Algebra b 1

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

14ο Λύκειο Περιστερίου

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου

[1]

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2Γραφική επίλυσηΣχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν:- οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y ,που είναι οι

συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών.- οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό

σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος.- οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά

σημεία στις δύο ευθείες.

Μέθοδος αντικατάστασηςΛύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς y. Αντικαθιστούμετο y στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από τηντελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ’όπου υπολογίζουμε το y.Μέθοδος αντίθετων συντελεστώνΠολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς,ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουννα είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότεπροκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε.Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις καιβρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου.Λύση – Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος 2x2

Έστω το γραμμικό σύστημαx yx y

.

Βρίσκουμε την παράσταση D

που ονομάζεται ορίζουσα του

συστήματος.

Βρίσκουμε τις ορίζουσες D

και yD

.

- Αν D 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση x, y , όπου xDxD

και yDy

D

- Αν D 0 , το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις.

Γραμμικό σύστημα 3x3

Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους x,y,z1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

x y zx y zx y z

και

θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικόσύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3x3.


[2]

Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδοςαντικατάστασης.Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στιςδύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα2x2, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμετους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμετην τιμή και του τρίτου αγνώστου.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ1. Να λυθούν τα συστήματα:

i.x y 1x y 21

ii.

3x 5 2(y 1) 82(x 1) 3(1 2y) 9

iii.

x y 12 3

3x 2(y 3)

2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και(- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x y 9 0 .

3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

i.x y 1 3x 4y 1 4x 2y

4 2 35(x 1) 6(y 1) 3

ii.

x 3 2y 6 15 3

5x 1 y 4 53 2


i.x 3 y 1 0x y 3 0

ii.x 2y 2

2x 3y 3

iii.2x 3y 6x 3 y 0

5. Nα λύσετε την ανίσωση:2x 1 1 05x 1 1 x

33 x22 3


α)2x 3y 5

5 2x 3 3y 1

β)

5 1 x 4y 4 5 1

x 5 1 y 6 2 5

γ)3x 9y 3 3

x 3 3y 3

δ)2 x 3 y 2x 2 y 8

ε)x y 3

x 3 y 7

7. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών:i. 1 2: x 2y 2 : 2 1 x 1 y 2 1


[3]

ii. 1 2: 2 x 4y 8 3 : 2x 4 y 8

8. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2y x x , της οποίας η γραφική παράστασηδιέρχεται από τα σημεία A 1,8 , B 1,2 2,5 .


i.x y 1

2x y 6x y 2 5

ii.x y 1x 2y 8

3x y 2 3

iii.2x y 1

4x y 5x y 2 5

10. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το 2 προκύπτει οαριθμός 2 ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3.

11. Σ’ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα ταοχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ;

12. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύοάλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

13. Αν το σύστημα

1 x y 23x 1 y 4 2

έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα

x 2 1 y 32x 1 3 y

είναι αδύνατο.

14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα

16 x y 2

: x y 0

και 2

x 3y 1:

x y 2

είναι συγχρόνως αδύνατα.

15. Δίνεται το σύστημα:2x 3y 11x 5y 7

, .

i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ.ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση .

iii.Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 59x y13

16. Δίνονται τα συστήματα: 1

x 2y 1:

3x 7y 2

και 2

x 2y 1:

4x 9y 2

για ποιες τιμές των μ

και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα;


[4]

17. Για ποια τιμή του λ, το σύστημαx 2y 4

x 3y 5

έχει λύση η οποία επαληθεύει την

εξίσωση x 5y 17 ;

18. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα 2 2

x y 3x y

έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες

είναι η (x, y) 2, 1 ;

19. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:x y

x y

D D DD D 3D

. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή.

20. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:2 2x y x yD D 2D D και D 0 . Αν x y 6 , να βρεθούν τα x, y.

21. Σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους χ,y, για τις ορίζουσες του x yD, D , Dισχύει η σχέση: 2 2

x x y y2D 2D D D 0 . Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετεότι είναι μοναδική.

22. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:2 2 2

x y xD D D 4D 2D 5

i. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2x yD 2 D 1 D 0.

ii. Να βρείτε τη λύση του συστήματος.

23. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α)x y 6

y 4x 18

β)

1 1 3x y 41 1 0y

1 1 1x 2

24. Για ποιες τιμές των x και y η εξίσωση x-2y+1+λ(x-y)=0 αληθεύει για οποιονδήποτεπραγματικό αριθμό λ;

25. Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις x-y=-1 και λx-y=-1 αντίστοιχα, λ R .α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R .β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα.γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου

που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x΄x.


[5]

26. Δίνεται το σύστημα:x 2y 53x y 52x y

ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνωεξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο.ιι) Αν α 0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

27. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα

ήταν ίσος με το 18

του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και

εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 12

του

χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσαβασίλεψε.

28. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προςτους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια καιδιανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4.

α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει;β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000€ περισσότερο απ’ ότι

κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερημοιρασιά;

29. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν:α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 24.β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίωνψηφίων του .γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτωνψηφίων του.

1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ο πιο συνηθισμένος τρόπος επίλυσης ενός μη γραμμικού 2x2 συστήματος , είναι η μέθοδοςαντικατάστασης. Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει πρώτο βαθμό καιαντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση.Α΄ ΟΜΑΔΑ


α)2 22x y 3x y 11

5x y 2

β)

2y xy 105x y 17

γ)2x xy 3

3x 2y 7

δ)2x xy 102x y 7

2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.


[6]

i.22x y 0

6x y 4

ii.2 2x y 4x y 0

iii.2 2x y 2xy 1

iv.22x y 0

2x y 4

v.2 2x y 25x y 1

vi.2 2x y 17

xy 4

vii.

2 2x y 34x y 8

3. Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y=λx+3 εφάπτεται του κύκλου x2+y2=4;

4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4x τέμνει τηνπαραβολή 2y x .

Β΄ ΟΜΑΔΑ


i.2 2

2 2

x y x y 42x y x y 18

ii. x y xy 5x y xy 6

iii. 2

x y w 22xy w 4

iv.x y xy 7xy(x y) 6

v..x(2x y) x 0x y 2

vi. 2x y y 4 16 y3x 4y 11

vii.3 3x y 35x y 5

viii.x y 6

x y xy 11

ix.

2 2

2 2

x xy y 75x xy y 25

x.x y xy 4y z yz 7z x zx 9

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

1. Δίνεται το σύστημα5y 4x 1

,2x 3y 2

Α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y για κάθε τιμή του λ.Β) Να βρείτε τις τιμές των 0 0x , y .Γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, για τις οποίες η λύση 0 0x , y του συστήματος

ικανοποιεί τη σχέση 0 0x y 3 .

2. Δίνεται το σύστημα k 1 x 2y k 1kx ky 1

,όπου k πραγματικός αριθμός

Α) Να βρεθεί το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση.Β) Να βρεθεί η μοναδική λύση 0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k.Γ) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση 0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη


[7]

σχέση 0 0x y 3 .

3. Α) Να λυθεί το σύστημα: 2

x y 1x y

, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου .

Β) Αν 0 0x , y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να βρεθούν οι τιμές τηςπαραμέτρου ώστε 0 0y 0 x .

4. Δίνεται το σύστημα 2

x y 2

( 1)x 1 y 2 1

,όπου μ .

i. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση .ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x , y ) .iii. Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2 2

0 0x y να γίνει ελάχιστη.

5. Δίνεται το σύστημα

1 x 1 y 2x 1 y 2

και η εξίσωση 2x 1 x 1 0 .

Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο.Β) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την οποία

και να βρείτε.Γ) Να βρείτε την μοναδική λύση του συστήματος 0 0x , y και να αποδείξετε ότι 0 0x 2y .


1 x y 2

,x 1 y 1

το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η εξίσωση

2 D 5 4 D 1 0, έχει μία διπλή ρίζαi. Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσηςii. Nα λύσετε το σύστημα.

7. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x x με , , για την οποία ισχύουν:f(1)=0,f(-1)=10 και f(2)=1.α)τις τιμές των α,β,γβ)να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.γ)να λύσετε την ανίσωση f x f x 1 7

8. Δίνεται η εξίσωση : 2x x 0 η οποία έχει ρίζες 1 2x , x για τις οποίες ισχύουν οισχέσεις : 1 2 1 2x x 3, x x 2 και 2 2

1 2x x 3 . Να βρείτε τα α,β και γ.

9. Δίνεται το σύστημα :2x y 77x 2y 11


[8]

α) Να βρείτε τη λύση 0 0x , y του συστήματοςβ)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f x x x έχει κορυφή το σημείο 0 0x , yi)να βρείτε τους αριθμούς β και γ.ii)να λύσετε την ανίσωση f x 0 .

iii)να λύσετε το σύστημα y f x

x y 6


1 x 8y 4

x 3 y 3 1

το οποίο έχει μοναδική λύση 0 0x , y για την

οποία ισχύει 0 0x y 1 α)Να βρείτε τον αριθμό λ.β)Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2 x 6 i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον x΄χ

ii.Να λύσετε το σύστημα :

y f x

2y f x 1 10x

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου

[9]

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΜεθοδολογία ασκήσεων

Μονοτονία συνάρτησης Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης που κατέρχονται (φθίνει) από αριστερά προς ταδεξιά, στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίωςφθίνουσα.Αντίστοιχα προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης τα οποία ανέρχονται (αυξάνει) στονάξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησηςΒρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.Θεωρούμε 1 2x , x με 1 2x x , όπου . Στη συνέχεια προσπαθούμε με κατάλληλεςπράξεις να σχηματίσουμε τα 1f x και 2f x .

Αν 1 2f x f x , τότε f στο Δ, ενώ αν 1 2f x f x , τότε f στο Δ.Ακρότατα συνάρτησης Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Βρίσκουμε (αν υπάρχει) το κατώτερο σημείο 0 0x , f x της fC . Τότε η f παρουσιάζειελάχιστο στο 0x το 0f x .Αντίστοιχα βρίσκουμε (αν υπάρχει) το ανώτερο σημείο 1 1x , f x της fC .Τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 1x το 1f x .

Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησηςΑρχικά προσπαθούμε να μετατρέψουμε (αν χρειάζεται) το τύπο της συνάρτησης στη μορφή 2k

0f x x x . Τότε:- Αν 0 , έχουμε 2k 2k 2k

0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x ,οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το 0f x .

- Αν 0 , έχουμε 2k 2k 2k

0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x ,οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το 0f x .

Άρτια - Περιττή συνάρτηση Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησηςΒρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Παρατηρούμε αν αυτό είναισυμμετρικό γύρω από το 0, γιατί τότε για κάθε x και x .Στη συνέχεια βρίσκουμε το f x , αντικαθιστώντας στην f όπου x το – x.Αν f x f x ,τότε η f είναι άρτια ενώ αν f x f x , τότε η f είναιπεριττή. Αν όμως δεν μπορούμε να καταλήξουμε στα προηγούμενα, τότεθεωρούμε δύο αντίθετες τιμές για το χ που ανήκουν στο Α και αποδεικνύουμε


[10]

ότι f x f x και f x f x , οπότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτεπεριττή. Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησηςΔιπλώνουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα y΄y. Αν τα τμήματα της καμπύληςσυμπέσουν τότε η συνάρτηση είναι άρτια.Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 180 , αν το νέο σχήμα που θα προκύψει είναιίδιο με το αρχικό τότε η συνάρτηση είναι περιττή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:i. f x x 4 ii. f x 6x 38 iii. f x 3 x iv. f x 3 2 x 1

2. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις σε καθένα από τα διαστήματατου πεδίου ορισμού τους:

i. 3f xx ii. 2

1f xx iii.

2x xf xx 1

iv. xf x

x v. 1f x x

x vi. 1821 1453f x x 3x 2014

3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων:i. 2f x 3x 2 ii. 2f x 4 x 1 3 iii. 22014 2f x x x x 1

4. Να αποδείξετε ότι:i. Η συνάρτηση 2f x x 6x 4 παρουσιάζει ελάχιστο το f 3 5 .

ii. Η συνάρτηση 24xg x

x 4

παρουσιάζει μέγιστο για x 2

5. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές:

i. 4 2f x x 3x 2 ii. 5 3g x x 2x 4x iii. 2xh x

x 1

iv. 3xt xx 5

v. 4 3x x 5x x 4 vi. 2x 9 x

6. Να εξετάσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν άξονασυμμετρίας τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας το O 0,0 :

i. 2f x 25 x ii. 22xf x

x 1

iii. 2f x x x

7. Δίνεται η συνάρτηση 2x 9 , x 0f x

2x 8 , x 0

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα


[11]

,0 και 0, .ii. Να βρείτε τις τιμές f 4 και f 1 .iii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της.

Β΄ ΟΜΑΔΑ8. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο . Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

i. f 3x 2 f x 4 ii. f x 1 f 3 iii. f x 2 f 2x 3 0

9. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο με f x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε

ότι η συνάρτηση 1g x

f x είναι γνησίως φθίνουσα στο .

10. Αν η συνάρτηση f x 3x 1 έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 2,5 , να βρείτε ταακρότατα της.

11. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο ή το μέγιστο των συναρτήσεων:

i. 2f x x 2x 10 ii. 20143g x

x 3

iii. h x x 1 4

12. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:i. 2f x 4 x ii. f x x 2

13. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) 4x x 5 , x .i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.ii. Να λύσετε την ανίσωση f x 3 0 .

14. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) 8 x , x .i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.ii. Να λύσετε την ανίσωση f f x 8 8 .

15. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f x είναι περιττή στο , τότε η συνάρτηση

2g x f x είναι άρτια.

16. Αν συνάρτηση f είναι περιττή στο , να λύσετε την εξίσωση: 2014 2014f x 1 x 2 f 1 x

17. i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α + 1α 2.


[12]

ii.Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x + 1x

με x > 0.

18. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0<α<β είναι γνησίωςαύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [-β, -α].

19. Μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-12, 12]. Η μελέτη στο διάστημα[0, 12] έδωσε τον διπλανό πίνακα.

Να συμπληρώσετε τον πίνακαγια ολόκληρο το διάστημα [-12, 12].

20. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Νασυμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν:

(-1, 2) ( 1 1,2 2

) (…, 2) (…, 4) (3, …) (-3, 18) ( 2 , 4) 1 ,...2

21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το R 0<α<β να διατάξετε απότην μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις τιμές:

f2

, f(α), f(β), f(0), f(α-β), f 23

22. Δίνεται η συνάρτηση f x 1 x 2 i. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία.

ii. Να δείξετε ότι 1f 2014 12014

iii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 2.

23. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R . Αν 1 2f f3 5

και η Cf

διέρχεται από το σημείο Α(1, 4) να λύσετε την ανίσωση f 3x 1 4

24. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R να λύσετε τις εξισώσεις.i. 2f x f 4x 4 ii. f 2x 5 f 3

x

f(x)

0 1 4 12

32

0

5


[13]

2. 2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x f x c , c 0 προκύπτει από κατακόρυφημετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφικήπαράσταση της συνάρτησης h x f x c , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση τηςγραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω.

Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x f x c , c 0 , προκύπτει από

οριζόντια μετατόπιση της γραφικήςπαράστασης της συνάρτησης f κατά cμονάδες προς τα αριστερά.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης h x f x c , c 0 , προκύπτει από

οριζόντια μετατόπιση της γραφικήςπαράστασης της συνάρτησης f κατά cμονάδες προς τα δεξιά.

Σημείωση: Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 2g x f x c c ,χρησιμοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφημετατόπιση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση 2f x 4 x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να

παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων:i. 2

1g x 2 x , 22g x x και 2

3g x 1 x

ii. 2 21 2h x 4 x 2 h x 4 x 2

iii. 2 21 2x x 2 x 2 x 2

2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση

y

x΄y΄

xO

y f x y f x c

c

c

c

c c

y

x΄y΄

xO

y f x y f x c

c

c c

c

c

c

y΄

x΄ xO

y


[14]

f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων ναπαραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων:i. 1g x x 3 , 2g x x 1

ii. 1 2h x x 2 h x x 4

iii. 1 2x x 2 1 x x 4 3

3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να

παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων g x 3 x ,h x x 2

x 3 x 2 .

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 3x 2x 1 . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησηςf της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσειςτης γραφικής παράστασης της f:

i. κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδα προς τα πάνω.ii. κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.iii. κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.iv. κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.v.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησης f.

i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.ii. Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων:

A f ( 6) f ( 5) f ( 3) f ( 2)Bf ( 1) f ( 2)

f (3) f (4) f (5) f (6) .

2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση2

3

x x , x 0f (x)x 4, x 0

, είναι γνησίως

αύξουσα στο .

x΄

y΄

xO

y

y΄

x΄ xO

y

fC


[15]

3. Δίνεται η συνάρτηση x 3 , x 1

f xx , x 1

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.

4. Δίνεται η συνάρτηση 2x 1 , x 0

f x2x 1 , x 0

.

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.

5. Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) x 5x 1 , x .α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε την ανίσωση f f x 7 .

6. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσαστο .i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 27f 3(x) – 8g 3(x) είναι γνησίως αύξουσα στο .

ii. Αν ισχύει

f 0 2g 0 3

, να λύσετε την ανίσωση 27f 3(x) > 8g 3(x) .

7. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2015+x2013+1.i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο

ii. Να λύσετε την ανίσωση : x2015+x2013-2>0iii. Να λύσετε την ανίσωση : f(f(x))<3

8. Η γραφική παράσταση Cf μιαςσυνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στοσχήμα.i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.iii. Να λύσετε τις εξισώσεις:

a) f (x) = 0,b) f (x) = 2,c) f (x) = - 2

iv. Να λύσετε τις ανισώσεις: a) f (x) > 0,b) f (x) < 0,c) f (x) 2,d) f (x) < - 2

v. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια.vi. Να εξετάσετε αν η f είναι περιττή.


[16]

9. Δίνεται η συνάρτηση f x 16 x 3x 9 x 1 .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της fβ) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα y΄yγ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονίαδ) Να βρείτε τα ακρότατα της fε) Να λύσετε την ανίσωση: 16 x 3x 9 x 1

10. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x x , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τοσημείο Μ(-1,4)α) Να αποδείξετε ότι λ=-3β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττήγ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονίαδ) Αν , να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 2f και f 2

ε) Να λύσετε την ανίσωση : 33 2 23x 1 x 5 3 x 3x 4

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου

[17]

3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν:Γ ημ Β = A

B

συν Β = ABB

εφ Β = AAB

Α Β

Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών:

ημίτονο2

1

23 3

23

34 2

24

56 1

26

π 0 συνημίτονο-1

32

22

12

0 12

22

32

2π

76

12

6

54

22

4

43

3

2

3

32 -1


[18]

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ΟΜΑΔΑ

1. Να εκφραστεί (i) Η γωνία 030 σε rad. (ii) H γωνία 53 rad σε μοίρες

2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών0 0 91 611485 , 2790 , , .

3 6

3. Αν 9 14x2 3 να αποδείξετε ότι: ημx-συνx > εφx+σφx .

4. Αν 5 x 32 να αποδείξετε ότι: ημx-εφx>συνx+σφx.

5. Αν 3x2

να αποδείξετε ότι: συνx+1+3εφx+4σφx>0.

6. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων:

α) y = 2 + 3 συνx β) y = 5 + ημ2x γ) y = 12 - x

7. Να δειχθεί ότι: ημ405 - ημ750συν1125 + συν1860

= 3 - 2 2 .

Β΄ΟΜΑΔΑ

8. Αν 3 x 4 . Να δείξετε ότι x x x x2 32 2 2 2

9. Αν ισχύει 3x2

να δείξετε ότι:2x. x 2 x. x x x 0

10. Αν 3 x 22 δείξτε ότι 2x x 2 x x x x 0

11. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:Α= 21 2 x Β= 23 x 2 1

12. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:Α=1-3συν2x Β=3ημω-2συν2x-1

13. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 2 3, .

14. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 24 4 3, .

15. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστεi) 2x 12 7 x ii) 2x 1 x 5

16. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστεi) 2x 6 5 x ii) 2x 1 x 11


[19]

3.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

2 2x x 1 xxx

xx

x

x x 1

22

1x1 x

22

2xx

1 x


1. Αν 4x5

και 3x ,2

Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της

γωνίας x rad.

2. Αν x 2 και x .2 Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της

γωνίας x rad.

3. Aν ένα σημείο Μ ενός τριγωνομετρικού κύκλου που έχει διαγράψει τόξο ω

βρίσκεται στο 20 τεταρτημόριο και έχει τεταγμένη y = 513

. Να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης: 13 12 20125 13 25

4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις: i)4 2

4 2

συν x - συν x

ημ x - ημ xii)

2 2

2 2x - y

συν x - συν y

5. Να αποδειχθεί ότι:

α) 2 2 21 1x x

x x

β) 2 2x x x x x x

γ)x 1 x 2

1 x x x

δ)4 4 2

11

6. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες υπάρχει γωνία χ γιατην οποία ισχύει ότι:

α) 1x2

και 3 2x4

β) x 1 και x 2


[20]

7. Αν 12

και 2

23

.Να προσδιορίσετε το κ .

Β΄ΟΜΑΔΑ

8. Αν 6ημ2x + ημx - 1 = 0 και π < x < 3π2

, να βρεθεί το συνx.

9. Αν 9 x 52 και 216 9 , να βρείτε την τιμή της παράστασης 1

10. Αν 4 x 3 x 5 και 0 x2

, να υπολογιστεί η x .

11. Να εξετάσετε αν οι ρίζες της εξίσωσης 4x2+2 3 1 x 3 =0 μπορούν να είναιτο ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας θ.

12. Αν x x , να υπολογίσετε με τη βοήθεια του 2 τις παραστάσεις:

i. x x ii. x x iii. 2 2x x iν. 3 3x x

13. Να αποδειχθεί ότι:

i.2 2 4

42 2 4

ημ α - συν α + συν α = εφ ασυν α - ημ α + ημ α

ii. 22

1- 2ημθ 1-3ημθ- = 3εφ θσυν θ 1- ημθ

14. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης 2 21 x 1 x 1 0, 1

τότε να δείξετε ότι ρ1+ρ2+ρ1ρ2=1.

15. Να βρείτε το , ώστε η παράσταση 6 6 4 4x x x x

να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ.

16. Να αποδείξετε ότι : 2 2x y 2 x y 2 για κάθε x, y

17. Να αποδείξετε ότι : 12

18. Να αποδειχτεί ότι 5 x 2 x 5 .

19. Να δείξετε ότι: α) 3 x + 2 x 5 β) 2 x - 10 x 12


[21]

3.3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

ΜεθοδολογίαΗ αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους, ένας από

τους οποίους είναι και ο παρακάτω:1. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι:

ημ(κπ θ) = ημθ συν(κπ θ) = συνθ εφ(κπ θ) = εφθ σφ(κπ θ) = σφθΔηλαδή:

i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής x = κπ θ δεναλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λπ.).

ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται: από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να

βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να θεωρούμε ότι π2θ 0, ).

από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού xστο τεταρτημόριο αυτό.

2. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι:

κπημ θ συνθ2

κπσυν θ ημθ2

κπεφ θ σφθ2

κπσφ θ εφθ2

Δηλαδή:i.Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής κπ

2x θ , όπου ο κ είναι(υποχρεωτικά) περιττός ακέραιος αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα,

από συνημίτονα σε ημίτονα, από εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και απόσυνεφαπτομένη σε εφαπτομένη.ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται: Από το τεταρτημόριο, στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x. Από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α΄ μέλους στο συγκεκριμένοτεταρτημόριο.


1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:

i. 19500 ii. -12150 iii. 383

iν. 554

2. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:i. ημΑ = ημ (Β + Γ) ii. ημ2Β + συν2(Α + Γ) = 1

3. Να δείξετε ότι:

α)5π 7π 4πημ . συν . εφ 24 6 3 = -4π 5π 7π 42ημ . εφ . σφ

3 4 6

β) - ημ (270 + θ) ημ (180 + θ) - 1 =1 + συν (90 + θ) συν (180 - θ)


[22]

4. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση:π( x) ( - x)2

( x) ( x)

.

5. Να αποδείξετε ότι:

3( ) 02 2

6. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις:

Α = συν (x - π) + συν (x - π2

) + ημ (x - π) + ημ (x - π2

)

7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

(3 x). x . (7 x)2

7(9 x). x . x2 2

( )2 2

( )2

8. Να δείξετε ότι:( x). ( x). (9 x)i. 1

17 13x . (x 2 ). x2 2

(2 ). ( ). ( ). . (2 )2ii.

3 3. ( ). .2 2 2

0 0 0

0 0 0(180 ). (90 ). (180 )iii. 1(90 ). (90 ). (90 )

5 . ( 2 ). (3 )2iv. 1

3 . (5 ). ( )2 2


9 11 9 112 2 2 2 1

17 19 13 152 2 2 2


13 279 232 2

9112


[23]

11. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι 114

και

54

, να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

12. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι:

i. συν2Α= 21

1 ii. συν 3 3 0

2 2

iii.

ημ2

2

2

22 1

2

13. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1 91 2 92 και

Β= 2 x ( x). ( x) 2 x . ( x)2 2

.Να δείξετε ότι 2 .

14. Αν 2x 2 x 0 και 0 x2

, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

Α=

2011 33x 2 x2 2

3 (27 x) ( 3 x)

15. Αν συν 23 23 12 2 2

να υπολογιστεί η παράσταση Α=εφ2x+σφ2x.

16. i. Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x)ii. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος:

συν2(x + 45°) + συν2(x - 45°) + ημ2(45° - y) + ημ2(y + 45°).

17. Δίνεται 14 4 2

.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

i. Α= 2 2

4 4

ii. Β=4 4

18. Δίνεται 5 212 12

.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

Ι) Α= 2 2512 12

ΙΙ) Β= 3 35

12 12

19. Να αποδείξετε ότι:i. 0 0 0 0 00 1 2 ... 179 180 0 ii. 0 0 0 00 1 2 ... 359 0


[24]

20. Αν 02

,να δείξετε ότι:

3 52 12 2

3.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Τύποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων:

ημ x = ημ θ x = 2kπ + θ ή x = 2kπ + π - θ

συν x = συνθ x = 2kπ + θ ή x = 2kπ - θ

εφ x = εφ θ x = kπ + θ

σφ x = σφ θ x = kπ + θ πάντα με κΖ

Ειδικές περιπτώσεις:ημ x = 1 x = 2kπ +

2 ημ x = -1 x = 2kπ -

2

συν x = 1 x = 2kπ συν x = -1 x = 2kπ + π

ημ x = 0 x = kπ συν x = 0 x = kπ +2

εφx=0 x=kπ σφx=0 x = kπ +2

πάντα με κΖΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2 συνx-1=0 β) 3 εφx-1=0 γ) 3 σφx-3=0 δ) εφ2x 3

2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 3ημ2x2

β) 2συν2x2

γ) πεφ x 36

δ) σφ2x = -1

3. Ομοίως οι εξισώσεις:α ) 3 (1+ημx)(2+συνx)=0 β) (3εφx+ 3 )(1-συν2x)=0

γ) (1-2ημ2x)(1+2συν2x)=0 δ) (1+συνx) 1 1 0x



[25]

2i) x 1 . 2 x 2 0 ii) x 1 . x 0 iii) 2 x 1 . x 0

5. Να λυθούν οι εξισώσεις:1i) x ii) 3x 3 iii) x x 0

4 2 3 3

6. Ομοίως οι εξισώσεις:

ι) ημ 3x 2x 02 3 ιι) συν2x+συν x 0

2 ιιι) εφx=- εφ2x


i) 3x (x ) ii) 2x x3 6


ι) πημ2x συν x3

ιι) π πσυν x ημ x 03 6

ιιι) πεφ2x σφ x4

ιv) π πημ 2x συν x 04 2


2 2

2 2 2

i) 2 x 5 x 3 0 ii) 2 x 1 5 xiii)2 x 3 1 x iv) 3 x x 5 x 0

10. Να λυθεί στο 0, η εξίσωση 2 2x 15

.


ι) 2ημ 2x 13

στο (π, 2π) β) 1-σφ2x=0 στο ,0

2

12. Δίνεται η εξίσωση 4ημ(x – π) ημ(2π – x) = ημ2(x + π) + συν2(x – π).α)Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 4ημ2x = 1.β) Να λυθεί η δοσμένη εξίσωση.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

13. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) 2 x x 2 x 2 x 2 0 ii) 3 2x 2 x x

14. Να λυθεί η εξίσωση 5x 10x 1 .

15. Να λυθεί στο 0,2 η εξίσωση 1 x x .


[26]

16. Να λυθεί στο , 2 η εξίσωση x x 3 2 .

17. Να λυθούν οι εξισώσεις:α) 2 2 24 x x x x 3 x 0 β) 3 2x 2 x x

γ) 2 27 x 3 4 x x 2 x δ) 4 4x 1 – x

18. Να λυθεί η εξίσωση: 2012 20142x x 0

19. Να λυθεί η εξίσωση: 2 4x 2 x 2


α) 2ημx 1 4 ημx 1ημx 1 1 ημx συν x ημx

β)

2 2

2 2 4ημ x 3 5 ημ x 15ημ x 2 ημ x 2 ημ x 4

21. Να λυθεί η εξίσωση 32

12x

x 3 x 4

.

22. Να λυθεί η εξίσωση: 4

2

x 1 x 13 2x

23. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

i. x 12

ii. x 1

24. Δίνεται η εξίσωση: 2 2 3ημ x λ συνx λ , λ4

Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2π3x , τότε:

i. να βρείτε την τιμή του λ.ii. να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης.

25. Δίνεται η συνάρτηση 1 1f x x 1 x 1x x

.

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 2 στο διάστημα 0, .

26. Έστω η συνάρτηση : x 1f xx

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.iii. Να λύσετε την εξίσωση : f x x .


[27]

27. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 3 x ( 3 1) x 1 , x 0,2

.

i. Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .ii. Αν η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι:

922 1

1718212

28. Δίνεται η συνάρτηση x xf x1 x

.

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii. Να αποδείξετε ότι 1f x 1x

.

iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

iv. Να αποδείξετε ότι 4k 1f x f x

2 2

v. Να λύσετε την εξίσωση f x 32

.

29. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x 2 2x 2x 4 2x 2 .

i. Να αποδείξετε ότι 3f x f x2 2

.

ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 3g x 2 2x 2 2x f x

καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x.

30. Δίνεται η συνάρτηση 1 2 x xf xx x

.

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii. Να αποδείξετε ότι f x x x .iii. Να λύσετε την εξίσωση f x f x 1 0 .

31. Δίνονται οι συναρτήσεις 2

216 xf x1 x

και 2g x x 1 .

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους.ii. Να λύσετε την εξίσωση f x 3g x .

iii. Να αποδείξετε ότι 2f x 16 x και 21g x

x

.

iv. Να λύσετε την εξίσωση 2 216 x x 3 0 .


[28]

3.5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μεθοδολογία

Συναρτήσεις της μορφής ημαx ή συναx έχουν περίοδο 2π/α ενώ οισυναρτήσεις της μορφής εφαx ή σφαx έχουν περίοδο π/α.

Συναρτήσεις της μορφής αημx ή ασυνx έχουν ακρότατα -α και α. Συναρτήσεις της μορφής -ημx, -συνx, -εφx, -σφx είναι συμμετρικές των

αρχικών ως προς τον οριζόντιο άξονα. Συναρτήσεις της μορφής α+ημx, α+συνx, α+εφx, α+σφx είναι

μετατοπισμένες στον κάθετο άξονα κατά α. Συναρτήσεις της μορφής ημ(αx+β), συν(αx+β), εφ(αx+β), σφ(αx+β) είναι

μετατοπισμένες στον οριζόντιο άξονα κατά -β/α. Μία τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπάγεται σε περισσότερες από μία

από τις παραπάνω περιπτώσεις π.χ. -3ημ(2x-4 )+5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων:α) f(x) = 4ημx β) f(x) = 2συν2x-5γ) f(x) = -3ημ3x+4 δ) f(x) = -5συν3x

2. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων:α) f(x) = 3ημ2x β) f(x) = 2συν3x

γ) xf (x) 5ημ2

δ) xf (x) 2συν3

3. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:α. f(x) = ημ x β. f(x) = 3ημ x γ. f(x) = ημ 2x δ. f(x) = 4ημ 2x

4. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:

α. f(x) = συν x β. f(x) = -4συν x γ. f(x) = 12

συν 2x

5. Να βρεθεί η περίοδος των συναρτήσεων.

α. f (x) 5 2x β. xf (x) 63

γ. f (x) 8 8x δ. xf (x) 42

6. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 4-3ημ 5x

7. Δίνονται οι συναρτήσεις:

α. 3f (x) 2 x2

β. g(x) 5 ( 3x) γ. xh(x) 22

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος για κάθεμια από τις παραπάνω συναρτήσεις.


[29]

8. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :

α. f(x) = 1+συνx β. f(x) = 2συν3x -5 γ. f(x) = 4-3ημ x2

9. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :

α. f(x)=εφx β. f(x)=εφ2x γ. f(x)=σφx δ. f(x)=σφ x2

10. Δίνεται η συνάρτηση: πf(x) = συν - x - ημ(π + x)2

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) και να απλοποιηθεί ο τύπος της.β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f(x), δηλαδή η μέγιστη και η

ελάχιστη τιμή.γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).

Β΄ ΟΜΑΔΑ

11. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις:ι) 4 4 2 2f x x x 2 x x

ιι) g(x)=2

22

2 x 2( x 1)1 x

είναι σταθερές.

12. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

α. f(x) = ημ (x-4 ) β. f(x)= 2 2x

3

γ. f(x)=2συν 4x

13. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) ( x) , , 0, η οποία έχει μέγιστη τιμή το

5 και περίοδο3

,να βρείτε τις τιμές των και ω.

14. Το διπλανό σχήμα παριστάνειτη γραφική παράσταση τηςg(x) ( x), 0, Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικώναριθμών ω, .

15. Δίνεται η συνάρτηση2xf (x)3

με x και α>0,

i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η γραφική παράσταση τέμνει τον ψ΄ψ στο1 βρείτε τον τύπο της f .ii. Να κάνετε την γραφική παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και στοδιάστημα να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξοναχ΄χ.

16. Δίνεται η συνάρτηση: 3h x 2x 2 2x2

Ι. Να αποδείξετε ότι h x 3 2x .


[30]

ΙΙ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση h x , όταν0 x 2 .

ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση h x 1 όταν 0 x 2 .

17. Δίνεται η συνάρτηση: 7g x 3x 3x2

i) Να αποδείξετε ότι g x 2 3x .ii) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση g x , όταν0 x 2 .iii)Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση g x 1 όταν 0 x 2

18. Δίνεται η συνάρτηση 2 + ημ(x - π) - συν(x + π)f(x) =3 + συν(x - π) + ημ(x + π)

.

α) Να αποδειχθεί ότι 2 - ημx + συνxf(x) =3 - ημx - συνx

.

β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f.γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f(x).

19. Δίνονται οι συναρτήσεις (2 1)xf (x) 3 23

και

( 2)xg(x) 6 10 34

να βρεθούν τα 2, και 0, αν είναι γνωστό

ότι έχουν την ιδία μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδοτης g .

20. Δίνεται περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ , Τ > 0, και πεδίο ορισμού το R.Στο διάστημα [0 , Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το 2016 για το

μοναδικό x =4 και στο διάστημα [2Τ , 3Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη

τιμή για x = 94 .

i) Να βρεθεί η περίοδος Τ της συνάρτησης.ii) Αν f (x) ( x) να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0 , 3Τ].

21. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:i) f (x) x ii) f (x) x iii) f (x) x iv) f (x) x

22. Δίνεται η συνάρτηση: πf (x) 2ημ(π 2x) συν 2x2

α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3ημ2x και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f.γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Cf της f.δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f(x) = 4 έχει λύση.


[31]

23. Δίνεται η συνάρτηση: π

2ημ x ημ(x π) 1f (x)

3 ημ(x π) συν(x π)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f.

24. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν3x.α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f(x).β) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f(x).γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f(x).δ) Να λύσετε την εξίσωση x2 = 2(συν3x – 1).

25. Δίνεται η συνάρτηση:

συν x 20 x 22f x7 x 5 x 42

.

α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2 .

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1f x2 .

26. Δίνεται η συνάρτηση 2xf x , 0,3

η οποία έχει μέγιστο το 3 και

ηγραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο 1.α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1 .β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.

γ) ) Να αποδείξετε ότι 2

2 3f x 1 f x 1 44

.

δ) Να λύσετε την εξίσωση f 6x f 3x στο διάστημα 0, .

3.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Τυπολόγιο:

1

1

1( )

1( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

Α= 5 512 12 12 12

Β= 7 5 7 512 12 12 12

Γ= 0 0 0 063 27 27 63


[32]

Δ= 0 0 0 050 40 40 50

2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 512 και 7

12 .

3. Αν 0<x<2 και

2 <y<π και 12x

13 , 3y

4 να υπολογιστούν:

i) x y x y ii) x y x y

4. Να δείξετε ότι: α) 24 4

β) ( )

γ)2 2

2 22 3

1 2

δ) 0 0x 120 x 240 x 0

5. Έστω συνάρτηση 2 2f (x) x (x ) 2 x. . (x ) .Δείξτε ότι ηf είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).

6. Αν 0225 , να δείξετε ότι 11 1 2

.

7. Αν ( ) 0 , να δείξετε ότι: (2 ) ( )

8. Αν 090 να αποδειχθεί ότι:i) 1

ii)

iii) 2. . .

9. Αν x y και x y , να βρείτε το x y και ναδείξετε ότι 2 2 4 .

10. Αν σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 2 , να δείξετε ότιείναι ισοσκελές.

11. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (B )( )

.Τότε το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο.

12. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=2x,ΑΔ=x και ΑΒ=4x.Να δείξετε ότι:

i) 819

ii)


[33]


i) 2 x x6

ii) x 1 x

4 4

iii) x x 2 34 4

3iv)συν2x συνx ημ2x ημx2

14. Οι πωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικού προϊόντος από μια

εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται από τη συνάρτηση t tf (t) 26 6

εκατοντάδες χιλιάδες , όπου t ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη της σχολικής

χρονιάς, (Σεπτέμβριος) και α σταθερός πραγματικός αριθμός με 0 ,2

.

i) Να δείξετε ότι 1 tf (t) 26

ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστες πωλήσεις της εταιρείας είναι 400000μονάδες προϊόντος να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόπιν νααπαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των πωλήσεων του προϊόντος;β. Γιατί οι πωλήσεις του προϊόντος στον ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες;γ. Σε ποιόν μήνα του χρόνου οι πωλήσεις του προϊόντος είναι μέγιστες και σε

ποιον ελάχιστες;

H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνxΘυμίζουμε

H συνάρτηση f(x)=ρημx

H συνάρτηση αυτή έχει περίοδο 2πέχει ελάχιστο και μέγιστο το .

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ)

Έχει περίοδο 2π, ελάχιστο και μέγιστο , ενώ είναιμετατοπισμένη αριστερά κατά φ.

Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνxΌταν εμφανιστεί παράσταση της παραπάνω μορφής είτε στη μελέτη

συνάρτησης είτε στη λύση εξίσωσης, χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό.

02

23

π2π

02

23

π 2π


[34]

H συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx μπορεί να πάρει τη μορφή αημx+βσυνx=ρημ(x+φ)

όπου ρ= 2 2 και ,

, οπότε ανάγεται στην προηγούμενη

μορφή. Η περίοδος μιας συνάρτησης f(x)=ρημ(αx+φ) είναι 2

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

15. Να βρεθεί η περίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των παρακάτωσυναρτήσεων και στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά.

i) f x 2 2x6

ii) g x 2 4x

8


i) x 3 x 1 ii) 32x 2x 13

iii) 3 x x 2

17. Δίνεται η συνάρτηση f x x x , x .

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή 5f x 2 x4

.

ii) Να λύσετε την εξίσωση: x x 2


[35]

3.7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α

Τυπολόγιοημ2α=2ημασυνα εφ2α= 2

21

συν2α=συν2α-ημ2α=2συν2α-1=1-2ημ2α σφ2α=2 1

2

Τύποι αποτετραγωνισμούημ2α= 1 2

2 , συν2α= 1 2

2 , εφ2α= 1 2

1 2

Τύποι του 2α συναρτήσει της εφα

ημ2α= 22 ,

1

συν2α=2

21 ,1

εφ2α= 22

1

Τύποι συναρτήσει του2

ημα=2ημ ,2 2 συνα=συν2 2 ,

2 2 εφα=

2

22

12

ημ21

2 2 συνα =2συν2 1

2

συν21

2 2 συνα =1-2ημ2

2

εφ21

2 1

ημα=2

22 ,

12

συνα=2

2

12

12

Τύποι του 3αημ3α=3ημα-4ημ3α, συν3α=4συν3α-3συνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Αν συνα= 1

4 και π<α< 3

2 υπολογίστε το ημ2α και το συν2α.

2. Αν εφα=2 να υπολογίσετε τα ημ2α, συν2α, εφ2α.

3. Αν ημα+συνα= 23

να υπολογιστεί το ημ2α και το συν2α αν γνωρίζουμε ότι

0.4

4. Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 2 14 7 0 .

i) Να αποδείξετε ότι 35


[36]

ii) Αν επιπλέον ισχύει: 32

, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς ημ2α , συν2α, εφ2α .

5. Να δείξετε ότι

α) 21 24 2

β) 24 1 2

γ) ( ) ( ) 2 24 4


i) 1 + συν4α + συν2αημ4α + ημ2α

= σφ2α ii) ημ2α1 + συν2α

συνα1 + συνα

= εφ α2

12iii) 1

12

12iv)

22


α) 3 5 7 11 1 1 . 18 8 8 8 8

β) 4 4 3 38 8 4

γ) 2 4 5 112 12 16


ι) 2 4 17 7 7 8

ιι) 2 4 8 117 17 17 17 16

9. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2συνΓσυν A2

=ημΑ, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ισοσκελές

10. Να λυθούν οι εξισώσεις:2

3 2

xi) 2x x 0 ii) x 2 iii) 2x x 22

xiv) 2x x 2 x 1 v) 1 x 2x x 0 vi) 2x 2 02

11. Να λυθούν οι εξισώσεις:ι) 3 (2ημx+1)+2συν2x=2+2ημx ιι) 1+συνx+συν2x=0ιιι) συν2x=4συνx+5 ιν) συν2x+6συν2x=1

ν) 1+συν2x=6ημ2x νι) συνx+2ημ x2

=1


[37]

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

1. Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγματικοί

αριθμοί.i.Αν η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 4, να αποδείξετε ότι

α = 2 και β = 12

.

ii. Για τις τιμές α = 2 και β = 12

, να λύσετε την εξίσωση f(x) = 32

.

2. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε δεκάδες χιλ .κομμάτια ) δίνονται κατά

προσέγγιση από τον τύπο: tf (t) 15 23

,όπου t ο χρόνος σε έτη 0 t 6 .

i. Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θαείναι αυτές;

ii. Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τις 160.000 κομμάτια.

3. To βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της

ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση tf (t) 20 4 ,3

όπου t o χρόνος σε ώρες

με 0 t 24 .i. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης.

ii. Ποιο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού;

iii. Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30μ( από τον πυθμένα του νερού) να ελεγχθεί αν

το σκάφος ύψους 8μ πάνω από (την επιφάνεια του νερού) μπορεί να περάσεικάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί.

iv. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18μ;

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2 x 5 x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2π.β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες.γ) Να λύσετε την εξίσωση 22 2f x 2 x 8 f x 2 x 20 0

5. Δίνονται οι συναρτήσεις f x 2 2 x και g x x ,

, 0 .Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε:α) να αποδείξετε ότι 1 .


[38]

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g3 4

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 3 2g x στο διάστημα , 2 .

6. Δίνεται η παράσταση: 2f x x 2 x 2 , x

α) Να παραγοντοποιήσετε την f. β) Να αποδείξετε ότι f x 0 , x .γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f x 0 .δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2π.στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4.

7. Δίνεται η συνάρτηση f x x4

, , της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από τα σημεία A , 1 , B ,14 4

, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1 β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς

και την περίοδό της.γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f .

δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2x 24

.

ε) Να αποδείξετε ότι: 3 5 7 9f f f f f 14 4 4 4 4

8. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x x 2, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2 .β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν

βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ.γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα 0, με τεταγμένη 2.

δ) Να λύσετε στο διάστημα 0,2 την εξίσωση: f x f x2

.

9. Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x 3 x 2, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2 .

β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 18 .

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g x 2 3 x .


[39]

ε) Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση: f x f x2

.

10. Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x 2 x x 2 x 4 x , x .

i) Να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή f x 2x ,ρ,φ,κ ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της καιποια είναι αυτή.

iii) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x 24

στο διάστημα [0 , π ]

11. Δίνεται η συνάρτηση f (x) 1 x x με. x 0,2

i) Να δείξετε ότι x x xf (x) 22 2 2

για κάθε x 0,2

ii) Να βρείτε τις τιμές του x 0,2 για τις οποίες ισχύει f (x) 0

iii) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο (ii) ερώτημα να δείξετε ότι f ( x) x 1f (x) 2

12. Δίνεται η συνάρτηση 4 4f x 8 x 8 x 3, x

i) Να δείξετε ότι f x 2 4x 3 ii) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

συνάρτησης f.iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Μ x, f x με x 0,2 ,στις

οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y=2

13. Δίνεται η συνάρτηση 1 2xf xx x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .ii) Να δείξετε ότι f x x x

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x 1

14. Δίνεται η συνάρτηση: π πf (x) 3 2ημ x συν x , x4 4

i) Να αποδείξετε ότι f x 3 2x ii) Να αποδείξετε ότι 2 f (x) 4 για κάθε xR.iii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη

τιμή της.iv) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f;v) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε πλάτος μίας περιόδου.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου

[40]

4.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΟρισμοίΜονώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αxv, όπου α, ν και x

μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το .• Μονώνυμο του x λέμε επίσης κάθε πραγματικό αριθμό.

Πολυώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφήςv v 1

v v-1 1 oα x α x ...α x+α ,όπου 0 1, ,..., είναι πραγματικοί αριθμοί και v φυσικόςαριθμός.

Για να απλουστεύσουμε τη γραφή των πολυωνύμων χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούςP(x), Q(x), Φ(x)… κ.λπ.Επομένως, πιο απλά γράφουμε: v v 1

v v-1 1 0P x α x α x ...α x α Στοιχεία ενός πολυωνύμου


1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α το πολυώνυμο :

ναxΣυντελεστής α

Μονώνυμο του x

Κύριο μέρος νx

Βαθμός ν

Όροι λέγονταιτα μονώνυμα

ν ν 1ν ν 1 0α x ,α x ,...,α

Συντελεστές λέγονταιοι πραγματικοί

αριθμοί 0 1 να ,α ,...,α

Σταθερός όρος είναιτο όρος 0α

που δεν περιέχει x

Βαθμόςείναι

ο εκθέτης ν

ν ν 1ν ν 1 1 0 νP(x)=α x α x ... α x+α , α 0

Αριθμητική τιμή 0P(x )=0 λέγεται ο

αριθμός 0ν ν 1

0 ν ν 1 0 1 0 0P(x )=α x α x ... α x +α

που προκύπτει αν στο P(x) θέσουμε όπου xτο x0

αντικαταστήσουμε το με

Ρίζα του P(x)λέγεται έναςαριθμός ρ

αν και μόνο ανP(ρ)=0


[41]

2 3 3 2P(x) 4 x 3 3 5 2 x 2 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο το πολυώνυμο

2 3 2P x 2 x 5 6 x 12

είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

3. Να προσδιορίσετε το βαθμό του πολυωνύμου 2 4 2P x 6 8 x 2 x 3 10 για τις διάφορες τιμές του .

4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου : 2 3 2 2P(x) ( 1) 9 x 4 3 x 3 9 , για τις διάφορες τιμές του .

5. Να βρείτε το για το οποίο τα πολυώνυμα 3 2 2P x 5x x 9 8 και

3 2Q x 4 x x 1 είναι ίσα.

6. Να βρείτε τα , , , για τα οποία το πολυώνυμο 4 3 2P x x x x x 16

είναι τέλειο τετράγωνο του 2Q x x x .

7. Για ποιες τιμές των α,β τα πολυώνυμα Ρ(x) και Π(x) είναι ίσα ;i) 3x x x 1 και 3 2x x x 2x 1

ii) 2 3 2x x 3x x 2 και 3 2 2x x 2 x x

8. Να βρείτε τις τιμές των α, β ,ώστε οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου3 2P(x) x (2 3 )x (2 )x ,για x 1 και x 1 ,να είναι 3 και –5

αντίστοιχα.

9. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x)=(α2-3)x3+(β-2)x2+(3α-2β)x+α και Q(x)=2x3+αx2+9x+γ.Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ ώστε το πολυώνυμο Π(x)=Ρ(x)+Q(x) να είναι :α) το μηδενικό πολυώνυμο β)μηδενικού βαθμού γ) 3ου βαθμού

10. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 2P x 4x 6x 4x 8 και 3 2Q x x x x . Ναβρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α,β,γ,δ, ώστε το πολυώνυμο P x Q x ,να είναι:

α) 3ου βαθμού β) το πολύ 2ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού

11. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν:Ρ(-1)=1, Ρ(0)= -4, και Ρ(2)+2=0

12. Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x3 - 3x2 + 8x - 27να παίρνει τη μορφή α (x3 + x) - 3x2 + (x - 3) (x2 + 3x + 9).

13. Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x4 – (α + β)x3 + γx2 – (α + δ)x + β – δκαι Q(x) = (β – α)x4 – γx3 + (β + δ)x2 – βx + 1. Αν P(x) = Q(x):

α) να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ,β) να εξετάσετε αν το ρ = 1 είναι ρίζα του P(x).


[42]

14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ,δ για τους οποίους ισχύει:

2 22 2

2 x δx x x 1x x 1

15. Να αναλυθεί η κλασματική παράσταση 23x 3x 9

σε άθροισμα κλασμάτων.

Β΄ΟΜΑΔΑ

16. Αν το πολυώνυμο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x3 + 4x2 + (α2 - 1) x.Το αντίστροφο ισχύει;

17. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= 2 3 2 2x ( )x ( )x 1 .Αν η τιμή τουπολυωνύμου P(x) για x=1 είναι ίση με –3,τότε:i) Να βρεθούν οι τιμές των α, β. ii) Να βρεθεί ο βαθμός του P(x),iii) Να βρεθεί το πολυώνυμο Q(x)=P(P(x-2))

18. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε Ρ(x)+[P(x)]2=2x(2x+3)+2.

19. Να βρείτε το πολυώνυμο Π(x) δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε Π(x)= 2 1xx

και

Π(1)=Π(-1)-6=1.

20. Θεωρούμε δύο πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) με Q(x)=Ρ(Ρ(x)). Αν ρ είναι μία ρίζα τουΡ(x)-x, να δείξετε ότι είναι ρίζα και του Q(x)-x.

21. Δίνονται τα πολυώνυμα P x και Q x για τα οποία ισχύει ότι

P x 2 Q x 1 2 . Να αποδείξετε ότι:α) τα P x και Q x είναι σταθερά πολυώνυμα.β) P x Q x 4 2Q x P x

22. Σε ένα πολυώνυμο P(x) ο σταθερός όρος είναι 2 και το άθροισμα τωνσυντελεστών ισούται με 3.Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός χ=1 είναι ρίζα τουπολυωνύμου Q(x)=P(P(P(x)-3)-2)-2x.

23. Έστω πολυώνυμο P(x) τέτοιο, ώστε : P(2x 1) 2P(x) 3 για κάθε x καιP(0) 0 .Να υπολογίσετε το P(15).

24. Αν A(x) και B(x) είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα:P(x) = 2A(x) + 3B(x) και Q(x) = 3A(x) + 2B(x)

δεν έχουν κοινή ρίζα.

25. Αν το πολυώνυμο 3 2P x x 3x 3x 3 έχει ρίζα τον θετικό αριθμό ν, νααποδείξετε ότι 4 .


[43]

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Η ταυτότητα της διαίρεσης

A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητατης διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι:

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0 υπάρχουν δύο μοναδικάπολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε:

Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x)όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό τουδ(x). Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x)υπόλοιπο της διαίρεσης.

Β. α) Αν Δ(x) = δ(x) π(x), δηλαδή αν το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναιτο μηδενικό πολυώνυμο (υ(x) = 0), τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι τοΔ(x) διαιρείται με το δ(x). Το δ(x) λέγεται επίσης παράγοντας του Δ(x) ή διαιρέτηςτου Δ(x) και η διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέγεται τέλεια.

Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρA. Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x – ρ

ισχύουν τα εξής συμπεράσματα:α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ είναι ίσο με

την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Ισχύει δηλαδή ότι:υ = Ρ(ρ)

β) Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζατου Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0.

Για να βρούμε λοιπόν το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ), αρκεί να βρούμε τοΡ(ρ). Αν Ρ(ρ) = 0, τότε το x – ρ είναι παράγοντας του P(x) και αντιστρόφως. Τονίζουμεότι:Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + α) είναι υ = Ρ(-α).

Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (αx + β) είναι , όπου

α 0.Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν, αν ο διαιρέτης είναι δευτέρου ή

μεγαλύτερου βαθμού.

Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x). Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:i. Το P(x) διαιρείται με το x – ρ.ii. Το x – ρ διαιρεί το P(x).iii. Το x – ρ είναι διαιρέτης του P(x).iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x – ρ.v. Το x – ρ είναι παράγοντας του P(x).vi. Η διαίρεση του P(x) με το x – ρ είναι τέλεια.vii. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x).viii. Ισχύει ότι Ρ(ρ) = 0.ix. Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ) είναι ίσο με μηδέν.


[44]

Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλεςμαζί. Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η πρότασηΡ(ρ) = 0 είναι αμέσως αξιοποιήσιμη.

Γ. Έστω P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0 , με αν 0.Αν ρ1 , ρ2 , …, ρν είναι οι ρίζες του P(x), τότε ισχύει ότι:

P(x) = αν(x – ρ1)(x – ρ2) … (x – ρν)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.

α) (x4 + x3 + 3x2 + 2x + 7) : (x2 + 1)β) (x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 6) : (x2 – 2x + 3)γ) (x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + 4x + 2) : (x2 + x + 1)δ) (3x3 - 4αx + α2) : (x - 2α)ε) [7x3 - (9α + 7α2) x + 9α2] : (x - α)

2. Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x2+1 δίνει πηλίκο 3x+2 και υπόλοιπο -x+3.

3. Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x4+1 να διαιρείται ακριβώς με x2+κx+λ.

4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,να βρεθούν τα πηλίκα και ταυπόλοιπα των διαιρέσεων :i) 4 3 2x 2x 5x 3x 14 : (x 2) ii) 3 22x x 7x 5 : (x 1)

iii) 5 2x 3x x 1 : (x 1) iv) 2 25x 2 x 3 : (x )

5. Να βρείτε το ,ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου:3P(x) 2 x ( 3)x 3 3 με το x 1 ,να είναι 12.

6. Να βρείτε α, β ,ώστε το πολυώνυμο 4 3 2P(x) x 1 x (2 3 )x 7 x 10 ,να έχει παράγοντες τους x 1

και x 2 .

7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x2014 – x2012 + x2010 + x - 2α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1.β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 1.γ) Ποιο από τα πολυώνυμα x + 1 και x – 1 είναι διαιρέτης του P(x);

8. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) x (2 1)x ( )x 1 .Να βρείτε τα α, β , ώστετο P(x) ,να έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x 1 ,ναείναι 4.

9. Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο 4 3 2x x 3 2 x 3 2 x 5 x 6 να έχει παράγοντα το x2+x-2.


[45]

10. Αν το x-3 είναι παράγοντας του Ρ(x), να δείξετε ότι το x-2 είναι παράγοντας τουQ(x)=Ρ(4x-5).

11. Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5 .Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης 2P(x) : x 4x 3 είναι 5 .

12. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο x2-x δίνει υπόλοιπο 2x+1, ναβρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x):x και Ρ(x):x-1.

13. Αν οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου Ρ(x) με τα x+1 και x-2 δίνουν αντίστοιχα υπόλοιπα3 και -3, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x2-x-2).

14. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο3 2P(x) 2x 5x 9x 18 διαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3) και να βρείτε το

πηλίκο.

15. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2P(x) x 2 x x 6 ,ναδιαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3) .

16. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο 3 2P x x x 1 x 5 να έχει για παράγοντα το x 1 x 2 .

17. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να δείξετε ότι το4 3 2P(x) 2x x x 7x 5 έχει παράγοντα το 2(x 1) .

18. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2P(x) x 5x x 12 ,ναέχει παράγοντα το 2(x 2) .

19. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο 3 2P x x x 3 x 10 να έχει για παράγοντα το 2x 2 .

Β΄ ΟΜΑΔΑ

20. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = xν+1 – (ν + 1)x + ν όπου νN*. Να αποδείξετε ότι:α) το P(x) έχει παράγονται το x – 1, β) το P(x) διαιρείται με το (x – 1)2.

21. Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1 + βxν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1)2 αποδείξτε ότι τοπολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αxν + νβxν-1 έχει παράγοντα το x - 1.

22. Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νxν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότιδιαιρείται και με το (x - 1)2.

23. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο 3 3 1P(x) (1 3 )x 3 x 1 διαιρείται με το2x 2x 1 .

24. Να βρείτε τους λ,μR ώστε το πολυώνυμο x4+(λ-μ)x3+2λx2-5x+4 να διαιρείται με τημεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1.


[46]

25. Δίνεται το πολυώνυμο 1821 1453P x x x 2 x 1 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το 3 2Q x x 3x 2x .β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1821 145310 8 9 89 είναι πολλαπλάσιο του720.

26. Δίνεται το πολυώνυμο 20 15P x x 4 2x 5 2 .α) Να αποδείξετε ότι το x 3 είναι παράγοντας του P x .β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 40 152 11 2 είναι πολλαπλάσιο του 5.γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 20 159 21 1 είναι το 3.

27. Ένα πολυώνυμο P(x) με: (x + 1) + (x + 2)P(x + 3) = 2x5 -2x2 -10 για κάθε xR .i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με τα x – 3 και x + 1.ii) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο: Q(x) = x2 – 2x – 3

28. Δίνονται τα πολυώνυμα : 3 2P x x ax 1 2a x 4 και

3 2Q x 1 a x x 2a 1 x 5 .Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με το x-1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.α) Να βρείτε τον αριθμό aβ) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε:i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x)ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το 2x 1 .

29. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι διαιρείταιακριβώς με (x-α)(x-β).

30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες:α. Υπάρχει α τέτοιο ώστε P(α)-1=Q(α)-1=0.β. P(x)=Q(x)+Q(P(x))+P(Q(x)).Να δείξετε ότι το πολυώνυμο R(x)=P(x)+Q(x) διαιρείται με x-1.

31. Αν Π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α), να δείξετε ότι το υπόλοιπο τηςδιαίρεσης Ρ(x): (x-α)2 είναι υ(x)=Π(α)x+Ρ(α)-αΠ(α).

32. Αν τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x): (x-α) και Ρ(x): (x-β), αβ είναι αντίστοιχα Π1(x)και Π2(x), να δείξετε ότι Π1(β)=Π2(α).

33. Έστω πολυώνυμο Ρ(x) με Ρ(1)=1 και Ρ(x)=Ρ(1-x). Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμοQ(x) έτσι ώστε Ρ(x)=x(x-1)Q(x)+1.

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Αν η εξίσωση ανxν+αν-1xν-1+ . . . +α1x+α0 = 0 με αν,αν-1, . . . ,α1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α0.

έχει ρίζα το κλάσμα

, τότε το κ διαιρεί το α0 και το λ διαιρεί το αν.


[47]

Αν Ρ(x) πολυώνυμο και α,βR έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(β)<0, τότε υπάρχει τουλάχιστον έναξ(α,β) τέτοιο, ώστε Ρ(ξ)=0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις :i) x4+5x3+6x2=0 ii) 4 3 23x 8x 12x 32x 0 iii) 2 22x 8 (x 2)(2x 1) x 5x 6 iv) 3 2x 2x 6x 27 0 v) (x + 1)2(2x – 3) – (x2 – 1)2 = 0 vi) (x+3)3-27=0

2. Να λύσετε τις εξισώσεις :i) 3 2x x 10x 8 0 ii) 4 3 2x 3x x 3x 2 0 iii) 3 24x 8x x 3 0 iv) 4 3 26x 7x 12x 3x 2 0

3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεωνf(x)=x4-4x3+10x2+20x-10 και g(x)=5x3-8x2+2x+30.

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2x x 2x 3x 3 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες.

5. Να βρείτε το κ, ώστε η εξίσωση x6-3x4-6x2+κ = 0 να έχει ρίζα το 2. Στη συνέχειαλύσετε την εξίσωση.

6. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου 2 2 2x x x x 5x 6 x 4 .

7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:i. 25x 10 x 3 x 9x 20 0 ii. 2 210 x 3x x 2x 1 0

iii. 2 21 x x 8x 16 0 iv. 2 2x 4x 6 4x 5 x 0

v. 2 23x 2x 1 x 6x 9 0 vi. 2 2 24 1 x x x x 2x 3 0

8. Να λύσετε τις ανισώσεις:i) x4-x3+3x2-3x0 ii) x3+3x2-x-3<0iii) x3-4x2+2x-8>0 iv) x4-5x2+60

9. Να λύσετε τις ανισώσεις :i) x3-5x2+8x-4 > 0 ii) x4+2x3 7x2+20x +12 iii) x4+3x2+x < 5x3

10. Δύο ρίζες της εξίσωσης: x4-(2α+1)x3+5x2+(β-2)x-6=0είναι οι x = 1 και x = 2. Να βρείτε:

i) τις τιμές των α και β, ii) τις άλλες ρίζες της εξίσωσης.

11. Η εξίσωση x3+αx2+βx+2 = 0 να έχει διπλή ρίζα το 1. Να βρείτε:i) τις τιμές των α και β, ii) την άλλη ρίζα της εξίσωσης.

12. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2f x x x x x 2 ,x .Α. Να αποδείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο


[48]

π(x) της διαίρεσης του f(x) με το (x+1).Β. Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο

π(x) της διαίρεσης του του π(x) με το (x-2).Γ. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x΄x.

Β΄ΟΜΑΔΑ

13. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 4 και δ(x) = x2 – 2x - 3α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο δ(x).β) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : δ(x).γ) Να λυθεί η ανίσωση P(x) x – 2.

14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 + αx3 + βx2 – 18x + β – 1 το οποίο έχει παράγοντατο πολυώνυμο Q(x) = x2 + 2x + 1.

α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β.β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του P(x).γ) Να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P(x).δ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση P(x) έχει

τη γραφική της παράσταση κάτω από τον άξονα x´x.

15. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + αx3 + βx2 + γx - 2Αν το x = -1 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 3:i) να βρείτε τις τιμές των α, β και γ,ii) να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.

16. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 2x3 – 4x2 + 2x + 3i) Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του P(x) με το x2 – 4.ii) Να βρείτε το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης, χωρίς να γίνει η διαίρεση.

iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0.

17. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 4x3 – x2 + 16x - λτο οποίο διαιρείται με x – 1.i) Να βρείτε την τιμή του λ.ii) Να βρείτε τις πιθανές ακέραιες ρίζες του P(x).iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0.

18. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x 5 x 4, .Αν το P x έχει ρίζα για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού , τότε:α) να βρείτε τη ρίζα.β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του.γ) Αν 1 , να λύσετε την εξίσωση 23 3P x x 6P x 6x 5 .

19. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = λx3 + 2λ3x2 – λ2x - 2Αν η γραφική παράσταση Cf της f τέμνει τον άξονα x´x στο σημείοΑ(1, 0), τότε να βρείτε:i) την τιμή του λ,


[49]

ii) όλα τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x,iii) τα διαστήματα, στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x.

20. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησηςf(x)=x6+2x5+2x4+2x3+x2+(x+1)2 δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον x΄x.

21. Να λύσετε τις εξισώσεις :i) 24x4+4x3+15 = 66x2+x ii) 3x3+13x2+10x+2 = 0


i)2x 1 x 13 10 3 0

x x

ii) (x2+x+2).(x2+x+1)=12

iii) (x2-2x-5)2-2(x2-2x-3)=4 iv) x 2 x 1 x 3 x 6 56 0

23. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το x2 +1 , έχει ρίζα το 0 καιτου οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.Α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x)= x3 + xΒ. Να λύσετε την ανίσωση 3 2

x 2 x 2 x 2

24. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2x x 8x 5 1 x 8x 3 6 ,α Α. Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 – 1 και να γράψετε τη σχετική

ταυτότητα.Β. Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.Γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα

στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναικάτω από τον άξονα x΄x. (Mάιος 2004)

25. α) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2t 2t 2t 2t 3 0, t .β) Ένα παιδάκι τη χρονική στιγμή t=0 min αρχίζει να φουσκώνει ένα

μπαλόνι, το οποίο όμως εχει λίγο αέρα. Στη συνέχεια το μπαλόνι χάνειαέρα, έως ότου ξεφουσκώσει τελείως τη χρονική στιγμή t1>0. Αν ο όγκος του αέρα τουμπαλονιού συμβολίζεται με V(t), μετριέται σε λίτρα και δίνεται από την συνάρτηση V(t)=

4 3 21t 2t 2t 2t 3 0, (t..min), t 0, t ,να βρείτε:

τον όγκο του αέρα που υπήρχε στο μπαλόνι αρχικά και τη χρονική στιγμή t1,στην οποίατο μπαλόνι ξεφουσκώνει τελείως.

26. Δίνεται το πολυώνυμο f(x) = x2 + x + 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο:Q(x) = f(f(x)) – f(x) - 2

διαιρείται με το πολυώνυμο R(x) = f(x) – 1.

27. Δίνεται το πολυώνυμο: f(x) = αx2015 + βx2014 – γx – δ. Αν το f(x) διαιρείται μεαx + β, να αποδείξετε ότι το f(x) διαιρείται και με γx + δ.


[50]

4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Μεθοδολογία

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η εξίσωση μετατρέπεται σε πολυωνυμική με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής :παράδειγμα :

2ημ3x-7ημ2x+7ημx-2=0Αν ψ=ημx, τότε 2ψ3-7ψ2+7ψ-2=0

(ψ-1)(2ψ-1)(ψ-2)=0ψ=1 ή ψ=1/2 ή ψ=2 (απορ.)

ημx=1 x=2κπ+π/2ημx=1/2 x=2κπ+π/6 ή x=2κπ+5π/6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ

Για να λύσουμε μια εξίσωση με ριζικά (δευτέρας τάξεως) εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε όλα τα υπόρριζα μεγαλύτερα ή ίσα από το μηδέν (περιορισμοί). Απομονώνουμε στο ένα μέλος, αν διευκολύνει, το ένα ριζικό. Απαιτούμε τα δύο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί (νέοι περιορισμοί) και υψώνουμε

στο τετράγωνο. Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα όσες φορές χρειαστεί και λύνουμε

την τελική πολυωνυμική εξίσωση. Απορρίπτουμε τις τιμές που δεν επαληθεύουν τους περιορισμούς (ή την εξίσωση).

παράδειγμα : x 3 x 1

x+30 x-3x+10 x 1 άρα x-1

2 2x 3 x 1 x+3 = x2+2x+1 x2+x-2=0 x=1 ή x= -2 (απορ.)

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α. Η συμμετρική εξίσωση 3ου βαθμού έχει τη μορφή:3 2x x x 0 (1)

Η (1) λύνεται με παραγοντοποίηση ως εξής:αx3 + βx2 + βx + α = 0

(αx3 + α) + (βx2 + βx) = 0 α(x + 1)(x2 – x + 1) + βx(x + 1) = 0

(x + 1)[αx2 + (β – α) x + α] = 0Η εξίσωση αυτή λύνεται χωρίς δυσκολία.

Β. Η συμμετρική εξίσωση 4ου βαθμού έχει μία από τις μορφές:4 3 2x x x x 0 (2) ή 4 3 2x x x – x 0 (3)

Επειδή α 0, η τιμή x = 0 δεν είναι ρίζα. Διαιρούμε όλους τους όρους με x2,ομαδοποιούμε και οι εξισώσεις αυτές παίρνουν τη μορφή:


[51]

22

1 1α x β x γ 0 (4)x x

ή

22

1 1α x β x γ 0 (5)x x

Θέτουμε 1x yx στην (4) και 1x y

x στην (5), οπότε αντίστοιχα παίρνουμε:

2 2 2 22 2

1 1x y 2 και x y 2x x

Θέτουμε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις (4) και (5) και έτσι προκύπτουν εξισώσεις β΄βαθμού που λύνονται εύκολα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις :

i)2

22x 1 x 3x 6x 3 x 2 x 5x 6

ii)

2 2

22(x 1) x 2x 12 5

x x 4x x 4

iii) 2 2 2x 3 1

x 9 6x 2x x 3x

2. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

i. x 2 0x 2

ii. x 3 0

x 4

iii. 2

2x 3 0x 1

iv.2x 4 0

x 5

v.

2x x 02 x

vi.

3x 9x 0x 3


i.2x 2x 3 0

x 2

ii. 2

2

1 x x x 20

x 4x 3

iii.2

22 x x 0

x 4

iv.2

2x 6x 8 0x 2x 3

v. 22

2

5x 3x 2 x 30

x 3x 4

vi.

2

2

x 3x 10 02 x x 1

4. Να λύσετε την ανίσωση:3 2

3x 6x 8x 0

x 4x


i. 2x 1 1x 3

ii. x 1 3

3x 1

iii. 4x 7 3

x 2

iv.

2x x 1x 4

6. Να λύσετε τις ανισώσεις:

i) 21 2 3

x 2 x 1 x x 2

ii) 2 2 2

1 x 3x 3x x 9 2x 6x

7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:


[52]

α) x 1 2 β) x 3 4 γ) 2x 7 x 2 δ) x 2x

8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:α) 5x 10 8 x β) 2x 6 x 1 2

γ) x 32 x 16 δ) 4x 20 4 x24 x

ε) 2x 1 1x 1

στ) 42 x 23 2 x

9. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) 2 x 5 x 2 ii) 24 2x x x 2 iii) 2x 1 x 1 iv) 2x 3 1 4x 4 v) x 2 6 x 4 x

10. Να λυθούν οι ανισώσεις:i) 5 x x 1 ii) x x 2 iii) x 1 x 1 iv) 4 x x


α) 3x 7 x 3 β) x 1 x 5 γ) 2 1x x 3 x2

Β΄ΟΜΑΔΑ

12. Να λύσετε την ανίσωση:3 2

2x 1 x 6 x3x 4 x 2 x 2

.

13. Να λύσετε τις ανισώσεις: α)2x 3 2x β) 2

3x 442 5x 3x 10

14. Να λύσετε τις εξισώσεις:i) 4 22 x –17 x 8 0 ii) 4 3 2x – 2 x x 2 x –1 0

15. Να λύσετε τις εξισώσεις :i) 4 2x 1 – 5 x 1 4 0 ii) 2 2 2(x 3x 1) 10(x 3x 3) 51

iii) 3 22 2 2x 4 2 x 4 5 x 4 6 0 iv) 2 2(x 5x 7) (x – 2)(x – 3) 1

v) (x 5)(x 7)(x 6)(x 4) 504


i) 2 x x 2 xx ii) 2 x 3 x x, x

iii) 3 5x 7 x 1 iv) 3 2 x 1 x 1


[53]


i) 9 x1 4 4x x 9

ii) 2x 2 x 2 7

x 2 2x 2 12

iii) 2 22x 3x 2 2x 3x 2 3 iv) 2x 4 x 1 6 3 x 5x 2

18. Να λύσετε τις ανισώσεις:i) x 1 2 x ii) x x 2

iii) 2x 3x 10 8 x iv) 2x 5 2x 1

19. Να λυθεί η εξίσωση 22

1 12 x 11 x 19 0x x

.

20. Να λύσετε τις εξισώσεις:α) 4 3 2x 4x 6x 4x 1 0 β) 4 3 26x 25x 12x 25x 6 0

21. Να λύσετε τις εξισώσεις:i) 5 4 3 2x 2x 2x 2x x 0 ii) 4 3 26x 35x 62x 35x 6 0 iii) 5 4 3 26x 41x 97x 97x 41x 6 0

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx3 - (k + λ)x2 + λx + 1,με το υπόλοιποτης διαίρεσης P x : 2x 1 να είναι 7 και P 1 23 i) Να αποδείξετε ότι k 6 και 5 .ii) Αν k 6 και 5 , τότε:

α) Να γίνει η διαίρεση του P(x) με το πολυώνυμο 2x + 1 και ναγραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

β) Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 .

2. Δίνονται τα πολυώνυμα: 4 3 2P x x 3x – 6x 2x – 7 , Q x x και το πολυώνυμο Φ(x) = P(x) + Q(x) που έχει παράγοντα το x2 + 4.i) Να αποδείξετε ότι 10 και 33 .ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Φ(x) έχει παράγονται το x – 2.iii) Να λύσετε την ανίσωση Φ(x) 0.

3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2

2x 2x xf x

x 2x 3

. Η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(2,0).i) Να αποδείξετε ότι 2 .ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.iii) Να βρείτε για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από την ευθεία y x .


[54]

4. Δίνεται το πολυώνυμο: 4 3 2P x 2x – 3x 3x 3x 1 i) Να αποδείξετε ότι το P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο 2x – 1. Ποιο είναι το

πηλίκο π(x);ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0.iii) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0.iv) Να βρείτε το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του P(x) με το x + 1.v) Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 22 x – 3 x – 3 x – 3 x 4 0

5. Δίνεται το πολυώνυμο: 3 2P y 2y – 7y 2y 3 i) Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(y);ii) Να λύσετε την εξίσωση P(y) = 0.iii) Να λύσετε την ανίσωση P(y) 0.

6. Αν το πολυώνυμο f(x) έχει ακέραιους συντελεστές και οι αριθμοί f(0) και f(1) είναιπεριττοί, να αποδειχθεί ότι το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα.

7. Δίνεται η συνάρτηση: 3 2

3 2x 6x 11x 6f xx 4x x 6

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f με τον άξονα x´x.iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία ε : y = 2.

8. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2f x x x x x 2, x α) Να αποδείξετε ότι το x 1 είναι παράγοντας του f x και να βρείτε το πηλίκο

x της διαίρεσης του f x με το xβ) Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του x και να βρείτε το

πηλίκο της διαίρεσης του x με το x – 2 .γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα .

9. Δίνεται το πολυώνυμο 1 2P x x 2x 3x 8, , x το οποίο έχει ρίζα το -1i) Να δείξετε ότι 4 3P x x 2x 3x 4

ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση P x 0 δεν έχει άλλες ακέραιες ρίζες .iii) Να λύσετε την ανίσωση P x P x 40

ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου

[55]

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτηΑν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και 1 2x, x , x ,τότε :

1 2 1 2x x x x 1 2 1 2x x x x:

x x x

x x

x

21 1 2xx x x

Εκθετική συνάρτησηΑντιστοιχίζοντας κάθε x ,στη δύναμη

x ,ορίζουμε την συνάρτηση : f : μεxf (x) η οποία στην περίπτωση που είναι

0< 1 ,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάσηαΑν είναι α=1 ,τότε έχουμε την σταθερήσυνάρτηση f (x) 1 . Κάθε συνάρτηση της μορφής xf (x) με

α>1, αποδεικνύεται ότι: Έχει πεδίο ορισμού το . Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των

θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα στο .Δηλαδή για

κάθε 1 2x, x , x ισχύει :αν 1 2x x ,τότε 1 2x x

Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχειασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.

Κάθε συνάρτηση της μορφής xf (x) με0<α<1, αποδεικνύεται ότι :

Έχει πεδίο ορισμού το . Έχει σύνολο τιμών το διάστημα

(0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα στο . Δηλαδή

για κάθε 1 2x, x , x ισχύει :αν 1 2x x , τότε 1 2x x

Η γραφική της παράσταση τέμνει τονάξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχειασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x.


[56]

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

Παρατήρηση 1:Για τις συναρτήσεις xf (x) 2 και

x1g(x)2

παρατηρούμε ότι για κάθε

x ισχύει :x

xx

1 1g(x) 2 f ( x)2 2

.

Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τονάξονα yý.

Παρατήρηση 2 :Η γραφική παράσταση της xy e είναι :

O αριθμός eΙσχύει :

v

v →+ ∞

1e = li m 1 +v

Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e=2,71828.Ο νόμος της εκθετικής μεταβολήςΗ εκθετική συνάρτηση 0

ctQ(t) Q e , με βάση το e, γνωστή ως νόμος της εκθετικήςμεταβολής, εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t.Το 0Q είναι η αρχική τιμή του Q (για t=0) και είναι 0Q 0 ,ενώ το c είναι μιασταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή.Αν c > 0, η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικήςαύξησης, ενώαν c < 0, η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικήςαπόσβεσης. Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα

μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού τηςραδιενεργού ουσίας

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

α) Έστω φ(x) μια παράσταση του x και 0 < α 1. Τότε η εξίσωση:(x)

έχει λύση μόνο αν β > 0. Προσπαθώντας να γράψουμε β = αγ, παίρνουμε:αφ(x) = β αφ(x) = αγ φ(x) = γ

β) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 0 λύνονται με την αντικατάσταση αx = y, όπου y πραγματικός. Με την

αντικατάσταση αυτή η εξίσωση γίνεται: 2y y 0 η οποία λύνεται κατά τα γνωστά.

γ) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 2x 0 , με β = αγ , λύνονται ως εξής:


[57]

Διαιρούμε με γ2x και παίρνουμε:2x xα αλ μ ν 0

γ γ

και θέτουμε y

όπου y > 0.

Τονίζουμε ότι η εμφάνιση δυνάμεων με διαφορετική βάση μαρτυράει και τοντρόπο λύσης της εξίσωσης.

δ) Οι λύσεις εξισώσεων της μορφής: xx 1

αναζητούνται στη λύση των επιμέρους εξισώσεων: α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές, αρκεί να ορίζονται τα α(x)

και φ(x). φ(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Αρκεί να

είναι α(x) 0.)

α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί ο φ(x) να είναι άρτιος.)

ε) Η λύση της εξίσωσης: x xx x

(δεν είναι εκθετική με την αυστηρή έννοια) ανάγεται στη λύση των εξισώσεων: α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές. α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί οι εκθέτες φ(x) και ω(x) να

είναι συγχρόνως άρτιοι ή συγχρόνως περιττοί.) φ(x) = ω(x). Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Να μην

προκύψει η μορφή 00.) α(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί να μην είναι φ(x) 0 ή

ω(x) 0.)ΣχόλιοΗ εξίσωση φ(x) ω(x)α(x) α(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

ω(x) φ(x) ω(x) ω(x) φ(x) ω(x)α(x) α(x) 1 0 α(x) 0 Þ α(x) 1 οι οποίες λύνονται με τον τρόπο που προηγήθηκε.

Παραδείγματα σε όλες τις κατηγορίες ασκήσεων θα παρουσιαστούν στα θέματαπου ακολουθούν.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

α) Οι εκθετικές ανισώσεις λύνονται ανάλογα. Επισημαίνουμε ωστόσο ότι:φ(x) ω(x) φ(x) ω(x), αν α 1

α αφ(x) ω(x), αν 0 α 1

Έτσι, η βάση είναι πολύ σημαντική παράμετρος για τον τρόπο λύσης της ανίσωσης.β) Σε ορισμένες περιπτώσεις εισάγουμε βοηθητικό άγνωστο και παραγοντοποιούμε.Η χρήση πίνακα είναι σ’ αυτές τις περιπτώσεις μεγάλης σημασίας. Τονίζουμε ότι

παραστάσεις της μορφής αφ(x) + θ, με θ > 0, είναι πάντα θετικές.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τα εκθετικά συστήματα λύνονται: Με τη βοήθεια των παραπάνω παρατηρήσεων που ισχύουν για τις εξισώσεις.


[58]

Με εισαγωγή βοηθητικών αγνώστων και μετατροπή τους σε αλγεβρικάσυστήματα.

Με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κάποιων εξισώσεών τους ή ακόμα μεπρόσθεση ή αφαίρεση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αναφοράς τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων: f(x)=5x, και g(x)=x1

5

.

2. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :i) xf (x) 5 1 ii) x 2g(x) 5 iii) x 2(x) 5 1 .

3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) x 2f x 3 2 β) x 1f x 2 2 γ) x 21f x 1

2

δ) x 1f x e 1

4. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

ι) f(x)=x3 x

2x 1

ιι) x2g x 3x 5x 2 ιιι) h(x)=

xx 1x

5. Ανx3f (x)

2

,να βρεθούν οι τιμές του α ώστε :

i) να ορίζεται η f ii) να είναι γνησίως φθίνουσα iii) να είναι σταθερή στο .

6. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: xf x 3 i) Να βρείτε τις τιμές του α.ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f(x).iii) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από

το σημείο Α(1, 4). Ποια είναι η μονοτονία της f στην περίπτωση αυτή;


i)2x 1 x 63 5

5 3

ii) 4 2x 5x 4

3 1 1

iii) x5 625

iν)2x 9x 113 27 ν)

2x 2x x 22 8 νi) 2 xx3 81

νii)x 1x 2 2x 427 3 νiii)

2x 3x 139

ix) 2 x3 x4 1

x)2x 4 5x2 3

3 2

xi) x 1 x 2x 2 27 9 xii) 3x 28 4x18 54 2

8. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) 2x+3-2x+2+2x+1=48 ii) x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128


[59]

iii) x 1 xx 1 x 1

15 213 3 03 3

iv) x x 1

x 2 x45 73 3

3 3

v) x x 12 9 3 135 0 vi)2 2x 1 x5 25 6

vii) x x3 4 3 3 0 viii) 2x x x 1e e e e

9. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) x 1 x 2 x 4 x 37 3 5 3 5 ii) x 1 x x 1 x 33 2 3 2 iii) x 4 x 1 x 2 x 33 2 2 5 6 5 iv) 5x-2-3 x 3 x 3 x2 7 5 2


α) x x x 18 3 4 3 2 8 0 β) x 1 x43 3 13

γ)x x3 23 2 5

2 3

11. Να λυθούν οι ανισώσεις:i)

2x 3x 22 1 ii) x 1 2x 42 2 iii)2x 33 81

iv) x x4 2 8.2 0 ν) x x 1 x x 1 x 26 6 2 2 2

12. Να λύσετε τις ανισώσεις

i)2x 7x 64 1 ii)

2 5x 2x x21 1

2 4

iii) x x4 8 6 2 iv) x 1 x 1 x6 4 10 9

13. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x xe 3 e 1 0 ii)x

x2 4 02 8

14. Να λυθούν τα συστήματα:

i)2x 1 4y 1

x y 2y 1

8 32 2

5 5 25

ii)x 2 y 3

x y 3

4 2 13 3 9

iii)x y 3

y x 3

3 2 52 3 3

iv)x y 2

x 2 y 4

4 2 323 3 27

v)

3x 1 y 1

2x 4 y 1

5 25 14 8 8

.

Β΄ ΟΜΑΔΑ

15. Δίνεται η συνάρτησηx3 2af (x)

a 3

. Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε

ότι f x 1 x .

16. Δίνεται η συνάρτηση x1f x

. Να βρεθούν οι τιμές του α αν

γνωρίζουμε ότι f x 1 x .

17. Δίνεται η συνάρτηση x2λ - λ - 2f x = .

λ + 6

Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις


[60]

οποίες:i) η f(x) είναι σταθερή, ii) η f(x) είναι εκθετική συνάρτηση,iii) η f(x) είναι γνησίως αύξουσα, iv) η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα,v) ισχύει f(2) = 81.

18. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση: x3 λf x

1 λ

i) Να βρείτε τις τιμές του λ.ii) Για ποιες τιμές του λ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα;iii) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα.

iv) Αν λ = 2, να λύσετε την ανίσωση: 2 3 λf x x 11 λ

19. Δίνονται οι συναρτήσεις x x1f x e e2

και x x1g x e e2

.Να δειχθεί

ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι 2 2f x g x 1 , για κάθε x .Επίσης να δείξετε ότι:i) f f f g g και ii) g g f g f

20. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) x x x2 4 3 9 5 6 ii) x x x9 6 2 4 iii) x x x4 2 14 3 49


i) 2x 3x2x 2x 1

ii) 2x 2x2x 5x 6 1

iii)2x x 2x 1 iv)

2x x 2x 3 x 3 22. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x x2 8 2 6 β)2 23x 2x 3x 2x4 4 2 9 2 γ) x x x3 4 2 9 5 6

23. Να λυθούν οι ανισώσεις:i) x x9 10 3 9 0 ii) x x 2 x9 3 3 9 iii) x 2 x 3 x 4 x 1 x 22 2 2 5 5 iv) x x x8 18 2 27 0

24. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 2(e 1)(2 4)(x 2x)

25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x. Να αποδείξετε ότι:i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο , ii)

2x x 1 x 1 2e e x 0 , για κάθε x .


i)x y

2

x y2

x y

x y

3 4 3 45

2 3 2 4

ii)x

x

2 3y3 2y

iii)x y 3

x y 3

x yy x

iv)x y

x y

3 5 427 125 604

v)

x y

x y

3 4 77

3 2 7

vi)

x x y

x x y

9 5 7 2 4576 5 14 2 890

.


[61]

27. Εστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ), t έτη μετά τηνκυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν300.000 ευρώ, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικήςτου τιμής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Q(t) = te , t 0 όπου α, β ΙR, τότε:i) να δείξετε ότι tQ t 3 4 , t 0 ,ii) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με 1/16 της αρχικής

του τιμής,iii) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν

υπερβαίνει το 19

της αρχικής του τιμής.

28. α) Να λύσετε την εξίσωση: x x x x3 4 2 5 4 3 5 2 β) Δίνονται οι συναρτήσεις x xf x 3 4 2 5 και x xg x 4 3 5 2 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της .

29. Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο συνάρτηση x3f x 5 .α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ.β) Να λύσετε την ανίσωση: x 1 x 3 x 4 x 2f 7 3 5 f 3 5 .γ) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από

το σημείο A 1,19 .δ) Αν 3 , να λύσετε την εξίσωση f x f x 2 .

30. Δίνονται οι συναρτήσεις x x1f x e e2

και x x1g x e e2

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση.β) Να αποδείξετε ότι 2 2f x g x 1 για κάθε x .γ) Να αποδείξετε ότι g g f g f , , .δ) Να λύσετε την εξίσωση f x 2g x 1 .

31. Δίνεται η συνάρτηση x2f x 4 4

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα.β) Να βρείτε το ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο

1,9 .

γ) Αν 2,3 , να λύσετε την ανίσωση 2f x f 5x 6 .

δ) Αν 4 , να λύσετε την ανίσωση x x2f x 3 9 5 6 0 .


[62]

5.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισμός: Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για ναβρούμε το θ.

x x log

Από τον παραπάνω ορισμό έχουμε:log 1 0 log 1

xlog x alog

Ιδιότητες: Αν α>0 με α 1 τότε για κάθε θ1, θ2, θ>0 και κ R ισχύει:

ι) 1 2 1 2log log log

ιι) 11 2

2

log log log

ιιι) log log

Αλλαγή βάσης λογαρίθμουΑν α, β>0 με α,β 1 τότε για κάθε θ>0 ισχύει:

logβ θ= a

a

loglog

Δεκαδικοί λογάριθμοιΔεκαδικός λογάριθμος λέγεται αυτός που έχει σαν βάση το 10 και

συμβολίζεται log θ. Ισχύει:xlog x 10

Φυσικοί λογάριθμοιΛέγονται αυτοί που έχουν σαν βάση τον αριθμό e 2,71… και συμβολίζονται

lnθ. Έχουμε:xln x 10

Ισχύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες:(με τους κατάλληλους περιορισμούς )ln1=0 ln(θ1θ2)=lnθ1+lnθ2

lne=1 ln 1

2

= lnθ1-lnθ2

lnex=x ln ln

elnθ=θ

Τα κυριότερα είδη ασκήσεων στην ενότητα αυτή είναι:α) Υπολογιστικά θέματα και απλοποίηση παραστάσεων

ΜΕΘΟΔΟΣ


[63]

Για τη λύση των ασκήσεων αυτών εφαρμόζουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες τωνλογαρίθμων. Τονίζουμε ότι πολλές φορές οι ιδιότητες των λογαρίθμων

εφαρμόζονται από διαφορετική κατεύθυνση, δηλαδή από το δεύτερο μέλος προς τοπρώτο. Έτσι:

α α αlog x log y log xy α α αxlog x log y logy

log x log x όπου x, y > 0, 0 < α 1 και νR.

β) Αποδεικτικά θέματαΜΕΘΟΔΟΣ

Για την απόδειξη ταυτοτήτων ή ανισοτήτων στους λογάριθμουςχρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και τον τύπο αλλαγής βάσης.Συνήθως υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για τη λύση, ανάλογα με τη σειράεφαρμογής των ιδιοτήτων. Τονίζουμε ότι αν σε ένα θέμα παρουσιάζονταιλογάριθμοι με διαφορετικές βάσεις, τότε γράφουμε όλους τους λογάριθμους ωςπρος μία κοινή βάση, της επιλογής μας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ΟΜΑΔΑ

1. Να βρεθούν οι αριθμοί:

α) 12

log 128 β) 3

1log81

2. Να υπολογίσετε το x ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: i) logx81=-4

ii) logx27= 32

iii) logx127

= 35 iv) 3

2log x 4 ν) 1

7

2log x3

3. Να αποδείξετε ότι αληθεύουν οι ισότητες:i) log32+2log4-log64=log8 ii) log3+2log4-log12=2log2

iii) log 125 log 27 log 8 3log15 log 2 2

iν) 2log 5 3 40 105log log log 02 11 77 32

ν) 3log32+ 12

log316=5log32 νi) 2+3log52-2log510=log52

4. Να γράψετε υπό μορφή λογαρίθμου ενός αριθμού τις παρακάτω προτάσεις.

α) 13log 2 log8

β) log15 log 5

5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:3 2

123

1 1log 27 log12 64A

log 8 2log 9

6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης :2 3 8 8A log 8 log 27 log 2 log 32 .

7. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 511 log 83A 25

.


[64]

8. Να αποδείξετε ότι:α)2log5 + 3log2 – log60 + log3 = 1 β) 3log32 + 2log36 – log34 – log38 = 2γ) log25 + log4 – log2 – log5 = 1 δ) log5 + 3log2 – log4 = 1

Β΄ ΟΜΑΔΑ

9. Να δείξετε ότι :

i) log y log xa ax y x, y 0 0 1 ii) 1 1ln 9 ln 64 ln 4 ln 32 3

iii)log 2log33 2

10. Να δείξετε ότι :

α)log x log x

log xlog x log x

β) log2log9=log4log3

γ) 2 2 21 1 1log 1 log 1 ... log 1 72 3 255

δ) 11 log loglog

ε) 21ln log e 1

στ) log 2 log 2 log 2 ... log 2

ζ) log 1 log 2 ... log 89 0

11. Αν x,y,z *R να εφαρμόσετε όλες τις δυνατές ιδιότητες των λογαρίθμων γιανα απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

i)3

3xlog 3x

2x

ii)3

3

x ylog4 x y

12. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει:3 5 2ν 1 2log x log x log x log x 2ν

13. Αν 1 xf (x) log1 x

, δείξτε ότι f f f1

.

14. Αν α, β>0 και 2 2 23 , να δείξετε ότι: ln ln 2ln5

15. Αν για τους διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ ισχύει:log log log

δείξτε ότι 1

16. Αν x>0, α>β, β 1 , αβ 1 , τότε ισχύει: 1 1 1log x log x log x

.


[65]

Α f(A)

f

g(y)=x y=f(x)

g

17. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:i) αlogβ=βlogα α, β R

ii) a

loglog

1 log

α, β, γ *R β 1 και αβ 1 .

iii) 2 22 2log a 1 log 1 log a 1 a iν) 2 3 4 7log 3 log 4 log 5 log 8 3

18. Να βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση: 2 2x – 2(1 log )x 1– log 0 να έχει μία διπλή ρίζα.

19. Για τη συνάρτηση f(x) ισχύει ότι: lnf(x) = αx + β για κάθε xR. Αν f(0) = 3

και 1 3f2 2

:

i) να βρείτε τα α και β, ii) να αποδείξετε ότι f(x) = 3 4-x.

20. Δίνεται η συνάρτηση x x x xf x 36 225 3 4 3 25 .α) Να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα x΄x.β) Να αποδείξετε ότι

f 0 5 f 0 3 f 0 40 f 0 1052log log log log 0

f 0 2 f 0 11 f 0 77 f 0 32

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Αντίστροφη συνάρτηση

Έστω μια συνάρτηση f : A .Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι ‘1-1’ τότε για κάθεστοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίουορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y .Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : f (A) με την οποία κάθε y f (A)αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A ,για το οποίο ισχύει : f (x) y .Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι :

Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και Ισχύει η ισοδυναμία f (x) y g(y) x

Αυτό σημαίνει ότι αν η f αντιστοιχίζει το x στο y τότε η gαντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως.Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεταιαντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1f .Επομένως έχουμε :

1f (x) y f (y) x


[66]

(0, )

f

log y x xy

1f

y

1 y=2x

O 1 x y=log2x

y

logαx2

logαx1 A(1,0) O 1x 2x x

y=logαx, α>1

y y=logαx, 0<α<1

O 1x 2xΑ(1,0) x

logαx1

logαx2

Παρατήρηση :Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f-1 είναι συμμετρικές ωςπρος την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ́΄x y .

Λογαριθμική συνάρτησηΗ αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης xf (x) είναι η συνάρτηση g(x) log x , που λέγεταιλογαριθμική συνάρτηση ως προς τη βάση α.

Παρατήρηση :Επειδή λοιπόν η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log xείναι αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης

xf (x) οι γραφικές τους παραστάσεις είναισυμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομείτις γωνίες xOy και ́΄x y .

Aν α>1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών

αριθμών Είναι γνησίως αύξουσα ,που σημαίνει ότι : αν

1 2x x ,τότε 1 2log x log x , απ’όπου προκύπτει ότι log x 0, αν 0<x<1 και

log x 0, αν x>1. Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει

ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy΄ .

Αν 0<α<1 τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών

αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x ,

τότε 1 2log x log x , απ’

όπου προκύπτει ότι log x 0, αν 0<x<1 και log x 0, αν x>1. Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει

ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy .Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης είναισυνάρτηση 1-1 δηλαδή αν 1 2log x log x ,τότε 1 2x x


[67]

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Α. Έστω μια συνάρτηση f με τύπο της μορφής:f(x) = lnφ(x) (ή της μορφής f(x) = logφ(x))

Τότε:α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού Α της f(x) λύνουμε την ανίσωση φ(x) > 0.β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf με τον άξονα x´xλύνουμε την εξίσωση f(x) = 0. Ας προσέξουμε ότι f(x) = 0 φ(x) = 1.γ) Για να βρούμε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω)από τον άξονα x´x, λύνουμε την ανίσωση f(x) > 0 (f(x) < 0 αντίστοιχα).Ας παρατηρήσουμε ότι:f(x) > 0 lnφ(x) > 0 φ(x) > 1 και f(x) < 0 lnφ(x) < 0 0 < φ(x) < 1

Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση g(x) = logφ(x).Β. Ακριβώς όμοια εργαζόμαστε και στην περίπτωση που f(x) = logφ(x).Αξίζει να τονίσουμε τον τρόπο λύσης δύο βασικών εξισώσεων:

α) ω(x)φ(x) 10logφ(x) ω(x)

φ(x) 0

ω(x)φ(x) elnφ(x) ω(x)

φ(x) 0

β) φ(x) φ(x) logω(x)10 ω(x)

ω(x) 0

φ(x) φ(x) lnω(x)

e ω(x)ω(x) 0

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η πρώτη και σημαντικότερη ενέργεια σε κάθε λογαριθμική εξίσωση είναι να θέσου-με τους απαραίτητους περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε όρο της μορφήςlogαΑ(x) απαιτούμε Α(x) > 0.Οι σημαντικότερες μέθοδοι – τεχνικές για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεωνσυνίστανται στις παρακάτω ενέργειες:α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογαρίθμου.β) Προσπαθούμε με αντίστροφη εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων να

απαλλάξουμε την εξίσωση από τους λογάριθμους.γ) Βασιζόμαστε στην ιδιότητα αlog θα θ , θ > 0.δ) Παίρνουμε λογαρίθμους και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Αυτό συνήθως το

επιχειρούμε όταν οι όροι της εξίσωσης είναι γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις.ε) Χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής. Δημιουργούμε δηλαδή, πιθανόν ύστερα

από εφαρμογή κάποιων ιδιοτήτων, έναν όρο, του οποίου συνάρτηση είναι και ταδύο μέλη της εξίσωσης. Τον όρο αυτό θέτουμε y και καταλήγουμε σε αλγεβρικήεξίσωση. Η μέθοδος αυτή λέγεται και “αλγεβρική μέθοδος”.

στ) Κάνουμε αλλαγή βάσης. Αν λοιπόν οι παρουσιαζόμενες (διαφορετικές) βάσειςδεν επιτρέπουν την απλοποίηση της εξίσωσης, τότε εκφράζουμε όλους τουςλογαρίθμους ως προς κάποια κατάλληλη βάση (πιθανόν και ως κάποια βάσηπου ήδη παρουσιάζεται στην άσκηση).

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝα) Για τη λύση λογαριθμικών ανισώσεων ακολουθούμε σε βασικές γραμμές την

πορεία λύσης που γνωρίσαμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Η πρώτη σημαντικήδιαφορά είναι ότι: δεν απαλείφουμε τους παρονομαστές, αν αυτοί περιέχουν τη μεταβλητή, πριν

μελετήσουμε το πρόσημό τους, δεν πολλαπλασιάζουμε, ούτε διαιρούμε με μεταβλητές ποσότητες, αν δεν


[68]

βεβαιωθούμε πρώτα για το πρόσημό τους.

β) Οι βασικότερες μορφές λογαριθμικών ανισώσεων είναι ίδιες με αυτές που προ-κύπτουν από λογαριθμικές εξισώσεις αντικαθιστώντας το σύμβολο (=) της ισότηταςμε τα ανισοτικά σύμβολα (<) και (>) ή (), (). Πριν περάσουμε στα βασικάθέματα, υπενθυμίζουμε ότι για τη λύση ανισώσεων της μορφής logαφ(x) > 0

(< 0) διακρίνουμε περιπτώσεις:i. αν α > 1, τότε:

logαφ(x) > 0 φ(x) > 1 logαφ(x) < 0 0 < φ(x) < 1

ii. αν 0 < α < 1, τότε:logαφ(x) > 0 0 < φ(x) < 1 logαφ(x) < 0 φ(x) > 1

Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων οι λογαριθμικές ανισώσεις οδηγούνται σεαλγεβρικές ανισώσεις.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Για την επίλυση λογαριθμικών συστημάτων εφαρμόζουμε τα παρακάτω: Θέτουμε τους απαραίτητους περιορισμούς για τους αγνώστους του συστήματος.Προσπαθούμε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αλγεβρικό, απαλλάσσοντας

την κάθε εξίσωση του συστήματος από τους λογαρίθμους.Λογαριθμίζουμε ενδεχομένως τη μία εξίσωση (αν περιέχει γινόμενα και δυνάμεις)

και εισάγουμε νέες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι θέτουμε για παράδειγμαlogx = φ και logy = ω, οπότε το σύστημα μετατρέπεται σε αλγεβρικό.Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε ανάλογα (όλες ή ορισμένες από) τις

εξισώσεις του συστήματος, ώστε να προκύψουν απλούστερες εξισώσεις.Εφαρμόζουμε οποιοδήποτε αλγεβρικό τέχνασμα, το οποίο οδηγεί σε

απλούστερες εξισώσεις.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑ

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

ι) xx 1f (x) log2 x

ιι) 2

3 xf (x) log3 x

ιιι)2

2

log(x 8x 15)f (x)16 x

ιν) 2x 1f (x) log2 x

2. Να συγκριθούν μεταξύ τους οι αριθμοί:

i) log53 και log513

ii) log 127 και log 1

211

3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσειςf (x) log x, g(x) log x 2 και h(x) log (x 1) .

4. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) log(x – 2)2 = 2log4 ii) log(x-6)+log(x-7)=1-log5


[69]

iii) log(x-9)+2log 2x 1 2 iν) 2logx-log4=log(x-1)-log3ν) log(35-x3)=3log(5-x) νi) 2log(2x-1)-log(3x-2x2)=log(4x-3)-logx

νii) log(2x-5)+log(3x+7)=4log2 νiii) 3 21ln(x 1) ln(x 2x 1) ln 32

5. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) x+log(1+2x)=xlog5+log6 ii) log(4x-2+9)-log(2x-2+1)=1-log2iii) log x 1log 21 42 log 4 log 21 log x log 76


i) 1 1log(3x 1) log(8x 2) log(4x 1)2 2

ii) 1 log(x 1) log x log 23

iii) 2

log 2x 50,5

log x 8


i) 3 log x 2 log x 53 log x 2 log x

ii) log x 3 log x 2 9log x log x 3 2

iii) log(x 1) 2log 21log 2 log(x 1)

iν) 2logx+25-logx=12

v) log x log x log x vi) 3 2 2(log x ) 2log x 5 0 .

8. Να λυθούν οι ανισώσεις:i) log(2x-3)>log(24-6x) ii) ln(2x-1)>ln(3-x) iii) log(4-x2)<log(-3x)

9. Να λυθούν οι ανισώσεις:i) log(x2 – 5x + 7) < 0 ii) 2log log(x 7x 22) 0


i)x y 65

log x log y 3

ii)

3log x log y21log x log y2

iii)2 2log x log y 10

log x log y 2

Β΄ΟΜΑΔΑ

11. Δίνεται η 2

f (x) ln 1 x 2 3 x . Να βρείτε το λ ώστε η f να

ορίζεται για κάθε x R .

12. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα με θετικές τιμές. Να τοποθετήσετε τοκατάλληλο ανισωτικό σύμβολο στα κενά:

i) 1/2 1/2log f (3)...log f (5) ii) log f (1)...log f (0)iii) 2ln f (e)...ln f e iv) 1/3 1/3log f (1)...log f (0)

13. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων και να βρείτε τημονοτονία και το σύνολο τιμών τους.


[70]

i) f(x) = log(x – 1) ii) f(x) = log|x – 2|iii) f(x) = ln|x| - 1 iv) f(x) = ln(1 – 2x + x2)

14. Να λυθούν οι εξισώσεις:i) 2log log 2x x 11 0 ii) x xln(9 3 5) 0


i)2 log xx 110 x

ii) log x 21x x x10

iii) log xx 100 iν) (100x)log(100x)-2=1000

ν) log 2 log x(4x) 100 vi) 22x = 3x+1 vii) 102logx-3 = x

16. i) Να αποδείξετε ότι: 5 5log 2 log xx 2 αν 0 < x 1ii) Να λύσετε την εξίσωση 5 5log 2 log x3x 2 64 iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά β βlog γ log αα γ με (0 < α,β,γ 1)

17. Να λυθούν οι ανισώσεις:i) log(x2+9)>1+logx ii) 2ln(x 1) 1 ln(x 1) iii) log2x – 11 logx + 10 0 iν) (logx)2 –5logx + 4 0

18. Να λυθούν οι ανισώσεις:i)

2log(x 15x)2 4 ii) xln(5.2 6) 2x ln 2 iii) xlogx>10


i)log yx 1000

log(xy) 4

ii)

log x log y 2log(x y) 2log5

iii)2 2x y 425

log x log y 2

iν) 2 2log x y 1 log13

log(x y) log(x y) 3log 2

v)log x log y

log x log y

2 3 14 9 25

vi)

x y5 2 1x log5 y log 2 log 20

20. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x log x 1 log x 2x και

g x 1 log x 1 .α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g.β) Να βρείτε τη τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων.γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i. f x 0 και ii. g x 0 .δ) Να αποδείξετε ότι: f 4 3g 1 4 log30 .

21. Δίνεται η συνάρτηση 4 2f x log x 8 log x log 100x , x 0 ,


[71]

α) Να βρείτε τη τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεταιαπό το σημείο M 10,25 .β) Αν α = 1, τότε:

i. να αποδείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή: 22f x log x 4log x

ii. να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

22. Δίνεται η συνάρτηση 2f x log x .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση.δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x f x 2 με την ευθεία y 2log 4 .

23. Δίνεται η συνάρτηση

log 3x 14f x

log x 4

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 2 .γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία

y 1 .

24. Δίνεται η συνάρτηση f x ln x 2 .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.β) Να απαλλάξετε τον τύπο της f από την απόλυτη τιμή.γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.δ) Να λύσετε την εξίσωση 2ln x 2 f x 2 0 .

25. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x 4 .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x.γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες f x 0 .

26. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x 1 .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 7 f x 1 log 2 .δ) Να αποδείξετε ότι 3f 101 2f 1001 f 10001 log18

27. Δίνεται η συνάρτηση x 1f x ln x1 x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.

γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς 1 1f , f , f 02 2

.


[72]

δ) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x 1 1 2x 0 .

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ

1. Εστω η συνάρτηση f x 2ln x 1 1 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.ii) Να κάνετε τον πίνακα προσήμου της f.iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι κάτω από τον άξονα x’x.

2. Εστω η συνάρτηση xf x ln 2 5

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.ii) Tα σημεία τομής της Cf με τους άξονες.iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από τον άξονα x’x.

3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(3 – x) – ln(3 + x).i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f(x).ii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα.iii) Να βρεθούν οι αριθμοί x, για τους οποίους f(x) = -ln2.

4. Δίνεται η συνάρτηση 2 - xf(x) = ln2 + x

.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x).ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, όπου Cf είναι η

γραφική παράσταση της f(x).iii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι περιττή συνάρτηση.iν) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x.ν) Πού τέμνει η Cf την ευθεία (ε) : y = ln3 ;

5. Δίνεται η συνάρτηση: x x

x 14 2f x ln2 4

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x).ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = -2ln2.iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0.

iν) Να αποδείξετε ότι:x

x2 1f (x) (x 1) ln 2 ln2 2

6. Δίνεται η συνάρτηση2x

xe 1 f(x) lne 5

-

.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x).ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 .iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0.

7. Δίνεται η συνάρτηση f x 1 x ln x, x 0 i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.ii) Αν 0 x 1 να δείξετε ότι f x 0 .


[73]

iii) Να λύσετε την ανίσωση x 2x 5f e 1 e x

iv) Να δείξετε ότι για κάθε 0,2

ισχύει ότι eln

.

8. Δίνονται οι συναρτήσεις xf x ln e 1 και 1 xg x ln 2e 2 .i) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g.ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό

σημείο.iii) Να λύσετε την ανίσωση f 2x g x 1 .iv) Να αποδείξετε ότι g 1 x f x ln 2 .

9. Δίνεται η συνάρτηση 2f x log 2x 4x 4 2log x .i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες.iii) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 f 1 xf 1 f 110 5 10 10 f 2

iv) Να αποδείξετε ότι f 1 log xx 2 και να λύσετε την εξίσωση 2f 1 log xx 2 2

10. Να Δίνονται οι συναρτήσεις 2x xf x ln e 2e 3 και xg x ln 3 ln e 1 .i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g.ii) Να λύσετε την εξίσωση f x g x

iii) Να λύσετε την ανίσωση f x 2g x .iv) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1 1 .v) Να λύσετε την εξίσωση g x g 1 f 0

11. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2x x1 1f x 2 3 1

5 5

ii) Δίνεται η συνάρτηση xg x 5 . Να λύσετε την εξίσωση :

50125 5 1g x g x 1 g x 2 ..... g x 49

4

12. Δίνεται η 2x xf x ln e – e

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι xf x x ln e –1

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x xiv)Να λύσετε την ανίσωση f x x 2ln 2 v) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να λύσετε την εξίσωση

2 x 1 x2x 1 e x ee ln e –1 e ln e –1

13. Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 6e 8 .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση f x ln3


[74]

iii) Να λύσετε την εξίσωση f x x ln 3

14. Δίνεται η συνάρτηση f x log x 4 3 .i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii) Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες.iii) Τη τιμή του k για την οποία το σημείο k, 2 ανήκει στη γραφική

παράσταση της f.iv) Να λύσετε την εξίσωση x 3 x x x 3f 3 2 f 23 3 2

15. Δίνεται η συνάρτηση ln x 1f xln x 1

.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.ii) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα χ΄χ.

iii) Να αποδείξετε ότι 1f x fx

για κάθε 1 1x 0, ,e e,e e

.

iv) Να λύσετε την εξίσωση 1f x 11fx

16. Δίνεται η συνάρτηση x4f x

2

για την οποία ισχύει ότι 6 7f f7 6

.

α) Να βρείτε τις τιμές του .β) Έστω 0 .i. Να λύσετε την εξίσωση f x 1 f x 2 f x 3 48

ii. Να αποδείξετε ότι log 22f log x log f x

iii. Να λύσετε την ανίσωση log x log 22 x 16

17. Δίνεται η συνάρτηση f x log x .i. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων y f x , y x και xy 10 .ii. Να συγκρίνεται τους αριθμούς f 12 και 2.

iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 1g x

f x .

iv. Να αποδείξετε ότι 3f 2 f 5 f 4 1 .

v. Να λύσετε την ανίσωση x xf 2 4 f 5 210 2 10 .

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

[75]

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Δίνεται το σύστημα:

x y 12

3 x 2 y 8

, , 0,2

.

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε.β) Να βρείτε τα , για τα οποία το ζεύγος 4, 2 είναι λύση του συστήματος.

2. Δίνεται το σύστημα k 1 x 2y k 1kx ky 1

,όπου k πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση.β) Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k.γ) Αν k 1 ,

i. να λύσετε την εξίσωση 20 0y x 0 .

ii. να λύσετε την ανίσωση 0 0x t t yt 3 t 4021 3 x 5 3 5

3. Έστω x yD, D , D οι ορίζουσες ενός συστήματος 2χ2 που έχει μοναδική λύση. Αν

x yD D 4D και x yD D 2D , να αποδείξετε ότι :α) το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y 3, 1 .

β) υπάρχει για το οποίο ισχύει: 0 0x y5

, 0x5

.

γ) 0 0 0log32 log x y x log 2 0 .

4. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2f x 2x 5x x , , , το οποίο έχει

παράγοντα το 2x 1 .α) Χωρίς να υπολογίσετε τα α,β, να αποδείξετε ότι 3 .β) Να αποδείξετε ότι 4 και 1 .γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ΄χ.δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 x 5 x 4 x 1

ε) Δίνεται το σύστημα

x f 0 y 2

x y 2 f 1

.

i. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση 0 0x , y .ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει για το οποίο ισχύει: 0x και 0y .

5. Δίνεται η συνάρτηση f x 2 2x 1 , x .α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να σχεδιάσετε τηγραφική της παράσταση σε διάστημα μιας περιόδου.β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.


[76]

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x f x4

στο διάστημα 0, .

δ) Να αποδείξετε ότι 5f log 2 log f 3log f log1284 12 12

.

ε) Να βρείτε τα , για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει

παράγοντες τα x f4

και x f

12

6. Δίνεται η συνάρτηση 2

22 2x 1f x

2 x 1

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

γ) Να λύσετε την εξίσωση log x f log x f log36 6

7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + (β – α)x3 – (α + β)x2 - (2β + α)x – β, όπου α, βRi) Να προσδιορίσετε τα α, βR, ώστε το πολυώνυμο P(x) να διαιρείται

με τη μεγαλύτερη δύναμη του x + 1.ii)Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε την ανίσωση

P(x) < 0.

8. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 2P x 4x 3 x x 2, ,2

.

α) Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με τοx να είναι ίσο με 2.

β) Να λύσετε την εξίσωση 2P x 2 για 34

.

γ) Να λύσετε την εξίσωση 6 2P 1 11 0 .

9. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x 2x 7x x το οποίο έχει παράγοντα τοx 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1 είναι 18 .

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2 .β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2x 7 2x 7 2x 2 0 .γ) Να λύσετε την ανίσωση x x x2 8 7 4 7 2 2 0 .

10. Δίνεται το πολυώνυμο f(x), όπου1λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1, λR.

i) Αν x – 1 είναι παράγοντας του f(x), τότε να βρείτε το λ.

ii) Για 1λ2 :

α) Να αποδείξετε ότι το (x – 1)2 είναι παράγοντας του:1λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1

β) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης:1λ4 2λ 1 3 2 λ2f (x) x 5 x 2 3 x 25 x 1 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x´x.


[77]

11. Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2P x x x 2x x , , και η

συνάρτηση f x log P x .Αν το P x έχει παράγοντα το 2x 1 , τότε:α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1 . β) Να λύσετε την εξίσωση P 2 x 0 .γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. δ) Να αποδείξετε ότι f 7 f 2 f 3 log9 .

12. Δίνεται η συνάρτηση 3 xf (x) ln .3 x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.

iii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1f .3

iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x + 1) = 0.

13. Δίνονται οι συναρτήσεις 2x xf x ln e 2e 3 και xg x ln3 ln e 1 .i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x).ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x).

14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x3 – 7x – 6.i) Να βρείτε τις ρίζες του P(x). ii)Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0.iii) Να λύσετε την εξίσωση 3logx logx10 – 7 10 – 6 0 .

15. Δίνεται η συνάρτησηx+1 x+2

x x2 + 2 - 24f(x) = ln .4 - 6 2 +8

i) Να λύσετε την εξίσωση 2 x+1 + 2 x+2 = 24.ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 x – 6 2 x + 8 = 0.iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f(x).iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0.

16. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x 3 .i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f.ii) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει

τον άξονα x’x.iii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.iv) Να λύσετε την ανίσωση f x 0 .

17. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση xf x 3 .i) Να βρείτε τις τιμές του α.ii) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα.iii) Αν 3 4 ,τότε να λύσετε την εξίσωση 2f x 5x 7 3 .

18. Δίνεται η συνάρτηση: f x 2log(12 – x) – log(x 8) 1 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.ii)Να αποδείξετε ότι f(0) = log9 – log5.


[78]

iii)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f(x) μετον άξονα x´x.

iv)Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x´x.

19. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ex – e και g(x) = e1-x - 1i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g.ii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η γραφική παράσταση της

f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g.iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g.

20. Δίνεται η συνάρτηση xf x 2 , 0,2 . Να βρείτε τις τιμές του ω γιατις οποίες η f είναι:α) σταθερή στο β) γνησίως αύξουσα γ) γνησίως φθίνουσαδ) Να λύσετε την εξίσωση f 2 f 1 6 .

21. Ένας πληθυσμός από 210 βακτήρια αρχίζει από κάποια στιγμή και μετάνα διπλασιάζεται ανά είκοσι λεπτά.i) Πόσος θα είναι ο πληθυσμός των βακτηρίων μετά από 10 ώρες;ii) Με το πέρας της 10ης ώρας ρίχνουμε ένα φάρμακο, το οποίο έχει ως

αποτέλεσμα να χάνονται κάθε 8 λεπτά 235 βακτήρια.α.Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν 80 λεπτά μετά την εισαγωγή του φαρμάκου;β.Σε πόσα λεπτά θα έχουν πεθάνει όλα τα βακτήρια;

22. Δίνεται η εξίσωση 2

3

5 1x x3 3

x 1

1 8 , x 0,24

.

α) Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης είναι η 43

.

β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης3 4

1 3log 3 ln2 43

26 27A log e

4

23. Δίνεται η συνάρτηση 1 xf (x) (3 ) , x και 1 .Α. Αν το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , να βρείτε το α.Β. Για α=0 να λύσετε τις εξισώσεις:

α. f (x) f (2x) 2 β. f (2 x) 3

24. Δίνεται η συνάρτηση ln xf (x)1 ln x

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης .Β. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 1 .Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα x 'x .

25. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xx

2f (x) ln e 3e

.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την μορφή : x xf (x) ln e 1 e 2 x Γ. Να βρείτε τα σημεία για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω

από την γραφική παράσταση της g(x)=x.


[79]

Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+g(x)= 2 ln 2 3 .

26. Δίνεται η συνάρτηση xf x ln(4 8) x ln 2

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Να λυθεί η εξίσωση f x ln 7

γ. Να λυθεί η ανίσωση f x ln 7

27. Δίνεται η συνάρτηση x1f x 1

e

.

Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R

Β) Να λύσετε την εξίσωση 1x f 1 f 04 e

Γ) Να λύσετε την εξίσωση x f 0 0 στο διάστημα 3,2 2

28. Δίνεται η συνάρτηση 22

log xf x

log x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x2

Γ) Να λύσετε την ανίσωση 1 1

f x

29. Δίνεται η συνάρτηση 2x

xe 1f x lne 5

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση f x 2ln 2 .γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 0 .

δ) Έστω η συνάρτηση f xxg x e 5 e .

i. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1. ii. Να λύσετε την εξίσωση g x x g x

30. Δίνεται η συνάρτηση 2f x log x log x .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β με ισχύει ότι f f , να

αποδείξετε ότι 10.000 .

31. Δίνεται η συνάρτηση f x ln x k3

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Αν ef ln ln6 2

, να βρείτε το k.

γ) Αν k 1 , τότε:


[80]

i. να λύσετε στο διάστημα 0,2

την εξίσωση: ln x f 2 ln 2 f ln 36

.

ii. να λύσετε την εξίσωση f x 1 f x 1e e .

32. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x x 4 , , .Αν το υπόλοιπο της

διαίρεσης του P x με το 2x x είναι 2x 4 τότε :α) Να αποδείξετε ότι 2 και 1 .β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x 1

γ) Nα λύσετε την ανίσωση x 2xP 10 10 5 .

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 3log x P 1 log x log2 P 0

33. Θεωρούμε το πολυώνυμο 3P x x x 2 4 , ,

α) Αν έχει παράγοντα το 2x 1 , να βρείτε τα και .Αν 3 και 1 , τότε:β) να λύσετε την ανίσωση P x 0 γ) να λύσετε την εξίσωση P x 0

δ) να αποδείξετε ότι 12 log 3P 2 2P 0

210 25

34. Δίνεται η συνάρτηση f x log log x .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την ανίσωση f x 1 .

γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση xg x f για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι

γνησίως φθίνουσα στο .i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του λ. ii. Να λύσετε την ανίσωση 3g x 4x g x 4

35. Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 3 .α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f 1821 και f 2015 .δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και τηςευθείας y ln10 .

ε) Να λύσετε την εξίσωση 22 x 3 4x ln e 3 1 ln e 3

Algebra b 1

Education

Transcript of Algebra b 1