Algebra de Proposiciones (1)

8/15/2019 Algebra de Proposiciones (1)

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Matemáticas DiscretasMatemáticas Discretas

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONESFACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES

Docente: Carlos A. Ruiz De La Cruz Melo

Correo: [email protected]

Algebra de Proposiciones



LGEBR DE PROPOSICIONES

Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple las

siguientes leyes:

1. Ley de clausura.

Si p y q son proposiciones, p ν q, p Λ

q son también proposiciones.



Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple las

siguientes leyes:


2. Leyes de idempotencia.

Idempotencia significa igual valor

Una proposición o la mismaproposición equivale a la mismaproposición.

Una proposición y la mismaproposición equivale a la mismaproposición

p ν p ≡ p

p Λ p p.≡




3. Leyes conmutativas.

onmutar significa cambiar delugar u orden:

observar que las variables proposicionales

p y q cambiar de lugar.

observar que las variables proposicionales

p y q cambiar de lugar.

p ν q ≡ q ν p

p Λ q ≡ q Λ p

Sean p, q y r proposiciones

cualesquiera, se cumple las

siguientes leyes:






siguientes leyes:

4. Leyes asociativas.

!ara asociar los conectivos lógicosdeben de ser iguales:

asociamos la segunda proposición con la

tercera proposición.

asociamos la primera proposición con la

segunda proposición.

p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)

p Λ q Λ r ≡ (p Λ q) Λ r




p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)

p q r p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)

!

!

! !

!

! !

! !

! ! ! ! !






siguientes leyes:

5. Leyes distributivas.

!ara aplicar la ley los operadores de la

proposición, deben de ser diferentes:

p ν "q Λ r# " "p ν q# Λ "p ν r#

p Λ "q ν r# " "p Λ q# ν "p Λ r#




p ν "q Λ r# " "p ν q# Λ "p ν r#

p q r p ν (q Λ r) ≡ (p ν q) Λ (p ν r)

!

!

! !

!

! ! ! !

! ! ! !

! ! ! ! !






siguientes leyes:

. Ley de doble ne!aci"n.

$a negación de la negación equivale a

la misma proposición.#(# p) ≡ p






siguientes leyes:!ara # "p ν q# %p Λ %q≡

se niega la primera proposición"p#

se cambia ν por Λse niega la segundaproposición.

$. Leyes de %or!an.

#"p ν q# %p Λ %q≡

# "p Λ q# %p ν %q≡




La primera proposición# tiene

su contrario dentro delpar$ntesis# la proposición

contraria se elimina y se copia

la segunda proposición.

p % &p ' q( " p

p ' &p % q( " p

p % &)p ' q( " p % q

p v &)p % q( " p v q

p % &p ' q( " pLa primera proposición se

repite dentro del par$ntesis#

el resultado es igual a la

proposición que se repite.

p % &)p ' q( " p % q

&. Leyes de 'bsorci"n

Sean p, q y r proposiciones cualesquiera,

se cumple las siguientes leyes:




Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:

*( se niega la primera proposición &p(+( se cambia por v

,( se copia la segunda proposición

-( el segundo operador queda igual

8. Ley condicional.

p q " )p ' q



La primera proposición implica la

segunda proposición y la segunda la

segunda proposición implica la primera

proposición

9. Ley Bicondicional.

p↔q " p q % q p





1. Leyes de neutro.

Una proposición y falsoequivale a la proposición

Una proposición y verdaderoequivale a esa proposición

p v &o " p.

p Λ 'o " p





11. Ley inversa.

Una proposición o su negaciónequivale a verdadero

Una proposición y su negaciónequivale a falso.

p ν %p " 'o.

p Λ %p " &o





12. Ley de identidad

'erdadero y verdadero equivale averdadero

falso o falso equivale a falso

'o Λ 'o " 'o

&o ν &o " &o





13. Ley de denominaci"n

p v 'o " 'o

p Λ &o " &o






Sean p, q , r y s proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:

&/ 0 1( &R 0 2( &/ R(3 &1 2(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨

14. ilema constructivo




Sean p, q , r y s proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:

&p 0 q( &r 0 s( &4q 4s(3 &4p 4r(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨

15. ilema destructivo





1. *ilo!ismo +ipottico

&p 0 q( &q 0 r(3 &p 0 r(∧ ⇒





1. *ilo!ismo isyuntivo

&p q( 4p3 q∨ ∧ ⇒



#(p q) ⇔#p #q

*. si )&p ∨ q( es verdad# entonces p ∨ q es

5also

+. luego p y q son# ambas# 5alsas

,. y# por lo tanto# )p es verdad y )q esverdad

-. Consecuentemente# )p ∧ )q es verdad

(emostrar las $eyes de )organ

Solución

EJERCICIO 1



#(p q)⇔

#p #q

(emostrar las $eyes de )organ

Solución

*. si )&p ∧ q( es verdad# entonces p ∧ q

es 5also

+. luego una de las dos proposiciones

6a de ser 5alsa y su negación verdad

,. luego )p ∨)q es verdad encualquiera de los casos.

EJERCICIO 2



Simplifique:

# p (p Λ q) Solución:

% p"p Λ q# ley condicional: pq " %p ν q

" % "%p# ν "p Λ q# ley doble negación: %"%p# " p" p ν "p Λ q# ley de absorción: p ν "p Λ q# " p" p

EJERCICIO 3



EJERCICIO 3

p q # p (p Λ q) ≡ p

!

! ! !

! ! ! !

# p (p Λ q)



Simplifique:"pq# Λ q

Solución:

"p q# Λ q ley condicional: p q " %p ν q

" "% p ν q# Λ q ley de absorción p Λ "p v q# " p

" q

EJERCICIO 4



EJERCICIO 5

Estoy gordo o delgado. Ciertaente no estoy delgado.

p : 7stoy gordo.

q : 7stoy delgado

7ntonces#

p q : 7stoy gordo o delgado.∨4q : 8o estoy delgado.

7l argumento ser9a# &p q( 4q.∨ ∧

/or el silogismo disyuntivo# &p q( 4q p∨ ∧ ⇒

y la regla de in5erencia es

p q∨4q

∴ p



EJERCICIO 6

!i corro" e q#edare sin aliento. $o estoy sin aliento

2ean

p : Corro.

q : 7stoy sin aliento

7ntonces# el argumento seria: &p 0 q( 4q∧

y por modus tollens# &p 0 q( 4q 4p∧ ⇒

siendo la regla de in5erencia#

p 0 q4q

∴ 4p

2i corro# me quedare sin aliento.8o estoy sin aliento.

∴ 8o 6e corrido.



El cielo a%#l e pone contento y el cielo gris e pone triste. El cielo estaa%#l o gris

EJERCICIO 7

2ean

p : 7l cielo esta azul.

q : 7l cielo esta gris.

r : 7stoy contento.

s : 7stoy triste.

7l argumento seria: &p 0 r( &q 0 s(3 &p q(∧ ∧ ∨

/or el dilema constructivo# &p 0 r( &q 0 s(3 &p q( &r s(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨

siendo la regla de in5erencia#

p 0 rq 0 s

p q∨

∴ r s∨

7l cielo azul me pone contento.7l cielo gris me pone triste.

7l cielo esta azul o gris.

∴ 7stoy contento o triste.



DEMOSTRACIONES



EJERCICIO 8

p q∧

p & r '''''

∴ r q∧

&q p( &p 0 r( Conmutatividad de ;∧ ∧ ∧

q p &p 0 r(3 Asociatividad de ;∧ ∧ ∧

q r Modus ponens;∧

r q Conmutatividad de ;∧ ∧

eostracin



EJERCICIO 9

p q∨

p & r ''''''

∴ r q∨

&4q 0 p( &p 0 r( ley del condicional∧ p q " )p ' q ;

4q 0 r 2ilogismo 6ipot$tico &p 0 q( &q 0 r(3 &p 0 r(∧ ⇒ ;

44q r ley del condicional∨ p

q " )p ' q ;

q r Doble negación;∨

r q Conmutatividad de ;∨ ∨

eostracin



EJERCICIO 10

2i ayer 5ue lunes# 6oy es martes. 2i 6oy es martes# ma<ana ser=

mi$rcoles. Ayer 5ue lunes. /or tanto# ma<ana ser= mi$rcoles.

2ean

p: ayer 5ue lunes

q:6oy es martes

r: ser= mi$rcoles

* p q

+ qr

, p

>>>>>>

∴ r

Demostración

- q Modus ponens *# ,;

? r Modus ponens -# +;



7n la solución de la mayor9a de losproblemas algor9tmicos se requiere tomardecisiones en base a evaluaciones deepresiones lógicas que se<alan el caminoalternativo a seguir.

7l tipo de resultado de una estructuraselectiva es lógico &booleano(# es decir

verdadero o 5also.

Las estructuras selectivas se clasi5ican en:

ESTRUCTURA SELECTIVA

Estructura de selección simple ( Si- Fin_si)

Estructura de selección doble ( Si – Sino- Fin_si)Estructura de selección múltiple ( Si anidado En casosea –Fin_caso)



Est!"t!# $% s%&%""'() s'*+&%, S'-

.')/s'

7vala una epresión lógica y si su resultado esverdadero# se eBecuta una acción determinada. 2usintais es:

!i (e*presion'logica) entoncesAccin (s)

+in'si

La acción puede ser simple &una sola acción( ouna acción compuesta &un conBunto de acciones(

2i la acción es 5alsa no se 6ace nada



Ps%!$"($' $'##*# $% &!

PSEUDOCDIGO DI GR M DE .LUJO

Acción simple

Si (expresion_logica) entonces Acción

Fin_si

Acción Compuesta

Si (expresion_logica) entonces Acción1 Acción2…… AcciónN

Fin_si

NO SIE!presion_lo"ica

#ccion



E4%*+&0

,aga el pse#docodigo q#e peritacabiar #n n#ero negati-o a #nn#ero positi-o

nicio entero nroescribir /0ngresar n#ero

1Leer nro!i (nro 2 3) entonces

nro 456nro+in'si.

Escribir nro+in

PSEUDOCDIGO DI GR M

Inicio

Entero: nro

Leer (nro)

Escribir (nro)

Fin

$% S&nro<0

nro -1*nro



include iostream.6E

include stdlib.6Eint main&(

int nroF

coutGHn ingresar numero: GF

cinEEnroF

i5&nroI(

nroJK*nroF

coutGHn nroJGnroGHnGF

getc6&(F

return IF

;

PSEUDOCDIGO PROGR M

0nicioentero nro

escribir /0ngresar n#ero1Leer nro!i (nro 2 3) entonces

nro 456nro+in'si.

Escribir nro+in



Estructura de seecci!" d#$e% Si & Si"#&Fi"'si

2e evala la epresión lógica# si esteresultado es verdadero se eBecuta la accion*#si el resultado es 5also se eBecuta la accion+.2u sintais es la siguiente:

2i &epresión>lógica( entonces

accion* 2ino

accion+

!in>si

La acción* o accion+# puede ser simple &unasola acción( o una acción compuesta &un

conBunto de acciones(



0nicioEntero nroLeer (nro)!i (nro 7od 3 ) entonces

Escribir 1par/ !ino

Escribir 1ipar 1+in'si

+in

E4%*+&0

aga el pseudocodigo para

determinar si un nmero es par o

impar

Ps%!$"($' $'##*# $% &!

Inicio

Fin

$% S&nro Mod 2 = 0

Escribir“!r"

Escribir“i#$!r"

Leer (nro)



include iostream.6E

include stdlib.6E

int main&(

int nroF

coutGHn ingresar numero: GF cinEEnroF

i5&&nro N +(JJI(

coutGHn es parHnGF

else

coutGHn es imparHnGF

system&G/AO27G(F return IF

;

Pnicio7ntero: nroLeer &nro(2i &nro Mod + J I ( entonces

7scribir Qpar 2ino

7scribir Qimpar Q!in>si

!in

Ps%!$"($' +#*#



Est!"t!# $% s%&%""'() *&t'+&%,

S'- #)'$#$

:n !i anidado es #na sentencia!i q#e esta contenido dentro deotro !i o !ino. !# sinta*is es lasig#iente

2i &epresión>lógica*( entonces

accion* 2ino

2i&epresión>lógica+(entonces

accion+ 2ino

accion,!in>si

!in>si



E%*+&

Escribir #n pse#docdigo" q#e lea #nn;ero y deterine si es positi-o"negati-o o cero.

Pnicio

entero: nrocadena: mescribir QPngresar numero:Leer nro2i &nro J I ( entonces

m QCero2ino

2i &nroEI( entonces m Q/ositivo 2ino m Q8egativo!in>si

!in>si7scribir nro# m

!in

Inicio

Fin

S&

nro %0

# "ne&!ti'o"#

"$ositi'o"

nro =0

# cero

Escribirnro #

Escribir“in&res!r n#ero"

Leer (nro)

$%

$% S&

Ps%!$0"($'10 2 $'#1#*# $% 3&!40



C!#& s%'# %& "($'10 %) C8

Pnicio

entero: nro

cadena: m

escribir QPngresar numero:

Leer nro

2i &nro J I ( entonces

m QCero

2ino2i &nroEI( entonces

m Q/ositivo

2ino

m Q8egativo

!in>si

!in>si

7scribir nro# m!in



Est!"t!# s%&%"t'# *&t'+&%,

E) "#s s%#-.')/"#s

/ermite elegir un camino entre los Qn posibles#usando para ello una variable denominada selector .7l selector se compara con una lista de constantes

enteras o de car=cter C*# C+# ...# Cn para cada una

de las cuales 6ay una acción *# +# ...# 8

En caso sea &selector( <acer c*: Acción *

c+: Acción +

.

cn: Acción 8

!ino Accion c

+in'Caso !i el selector coincide con #na constantede la lista" se e=ec#ta la accincorrespondiente a dic<a constante.

!i el selector no coincide con ning#naconstante de la lista" se e=ec#ta la accinc correspondiente al !0$>.



7n un centro de ense<anza se 6an

incrementado las pensiones de acuerdo

a la siguiente tabla:

7laborar un pseudocódigo que permita

calcular el nuevo monto de la pensión

de un alumno que se encuentra en una

categor9a determinada.

CA?E@>A 0$CE7E$?>()

A S

T ?

C -

E4%*+&0

Pnicio7ntero: sU IReal: pension# nueva/ension7scribir &QPngresar pension:(

Leer &pension(7scribir &QPngresar categoria:(Leer &cat(7n caso sea &cat( 6acer

VAW : inc I.IS pensionVTW : inc I.I? pensionVCW : inc I.I- pension

2ino

7scribir &Q!uera de rango(sU *!in>Caso2i &sU J I( entonces nueva/ension pension X inc 7scribir &Qpension Q# nueva/ension(!in>si

!in

Ps%!$0"($'10 2



Pnicio7ntero: sU IReal: pension# nueva/ensionLeer &pension(7scribir &QPngresar categoria:(Leer &cat(7n caso sea &cat( 6acer

VAW : inc I.IS pensionVTW : inc I.I? pensionVCW : inc I.I- pension

2ino7scribir &Q!uera de rango(sU *

!in>Caso2i &sU J I( entonces nueva/ension pension X inc 7scribir &Qpension Q# nueva/ension(

!in>si!in

Ps%!$0"($'10 2$'#1#*# $% 3&!40

S&nro DA

3.3F6pension

Escribir Pension" n#e-a Pension

Leer (cat)

$%

S& $%

3.3G6pension $%

sH

5

sH 3

n#e-aPension

pensionIinc

FI

II+I,

sH

3

nro DB

nro DC

3.3J6pension

S&

S&

$%



include conio.cE

include Giostream.6G

int main&(

int sUJIF c6ar catF

5loat pension# nueva/ension#incF

coutGHn ingresar pension: GF cinEEpensionF

coutGHn ingresar categoria: GF

cinEEcatF

sUitc6&cat(

case YAY:incJI.I?pensionF breaZF

case YTY:incJI.I?pensionFbreaZF case YCY:incJI.I-pensionFbreaZF

de5ault:

coutGHn 5uera de rangoGF

sUJ*F

;

i5&sUJJI(

nueva/ensionJpensionXincF coutGHn pensionJGpensionF

coutGHn nueva/ensionJGnueva/ensionGHnGF

;

system&GpauseG(F

return IF

;

PROGRAMA



E) "#s s%# *&t'+&%

2e presenta de dos 5ormas:

A( Cuando mas de una alternativa

debe eBecutar la misma acción.

T( Cuando se presentan

selecciones basadas en dos o

mas niveles.

E%*+&

Mostrar la estación al cual

pertenece# si se ingresa el

numero de mes:

erano: enero# 5ebrero# marzo

[to<o: abril# mayo# BunioPnvierno: Bulio# agosto# setiembre

/rimavera: octubre# noviembre#

diciembre

Pnicio7ntero: nroMesLeer &nroMes(7n caso sea &nroMes( 6acer

*: +: ,: 7scribir&Qerano(-: ?: S: 7scribir&Q[to<o(\: ]: ^: 7scribir&QPnvierno(*I: **: *+: 7scribir&Q/rimavera(

2ino7scribir &Q!uera de rango(

!in>Caso!in

include conio.cE



include Giostream.6G

int main&(

int nroMesF

coutGHn Png 8um de mes: GF

cinEEnroMesF

sUitc6&nroMes( case *:

case +:

case ,:coutGHn veranoHnGF breaZF

case -:

case ?:

case S:coutGHn oto<oHnGFbreaZF case \:

case ]:

case ^:coutGHn inviernoHnGFbreaZF

case *I:

case **:

case *+:coutGHn primaveraHnGFbreaZF

de5ault: coutGHn 5uera de rangoGF

;

system&GpauseG(F

return IF

;

PROGR M



C!#)$ s% +%s%)t#) s%&%""')%s :#s#$#s

%) $s *#s )'%&%s;

e=eplo /seudocódigo para calcular la pensión

que tiene que pagar un alumno de uninstituto cuya cuota de matricula tiene unporcentaBe de descuento que se estableceen la siguiente tabla y esta en 5unción delcolegio de procedencia del alumno y delas tres categor9as que eiste en elinstituto. Considere que la pensión esta

eonerada de impuesto.

Colegio deprocedencia categorKa A T C

8acional ?I -I ,I

/articular *? +I +?

Pensin Colegio CategorKa esc#ento Pensininal

*III 8acional A *IIII.?IJ?II ?II

*?II /articular T *?III.+IJ,II *+II

En la sig#iente tabla se#estran res#ltados paradierentes -alores de las-ariables



Pnicio

real: cuota# dscto# importe I

caracter: colegio# categor9a entero: sU I

Leer &colegio(

7scribir &QPngresar categor9a &A# T# C(:(

Leer &categoria(

7scribir &QPngresar cuota:(

Leer &cuota(

7n caso sea &colegio( 6acer

V8W: 7n caso sea &categoria( 6acer VAW : dscto I.?I cuota

VTW : dscto I.-I cuota

VCW : dscto I.,I cuota

2ino

7scribir &Q[pción no contemplada(

sU *

!in>caso

V/W: 7n caso sea &categoria( 6acer

VAW : dscto

I.+? cuotaVTW : dscto I.+I cuota

VCW : dscto I.*? cuota

2ino

7scribir &Q[pción no contemplada(

sU *

!in>caso

2ino

7scribir &Q[pción no contemplada( sU *

!in>caso

2i &sU J I( entonces

importe cuota _ dscto

7scribir&Q7l importe a pagar es: # importe(

!in>si

!in

Ps%!$"$'

C!#& s%'# %& "($'10 %) C8



*. +scriba un pseudocódigo lea como dato el sueldo de un trabaador, apliqueun aumento del *- si su sueldo es inferior a -// y */ en caso

contrario. Imprima el nuevo sueldo del trabaador.

0. +scriba un pseudocódigo que calcule el total a pagar por la compra decamisas. Si se compran cinco camisas o m=s se aplica un descuento del0- sobre el total de la compra, sino se aplica un descuento del */.

1. +n una tienda se reali2an descuentos en las compras en función delimporte total de dic3as compras. Se desea calcular el importe que se cobraa un cliente, teniendo en cuenta los siguientes supuestos:

Si el importe total de la compra es menor de 0// soles no 3aydescuentos.

Si el importe total de la compra est' comprendido entre 0// y 4// se3ace un descuento del */ Si el importe total de la compra es mayor de 4// se 3ace un

descuento del 0/.

Se pide mostrar el nombre del cliente, el importe total, el descuento yel importe a cobrar a un cliente cualquiera

EJERCICIOS

Algebra de Proposiciones (1)

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