Alberti Beckers Kuipers - archief.vakbladeuclides.nl · enig perspectief.) - Daarnaast wisselde de...

februari2004/nr.5

jaargang 79

AlbertiBeckersKuipers

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

febru

ari 20

04

JAA

RG

AN

G 7

9

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Inzending bijdragen

Artikelen/mededelingen naar de hoofdredacteur:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen

Tekst liefst digitaal in Word aanleveren, oppapier in drievoud. Illustraties, foto´s en formules separaat oppapier aanleveren: genummerd, scherp contrast.Zie voor nadere aanwijzingen: www.nvvw.nl/euclricht.html

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

Voorzitter: Marian Kollenveld,Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected]

Secretaris:Wim Kuipers,Waalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected]

Ledenadministratie:Elly van Bemmel-Hendriks,De Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Rinus Roelofs, Hengeloproductie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie per verenigingsjaar

Het lidmaatschap is inclusief Euclides.Leden: €42,50Studentleden: € 22,50Gepensioneerden: € 27,50Leden van de VVWL: € 27,50Lidmaatschap zonder Euclides: € 27,50Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie. Opzeggingenvóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende nummer.Niet-leden: € 47,50Instituten en scholen: € 127,50Losse nummers, op aanvraag leverbaar: € 17,50Betaling per acceptgiro.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Willem MaasMolenveld 104, 2490 Balen, Belgiëe-mail: [email protected]. vanuit Nederland: 003214814527fax: 003214813753

Indien afwezig:Freek MahieuDommeldal 12, 5282 WC Boxtele-mail: [email protected] tel. 0411-673468

5

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

Voorplaat‘Klein Figure 8’ is de naam die Rinus Roelofs meegaf aan zijn ontwerp voor deomslag van dit nummer van Euclides. Deze torusvorm is een variant op de bekende‘fles van Klein’, een zelfdoorsnijdend oppervlak met de bijzondere topologischeeigenschap dat de binnenkant samenvalt met de buitenkant. Het ontwerp vanRoelofs heeft een doorsnede in de vorm van een acht. Doordat de acht een halveslag maakt, komt het bovenste rondje van de acht uit op het onderste rondje.Hierdoor ontstaat een eenzijdig oppervlak, net als bij de oorspronkelijke fles vanKlein.

Tweede fase; februari-akkoord Voor al diegenen onder u die niet rechtstreeks betrokken zijn bij het wiskunde-onderwijs in de Tweede fase, worden de stukjes op deze pagina waarschijnlijk weleen beetje vervelend... In bijna elk nummer begon ik er immers weer over: denieuwste ontwikkelingen rond de ministeriële aanpassingsplannen voor de Tweedefase. Maar ja, steeds was er wel weer iets anders te melden. - Zo was er bijvoorbeeld in de nota ‘Ruimte laten en keuzes bieden’ (januari 2003)sprake van twee nieuwe vwo-NT-keuzevakken: voortgezette wiskunde envoortgezette natuurwetenschappen. In de juli-voorstellen verdween voortgezettewiskunde van het toneel, in de decembervoorstellen werd ‘voortgezette wis- ennatuurwetenschappen’ opgevoerd als mogelijk profielkeuzevak voor zowel NG(Natuur en Gezondheid) als NT (Natuur en Techniek), en op 4 februari jl. werduiteindelijk met de vaste kamercommissie overeengekomen, dat er eengeïntegreerd modulair bètavak ontwikkeld wordt dat misschien op termijn alsvierde profielvak voor NT zou kunnen fungeren. (Dat biedt overigens wellicht nogenig perspectief.)- Daarnaast wisselde de positie van natuurkunde: in de voorstellen van januari2003 was dit vak plotseling uit het profiel NG verdwenen, in juli keerde het erweer in terug, maar in de voorstellen van 4 december en aansluitend het akkoordvan 4 februari werd natuurkunde toch weer uit het profiel NG weggehaald. (Vwo-gediplomeerden mogen dus straks bijvoorbeeld aan een geneeskundestudiebeginnen met hun natuurkundekennis op derdeklasniveau, want elke opleidingmoet toegankelijk zijn vanuit tenminste één van de profielen zonder dat eraanvullende vak-eisen gesteld worden.)- Onveranderd bleef echter de ingrijpende reductie van wiskunde in de havo/vwo-N-profielen en de enigszins raadselachtige uitbreiding ervan in het vwo-CM-profiel.Die uitbreiding van het huidige wiskunde A1 voor vwo wekte vooral verbazing, dereductie van wiskunde in de N-profielen is nog steeds volstrekt onbegrijpelijk. Een inhoudelijke discussie bleek uitgesloten. De voorstellen vloeiden bijvoorbeeldhelemaal niet logisch voort uit de eigen uitgangspunten van het ministerie, en debeslissingen zullen leiden tot tal van principiële en praktische problemen, maarminister Van der Hoeven weigert in te gaan op inhoudelijke argumenten. Zijinterpreteert elke kanttekening of vraag vanuit de bèta-hoek als lobby-werk, enaldus plaatst ze leerlingen, docenten, leerplanontwikkelaars en vervolg-opleidingen in een onmogelijke positie. Haar opvatting over wiskundeonderwijs is kennelijk: hoe minder hoe beter –behalve voor de CM-leerling.

ProfielcommissiesOp 4 februari jl. is ook besloten tot instelling van twee profielcommissies, éénvoor de maatschappij- en één voor de natuurprofielen. Die commissies moeten deminister nog dit kalenderjaar adviseren over inhoud en samenhang van de profiel-vakken en over de doorstroming naar het hoger onderwijs.Voor uitgebreidere informatie rond het ‘februari-akkoord’ verwijs ik u naarwww.tweedefase-loket.nl.

213Van de redactietafel[Marja Bos]

214Perspectiefregels volgens Leon BattistaAlberti[Hans de Rijk]

218Nederland aardappelland[Heleen Verhage]

222Wiskunde en onderwijs, een wankelevenwicht[Ed de Moor]

227Prijsuitreiking Wiskunde Olympiade2003[Bram van Asch]

228Pensioen voor Wim Kuipers / interview[Gert de Kleuver]

230Wiskunde door het jaar heen[Rob van Oord]

235Het kanon en de afgeleide[Kees Alkemade]

236Klassikaal[Dick Klingens]

237Verschenen

238Re:cursief – Kaartspelletje[Rob Bosch]

24040 jaar geleden[Martinus van Hoorn]

242Gesprekken met Sjaak (3)[Jan van den Brink]

24490 minuten actief?[Bert Swinkels]

245De veranderende rol van de leraar[Leo Prick]

249Van de bestuurstafel[Wim Kuipers]

250Recreatie[Frits Göbel]

252Servicepagina

Aan dit nummer werkte verder mee:Sam de Zoete.

moeilijk te zeggen, omdat er duidelijk enige fasen aante wijzen zijn in de manier om de ruimte uit tebeelden, die wij tegenwoordig samenvatten onder denaam perspectivische afbeelding.In de meeste boeken over kunsthistorie wordt deuitvinding van de perspectief toegeschreven aanAlberti’s tijdgenoot Brunelleschi, eveneens afkomstiguit Florence. Mijns inziens is dit echter eenmisinterpretatie van een aantal schriftelijke bronnen.

Homo universalisAlberti werd in 1404 in Genua geboren, de plaatswaarnaar zijn Florentijnse ouders gevlucht waren. Pasin 1428 kon de familie terugkeren naar Florence.Alberti kreeg een uitstekende opleiding aanverschillende universiteiten en groeide uit tot een‘homo universalis’. Hij was niet geniaal zoals Leonardoda Vinci (1452-1519), die van een volgende generatiewas, maar wel veelzijdiger. Hij schreef letterlijk overvan alles en nog wat. Er zijn circa 25 geschriften vanhem bekend over de meest uiteenlopende onderwerpen.

AanleidingDit stuk is ontstaan uit de onvrede die ik heb over desteeds weer opduikende verhalen van het gebruik vande camera obscura door schilders vanaf de 17e eeuw.Niet alleen omdat dit onrecht doet aan hun talent alsschilder, maar vooral omdat het zo’n onzin is. Metbehulp van de summiere beschrijving van LeonBattista Alberti (1404-1472) over perspectief kon elkeschilder uit de voeten. Voor een collega die dat nietwilde geloven schreef ik dit artikeltje, eerst met devolledige letterlijke tekst van Alberti, maar die bleektoch niet zo toegankelijk. Ik heb Alberti’s tekst daaromsterk ingekort en wat overzichtelijker gemaakt.

Uitvinder van de perspectiefDe eerste verhandeling over perspectief, De Pictura,werd in 1435 in het Latijn geschreven door LeonBattista Alberti. Die verhandeling vormt een klein deelvan zijn manuscript over het schilderen. Een jaar laterhad hij het manuscript in het Italiaans herschreven.Was hij ook de uitvinder van de perspectief? Dat valt

PERSPECTIEFREGELS VOLGENSLEON BATTISTA ALBERTI Perspectiefconstructies lijken vaak geheimzinnig en moeilijk. Meteen paar eenvoudige regeltjes, opgesteld in 1435, konden enkunnen schilders echter uitstekend uit de voeten.[ Hans de Rijk ]

2 1 4euclides nr.5 / 2004

Helaas zijn geen schilderijen van hem bewaardgebleven, maar wel zijn werk als architect, waarvanenkele grote kerken in onder meer Rimini, Florence enMantua getuigen.

TekstbewerkingAlberti’s verhandeling over perspectief, De Pictura uit1435 en de Italiaanse bewerking Della Pittura uit 1436,hebben grote invloed gehad op zijn tijdgenoten, ennog lang daarna. In onderstaande tekst heb ik daaruitalleen díe fragmenten gekozen waarin Albertibeschrijft hoe men een correcte perspectivischeconstructie maakt. Om de leesbaarheid te vergroten endaarmee Alberti’s aanpak toegankelijker te maken hebik de tekst hier en daar ingekort en enigszinsaangepast. Deze bewerking heb ik gebaseerd op deEngelse vertaling van Cecil Grayson[1].Omdat Alberti in zijn verhandeling geen figurengebruikt, zijn de figuren op deze pagina’s over-genomen uit veel latere gedrukte exemplaren. Ze geveneen ietwat vertekend beeld van wat Alberti bedoelde.Zo is het vertepunt altijd in het midden van de horizongetekend, terwijl Alberti de keuze van dit vertepuntgeheel vrij laat.

Vier fragmenten uit Alberti’s perspectiefleer

Fragment IIk zal u vertellen wat ik doe als schilder.Eerst teken ik op het vlak waarop ik ga schilderen een

rechthoek van de gewenste grootte. Die beschouw ikals een open raam waardoor het tafereel datgeschilderd moet worden te zien is, en ik bepaal hoegroot ik de mensfiguur op het schilderij wil afbeelden(zie figuur 1). Ik verdeel de lengte van deze man indrie delen, elk overeenkomend met de maat die meneen ‘braccio’ noemt[2]. Deze maat pas ik net zo vaak afop de grondlijn van mijn rechthoek tot het niet meergaat. De grondlijn komt overeen met de dichtst-bijzijnde evenwijdige lijn op het plaveisel.Daarna kies ik een willekeurig punt in de rechthoek;dit is het centrale punt. De aangewezen plaats voor ditpunt ligt niet hoger dan de lengte van de man die ophet schilderij afgebeeld moet worden, want op dezemanier zullen zowel de toeschouwers als de objectenop het schilderij op hetzelfde vlak lijken te staan (ziefiguur 1).Vanuit het centrale punt trek ik lijnen naar elk puntvan de verdeling op de grondlijn. Deze lijnen tonenmij hoe de opeenvolgende dwarslijnen visueel (vanlengte; toevoeging HdR) veranderen tot op een bijnaoneindige afstand.

Fragment IIWat betreft de grootte van de opeenvolgende stukkenvan de dwarslijnen gebruik ik de volgende methode.Op een tekenblad teken ik een (horizontale; HdR)rechte lijn en verdeel die op dezelfde manier als degrondlijn van de rechthoek (zie figuur 2). Daarna zetik een punt boven het eind van deze lijn op dezelfde


FIGUUR 1

Perspectiefconstructie, eerste stap: evenwijdige lijnen getrokken naar het centrale punt. DEFG: begrenzing van de afbeelding, oftewel hetvenster.B: verdeling in braccio’s op de schaal van deafbeelding, te weten een derde van de lengte van demens. De verdeelpunten op FG worden verbonden met hetcentrale punt C.

zorg ik er altijd voor, alleen de zichtbare kanten aan tegeven.Voorts begin ik altijd met de dichtstbijzijnde vlakkenen ik bepaal de gewenste lengte en breedte op deevenwijdige lijnen van het plaveisel, want ik kanzoveel evenwijdige lijnen trekken als ik maar wil. Zovind ik (bijvoorbeeld; HdR) het midden van deevenwijdige lijnen via het snijpunt van de tweediagonalen, aangezien het snijpunt van de tweediagonalen het midden van een vierhoek vastlegt (ziefiguur 4).Zo kan ik gemakkelijk uit de schaalverdeling van deevenwijdige lijnen de lengte en breedte tekenen van demuren die uit de grond oprijzen.Daarna kan ik zonder veel moeite de hoogte van devlakken bepalen, want een grootte behoudt zijnproportie over de gehele hoogte (de hoogtematen zijnnamelijk gelijk aan de maten op het plaveisel terplaatse; HdR), dus als men de hoogte van de boven-kant vier maal de hoogte van een mens (ter plaatse;HdR) op de afbeelding wil maken… (moet men deafstand van het plaveisel tot de horizon drie maalverlengen; HdR).Zo kunnen we nauwkeurig alle (verticale) rechthoekigevlakken tekenen.

Fragment IVRest ons nog uit te leggen hoe men cirkelvormigeoppervlakken in perspectief kan tekenen. Dit doen wemet behulp van rechtlijnige vlakken.

hoogte als het centrale punt op de rechthoek. Vanuitdit punt trek ik lijnen naar de verdeelpunten op degrondlijn. Dan bepaal ik de door mij gewenste afstand tussen hetoog van de toeschouwer en het schilderij door eenloodlijn op de gewenste plaats te tekenen. De snij-punten van deze loodlijn met de andere lijnen gevende afstanden (op het schilderij; HdR) van de even-wijdige lijnen die op het plaveisel even ver van elkaarliggen. Op deze manier heb ik alle evenwijdige lijnenvan het plaveisel getekend (zie figuur 3).Een controle of ze correct getekend zijn voeren we uitdoor een diagonaal door de vierkanten te trekken. Alsdeze alle hoekpunten snijdt is dat bewijs geleverd.Als ik dit alles zorgvuldig gedaan heb, teken ik eendwarslijn door het centrale punt die de twee opstaandezijden snijdt (de horizon; HdR). Deze lijn is voor mijeen grens waarboven niets uitsteekt dat niet hoger ligtdan het oog van de beschouwer.

Fragment IIILoodrecht op het plaveisel, dat aldus is opgedeeld doorevenwijdige lijnen, moeten muren en andere,vergelijkbare, vlakken geconstrueerd worden. Ik zal inhet kort uitleggen hoe ik dit doe.Ik begin onderaan en teken de lengte en de breedtevan de muren op het plaveisel. De waarneming leert,dat nooit meer dan twee aangrenzende vlakken vaneen rechthoekig lichaam tegelijk gezien kunnenworden. Dus als ik de fundering van de muren teken,


FIGUUR 2 FIGUUR 3

Perspectiefconstructie, tweede stap: bepaling van de horizontale verdeling op de doorsnede.B: verdeling in braccio’s op het plaveisel.PP: doorsnede oftewel schildervlak.C: het centrale punt.E: het oog op drie braccia afstand van de doorsnede.De kijkafstand EC is gelijk aan de halve breedte vanhet schilderij en de zichthoek is 90° (dat is dekortste redelijke afstand vóór sterke vervormingenoptreden).

Perspectiefconstructie, derde stap: voltooiing van het in vierkanten opgedeelde plaveisel.DEFG is het schilderij, C het centrale punt, HH dehorizon. De intervallen op de doorsnede in figuur 2zijn afgezet op HF en de opeenvolgende horizontalelijnen van het plaveisel zijn getrokken op decorresponderende hoogten. GI is een diagonaal doorde vierkanten, getrokken ter controle van denauwkeurigheid van de constructie.

Ik teken een vierkant op een tekenbord en verdeel dezijden in dezelfde delen als de basislijn van derechthoek. Dan vul ik het vlak met kleine vierkanten.Daarin teken ik een cirkel van de door mij gewenstegrootte, zodanig dat de cirkel en de evenwijdige lijnenelkaar snijden (zie figuur 5).Ik bepaal alle snijpunten nauwkeurig en markeer dezeposities op de evenwijdige lijnen op het plaveisel. Maaromdat het een immens werk zou zijn (alle punten vande cirkel zo te bewerken; HdR) gebruik ik maar acht ofeen ander geschikt aantal evenwijdige lijnen. Dangebruik ik mijn gevoel om de omtrek van de cirkel (inperspectief; HdR) in overeenstemming te brengen metdeze snijpunten.We hebben hiermee uitgelegd hoe de grotere (verticale)rechthoekige vlakken en de cirkelvormige getekendmoeten worden met behulp van evenwijdige lijnen.

BruikbaarheidAlberti’s verhandeling is correct, duidelijk en zonderfranje. Voor de praktijk van het perspectivisch tekenenwas ze vele eeuwen (ook nu nog) zeer bruikbaar.Het lijkt mij interessant om leerlingen van de laagsteklassen deze regels uit te leggen en daarna eenopdracht te geven om bijvoorbeeld een kamerinterieurmet een tafel of gewoon maar wat blokken vanverschillende hoogte op de vloer te tekenen, en zedaarna aan te moedigen zelf met de regels te spelen.

Noten

[1] Leon Battista Alberti: ‘On Painting’, translated by Cecil Grayson

with an introduction and notes by Martin Kemp. Penguin Classics

1991.

De figuren 1 t/m 5 zijn eveneens afkomstig uit deze publicatie.

[2] ‘Braccio’ betekent letterlijk ‘arm’; vergelijk ons woord ‘el’.

Over de auteur

Hans de Rijk (e-mailadres: [email protected]) was leraar wis-

en natuurkunde, oprichter van Pythagoras, het jongerentijdschrift voor

wiskunde, en als medeoprichter nog steeds actief betrokken bij Ars et

Mathesis. Hij publiceerde over diverse onderwerpen. Vooral bekend

zijn De Rijks vele publicaties over Escher, onder zijn pseudoniem

Bruno Ernst.

Perspectief is één van zijn vele andere interesses; hij houdt zich

daarmee al zo’n 20 jaar bezig. Hij heeft inmiddels een grote

verzameling perspectiefboeken uit de loop der eeuwen opgebouwd, en

heeft teksten klaar die kunnen dienen als basis voor een boek over

perspectief.


FIGUUR 4 FIGUUR 5

Voorbeelden van de constructie op schaal, van vormen op het plaveisel.O ligt op een afstand op 1,5 braccia op de afbeelding,bepaald door de diagonalen van een vierkant op detweede rij. ON = 3 braccia.PQRS: vlak van een object op een grondvlak van twee(bij twee; HdR) vierkante braccia. QX = 3 braccia, QU = 9 braccia. TUW: de top van de zichtbare vlakken van het object.

Constructie van een cirkel in perspectief. In het vierkant GFIJ wordt een cirkel getekend en desnijpunten van de cirkel met het rooster wordengemerkt. Het vierkante oppervlak wordt inperspectief getekend; snijpunten die equivalent zijnmet die op het oorspronkelijke vierkant wordengemerkt op het perspectivische rooster en met elkaarverbonden om een cirkel te vormen.

maar Adri en Anja zagen er toch wel wat in en gavenniet meteen op. Probleem was onder andere dat deleerlingen met de hand veertig puntjes in eenpuntenwolk moesten zetten. Dat was zeer tijdrovend enbovendien was de correctie een ramp. VU-Stat brachtuitkomst. Het mes snijdt aan twee kanten: naasttijdwinst bij het plotten van de data is er meteen eenzinvolle invulling gegeven aan het werken met VU-Stat. Want zomaar wat gegeven data analyseren,zonder aanleiding of onderzoeksvraag, dat is nietbijster interessant en wordt in de praktijk gauwovergeslagen op school.(Terzijde: de puntenwolk is geen onderdeel van deverplichte stof voor basisvorming. Eigenlijk is ditjammer, want de puntenwolk is juist een heel krachtighulpmiddel uit de beschrijvende statistiek en vraagtnauwelijks voorkennis.)

Indeling van de lessenAldus ontstond er een praktische opdracht die in totaaldrie lessen beslaat:- les 1: leren werken met VU-Stat- les 2: practicum meten en wegen van aardappels- les 3: verwerking van gegevens met VU-Stat.Om tijd te maken voor deze opdracht worden delenvan het statistiekhoofdstuk uit het boek en deschriftelijke toets geschrapt.

Les 1 bestaat uit een computerpracticum uit het boekmet VU-Stat, waarvoor dus een computerlokaalgeregeld moet worden. De antwoorden worden door deleerlingen ingevuld op een stencil dat alshandelingsdeel gepresenteerd wordt. Op die maniermaken de leerlingen, naast de praktische opdracht, ookal in klas 2 kennis met het begrip handelingsdeel.

InleidingVlak voor de zomervakantie reis ik af naar de locatieOscar Romero van de SG Tabor in Hoorn. Deze schoolheeft in de categorie bavo van de Wiskunde ScholenPrijs 2003 een gedeelde prijs[1] gewonnen met deinzending ‘Nederland = Aardappelland’. De prijs-uitreiking zal plaatsvinden tijdens een sectie-vergadering van de voltallige wiskundesectie, die uittwaalf personen bestaat.Voorafgaand aan de prijsuitreiking heb ik een uitvoeriggesprek met Adri Knop en Anja Moeijes, de drijvendekrachten achter het project. Zij vertellen enthousiastover het aardappelproject en de ontstaansgeschiedenisdaarvan.

Praktische opdracht voor klas 2Kort gezegd is ‘Nederland=Aardappelland’ eenpraktische opdracht voor de tweede klas. Het doel vande opdracht is om afmetingen, vorm, volume engewicht van aardappelen te onderzoeken en in hetbijzonder om na te gaan of er een verband is tussenhet volume en het gewicht van een aardappel.Deze praktische opdracht wordt inmiddels al zo’n jaarof vier in alle tweede klassen gedaan, zowel op vmboals op havo/vwo. Oorspronkelijk was het idee vanaardappels meten afkomstig uit de bundel bavo-toetsendie in het schooljaar 1999-2000 door het CITO naaralle scholen voor voortgezet onderwijs is gestuurd.Deze bundel bevat toetsen voor alle bavo-vakkenwaaronder wiskunde. Dat jaar bestond dewiskundetoets uit een theoretische en een praktischetoets. Het leek de wiskundesectie van het Oscar Romeroleuk om eens niet de theoretische toets maar depraktische toets (= aardappelopdracht) af te nemen.In eerste instantie mislukte de opdracht in de klas,

NEDERLAND AARDAPPELLANDWiskunde Scholen Prijs 2003, aflevering 4.Praktische opdracht aardappels meten voor klas 2.[ Heleen Verhage ]


De Wiskunde Scholen Prijs is ontstaan uit het WisKids project. Doel van WisKids is het bevorderen vanenthousiasme voor wiskunde bij jongens en meisjes van tien jaar en ouder. Tevens wil WisKids hetimago van de wiskunde verbeteren. Het project WisKids is formeel beëindigd, maar onderdelen daaruit,waaronder de Wiskunde Scholen Prijs, blijven bestaan.Voor meer informatie zie www.fi.uu.nl/wiskids

Les 2 is organisatorisch het meest bewerkelijk, medeomdat er nogal wat materialen voor nodig zijn,waaronder diverse meetinstrumenten. Hoe meet jebijvoorbeeld handig de lengte van een aardappel? Hetantwoord blijkt uit foto 1: met een drievlakshoek eneen geodriehoek.En hoe meet je het volume van een aardappel? Juist,onderdompelen in water. Maar dan wel zo, dat daarbijgeen water rondspettert (zie foto 2). In de loop van hetgesprek blijkt dat Adri behalve docent wiskunde ooktechniekdocent is. Die combinatie komt hier goed vanpas.De gewichtsbepaling tenslotte is relatief simpel: datgaat gewoon op een keukenweegschaal (zie foto 3).Toch hadden Adri en Anja ook daar weer oog voordetail: ze prefereren een klassieke weegschaal metafleesstreepjes boven een digitale, omdat er daardoorook aandacht is voor de nauwkeurigheid van aflezen.Bij een digitale weegschaal gaat dat aspect verloren.Op foto 3 is tevens te zien dat er een punaise in deaardappel geprikt is. Ook hier hoort een verhaal bij: deleerlingen prikken gekleurde spelden of punaises in deaardappels, om de verschillende exemplaren goed uitelkaar te kunnen houden. Al dit soort praktischedetails zijn in de loop der jaren bedacht enuitgekristalliseerd.De leerlingen noteren hun meetgegevens op diversewerkbladen die bij het meetpracticum horen.

In les 3 vindt de dataverwerking met VU-Stat plaats.Om praktische redenen werken de leerlingen met eenbestand dat grotendeels gegeven is en dat ze moetenaanvullen met de data van vier aardappels. Deleerlingen onderzoeken onder andere het verbandtussen gewicht en volume. Hiervoor maken ze kennis

met het idee van een puntenwolk. VU-Stat tekentdaar een rechte lijn doorheen. Het is aan de leerlingenom te controleren of de formule die VU-Stat daarvoorgeeft (van het type y�a� bx) redelijk klopt, en vanafwelk volume zo ongeveer. Zo maken de leerlingenimpliciet kennis met het principe van de regressie-rekening, zonder dat dit woord genoemd wordtoverigens.

Zompig?Al met al zijn Adri en Anja heel tevreden over hoe depraktische opdracht nu in elkaar zit. Ze verwachtenniet er nog veel aan te moeten sleutelen: zoals die ernu ligt, loopt het gewoon.In totaal zijn er vijf collega’s die een tweede klashebben en dus de aardappelopdracht uitvoeren.Natuurlijk wordt er wel eens gesputterd: ‘geen tijdvoor’, ‘teveel gedoe’. Maar als zo’n opdracht eenmaalgoed uitgekristalliseerd is, valt de hoeveelheid werk infeite ook wel weer mee. Wel is het zo dat deaardappelen tijdens de duur van het project steedszompiger worden en dat er uiteraard elk jaar nieuweaardappels gekocht moeten worden. Wat dat betreftzouden ze de leerlingen beter met iets anders kunnenlaten werken…De inspanningen van Adri en Anja worden zekerbeloond, want het bereik van de aardappelopdracht isinmiddels groter dan de eigen school. De opdracht isook terecht gekomen in de cursus PraktischeOpdrachten in het VMBO van het APS en wordt daarals voorbeeld gebruikt van een Good Practice.

De prijsuitreikingNa dit uitvoerige gesprek met Adri en Anja woon ikeen deel van de sectievergadering bij. Die gaat over de


FOTO 1 Lengtemeting van aardappel metdrievlakshoek en geodriehoek

FOTO 2 Volumemeting met behulp van maatbeker enophaler

denkwerk. Tenslotte vraagt de jury zich af hoe debeoordeling van het leerlingenwerk is verlopen. Hetgaat hier immers om een toetsvervangende opdracht.

Gevraagd om een reactie op het juryrapport, zegt Adri:‘De kritiek van de jury op het ontbreken vanvakkenintegratie deel ik niet. De gebruikte onder-dompelingmethode, het rekenen met de formuledichtheid = massa : volume en het aflezen van meet-instrumenten (schaalverdeling, parallax) zijnvaardigheden uit de natuurkunde en biologie. Er is duswel degelijk gekeken naar aansluiting bij hetpracticum-werk van andere vakken.Dat de jury van mening is dat het meer doewerk dandenkwerk is, ben ik met ze eens. Ik vind dat in hetlicht van het totale wiskundeprogramma in klas 2 geenenkel bezwaar. Zeker binnen het vmbo wordenleerlingen aangesproken op andere vaardigheden danwaarop normaal een beroep gedaan wordt.En voor wat betreft de toetsing: in de kantlijn op dediverse werkbladen staat een puntenverdelingaangegeven, hierbij wordt zowel de meetopdracht (les2) als de verwerkingsopdracht (les 3) beoordeeld meteen cijfer. De handelingsopdracht (les 1) wordtbeoordeeld met een voldoende of goed. Voor decollega’s is een correctiemodel voor alle drie deonderdelen beschikbaar.’

Nieuwe projectenVoor Adri en Anja is het aardappelproject eigenlijkklaar; er valt wat hun betreft niets meer aan teverbeteren. Zij zijn bezig aan diverse nieuwe projecten,ook voor andere leerjaren. Zo staan er een Escher-project, iets over veters knopen, iets over hetvergelijken van prijzen (gekoppeld aan het themaklassenfeest) op stapel. Het streven is in elke klas

bekende zaken: afspraken maken voor het nieuwecursusjaar. Hoogtepunt van de vergadering is hetmoment dat er een fotograaf van het NoordhollandsDagblad langs komt, ter gelegenheid van deprijsuitreiking. Razendsnel maken Adri en Anja eenleuke opstelling van alle benodigdheden van hetaardappelproject, compleet met een zak nieuweaardappelen. De hele sectie poseert voor de fotograaf,die de regie volledig heeft overgenomen van desectievoorzitter.Dit is een mooi moment om de sectie kort toe tespreken en de prijs uit te reiken, temeer daar er ookiemand van de schoolleiding is gearriveerd. Laat deschoolleiding ook maar weten dat de wiskundesectieleuke dingen doet!

Bij de prijsuitreiking hoort ook het voorlezen van hetjuryoordeel over dit project. Het luidt als volgt:Dit project is een leuk voorbeeld van wiskunde in eenlaboratorium-setting.Het is zeker een aanvulling van het wiskundeonderwijsom via een andere context te komen tot het lerenverwerken van statistische gegevens en kan delen vanhet reguliere programma vervangen. De praktischeopdracht is voor alle leerlingen uitvoerbaar en is eenverrijking van een duidelijk aanwijsbaar stuk leerstof.Het project is heel nauwgezet en volledig uitgewerkt,waardoor het gemakkelijk overdraagbaar is naar anderescholen. In plaats van aardappels kan er uiteraard ookiets anders gemeten worden dat goed past bij de regiovan de school.Als minpunt noemt de jury dat de mogelijkheid totvakkenintegratie niet is benut. Het is jammer dat nietnaar aansluiting is gezocht bij practicumwerk dat reedsbij andere vakken wordt uitgevoerd. Een ander puntvan kritiek is dat er vooral veel doewerk is, en minder


FOTO 3 Aardappel met rode punaise op weegschaal FOTO 4 De wiskundesectie van Oscar Romero met debenodigdheden van het aardappelproject

tenminste drie opdrachten per jaar te doen, in elkerapportperiode één. Ze stoppen hier duidelijk heel watextra tijd in. Adri heeft als voordeel dat hij tevensschooldecaan is, waardoor hij zijn tijd flexibel kanindelen. Anja werkt ‘maar’ drie dagen en stopt veelvrije tijd in het maken en bewerken van de opdrachten.Vooral in de winter, als het toch geen mooi weer is,vindt ze dat leuk om te doen.

Vernieuwing BasisvormingDit artikel is vooral een dicht-bij-huis verhaalgeworden: het gaat over een voorbeeld van goedonderwijs op een concrete school. Dat is ook precieswaar de Wiskunde Scholen Prijs zich op richt.Toch valt er altijd wel een relatie te leggen met deactuele ontwikkelingen. Voorjaar 2004 zal het werkvan de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming in debelangstelling staan, omdat deze groep vóór de zomermet haar eindrapport zal komen.Mijn inschatting is dat de Taakgroep heel blij magzijn met scholen als deze. Ze laten zien dat docentenheel goed in staat zijn om het onderwijs naar huneigen hand te zetten. En dat is precies wat deTaakgroep wil met de door haar voorgestelde reductievan het aantal kerndoelen (ziewww.vernieuwingbasisvorming.nl) en met het denkenin scenario’s in plaats van het keurslijf van50 minuten onderwijs.De ideeën zijn aansprekend, maar het grote probleemzal ontstaan bij de implementatie van deze plannen.Een serieuze implementatie zal heel veel tijd vandocenten vragen. Niet iedereen werkt immers maardrie dagen betaald en ontwerpt daarnaast in dewinter wiskundeonderwijs…

Met dank aan de docenten Adri Knop en Anja Moeijes.

InformatieWie meer over dit project wil weten kan contactopnemen met Adri Knop ([email protected]) of AnjaMoeijes ([email protected]).Het lesmateriaal van de opdracht is te vinden opwww.aps.nl/wiskunde/lesvoorbeelden.htm; kies daar‘good practices’.Over dit project is ook een workshop gegeven op deNationale Wiskunde Dagen, NWD10, op 6 en 7 februari2004.Meer informatie over de Wiskunde Scholen Prijs is tevinden op www.wiskundescholenprijs.nl. De sluitingsdatum voor deelname aan de WiskundeScholen Prijs 2004 was 15 februari 2004.

Noot

[1] SG Tabor deelt de eerste prijs in de categorie basisvorming met het

Pleincollege Eckart te Eindhoven. Beide scholen ontvangen € 500. De

inzending van het Pleincollege Eckart is besproken in Euclides jrg. 79

nr. 3, december 2003.

Over de auteur

Heleen Verhage (e-mailadres: [email protected]) is werkzaam bij het

Freudenthal Instituut (Universiteit Utrecht). Zij was projectmanager

van het WisKids-project en organisator van de Wiskunde Scholen

Prijs. Vanaf 1 januari 2004 is zij Manager Beheer van het

Freudenthal Instituut.


FOTO 5 De prijsuitreiking op Oscar Romero

WISKUNDE EN ONDERWIJS,EEN WANKEL EVENWICHTEen bespreking van ‘Het despotisme der Mathesis’, het proefschriftvan Danny Beckers.[ Ed de Moor ]

InleidingOp 3 juli 2003 promoveerde Danny Beckers aan deKatholieke Universiteit Nijmegen op het proefschriftHet despotisme der Mathesis. Een wat cryptische, maarook nieuwsgierig makende titel. Uit de ondertitel‘Opkomst van de propaedeutische functie van dewiskunde in Nederland, 1750-1850’ wordt al watduidelijker waarover deze studie handelt. Met dit boekis opnieuw een bijdrage aan de geschiedschrijving vande Nederlandse wiskunde en haar onderwijs geleverden wel over een periode waarover tot nu toe weinigonderzoek was gedaan.Er is echter meer dat dit boek zo interessant maakt. Derode draad van het verhaal is namelijk de vraag waaromwiskunde een vak van onderwijs dient te zijn. Nubehandelt de auteur dit probleem uiteraard voor degenoemde periode, maar de problematiek lijkt wel eenconstante in de tijd. De vraag ‘Waarom wiskunde en watvoor wiskunde?’ zien we de laatste 250 jaar telkens weeropduiken, zowel in het lager als in het hoger onderwijs.Voor het historische relaas heeft Beckers zich nietbeperkt tot één niveau of tak van onderwijs. Vrijwelalle soorten scholen en opleidingen die iets metwiskunde van doen hadden, heeft hij in het onderzoekbetrokken. Deze brede aanpak brengt met zich mee datnaast de ontwikkeling van de wiskunde in Nederland,ook het onderwijs en de maatschappelijk-cultureleontwikkelingen aan de orde gesteld worden. Dit

spreekt uit de titels van de vier hoofdstukken:‘Wiskunde in Nederland’, ‘Wiskunde-onderwijs’,‘Wiskunde en Cultuur’ en ‘Wiskunde en Samenleving’,waarop ik nu kort in zal gaan.

Wiskunde in NederlandVoor de periode 1750-1800 worden door Beckers tweesoorten wiskunde onderscheiden: burgerlijke wiskundeen academische wiskunde. De ‘burgerlijke’ categoriewerd bepaald door de praktische beroepen vanlandmeters, zeevaarders en boekhouders. De aard vanhet ‘burgerlijke’ vak werd gekenmerkt door regeltjes enalgoritmiek, zoals bekend uit het beroemde rekenboekvan Willem Bartjens uit de zeventiende eeuw. De‘academische wiskunde’ van de universiteiten werdonderscheiden naar ‘Mathesis Applicata’ en ‘MathesisPura’ (toegepaste en zuivere wiskunde). De zuiverewiskunde stond als vanouds in het teken van hetlogisch-deductieve denken, zoals Euclides had ingezetmet zijn Elementen.Na 1800 groeiden de burgerlijke en academischewiskunde steeds meer naar elkaar toe, hetgeen vooraltot uiting kwam in het ontstaan van wiskundigegenootschappen, waarvan het nog immer actieveWiskundig Genootschap - thans zelfs Koninklijk - hetmeest bekend is. De bekendste hoogleraren uit dieperiode waren Jan Hendrik van Swinden, Jacob deGelder en Rehuel Lobatto.In de negentiende eeuw, maar ook al daarvoor, vond erinternationaal een explosie binnen de weten-schappelijke wiskunde plaats in West-Europa, metname in Duitsland en Frankrijk. Internationaal steldeNederland in die tijd nauwelijks iets voor. Toch doetBeckers moeite onze nationale trots hoog te houdendoor te verwijzen naar een enkel artikel van Jacob deGelder over negatieve getallen en van Lobatto overintegraalrekening. Maar hij ziet ook zelf wel in dat debijdragen vanuit Nederland marginaal waren, wat hijtoeschrijft aan het feit dat onze hooggeleerdewiskundigen zich hoofdzakelijk met kennisoverdrachtbezighielden. Wel hebben zij zich ingespannen omwiskunde een vaste plaats te geven, zowel in hetonderwijs als in de maatschappij. Wat het laatstebetreft heeft Van Swinden, zowel nationaal alsinternationaal, een belangrijke rol gespeeld bij deinvoering van het metrieke stelsel.

Wiskunde-onderwijs 1750-1850In het hoofdstuk over het wiskundeonderwijs geeftBeckers een overzicht van de soorten scholen enopleidingen uit die periode. Globaal valt dit tijdsbestekuiteen in de periode van vóór 1800 en die daarna. Onsland kreeg in 1801 als eerste land ter wereld eenonderwijswet (inclusief inspectie en examens), hetgeende basis heeft gelegd voor dat waar we nu (nog?) zotrots op zijn: Nederland als kennisland. Er staan tweeinformatieve tabellen over die twee perioden in hetboek. De tweede over de periode van na 1826 geeft eenglobaal overzicht van wat voor wiskunde eraangeboden werd en voor wie die bestemd was (ziefiguur 1).


FIGUUR 1

internationale economische en wetenschappelijkegemeenschap waren de drijfveren. Het eerste werdvooral aangegrepen door degenen die het lageronderwijs wilden verbeteren, het laatste kwamnatuurlijk ook de Nederlandse wiskundige wereld goeduit.Beckers beschrijft hoe verschillende algemeenculturele, wetenschappelijke, onderwijskundige enspecifieke vaktijdschriften en tijdschriften voorkinderen getracht hebben hieraan een bijdrage televeren (zie figuur 2). Alleen al de immense lijst vantitels van dergelijke periodieken achterin hetproefschrift maakt duidelijk wat voor inspanningen erop het culturele vlak in die tijd zijn verricht.Ook het functioneren en de rol van de verschillende(geleerde) genootschappen en instituten wordenbesproken. Door de keuze van deze bronnen blijft hetbegrip cultuur een beperkt begrip, hetgeen Beckers ookzo verantwoord heeft. De betekenis en effecten van aldeze activiteiten bleven voornamelijk beperkt tot deelite en/of gegoede burgerij, maar zo was demaatschappij toen nog gestructureerd. En is hetvandaag de dag ook nog niet vaak zo?

Wiskunde en samenlevingWanneer wetenschap of een schoolvak in verbandgebracht wordt met de samenleving, dan betekent datvrijwel altijd dat het praktische nut van bedoeldediscipline in beschouwing genomen wordt. Ookvandaag de dag spreekt men in Nederland in verbandmet het onderwijs hoofdzakelijk over kenniseconomieen zelden over kenniscultuur. Beckers stelt in zijnhistorisch onderzoek wel beide aspecten aan de orde.Hij gaat namelijk zowel op het praktische nut van eenpropaedeuse in de wiskunde in als op het vormendebelang daarvan, althans zoals de voorstanders dat toennaar voren brachten. Het eerste aspect wordt in hetbetreffende hoofdstuk aan de hand van een aantaltoepassingsgebieden besproken, terwijl het tweedemeer impliciet aandacht krijgt in de beschrijving vanhet beoogde algemene beschavingsproces.De toepasbaarheid van de wiskunde voor de praktijkvan de samenleving wordt in dit boek in drie gebiedenopgedeeld: statistiek, techniek en nijverheid en deinvoering van het metrieke stelsel.In verband met de opkomst van de statistiek en deverzekeringswiskunde verwijst Beckers naar het werkvan Ida Stamhuis (1989). Ook economie(staathuishoudkunde) maakte meer dan voorheengebruik van kwantitatieve middelen. Hoewelwiskundigen, zoals Lobatto, hierbij een duit in hetzakje deden (of eruit kregen via adviseursbaantjes) kanniet gezegd worden dat de wiskunde als nieuwbelangrijk vak de ontwikkelingen van deze disciplinesbepalend beïnvloed heeft.Ook in de handel was wiskunde - behalve goedboekhouden - ternauwernood van belang. Wel blekensommige technische opleidingen zich in hun boekeneen wat wetenschappelijker aanzien te willenverschaffen. Als voorbeeld daarvan noemt Beckers hetboek De Volmaakte Timmerman uit 1820, waarin ook

Gedurende de eerste helft van de negentiende eeuwbegon men de wiskunde, ook voor de toegepastevakken, steeds meer te waarderen als een vak dat naasteen praktische waarde ook een algemeen ‘vormendewaarde’ zou hebben. Vandaar dat wiskunde vanaf 1815op de Latijnse scholen en als propaedeuse op deUniversiteiten op het programma kwam. Zelfs op delagere school bestond het vak vormleer, dat een soortdenkoefeningen omvatte als aftreksel van deeuclidische meetkunde. Dat de tabel bij het jaartal1826 begint heeft te maken met een wetswijziging, diede wiskunde toen verplicht stelde voor de Latijnsescholen. Het is opmerkelijk, wanneer men degeschiedenis van hervormingen in het wiskunde-onderwijs bestudeert, hoe deze veranderingen vaakgestuurd werden door één enkele persoon. In het gevalvan de wetswijziging van 1826 speelde D.J. vanEwijck, toen de hoogste man voor onderwijs op hetMinisterie van Binnenlandse Zaken, hierin een sleutel-rol.De Latijnse scholen en Universiteiten waren met dieverplichting niet erg ingenomen. Juist de oude talenstonden volgens de docenten aldaar garant voor hetvormende aspect. Hierdoor leerde men - zo was destellige overtuiging van de classici - analyseren,denken, redeneren en vooral oreren. In 1842 gaat eenanoniem auteur in De Gids nog tekeer tegen deopvattingen van de voorstanders van wiskunde als eenpropaedeutisch vak, wanneer hij het over ‘hetdespotisme van de Mathesis’ heeft. Ook Smid (1997)heeft in zijn dissertatie Een onbekookte nieuwigheidaandacht aan deze kwestie besteed. Nu, in het boekvan Beckers, zien we opnieuw hoe moeilijk het was omerkenning voor de wiskunde als kerndiscipline tebevechten. Toch kreeg het vak langzamerhand eenzekere status, al was dit een traag en moeizaamverlopend proces. Waar een zekere weerstand tegen dewiskunde op de Latijnse scholen bleef bestaan,verwierf het vak zich in 1863 een hechte plaats in hetleerplan van de toen net opgerichte HBS. Dithistorische proces valt buiten de door Beckersonderzochte periode, maar zou zeker nog eensonderwerp van nadere studie kunnen zijn.

Wiskunde en cultuurToen de overheid aan het begin van de negentiendeeeuw zich direct met het onderwijs ging bemoeien,kwamen de opvattingen daarover natuurlijk niet zomaar uit de lucht vallen. Het Verlichtingsdenken, datvanaf het eind van de achttiende eeuw de cultureleontwikkelingen in de Westerse wereld ging beheersen,had ook in Nederland postgevat. Het kind werd vanaftoen als een mens beschouwd en diende opgevoed enonderwezen te worden op grond van de Rede, maarook van het Christelijke geloof. De overheid maaktedan ook graag gebruik van de ideeën die al in deachttiende eeuw door de Maatschappij tot Nut van ‘tAlgemeen gelanceerd waren. Verbetering van hetalgemene beschavingspeil door middel van hetonderwijs, het smeden van een hechte NederlandseStaat en het opstoten van Nederland in de


enige meetkunde werd gepresenteerd (zie figuur 3).Het boek uit de serie van G.J. Verdam (1828), ‘Grondender toegepaste werktuigkunst voor aanstaandeingenieurs, ‘trachtte de leerling tot weldenkende liedenop te voeden en presenteerde daartoe een inleiding totde algebra, meetkunde en infinitesimaalrekeningbestaande uit definities en relevante stellingen metbewijzen’ (Beckers, p. 140). Het sterkst kwam dewiskunde aan bod in de ingenieursopleiding in Delft.Ook daar werd het argument van de vormende waardevan de zuivere wiskunde naar voren gebracht, zij hetdat men bij de spoorwegen en waterbouw toch vooralmensen nodig had die op praktische wijze kondenomgaan met formules en rekenwijzen.Tot slot beschrijft Beckers ook nog de bijdragen van dewiskundigen aan de invoering van het metrieke stelsel,dat ook in dienst stond van de eenwording van deNederlandse staat. (Eerder in 2002 verscheen hieroveral een interessante dissertatie van J.M.A. Maenen.) Tenbehoeve van deze innovatie werd vooral het lageronderwijs ingeschakeld.

Vormende waardeOnder de vormende waarde van een vak wordtverstaan dat studie van dat vak het ‘leren denken’bevordert. En wanneer men zuiver kan denken - zowordt vaak beweerd - zal dit ook zijn effect hebben opandere disciplines, ook wel transfer of traininggenoemd. Omdat in het wiskundeonderwijs gebruikgemaakt wordt van de klassieke logica wordt wiskundetelkens weer als algemeen vormend vak opgevoerd. Ditargument werd ook in de negentiende eeuw - mensprak toen van ‘opscherping van het verstand’ -aangevoerd als het om legitimering van de wiskundeals vak van onderwijs ging.In die tijd werd aan de vormende waarde tevens eenruimere betekenis toegekend, namelijk die van devorming van het karakter van de persoon: doorwiskunde te leren zou men tot een beter mens en eeneerzaam burger opgroeien. In deze meer algemene zinmoet dé propaedeutische functie van de wiskunde,zoals die in de ondertitel van Beckers’ dissertatie staat,begrepen worden. Dus niet alleen als een voorbereidingop de wiskunde zelf, maar ook als een meer algemene‘vóóropvoeding’ op het leven.In zijn studie spreekt Beckers in verband met hetbegrip propaedeutische wiskunde ook wel van dé‘nieuwe’ of ‘zuivere’ wiskunde. Nu vond in die tijdinderdaad een zekere rigorisering van dewetenschappelijke wiskunde plaats. Er diende strenggeredeneerd te worden en er mocht geen gebruikgemaakt worden van empirisch verkregen resultaten.Dat is wat wiskundigen als De Gelder en Lobatto voorogen stond als ruggegraat van elk soort onderwijs datop de wiskunde gericht was of daarvan gebruikmaakte.Thans weten we dat de wiskunde in die tijd noghelemaal niet zo zuiver geordend was. De niet-euclidische meetkunden moesten nog ontdekt worden.Het zou nog bijna honderd jaar duren voor HilbertsGrundlagen zouden verschijnen, om maar niet te


FIGUUR 2 Titelblad van het eerste deel van hetMagazijn voor de Rekenkunst. Dit was een van devroeg negentiende-eeuwse tijdschriften die kennisvan rekenkunde propageerden.

FIGUUR 3 Detail van een plaat uit De VolmaakteTimmerman. Beschrijvende meetkunde in deopleidingspraktijk van negentiende-eeuwseambachtslieden.

in 1815 leek een tijd aangebroken waarin met vereendekrachten aan de opbouw van een nieuwe staat gewerktzou gaan worden; een periode, die enigszinsvergelijkbaar is met de periode van na 1945. Dat dewiskunde daarin haar partij mee wilde blazen spreektvanzelf. De effecten van deze inspanningen warenvooralsnog gering. Wel kan deze periode gezienworden als een opmaat tot een grootser gebeuren: deoprichting van de Hogere Burgerschool in 1863. Vanaftoen kregen wiskunde en natuurwetenschappenwerkelijk een hechte plaats in het onderwijs. Deopbrengsten daarvan werden een halve eeuw laterzichtbaar toen Nederlandse geleerden de eersteNobelprijzen in de natuurkunde konden ophalen.Als één ding duidelijk wordt uit deze historischestudie, dan is het wel in welk een wankel evenwicht dewiskunde en het onderwijs zich toen bevonden. In dejaren twintig van de vorige eeuw pleitte de befaamdewiskundige Van Dantzig er zelfs voor om het vak voorsommige leerlingen maar te schrappen. Ook thans staatdeze kwestie weer in het middelpunt van debelangstelling. Dag in dag uit lezen we in de krantenover de beknottingen in lesuren voor dit vak. En watvoor capriolen moeten er niet vertoond worden omstudenten voor de bètavakken binnen te halen?Systematische analyse van de historie van dezeverschijnselen kan ons heel wat leren, maar helaasstaan dit soort onderzoeken in een minder aanzien dandie welke een actuele waarde hebben. Maar juist inverband daarmee is het van het grootste belang omeens een diepgaand cultuur-historisch onderzoek naarde ontwikkelingen in het Nederlandse reken- enwiskundeonderwijs van de laatste halve eeuw uit tevoeren. Wellicht dat men dan bij nieuwe hervormingenniet telkens opnieuw het wiel tracht uit te vinden.Bovendien wordt op die manier langzaamaan eentotale geschiedenis van het Nederlandsewiskundeonderwijs in kaart gebracht. Ik weet dat dateen van Beckers dromen is. Met zijn proefschrift heefthij daarvoor in ieder geval de basis gelegd.

D.J. Beckers (2003). Het despotisme der Mathesis.Opkomst van de propaedeutische functie van dewiskunde in Nederland, 1750-1850.Uitgeverij Verloren, Hilversum. ISBN 90-6550-762-0,€ 22,00.

Over de recensent

Ed W.A. de Moor (1933) werkte als wiskundeleraar, leerplan-

ontwikkelaar, opleider en onderzoeker en is thans op een ‘nul-

aanstelling’ aan het Freudenthal Instituut verbonden. Vanaf 1990

houdt hij zich ook bezig met historisch-didactisch onderzoek van het

rekenen wiskundeonderwijs. Zijn e-mailadres is [email protected].

spreken van de rigorisering die de Bourbaki-groep inde twintigste eeuw inzette.Ook deze historische studie maakt duidelijk datbepaalde discussies telkens weer herhaald worden. Hetwas in de jaren zestig van de vorige eeuw dat hetstructuurkarakter van de wiskunde als motivering werdgebruikt bij de toenmalige New Math-beweging. Op ditmoment hoort men her en der bezwaren tegen de‘realistische’ aanpak en wordt wel gepleit voor eenmeer formele methode. Ook nu wordt het argumentvan de vormende waarde weer in stelling gebracht.Aan deze kwestie van de vormende waarde zijn doorde jaren heen tal van artikelen, studies en onderzoekengewijd. Men denke bijvoorbeeld aan de discussietussen Freudenthal en Tatiana Ehrenfest uit 1951. Vooreen overzicht hiervan ben ik zo vrij te verwijzen naareen hoofdstuk uit een werk van eigen hand uit 1999(Van vormleer naar realistische meetkunde). Daar laatik zien dat nog nooit is aangetoond dat de wiskundeinderdaad die vormende waarde bezit.Gold tijdens de eerste helft van de negentiende eeuwvooral de vormende waarde als motivering voor dewiskunde, in de tweede helft van die eeuw werd hetpraktische nut vaker vooropgesteld. Telkens zijn dit detwee belangrijkste argumenten om wiskunde als vakvan onderwijs te rechtvaardigen, waarbij het wel lijktalsof deze argumenten elkaar om de vijftig jaarafwisselen.

Tot slotBeckers heeft een gigantische hoeveelheid materiaalverzameld over de door hem onderzochte periode. Hijmaakt niet eens melding van de door hem uitgevoerdeinventarisatie van school- en studieboeken, waarvan ikhoop dat hij deze nog eens toegankelijk zal makenvoor onderzoekers en andere geïnteresseerden op ditgebied.Zoals eerder gezegd is het onderwerp breed aangepakt.De beschrijvingswijze is echter tamelijk compact,terwijl - paradoxaal genoeg - de auteur ookmenigmaal in allerhand op zichzelf interessante detailsgeraakt. Af en toe beslaat een pagina meer noten dande voortgaande tekst van het feitelijke betoog.Als belangrijkste resultaat van zijn onderzoek zietBeckers het feit dat de wiskunde in Nederlanduiteindelijk in 1826 tot een verplicht vak werdverheven en wel in een nieuwe, meerwetenschappelijke vorm. Tevens wijst hij op hetrelatieve karakter van deze omslag. Ten eerste bleek deuitwerking op de toegepaste vakken tamelijk gering.Verder is het de vraag of het zogenaamd beschavendekarakter van de wiskunde wel op de gewone manafstraalde. Men dient te bedenken dat Nederland in dietijd een natie was die achterop geraakt was in handel,industrie en wetenschap. De deelname aan het lageronderwijs lag zo rond de vijftig procent, waar men alblij kon zijn dat de kinderen een beetje leerden lezenen schrijven. En ten slotte bleef een zekere weerzintegen wiskunde, vooral op de Latijnse scholen,voortwoekeren.Met het ontstaan van het Koninkrijk der Nederlanden


Op vrijdag 14 november jl. vond op de TechnischeUniversiteit Eindhoven de prijsuitreiking plaats van deNederlandse Wiskunde Olympiade 2003. Debijeenkomst werd geleid door de secretaris van deStichting Nederlandse Wiskunde Olympiade, FredBosman. De prijzen werden uitgereikt door Jan van deCraats.

De tien prijswinnaars waren:1 Maarten Derickx (Stedelijk Dalton College, Zutphen)2 Alexander Tichler (Rijnlands Lyceum, Oegstgeest)3 Berry Lijklema (Stedelijk Gymnasium, Nijmegen)4 Victor Pessers (St. Odulphuslyceum, Tilburg)5 Ton Hellings (Gymnasium Bernrode, Heeswijk)6 Matthijs Melissen (Stedelijk Gymnasium, Breda)7 Mark van der Werf (Bonaventura College, Leiden)8 Sjoerd Boersma (RSG Pantarijn, Wageningen)9 Johan Konter (Stedelijk Gymnasium, Breda)10 Koen Reijnders (Stedelijk Gymnasium, Nijmegen)Hierboven een foto van deze groep.

Aan elk van de prijswinnaars werd gevraagd wat hunplannen voor de toekomst waren. Vier gaven aanwiskunde te willen gaan studeren, de overige zes

wilden in elk geval wel iets exacts gaan doen, maarwisten nog niet precies wat.Na de prijsuitreiking gaf Jan Donkers een beschrijvingvan de voorbereiding voor de Internationale WiskundeOlympiade. Aan deze voorbereiding wordtdeelgenomen door bovenstaande groep, aangevuld metenkele leerlingen die net niet bij de eerste tienkwamen. Een team bestaande uit zes personen datuiteindelijk aan deze internationale olympiade zaldeelnemen (dit keer in Griekenland), zal wordengeformeerd uit die leerlingen die bij dezevoorbereiding het beste presteren. En het wasonmiddellijk duidelijk dat dit hard werken betekent: nade receptie vertrok de groep meteen naar eenjeugdherberg voor een eerste trainingsweekend.

Nadere informatie over de Wiskunde Olympiade ophttp://olympiads.win.tue.nl/nwo/

Over de auteur

Bram van Asch (e-mailadres: [email protected]) isredacteur van Euclides.


PRIJSUITREIKING WISKUNDEOLYMPIADE 2003[ Bram van Asch ]

lange tijd, maar met al die verschillende vakken dievoorbereid moesten worden, bleef er vaak weinig tijdvoor studie over.In 1963 was de nood erg hoog bij de GereformeerdeVrijgemaakte Mulo (het tegenwoordige GreijdanusCollege) te Zwolle, en Wim vertrok naar Zwolle. Hijwerd de eerste lesdag door zijn vader naar schoolgebracht. Zo ging dat nog in die tijd…In die periode heeft hij nog allerlei applicatiecursussengevolgd en probeerde hij MO-A Wiskunde te halen,maar na drie jaar studie hield hij het voor gezien. Wimkon namelijk moeilijk ‘nee’ zeggen en nam ook binnenhet kerkverband waartoe hij behoort allerlei taken opzich. Dit ging niet samen met de studie, en daaromstopte hij daarmee.

ProjectenOp zeker moment wilde Wim weer iets anders, en zowerd hij in 1979 directeur van een mavo te Assen. Hijgaf toentertijd ook veel les. Dat had nog steeds zijnliefde.In die tijd, eind jaren zeventig, raakte hij betrokken bijhet landelijke ‘Mavo-project’. In dit project ging hetonder meer om andere werkvormen, grotere eigenverantwoordelijkheid van de leerling ten aanzien vanhet eigen leren, en meer aandacht voor de individuelekwaliteiten van de leerling. Er werden allerleiwiskundepakketjes ontworpen, die onder andere doorWim uitgeprobeerd en vervolgens elke zes wekentijdens bijeenkomsten te Leeuwarden geëvalueerd

AanleidingWim Kuipers: secretaris van de NVvW, voormaligschoolleider, schooldecaan, wiskundedocent – maarvooral: een bescheiden man met een warm hart voorde zwakke leerling.Deze persoon nam op 23 juni 2003 afscheid alswiskundedocent aan het Greijdanus College te Zwolle.Wim beëindigde op dat moment zijn actieve loopbaanals docent op 65-jarige leeftijd. Dat is tegenwoordigbijna uniek te noemen: veel collegae kiezen ervoor omop jongere leeftijd met FPU te gaan, of zijn om andereredenen eerder gestopt. Wim heeft zich jarenlang tendienste gesteld van het Nederlandse wiskunde-onderwijs. Het leek de redactie daarom een goed idee,deze man te interviewen.Op een regenachtige woensdagochtend heb ik eenontmoeting met de hoofdpersoon van dit interview.Het gesprek verloopt heel vlot: als Wim aan het woordis, blijkt hij moeilijk te stoppen.

Loopbaan; eerste jarenWim Kuipers behaalde in 1959 zijn hoofdakte en moestvervolgens zijn dienstplicht vervullen. In januari 1961werd hij door het hoofd van de mulo te Haren (Gr) bijDefensie weggehaald; aldus startte hij zijn school-loopbaan.In de beginjaren gaf Wim zo ongeveer alle vakken dieer bestonden. Wiskunde vond hij ‘het mooiste vak’ omte geven en dus ging hij een LO-akte wiskunde halen.Hij verkreeg dit diploma na vier jaar studeren. Een


PENSIOENVOOR WIM KUIPERSEen interview[ Gert de Kleuver ]

werden. De didactiek die toen gehanteerd werd, zou nu‘activerende didactiek’ genoemd kunnen worden.Tot zijn spijt heeft Wim geen enkel boekje van datMavo-project meer in zijn bezit. Misschien kan iemandhem nog aan een exemplaar helpen?!Na tien jaar was het opnieuw tijd voor wat anders, tijdvoor een nieuwe uitdaging. En zo gebeurde het datWim terugkeerde naar het Greijdanus College. Daarbegon de sectie wiskunde net met het pilotproject vanW12–16. Er werden in dat kader heel veel pakketten ophet Greijdanus uitgeprobeerd.Na een jaar mocht Wim samen met Wouter Boer, éénvan zijn wiskundecollega’s, een week naar Mexico omcursussen te geven over de Nederlandseontwikkelingen in het wiskundeonderwijs. Een enander werd gesponsord door Akzo uit Arnhem. Dedirecteur van het Greijdanus College vond de weekMexico zo’n goede zaak, dat hij persoonlijk naarArnhem reed om de tickets voor Wim en Wouter op tehalen.Wim raakte daarna betrokken bij de ontwikkeling vande nieuwe mavo-examens; hij heeft ongeveer zes jaarin de constructiegroep van het CITO gewerkt.Vervolgens kwam het APS voor hem in beeld. Het APSbegeleidde namelijk de implementatie van deze nieuweexamens. Wim ging cursussen in het land geven metonder andere Wim Schaafsma, eveneens wiskunde-docent op het Greijdanus. Dat dit niet altijd even goedverliep bleek wel uit het feit dat een van de Wimmentijdens een algebrabijeenkomst met een meetkundelesstartte… Gelukkig kon de andere Wim de helpendehand bieden en werd het snel een algebramiddag.

VmboWim heeft zeker de laatste tijd gekozen voor de vmbo-leerling. Dat deed hij omdat het een goed gevoel geeftals een kind dat moeite met wiskunde heeft, toch eenvoldoende kan behalen. Er is vakmanschap voor nodigom juist de leerling met beperkte gaven op het gebiedvan wiskunde naar een examen te brengen, en dan teervaren dat het lukt als die leerling een 6 in plaats vaneen 5 haalt. Zo is Wim de laatste tijd ook betrokken bijeen onderzoek van Kees Hoogland naar gecijferdheidbij leerlingen uit de basisberoepsgerichte leerweg. Dieleerlingen beseffen vaak niet dat zij met cijfers bezigzijn. Een voorbeeld. Als Wim ‘s ochtends aan eenleerling vroeg of deze al gerekend had, was hetantwoord natuurlijk ‘nee’. Hoewel? De leerling moetwèl de wekker kunnen aflezen. Wat voor een soortwekker? Een digitale of een ‘ouderwetse’? Hoe langheb je nog in bed gelegen? Hoe ver is het naar schoolfietsen? Hoe lang fiets je naar school? Dit soort vragengeeft een leerling het gevoel dat hij met cijfers engetallen bezig is.Een ander aspect waarover Wim zich enorm kanopwinden, is het ‘theezakjes’-model: het havo- of vwo-boek wordt in uitgeklede vorm aan de vmbo-leerlingaangeboden - terwijl deze leerlingen volgens Wim eengeheel eigen programma nodig hebben. In die vmbo-leerboeken horen opgaven te staan die aansluiten bijde leefwereld van deze leerlingen. Daar kunnen ze wat


mee. Tijdens de afscheidsbijeenkomst op hetGreijdanus werd een video getoond waarop degenodigden konden zien hoe Wim met vmbo-leerlingen uit de basisberoepsgerichte leerweg werkte,met materiaal uit het dagelijkse leven. Zo was te zienhoe leerlingen de hoogte schatten van verschillendevoorwerpen zoals lantaarnpalen, maar ook werd er metkassabonnen gewerkt.Wim hoopt vurig dat er in de toekomst methodenkomen die beter aansluiten bij de leefwereld van dezekinderen. Verder vindt hij voor deze leerlingen eencentraal examen zoals dat nu bestaat een slechte zaak.De docenten op de scholen werken immers vier jaarmet deze leerlingen, en zijn daarom heel goed in staateen prima eindtoets te produceren, een afsluitendetoets zodat de leerlingen de school kunnen verlatenmét een diploma. Het komt nu voor dat kinderenzonder diploma de school verlaten en zó op niveau 1kunnen instappen op een ROC. Dan hebben zij na aldie jaren geen enkel diploma ter afsluiting ontvangen.

ToekomstplannenWim hoopt zich nog enige tijd te kunnen inzetten voorde Vereniging, waarvoor hij binnen het bestuur al weerdiverse jaren als secretaris fungeert. Er is nog hetnodige werk te doen! Zo zal zijn eerste taak zijn hetarchief van de NVvW - inclusief alle jaargangen vanEuclides - zodanig in te pakken dat alles onder-gebracht kan worden bij het Noord-Hollands Archief.Ter afsluiting vroeg ik hem naar een slechteeigenschap. Zijn antwoord: hij heeft problemen met debeperkte besteedbare tijd. Regelmatig heeft hij hetgevoel dat er iets niet helemaal correct is afgemaakt,terwijl de volgende klus alweer op hem wacht. Hijvindt (te)veel dingen interessant. Hij vindt zichzelfmeer een man van de grote lijnen dan van de details,en heeft daarom ook vaak geen zin meer om juist diedetails uit te voeren.Na de nodige versnaperingen vervolgt Wim zijn reisnaar Utrecht voor een bestuursvergadering van deVereniging.

Over de interviewer

Gert de Kleuver (e-mailadres: [email protected]) is

redactievoorzitter van Euclides.

leerlingen doe, zonder de pretentie te hebben dat ik deenige ben die dit doet.Veel van mijn activiteiten zijn in de loop van de jareneen soort traditie geworden. Soms weten de leerlingenvan de verhalen van anderen wat er staat te gebeuren,en vragen ze ernaar.

Seizoensgebonden wiskunde-activiteiten

Zwarte Pieten ExamenDe decembermaand is altijd vol spannendegebeurtenissen. Zo zult u mij op 5 december kunnenaantreffen uitgedost met een zwarte krullenpruik, eenfelgekleurde muts met grote veer, een glimmende capeen twee grote zwarte handschoenen.Meestal moet ik ‘even het lokaal uit’ en dan bons ikhard op de deur. Ik kom dan binnen met een map eneen grote envelop en natuurlijk een grote zak metpepernoten. Vaak heb ik van tevoren de tafeltjes al inde toetsopstelling gezet en wat lege proefwerkblaadjesuitgedeeld. Op de envelop zijn duidelijk zichtbaar dewoorden MADRID en ROBERTO DI ORDO te zien. Iklees dan de op rijm geschreven brief voor, die in deenvelop zit. Sinterklaas heeft dringend hooggeschooldePieten nodig. Of ik ook dit jaar weer mee wil doen aande selectie uit mijn leerlingen door het afnemen vanhet Zwarte Pieten Examen. De 4-havo-groep krijgt hethele lesuur. Bij de 4-vwo-klassen begin ik met hetlaten maken van een 12- tot 18-regelig rijmpje over

BedoelingIn dit artikel wil ik de lezer meenemen naar een aantalvan mijn jaarlijks terugkerende wiskundeactiviteiten.Sommige zijn seizoensgebonden, zoals het ZwartePieten Examen, andere leerstofgebonden, zoals degeboorte van het getal e.Ik wil de lezer enthousiast maken om ook in haar/zijnlessen gedenkwaardige wiskundemomenten in tebouwen. De leerlingen zijn na het beleven vandergelijke momenten vaak weer extra gemotiveerd omde ‘gewone’ lesstof te lijf te gaan. Juist de krenten inde pap maken de lessen wiskunde voor de leerlingentot een feest. Wanneer je regelmatig iets anders doetdan ze verwachten, dan blijft het spannend wat er devolgende les misschien weer kan gebeuren. Ik zegaltijd: ‘Makkelijker kunnen we het niet maken, welleuker.’Ik wil niet proberen, u de ideeën die ik hier aandraag,te laten nadoen. Ik zou het op prijs stellen dat u zichprobeert in te leven in de manier waarop leerlingen degenoemde activiteiten zullen ervaren, dat u zichkritisch afvraagt of iets dergelijks ook voor uw lesseninteressant kan zijn. Maar mijn bedoeling is vooral ueen duwtje te geven om af en toe eens wat uit teproberen.Ik ben er van overtuigd dat ieder van u een aantalterugkerende stokpaardjes heeft bij de uitleg vanbepaalde stukken lesstof. Ik zal in dit artikel dan ookeen aantal activiteiten beschrijven die ik met mijn

WISKUNDE DOOR HET JAARHEENSpannende wiskunde-momenten inbouwen tijdens je lessen; dat motiveert![ Rob van Oord ]


FIGUUR 1

een wiskundig voorwerp. Aan het eind van de les leesik het winnende gedicht voor en de winnaar krijgt eentaaipop of een kleine chocoladeletter. Nadat ik despelregels heb uitgelegd, dat met elk goedopgeschreven antwoord 5 pepernoten te verdienen zijnen er geen antwoorden door de klas geroepen mogenworden, gaan ze aan de slag. Meestal kan bij eenaanvankelijk fout gegeven antwoord bij een tweedepoging alsnog een deel van de 5 pepernoten verdiendworden.Terwijl ze zo bezig zijn met de eerste vragen, zet ik in

een oogwenk achtereenvolgens mijn pruik, muts enveer op. Daarna volgen cape en handschoenen, ensoms nog wat zwarte vegen of grote oorbellen. Als ikdan rondloop en overal al vast een paaraanmoedigingspepernoten uitdeel, zit de stemming ergoed in. Ze werken als paarden om zoveel mogelijkgoede antwoorden te vinden.Sommige leerlingen oogsten per vraag, anderenwachten tot het eind van de les en incasseren dan de

bulk verdiende pepernoten in één keer. In elk gevalverlaten ze allen met rode koontjes en een brede lachhet lokaal. Ik ben trots op hen.Welke sommen zitten er in? Een vlekkensom over deprijs van zakken pepernoten en taaipoppen, een vraagover het pakken van handschoenen in het donker, eenvraag over de route waarlangs Sint en zijn gevolgmoeten gaan zonder twee keer door een zelfde straat tekomen. Een som over het aantal treden en de lengtevan de ladder naar het dak. Een vraag naar hetpatroon op een zijkant van een kubusvormige surprise.

Het cadeau heeftverschillendepatronen waarvaner telkens maardrie zichtbaarzijn. Een vraagover de prijs vaneen chocolade-letter en eensuikerhart, teberekenen uittwee rekeningenmet verschillendeaantallen vanbeide lekkernijen.Kortom, watingekledeberekeningen,telproblemen enPythagorastoepassen. U kunthet zelfverzinnen.

RuimtelijkekerstkaartenOmdat origamieen hobby van meis, en in hetbijzonder origami-architectuur, las ikaf en toe een (deelvan een) les inwaarin we gaanvouwen. Bij DeSlegte heb ik ooit15 origamiboekengekocht metvouwmodellenvoor beginners,geschikt voor de

onderbouw. In mijn kast liggen altijd pakken metgekleurde vouwblaadjes. Met de vijfde klas wordt mijnlaatste les voor de kerstvakantie altijd besteed aan hetmaken van kerstkaarten. Ik neem dan mijn doos metzelfgemaakte modellen mee (zie figuur 1), en een aantalboeken met foto’s van nog veel mooiere. Er zijn driesoorten, de modellen die resp. 90°, 180° of 360° moetenworden opengevouwen. Omdat bij de 180°- of 360°-modellen veel gesneden maar ook alles met touwtjes


aan elkaar geplakt moet worden, beperk ik me in dezeles tot de techniek van de 90°-vouwkaarten. Het gaatdan bijvoorbeeld om het verschil tussen de dalvouw ende bergvouw, waarvoor aan verschillende kanten geritstmoet worden. We maken op ruitjespapier een oefeningom de techniek van origami-architectuur te begrijpen.De ontwerpen die ik gebruik, zijn speciaal gemaakt voorhet formaat van correspondentiekaarten. Na het prikkenmet de passerpunt op de kruispunten van alle vouw-lijnen, het opensnijden van de snijlijnen en het ritsenvan de vouwlijnen, komt er met enig voorzichtig duw-en trekwerk een prachtige kaart met vier kerstboompjestevoorschijn. Soms is er al een boompje gesneuveld bijhet snijwerk en staat alleen nog een stompje op dekaart.Voor de liefhebbers heb ik andere voorbeeldkaartengemaakt. Die kunnen ze dan in de vakantie proberen temaken (zie figuur 2a).

ValentijnsdagToen ooit mijn dochter thuis kwam van de basisschoolmet een gevlochten hart, heb ik deze techniek meteeningezet om op valentijnsdag met zijn allen valentijns-harten te gaan vlechten (zie kader op pag. 230). Voorleerlingen die vergeten zijn om gekleurde vouw-blaadjes mee te nemen, liefst rood en wit, heb ik altijdwel een paar blaadjes in de kast. Omdat ik bijwiskunde A rond die tijd altijd met matrices bezig was,verzond ik geheime valentijnsberichten (‘ik hou van je’,e.d.) waarvan ik ofwel de decodeermatrix ofwel decodeermatrix prijs gaf, al naar gelang de stand vanzaken in de les. Dan moesten de leerlingen eventueeleerst de decodeermatrix berekenen. Of ik liet hen zelfgeheime briefjes maken via een bepaalde codeermatrix,verzamelde die vervolgens en deelde ze daarna randomweer uit in de klas. Moesten ze zien te achterhalen vanwie het berichtje was.

Paaseieren vouwenZo zal ik rond Pasen in menige klas bezig zijn met hetvouwen van paaseieren (zie figuur 2b), in het Chinesevouwboek bekend als ‘papieren bal’. Na het vouwenmogen ze worden gekleurd en hang ik ze met paper-clips op aan een touw. In de onderbouw kun je ook eenpaashaas laten vouwen.In de clustergroepen B2 van 5- en 6-vwo maak ikmeteen gebruik van de situatie om ellipsen te gaanvouwen. Ik deel A4-bladen uit waarop een grote cirkelstaat (straal 10 cm). Eerst knippen we de cirkel uit, wezoeken naar het middelpunt (‘hoe moet dat ook alweer?’) en zetten ergens op zo’n 3 cm van de cirkel-rand een stip. Vervolgens vouwen we telkens decirkelrand om naar die stip. Zo verschijnen er op hetblaadje allemaal lijntjes, maar er blijft een ovaal stuk(paasei) over zonder vouwlijntjes. Al naar gelang hetniveau (5v of 6v) ga ik dan verder in op de verkregenfiguur. De lijntjes zijn allemaal raaklijnen aan eenellips. Kun je dat bewijzen? Enzovoorts.Tenslotte knipt wie dat wil het gaaf gebleven deel uit(het ei), en kleurt het met mooie bandversieringen endergelijke.


FIGUUR 2a en b

FIGUUR 3, 4

Leerstofgebonden wiskunde-activiteitenIk vind het didactisch beter om - waar mogelijk - deleerstof te ondersteunen met experimenten die deleerlingen zelf moeten uitvoeren.

Parabool vouwenAl eerder had ik het over het vouwen van een ellips.Bij dezelfde lesstof (6-vwo B2) horen ook parabolen. Ikvind dat elke vwo-B-leerling in zijn schoolloopbaanook een keer een parabool heeft moeten vouwen enheeft moeten beleven dat de parabool bij een tweede-graads functie hoort. Ik deel ruitjesbladen uit, laat hetonderste randje tot een ruitjeslijn afknippen, laatongeveer in het midden 4 cm boven de rand een stipzetten, dan de onderrand van het blaadje telkens naarde stip vouwen. Zo krijg je de omhullende van eenparabool. Maar doordat je met ruitjes werkt kun je ookde formule gaan zoeken. Ik kies de x-as midden tussende onderrand van het papier en de stip (het brand-punt), en de y-as verticaal door de stip. Dan maak ikmet de klas een tabel van de (in eerste instantiegemeten) hoogte van de parabool tegen verschillendegehele waarden van x en daarbij de kwadraten van dex-waarden.Altijd succes. Je kunt ook de raaklijneigenschap van deparabool mooi laten zien met de op deze maniergevouwen parabool.

Dobbelstenen gooienEen ander voorbeeld van experimenteren is het gooienvan dobbelstenen. Bij een dobbelsteen is de kans opeen zes wel 1 op 6, maar bijna nooit is bij 60 keergooien er 10 keer een zes gegooid. Wanneer in devierde klas de kansrekening aan bod komt, dan is hetleuk om de zweetkansen daadwerkelijk met de klas uitte voeren. In mijn lokaal staat een doos met pakweg100 dobbelstenen. Ik kan op elk moment de hele klasaan het dobbelen zetten. In tweetallen laat ik ze elk20 keer met 4 dobbelstenen gooien en tellen hoe vaaker minstens één zes bij zit, een bekend historischprobleem. Vaak kom je met de hele klas samen (tabelop het bord) tot ongeveer 50/50. Als je daarna hetresultaat theoretisch gaat verklaren, dan leeft hetprobleem inmiddels veel meer bij de leerlingen. Ookleuk om dan nog iets te simuleren op de grafischerekenmachine, bijvoorbeeld hoe vaak wordt 7 gegooidmet twee dobbelstenen (op de TI-83 metrandInt(1,6,2)), en met de klas op het bord te turven.Daarna weer de theorie.

MinilottoBij de uitleg van trekken zonder terugleggen maak ikgebruik van de lottotrommel die in mijn kast staat. Ikspeel dan minilotto met de klas (zie figuur 3): drieballetjes trekken uit een trommel met 10 genummerdeballetjes. Iedere leerling (die dat wil) zet bijvoorbeeld 10eurocent in. Ze mogen dan op een briefje 10 rijtjes metdrie getallen van 1 t/m 10 invullen. Er mogen geencijfers worden doorgekrast. Omdat het een trekkingzonder terugleggen is, moeten ze op het idee komen datze geen drie getallen opschrijven waar dezelfde bij

zitten. Ook doet de volgorde er niet toe. (Voorsommigen is dit niet direct duidelijk.) Dan wijs ik eenpaar assistenten aan die een deuntje moeten zingen,terwijl ik de trommel rond laat draaien om te mixen, eneen assistent(e) die ‘stop’ moet zeggen. Op dat momentlaat ik de trommel een balletje trekken. Ik laat deleerlingen in al hun rijtjes dit getal dan omcirkelen.Daarna volgen de volgende twee trekkingen. Ook danlaat ik de getrokken getallen omcirkelen. Later zal ikdeze omcirkelingen gebruiken om de zweetkans tevergelijken met de theorie. Onder degenen met hetwinnende drietal getallen wordt de pot verdeeld. Dekans op succes is 1 op 120, dus meestal zijn er bij eengroep met 20 leerlingen wel een of meer die de potwinnen. Dan komt de theorie. Hoe groot is de kans opdrie goed? En op twee, één of nul goed? Door despannende trekking blijft dit stukje kansrekeninghopelijk goed in hun geheugen, en snappen ze beterhoe je dergelijke lotingen moet simuleren.

WedstrijdjesTer afwisseling van het gewone lespatroon waarin deleerlingen een groot deel van de les sommen uit hetboek zitten te maken doe ik regelmatig wedstrijdjes(zie figuur 4). Vooral een geschikte uitdagendeactiviteit als je een blokuur 4-havo wiskunde-A hebt.Ik laat de leerlingen in groepjes van liefst vierleerlingen bij elkaar zitten, leg een white-board in hetmidden, deel blaadjes met enkele korte vragen uit engeef elke leerling een stift. Het groepje dat aan heteind van de les de meeste vragen goed beantwoordheeft, wordt getrakteerd. Ze mogen zelf een strategiebepalen hoe ze het aanpakken, maar het moet wel zozijn dat elk lid van het groepje de antwoorden op devragen kan vertellen. Ze moeten elkaar dus helpen enovertuigen van de juiste oplossing. Ik gebruik wed-strijdjes als inleiding bij nieuwe onderwerpen en alsafsluiting van een stuk behandelde wiskundigevaardigheden. Rekenproblemen en telproblemen, maarook vaardigheidsoefeningen met differentiëren enintegreren, zijn geliefde onderwerpen voor dergelijkewedstrijdjes.

Bakje vouwenFormules, functies, vergelijkingen oplossen, waar hebje dat voor nodig? Gelukkig komt in klas 4 eenmoment waarop je deze vragen aan de orde kuntstellen, laten zien dat je met de wiskunde een probleemkunt oplossen.Zeker met de grafische rekenmachine bij de hand kunje snel ter zake komen.Op een moment komt de opgave waarin uit eenrechthoekig blaadje vier (vierkante) hoekjes moetenworden geknipt. Dit wordt de bouwplaat van eendoosje zonder deksel. Dan moet de inhoud wordenberekend. Gevraagd: de afmetingen van het bakje metde grootste inhoud.Dit is een prachtig moment. Ik deel alle leerlingen een(gekleurd) A4-tje uit en laat ze een bakje vouwen,zonder deksel. Wie het bakje heeft met de grootsteinhoud, krijgt een beloning. Intuïtie en geluk spelen


deze experimenten. Maar de gewone leraar heeft nietvanzelf de energie en de tijd om dergelijke uitgebreidesessies op te zetten en te evalueren. Ook is er nietdirect de ondersteuning van een universiteit of hetFreudenthal Instituut voorhanden. Toch denk ik dat jealtijd wel iets kunt proberen. Al is het maar om zelf uitde sleur te blijven. Een beetje durf en een beetjefantasie kunnen al snel tot leuke resultaten leiden -vooral als je met kleine directe beloningen werkt. Nietelke les, maar ineens is er weer een dropje teverdienen. Op zijn tijd een fles wijn of een appelflapbij de koffie, bijvoorbeeld van de schoolleiding, vindenwij zelf toch ook een opsteker?We hebben niet meer te maken met leerlingen die‘vanzelf’ wiskunde nog leuk vinden, behalve misschienin de brugklas. We moeten mee in de stroom van deVeronica- (of is het nu BNN-)maatschappij: sneller,spannender, wilder. Er zijn veel meer ‘leuke’ vakken dieop de lessentabel staan. Het aantal uren wiskundeloopt ook steeds verder terug, zeker als de plannen vande minister doorgaan.Zorg voor een uitgebreid scala aan materialen in jelokaal waaruit je zo kunt pakken. Speel in op deactualiteit, het nieuws; maak er een feest van.

In dit artikel heb ik geprobeerd iets van mijnenthousiasme over te brengen waarmee ik alswiskundedocent nog steeds aan het werk ben.Aanvaard nieuwe uitdagingen. Probeer eens wat uit.

Noot van de redactie

In een workshop met de titel ‘Makkelijker kunnen we het niet maken,

wel leuker’ heeft Rob van Oord het bovenstaande eveneens aan de orde

gesteld op de Nationale Wiskunde Dagen, NWD10, op 6 en 7 februari

2004.

Over de auteur

Rob van Oord (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1974 docent wiskunde op het Coenecoopcollege te Waddinxveen, de

laatste jaren vooral werkzaam in de bovenbouw (4 havo-A en 4,5,6

vwo-B). Hij is sectievoorzitter van de sectie die nu 17 leden telt,

fervent bezoeker van de studiedagen van de Vereniging, en - als het

kan - aanwezig op de Nationale Wiskundedagen. Rob is tevens lid van

de werkgroep havo/vwo van de NVvW.

hierbij een rol. Ik heb ook wel een hele klas bakjeslaten vouwen met voor iedere leerling een anderehoogte van de opstaande rand. Je krijgt dan een heelnest bakjes. Dan zie je meteen dat de lage randjesweinig inhoud geven, maar de hoge randen ook. Erwordt ook duidelijk tot hoever je nog een echt bakjekunt krijgen.Spelenderwijs zijn ze met toepassingen van wiskundebezig. Het model wordt losgeweekt.Daarna gaan we proberen met formules en tabellen opde grafische rekenmachine het bakje met de grootsteinhoud te berekenen. Uiteraard kunnen ze nog nietdifferentiëren, maar daarmee kun je dit probleem ofeen vergelijkbaar probleem in de vijfde klas nog eensopnieuw aanpakken. De inhoud is x � (L�2x)(B�2x).Haakjes uitwerken en differentiëren, gebruik van deabc-formule, uiteindelijk komt het beste antwoord.In 5v neem ik de cellofaanverpakking van koffie. Opzich al interessant hoe die gevouwen en geplakt is. Jekunt ook andere eisen stellen aan de bakjes,bijvoorbeeld dat ze een vierkante bodem moetenhebben of dat de inhoud 1 liter moet zijn. Laat ze eerstmaar eens vouwen en knippen en plakken.

Geboorte van het getal eHet is altijd een spannend moment in de lesstof (5-vwoB) als het getal e wordt ‘geboren’. In de lessenvoorafgaand aan deze gebeurtenis (die ook aldus in dewerkwijzer staat), voer ik de spanning een beetje op,als zou het een heuse bevalling betreffen.De grafiek van de ‘vader’ van e, f (x)�2x, wordtgetekend. Iedereen doet mee in zijn schrift. Dan wordtde hellingfunctie van f afgeleid via metingen metbehulp van de geodriehoek (van de hellingen in puntenop de grafiek bij x�3, 2, 1, 0,�1,�2) en via

berekeningen op de GR (met , enzovoort).

Op bord verschijnt een grote tabel die samen wordtingevuld. Iedere rij leerlingen zorgt voor een van dehellinggetallen, eerst door meten (gemiddelde nemen),dan met de grafische rekenmachine (kijken of ze debenaderingsmethode nog kennen). In de laatste rij opbord laat ik ‘helling gedeeld door functiewaarde’berekenen. Hier komt steeds 0,693 uit. Zo blijkt dehellingfunctie van 2x ongeveer 0,693 maal de functiezelf te zijn, dus de helling is overal ongeveer 70% vande functiewaarde. Daarna wordt hetzelfde nog eensgedaan met g(x)�3x, de ‘moeder’ van e. Van dezefunctie is de helling 10% groter dan de functie zelf.En dan is e het getal waarbij de hellingfunctie preciesgelijk is aan de functie zelf. Nu wordt de geboortegevierd met beschuit met muisjes, in een e op eengroot blad neergelegd, en een foto van de hele klaseromheen.

Slotwoorden, een hart onder de riemRegelmatig komen we in Euclides en de NieuweWiskrant artikelen tegen waarin LIO-stagiaires, super-enthousiaste (jonge) docenten of promovendibeschrijven welk experiment ze hebben uitgevoerd ineen bepaalde klas of leerlaag. Niets dan lof voor al

23,001 �23��

0,001


Dit jaar heb ik 5-havo voor een deel van hunwiskunde-B12 lessen. Het is eind augustus en wehebben de eerste les, herhaling van het begripafgeleide. De leerlingen en ik kennen elkaar niet.Ik vertel dat geleerden vroeger voor allerlei zakeningehuurd werden, bijvoorbeeld als astroloog of omoorlog te helpen voeren of om bij de verdediging vaneen stad te helpen.Zo leg ik de volgende vraag voor.Neem de functie y�x2 en bouw een verticale mal metde vorm van de grafiek van deze functie als onderkant.Langs die onderkant loopt een rail waarlangs je de loopvan een kanon schuift.Zie figuur 1.

Ga uit van het theoretische geval dat er geenzwaartekracht is.Zet op 100 meter afstand van de y-as een muur neer.Op welke hoogte slaat de kogel uit de kanonsloop in opde muur?Vervolgens vertel ik dat dit probleem heel lang alleenopgelost kon worden via ingewikkelde berekeningen,waarbij er voor iedere plek van het kanon opnieuwbehoorlijk wat rekentijd nodig was. En ook dat er pasin de zeventiende eeuw een heel snelle methodebedacht is, en wel onafhankelijk van elkaar doorNewton en Leibniz.

Hierna bekijken we eerst een paar eenvoudige gevallen,waarbij de onderkant van de mal achtereenvolgens devorm heeft van de lijn y�2 en van de lijn y�2x�1.Hierbij introduceer ik het woord richtgetal, hier dusresp. 0 en 2.Vervolgens vereenvoudig ik de vraagstelling bij defunctie y = x2 door het kanon niet rakend aan de malop te hangen maar door het op twee punten van derand van de mal vast te prikken, bijvoorbeeld in depunten A(1, 1) en B(2, 4) - zie figuur 2.In dit geval heeft het kanon richtgetal 3.Vervolgens laat ik ze het richtgetal uitrekenen voorA(1, 1) en B(1,001; 1,002001). Deze situatie noem ikbijna-rakend in A (zie figuur 3).De leerlingen berekenen dat het richtgetal gelijk is aan

�2,001.

Daarna laat ik ze het richtgetal uitrekenen voor debijna-raak-situatie in het punt (2, 4).Via een lijstje wordt het vermoeden aannemelijk dat ervoor het richtgetal een functie bestaat, en wel r(x)�2x.De afgeleide functie is een ‘feit’.

De bel gaat. Wat een leuke les, meneer. Eindelijk snapik waar je wiskunde voor kunt gebruiken.

Noot

Voor belangstellenden stelt de auteur een uitgebreidere beschrijving van

dit lesidee beschikbaar: stuur daarvoor een e-mail naar

[email protected].

Over de auteur

Kees Alkemade is sinds 1973 wiskundeleraar aan het Meridiaan

College te Amersfoort, afdeling het Nieuwe Eemland.

1,002001�1��

1,001�1

HET KANON EN DE AFGELEIDE[ Kees Alkemade ]


FIGUUR 1, 2, 3

KLASSIKAALEen kennismaking met volledige inductie[ Dick Klingens ]


Opdracht (waarbij we een TI-83 gebruiken)(Zie figuur 1 en figuur 2.)a Zet je (grafische) rekenmachine op graden.b Plaats de getallen 103, 104, …, 1011 in Lijst 1.c En zet dan in Lijst 2 de sinus van die hoeken.d Wat valt je op? Formuleer een vermoeden.e Kun je het vermoeden illustreren met

sin (1012)°��0,98…?f Bewijs je vermoeden.

En dan …Tot en met opdracht d zal het de lezer – en deleerlingen voor wie de opdrachten vanzelfsprekendbedoeld zijn – wel lukken.Maar hoe zit het met e en f? Hoe bewijs je dat (onder weglating van het graadteken)de uitspraak

P1 � [∀n�3∧n�� : sin10n ��0,984807753]

waar is?Een dergelijke notatie behoort nu niet direct tot deleerstof van het voortgezet onderwijs, maar het kan(mag) aan de lezer worden overgelaten dit in‘leerlingentaal’ om te zetten.

Nadat de leerlingen even bezig geweest zijn (metopdracht f – want opdracht e ging niet…), komt hetklassengesprek wellicht op gang, mede ook door zelfwat vragen te stellen.- Waar komt die –0,98… eigenlijk vandaan?- (Zie figuur 3) Kunnen we niet iets met die –80(graden)?- Is de uitspraak (en de lezer vertale weer)

P2 � [∀n�3∧n��, ∃c :10n �–80�c �360]

gelijkwaardig met uitspraak P1? Zouden de leerlingen het bewijs van P2 zonder hulpkunnen leveren? Als ze het doen, zal het ‘bewijs’ vermoedelijkuitdraaien op:

1000 ��80�3 �36010.000 ��80�28 �360

100.000 ��80�278 �360waarna ze wellicht zeggen dat ‘het klopt’.Natuurlijk zijn ze ook nog wel bereid op te merken, dat

1.000.000 ��80�2778 �360, maar dan hebben we(ze) het wel gehad.Tussenvraag 1: Wat is het verband tussen de factorenwaarmee 360 telkens vermenigvuldigd wordt?Tussenvraag 2 (en even iets heel anders!): (ziefiguur 4) Is de uitspraak P3 � [∀n�� :n2 �n�41 iseen priemgetal] waar?

Is dit eigenlijk niet een mooi startpunt om iets tezeggen over volledige inductie?

Het bewijs van de ‘waarheid’ van P2Stap 1. We veronderstellen dat er een k is waarvoor P2

waar is.Er is dus, op basis van de inductieveronderstelling, eennatuurlijk getal c met 10k ��80�c �360.Dan is10k+1�10�10k �10� (�80�c �360) ��800 �10�c�360Nu is �800 � �80�2 �360, zodat10k+1��80�2 �360 �10�c �360��80� (10c�2) �360En als c een natuurlijk getal is, dan is 10c – 2 datnatuurlijk ook.Stap 2. Voor n�3 hebben we 1000��80�3 �360; wezagen dat al eerder.Stap 3. Uitspraak P2 is waar. En daardoor is dat ook het geval met uitspraak P1.

Maar hoe zit het eigenlijk met de gelijkwaardigheidvan de uitspraken P1 en P2?

Literatuur

David Wells: Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen.

Bert Bakker, Amsterdam (1991).

Over de auteur

Dick Klingens (e-mailadres: [email protected]) is

wiskundedocent aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den

IJssel. Hij is tevens eindredacteur van Euclides.


Uit het voorwoord: ‘Met deze bundel willen we vooreen breed Nederlandstalig publiek de schoonheid en deopwinding van het beoefenen van wiskunde zichtbaarmaken. Daarvoor grijpen we naar recente doorbraken,zoals het bewijs van Andrew Wiles van de laatstestelling van Fermat, naar opmerkelijke toepassingen opkansspelen, financiële markten en CD-spelers, en de

opmerkelijke geschiedenis van het getal � in de 16deeeuw in Nederland. (…) De meeste hoofdstukken vragenwiskunde op VWO-niveau van de lezer, soms vergezeldvan enig doorzettingsvermogen. De nadruk ligt steedsop wiskundig begrip, inzicht en intuïtie, en niet opformule-vaardigheid.’

Verschenen / Speeltuin van de wiskunde. Opties, kansspelen, Escher, pi, Fermat en meer Redactie: Bart de Smit en Jaap TopUitgever: Van Veen Magazines/Natuur en Techniek, Diemen (2003)ISBN 90 76988 20 X

FIGUUR 1

FIGUUR 2

FIGUUR 3

FIGUUR 4

De dertien klaverkaarten uit een kaartspel schudden wegoed waarna we deze stapel klaverkaarten omgekeerdop tafel leggen. Ik pak de bovenste kaart van de stapelen bekijk de kaart. Vervolgens pak ik weer de bovenstekaart van de stapel. Als deze kaart hoger is dan deeerste, mag ik hem houden en mag ik weer een kaartpakken. Als de kaart lager is dan de eerste, dan is hetspel afgelopen. Het spel gaat net zolang door totdat ikeen kaart van de stapel pak die lager is dan de vorigekaart. In het gunstigste geval kan ik dus 13 kaartenpakken. Daar staat echter tegenover dat ik mogelijk alna één kaart moet stoppen. Hoeveel kaarten zal ikgemiddeld uit de stapel van 13 kaarten kunnenpakken?

Voor een stapel met 2, 3 of 4 kaarten kunnen we hetantwoord vinden door alle mogelijke verdelingen vande stapel uit te schrijven. In het geval van twee kaarten gaan we gemakkelijk nadat we gemiddeld 1,5 kaart uit de stapel trekken. Voor een stapel van drie kaarten met k3 > k2 > k1

vinden we:

volgorde van de stapel aantal getrokken kaarten

k1k2k3 3k1k3k2 2k2k1k3 1k2k3k1 2k3k2k1 1k3k1k2 1

Totaal 10

Het totaal aantal getrokken kaarten is hier gelijk aan10. Het gemiddeld aantal getrokken kaarten is dus

�

Voor een stapel van vier kaarten, met k4 > k3 > k2 > k1,kunnen we op dezelfde wijze te werk gaan. Weschrijven weer alle volgordes van de stapel op. Eerstalle volgordes waarbij de hoogste kaart k4 onder op destapel ligt.

5�3

10�3!


k1k2k3k4 3 + 1k1k3k2k4 2k2k1k3k4 1k2k3k1k4 2k3k2k1k4 1k3k1k2k4 1

Totaal 10 + 1

Aangezien hier de onderste kaart alleen zal wordengetrokken als de stapel naar grootte is gerangschikt, ishet aantal getrokken kaarten 1 groter dan bij detrekkingen uit drie kaarten.Vervolgens bekijken we alle volgordes waarbij dehoogste kaart k4 niet onderop ligt. Bijvoorbeeld destapeltjes met de kaart k2 onderop.


k1k3k4k2 3k1k4k3k2 2k3k1k4k2 1k3k4k1k2 2k4k1k3k2 1k4k3k1k2 1

Totaal 10

De onderste kaart k2 zal nu niet kunnen wordengetrokken, want de hogere kaart k4 komt altijd eerder.Het totaal aantal getrokken kaarten is hier dus gelijkaan 10, het totaal aantal getrokken kaarten bij eenstapel van drie kaarten. Dit geldt ook als de kaart k1 ofk3 onderop ligt. Het totaal aantal getrokken kaarten bijde stapeltjes waarbij de hoogste niet onderop ligt, isdus gelijk aan 3 �10.Het totaal aantal getrokken kaarten bij een stapel van 4kaarten is dus gelijk aan 10�1�3 �10�4 �10�1�41.Hieruit volgt dat het gemiddeld aantal getrokkenkaarten gelijk is aan

�41�24

41�4!

Kaartspelletje[ Rob Bosch ]

RE:CURSIEF


Voor de overgang van vier naar vijf kaarten kunnenwe op dezelfde wijze te werk gaan.In het algemeen geldt

T(n�1)� (n�1) �T(n)�1 (1)

waarbij T(n) het totaal aantal getrokken kaarten is bijeen stapeltje van n kaarten, gerekend over allemogelijke volgordes van de stapel. Delen we in (1)links en rechts door (n�1)! dan volgt

� � (2)

Voor het gemiddeld aantal kaarten K(n) geldt dus

K(n�1)�K(n) � (3)

Uitgaande van K(1) = 1 vinden we zo K(2)�1� ,

K(3)�1� � , etc.

Het gemiddeld aantal kaarten bij een stapel van nkaarten is gelijk aan

K(n)�1� � � …�

Uit

e�1� � � …

volgt dat

limn → �

K(n)�e�1 (4)

Het antwoord op de in de inleiding gestelde vraag isdat bij 13 kaarten het gemiddeld aantal getrokkenkaarten ongeveer e�1 is. Het maakt dus nauwelijksuit of we een stapel van 13 kaarten of van 100 kaartennemen.

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is als docent verbonden

aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Hij is tevens

redacteur van Euclides.

1�2!

1�1!

1�n!

1�3!

1�2!

1�3!

1�2!

1�2!

1�(n�1)!

1�(n�1)!

T(n)�n!

T(n�1)�(n�1)!



40 j

aar

gele

den

In memoriam voor mevrouw T. Ehrenfest-Afanassjewa in Euclides, jaargang 39 (1963-1964).

N.B. Meer over haar en over de Wiskunde Werkgroep van de WVO in de vorm van een beknopte biografie, resp. in het

hoofdstuk van Ed de Moor in Honderd jaar wiskundeonderwijs (2000).

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

Mijn vraag is een soort natuurlijke reflex van dewiskundeleraar. Sjaak vindt het maar een flauwe grap:‘Ja, als je in een rondje blijft lopen om de vos heen.Maar wie doet dat nou?’ En hij vervolgt degesprekslijn: ‘Zoiets wil je ook met de GPS?’Ik overweeg dat de vos zijn coördinaten per mobieltjekan doorgeven aan de jagers.‘Laat ze sms-en’, raadt Sjaak aan, ‘dat kost ze minderbeltegoed en de tekst blijft staan.’ Ook voor anderekosten heeft Sjaak oplossingen: ‘Hoeveel GPS-en hebje nodig?’ ‘Eén voor elke drie leerlingen. Vind je datduur?’ ‘Het hangt van de school af’, denkt Sjaak, ‘watdie ervoor over heeft.’ Voor arme scholen heeft hijechter een goedkope aanbieding: ‘Je kan eenspeurtocht met coördinaten uitzetten langs gebouwen,als vossen, in de buurt. Die moeten ze vinden.’ Enenthousiast stelt hij voor de GPS-posities op te nemenvan alle gebouwen in de wijk en ook maar meteen ‘hetmidden van Utrecht’. Geen makkelijk probleem,overigens, want wat is eigenlijk ‘het midden vanUtrecht’?Even proberen we samen dit spel uit, in gedachten.‘Stel, een vos zit op een plek met de coördinaat Noord52o 30’. Hoe kun je die dan vinden?’Ik denk zelf de vos te vangen door al zoekend decoördinaten op mijn GPS voortdurend te vergelijkenmet die van de vos. Maar Sjaak heeft een betereoplossing: ‘Je kan de plek van de vos toch gewooninvoeren. Dan wijst de GPS je er vanzelf heen.’Typisch Sjaak: handig met apparaten. Hij ziet pijlsnelhun mogelijkheden, herkent direct hoe de GPS in deéchte wereld gebruikt wordt, speelt en combineertsoepel met al die wetenschap. Meesterlijk! Maar, datmoet gezegd zijn, hij oefent ook veel. Het is zijn lusten zijn leven.

Een GPS-tochtjeOver het project raakt hij steeds meer opgewonden.Alles staat hem helder voor de geest, en het kan ook

Sjaak en apparatenSjaak is een man van 43 met alleen BLO; speciaalbasisonderwijs of lom-onderwijs zouden we nu zeggen.Hij werkt op mijn instituut als schoonmaker, vandaardat we af en toe een praatje kunnen maken over deandere activiteiten die hij erop na houdt, bijvoorbeeldmet apparaten. Hij heeft altijd een mobieltje op zak,thuis heeft hij een ‘bakkie’ (27MC-zender), computer,drumstel en tv. Mijn GPS, waarop je je positie op aardekunt aflezen, noemt hij ‘een lekker dingetje’. Het isduidelijk: apparaten hebben zijn warme belangstelling.Maar wat betekent dit nu voor ons (speciaal)onderwijs?

VossenjachtMeestal weet ik het gesprek wel een beetje naar mijnhand te zetten, hoewel ik de laatste tijd het gevoel hebdat Sjaak het roer meer en meer overneemt en deapparaten in opmars zijn. Terwijl hij veegt en aflapt,kijkt hij met een scheve blik naar mijn bureau eninformeert beleefd naar wat ík uitvoer: ‘…of ik ietsvoor leerlingen maak?’ Voor het vmbo probeer ikinderdaad een GPS-project te ontwerpen.‘Kijk je wel eens naar Planet-race op tv?’, vraagt hij envreest meteen mijn antwoord te weten. ‘Op Veronica,dat heet nu Yorin’, probeert hij nog. Maar nee, dat isniet mijn favoriete tv-kanaal, moet ik bekennen.‘Maar dáár hebben ze nou allemaal een GPS! Weten zeprecies waar ze zitten. Daar kan je leren, dat je nietzònder kan. Geen dag!’Ik dacht zelf aan een oud spelletje, aan Vossenjacht.Dat spel zou ik met een GPS kunnen moderniseren:posities van de vos ermee laten vastleggen.Sjaak: ‘Ik heb eens een vossenjacht gespeeld met eenbakkie. ‘t Kan ook met een walkietalkie. Iemandverstopt zich en zendt een signaal uit. Dan zie je aan jeeigen walkietalkie-meter hoe ver je van hem af zit. Hoeverder weg, hoe zwakker het signaal.’‘Zijn er dan ook plekken waar het signaal gelijk blijft?’

GESPREKKEN MET SJAAKDe auteur, onderzoeker aan het Freudenthal Instituut, voertregelmatig gesprekken met schoonmaker Sjaak over wiskundigeonderwerpen. Aflevering 3.[ Jan van den Brink ]


niet lang uitblijven of we gaan op een goede dag dedeur uit. We maken een tochtje door de buurt. Sjaakvoorop, met de GPS; ik er achteraan.Hij vraagt onderweg van alles over het ding. Leest Nop het display. Ik: ‘N is de richting Noord waarin welopen.’ ‘O, een kompas zit er ook al op!’ De GPS is nietin zijn geheel direct te begrijpen, maar het lukt Sjaakal aardig om hem te hanteren. Het is als metwiskundige kennis: na een tijdje van oppervlakkiggebruik, kom je tot een dieper inzicht.Sjaak krijgt steeds meer achting voor de GPS, tuurt alwandelend vertederd naar het scherm. Dat kanlevensgevaarlijk zijn. ‘De leerlingen moeten ook ophet verkeer letten’, mopper ik. Hij stopt nu bij elkehoek van de straat, leest dan ‘de stand’ (de GPS-positie) hardop voor, ik noteer en daarna steken wepas over.

Op de kaartHeelhuids keren we terug van onze GPS-tocht enkijken we op een kaart van Utrecht. Hoe zijn wegelopen?‘We zitten vlakbij Station Overvecht.’ Sjaak zoekt langsgrote structuren (langs wegen en spoorlijnen op dekaart) naar die plek. Maar hij kiest het CentraalStation. Helaas, verkeerd. Maar omdat de kaart daar

niet met onze omgeving overeenstemt, zoekt enontdekt hij een eindje verderop langs de spoorlijn hettweede en juiste station Overvecht. De vergissing isverholpen en we tekenen onze rondrit in op de kaart.Op de GPS is ook een kaart te vinden, de moving map.We leggen ze naast elkaar; zie figuur.‘Klopt!’ Sjaak is verrast. De moving map geeft eenzelfde beeld van onze wandeling.

Sjaaks wiskundig denkenHet wiskundig denken van Sjaak interesseert me sterken hij vindt al die aandacht erg voornaam. ‘Nou,vooruit dan maar’, besloot hij ooit eens ruimhartig, ‘ikben je proefkonijn’ en inderdaad, hij openbaarde me zohet een en ander. Hij bezit bijvoorbeeld een zucht naarkennis over ‘echte’ dingen, zoals de aarde, de zon,instrumenten en apparaten. Die kennis, vergaard uitpraktische situaties, heeft onverwachts grote diepgang.Niet in abstracte zin, maar in het vermogen omintelligent en adequaat die kennis in te passen innieuwe omstandigheden en systemen. Sjaak vindt hetbovendien heel gewoon om zichzelf vragen te stellenen om, als een tweede natuur, overigens met wisselendsucces, voortdurend onderwerpen met elkaar teverbinden. Hij tracht daarmee overeenkomsten te zientussen allerlei verschillende situaties, om zo vanuitkleine verschijnselen naar grote principes te komen.Het zijn generaliserende uitbreidingen in de breedte.Als je echt wilt laten abstraheren op school, is dat eenaangewezen weg.

Voor een anderBij het GPS-project komt echter nog iets anders aanhet licht. ‘De apparaten moeten klaar liggen op school’,vindt Sjaak. ‘Niet om ze te stelen, maar om ze teonderzoeken. Dat zou mooi zijn.’Eigenlijk gaat het hem niet om de uitbreiding van zijneigen kennis en inzichten, maar om die van de vmbo-leerling van nu. Als ex-blo-er voelt hij zich nauwverwant met hen; hij wil ze helpen, wil iets voor henbetekenen. Het gaat hem duidelijk om een groter belangdan alleen het zijne. Daardoor is zijn bemoeienis methet project zo hartverwarmend en intens. Alsof hij zelfweer in de klas zit.

Wordt vervolgd!

Over de auteur

Dr. Jan van den Brink (e-mailadres: [email protected]) was

onderwijzer, studeerde wiskunde, en is werkzaam als

ontwerper/onderzoeker van rekenen wiskundeonderwijs aan 4- tot

18-jarigen aan het Freudenthal Instituut. Zijn belangstelling gaat

vooral uit naar wiskunde die ontdekt of uitgevonden wordt door

lerenden, en naar het ontwerpen en onderzoeken van daarbij passend

onderwijs.


NawoordOp onze locatie hebben we de basisberoepsgerichte ende kaderberoepsgerichte leerweg. De leerlingen vantegenwoordig, en zeker die binnen het vmbo, moetenmeer zelf bezig zijn en niet te veel en te lang hoevente luisteren. Binnen ons team hebben we afgesprokente proberen meer praktisch, projectgericht te gaanwerken met onze leerlingen. Om dit te kunnenrealiseren hebben we afgesproken dat alle vakken ditjaar gaan werken met lessen van 90 minuten.Na een paar maanden werd aan mij gevraagd of ikmijn ervaringen wilde opschrijven in de ‘Bea-info’, depersoneelsinfo van onze vestiging. Ik heb toenbovenstaande tekst geschreven, bedoeld als eenvrolijke poging mijn ervaringen weer te geven.Tot mijn grote verbazing kreeg ik veel reacties op ditstukje. Leuk, goed, raakt de kern, wat moet ik ermee,wat is nu de conclusie, enzovoorts.We zijn nu weer een paar maanden verder in hetschooljaar en mijn ervaringen zijn nog steedshetzelfde. Bij het vak natuurkunde/scheikunde is hetmij heel goed gelukt om de 90 minuten op een goedemanier te vullen. Veel afwisseling. Veel doe-opdrachtjes. De leerlingen zijn zeer gemotiveerd. (Ikwil er wel bij vermelden, dat ik deze lessen zelf maaken dat dat erg veel tijd kost.)Bij wiskunde lukt mij dat veel minder goed. Ik probeerde leerlingen zoveel mogelijk zelf allerlei opdrachten telaten maken. Ik laat ze zelf nakijken. Ik probeer dewerkvormen af te wisselen. Maar de concentratie, despanningsboog, die is na 30 minuten op. Als het nuaan mij gevraagd zou worden, dan wil ik bijnatuurkunde/scheikunde nooit meer terug naar 45minuten, maar bij wiskunde juist wél heel graag.

Ik ben benieuwd of er reacties uit ‘het veld’ komenwaar ik mijn voordeel mee kan doen.

Over de auteur

Bert Zwinkels (e-mailadres: [email protected]) is docent wis-

en natuurkunde aan het Terra College, locatie Beatrijs, te Den Haag.

Ervaring 1: Feyenoord–PSVDe 25 hoofdrolspelers komen binnen.Iedereen is op tijd.Iedereen weet zijn plek.Iedereen weet wat hij moet doen.De spullen zijn in orde.Van de kant komen soms wat aanwijzingen.Er gebeuren genoeg dingen om 90 minuten langgeboeid te zijn.Natuurlijk presteert niet iedereen even goed.Natuurlijk zijn er soms gele kaarten nodig.Natuurlijk, de spullen liggen keurig netjes klaar vooraanvang.

Ervaring 2: Verburch D3–Monster D5De 25 hoofdrolspelers komen binnen.Enkelen weten niet op welk veld ze moeten zijn.Eén is nog even naar de wc.De scheidsrechter is wat later.Eén heeft gymschoenen aan en na 5 minuten moet eenander zijn veters opnieuw strikken.Na 20 minuten staat het 6–0.Het is zeer eenzijdig.Na 45 minuten is het verlangen naar de kantine heelsterk.Natuurlijk doen de jongens hun best.Natuurlijk kan iedereen wel eens wat vergeten.

Ervaring 3: Wiskundeles 1BDe 25 hoofdrolspelers komen binnen.Ze weten hun plaats.Ze weten precies wat ze moeten doen. Het programmastaat op het bord.Van de kant komen wat aanwijzingen.Maar de kinderen doen niet hun best.De kinderen luisteren slecht.Sommigen hebben geen rekenmachine, anderen geenboek.De kinderen vinden het niet boeiend genoeg.Na 45 minuten is het verlangen naar de bel heel sterk.

Ervaring 4: Natuurkundeles 1BDe 25 hoofdrolspelers komen binnen.Ze weten hun plaats.Ze weten precies wat ze moeten doen.De spullen liggen klaar.Van de kant komen soms wat aanwijzingen.Het is afwisselend genoeg om 90 minuten langenthousiast bezig te zijn.Natuurlijk presteert niet iedereen even goed.Natuurlijk is er wel eens een waarschuwing nodig.

Trek zelf je conclusie.

90 MINUTEN ACTIEF?Naar aanleiding van ervaringen met lessen van 90 minuten[ Bert Zwinkels ]


het onderwijs de maatschappij wildeveranderen. Net als na hem Wallage.Want, in het allerbeste geval, is hetonderwijs middel, nooit doel. Dit ligtanders, zult u wellicht denken, metmensen als Netelenbos en Van derHoeven. Maar hun kijk op onderwijsis een heel beperkte. Uitgesloten datzij er ooit een boek over hadden kun-nen schrijven. Zo wordt het beleidvan de huidige minister ten aanzienvan het vak wiskunde in hoge mateingegeven door haar eigen ervaringdaarmee. Dat is duidelijk.Ik wil het gaan hebben niet over wis-kunde, want daar heb ik net zo wei-nig verstand van als minister Van derHoeven, maar over uw rol in hetonderwijs. Hoe die is veranderd enverder zal veranderen. En wat vooreisen dat stelt aan de invulling diemoet worden gegeven aan hetleraarsberoep. En dan ga ik het niet

hebben over een andere manier vanlesgeven, niet over hoe u uw werk alsleraar moet uitoefenen, maar over dewijze waarop u zich als leraar moetopstellen. Moet opstellen. Dat klinkterg directief en, hoe zeer ook in strijdmet moderne pedagogische opvattin-gen, zo is het ook bedoeld.Moet opstellen om te zorgen vooreen werkklimaat waarin recht wordtgedaan aan uw deskundigheid. Wantdat is toch ongetwijfeld wat u wilt.Waarover u – terecht – vaak klaagtdat het daaraan ontbreekt.

Tijdens een gesprek met Van Keme-nade over een onderzoek naar hetfunctioneren van de Nieuwe Leraren-opleidingen, de nlo’s, zei de ministerdat dit niet ter discussie mocht wor-den gesteld, want een leraar was inde eerste plaats leraar, ook in detweede plaats leraar en pas in de der-

Verenigingsnieuws


T

De veranderende rol vande leraar Lezing 15 november 2003, NVvW-studiedag

[ Leo Prick ]

Toen ik in 1965, na mijn studieNederlands, leraar werd op eenlyceum ging aanvankelijk al mijnaandacht uit naar mijn vak en mijnlessen. Daar had ik mijn handen aanvol. Maar ik raakte al snel gefasci-neerd door het onderwijs zelf. Ik wil-de het in al zijn facetten leren ken-nen. Ik studeerde daarnaastpsychologie, werkte bij het Cito, alsvakdidacticus en onderwijskundigebij een hogeschool en een universi-teit, promoveerde op een onderzoeknaar de in de loop der jaren verande-rende opvattingen van leraren overhun vak en de leerlingen, en eindigdeals directeur van Intervu, een onder-zoeken adviesbureau op het gebiedvan het onderwijs. Een leven lang inhet onderwijs dus.

Ik woon nu half om half in Neder-land en Frankrijk. Ik vind het inte-ressant om te schrijven over Frank-rijk, de verschillen in cultuur met dievan Nederland, maar daarbij gaatmijn aandacht toch altijd speciaal uitnaar die eeuwige liefde: het onder-wijs.

Vaak wordt mij gevraagd: is dat nietsaai, altijd maar weer dat onderwijs?Een opmerking die overigens geenFransman ooit zal maken. Want dieopmerking zegt veel over ons, Neder-landers. In Nederland is onderwijs encultuur vooral een politieke en finan-ciële kwestie. Maar ministers vanOnderwijs in Frankrijk zijn altijdautoriteiten op hun terrein, hebbendaar een aantal boeken over geschre-ven. In Nederland benoemen we oponderwijs economen als Pais en Rit-zen. U denkt misschien: Van Keme-nade, dat was toch een echte onder-wijsman? Nee, dat was een socioloogen politiek dier die door middel van

school vrij kiezen. De consequentiedaarvan is: scholen zijn daardoorsteeds meer van elkaar gaan verschil-len. Als je in een buurt meer cafés ofin een stad meer hockeyclubs hebtzie je precies hetzelfde. Dat is eenonontkoombare ontwikkeling in eenland waar ouders mogen kiezen. En,let wel, dat is heel uniek.

In Parijs had ik onlangs een monteurop bezoek van de Franse PTT. Dievertelde me het volgende. Hij heefttwee zoontjes en woont in het 17dearrondissement. Die wil hij op eengoede school, maar omdat de buurtwaar hij woont grotendeels wordtbevolkt door laag opgeleiden is hetniveau van het onderwijs er laag. Hijmoet dus of verhuizen naar eenduurdere buurt of zijn kinderen naareen privé-school sturen. Beide optieszijn te duur. Dus maken zijn kinderenstraks een kansarme start. De situatiein Amerika en Engeland is min ofmeer dezelfde. In Nederland daaren-tegen biedt het onderwijs iedereen demogelijkheid tot opwaartse mobili-teit. Het principe van vrije school-keuze moeten we dan ook koesteren.

Conclusie: dat scholen steeds meergaan verschillen is onontkoombaar.Dus kun je ze niet centraal aansturenzoals we dat vroeger deden. Dat aan-sturen is dus de taak van besturen.Een tweede aandachtspunt: de vak-bonden. Dat zijn binnen ons onder-wijsbestel heel curieuze clubs. Ze zijner om de rechtspositie van leraren,met name die van hun leden, tehandhaven. Maar daarnaast werpenzij zich ook op als hoeders van hetonderwijs en bemoeien zich met hetonderwijsbeleid. En dat doen ze langniet altijd op de manier waarop hunleden dat willen. (Wat dat betreft ishun rol vergelijkbaar met die van deANWB. Daar ben ik lid van vanwegede wegenwacht. Maar in mijn naamprotesteren ze ook tegen het kwartje

van Kok of tegen rekeningrijden.)Bovendien: wat goed is voor hetonderwijs en wat goed is voor deleden, die twee bijten elkaar gere-geld. Hét voorbeeld is natuurlijk hetHOS-akkoord geweest. Goed voor deleden, desastreus voor het onderwijs.Ander voorbeeld: ADV. Leuk voor de

leden, slecht voor met name hetbasisonderwijs. Onderwijs in alloch-tone talen werd gehandhaafd niet omonderwijskundige wenselijkheid maarom de betreffende leraren hun werkte laten behouden. Laatste voorbeeld:de minister benoemt een commissie‘voor een samenhangend stelsel vanonderwijsberoepen’. De ministerbenoemt de leden à titre personnel.Walter Dresscher, de voorzitter vande AOb, noemt het passeren van debonden daarbij absoluut onaccepta-bel, ondemocratisch en niet transpa-rant, terwijl ik dan denk: eindelijkneemt de overheid nou eens de ver-antwoordelijkheid voor zijn eigenwerk.Uw voorzitter toonde zich vanoch-tend verheugd omdat ‘het AOb-standpunt een heel eind in onze rich-ting is opgeschoven’, maar die bondbehoort helemaal geen mening tehebben over meer of minder wiskun-deonderwijs. Die mening is ook geen

de plaats leraar in een bepaald vak.Deze opvatting heeft zijn stempelgedrukt op de ontwikkeling van hetonderwijs de afgelopen decennia.Opleiding in twee vakken, 3de graadswerd zomaar 2de graads, 2de graadsgebied werd steeds verder uitgebreid,1ste graads werd financieel onderge-waardeerd. Overigens betekent ditniet dat ik meen dat een leraar zichniet ook vakinhoudelijk verder kanontwikkelen. Waar het om gaat is datde vakdeskundigheid van de leraar inhet beleid stelselmatig is gebagatelli-seerd. Terwijl iedereen weet hoebepalend de passie van een leraarvoor zijn vak kan zijn voor de leer-lingen. Iedereen kan daar uit zijneigen schoolherinnering voorbeeldenvan geven. Het belang van het vakheb je mij dan ook nooit horen rela-tiveren. Maar daarnaast vind ik weldat leraren ook belangstelling moe-ten hebben voor onderwijs in alge-mene zin. De huidige ontwikkelingenin het onderwijs maken dat meer danooit gewenst. Noodzakelijk zelfs.

Over die ontwikkelingen. Kern daar-in: de autonomie van de scholen.Niet iedere verandering betekentvooruitgang. Geldt dat nu ook voorde autonomievergroting van de scho-len. Daar wordt vaak tegenaangeschopt. Gepleit wordt voor eenterugkeer naar de vroegere wijze vanfinanciering. Laat ik als voorbeeldnemen de brugklasdiscussie van eni-ge tijd geleden. De brede brugklas, zowerd geconstateerd, verdwijnt. Dereacties van schoolleiders: bij onshelemaal niet (Friese platteland), debrugklas is niet meer van deze tijd(dit geluid kwam uit de grote stedenin de Randstad). De onderwijssituatieis, afhankelijk van de plek waar deschool staat, klaarblijkelijk heel ver-schillend. Oorzaak: diversificatie vande maatschappij. En nu kom ik bijeen van de wezenskenmerken vanons onderwijs: mensen mogen een

Verenigingsnieuws

‘devakbondenzijn heelcurieuzeclubs’


In Nederland hebben we geen ouder-club. Alleen vakbonden en politicidie nauw met elkaar zijn verbonden.Onderwijs is daardoor een financieelen arbeidsrechtelijk onderwerp. Ditheeft gevolgen. In Frankrijk zijn deuitgaven per VO-leerling per jaar8120 euro. In Nederland 5600.Schoolbesturen bezitten steeds meerautonomie. Die besturen zijn zichgaan organiseren in grotere gehelen.Dat is het belang van die bestuurders.Lang niet altijd dat van de scholen.Er gaat ook steeds meer geld van descholen naar die bestuursorganen. Zebetalen zichzelf ook steeds hogeresalarissen. Uit het geld dat ze krijgenvan de Rijksoverheid wordt een deelgereserveerd.Die autonomie heeft daardoor duide-lijk uitgesproken nadelige effectenvoor de scholen en dus voor hetonderwijs.Ik vind dat leraren zich voor eenpaar dingen moeten sterk maken.1. Dat, net als in het verleden, 70%van de personele gelden die naar debesturen gaan, wordt besteed aan deuitvoering van het onderwijs. Van die30% wordt betaald: bestuur enbeheer, management, reserveringen,etc.2. Dat de salarissen van bestuur enmanagement in de pas lopen met dievan de leraren.3. Dat uw vakbond zijn activiteitenbeperkt tot die taken waartoe u lidbent van een bond: onderhandelenover rechtspositionele regelingen enniet allerlei onderwijspolitieke activi-teiten ontplooit.

Leraren zijn als besten in staatbeleidsvoornemens op het gebied vanhet onderwijs – niet alle beleidsvoor-nemens, maar die welke de dagelijkspraktijk betreffen – op hun merites tebeoordelen. Wat uw vak betreft doetu dat uitstekend. Ik denk dat er zel-den zo’n energieke en eensluidendeserie van lobby-activiteiten is

geweest. Ik kan me er geen enkelevoor de geest halen. Maar als hetgaat om meer algemene zaken, blij-ven leraren onzichtbaar.Als een minister van Justitie iets vanplan is wat advocaten liever niet wil-len, zitten er meteen in allerlei praat-programma’s goedgebekte advocatendie ons wijsmaken dat de rechtsstaatNederland in acuut gevaar is.Als een minister van Onderwijs ietsvan plan is wat leraren niet zien zit-ten, hoor je niks, of zit er een verte-genwoordiger van de bonden of eenpoliticus, of bestuurder, of schoollei-der, en allemaal hebben ze een ab-stract, algemeen verhaal. En daarovertuig je niemand mee.Maar de leraar van vlees en bloed,die zich oprecht boos maakt zonderte vervallen in de particuliere situatievan zijn school, die heb ik nog nooitgezien.Indertijd promoveerde ik op eenproefschrift getiteld ‘Het Beroep vanLeraar’. Een vriend van me, tandarts,zei: als dat over mijn beroep zou ver-schijnen, zou iedere tandarts datkopen. En omdat er meer leraren zijndan tandartsen, dacht hij dus dat ikrijk zou worden. Maar voor lerarengeldt: hun beroep en hun werkbetreft primair hun vak. Leraren heb-ben in het algemeen niet de behoeftehun werk te plaatsen in een brederperspectief dan dat van hun vak ofvan hun school. Dat vind ik heel ver-klaarbaar, daar is ook niets mis mee,maar dat moet wel veranderen, en ikzal u vertellen waarom.

In het verleden kon je als leraar kla-gen over de ontwikkelingen in hetonderwijs, en de schoolleiding klaag-de eensgezind mee. Logisch: de orga-nisatie van de school, van het onder-wijs, de werksituatie van de leraar ènvan de schoolleider, dit alles werd totin detail door Zoetermeer bepaald.De positie van de leraar had, in ver-gelijking met die van andere hoog

Verenigingsnieuws


cent waard want wat voor het enevak erbij komt, gaat er elders af. Enwat denkt u dat die bond doet als zijmoet kiezen? Dan heeft zij uiteraardgeen mening, want dat andere vak,dat zijn ook leden.

Waarom zoveel aandacht voor de rolvan de bonden? Omdat hun positieniet in overeenstemming is met huntaak. Toch is het zo dat als eenminister tot overeenstemming komtmet de bonden, die minister kandoen of laten wat hij of zij wil, ofbeter, wat die twee willen.Dit betekent dat in het onderwijsbe-leid vooral gekeken wordt naarfinanciële en politiek-ideologischezaken. Dat laatste heeft ons dusopgezadeld met een politiek correctmaar voor het basisonderwijs desas-treus vrouwenvoorrangsbeleid bij debenoeming van directeuren, een ein-deloze middenschooldiscussie uit-mondend in de rampzalige basisvor-ming, het de nek omdraaien van demavo, om maar enkele voorbeeldente noemen.Wij kennen in Nederland niet eeninstantie die opkomt voor goedonderwijs, onderwijs dus zoals deklanten, in casu de ouders, dat wil-len. Hoe zit dat elders? Kent menelders wel een instantie die een vuistkan maken en alleen maar het belangvan goed onderwijs beoogt?In België, de Verenigde Staten enFrankrijk zie je dat ouders goed zijngeorganiseerd. Chirac laat zich graaguitnodigen om te komen sprekenvoor zo’n club waar er in Frankrijkettelijke van zijn met miljoenenleden. Die clubs protesteren bijvoor-beeld tegen de stijging van de prijsvan schoolboeken als die stijginghoger ligt dan de kosten van levens-onderhoud. Of omdat er wordt bezui-nigd op onderwijsassistenten ofomdat de regering de leeftijd waaropkinderen naar school mogen wil ver-hogen van 2 naar 3 jaar.

meer zijn gaan vormen, waar lerarenen directie zich eensgezind tegenverzetten, maar in de meeste gevallenbepalen directie en bestuur samen, inoverleg, het beleid.

Er is dus in veel gevallen sprake vanpolarisatie tussen leraren en direc-tie/bestuur. Dat was vroeger niet zoen dat is dus een gevolg van de ver-anderde verantwoordelijkheden vandirectie/bestuur.Daarmee ben ik gekomen bij waarhet mij vandaag om gaat. En dat isdat de rol van de leraren niet is meeveranderd. En dat is logisch, want indie ontwikkelingen werden ze ooknooit betrokken.

De gepolariseerde verhouding, hoeverklaarbaar ook uit het recente ver-leden, is op zich verwonderlijk. Wantschoolleiding en leraren hebben opdetails dan wel hier en daar verschil-lende belangen, grosso modo strevenzij hetzelfde na. Namelijk een schooldie naar tevredenheid van personeel,leerlingen en ouders functioneert.Gespannen verhoudingen tussendirectie en leraren, en ook tussenleraren onderling, hebben hun weer-slag op die school, op het functione-ren dus van die school naar tevreden-heid van directie, leraren enleerlingen.

Wat moet er nu veranderen, en hoekan dat?Autonomie houdt in dat de organisa-tie zelf oplossingen zoekt voor deproblemen waarvoor zij zichgeplaatst ziet. In het onderwijs is ditsteeds opgevat als: de directie/bestuur zoekt oplossingen.Maar, in een moderne arbeidsorgani-satie met hoog opgeleide medewer-kers moeten de oplossingen komenuit de organisatie zelf, van de werk-vloer, en zo lang dat niet zo is wor-den de beslissingen niet gedragendoor de medewerkers die deze moe-

ten uitvoeren en ontstaan er wrijvin-gen. En dat is wat nu in het VO, HBOen MBO op veel plaatsen gebeurt.Een goed voorbeeld is het lerarente-kort. Stel: u als sectie wiskundeslaagt er niet in een goede leraar tevinden als opvolger van een collegadie met pensioen gaat. Beste sectiewiskunde, hoe denken jullie dat pro-bleem op te lossen. Uitgaande vanhet gegeven dat een leraar x euro perjaar kost. Wat voor alternatieveoplossingen weten jullie te beden-ken? Kom alsjeblieft met voorstellen.Ander voorbeeld: Beste leraren, wehebben de laatste tijd veel lesuitvaldoor zwangerschap, burn-out en hetniet kunnen vinden van vervanging.Dat geeft veel onrust en leerachter-standen. Het spaart ook veel geld uit.Nu zijn de lusten voor het bestuur(uitgespaarde salariskosten) en de las-ten voor de leraren (veel onrust, leer-achterstanden). Hoe lossen we dit op?

Concluderend.De autonomie is onomkeerbaar.Het is in het belang van de scholendat besturen niet te klein, maar ookniet al te groot worden.De autonomie moet er zijn voor descholen.Een min of meer autonome schoolkan alleen maar goed functionerenals de gang van zaken wordt gedra-gen door de leraren.Daarbij gaat het niet om formele zeg-genschap, maar om het gezamenlijkvinden van oplossingen voor alleproblemen met betrekking tot onder-wijs en lesgeven waar de school zichvoor geplaatst ziet.Ik wens u daarbij succes.

Over de auteur

Dr. Leo Prick studeerde Nederlands en

psychologie, en is tegenwoordig publicist en

onderwijsadviseur. Bekend in brede onderwijs-

kring is zijn wekelijkse onderwijscolumn in

NRC Handelsblad.

opgeleiden, een heel uitzonderlijkkarakter. Zijn werksituatie werd totin detail door de overheid bepaald.Zijn vrijheid van werken was groot,maar wanneer en waar, dat was voorhet hele jaar vastgelegd. Weliswaardoor de directie, maar conform dedirectieven van het Ministerie vanOCenW en die gaven geen enkelespeelruimte. Dat gold het aantal les-uren per klas, de duur ervan, aantallesuren per vak, etc. Maar inmiddelsis die situatie ingrijpend veranderd.Scholen, schoolleiders, bestuurders,bepalen grotendeels zelf de regels.Voorbeeld: 40 of 45 minuten roos-ters. Dat is door de scholen bedacht.Die zagen daarin een maatregel voorefficiency, bezuinigingen dus, die deRijksoverheid nooit had durvennemen. Dan had iedereen geroepen:sigaar uit eigen doos. Maar nu heb-ben schoolbesturen dat ingevoerd,het aantal lesuren voor leraren zelfsverhoogd en zijn naar de pers gelopenom die te vertellen dat de leraars-taak is verlicht.Als gevolg van de veranderde ver-antwoordelijkheden van directie enbestuur is de positie van leraren eenandere geworden. De leraar dieklaagt, vindt niet langer de schoollei-ding aan zijn zijde, want de klachtenbetreffen op zijn minst ten dele keu-zes die de schoolleiding heeftgemaakt. Klagen heeft daardoor eenandere lading gekregen, die van niet-coöperatief, querulant.Leraren noch schoolleiders hebbendeze ontwikkeling goed doordacht.Dat blijkt bijvoorbeeld uit het feit datschoolleiders de leraren zien als debelangrijkste belemmering om terealiseren wat hen voor ogen staat.Leraren van hun kant hebben meestalweinig goede woorden over voor hunschoolleiding of hun -bestuur. Descheiding tussen schoolleiding enbestuur is niet altijd duidelijk. Som-mige besturen zijn namelijk zo grootdat ze een soort van Klein Zoeter-

Verenigingsnieuws


weinig afwisseling is voor de leer-ling.Het ontbreken van statistiek is vooreen groot aantal leerlingen in hetnadeel. Voor veel leerlingen is demeetkunde niet altijd even gemakke-lijk, zeker als het meetkunde in deruimte betreft. Statistiek ligt voorvelen toch wat gemakkelijker.Geen meetkunde maar wel statistiekgeeft een enigszins zwaar accent oprekenen. De veelkleurigheid is er af.We vragen ons in elk geval af, of de

vmbo-leerling wel gebaat is bij dezeafwisseling. Daarnaast bereiken onsberichten dat als gevolg van dezewisseling van domeinen binnen descholen soms al te vroeg een domeinwordt afgesloten.De samenhang met andere vakkenkomt daardoor wellicht onder druk testaan.Kortom: uitsluiting van een domeinin het centraal schriftelijk examenlijkt ons niet langer verantwoord.

Verenigingsnieuws


V

Van de bestuurstafel[ Wim Kuipers ]

VmboHet bestuur heeft een brief gestuurdaan het ministerie met betrekking totde keuze die gemaakt moet wordenuit de domeinen. Zoals u weet is,afwisselend uit het examenprogram-ma voor vmbo, òf meetkunde òfinformatieverwerking/statistiek aande beurt.De werkgroep vmbo adviseerde hetbestuur om het ministerie te vragendeze regeling op te heffen.Het examen oogt saai doordat er

Uit: CEVO-mededeling 19 augustus 2003 (CEVO-03-449), Gele Katern 2003, nr. 19

Puzzel 795 - Leefruimte voorde pentomino’s

Het is weer eens tijd voor een pentomino-opgave. In figuur 1 zijn de twaalf pentomino’sop een (onzichtbaar) vierkant eenheidsroostergeplaatst met de randen van de pentomino’slangs roosterlijnen. De pentomino’s rakenelkaar niet, zelfs niet met een hoekpunt, en zekomen evenmin tegen de rand. De oppervlaktevan de pentomino’s is bedoeld als 5. Deoppervlakte van de rechthoek is dus 204(1217). Het is misschien al op het eerste gezichtduidelijk dat de rechthoek, met behoud vanbovenstaande eigenschappen, wel iets kleinerkan.

OpgaveProbeer de kleinst mogelijke rechthoek tevinden.

Ooit merkte een inzender op, dat opgaven diemet een computer kunnen worden opgelost,liever moeten worden vermeden. Ik heb ineerste instantie geprobeerd daaraan gehoor tegeven, want sommige opgaven wordeninderdaad erg eenvoudig als je er eenprogramma voor schrijft. Aan de andere kant:wie besluit om een opgave door de computer telaten oplossen, mist het genoegen van het zelfpuzzelen. Bovendien moet je er dan nog steedszelf iets voor doen, namelijk een programmaschrijven. Dat is niet per se een triviale opgave,zeker niet als je naar enige elegantie streeft.

Conclusie: ook als een computer van nut kanzijn bij het oplossen van een opgave, dan nogkan ieder er op zijn eigen wijze genoegen aanbeleven. Bovenstaande opgave is hier mijns inziens eengoed voorbeeld van.

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede.Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenmet uw oplossing. De deadline is 17 maart 2004.

Veel plezier!

Puzzel 795 Recreatie[ Frits Göbel ]


FIGUUR 1

Oplossing ‘Hanoi-variaties’

Er kwamen 11 oplossingen binnen waarvan 9helemaal goed, te weten van L. de Rooij,P. Stuut, D. Buijs, W. Doyer, A. Verheul,J. Meerhof, L. van den Raadt, J.H. Draaijer, enH. Neggers. Eén oplosser beperkte zich totopgave 1. In het algemeen werden de opgavenals eenvoudig ervaren. Dick Buijs stuurde deoplossing per kerende post; Lieke de Rooij, die

hoopte in de kerstvakantie leuk te gaanpuzzelen, loste de opgaven op bij het drinkenvan een (grote?, hete?) kop koffie.

De bedoeling was een opgave te stellen waarook eventuele jongere gezinsleden in devakantie mee aan de slag konden. Ik weet nietof dat ook gebeurd is. Een setje van vijfgekleurde schijven was dan wel nodig geweest.

De eerste opgave heeft een oplossing in 43zetten en dat aantal is niet te verbeteren. Tweeinzenders hebben vergeefs geprobeerd deopgave op te lossen voor een willekeurig aantalschijven. Dick Buijs bepaalde het minimaleaantal zetten voor enkele grotere schijven-aantallen en vond, tot mijn verrassing, dat erbijvoorbeeld bij 8 schijven meer dan éénoptimale oplossing is!

De oplossing van Ton Kool muntte uit door eenzeer fraaie tekening in kleur (zie figuur 2).

De tweede opgave kan in 27 zetten en ook datis minimaal. Een oplossing is: 1B 2C 3D 2D 1D 4B 5C 4C 6B 7E 6E 8B 9F 10G9G 8G 6F 7G 6G 4E 5G 4G 1E 2F 3G 2G 1G. Hier is een generalisatie goed te doen, alhoeweléén inzender toch de mist in ging.

De ladderDe top van de ladder ziet er nu als volgt uit.

W. Doyer 180, T. Afman 160,D. Buijs 139,L. de Rooij 100,A. Verheul 99,T. Kool 96,P. Stuut 81.

De ladderprijs is dus gewonnen door WobienDoyer. De prijs voor de beste inzending van dekerstpuzzel heb ik na rijp beraad toegekend aanA. Verheul. Ik heb hierbij vooral op dewiskundige inhoud gelet.Beide oplossers van harte gefeliciteerd!

Recreatie


FIGUUR 2

Oplossing 793


KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

6 15 april 2004 2 maart 2004

7 26 mei 2004 30 maart 2004

8 24 juni 2004 11 mei 2004

woensdag 17 maart2e Conferentie ICT in de vakkenOrganisatie APS

vrijdag 19 maartKangoeroe 2004Organisatie KUN

19 en 20 maartFinale Wiskunde A-lympiade 2004Organisatie Freudenthal Instituut

dinsdag 23 maartBernoulli-lezing en lerarenmiddagRijksuniversiteit Groningen

25 en 26 maartNationale Rekendagen 2004Organisatie Freudenthal Instituut

16 en 17 aprilNederlands-Belgisch Mathematisch CongresOrganisatie KWG en BWG

donderdag 22 april4e Conferentie ICT in het onderwijsZie pagina 125 in Euclides 79-3.

vrijdag 14 meiLeve de wiskunde! Open dag voor docentenOrganisatie Korteweg de Vries Instituut

zaterdag 15 mei10e HKRWO-SymposiumOrganisatie Historische Kring Reken- enWiskundeonderwijsZie pagina 201 in Euclides 79-4.

9 juni t/m 11 juniOnderwijs Research Dagen 2004Organisatie Universiteit Utrecht

Voor nascholing zie ookwww.nvvw.nl/nascholing.html

Voor overige internet-adressen ziewww.nvvw.nl/Agenda2.html

Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer ziewww.wiskundeonderwijs.nl

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk15. De juiste toon16. Chaos en orde

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

Servicepagina

De vierde conferentie ict in de wiskundeles

‘Hands on – Br‘Hands on – Brains on!’ains on!’Donderdag 22 april 2004 in Putten

Stopt het denken als je wiskundige problemen via de

computer oplost? Of kan ict het wiskundig

denken juist bevorderen? Wordt in de praktijk

wiskunde verdrongen door ict of blijft wiskunde bij

allerlei toepassingen een belangrijke rol spelen?

APS-wiskunde en het Freudenthal Instituut organiseren

voor de vierder keer een conferentie over het gebruik

van ict in het wiskundeonderwijs. Op donderdag 22 april

in kasteel Vanenburg te Putten.

Na de openingslezing door Jelke Bethlehem (CBS) zijn er

werkgroepen waarin de ict-vaardigheid van

deelnemers vergroot wordt en werkgroepen waarin de

onderwijspraktijk centraal staat. In alle werkgroepen

kunnen deelnemers zelf aan de slag met de computer.

Net als vorig jaar vindt er ook dit jaar een ‘Webstrite’

plaats, waarin scholen strijden om de mooiste

wiskunde-website.

De kosten zijn e 295,- incl. lunch en materiaal.

Meer informatie over de werkgroepen en een

inschrijfformulier kunt u vinden op de conferentiesite

www.fi.uu.nl/ict/2004

Neem ook een kijkje op de site:www.modernewiskunde.wolters.nl

Wolters-NoordhoffPostbus 589700 MB Groningen

Nieuwsgierig?Vraag beoordelingsexemplaren aan bij de afdeling Voorlichting ExactT (050) 522 63 11 of e-mail:[email protected].

• Gescheiden delen voor

wiskunde A en B vanaf klas 4

• Volledig geïntegreerde GR

(TI en Casio)

• Veel uitgewerkte voorbeelden

en veel ruimte om te oefenen

Alberti Beckers Kuipers - archief.vakbladeuclides.nl · enig perspectief.) - Daarnaast wisselde de...

Documents

Transcript of Alberti Beckers Kuipers - archief.vakbladeuclides.nl · enig perspectief.) - Daarnaast wisselde de...