

3

1 0 5

m

m

+

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO (λ ∈ R )

9) a) De vergelijkingenvandetweelijnenzijn:

g1: r (λ1) = r 1 + λ1 P P1 2 = 2

3 4

4 6

6

1

1

1

m

m

m

-

-

-

f p (λ1 ∈ R )

g2: r (λ2) = r 3 + λ2 P P3 4 = 3 2

7 8

2 4

2

2

2

m

m

m

+

+

- -

f p (λ2 ∈ R )

g1 en g2zijnkruisendelijnen,omdata 1 × a 2 = 40

20

20

-

-

f p ≠ 0 en

[a 1a 2( r 3 – r 1)] = 100 ≠0.

Hunonderlingeafstandis:d = [ ( )]

a a

a a r r

1 2

1 2 3 1

#

- = 2,04

b) Detweelijnenzijnparallel,omdata 1 × a 2 = 0 (collineaire richtingsvectoren).


a

a r r

1

1 2 1# - = 1,79


c) Detweelijnensnijdenelkaar(inéénpuntS),omdata 1 × a 2 = 10

1

4

-

-

f p ≠ 0 en

[a 1a 2( r 2 – r 1)] = 0

Snijpunt: (λ1 = 2, λ2 = – 1) S = (5; 2; 10)

Hoek tussen de lijnen: φ = arccos a a

a a

1 2

1 2

$

$e o = 32,47°

10) g1 en g2zijnkruisendelijnen,omdata 1 × a 2 = 1

1

2

-

-f p ≠ 0 en [a 1a 2( r 2 – r 1)] = – 7 ≠0.

Hunonderlingeafstandisd = [ ( )]

a a

a a r r

1 2

1 2 2 1

#

- = 2,86

11) DevergelijkingvandelijndoorP1 = (3, 0, 0) en P2 = (0, 3, 0) is:

g1: r (λ1) = r 1 + λ1 P P1 2 = r 1 + λ1a 1 = 3

0

0

f p + λ1 3

3

0

-

f p (λ1 ∈ R )

Devergelijkingvandez-asdoorP3 = (0, 0, 0) en P4 = (0, 0, 1) is:

g2: r (λ2) = r 3 + λ2 P P3 4 = r 3 + λ2a 2 = 0

0

0

f p + λ2 0

0

1

f p (λ2 ∈ R )

Dezelijnenkruisenelkaar,omdata 1 × a 2 = 3

3

0

f p ≠ 0 en [a 1a 2( r 3 – r 1)] = – 9 ≠0.


a a

a a r r

1 2

1 2 3 1

#

- = 2,12

12) g1: r (λ1) = r 1 + λ1 P P1 2 = r 1 + λ1a 1 = 4

2

8

f p + λ1 1

4

3

-

f p (λ1 ∈ R )

g2: r (λ2) = r 3 + λ2 P P3 4 = r 3 + λ2a 2 = 5

8

21

f p + λ2 2

2

10

f p (λ2 ∈ R )

g1 en g2 snijdenelkaar(inéénpuntS),omdata 1 × a 2 = 34

16

10-

f p ≠ 0 en [a 1a 2( r 3 – r 1)] = 0

Snijpunt (λ1 = 1, λ2 = – 1): S = (3; 6; 11)

Hoek tussen de lijnen: φ = arccos a a

a a

1 2

1 2

$

$e o = 47,21°


13) a) r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λa + μb = 3 2

5

1 3

m n

m n

m n

+ +

+ +

+ +

f p (λ, μ ∈ R )

Normaalvector: n = a × b = 2

1

1

-

-

f p

λ = 1, μ = 3: Q1 = (10; 9; 11);

λ = – 2, μ = 1: Q2 = (3; 4; 2)

b) r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λa + μb = 6 2 2

8 3

3 3 3

m n

m n

m n

+ +

+

- - -

f p (λ, μ ∈ R )

Normaalvector: n = a × b = 15

0

10

-

-

f p

λ = 1, μ = 3: Q1 = (14; 17; – 15);

λ = – 2, μ = 1: Q2 = (4; – 13; 0)

14) a) r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λ( r 2 – r 1) + μ( r 3 – r 1) = 3 7 2

1 8

3

m n

n

m n

- +

+

+

f p (λ, μ ∈ R )

λ = 3, μ = – 2: Q1 = (– 22; – 15; – 3);

λ = – 2, μ = 1: Q2 = (19; 9; 1)

b) r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λ( r 2 – r 1) + μ( r 3 – r 1) = 5 7 5

1 2 4

2 5 8

m n

m n

m n

- -

- +

- +

f p (λ, μ ∈ R )

λ = 3, μ = – 2: Q1 = (– 6; – 13; – 29);

λ = – 2, μ = 1: Q2 = (14; 9; 20)

15) DevergelijkingvanhetvlakE door P1, P2 en P3 is:

r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λP P1 2 + μP P1 3 = 1 2 3

1 2

1 4

m n

m n

m n

+ +

+ -

- +

f p (λ, μ ∈ R )

P4=(12;–4;12)ligtinditvlakalshetstelsellineairevergelijkingen

1 + 2λ + 3μ = 12 2λ + 3μ = 11

1 + λ – 2μ = – 4 of λ – 2μ = – 5

1 – λ + 4μ = 12 – λ + 4μ = 11

precies éénoplossingheeft.Ditishetgeval:λ = 1, μ=3.Devierpuntenliggendusinéénvlak.


16) DevergelijkingvanhetvlakE door P1 = (a, 0, 0), P2 = (0, a, 0) en P3 = (0, 0, a) is:

r (P) = r (λ; μ) = r 1 + λP P1 2 + μP P1 3 = a a a

a

a

m n

m

n

- -

f p (λ, μ ∈ R )

HetpuntQ=(3,–4,7)ligtinditvlakalshetstelselvergelijkingen

a a a

a

a

3

4

7

m n

m

n

- - =

=-

=

precies éénoplossingheeft.Ditishetgeval(wetellendetweedeenderdevergelijkingbijdeeersteop):a = 6, λ = – 2/3, μ=7/6.Devergelijking van het vlak Eisdus:

r (P) = r (λ; μ) = 6 6 6

6

6

m n

m

n

- -

f p (λ, μ ∈ R )

17) n · ( r – r A) = 4 (x – 5) + 3 (y – 8) + 1 (z – 10) = 0 of 4x + 3y + z = 54

CoördinatenvanB: 4 · 2 + 3y + 1 = 54 ⇒ y = 15 ⇒ B = (2; 15; 1)

18) cos γ = – cos cos1 2 2a b- - = – 21

2 ⇒ γ = 135°

Wekunnendenormvandenormaalvectorn zelfkiezen.Wekiezen| n | = n=2.Danis:

n = cos

cos

cos

n

n

n

$

$

$

a

b

c

f p = 1

1

2

-

-

f p

een normaalvectorvanhetvlakE.Devergelijking van het vlak is:

n · ( r – r 1) = 1 (x – 3) – 1 (y – 5) – 2 (z + 2) = 0 of

x – y – 2 z = 2 2 – 2 = 0,8284

19) a) DelijngenhetvlakE snijdenelkaarineenpuntS,omdatn · a = 2 ≠0.

Snijpunt (λS = 4,5): r S = r 1 + ( )

n a

n r r0 1

$

$ -e o a = ,

,

18 5

5 5

11

f p ⇒ S = (18,5; 5,5; 11)

Hoek tussen lijn en vlak: φ = arccos n a

n a

$

$e o = 9,27°

b) DelijngenhetvlakEzijnevenwijdig,omdatn · a =0.Deafstandtusseng en E is

d = ( )

n

n r r1 0$ - = 1,51


c) De vergelijking van de lijn g is:

r (λ) = r 1 + λP P1 2 = r 1 + λa = 2

0

3

f p + λ 3

6

15

f p (λ, μ ∈ R )

De vergelijking van het vlak E is:

r (λ; μ) = r 3 + λP P3 4 + μP P3 5 = 1

2

2

-

-

f p + λ 1

1

1

-

f p+ μ 2

2

1

-

f p

De normaalvectorvanhetvlakE: n = (P P3 4 ) × (P P3 4 ) = 1

1

0

-

-f p

DelijngenhetvlakE snijdenelkaar,omdatn · a = – 9 ≠0.

Snijpunt 31

Sm =-` j : r S = r 1 + ( )

n a

n r r3 1

$

$ -e o a = 1

2

2

-

-

f p ⇒ S = (1; – 2; – 2)

Hoek tussen lijn en vlak: φ = arccos n a

n a

$

$e o = 22,79°

20) DevectorAB staatloodrechtophetvlakEenisduseennormaalvectorvanditvlak:

n = AB = 4

3

4-

f p

Devergelijkingvanhetvlak Eisdus:

n · ( r – r 1) = 4 (x – 2) + 3 (y – 1) – 4 (z – 5) = 0 of

4x + 3y – 4z = – 9

21) Uitdeafstandsformuled = ( )

n

n r rQ 1$ -volgt(nasubstitutievandegegevenwaarden)de

modulusvergelijking| a – 1 | = a5 2+ metoplossinga=–2.Devergelijkingvanheteven-wijdigevlakE2 is:

n · ( r – r A) = 2 (x – 5) + 1 (y – 1) – 2 (z + 2) = 0 of

2x + y – 2z = 15

22) DelijngenhetvlakEzijnevenwijdig,omdatn · a =0.Deafstandtusseng en E is:

d = ( )

n

n r r1 0$ - = 2,03

A.3 Functies en krommen a17

23) Hetvlak EgaatdoorhetpuntP0=(1,2,–3)enheeftnormaalvector n = 2

1

1

f p.Delijngenhet vlakE snijdenelkaar,omdatn · a = 1 ≠0ineenpuntS.

Snijpunt (λS = – 7): r S = r 1 + ( )

n a

n r r0 1

$

$ -e o a = 4

12

21

-

-f p ⇒ S = (– 4; – 12; 21)

Hoek tussen g en E: φ = arcsin n a

n a

$

$e o = 6,26°

24) DevlakkenE1 en E2zijnevenwijdig,omdatn 1 × n 2 = 0 .DeafstandtussenE1 en E2 is:

d = ( )

n

n r r

1

1 2 1$ - = 3,74

25) DevlakkenE1 en E2 snijdenelkaar,omdatn 1 × n 2 = 3

5

2

-

-

f p ≠ 0 .

Snijlijn g: r (λ) = r 0 + λa meta = n 1 × n 2 = 3

5

2

-

-

f p

WebepalendecoördinatenvanhetpuntP0 = (x0; y0; z0)metplaatsvector r 0uithetstelsellineairevergelijkingen:

n 1 · ( r 0 – r 1) = 3 (x0 – 2) + 1 (y0 – 5) + 2 (z0 – 6) = 0

n 2 · ( r 0 – r 2) = 2 (x0 – 1) + 0 (y0 – 5) + 3 (z0 – 1) = 0

Westellenx0 = 0: P0=(0;59/3;5/3).Devergelijkingvandesnijlijnisdus:

r (λ) = /

/

0

59 3

5 3

f p + λ 3

5

2

-

-

f p (λ ∈ R )

Hoek tussen de vlakken: φ = arccos n n

n n

1 2

1 2

$

$e o = 27,20°

A.3 Functies en krommenParagraaf 1

1) a) D = (– ∞, ∞), B = [– 0,5, 0,5];

b) D = {x | | x | ≥ 1}, B = [0, ∞);

c) D = (– ∞, ∞) \ {0}, B = (– ∞, ∞);

d) D = (– ∞, ∞) \ {– 2, 2}, B = (– ∞, 0] ∪ (0,25, ∞);

e) D = (– ∞, – 1,5) ∪ (2, ∞), B = [0, ∞);

f) D = (– ∞, ∞) \ {– 1}, B = (– ∞, ∞) \ {1}


2) a) D = {x | x ≥ – 3};

zievoordegrafiekfiguurA-17.

b) D = (– ∞, ∞)\{1};


c) D = (– ∞, ∞);


Figuur A-17


3) DegrafiekvandefunctiestaatinfiguurA-20.

Figuur A-20

1 5 x

y

–1–1

– 4

– 3

y = – 2 x + 6

1 5

1

5

x

y

–1

1x – 1| |

y =

1

1

5

x

y

–1

y = e | |x

10,2 2 3

1

2

3

4

t /s

y /cm

–1


4) Expliciete vorm:

y(x) = x2 + 2 x – 2, x ≥ 0

Grafiek:ziefiguurA-21

t1 = 1,5: P1 = (0,75; 0,725)

t2 = 5: P2 = (2,5; 5,236)

Figuur A-21

Paragraaf 2

1) a) even b) oneven c) oneven d) even

e) even f)even g) tenopzichtevanhetpunt(1,0)oneven;

h) even

2) a) x1/2 = ± 3 b) xk = 4r + k · π (k ∈ Z ) c) x1/2 = ± 3 d) x1 = 1

3) a) monotoondalend in (– ∞,0),monotoonstijgend in (0, ∞);

b) monotoonstijgend; c) monotoonstijgend; d) monotoonstijgend;

e) monotoonstijgend; f) monotoondalend

4) y (t + 2π) = 2 · sin (t + 2π) – 4 · cos (t + 2π) = 2 · sin t – 4 · cos t = y(t)

5) a) y = x21 (x > 0) b) y =

31 x2 (x > 0)

c) y = ln x + 0,5 – ln 2 (x > 0)

1 5

1

5

10

15

x

y

– 2

y(x) = 2 x + 2 x – 2

P1

P2


Paragraaf 3

1) a) x = u + 3, y = υ – 2: υ = u2 – sin u + 3 ⇒ y = (x – 3)2 – sin (x – 3) + 1

b) x = u + 5, y = υ + 5: υ = u2 – sin u + 3 ⇒ y = (x – 5)2 – sin (x – 5) + 8

2) υ = 2u2 ⇒ y = 2x2 – 16x + 28,5 = 2 (x – 4)2 – 3,5 ⇒ u = x – 4, υ = y+3,5,datwilzeggende parabool y = 2x2isviereenhedennaarrechts en 3,5 eenheden naar benedenverschoven.

3) υ = sin u ⇒ y = x4r-` j – 2 ⇒ u = x –

4r , υ = y+2,datwilzeggendesinuskromme

y = sin x is π/4 eenheden naar rechts en 2 eenheden naar benedenverschoven.

4) (x + 2)2 + (y – 5) 2 = 16

5) P1: r = 160 = 12,649, φ = 288,43°

P2: r = 18 = 4,243, φ = 225°

P3: r = 41 = 6,403, φ = 321,34°

6) a) P1 = (8,192; 5,736) b) P2 = (– 0,831; – 3,462)

7) a) DegrafiekstaatinfiguurA-22. b) ZievoordegrafiekfiguurA-23.


8) a) r = ( )sin cos sin2 2$ ${ { {=

b) ZievoordegrafiekfiguurA-24.

Figuur A-24

1

1

2

x

y

–1

r = 1 + sin f

1

1

3

2

x

y

–1– 5

r = e 0,5 f

1

1

x

y

–1

–1

r = sin (2 )f


Paragraaf 4

1) a) an = 0,2n (n ∈ N*) b) an = n

n1

2

+ (n ∈ N*) c) an = n

2 n (n ∈ N*)

2) Grafiekvanderij:ziefiguurA-25.

Figuur A-25

3) a) 0,5 b) ∞ c) 1

4) a) 0 b) –7 c) 2 d) 7/4 e) ∞

f) Eerstdeuitdrukkingmet x1 + +1vermenigvuldigen(teller:merkwaardigproduct),dandefactorxwegstrepenentenslottedelimietberekenen:

limx 0"

1xx 1+ - = lim

x 0"

( 1)

( 1 1)( 1)

x x

x x

1

1

+ +

+ - + + =

= limx 0"

( )x x

x

1 1

1 1+ +

+ - = limx 0"

( )x x

x

1 1+ + =

= limx 0"

x1 1

1+ +

= 1 11+

= 21

g) 1 h) 4

5) 2

6) Dezelfde‘truc’alsbijopgave4)f)eerstdeuitdrukkingmet( )x x2+ + vermenigvuldi-gen,dandelimietberekenen:

limx"3

( )x x2+ - = limx"3

( 2 )( )

x x

x x x x

2

2

+ +

+ - + + =

= limx"3

x x

x x

2

2+ +

+ - = limx"3

x x2

2+ +

= 0

7) a) x1 = 4 b) x1 = – 2, x2 = – 1 c) x1 = 0 d) xk = k · π (k ∈ Z )

1 5 10 15

1

0,5

n

an


8) Delimietinhetpuntx0=0bestaatniet (gl ≠ gr):

gl = lim0

( )

x

x 0<

" f(x) = lim

x 0" x = 0; gr = lim

( )

x

x

0

0>

" f(x) = lim

x 0" (x – 2) = – 2

9) Delimietvanf(x)inhetpuntx0=1bestaatenisgelijkaandefunctiewaardef(1)=2indatpunt:

limx 1"

xx

112

-- = lim

x 1" ( )( )

xx x

11 1-

- + = limx 1"

(x + 1) = 2

10) Defunctieheeftinhetpuntx1=1een‘gat’inhetdefinitiegebied(onbepaalde uitdrukking 0/0).Wekunnendit‘gat’echteropheffen,omdatdelimietinditpuntbestaat:

limx 1"

x x x

x x13 2

2

- + -- = lim

x 1" ( 1)( 1)

( )

x x

x x 12- +

- = limx 1"

x

x12 +

= 21

Westellendaaromachteraf:f(1) = 1/2

Paragraaf 5

1) Hoofdvorm: y = – 92 x +

37 vormwaarbijgebruikgemaaktwordtvandesnijpuntenmetde

coördinaatassen:/ /x y

21 2 7 3+ = 1

2) R = 112 Ω

3) a) y = – 2 (x + 2,581)(x–0,581)respectievelijky – 5 = – 2 (x + 1)2

b) y = 5 (x + 2)(x + 2) = 5 (x + 2)2

c) y = 2x (x+5)respectievelijky + 12,5 = 2 (x + 2,5)2

d) y = 4 (x + 5)(x–3)respectievelijky + 64 = 4 (x + 1)2

4) y = ( ) ( , )x x x x8413

283

2122

8413

8 0 84622- + + =- - + respectievelijk

y – 3,028 = – 0,1548 (x – 3,577)2;topS = (3,577; 3,028)

5) a) ymax = 10,25 b) 5,702

6) y = – 2x2 – 8x + 10

7) a) y = (x – 4)(x2 + 4) b) y = 1,5 x x31

31- +c cm m

c) y = – 3x (x2 – 6x + 11) d) y = – 2x (x – 2)2 e) y = – (x + 2)3


8) Nulpunten: t1 = 0, t2 = 2 (dubbelnulpunt,dusextreem,ziefiguurA-26.)

Figuur A-26

9) a) x1 = – 2, x2 = 1, x3 = 3 ⇒ y = (x + 2)(x – 1)(x – 3)

b) t1 = – 2, t2 = 1 ⇒ z = – 2 (t + 2)(t – 1)(t2 + 2)

10) a) f(– 1,51) = – 36,162 b) f(3,56) = – 418,982

11) Nulpunten: x1 = – 5

x2 = – 2

x3 = 1

ZievoordegrafiekfiguurA-27.

f(– 3,25) = 27,891

Figuur A-27

12) y = – 1081 (x – 3) (x + 3) (x – 6)(x + 6) =

1081 x4 +

125 x2 – 3

13) a) x1 = – 1, x2 = 2 b) x1 = – 5, x2 = – 1, x3/4 = 1

14) a) y = – 2 + 6 (x + 1) – 35 (x + 1)(x – 1) –

181 (x + 1)(x – 1)(x – 2) =

= – 181 (x3 – 28x2 + 109x + 100)

b) y = – 13,1 – 1,6 (x + 1) + 5,4 (x + 1)(x – 2) + 3,5 (x + 1)(x – 2)(x – 4) =

= 3,5x3 – 12,1x2 + 2,5

1 2 3

1

5

t

z

–1

z = 4 t – 16 t + 16 t3 2

1

10

30

x

y

–1– 2– 5

–10

– 30

y = 3 x + 18 x + 9 x – 303 2


c) y = – 50,05 – 8,45 (x + 4) – 0,65 (x + 4)(x – 1) + 1,3 (x + 4)(x – 1)(x – 2) =

= 1,3x3 – 0,65x2 + 23,4x + 29,25

d) y = 594 – 423 (x + 4) + 95 (x + 4)(x + 2) – 13 (x + 4)(x + 2)(x – 1) +

+ 1 (x + 4)(x + 2)(x – 1)(x – 3) =

= x4 – 11x3 + 17x2 + 107x – 210

15) y = 0,693 147 + 0,991 344 (x – 1) – 0,081 312 (x – 1)(x – 1,25) –

– 0,046 549 (x – 1)(x – 1,25)(x – 1,5) +

+ 0,036 128 (x – 1)(x – 1,25)(x – 1,5)(x – 1,75) =

= 0,036 128x4 – 0,245 253x3 + 0,497 429x2 + 0,598 856x – 0,194 013

y(x1=1,1)=0,793080 (exactewaarde:0,792993)

y(x2=1,62)=1,287717 (exactewaarde:1,287689)

Paragraaf 6

1) a) Nulpunten: x1 = – 2, x2 = 1; pool: x3 = 2

b) Nulpunten: x1 = 3, x2 = 4; polen: x3 = – 1, x4 = 0

c) Nulpunten: x1 = 1; pool: x2 = – 1

d) Nulpunten: x1 = – 0,8284, x2 = 0, x3 = 4,8284; polen: x4/5 = ± 2

e) Nulpunten: x1 = – 1, x2 = 5; pool: x3 = 0

2) Wedelentellerennoemer,indienmogelijk,doorgemeenschappelijke lineaire factoren:

a) Nulpunten: x1/2 = ± 2; asymptoot: y = 1; grafiek:ziefiguurA-28.

Figuur A-28

b) Nulpunten: x1/2 = 2;

pool: x3 = – 2;

asymptoot: y = x – 6;

grafiek:ziefiguurA-29.

Figuur A-29

1 2 5

1

–1

– 4

x

y

– 2– 5

Asymptote y = 1

x – 4x + 1

2

2y =

asymptoot y = 1

2 10

4

x

y

– 2

– 20

–10

Asymptote y = x – 6

(x – 2)x + 2

2y =

asymptoot y = x – 6


c) Nulpunt: x1 = 1;

pool: x2 = 2;

asymptoot: y = 1;


Figuur A-30

d) Nulpunten: x1/2 = 1;

polen: x3/4 = – 1;

asymptoot: y = 1;


Figuur A-31

3) y = ( ) ( )( ) ( )

x xx x

xx x

81

1 12 4

8 86 32

2

2

3 2

$+ -- +

=-

+ -

4) Grafiek:ziefiguurA-32.

Figuur A-32

1 2 5

5

1

x

y

–1–1

x – 1x – 2

y =

Asymptote y = 1asymptoot y = 1

1 5

1

5

x

y

–1– 5

Asymptote y = 1

(x – 1)

(x + 1)

2

2y =

asymptoot y = 1

1 5

1

r / m

HA /m

H =10A

2 rp


Paragraaf 7




Paragraaf 8

1) Vergelijking van de cirkel: (x + 41,5)2 + (y – 280,5)2 = 80 012,5

M = (– 41,5; 280,5), r = 282,86

2) Vergelijking van de cirkel: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 M = (3; 5), r = 5

3) a) Cirkel: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 M = (1; – 2), r = 5

b) Hyperbool: x y4 4

12 4

- = ; M = (0; 0), a = 2, b=2(rechthoekigehyperbool)

c) Ellips: ( )x y161

91

2 2-+ = M = (1; 0), a = 4, b = 3

d) Cirkel: (x + 3)2 + (y – 1,5)2 = 11,25 M = (– 3; 1,5), r = 3,354

e) Parabool: (y + 3)2 = 29 (x + 2); opening naar rechts, S = (– 2, – 3);

f ) Ellips: ( )/

( )1

x y71

7 412 2-

++

= M = (1; – 1), a = 7 , b = /7 4

g) Ellips: 1

1x y

362

16342 2

-+

+=

` `j j M = ;

21

34-` j , a = 6, b = 4

h) Parabool: (y – 2)2 = – 2 (x – 2); opening naar links, S = (2, 2)

4) Vergelijkingvandeboog van de brug: y = – 0,003 m– 1 · x2 + 20 m

Snijpuntmetderijbaan:x1/2 = ± 81,65 m

1 2 3

1

5

x

y

y = x –3 /2

10 50 100

10

50

h /m

vm / s

v = 2gh


Paragrafen 9 en 10

1)

Graden 40,36° 81,19° – 322,08° 278,19° – 78,46° 4,83° 118,6°

Radialen 0,7044 1,4171 – 5,6213 4,8553 – 1,3694 0,0843 2,0700

2) a) 0,2164 b) – 0,6198 c) 0,4685 d) – 0,0384 e) 0,9997

f) –0,5774 g) –1,2810 h) 0,4063 i) –0,1113 j) 0,9239

3) De stelling van Pythagorasvoorgoniometrische functies volgtuitdesomformulevoorcosinus(3-136)metx1 = x2 = x ⇒ cos 0 = cos x · cos x + sin x · sin x ⇒ sin2 x + cos2 x=1.

4) y = – 42r x(x – π) = – 42r x2 + 4r

x

5) a) A = 2, p = 32r , x0 =

18r b) A = 5, p = π, x0 = – 2,1

c) A = 10, p = 2, x0 = 3 d) A = 2,4, p = 2r , x0 =

8r

6) a) Grafiek:ziefiguurA-35.

Figuur A-35

b) Grafiek:ziefiguurA-36.

Figuur A-36

4

x

y

– 4

y = 4 · sin (3 x + 2)

23

23p

–

p =

2

x

y

– 2p = p

y = 2 · cos (2x – )p

p4

p2

–


7) A = 5 cm, T = 14 s, ω = 7r s– 1, φ =

14r

y(t) = 5 cm · sin 7s t

141 $

r r+-` j

Grafiek:ziefiguurA-37.

Figuur A-37

8) i0 = 2A, p = T = 10 ms, ω = 5 msr , φ =

5r

i(t) = 2A · sin 5 ms

t5

$r r+` j

9) a) Grafiek:ziefiguurA-38.

Figuur A-38

b) Grafiek:ziefiguurA-39.

Figuur A-39

5

t /s

y /cm

– 0,5

–5T = 14 s

y = 5 cm · sin s · t +–1p7

p14

2 t

y

– 2

2

T = p

y = 2 · sin (2 t – 4)

3

t

y

– 3

T = 4p

p4

y = 3 · cos 0,5 t – p8


10) Periode: p = π

Nulpunten (= relatieve minima): xk = 2r + k · π (k ∈ Z )

Relatieve maxima: xk = k · π (k ∈ Z )


Figuur A-40

11) y = 5 · sin t323r+` j of y = 5 · sin t3

2r-` j

y = 3 · sin t23

r r+` j of y = 3 · sin t2

rr-` j

y = 3 · sin t245r+` j of y = 3 · sin t2

43r-` j

y = 4 · sin (0,5t + 6,142) of y = 4 · sin (0,5t – 0,142)

12) a) Wijzerdiagram:ziefiguurA-41; b)Wijzerdiagram:ziefiguurA-42.


13) a) 0,5980 b) – 1,2614 c) 1,0781 d) 4,4304

e) 0,8084 f) 0,3082 g) 1,1837 h) 2,8198

14) a) u(t) = 241,3 V · sin (500 s– 1 · t + 0,488)

b) u(t) = 526,2 V · sin (1000 s– 1 · t – 0,217)

1 5

1

x

y

p = p

y = 1 – sin x2

p2

p p32

52

sin t

cos t

sin

cos

p /2

sin t

cos tp /2

sin

cos


15) y(t) = y1(t) + y2(t) = 18,68 cm · sin (4,5 s– 1 · t + 1,991)

Wijzerdiagram:ziefiguurA-43.

Figuur A-43

16) a) x1k = – 2,2943 + k · π (k ∈ Z )

b) xk = – 0,6073 + k · 2r (k ∈ Z )

x2k = – 1,1350 + k · π

c) x1k = 2,0472 + k · 2π (k ∈ Z )

d) x1k = 4r + k · 2π

(k ∈ Z ) x2k = – 0,0472 + k · 2π x2k =

43 π + k

· 2π

17) Westellen:y = arccos x.Dus:x = cos yenverder:

cosx y1 12 2- = - = sin y = sin (arccos x)

18) a) Ellips: (3 ) ( )cm cm

x y

42

2

2

2

+ = 1; a = 3 cm, b = 4 cm

b) Cirkel: x2 + y2 = (5 cm)2; M = (0; 0), r = 5 cm

Paragrafen 11, 12 en 13

1) τ = 3,305 · 105 s = 3,825 dagen

2) t = 0,691 ms = 6,91 · 10– 4 s

3)h/m 500 1000 2000 5000 8000

p/bar 0,952 0,894 0,789 0,542 0,372

3

3

_

`

a

bb

bb

sin

cos

y (t)

y (t)1

y (t)2



Figuur A-44

5) Na t=1,50sheeftdestroomdewaarde3,8A(datis95%vanzijneindwaardei0=4A).DegrafiekstaatinfiguurA-45.

Figuur A-45

6) a = 8, b = 0,4159, y = 8 · e– 0,4159x + 2

7) a = 17,565, b = 0,0311, y = 17,565 · e– 0,0311x2

8) T0 = 185,57 °C, k = 0,0187 min– 1; T(t) = 165,57 °C · e– 0,0187 min– 1 · t + 20 °C

T(t1) = 60 °C ⇒ t1 = 75,96 min

9) x(t1) = 15,2 cm ⇒ t1 = 0,353 s


Figuur A-46

11) H = 75,93 m

1 1,50,1

0,5

y = 2 · e · cos ( t )– 0,2 t p

2

1

2

t

y

–1

– 2

1 1,5

3,8

2

1

4

i = 4 A · (1– e )– 2 s · t–1

t /s

i /A

1 2 3

1

2

3

t

y

y = ( 3 + 8 t ) · e – 2 t


12) a) x1 = – 0,3012, x2 = 2,3012

b) Wesubstitueren t = exenkrijgendetweedegraadsvergelijkingt2 – 3t+2=0metdeoplos-singen t1 = 1, t2=2.Naterugsubstitutievindenwe:x1 = 0, x2=0,693.

13) a) x1=2.

b)Welossendezevergelijkingopmetdesubstitutie z = lg x ⇒ x1 = 0,1, x2=100.

A.4 DifferentiaalrekeningParagraaf 1

1) a) x

y

D

D = ( ) ( )

x

f x f1 1

D

D+ - = ( )

xx1 13

DD+ - = 3 + 3 · Δx + (Δx)2

f '(1) = limx 0"D

(3 + 3 · Δx + (Δx)2) = 3

b) x

y

D

D = ( ) ( )

x

f x x f x0 0

D

D+ - = ( )

xx x x0

303

DD+ - = 3x0

2 + 3x0 · Δx + (Δx)2

f '(x0) = limx 0"D

(3x02 + 3x0 · Δx + (Δx)2) = 3x0

2

2) a) y' = 20x4 b) y' = 2 (a + 1) xa c) y' = x4

34$

d) y' = x35 23$ e) y' = x

34 3$ f) y' =

x2

1

$

Paragraaf 2

1) a) y' = – 40x3 + 6x2 b) z' = – a · sin t – 2t + e'

c) y' = ( )ln cosx x x

30103 1

4 2- - + d) y' = x320 23$ – 4 · ex + cos x

2) a) y' = (12x2 – 2)(x2 – 2x + 5) + (2x – 2)(4x3 – 2x + 1) =

= 20x4 – 32x3 + 54x2 + 10x – 12

b) y' = 2 ·tanx · 2 2cos cos

sincos cos

sinx x

xx x

x1 12 2 3$ $ $= =

c) y' = cos x · cos x – sin x · sin x = cos2 x – sin2 x

d) y' = 2 (3 + 10x)(3x + 5x2 – 1) = 100x3 + 90x2 – 2x – 6

e) y' = 2 · ln x + 2x · x1 = 2 · ln x + 2

f ) y' = et · cos t – sin t · et = et · (cos t – sin t)

g) y' = n · xn – 1 · ex + ex · xn = xn – 1 · ex · (n + x)

A.4 Differentiaalrekening a33

h) y' = x1 · cosh x + sinh x · ln x

i) y' = 2x · arcsin x + x

x

1 2

2

-

j) y' = 2 · ex · cos x + 2x · ex · cos x – 2x · ex · sin x =

= 2 · ex · (cos x + x · cos x – x · sin x)

3) a) y' = ( )

( )( ) ( ) ( )

x x

x x x x x x x

2 1

25 12 2 1 2 2 5 6 12 2

4 2 5 2

+ +

- + + - + - + =

= ( )x x

x x x x x2 1

15 40 25 12 14 22 2

6 5 4 2

+ ++ + - - -

b) y' = ( )

( )

( )x

x x x

xx

1

10 1 2 10

110 10

2 2

2

2 2

2$

+

+ -=

+- +

c) y' = ( )ln ln lnx

xx x x

x

x x

xx

12 1 2 1 24

2

4 3

$ $ $ $-

=-

=-

d) y' = ( )

( ) ( ) ( )( )

x x

x x x x x x x x

5

6 12 1 5 3 5 2 6 33 2

2 3 2 3 2

-

- + - - - - + -

= ( )x x

x x x5

6 22 39 153 2

4 3

-- + -

e) y = e– x · ln x = lne

xx ⇒

y' = ( )

ln ln lnln

e

e e

e e

e

e ex

xx

xx

x

xx x

1 1 11

x

x x

x x

x

x x2

$ $

$ $$

-=

-=

-=

-` j

f ) y' = ln

lnx

xx x

xx

11

12 2

$ $-=

-

g) y' = ( )

sinsin sin cos cos

sin

sin cos

sinxx x x x

x

x x

x1

2 2

2 2

2$ $- -

=- +

=-

h) y' = ( )

( ) ( )

sin

sin sin cos cos

x

x x x x

1

1 12-

- - + + =

= ( ) ( )sin

sin sin cos cossin

cos sinx

x x x xx

x x1 1

12

2 2

2-- + + +

=-- +

i) y' = ( ) (1 )

( )arctan

arctan

e

e e

ex

x

x

x x11

1 1x

x x

x2

2

2

2$ $

$

$+-

=+

- +

j) y' = cosh

cosh cosh sinh sinhcosh

cosh sinhcoshx

x x x xx

x xx

12 2

2 2

2$ $-

=-

=


k) y' = ( )

( ) ( )

x

x x x x x x

121

2 1 2/ /

2 2

1 2 2 1 2 2$

+

- + - --` j =

= ( )

, ,

( )

, ,

x

x x x

x x

x x x

1

1 5 2 0 5

1

1 5 2 0 5/ /

2 2

3 2 1 2

2 2

2$ $

+

- - +=

+

- - +-

l) y' = ( )

( 1) 1

( )

( 2)e e e

x

x

x

x

1 1

x x x

2 2

$ $

-

- -=

-

-

4) a) y' = 25 (4x3 – x2 + 1)4 · (12x2 – 2x)

b) y' = – 10 (x3 – 2x + 5)– 2 · (3x2 – 2) = – 10 · ( )x x

x2 5

3 23 2

2

- +-

c) y' = [cos (x + 2)] · 1 = cos (x + 2)

d) y' = 2 [– sin (10t – π/3)] · 10 = – 20 · sin (10t – π/3)

e) y' = 3 · e– 4x · (– 4) = – 12 · e– 4x

f ) y' = 2 · sin (2x – 4) · cos (2x – 4) · 2 = 4 · sin (2x – 4) · cos (2x – 4)

g) y' = 2 · x x2

13 -

· (3x2 – 2) = 2 · x xx

23 2

3

2

--

h) y' = (2x – 2) · ex2 – 2x + 5

i) y' = ( ) ( )( )x x

xx x

x

1 1

1

2 1

12

2 12 2 2 2$

$$

- - -=

- -

j) y' = ( ) 1 ( 1)x

xx

x1 1

12

22 2 2 2$

+ +=

+ +

k) y' = 32 (x2 – 4x + 10)– 1/3 · (2x – 4) =

x x

x34

4 10

223

$- +

-

l) y' = – 35 (x3 – 4x + 5)– 8/3 · (3x2 – 4)

m) y' = 5 · [– sin (x2 + 2x – 1)2] · 2 (x2 + 2x – 1)(2x + 2) =

= – 20 (x2 + 2x – 1)(x + 1) · sin (x2 + 2x – 1)2

n) y' = ( )cos

sincossin

tanx

xxx

x1

$ - =- =-

5) a) y' = – 2 · e– 2t · cos t – sin t · e– 2t = – e– 2t · (2 · cos t + sin t)

b) u' = ex · sin x · (1 · sin x + x · cos x) = (sin x + x · cos x) · ex · sin x

c) y' = 2 (x2 – 1)(2x)(x + 5)3 + 3 (x + 5)2(x2 – 1)2 =

= (x2 – 1)(x + 5)2 (7x2 + 20x – 3)

d) y' = (4x – 4) · sin (2x) + 2 · cos (2x) · (2x2 – 4x + 5) =

= (4x – 1) · sin (2x) + 2 (2x2 – 4x + 5) · cos (2x)


e) y' = 2 · e2x · arcsin (x – 1) + ( )x1 1

12- -

· e2x =

= e2x · ( )1 ( 1)

1arcsin x

x2 1

2$ - +

- -; E

f ) z' = – 3 · e– 5t + e– 5t · (– 5)(2 – 3t) = (15t – 13) · e– 5t

g) y = x · ln (x + ex)2 = 2x · ln (x + ex) ⇒

y' = 2 · ln (x + ex) + ex

1x+

· (1 + ex) 2x = 2 · ln (x + ex) + 2 (1 )

e

e

x

xx

x

+

+

h) y' = 4x · ln x · (ln 4) · ln x xx

11

$ $+` j = (ln 4) · (ln x + 1) · 4x · ln x

i) y' = 2x · cos (x2 + 1) · cos (4x) – 4 · sin (4x) · sin (x2 + 1)

j) y' = – 4 · sin (x – 4) + 2 · cos (2x + 3)

k) y = ln x12c m + ln

xx 4+` j = – 3 · ln x + ln (x + 4) ⇒

y' = – ( )( )

( ) ( )( )

x x x xx x

x xx

x xx3

41

43 4

42 12

42 6

++

=+

- + +=

+- -

=+

- +

l) y'(t) = yo = tanh cosh sinh

coshcosh sinh cosht t t

tt t t

1 1 1 12 2$ $

$= =

m) y' = ( )n

xx

x

x x

xn

xx1 1 1 1 1n n1

2 2

1

$$ $+ - +

=-+- -

` `j j

n) y' = 2 · 2

xx

x xx

x1

1

12 2

1

4 22

2 2

2

$$ $- +

-=

-

-

o) y' = sin

cossin

cos

xx

x

x

2

1

2$$

$=

p) y'(t) = yo = – aA · e– at – bB · e– bt

q) y'(t) = yo = ωA · cos (ωt + φ)

r) υ'(t) = yo = B · e– δt + e– δt · (– δ)(A + Bt) = (– Aδ + B – B δt) · e– δt

6) a) P1 = (0; 5) b) P1 = (2; 0), P2 = ;34

94` j

c) x1k = 4r + k · π, y1k = 0,5; x2k =

4r π + k · π, y2k = – 0,5 (k ∈ Z )

d) P1 = (2; 0) e) P1 = (– 0,5; 2,5), P2 = (1,5; – 13,5)

f) P1 = (2,2; – 3,3 · 10– 6)

7) P1 = (1,118; – 0,652), P2 = (– 1,118; 0,652)

8) a) P1 = (0,707; 0,429), P2 = (– 0,707; – 0,429)

b) P1 = (0; 5), P2 = ( 3 ; 9,5), P3 = (– 3 ; 9,5)


9) P1 = (– 0,780; 0,193)

10) a) y' = sin lncos

x xx

xxcos x$ $- +` j

b) y' = (cos x – x · sin x) · ex · cos x

c) y' = 2 · e– 1/x · x12 = 2 · e

x

/x

2

1-

11) Uitlny = ln xn = n · ln xvolgt:y1 · y' = n · x

1 ⇒ y' = xn · y =

xn · xn = n · xn – 1

12) a) dxdy

x1

12

=-

b) dxdy

x2 1

1

$=

+ c)

dxdy

x1=

13) a) 2x + 2y · y' = 0 ⇒ y' = – yx

b) 2b2x + 2a2y · y' = 0 ⇒ y' = a yb x

2

2

c) 2 (x2 + y2)(2x + 2y · y') – 2 (x2 + y2) – 2x (2x + 2y · y') = 2y · y' ⇒

y' = ( )

( ) ( )

y x y xy y

x y x x

2 2

2 1 22 2

2 2 2

- + + +

+ - -

d) 2x = 3y2 · y' ⇒ y' = yx

32

2

e) 3y2 · y' – 2y2 – 4xy · y' = – x12 ⇒ y' =

x y x y

x y

3 4

2 12 2 3

2 2

-

-

14) P0 = (4; 5,583); y' = yx

12

-- ; y'(P0) = y' (x = 4) = – 0,436

15) a) yo = – e– 0,8t · (0,8 · cos t + sin t), yp = e– 0,8t · (1,6 · sin t – 0,36 · cos t)

b) y' = 3x2 · ln x + x2–atctanx – x

x1 2+

y'' = 6x · ln x + 5x – x

x x1

12 2 2

2

+-

-

( )x1 +

c) y' = x22 2

2

( )x1 + , y'' = x2 6

2 3

2-

( )x1 +

d) yo = Aω · cos (ωt + φ), yp = Aω2 · sin (ωt + φ)

e) y' = (ln 4) · (sin x + x · cos x) · 4x · sin x

y'' = (ln 4) · 4x · sin x · [ln 4 (sin x + x · cos x)2 + 2 · cos x – x · sin x]


f ) y' = x x x x6 27 16 63 2 3

4 3 2- - + + -

( )x x 2+ -

y'' = ( 4 18 54 16)( 2)x x x x x3 2 3

3 2 3 2- - + + + -

( )x x 2+ - –

– ( )( )x x x x x x2 3 2 6 27 16 63 2 3

2 4 3 2+ - - + + -

( )x x 2+ - =

= ( )x x x x x x2 9 51 63 12 42 163 2 3

6 5 4 3 2+ - - + - -

( )x x 2+ -

16) a) yp = – 4 · e– 2t · [4 · cos (4t + 5) + 3 · sin (4t + 5)], yp (0) = 6,968

b) y'''(x) = – x12 , y'''(1) = – 1

c) y'(x) = ( )x

x1

4 43+

- , y''(x) = ( )x

x1

16 84+

- , y'''(x) = ( )x

x1

24 725+

- ⇒

y'(0) = – 4, y''(0) = 16, y'''(0) = – 72

17) a) y' = t

t1+

, y' (t0 = 1) = 0,707 b) y'=–tant

c) y' = 2t · t1 2- d) y' = 1,5t, y' (t0 = 3) = 4,5

18) y'(t) = – ab ·cott, y' t

41r=` j = –

ab

Horizontaleraaklijnen: t1 = 2r , t2 =

23r ⇒ P1 = (0; b), P2 = (0; – b)

Verticaleraaklijnen: t3 = 0, t4 = π ⇒ P3 = (a; 0), P4 = (– a; 0)

19) y'(t) = t

t t44 14 2+ -

Horizontaleraaklijnen:

t1/2 = " 0,486 ⇒ P1/2 = (– 0,618; ± 0,3)

Verticaleraaklijnen:

t3 = 0 ⇒ P3 = (– 1; 0)


Figuur A-47

1

1

2

x

y

–1

–1

– 2

P1

P2

P3


20) a) y' = cos sin

sin cos

tan

tan

1

1

{ {

{ {

{

{-

+=

-

+

b) y' = sin cos cos sin

sin sin cos22 2

2

$

$ $

{ { { {

{ { {

+ -

+

c) y' = cos sin

sin cos

tan

tan

1$

$

${ { {

{ { {

{ {

{ {+

-=

+

-

(natermvoortermdelendoorcosφ; sin φ / cos φ=tanφ)

21) y' = ( ) ( )

( ) ( )

cos sin sin cos

sin sin cos cos

2 2

2 2

$ $

$ $

{ { { {

{ { { {+

-

Horizontale raaklijnen: φ1 = π/6, φ2 = 65 π, φ3 =

67 π, φ4 =

611 π

Bijbehorende raakpunten: P1 = (0,612, 0,354), P2 = (– 0,612, 0,354),

P3 = (– 0,612, –0,354), P4 = (0,612, – 0,354)

Verticaleraaklijnen: φ5 = 0, φ6 = π ⇒ P5 = (1; 0), P6 = (– 1; 0)


Figuur A-48

22) y' = cos sin

sin cos

tan

tan

1

1

{ {

{ {

{

{-

+=

-

+

(natermvoortermdelendoorcosφ; sin φ / cos φ=tanφ)

Horizontale raaklijnen: φ1 = 43 π, φ2 =

47 π ⇒

P1 = (– 7,460, 7,460), P2 = (172,641, – 172,641)

Verticale raaklijnen: φ3 = 4r , φ4 =

45 π ⇒

P3 = (1,551, 1,551), P4 = (– 35,889, – 35,889)

23) υ(t) = 3,6 ms– 2 · t + 4 ms– 1, a(t) = 3,6 ms– 2

s(10 s) = 230 m, υ(10 s) = 40 ms– 1, a(10 s) = 3,6 ms– 2

0,5

x

y

–1 1

– 0,5

P1P2

P3 P4

P5P6

r = cos ( 2 )f


24) υ(t) = yo (t) = 2 · e– 0,1t · [4 · cos (4t) – 0,1 · sin (4t)] a(t) = yp (t) = yo (t) = – 2 · e– 0,1t · [15,99 · sin (4t) + 0,8 · cos (4t)] y(3) = – 0,80, υ(3) = 5,08, a(3) = 11,71

25) υ(t) = – 20 cm s– 1 · sin (2 s– 1 · t – π/3), a(t) = – 40 cm s– 2 · cos (2 s– 1 · t – π/3) υ(3,2 s) = 16,04 cm s– 1, a(3,2 s) = – 23,90 cm s– 2

Paragraaf 3

1) a) Raaklijn: y = 1,3406 · t + 0,616; Normaal: y = – 0,746 · t + 4,789 b) Raaklijn: y = – 0,3145x + 4,193; Normaal: y = 3,1797x c) Raaklijn: y = 5,333x – 16,939; Normaal: y = – 0,1875x + 5,144

2) Raaklijnint0 = 0; y = TA t, y (t1 = T) = A(ziefiguurA-49).

Figuur A-49

3) Defunctiewordttelkensbenaderddoorderaaklijn aan de kromme:

a) y = 2 · x

b) y = 4,993 x + 4,800

c) Dekrommer = 2 · cos φ is de cirkel (x – 1)2 + y2=1(rekenditna:ergeldtcosφ = x/r en r2 = x2 + y2).Bijdehoekφ0 = π/4behoorthetpuntP0=(1;1).Deraaklijnindatpuntishorizontaalenheeftdusdevergelijkingy=1(ziefiguurA-50).

Figuur A-50

T

A

t

y

Asymptote y = A

y = A ( 1 – e )– t / T

Tangente y = · tAT

asymptoot y = A

raaklijn

–1

1 2

1

x

y

Tangente in P0

M

P = (1;1)0

r = 2 · cos f

p /4

raaklijn


4) RaaklijninP0 = (5; ln 5): y = 0,2x + 0,6094

y (x1 = 4,8) = 1,5694 (exact: 1,5686); y (x2 = 5,3) = 1,6694 (exact: 1,6677)

5) y' = 2x2 – 8x + 9, y'' = 4x – 8

Monotoniegedrag:

y' = 2 (x2 – 4x) + 9 = 2 (x – 2)2 + 9 – 8 = 2 (x – 2)2 + 1

totkwadraataanvullen

y' – 1 = 2 (x – 2)2 ⇒ De afgeleide is een naar bovenopenparaboolmetalstophetpuntS=(2;1)(eerstekwadrant)diedusboven de x-asligt:y'>0voorelkex ∈ R ⇒ strikt monotoon stijgendefunctie

Kromming:

Uity'' = 4x–8volgt:

y''>0voorx > 2 ⇒ kromming naar links

y''<0voorx < 2 ⇒ kromming naar rechts

6) y = x21

21+ (raakpunt:P0=(1;1))(ziefiguurA-51).

Figuur A-51

7) κ(x) = e/x

x

2 3 2(1 )e+

Omdatex > 0 en e2x>0isookκ(x)>0;decurveisdaarominelkpuntnaarlinksgekromd.

8) Bovenstehalveellips:y = ab

a x2 2$ - = /1 2( )

ab

a x2 2$ -

y' = /1 2( )

abx a x2 2- - , y'' = – ab(a2 – x2)

– 3/2

κ(x) = a b/4 2 2 2 2 3 2

4-

( )a a x b x- +

Snijpuntmetdepositievey-as:P = (0; b)

κ(0) = – ab

2 < 0 ⇒krommingnaarrechts;ϱ(0) = ba2

*

1 2 3

1

2

x

y

–1

P0

A

Tangente in P0

y = x

raaklijn


9 y' = – x · e– 0,5x2, y'' = (x2 – 1) · e– 0,5x2

κ(x) = ]

( ) ex 1/

,

x

x

2 3 2

2 0 5

2

2

$--

-

[ ex $1 + ⇒ κ(– 1) = κ(1) = 0

κ = 0 is een noodzakelijkevoorwaardevooreenbuigpunt!

10) a) ϱ = ( )

sin

cos

x

x1 /2 3 2

-

+ -

⇒ ϱ(π/2) = 1

KrommingscirkelinP = (π/2;1)(ziefiguurA-52)

MiddelpuntM = (π/2;0),straalϱ = 1

Figuur A-52

b) ϱ = ( )x2

1 4 /2 3 2+ ⇒ ϱ(0) = 0,5

KrommingscirkelindetopS=(0;0)(ziefiguurA-53)

MiddelpuntM=(0;0,5);straalϱ = 0,5

Figuur A-53

c) y' = 2 (1 – e– x) · e– x = 2 (e– x – e– 2x); y'' = 2 (– e– x + 2· e– 2x)

ϱ = 2

( )

[ ( ) ]

e e

e e

2 2

1 4/

x x

x x

2

2 3 2

$- +

+ -- -

- -

⇒ ϱ(0) = 0,5

KrommingscirkelinP=(0;0,5)(ziefiguurA-54):

MiddelpuntM=(0;0,5);straalϱ = 0,5

–1

1

x

y

y = sin x

M

P

p2

p

0,5 1

0,5

1

1,5

x

y

–1 – 0,5

M

S

y = x 2


Figuur A-54

11) V'(r) = – D ra

ra2 2

2 3

2

- +c m , V''(r) = – D ra

ra4 6

3 4

2

-c m

ErgeldtV'(r0 = a) = 0 en V''(r0 = a) = aD22 > 0

12) a) minimum: (–0,5,–5);maximum:(1,5,27);

b) maximum: (0,16);minima:(± 2, 0);

c) maximum: (0,2);

d) maximum: (1,0,368);

e) maximavoor xk = 4r + k · π , yk = 0,5 (k ∈ Z )

minimavoor xk = 43 π + k · π , yk = – 0,5 (k ∈ Z )

f) minimum: (0,5;–0,08)

13) y'(3) = y''(3) = y'''(3) = y(4)(3) = 0 maar y(5)(3) = 240 ≠0.Deordevandelaatsteafgeleideisoneven;daaromheeftdefunctieinhetpuntx1 = 3 een zadelpunt.

14) Voorelkvandeviergoniometrischefunctiesgeldt:indenulpunten xk is y''(xk) = 0 en y'''(xk) ≠ 0 (rekenditna).Derichtingscoëfficiëntenvanderaaklijnenindebuigpuntenzijn:

sinusfunctie:afwisselend1en–1

cosinusfunctie:afwisselend–1en1

tangensfunctie: 1

cotangensfunctie: – 1

15) x = l/2(hetbuigendmomentismaximaalinhetmiddenvandebalk).

0,5 1

0,5

1

1,5

x

y

–1 – 0,5

M

P

y = ( 1 – e )– x 2


16) Topvorm:y – y0 = a (x – x0)2

y' = 2 a (x – x0), y'' = 2 a

κ(x) = [ ( ) ] [ ( ) ]y

y

a x xa

1 1 42

/ /2 3 2 20

2 3 2+=

+ -l

m

| κ(x) | = [ ( ) ]

2

a x x

a

1 4 /20

2 3 2+ - →maximum

Dekrommingis(inabsolutewaarde)hetgrootstewanneerdenoemerzijnkleinstewaardeheeft:

1 + 4a2 (x – x0)2 →minimum

= 0

Ditishetgevalvoorx = x0,dusindetopvandeparabool.

17) a) maximumvoorυ = b; b) Kmax = K(b) = ba2

2

18) dRdP

R R1= = 0 en

dRd P

R R2

2

1= < 0 ; Pmax = P(Ri) =

RU4 i

02

19) Randvoorwaarde(stellingvanPythagoras):

a2 + b2 = 4R2 ⇒ a = R b4 2 2-

Ia(b) = R b b121

4 2 6 8- (metb > 0)

Ia is maximaalvoorb = R 3 , a = R ⇒ Iamax = R41

3 4

20) De omtrek U = 2x + 2y(endushetmateriaalverbruik) is minimaalalsderechthoekszijdenx en yevengrootzijn:x = y=2m.

21) V = πr2h (r > 0; h > 0)

Randvoorwaarde: 4r2 + h2 = 16 m2

Volume: V(h) = 4r (16 m2 · h – h3)

Maximumvoorh = 43

3 m, r = 32

6 m ⇒ Vmax = 932

3 π m3

22) InfiguurA-55zienwedatdepuntmassa’soptijdstiptopdevolgendeplaatsenzijn:

A: x(t) = 15 m – 0,5 ms– 1 · t

B: y(t) = 12 m – 0,6 ms– 1 · t

Deonderlingeafstandisdan:

d(t) = (15 0,5 ) (12 0,6 )m ms m msx y t t2 2 1 2 1 2$ $+ = - + -- -

Dezeafstandisnat1 = 24,1 s minimaal: dmin = d (24,1 s) = 3,84 m

*


Figuur A-55

23) A = 2π rh + 2π r2 (r > 0; h > 0)

Randvoorwaarde: V = π r2h = 1000 cm3

Oppervlakte: A(r) = 2000 cmr

3

+ 2π r2

Minimaleoppervlaktevoorr = 5,42 cm, h = 10,84 cm ⇒ Amin = 553,73 cm2

24) a) Domein: D = R \{3}

Pool: x1 = 3; verticale asymptoot: x = 3

Extremen: lokaal maximum in (– 0,162, – 0,325)

relatief minimum in (6,162, 12,325)

Asymptootvoorx → ± ∞: y = x + 3

Bereik: B = (– ∞, – 0,325] ∪ [12,325, ∞)


Figuur A-56

x / m15

12

y / m

y (t)d (t)

x (t)

Startpunkt von B

Startpunktvon A

B

A

startpunt van B

startpunt van A

3 5 10

10

20

2

x

y

–2

–10

–5

Asymptotey = x + 3

x + 1x – 3

2y =

asymptoot


b) Domein: D = R \{– 1}

Nulpunten: x1 = 1 (dubbelnulpunt,duseenraakpunt en een extreem)

Pool: x2=–1(poolmettekenwisseling);verticale asymptoot: x = – 1

Extremen: lokaalmaximum in (– 3, – 8);

lokaalminimum in (1, 0)

Asymptootvoorx → ± ∞: y = x – 3

Bereik: B = (– ∞, –8] ∪ [0, ∞)


Figuur A-57

c) Domein: – 3 ≤ x ≤ 3

Nulpunt: x1 = – 2,683

Extreem:lokaalmaximum

in (1,342; 3,354)

Bereik: – 1,5 ≤ y ≤ 3,354


Figuur A-58

1 3 5

1

5

x

y

–1

– 5

– 3

– 8

–10

– 5

Asymptotey = x – 3

(x – 1 )x + 1

2y =

asymptoot

1 2 3

1

2

3

x

y

–1– 2

–1

– 3

Randpunkt

Randpunkt

y = x + 9 – x 212

randpunt

randpunt


d) Domein: D = (0, ∞)

Nulpunt: x1 = 1

Pool: x2 = 0;

verticale asymptoot: x = 0

Extreem:lokaalmaximum

in (2,718, 0,368)

Buigpunt: (4,482, 0,335)

Asymptootvoorx → ∞: y = 0 (x-as)

Bereik: B = (– ∞, 0,368]

Grafiek:ziefiguurA-59 Figuur A-59

e) Domein: – ∞ < x < ∞

Bereik: 0 ≤ y ≤ 1

Periode: p = π

Nulpunten: xk = k · π (k ∈ Z )

Extremen:lokalemaxima in xk = 2r + k · π, yk = 1 (k ∈ Z )

Delokaleminimavallensamenmetdenulpuntenvandefunctie.

Buigpunten: xk = 4r +k· 2

r , yk = 0,5 (k ∈ Z )


Figuur A-60

1 5 10

0,5

x

y

– 0,5

ln xx

y =

1 5

1

x

y

y = sin x2


f) Uithetwijzerdiagramvolgt:y = sin x + cos x = sin x24

$r+` j:ditiseensinuskromme

dieovereenafstand4r naar linksverschovenis;deamplitudeisA = 2 en de periode

p = 2π(ziefiguurA-61).

Figuur A-61

g) Domein: D = (– ∞, ∞)

Bereik: B = [0, ∞)

Nulpunt: x1 = 0

Extreem: lokaal minimum in (0, 0)

Buigpunt: (0,347, 0,25)

Gedrag van de functie als x → ± ∞:

Voor x → – ∞gaaty → ∞

Voor x → + ∞gaaty →1,dusy = 1 is een asymptoot


Figuur A-62

x

y

–

–

2

2

p4

p p p p34

74

114

154

y = sin x + cos x

1 2

1

x

y

Asymptote y = 1

y = (1 – e )– 2 x 2

asymptoot y = 1


25) a) Domein: t ≥ 0

Nulpunt: t1 = 0

Extreem: lokaal maximum in (0,549, 1,540)

Buigpunt: (1,099, 1,185)

Bereik: 0 ≤ y ≤ 1,540

Asymptootvoort → ∞: y = 0 (t-as)


Figuur A-63

b) Domein: t ≥ 0

Nulpunt: t1 = 0,333

Extreem:lokaalminimum in (0,833, – 1,417)

Buigpunt: (1,333, –1,043)

Bereik: – 1,417 ≤ y ≤ 5

Asymptootvoort → ∞: y = 0 (t-as)


Figuur A-64

1 2 3 4

1

t

y

y = 4(e – e )– t –3 t

1 3

1

2

3

4

5

t

y

–1

y = 5(1 – 3 t) · e– 2 t

A.5 Integraalrekening a49

26) Uitdegegeveneigenschappeny(0) = 0, y(1) = – 2, y'(1) = 2 en y''(1)=0volgenvierverge-lijkingenvoordeonbekendecoëfficiënten.Oplossing:y = – 4x3 + 12x2 – 10x

27) a) x1/2 = ± 1,0217 b) x1 = 5,2468 c) u1 = 1,4757 d) x1 = 0,3517

28) Inhetinterval–π/2 < x < π/2ligtprecieséénoplossing:x1=1,2744.

A.5 IntegraalrekeningParagrafen 1...7

1) a) F(x) = 32 x6 –

23 x4 +

38 x3 –

23 x2 + 5x + C

b) F(t) = – 3 · cos t – 4 · sin t + C c) F(t) = 2 · et – 5 · ln | t | + t + C

d) F(x) = 21 · ln | x | –

21 x2 –

32 x3 + 3x + C

e) F(z) = 35 ·arctanz –

201 z5 + C f ) F(x) = – 2 · arcsin x–tanx + C

g) F(u) = – 3 · cos u – 6 · ln | u | + 37 u3 + C h) F(x) = – 3 · ex – sin x + C

2) a) F(x) = ex + 31 x3 – x2 – cos x + C b) F(x) =

ln 1010 x

+cotx + C

c) F(x) = 34 x3 – 6x2 + 9x + C d) F(x) = 2 · sinh x + C

e) F(t) = – 3 ·arctant – ln | t | + C

f ) F(x) = 10 ·tanhx – ln a3 · ax + b · cos x + C g) F(u) = 5 · arcosh u + C

h) F(x) = ln 35 · 3x – x + C i) F(x) =

7130 · x71/30 + C

j) F(x) = 74 x7/4 + C k)F(x) =

21 ·tanx + C

3) a) – 70,667 b) 1 c) 2a d) – 6,114

e) 6,095 f ) 0,909 g) – 13,167 h) 9,210

i) π/2 j) 0,107 k) –10,4 l) –62,133

4) y = – cos x + 3 · ex – 91 x3 + 4 ·arctanx


5) Bn = x x kna

na

na

kk

k

n

k

n

k

n3

1

3

13

3

4

43

1

$ $ $ $D = = == = =

/ / /

= ( )

na n n a

n41

41

14

4 2 2 4 2

$+

= +` j

lim lim limx dx Ba

na

na

41

14

11

4

a

nn

n n

3

0

4 2 4 2 4

$= = + = + =" " "3 3 3

` `j j#

1

6) a) dxd (x · e– x + C) = 1 · e– x + e– x · (– 1) · x + 0 = e– x (1 – x)

b) dxd arccosx

xC4 2

22 $- - +`` j j =

= x

x

xx2 4

12 2

14

1 20

2

2

2$ $-

- --

-+> H =

= 4

x

x

xx

x x

x

x x x x

xx

x

4 4

4

4 4

4

4

42

22 2 2 2

2 2

$-

--

=-

--

=-

-=

-

c) dxd (esin x + C) = esin x · cos x + 0 = cos x · esin x

d) dxd ( )sin x C

61

32$ +` j = 61 · 2 · sin (3x) · cos (3x) · 3 + 0 = sin (3x) · cos (3x)

7) WetonenaandatF'1(x) = f(x) is:

F'1(x) = dxd (x2 · ex +2) = 2x · ex + ex · x2 + 0 = (x2 + 2x) · ex = f(x)

Alle primitieve functies:

F(x) = F1(x) + C1 = x2 · ex + 2 + C1 = x2 · ex + C (C = C1 + 2)

8) A = ( , )x dx0 25 42

4

4

- +-

# = ( , )x dx2 0 25 42

0

4

$ - +# = 21,33

9) A = cos x dx/

/

2

2

r

r

-

# = cos x dx2

/

0

2

$

r

# = 2

10) A = ( )x x dx3 12 7,

,

2

0 709

3 291

- + -# = 8,61

11) n(t) = n0 · e– λt

Z [ \] ] ] ] ]


Paragraaf 8

1) Desubstitutiesstaantelkenstussenhaakjes:

a) F(x) = x32

1 3$ + + C (u = 1 + x3)

b) F(x) = ( )x152

5 12 3$ + + C (u = 5x + 12)

c) F(t) = ( )t43

1 43$- - + C (u = 1 – t)

d) 0 (u = cos x)

e) F(z) = 21 ·(arctanz)2 + C (u=arctanz)

f) F(x) = ln | x2 + 6x – 12 | + C (u = x2 + 6x – 12)

g) F(x) = ln | ln x | + C (u = ln x)

h) F(x) = – 21 · cos (x2) + C (u = x2)

i) F(x) = 21 · ln | 2x3 – 4x + 2 | + C (u = 2x3 – 4x + 2)

j) 0(u = 1 + t2)

k) 0,471(u = 3t – π/4)

l) 2,055 (u = 5 – x)

m) F(x) = 31 · ex3 – 2 + C (u = x3 – 2)

n) F(z) = 21 ·tan2 (z + 5) + C (u=tan(z + 5))

o) F(x) = – arcsinx

x x42

2-- ` j + C (x = 2 · sin u)

2) 0,117

3) A = x dx6 2 2 60

3

- =# = 4,899

4) F(x) = – x x32 + x + 2 x – 2 · ln (1 + x ) + C

5) Deontbindingvandeintegrandstaattelkenstussenhaakjes:

a) F(x) = lnx x21

212 -` j + C (u = ln x, υ' = x)

b) F(x) = x · sin x + cos x + C (u = x, υ' = cos x)


c) ln t dt1

5

# = lnt t t1

5

$ -; E = 4,047 (u = ln t, υ' = 1)

d) F(x) = – 31 x · cos (3x) +

91 · sin (3x) + C (u = x, υ' = sin (3x))

e) ex dt

,

x

0

0 8

$# = ( 1)e x

,

x

0

0 8

$ -; E = 0,555 (u = x, υ' = ex)

f) F(x) = x ·arctanx – 21 · ln (1 + x2) + C (u=arctanx, υ' = 1)

g) F(t) = 21 t –

41~

· sin (2ωt) + C (u = sin (ωt), υ' = sin (ωt))

6) a) F(x) = 21 · ex · (sin x + cos x) + C

b) F(x) = – e–x · (x2 + 2x + 2) + C

7) a) F(x) = a21 (ln | x – a | – ln | x + a |) + C

b) F(x) = 32 · ln | x – 1 | + 2 · ln | x + 1 | –

332 · ln | x + 2 | + 4x + C

c) F(z) = 31 · ln

zz

z21

22

+-

-+

+ C

d) F(x) = 817 · ln | x – 9 | +

815 · ln | x + 7 | + C

e) F(x) = 91 · ln

( )xx

x3 3 37

--

- + C

8) A = ln x dx1

5

# = 4,047

9) A = xx

dx542

2

2

--

-

# =

= 5

xx

dx521

2

2

+ +-

-

c m# = 2,207

(ziefiguurA-65)

Figuur A-65

10) a) F(x) = 32 (ln x)3/2 + C (substitutie:u = ln x)

b) F(x) = ln | sin x | + C (substitutie:u = sin x)

1 2

1

x

y

–1– 2

x – 4x – 5

2y =


c) F(x) = x · sinh x – cosh x + C (partiëleintegratie:u = x, υ' = cosh x)

d) F(x) = – ecos x + C (substitutie:u = cos x)

e) F(x) = x + 41 · ln | x – 1 | –

45 · ln | x + 1 | –

( )x2 11+

+ C (breuksplitsing)

f ) xx

dx14

0

2

+-# =

1xdx1

5

0

2

-+

c m# = – 3,493 (polynoomdeling)

g) F(x) = 41 (ln x)4 + C (substitutie:u = ln x)

h) F(x) = 2 · ln | 2x3 – 1 | + C (substitutie:u = 2x3 – 1)

i) F(x) = 21 (x2 + 1) ·arctanx –

21 x + C (partiëleintegratie:u=arctanx, υ' = x)

j) F(x) = 21 (x – 1) · x x22 - –

21 · arcosh (x – 1) + C (substitutie:x – 1 = cosh u)

k)F(x) = 4 · ln | x – 2 | – 3 · ln | x – 3 | – x 39-

+ C (breuksplitsing)

11) A = ab

a x dx4

a

2 2

0

$ $ -# = π ab

12) a) π b) 0

13) a) 0,5228 b) 0,5227

14) a) 29,9558 b) 0,1904 c) 4,0621

Paragraaf 9

1) a) 1 b) 1 c) e2

2) ( ) e eI x dxa a a a

2 2 2ax a2

0

2

2 3 3$mm m= = - - - +

m

m- - c m# ⇒ ( )lim Ia23m =

"3m

3) A = e edx dxax bx

0

0

+3

3

-

-# # = a b1 1+ (ziefiguurA-66)

Figuur A-66

1

x

y

y = e a x

y = e – b x


4) a) Deintegrandisbijdeondergrensx=–1nietgedefinieerd.Dursisvoorλ > 0:

I(λ) = xdx

1

1

1

0

+m- +

# = 2 x1 10

+ m- +6 @ = 2 (1 – m )

xdx

1

1

1

0

+-

# = lim"3m

I(λ) = lim"3m

2 (1 – m ) = 2

Deoneigenlijkeintegraalconvergeertdus.

b) Deintegrandheeftinhetmiddenx=0vanhetintervalenepool.Dusisvoorλ > 0 en μ > 0:

I1(λ) = x

dx12

1

0 m

-

-

# = x1

1-

m

-

-

8 B = 1m

– 1

I2(μ) = x

dx12

0

1

n+

# = x1 1

-n

8 B = – 1 + 1n

Delimieten lim0"m I1(λ) en lim

0"n I2(μ)bestaanniet,endeoneigenlijkeintegraalisdaaromdi-

vergent.

c) Deintegrandisbijdeondersteintegratiegrensx=0nietgedefinieerd.Dusisvoorλ > 0:

I(λ) = ee

dx1x

x

0

10

-m+

# = ( )ln e 1x

10

-m

; E = ln (e10 – 1) – (eλ – 1)

DelimietvanI(λ)voorλ →0bestaatnietomdatnaarnulgaatendelogaritmedaarvoornietgedefinieerdis.Deoneigenlijkeintergaalisdaaromdivergent.

Paragraaf 10

1) a) s = – t2 + 30t, υ = – 2t + 30

b) s = – 21 t2 + 12r · cos (π t) + 30t – 12r

υ = – t – 1r

· sin (π t) + 30

(s in m, υ in m/s, t in s)

2) s = cos (ωt), υ = – ω · sin (ωt)

3) y(x) = – EIF

24 (2lx3 – x4 – l 3x) (0 ≤ x ≤ l)

4) s(t) = gE2y · ln cosh

gt

Ey`` jj (t ≥ 0)

5) A = 2 · ( )x x dx4 163

0

2

-# + 2 · ( )x x dx4 163

2

4

-# = 320


6) A = [ x2

1

2

--

# + 2x + 2 – (x2 – 2)] dx = ( x2 2

1

2

--

# + 2x + 4) dx = 9

7) A = [ x30

5

# – 1 – (x2 – 2x – 1) dx = ( x2

0

5

-# + 5x) dx = 125/6 = 20,83

8) A = 2 · [ x

,

2

0

1 1886

-# + 3 – (2 · cosh x – 2)] dx =

= 2 · ( x

,

2

0

1 1886

-# + 5 – 2 · cosh x) dx = 4,811

9) A = ( x x4

,

2

0

1 3788

- +# – x2) dx = 1,0457

10) Vy = 2 ( )ba

b y dy a b34

b

2

22 2

0

2$ $r r- =#

11) Vx = π · (x0

2

# – 2)4 · 3 x dy = 3π · (x x0

2

# – 2)4 dx = 6,4π = 20,106

12) Vy = π · y4

0

5

# dy = 625π = 1963,5

13) a) Vx = π · (x2

3

5

# – 9) dx = 344 π = 46,08

b) Vy = π · (y2

0

4

# + 9) dy = 3

172 π = 180,1

14) s = 2 · coshx5

,

0

7 15

` j# dx = 19,70

15) s = ,x

x 12 6e 2 2

1

+# dx = 12,73

16) s = , x1 2 25

,

1

7 45

+# dx = 20,45

17) s = cos x1 2

0

+

r

# dx ≈ 3,82

18) My = 4π · ,y y 0 252 2

0

2

$ +# dx = 53,23

19) Mx = 21 π ·

lnx

x x4 13 2

1

$ +# dx ≈ 4,187


20) Mx = 2π · ra

a h+

# dx = 2π rh

21) W = c · s ds

0,173 m

0

# = 12 645 Nm

22) W = p VV

dV1kk

V

V

0 0

0

1

$ # = ( )k

p VV V

1

kk k0 0

11

01

--- -

23) W = Vp V

dVV

V

1 1

1

2

# = lnp VVV

1 11

2$ c m ⇒ W = – 4420,8 Nm

24) W = π ϱ g · y0

5

m

m

5# dy ⇒ W = 8,026 · 107 Nm

25) y lineair = sin x1

0

$r

r

# dx = 2r

= 0,637

y kwadratisch = 1sin x dx

0

$r

r

# = 21

2 = 0,707

26) i = ( )sini t2

/

0

0

$ $r~

~

r ~

# dt = i0r

27) P = T

ui1

T

0

$ # dt = ( ) ( )sin cosu i

t t2

/

0 0

0

2

$ $r

~~ ~

r ~

# dt =0(zgn.wattlozestroom)

28) xs = 0, ys=–2(uitsymmetrie-overwegingen)

29) xs=0(uitsymmetrie-overwegingen)

ys = [A

a21

a

a

2$-

# – x2 – 4a2] dx = – 0,598 a (metA = 4a2 + 21 πa2)

30) Wegenssymmetriegeldtxs = ys:

xs = ys = (A

R21

R

2

0

$ # – x2) dx = 34r

R = 0,424 R (metA = 41 πR2)

31) A = [(x2

3

-

# + 2) – (x2 – 4)] dx = 125/6

xs = [(A

x1

2

3

$-

# + 2) – (x2 – 4)] dx = 0,5

ys = [(A

x21

2

3

$-

# + 2)2 – (x2 – 4)2] dx = 0

A.6 Oneindige reeksen, machtreeksen en Taylorreeksen a57

32) Vx = π, xs = 2r – 1 = 0,571, ys = zs = 0

33) Vy = 32 πa2b, ys =

83 b, xs = zs = 0

34) Vx = π · ( )ln x

e

2

1

# dx = π (e – 2) = 2,257, xs = 2,224, ys = zs = 0

35) Jy = πϱ · 2( )

ba

b y

b

4

42 2

0

-# dx = 158 πϱ a4b =

52 ma2

(m:massavandeomwentelingsellipsoïde;m = ϱV = 34 πϱ a2b).

36) VolgensfiguurA-67geldt:

Jx = 21 πϱ · H

Rx

H4

0

` j# dx =

= 101 πϱ R4H =

103 mR2

(m:massavandekegel;m = ϱV = 31 πϱ R2H) Figuur A-67

37) Volgensvoorbeeld1inparagraaf5.10.9.1isJs = 21 mR2.Volgensdestelling van Steinergeldt

dan(ziefiguurA-68):

JM = Js + mR2 = 21 mR2 + mR2 =

23 mR2

M: beschrijvende

S: asdoorhetzwaartepunt

(symmetrie-as)

R:straal

Figuur A-68

A.6 Oneindige reeksen, machtreeksen en TaylorreeksenParagraaf 1

1) a) q = – 81 , s =

98 b) q = 0,3, s =

710 c) q = –

32 , s = 4 · 5

3 = 2,4

H

R

x

y

y = xRH

R

SM


2) a) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

n 110+

= 0 < 1 ⇒reeksconvergeert

b) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( )n

n4 2 32 1

++ = lim

n"3

( / )/

nn

4 2 32 1

++ =

41 < 1 ⇒reeksconvergeert

c) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( )n

n2 2 12 1

-+ =


d) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

lnn 1

2+


3) Aanpak:

( )( )n n1 2

1+ +

= nA1+

+ nB2+

= ( )( )

( ) ( )n n

A n B n1 2

2 1+ +

+ + + ⇒ A = 1, B = – 1

Zodoende:( )( )n n1 2

1

n 1+ +

3

=

/ = 1

1n n 2

1

n 1+

-+

3

=

c m/

Partiële sommen:

s1 = 21

31- , s2 =

21

31-` j +

31

41-` j =

21

41- ,

s3 = 21

31-` j +

31

41-` j +

41

51-` j =

21

51- , ..., sn =

n21

21-+

(de‘binnenste’termenvallentweeaantweetegenelkaarweg).

Limiet (somwaarde): limn"3

sn = limn"3

21

21

n-

+c m =

21

Deoneindigereeksconvergeertenheeftdesomwaardes=1/2.

4) lnn1

1n 1

+3

=

` j/ = lnn

n1

n 1

+3

=

` j/ = [ ( ) ]ln lnn n1n 1

+ -3

=

/

Partiële sommen:

s1 = ln 2 – ln 1 = ln 2, s2 = (ln 2 – ln 1) + (ln 3 – ln 2) = ln 3,

0

s3=(ln2–ln1)+(ln3–ln2)+(ln4–ln3)=ln4, ..., sn = ln (n + 1)

Limietvanderijpartiëlesommen:

limn"3

sn = limn"3

ln (n + 1) = ∞

Delimietbestaatnietendereeksisdus(zeker)divergent.

$


5) Webewijzendatdereeksennietvoldoenaandevoorconvergentienoodzakelijkevoorwaardelimn"3

an =0enzodoendedivergeren.

a) an = n

n 1 n+ -

` j = n

11 n

+-

` j = n

11

1n

+` j

limn"3

an = limn"3

n

11

1n

+` j =

limn

11

1

n

n

+"3

` j =

e1 > 0

(delimietindenoemerisperdefinitiehetgetalvanEuler,e).

b) limn"3

an = limn"3

n

321+` j = ln 3 > 0

6) a) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

10 110 1

n

n

1 ++

+ = limn"3

10 101 10

n

n

++

-

-


b) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( )

n

n

5

1 5n

n

1 $

$++ = lim

n"3

nn5

1+ = 51 < 1 ⇒reeksconvergeert

c) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

22

n

n

2 2

2

+ = limn"3

41 =


d) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( )

n

n

21

121

n

n

1

+

-

`

`

j

j = lim

n"3

nn2

1+ = limn"3

/n2

1 1+ = 21 < 1 ⇒

reeksconvergeert

e) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( )n

n1 2

2n

n 1

$$

+

+

= limn"3

n

n1

2+

= limn"3

/n1 1

2+

= 2 > 1 ⇒

reeksdivergeert

f) limn"3

aa

n

n 1+ = limn"3

( ) !

( ) !

n

n

2 2 3

3 2n

n

2

2 2 $

+

+

= limn"3

(2 )!(2 )(2 2) 3

( )!

n n n

n

1

3 3 2n

n

2

2 2

$

$ $

+ + =

limn"3

( ) ( )n n2 1 2 2

9+ +

= = 0 < 1 ⇒reeksconvergeert

7) a) limn"3

ann = limn"3

( )n

n1 n

n

+ = lim

n"3

1nnn

+ = 0 < 1

(detellergaatnaar1,denoemernaar∞).Dereeksisdusconvergent.

b) an = n4

5n

n

2$ =

n45 1n

2$` j = ,

n

1 25 n

2

limn"3

ann = limn"3

,

n

1 25 nn

2 = limn"3

,

n

1 25n 2

= ,

lim n

1 25

n

n 2

"3

= ,

lim n n

1 25

n

n n$"3

=

= ,

lim limn n

1 25

n

n

n

n$" "3 3

` `j j = 1,25 > 1

(wegebruiken limn"3

nn =1).Dereeksisdusdivergent.


c) an = n

n 1 n2

+ -

` j = n

11 n2

+-

` j =

n1

11

n2

+` j

limn"3

ann = limn"3

n1

11

nn2

+` j = lim

n"3

11n

1n

n

2

+` j =

lim

n1

11

n

n

+"3

` j =

e1 < 1

(delimietindenoemerishetgetalvanEulere).Dereeksisdusconvergent.

8) a) | an | = | 0,5n · cos (2n) | = 0,5n · | cos (2n) | ≤ 0,5n

≤ 1

Determenvandereekszijn(inabsolutezin)nietgroterdandecorresponderendetermenvandeconvergente meetkundige reeksmetq = 0,5 (majorante).Dereeksconvergeertzo-doende.

b) an = ( )n 3

22+

< n2

2 = 2 · n12 (voorn ≥ 1)

Deconvergentereeksn2

n2

1

3

=

/ isduseenmajorantevandegegevenreeks,endezelaatsteis

zodoendeconvergent.

9) a) Ergeldtna ≤ nvoorα ≤1.Hieruitvolgt:

an = n– a = n1a ≥

n1

Determenvandereekszijngroterdandecorresponderendetermenvandedivergente har-monische reeks (minorante),endusisdegegevenreeksdivergent.

b) Vanwegen + 1 > ln (n+1)voorallen ≥1geldt:

an = ( )ln n 11+

> n 11+

De termenvande reekszijngroterdandecorresponderende termenvandedivergente harmonische reeks,dieduseenminorantevandegegevenreeksis.Dereeksiszodoendedivergent.

10) a) !11 >

!21 >

!31 >... en lim

n"3 !n1 = 0 ⇒dereeksconvergeert.

b) 1 > 31 >

51 >... en lim

n"3

n2 11-

= 0 ⇒dereeksconvergeert.

c) 11 >

41 >

91 ... en lim

n"3 n12 = 0 ⇒dereeksconvergeert.

d) 51 >

2 51

3$ >

3 51

5$>...en lim

n"3 n 5

1n2 1$- = 0 ⇒dereeksconvergeert.

*


Paragraaf 2

1) a) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3 n

n1+

= limn"3

/n1 1

1+

= 1

Dereeksdivergeert in de tweerandpunten.Convergentiegebied: | x |<1.

b) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3

nn 1+ = lim

n"3 1

n1 +` j = 1

Dereeksdivergeertvoorx=–1(harmonischereeks)enconvergeertvoorx=1(alterne-rendeharmonischereeks).Convergentiegebied: – 1 < x ≤ 1

c) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3 ( )

n

n 12

2+ = limn"3

1n

n 2+` j = limn"3

n

11 2

+` j = 1

Dereeksconvergeert in de tweerandpunten.Convergentiegebied: | x | ≤ 1

d) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3 22

n

n 1+

= limn"3

2 = 2

Dereeksdivergeert in de tweerandpunten.Convergentiegebied: | x | < 2

e) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3 ( )( )

( )n n

n n1 1

2+ +

+ = limn"3

1

n n

n

11

11

12

+ +

+

` `

`

j j

j = 1

Dereeksdivergeert in de tweerandpunten.Convergentiegebied: | x | < 1

f ) r = limn"3

aan

n

1+ = lim

n"3

! ( 2)( 1)( 1)!

n nn n

++ + = lim

n"3

! ( )( ) ! ( )

n nn n n

21 1

++ + =

= limn"3

( )( )n

n n2

1 1+

+ + = limn"3

2

( )

n

nn

1

11

1

+

+ +` j = ∞

Dereeksconvergeert uniform,d.w.z.voorallex ∈ R

2) r=1.Convergentiegebied: | x | < 1

Paragraaf 3

1) a) sinh x = ( ) !nx

2 1

n

n

2 1

0+

3 +

=

/ ; convergentiegebied: | x | < ∞

b) arctanx = ( )nx

12 1

nn

n

2 1

0

$-+

3 +

=

/ ; convergentiegebied: | x | ≤ 1

c) ln (1 + x2) = x2 – x2

4

+ x3

6

–+...= ( )nx

1 nn

n

12

1

$-3

+

=

/ ; convergentiegebied: | x | ≤ 1


2) a) cosh x = 1 + !

x2

2

+ !

x4

4

+...=( ) !nx2

n

n

2

0

3

=

/ ; convergentiebereik: | x | < ∞

b) cosh x = 21 (ex + e– x) =

= 21 1

! ! !... 1

! ! !...x

x x xx

x x x2 3 4 2 3 4

2 3 4 2 3 4

+ + + + + + - + - + -+c cm m; E =

= 21

! !...

x x2 2

22

4

2 4

$ $+ + +c m = 1 + !

x2

2

+ !

x4

4

+...=( ) !nx2

n

n

2

0

3

=

/

3) f(x) = x1

13-

= (1 – x3)– 1/2 = 1 + 21 x3 +

83 x6 +

165 x9+...

benaderingsfunctiefout

f(0,2) ≈ 1 + 21 (0,2)3 +

83 (0,2)6=1,004024(totop6decimalennauwkeurig)

Fout: ≈ 165 (0,2)9 = 0,16 · 10– 6

4) a) f(x) = e– 2x · cos x = 1 – 2x + 23 x2 –

31 x3 –

247 x4+...

Convergentiegebied: | x | < ∞

b) f(x) = sin2 x = x2 – x3

4

+ 452 x6–+...


c) Defactor(1+x2)– 1ontwikkelenweineenbinomiaalreeks(substitutie:x → x2, n = – 1):

f(x) = sinhxx

1 2+ = (1 + x2)– 1 · sinh x = x –

65 x3 +

120101 x5–+...

Convergentiegebied: | x | < 1

5) a) f(x) = cos x = ...x x x21

21

33 4

13 12

13

3

1 2 3r r r- - - - + - +` ` `j j j


b) f(x) = x = 1 + 21 (x – 1)1 –

81 (x – 1)2 +

161 (x – 1)3+...

Convergentiegebied: 0 ≤ x ≤ 2

c) f(x) = x12 –

x2 = – 1 + 1 (x – 1)2 – 2 (x – 1)3 + 3 (x – 1)4–+...

Convergentiegebied: 0 < x < 2

Z [ \] ] ] ] ] ] )


6) f(x) = x · e– x = x !

...xx

12

2

- + -+c m = x – x2 + !

x2

3

–+...

Benaderingsfuncties(figuurA-69)

f1(x) = x

f2(x) = x – x2

f3(x) = x – x2 + 21 x3

Figuur A-69

7) f(x) = x1 - = (1 – x)1/2wordtineenbinomiaalreeksontwikkeld(n = 1/2):

,1 0 05- = (1 – 0,05) 1/2 =

= 1 – 21 (0,05) –

2 41 1$$ (0,05)2 –

2 4 61 1 3$ $$ $ (0,05)3 –

2 4 6 81 1 3 5$ $ $$ $ $ (0,05)4–...=

=1–0,025–0,0003125–0,00000781–0,00000024–...

< 0,5 · 10– 6

Webrekendereeksafnade4e term:(totop6decimalennauwkeurig).

8) 8° D 0,139 626

cos 8° = cos 0,139 626 = 1 – !21 (0,139 626)2 +

!41 (0,139 626)4–+...=

=1–0,009784+0,000016–+...

< 0,5 · 10– 4

Webrekennade2e term af: cos 8° ≈0,9902(totop4decimalennauwkeurig)

9) sin x = 1 – !21 x

2

2r-` j + !41 x

2

4r-` j –+...

Benaderingsparabool: sin x ≈ 1 – !21 x

2

2r-` j = – 21 x2 +

2r x + 1 –

8

2r

Z [ \] ] ] ] ]

*

1

1

x

y

–1

–1

y = f (x)1

y = f (x)1

y = f (x)2

y = f (x)2

y = f (x)3

y = f (x)3

y = x · e – x

y = x · e – x


10) Wekrijgendebi-kwadratischevergelijking:

1 + !

x2

2

+ !

x4

4

= 4 – x2 of x4 + 36 x2 – 72 = 0

metdereëleoplossingen:x1/2 = ±1,378.

11) F(x) = t1

1x

2

0+

# dt = ( ...)t t t1

x

2 4 6

0

- + - +-# dt =

= ...t t t t31

51

71 x

3 5 7

0- + - +-8 B = x –

31 x3 +

51 x5 –

71 x7+–...

Omdat

t1

1x

2

0+

# dt = arctan t

x

0

= G =arctanx–arctan0=arctanx–0=arctanx

isditdeMacLaurinreeksvanf(x)=arctanx.Dezeconvergeertvoor| x | ≤1.

12) a) Wesubstituerenz = x indeMacLaurinreeksvancoszenintegrerendanterm voor term:

( )cos x

,

0

0 5

# dx = ! ! !

...x x x

12 4 6

,2 3

0

0 5

- + - +-c m# dx =

= ! ! !

...xx x x

2 2 3 4 4 6

,2 3 4

0

0 5

$ $ $- + - +-; E =

= 0,5 – !

,!

0,5!

0,5...

2 20 5

3 4 4 6

2 3 4

$ $ $+ - +- =

=0,5–0,0625+0,001736–0,000021+–...

< 0,5 · 10– 4

Webrekendereeksnade3e term af:

( )cos x

,

0

0 5

# dx=0,4392(totop4decimalennauwkeurig).

b) WevermenigvuldigendeMacLaurinreeksenvanex en x 11+

= (x + 1)– 1 = (x + 1)– 1 term voor termendaarnaintegrerenwe:

ex 1

,x

0

0 2

+# dx = e

,

x

0

0 2

# · (x + 1)– 1 dx = ...x x x121

31

249

,

2 3 4

0

0 2

+ - + +-` j# dx =

= ...x x x x61

121

1209 ,

3 4 5

0

0 2+ - + +8 B =

= 0,2 (0,2) (0,2) (0,2) ...61

121

12093 4 5+ - + + =

=0,2+0,001333–0,000133+0,000024+...

< 0,5 · 10– 4

**


Webrekendereeksafnade3e term:

ex 1

,x

0

0 2

+# dx=0,2012(totop4decimalennauwkeurig)

c) WedelendeMacLaurinreeksvansinxeerstterm voor term door xendaarnaintegrerenwe:

sinx

x

0

1

# dx = ! ! !

...x x x

13 5 7

2 4 6

0

1

- + - +-c m# dx =

= ! ! !

...xx x x

3 3 5 5 7 7

3 5 7

0

1

$ $ $- + - +-; E =

= 1! ! !

...3 31

5 51

7 71

$ $ $- + - +- =

=1–0,055555+0,001666–0,000028+–...

< 0,5 · 10– 4

Webrekendereeksafnade3e term:

sinx

x

0

1

# dx=0,9461(totop4decimalennauwkeurig).

13) Ergeldt

x1

1-

= – dxd [ln (1 – x)] = –

dxd

!...x

x x x2 3 4

2 3 4

- - - - -c m =

= 1 + x + x2 + x3+...(convergentvoor| x |<1).

14) p(h) = p0 7991...

m mh h

121

7991

2

- + +`c j m

Lineaire benadering: p(h) = p0 mh

17991

-` j

De(absolute)foutΔpligtindeorde van groottevandeweggelatentweedegraadsterm;voorderelatievefoutgeldtdan(p is de lineaire benadering):

ppD =

1

7991

mhm

h

7991

21 2

-

` j ≤ 0,01 ⇒ h ≤ 1053 m of hmax = 1053 m

Wekrijgeneenbetereafschattingvanderelatievefoutalswevoordedrukpdeexacteexpo-nentiële formulegebruiken.Ditleidtweltoteentranscendentevergelijking(respectievelijkongelijkheid),maarwekunnendezemetdemethode van Newton-Raphson oplossen:

ppD =

e

mh

21

7991

mh

7991

2

-

` j ≤ 0,01 ⇒ h = 1058 m of hmax = 1058 m

*


15) WeontwikkelencosφineenMacLaurinreeks:Webrekenafnadeconstanteterm:

T = 2 cosgl$r { = 2 1

! !...

gl

2 4

2 4

r{ {

- + -+c m ≈ 2gl

r

kanvoorφ → 0verwaarloosdworden!

Detrillingstijdkomtovereenmetdievaneengewone slinger(voorφ=0).

16) a) T0 = L C2 0 0r = 6,283 · 10– 3 s = 6,283 ms

b) T(C) = 2 L C0r = 2 L C0 $r

Weontwikkelendefunctief(C) = C omhetpuntC0 in een Taylorreeks:

f(C) = C = C0 + C2

1

0

(C – C0)+...

T(C) = 2 L0r · f(C) = 2 L C0 $r =

= 2 L0r ( ) ...CC

C C2

10

0

0+ - +c m =

= L C2 0 0r + ( )CL

C C0

00r - +...=T0 + ( )

CL

C C0

00r - +...

T0

Lineaire benadering (gelineariseerdefunctie):

T – T0 = ( )CL

C C0

00r - of ΔT =

CL

C0

0r D

(metΔT = T – T0 en ΔC = C – C0)

c) ΔT = 1,89 · 10– 4 s = 0,189 ms, ΔTexact = 1,86 · 10– 4 s = 0,186 ms

17) Wesubstituerenx = c

2y` j engebruikendebinomiale reeks (n = – 1/2):

m = m0 1 c

2 /1 2y--

`` j j = m0 (1 – x)– 1/2 = m0 ...x121+ +` j =

= m0 ...c

121 2y+ +`` j j ≈ m0 c

12 2

2y+c m

18) a) 1 b) 0 c) 1 d) – 1 e) n · an – 1

f) 0 g) 23 h) 1 i) 0

j)WepassendriekeerdestellingvanBernoulli-deL’Hôpitaltoe:

limx"3

e

x 2x2

3 - = limx"3

2 e

x3x2

2

$ = lim

x"3

ex

23

x2$ = lim

x"3

e43

x2$ = 0

k) limx 0"

( )tanh

x

x = limx 0"

( )cosh

x

x x

2

1

1

2

12 $

= limx 0"

( )cosh x

12

= 1

Z [ \] ] ] ] ] ] ]

*


19) a) Type 00 ; (2x)x = eln (2x)x = ex · ln (2x)

Weberekenendelimietvandeexponent:

limx 0"

[x · ln (2x)] = limx 0"

/( )ln

xx

12 = lim

x 0"

/xx1

21

2

2

$

- = lim

x 0" (– x) = 0

Dus:limx 0"

(2x)x = [ ( )]lim lnx x2x 0

$"e` j = e0 = 1

b) Type ∞0 ; x1 x

` j = lnx1 x

e` j = lnx

x1

$e

` j = ( )ln lnx x1-e = ( )lnx x0-

e = lnx x$-e

Deoplossinggaatverderanaloogaana):

limx 0"

(– x · ln x) = 0 ; limx 0"

x1 x

` j = ( )lim lnx xx 0

$-"e` j = e0 = 1

c) Type 0 · (– ∞)

limx 0"

(x2 · ln x) = limx 0"

ln

x

x12

= limx 0"

x

x2

1

3- = lim

x 0"

xx2

3

- = lim

x 0" x

2

2

-c m = 0

d) Type 0 · ∞

limx 0"

(e – x · x ) = limx 0"

e

xx = lim

x 0" 2

e

x

1

x = limx 0"

2 ex

1x$

= 0

e) Type 0 · ∞

limx"r

(x – π) ·tan(x/2) = limx"r

( / )tan

x

x1

2

r-

= limx"r

( )

( / )cos

x

x12

121

2

2 $

r-

=

= limx"r

( / )

( )

cos x

x

2 22

2

$

r

-

- = limx"r

( / ) ( ( / ))

( )

cos sinx x

x

2 2 2 221

2

$ $ $ $

r

- -

- =

= limx"r

( / ) ( / )cos sinx x

x2 2$r- = 2 · lim

x"r sin xx r- = 2 · lim

x"r cos x1 = 2 · (– 1) = – 2

(1/2) · sin x

(na driekeertoepassenvandelimietstellingvanBernoulli-deL’Hôpital).

f) Type ∞ – ∞

limx 0"

tan x x1 1-` j = lim

x 0"

tantan

x xx x$- = lim

x 0" 1 tan

cos

cos

xx

x

x1

11

2

2

$ $+

- =

= limx 0"

tan cos

cosx x x

x 12

2

$ +- = lim

x 0" sin cos

cosx x x

x 12

$ +- =

= limx 0"

1cos sin

cos sinx x

x x22 2$ $- +

- = 1 0 1

0- +

= 20 = 0

(na tweekeertoepassenvandelimietstellingvanBernoulli-deL’Hôpitalengebruiikma-kendvantanx = sin x/cos x).

Z [ \] ] ] ] ] ] ]


20) a) limx 0"

cosx

x12

- = limx 0"

1

! !...

x

x x1

2 42

2 4

- - + -+c m = lim

x 0" ! !

...

x

x x2 4

2

2 4

- +- =

= limx 0"

2!1

4!...

x2

- +-c m = 21

b) limx 0"

1

( )

sin

sin

e x

x x2x - +

- =

= limx 0"

1

! ! !....

! !...

! ! !...

xx x x

xx x

x xx x x

2 3 41

3 5

23 5 7

2 3 4 3 5

3 5 7

+ + + + + - + - + +-

- - + - +-

c c

c

m m

m; E =

= limx 0"

2

! !....

2! ! !

...

xx x

x x x

2 4

3 5 72 4

3 5 7

+ + +

- + -+c m = lim

x 0"

! !....

! ! !...

x x

x x x

22 4

23 5 7

3

2 4 6

+ + +

- + -+c m = 0

c) limx 0"

coshxx 1- = lim

x 0" 1

! ! !...

x

x x x2 4 6

12 4 6

+ + + + -c m =

= limx 0"

! ! !...

x

x x x2 4 6

2 4 6

+ + + = lim

x 0"

! ! !...

x x x2 4 6

3 5

+ + +c m = 0

d) limx 0"

sinx

x2

= limx 0"

! !...

x

xx x3 5

3 5 2

- + -+; E =

= limx 0"

! !...

x

xx x

13 5

2 4 2

- + -+c m; E = lim

x 0" ! !

...

x

xx x

13 5

22 4 2

- + -+c m =

= limx 0"

! !

...xx x

13 5

2 4 2

- + -+c m = 0 · 1 = 0

21) limx"3

(x – ex) = limx"3

ex ex

1x -` j = limx"3

ex · limx"3

ex

1x -` j =

= limx"3

ex · lim limex

1x

xx

-" "3 3

` j = ∞ (0 – 1) = – ∞

∞ 0 1

Berekeningvandetweedelimietmetdelimietstelling van Bernoulli-de L’Hôpital(type33 ):

limex

xx

"3 = lim

e1

xx

"3 = 0

* * )

A.7 Complexe getallen en functies a69

A.7 Complexe getallen en functiesParagraaf 1

1) ZiefiguurA-70.

Figuur A-70

2) ZiefiguurA-71.

Figuur A-71

3) z1=1+4j=4,12· e j75,96° ; z1*=1–4j=4,12· e–j75,96° = 4,12 · e j284,04°

z2=2,5+j=2,69· e j21,80° ; z2*=2,5–j=2,69· e–j21,80° = 2,69 · e j338,20°

z3=5+3j=5,83· e j30,96° ; z3*=5–3j=5,83· e–j30,96° = 5,83 · e j329,04°

z4 = 4 = 4 · e j0° ; z4* = 4 = 4 · e j0°

z5=–1+2j=2,24· e j116,57° ; z5*=–1–2j=2,24· e–j116,57° = 2,24 · e j243,43°

z6=–2,5+4j=4,72· e j122,01° ; z6*=–2,5–4j=4,72· e–j122,01° = 4,72 · e j237,99°

z7=–4+1,5j=4,27· e j159,44° ; z7*=–4–1,5j=4,27· e–j159,44° = 4,27 · e j200,56°

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

–1–1

–2

– 3

– 4

– 2– 3– 4– 5 Re(z)

Im(z)

z2

z1z3

z6

z8

z4z7

z5

1 5

1

5

–5

–4

Re(z)

Im(z)

z2

z1

z7

z6

z4z5

z8

z3


z8=–2,5–1,5j=2,92· e j210,96° ; z8*=–2,5+1,5j=2,92· e–j210,96° = 2,92 · e j149,04°

z9=–4,5–3j=5,41· e j213,69° ; z9*=–4,5+3j=5,41· e–j213,69° = 5,41 · e j146,31°

z10=–2–4j=4,47· e j243,43° ; z10*=–2+4j=4,47· e–j243,43° = 4,47 · e j116,57°

z11=–3,5j=3,5· e j270° ; z11*=3,5j=3,5· e–j270° = 3,5 · e j90°

z12=1,5–1,5j=2,12· e j315° ; z12*=1,5+1,5j=2,12· e–j315° = 2,12 · e j45°

z13=3,5–2,5j=4,30· e j324,46° ; z13*=3,5+2,5j=4,30· e–j324,46° = 4,30 · e j35,54°

z14=4–5j=6,40· e j308,66° ; z14*=4+5j=6,40· e–j308,66° = 6,40 · e j51,34°

4) z1 = 3,72 · e j57,52° ; z1* = 2 – πj=3,72· e–j57,52° = 3,72 · e j302,48°

z2 = 5,1 · e j331,93° ; z2*=4,5+2,4j=5,1· e–j331,93° = 5,1 · e j28,07°

z3 = 5,83 · e j120,96° ; z3*=–3–5j=5,83· e–j120,96° = 5,83 · e j239,04°

z4 = 6 · e j180° ; z4* = – 6 = 6 · e–j180° = 6 · e j180°

z5 = 3,61 · e j213,69° ; z5*=–3+2j=3,61· e–j213,69° = 3,61 · e j146,31°

z6 = 1,41 · e j135° ; z6*=–1–j=1,41· e–j135° = 1,41 · e j225°

z7 = 4 · e j270° ; z7*=4j=4· e–j270° = 4 · e j90°

z8 = 3,16 · e j198,43° ; z8*=–3+j=3,16· e–j198,43° = 3,16 · e j161,57°

5) z1=2,16+3,37j; z1*=2,16–3,37j

z2=2,60+150j; z2*=2,60–150j

z3=–3,54+3,54j; z3*=–3,54–3,54j

z4=2,5–4,33j; z4*=2,5+4,33j

z5=2j; z5*=–2j

z6=–0,5–0,87j; z6*=–0,5+0,87j

z7=–1,73–j; z7*=–1,73+j

z8=0,88–0,48j; z8*=0,88+0,48j

6) | z1 | = 5; | z2 | = 6,32; | z3 | = 3; | z4 | = 5; | z5 | = 4; | z6 | = 3

7) arg (z1) = 251,57° ; arg (z2) = 140° ; arg (z3) = 120° ;

arg (z4) = 341,57° ; arg (z5) = 126,87° ; arg (z6) = 280°

Paragraaf 2

1) a) –9+3j b) 16–24j c) 2–10j d) 31–25j

e) 1,5+0,5j f) j

2) a) 16–2j b) – j25582

2576+ c) –6–2j d) –12–18j


3) a) 3,53+1,36j b) 0,16–1,23j

4) ZiefiguurA-72.

Figuur A-72

a) Draaiingvandewijzermet90°

b) Spiegelingvandewijzeromdereëleas.

c) Terugdraaienvandewijzermet90°(draaiingmet90°indenegatievedraairichting(inderichtingvandewijzersvandeklok)).

d) Verlengingvandewijzertotdedubbelelengte.

e) Draaiingvandewijzermet30°.

f) Draaiingvandewijzernaarde(positieve)reëleas.

g) Rotatie en verlenging:eenverlengingvandewijzermeteenfactor 5 envervolgenseendraaiingmetarg(z)=63,43°(ofinomgekeerdevolgorde).

5) a) z + z* = (x+jy) + (x–jy) = 2x = 2 · Re (z)

b) z – z* = (x+jy) – (x–jy)=j2y=2jy · Im (z)

6) a) (1+j)2 = ( 2 · e j45°) 2 = 2 · e j90°=2j

b) (3 – 3 j)4 = ( 12 · e j330°)4 = 144 · e j1320° = 144 e j240°=–72–124,71j

c) (2 · e–j30°)8 = 256 · e–j240° = 256 · e j120°=–128+221,70j

d) (–4–3j)3 = (5 · e j216,87°)3 = 125 · e j650,61° = 125 · e j290,61°=44,00–117,00j

e) 2

3

j

j 3

+

-c m =(1–j)3 = ( 2 · e j315°)3 = 2 2 · e j945° = 2 2 · e j225°=–2–2j

31

1

4

–1

–1

– 2

– 2 2– 3 Re(z)

Im(z)

j · z

e ·j30° z

30°2

z*

z = 1 + 2 j

zj

| |z

2 · zz 2


f ) (3 · e jπ)5 = 243 · e j5π = 243 · e jπ = – 243

g) cos sinj23 3

10$

r r+` `` j jj8 B = 2e j3

10r^ h = 1024 · e j310r = 1024 · e j

34r =–512–886,81j

h) [5(cos(–10)°+j· sin (– 10°))]4 = (5 · e–j10°)4 = 6,25 · e–j40° = 625 · e j320° =

=478,78–401,74j

7) Formulevande Moivre: (cos φ+j· sin φ)3 = cos (3φ)+j· sin (3φ)

Binomiaalformule (a + b)3gebruiken:

(cos φ+j· sin φ)3 = cos3 φ – 3 · cos φ · sin2 φ+j(3· cos2 φ · sin φ – sin3 φ)

Vergelijkingvandereëleresp.imaginairedelen(letopsin2 φ + cos2 φ =1):

cos (3φ) = cos3 φ – 3 · cos φ · sin2 φ = cos3 φ – 3 · cos φ (1 – cos2 φ) =

= 4 · cos3 φ – 3 · cos φ

sin (3φ) = 3 · cos2 φ · sin φ – sin3 φ = 3 · (1 – sin2 φ) sin φ – sin3 φ =

= 3 · sin φ – 4 · sin3 φ

8) a) z3=j=1· e j90° ⇒ r = 1 , φk = k3

90 360$+c c (k = 0, 1, 2) ⇒

z0 = e j30° ; z1 = e j150° ; z2 = e j270°

Debijbehorendewijzerszijngetekend

infiguurA-73.

Figuur A-73

b) z4 = 16 · e j160° ⇒ r = 2 , φk = k4

160 360$+c c (k = 0, 1, 2, 3) ⇒

z0 = 2 · e j40° ; z1 = 2 · e j130° ; z2 = 2 · e j220° ; z3 = 2 · e j310°

DebijbehorendewijzerszijngetekendinfiguurA-74.

Figuur A-74

Re(z)

Im(z)

z2

z1 z01

120°

120° 30°

2

Re(z)

Im(z)

z2 z3

z1 z0

90°

90°

90°40°


c) z5=3–4j=5· e j306,87° ⇒

r = 55 = 1,38 , φk = , k5

306 87 360$+c c (k=0,1,...,4)⇒

z0 = 1,38 · e j61,37° ; z1 = 1,38 · e j133,37° ; z2 = 1,38 · e j205,37° ;

z3 = 1,38 · e j277,37° ; z4 = 1,38 · e j349,37°

DebijbehorendewijzerszijninfiguurA-75getekend.

Figuur A-75

9) a) Oplossingenvandevergelijkingz2=4–2j= 20 · e j333,43° :

r = 202 = 204 = 2,11 , φk = , k2

333 43 360$+c c (k = 0, 1) ⇒

z0 = 2,11 · e j166,72° ; z1 = 2,11 · e j346,72°

b) Oplossingenvandevergelijkingz3 = 81 · e–j190° :

r = 813 = 4,33 , φk = k3

1903 360$- + c (k = 0, 1, 2) ⇒

z0 = 4,33 · e–j63,33° = 4,33 · e j296,67° ; z1 = 4,33 · e j56,67° ; z2 = 4,33 · e j176,67°

c) Oplossingenvandevergelijkingz6=–3+8j= 73 · e j110,56° :

r = 736 = 7312 = 1,43 , φk = , k6

110 56 360$+c c (k=0,1,...,5)⇒

z0 = 1,43 · e j18,43° ; z1 = 1,43 · e j78,43° ; z2 = 1,43 · e j138,43° ;

z3 = 1,43 · e j198,43° ; z4 = 1,43 · e j258,43° ; z5 = 1,43 · e j318,43°

10) a) z3 = 64 · e j4r

⇒ r = 643 = 4 φk = k

34

2$r

r+ (k = 0, 1, 2) ⇒

z0 = 4 · e j12r

; z1 = 4 · e j43r ; z2 = 4 · e j

1217

1,38

61,37°

Re(z)

Im(z)

z2

z4

z3

z1

z0

72°72°

72° 72°


b) z3=2+5j= 29 · e j68,20° ⇒

r = 293 = 296 = 1,75 , φk = , k3

68 20 360$+c c (k = 0, 1, 2) ⇒

z0 = 1,75 · e j22,73° ; z1 = 1,75 · e j142,73° ; z2 = 1,75 · e j262,73°

11) Alsx1=1–j,isookx1*=(1–j)*=1+jeenoplossing!Dekwadratischefactor (x – x1) (x – x1*) = x2 – 2x+2moetafgesplitstworden(Hornerschema):

(x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2) : (x2 – 2x + 2) = x2 – 1

Overigenulpunten:x2 – 1 = 0 ⇒ x3/4 = ± 1

Oplossingen: x1/2 = 1 ±j,x3/4 = ± 1

12) a) x1=1(doorproberengevonden!)Delineairefactorx–1afsplitsen⇒ x2 + 4 = 0 ⇒ x2/3 = ±2j.

b) Bi-kwadratischevergelijking(substitutiez = x2)!

Oplossingen: x1/2 = ± 3 , x3/4 = ±j

13) a) 1 = 1 · e j0 = 1 · e j(0+k · 2π) = 1 · e jk · 2π

ln1=jk · 2π(k∈ Z )

b) –1+j= 2 · e j k43

2$r r+` j

ln(–1+j)=ln 2 +j k43

2$r r+` j (k ∈ Z )

c) j=1· e j k2

2$r

r+` j

lnj=ln1+j k2

2$r

r+` j=j k2

2$r

r+` j (k ∈ Z )

d) 2 · e j3r

= 2 · e j k3

2$r

r+` j

ln 2 e j3$r^ h=ln2+j k

32$

rr+` j (k ∈ Z )

e) – 1 = 1 · e j(π + k · 2π)

Ln(–1)=ln1+jπ=jπ (k = 0)

f) ln(jj)=j·lnj=j 22j k $

rr+` j8 B = –

2r – k · 2π,Ln(jj) = –

2r (k = 0)

Volgens 13) c)

Z [ \] ] ] ] ]


Paragraaf 3

1) DesinuswijzerszijngetekendinfiguurA-76.

a) y1 = 3 · sin t23r+` j ⇒

y1 = e3 j3$r^ h · e j2t ; A1 = 3 e j

3$r

=1,5+2,60j

b) y2 = 3 · sin t443r+` j ⇒

y2 = 3 e j43

$ r^ h · e j4t ;

A2 = 3 e j43

$ r =–2,12+2,12j Figuur A-76

c) y3 = 4 · sin t223r+` j ⇒

y3 = e4 j23

$ r^ h · e j2t ; A3 = e4 j23

$ r =–4j

d) y4 = 5 · sin (πt + 5,08) ⇒

y4 = (5 · e j5,08) · e jπt ; A4 = 5 · e j5,08=1,80–4,67j

2) a) y1 = 3 · sin t2

~r+` j , y1 = e3 j

2$r^ h · e jωt

b) y2 = 4 · sin t245r+` j , y2 = e4 j

45

$ r^ h · e j2t

c) y3 = 5 · sin (t + 2,57) , y3 = (5 · e j2,57) · e jt

d) y4 = 3 · sin t67

r r+` j , y4 = e3 j67

$ r^ h · e jπt

3) a) u1 = 100 V · sin (ωt) ⇒ u1 = 100 V · e jωt

u2 = 150 V · sin t4

~r+` j ⇒ u2 = 150 V e j

4$r^ h · e jωt

û = û1 + û2 = 100 V + 150 V · e j4r

=206,7V+j106,07V=231,77V· e j0,48

u = u1 + u2 = û · e jωt = 231,77 V · e j(ωt + 0,48)

u = Im (u) = 231,77 V · sin (ωt + 0,48)

b) u1 = 50 V · sin (ωt + π) ⇒ u1 = (50 V · e jπ) · e jωt

u2 = 200 V · sin t3

~r+` j ⇒ u2 = V e200 j

3$r^ h · e jωt

û = û1 + û2 = 50 V · e jπ + 200 V · e j3r

=50V+j173,21V=180,28V· e j1,29

u = u1 + u2 = û · e jωt = 180,28 V · e j(ωt + 1,29)

u = Im (u) = 180,28 V · sin (ωt + 1,29)

Re(z)

Im(z)

y2

y1

y3y4


4) u1 = u0 · e jωt ; u2 = eu j0 3

2

$ r^ h · e jωt ; u3 = eu j0 3

4

$ r^ h · e jωt

û = û1 + û2 + û3 = u0 + u0 · e j32r + u0 · e j

34r = 0

u = u1 + u2 + u3 = û · e jωt = 0 , u = Im (u) = 0

5) Voorstellingvandetrillingenindecosinusvorm(methetgegevenω = π s– 1):

y1 = 20 cm · cos t52

~ r-` j ⇒ y1 = cm e20 j52

$ r-^ h · e jωt

y2 = 15 cm · cos t6

~r+` j ⇒ y2 = cm e15 j

6$r^ h · e jωt

A = A1 + A2 = 20 cm e j52

$ r- + 15 cm e j6$r

=

=19,17cm–j11,52cm=22,37cm· e j5,74

y = y1 + y2 = A · e jωt = 22,37 cm · e j(ωt + 5,74)

y = Re (y) = 22,37 cm · cos (ωt + 5,74) (ω = π s– 1)

6) Z = R+j LC1

~~

-` j ⇒ Z=100Ω+j199999,95Ω

7) Y = R1 –j

L1~

⇒ Y=0,01S–j0,004S

Z = Y1 =

0,01 0,004S j S1

-=86,21Ω+j34,48Ω

I = Y · U=1A–j0,4A

8) DegeleidbaarheidvandeparallelschakelingvanR2 en L:

Y p = R12–j

L1~

= ( )j

R LL R

2

2

~

~ -

Complexeweerstandvandegehele schakeling:

Z (ω) = R1 + Y1

p

= ( )

( )( )

R L

R R R R L

22 2

1 22

1 22

~

~

+

+ + +j( )

( )

R L

R L

22 2

22

~

~

+

9) Z1 = R1+jωL1=50Ω+j300Ω

Z2 = R2+j C1

1~=100Ω+j333,33Ω

Z3 = R3+jωL2=20Ω+j450Ω

Geleidbaarheidvandeparallelkring:

Y p = Z1

2

+ Z1

3

= Z Z

Z Z

2 2

2 3

$

+


Impedantievandeparallelkring:

Z p = Y1

p

= Z Z

Z Z

2 2

2 3$

+=810,80Ω–j468,86Ω

Impedantievandegehele schakeling:

Z = Z1 + Z p=860,80Ω+j168,86Ω

Paragraaf 4

1) a) ZiefiguurA-77.

b) ZiefiguurA-78.


2) z11

= 343 –

345 j:

z12=–0,06–0,08j;

z13=0,167–0,289j;

z14=0,128+0,107j;

z15=–0,330–0,047j;

z16=0,100+0,173j

3) a) Z (ω) = R+jωL (figuurA-79)

Figuur A-79

a

b

t

t = 0z ( t)

Re(z)

Im(z)

1 2

1

Re(z)

Im(z)t

t = 0

z ( t)

Re( )Y

Im( )YIm( )Z

Re( )Z

v = 0v = 0

v1

v1

v

v

Z ( )v1

Z ( )v

Y ( )v1

Y ( )v

R1R


b) Y(ω) = R1 –j

L1~

(figuurA-80)

Figuur A-80

4) a) Z(R) = R–jC

1~

b) ZiefiguurA-81

c) Y(R) = ( )Z R1 =

( )

( )

R C

R C

12 2

2

~

~

++j

( )R CC

12 2~~

+(figuurA-81)

Figuur A-81

Re( )Y

Im( )Y Im( )Z

Re( )Z

v1

v1

v

vZ ( )v1

Z ( )v

Y ( )v1

Y ( )v

R 1R

Z (R)

Z (R )1

Y (R )1

Y (R)

R1

R1R

R

Re( )Y

Im( )YIm( )Z

Re( )Z

Appendix A: Oplossingen van de opgaven · a2 Appendix A: Oplossingen van de opgaven 2) c = – 2...

Documents

Transcript of Appendix A: Oplossingen van de opgaven · a2 Appendix A: Oplossingen van de opgaven 2) c = – 2...