ALGEBRA BÁSICA .docx

8/17/2019 ALGEBRA BÁSICA .docx

1/67

1

Índice de Álgebra Básica

Item Descrição Pág.

1.0 Potenciação 03

1.1 Definição 03

1.2 Propriedades das Potências 04

1.3 Casos Particulares das Potências 12

1.4 Potência de ase 10 12

1.! "uadrado de um #$mero %erminado em &!& 13

1.' Potência de um #$mero Decimal entre 0 e 1 13

1.( #$meros Decimais 14

2.0 )*press+es ,lg-ricas 1!

2.1 /ator Comum 1!2.2 ,grupamento 1!

2.3 Classificação das )*press+es ,lg-ricas 1!

2.4 onmios 1'

2.! Polinmios 1

2.' Definição 1

2.( alor #um-rico 20

2. 5peraç+es com )*press+es ,lg-ricas 21

3.0 Produtos #otá6eis 24

3.1 "uadrado da 7oma de Dois %ermos 24

3.2 "uadrado da Diferença de Dois %ermos 2!

3.3 Produto da 7oma de Dois %ermos por sua Diferença 2!

3.4 Produto da 7oma pelo %rinmio 2'

3.! Produto da Diferença pelo %rinmio 2'

3.' Cuo da 7oma 2(

3.( Cuo da Diferença 2(


2/67

2

Índice de Álgebra Básica

Item Descrição Pág.

4.0 /atoração 2

4.1 /ator Comum 2

4.2 ,grupamento 31

4.3 Diferença de Dois "uadrados Perfeitos 32

4.4 %rinmio "uadrado Perfeito 33

4.! Produto da 7oma pelo %rinmio 34

48' Produto da Diferença pelo %rinmio 3!

4.( Cuo da 7oma 3!

4. Cuo da Diferença 3'

4. %rinmio do 29 :rau 3'!.0 Cálculo da ;ai< "uadrada 3

!.1 -todo ailnio 3

'.0 ;adiciação 40

'.1 Propriedades 5perat=rias dos ;adicais 42

'.2 /ator ;acionalissimo '3


3/67

3

Álgebra Básica

1. Potenciação

1.1 Definição

1.1.2 Expoente Inteiro

Dado um numero a8 a ∈ 8ℝ e um numero inteiro n8 n ? 18 c@amaAse

potencia en-sima de a8 Bue se indica por an8 ao produto de n fatores iguais a a. ,ssim

an a E a E a E a ......E a

F n “ fatores

1.1.3 Expoente at!ral

Dado um n$mero real a e um n$mero natural n ¿ 18 c@amaAsepotência en-sima de a8 e indicaAse por an8 o produto de n fatores iguais a a.

an a E a E a E a ......E a

F n “ fatores

a - a ase da potência e n - o e*poente da potência8 Bue determina seugrau.

,ssim

23 2 E 2 E 2 ∴

23

G −¿ 1H4 G −¿ 1H E G −¿ 1H E G −¿ 1H E G −¿ 1H 1 ∴ G−¿ 1H4 1

)*.

aH 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2! 8 onde ! - e*poente e 2 - a ase.

ogo8 o e*poente indica Buantas 6e


4/67

4

Álgebra Básica

1.2 Propriedades de Pot*ncias

1.2.1 Expoente Par

%oda a potência de ase diferente de


5/67

5

gH 2! 32 G

@H A 2H! A 32

iH G −¿ 1H3 −¿ 1

Álgebra Básica


1.2.3 ,!ltiplicação de Pot*ncias de ,es'a Base

Para multiplicarmos potências de mesma ase8 conser6amos a ase esomamos os e*poentes.

a' x an - a' n

)*.

aH 23 . 22 . 2! →

210 1024

H G A3H2 . G A3H! →

GA3H( A 21(

cH a4 . a3 . a! . a a13

dH M . MA3 . M . MA ! →

M J GA3H J 1 J GA!H M

eH n . n L 1 . 2 L n →

n J Gn L 1H J G2 L nH n J 1

1.2./ Di#isão de Pot*ncias de ,es'a Base

Para di6idirmos potências de mesma ase8conser6amos a ase esutra>mos os e*poentes.

a' ÷

an - a' −¿ n + a≠ 0

)*emplos

aH 2 ÷ 23 → 2 L 3 → 2! 32

H G −¿ !H2 ÷ G −¿ !H! → G −¿ !H2 L ! G −¿ !H L 3

1 1 1 1

cH G H3 ÷

G H2 →

G H3 L 2

2 2 2 2

d 3/÷

3)2 →

3/) )2 →

3/2 →

3 - 425

e a)3 ÷

a) 2 →

a)3 6 )2 - a)32 - a 61

fH *4 ÷

*( →

*4 L ( * L 3


6/67

6

"bs.$ Para di#idir'os 'ais de d!as pot*ncias de 'es'a base+conser#a'os a base e s!btra7'os os expoentes$

)*emplos

aH 23÷

22÷

2!→

23 L 2 L ! 2 L 4

b 89 ÷

8 6 3 ÷

8÷

8 6 : →

8 9 6 6 3 6 1 6 6 : →

8 9 3 6 1

: - 81:

c Bn÷

Bn 61÷

B2 6 n - Bn 6 n 61 6 2 6 n - B n 6 n 1 6 2 n - Bn 61

Álgebra Básica

1.2 Propriedades de Pot*ncia1.2.: Potenciação de pot*ncia

Para ele6armos uma potência a um e*poente8 conser6amos a ase emultiplicamos os e*poentes.

a'n - a'.n

)*emplos

aH G23H4 23 * 4 212

H G3 L2

H L !

310

3

cH √ 2 H2 G √ 2 H'

2 L 3 L ' 1 1

dH 2 2

"bs.$ c!idado co' pot*ncia de orde' s!perior.)*emplos

4

234

23*3*3*3 21→ oser6e Bue 23 23

4pois 212

≠

21

1.2. Expoente !lo ;ero

"ualBuer ase diferente de


7/67

7

H GA3H0 1

02

cH L 1

3

dH GA*H0 1

eH 0 1

f L!0 1 GcuidadoNH

Álgebra Básica1.2 Propriedades de Pot*ncias

1.2.4 Expoente egati#o

%odo n$mero diferente de


8/67

8

eH 6 : 6 2 →

G L !H2 2!

1 1

fH L 3 L 1 → L GL 3H1 3

1

gH ( L 4

(4

1 1

@H '1 iH 4 L !

' 4!

Álgebra Básica


"bs.$

a >!idado co' as operaç?es in#ersas.

b @oda a #e; (!e desloca'os !'a pot*ncia do n!'erador de !'afração para o deno'inador+ troca'os o sinal do expoente e #ice)#ersa+

co'o #i'os nos exe'plos anteriores.c In#ertendo !'a fração ele#ada a expoente negati#o+ este torna)se

positi#o.

)*emplos

2 L 2 3 2aH

3 2

1 L 1 1

H L

→

L 3 L 33

1.2.9 Pot*ncia de !' A!ociente fração

Para ele6armos uma fração a um e*poente8 ele6amos o di6idendo e odi6isor ao e*poente e di6idimos as potências otidas.

a b ' - a' b' + b≠

0

Exe'plos$

22

22

4


9/67

9

aH→

3 32

a2 3 a2 * 3 a'

H →

3 3 * 3

2 3 23

cH −¿ →

−¿ −¿

! !3 12!

Álgebra Básica


1.2.9.1 Pot*ncia de !' A!ociente fração e Expoente egati#o

Para ele6armos uma fração a um e*poente negati6o8 in6erteAse a ase e

trocaAse o sinal do e*poente.

a ) n b n

- b≠

0

b a

! A 4 4 4 2!'

aH −¿ →

−¿

4 ! '2!

2 A 3 A 2 2 GA 3H GA 2 H 2' '4H

→

→

3 A 2 3 GA 2H GA 2 H 34 1

1.2.5 Pot*ncia de !' Prod!to

Para ele6armos um produto a um e*poente8 ele6amos cada fator doproduto ao e*poente e multiplicamos as potências assim otidas..


10/67

10

a.bn - an.bn

)*emplos

aH G2 . 3 . !H3 → 23 . 33 . !3 → . 2( . 12! 2(000

H G* . M .


11/67

11

Álgebra Básica


1.2.12 Expoente racionário bnd

%odo n$mero ele6ado a um e*poente fracionário - igual a um radical cuOo>ndice - o denominador8 a ase - o radicando e o e*poente do radicando - onumerador.

d

bn 8 8onde d - denominador8 - a ase e n - o numerador.

aH 2 3 Q 2 23

H ( 1 Q 2 (

!

cH 3 2 Q ! 32

3dH ! 1 Q 3 !


12/67

12

3

eH √ a a 1 Q 2

3

fH 22

22 Q 3

1.2.13 Pot*ncia de orde' s!perior

;esol6eAse as potências de cima para ai*o.

amn

)*emplo

aH 222 →

2 2 * 2→ 24

→ 2 * 2 * 2 *2 1'

H 223 → 2 2 * 2 * 2 → 2 → 2 * 2 * 2 *2 * 2 * 2 * 2 * 2 2!'

Álgebra Básica1.3 >asos Partic!lares

1.3.1 A!al(!er n='ero diferente de ;ero ele#ado a ;ero % ig!al a!'.

a0 - 1 a R 0 10 - 1 20 - 1

1.3.2 A!al(!er n='ero ele#ado a !' % ig!al a ele 'es'o.

a1 a 11 1 21 2

1.3.3 ' ele#ado a (!al(!er n='ero % ig!al a ele 'es'o.12 1 13 1

1.3./ Fero ele#ado a (!al(!er n='ero % ig!al a ;ero.

02 0 03 0

1.3.: :23 não % o 'es'o (!e :23 + Gá (!e e' :23 efet!a 6 se+ antes+

23 - 9 obtendo 6 se :23 - :9+ o! seGa$

:23 - :

:23 - :9


13/67

13

1./ Pot*ncia de Base 10

,s potências de 10 facilitam muito o cálculo de di6ersas e*press+es Buesurgiram na resolução de testes de f>sica e Bu>mica.

aH Para se ele6ar 10n n∈

8 asta escre6erAse n


14/67

14

2!2 '2!

S ultiplicar o n$mero de casas Bue 6êm depois da 6>rgula peloe*poente.

2 * 2 4

S Isso significa Bue o resultado terá 4 algarismos depois da 6>rgula8

então G082!H2 080'2!

5utros e*emplos

aH G 084H3 →

43 '4

1 * 3 3 Gn9 de casas decimaisH

G 084H3 0+0/

H G 0811H3 →

113 1331

2 * 3 ' Gn9 de casas decimaisH

G 0811H3 0+001331

cH G0813H4→

134 2!'1

2 * 4 Gn9 de casas decimaisH

G0813H

4

0+00029:1Álgebra Básica

1.4 ='eros deci'ais

%odo n$mero decimal eBui6alente a um produto do Bual um fator - on$mero escrito como inteiro8 e outro - uma potência de de< com e*poentenegati6o8 com tantas unidades no e*poente Buantas são as ordens decimais.

2! 2!

;ealmente 08002! 2! E 10L4

10000 104

)*emplos

aH 08001 10A3

H 08002 2 E 10A3

cH 080000 E 10A!

dH 182!! 12!! E 10A3

eH 2 E 10A3 08002


15/67

15

Álgebra Básica

2. Express?es lg%bricas

Dada uma e*pressão alg-rica BualBuer8 fatorar a mesma - transformáAla em produto8 utilio'!'

amos fatorar a e*pressão alg-rica.ax bx - x . a b

5 * - o fator comum Bue foi colocado em e6idência.

2.2 gr!pa'ento

amos fatorar a e*pressão alg-rica.

ax bx a8 b8 - x . a b 8 . a b - a b x 8

/oi aplicado duas 6e


16/67

16

1H 3* J 3M 3 . G* J MH 8 onde 3 - o fator comum.

2H a*3 L 4 a2*2 4a*2 . G2* L aH8 onde a - o fator comum.

3H 2*( J 3*4 *4 . G2*3 J 3H8 onde *4 - o fator comum.

4H !a2 * A !a2 m A 10a2 !a2 . G* L m L 2H

!H '* J 'M J a* J aM ' . G *J MH J a . G* J MH G* J MH G' JaH'H *3 J *2 J * J 1 *2 . G* J 1H J G * J 1H G * J 1H G*2 J 1H

(H *2 L 3' *2 L '2 G* J 'H G* L'H

H 1 L m2 G1 L mH G1 J mH

H 2!*4 L M' G!*2 J M3H G!*2 L M3H

10H *2 J 4* J 4 G* J 2H2

11H *2 J 20* J 100 G* J 10H2

12H M' L 2M3 J 1 GM3 L 1 H2

13H a4

A 22a2

J 121 G a2

L 11H2

2.3 >lassificação das Express?es lg%bricas

2.3.1 Jacionais

"uando não conti6erem letras so o sinal de radical ou ele6adas ae*poente fracionário.

Álgebra Básica


2.3.2 Inteiras

"uando não conti6erem letras em denominador ou ele6adas a e*poentenegati6o.

)*emplos

1H 3*2 L !*M L

2H √ 2 * L *3M L !

3H 31Q2 *4 L 2* J1

4H 3A2*4M L 2< J 4t

2.3.3 racionárias

"uando conti6erem letras em denominador ou ele6adas a e*poentenegati6o.

)*emplos

aH 3*A3 J 3*M J !*


17/67

17

3* !MH J J 3* a

2.3./ Irracionais

"uando conti6erem letras so o sinal de radical ou ele6adas a e*poentefracionário.

)*emplos

aH 3 √ x A 2< L 3M

H 4*1Q3 J !*M L 4

2. / ,onK'io

onmio - a e*pressão alg-rica onde não aparecem operaç+es de

adição e sutração. T a e*pressão alg-rica de um s= termo.)*emplos

* 3M

U2M÷

÷

A!*M


18/67

18

2./.3 Lra! de !' ,onK'io

5 grau de um monmio - a soma dos e*poentes de sua parte literal.

)*emplos

1H !*

3

M

4

<

2

→

9 grau

2H L3a4c2 →

(9 grau

3H 2!*2M3→

!9 grau

4H *M< → 39 grau

2././ ,onK'io Ce'el&antes o! @er'os Ce'el&antes

onmio semel@antes são termos Bue possuem igual parte literal8podendo diferir nos coeficientes.

)*emplos

aH 2*2M e 3*2M→

são semel@antes

H 3a2 e !a2→

são semel@antes

cH (*2M e 11*M2 →

não são semel@antes

Álgebra Básica


2.: PolinK'ios

Polinmios - a soma alg-rica de monmios.

)*emplos

aH !*M A 3*M → inmio Gdois termosH

H 3*3M L 4 a J3*→ %rinmio Gtrês termosH

cH 4*M J 3a L 4mn J → Polinmio

dH *! L 3*4 J 2*2 L* J !→

Polinmio

2.:.1 Lra! de !' PolinK'io

:rau de um polinmio - o grau do seu monmio de maior grau.


19/67

19

)*emplos

1H !*3M


20/67

20

letras nas e*press+es são c@amadas 6ariá6eis o Bue significa Bue o 6alor decada letra pode ser sustitu>da por um 6alor num-rico.

Exe'plo$ Expressão

5 doro de um n$mero 2*

5 Buadrado da soma de dois n$meros a J 2 , soma dos Buadrados de dois n$meros a2 J 2

, soma do Buadrado de um n$mero com o seu

doron2

J 2n

)*emplos

aH !a* L 4

H a*

2

J * J ccH (a2

57 #o e*emplo 38 onde não aparece indicação de soma ou dediferença8 temos um monmio em Bue 4 - o coeficiente num-rico e aMb - aparte literal.

Álgebra Básica


2.4 Nalor n!'%rico

"uando8 numa e*pressão alg-rica8 cada letra for sustitu>da por umnumero e as e6entuais operaç+es puderem ser efetuadas8 oterAseAa umresultado c@amado de 6alor num-rico da e*pressão alg-rica.

)*emplos

5ter o 6alor num-rico de a2 L 2 J a para

aH a 1 e 2 H a 2 e 1

12

A 22

J G2 * 1H→

1 L 4 J 2→

1 L 2 6 1H 7ustituindo a por 2 e por 18 otemos


21/67

21

22 L 12 J G2 * 1H→

4 L 1 J 2→ 3 J 2 :

cH 7endo a 3 e 48 oter o 6alor num-rico de Ga J 2HGa J1H V a Ga J2 J1H

Ga J 2HGa J1H V a Ga J 2 J1H

G3 J 2H G 3 * 4 J1H L 3 G 3 * 4 J 2 * 4 J 1H

G!H G13H L 3 G12 J J 1 H

!H G13H L 3 G21H

'! H L '3 2

dH ostrar Bue o 6alor num-rico de Ga J 2HGa J1H V a Ga J 2 J1Hindepende dos 6alores de a e .

)fetuando os produtos indicados8 otemos

Ga J 2HGa J1H V a Ga J 2 J1Ha2Ja J 2a J 2 L a2 L 2a L a

a2 L a2 Ja L a J 2a L 2a J 2 2

Portanto para BuaisBuer 6alores de a e a e*pressão terá 6alor num-rico 2.

Álgebra Básica


2.9 "peraç?es co' Express?es lg%bricas2.9.1 dição Jed!ção de @er'os Ce'el&antes

%ermos semel@antes são monmios Bue possuem a mesma parte literal.)*emplo

Para somar ou sutrair termos semel@antes Gredu


22/67

22

GA H → A !a L 2a A (a → 11a A (a 4a

2H !*2M J '*2M L 3*2M L *2M→

11 *2M L 4*2M (*2M

3H 3a

2

* L !*

2

J (*

3

L !a

2

* J 3*

2

J *

3

L

→

L !a2

* J 3a

2

* L !*

2

J3*2J (*3J *3 L A2a2* L 2*2 J *3 L

2.9.2 ,!ltiplicação de ,onK'io por ,onK'io

. Para multiplicarmos monmio por monmio multiplicamos8 o coeficientedo primeiro monmio pelo coeficiente do segundo monmio e a parte literal doprimeiro monmio pela parte literal do segundo monmio.

)*emplo 3*2 . 4*' 12*

2.9.3 ,!ltiplicação de ,onK'io por PolinK'io

Para multiplicarmos monmio por polinmio multiplicamos8 o monmiopor cada termo do polinmio.

)*emplo

G3*3 L 2*2 J * L 3H GA4*2H A 12 *! J *4 L 4*3 J 12*2

Álgebra Básica

2. Express?es lg%bricas2.9 "peraç?es co' Express?es lg%bricas

2.9./ ,!ltiplicação de PolinK'io por PolinK'io

Para multiplicarmos polinmio por polinmio multiplicamos8 cada termode um dos polinmios por todos os termos do outro. , seguir8 fa


23/67

23

J 3* G2*2 L 3* J 2H→ '*3 L *2 J '*

L 1G2*2 L 3* J 2H → L 2*2 J 3* L 2

'*! L 13*4 J 1*3 L 1!*2 J * L 2

2.9.: Di#isão de ,onK'io por ,onK'io

Para di6idirmos monmio por monmio di6idimos8 o coeficiente num-ricodo di6idendo pelo 1W coeficiente do di6isor8 e a parte literal do di6idendo pela dodi6isor8 oser6andoAse as regras para di6isão de potências de mesma ase .

)*emplo 'a34 J 2a2→ ' ÷ 2 * a3 L 1 4 L 2 3a22

2.9. Di#isão de PolinK'io por ,onK'io

Para di6idirmos polinmio por monmio di6idimos8 cada termo dopolinmioGdi6idendoH pelo monmio Gdi6isorH.

)*emplo

G12*!M4 J '*'M3 L *4M(H÷

GA2*2M3H

12*!M4 ÷ GA2*2M3H

→ L '*3M

'*'M3÷ GA2*2M3H

→ L 3*4

L *4M(H÷

GA2*2M3H→ J4*2M4

L '*3M L 3*4 J4*2M4

Álgebra Básica


2.9 "peraç?es co' Express?es lg%bricas

2.9.4 Di#isão de PolinK'io por PolinK'io co' !'a #ariá#el

19H o polinmio do di6idendo de6e estar ordenado decrescentemente ecompleto. 5 polinmio do di6isor asta estar ordenado decrescentemente.

29H Di6ideAse o 19 termo do di6idendo pelo 19 termo do di6isor. 5resultado - o 19 termo do Buociente.


24/67

24

39H ultiplicamos o 19 termo do Buociente por cada termo do di6isor8escre6endo o resultado no di6idendo8 com o sinal trocado8 em ai*o dapotência semel@ante.

49H 7omamos e começamos no6amente no item 1.

!9H , di6isão - feita at- Bue o grau do resto fiBue menor Bue o grau dodi6isor.

)*emplo

aH G2*2 ÷

* J !H J G * L 2H

Di6idendo Di6isor

2*2 ÷

* J ! * L 2

A2* 2 J 4* 2* J 12

12* J !

A12* J 24

2

"uociente 2* J 12

;esto 2

H GA1 J *3 H J G1 J*H

Di6idendo Di6isor

*3J 0*2 0* A 1 * L 2

A*3 L *2 *2 L * J 1

-*2 J 0* L 1

J*2 J *

* L 1

A* A 1

L 2

"uociente *2 L * J 1

;esto L 2

Álgebra Básica

3. Prod!tos otá#eis

Xá certos produtos de polinmios Bue ocorrem freBYentemente nocálculo alg-rico e Bue são c@amados produtos notá6eis.

3.1 A!adrado da Co'a de Dois @er'os a b 2


25/67

25

5 Buadrado da soma de dois termos - igual ao Buadrado do primeiromais duas 6e


26/67

26

5 Buadrado da diferença de dois termos - igual ao Buadrado do primeiromenos duas 6e


27/67

27

Álgebra Básica


3./ Prod!to da Co'a pelo trinK'io a b x a2 −¿ ab b2

5 produto da soma de dois n$meros Ga J H pelo trinmio Ga 2 A a J 2H8-

Ga J H . Ga2 −¿ a J 2H a.a2 −¿ a.a. J a.2 J .a2 −¿ .a.

J .2

a3 −¿ a2 J a2 J a2 −¿ a2 J 3 Oogo

a b x a2 −¿ ab b2 - a3

b3

)*emploP

Calcule G* J 2 H * G*2 L 2* J 4H

U3 L 2*

2 J 4* J 2*

2 L 4* J

U3 L 2*

2 J 2*

2J 4* L 4* J

3

9

3.: Prod!to da Diferença pelo @rinK'io 2a−¿

b x a2

ab b2

5 produto da diferença de dois n$meros Ga −¿ H pelo trinmio Ga2 J

a J 2H8 -

Ga −¿ H . Ga2 −¿ a J 2H a.a2 J a.a. J a.2 −¿ .a2 −¿

.a. −¿ .2

a3J a2 J a2 −¿ a2 −¿ a2 −¿ 3

Oogo$

a −¿ b x a2 ab b2 - a3

−¿ b3

)*emplo

Calcule G* L 2H * G *2 J 2* J 4H

U3 J2*2 J 4* L 2*2 L 4* L

U3 J2*2 L 2*2J 4* L 4* L


28/67

28

3 6 9

Álgebra Básica


3. >!bo da Co'a a b3

5 cuo da soma de dois n$meros Ga J H8 -

Ga J H3 Ga J H * Ga J H * Ga J H

Ga J H * Ga J H2 Ga J H * Ga2 J 2a J 2H

a.a2 J a.2a J a.2 J a2 J .2a J .2

a3 J 2a2 J a2 J a2 J 2a2 J 3

Logo:

a b3- a3 3a2b 3ab2 b3

)*emplo

Calcule G* J 2H3

U3 J 3*22 J 3*22 J 23

3 x2 12x 9

3.4 >!bo da Diferença a Q b3

5 cuo da diferença de dois n$meros Ga A H8 -

Ga L H3 Ga L H . Ga L H . Ga L H

Ga L H . Ga L H2 Ga L H . Ga2 L 2a J 2H

a *.a2 L a * 2a J a * 2 L a2 J * 2a L * 2

a3 L 2a2 J a2 L a2 J 2a2 L 3

Oogo$

a Q b3 - a3 Q 3a2b 3ab2 Q b3

)*emplo

Calcule G* L 2 H3


29/67

29

*3 L 3*22 J 3* GA2H 2 GL 23 H

*3 L '*2 J 3*4 L

x3 6 x2 12x 6 9

Álgebra Básica

/. atoração

/atorar um n$mero significa decompAlo em fatores primos.

)*emplos

(0 2 1!0 2

3! ! (! 3

( ( 2! !

1 ! !

2 x : x 4 1

2 x 3 x :2

Consideremos as e*press+es

/ G* J 2MHG2* J 3MH e D 2*2 J (*M J 'M2

;epare Bue

G* J 2MH G 2* J 3MH → 2*2 J 3*M J 4*MJ 'M2 2x2 4x8 82

DenominaAse

G* J 2MHG2* J 3MH de for'a fatorada

2*2 J (*M J 'M2 de for'a desen#ol#ida

/atorar um polinmio - escre6êAlo so a forma de um produto indicado.

/ator comum dos termos de um polinmio - o monmio cuOo coeficientenum-rico - o má*imo di6isor comum dos coeficiente dos termos do polinmio ecuOa parte literal - formada pelas letras comuns com os menores e*poentes.

,presentando um fator comum8 o polinmio pode ser escrito como oproduto de dois fatores o 19 - o fator comum e o 29 - o otido di6idindoAse opolinmio original pelo fator comum..


30/67

30

Álgebra Básica

/. atoração

/.1 ator co'!'

Pela propriedade distriuti6a8 temos Bue a G J cH a J ac e portanto

a E J a E c a G J cH

5ser6e Bue no memro esBuerdo da igualdade acima @á uma somaGadição ou sutraçãoH de produtos Bue8 neles8 a e um fator comum. #o memrodireito diremos Bue o fator comum a foi colocado em Fe6idencia[.

, igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira

Jc

a a ac

c

, e*pressão a* J * tem como fator comum o *8 neste caso podemoscolocar o * em e6idência e oter a* J * Ga J H*

, área da região @ac@urada e igual a a G J cH a J ac .


31/67

31

Álgebra Básica

/. atoração

/.1 ator co'!'

Colocamos em e6idência o mdc dos coeficientes e as letras constantesde todos os termos ele6ados ao menor e*poente.

)*emplo

aH /atorando o polinmio 3'a4*! J 24a!*4 L 42a3*(

3' 22 . 32

24 23 . 3 2 * 3 '

42 2 . 3 . (

.D.C. '

etras com menor e*poentes a38 *4

/ator comum 'a3*4

/atorando o polinmio 3'a4*! J 24a!*4 L 42a3*(

3'a4*!

\ 3'a4*! 24a!*4 42a3*(

'a3*4 8 8 a3x/ ax +/a2 6 4x3

'a3*4 'a3*4 'a3*4

H /atorando o polinmio 4a*2 J a

2

*3+ 2a

3

* tem-se:

4 22

23

2 2

4a*2 a2*3 2a3

2a* . 8 2ax 2x /ax2 a2

2a* 2a* 2a*


32/67


33/67

33

Álgebra Básica

/. atoração

/.3 Diferença de Dois A!adrados Perfeitos

, diferença de dois Buadrados perfeitos - igual ao produto da soma peladiferença.

a2

6 b2

- a b a 6 b ,ssim8 por e*emplo8 !2 L 32 e igual a G! J 3HG! V3H G6erifiBueNH.

) claro Bue podemos Oustificar essa identidade partindo do memrodireito e8 desen6ol6endo o produto8 c@egar ao memro esBuerdo. Como ficariase Buis-ssemos partir do memro esBuerdo e8 fatorando8 c@egar no direito]

;epare Bue em a2 V 2 a * a L * não @a fator comumN

5ser6e então a seguinte seBYência em Bue e usado um peBuenoartif>cio somando e sutraindo a8 otemos fatores comuns sem alterar o 6alor da e*pressão.

a2 L 2 a2 J a L a L 2

a Ga J H L Ga J H

Ga J H Ga L H

)*emplo

/atorar *2 V 2! .

*2 V 2!→

*2 L !2 x : x 6 :


34/67

34

Álgebra Básica

/. atoração

/./ @rinK'io (!adrado perfeito.

a2 2ab b2 - a b 2

a2 −¿ 2ab b2 - a −¿ b 2

5 trinmio Buadrado perfeito - igual ao Buadrado de uma soma ou deuma diferença.

eOa

a2 2ab b2 -

a2 J a J a J 2

Ga2 J aH J Ga J 2H

a Ga J H J Ga J H

Ga J H Ga J H

Ga J H 2

a2 −¿ 2ab b2 -

a2 −¿ a −¿ a J 2

Ga2 −¿ aH −¿ Ga −¿ 2H

a Ga −¿ H −¿ Ga −¿ H

Ga −¿ H Ga −¿ H

Ga −¿ H 2


35/67

35

Álgebra Básica

/. atoração

/./ @rinK'io (!adrado perfeito.

Exe'plos$

aH a2 J 4a J 42

a2 a 42 2

2 . a . 2 4a Jesposta$ a 2b2

Álgebra

H *2 L '*M J M2

*2 * M2 3M

L 2 E * E 3M L '*M Jesposta$ x 6 382

/.: Prod!to da Co'a pelo trinK'io o! Co'a de >!bos

5 produto da soma de dois n$meros Ga J H pelo trinmio Ga 2 A a J 2H8

-Ga J H . Ga2 −¿ a J 2H a.a2 −¿ a.a. J a.2 J .a2 −¿ .a.

J .2

a3 −¿ a2 J a2 J a2 −¿ a2 J 3 Oogo

a b x a2 −¿ ab b2 - a3

b

3

)*emploP


36/67

36

Calcule G* J 2 H E G*2 L 2* J 4H

*3 L 2*

2 J 4* J 2*

2 L 4* J

*3 L 2*

2 J 2*

2J 4* L 4* J

x3 9

Álgebra Básica

/. atoração

/. Prod!to da Diferença pelo @rinK'io o! Diferença de>!bos

5 produto da diferença de dois n$meros Ga −¿ H pelo trinmio Ga2 J

a J 2H8 -

Ga −¿ H . Ga2 −¿ a J 2H a.a2 J a.a. J a.2 −¿ .a2 −¿

.a. −¿ .2

a3J a2 J a2 −¿ a2 −¿ a2 −¿ 3

Oogo$

a −¿ b x a2 ab b2 - a3

−¿ b3

)*emplo

Calcule G* L 2H * G *2 J 2* J 4H

U3 J2*2 J 4* L 2*2 L 4* L

U

3

J2*

2

L 2*

2

J 4* L 4* L 3 6 9

/.4 >!bo da Co'a

5 cuo da soma de dois n$meros Ga J H8 -

Ga J H3 Ga J H * Ga J H * Ga J H

Ga J H * Ga J H2 Ga J H * Ga2 J 2a J 2H

a.a2 J a.2a J a.2 J a2 J .2a J .2

a3 J 2a2 J a2 J a2 J 2a2 J 3


37/67

37

Logo:

a3 3a2b 3ab2 b3 - a b3

)*emplo

Calcule G* J 2H3

U3 J 3*22 J 3*22 J 23

3 x2 12x 9

Álgebra Básica

/. atoração

/.9 >!bo da Diferença

5 cuo da diferença de dois n$meros Ga A H8 -

Ga L H3 Ga L H . Ga L H . Ga L H

Ga L H . Ga L H2 Ga L H . Ga2 L 2a J 2H

a *.a2 L a * 2a J a * 2 L a2 J * 2a L * 2

a3 L 2a2 J a2 L a2 J 2a2 L 3

Oogo$

a3 Q 3a2b 3ab2 Q b3 - a Q b3

)*emplo

Calcule G* L 2 H3

*3 L 3*22 J 3* GA2H 2 GL 23 H

*3 L '*2 J 3*4 L

x3 6 x2 12x 6 9

/.5 @rinK'io de 2R gra!

%rinmio do 29 grau - o produto entre duas somas ou duas diferenças.

*2 J 7* J P G* J aH G* J H

7 a J a ...........P a . ............


38/67

38

Exe'plos$

aH *2 J * J 12

a J a '

a . 12 2

JespS x x 2

H *2 L (* J 12

a J A( a A3

a . 12 A4

Jesp$ x 6 3 x 6 /

Álgebra Básica

/. atoração

Descrição or'!laa J ac L ad aG J c J L dH

Diferença de dois Buadrados perfeitos Ga J H Ga L H a2 L 2

7oma do trinmio Buadrado perfeito a2 J 2a J 2 Ga J H2

Diferença do trinmio Buadrado perfeitoa

2

L 2a J

2

Ga L H

2

Produto da soma pelo trinmio Ga J H Ga2 L a J 2H a3 J 3

Produto da diferença pelo trinmio Ga L H Ga2 J a J 2H a3 L 3

Cuo da soma a3 J 3a2 J 3a2 J 3 Ga J H3

Cuo da diferença a3 L 3a2 J 3a2 L 3 Ga L H3

%rinmio do 29 grau *2J 7* J P G* J aH G* J H


39/67

39

Álgebra Básica

:.0 >álc!los da Jai; A!adrada

:.1 ,%todo BabilKnio5 m-todo ailnio - sem d$6ida8 o mais simples para resolução de rai<

Buadrada. ConfiramN

7eOa [* a[ a rai< deseOada e seOa Fa1[ uma primeira apro*imação dessarai6el.

Como Fa2[ - sempre grande damais8 a seguinte 2 a Qa2 será peBuena

demais e tomaAse a media aritm-tica a3 Ga2 J 2HQ2 para oter um resultadoainda mel@or. 5 processo pode ser continuado indefinidamente.

ogo8 temos

a1 n2 8 n2 8 n2 ^ n2 G1a apro*imaçãoH.

a

18 28 3 ^ n a Q ana28 a38 a4 ^.an Gan J nH Q2

* a


40/67

40

Álgebra Básica

:.0 >álc!lo da Jai; A!adrada

:.1 ,%todo BabilKnio

)*emplo

Calcule √ 774 com precisão de duas casa decimais

a1 102 100

→ √ 100 10

a1 202 400

→ √ 400 20 G1_ apro*imaçãoH

a1 302 00

→ √ 900 30 GultrapassouH

ogo

a ((4

a1 20 G1_ apro*imaçãoH

a ((4

1 →

1 38(

a1 20

a1 J 1 20 J 38( !8(a2

→

→ a2 283!

2 2 2

a ((4

2 →

2 2'83(

a2 283!

a2 J 2 283! J 2'83( !!8(2

a3 → → a3 2(8'

2 2 2


41/67

41

a ((4

3 →

3 2(8(

a3 2(8'

a3 J 3 2(8' J 2(8( !!8'4

a4 →

→

a4 2(82

2 2 2

a ((4

4 →

4 2(82 * a4 4 2(82

a4 2(82

ogo √ 774 - 24+92

Álgebra Básica

. Jadiciação

DenominaAse rai< de >ndice n G ou rai< eneA-sima H de a8 ao n$mero oue*pressão Bue8 ele6ado K potência n8 reprodu< a.

, operação in6ersa da potenciação - a radiciação.

n - 7ndice de rai;

n a - radicando a - x x - ra7;

- radical

n

a - o n$mero real x tal Bue xn - a

Exe'plos$

aH √ 9 38 pois 32

H3

√ 27 38 pois 33 2(

cH3

√ −8 −¿ 28 pois G −¿ 2H3 −¿

dH 4√ 16 2 8 pois 24 1'


42/67

42

tenção TTT

√ 16 - / e não √ 16 - ± /

, definição8 para o caso de >ndice UnV par 8 e*ige radicando UaV nãonegati6o e rai< UxV não negati6o.

#ão estamos procurando todos os n$meros reais cuOos Buadradosresultem em 1'.

Álgebra Básica

. Jadiciação

amos perguntar

"ual o n$mero Bue ele6ado ao Buadrado - igual a ]

G3 H2 7olução G3

2 H

)ssa operação - a operação in6ersa da potenciação e - c@amadaradiciação.

;epresentaAse

32 ⟺

√ 9 3 êAse rai< Buadrada de - 3

5 s>molo ⟺ indica eBui6alência.

5utros e*emplos

!2 2!⟺

√ 25 !

êAse rai< Buadrada de 2! - !

33 2(⟺

3

√ 27 3

êAse rai< c$ica de 2( - 3

24 1'⟺

4

√ 16 2

êAse rai< Buarta de 1' - 2

#o )*emplo √ 9 3


43/67

43

2 - o >ndice de rai<

- o radicando

3 - a rai<

√ ❑ - o radical

#ão - necessário escre6er o >ndice 2 no radical para a rai< Buadrada

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "perat


44/67

44

10 2

0 2

4! 3

1! 3

! !

22 E32 E !

√ 180→ 22 E 32 E ! √ 5

4

cH 3E !4 E 2

4 4

3 E !4 E 2→ 3 ÷ 4 !4 ÷ 4 E 2 → 32 E ! E 2

32 W :4

√ 2

4

dH 3

4 4

3 → 3 ÷ 4 32

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "peratndice e mesmo radicando são semel@antes. #aadição e sutração de radicais semel@antes8 operamAse os coeficientes econser6aAse o radical.

)*emplos


45/67


46/67

46

.

n m mmc mmc

a E am E n

Calcular

aH √ 2 E3

√ 5

5 ..C. entre 2 e 3 - 2 * 3 '

' ' ' ' '

√ 2 E3

√ 5 23 E !2 → E 2! →

E 2!

200

H3

√ 5 E4

√ 5

5 ..C. entre 3 e 4 - 3 * 12

12 12 12 3

√ 5 E4

√ 5 !4 E !3 :4

Álgebra Básica

. Jadiciação



47/67

47

Para di6idirmos radicais de mesmo >ndice8 di6idimos os radicandos econser6amos o >ndice comum.

n n

a a n

√ 6

aH√ 2

√ 6

→ √ 6÷2 √ 3

√ 2

5∗¿

4

√ 34

√ ¿

H4

√ 2

5∗¿

4

√ 34

√ ¿ 4

√ 5∗3 4

√ 15 1:

→ → / 4

√ 2 4

√ 2 4

√ 2 2


48/67

48

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "peratndices diferentes primeiro calculamos o..C. dos >ndices originais8 depois sustitu>mos o >ndices originais pelo..C. em seguida in6ertemos os >ndices originais colocandoAos comopotências dos radicandos e depois efetuamos o produto da di6isão dosradicandos conser6ando os >ndices ..C`7.

Calcular

3

√ 4

1H

√ 2

5 ..C. entre 3 e 2 - 3 * 2 '

' ' '

3

√ 4 4 42 1'

→ → →

√ 2 ' ' '

2 23

2

√ 8

2H4

√ 4

5 ..C. entre 2 e 4 - 2 * 2 4

4 4 4

√ 8 4 2

→ → →

→ 4

√ 4 4 4 4


49/67

49

4 42 4

4

√ 64 4 →

4

√ 16

→

24

- 2 4√ 4

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "peratndices iguaisele6amos o radicando K potência indicada e conser6aAse o >ndice.

m n n

a'

a

)*emplos

aH G 4

√ 3 H3

4

G 4

√ 3 H3 → 33 4

√ 27

2 !

H 22 E 3

2

! :22 E 3 2/ W 32


50/67

50

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "peratndices diferentesmultiplicamos os >ndices entre si8 ele6amos o radicando a ao >ndice doradicando b e ao e*poente do radicando a8 ele6amos o radicando Gb ao>ndice do radicando a e ao e*poente do radicando b e encontramos a rai<do produto da multiplicação entre os radicandos a e b.

p B n m

* nE m

a a m E p * n E B

)*emplo

3 E 2 '

aH3

√ 2 * √ 5 → 22 * !3 → 22 x :3 → 4 *

12! :00

.1.10 Di#isão de Potenciação de Jadicais de Índices Ig!ais

Para di6idirmos potenciação de radicais de >ndices iguais8 di6idimostanto o >ndice do radical Buanto o e*poente do radicando pelo radicando.

n n ÷ a

am a m÷ a

)*emplo

' ' ÷ 2 3

24→

2 4 ÷ 2 22


51/67

51

Álgebra Básica

. Jadiciação

.1 Propriedades "peratndices iguais

ou diferentes multiplicamos os >ndices e conser6aAse o radicando.

n m nW '

a a

)*emplos

aH √ √ 3

2E 2

√ √ 3 → 3 4

√ 3

H3

√ √ 4√ 3

3 E 2 E 4 2/

3

√ 4

√ 3 → 3 3


52/67

52

Álgebra Básica

. Jadiciação



53/67

53

Álgebra Básica

. Jadiciação



54/67

54

Álgebra Básica

. Jadiciação.1 Propriedades "perat


55/67

55

2 2

' J 3' L 20 ' L 3' L 20√ 6+√ 16

√ 6−√ 16

L → L

2 2 2 2

√ 6+4 √ 6 – 4 √ 10 √ 2

L → L √ 5 6 1

2 2 2 2

Álgebra Básica

.2 ator Jacionali;ante

3 , fração tem denominador irracional.

√ 2

7e multiplicarmos o numerador e o denominador por √ 2 8 a fração não

se altera e na no6a fração o denominador passa ser racional.

)*emplo

3 √ 2 3 √ 2

. * √ 2 √ 2 2

3 √ 2

, forma - c@amada racionali


56/67

56

- a forma racional8 e o denominador - racional. 2

√ 2 - o fator racionalicios.

2aH ;acionali


57/67

57

Exe'plos$

;acionali


58/67

58

2 √ 3 2 √ 3 E √ 3 2 √ 9 2 E 3

√ 2

eH√ 3

√ 2 √ 2 E √ 3 √ 6 √ 6

→ →

√ 3 √ 3 E √ 3 √ 9 3

2 √ 2

fH

! √ 6

2 √ 2

fH

! √ 6

2 √ 2 2 √ 2 E √ 6 2 √ 12 2 √ 12 2 √ 12

√ 12

→ → → →

! √ 6 ! √ 6 E √ 6 ! √ 36 ! * ' 30

1!


59/67

59

Álgebra Básica

.3 Jacionali;ação de Deno'inador

.3.2 " deno'inador % Co'a atores A!adráticos.

7e o denominador - soma de dois termos em Bue um deles ou amos8

são radicais do 29 grau G √ ❑¿ . ultiplicamos o numerador e o denominador

pela e*pressão conOugada do denominador Ga L H.

"BC$ expressão conG!gada de a b % a 6 b.

a a √ b −¿ √ c a . √ b −¿

√ c

- . -

√ b √ c √ b √ c √ b −¿ √ c b 6

c

Oogo$

" fator racionali;ante de √ a √ b % √ a −¿ √ b

#a racionali


60/67

60

1 1 EG √ 5 −¿ √ 2 H √ 5 −¿

√ 2 √ 5 −¿ √ 2

→ → →

√ 5 J √ 2 G √ 5 J √ 2 H E G √ 5 −¿ √ 2 H G √ 5

H2 –

G √ 2 H2 √ 25 –

√ 4

√ 5 −¿ √ 2 √ 5 −¿ √ 2

→

! L 2 3

Álgebra Básica


.3.2 " deno'inador % Co'a atores A!adráticos.

!cH

2 J √ 3

! ! E G2 L √ 3 H ! E G2 L √ 3 H ! E G2

L √ 3

→ → →

2 J √ 3 2 J √ 3 H E G2 L √ 3 H 4 L √ 9

4 L 3

! E G2 L √ 3 H→ : W 2 6 √ 3

1

.3.3 " deno'inador % Diferença atores A!adráticos.

7e o denominador - a diferença de dois termos em Bue um deles ou

amos8 são radicais do 29 grau G √ ❑¿ . ultiplicamos o numerador e o

denominador pela e*pressão conOugada do denominador Ga J H.

"BC$ expressão conG!gada de a 6 b % a b.


61/67

61

a a √ b √ c a . √ b √ c

- . -√ b −¿ √ c √ b −¿ √ c √ b √ c

b 6 c

Oogo$

" fator racionali;ante de √ a −¿ √ b % √ a √ b

)*emplo 11H ;acionali


62/67

62

11H ;acionali


63/67

63

" fator racionali;ante de 3

√ a −¿ 3

√ b % 3 a2 3

√ a xb 3

b2

)*emplo2

1H ;acionali


64/67


65/67

65

Álgebra Básica


.3.3 " deno'inador % !'a rai; de 7ndice (!al(!er

2H4

3

n n

a a n L m n L m

a.n n n

m m n L m

4 /

2 2 34 L 1 2 33

* 4 4 4

3

3 3 34 L 1


66/67

66

Álgebra Básica

4. Ci'plificação de Express?es lg%bricas

Para simplificarmos uma e*pressão alg-rica de6emos utili


67/67

Álgebra Básica9. I'portant7ssi'o

9.1 5 n$mero um sustitui uma 6ariá6el GletraH.

)*emplos

* J 4 1J4

1 1 1! 1

aH → →

2 2 2! 32

−¿ * −¿ 4 −¿ 1 −¿ 4 −¿ ! 1 1

H 2 → 2 → 2 →

2! 329.2 7e os e*poentes são iguais8 para Bue a igualdade seOa 6erdadeira8 as

ases tam-m de6em ser iguais8 ou seOa

G(*L 2H 2 L 2→ (* 2

9.3 Para comparar três n$meros8 de6emos dei*áAlos na mesma ase

, 33100

'200 3'100

C 2!00 32100

ALGEBRA BÁSICA .docx

Documents

Transcript of ALGEBRA BÁSICA .docx