ACTA MATHEMATICA 10ACTA MATHEMATICA 10 3 TEÓRIA DIDAKTICKÝCH SITUÁCIÍ – MOŽNÉ APLIKÁCIE VO...

FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA

ACTA MATHEMATICA 10

Zborník z V. nitrianskej matematickej konferencie organizovanej Katedrou matematiky

v dňoch 6. – 7. septembra 2007

NITRA 2007

Názov: ACTA MATHEMATICA 10 Zostavovatelia: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. Doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. Doc. RNDr. Anna Tirpáková, CSc. RNDr. Dušan Vallo, PhD. Jednotlivé príspevky boli recenzované, recenzent je uvedený na konci príspevku. Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová RNDr. Kitti Vidermanová Edícia: Prírodovedec č. 270 Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 3/4038/06 „Učme matematiku na 2. stupni ZŠ zaujímavejšie, učme matematiku aplikovať“. Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa 2.10.2007 Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. © UKF v Nitre 2007 ISBN 978-80-8094-181-9 EAN 9878080941819

FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 10

3

TEÓRIA DIDAKTICKÝCH SITUÁCIÍ – MOŽNÉ APLIKÁCIE VO VÝSKUME V DIDAKTIKE MATEMATIKY

IVAN TRENČANSKÝ

ABSTRACT. V článku autor uvádza niektoré základné pojmy súvisiace so súčasnými tendenciami rozvoja didaktiky matematiky ako vednej disciplíny akceptovanej vo všetkých štátoch Európy a takmer vo všetkých štátoch sveta. Autor vychádza z dlhoročnej spolupráce s viacerými zahraničnými partnermi v Taliansku, Francúzsku, Nemecku, Španielsku, Nórsku, Fínsku, atď., ale i začínajúcu sa spoluprácu v rámci doktorandského štúdia s krajinami strednej a južnej Ameriky, ako i s krajinami v Afrike. Spomenú sa I výsledky vlastných experimentov. V práci sa snažíme o vysvetlenie významu a chápania jednotlivých pojmov didaktiky matematiky, niektoré z nich ilustrujeme na príkladoch.

O didaktike matematiky sa hovorí už niekoľko desaťročí, možno storočí a možno aj

tisícročí. Okrem pojmu didaktika matematiky sa používajú i pojmy metodika matematiky, pedagogika matematiky, teória vyučovania matematiky, a pod. Obsah týchto pojmov niekedy stotožňujeme, niekedy ich v niektorých detailoch chápeme rôzne. Tak napríklad pojem teória vyučovania matematiky vznikol u nás z potreby zdôraznenia vedeckosti v oblasti zefektívňovania metód vyučovania matematiky na rôznych stupňoch škôl. Vo frankofónnej oblasti, ale hlavne po svetovom kongrese matematikov v roku 1970 v Nice sa i v ďalších krajinách sa udomácnil pojem didaktika matematiky, ako vedecká disciplína so svojim predmetom skúmania a akceptovanými metódami skúmania. Pripomeniem, že už v roku 1965 Guy Brousseau po dohode s André Lichnerowiczom založil Výskumné stredisko pre vyučovanie matematiky v Bordeaux. Zaradený bol tento vedný odbor medzi matematické vedné disciplíny.

Je dnes ťažko povedať, ktorá práca bola prvou vedeckou prácou v oblasti didaktiky matematiky, podobne ako je to komplikované povedať v ktorejkoľvek novo vzniknutej vednej disciplíne. Faktom je, že po tomto kongrese matematikov bolo možné žiadať o granty pre vedný odbor Didaktika matematiky. Faktom je, že po roku 1970 sa napríklad vo Francúzsku začali obhajovať „malé“ i „veľké“ doktoráty v tejto oblasti (ich zoznam je možné nájsť na stránkach internetu).

Obdobná situácia bola i na Slovensku, kde najskôr boli menované komisie ad hoc pre obhajoby dizertačných prác a habilitácii, neskoršie i inauguračné konania. Nemám vedomosť o tom, že by do dnešného dňa bola obhájená práca DrSc z Teórie vyučovania matematiky (alebo didaktiky matematiky). Pri prvých obhajobách dizertačných prác (CSc.) bola udeľovaná vedecká hodnosť z pedagogických vied, neskoršie (PhD) vedecká hodnosť z vedného odboru Teória vyučovania matematiky – takto to platí dodnes.

Ako možno dnes charakterizovať vedný odbor Didaktika matematiky (u nás pod názvom Teória vyučovania matematiky)? Uveďme dve definície, prvá podľa Guy Brousseaua, druhá podľa Gérada Sensevyho:

„Didaktika ako vedná disciplína študuje šírenie poznatkov užitočných pre človeka žijúceho v spoločnosti. Didaktika sa zaoberá produkciou, šírením a učením sa poznatkov, ako i inštitúciami a aktivitami ktoré ich zjednodušujú.“ Teda didaktika ako spoločenská, či

IVAN TRENČANSKÝ

4

profesionálna činnosť, je všetko čo smeruje, či špecificky súvisí s vyučovaním určitého poznatku určitej vednej disciplíny.

Keď hovoríme o « didaktike », hovoríme o vzťahoch medzi tým čo niečo učí, tým čo sa niečo učí, poznatkom, ktorý sa musí naučiť (na základe rozhodnutia niekoho), a « prostredím» ktoré tieto vzťahy aktivizuje. Ak poznatky majú matematický charakter, hovoríme o didaktike matematiky.

V oboch prípadoch možno hovoriť o didaktickom trojuholníku, ktorého význam bude spomenutý nižšie. V každom prípade sa jedná o vzťahy medzi vyučujúcim, učiacim sa a poznatkom ktorý sa má učiacim sa získať. Základom štúdia je množina situácií, ktoré toto nadobudnutie poznatku umožňujú.

Ku každému typu matematických poznatkov možno priradiť typické organizácie

« matematických situácií »: •Akčná situácia •Situácia formulácie •Situácia validácie (dôkazu) •Situácia inštitucionalizácie

Z uvedenej schémy vyplýva i činnosť didaktika matematiky v procese prípravy a realizácie didaktickej (adidaktickej situácie) k danému poznatku. Uvedieme schématicky jej stručnú charakteristiku: I. ETAPA (didaktická transpozícia) V 70. až 80. rokoch minulého storočia sa na medzinárodných konferenciách matematikov čoraz viac začalo diskutovať o obsahu vyučovania matematiky (kurikulách). Kladú sa otázky typu: ktorú časť matematiky vyučovať a ktorú nie. Proces prechodu od poznatku vedeckého k poznatku, ktorý vyučujeme nazývame didaktická transpozícia. (V týchto úvahách sa ešte žiak ako objekt neobjavuje). Úplne sa napríklad z učebných osnov vytratilo napríklad používanie logaritmických, či iných podobných tabuliek, zaradené boli aktuálnejšie témy, predovšetkým témy, ktoré súvisia so zavádzaním IKT do vyučovania matematiky. II. ETAPA Následne za didaktickou transpozíciou sa objavuje didaktika, ktorá rieši predovšetkým problematiku epistemologických prekážok, čo značí, že poukazuje na skutočnosť, že z historického hľadiska niektoré časti matematiky boli pre matematikov náročnejšie ako iné a že tieto problémy pretrvávajú a bude potrebné akceptovať ich v príprave didaktických situácií, akceptovať ich v predovšetkým vo fáze analýzy apriori. V tejto etape úvah žiak zostáva stále v úzadí. Objavujú sa tu však faktor histórie a faktor času, teda faktory humanizácie. III. ETAPA V nasledujúcej fáze sa v didaktike objavuje žiak, zostáva však iba v úlohe „štatistu“ so svojimi výsledkami riešení zadaných úloh. Jedná sa o etapu „didaktickej štatistiky“, keď hľadáme pre rovnaké cvičenie frekvenciu rôznych výsledkov, predovšetkým z hľadiska správne – nesprávne. Žiak je tu chápaný ako „čierna skrinka“, ktorá má vstup (zadanú úlohu) a výstup (oznámený výsledok). IV. ETAPA Na základe štatistických výsledkov formulujeme hypotézy, ktoré súvisia s činnosťou „čiernej skrinky“, skúmaním nielen výsledkov, ale i pochopením „rôznych stratégií“, ktoré vedú k výsledkom. Význam majú všetky (i nepoužité) poznámky žiaka – práve oni sú

TEÓRIA DIDAKTICKÝCH SITUÁCIÍ – MOŽNÉ APLIKÁCIE VO VÝSKUME ...

5

zdrojom štúdia rôznych žiakových stratégií. Žiak zostáva v tejto fáze naďalej nemou „čiernou skrinkou“. V. ETAPA Verifikácia formulovaných hypotéz. Ich kvantitatívna a kvalitatívna analýza. V súvislosti s kvantitatívnou analýzou sa v didaktike matematiky „rozjasnieva“. VI. ETAPA Ďalším významným didaktickým pokrokom je žiakova formulácia „akčných, spontánnych viet - záverov“, i keď nepresných a neúplných, ktoré však napomáhajú riešiť ďalšie podobné úlohy. Význačným faktorom sú v tejto fáze predstavy žiakov. Pod predstavami žiakov tu chápeme rôzne „videnie“ toho istého objektu. Uveďme známe príklady z psychológie:

Všimnime si, že na prvom obrázku je možné „vidieť” buď mladú dámu s náhrdelníkom (ako pomôcka pre jej „videnie“ by mal poslúžiť druhý obrázok, kde je skrytý jej náhrdelník), alebo dámu v zrelšom veku. Druhý obrázok je rovnaký, iba v rôznych polohách. V prvom prípade väčšina z nás „vidí“ žabku, v druhom prípade koníka. VII. ETAPA K tomu, aby sme mohli pochopiť celú osobnosť žiaka, sa žiada hľadať odpoveď na otázku, kde je pôvod týchto rôznych predstáv. Potrebné je akceptovať skutočnosť, že žiak nie je sám, že je súčasťou skupiny v triede, inak povedané, že individuálna psychika sa stáva súčasťou (významným javom) skupiny - triedy. Takto sa vynára nutnosť štúdia sociálneho aspektu, ktorého súčasťou je i didaktický kontrakt.

Uvedené etapy by mal ako didaktik-výskumník, tak I učiteľ matematiky rešpektovať

pri príprave a realizácii didaktickej situácie, či už v rámci experimentu, alebo v rámci riadnej vyučovacej sekvencie. Chápeme ich ako objektívne platné a dokázane výsledky mnohých výskumov v oblasti didaktiky matematiky, predovšetkým vo frankofónnej oblasti.

IVAN TRENČANSKÝ

6

V popise siedmej etapy bol uvedený termín “didaktický kontrakt”. Vzhľadom na rôzne interpretácie tohto pojmu, napríklad na rôznych WEB stránkach internetu, uvedieme čo sa týmto chápe v našom ponímaní. Skôr ako popíšeme uvedený pojem považujeme za potrebné ujednotiť terminológiu, ktorú budeme pri jeho objasňovaní používať.

Situáciou nazývame súhrn okolností v ktorých sa jedinec (alebo skupina) nachádza, vzťahy ktoré ho spájajú s okolím a súhrn údajov, ktoré charakterizujú jeho činnosť v určitom okamihu, alebo vývoji. Situáciu nazveme didaktickou, keď jej cieľom je získanie nových poznatkov (napríklad pôsobením, činnosťou učiteľa a žiaka). Adidaktickou situáciou nazveme didaktickú situáciu organizovanú učiteľom, v ktorej žiak samostatne, aktívne koná s prostredím, s cieľom získania nových poznatkov. Konečným cieľom didaktickej (adidaktickej) situácie je dosiahnuť, aby žiak vedel získané poznatky použiť v situáciách, keď učiteľ už nebude k dispozícii. Realizácia didaktickej situácie. Realizuje sa v rámci systému, ktorý nazývame DIDAKTICKÝ SYSTÉM alebo i DIDAKTICKÝ TROJUHOLNÍK.

K lepšiemu pochopeniu jednotlivých fáz aktivity didaktika, uveďme klasický príklad, ktorý G. Brousseau realizoval na veľkej vzorke žiakov základnej školy a z realizovaných experimentov získal množstvo teoretických záverov, ktoré boli podkladom pre spracovanie Teórie didaktických situácií.

Príklad Hru hrajú dvaja hráči z ktorých každý sa snaží povedať prvý číslo 20 pridávaním čísla 1 alebo 2 k číslu, ktoré povedal protihráč; začína jeden z nich číslom 1 alebo 2 (napríklad 1), druhý pokračuje pripočítaním 1 alebo 2 (napr. 2) a povie výsledok „3“; pokračuje prvý pridaním 1 alebo 2 (napr.1), povie výsledok „4“; atď. K správnemu pochopeniu zadania úlohy, učiteľ zohrá sám niekoľko partií s jednotlivcami, alebo skupinami žiakov v triede. Hra môže mať nasledovný priebeh (nie jediný!) V ďalšej fáze hrajú proti sebe dvojice žiakov, prípadne dvojice skupín žiakov. Zaznamenávajú si priebeh hry (adidaktická situácia). Žiakov necháme hrať dovtedy, kým

Č

POZNATOK

SITUÁCIA

+2 +2+2 +2+2

1

3

5

6

7

9

11

13

15

16

18

20 - vyhráva

+2+1 +1+1 +2+2

Učiteľ

Žiak


7

nevyslovia nejakú vyhrávajúcu stratégiu (často pomerne rýchlo prídu na to, že ak sa mu-im podarí povedať číslo 17 – určite túto partiu vyhrá. V prípade vyslovenia takejto hypotézy, žiadame od žiakov vysvetlenie; zvyčajne je nasledovné: ak poviem 17, protihráč má dve možnosti, povie buď 18, alebo 19, v oboch prípadoch už môžem povedať číslo 20 ako prvý. Obdobným spôsobom (pozorovaním) žiaci zistia, že výhru má zaručenú ten, kto prvý povie číslo 14 (za predpokladu, že neurobí chybu v v nasledujúcich krokoch partie). Experimentálne bolo overené, že žiaci (10 roční) objavili rad čísel, ktoré je potrebné vysloviť k získaniu výhry:

2, 5, 8, 11, 14, 17, Je zrejmé, že výhru má zaručenú ten, kto začína hru, pričom musí začať číslom 2.

Z vyššie uvedeného postupu nebude ťažké čitateľovi nájsť všetky fázy práce učiteľa –

didaktika uvedené vyššie. Zdôraznime ešte, že uvedený príklad je i príkladom na aplikáciu adidaktickej situácie. Pod adidaktickou situáciou rozumieme (podľa Brousseaua) situáciu v ktorej Učiteľ nevystupuje ako nositeľ poznatku, ktorého objavenie si želá. Žiak vie dobre, že problém bol vybratý na to, aby mu umožnil získať nový poznatok, musí však vedieť, že tento poznatok sa úplne nachádza vo vnútornej logike situácie. G. Sensevy upresňuje, že v adidaktických situáciách sa predpokladá za postačujúce, že interakcie žiakov s prostredím sú úplne postačujúce ku konštrukcii poznatku, formulácii akčných stratégií, hodnoteniu vedomostí prostredníctvom spätnej väzby v tomto prostredí, bez toho, aby jeho aktivita bola zameraná na obsah učiteľom zamýšľaných zámerov (pod prostredím rozumieme systém zadaných zdrojov situácie, ktoré zabezpečia aktivitu žiaka i učiteľa). Dôležitou súčasťou prípravy adidaktickej situácie je jej devolúcia. Jedná sa o proces v ktorom učiteľ udeľuje žiakovi zodpovednosť za situáciu učenia sa (v adidaktickej situácii), alebo za riešenie problému a sám učiteľ akceptuje dôsledky tohto prenosu. V tejto situácii význačnú úlohu má akceptovanie existencie didaktického kontraktu, ako istých pravidiel, ktorých existencia a funkčnosť existuje nezávisle od nás. (Učiteľ čosi očakáva od žiaka - žiaci očakávajú niečo od učiteľa). Didaktický kontrakt závisí vždy od aktuálneho poznatku. Niektoré dôsledky didaktického kontraktu: - od učiteľa sa očakáva tvorba postačujúcich podmienok k nadobudnutiu poznatku a skúmať toto získavanie, keď sa produkuje - od žiaka sa očakáva akceptovanie týchto podmienok - didaktický vzťah musí pokračovať za každú cenu, atď.

Príklad - 97 žiakom základnej školy bola zadaná nasledovná úloha: Na lodi je 26 oviec a 10 kôz. Aký je vek kapitána? Z 97 žiakov 76 udalo vek kapitána, pričom boli použité čísla v zadaní úlohy (Senzevy) Vysvetlenie v zmysle didaktického kontraktu (z ohľadu žiaka): - Zadaná úloha má jedinú odpoveď - K získaniu odpovede je potrebné použiť všetky údaje zadania - Žiadne doplňujúce údaje nie sú potrebné - Riešenie súvisí s posledne získanými poznatkami Poznámka Učiteľ nesmie zadať neriešiteľné úlohy (zadávanie tzv. otvorených problémov nepovažujeme za úlohy neriešiteľné)

IVAN TRENČANSKÝ

8

Niekoľko významných faktorov didaktického kontraktu: - Vytvorenie podmienok ktoré vedú k cieľu vyučovania - Pomôcka pre žiakov – použiteľné postupy - Pomôcka pre učiteľa - Interpretácia žiakových odpovedí - hľadanie zmyslu (matematika - spoločnosť)

Záverom adidaktickej (ale i každej didaktickej) situácie má byť inštitucionalizácia nového poznatku. Jedná sa o: - Oficiálne akceptovanie objektu poznania žiakom i učiteľom – jedná sa veľmi dôležitý sociálny jav a podstatnú fázu didaktického procesu. - Je to proces v (počas ktorého) ktorom učiteľ naznačuje žiakom vedomosti alebo ich praktické použitie, ktoré si majú zapamätať ako očakávaný vklad učenia sa. - Z lingvistického hľadiska sa jedná o zavedenie zaužívanej terminológie.

V náväznosti na inštitucionalizáciu je potrebné vyvarovať sa niektorých negatívnych

javov, ktoré bolo možné počas experimentov pozorovať (Brousseau). Najfrekventovanejšie z nich sú nasledovné: - Jourdainov efekt – jednoduché žiakove závery sú interpretované ako prejav vedeckého objavu. - Topazov efekt – akonáhle má žiak problém pokračovať, učiteľ sa snaží dosiahnuť za každú cenu jeho pokračovanie (tzv. našepkávajúce otázky). - Efekt nedoceneného očakávania – veriť, že očakávaná odpoveď je samozrejmá. - Metakognitívne skĺznutie – nástroj vzdelávania sa stáva cieľom vzdelávania. - Dienesov efekt - Nahradiť matematický poznatok, ktorý chceme naučiť riešením problému ktorého materiálne riešenie možno ľahko získať. (Zovšeobecnený Jourdainov efekt). Príklad Žiaci majú vytvoriť permutácie istého počtu jogurtových pohárikov . Učiteľ im vysvetlí, že študovali matematickú štruktúru konečnej grupy - Papyho efekt (dvojaké použitie analógie) - Nahradenie matematickej aktivity aktivitou manipulácie so symbolmi (Zovšeobecnený Topazov efekt). Príklad Množiny – zjednotenie množín a súčet prirodzených čísel Na záver uvedieme príklad, ktorý sme použili v rámci experimentu organizovanom našim pracoviskom a pracoviskom na Univerzite v Palerme. Keďže celý experiment bol publikovaný (Spagnolo, Trenčanský), uvádzame iba jeho zadanie, čitateľ článok môže nájsť v citovanej literatúre, ako i na stránkach internetu.

Príklad V rovine sú dané dva body A, B (ich vzdialenosť označme d), daná je ďalej usporiadaná dvojica reálnych čísel a,b. K ľubovoľnému bodu M roviny zostrojme bod M´ tak, aby MBbMAaMM ..' += Nájdite súvislosť úsečky AB a umiestnením vektora 'MM (vyslovené tvrdenie skúšajte najskôr pre jednu, neskoršie pre ďalšie konkrétne usporiadané dvojice reálnych čísel) (Riešenie: Existuje bod G taký, že ABAG ba

b .+= , potom je konštrukcia bodov M´ veľmi jednoduchá).


9

Záver

Článok mal snahu poukázať na niektoré skutočnosti, ktoré napomáhajú metódou vedeckého skúmania overovať hypotézy didaktiky matematiky, upozorniť na niektoré základné pojmy, ktoré sa v zahraničí (franko- i anglosasko-fónnej oblasti) používajú a napomôcť tak k ujednoteniu medzinárodnej terminológie v oblasti didaktiky matematiky a tak napomôcť orientovať sa v zahraničnej literatúre.

LITERATÚRA

[1] Brousseau G.: La Théorie des situations didactiques, Pensé sauvage,

[2] Spagnolo F., Trenčanský I.: Efficacité de l´enseignement du calcul vectoriel, Quaderni di Ricecrca in Didactica, Palermo

[3] www.ardm.fr

[4] www.ematik.sk – Lekcie z TDS

[5] Dizertačné práce z TVM v SR

[6] Rôzne výskumné úlohy z TVM na FMFI UK

doc. RNDr. Ivan Trenčanský, PhD. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Mlynská dolina F-1 SK – 842 48 Bratislava e-mail: [email protected]


11

MIESTO MATEMATICKÝCH ZNALOSTÍ V ŠTRUKTÚRE ĽUDSKÉHO POTENCIÁLU

EMIL KOMÁRIK

ABSTRACT. Štúdia objasňuje pojem ľudského potenciálu v kontexte kultúry a osobnosti, informuje o jeho troch zložkách: schopnostiach, štýle a vedomostiach a diskutuje medzigeneračný prenos matematických znalostí. Informuje o predpokladoch úspešnosti v matematike a o cieľoch vzdelávania a napokon prezentuje výsledky výskumov úspešného vyučovania matematiky.

Potenciál

Pretože slovné spojenie ľudský potenciál má priveľa rôznych významov, je asi potrebné definovať, čo budeme ním rozumieť v tejto štúdii. Vychádzame z hierarchickej koncepcie sebariadenia človeka prostredníctvom šiestich superponovaných živých systémov jednej osoby (Komárik 2007). Kľúčom k porozumeniu funkcie matematických znalostí v ľudskom živote je rozdiel medzi potenciálom, ktorým disponuje organizmus, potenciálom ktorým disponuje kultúra a potenciálom, ktorým disponuje osobnosť.

Keith Devlin vydal v r. 2005 knihu Matematický inštinkt, v ktorej prezentoval úžasné schopnosti živočíchov, súvisiace s riadením pohybu. Konštatuje, že organizmy disponujú regulačnými sústavami, ktorých technické napodobenie vyžaduje mimoriadne zložité matematické výpočty. Platí to pre živočíchy a rovnako pre človeka. Príkladom môže byť zabezpečenie konštantnosti zrakového vnemu napriek odlišnej vzdialenosti objektu, fixovanie zraku na predmet pri pohybe tela, zachovanie rovnováhy pri pohybe, odhad pohybu lopty pred jej zachytením rukou, zacielenie basketbalovej lopty na koš a podobne. Problém je, že tieto zložité operácie sú uskutočňované riadiacim systémom pohybového aparátu a nijako ich nie je možné previesť na úroveň jazyka. Nijako ich nemožno využiť na riešenie iných problémov než len práve ne tie na ktoré sú naprogramované.

Tie matematické znalosti, ktoré tvoria bohatstvo a potenciál ľudskej kultúry sú uložené v knihách. Kultúra je ľudský výtvor. Je to špecifická odpoveď spoločnosti na všeobecné otázky stojace pred ľudstvom. Jej najzákladnejším znakom je, že trvá dlhšie ako jedno ľudské pokolenie. Musí byť preto generačne prenositeľná. A to by nebolo možné, keby jej obsah nebol fixovaný na komunikačných médiách. Matematické znalosti sú súčasťou kultúrneho potenciálu ľudstva. A dajú sa využívať na riešenie problémov prežitia spoločnosti. ako celku. A ako každý kultúrny potenciál sú aj matematické znalosti uložené v knihách mŕtve, kým sa nestanú súčasťou potenciálu ľudskej osoby, kým sa nestanú obsahmi a metódami, ktoré umožňujú riešiť problémy minimálne na dvoch rovinách.

V prvej rovine jednotlivec vystupuje ako stavebný prvok spoločnosti a kultúry to znamená jej tvorca a udržovateľ, čo prakticky znamená že musí byť expertom, ktorý disponuje čo najrozsiahlejšími matematickými znalosťami. Druhú rovinu predstavuje situácia, kde jednotlivec stojí nad spoločnosťou, a výdobytky kultúry využíva na vlastné prežitie a na vlastný rozvoj., To znamená, že matematické znalosti potrebuje a využíva iba na riešenie osobných problémov v kultúre a spoločnosti, ktorá tvorí jeho životné prostredie. Je evidentné, že na riadenie vlastného života v civilizovanej spoločnosti

EMIL KOMÁRIK

12

potrebuje jednotlivec iný typ matematických znalostí, ako keď funguje čoby stavebný prvok spoločnosti ako celku. Vo vzťahovom rámci kultúry a spoločnosti, strojný inžinier si musí osvojiť celkom slušný rozsah matematických znalostí, ale napríklad, spisovateľ sa vcelku bez matematických znalostí zaobíde, ale obaja, spisovateľ aj inžinier musia zvládnuť podobné matematické znalosti na to, aby sa nedali oklamať pri výpočte mzdy a honorárov a pri nákupe v hypermarkete..

Ľudský potenciál spoločností tvorí kultúrny potenciál osvojený členmi spoločnosti, súhrn všetkých poznatkov, a tvorivých síl, ktoré sú schopní vynaložiť na riešenie spoločných problémov všetci jej živí členovia.

Ľudský potenciál osobnosti sú len tie zdroje, ktoré má osvojené kultivovaný jednotlivec a ktoré môže využiť na vlastné prežite a rozvoj. Asi najjednoduchšie sa tento potenciál dá vyjadriť prostredníctvom tradičnej triády duševných mohutností: rozumu citu a vôle. Matematické znalosti nesporne patria do jednej z týchto kategórií, do sféry rozumu. Rozum povedané veľmi zjednodušene obsahuje tak biotický dedičný faktor nadania a talentu ako aj kultúrny faktor naučených vedomostí znalostí a spôsobilostí.

Urobiť matematické znalosti súčasťou rozumu jednotlivca možno iba medzigeneračným prenosom kultúrneho potenciálu, čiže vyučovaním a učením sa. V súvislosti s tým sa vynárajú niektoré problémy ktoré stoja za diskusiu. Ako prvá sa ponúka otázka, na akom mentálnom substráte sa vyučovanie matematiky uskutočňuje, aké predpoklady umožňujú osvojovanie si matematických znalostí ako sa tieto predpoklady vyvíjajú, s akými schopnosťami a spôsobilosťami vstupuje šesťročné dieťa do procesu vzdelávania.

Ako druhý problém sa ponúka otázka obsahu vzdelávania. Je evidentné, že rozsah znalostí, ktoré jednotlivec potrebuje ako expert je podstatne odlišný od toho, ktorý potrebuje ako konzument a prípadne aj udržovateľ kultúrnych statkov.

Ako tretí sa ponúka problém metódy vzdelávania. Akými postupmi sa dieťa najlepšie naučí porozumieť kvantite a pracovať so vzťahmi.

Dnešný stav poznania ľudských intelektových predpokladov rozlišuje tri kategórie spôsobilostí: Schopnosti, štýly a znalosti a pochopiteľne ich vzájomné kombinácie.

Schopnosti

Psychológovia skúmajú ľudské intelektové predpoklady okolo sto tridsať rokov sto rokov. Prvou oblasťou skúmania bola tá časť, ktorá ostáva v priebehu života relatívne stabilná málo ovplyvniteľná učením a ktorá spôsobuje, že ľudia pri riešení rovnakých problémov podávajú rozdielne výkony. V literatúra sa pre ňu ustálil názov inteligencia.

V r. 1904 Charles Spearman publikoval prelomovú štúdiu, v ktorej podal psychometrickú definíciu inteligencie, vyvinul základné psychometrické indikátory ako validitu, reliabilitu, a vytvoril teóriu faktorovej analýzy. V tejto štúdii zistil, že všetky indikátory rozumových schopností spolu pozitívne korelujú a formuloval teóriu inteligencie ako všeobecného faktora rozumových schopností. Konštatoval že každý test inteligencie obsahuje dva faktory: prvý spoločný všetkým testom g-faktor a druhý špecifický pre jednotlivé testy. Z týchto špecifických testov najväčšiu váhu majú dva, verbálny a numerický. Leon Luis Thurstone publikoval v r.1938 prácu v ktorej použil iný prístup k faktorovej analýze a na základe analýzy údajov ľudí, ktorí mali podobný stupeň inteligencie došiel k názoru, že inteligencia pozostáva siedmich nezávislých faktorov ktoré nazval primárnymi schopnosťami. Zaradil tam, slovnú fluenciu, verbálne porozumenie, priestorovú predstavivosť, číselnú pohotovosť asociatívnu pamäť, porozumenie a

MIESTO MATEMATICKÝCH ZNALOSTÍ V ŠTRUKTÚRE ĽUDSKÉHO…

13

percepčnú rýchlosť. Keď však neskôr svoje skúmania opakoval s ľuďmi s rôznym stupňom inteligencie teda s normálne rozloženou populáciou zistil, že výsledky sa skôr prikláňajú ku koncepcii jednotnej inteligencie. Thurstone riešil problém kompromisom v ktorom našiel svoje miesto i g faktor i primárne schopnosti.

V roku 1940 Raymond B. Cattell objavil v inteligenčných testoch dva druhy inteligencie. Zistil, že niektoré testy, také ktoré na riešenie úloh vyžadujú minimum predbežného vzdelania a znalosti príslušnej kultúry merajú iný typ inteligencie ako tie, v ktorých sú slovné úlohy a úlohy ktoré vyžadujú znalosť prostredia. Prvý typ inteligencie nazval fluidnou a druhý inteligenciou kryštalizovanou. Toto sú základné psychometrické koncepcie inteligencie, založené na faktorovej analýze. V súčasnosti sa objavili dve koncepcie viacnásobnej inteligencie, ktoré faktorovú analýzu ignorujú.

Robert J. Sternberg nazýva svoju koncepciu inteligencie triarchickou pretože našiel tri

zložky inteligencie komponentovú, skúsenostnú a kontextovú. Komponentová inteligencia je to čo merajú štandardné testy, komponentovou sa nazýva preto lebo Sternberg hovorí že riešenie úlohy má pozostáva z komponentov a metakomponentov. Takže nejde len o to ako človek rieši úlohu (to je komponent)ale aj oto akú stratégiu riešenia úlohy zvolí. Skúsenostná inteligencia Skúma ako sa človek dostáva k novým nápadom. Ako jeho skúsenosť formuje vnútorný svet a ako vnútorný svet ovplyvňuje ďalšie skúsenosti. Tri schopnosti tvorby nápadov selektívne kódovanie, selektívna kombinácia a selektívne porovnávanie. Selektívne kódovanie je schopnosť objaviť skutočne kritickú informáciu v probléme. Ako keď A. Fleming v pokazenom pokuse objavil informáciu, že pleseň ničí baktérie. Selektívna kombinácia je schopnosť dať čiastkové informácie do veľkého celku ktorý dá potom nový celostný obraz, ako keď Darwin dal do nového kontextu informácie dostupné všetkým. Selektívne porovnanie je schopnosť vidieť staré veci novým spôsobom. Ako keď Archimedes objavil že voda vytekajúca z vane umožňuje odmerať objem nepravidelných telies. Kontextová inteligencia je to čo možno inak nazvať hrovou alebo obchodníckou inteligenciou, zahrnuje schopnosť jednať sa, hrať karty, manipulovať s prostredím. Túto inteligenciu testy veľmi nemerajú ale je kľúčovým predpokladom pre vedenie vojen politickú angažovanosť. hru v šachu, a vôbec aktivity v ktorých výsledok je ovplyvňovaný aj inými činiteľmi ako vlastným úsilím.

Štýl

Na rozdiel od schopností druhá zložka rozumu, štýl, neovplyvňuje bezprostredne úroveň výkonov, ale hovorí o tom, akým rôznym spôsobom riešia ľudia myšlienkové úlohy. Na rozdiel od schopností sú štýly bipolárne. Pochopiteľne štýl má na výsledok istý vplyv, ako napríklad môžeme vidieť pri skoku do výšky. Ale zase pri streľbe zistili odborníci že aj najlepší strelci používajú dva rozdielne štýly. Polohový a časový. Jeden spočíva vo fixovaní zbrane, druhý v presnom okamihu výstrelu.

Otázka štýlov myslenia a učenia je samostatný problém, ktorý by si zaslúžil podrobnejší rozbor, zmieňujeme sa o nej hlavne kvôli tomu že jedna a mediálne najznámejších koncepcií rozumových predpokladov, Gardnerova koncepcia siedmich či deviatich separátnych inteligencií, ktorá štýlovosť zahrnula do konceptu schopností. Podobný postup však volia aj ďalší autori, ktorí sa zaoberali otázkou matematických

EMIL KOMÁRIK

14

predpokladov. Gardner po viacerých úpravách pôvodného návrhu sedem druhov inteligencie ich teraz ponúka deväť

1. Lingvistická inteligencia 2. Logicko-matematická inteligencia 3. Hudobná inteligencia 4. Telovo-kinestetická inteligencia 5. Priestorová inteligencia 6. Interpersonálna inteligencia . 7. Intrapersonálna inteligencia 8. Prírodovedná inteligencia 9. Existenciálna inteligencia

Matematické schopnosti

Keith Devlin (2006) podáva klasifikáciu mentálnych kapacít súvisiacich s matematickými schopnosťami. Zaraďuje tam

1. Zmysel pre číslo vrodenú schopnosť porozumieť rozdielom v počte poradí hodnote význame a pod...

2. Číselnú schopnosť, spôsobilosť počítania a narábania s číslami ako abstraktnými entitami..

3. Schopnosť porozumenia priestorovým vzťahom schopnosť rozpoznať tvary a vzdialenosti.

4. zmysel pre porozumenie príčinam a dôsledkom 5. Schopnosť konštruovať a sledovať kauzálny reťazec faktov alebo udalostí 6. Algoritmická schopnosť 7. Schopnosť zaobchádzať s abstrakciami. 8. Schopnosť logického porozumenia 9. Schopnosť porozumenia vzťahom

Luis Ortiz-Franco (1990) posudzoval matematické schopnosti pomocou štandardných psychometrických indikátorov ako divergentné myslenie, všeobecné porozumenie, závislosť na poli, úspešnosť v matematik,e čítanie matematickej prózy, sylogistické porozumenie a riešenie slovných úloh. Chiara M. Passolunghi, Barbara, Vercelloni and Hans Schadee (2007) našli iba tri predpoklady matematického učenia: pracovnú pamäť, fonologickú schopnosť a číselnú spôsobilosť Butterworth(1999) a Dehaene (1999) konštatujú, že schopnosť vnímať kvantitu je prítomná už v prvých dňoch života ale pravdepodobne je obmedzená na základný číselný systém ľudstva pozostávajúci z číselného radu jeden, dva, mnoho. Že ide skutočne o najstarší reálne používaný číselný rad svedčí nielen to, že niektoré primitívne kultúry ho používajú dodnes, ale aj to, že väčšina jazykov ho má zakotvený vo svojej gramatike v podobe jednotného, dvojného a množného čísla podstatných mien. Piaget ukázal, že niektoré spôsobilosti potrebné pri vyučovaní matematiky sa formujú až medzi štvrtým a šiestym rokom


15

Znalosti a vedomosti

Devlin upozorňuje na to, že jednou z kľúčových úloh elementárneho vyučovania matematiky je naučiť detí prejsť od chápania čísla ako atribútu k jeho chápaniu ako entity, čo podľa Piageta sa môže v plnej miere uskutočniť až vo vývinovom štádiu formálnych operácií teda po jedenástom roku.

Je evidentné, že základná škola nemôže žiaka naučiť všetko a naraz. Medzikultúrny

prenos matematických poznatkov vyžaduje filozofické rozhodnutie o tom, čo je potrebné naučiť, čo možno utajiť a kedy treba jednotlivé zložky poznania dieťaťu prezentovať. Jedna z najúspešnejších koncepcií matematického vzdelávania - singapurský model, pracuje s piatimi aspektmi matematického vzdelávania.

1. Metakognicia, sledovanie procesu vlastného myslenia 2. Procesy, heuristika, spôsobilosť rozmýšľať 3. Pojmy číselné, geometrické, algebraické, štatistické 4. Zručnosti, odhad a zaokrúhľovanie, výpočty spamäti, komunikácia, používanie

matematických pomôcok, aritmetické operácie, algebraické operácie, spracovanie údajov

5. Postoje, ocenenie, radosť, potešenie, záujem, dôvera, vytrvalosť, Kalifornské matematické kurikulum formuluje tri základné ciele matematického vzdelávania − Konceptuálne porozumenie, porozumenie pojmom a znalosť ich použitia, znalosť

grafického zobrazenia, tvorby modelov a znalosť aplikácie, spôsobilosť rozumieť o čo v matematike ide.

− Procedurálne znalosti spôsobilosť používať správne matematické postupy, overovať ich oprávnenosť uplatňovať algoritmické riešenia a robiť geometrické konštrukcie.

− Riešenie problémov schopnosť formulovať problém, nájsť vhodné postupy a posudzovať správnosť a hodnovernosť riešení

Nemal som možnosť zistiť ako sú formulované ciele matematického vzdelávania v Slovenskej republike, ale sú pravdepodobne nesené inou filozofiou, čo sa odráža napríklad v obsahu základného učiva pre prvý ročník základnej školy. Podľa našich štandardov (Balint 2006) sa v prvom ročníku vyučuje ako základné učivo:

1. Prirodzené čísla l až 5, numerácia (16 h) 2. Sčítanie a odčítanie prirodzených čísel v obore do 5 (17 h) 3. Čísla 6, 0, 7, 8, 9,10, sčítanie a odčítanie (42 h) 4. Numerácia v obore prirodzených čísel do 20. Sčítanie a odčítanie (26 h) 5. Geometria (9 h)

EMIL KOMÁRIK

16

Kalifornské obsahové štandardy z r. 2006, založené na singapurskej koncepcii vyučovania matematiky majú ako základné učivo pre prvý ročník (kindergarten) tieto obsahy Zmysel pre číslo

1. Žiaci sa naučia vzťahu medzi číslom a množstvom 2. Žiaci sa naučia Jednoduché súčty a odčítanie do 10. 3. Žiaci sa naučia robiť odhady výsledkov učia sa ako ich robiť a rozpoznať kedy má

odhad zmysel Algebra a funkcie

1. Žiaci triedia a klasifikujú predmety: Meranie a geometria

1. Žiaci sa naučia rozumieť pojmu času a jeho meraniu rozumejú čo sú to vlastnosti a ich kvantita

2. Porovnávajú dlžku, váhu a objem telies 3. Porozumejú pojmu času a časovým údajom 4. Žiaci sa naučia pomenovať dni týždňa časti roka a pod. 5. Žiaci sa naučia identifikovať čas bežných udalostí, začiatok vyučovania čas do

postele a pod. 6. Žiaci identifikujú bežné predmety v prostredí určujú ich geometrické vlastnosti 7. Žiaci sa naučia rozpoznávať geometrické vlastnosti bežných predmetov a

pomenovať ich Štatistika, analýza údajov, a pravdepodobnosť

1. Žiaci zbierajú informácie o predmetoch a dejoch v ich okolí 2. Zobrazujú získané údaje ako obrázky a grafy 3. Žiaci zbierajú informácie o predmetoch a javoch v okolí:

Matematické porozumenie

1. Žiaci robia rozhodnutia ako by sa dali riešiť problémy: 2. Žiaci riešia problémy a zdôvodňujú svoje riešenia

D A Grouws a Kristin J Cebulla (2000) publikovali prehľad najdôležitejších výskumných výsledkov o úspešnosti osvojovania si matematiky.

1. Rozsah v ktorom majú žiaci príležitosť učiť sa matematiku priamo a rozhodne ovplyvňuje ich úspešnosť

2. Sústredenie vyučovania na zmysluplný rozvoj dôležitých matematických ideí zvyšuje úroveň žiakovho učenia

3. 3. Študenti sa môžu naučiť aj pojmy aj zručnosti pri riešení problémov

4. Dávať žiakom príležitosť aj nachádzať aj vymýšľať nové poznatky a príležitosť cvičiť čo sa naučili zvyšuje úspešnosť

5. Vyučovanie, ktoré zahrnuje aj intuitívne metódy riešení vytvorené žiakmi zlepšuje učenie obzvlášť vtedy keď sa kombinuje s príležitosťami na interakciu žiakov a vzájomnú diskusiu


17

6. Využitie malých skupín na spoluprácu pri aktivitách, riešení problémov a zadaní môže zvýšiť úspešnosť žiakov

7. Celotriedne diskusie nasledujúce po individuálnej a skupinovej práci zlepšuje výsledky

8. Vyučovanie matematiky s dôrazom na zmysel pre číslo povzbudzuje žiakov aby sa stali riešiteľmi problémov v širokom rade situácií a aby vnímali matematiku ako oblasť kde je dôležité rozmýšľanie ("Zmysel pre číslo " sa vzťahuje k intuitívnemu chápaniu veľkosti čísla schopnosti flexibilne pracovať s číslami v záujme nachádzania rozumných riešení. Zahrnuje počítanie spamäti, odhadovanie pohyb medzi rôznymi číselnými a posudzovanie hodnovernosti výsledkov výpočtov.

9. Dlhodobé používanie konkrétnych materiálov má kladný vzťah k zvyšovaniu matematickej úspešnosti žiakov a zvyšuje kladný postoj k matematike.

10. Použitie kalkulačiek pri učení sa matematiky môže zvýšiť úspešnosť a zlepšiť postoje k matematike

Záver

Matematické znalosti sú súčasťou minimálne dvoch potenciálov človeka. Prvý z nich by sa dal nazvať expertnosť, spôsobilosť využívať historicky nazhromaždené poznatky na rozvíjanie kultúry a riešenie problémov spoločnosti. Druhý typ potenciálu je osobnostný, a obsahuje spôsobilosti potrebné na prežitie v podmienkach súdobej kultúry, na to aby jednotlivec mohol so svojim životom nakladať v súlade so svojimi cieľmi a vedel využiť možnosti, ktoré má pred sebou. Oba tieto potenciály sa získavajú na základe vrodených predpokladov a v procese učenia. Vyučovanie matematiky by malo brať do úvahy, rozvoj oboch týchto potenciálov a využívať skutočnosť, že motivačnú silu pri učení matematiky dodáva perspektíva rozvoja osobnostného potenciálu viac ako rozvoj expertnosti.

LITERATÚRA

[1] Balint Ľ. (Ed.)Učebné osnovy matematiky pre i. stupeň základnej školy. http://www.statpedu.sk/Pedagogicke_dokumenty/Zakladne_skoly/Osnovy/matematika_uo.pdf

[2] Benner, D.J.: Baker Encyclopedia of psychology. Grand Rapids, Baker book House 1990 ISBN 0-8010-0865-4

[3] Butterworth, B. The Mathematical Brain., London, Macmillan 1999. ISBN 0333735277

[4] Dehaene S.:The number sense. New York, Penguin 1999 ISBN:0-14-026134-6

[5] Devlin, K. The Math Instinct: Why You’re a Mathematical Genius (along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs), New York, Basic Books Inc., 2006 ISBN-13: 978-1560258391

[6] Franco J. O. Interrelationships of Seven Mathematical Abilities across Languages Hispanic Journal of Behavioral Sciences, Vol. 12, No. 3, 299-312, 1990.

EMIL KOMÁRIK

18

[7] Komárik E:. Rozprava o adamovi, Bratislava, Porta libri 2007. ISBN 978-80-89067-44-2

[8] Passolunghi M. Chiara, Vercelloni Barbara Schaede H. The precursors of mathematics learning: Working memory, phonological ability and numerical competence / Cognitive Development, 2007; 22 (2) pp. 165-184

[9] The California Mathematics Content Standards. California Department of education, 2007 http://www.cde.ca.gov/ci/ma/cf/documents/math-ch2-k-3.pdf

[10] Witt Elizabeth (Ed.) What the United States Can Learn From Singapore’s World-Class Mathematics Systém (and what Singapore can learn from the United States): An Exploratory Study. United States Department of Education Washington, DC January 28, 2005, http://www.air.org/news/documents/Singapore%20Report%20 (Bookmark%20Version).pdf

doc. PhDr. Emil Komárik, CSc. Ústav humanitných štúdií Pedagogická fakulta Univerzita Komenského Bratislava Račianska 59 SK – 813 34 Bratislava


19

ZVYŠUJME HODNOTU VYUČOVANIA MATEMATIKY APLIKÁCIAMI

ONDREJ ŠEDIVÝ

ABSTRACT. In the article it is dealt with the opportunities for applications of mathematics within the teaching of mathematics in elementary and secondary schools. The creation of mathematical models within the process of solving application problems is presented.

Človek si osvojuje svet v procese, ktorý zahŕňa poznanie a často aj hodnotenie. Človek

si v procese svojho vývoja začal postupne uvedomovať a poznávať hodnotu javov a predmetov. Hodnotenie je tak špecifickou formou a hodnota dôsledkom vzťahu človeka k objektívnej skutočnosti. Hodnotenie zameriava aktivitu človeka na to, čo je pre neho podstatné, záväzné, rozhodujúce a významné.

V procese vzdelávania a výchovy je veľmi dôležité, aby si jednotlivec pri vzdelávaní osvojil také hodnoty, ktoré by mu zaručili a umožnili účasť na živote spoločnosti.

Život každého jednotlivca v spoločnosti prináša v interakcii so sociálnym prostredím neustále konfrontácie s najrôznejšími životnými udalosťami a tieto sa veľmi výrazne spolupodieľajú na tvorbe a zmene hodnotovej štruktúry. Okrem zmien, ktoré pôsobia na jednotlivca spontánne, dochádza k významnému ovplyvňovaniu hodnotovej štruktúry i prostredníctvom stimulácie zámernej, ktorá sa uskutočňuje v procese výchovy a vzdelávania.

Matematika ako vyučovací predmet má veľký podiel na utváraní hodnôt jednotlivca v procese výchovy a vzdelávania.

Hodnota matematiky v škole ovplyvňuje postoje a záujem žiakov o predmet a tým ovplyvňuje chovanie žiakov, spoluurčuje zmysel života žiaka a stáva sa aktivizátorom činností, ktoré sú zamerané na konkrétne ciele v budúcom jeho živote.

Ak žiak hodnotu matematiky zaradí do svojej hodnotovej štruktúry, potom žiak bude sa snažiť zmocniť matematiky a do určitej miery bude ju považovať za cieľ v istom intervale svojho života.

Existuje viacero činiteľov, ktoré pomôžu zvyšovať hodnotu vyučovania matematiky. V našom príspevku sa zameriame na zvyšovanie hodnoty vyučovania matematiky prostredníctvom učenia sa aplikáciám matematiky.

Podľa R. Fischera1) miestom, kde sa uskutočňuje konfrontácia medzi človekom a matematikou sú aplikácie. Treba hneď na začiatku zdôrazniť, že vedieť matematiku neznamená ju vedieť aplikovať. Aj aplikáciám matematiky treba sa učiť a vedieť aplikovať znamená vedieť viac. Aplikáciám matematiky by sme mali žiakov učiť už na základnej škole. Učením aplikáciám ukazujeme význam matematiky v spoločenskej praxi, čím zvyšujeme hodnotu matematiky v hodnotovej štruktúre žiakov.

Aplikačné úlohy majú dvojaký význam: a) sprostredkovanie určitého matematického obsahu, b) sprostredkovanie matematickej techniky.

1) Fischer, R. – Malle, G.: Človek a matematika. Úvod do didaktického myslenia a konania. (Slovenský preklad). SPN Bratislava 1992.

ONDREJ ŠEDIVÝ

20

Zámery príspevku budem realizovať na tzv. úlohách o rovnomernom pohybe. Sú to úlohy, ktoré v učebniciach sú zaraďované medzi typové úlohy so zvláštnym obsahom.

Pri výklade úloh tohto typu riešime obyčajne dve základné úlohy. U1. Z miesta A vychádza subjekt X1 rýchlosťou v1 km/h. Z miesta B vzdialeného od

miesta A d kilometrov súčasne vychádza subjekt X2 rýchlosťou v2 km/h. Kde a kedy sa stretnú ?

U2. Z miesta A v čase t01 vyštartoval subjekt X1 rýchlosťou v1 km/h. Z toho istého

miesta v čase t02 (t02 > t01) vyštartoval subjekt X2 rýchlosťou v2 km/h. Kedy subjekt X2 dohoní subjekt X1 ?

Úlohu U1 môžeme graficky znázorniť nasledovne:

A C B Úlohu U2 môžeme graficky znázorniť takto:

A C

Čo je charakteristické pri obidvoch úlohách ? a) V každej úlohe vystupuje čas, rýchlosť a vykonaná dráha. b) V úlohe U1 súčet vykonaných dráh sa rovná vzdialenosti miest A, B. c) V úlohe U2 vykonané dráhy sa rovnajú.

Môžeme pri riešení úloh použiť známe označenie pre rovnomerný pohyb: s(t) – dráha

s je funkciou času t. Dráha vykonaná subjektom X1 a dráha vykonaná subjektom X2 závisí aj od rýchlosti a preto ju môžeme vyjadriť nasledovne:

s = v.t

Pre úlohu U1 platí: s1 = v1.t, s2 = v2.t , pričom s1 + s2 = d ,

kde d je vzdialenosť miest A, B. Pre úlohu U2 platí: s1 = v1.t1, s2 = v2.t2 , kde t1 t2 sú časy, za ktoré sa pohyby uskutočnili, pričom s1 = s2.

Pri charakteristike úloh U1, U2 sme predpokladali, že subjekty sa pohybujú

rovnomerným pohybom (rýchlosť je konštantná) a subjekty sme pokladali za body.


21

Pri výučbe úloh o rovnomernom pohybe by sme nemali sledovať, resp. sprostredkovať len techniku riešenia úlohy. Mali by sme sledovať aj odraz vzťahu „matematických modelov“ k mimomatematickej realite. Za tým účelom vytvorme sústavu úloh, ktoré pomôžu nami stanovený cieľ splniť. Pri formulovaní úloh budeme pracovať s konkrétnymi číslami: Úloha 01 Automobil ide po ceste rýchlosťou 72 km/h. Kde sa nachádza po 1, 2, 3 hodinách ? (Predpokladajme, že automobil sa pohybuje konštantnou rýchlosťou). Riešenie. Cestu, po ktorej sa automobil pohybuje, si predstavujeme ako polpriamku a označme s(t) vzdialenosť automobilu v čase t od východiskového bodu. Teda s(t) udáva príslušné miesto automobilu. s(0) s(1) s(2) s(3) 0 72 144 216

Pohyb automobilu môžeme opísať neúplnou tabuľkou.

t 0 1 2 3 . . . .s(t) 0 72 144 216

Pri riešení úlohy U01 sme dospeli k poznatku, že sa stretávame s funkciou s(t) = 72t (t

→ 72t). Definičný obor funkcie st nevieme určiť, pretože nevieme ako dlho sa automobil rovnomerne pohybuje.

Môžeme konštatovať, že pohyb v úlohe U01 sa opíše rovnicou s = 72t, kde s je použité miesto s(t).

Funkciu s : t → 72t nazvime funkciou čas – miesto. Úloha 02 (je pokračovaním úlohy U01): Nakresli graf funkcie s: t→ 72t v intervale ⟨0, 6⟩. Odpovedz pomocou tohoto obrázka a prever výpočtom:

a) Kde sa nachádza automobil v čase t = 4 ? b) V ktorom okamihu je automobil od východiskového bodu vzdialený 360 km ?

s(0) s(1) s(2) s(3) s(4) s(5) s(6)

0 72 144 216 288 360 432 Úloha 03 (je pokračovaním úlohy U01): V rovnakom čase ako 1. automobil vychádza vo vzdialenosti 504 km od neho druhý automobil konštantnou rýchlosťou 90 km/h. Ide naproti prvému. Kedy a kde sa stretnú ? Riešenie. Označme ( )s t vzdialenosť druhého automobilu v čase t od východiskového miesta 1. automobilu a zistíme v jednotlivých časoch jeho miesto:

t 0 1 2 3 4 5 6 7

( )s t 504 504-1.90 504-2.90 504-3.90 504-4.90 504-5.90 504-6.90 504-7.90

ONDREJ ŠEDIVÝ

22

(3)s (2)s (1)s (0)s s(0) s(1) s(2) s(3) s(4) s(5) s(6) s(7)

0 72 144 216 288 360 432 504

Pohyb druhého automobilu môžeme tiež opísať funkciou čas – miesto : 504 90s t t→ −

Hľadáme okamih t, v ktorom sa oba automobily nachádzajú na tom istom mieste. To vedie k rovnici

72t = 504 – 90t.

Jej riešenie je 504162

t = ⇒ t 3,11 h. Potom vzdialenosť stretnutia od

východiskového miesta 1. automobilu s vypočítame 504 72 3,11 72 224162

s = ⋅ ⋅

Odpoveď: Automobily sa stretnú približne po 3,11 hodinách vo vzdialenosti 224 km od východiskového bodu 1. automobilu.

Poznámka 1: Riešenie U03 môžeme urobiť aj nasledovne. Označme s1(t) vykonanú dráhu 1.

automobilu do okamihu stretnutia, s2(t) vykonanú dráhu 2. automobilu do okamihu stretnutia., 1( ) 72s t t= 2 ( ) 90s t t= , potom platí

1 2( ) ( ) 504s t s t+ = 72 90 504t t+ = .

Poznámka 2 : Úlohy typu U01, U02 , U03 môžeme istým spôsobom obmieňať, urobiť z nich

systém úloh, pomocou ktorých nacvičíme vyššie uvedené postupy. Poznámka 3 : Pri úlohách typu U01, U02 , U03 sme postupovali takto: Východiskovým

bodom bolo vždy postavenie problému v pohybovej situácii. Túto situáciu sme opísali rovnicami, t.j. utvorili sme pre túto situáciu matematický model. Riešením rovníc a nasledovným interpretovaním výsledku sme postavený problém vyriešili.

Tento postup môžeme znázorniť takto problémová situácia riešenie výpočet rovnice výsledky

Matematický

model

Mimomatematická

realita


23

Poznámka 4 : V úlohách typu U01, U02 , U03 sme uvažovali automobily ako body. To znižuje kvalitu modelu. V ďalšom ukážeme isté zlepšenie modelu.

Úloha 04 Dva vlaky idúce oproti sebe konštantnou rýchlosťou sú v určitom okamihu od seba vzdialené 322 km. Prvý vlak má rýchlosť 72 km/h, druhý rýchlosť 90 km/h. Kedy a ako dlho prechádzajú vlaky vedľa seba ? Riešenie. Ak pri riešení postupujeme podobne ako v úlohe U03, tak dostaneme, že vlaky sa stretnú o 2 hodiny.

Ako dlho prechádzajú vlaky vedľa seba ? Na túto otázku nemôžeme odpovedať, pokiaľ vlaky uvažujeme ako body, pretože čas prechádzania vlakov vedľa seba závisí od dĺžky vlakov. Preto doplníme úlohu údajmi o dĺžke vlakov. Nech prvý vlak má dĺžku 180 m, druhý dĺžku 100 m.

Za účelom zjednotenia jednotiek vyjadríme rýchlosti vlakov v metroch za sekundu. Prvý vlak má rýchlosť 20 m/s, rýchlosť druhého vlaku je 25 m/s. V okamihu t = 0 vyzerá situácia takto:

- 180 0 322 000 322 100

Teraz vyjadríme pohyby prednej a zadnej časti oboch vlakov funkciami čas – miesto: Predná časť 1. vlaku Zadná časť 1. vlaku s1(t) = 20t s2(t) = 20t – 180 Predná časť 2. vlaku Zadná časť 2. vlaku s3(t) = 322 000 – 25t s4(t) = 322 100 –25t Stretnutie predných častí: s1(t) = s3(t)

20t1 = 322 000 – 25t1 45t1 = 322 000

1322 000

45t =

Stretnutie zadných častí: s2(t) = s4(t)

20t2 – 180 = 322 100 – 25t2 45t2 = 322 280

2322 280

45t =

t2 – t1 6

Odpoveď: Doba prechádzania vlakov vedľa seba je približne 6 sekúnd.

ONDREJ ŠEDIVÝ

24

Vytvorenie matematického modelu pri aplikáciách považujeme za dôležitú súčasť vyučovania matematiky. Pri tvorbe modelov je dôležitá súčasť vyučovania matematiky. Pri tvorbe modelu je dôležitá matematizácia, je to proces, v ktorom prechádzame od mimomatematickej reality k matematickému modelu.

Ciele vyučovania matematiky orientovaného na aplikácie môžeme zhrnúť takto: 1. Pragmatické ciele. Žiak má získať vedomosti a klasifikácie, ktoré mu pomôžu

lepšie pochopiť a osvojiť si problémy svojho okolia. 2. Metodologické : Žiak má získať poznatky o procese použitia, pomocou ktorých

môže lepšie pochopiť, posúdiť a robiť aplikácie matematiky. Konkrétne: • žiak má spoznať, že použitie matematiky je proces

a pozostáva z tvorby modelu a žiak musí poznať kroky tohto procesu;

• žiak má spoznať, že model je rôzny od reprezentovanej situácie, vo všeobecnosti ju opisuje len nepresne;

• žiak má spoznať, že situáciu možno opísať rozličnými modelmi;

SITUÁCIA

PROBLÉM

REALITA

ANALÝZA

SITUÁCIE

ZÍSKANIE

DÁT

PREDPOKLADY ČIASTOČNÉ ZANEDBANIA

USPOKOJIVÉ RIEŠENIE

PROBLÉMU

ÚPRAVA ZLEPŠENIA MODELU

INTERPRETÁCIA

PRESKÚŠANIE FIASKO

NEÚSPE

MATEMATICKÝ

MODEL


25

• žiak má spoznať, že rozličné situácie môžu byť opísané jedným modelom;

• žiak má spoznať hranice a úskalia matematizácie. 3. Formálne ciele. Žiak má získať všeobecné kvalifikácie na vyučovanie

orientované na aplikácie (aj schopnosť tímovej práce a komunikačné schopnosti).

LITERATÚRA

[1] Fischer, R. – Malle, G.: Mensch und Mathematik. Slovenský preklad: Človek a matematika. SPN Bratislava 1991. ISBN 80-08-01309-5.

[2] Šedivý, O. – Križalkovič, K.: Didaktika matematiky. SPN Bratislava 1990. ISBN 80-

08-00378-2.

prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Zoltán Zalabai, CSc. e-mail: [email protected]


27

SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS WITH THE USE OF GRAPHING CALCULATOR

STANISLAVA BELÁKOVÁ* - LUCIA ZÁHUMENSKÁ**

ABSTRACT. In this article, we will deal with solutions of various non-traditional mathematical tasks with the help of didactic aid - graphing calculator. Graphing calculator will be introduced as a teaching aid that fastens routine calculations and visualises solutions. Thanks to this feature, it is possible for solvers to concentrate on mathematisation of problems and to permeate deeply to the core of the problem. The goal of the article is to provide an easy overview of possibilities of graphing calculator usage in pedagogical process, for solving wide range of problems in the process of teaching mathematics.

Introduction

Calculators are valuable educational tools that allow students to reach a higher level of mathematical power and understanding. By reducing the time that, in the past, was spent on learning and performing tedious paper-and-pencil arithmetic and algebraic algorithms, calculator use today allows students and teachers to spend more time developing mathematical understanding, reasoning, number sense, and applications. Four-function, scientific, and graphing calculators, as well as calculators with computer symbolic algebra manipulation capability provide new pedagogical enhancement opportunities. They afford students learning tools that complement – but do not replace – mental and paper-and-pencil skills, and they expand students’ ability to solve problems by providing multiple solution techniques. Calculators use can help students focus on the more important aspects of the problem-solving process. They can have more time to spend on reading the problem and making sure they understand what it is asking, setting up the problem, correctly reading the display, and determining whether or not the answer is reasonable. Students can investigate their own approaches to problem solving, making their own conjectures, and testing them out on the calculator to quickly see if they were correct. They can develop their own examples; giving them a sense of ownership and making them feel that it is truly their work and not just that of the teacher. In this article, some examples of such problems are provided.

Mathematical tasks solved with the use of graphing calculator

In this part, we will introduce solutions of some mathematical problems with the help of graphing calculator. The solution procedures will be explained in detail with remarks on necessary operations that need to be done to obtain correct solution in as short time as possible. Problem 1.

The mass point moves on the sinusoid trajectory with the amplitude 5 cm. How much more passes the point if it moves 1 km on the sinusoid trajectory than it would pass if it moved 1 km straightforward?

STANISLAVA BELÁKOVÁ – LUCIA ZÁHUMENSKÁ

28

Solution. Let’s formulate the task mathematically: How much longer is the curve describing the

graph of the function siny a bx= (a = 0,05m; b = 1) in the interval 0 ≤ x ≤ c (let the value of c be 1 km) than the straightforward distance between points 0 and c on the axis? The length of the sinusoid curve can be computed with the use of integral in the following way:

( )( ) ( )1000

2 2

0 0

1 ´ 1 0,05cosc

s f x dx x dx= + = +∫ ∫

There is no antiderivative to the function ( ) ( )1000

2

0

1 0,05cosg x x= +∫ ; i.e. the given

integral should be computed numerically, and one of the most comfortable ways how to perform it is to use the graphing calculator TI-83+. The procedure is as follows:

We enter the function ( )21 0,05cosy x= + to the calculator and via entering the most

suitable data to the application WINDOW adjust the image displayed to suit our purposes as well as possible (Fig. 1). The outline of the graph is obtained after pressing the key GRAPH (Fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2

Thereafter we compute the integral by pressing 2nd CALC 7( ( )f x dx∫ ) and entering

the value of lower limit – in this case represented by number 0. The upper limit is specified and entered in the same way for the value 1000 (Fig. 3 and 4).

Fig. 3 Fig. 4

After determining and entering the lower and upper limit, the graph and enumeration is obtained:

SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS WITH THE USE OF GRAPHING …

29

Fig. 5

The output displayed equals s = 1000, 6053m and therefore the answer to the given task is: The mass point moving on the sinusoid trajectory passes about 60,5cm longer trajectory than it would pass if it moved straightforward. Problem 2.

Let the functions be f0(x) = x , f1(x) = ⎜f0(x) - 1⎜, f2(x) = ⎜f1(x) - 2⎜. What is the surface area of the finite shape lying between the axis x and the graph of function f2(x)? Solution.

It will be shown that the solution with the help of graphing calculator is considerably faster than the classical solving method in this example, too. At first, we construct the graph of considered function. We put: y = MATH NUM ABS; MATH NUM ABS; MATH NUM ABS; X,T,θ,n; ) – 1)-2) into the calculator (Fig. 6), and the best-marked graph (Fig. 7) is achieved if the bar ZOOM is pressed and number 4 is entered (Zdecimal).

Fig. 6 Fig. 7

From the above picture it is already clear the surface area of which part it is necessary to compute. To do so, it is needed to identify the zero values of the given function, if they exist. They can be detected at least in two different ways:

a) The table of function values can be retrieved via pressing the keys 2nd a TABLE. From the chart obtained thanks to this function (displayed in the figure 8) it is immediately clear, that one of the zero points is 3x = , and according to the parity of the given function we get also the other one – point 3x = − .


30

Fig. 8

b) The keys 2nd and CALC are used in the second type of exploration of zero points, and afterwards the choice 2: zero is pressed. This function allows us to find the null point within the chosen range, if it exists there. The interval is set with the help of functions Left Bound, Right Bound. The procedure is as follows: If on the display of calculator appears question “Left Bound?”, it is recommended to choose an arbitrary number and enter it; e.g. if the number –4 is chosen, we enter to the calculator –4 ENTER. If the question displayed is “Right Bound?”, the procedure stays the same; let’s enter number –2 this time: –2 ENTER. If we are asked to make a guess (“Guess?”), we should enter in the same way as before our estimate of the location of the null point on the scale, e.g. –3,2 ENTER.

Fig. 9 Fig. 10

The output then is:

Fig. 11

From the indication it is apparent, that the function achieves zero value in point 3x = − . Similarly, in the same way another null point can be acquired.

Computation of the area bounded by the function and the x-axis:

SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS WITH THE USE OF GRAPHING …

31

The procedure applied will be the same as in the first solved problem: We enter the keys 2nd CALC, and choose the choice 7: ( )f x dx∫ .

As for the boundaries of lower and upper limit we choose the appropriate detected values (–3 and 3) and enter them. The output is thus in the following figure:

Fig. 12

The answer to the task should therefore be: The area covers approximately 7 square units. Problem 3.

Suppose you invest $800 and you're hoping to have at least $1100 in three years time. Use the Finance application on your calculator to find the lowest interest rate you would need to meet this goal. Round to the nearest tenth of a percent. (Assume the interest is compounded monthly.) Solution.

At first, we need to elect the application Finance on the calculator, i. e. to press the keys APPS and 1 (Fig. 13). Consequently we get menu, from which it is necessary to choose the possibility 1; that is TVM Solver (Fig. 14).

Fig. 13 Fig. 14

After pressing selected number-keys the table, to which the input data need to be set, is displayed. In the chart: N means the number of years, I% means the annual interest rate percentage, PV an investment (cash outflow), it is entered in a negative value, in this case 800$, PMT equals in this example situation zero, because we are not making any payments after the initial investment, FV means the future value, in this case $1100, C/Y means number of months, 12 should be entered for monthly compounding.


32

After all the values have been entered, we get back to the entry I% and press ALPHA, SOLVE.

Fig. 15 Fig. 16

The output which is achieved with the value of I% is the searched interest rate and that should be rounded to the nearest tenth of a percent. The obtained answer thus is: To obtain 1100$, at least 10,7% interest rate should be provided.

Conclusion

Many scientists and teachers claim, that graphing calculator can influence the trends of teaching mathematics, and that via its correct incorporation into the teaching positive changes in education and distinctive increase of students’ interest can be achieved in mathematics education in the near future. We believe that graphing calculator will become one of main teaching aids used in the teaching of mathematics. In our opinion, the use of this tool can significantly help students in achieving new and deep mathematical knowledge and skills.

REFERENCES

[1] Pomeratz, H.: The Role of Calculators in Math Education, Ohio State University: Texas Instruments, 1997

[2] Eliáš,J. – Horváth, J. – Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 2, Bratislava, Alfa, 1986

*Mgr. Stanislava Beláková **Mgr. Lucia Záhumenská Katedra matematiky Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. M. Varga, PhD. e-mail: [email protected]


33

CANTOROVA MNOŽINA VE VYSOKOŠKOLSKÉ MATEMATICE

JAROSLAV BERÁNEK

ABSTRACT: The article, devoted to the education of further teachers of Mathematics, contains one of possible definitions of Cantor set, further the proof of its uncountability and zero measure. The second part of the article deals with the problem of the cardinality of infinite sets and the example of Peano´s curve.

Cantorova množina (též Cantorovo diskontinuum) je pro moderní teorii množin

významným pojmem. Ve výuce matematických disciplín na VŠ je tato množina (ozn. C) pro svou abstraktnost často opomíjena, přitom formální popis této množiny lze velmi efektně provést pomocí nedesítkových číselných soustav. Cílem tohoto příspěvku je jednak ukázat možnosti, jak lze studentům vysokých škol množinu C interpretovat, včetně jejího využití k některým důkazům o mohutnostech nekonečných množin, jednak poukázat na fakt, že i velmi náročné a abstraktní partie vyšší matematiky je studentům možno předvést, samozřejmě s využitím vhodných metod a postupů, včetně popularizačních teorií (které je následně ovšem nutno upřesnit).

Nejprve připomeneme potřebné pojmy z teorie množin a metrických prostorů. Nechť (R, d) je metrický prostor s eukleidovskou metrikou, nechť A ⊂ R. Bod x ∈ R se nazývá bodem uzávěru množiny A, jestliže existuje posloupnost prvků množiny A, která konverguje k x. Uzávěrem množiny A nazveme množinu všech bodů uzávěru množiny A. Bod x ∈ R se nazývá hromadným bodem množiny A, jestliže jeho každé okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny A. Každý hromadný bod je zřejmě také bodem uzávěru, opak obecně neplatí. Množina A se nazývá hustá v R, je-li její uzávěr roven R. Je-li doplněk uzávěru množiny A hustou množinou v R, nazývá se množina A řídká v R. Množina A se nazývá hustě rozložená, je-li každý bod množiny A jejím hromadným bodem. Uzavřená a hustě rozložená množina se nazývá perfektní.

Cantorova množina je významným příkladem řídké a současně perfektní množiny v R. Význam spočívá zejména v tom, že při povrchní laické úvaze se jeví řídkost a perfektnost množiny téměř jako protikladné. Proto existence této množiny ukazuje, že v matematice je mnohdy prvotní úsudek zavádějící. Jak již bylo řečeno, v prvotní fázi je vhodná i jistá popularizace problému. Uvedeme jednu možnost popularizace Cantorovy množiny podle Vilenkinovy knihy [6]. Všechny úvahy budeme provádět na intervalu ⟨0,1⟩. Lze si představit, že na tento interval na reálné ose prší. Naším úkolem bude postupně body intervalu před deštěm chránit. Rozdělíme interval ⟨0,1⟩ na tři stejné části, nad střední částí vztyčíme „stan“ ve tvaru rovnostranného trojúhelníka. Tento stan ochrání před deštěm

body intervalu (32

,31

). Každou ze zbývajících dvou částí nyní opět rozdělíme na tři stejné

části a střední díly ochráníme vztyčením „stanů“ třikrát menších. Nyní budou chráněny

body intervalů (92

,91

), (32

,31

), (98

,97

). Při třetím kroku vztyčíme na čtyřech volných

úsecích další čtyři „stany“, v dalším kroku osm „stanů“ atd. Připustíme-li, že provedeme

JAROSLAV BERÁNEK

34

tento postup v nekonečně krocích, položíme si otázku, zda je celý interval ⟨0,1⟩ již před deštěm chráněn či zda existují body, na které ještě prší (podla Vilenkina tzv. mokré body). Zřejmé je, že mokré body stále existují; jsou jimi krajní body všech chráněných intervalů

(tzn. např. 98

,97

,32

,31

,92

,91

, ...). Těchto krajních bodů je pouze spočetně mnoho (neboť

množina všech racionálních čísel je spočetná). Pro studenty je v této chvíli značně překvapivé, že kromě uvedené spočetné množiny mokrých bodů existuje ještě další množina mokrých bodů, která má mohutnost kontinua. To dokážeme pomocí zápisu čísel intervalu ⟨0,1⟩ ve trojkové číselné soustavě. První, největší „stan“ ochrání body ležící v

intervalu (32

,31

), tedy všechny body s trojkovým zápisem začínajícím 0,1...(tečky

vyjadřují libovolnou konečnou nebo nekonečnou nenulovou posloupnost utvořenou z číslic 0,1, 2). Mokré body mají ve trojkové soustavě zápis začínající 0,0... nebo 0,2...., jediná

cifra 1 se na prvním „desetinném“ místě objeví ve vyjádření levého krajního bodu 31

. Po

druhém kroku zůstanou mokré ty body, jejichž zápis začíná některou z těchto čtyř možností: 0,00...; 0,02...; 0,20...; 0,22... . Cifra 1 se na druhém „desetinném“ místě objeví

pouze u vyjádření levých krajních bodů obou menších intervalů: 91

= (0,01)3, 97

= (0,21)3.

Ve třetím kroku zůstanou mokré pouze body, jejichž trojkový zápis začíná některou z osmi možností: 0,000...; 0,002...; 0,020...; 0,022...; 0,200...; 0,202...; 0,220...; 0,222, včetně

čísel (0,001)3 = 271

, (0,021)3 = 277

, (0,201)3 = 2719

, (0,221)3 = 2725

. Takto se tedy

postupně skrývají před deštěm body, jejichž zápis ve trojkové soustavě obsahuje číslici 1. Číslice 1 se může u mokrého bodu vyskytnout pouze ve vyjádření levého krajního bodu každého z ochráněných intervalů. Každý mokrý bod má tedy za „desetinnou“ čárkou buďto konečnou posloupnost utvořenou z číslic 0, 1, 2 (přičemž číslice 1 se vyskytují pouze u levých krajních bodů ochráněných intervalů) nebo nekonečnou posloupnost utvořenou z číslic 0, 2. Aby bylo toto tvrzení korektní, je nutno poznamenat, že pokud je možný zápis čísla s ukončeným rozvojem, vždy jej využijeme; tedy např. (0,1 2 )3 = (0,2)3, podobně jako v desítkové soustavě 0,1 9 = 0,2. Každý mokrý bod, který je krajním bodem některého z chráněných intervalů, má v desítkové soustavě ve jmenovateli mocninu čísla 3, a tedy jeho „desetinný“ rozvoj ve trojkové soustavě je konečný. Množina takovýchto mokrých bodů je spočetná. Pomocí Cantorovy diagonální metody lze dokázat, že množina všech nekonečných posloupností utvořených z číslic 0, 2 je nespočetná. Odtud plyne, že množina všech mokrých bodů je nespočetná; kromě již zmíněné spočetné množiny krajních bodů chráněných intervalů tedy musí existovat ještě další nespočetná množina mokrých bodů. Množina všech mokrých bodů intervalu ⟨0,1⟩, tzn. všech bodů, které ve svém zápisu v trojkové soustavě neobsahují číslici 1, včetně levých krajních bodů chráněných intervalů, se označuje C a nazývá Cantorova množina. Lze ukázat, že množina C je v R uzavřená a hustě rozložená, navíc je v R řídká. Přestože je nespočetná, má míru 0. To v dalším ukážeme, včetně již přesnějšího popisu prvků množiny C.

Nyní následuje důkaz tvrzení, že Cantorova množina je v intervalu ⟨0,1⟩ doplňkem sjednocení disjunktních otevřených intervalů, jejichž součet délek je roven jedné. Tyto intervaly jsou podle výše uvedené Vilenkinovy popularizace intervaly chráněnými, tedy je


35

můžeme označit takto: I1 = (32

,31

), I2 = (92

,91

), I3 = (98

,97

), I4 = (272

,271

), I5 =

(2720

,2719

), I6 = (278

,277

), I7 = (2726

,2725

), ... . Cantorova množina C je množina obsahující

všechny krajní body těchto intervalů a dále všechna čísla intervalu ⟨0,1⟩, která lze zapsat ve tvaru a1.3−1 + a2.3−2+ a3.3−3 + ..., kde ai ∈ 0, 2 pro i ∈ N. Výše uvedené intervaly nyní popíšeme obecně. Kromě trojkové soustavy využijeme i soustavu dvojkovou. Přirozené číslo n vyjádříme ve dvojkové soustavě jako

n = (ak ak−1 ak−2 ... a1 a0 )2, kde ai ∈ 0, 1 pro i = 0,1,.., k−1, ak = 1. Pro i= 0,1,..,k−1 položíme bi = 2ai. Pak platí vztahy:

xn = b03−1+ b13−2+ ...+ bk−13−(k−1)+3−k, yn = b03−1 + b13−2+ ...+bk−13−(k−1)+ 2.3−k, ve zkráceném tvaru xn = (0,b0 b1... bk−1 1)3, yn = (0,b0 b1... bk−1 2)3. Např. pro n = 13 platí:

13 = (1101)2, x13 = (0,2021)3 = 8161

, y13 = (0,2022)3 = 8162

. Tímto způsobem jsme tedy

popsali otevřené intervaly, jejichž prvky nepatří do C. Všechny ostatní prvky intervalu ⟨0,1⟩ do Cantorovy množiny náleží. Popsané intervaly jsou po dvou disjunktní. Součet

délek těchto intervalů je roven 1.31

+ 2.91

+ 4.271

+ ...=31

+92

+274

+...= 1, neboť se jedná

o nekonečnou konvergentní geometrickou řadu. Míra sjednocení všech otevřených intervalů In pro n ∈ N je tedy rovna jedné, tj. míře celého intervalu ⟨0,1⟩. Cantorova množina je doplňkem tohoto sjednocení všech otevřených intervalů In v množině ⟨0,1⟩, její míra tedy musí být rovna nule. Fakt, že množina mohutnosti kontinua má míru nula, je pro studenty velmi překvapivá a je důsledkem řídkosti množiny C.

S Cantorovou množinou úzce souvisí funkce, definovaná na intervalu ⟨0,1⟩ takto: Pro každé n ∈ N vyjádříme toto číslo ve dvojkové soustavě jako n = (ak ak−1 ak−2... a1 a0 )2, potom pro každé x∈ In (intervaly In mají výše uvedený význam) položíme

f(x)= 1]n[log2k10

22)aaa(

+…

(výraz [log2n] označuje celou část čísla log2n). Uvedeme příklady

hodnot funkce f(x). Pro x ∈ I1 = (32

,31

) je f(x) = 21

, pro x∈ I2 = (92

,91

) je f(x) = 41

, pro

x ∈ I3 = (98

,97

) je f(x) = 43

, dále např. pro n = 13 je I13 = (8161

,8162

) a x ∈ I13 implikuje

f(x)= 1611

. Funkce f(x) je tedy tímto předpisem definována pro všechny vnitřní body

sjednocení všech uvedených otevřených intervalů (které jsou podle Vilenkinovy terminologie suché), tzn. pro všechna x ∉ C. Pro x ∈ C lze funkci f(x) dodefinovat tak, aby byla spojitá a neklesající (plyne z toho, že C je řídká a perfektní v R). Celková délka všech intervalů je rovna jedné, na každém z nich je funkce f(x) konstantní. Protože z funkčního předpisu funkce f(x) pro x ∉ C je zřejmé, že rostou-li hodnoty n nade všechny meze, pak hodnota f(x) se blíží k jedné, vzniká zajímavá situace, kdy spojitá funkce „vzrůstá“ od nuly k jedné na intervalu ⟨0,1⟩, přičemž na množině míry jedna (což je délka intervalu ⟨0,1⟩) je konstantní. Její růst je soustředěn do bodů Cantorovy množiny C, tj. spojitá funkce roste od nuly k jedné na množině nulové délky.

Další pozoruhodnou funkcí související s množinou C je funkce g(x) definovaná na intervalu ⟨0,1⟩ takto: Pro x ∈ In = (xn, yn) definujeme pro každé přirozené číslo n

JAROSLAV BERÁNEK

36

g(x) = 23

(yn − xn), tzn. podle Vilenkinovy terminologie přiřadíme všem bodům každého z

chráněných intervalů „horní vrchol příslušného ochranného stanu“. Pro x ∈ C definujeme g(x) = 0. Nyní je pozoruhodné, že v každém okolí každého z bodů Cantorovy množiny existuje nekonečně mnoho bodů maxima a minima funkce g(x); obecně řečeno, funkce g(x) má tu vlastnost, že na intervalu ⟨0,1⟩ existuje nespočetně mnoho bodů, v jejichž každém okolí má funkce g(x) nespočetně mnoho bodů maxima a minima.

Jak již bylo předesláno v úvodu příspěvku, budeme se nyní věnovat Cantorově množině z hlediska její mohutnosti, přičemž naše úvahy dovedeme až k důkazu rovnosti c = 02ℵ . V celé této části příspěvku se u Cantorovy množiny omezíme pouze na ty body, které nejsou krajními body u žádného z intervalů In pro n ∈ N, tzn. na množinu všech těch prvků intervalu ⟨0,1⟩, které mají svůj zápis ve trojkové soustavě nekonečný, obsahující pouze cifry 0 a 2. Poznamenejme, že i tato množina se někdy nazývá Cantorova a označuje C. To je zcela v souladu se záměrem konstrukce prvků Cantorovy množiny, neboť krajních bodů všech intervalů In je pouze spočetně mnoho. Řídkost a perfektnost množiny C v R se tedy tímto omezením neporuší. Připomeňme ještě, že podrobnosti ke všem potřebným pojmům lze nalézt např. v [1], [2], [3], [5].

Platí card R = c > 0ℵ , dále platí card R = card ⟨0,1⟩ = card (0,1). Pro libovolné množiny A, B splňující vztah card A = a, card B = b platí nerovnost a ≤ b právě tehdy, když existuje injektivní zobrazení f: A → B. Podle Cantor-Bernsteinovy věty pro libovolné množiny A, B ze současné platnosti vztahů card A ≤ card B, card B ≤ card A plyne rovnost card A = card B. Pro libovolnou množinu A s vlastností card A = a platí cardP(A)= 2a, specielně tedy card P(N) = 02ℵ . Z uvedených tvrzení ale přímo nevyplývá vztah c = 02ℵ . Ten je třeba dokázat, i když se velmi často využívá k definici mohutnosti kontinua (např. [1], [3]). Při důkazu tohoto vztahu využijeme ještě tzv. charakteristickou funkci χ definovanou takto: Nechť M ≠ φ, nechť A ⊂ M. Pak charakteristická funkce χA množiny A v množině M je zobrazením množiny M do množiny 0,1, které přiřazuje prvkům množiny A číslo 1, zatímco prvkům množiny M − A číslo 0. Na závěr tohoto úvodního přehledu ještě poznamenejme, že do množiny N všech přirozených čísel budeme nadále zahrnovat i číslo 0.

Nyní zkonstruujeme injektivní zobrazení f systému P(N) všech podmnožin množiny N

do intervalu ⟨0,1⟩ takto: Je-li A ⊂ N, pak položíme f(A) = ∑∞

=+⋅

0k1k

A

3)k(2 χ . Nechť A1, A2 ⊂ N,

A1 ≠ A2. Pak lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že existuje množina prvků K ⊂ N takových, které patří do množiny A1 a nepatří do množiny A2 (to lze zajistit vhodným oindexováním obou množin), tedy K ≠ φ. S ohledem na dobré uspořádání množiny N existuje nejmenší prvek množiny K, který označíme k. Pak platí:

f(A2) = ∑ +⋅km

1mA

3)m(

2 2

≺

χ+ 0. 1k3

1+ +∑ +⋅

km1m

A

3)m(

2 2χ

≤ ∑ +⋅km

1mA

3)m(

2 2

≺

χ + 1k3

1+ =

∑ +⋅km

1mA

3)m(

2 1

≺

χ+ 1k3

1+ < ∑ +⋅

km1m

A

3)m(

2 1

≺

χ+ 1k3

2+ ≤ f(A1). Zobrazení f je tedy injektivní.

Z definice zobrazení f plyne, že jeho oborem hodnot je právě Cantorova množina. Dokážeme, že pro každý prvek x této Cantorovy množiny, tzn. pro každé číslo x z intervalu ⟨0,1⟩, v jehož nekonečném zápise ve trojkové soustavě se vyskytují pouze cifry 0 a 2,


37

existuje množina A ⊂ N taková, že f(A) = x. Do množiny A v tomto případě patří všechna taková přirozená čísla, která jsou ve vyjádření x = (0,a1 a2 a3...)3 indexy řádů všech cifer 2. Zobrazení f je tedy bijekcí mezi P(N) a C, platí tedy card P(N) = card C. Podle dříve uvedených mohutností obou množin tedy 02ℵ = c.

Poslední rovnost pro kardinální čísla lze dokázat též pomocí Cantor-Bernsteinovy věty takto: Z výše definovaného injektivního zobrazení f:P(N)→ ⟨0,1⟩ plyne card P(N)≤ card⟨0,1⟩, tedy 02ℵ ≤ c. Definujeme nyní zobrazení h: ⟨0,1⟩ → P(N). Pro každé x ∈ ⟨0,1⟩ vyjádříme toto číslo ve dvojkové soustavě jako (0,x0 x1 x2...)2, kde za „desetinnou“ čárkou je konečná nebo nekonečná posloupnost utvořená z cifer 0 a 1.V případě různých možností zápisu volíme ten, který má od určitého indexu v dané posloupnosti pouze číslice 1. Pro každé x ∈ ⟨0,1⟩ pak klademe h(x) = n ∈ N; xn = 1. Injektivnost zobrazení h je zřejmá. Pak ale card ⟨0,1⟩ ≤ card P(N), tzn. c ≤ 02ℵ . Dohromady musí tedy platit dokazovaná rovnost 02ℵ = c.

I když již bylo ukázáno, že Cantorova množina je nespočetná (její mohutnost je c), je na tomto místě vhodné dokázat tento fakt pomocí již definovaných zobrazení f, h. Obě zobrazení, f: P(N) → ⟨0,1⟩, h: ⟨0,1⟩ → P(N) jsou injektivní. Složením dvou injektivních zobrazení vznikne opět injektivní zobrazení, tzn. existuje injektivní zobrazení f o h: ⟨0,1⟩ → ⟨0,1⟩. Už sama existence tohoto zobrazení je pro studenty velmi zajímavá, stejně jako

určování funkčních hodnot tohoto zobrazení, které není nikterak triviální. Např. pro x = 71

postupně dostáváme: h(71

) = 2,5,8,11,14,..., neboť 71

= (0,001)2, f (2,5,8,11,14,...) =

332

+ 632

+ 932

+ ... = 131

, tedy dohromady (f o h)(71

) = 131

. Protože oborem hodnot

zobrazení f jsou všechny prvky Cantorovy množiny C, lze tvrdit, že zobrazení f o h: ⟨0,1⟩ → C je rovněž injektivní, tedy card ⟨0,1⟩ ≤ card C. Triviálně však platí C ⊂ ⟨0,1⟩, proto identické zobrazení na množině C je současně injektivním zobrazením množiny C do intervalu ⟨0,1⟩. Platí tedy také nerovnost card C ≤ card ⟨0,1⟩. Dohromady platí rovnost card C = card ⟨0,1⟩. Protože je známo, že card ⟨0,1⟩ = c, musí též platit card C = c. Vidíme, že množiny C, ⟨0,1⟩ i P(N) mají tutéž mohutnost rovnou c.

V uvedených úvahách týkajících se mohutností nekonečných množin je samozřejmě možno pokračovat. Předložené náměty poskytují další možnosti. Důležité ale je, že tyto úvahy nejdou nijak zvlášť daleko za rámec matematiky probírané ve studiu na vysokých školách a proto poskytují pro studenty cenné možnosti pro jejich samostatnou tvůrčí práci i pro rozvoj jejich schopností a znalostí. I pasivní ilustrace předložených zobrazení může být pro některé studenty užitečným cvičením. Např. jde o určování hodnot zobrazení f, h, f o h, ale i dalšího injektivního zobrazení h o f atd. Zejména zobrazení f poskytuje některé cenné

náměty. Např. f(N) = ∑∞

=1nn3

2 = 1, f(S) = ∑∞

=+

0k1k23

2 = 43

, f(L) = ∑∞

=1kk23

2 = 41

(kde S, L

označují množinu všech sudých, resp lichých přirozených čísel), f(0,...,n) = 1 − 1n31+ ,

f(φ) = 0, apod. Zřejmé je rovněž, že pro dvě disjunktní množiny A, B ze systému P(N) platí f(A ∪ B) = f(A) + f(B), v případě A ⊂ B platí f(A ∪ B) = f(B), f(A ∩ B) = f(A). V obecném případě platí f(A ∪ B) = f(A) + f(B) − f(A ∩ B). To je další ukázkou principu inkluze a exkluze, který má aplikace v teorii množin, kombinatorice, pravděpodobnosti, apod.

JAROSLAV BERÁNEK

38

V poslední části se budeme věnovat problematice spojitosti zobrazení Cantorovy množiny, tedy již otázkám složitějším. Podáme příklad stejnoměrně spojitého, bijektivního zobrazení g: C → C × C (Cantorova množina C se zde stejně jako v první části příspěvku definuje včetně krajních bodů intervalů In). Tento problém úzce souvisí s problematikou existence spojitého surjektivního zobrazení intervalu ⟨0,1⟩ na množinu ⟨0,1⟩ × ⟨0,1⟩. Touto problematikou se zabýval mj. italský matematik Giuseppe Peano (1858 - 1932), podle něhož se někdy uvedená surjektivní funkce nazývá Peanova křivka (např. [2]). Nejprve tedy definujeme zobrazení g: C → C × C, dále dokážeme, že je bijektivní a že je na množině C stejnoměrně spojité. Připomeňme ještě definici stejnoměrné spojitosti metrických prostorů: Nechť (P, ρ), (Q, σ) jsou metrické prostory. Pak zobrazení f: P → Q je na množině P stejnoměrně spojité, právě když ke každému ε > 0 existuje takové δ > 0, že pro každé dva prvky x, y ∈ P s vlastností ρ(x,y) < δ platí σ(f(x), f(y)) < ε. Na množinách C i C × C budeme uvažovat eukleidovskou metriku, tj. z geometrie běžně známou vzdálenost dvou bodů na přímce, resp. v rovině.

Nechť x ∈ C, tedy x = ∑∞

=+

0k1k

k

3x , xk ∈ 0, 2, k ∈ N. Poznamenejme, že i když vyjádření

bodu x je ve trojkové soustavě konečné a obsahuje číslici 1, což u krajních bodů intervalů In může nastat, lze zvolit vyjádření periodické, které číslici 1 neobsahuje, např. (0,1)3 = (0,0 2 )3. Předchozí vyjádření čísla x je tedy korektní. Položíme g(x) = [y,z], kde y =

∑∞

=+

0k1k

k2

3x , z =∑

∞

=++

0k1k1k2

3x . Např. pro x = (0, 2022 )3 dostáváme y = (0, 2 )3, z = (0,02 )3. Nechť

nyní a, b ∈ C, a ≠ b. Pak existuje přirozené číslo i takové, že ve vyjádřeních čísel a, b platí ai ≠ bi. Nechť g(a) = [k,l], g(b) = [m,n]. Je-li i sudé číslo, pak k ≠ m, pro liché i platí l ≠ n. Odtud g(a) ≠ g(b). Zobrazení g je tedy injektivní. Nechť dále [y,z] ∈ C × C. Pak existuje prvek x ∈ C s vlastností g(x) = [y,z]. Ve vyjádření tohoto prvku x ve trojkové soustavě jsou čísla ze zápisu prvku y na místech se sudými indexy, čísla ze zápisu prvku z na místech s lichými indexy. Zobrazení g je tedy také surjektivní. Dohromady platí, že zobrazení g je bijektivní. Zbývá dokázat stejnoměrnou spojitost zobrazení g.

Nechť ε > 0. Protože množina N je nekonečná, existuje k ∈ N s vlastností k31

< 2ε

.

Položíme δ = k231

. Nechť x, y ∈ C tak, že ⎥ x − y⎥ < δ. Pak čísla x, y mají ve svém

vyjádření v trojkové soustavě prvních 2k čísel stejných. Označme g(x)= [u,v], g(y)= [p,q]. Pak podle definice zobrazení g mají čísla u, p prvních k číslic zápisu stejných, analogicky

také čísla v, q. Pak platí: d([u,v], [p,q]) ≤ 2k

2k )

31

()31

( + = k32

< 2

.2ε

= ε.

Zobrazení g je tedy na celé Cantorově množině stejnoměrně spojité. V této chvíli lze pojednání o Cantorově množině uzavřít. Lze konstatovat že i přes

svoji zajímavost a jistý motivační aspekt se o Cantorově množině studenti na VŠ nedozvědí takřka nic, případně jen okrajově. I proto vznikl tento příspěvek, v němž jsme se snažili zachytit co nejvíce dostupných znalostí o množině C a jejím využití. Problematika byla uvedena velmi stručně; podrobné formální zápisy důkazů by byly zdlouhavé a neadekvátní účelu tohoto příspěvku. Cílem bylo mj. ukázat, že i značně abstraktní problémy vyšší matematiky lze pomocí různých modelů či popularizačních teorií přiblížit studentům, neboť vyhledávání vhodných témat a námětů pro jejich samostatnou práci a


39

rozvoj jejich matematických znalostí je mnohdy problémem. Dalším problémem při popularizaci vybraných partií je ovšem nedopustit přílišné zjednodušení, což může vést až ke značným nepřesnostem, které se později obtížně v myslích studentů odstraňují.

LITERATÚRA

[1] Bečvář, J., a kol.: Seznamujeme se s množinami, Praha, SNTL, 1982, 176 s.

[2] Bukovský, L.: Množiny a všeličo okolo nich, Bratislava, Alfa, 1985, 270 s.

[3] Fuchs, E.: Základy teorie množin, Praha, SPN, 1986, 146 s., r86U

[4] Larson, L. C.: Metódy riešenia matematických problémov, Bratislava, Alfa, 1990, 411 s, ISBN 80-05-00627-6

[5] Šalát, T.: Metrické priestory, Bratislava, Alfa, 1981, 218 s.

[6] Vilenkin, N. J.: Neznámý svět nekonečných množin, Praha, SNTL, 1971, 115 s.

Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 31 ČR – 603 00 Brno e-mail: [email protected]

Recenzent: Doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc., e-mail: [email protected]


41

MATURITA Z MATEMATIKY V RAKÚSKEJ REPUBLIKE

SOŇA ČERETKOVÁ

ABSTRACT. The main principles of the final secondary school examination of mathematics (matura) in Austria are described in the article. The example of two tests, given to students during last years in one of Vienna state gymnasium, is in the attachment of the article.

Maturitná skúška

V Rakúskej republike študenti záverečného ročníka gymnázia vykonávajú maturitnú skúšku pozostávajúcu zo siedmych častí. Môžu si vybrať medzi dvoma možnosťami: tri písomné práce a štyri ústne skúšky, alebo v opačnej kombinácií, štyri písomné práce a tri ústne skúšky.

Písomná skúška sa vykonáva z predmetov: nemecký jazyk, cudzí jazyk (angličtina, latinčina, francúzština, taliančina) a matematika. Prípadná štvrtá písomná skúška má môže mať formu projektu, záverečnej práce, z akéhokoľvek vyučovaného predmetu, ktorý je možné zvoliť si aj ako predmet ústnej skúšky. Projekt sa obvykle odovzdáva na konci predmaturitného ročníka a jeho rozsah sa pohybuje v rozpätí 30 až 40 strán písaného textu.

Každý maturant musí absolvovať písomnú alebo ústnu skúšku z aspoň jedného cudzieho „živého“ jazyka, pričom ústne skúšky žiaci vykonávajú z tých predmetov, z ktorých písali aj písomnú prácu.

Maturitná skúška v Rakúskej republike nepatrí, na rozdiel od Slovenskej republiky, k certifikovaným meraniam. Znamená to, že za formu a obsah skúšky je zodpovedná príslušná stredná škola. Štát, ministerstvo školstva, určuje časový harmonogram písomných a ústnych skúšok v príslušnom školskom roku.

Maturitná skúška z matematiky

Maturitná skúška z matematiky má formu jednotného písomného testu pre všetkých žiakov danej školy. Na rozdiel od externej písomnej maturitnej skúšky na Slovensku, kde majú žiaci možnosť vybrať si z dvoch úrovní A a B; v Rakúsku sa nerozlišujú úrovne a všetci maturanti píšu rovnaký písomný test. V teste sa nevyskytujú otázky s možnosťou výberu odpovede; úlohy nemajú ani formu otvorených problémov. Test zostavuje učiteľ matematiky danej triedy alebo predmetová skupina učiteľov matematiky danej školy spravidla v januári príslušného kalendárneho roka. Test – zadanie jednotlivých úloh, riešenie, navrhnuté bodovanie sledovaných javov a stupnicu hodnotenia, zašle škola do stanoveného termínu externému evaluátorovi. Evaluátorom je ministerstvom školstva vymenovaný a škole na príslušný školský rok pridelený skúsený stredoškolský učiteľ matematiky z inej školy a iného mesta. Návrhy na korekcie alebo opravu testu a príslušnej dokumentácie k nemu, pošle evaluátor späť a po vzájomnej kozultácií sa dokumenty upravia vytlačia, vložia do obálky, obálka sa zapečatí a uloží do školského trezoru. V deň maturitnej písomky (spravidla koniec apríla – začiatok mája) učiteľ spolu s riaditeľom školy obálku otvoria a test pripravia na zadanie žiakom. Maturitná písomná skúška z matematiky je zvyčajne tretia písomná skúška v poradí písomných maturitných skúšok.

SOŇA ČERETKOVÁ

42

K zostaveniu testu neexistujú presné pravidlá ani pokyny. Spravidla ho tvorí 3 – 6 úloh, najčastejšie štyri slovné úlohy, ktoré patria do kategórie štandardných úloh. Čas, ktorý majú žiaci na vypracovanie testu je 180 minút. Celkový počet bodov, ktorý môžu získať za úspešné vyriešenie úloh, je 48 bodov. Zvyčajná stupnica hodnotenia: výborne: 45 – 48 bodov; veľmi dobre: 40 – 44 bodov; dobre: 30 – 39 bodov; vyhovel: 24 – 29 bodov; nevyhovel: 0-23 bodov.

Maturitný test z matematiky 1

1. Je daný pravidelný štvorboký hranol. Jeho bočná hrana je daná bodmi A(3;-4;-5) a E( -15;5;1 ). Oproti ležiaca hrana CG prechádza bodom P(3;3;9). Vypočítaj súradnice ostatných vrcholov hranola; veľkosť uhla, ktorý zvierajú uhlopriečky AG a CE a vzdialenosť bodu A od uhlopriečky CE.

2. Je daná funkcia f: 3 2

2

5 4:2 1

x x xfx x+ +

− −

Urči: a) definičný obor, b) nulové body (ak existujú), c) extrémy, d) asymptoty, e) načrtni graf funkcie, f) vypočítaj obsah plochy ohraničenej krivkou a osou x.

3. Daná je kružnica k: ( ) ( )2 21 3 20x y+ + + = a priamka g: 3x + y = 4.

a) Ukáž, že priamka pretína kružnicu v bodoch A( 1;1 ) a B( 3;-5) b) Ako znie rovnica každej kružnice k1, ktorý má s danou kružnicou

k spoločnú tetivu AB a prechádza bodom C(7;7) ? c) Pod akým uhlom sa kružnice pretínajú? d) Narysuj obrázok s jednotkou dĺžky 0,5cm.

4. Vypočítaj v akej výške je balón, ktorý vidíme z dediny A pod zorným uhlom φ=20,6° a zároveň z dediny B pod uhlom ψ=36,716°; keď dediny ležiace na vertikálnej úrovni sú od seba vzdialené 2 766m. Urob náčrt.

5. A) V triede s 20 žiakmi sa 3 chlapci volajú Franz. Na hodine telesnej výchovy sa

má losovaním vytvoriť 4-členná skupina žiakov. Aká je pravdepodobnosť že v tejto skupine bude:

a) jeden Franz, b) dvaja „ Franzovia“, c) všetci traja „Franzovia“, d) ani jeden Franz, e) aspoň jeden Franz, f) najviac dvaja Franzovia.

B) Z košíka s ovocím, v ktorom je 7 broskýň a 6 marhúľ naraz vytiahneme 8 kúskov ovocia. Ak niekto vytiahne aspoň 3 broskyne, vyhrá 10 eur. V každom inom


43

prípade musí zaplatiť 5 eur. Aká suma (v eurách) sa dá pri takýchto pravidlách hry očakávať? Vysvetli to slovne. Čo udáva táto suma?

Maturitný test z matematiky 2

1. Pohár má tvar telesa, ktoré vzniká rotáciou paraboly y=ax² okolo osi y. Vnútorná výška pohára je 12 cm, horný okraj má priemer 6cm. Značka naplnenia sa nachádza 1 cm pod vrchným okrajom.

a) Koľko tekutiny obsahuje pohár, ak je naplnený po značku? (vyjadrite v litroch, zaokrúhlite na 3 desatinné miesta). b) Druhý pohár má tiež tvar paraboloidu, pričom vrchný okraj má priemer 8 cm a vnútorná výška je 7 cm. Do akej výšky musí byť značka na tomto pohári, ak má druhý pohár obsahovať také isté množstvo tekutiny ako prvý pohár? c) Fľaša má objem 0,75 l. Barman „myslí vo svoj prospech“ a nalieva vždy 5 mm pod značku. Odôvodni, na základe tvaru pohárov, ktorý z nich viac vyhovuje podvodníckemu počínaniu barmana. Vypočítaj, koľko pohárov prvého typu, prípadne druhého typu je potrebných na ušetrenie jednej fľaše podľa myslenia a správania sa barmana.

2. Pre exponenciálny rast platí rovnica N(t)=N0 .eλt

a) Vysvetli, popíš premenné v tejto rovnici. b) Porast v mladom lese má objem dreva 20 000 m³. Po desiatich rokoch sa porast rozrástol na objem 25 000 m³. Zostav rovnicu exponenciálneho rastu objemu porastu. c) Kedy bude mať lesný porast dvojnásobný objem? d) Ktoré sú (podľa teba) rozhodujúce dôvody, prečo les nemôže neobmedzene rásť?

Vrchná hranica objemu dreva (v 2b) je 70 000 m³. Za koľko rokov dosiahne les túto hranicu?

e) V istom období 30% lesa (25 000 m³) zničil črvotoč. Za koľko rokov porast znovu dorastie?

3. Monika sa zúčastňuje na klubových majstrovstvách v streľbe na hlinených holubov. Zo skúsenosti vie, že triafa s pravdepodobnosťou 36%.

a) Aká je pravdepodobnosť, že pri piatich výstreloch trafí práve raz? b) Aká je pravdepodobnosť, že pri 40-tich výstreloch trafí práve 14-krát? c) Aká je pravdepodobnosť, že pri 1 000 výstreloch trafí najmenej 320 a najviac 380-krát? (vypočítaj približne na základe normálneho rozdelenia). d) Kedy má zmysel určiť binomické rozdelenie použitím normálneho rozdelenia?

4. Pomocou základne AB na brehu jazera sa má určiť poloha dvoch bójí P a Q v jazere. Základňa AB má dĺžku 106,212052 m. Poznáme veľkosti uhlov:

o1 71PABα = =

o2 35QABα = =

o1 45ABPβ = =

o2 62ABQβ = =

Zostroj obrázok vo zvolenej mierke a vypočítaj vzdialenosť bójí P a Q.

SOŇA ČERETKOVÁ

44

Maturitný test z matematiky 3 1. Rádioaktívna časť jedného organizmu klesne za 250 rokov na 91,3 %.

a) Zostav zákon rozpadu. b) Vyrátaj polčas rozpadu! c) Aká stará je topánka, ktorej rádioaktívny podiel je ešte 75,3 %? d) Koľko % je rádioaktívny podiel po 1000 rokoch? e) Kedy je rádioaktívny podiel s 1 % takmer nemerateľný?

2. Váza má v dolnej časti tvar pologule, v hornej časti tvar paraboloidu, podľa obrázka.

a) Zisti objem tejto vázy. b) V akej výške sa nachádza liter vody v tejto váze?

Obrázok 1

3. Inteligenčný kvocient IQ rakúskeho obyvateľstva je približne normálne rozdelený s očakávanou hodnotou µ = 100 a štandardnou odchýlkou δ = 15.

a) Ktorú hranicu je treba stanoviť, aby mohlo byť 5 % všetkých osôb hodnotených ako génius? b) Ako génius človek v skutočnosti platí až od IQ 140. Koľko percent dosiahne viac ako 140? c) Koľko % Rakúšanov má IQ medzi 110 a 140? (Nadpriemerné, ale ešte nie génius!)

4. a) „Nočný vták“ príde neskoro v noci domov. Vo vrecku má 5 kľúčov, ktoré vyzerajú podobne. Dvere odomyká potme a postupuje pri tom nasledovne: Ak kľúč nepasuje, nedá ho naspäť do vrecka, ale vyberie iný spomedzi zostávajúcich kľúčov.

1) Aká je pravdepodobnosť, že na nájdenie správneho kľúča potrebuje menej ako 4 pokusy?

2) Koľko krát sa bude musieť priemerne pokúsiť otvoriť dvere? b) Do cesta dáme 50 hrozienok. Cesto poriadne premiesime a rozdelíme na 36 porcií. Aká je pravdepodobnosť, že jedna náhodne vybratá porcia cesta obsahuje najmenej 1 hrozienko?


45

LITERATÚRA

http://www.waxmann.com/fs/bruhn.pdf http://schulen.eduhi.at/riedgym/matura.htm

Doc. PaedDr. Soňa Čeretková,PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Josef Molnár, CSc. e-mail: [email protected]


47

ŠACHOVÉ ÚLOHY VO VÝPOČTOVOM PROSTREDÍ MATLAB®

VILIAM ĎURIŠ

ABSTRACT. This article deals with two specific chess problems that present "a trial-and-error method" and are an example of implementation of mathematics in amusement tasks. The tasks are processed in Matlab® programme device with emphasis on algorithmic constructions.

1 Kôň na šachovnici

Uvažujme jednoduchú úlohu definovanú nasledovne: Vytvorte program na vypísanie všetkých pozícií, do ktorých sa môže dostať šachový kôň po zadaní začiatočnej pozície po jednom ťahu. Nech je daná šachovnica 88× polí a definujme (ujasnime si) možné skoky šachového koňa (vo všeobecnosti 8 možností) (Obr. 1).

Obr. 1

Označme horizontálny smer pohybu šachového koňa doprava ako kladný a doľava ako

záporný. Rovnako označme vertikálny smer pohybu šachového koňa hore ako kladný a dole ako záporný. Ak miesto umiestnenia šachového koňa označíme súradnicami [ ]0,0 , potom jeho pohyb po šachovnici je všeobecne definovaný dvojicami [ ]1,2 , [ ]2,1 , [ ]2,1− , [ ]1,2− , [ ]1,2 −− , [ ]2,1 −− , [ ]2,1 − , [ ]1,2 − .

Teraz uložme šachového koňa na ľubovoľné miesto šachovnice (začiatočnej pozície), vypočítajme nové polohy (všetkých 8 možností), na ktoré sa môže dostať po jednom skoku v zmysle pravidiel jeho pohybu. Pochopiteľne, že nie všetky vypočítané pozície sú miestami šachovnice. Aby sme vedeli o tom rozhodnúť, potrebujeme nejakú funkciu (dovolena_pozicia.m), ktorá každú novú pozíciu otestuje.

function odp = dovolena_pozicia(pozicia_xy); if min(pozicia_xy) < 1 | max(pozicia_xy) > 8 odp = 0; %nie je dovolena else odp = 1; %je dovolena end

VILIAM ĎURIŠ

48

Pokiaľ pozícia je poľom šachovnice, zapamätáme si ju a po prejdení všetkých možností vypíšeme príslušné polia, do ktorých sa môže dostať šachový kôň po jednom ťahu zo zadanej začiatočnej pozície. Uvedený algoritmus sa dá zapísať v Matlabe ako skript (jeden_tah.m) nasledovne:

clc; pozicie = []; x0y0 = input('Zadaj začiatočnú pozíciu koňa: '); krokxy = [2 1 -1 -2 -2 -1 1 2; 1 2 2 1 -1 -2 -2 -1]; index = 1; for tah = 1:8 poz = x0y0 + [krokxy(1, tah), krokxy(2, tah)]; if dovolena_pozicia(poz) pozicie(index, :) = poz; index = index + 1; end end clc; disp('Možné pozície koňa po jednom ťahu:'); pozicie

Po zavolaní skriptu zadáme začiatočnú pozíciu koňa (ako vektor). >> Zadaj začiatočnú pozíciu koňa: [6 5] Čím získame výsledok Možné pozície koňa po jednom ťahu:

pozicie = 8 6 7 7 5 7 4 6 4 4 5 3 7 3 8 4

Teraz doplňme uvedený algoritmus tak, aby bol schopný vypísať všetky pozície, do

ktorých sa môže dostať šachový kôň po zadaní začiatočnej pozície po dvoch ťahoch. Vyslovená úloha priamo vyplýva (je len doplnením) z predchádzajúcej úlohy tým, že po každom premiestnení sa do povolenej pozície po prvok skoku sa táto stane začiatočnou, z ktorej sa presúvame a testujeme opäť všetkých 8 možností pohybu šachového kôňa. Takto sú, samozrejme, niektoré polia šachovnice navštívené viackrát.

clc; pozicie = []; x0y0 = input('Zadaj začiatočnú pozíciu koňa: '); krokxy = [2 1 -1 -2 -2 -1 1 2; 1 2 2 1 -1 -2 -2 -1]; index = 1; for tah1 = 1:8 poz1 = x0y0 + [krokxy(1, tah1), krokxy(2, tah1)]; if dovolena_pozicia(poz1) for tah2 = 1:8 poz2 = poz1 + [krokxy(1, tah2), krokxy(2, tah2)]; if dovolena_pozicia(poz2) pozicie(index, :) = poz2; index = index + 1; end


49

end end end clc; disp('Možné pozície koňa po dvoch ťahoch:'); pozicie

Na záver formulujme stanovený problém tak, že chceme, aby bol náš algoritmus

schopný vypísať všetky pozície šachovnice, do ktorých sa môže dostať šachový kôň po n ťahoch. Táto úloha sa však už bez použitia rekurzie [1] neobíde. Stačí si len uvedomiť, že 8 možností skoku a kontrola povolenej pozície šachového koňa z jeho danej pozície musí byť jadrom rekurzívnej funkcie (pohyb.m).

function pohyb(p, x0y0); global index krokxy pozicie for tah = 1:8 poz = x0y0 + [krokxy(1, tah), krokxy(2, tah)]; if dovolena_pozicia(poz) if p > 1 pohyb(p - 1, poz); else pozicie(index, :) = poz; index = index + 1; end end end

A samotným riešením v Matlabe je nasledujúci kód: clc; pozicie = []; x0y0 = input('Zadaj začiatočnú pozíciu koňa: '); p = input('Zadaj počet ťahov koňa: '); krokxy = [2 1 -1 -2 -2 -1 1 2; 1 2 2 1 -1 -2 -2 -1]; index = 1; global index krokxy pozicie clc; pohyb(p, x0y0); disp('Možné pozície koňa po'); disp(p); if p == 1 disp('ťahu:'); else disp('ťahoch:'); end pozicie

2 Problém ôsmich dám

V matematike je dobre známym problémom tzv. Problém ôsmich dám [2], ktorý preskúmal v roku 1850 C. F. Gauss, ale jeho riešenie nedoviedol do úspešného konca kvôli tomu, že ide o „náročný“ problém, ktorý je obtiažne (ba až nemožné) riešiť analyticky. Problém ôsmich dám je definovaný nasledujúcim spôsobom: Osem dám treba rozmiestniť na šachovnici takým spôsobom, aby žiadna z nich neohrozovala niektorú z ostatných figúrok (v zmysle pravidla pohybov šachovej dámy).

Budeme ukladať dámy na šachovnicu postupne od prvého stĺpca a do každého stĺpca práve jednu (vieme, že dve dámy sa v tom istom stĺpci nachádzať nemôžu tak, aby sa navzájom neohrozovali). Označme index stĺpca šachovnice symbolom

81, ≤≤ ii . Ďalej označme symbolom 81, ≤≤ jj , idnex riadku. V rámci každého stĺpca

VILIAM ĎURIŠ

50

budeme i-dámu ukladať postupne systematicky od prvého riadku až po posledný tak, aby sa dve dámy nenachádzali v tom istom riadku alebo na tej istej diagonále.

O tom, že sa dve dámy nenachádzajú v jednom riadku bude rozhodovať logická premenná (vektor a), resp. konkrétne pre každý riadok ak prvok ( )ja vektora a má hodnotu pravda, v j-tom riadku ešte žiadna dáma uložená nebola. Podobne prvky ( ) 151, ≤≤ kkb , vektora b budú rozhodovať o tom, že žiadna dáma sa nenachádza na k-tej

diagonále s orientáciou á, a prvky ( ) 151, ≤≤ kkc , vektora c budú rozhodovať o tom, že žiadna dáma sa nenachádza na k-tej diagonále s orientáciou ä. Z matematiky platí, že v diagonále á majú všetky pozície rovnaké súčty i + j súradníc, v diagonále ä sú zase konštantné rozdiely súradníc i – j. V skutočnosti je voľba hraníc vektorov b, c ovplyvnená tým, že sa indexy jednotlivých prvkov vypočítavajú. Potom voľba hraníc pre vektor b je

16..2 a pre vektor c 7..7− a každá diagonála je jednoznačne určená svojím indexom príslušného poľa. Keďže však najnižšia hodnota indexu v poli je jedna, sú v algoritme hranice vektorov b, c príslušne posunuté.

Teda dámu môžeme umiestniť v i-tom stĺci na j-tu pozíciu, ak platí

a(j) & b(i + j - 1) & c(i - j + 8) Po umiestnení i-tej dámy na j-tu pozíciu si túto zapamätáme v poli x, teda hodnota

prvku ( )ix bude označovať pozíciu i-tej dámy v i-tom stĺpci. A obsadíme príslušný riadok a diagonály.

x(i) = j; a(j) = 0; b(i + j - 1) = 0; c(i - j + 8) = 0;

Treba si však uvedomiť, že takýmto postupným systematickým ukladaním dám

nastane situácia, že pre žiadne j nie je možné uložiť i-tu dámu do i-teho stĺpca, čiže podmienka umiestnenia nie je splnená. Vtedy algoritmus najskôr odstráni dámu z j-tej pozície v i-1-om stĺpci a pokračuje v i-1-om nasledujúcou pozíciou uložením na ďalšiu pozíciu v poradí.

Odstránenie dámy je vyjadrené príkazmi (v nerekurzívnej vetve algoritmu): a(j) = 1; b(i + j - 1) = 1; c(i - j + 8) = 1;

Ak by j-tou pozíciou bola posledná v poradí (ôsma), algoritmus sa vráti

do i-2-ho stĺpca, kde odstráni dámu z príslušnej j-tej pozície a rovnako pokračuje ďalej. Ak riešenie nájdeme (uložením ôsmej dámy v ôsmom stĺpci), vypíšeme ho.

Celkovo riešenie v Matlabe má ako rekurzívna funkcia (vyskusaj.m) potom podobu:

function vyskusaj(i) global a b c x poradie for j = 1:8 if a(j) & b(i + j - 1) & c(i - j + 8) x(i) = j; a(j) = 0; b(i + j - 1) = 0; c(i - j + 8) = 0;


51

if i < 8 vyskusaj(i + 1); else poradie poradie = poradie + 1; riesenie = x(1:8) disp('----------------------------------------'); end a(j) = 1; b(i + j - 1) = 1; c(i - j + 8) = 1; end end

Algoritmus zistí všetkých 92 možných riešení problému ôsmich dám

(v skutočnosti však existuje iba 12 zásadne rozdielnych riešení, ostatné sú symetrické). Na spustenie algoritmu a inicializovanie potrebných poslúži skript „damy.m“. clc; global a b c x poradie a = ones(1, 8); b = ones(1, 15); c = ones(1, 15); poradie = 1; vyskusaj(1);

Potom napr. jedno z vypočítaných riešení po zavolaní programu z Promptu vyzerá

nasledovne (Obr. 2): poradie = 1 riesenie = 1 5 8 6 3 7 2 4 ----------------------------------------

Obr. 2

LITERATÚRA

[1] Fulier, J. – Ďuriš, V. – Frantová, P.: Systémy počítačovej algebry (CAS) vo vyučovaní matematiky. Nitra, UKF 2007

[2] Wirth, N.: Algoritmy a štruktúry údajov. 2. vyd., Bratislava, Alfa 1989, ISBN 80-05-00153-3

VILIAM ĎURIŠ

52

RNDr. Viliam Ďuriš Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. [email protected]


53

RIEMANNOVA HYPOTÉZA, BAZILEJSKÝ PROBLÉM A SUMÁCIA ISTÝCH NEKONEČNÝCH RADOV

JOZEF FULIER

ABSTRACT. In the paper we dealt historical comment about of the Basel problem, about of the Riemann hypothesis and the Riemann zeta function. We illustrate, that sum certain indefinite series himself bestow convey by elementary functions for attributes s=1, 2, 3 and 5.

1 Riemannova hypotéza a Bazilejský problém

V letných mesiacoch tohto roka sa dostal na pulty našich kníhkupectiev český preklad veľmi zaujímavej knihy amerického matematika a popularizátora vedy Johna Derbyshireho: Posedlost prvočísly (v origináli Prime obsession), v ktorej autor na viac ako 400 stranách zoznamuje čitateľa s jednou najzaujímavejšou a najpodnetnejšou matematickou hypotézou, ktorá trápi matematikov už temer 150 rokov: Riemannovou hypotézou. Jej vznik je spojený s rokom 1869, v ktorom bol nemecký matematik Bernhard Riemann prijatý na Berlínsku akadémiu. Pri svojom vstupe sa prezentoval prednáškou „O počtu prvočísel menších než dané číslo“. V tejto prednáške Riemann vyslovil jednu hypotézu, ktorá s témou prednášky veľmi nesúvisela. Napriek veľkému úsiliu matematikov tohto obdobia sa v priebehu celých 30 rokov nepodarilo túto hypotézu dokázať ani vyvrátiť. V roku 1900 na I. medzinárodnom kongrese matematikov zaradil David Hilbert túto hypotézu medzi 23 slávnych problémov (ako VIII. problém) pre 20. storočie, o ktorých sa domnieval že ich vyriešenie bude mať pre matematiku (i mimo nej) významné dôsledky. Riemannova hypotéza však nie je rozriešená dodnes, napriek tomu, že v súčasnosti je veľmi intenzívne študovaná najmä v súvislosti s tajnými šiframi a bezpečnými internetovými aplikáciami. Vstupnou „surovinou“ tejto hypotézy je komplexná Riemannova funkcia zeta ζ(s) definovaná vzťahom

1 1 1 1( ) 1 ... ...2 3 4s s s ss

nζ = + + + + + + , skrátene

1

1( ) sn

sn

ζ∞

=

=∑ , kde s∈ .

Riemannova hypotéza znie: Všetky netriviálne nulové body funkcie zeta majú reálnu časť rovnú jednej polovici. V kurzoch matematickej analýzy sa dokazuje (napríklad Cauchyho integrálnym kritériom

konvergencie), že rad 1

1s

n n

∞

=∑ (nazýva sa aj Riemannov rad) konverguje v reálnom obore

iba pre s ( )1, ,∈ ∞ resp. v prípade komplexného s, ak pre jeho reálnu časť (Re s) platí

( ) Re 1, .s∈ ∞ Poznamenajme, že pre s =1 Riemannov rad diverguje (v tomto prípade je Riemannov rad totožný s tzv. harmonickým radom). Samotnou problematikou súvisiacou s Riemannovou hypotézou sa zaoberať nebudeme. Čitateľa odkazujeme na vyššie citovanú knihu, ktorá obsahuje celý rad historických zaujímavostí. Pre s = 2 Riemannov rad úzko súvisí problémom, ktorý prvý roku 1644 sformuloval P. Mengoli (1625-1689), ale

JOZEF FULIER

54

všeobecne známym sa stal pod menom Bazilejský problém, keď ho v roku 1689 predstavil Jacob Bernoulli (1654-1705): Bazilejský problém:

„Nájdite v uzavretom tvare súčet nekonečného radu 2 2 2 2

1 1 1 11 ... ...2 3 4 n

+ + + + + + “

Prešlo však ďalších 46 rokov, kým bol problém rozriešený. Problém vyriešil až v roku 1735 mladý Leonhard Euler (1707-1783), ktorý dokázal prekvapujúcu rovnosť

2

2 2 2 2

1 1 1 11 ... ...2 3 4 6n

π+ + + + + + = , t.j. ζ(2) =

2

6π . Myšlienka dôkazu je skutočne

zaujímavá a očarujúca. Euler si všimol, že funkcia sin x

x má nulové body

, 2 , 3 ,...π π π± ± ± , z tohto usúdil, že táto funkcia sa dá vyjadriť ako nekonečný súčin

s tými istými nulovými bodmi: (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )....2 2 3 3

x x x x x xπ π π π π π

− + − + − + , ktorý

je možné prepísať do tvaru1 2 2 2

2 2 2(1 )(1 )(1 )...4 9

x x xπ π π

− − − Po formálnom roznásobení

koeficient Euler zistil, že koeficient pri člene x2 je rovný 2 2 2

1 1 1 ...4 9π π π

− − − − Na

druhej strane Euler poznal Taylorov rad funkcie 3 5

sin ...3! 5!x xx x= − + − , z ktorého dostal

vyjadrenie 2 4 6sin 1 ...

3! 5! 7!x x x x

x= − + − + V tomto vyjadrení je koeficient pri člene x2

rovný 13!

− , preto platí 2 2 2

1 1 1 ...4 9π π π

− − − − =13!

− . Z tejto rovnosti už ľahko dostal

2

2 2 2

1 1 1 ...1 2 3 6

π+ + + = , čo je požadovaná rovnosť.

S využitím tejto rovnosti môžeme ľahko nájsť súčty aj nasledovných nekonečných

radov: 2 2 2 2 2 2 2 21 1

1 1 1 1 1 1 1 1... , ...2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1)n nn n

∞ ∞

= =

+ + + = + + + =−∑ ∑ . Skutočne,

2 2

2 21 1

1 1 1 1(2 ) 4 4 6 24n nn n

π π∞ ∞

= =

= = =∑ ∑ a 2 2 2

2 2 21 1 1

1 1 1(2 1) (2 ) 6 24 8n n nn n n

π π π∞ ∞ ∞

= = =

= − = − =−∑ ∑ ∑ .

Výsledkom Eulerovho riešenia Bazilejského problému bolo nielen určenie hodnoty

ζ(2) = 2

6π , ale ako vedľajší produkt poskytoval aj presné hodnoty ζ(4) =

4

90π

, ζ(6) =6

945π

,

1 Tu je medzera v Eulerovom dôkaze (samotný Eulerov dôkaz Bazilejského problému bol menej elegantný myšlienka vyššie uvedeného dôkazu bola v ňom však obsiahnutá). Totiž, aj funkcie (1+x2)*sin x/x, (ex )* sin x/x majú tiež tie isté nulové body, ale nie sú vyjadrené uvedeným nekonečným súčinom. Treba priznať, že hoci sa Euler vrátil k tejto problematike (vzťah nulových bodov danej funkcie a príslušného nekonečného súčinu) v roku 1741, ani tu však nedosiahol dnešné štandardy presnosti.

RIEMANNOVA HYPOTÉZA, BAZILEJSKÝ PROBLÉM A SÚMÁCIA ISTÝCH ...

55

atď. L. Euler2 neskoršie vypočítal hodnotu ζ(s), pre párne s až po s = 26, 261 315862(26)= .

11 094 481 976 030 578 125πζ Je prekvapujúce, že v prípade nepárneho s

o hodnotách ζ(s) temer nič nevieme. Prirodzene vieme, že aj pre nepárne čísla s > 1, príslušný rad konverguje a súčet príslušného radu vieme vyčísliť s ľubovoľnou presnosťou, napr. ζ(3) =1,202 056 903 159..., avšak nevieme či pre nepárne s vôbec existujú podobné uzavreté vzťahy pre ζ(s), ako v prípade párnych s.

Bernhard Riemann (1826-1866) Leonhard Euler (1707 – 1783)

Po tomto historickom úvode, môžeme sformulovať zaujímavý netriviálny

pedagogický problém, úlohu pre študentov matematiky, či študentom inžinierskeho štúdia, ktorá s nastolenou Riemannovou hypotézou či Bazilejským problémom až tak veľmi nesúvisí, avšak formálna podobnosť s Riemannovou funkciou zeta je zjavná.

2 Formulácia a problému

Problém: Skúmajte nekonečný rad

1

1 1 1 1 1... ...1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... 1 2 3 ...s s s s s s s s s s s s s s

nn n

∞

=

+ + + + + =+ + + + + + + + + + +∑ kde s 0∈ a

nájdite niekoľko hodnôt (prípadne všetky) s∈ , pre ktoré sa dá súčet S(s) tohto radu vyjadriť v uzavretom tvare pomocou elementárnych funkcií.

Riešenie. Vyjadrime najprv súčty 1 2 3 ...s s s sn+ + + + pre s = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 v uzavretom tvare. Vzťahy pre s = 0, 1, 2 sú pomerne známe:

2 Poznamenajme, že okrem uvedených výsledkov je L. Euler je autorom formuly, ktorá je považovaná za najkrajšiu matematickú formulu: 1 0ieπ + = , keďže spája v jednoduchom vzťahu najdôležitejšie matematické konštanty (1, 0 sú najdôležitejšie konštanty aritmetiky, i je kľúčová konštanta algebry, e najdôležitejšia konštanta matematickej analýze, π najdôležitejšia konštanta geometrie). Leonhard Euler patrí k najväčším a najvplyvnejším matematikom v dejinách vôbec. V roku 2007 oslavujeme 300. výročie narodenia tohto vynikajúce matematika, preto bol rok 2007 vyhlásený za Rok Eulera.

JOZEF FULIER

56

10+20+30+...+n0 = n , 11 +21+ ... +n1 = ( 1)2

n n + , 12 +22 + ... +n2 = ( 1)(2 1)6

n n n+ + .

Vzťahy pre s = 3, s = 4, s = 5, s = 6 sa vo vyučovaní matematiky vyskytujú zriedkavejšie: 13 +23 + ... +n3 =

2( 1)2

n n +⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, 14 +24 + ... +n4 = 2( 1)(2 1)(3 3 1)

30n n n n n+ + + − ,

15 +25 + ... +n5 = 2 2 2( 1) (2 2 1)12

n n n n+ + − , 16 +26 + ... +n6 = 4 3( 1)(2 1)(3 6 3 1) .42

n n n n n n+ + + − +

a) Pre s = 0 je 1

11 2 3 ...s s s s

n n

∞

= + + + +∑ =1

1n n

∞

=∑ čo je harmonický rad, ktorý diverguje, t.j.

S(0)=∞ .

b) Pre s = 1 dostaneme rad 1 1

1 2 ,( 1)1 2 3 ...n n n nn

∞ ∞

= =

=++ + + +∑ ∑ ktorý patrí k tzv.

teleskopickým radom3, ktorých súčet vieme určiť. N - tý člen radu an = 2/n(n+1)

rozložme na parciálne zlomky 2 2 2( 1) 1n n n n

= −+ +

. Potom n - tý čiastočný súčet Sn tohto

radu sa rovná Sn = 1 1

2 2 2 2 2( )( 1) 1 1 1

n n

k kk k k k n= =

= − = −+ + +∑ ∑ , odkiaľ už ľahko dostaneme súčet

S(1) uvedeného radu (1) 2lim lim(2 ) 21nn n

S Sn→∞ →∞

= = − =+

.

c) Pre s = 2 máme rad 2 2 2 21

11 2 3 ...n n

∞

= + + + +∑ =1

6( 1)(2 1)n n n n

∞

= + +∑ . Rozložením n-tého člena

na parciálne zlomky dostaneme 6 6 6 24( 1)(2 1) 1 2 1n n n n n n

= + −+ + + +

. Pre n - tý čiastočný

súčet Sn uvedeného radu platí

1 1 1 1

1 1 1 1

6 6 24 1 1 1( ) 6 6 241 2 1 1 2 1

1 6 1 1 1 612 ( 6) 24 24 24 ( 6)1 2 1 2 2 1 1

n n n n

nk k k k

n n n n

k k k k

Sk k k k k k

k n k k k n

= = = =

= = = =

= + − = + − =+ + + +

+ − − = − + − =+ + + +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

1

1

1

1 1 6 1 1 1 1 1 624 ( ) ( 6) 24(1 .... ) 24 ( 6)2 2 1 1 2 3 4 2 2 1 1

1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 624(1 .... ) 24 ( 6) 18 24(1 .... ) . 2 3 4 2 2 1 1 2 3 4 2 2 1 1

1Ak uvážime, že (-1) ln 2, potom pre

n

k

n

n

k k n n n n

n n n n n n

n

=

∞+

=

= − + − = − − + − + − + + + −+ + + +

= − − + − + − + + + − == − − + − + − + ++ + + +

=

∑

∑ (2) (2)súčet S daného radu platí S = lim 18 24ln 2. nnS

→∞= −

3 Rad nazývame teleskopickým (angl. „tescope“ = ďalekohľad, teleskop), ak jeho čiastočné súčty majú tzv. teleskopickú vlastnosť: vďaka (teskopickému) rozkladu členov radu sa väčšina sčítancov v čiastočnom súčte navzájom zruší, čo umožňuje určiť súčet radu. Možno si to predstaviť tak, že v čiastočnom súčte teleskopického radu na∑ skupiny sčítancov zodpovedajúce jednotlivým členom an „zasúvame“ do seba a pritom väčšina týchto sčítancov „mizne“ podobne, ako sa zasúvajú do seba a miznú jednotlivé diely niektorých druhov (vysúvacích) ďalekohľadov.

RIEMANNOVA HYPOTÉZA, BAZILEJSKÝ PROBLÉM A SÚMÁCIA ISTÝCH ...

57

d) Pre s = 3 máme rad 3 3 3 31

11 2 3 ...n n

∞

= + + + +∑ = 2 21

4( 1)n n n

∞

= +∑ . Opätovným rozložením n-tého

člena na parciálne zlomky dostaneme 2 2 2 2

4 8 8 4 41( 1) ( 1)n nn n n n

= − + +++ +

. Pre n- tý

čiastočný súčet Sn uvedeného radu platí

2 2 2 21 1 1 1 1

(3)2 2 2 2

1 1

(3)2 2

2 2 1 1 1 1 1 14 ( ) 8 8 4 41 ( 1) 1 ( 1)

1 1 1 8 4 18(1 ) 8 4 4 12 8 . Preto súčet S daného radu je 1 ( 1) 1 ( 1)

8 4 1lim( 12 81 ( 1)

n n n n n

nk k k k k

n n

k k

n

Sk k k k k k k k

n k n n n k

Sn n k

= = = = =

= =

→∞

= − + + = − + + =+ + + +

− − + + − = − + + ++ + + +

= − + + ++ +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑2 2 2

21 1

2

21

1 4 4 36.) 12 8 12 8 12 , 6 3 3

1pričom sme využili Eulerov užasný výsledok, ktorý dostal pri riešení Bazilejského problému .6

n

k k

k

k

k

∞

= =

∞

=

−= − + = − + = − =

=

∑ ∑

∑

π π π

π

e) Zdá sa, že všetko ide hladko, bohužiaľ pre s = 4 sa situácia komplikuje. Totiž pre s = 4

máme rad 4 4 4 41

11 2 3 ...n n

∞

= + + + +∑ = 21

30( 1)(2 1)(3 3 1)n n n n n n

∞

= + + + −∑ . Analogicky ako

v predchádzajúcich prípadoch dostaneme vyjadrenie n- tého čiastočného súčtu Sn v tvare

súčtu príslušných parciálnych zlomkov Sn = 21

30( 1)(2 1)(3 3 1)

n

k k k k k k= + + + −∑ =

- 21 1 1 1

3 0 3 0 4 8 0 5 4 0 k + 2 7 0 - + + 1 1 4 7 2 1 2 1 7

n n n n

k k k kk k k k k= = = =+ + + −∑ ∑ ∑ ∑ . Pokusy nájsť S(4) = lim nnS

→∞ však

zlyhávajú. Následné šetrenie s využitím softvéru Mathematica (systém počítačovej algebry, ktorý umožňuje symbolické výpočty) preukázalo, že súčet S sa dá vyjadriť v tvare

[ ]30 90(9 6 8 4 0, 1/ 6(9 21) 0, 1/ 6(9 21) ),7 7

S EulerGamma Log PolyGamma PolyGamma⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

kde EulerGamma je tzv. Eulerova konštanta4

γ1 1 1lim 1 ... ln2 3n

nn→∞

⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

0.577216 a PolyGamma je špeciálna

neelementárna funkcia definovaná vzťahom:

PolyGamma [0, z] = ( ) , ( )

zz

ΓΓ

kde ( )zΓ = Γ , je tzv. Gama funkcia ,

ktorá je definovaná vzťahom 1

0( )

tzz t e dt−∞ −Γ = ∫ .

f) Pre s = 5 máme rad 5 5 5 51

11 2 3 ...n n

∞

= + + + +∑ = 2 2 21

12( 1) (2 2 1)n n n n n

∞

= + + −∑ . Analogicky ako

v predchádzajúcich prípadoch dostaneme vyjadrenie n- tého čiastočného súčtu Sn v tvare súčtu parciálnych zlomkov 4 Doteraz nie je známe, či Eulerova konštanta γ je racionálnym alebo iracionálnym číslom.

JOZEF FULIER

58

2 2 2 2 2 21 1

12 12 12 48( )( 1) (2 2 1) ( 1) 2 2 1

n n

nk k

Sk k k k k k k k= =

= = − − ++ + − + + −∑ ∑ =

2 2 21 1

12 12 48( ) ( )( 1) 2 2 1

n n

k kk k k k= =

− − ++ + −∑ ∑ .

Odkiaľ S = lim nnS

→∞=

2 2 21 1

12 12 48( ) ( )( 1) 2 2 1k kk k k k

∞ ∞

= =

− − ++ + −∑ ∑ . Ak uvážime

2

21

16k k

∞

=

π=∑ , potom

2 21

12 12( )( 1)k k k

∞

=

− −+∑ = 12 - 4 2π .Súčet druhého radu určíme pomocou systému Mathematica

21

48( )2 2 1k k k

∞

= + −∑ = 48 +83 3 ( )2

tg ππ . Z uvedeného vyplýva, že pre s = 5 súčet S(5)

uvedeného radu sa dá vyjadriť pomocou elementárnych funkcií nasledovne

S(5) = 60 - 4 2π +8 33 tang( )2

ππ .

g) Pre s =6 i pre s = 7, 8, ..., 100 sme hľadali súčet radu 1

11 2 3 ...s s s s

n n

∞

= + + + +∑ pomocou

programového systému Mathematica. Ani v jednom prípade sme však nedostali také vyjadrenie súčtu radu, aby neobsahoval hodnoty neelementárnych funkcií. K zaujímavým sprievodným javom tohto hľadania patrí i skutočnosť, vyjadrenia súčtu daného radu boli zložitejšie (z hľadiska počtu použitých symbolov) v prípade, ak exponent s bol prvočíslom a stávali sa jednoduchšími i pre väčšie s, ak exponent s bol číslom zloženým. Toto nás vedie k sformulovaniu nasledovnej hypotézy.

Hypotéza. Súčet S(s) radu 1

1 , s1 2 3 ...s s s s

n n

∞

=

∈+ + + +∑ sa dá vyjadriť v uzavretom tvare

s výlučným využitím elementárnych funkcií iba pre 1,2,3,5s∈ .

LITERATÚRA

[1] Derbyshire, J. Posedlost prvočísly. Praha, Academia, 2007 (Galileo, sv.6), ISBN 978-80-200-1479-5

[2] Larson, L.,C.: Metódy riešenia matematických problémov. Bratislava, Vydavateľstvo Alfa 1990, ISBN 80-05-00627-6

Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Zoltán Zalabai, CSc. e-mail: [email protected]


Podporené grantom KEGA 3/3269/05 59

LEONHARD EULER A NEKONEČNÉ RADY5

JÁN GUNČAGA

ABSTRACT. This year we celebrate the 300 year anniversary of mathematician Leonhard Euler (1707-1783). In this article we show some examples solved by Euler in the field of real numbers series and power series.

Úvod

V roku 2007 si pripomíname 300 rokov od narodenia významného švajčiarskeho matematika Leonharda Eulera. Podľa [7] narodil sa v Bazileji 15. apríla 1707 a zomrel v Petrohrade 18. septembra 1783, kde pôsobil v rokoch 1727 – 1741, 1766 - 1783. V rokoch 1741 až 1766 pôsobil v Berlíne, preto v roku 2007 organizovala Humboldtova univerzita v Berlíne spomienkovú výstavu venovanú tomuto výročiu.

Obrázok 1: Jedna z expozícií výstavy pri príležitosti 300. výročia narodenia Leonharda

Eulera na Humboldtovej univerzite v Berlíne (marec 2007)

V tomto príspevku chceme poukázať na jeho niektoré zaujímavé výsledky v oblasti nekonečných číselných radov a nekonečných mocninových radov. Aj keď z pohľadu dnešnej matematiky nebol vždy jeho postup celkom korektný, napriek tomu dosiahol mnohé pozoruhodné a správne výsledky.

5 Článok vznikol aj vďaka projektu KEGA č. 3/3269/05

JÁN GUNČAGA

60

Číslo e, funkcie ex a ln x

Leonhard Euler publikoval viaceré svoje myšlienky o nekonečných číselných radoch a nekonečných mocninových radoch v legendárnej knihe Introductio in Analysin infinitorum (pozri [3]).

V 7. kapitole definuje číslo e, ktoré bolo nazvané jeho menom. Pri jeho definícii vychádza z faktu, že pre každé reálne číslo a rôzne od nuly platí a0 = 1. Ak číslo a je väčšie ako 1, potom pre u > 0, platí au=1 + v, kde v je kladné reálne číslo. Nech teraz v = ku, kde k je konštanta, ktorá závisí od a. Potom au = 1 + ku a pre číslo N platí

( ) =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ....

32111 3322 uk

Nuk

Nku

Nkua NNu

( ) ( )( ) ...3.2.1

212.1

11

1 3322 +−−

+−

++= ukNNNukNNkuN

Nech teraz Nxu = je nekonečne malé číslo a x je reálne číslo. Potom N je nekonečne

veľké číslo, pričom platí ( ) ( )( )

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

++= ...3.2.1

212.1

11

13

32

2

NxkNNN

NxkNN

NxkNa N

xN

=+−

⋅−

+−

++= ....3

22

12

11 3322 xkN

NN

NxkN

Nkx

Na tomto mieste Euler opätovne pripomína, že N je nekonečne veľké číslo. k je reálna konštanta, ktorá závisí od a. Preto podľa Eulera musí platiť

1...321==

−=

−=

−N

NN

NN

N , a teda ,...31

32,

21

21

=−

=−

NN

NN

Tvrdí, že so zväčšujúcim sa N sa hodnoty zlomkov v posledných rovniciach na ľavej strane približujú k hodnotám zlomkov na pravej strane, využitím čoho dostal rovnosť

∑∞

=

=++++=0

3322

!....

3.2.12.111

j

jjx

jxkxkxkkxa (1)

Tu Euler poznamenáva, že pre x = 1, dostávame vzťah medzi číslami a a k:

∑∞

=

=++++=0

32

!....

3.2.12.111

j

j

jkkkka

Následne definuje svoje číslo e ako hodnotu čísla a, pre ktorú platí k = 1:

∑∞

=

=++++=0 !

1....3.2.1

12.1

1111

j je

Číslo e aj vyčísľuje (s presnosťou na 23 miest): e = 2,71828182845904523536028. Ľahko nahliadneme, že vo vzťahu (1) ak k = 1, tak dostaneme vyjadrenie

exponenciálnej funkcie y = ex v tvare mocninového radu

∑∞

=

=++++=0

32

!....

3.2.12.111

j

jx

jxxxxe .

V tejto kapitole môžeme nájsť rozvoj aj logaritmickej funkcie y = ln x. Pri jej odvodení Euler využil „zovšeobecnené“ kombinačné čísla. Ak N, k sú nezáporné čísla, potom

LEONHARD EULER A NEKONEČNÉ RADY

61

!)1)...(2)(1(

!)!(!

kkNNNN

kkNN

kN +−−−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Ak nahradíme číslo N zlomkom

N1 dostaneme

!

11...211111

k

kNNNN

kN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛. (2)

Vráťme sa k vzťahu ( )NNu kua += 1 a použime substitúciu ( ) .11 xku N +=+ Odtiaľ

( )Nxku1

11 +=+ , preto ( ) 111−+= Nxku . Ak vynásobíme poslednú rovnicu zlomkom

kN ,

dostaneme ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 11

1Nx

kNNu . (3)

Keďže ( )NNu kua += 1 , tak platí xa Nu +=1 . Odtiaľ Nu = loga(1 + x). Ak túto rovnicu

porovnáme s (3) dostaneme loga(1 + x) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 11

1Nx

kN . (4)

Podľa Eulera s využitím (2) dostaneme

( ) ...4

1

3

1

2

1

1

111 432

1+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=+ xNxNxNxNx N =

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++= ...4.3.2.1

3121111

3.2.1

21111

2.1

11111 432 xNNNNxNNNxNNxN

=+−

⋅−

⋅−

⋅+−

⋅−

⋅+−

⋅++= ...4

313

212

113

212

112

1111 432 xN

NN

NNN

Nx

NN

NN

Nx

NN

Nx

N

...4

133

122

113

122

112

1111 432 +−

⋅−

⋅−

⋅−−

⋅−

⋅+−

⋅−+= xN

NN

NN

NN

xN

NN

NN

xN

NN

xN

Odtiaľ ( ) ...4

133

122

13

122

12

11

1 4321

+−

⋅−

⋅−

−−

⋅−

+−

−+=+ xN

NN

NN

NxN

NN

NxN

NxNxN N

Podobne ako v predchádzajúcich úvahách N je nekonečne veľké číslo, a preto

,...43

413,

32

312,

21

21

=−

=−

=−

NN

NN

NN Odtiaľ

( ) ...4321

...43

32

21

32

21

211

43243

21+−+−+=+⋅⋅−⋅+−+=+

xxxxNxxxxNxN N (5)

Podľa (4) loga(1 + x) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= NxN

kx

kN

NN11

1111 . Použitím (5) dostaneme

loga(1 + x) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= ...

43211 432 xxxxk

. Eulerovo číslo e je hodnotou čísla a, pre ktorú

platí k = 1, a teda ln(1 + x) ...4321

432

+−+−=xxxx .

JÁN GUNČAGA

62

Euler na tomto mieste používa známu substitúciu, že nahrádza číslo x číslom –x

a dostáva ďalší rad ln(1 − x) ...4321

432

−−−−−=xxxx . Pre numerické účely Euler

odporúča využiť rad ln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

xx

11 = ln(1 + x) − ln(1 − x) = ...

72

52

322

753

++++xxxx .

O tomto rade tvrdí, že „veľmi rýchlo konverguje“, ak za x dosadíme „veľmi malý

zlomok“. Následne dosadzuje za x hodnoty 91,

71,

51 a uvádza nasledovné číselné rady:

ln 46 = ln

23 = ...

5.72

5.52

5.32

5.12

753 ++++

ln 34 = ...

7.72

7.52

7.32

7.12

753 ++++

ln 45 = ...

9.72

9.52

9.32

9.12

753 ++++

Z logaritmov týchto zlomkov nájdeme hodnoty logaritmov viacerých prirodzených čísel, ak využijeme vlastnosti logaritmov:

ln 2 = ln 23 + ln

34 , ln 3 = ln 2 + ln

23 , ln 4 = 2 ln 2, ln 5 = ln

45 + ln 4,

ln 6 = ln 2 + ln 3, ln 8 = 3. ln 2, ln 9 = 2. ln 3, ln 10 = ln 2 + ln 5. Podobne ako číslo e, aj tieto čísla Euler vyčísľuje (dokonca až na 25 miest): ln 2 = 0, 69314 71805 59945 30941 72321, ln 3 = 1, 09861 22886 68109 69139 52452, ln 4 = 1, 38629 43611 19890 61883 44642, ln 5 = 1, 60943 79124 34100 37460 07593, ln 6 = 1, 79175 94692 28055 00081 24773, ln 8 = 2, 07944 15416 79835 92825 16964, ln 9 = 2, 19722 45773 36219 38279 04905, ln 10 = 2, 30258 50929 94045 68401 79914.

V tomto rade evidentne chýba ln 7. Euler odporúča dosadiť do posledného mocninového

radu x = 991 . Tak dostaneme ln

98100 = ln

4950 = 0, 02020 27073 17519 44840 78230.

Z predchádzajúcich hodnôt dostaneme ln 50 = 2 ln 5 + ln 2 = 3, 91202 30054 28146 05861 87508.

Teraz môžeme vypočítať hľadaný logaritmus

ln 7 = 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

4950ln 50ln = 1, 94591 01490 55313 30510 54639.

Rad ∑∞

=12

1n n

Pri odvodení súčtu tohto radu vychádzal podľa [5] z vlastností polynómov. Kvadratická rovnica 001

22 =++ axaxa , (6)

ktorá má korene α, β musí mať tvar ( )( ) 02 =−− βxαxa .

LEONHARD EULER A NEKONEČNÉ RADY

63

Odtiaľ ( ) 022

22 =++− αβaxβαaxa . (7)

Ak vydelíme rovnice (6) a (7) ich lineárnymi členmi, dostaneme

010

12

0

2 =++ xaa

xaa

(8)

01111 2 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− xβα

xαβ

(9)

Ak porovnáme lineárne členy vo vzťahoch (8) a (9), tak dostaneme 0

111aa

βα−=+ .

Analogicky ak by polynomická rovnica 0... 01

1 =+++ −− axaxa n

nn

n mala korene

nααα ,...,, 21 , tak by pre ne platilo

0

1

21

1...11aa

ααα n−=+++ . (10)

Mocninový rad ...!7!5!3

sin753

+−+−=xxxxx Euler interpretoval ako polynóm

nekonečného stupňa, ktorého korene sú πkαn = pre všetky celé čísla k . Ak vydelíme

uvedený rad premennou x, tak dostaneme ...!7!5!3

1sin 642

+−+−=xxx

xx . V tomto

prípade vypadne koreň 0=x a zostanú korene πn± pre všetky prirodzené čísla n.

Ak zavedieme substitúciu x2 = u, tak rovnica ...!7!5!3

132

+−+−uuu = 0 by mala mať

korene 22πn pre všetky prirodzené čísla n. Podľa vzťahu (10) by pre túto rovnicu malo

platiť 61

1!3

1

...1...4

11

0

12222 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=−=++++aa

πnππ. Odtiaľ

61...1...

91

411

2

122

πnn n

==+++++ ∑∞

=

.

Záver

V tomto článku sme chceli poukázať na výnimočnosť niektorých postupov a výsledkov Leonharda Eulera, ktoré sú hodnotné aj pre školskú matematiku. Postup pre výpočet hodnôt logaritmov bol iste návodom pre tvorbu logaritmických tabuliek v 18. storočí. Aj keď sa v súčasnosti používajú kalkulátory a počítačové programy, domnievame sa, že žiaci by mali poznať aspoň niektoré postupy, ktoré sa využívali v čase, keď tieto technológie neboli dostupné.

Pre učiteľa matematiky poskytujú možnosť predstaviť žiakom hĺbku a krásu matematického myslenia významných matematikov, k akým Leonhard Euler nepochybne patrí. Tieto prístupy možno nájsť aj v [1], [2], [4], [6], [8], [9], [10].

JÁN GUNČAGA

64

LITERATÚRA

[1] Domoradzki S.: Stefan Banach´s textbooks. In: Matematika v škole dnes a zajtra: Zborník konferencie s medzinárodnou účasťou konanej v dňoch 12.-14. septembra 2005 v Ružomberku, Ružomberok, PF KU, 2006, s. 46 – 51

[2] Eisenmann P. : Propedeutika infinitezimálního počtu, Ústí nad Labem, UJEP, 2002, ISBN 80 – 7044 – 435 – 5

[3] Euler L.: Einleitung in der Analysis des Unendlichen. Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum, nemecký preklad - reprint, Berlin – Heidelberg – New York, Springer Verlag, 1983, ISBN 3 – 540 – 12218 – 4

[4] Fulier J., Šedivý O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky, Nitra, FPV UKF, 2001, ISBN 80 – 8050 – 445 – 8

[5] Kopp P. E.: Analysis, London – Sydney – Auckland, Arnold, 1996, ISBN 0 – 340 – 64596 – 2

[6] Powązka Z., Chronowski A.: Pochodna funkcji, Wilkowice, Dla szkoly, 2000, ISBN 83 – 88396 – 00 – 5

[7] Smith D. E.: History of mathematics Volume 1, New York, Dover Publications, 1958, ISBN 0 – 486 – 20429 – 4

[8] Tkačik Š.: Spojitosť a limity trochu inak. In: Zborník konferencie Setkání kateder matematiky České a Slovenské republiky připravující budoucí učitele, Ústí nad Labem, 2004, UJEP, s. 85 – 89

[9] Vancsó Ö.: An everyday life problem related to expected values. In: ProMath: Proceedings of the international conference, Debrecen, University of Debrecen, s. 85 – 94

[10] Zhouf J.: Aritmetika v desítkové soustavě s neobvyklými číslicemi. In: Dva dny s didaktikou matematiky, Zborník príspevkov, 2003, Praha, Pedagogická fakulta UK, 2003, s. 41-45. ISBN 80-7290-143-5

PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Katolícka univerzita Námestie A. Hlinku 56 SK – 034 01 Ružomberok e-mail: [email protected]

Recenzoval: RNDr. Jaroslav Zhouf, PhD. e-mail: [email protected]


Článek je částečně podporován projektem EQUAL/2/07;CZ.04.4.09/3.1.00.4/0008. 65

PŘÍPRAVA SLUCHOVĚ POSTIŽENÝCH STUDENTŮ KE STUDIU VŠ – KURZ MATEMATIKA

HASHIM HABIBALLA – LUCIE HABIBALLA – ZDENKA TELNAROVÁ

ABSTRACT. University of Ostrava offers education in the frame of distance applied computer science studies. The studies are specifically open to handicaped students especially with hearing defect. These students suffer from additional problems concerning distance studies and therefore there is a mathematical preparatory course supported by Equal project. The article analyses experience and opinions of students and introduces interesting feedback from pilot project.

Distanční studia informatiky na Ostravské Univerzitě

Katedra informatiky a počítačů Přírodovědecké fakulty Ostravské Univerzity se již deset let věnuje vzdělávání v rámci graduálních studijních programů distanční a kombinovanou formou. Jde především o bakalářské studium Aplikovaná informatika, ale také o navazující magisterské studijní programy a programy celoživotního vzdělávání. Na počátku plánů na zavedení distanční formy studia stála snaha umožnit toto vzdělání získat i smyslově postiženým studentům - především se sluchovým defektem. I proto se katedra zapojila do projektu "Vývoj a zavedení systému celoživotního vzdělávání osob s postižením sluchu" byl vytvořen kurz pro přípravu sluchově postižených studentů ke studiu na vysoké škole. Velmi obtížné jsou pak pro studenty především matematicky orientované kurzy. Jde nejen o klasickou matematickou analýzu nebo algebru, ale i disciplíny matematické informatiky, které se bez solidních znalostí teorie množin, algebry a logiky neobejdou.

Studenti se sluchovým postižením

Neslyšící se od slyšících lidí liší jenom tím, že neslyší. V jejich vlastním světě však je ztráta sluchu kompenzována tím, že mají svůj jazyk, který je stejně dokonalý jako jazyky mluvené -- jazyk znakový. Psaná podoba jazyka plní v komunikačním systému sluchově postižených důležitou úlohu. Odezírání (vizuální percepce řeči) je schopnost vnímat mluvenou řeč sledováním pohybů mluvidel, výrazu obličeje, gestikulace i pohybů těla. Odezírání nemůže plně nahradit slyšení řeči. Pro dobrou schopnost odezírání musejí být splněné určité podmínky: Navázání dobrého osobního kontaktu -- je dobré předem sdělit téma hovoru, Řeč mluvící osoby -- zřetelná výslovnost, ale ne přehnaná, volnější řečové tempo, krátké věty a mezi nimi pomlky, nepoužívat cizí slova. Právě problém vytvořit srozumitelné studijní opory s minimem cizích slov a jednoduchými větami je spolu s možností využít tlumočníka znakové řeči potřeba zdůraznit. Tlumočník by měl být seznámen na určité úrovni s daným oborem.

Přípravný kurz ke studiu na vysoké škole

Již zmíněný přípravný kurz ke studiu na VŠ není sice orientován na výlučně informatická témata - předpokládá se, že absolventi budou studovat i jiné obory, avšak


66

mnoho z nich zvolí studium právě aplikované informatiky. Kurz je navržen jako distanční, s prezenčními tutoriály. Obsahuje 4 moduly: Výpočetní technika, Čeština, Angličtina, Matematika.

Ke všem modulům byly zpracovány studijní opory s prvky distančního vzdělávání a tyto opory pak byly k dispozici jako klasické vytištěné texty a zároveň jako multimediální materiály v LMS Moodle, včetně doplňkových interaktivních aplikací. Opory byly recenzovány odborníky – učiteli – ze škol vyučujících smyslově postižené studenty. Pilotní kurz byl realizován prostřednictvím kombinace prezenční výuky a distanční výuky. V akademickém roce 2006/2007 se jej zúčastnilo celkem 15 neslyšících studentů.

Výzkum postojů a evaluace frekventantů kurzu

V rámci pilotního kurzu byl také proveden pedagogický výzkum prostřednictvím metody dotazníkové. Vyhotovený dotazník obsahoval evaluaci kurzů. Šlo o otázky 2 typů:

1. Obsahové zhodnocení 2. Zhodnocení organizace a pedagogické úrovně V oblasti 1 se zkoumala vhodnost zařazení daných témat, prospěšnost kurzu z hlediska

praktické využitelnosti a originality témat ve subjektivním smyslu (tedy zda dané téma bylo nové pro studenta). Tyto otázky byly uzavřené – tedy studenti mohli hodnotit na 4 stupňové škále. Studenti mohli také odpovídat na dvě otevřené otázky, které hodnotily zbytečná a naopak chybějící témata. V oblasti 2 se uzavřenými otázkami zkoumal subjektivní názor na vhodnost kurzu pro sluchově postižené studenty, názor na práci lektora, tlumočníka a kvalitu studijní opory. Zkoumal se názor na náročnost kurzu, rychlost a srozumitelnost výkladu.

Modul matematika

Účast na jednotlivých prezenčních setkáních měla spíše klesající tendenci. Anonymní dotazník pak vyplnilo pouze 10 účastníků. Pokud jde o hodnocení vhodnosti obsahu (graf 1), pak většina účastníků hodnotila alespoň některá témata jako využitelná. Podobné výsledky byly dosaženy, pokud jde o názor na využitelnost nabytých znalostí a dovedností (graf 2). Většina frekventantů si myslí, že většinu z těchto témat využije. Dalším kritériem bylo, kolik je pro studenta témat nových (graf 3).Všichni studenti označili témat buď z poloviny za nové anebo pro ně byla známá většina témat, avšak ne všechny.

Vhodnost témat kurzu

0

8

2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

vše

něco

málo

žádné

Graf 1. Vhodnost témat kurzu

PŘÍPRAVA SLUCHOVĚ POSTIŽENÝCH STUDENTŮ – KURZ MATEMATIKA

67

Prospěšnost obsahu kurzu

1

7

2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

vše

většina

málo

nic

Graf 2. Prospěšnost obsahu kurzu

Originalita obsahu kurzu

0

5

5

0

0 1 2 3 4 5 6

vše

většina nová

polovina

většina známá

Graf 3. Originalita obsahu kurzu

V rámci podrobnějšího hodnocení se zkoumala práce lektora, kterou všichni studenti hodnotili jako vynikající nebo velmi dobrou všichni respondenti (graf 4).

Kvalita lektora

6

4

0

0

0 1 2 3 4 5 6 7

vynikající

velmi dobrý

dobrý

nezaujal

Graf 4. Kvalita lektora

Stejná otázka kladena na tlumočníka (graf 5) - pouze jeden student jej hodnotil jako dobrého a jeden jako nevyhovujícího, ostatní jej hodnotili jako vynikajícího nebo velmi dobrého.


68

Kvalita tlumočníka

5

3

1

1

0 1 2 3 4 5 6

vynikající

velmi dobrý

dobrý

nevyhovoval

Graf 5. Kvalita tlumočníka

Dále se zkoumala kvalita výukové opory, kterou hodnotili většinou jako použitelnou (graf 6).

Kvalita opory

3

5

1

1

0 1 2 3 4 5 6

velmi zajímavá

použitelná

málo použ.

nevím

Graf 6. Kvalita opory

Náročnost kurzu byla většinou hodnocena jako střední – možná mírně vyšší (graf 7).

Náročnost kurzu

3

3

3

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

velmi

náročný

středně

snadný

Graf 7. Náročnost kurzu

PŘÍPRAVA SLUCHOVĚ POSTIŽENÝCH STUDENTŮ – KURZ MATEMATIKA

69

Jednoduché téma Neutrální téma Obtížné téma Derivace Soustavy lineárních rovnic Výroková logika Integrál Nelineární rovnice a

nerovnice Algebra reálných čísel, rovnice, nerovnice

Posloupnosti a řady Kombinatorika

Tab. 1. Shrnutí obtížnosti témat

Tabulka 1 ukazuje slovní hodnocení frekventantů o jednotlivých tématech kurzu. Překvapivé bylo, že studenti nepovažovali za obtížné témat Derivace a Integrál, což většinou u studentů nižších ročníků VŠ bývá prubířský kámen. Nutno přiznat, že téměř polovina frekventantů navštěvuje Střední průmyslovou školu pro sluchově postižené ve Valašském Meziříčí, kde je výuka matematiky na vysoké úrovni. Studenti neměli problém ani s praktickými příklady. Naopak témata, která se považují za spíše jednoduchá jako je logika, algebraické operace, lineární rovnice a nerovnice, posloupnosti a řady či jednoduchá kombinatorika byla poměrně obtížná a zabrala velkou část prezenčních setkaní kurzu. Bylo nutné ve spolupráci s tlumočníkem dobře ilustrovat na schématech, obrázcích a po krocích pojmy jako je například distributivní zákon, kombinace, variace, logická implikace či geometrická řada. V porovnání s podobnými kurzy realizovanými pro běžné studenty vykazuje tato skupina handicapovaných studentů značné odlišnosti. Je pravdou, že vzorek je velmi malý (ovšem je poměrně složité najít nějaký konzistentní vzorek sluchově postižených studentů ochotných studovat matematiku a dojíždět jednou za týden na prezenční tutoriály). Také je nutné vzít v úvahu fakt, že nezanedbatelná část frekventantů byla z jedné školy – zmíněné Střední průmyslové školy.

Závěry

Bližší informace k projektu je možné najít na webových stránkách http://proplnyzivot.osu.cz/. Všechny moduly vyzněly v hodnocení poměrně podobně. Jednak byly shledány jako kvalitní a vyučované kvalitními lektory včetně vyhovujících tlumočníků. I když opory byly hodnoceny kladně, určitě je možné je zlepšovat, neboť některá témata nemusejí být vhodná a užitečná a mohla by je nahradit témata, která studenti přímo explicitně požadovali. U kurzu matematiky byly výsledky o něco málo horší než u Výpočetní techniky a Českého jazyka. Specifika přípravy sluchově postižených studentů v matematice by se dala krátce sumarizovat následovně:

• Studijní opory nelze konstruovat stejně jako u nehandicapovaných studentů; je potřeba psát v jednoduchých větách, nepoužívat příliš mnoho cizích slov a hlavně založit výklad na příkladech, úkoly volit jednoduché a zapojit kreativitu studentů. Není také na škodu odlišit jednotlivé DiV prvky textu barevně.

• Kurz v LMS systému je pouze podpůrným prostředkem – dostatečný počet tutoriálů je zde naprosto nezbytný.

• Studenti se sluchovým postižením jsou velice aktivní (v porovnání s nehandicapovanými) a jejich dotazy se časově téměř vyrovnají vlastnímu výkladu.

• Tutoriály je potřeba dělat s tlumočníkem do znakové řeči, který má dobrou znalost problematiky po odborné stránce (během výkladu se vyskytlo mnoho dotazů,


70

které by laik v oblasti informatiky nedokázal dobře přeložit); spoléhat se na odezírání není vzhledem ke vzdálenosti v hromadné výuce možné.

• Většina studentů byla překvapivě dobrá v tématech matematické analýzy jako jsou derivace, průběhy funkcí atd.

• Problematická byla spíše témata věnovaná logice, kombinatorice atd., což je překvapivé, protože u studentů spíše běžně pozorujeme opačný trend.

Veškeré výsledky by měly být brány spíše jako orientační resp. jako sbírka zkušeností pro čtenáře, který by plánoval podobně orientovanou podporu sluchově postižených v oblasti matematiky.

LITERATÚRA

[1] EQUAL. Webové stránky projektu Equal na OU, dostupné na: http://proplnyzivot.osu.cz

[2] FOJTÍK, R. DISTANČNÍ FORMA VÝUKY APLIKOVANÉ INFORMATIKY NA OSTRAVSKÉ UNIVERZITĚ. In DIVAI 2004, FPV UKF Nitra, 2004.

[3] VÍTKOVÁ, M. et. al.. Integrativní speciální pedagogika. 68. publikace. Brno: nakl. Paido, 1998. 181 s. ISBN 80-85931-51-6.

RNDr. PaedDr. Hashim Habiballa, PhD., Ing. Zdenka Telnarová, Ph.D. katedra informatiky a počítačů, Ostravská Univerzita, 30. dubna 22, 701 03 Ostrava 1, CZ e-mail: [email protected] Bc. Lucie Habiballa – Ústav sociální péče Hlučín

Recenzent: RNDr. PaedDr. Eva Volná, PhD. e-mail: [email protected]


Článek je částečně podporován projektem EQUAL/2/07;CZ.04.4.09/3.1.00.4/0008. 71

VYUŽITIE DIPLOMOVÝCH PRÁC V POČÍTAČOM PODPOROVANOM VYUČOVANÍ MATEMATIKY NA PDF TU

PAVEL HÍC, MILAN POKORNÝ

ABSTRACT. The paper deals with using of dissertation thesis in computer supported mathematics teaching. The authors describe three different software which were created by them and their students as a part of dissertation thesis and which can be efficiently used in teaching of chosen parts from mathematics.

Úvod

Počítačom podporované a počítačom riadené vyučovanie si v ostatných desiatich rokoch získali pomerne významné miesto vo vzdelávacom procese na slovenských vysokých školách. Jednotlivé fakulty sa snažia nájsť vhodnú a vyváženú kombináciu medzi klasickou vyučovacou metódou a vyučovaním prostredníctvom moderných informačných a komunikačných technológií. Efektívne využitie IKT so sebou nesporne prináša veľké množstvo výhod, medzi ktoré patria najmä možnosť prezentácie poznatkov v príťažlivej grafickej podobe (vrátane videosekvencií); štúdium vlastným tempom nezávisle od miesta, kde sa študent nachádza; možnosť poskytnutia okamžitej spätnej väzby študentovi; rozšírenie možností motivovať študenta; možnosť simulovať príliš nákladné alebo veľmi dlho trvajúce deje. V prípade umiestnenia elektronického vzdelávacieho obsahu v LMS máme ešte mnoho ďalších funkcií, ktoré nám umožnia zefektívniť vzdelávací proces, napríklad nástroje pre synchrónnu a asynchrónnu komunikáciu medzi študentmi a tútorom a medzi študentmi navzájom; možnosť monitorovania a riadenia činnosti študentov; možnosť štatistického spracovania údajov o štúdiu a študentoch. Dnes už mnohé fakulty používajú LMS, či už voľne dostupný, alebo komerčný. Na PdF TU používame už od roku 2003 LMS EKPTM, v ktorom máme umiestnené vlastné i zakúpené kurzy, vrátane štyroch kurzov z oblasti matematiky, ktoré vytvorili autori tohto článku. Viac informácií o našich skúsenostiach s týmto systémom možno nájsť napríklad v [5]. Pochopiteľne, moderné IKT využívajú aj mnohé iné fakulty, ako sa o tom možno dozvedieť napríklad v [2], [3], [4], [7].

Jednou z najväčších nevýhod používania IKT vo vzdelávaní je náročná príprava elektronického vzdelávacieho obsahu, ktorá svojimi časovými a finančnými požiadavkami niekoľkonásobne prevyšuje prípravu klasických tlačených materiálov. Je nemožné, aby si vyučujúci sám pripravoval na všetky svoje hodiny svoje vlastné výukové programy. Okrem časovej náročnosti by totiž druhým problémom mohlo byť ovládanie príslušnej aplikácie na výrobu takého programu, ktorou je často programovací jazyk. Preto pri príprave profesionálnych elektronických kurzov pracuje tím zložený aspoň z odborných garantov obsahu, grafika a programátora. Takýto tím potom dokáže pripraviť profesionálny kurz rešpektujúci poznatky z pedagogiky a psychológie o tom, ako sa ľudia učia a zároveň spĺňajúci štandardy, ktoré zaručujú použiteľnosť kurzu v LMS, ako napríklad AICC a SCORM.

Hoci sa na katedre matematiky a informatiky PdF TU snažíme o výrobu profesionálnych e-learningových kurzov z oblasti matematiky, nie je v našich silách


72

pokryť v krátkej dobe celé kurikulum. Zatiaľ sa nám podarilo vyrobiť štyri kurzy (Grafové algoritmy v školskej praxi, Binárne relácie, Logika, Množiny) a v tomto akademickom roku vyrobíme ďalšie dva (Opisná štatistika, Testovanie štatistických hypotéz). Aj preto sme využili skutočnosť, že v akademickom roku 2006/2007 končili na našej fakulte budúci učitelia informatiky a v rámci ich diplomových prác sme navrhli elektronický vzdelávací obsah z oblasti matematiky, ktorý potom študenti spracovali do podoby počítačom podporovaného vzdelávania. Jednotlivé práce predstavíme podrobnejšie v ďalšej časti článku.

Štatistické testovacie metódy

Výsledkom prvej diplomovej práce, ktorej autorom je Peter Kozina, je kurz Štatistické testovacie metódy (pozri [6]). Kurz sa zaoberá testom normality podľa D’Agostina, testovaním podielu dvoch variancií (F-test), testovaním rozdielu dvoch aritmetických priemerov pri rovnakej aj nerovnakej variancii (t-test) a porovnaním priemeru výberu s priemerom základného súboru. Autori tohto článku figurovali v diplomovej práci ako odborní garanti a autori matematického obsahu, zatiaľ čo diplomant figuroval najmä v úlohe programátora a grafika.

Kurz je primárne určený pre študentov PdF TU v odboroch „Sociálna pedagogika a vychovávateľstvo“, „Predškolská a elementárna pedagogika“ a „Učiteľstvo akademických predmetov“, teda najmä pre študentov „nematematikov“. Tomu je prispôsobené aj spracovanie kurzu, ktorého cieľom nie je podrobné vysvetlenie jednotlivých testovacích metód, ale cieľom je naučiť študentov, ako si môžu vyhodnotiť experiment porovnávajúci medzi sebou dve rôzne skupiny napríklad v rámci diplomovej práce. Kurz sa zameriava na modelové prípady súvisiace s praxou. Hoci je možné zvládnuť učivo spracované v kurze aj samoštúdiom, cieľom kurzu nie je nahradiť prezenčnú formu štúdia dištančnou, ale slúžiť ako doplnok v kombinovanej forme vyučovania.

Kurz je spracovaný v on-line forme, ktorá je prístupná na stránkach PdF TU, ako aj v off-line forme.

Pri návrhu kurzu sme sa snažili využiť najmä tie možnosti, ktoré máme k dispozícii pri multimediálnom kurze na rozdiel od klasickej tlačenej učebnice. Išlo najmä o použitie grafických objektov a zaradenie interaktívnych úloh. Cieľom však nebolo urobiť kurz čo najkrajší, čo sa týka grafiky či videosekvencií, ale hlavne o rešpektovanie najnovšich poznatkov o tom, ako sa ľudia učia a ako sa učia prostredníctvom IKT. Vychádzali sme najmä z poznatkov publikovaných v [1].

Aby sme dosiahli integráciu textov a grafiky použitých v kurze do existujúcej štruktúry vedomostí v dlhodobej pamäti študujúceho, snažili sme sa:

1. Upriamiť pozornosť študujúceho na dôležité informácie, ktoré sa nachádzajú v kurze. Použili sme rôzne metódy na dosiahnutie uvedeného cieľa, napríklad zvýraznenie dôležitých častí textu umiestnením do rámčeka, podfarbením, použitím iného fontu, iných farieb; uvedením cieľov kurzu na jeho začiatku; vynechaním informácií, videí či zvukových efektov, ktoré by nesúviseli s cieľmi kurzu, ale by mali iba estetický či doplňujúci význam.

2. Vhodne využívať limitovanú kapacitu „pracovnej pamäte“. Našou snahou bolo minimalizovať množstvo údajov, ktoré si musí študent počas práce s kurzom udržiavať v „pracovnej pamäti“. Ak to bolo možné, rozdelili sme úlohu na malé kroky, ktoré sa vykonávali po jednom (pozri napríklad [6], obrazovky 3 a 4 z podkapitoly 2.2).

3. Integrovať informácie prichádzajúce z vizuálneho kanála s existujúcou štruktúrou vedomostí v dlhodobej pamäti.

VYUŽITIE DIPLOMOVÝCH PRÁC V POČÍTAČOM PODPOROVANOM ...

73

4. Použiť metódy, ktoré pomôžu získať nadobudnuté vedomosti a zručnosti z dlhodobej pamäti vtedy, keď bude potrebné ich použitie. Tento cieľ sme sa snažili dosiahnuť integrovaním príkladov a úloh, ktorých riešenie je interaktívne a rozdelené na malé kroky (pozri napríklad [6], obrazovku 5 v podkapitole 2.2 – postup riešenia je zobrazený na obrázku 1). V kurze sa nezameriavame na pamäťové zvládnutie čo najväčšieho počtu vzorcov, ale na aplikáciu vedomostí v konkrétnych úlohách.

5. Poskytnúť podporu pre študentov s menej rozvinutými metakognitívnymi schopnosťami. Pomocou úloh, ktoré sú rozmiestnené v celom kurze, upriamujeme pozornosť študentov na dosiahnutie cieľov a monitorujeme ich pokrok.

6. Pre lepšiu orientáciu boli v kurze použité piktogramy, napríklad pre ciele, výklad, zhrnutie, úlohy, atď.

Obrázok 1: Postupné riešenie interaktívnej úlohy

Kurz sme zatiaľ nestihli naostro použiť vo vzdelávacom procese. Pri návrhu a realizácii kurzu sme však vychádzali z výsledkov predvýskumu, ktorý sme uskutočnili počas štyroch semestrov na 2 vzorkách študentov denného štúdia špecializácie matematika a informatika a dvoch vzorkách študentov externého štúdia odboru „Sociálna pedagogika a vychovávateľstvo“. Títo študenti študovali kombinovanou formou pomocou materiálov, ktoré tvorili aj podklady na návrh finálnej verzie tohto kurzu. Z výsledkov predvýskumu vyplýva, že študenti sú schopní samostatne naštudovať učebnú látku na viac než minimálnej požadovanej úrovni (všetky štyri vzorky).

Grafy funkcií v programe Microsoft Excel

Výsledkom druhej diplomovej práce, ktorej autorom je Richard Nemeček, je zošit programu Microsoft Excel slúžiaci pre počítačom podporované vyučovanie grafov funkcií a ich vlastností a taktiež pre grafické riešenie sústav rovníc (pozri [8]). Zošit je zobrazený na obrázku 2.


74

Obrázok 2

V aplikácii je možné zobraziť do jedného obrázka grafy dvoch rôznych funkcií, pričom na výber sú konštantná, lineárna, kvadratická, mocninová, lineárna lomená, exponenciálna, logaritmická, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické funkcie. Pomocou jednoduchých ovládacích prvkov je možné zmeniť množstvo parametrov a sledovať tak, ako ovplyvňujú graf funkcie. Zároveň sú zobrazené aj vlastnosti funkcie pre dané parametre. Aplikáciu je možné využiť aj pri približnom riešení sústavy dvoch rovníc grafickým spôsobom. Napríklad na obrázku 2 vidíme približné hodnoty riešenia sústavy

rovníc 2

1y xy x== +

.

Matice

Výsledkom tretej diplomovej práce, ktorej autorom je Matúš Polák, je kurz Matice slúžiaci pre počítačom podporované vyučovanie Matíc (pozri [9]). Ukážka kurzu je zobrazená na obrázku 3. Kurz sa zaoberá sústavami lineárnych rovníc a ich súvisom s maticami, elementárnymi riadkovými operáciami, druhmi matíc, operáciami s maticami, zisťovaním hodnosti matíc, regulárnymi maticami a inverznými maticami. Podobne ako v prvej diplomovej práci, aj pri tejto práci autori tohto článku figurovali ako odborní garanti a autori matematického obsahu, zatiaľ čo diplomant figuroval najmä v úlohe programátora a grafika.

Kurz je primárne určený pre študentov PdF TU v špecializácii „Informatika“ v rámci predmetu „Matematika pre informatikov“. Nakoľko existuje množstvo literatúry s teoretickým vysvetlením problematiky matíc, kurz sa viac sústreďuje na vysvetlenie teórie na riešených úlohách. Pretože mnohé úlohy je možné jednoducho algoritmizovať a riešenie rozdeliť na malé kroky, aj tento kurz má slúžiť ako doplnok v kombinovanej forme vyučovania.

VYUŽITIE DIPLOMOVÝCH PRÁC V POČÍTAČOM PODPOROVANOM ...

75

Kurz je spracovaný v on-line forme, ktorá je prístupná na stránkach PdF TU, ako aj v off-line forme.

Podobne ako pri prvom kurze, aj v tomto kurze sme sa snažili využiť možnosti, ktoré máme k dispozícii pri multimediálnom kurze na rozdiel od klasickej tlačenej učebnice (pozri príslušnú časť tohto článku v časti Štatistické testovacie metódy).

Obrázok 3: Ukážka z kurzu Matice

Záver

Hoci počítačom podporované a počítačom riadené vzdelávanie má svoje miesto popri klasickej forme vzdelávania, stále pociťujeme nedostatok vhodného elektronického vzdelávacieho obsahu. Veríme, že tento príspevok poukazuje na ďalšie možnosti pri vytváraní elektronických vzdelávacích obsahov, ktorými postupne plánujeme pokryť podstatnú časť matematického kurikula.

LITERATÚRA

[1] Clark, R.C. – Mayer, R.E.: Me-Learning and the Science of Instruction. Pfeiffer, 2003. ISBN 0-7879-6051-9

[2] Fulier, J. – Michalička, P.: Informačné a komunikačné technológie vo vzdelávaní v matematike. In: IKT vo vyučovaní matematiky. Nitra, FPV UKF, 2005, 5-15, ISBN 80-8050-925-5


76

[3] Gunčaga, J.: Zavedenie derivácie funkcie v bode s využitím IKT. In: IKT vo vyučovaní matematiky. Nitra, FPV UKF, 2005, 5-15, ISBN 80-8050-925-5

[4] Hanzel, P. – Klenovčan, P.: Dištančné vzdelávanie na PF UMB. In: Inovácie v škole. Zborník z medzinárodnej konferencie, Podbanské 2003, 33-37, ISBN 80-968664-5-1

[5] Horváth, R. – Mišút, M.: The New Improvements of E-learning System at Trnava University. In: ICETA 2005 – 4th International Conference on Emerging Telecommunications Technologies and Applications. Košice, 2005, 157-160, ISBN 80-8086-016-6

[6] Kozina, P.: Vytvorenie www stránok pre počítačom podporované vyučovanie predmetu Základy štatistického spracovania údajov. Diplomová práca, Trnava, PdF TU, 2007.

[7] Líška, V.: Možnosti realizácie e-learningu a dištančného vzdelávania na univerzitách. Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis, Ser. C, no.10, Trnava, PdF TU, 2006, 39-44, ISBN 80-8082-063-110-0

[8] Nemeček, R.: Využitie programu Microsoft Excel vo vyučovaní matematiky. Diplomová práca, Trnava, PdF TU, 2007.

[9] Polák, M.: Vytvorenie www stránok na podporu výučby Matematiky pre informatikov. Diplomová práca, Trnava, PdF TU, 2007.

doc. RNDr. Pavel Híc, CSc. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9 SK – 918 43 Trnava e-mail: [email protected]

PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná 4, P.O.BOX 9 SK – 918 43 Trnava e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Mária Mišútová, PhD. e-mail: [email protected]


77

DVE POZNÁMKY KU VNÍMANIU KONVERGENCIE NEKONEČNÝCH RADOV ZO STRANY ŠTUDENTOV

KLEMENT HRKOTA, KLEMENT HRKOTA ML.

ABSTRACT. This paper deals some difficulties according with infinite series. As first showes some possibility how man can thinking about an interval of infinity serie convergence. In the next part is giving an example for quality apriximation depends by number of infinity serie members.

Pri riešení istého typu náročnejších úloh, ktorých riešenie nevieme, alebo ani nie je možné nájsť v uzavretom tvare je veľmi často jedinou možnosťou nájsť riešenie v tvare nekonečného radu. Ak hľadáme riešenia v tvare nekonečného radu postupujeme v dvoch krokoch. Po prvé treba nájsť riešiaci rad a po druhé ešte ukázať jeho konvergenciu, respektíve nájsť obor konvergencie. To preto, že až konvergencia radu v skutočnosti zaručí, že rad je skutočne riešením úlohy. V prajných prípadoch je možné dokonca takýto rad(konvergentný) sčítať, a tak prísť nakoniec k analytickému riešeniu problému.

Pre študentov sa pri práci s radmi často stáva úskalím práve táto druhá časť: a) v mnohých prípadoch je overenie konvergencie radu po matematickej stránke

podstatne zložitejšie ako jeho samotné zostavenie b) táto fáza zostane opomenutá, alebo sa jednoducho vynechá v dobrej viere

vo všeobecnú konvergenciu. Taylorov rad, alebo jeho špeciálna forma MacLaurinov rad je jedným z najčastejšie

používaných radov napríklad pri riešení Cauchyho úlohy pre diferenciálnu rovnicu alebo transcendentné integrály. V aplikáciách používaných vo vysokoškolskom štúdiu sa s takýmito typmi radov často stretávame. Napr. v [1] nájdeme výpočet transcendentného integrálu aplikáciu ktorého môžeme nájsť v [2], a obor konvergencie tu (ako vždy) hrá naozaj významnú úlohu.

Ako prvý príklad uvedieme jednoduchý, často používaný a študentmi dobre akceptovaný rozvoj

......11

1 2 +++++=−

nxxxx

Je možné, že je to práve táto jednoduchosť a viera vo všeobecnú konvergenciu, ktorá

neskôr dáva študentom „zabudnúť“, že tento rozvoj platí len na intervale ( )1,1− , ako vieme z teórie geometrických radov. Študentom by v tomto mohlo byť nápomocné zobrazenie niekoľkých členov rozvoja (Obr.1), z ktorého je možné intuitívne cítiť obor konvergencie.


78

−1 1 2

−2

−1

1

2

x

y

Obrázok 1.

Niektorí študenti si síce ako súčasť rozvoja podržia aj interval konvergencie, no rozvoj mimo tohto intervalu už nepripúšťajú. Pritom však rozvoj na intervale ( ) ( )∞∪−∞− ,11, má tvar:

...1111

132 −−−−=

− xxxx ,

ktorý je pre výpočet na intervale ( ) ( )∞∪−∞− ,11, rovnako dobre použiteľný, aj keď toto už Taylorov rad samozrejme nie je.

Ako druhý príklad uvedieme jeden z ďalších problémov vyskytujúcich sa v súvislosti s funkciami, ktoré majú Taylorov rozvoj pre všetky reálne čísla - R. Ako príklad si zoberieme funkciu xy sin= s jej rozvojom

( )xRxxxx n 1

53

....!5!3

sin ++−+−=

V takomto prípade si študenti často zamieňajú existenciu radu na R s dobrou aproximovateľnosťou funkcie niekoľkými členmi radu a neuvedomujú si, že takéto priblíženie je „dobré“ len v okolí nuly. Možno k tomu prispievajú aj naše poznámky typu “kalkulačka si hodnoty funkcie sínus ráta práve takýmto spôsobom a s malým počtom členov radu možno dosiahnuť výsledky, chyba ktorých je mimo cifry zobrazené na displeji“. (Pre polynom piateho stupňa dosiahneme na intervale (–π /4, π /4) presnosť 0,000 005 [3]).

Takýto postup je ale možný len vďaka tomu, že funkcia sínus je periodická a namiesto

ľubovoľného x môžeme brať číslo ππ

22 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

xxx ,kde ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π2x je celá časť čísla

π2x .

Na nasledujúcich obrázkoch je funkcia xy sin= aproximovaná polynómom

siedmeho stupňa.

DVE POZNÁMKY KU VNÍMANIU KONVERGENCIE NEKONEČNÝCH ...

79

−3 −2 −1 1 2 3

2

−1

1x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

2

−1

1

x

y

Obrázok 2.

Z obrázkov vidíme, že aproximácia na intervale (-π ,π ) je akceptovateľná, no na intervale (-2π ,2π ) zjavne nie. Študenti by si toto mali dobre uvedomovať.

Ako by to dopadlo, ak by sme chceli takto aproximovať exponenciálnu funkciu, polynomom pre 3=n ukazuje nasledujúci obrázok.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Obrázok 3.

To teda znamená, že o aproximácii malým počtom členov radu možno uvažovať naozaj len v okolí bodu nula.

LITERATÚRA

[1] Matejička L.,Hrkota K. ml.: Výpočet integrálov typu ∫×

3rsdr , Acta Mathematica 7,

Nitra, 2004, s. 209-212, ISBN 80-8050-755-4

[2] Hrkota K.: Niekoľko postrehov z pokračujúcej diskusie na tému: Meranie magnetického poľa Zeme podľa učebnice [1], OMFI 3/2005, JSMF Nitra, 1993, ISSN 1665-4981

[3] Bálint V.,Grešák P., Novotný P.: Matematika 1, VŠDS Žilina, 1996,

ISBN 80-7100-271-2


80

RNDr. Klement Hrkota Katedra matematiky Ústav prírodných a humanitných vied Trenčíanska Univerzita Alexandra Dubčeka Študentská 2 SK – 911 01 Trenčín e-mail: [email protected]

RNDr. Klement Hrkota ml. Katedra informatiky Fakulta mechatroniky Trenčíanska Univerzita Alexandra Dubčeka Študentská 2 SK – 911 01 Trenčín e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Renatka Masárová, Csc. e-mail: [email protected]


81

VÝPOČET A VIZUALIZÁCIA DOTYKOVEJ ROVINY S VYUŽITÍM VÝPOČTOVÉHO SYSTÉMU MATHEMATICA“

MIROSLAV CHVÁLNY

ABSTRACT. The aim of this article is to illustrate possibilities how to use a computer system Mathematica” in teaching differential calculus for functions of two or more real variables – visualization of tangent plane.

Cieľ: určiť rovnicu a znázorniť dotykovú (tangenciálnu) rovinu k zadanej ploche v danom bode

Úvod

Vzhľadom na veľkú rôznorodosť plôch nebudeme uvádzať všeobecnú definíciu plochy. Pod plochou budeme rozumieť alebo hranicu nejakého telesa (napr. guľová plocha je hranicou gule), alebo plochu vytvoríme pohybom nejakej čiary, ktorá pri tomto pohybe môže aj meniť svoj tvar (napr. kružnicovú kužeľovú plochu môžeme vytvoriť pohybom kružnice, ktorej polomer sa stále mení ). 6

Plochu možno definovať jednou z nasledujúcich rovníc: 7

• v implicitnom tvare ( ), , 0F x y z =

• v explicitnom tvare ( ),z f x y=

• v parametrickom tvare ( ) ( ) ( ), , , , ,x x u v y y u v z z u v= = =

• vo vektorovom tvare ( ), ,r r u v alebo=

( ) ( ) ( ), , ,r x u v i y u v j z u v k= + +

Pomocou uvedených vyjadrení je možné vyjadriť iba „oblé“ plochy, roviny a ich častí. Mnohostenové plochy (t. j. také, ktoré sa skladajú len z mnohouholníkov – napr. povrch kvádra) určujeme špeciálnymi štruktúrami údajov o ich vrcholoch, hranách a stenách.

6 Por.: MEDEK V., ZÁMOŽÍK J.: Osobný počítač a geometria, ALFA Bratislava, 1991, s. 158. 7 Por.: BRONŠTEJN N. I., SEMENĎAJEV K. A.: Príručka matematiky pre inžinierov a pre študujúcich na vysokých

školách technických , SVTL Bratislava, 1963, s. 324.

MIROSLAV CHVÁLNY

82

01

23

4

x

0

1

2

34

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

01

23x

0

1

2

3y

01

23

4

x

01

23

4y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1

5

0

01

23

4

x

0

1

2

34

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

01

23x

0

1

2

3y

11.5

2

2.5

3

x

0

0.5

1

1.5

2

y

0

0.5

1z

11.5

2

2.5x

0

0.5

1

1.5y0

1

2

3

4

x

0

0.5

1

1.52

y

0

0.5

1

z

0

1

2

3x

0

0

plocha= ParametricPlot3DA9u2, v2, Sin@uvD=, 8u, −2, 2<,8v, −2, 2<, BoxRatios→ 81,1,1<, AxesLabel→ 8"x", "y", "z"<E

bod= [email protected], PointA92,1, SinAè!!!!2E=E= E

Parametrické vyjadrenie plochy

Plocha je daná rovnicami x = x( u, v), y = y( u, v), z = z( u, v), kde funkcie x, y, z sú spojité diferencovateľné v niektorej oblasti D Õ R2, v bode (u0, v0) œ D. Nech: x = u2 , y = v2 , z = sin (u v ), In[1]:= Out[1]= Graphics3D

Pri zobrazení grafických objektov v 3D je veľmi dôležité určiť, z ktorého miesta sa na objekt pozeráme, k tomu nám slúži voľba ViewPoint. Bod môžeme určiť aj pomocou 3D ViewPoint Selectora. In[2]:= Show[plocha, ViewPoint->2.762, 1.466, 1.294] Out[2]= Graphics3D Definujme súradnice bodu, v ktorom chceme znázorniť dotykovú rovinu: napr.: T[2, 1, Sin[◊2] ]. In[3]:= Out[3]= Graphics3D

Znázorníme spolu plochu a bod. In[4]:= Show[plocha, bod] Out[4]= Graphics3D

Plochu pretneme dvoma rovinami, ktoré prechádzajú daným bodom. In[5]:= uplane=ParametricPlot3D[x, 1, z, x,1,3,z, 0,1.4, AxesLabel→"x", "y", "z"]; vrovina=ParametricPlot3D[2,y, z, y,0.2,2, z, 0, 1.4, AxesLabel→"x", "y", "z"] Out[5]= Graphics3D

MS EXCEL A LINEÁRNÍ ALGEBRA

83

01

23

4

x

0

1

2

34

y

-1

0

1

z

01

23x

0

1

2

3y

9u2, v2, Sin@uvD= ê. v→ 1

ukr= ParametricPlot3DA9u2, 1, Sin@uD=, 8u, 0, 2<E

0

1

2

3

4 0

0.5

1

1.5200.250.50.751

0

1

2

3

0

8u2, 1, Sin@uD<

9u2, v2, Sin@uvD= ê.u→è!!!!2

92, v2, SinAè!!!!2 vE=vkriv= ParametricPlot3DA92,v2,SinAè!!!!2Ev=, 8v,0,2<E

01

2

3

40

1

2

3

4

0

0.5

1

1.5

2

01

2

3

In[6]:= Show[plocha, bod,uplane, vrovina] Out[6]= Graphics3D Priesečnica prvej roviny (uplane) s plochou vytvára akúsi krivku (ukr), ktorú znázornime: In[7]:= Out[7]= In[8]:= Out[8]= Graphics3D

Priesečnica druhej roviny (vrovina) s plochou vytvára akúsi krivku (vkrivka), ktorú znázornime: In[9]:= Out[9]= In[10]:= Out[10]= Graphics3D

Vidíme, že skutočne dané krivky prechádzajú daným bodom. In[11]:= Show[bod, ukr, vkriv,BoxRatios→1,1,1, Boxed→False] Out[11]= Graphics3D

Určíme a znázorníme dotyčnicové vektory v danom bode:

MIROSLAV CHVÁLNY

84

DA9u2, v2, Sin@uvD=, uE ê.9u→è!!!!2, v→ 1=

92è!!!!2, 0, CosAè!!!!2E=

0

2

400.511.520.9511.051.10

2

4DA9u2, v2, Sin@uvD=, vE ê.9u→

è!!!!2, v→ 1=

90, 2, è!!!!2 CosAè!!!!2E=

0

1

2

3

4 0

1

2

30.911.11.2

0

1

2

3

0

2

4x

0

1

23

4y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

0

2

4x

0

1

23y

u= 92è!!!!2,0,CosAè!!!!2E=;

v= 90,2,è!!!!2 CosAè!!!!2E=;

9−2CosAè!!!!2E, −4CosAè!!!!2E, 4è!!!!2=

upr= ParametricPlot3DA92+2 è!!!!2 t, 1, SinAè!!!!2E+ CosAè!!!!2 Et=,

9t, −12,1=E

vx y zr i j kv v v∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

vpriam = ParametricPlot3DA92, 1+2 t, SinAè!!!!2E+è!!!!2 CosAè!!!!2 E t=,

9t, −12,1=E

ux y zr i j ku u u∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

In[12]:= Out[12]= In[13]:= Out[13]= Graphics3D In[14]:= Out[14]= In[15]:= Out[15]= Graphics3D

Znázorníme spolu plochu, bod a dotyčnicové vektory. In[16]:= Show[plocha, bod, upr, vpriam ] Out[16]= Graphics3D

Vektorový súčin vektorov ,u v nám dáva normálový vektor dotykovej roviny. In[17]:= In[18]:= In[19]:= Cross[u,v] Out[19]=

Znázorníme normálový vektor dotykovej roviny prechádzajúci daným bodom.


85

1.961.971.981.992

0.90.001

0

2

4x

0

1

23

4y

-1

0

1

z

0

2

4x

0

1

23y

H−4+x+ 2yL CosAè!!!!2E2è!!!!2

+SinAè!!!!2E

1

1.5

2

2.5

3 0.5

1

1.5

2

0.9

1

1.1

1

1.5

2

2.5

nlin= ParametricPlot3DA92−2 CosAè!!!!2Et, 1−4 CosAè!!!!2Et, SinAè!!!!2E +4

è!!!!2 t=, 8t, 0, 0.15<E

SolveA−2CosAè!!!!2E Hx−2L −4CosAè!!!!2E Hy−1L +4è!!!!2 Iz−SinAè!!!!2EM 0, zE

::z→−4CosAè!!!!2E +xCosAè!!!!2E + 2yCosAè!!!!2E + 2è!!!!2 SinAè!!!!2E

2è!!!!2>>

ApartA−4CosAè!!!!2E +xCosAè!!!!2E +2yCosAè!!!!2E +2è!!!!2 SinAè!!!!2E

2è!!!!2E

tanpl= Plot3DASinAè!!!!2E+H−4+x+2yLCosAè!!!!2E

2è!!!!2, 8x, 1,3<, 8y, 0.5, 2<E

In[20]:= Out[21]= Graphics3D

Znázorníme spolu normálový vektor a dotyčnicové vektory. In[22]:= Show[plocha, bod, upr, vpriam, nlin] Out[22]= Graphics3D

Určíme rovnicu dotykovej roviny: In[23]:= Out[23]=

Upravíme rovnicu dotykovej roviny: In[24]:= Out[24]= In[25]:= Out[25]= SurfaceGraphics Výsledná vizualizácia úlohy:

MIROSLAV CHVÁLNY

86

0

2

4x

0

1

2

34

y

-1

0

1

z

0

2

4x

0

1

2

3y

In[26]:= Show[plocha, bod, upr, vpriam, nlin, tanpl] Out[26]= Graphics3D

Záver Plochy najrozmanitejších tvarov sa vyskytujú v praktickej činnosti, pri poznávaní

prírody i v technickej praxi. Štúdium vlastností týchto plôch si vynútili okrem vnútornej potreby samej geometrie i potreby mechaniky, fyziky, astronómie, kartografie, teda v konečnom dôsledku potreby techniky a priemyslu, pre ktoré poznatky elementárnej geometrie už nestačili. Tieto vlastností sa popisujú a skúmajú metódami matematickej analýzy a diferenciálnej geometrie.8

Pre názornosť a vizualizáciu plôch a ich vlastností môžeme dnes použiť rôzny didaktický softvér vo výučbe. V článku bol použitý výpočtový systém Mathematica”.

LITERATÚRA

[1] Bronštejn I. N., Semenďajev K. A.: Príručka matematiky pre inžinierov a pre študujúcich na vysokých školách technických, SVTL – Bratislava, 1963.

[2] Howard A.: Multivariable calculus, USA 1992, ISBN 0-471-58247-6.

[3] Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, SVTL - Bratislava, 1963.

[4] Medek V., Zámožík J.: Osobný počítač a geometria, ALFA Bratislava, 1991, ISBN 80-05-000815-5.

[5] Šalát T., a kol.: Malá encyklopédia matematiky, OBZOR Bratislava, 1981.

PaedDr. Miroslav Chválny Obchodná akadémia SK – 955 03 Topoľčany e-mail: [email protected] Recenzent: prof. J. Fulier, CSc.

e-mail: [email protected]

8 Por.: Šalát T., a kol.: Malá encyklopédia matematiky, OBZOR Bratislava, 1981, s. 398-399.


87


ANTONÍN JANČAŘÍK

ABSTRACT. Linear algebra is among the basic subjects taught to future mathematics teachers. The methods of calculation used are however very demanding, both in terms of time taken and technique used, and it is therefore suitable to use IT for solving and checking certain tasks. This paper describes possible methods of using a simple spreadsheet program, such as MS Excel, for calculating tasks in linear algebra.

Úvod

Lineární algebra patří mezi základní předměty se kterými se studenti matematiky na vysoké škole seznamují. Postupy, které se studenti naučí v rámci jejího studia, využívají v dalších předmětech, jako jsou analytická geometrie, metody řešení úloh či funkcionální analýza. V lineární algebře je kladen důraz na teoretické i praktické zvládnutí všech využívaných postupů. V další předmětech však hrají tyto postupy pouze roli technickou prostředku, sloužícího k dosažení požadovaných výsledků. Využití ICT dovoluje zkrátit početní postupy, které jsou časově i technicky náročné, a to jak při řešení, tak i kontrole správnosti konkrétních úloh. Je tedy přinejmenším vhodné (srovnej s [1]), aby se studenti v rámci své přípravy seznámili i s možnostmi využití výpočetní techniky pro řešení klasických úloh, jako je práce s maticemi, determinanty či soustavami lineárních rovnic.

Pro řešení úloh lze využít silných matematických programů, především ze skupiny CAS jako jsou Mathematice či Maple. Tyto programy mají jednu podstatnou nevýhodu – cenu. Pro většinu studentů a také pro většinu škol, které dnešní studenty matematiky budou jednou zaměstnávat, jsou cenově nedostupné. Považuji proto za vhodné, aby se studenti seznámili i s možnostmi, které jim nabízejí i běžně dostupné a široce rozšířené programy, jako jsou tabulkové procesory a jejich nejrozšířenější zástupce MS Excel.

Historie tabulkových procesorů

Historie tabulkových procesorů (spreadsheets) se píše od počátku šedesátých let minulého století, kdy Richard Mattessich začal pracovat na prvních předchůdcích tabulkových procesorů (viz [2] a [3]). Za první tabulkový procesor je však považován program VisiCalc, který v roce 1978 vytvořil Dan Bricklin a následně výrazným způsobem přepracoval Bob Frankston.

Od roku 1982 se na poli tvůrců tabulkových procesorů objevuje i firma Microsoft. Jejich první tabulkový procesor se však jmenoval Mulitplan a byl oblíben především mezi uživateli operačního systému CP/M. Mezi uživateli operačního systému MS DOS byl v té době nejoblíbenější program Lotus1-2-3. První verzi programu MS Excel přichází na trh až v roce 1985. Díky pomalejšímu uzpůsobení programu Lotus 1-2-3 pro operační systém MS Windows se program MS Excel od roku 1988 stává nejrozšířenějším tabulkovým procesorem a tuto pozici si drží až do dnešních dnů. Za důležitý ve vývoji programu lze

ANTONÍN JANČAŔÍK

88

považovat rok 1993, kdy se program MS Excel stává součástí sady MS Office, ale především je vybaven programovacím jazykem Visual Basic for Aplication (VBA) a tím se stává velice silným nástrojem pro řešení i velmi komplikovaných úloh. Více informací viz. [4].

Využití programu MS Excel

Díky integraci VBA do programu MS Excel není těžké naprogramovat nové funkce, které zvládnou takřka libovolné výpočty. Není nutné však programovat vlastní funkce. Mnohé důležité funkce jsou již v programu MS Excel předdefinované, nebo je lze doinstalovat jako součást volně dostupných Add-In komponent. Seznam dostupných Add-In komponent lze nalézt například na serveru Mathtools.net ([5]). V dalším textu budeme kromě vestavěných funkcí využívat i funkce z komponenty MATRIX 2.3 - Matrix and Linear Algebra functions for EXCEL© (více viz [6]).

Výpočet determinantu

Pro výpočet determinantu z čtvercové matice lze využít vestavěnou funkci Determinat. Jak ale postupovat v případě, kdy pro řešení příkladu potřebujeme vypočítat determinant z komplexní matice nebo matice s determinantem? V takovém případě nám již vestavěné funkce programu MS Excel nepomohou a musíme využít funkce z komponenty MATRIX.

Díky komponentě MATRIX umožňuje program MS Excel provádět i výpočty, které jsou běžně možné jen v CAS, protože se nejedná o výpočty numerické, ale symbolické. Jako ukázku uvádím jednoduchý výpočet determinantu z diagonální matice, kde j jednou chápeme jako komplexní jednotku a podruhé jako proměnou.

Obrázek 1: Výpočet determinantu z matice s komplexními čísly.

Obrázek 2: Výpočet determinantu z matice s parametrem.


89

Řešení soustav lineárních rovnic

Další velmi častou úlohou, se kterou se studenti lineární algebry setkávají, je řešení soustav lineárních rovnic. Pro řešení některých soustav rovnic lze s úspěchem použít doplněk řešitel, který soustavu řeší numericky pomocí iterací. Mnohem efektivnější je však využít funkci SysLin, která regulární soustavu lineárních rovnic řeší pomocí Gauss-Jordanova algoritmu.

Obrázek 3: Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí funkce SysLin

Díky komponentě MATRIX a její funkci GJStep můžeme dokonce provádět Gauss-Jordanovu eliminaci krok za krokem. Tato funkce je zvlášť vhodná pro přípravu ukázkových příkladů.

Obrázek 4: Řešení soustavy lineárních rovnic Gauss-Jordanovou eliminací krok za krokem

ANTONÍN JANČAŔÍK

90

Komponenta MATRIX dokonce dovoluje řešit soustavy rovnic i v případě, kdy matice

soustavy je singulární. V takovém případě má soustava buď nekonečně mnoho řešení, nebo žádné řešení. V případě, že řešení je nekonečně mnoho, lze každé řešení dostat jako součet jednoho konkrétního řešení a lineární kombinace řešení příslušné homogenní soustavy lineárních rovnic. Řečení v tomto tvaru nabízí funkce SysLinSin, která je stejně jako předchozí funkce součástí komponenty Matrix 2.3. Použití této funkce bude demonstrovat na homogenní soustavě rovnic.

Obrázek 5: Řešení singulární homogenní soustavy lineárních rovnic

Řešením homogenní soustavy rovnic z ukázky je libovolná lineární kombinace vektorů (-1,1,0,0,0,0), (0,-1,1,0,0,0), (-1,-1,0,1,0,0) a (0,0,0,0,1,0). Správnost řešení lze snadno ověřit, neboť matice soustavy byla z demonstračních důvodů zadána již přímo v odstupňovaném tvaru.

Závěr

V představování jednotlivých funkcí, by bylo možné ještě dlouho pokračovat. Jenom komponenta MATRIX těchto funkcí nabízí několik desítek. Není to však cílem tohoto příspěvku. Cílem autora bylo demonstrovat možnosti, které nabízí běžně dostupný tabulkový procesor MS Excel a motivovat kolegy k jeho využívání, a to především v předmětech, které práci s maticemi, vektory či soustavami rovnic prakticky využívají. Nasazení prostředků výpočetní techniky nemá nahradit výuku početních dovedností, ale usnadnit a urychlit výpočty v situaci, kdy již jsou početní dovednosti dostatečně zvládnuty. Cílem využitá ICT je umožnit studentům soustředit se na interpretaci výsledků.

Závěrem je vhodné dodat, že doplněk Matrix 2.3 je software z kategorie Open Source. Lze jej tedy použít i jako učební pomůcky pro výuku programování ve VBA, či jako doplňkový text pro studium různých početních algoritmů pro studenty, kteří jsou s programováním ve VBA dostatečně seznámeni.


91

LITERATURA

[1] JANČAŘÍK, A.: Volba úloh vhodných pro využití tabulkových procesorů ve výuce matematiky, In IKT vo vyučovaní matematiky 2. Prírodovedec č. 230. Nitra : Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2006, s. 186-190. ISBN 80-8094-057-6.

[2] Mattessich R.: Budgeting Models and SystemSimulation, The Accounting Review, July 1961: str. 384-397

[3] Mattessich R.: Simulation of the Firm Through a Budget Computer Program, Homewood, IL: R.D. Irwin, Inc., 1964

[4] Campbell-Kelly, M., Croarken, M., Flood, R., Robson E.: The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets, Oxford University, 2003, ISBN 978-0198508410

[5] Mathtools. net: Link Exchange for the Technical Computing Community, Dostupné on-line: http://www.mathtools.net/Excel/Mathematics/

[6] Foxes Team: Tutorial of Numerical Analysis with Matrix.xla - Vol. 1 and 2, PDF, Dostupné on-line: http://digilander.libero.it/foxes/Documents.htm#MatrixTutorial

RNDr. Antonín Jančařík , Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze M. D. Rettigové 4. CZ – 116 39 Praha 1 e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. PhDr. A. Hošpesová, Ph.D. e-mail: [email protected]


Článok vznikol za podpory grantu VEGA 1/4007/07

93

O JEDNEJ ŠPECIÁLNEJ TRIEDE PRIAMKOVÝCH PLÔCH

MÁRIA KMEŤOVÁ

ABSTRACT. Ruled surfaces are important objects in geometric modeling. In this article we would like to describe ruled surfaces as one parameter sets of lines on line congruencies using their Klein images. We give same examples of special ruled surfaces constructed by program Maple.

1 Úvod

Priamkové plochy tvoria jednu zo základných skupín plôch, ktoré sa dajú geometricky modelovať napríklad pohybom priamky v priestore. V tomto článku opíšeme priamkové plochy ako jednoparametrické množiny priamok ležiacich na priamkových kongruenciách použitím Kleinovho zobrazenia. Podrobnejší matematický výklad o Plückerových súradniciach v trojrozmernom projektívnom priestore, o Kleinovom zobrazení, priamkových komplexoch a priamkových kongruenciách sa nachádza v článku [1].

2 Rôzne metódy tvorby priamkových plôch

Priamkové plochy môžeme interpretovať rôznymi spôsobmi. 1. Nech c(t) je parametrické vyjadrenie riadiacej krivky v trojrozmernom euklidovskom

priestore, nech 0≠)(tc . Plocha s parametrickým vyjadrením ψ(t,v) = c(t)+ v r(t), kde t ∈ I, v ∈ R a r(t) ≠ 0 je vektor, sa nazýva priamková plocha [4].

2. Priamkovú plochu ψ môžeme parametrizovať aj ako ψ(t,u) = (1 – u) p(t) + u q(t) , kde p(t) a q(t) je parametrické vyjadrenie dvoch nepretínajúcich sa kriviek p, q ležiacich na ploche ψ. V špeciálnom prípade, ak krivky p a q sa pohybujú konštantnou rýchlosťou pozdĺž dvoch mimobežných priamok, tak výsledná plocha bude ležať na jednodielnom hyperboloide alebo na hyperbolickom paraboloide [5].

3. Priamkový komplex v trojrozmernom projektívnom priestore P3 sa skladá zo všetkých priamok pretínajúcich danú krivku. Prienik dvoch priamkových komplexov vo všeobecnej polohe je priamková kongruencia. Priamkové kongruencie dané ako množiny všetkých priamok pretínajúcich dve dané krivky sú preto zaujímavé, lebo obsahujú priamky všetkých priamkových plôch prechádzajúcich danými dvomi krivkami. Ako špeciálny prípad môžeme spomenúť množinu všetkých priamkových plôch obsahujúcich dve dané mimobežné priamky alebo dve dané kružnice neležiace v jednej rovine. Priamková plocha daná ako množina všetkých priamok pretínajúcich 3 mimobežné priamky je totožná s príkladom uvedeným v bode 2 ako špeciálny prípad. Zaujímavá metóda pre vytvorenie priamkových plôch k dvom nepretínajúcim sa krivkám je opísaná v literatúre [2].

MÁRIA KMEŤOVÁ

94

Ďalej sa budeme zaoberať tvorbou priamkových plôch, ktoré sú podmnožinami jednej špeciálnej priamkovej kongruencie. Priamková kongruencia bude daná priamkami pretínajúcimi dve kružnice ležiace v dvoch rôznych rovinách. Podľa vzájomnej polohy dvoch daných kružníc vzniknú priamkové kongruencie s rôznymi topologickými charakteristikami. Úplnú klasifikáciu týchto priamkových kongruencií uvedieme v inej práci, teraz sa budeme venovať najjednoduchšej triede, konkrétne, ak určujúce kružnice ležia v dvoch rovnobežných rovinách. 2. Kleinov obraz Grassmanniánu Gr1(E3)

Grassmannián Gr1(E3) je priestor všetkých priamok trojrozmerného euklidovského priestoru E3. Každá priamka l∈E3 je jednoznačne určená bodom P∈l a jednotkovým smerovým vektorom d(p1, p2, p3). Potom priamka l je daná šesticou (p1, p2, p3, p4, p5, p6) = (d; (P– O)×d), takzvanými Plückerovými súradnicami. Takýmto spôsobom sme dostali zobrazenie množiny priamok Gr1(E3) na množinu bodov na Kleinovej kvadrike v 5-rozmernom projektívnom priestore P5, ktorá je daná rovnicou p1p4 + p2p5 + p3p6 = 0. 3. Kleinov obraz priamkovej kongruencie

Priamková kongruencia je dvojparametrická množina priamok. Jej Kleinov obraz je teda dvojparametrická varieta na Kleinovej kvadrike. Budeme skúmať dvojrozmerné variety, priamkové kongruencie dané ako bisekanty dvoch kriviek (t.j. priamky, ktoré spájajú bod jednej krivky s bodom druhej krivky). Nech sú dané dve nepretínajúce sa krivky k, l vyjadrené parametricky: k(t1), l(t2), t1∈I1 , t2∈I2 v trojrozmernom euklidovskom priestore. Kleinov obraz priamkovej kongruencie L(k,l) určenej týmito krivkami je dvojrozmerná varieta , kde Kleinovo zobrazenie zobrazí každú priamku do bodu daného dvojicou parametrov (t1, t2) ∈ I1× I2 na Kleinovej kvadrike. Pozri obrázok 1.

Obrázok 1

4. Špecialna priamková kongruencia Zoberme teraz namiesto kriviek k, l z predchádzajúcej kapitoly dve nepretínajúce sa

kružnice k, l ležiace v dvoch rôznych rovinách. Špeciálnu priamkovú kongruenciu tvoria bisekanty týchto kružníc. Predpokladajme, že ani jedna z kružníc nemá spoločný bod s

Kleinovo zobrazenie χ

l

k

Oblasť parametrov I1× I2 na Kleinovej kvadrike

. χb(t1b, t2b)

. χa(t1a, t2a)

.χc(t1c, t2c)

a b c


95

priesečnicou rovín (ak existuje), v ktorých kružnice ležia. Potom roviny môžeme otočiť do vzájomne rovnobežnej polohy bez zmeny topologickej štruktúry ich bisekant, teda priamkovej kongruencie ktorú určujú. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme teda predpokladať, že kružnice k a l sú jednotkové a ležia v dvoch rôznych rovnobežných rovinách α⎪⎪β. Do trojrozmerného euklidovského priestoru zavedieme karteziánsku súradnicovú sústavu ⟨O; x, y, z⟩ tak, že počiatok O leží v rovine α a roviny sú dané rovnicami α: z = 0 a β: z = 1. Jednotkové kružnice k a l sú potom dané parametricky nasledovne:

k: x = cos t1 , y = sin t1 , z = 0; t1∈⟨0, 2π⟩ = I l: x = cos t2 , y = sin t2 , z = 1; t2∈⟨0, 2π⟩ = I .

Kleinov obraz priamkovej kongruencie C(k,l) množiny všetkých bisekant dvoch kružníc je parametrický štvorec I2, ktorého oproti ležiace strany majú byť stotožnené (zlepené), lebo body určené dvojicami parametrov (t1, 0) a (t1, 2π) resp. (0, t2) a (2π, t2) pre všetky t1∈ I a t2∈ I sú totožné. Dostaneme plochu, ktorá sa dá charakterizovať symbolom: aba-1b-1 [3], a to je torus (obrázok 2). Vidíme teda, že Kleinov obraz χ priamkovej kongruencie C(k,l) je dvojrozmerná varieta homeomorfná s torusom.

Obrázok 2

5. Priamkové plochy na priamkovej kongruencii C(k,l) Krivky na toruse χC(k,l) sú Kleinovým obrazom priamkových plôch na priamkovej kongruencii C(k,l). Rôzne priamkové plochy môžeme určiť definovaním rôznych kriviek na toruse, pričom každá krivka na toruse je jednoznačne daná vzťahom medzi parametrami t1 a t2 v parametrickom štvorci I2.

Na obrázku 3 je ilustrovaný Kleinov obraz jednoduchej priamkovej plochy na schéme torusa a zodpovedajúca priamková plocha. Krivke t2 = konštanta (napr. hrdlová kružnica) na toruse zodpovedá kužeľová plocha, ktorej tvoriace priamky prechádzajú bodmi kružnice k pre všetky parametre t1 ∈ I a jediným bodom V = (cos c, sin c, 1) kružnice l pre parameter t2 = c, kde c je konštanta.

l

k

χ

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

p

. χp b

a

a

b

MÁRIA KMEŤOVÁ

96

Obrázok 3

Ak t1=t2 dostaneme valcovú plochu (obrázok 4), ak ⎪t1 - t2⎪= π , (t1, t2) ∈ I2 tak opäť

kužeľovú plochu (obrázok 5), ale teraz jej vrchol V leží v bode so súradnicami (0, 0, ½).

Obrázok 4

Obrázok 5 Pre vzťah t1 + t2 = 2π dostaneme osovo súmernú priamkovú plochu, kde os súmernosti je priamka s rovnicami y = 0, z = ½

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

⎪t1 - t2⎪= π

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

t2=konšt.

t1

t2

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

t1 = t2


97

(obrázok 6). K určeniu ľubovoľnej priamkovej plochy prechádzajúcej kružnicami k a l stačí definovať vzťah ϕ medzi premennými t1 a t2 (obrázok 7 vľavo).

Obrázok 6

Na obrázku 7 vpravo je pomocou programu Maple vykreslená priamková plocha prechádzajúca kružnicami k a l , daná vzťahom t2= t1

3.

Obrázok 7

6. Záver

Metóda tvorby priamkových plôch ako podmnožín priamkovej kongruencie dáva možnosť generovať širokú škálu rozličných priamkových plôch. Priamkovú kongruenciu môžeme určiť dvomi krivkami, ktorými má plocha prechádzať, na schéme Kleinovho obrazu priamkovej kongruencie definujeme krivku s požadovanými vlastnosťami a nakoniec v inverznom Kleinovom zobrazení zostrojíme príslušnú plochu. V tomto článku sme nevyčerpali všetky možnosti definovania kriviek na schéme Kleinovho obrazu priamkovej kongruencie, ktoré dávajú ďalšiu množinu priamkových plôch odzrkadľujúcich niektoré vlastnosti príslušných kriviek.

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

t1 + t2=2π

(0,0) I2 (2π, 0)

(0, 2π) (2π,2π)

t2= ϕ(t1)

MÁRIA KMEŤOVÁ

98

LITERATÚRA

[1] Kmeťová, M. An introduction to line congruencies, Proceedings of Symposium on Computational Geometry, SCG`2002, Bratislava / Kočovce 2002, ISBN 80-227-1773-8, pp. 25-28,

[2] Maleček, K., Szarková, D. A Method for Creating Ruled Surfaces and its Modifications, KoG N°6 2002/11, Journal of Croatian Society for Constructive Geometry and Computer Graphics, pp. 59-68

[3] Mendelson, B. Introduction to Topology, Dover Publications, INC., 1990, ISBN 0-486-66352-3

[4] Peternell, M., Pottmann, H., Ravani, B. On the computational geometry of ruled surfaces, Computer-Aided Design 31, 1999, pp. 17-32

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Ruled_surface

Doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Dagmar. Szarková e-mail: [email protected]


99

VYUČOVANIE ANALYTICKEJ GEMETRIE V SR A MR

ADRIANA KOLEVOVÁ

ABSTRACT. In the article the difference in the contents of analytical geometry in Slovakia and Hungary is presented. The sample of introduction to the study of plane shapes with the help of fundamental terminology is provided.

Učivo analytickej geometrie je pre žiakov gymnázií obzvlášť náročné, keďže ide

o algebraické riešenie geometrických úloh. Jeho zvládnutie vyžaduje pohotové používanie vedomostí a zručností získaných v predchádzajúcich ročníkoch štúdia. Jedným z cieľov je preto zostaviť taký postup pri preberaní tohto tematického celku, ktorý svojou logickou stavbou uľahčí pochopenie a vyriešenie aj zložitých geometrických situácií.

V Maďarskej republike sa pristupuje k tejto téme trochu ináč, ako u nás. V oboch štátoch sa toto učivo preberá v predmaturitnom ročníku, ale kým podľa slovenských učebných osnov sa preberajú lineárne útvary a ich vzájomná poloha v dvoj- aj trojrozmernom priestore, u našich južných susedov sa uspokoja s útvarmi v rovine. Najväčší rozdiel však vidím v tom, že prikladajú veľmi veľký dôraz na vysvetlenie a nacvičenie základných pojmov analytickej geometrie a vzťahom medzi nimi. Myslím tu na smerový a normálový vektor, smerový uhol a smernicu priamky. Tieto sa v našich učebniciach nepojednávajú v osobitnej kapitole, ale vždy sa zavádzajú podľa potreby v rámci pojednávania určovania priamok a rovín a ich vzájomnej polohy.

Učebnica od Hajnala v MR túto tému veľmi podrobne rozoberá v samostatnej kapitole a uvedie aj rad príkladov na nacvičovanie a utvrdzovanie nových pojmov a práce s nimi. Kapitola je zostavená nasledovne:

Definície

I. Smerový vektor priamky Definícia: Smerový vektor priamky je ľubovoľný vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou a nie je

nulový vektor. Označenie smerového vektora: v, súradnice v ( )21,vv . Z definície vyplýva, že aj

ľubovoľný k-násobok vektora v, kde k 0≠ , je tiež smerový vektor. Ak priamku zadáme bodmi P 1 , P 2 ; P 1 [x 1 , y 1 ], P 2 [x 2 , y 2 ] tak smerový vektor

priamky sa určí ako v = P 2 - P 1 so súradnicami v ( )1212 ; yyxx −− . II. Normálový vektor priamky Definícia: Normálovým vektorom priamky je ľubovoľný vektor rôzny od nulového

vektora, ktorý je kolmý na priamku. Označenie normálového vektora: n, súradnice n(A,B)

ADRIANA KOLEVOVÁ

100

III. Smerový uhol priamky Priamku dobre určuje aj uhol, ktorý zviera s niektorou súradnicovou osou. Obvykle sa

používa uhol, ktorý priamka zviera s osou x. Definícia: Smerový uhol priamky α je uhol, ktorý zviera priamka s osou x a spĺňa

podmienku –90° < α ≤ 90°. IV. Smerový tangens priamky (smernica priamky) Ak nakreslíme dva rôzne body priamky aj s ich súradnicami, ľahko si vytvoríme

pravouhlý trojuholník, ktorého jeden ostrý uhol je smerový uhol priamky a odvesny sú úsečky rovnobežné so súradnicovými osami. Pomocou ich dĺžky sa najľahšie určuje tangens smerového uhla, ktorý sa nazýva smerový tangens - smernica priamky.

Definícia: Tangens smerového uhla priamky nazývame smerovým tangensom alebo smernicou priamky.

Označenie: m, tg m=α Poznámky: Pojmy, ktoré sme zaviedli na určovanie priamok spolu úzko súvisia, ale sú medzi nimi

aj zásadné rozdiely. Preto si zapamätajte: - každá priamka má svoj smerový vektor, ba aj viac. Ak v je smerový

vektor, tak aj k.v, kde k ∈R. - ku každej priamke v rovine existuje normálový vektor, ba aj viac (ak n je normálový vektor, tak aj k.n, kde k ∈R) - každá priamka v rovine má práve jeden smerový uhol α , kde –90° <

α ≤ 90° - smerový tangens nemá každá priamka. Smerový tangens majú iba

priamky, ktorých smerový uhol spĺňa podmienku: -90° <α < 90° Ak α = 90°, čiže priamka je rovnobežná s osou y, tak smerový tangens neexistuje.

Vzťahy medzi smerovým vektorom, normálovým vektorom a smerovým tangensom nejakej priamky.

Ak je priamka daná pomocou hociktorého zo spomínaných prvkov, môžeme ľubovoľne prejsť k inému z nich.

I. Nech je nejaký vektor daný svojimi súradnicami. Ak jeho súradnice vymeníme a jednej z nich zmeníme znamienko (+ na - alebo naopak), tým vektor otočíme o 90°. Teda ak v(v 21,v ), tak jeden normálový vektor bude n(v 12 , v− ). Podobne ak n(A,B), tak v(B,–A).

p

n

VYUČOVANIE ANALYTICKEJ GEOMETRIE V SR A MR

101

Príklad: Nech priamka p je daná svojimi bodmi P 1 , P 2 , kde P 1 [ ]4,1 − , P 2 [ ]5,7 . Napíšte niekoľko smerových a normálových vektorov priamky p. Riešenie: Smerový vektor priamky, ktorú určujú body P1 , P2 sa dá všeobecne vyjadriť: v = P1 P2= P2 – P1 = 7i + 5j - (i - 4j) = 6i + 9j Preto niekoľko smerových vektorov: v ( )9,6 , v´ ( )18,12 , v´´ ( )9,6 −− , v´´´ ( )3,2 .... Najčastejšie sa používa v´´´, pretože súradnice sú nesúdeliteľné. Normálové vektory: n ( )6,9 − n´ ( )12,18− , n´´ ( )6,9− , n´´´ ( )2,3 − ....

II. Smerový a normálový vektor danej priamky sú na seba kolmé, preto sa ich skalárny súčin rovná nule.

v . n = 0 Príklad: Určte druhú súradnicu normálového vektora n(2; n2) priamky, ak smerový vektor má súradnice v(3;-6) v.n = 0 v 0.. 2211 =+ nvn 3.2+ ( ) 0.6 2 =− n 6n 62= n 12= Druhá súradnica normálového vektora je n 12=

III. Smerový uhol priamky sa rovná uhlu jej smerového vektora a osi x. Ak ohraničíme

veľkosť smerového uhla na interval –90° < α < 90°, tak smerový tangens sa dá vypočítať

ako podiel súradníc smerového vektora: m = tg α = 1

2

vv

Smerový vektor priamky danej bodmi P1 [x 1 , y 1 ], P 2 [x 2 , y 2 ] je vektor v ( ),, 1212 yyxx −− smerový tangens tejto priamky je pri podmienke x 21 x≠ :

m = 12

12

xxyy

−−

Tento vzťah sa dá vyčítať z obrázku 1. Smerový tangens sa dá napísať aj pomocou súradníc normálového vektora:

m = - BA

ADRIANA KOLEVOVÁ

102

Obrázok 1

Príklad: Určte normálový vektor, smerový tangens a smerový uhol priamky, ktorej smerový vektor je v(5, - 8). Narysujte niekoľko priamok s týmto smerovým vektorom! Riešenie: Normálový vektor: n ( )5,8 , n´ ( )10,16 , n´´ ( )5,2,4 −−

Smerový tangens: m = 6,158

−=−

Smerový uhol: 58−=α °

Poznámka: Pripomíname, že svojím smerovým vektorom (normálovým vektorom, smerovým uhlom, smerovým tangensom) priamka nie je jednoznačne daná. Daný je iba smer priamky. Existuje nekonečne veľa takých priamok, ktoré majú rovnaký smerový vektor. Ak chceme priamku určiť jednoznačne, potrebujeme zadať ešte jeden bod, ktorým priamka prechádza.

0 x1 x2

p

y y2 y1

P2[x2, y2]

P1[x1, y1]

x2 – x1

y2 – y1

x

5 8 x

y 5 0 –8

n(8, 5)

v(5, –8)

l k


103

IV. Ak poznáme smerový tangens priamky, tak vieme určiť aj jej smerový vektor. Keďže

m = tg ,1

2

vv

=α m potrebujem napísať v tvare zlomku, napríklad ako 1m

a potom

menovateľ zlomku je prvá súradnica a čitateľ druhá súradnica smerového vektora. Čiže jeden smerový vektor priamky so smerovým tangensom m je v ( )m,1 , jeden normálový vektor je n ( )1,−m ale platí tiež, že pre každé c :0, ≠∈ cR

v ( )cmc, n ( )ccm −, Príklad: Určte smerový a normálový vektor priamky, ktorej smerový tangens je 2. Riešenie:

m = 2 = 12

= 1

2

vv

⇒ v(1,2)

n ( )1,2 −

V. Ak poznáme smerový tangens priamky, potom z trigonometrickej rovnice tg m=α vieme určiť smerový uhol α . Z intervalu –90° < α < 90° dostaneme práve jednu hodnotu, lebo funkcia tangens ( )tgxy = je na tomto intervale monotónna.

Príklad: Určte smerový uhol priamky, ktorej smerový tangens (smernica) je tg 5,1=α . Riešenie: z rovnice tg 5,1=α ⇒ =α 56° Príklad: Akú majú polohu priamky, pre ktoré platí: a) v(1,0) b) v´(0,3) Určte ich normálový vektor, smerový uhol a smerový tangens. Riešenie: a) Vektor v(1,0) je rovnobežný s osou x. Každá priamka, ktorej smerový vektor má tvar v(1,0) je rovnobežná s osou x. Jej normálové vektory sú kolmé na os x, teda sú rovnobežné s osou y. Prvá súradnica normálových vektorov je 0, druhá súradnica môže byť ľubovoľné číslo rôzne od nuly: n(0,c), kde c 0≠ . Smerový tangens priamok: m = 0, smerový uhol 0=α ° b) Vektor v´(0,3) má koncový bod v bode [ ]3,0 . Každá priamka s takýmto smerovým vektorom je rovnobežná s osou x. Prvá súradnica normálového vektora je číslo rôzne od nuly, druhá sa rovná nule: n(c,0). Smerový tangens nemá, smerový uhol má veľkosť 90°.

ADRIANA KOLEVOVÁ

104

C) Podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamok

Hľadajme súvislosť medzi charakteristickými znakmi priamok. Budeme používať nasledujúce označovanie:

nech sú dané priamky: e´ a e´´ ich smerové vektory: v´ a v´´ ich normálové vektory: n´ a n´´ ich smerové uhly: α ´ a α ´´ ich smerové tangensy: m´ a m´´ I. Z definície smerového vektora vyplýva, že ak sú dve priamky rovnobežné,

tak ich smerové vektory sú zhodné, alebo jeden je násobok druhého: v´= c.v´´; c≠ 0 Toto platí aj na ich súradnice: v1 ´ = c. v 1 ´´ ∧ v 2 ´ = c. v 2 ´´

Ak sa prvé súradnice nerovnajú nule, tak platí: 1

2´

´´

vv

= 1

2

´´´´

vv

Z tohoto vzťahu vyplýva, že smerové tangensy rovnobežných priamok (ak existujú) sa rovnajú: m´= m´´

Z podmienky e´ || e´´ vyplýva, že aj smerové uhly rovnobežných priamok sa rovnajú: α ´= α ´´

Platí aj opačne: ak sa smerové uhly dvoch priamok rovnajú, alebo sa rovnajú ich smerové tangensy (ak existujú), alebo ich smerové vektory sú jeden násobok druhého, potom sú priamky rovnobežné.

Príklad: Nech sú dané smerové vektory: v´(12, 8), v´´(-4, 6), v´´´(2, -4), v´´´´(-3, -2) Vyberte z nich páry, ktoré určujú rovnobežné priamky! Riešenie: Vektory nahradíme ich násobkami tak, aby sa mohli ľahšie porovnávať: v´(3, 2), v´´(-2, 3), v´´´(1, -2), v´´´´(-3, -2) rovnobežné priamky určujú: v´ a v´´´´, lebo platí v´= (-1).v´´´´ Ostatné vektory určujú rôznobežné priamky. II. Z definície smerového a normálového vektora vyplýva, že ak sú dve priamky na seba kolmé, tak sú aj ich smerové vektory na seba kolmé a preto ich skalárny súčin sa rovná nule: v´. v´´ = 0 čiže v 1 ´.v 1 ´´ + v 2 ´.v 2 ´´ = 0 v 1 ´.v 1 ´´ = - v 2 ´.v 2 ´´ Ak sa medzi súradnicami nenachádza 0, tak sa rovnica dá upraviť na tvar:

1

2

´´

vv

= - 2

1

´´´´

vv

= -

1

2

´´´´1

vv

teda m´= - ´´

1m


105

Dostali sme výsledok, že ak sú dve priamky na seba kolmé, a obe majú smerové tangensy, tak tie sú si prevrátené hodnoty s opačným znamienkom.

Platí aj v opačnom smere: Ak sú smerové tangensy prevrátená hodnota s opačným znamienkom jeden druhému, tak sú priamky na seba kolmé.

Príklad:

Nech sú dané smerové tangensy priamok: m 1 = 2,5; m 2 = 0,5; m 3 = 25

;

m 4 = -0,4 Vyberte z nich páry, ktoré určujú rovnobežné priamky a páry určujúce priamky na seba kolmé. m 1 = m 3 ⇒ priamky sú rovnobežné

m 1 = - 4

1m

∧ m 3 = - 4

1m

⇒ priamky sú na seba kolmé

priamka určená m 2 nie je ani rovnobežná so žiadnou inou priamkou ani kolmá so žiadnou z nich.

LITERATÚRA

[1] Hajnal, I.: Matematika III. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó 1988, ISBN 963 18 6285 2

PaedDr Adriana Kolevová, PdD. Mestský úrad Hlavné námestie 1 SK – 936 01 Šahy

Recenzent: prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. e-mail: [email protected]


107

ODKAZ G. POLYU PRE DIDAKTIKU MATEMATIKY 21. STOROČIA

TOMÁŠ LENGYELFALUSY

ABSTRACT. In our paper we deal with G. Polya, an important personality of the world´s didactics of the 20th century mathematics and with didactic aproaches and methods. In the first part of our paper we introduce G. Polya as a mathematician and didactician and in the second part we devote ourselves to his most famous work “How to solve it”.

Úvod

Súčasná didaktika matematiky zápasí s mnohými problémami, medzi ktoré (okrem iných) patria: zvýšenie „obľúbenosti matematiky ako vyučovacieho predmetu; vzbudenie záujmu študentov o matematiku; matematiku podávať v takej forme, aby študenti objavili krásu predmetu; práve pomocou matematiky poukázať na mnohé súvislosti s každodenným životom a v neposlednom rade naučiť študentov učiť sa, uvažovať v súvislostiach a riešiť problémy.

V záujme dosiahnutia horeuvedených cieľov, stále hľadáme nové formy a metódy a vynaložíme obrovskú energiu na zefektívňovanie vyučovania matematiky. V tomto krátkom príspevku chceme predstaviť známeho didaktika matematiky, G. Polyu, ktorého heuristická metóda je skutočným liekom na mnohé súčasné problémy didaktiky matematiky. Paradoxom je, že autor svoje revolučné myšlienky publikoval pred vyše 60 mi rokmi a hoci dnešní didaktici matematiky s obľubou ho citujú, jeho koncepcia v našej zemepisnej šírke sa (ešte) nedostala do každodennej praxe vyučovania matematiky.

Najprv stručne predstavíme autora, G. Polyu a potom sa budeme venovať jeho didaktickým myšlienkam a jeho najznámejšej publikácii „How to solve it“ (Ako nájsť riešenie), ktorá (dúfame) práve na autorove 120. narodeniny vychádza prvýkrát v slovenskom jazyku.

1. George Polya (1887 – 1985) ako matematik, didaktik a človek

George Polya sa narodil 13. decembra 1887 v Budapesti. Rodné meno jeho otca, ktorý zomrel v roku 1897, bolo Jakab Pollák. Jeho rodičia boli židia a ich priezvisko evokovalo poľský pôvod, preto je dosť pravdepodobné, že jeho predkovia emigrovali z Poľska do Maďarska, kde anti-semitizmus nebol až taký výrazný. Jakab konvertoval na katolícku vieru v nádeji, že to mu pomôže v jeho kariére, a preto si tiež zmenil meno na maďarsky znejúce, Pólya.

George študoval na štátnej strednej škole s veľmi dobrou reputáciou. Bol veľmi zdatný a venoval sa rôznym druhom športu. Škola, ktorú navštevoval zastávala názor učenia sa naspamäť, čo George považoval za veľmi nudné, ale neskôr si uvedomil užitočnosť aj takého spôsobu učenia sa.

V mladšom veku sa George vôbec nezaujímal o matematiku. V roku 1905 zmaturoval na gymnáziu ako jeden zo štyroch nejlepších študentov školy, a tým si zaslúžil štipendium na univerzite v Budapesti, kde začal hneď v roku 1905 študovať. Študoval právo, ako jeho otec, ale po čase sa mu to zunovalo, a preto prešiel na jazyk a literatúru. Obzvlášť ho zaujímalo štúdium latinčiny a maďarčiny.


108

Jeho vývoj a ďalšie smerovanie značne ovplyvnil matematik Lipót Fejér. Bol to matematik celým srdcom a na Polyu veľmi zapôsobili jeho myšlienky. Polya veril, že časopisy, v ktorých Fejér publikoval svoje články mali obrovský vplyv na rozvoj matematického myslenia študentov. Polya, inšpirovaný Fejérom, teda presmeroval svoje štúdium na matematiku. Počas tohto štúdia bol veľmi usilovným a horlivým študentom. Chodil na prednášky, čítal veľa kníh, snažil sa chápať riešenia úloh, ale vždy ho trápila otázka: „Áno, vyzerá to tak, že toto riešenie je naozaj správne, ale ako je možné dopracovať sa k takému riešeniu?“

„Ako by som mohol ja sám nájsť tieto dôkazy?“ V roku 1910 ukončil celé svoje štúdium (aj s doktorátom), ale dizertačnú prácu

neodovzdal. Odišiel na rok do Viedne, a keď sa v roku 1911-12 vrátil do Budapesti, odovzdal svoju dizertačnú prácu a popri tom sa srtretol s Gáborom Szegöm, ktorý sa stal jedným z jeho hlavných spolupracovníkov.

Koncom roka 1912 odišiel do Göttingenu na post-doktorandské štúdium. V roku 1913 dostal ponuku na pozíciu vo Frankfurte, ale bol Nemeckom sklamaný, preto túto príležitosť odmietol po tom, ako ho niekto vo vlaku nazval „špinavým židom“. Po tejto nepríjemnej skúsenosti sa odsťahoval do Paríža, kde na parížskej univerzite začal ďalšie post-doktorandské štúdium.

V roku 1914 prijal miesto na Eidgenossische Technische Hochsschule (ETH) v Zürichu. Táto škola je známa menami ako Röntgen a Einstein, ktorí tam študovali.

V roku 1914 bol Polya povolaný do armády, ale pretože medzičasom prijal Russelovu teóriu pacifizmu, odmietol nastúpiť. Zo strachu, že by mohol byť zatknutý za vlastizradu, sa nevrátil do Maďarska až do konca Druhej svetovej vojny. V Zürichu sa stretol so Stellou Weberovou a v roku 1918 sa zosobášili, a boli spolu až do Polyovej smrti, teda 67 rokov. Nemali žiadne deti.

V roku 1940 boli Polyovci znepokojení vojnou a nemeckým fašizmom, a preto sa kvôli Georgovmu židovskému pôvodu, a kvôli možnosti, že Švajčiarsko napadnú Nemci, presťahovali do Spojených štátov amerických. Szegö, Polyov dávny kolega, mu ponúkol miesto vo výskume v Stanforde, ale Polya ho zo začiatku odmietol a prijal miesto na Univerzite v Brown. V roku 1942 sa však predsa presťahoval do Stanfordu. Polya tu začal pracovať na nových štúdiách, ktoré vychádzali z jeho veľkého záujmu o učenie a heuristiku. Tieto štúdia viedli k tomu, že na jeseň, v roku 1945, zaviedol na Stanfordskej univerzite nový predmet „Mathematical methods in Science“ (Matematické metódy vo vede), v ktorom prvý krát predstavil študentom všeobecné a matematické metódy dedukcie a indukcie, vzťah medzi matematikou a vedou, rovnako ako „používanie intuície pri riešení matematických úloh“.

Študoval rôzne aspekty úlohy, všeobecné aj špecifické, preformuloval ju niekoľkými spôsobmi a vyskúšal všetky možné spôsoby, ktoré by mohli dôjsť k jej vyriešeniu. Preštudoval niekoľko spôsobov, ktorými je možné dokázať pravdivosť vety alebo obmeniť postup riešenia, vždy zo zámerom nájsť riešenie úlohy. Vytvoril aj zoznam typických otázok, ktoré sa mu stále núkali v priebehu riešenia úlohy.

Vyučoval aj heuristiku, kde sa sústredil na úlohy a riešenia využitím rôznych metód od klasickej logiky až po heuristickú logiku. Tento predmet prilákal množstvo študentov aj z odboru výchovy a vzdelávania, psychológie a filozofie a bol založený na Polyovej, vtedy veľmi známej knihe How To Solve It. V Spojených štátoch amerických a najmä na Stanfordskej univerzite sa stal najväčšou autoritou vyučovania riešenia matematických úloh. Po odchode do dôchodku, Polya aj naďalej žil, pracoval a tvoril v Stanforde až do svojej smrti v roku 1985.


109

Polya aktívne pôsobil vo viacerých oblastiach matematiky, ako napríklad teória pravdepodobnosti, koplexná analýza, kombinatorika, teória čísel, geometria, matematická fyzika. (V tomto príspevku sa sústredíme len na jeho didaktické výsledky). Videl veľký význam v súťažiach, preto v roku 1946, v spolupráci v Gaborom Szegöm, začal prvý ročník matematickej súťaže na Stanfordskej univerzite (Stanford University Competitive Examination in Mathematics). V prvom roku sa do súťaže prihlásilo 322 študentov zo 150 rôznych škôl západných štátov. Táto súťaž pokračovala až do roku 1965. Polya však aj naďalej pokračoval v publikovaní štúdijnych materiálov na riešenie matematických úloh v rôznych časopisoch a knihách. V roku 1945 vydal Polya svoju najvýznamnejšiu knihu, How To Solve It, ktorej sa budeme podrobnejšie venovať. V roku 1954 vydal dvojzväzkovú knihu Mathematics and Plausible Reasoning a v roku 1962 a 1965 ďalšie dva zväzky, pod názvom Mathematical Discovery.

Aj v dôchodkovom veku Polya prejavil aktívny záujem o zdokonalenie vyučovacích štandardov, a preto podnikol kroky, ktoré viedli k založeniu 8-týždňového Letného inštitútu pre učiteľov matematiky (eight-week Summer Institute for mathematics Teachers), najprv na úrovni vysokých škôl, a neskôr aj pre učiteľov stredných škôl.

V čase, keď Polya napísal knihu How To Solve It (Ako nájsť riešnie) prevládal vo vyučovaní matematiky, ale aj vo vyučovaní všeobecne, autoritatívny prístup učiteľa, pri ktorom celý proces učenia spočíval v tom, že žiaci ticho sedeli a celú hodinu počúvali, čo im učiteľ prednáša. Takže by sme ho mohli charakterizovať ako proces zameraný na učiteľa („teacher-centered teaching“). Úlohou žiakov bolo zapamätať si čo najväčšie množstvo informácií, ktoré im učiteľ sprostredkuje.

Polya sa vo svojom diele snaží presadiť presne opačný proces vyučovania, a to taký, ktorý by bol zameraný na žiaka („student-centered teaching“). V tomto procese by mal žiak možnosť aktívne sa zapojiť do hodiny, klásť otázky. Práve toto je jedným z faktov, v ktorom spočíva nadčasovosť tohto diela. Ešte aj dnes, vyše 60 rokov po vydaní tejto knihy, sa stále snažíme hľadať vhodné metódy vyučovania, ktorými by sme žiakom sprístupnili a zjednodušili proces učenia sa. Aj u nás, na Slovensku, sa totiž často môžme stretnúť s autoritatívnym prístupom učiteľov k vyučovaniu, v ktorom žiaci nemajú možnosť aktívne sa zapájať do hodiny a sami tak objavovať krásy matematiky.

Na dosianutie svojho cieľa Polya použil, v tej dobe veľmi zanedbávaný, heuristický prístup k vyučovaniu. Čo ho viedlo práve k takejto voľbe?

Ako sme už vyššie spomenuli, Polya sa na univerzite stal veľmi horlivým študentom, ktorý veľa čítal a snažil sa aj pochopiť, čo čítal a nechcel len tupo memorovať jednotlivé dôkazy. S týmto cieľom sa v priebehu učenia dostal k niekoľkým otázkam:

„Áno, vyzerá to tak, že toto riešenie je naozaj správne, ale ako je možné dopracovať sa k takému riešeniu?“

„Áno vyzerá to, že tento pokus je správny a zdá sa, že to je pravdivé tvrdenie, ale ako sa človek dopracuje k takému tvrdeniu?“

„Ako by som mohol ja sám nájsť tieto dôkazy?“ Chápal správnosť toho, čo čítal, ale chcel vedieť či by sa aj on sám bez pomoci knihy

dokázal k týmto dôkazom dopracovať. Pokúšal sa teda sám, vlastnými silami, nájsť riešenie úlohy alebo dôkaz vety. Po istom čase si uvedomil, že v priebehu riešenia sa mu stále v jednotlivých fázach núkajú tie isté otázky, ktoré istým spôsobom usmerňujú jeho myslenie tak, aby stále dokázal udržať na zreteli základné informácie, ktoré daná úloha ponúka a efektívne s nimi pracovať a narábať. Takto sa nakoniec skôr či neskôr dopracoval k správnemu riešeniu alebo k dôkazu.

Polya si uvedomoval aký obrovský vplyv mal tento spôsob riešenia úloh na jeho myslenie a výsledky, ktoré ním dosahoval, a to ho doviedlo k poznaniu, že školy vôbec


110

nevenujú pozornosť rozvoju myslenia žiaka, len ho napĺňajú často nejasnými informáciami.

Začal sa teda podrobnejšie venovať štúdiu rozvoja myslenia a hlavne matematického myslenia a objavovania, teda štúdiu heuristiky.

Na základe svojich vedomostí a poznatkov z heuristiky Polya napísal niekoľko kníh, v ktorých dáva návhry na zmenu vyučovania matematiky, už od základných škôl. Na jednej zo svojich prednášok, už v roku 1969, Polya povedal:

„Myslím, že jedným zo základných cieľov základných škôl by malo byť oboznámiť žiakov s taktikou riešenia úloh. Nie len riešiť také či onaké úlohy, riešiť dlhé príklady na delenie a násobenie a podobné veci, ale vybudovať v nich všeobecný postoj k riešeniu úloh.“

Polya videl riešenie úloh ako „jednu tretinu matematiky a dve tretiny zdravého rozumu“. Toto bola taktika, ktorú Polya navrhol učiteľom matematiky na amerických stredných školách. Polya dodal: „Ak vo vyučovaní matematiky nebude táto taktika, potom matematika nebude spĺňať dva základné ciele: Nedá správny prístup k riešeniu úloh budúcim matematikom, a tým, ktorí sa nebudú matematike venovať ďalej nedá podstatu všeobecného vzdelávania.“

2. How to solve it ako vrcholné dielo matematickej heuristiky

Dielo How To Solve It, ktoré sme v tejto práci nazvali Ako nájsť riešenie, sa dá považovať za vrcholné didaktické dielo Georga Polyu. Svojim štýlom vyhovuje širokému vekovému záberu ľudí, od žiakov na stredných školách, ktorí sa chcú viac venovať matematike a naučiť sa samostatne riešiť úlohy, až po učiteľov, ktorí chcú pomôcť svojim študentom rozvíjať ich matematické myslenie a naučiť ich správne pristupovať k riešeniu úloh.

Aby autor dosiahol požadovaný efekt svojho diela, inšpiroval sa svojimi skúsenosťami s riešením úloh a tiež základnými princípmi heuristiky. How To Solve It je vlastne zbierka heuristických myšlienok, ktoré vyučoval študentov matematiky. Opisuje v nej spôsoby, ktorými sa môžme pozerať na úlohy a hľadať ich riešenia.

How To Solve It využíva všeobecné jednoduché zákony heuristiky: - ak máš ťažkosti s porozumením úlohy, skús si ju načrtnúť („urob náčrt“). - ak nemôžeš nájsť riešenie, skús predpokladať, že si ho už našiel a pokús sa riešiť

úlohu od konca, („riešenie pospiatky“). - Ak je v úlohe niečo abstraktné, pokús sa nájsť konkrétny príklad („nájdi

jednoduchšiu úlohu“). - Najprv vyrieš všeobecnejšiu úlohu („paradox náročnosti“: náročnejší plán má viac

šancí na úspech). How To Solve It nám navrhuje aj postup ako má riešenie úloh vyzerať. Tento postup

riešenia úloh je aplikovateľný nie len na matematické úlohy, ale na úlohy z rôznych oblastí, napríklad krížovky a anagramy.

Spomínaný postup, ktorý je opísaný v danej knihe, pozostáva zo štyroch častí. V každej časti sú zhrnuté otázky a návrhy, ktoré podnecujú myslenie študenta a smerujú ho k žiadanému cieľu.

Prvým krokom k úspešnému vyriešeniu úlohy je jej pochopenie. Keď nemáme jasnú predstavu o tom, čo sa od nás v úlohe vyžaduje a kam vlastne smerujeme, nemôžme ani vedieť ako sa tam máme dostať, a aký smer zvoliť. K pochopeniu úlohy a všetkých jej častí nám môžu dopomôcť tieto otázky a návrhy:


111

- Čo je neznáma? Čo je dané? Aké sú podmienky? Je možné vyhovieť podmienke? Je podmienka postačujúca na určenie naznámej? Alebo je nepostačujúca? Je nadbytočná? Je protichodná? Urob náčrt a zvoľ vhodné označenie. Vedel by si oddeliť jednotlivé časti zadania?

Všetky tieto otázky vedú a upriamujú pozornosť študenta na zadanie úlohy ako také a nútia ho rozmýšľať a uvažovať nad jeho jednotlivými časťami. Často sa totiž stáva, že študent začne riešiť úlohu bez toho, aby poriadne vedel, čo vlastne hľadá. Snaží sa len podľa naučeného typu úlohy spomenúť si na vzorce, ktoré by „asi“ mohli vyhovovať a snaží sa do nich dosadiť údaje, ktoré mu zadanie ponúka. Takéto riešenie však vedie k nedorozumeniam, nesprávnym a nezmyselným výsledkom. Preto je nevyhnutné, aby si študent, skôr než sa pustí do hľadania riešenia, poriadne zatriedil myšlienky a určil smer, po ktorom sa má za riešením vydať.

Keď pochopíme všetky časti úlohy a vytvoríme si predstavu o tom, kam sa potrebujeme dostať, mali by sme vypracovať plán, podľa ktorého dosiahneme požadovaný výsledok. Cieľom tejto časti riešenia úlohy je aj nájsť vzťah medzi danými údajmi a neznámou. Ak nás hneď niečo nenapadne, môžme pouvažovať o použití nejakých pomocných prvkov alebo pomocných úloh.

- Videl si to už niekedy? Alebo videl si tú istú úlohu v inej podobe? Poznáš nejakú podobnú úlohu? Vieš si spomenúť na nejakú vetu, ktorá by mohla byť užitočná? Pozri sa na neznámu! A skús si spomenúť na úlohu, v ktorej si mal tú istú alebo podobnú neznámu.

- Ak nevieš vyriešiť danú úlohu, pokús sa najskôr vyriešiť nejakú podobnú jednoduchšiu úlohu. Poznáš nejakú jednoduchšiu prístupnejšiu úlohu? Všeobecnejšiu úlohu? Špecifickejšiu úlohu? Analogickú úlohu?

V tradičných školách sú študenti málokedy vedení k tomu, aby boli nútení rozmýšľať ako sa majú k riešeniu dopracovať. V zadanej úlohe, aj keď správne určia neznámu, majú dané všetky ostatné údaje, ktoré len jednoducho pospájajú, dosadia do vzorca a dostanú hľadaný výsledok. Ak však chceme rozvíjať u žiakov logické myslenie, mali by sme im dávať viac úloh, v ktorých potrebujú používať aj vedomosti, ktoré získali v priebehu predchádzajúcich hodín. Dať im možnosť kombinovať, hľadať analógie, využívať to, čo majú v pamäti. Takéto učenie by pre nich bolo určite povzbudením, pretože by si uvedomili, že to, čo sa naučili používajú ďalej, videli by nový zmysel využitia toho, čo už v podstate vedia. Našli by medzi úlohami nové súvislosti, a tým by sami prispeli k rozvoju svojho myslenia.

Ak sa nám podarí nájsť podobnú úlohu, musíme porozmýšľať či by bolo možné ju nejakým spôsobom použiť pri riešení našej pôvodnej úlohy.

- Toto je úloha podobná našej a už vyriešená. Vedel by si ju použiť? Vedel by si oužiť výsledok tejto úlohy? Vedel by si použiť spôsob riešenia tejto úlohy? Potrebuješ do úlohy zaviesť nejaký pomocný prvok, aby si mohol túto úlohu použiť?

Ak sa nevieme pohnúť a zasekneme sa v tomto bode, mali by sme sa pokúsiť vyriešeiť aspoň časť úlohy, alebo pokúsiť sa o nejakú jej obmenu.

- Vedel by si preformulovať zadanie úlohy? Vedel by si to povedať ešte inakšie? Vedel by si vyriešiť aspoň časť úlohy? Zachovaj len časť podmienky a druhú časť vynechaj. Do akej miery je teraz neznáma určená? Podľa čoho sa bude meniť?

Tieto otázky navádzajú študenta k práci s údajmi, ktoré má k dispozícii. Ak naozaj zadanie úlohy pochopil, potom by preňho nemal byť problém povedať si to zadanie inými slovami, nemal by mať strach, že mu vypadne nejaký údaj alebo niektorá podmienka. Keď


112

si uvedomí ako a podľa čoho sa úloha mení a overí si viac obmien, môže ho to priviesť k výsledku alebo k novému zisteniu, ktoré ho k výsledku privedie.

Môže sa stať aj to, že prehliadneme nejaký bod zadania alebo nám nejaká časť unikne. Preto je dobré vrátiť sa k pôvodným informáciám, z ktorých sme začali čerpať.

- Vráť sa k definícii. Vedel by si zo zadania odvodiť nejakú užitočnú informáciu? Vieš si predstaviť nejakú podmienku, ktorá by bližšie špecifikovala neznámu? Vedel by si zmeniť dané údaje alebo neznámu, alebo oboje tak, aby boli neznáma a dané údaje k sebe bližšie? Použil si všetky údaje? Použil si celé zadanie? Zobral si do úvahy všetky podstatné prvky úlohy.

Ak sa študent v tejto časti zasekne a nebude sa vedieť posunúť v riešení ďalej, tieto otázky zamerajú jeho pozornosť opäť na začiatok úlohy, kde si môže všimnúť či naozaj pracuje so všetkými údajmi a berie do úvahy všetky podmienky, ktoré boli v zadaní spomenuté. Stáva sa, že študent sa v priebehu riešenia úlohy motá okolo jedného bodu a nevie sa pohnúť ďalej, a práve jedna z týchot otázok mu môže pomôcť uvedomiť si, že zanedbal niečo dôležité, podstatné, čo mu pomôže nájsť ten chýbajúci prvok.

Keď máme plán úlohy a vidíme jasne a zreteľne všetky časti úlohy a zobrali sme do úvahy všetky podmineky kladené na neznámu, môžme sa pustiť do realizácie plánu. Pri realizácii plánu by sme mali dbať na to, aby sme prekontrolovali každý každý krok, ktorý urobíme. Aby sme mali tento fakt na zreteli, mali by sme sa držať týchto otázok:

- Vidíš úplne jasne, že tento krok bol správny? Vieš dokázať, že je správny? Táto časť úlohy je plná výpočtov „hrania sa“ s číslami. Otázky, ktoré tu autor ponúka

alebo navrhuje pomôžu študentovi vyhnúť sa numerickým chybám, ktoré sú také časté. Je veľmi ľahké urobiť numerickú chybu, čo môžu určite potvrdiť aj skúsení matematici. Preto by sme mali naučiť študentov overiť si každý krok, každý výpočet, každý medzi-výsledok, ktorý zapíšu. Jedno zle zapísané číslo môže ovplyvniť celý výsledok, a preto by sme mali naučiť študentov ako sa týmto chybám vyvarovať.

Po realizácii plánu sme sa dostali ku konečnému výsledku. Ak sme správne postupovali a dbali na každý krok pri realizácii plánu, mal by byť výsledok sprvávny. Žiadna úloha sa však nemá končiť realizáciou plánu, pretože práve vtedy, keď máme pred sebou vyriešnú úlohu, ponúka sa nám najlepšia príležitosť naučiť sa niečo nové a pochopiť úlohu ešte lepšie. Máme možnosť overiť si výsledok, pracovať s ním, ďalej ho obmieňať a testovať. Čím viac s úlohou pracujeme, tým viac ju spoznávame:

- Otestuj svoj výsledok. Vieš si overiť správnosť svojho výsledku? Vedel by si sa dopracovať k riešniu iným spôsobom? Vidíš teraz riešenie na prvý pohľad? Vedel by si použiť spôsob riešenia tejto úlohy v nejakej inej úlohe?

Veľmi bežnou chybou, aj u veľmi dobrých študentov je, že sa nezamýšľajú nad výsledkami, ktoré dosiahnú. Akonáhle sa dopracujú k výsledku, úloha pre nich končí. Ak však študent rieši úlohu tak, že ani poriadne nevie, o čo v danej úlohe išlo, často sa dopracuje k úplne nezmyslenému výsledku. Tieto otázky študenta vyzývajú k tomu, aby ani po všetkom úsilí, ktoré do úlohy vložil, aspoň trocha, použijeme výraz, „pochyboval“ o svojom výsledku, aby ho podrobil skúške správnosti, aby sa uistil, že výsledok, ku ktorému sa dopracoval je naozaj reálne možný. Ak výsledok viacnásobne overí, sám seba utvrdí v tom, že je naozaj správny a súčasne si pri overovaní môže uvedomiť nové fakty, opäť nájsť nové súvislosti, a tým všetkým prispieť k rozvoju svojho logického myslenia.

Všetky otázky spomenuté v týchto štyroch častiach riešenia úloh motivujú študentov k mysleniu a všetky pomáhajú rozvíjať jeho schopnosť samostatne riešiť úlohy, čo presne odráža myšlienky heuristického prístupu k vyučovaniu matematiky.


113

Záver

Záverom si dovoľujeme uviesť niekoľko myšlienok G. Polyu o vyučovaní matematiky. „Riešenie úloh je praktická zručnosť rovnako ako plávanie, lyžovanie alebo hra na

klavír: dá sa to naučiť napodobňovaním a cvikom. Ak sa chceme naučiť plávať, musíme ísť do vody, a ak sa chceme naučiť riešiť úlohy, musíme začať riešiť úlohy.“

„Matematika spočíva v dokazovaní tých najjednoduchších vecí tým najnečakanejším spôsbom.“

„Matematika je najlacnejšia veda. Na rozdiel od fyziky alebo chémie nevyžaduje žiadne drahé zariadenia. Všetko, čo človek na matematiku potrebuje je pero a papier.“

„Je veľa otázok, ktoré môže hlupák položiť, na ktoré múdry človek nebude poznať odpoveď.“

„Keď použijeme správny logický postup v nesprávnom čase, na nesprávnom mieste, môže sa stať najhorším nepriateľom aj správneho štýlu učenia.“

„Matematik, ktorý dokáže len zovšeobecňovať je ako opica, ktorá vie liezť len hore na strom a matematik, ktorý vie len špecifikovať je ako opica, ktorá vie liezť len dole zo stromu. Ani jedna z týchto opíc nie je plnohodnotné stvorenie. Opica musí byť predsa schopná nájsť si potravu a utiecť pred nepriateľom, to znamená, že potrebuje vedieť liezť aj hore aj dole po strome. Rovanko skutočný matematik musí vedieť aj zovšeobecňovať aj špecifikovať.“

„Matematika je v skutočnosti lenivá. Necháva všetku prácu na pravidlách, takže my nemusíme robiť takmer nič.“

„Elegancia matematickej vety je priamo úmerná počtu nezávislých myšlienok, ktoré nás pri nej napadnú a nepriamo úmerná úsiliu, ktoré musíme vynaložiť, aby sme ich našli.“

„Aby učiteľ dokázal efektívne učiť, musí mať pre daný predmet cit. Jeho študenti nikdy nepocítia krásu predmetu, ak ju necíti učiteľ sám. Nikdy sa s nimi nebude môcť podeliť o nadšenie, ak ho sám necíti. Žiaci vnímajú dôležitosť predmetu presne tak, ako ju vníma učiteľ. On sám teda musí cítiť jeho dôležitosť.“

„Pri vyučovaní budúcich matematikov môžete urobiť niečo veľmi múdre: Najprv ukázať študentom heuristický dôkaz a až potom striktný matematický dôkaz, ktorého hlavná myšlienka bola naznačená v heuristickom dôkaze. Tým môžete urobiť pre svojich študentov niečo veľmi dôležité: Môžete ich naučiť robiť výskum.“

„Začnite niečím známym, užitočným a vyzývavým: napríkald hľadajte spojitosť s predmetmi okolo seba, pokúste sa to na niečo aplikovať, použiť svoju intuíciu.“

„Vôbec sa nebojte používať hovorové výrazy, ak to v danej chvíli považujete za vhodnejšie ako presný odborný termín. Pravidlom by malo byť, aby sme nepoužívali nové odborné pojmy, až kým študenti nemajú potrebu dané prvky pomenovať.“

„Neponáhľajte sa do príliš veľkých detailov dôkazu. Najprv hľadajte hlavnú myšlienku alebo intuitívny náčrt dôkazu.“

„Všeobecne povedané, uvedomte si, že najlepší spôsob učenia je po stupňoch.: V prvom rade by sme mali mať prehľad o úlohe, potom hľadať konkrétny zdroj alebo možný spôsob jej využitia. Postupne, keď vidíme spojitosti, zvyšuje sa náš záujem o úlohu a máme viac vôle vložiť do riešenia viac námahy a úsilia ako na začiatku.“

Veríme tomu, že na základe týchto myšlienok, životného odkazu autora a na základe jeho diela How To Solve It (Ako nájsť riešenie) sa môže zlepšiť vyučovanie matematiky na našich školách.


114

LITERATÚRA

[1] Fulier, J., Šedivý, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky, FPV UKF Nitra, 2001, ISBN 80-8050-445-8

[2] Polya, G.: How to solve it, Penguin Books, London 1990, ISBN 0-14-012499-3

[3] Sandanusová, A., Stollár, T.: Prečo vyučovať názorne, In: XXI. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu. Zborník abstraktov a elektronických verzií príspevkov na CD-ROMe, Vyškov 2003, ISBN 80-7231-105-0

[4] George Polya [online]. Aktualizácia 13. 11. 2006. Dostupné na <http://www.amt.canberra.edu.au/polya.html>

Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta prírodných vied Žilinská univerzita v Žiline Hurbanova 15 SK – 010 26 Žilina e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Jozej Fulier, CSc. e-mail: [email protected]


Príspevok vznikol s podporou grantu Asymptotické a oscilatorické vlastnosti riešení nelineárnych diferenciálnych systémov 1/4004/ 07.

115

NIEKTORÉ SÚRADNICOVÉ SYSTÉMY POUŽITÉ PRI RIEŠENÍ SÚSTAV NELINEÁRNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC

ANNA MACUROVÁ

ABSTRACT. In this paper are used polar coordinates, the hyperbolic coordinates, the cylindrical coordinates, generalized c- hyperbolic coordinates with the examples at used in the expressed the solution of the linear differential equations systems and of the nonlinear differential equations systems.

Úvod V matematike, predovšetkým v oblasti aplikovanej matematiky, je daná diferenciálna

rovnica alebo sústava diferenciálnych rovníc a úlohou je získať informácie o ich riešeniach (napr. o ohraničenosti riešení, monotónnosti riešení, alebo zistiť s danou presnosťou priebeh vybraného riešenia). Stretávame sa s diferenciálnymi rovnicami a sústavami diferenciálnych rovníc, ktoré vyjadrujú technologický alebo iný systém a vlastnosti riešení sú rozhodujúce k existencii systému. Metóda transformácie súradníc je vhodná pre vyšetrovanie vlastností riešení sústav diferenciálnych rovníc vtedy, keď nie je možné alebo jednoduché vyjadriť explicitne riešenie danej sústavy.

V prvej časti príspevku sú uvedené predpoklady a vety, na základe ktorých sa uskutočňuje transformácia súradnicového systému pri sústavách diferenciálnych rovníc.

V druhej a tretej časti článku predkladáme transformačné rovnice polárnych a hyperbolických súradníc.

Náročnejšie sú rovnice c-hyperbolických súradníc v štvrtom odseku článku a Jakobián tohto zobrazenia v piatom odseku.

Transformácia sústavy diferenciálnych rovníc

Nech M , M ′ sú otvorené podmnožiny v nR a nech funkcie RMuuu n →:,,, 21 … majú spojité derivácie prvého rádu a nech sprostredkujú zobrazenie množiny M na množinu M ′ , pre ktoré sú splnené podmienky [1]:

a) ( ) ( ) ( )( ) Mxxxuxxxuxxxu nnnn ′∈,,,,,,,,,,,, 21212211 ………… pre ( ) Mx,xx n ∈,,21 … , (1) b) Pre každý bod ( ) Mn ′∈ξξξ ,,, 21 … existuje práve jeden bod ( ) Mx,xx n ∈,,21 …

tak, že je ( )nii xxxu ,,, 21 …=ξ pre ni ,,2,1 …= , (2)

c) Jakobiho determinant ( )

0,,,

det 21 ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

j

ni

xxxxu …

, pre ni ,,2,1 …= , nj ,,2,1 …=

v každom bode ( ) Mx,xx n ∈,,21 … . (3) Nech funkcie 21 , ww , …. , nw sprostredkujú inverzné zobrazenie, t.j. ( ) ( )( ) innni xxxxuxxxuw =,,,,,,,, 21211 ……… , ni ,,2,1 …= , ( ) Mx,xx n ∈,,21 … . (4)

Potom platí

ANNA MACUROVÁ

116

( ) ( )( ) innni wwu ξξξξξξξ =,,,,,,,, 21211 ……… , ni ,,2,1 …= , ( ) M, n ′∈ξξξ ,,21 … (5) Veta 1. Nech sú dané funkcie RMggg n →:,, 21 … a nech nyyy …,, 21 je riešenie sústavy

( )( )

( )nnn

n

n

x,,x,xgx

x,,x,xgxx,,x,xgx

……

……

21

2122

2111

=′

=′=′

(6)

RJ:y,y,y n →…21 , kde J je otvorený interval v R . Definujme funkcie RJ:,, n →ϑϑϑ …21 a RM:h,h,h n →′…21 vzťahmi

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )ty,,ty,tyu

ty,,ty,tyuty,,ty,tyu

nnn

n

n

……

……

21

2122

2111

=ϑ

=ϑ=ϑ

(7)

( ) =ξξξ ,,,,h ni …21

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )nnnjnnn

n

j j

i ,,,w,,,,,wg,,,w,,,,,wxu

ξξξξξξξξξξξξ∂∂

∑=

……………… 21211212111

(8) Potom nϑϑϑ ,,, 21 … je riešenie sústavy

( )( )

( )nnn

n

n

h

hh

ξξξξ

ξξξξξξξξ

,,,

,,,,,,

21

2122

2111

……

……

=

==

(8)

Veta 2. Nech J je otvorený interval v R , nech RJn →:,,, 21 ωωω … a nech

RJn →:,,, 21 ωωω … je riešenie sústavy (8). Definujme funkcie ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )tttwtv

tttwtvtttwtv

nnn

n

n

ωωω

ωωωωωω

,,,

,,,,,,

21

2122

2111

……

……

=

==

(9)

Potom ( ) ( ) ( )tvtvtv n,,, 21 … je riešenie sústavy (6) [1].

Dôkazy uvedených viet sú analogické dôkazom viet k transformáciám uvedeným v publikácii [1].

Polárne súradnice

Polárne súradnice patria k najjednoduchším súradniciam používaným pri transformácii sústav diferenciálnych rovníc predovšetkým vo fyzike a v mechanike.

Nech je daná sústava diferenciálnych rovníc

NIEKTORÉ SÚRADNICOVÉ SYSTÉMY POUŽITÉ PRI RIEŠENÍ SÚSTAV ...

117

( )( )2122

2111

x,xgxx,xgx

=′=′

(10)

Nech ku každému netriviálnemu riešeniu ( ) 0, Jttx ∈ systému (10) existuje polárna funkcia ( ) 01 ≥tu a uhlová funkcia ( )tu2 taká, že ( ) ( )R,JCtu 12 ∈ , kde ( )RJC ,1 je priestor derivovateľných reálnych funkcií jednej reálnej premennej t definovaných na intervale J . Pre riešenia sústavy (10) ( ) 2,1,, 0 =∈ iJttxi platí

( ) ( ) ( )tucostutx 211 = ( ) ( ) ( )tusintutx 212 = (11)

Hyperbolické súradnice

Nech pre každé netriviálne riešenie ( ) 0, Jttx ∈ systému (10) leží priemet px

integrálnej krivky Dx∈ v oblasti ( ) 1212211 ,:, xxxxxxH <−>= . Ak uvažujeme napríklad v oblasti 1H o systéme hyperbol 22

221 rxx =− , tak ku každému bodu

( ) Hxx ∈21 , existujú konštanty ( )∞∞−∈> ,,0 ur také, že urxurx sinh,cosh 21 == . Analogicky sa zostavia rovnice pre ostatné oblasti

4,3,2, =iH i , ako je uvedené v publikácii [6]. Predpokladáme, že ku každému −1x kladnému riešeniu ( ) 0, Jttx ∈ systému (10) existuje dvojica funkcií ( ) ( ) ( )RJCtutr ,,0 1∈> tak, že pre ( ) 2,1, =itxi platí:

( ) ( ) ( )tutrtx cosh1 = ( ) ( ) ( )tutrtx sinh2 = (12)

Cylindrické súradnice

Najskôr uvedieme príklad sústavy diferenciálnych rovníc, pre ktorú je vhodné pri vyšetrovaní jej riešenia použiť cylindrické súradnice. Nech je daný nelineárny diferenciálny systém ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )txEtxtbAtxtatx 44 ,, +=′ , (13) kde pre funkcie ( )( ) ( )( )txtbtxta ,,, platí

( )( ) ( )RRJDCtxta ,, 40 ×≡∈ , ( )( ) ( )RRJDCtxtb ,, 4

0 ×≡∈ , ( )( ) 0, ≠txta , pre všetky ( ) ( ) ( ) ( )( ) Dtxtxtxtxt ∈4321 ,,,, je 4A konštantná matica v tvare

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

0 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1

0 1 1 0

4A , 4E je jednotková matica, 0C je priestor spojitých reálnych funkcií

štyroch reálnych premenných ( ) ( ) ( ) ( )txtxtxtxt 4321 ,,,, definovaných na množine 4RJ × .

ANNA MACUROVÁ

118

O každom riešení ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxtxtx 4321 ,,,= ,

( ) ( ) ( ) ( ) 0404

0303

0202

0101 ,,, xtxxtxxtxxtx ==== , Jt ∈0 predpokladáme, že existuje na

intervale J . Označme 00 >> th pravý koncový bod intervalu )htJJ ,, 000 = Označme

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )txtxtatxtxtatxtxtbtxtg 3211 ,,,, ++= , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )txtxtatxtxtbtxtxtatxtg 4212 ,,,, ++−= , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )txtxtatxtxtbtxtxtatxtg 4313 ,,,, ++−= , ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )txtxtbtxtxtatxtxtatxtg 4324 ,,,, ++=

kde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxtxtx 4321 ,,,= . Ak DD ⊂0 je otvorená neprázdna množina a derivácie,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ji xtxtxtxtxtg ∂∂ 4321 ,,,, , sú spojitými funkciami v oblasti D pre všetky

4,3,2,1, ∈ji , potom každým bodom ( ) Dxxxxt ∈04

03

02

010 ,,,, prechádza práve jedna

integrálna krivka Dx∈ systému (13) [5], [6]. Nech ( ) 44321 ,,, RxxxxX nnnnP

n ∈ je

ľubovoľný bod krivky px súhlasne orientovanej s integrálnou krivkou Dx∈ systému (13). Je zrejmé, že k tomuto bodu možno nájsť takú hodnotu ( )nn tuu = orientovaného uhla a vzdialenosť ( )nn trr = tak, že platí

( ) ( ) ( )tutrtx 11 cos= , (14) ( ) ( ) ( ) ( )tututrtx 212 cossin= , ( ) ( ) ( ) ( )tututrtx 213 sinsin= ( ) ( ) ( )tvtrtx =4 ,

( )tr , ( ) ( )tutu 21 , , ( )tv )( RJC ,1∈ ), kde )( RJC ,1 je priestor derivovateľných reálnych funkcií jednej reálnej premennej t definovaných na intervale .J

Jakobiho determinant J zobrazenia (14) je ( ) ( )tutr 13 sin ,

( ) ( )π,0,,0sin, 10111 =⊂>∈ JJJtuJt , zobrazenie (14) je regulárnym zobrazením. Dôkaz tvrdenia je možné nájsť v prácach [5], [7]. Rovnice (14) voláme cylindrické súradnice. Vlastnosti riešení systému (13) sú pomocou týchto súradníc vyjadrené v článku [2].

c-hyperbolické súradnice

Transformácia sústav diferenciálnych rovníc vyjadrená funkciou cHΦ definovaná v práci [4] nasledovne

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxtvtutututr nncH ,...,,,,...,,,: 21221 →Φ − (15)

pomocou rovníc v tvare ( ) ( ) ( )tutrtx 11 cosh=

NIEKTORÉ SÚRADNICOVÉ SYSTÉMY POUŽITÉ PRI RIEŠENÍ SÚSTAV ...

119

( ) ( ) ( ) ( ),coshsinh1

1

tututrtx k

k

iik ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

−

=

2,...,3,2 −= nk (16)

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

−

=−

2

11 sinh

n

iin tutrtx

( ) ( ) ( ),tvtrtxn =

kde sú funkcie ( ) ( ) ( ) )( ) 2,,2,1,,,,, 01 −=∞∈ niRtCtvtrtui … spojité a pre funkcie

v rovniciach (16) platí: ( ) 0>tr , ( ) 0>tv , ( ) 0≠tui , 2,,2,1 −= ni … vyjadruje zovšeobecnené c - hyperbolické súradnice. Sú použité pri vyjadrení asymptotických vlastností riešení nelineárnej sústavy diferenciálnych rovníc v článku [3].

ncH

JΦ Jakobián transformácie HcΦ

Regulárnosť uvedeného zobrazenia potvrdzuje ncH

JΦ , čo označuje Jakobián transformácie

HcΦ . Nech

HcΦ je transformácia pomocou zovšeobecnených c - hyperbolických

súradníc (16), kde ( ) 0>tr , ( ) 0≠tui ,

( ) ( ) ( ) )( ) ,2,,2,1,,,,, 01 −=∞∈ niRtCtvtrtui … )∞∈ ,0tt , potom Jakobián

transformácie HcΦ je

( )∏−

=

−−−Φ =

3

1

21 sinhn

ii

innn urJHc

.

Dôkaz je uvedený v článku [4]. Záver Uvedené transformácie sú ukážkou a návodom na vyšetrovanie predovšetkým asymptotických vlastností riešení sústav nelineárnych diferenciálnych rovníc.

LITERATÚRA

[1] Kurzweil, J.: Obyčajné diferenciálne rovnice. Praha, SNTL,1978.

[2] Macura, D. – Machalová, A.: Ohraničenosť a oscilatoričnosť riešení systému štyroch nelineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu, Acta Facultatis Paedagogicae Universitatis Šafarikanae, Prešov, 1996, pp. 25-30.

[3] Macura, D. – Macurová: On boundedness and oscilatoricity of solutions of non-linear differential systems. Proceedings of the International Scientific Conference of Mathematics, Žilina, 1998, ISBN 80-7100-578-9.

[4] Macura, D. – Macurová, A: On a Trasformation by Means of the Generalized c – Hyperbolic Coordinates. Annals of DAAAM for 2004 & Proceedings of the 15th

ANNA MACUROVÁ

120

International DAAAM Symposium „ Intelligent Manufacturing & Automation. 2004, Vienna, Austria, pp. 261-262.

[5] Macurová, A. – Mamrilla, D.: A Remark on Transformation of Certain Nonlinear Differential Systems by Means of Hyperbolic Coordinates. Procedings of the International Scientific Conference on Mathematics. Košice, 2000, pp. 118-121.

[6] Mamrilla, D.: O systémoch kvázilineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu. Essox Prešov, 2004, ISBN 80-968369-5-1.

[7] Mamrilla, D.: Transformácia pomocou krivočiarych súradníc a niektoré vlastnosti riešení diferenciálnych systémov, riešenia systémov lineárnych diferenciálnych rovníc so symetrickou maticou. Acta Facultatis Paedagogicae Universitatis Šafarikanae, XXV, Prešov, UPJŠ, 1994, ISBN 80-88697-09-3.

PaedDr. Anna Macurová, PhD. Katedra matematiky, informatiky a kybernetiky Fakulta výrobných technológií Technická univerzita v Košiciach Bayerova 1 SK – 080 01Prešov e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Anna Hrubinová, CSc. e-mail: [email protected]


121

LIMITA FUNKCE NEMUSÍ PATŘIT K OBTÍŽNÝM TÉMATŮM

RENATA MAJOVSKÁ

ABSTRACT. Many students of the first grade at the Faculties of Economics have problems with mathematics. It is the result of the humanization of the Czech education and outdated forms of education. In this paper we describe some innovations using modern ICT, LMS Moodle and freeware programme C.a.R. We concentrate on the lesson of limits of functions.

Úvod

O problémech s výukou matematiky a o špatné úrovni matematických znalostí studentů středních škol a následně i univerzit se v posledních letech hodně mluví i píše. Na celém světě se dnes diskutuje o tom, jaká by měla být matematika, kterou se učíme ve škole. Vědci i učitelé z různých škol a ústavů přemýšlejí, jak udělat matematiku zajímavější, názornější, přístupnější. Věří, že matematika se dá učit tak, aby nás učila přemýšlet, řešit problémy kolem nás, uvažovat o souvislostech matematiky s jinými předměty.

Přesto vznikají nové studijní texty, dokonce i v distanční, resp. elearningové podobě, které striktně dodržují matematickou terminologii, jsou psány stylem definice, věta, důkaz a na závěr je uvedený příklad. Výuka matematiky i matematika samotná je odtržena od reality. Studenti nematematických oborů pak chápou matematiku jako zbytečný předmět, který často předčasně ukončí jejich studium.

Bohužel je pořád dost vysokoškolských učitelů matematiky, kteří zastávají názor, že je nutné, aby studenti získali základní znalosti z matematiky, aniž by byli seznámeni s jejich využitím v oboru, který si zvolili.

Ve svém článku uvádíme možnosti, jak s využitím moderních informačních a komunikačních technologií můžeme studentům zjednodušit a zpřístupnit pojem limity funkce jedné proměnné.

Limita funkce v klasické přednášce

Limita funkce jedné proměnné patří k nejtěžším pojmům matematické analýzy. Symbolika ε δ− je pro studenty 1. ročníku ekonomické fakulty velmi nesrozumitelná, a proto ji odmítají.

V klasické přednášce učitel přednáší, píše na tabuli, promítá, vysvětluje a studenti si sdělované informace více méně pasivně zapisují. Přednášející má k dispozici klasickou nebo interaktivní tabuli. Expozice učiva v klasické přednášce z matematiky se navíc vyznačuje značným používáním matematického jazyka a častým psaním matematických symbolů. Přičemž dnešní studenti mají problém s psaním řeckých písmen. Učitel uvede přesnou definici, popíše obrázek a na příkladu přiblíží pouze matematický význam pojmu. Studenti nedokážou porozumět závislosti mezi čísly ε δ− a nezískají správnou představu o limitě funkce. Příklady řeší převážně mechanicky bez hlubšího pochopení. U zkoušky

RENATA MAJOVSKÁ

122

studenti látku co nejvěrněji interpretují, mnozí se ji naučí nazpaměť, někteří toto téma zcela vynechají.

Na obrázku 1 je ukázka z klasické přednášky na téma limita funkce, používané před několika lety na Ekonomické fakultě VŠB-TU v Ostravě.

Obrázek 1: Definice limity

Z této ukázky je zřejmé, že studenti, kteří mají chabou představu o pojmu elementární funkce, se po této definici cítí zcela ztraceni. Podobně je limita funkce zavedena ve skriptech Základy matematiky pro bakaláře [1], která jsou povinnou literaturou na EkF VŠB-TU. Definici limity ve skriptech předchází jeden motivující příklad.

Limita funkce v moderní přednášce

Moderní přednáška se vyznačuje obohacováním vyučovacího procesu o nové prvky zvyšující obraznost, tvořivost a srozumitelnost obsahu učiva. IKT jsou spájejícím prvkem mezi teorií v matematice a její aplikovatelností v praxi, umožňují studentům aktivně přistupovat ke vzdělání, a díky tomu pracovat objevitelským způsobem. Využívání moderních technologií ve vyučování znamená nový přístup ke vzdělání, získání a poskytování informací a vědomostí. Přestože počítače nemohou nahradit osobnost vyučujícího ve vzdělávacím procesu, jejich zapojení do vzdělávání poskytuje mnohem více výhod jako nevýhod. Zkušený pedagog dokáže využit tyto výhody tak, aby podstatně zvýšil kvalitu svých vyučovacích hodin.

Prvním krokem ke změně přednášky byla změna v postupu při zavedení nového pojmu. Při výkladu učiva se snažíme

1. uvést ekonomický nebo jiný reálný problém, který daným matematickým nástrojem dokážeme exaktně popsat,

2. na matematickém příkladě přiblížíme význam nového matematického pojmu, 3. nový pojem volně, intuitivně formulujeme,


123

4. matematicky upřesníme definici, přičemž se snažíme volit co nejméně symbolů,

5. uvedeme dostatečné množství řešených příkladů. Výklad učiva je do značné míry zpopularizován, zjednodušen a obohacen o grafické

prvky a aplikace. Příprava průměrné přednášky nemusí být časově náročná. Na internetu existuje mnoho volně přístupných materiálů, které uspokojí i náročnější učitele matematiky [2], [3]. Stačí jen hledat.

Limita funkce v appletech

V dnešní době se naše snahy o zkvalitnění, ale současně zjednodušení přednášek z matematické analýzy, orientují na využívání appletů, které umožňují animace. V animacích můžeme simulovat reálné situace, dynamicky vyjádřit mnohé zákonitosti, procvičovat učivo, aj.

Práce s applety se ukazuje jako jedna z možností, jak zvýšit aktivitu studentů na přednáškách a seminářích z matematické analýzy. Mají-li studenti možnost interaktivně pracovat s applety, zbaví se příznačného „strachu“ z matematiky, pracují uvolněně, samostatně vypracovávají zadané úlohy.

Na serveru Ekonomické fakulty VŠB-TU Ostrava9 je umístěno velké množství elektronických kurzů vytvořených v LMS Moodle na podporu všech forem studia. V našem kurzu Matematika A, který je určen pro 1. ročník bakalářského studia, lze najít řadu témat z diferenciálního počtu funkce jedné proměnné, které využívají animace.

Pro tuto grafickou interpretaci jsme použili software C.a.R. a jeho možnosti pro dynamické transformace. Program je freeware a zdroj je dostupný zdarma prostřednictvím GNU na své internetové adrese10.

Na obrázku 2 je znázorněn applet k definici limity funkce v bodě.

Obrázek2: Applet limity funkce v bodě – vztah ( )ε δ−

9 http://moodle.vsb.cz/moodle/course/view.php?id=299 10 http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_en/index.html

RENATA MAJOVSKÁ

124

V appletu, který umožňuje animace, studenti mohou měnit velikost parametru ε , najít ke zvolené hodnotě parametr δ a pohybovat bodem 0X a bodem X z okolí bodu 0X .

Vztah ( )ε δ− se dynamicky posune do jiné části grafu funkce. Podobně jsme pro výuku připravili applet k definici limity funkce v nevlastním bodě,

obrázek 3.

Obrázek 3: Applet limity funkce v nevlastním bodě

Názory studentů

V LMS Moodle máme připraveny dva dotazníky, kterými budeme zkoumat, jak se mění postoje studentů k matematice, když ve vyučování matematické analýzy budeme využívat interaktivní studijní materiály. Dotazníky jsou umístěny v elektronickém kurzu Matematika A, který byl vytvořen na podporu prezenční výuky11.

Z prvních výsledku je zřejmé, že applety • výrazně motivují studenty během studia, • usnadňují porozumění, • umožňují opakování středoškolské matematiky, • zmírňují „averzi“ studentů k matematice, • zvyšují čas přípravy studentů na hodiny matematiky, • usnadňuji přípravu na zkoušku, • zanechávají trvalejší vědomosti, aj.

Význam umístnění dotazníků v LMS Moodle spočívá v tom, že získáme množství informací o práci studentů se studijním materiálem mimo vyučovací hodiny (tyto informace nám neposkytne žádná forma studia z klasických materiálu nebo offline kurzů).

11 http://moodle.vsb.cz/moodle/course/view.php?id=95


125

Rovněž sledujeme jejich názory na vytvořené animace a můžeme applety upravovat a zdokonalovat.

Uvádíme některé názory studentů, jak je uvedli v jednom ze zmiňovaných dotazníků.

Závěr

Pozitivní vztah studentů, a mladých lidí obecně, k výpočetní technice otevírá stále větší možnosti využívání animací v rámci výuky. Výzkumy ukázaly [3], že proces učení je efektivnější při spojení textů a obrázků. Proto je vhodné při tvorbě elektronického kurzu spojit text s přiměřeným množstvím grafických prvků (obrázky, grafy, diagramy, animace, apod.). V matematické analýze jsou grafické interpretace velmi významné. Moderní technologie nabízí široké spektrum grafických objektů, které můžeme využít v elektronických kurzech. Tento přístup ocení zejména studenti v distanční a kombinované formě studia. Je samozřejmě vhodný i jako podpora prezenční formy výuky.

LITERATURA

[1] Vrbenská, H., Bělohlávková, J.: Základy matematiky pro bakaláře I, skripta, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 2003, ISBN 80-248-0519-7

[2] Hoderová, J.: Limita funkce, [online], dostupný na http://math.fme.vutbr.cz/Limita-a-spojitost-funkce/sc-18-sr-1-a-64/default.aspx, Brno, ÚM FSI VUT Brno, 2005

RENATA MAJOVSKÁ

126

[3] Mayer, R. E., Anderson, R. B.: Animations Need Narrations: An Experimental Test of a Dual-processing System in Working Memory, Journal of Educational Psychology, 90, 1991, 312-320

[4] Hanzel, P.: Applety a priebeh elementárních funkcií, Aplimat 2007, Bratislava, FX s.r.o, 2007, ISBN 978-80-969562-6-5

PaedDr. Renata Majovská Katedra matematických metod v ekonomice Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava Sokolská tř. 33 CZ – 701 21 Ostrava e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Pavel Hanzel, CSc. e-mail: [email protected]


127

TEÓRIA GRAFOV AKO SÚČASŤ DISKRÉTNEJ MATEMATIKY VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY (STRUČNÝ PREHĽAD)

JANKA MELUŠOVÁ

ABSTRACT. This article deals with graph theory as a part of discrete mathematics in mathematics education from 1970’s till the present day. It presents this area in different countries of the world, Slovakia included.

Úvod

Modernizácia vyučovania sa môže robiť dvoma základnými spôsobmi, modernizáciou formy a modernizáciou obsahu. V súčasných školských osnovách je len malá časť učiva venovaná modernej matematike. Ako uvádza J. Šedivý (1972), vysvetľovanie matematiky často nezodpovedá jej súčasnému stavu a „táto priepasť sa každým desaťročím zväčšuje. ... Obsahom matematiky na ZDŠ sú partie matematiky, ktoré sú staršie než 300 rokov. Bolo by zaujímavé porovnať, čo by sa učilo vo fyzike, chémii, biológii, či zemepise, keby sa výber učiva obmedzoval na stav týchto vied v 16. a 17. storočí. Pre každého fyzika, chemika, biológa i zemepisca je absurdná predstava, že by nemal učiť nič o poznatkoch svojej vedy získaných v 19. a 20. storočí“. Aj teória grafov, ako jedna z najmladších matematických disciplín, si zaslúži miesto v školskej matematike.

Experimentálne vyučovanie teórie grafov

V roku 1975 publikuje John Niman12 svoj článok Teória grafov na základnej škole (Graph theory in the elementary school), kde tvrdí, že: „Dnešná teória grafov má potenciál stať sa populárnym nástrojom na učenie a vyučovanie matematiky na základnej škole. Jej vlastná rekreačná povaha môže byť zdôraznená zostavením širokej palety hlavolamov znázorňujúcich základné pojmy“.

V tomto období sa zavedeniu niektorých pojmov teórie grafov do záujmovej matematiky na základnej škole venuje aj Oliver Židek. Okrem iného sa snažil naučiť žiakov znázorňovať a riešiť problémy bežného života prostredníctvom metód teórie grafov. Výsledky tohto pedagogického výskumu, potvrdzujúce, že žiaci sú schopní riešiť niektoré úlohy metódami a prostriedkami teórie grafov, sú uverejnené v publikáciách O. Židek (1973) a O. Židek (1974).

Diskrétna matematika v učebných osnovách matematiky

V druhej polovici osemdesiatych rokov minulého storočia sa v časopise Mathematics teacher vydávanom Národnou radou učiteľov matematiky (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) v Spojených štátoch amerických, začali častejšie objavovať príspevky súvisiace s diskrétnou matematikou, dokonca dva z nich sa venovali teórii grafov (roky 1986 a 1988). V roku 1989 sa diskrétna matematika dostáva aj do štandardov

12 Niman, J. 1975. Graph theory in the elementary school.

JANKA MELUŠOVÁ

128

NCTM (štandard 12). V ročníkoch 9-12 by mali učebné osnovy matematiky obsahovať témy z diskrétnej matematiky tak, aby všetci študenti boli schopní:

- znázorniť úlohu pomocou diskrétnych štruktúr, ako sú konečné grafy, matice, postupnosti a rekurentné vzťahy;

- znázorniť a analyzovať konečný graf prostredníctvom matice; - navrhnúť a analyzovať algoritmus; - riešiť enumeračné a konečno-pravdepodbnostné úlohy; M. Kenneyová a S. J. Bezuszka (1993) opisujú skúsenosti s vyučovaním diskrétnej

matematiky nasledovne: „V skutočnosti, diskrétna matematika poskytuje mnohým študentom novú možnosť zažiť úspech a radosť na hodinách matematiky. Tí, ktorí v minulosti narazili na početné ťažkosti s výpočtami a komplexnosťou matematiky, môžu byť úspešní pri vyzývajúcich problémoch z diskrétnej matematiky, ktorá vyžaduje menej formálnych zručností ako prerekvizitu.″

V roku 1992 bola na americkej Rutgers University usporiadaná konferencia o vyučovaní diskrétnej matematiky (teóriu grafov nevynímajúc) Discrete mathematics in the Schools: How Do We Make an Impact?. Prezentovaných 34 príspevkov sa zaoberalo hlavne spôsobmi zavedenia diskrétnej matematiky do vyučovania matematiky na školách. Konferencia bola záverom deväťročného projektu podporeného americkou akadémiou vied (National Science Foundation). Na základe záverov tejto konferencie v tom istom roku vyšiel aj New Jersey Mathematics Curriculum Framework (NJMCF), ktorý sa zaoberal aj diskrétnou matematikou. Táto sa stala aj súčasťou NJMCF štandardov (štandard 14).

Na Slovensku sa do učebných osnov pre základnú školu dostávajú nové elementy diskrétnej matematiky pri reforme v roku 1997. Kombinatorika, ako základné učivo a teória grafov ako učivo rozširujúce. V rokoch 2001 a 2002 vychádzajú postupne aj príslušné učebnice.

Súčasný stav skúmania

V roku 1999 vychádza publikácia O. Židek (1999), ktorá sa zaoberá aplikáciou teórie grafov v školskej praxi. Podľa autora sa dá prostredníctvom teórie grafov učiť matematizácii reálneho sveta a prostredníctvom teórie grafov sa dá matematika vyučovať z odborného hľadiska kvalitnejšie a zaujímavejšie.

V roku 1996 vychádza anglický preklad knihy Matematické krúžky (Mathematical circles (Russian experience)) trojice ruských autorov Dmitrij Fomin, Sergej Genkin, Iľja V. Itenberg. V knihe opisujú skúsenosti s vedením matematických krúžkov pre študentov stredných škôl. Náplňou krúžkov bola aj teória grafov, o ktorej autori tvrdia, že „pomáha matematickému mysleniu študentov“.

Problematikou integrácie diskrétnej matematiky do školskej matematiky sa zaoberala aj Nemka Judita Cofmanová (1997), ktorá na základe práce P.J. Hiltona a J. Pedersena (1993) experimentovala s vyučovaním Catalanových čísel v rámci matematického krúžku pre žiakov vo veku 13 – 14 rokov.

Seiya Negami sa zaoberá zmenou vyučovania matematiky, reformou formy i obsahu vyučovania, v Japonsku. Jeho kľúčovým slovom je „porozumenie štruktúram“ (understanding structures). Chce priniesť do vyučovania matematiky sebarealizáciu a sebareprezentáciu žiakov. Problémové úlohy z teórie grafov vidí ako jeden z možných prostriedkov (Negami, 1998). Na jeho výskum nadväzuje výskum trojice Tomoko ″ Kenney, M.- Bezuszka, S.J.. 1993. Implementing the Discrete Mathematics Standards: Focusing on Recursion.

TEÓRIA GRAFOV AKO SÚČASŤ DISKRÉTNEJ MATEMATIKY…

129

Yanagimotová, Atsuhiro Nakamoto, Naoyuki Mazura prezentovaný na medzinárodnej konferencii ICME-10 (The 10th International Congress on Mathematical Education) v Kodani. Cieľom ich výskumu bolo zistiť efekt vyučovania teórie grafov. Na základe didaktického experimentu dospeli k nasledovným záverom:

Študenti stredných škôl zistili, že s implikáciou p q⇒ musia narábať opatrnejšie (ak platí p q⇒ , nemusí platiť q p⇒ ). Pomohli im pri tom skúsenosti nadobudnuté pri hľadaní maximálneho párovania v bipartitnom grafe. Vedeli dokonca samostatne nájsť postup pri riešení tejto úlohy v danom grafe.

Žiaci prvého stupňa základnej školy boli schopní porozumieť postačujúcej podmienke pre existenciu eulerovského ťahu v grafe a vysvetliť jej význam. Taktiež boli schopní ju logicky vysvetliť vlastnými slovami.

Teória grafov je prijateľný materiál na vývoj logického myslenia nezávislého na faktoch.

V Japonsku, kde bol experiment realizovaný, ale aj v celosvetovom meradle, nie je vyučovanie diskrétnej matematiky samozrejmosťou. Všeobecne sa usudzuje, že mnohí študenti nemajú radi matematiku. Žiaci v experimentálnych triedach i po skončení experimentu vykazovali zvýšený záujem o matematiku (viď Židek, 1997).

Zaradeniu teórie grafov do vyučovania matematiky sa venujú hneď dve slovenské dizertačné práce z roku 2002, konkrétne práce Sone Čeretkovej a Petra Tótha.

Iveta Scholtzová (2003) vo svojej dizertačnej práci skúma možnosti integrácie diskrétnej matematiky (a teórie grafov ako jej súčasti) do vyučovania matematiky na oboch stupňoch základnej školy. V súvislosti so spomínanou integráciou vystupujú do popredia dva negatívne faktory. Prvý faktor súvisí s nedostatočnou pripravenosťou učiteľov matematiky oboch stupňov základných škôl na prácu s touto problematikou. Druhý faktor súvisí s nedostatočnou pozornosťou, ktorá je tejto oblasti modernej matematiky venovaná na všetkých stupňoch škôl. Výsledky tejto dizertačnej práce sú zhrnuté v publikácii Scholtzová (2007).

Eugenia Koleza a Maria Iatridou (2003) z gréckej univerzity v Ioannine použili teóriu grafov ako prostriedok pri výskume vplyvu zvyšujúceho sa sebavedomia na názory študentov učiteľského štúdia na matematiku. Tento odbor si vybrali „nielen ako priestor pre výskum a experimentovanie, ale aj ako odbor, ktorý sa hemží novými pokrokmi, vyžaduje dobré schopnosti na riešenie úloh, ale má aj veľa použiteľných aplikácií v skutočnom svete ... kvôli jej mnohým praktickým aplikáciám pomáha študentov vidieť vzťah matematiky a skutočného sveta“. S týmto názorom sa stotožňujú aj Palumbíny – Čeretková (2006). Svoje skúsenosti s vyučovaním teórie grafov budúcich učiteľov matematiky publikoval Daniel Palumbíny v článku Palumbíny (2005). Podľa neho teória grafov „tvorí istý kontrapunkt disciplínam ako je napríklad matematická analýza, kde významnú úlohu hrá spojitosť“. V roku 2006 bol publikovaný aj článok Lujzy Hamplovej, v ktorom analyzovala aktuálne učebnice matematiky pre gymnáziá z pohľadu diskrétnej matematiky.

JANKA MELUŠOVÁ

130

LITERATÚRA

[1] Cofman, J.: Catalan nubmers for the classroom?. In: Elemente der Mathematik 52, s. 108 – 117, Basel, Nemecko, Birkhäuser Verlag, 1997, ISSN 0013-6018

[2] Čeretková, S.: Tvorba učebníc matematiky a vybrané typy slovných úloh pre druhý stupeň základnej školy, dizertačná práca, FPV UKF, Nitra, 2002 181s.

[3] Fomin, D., Genkin, S., Itenberg, I.V.: Mathematical circles: Russian experience (Mathematical World, Vol. 7). American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0430-8

[4] Hamplová, L. Analýza učebníc matematiky pre gymnáziá z pohľadu diskrétnej matematiky. Acta mathematica 9: zborník príspevkov zo IV. Nitrianskej matematickej konferencie, s. 259 – 262, 2006, Nitra, FPV UKF, ISBN 80-8094-036-3.

[5] Kenney, M.- Bezuszka, S.J.: Implementing the Discrete Mathematics Standards: Focusing on Recursion. In: NCTM Mathematics Teacher 86, s. 676-680, NCTM, 1993

[6] Koleza, E., Iatridou, M.: The influence of rising self-esteem on student teachers’ beliefs about mathematics. In: 3rd Mediterranean Conference on Mathematics Education, 3-5 January 2003, Athens – Hellas (dostupné na http://www.primary.edu.uoi.gr/math_lab/iatridou02.pdf)

[7] Niman, J.: Graph theory in the elementary schol. In: Educational studies in mathematics 6, s. 351 – 373, Dordrecht, Holandsko, D. Reidel Publishing Company, 1975.

[8] Palumbíny, D.: Teória grafov v učiteľskom štúdiu matematiky. In: Acta mathematica 8: zborník príspevkov z III. medzinárodnej vedeckej konferencie. Nitra, FPV UKF, 2005, s. 119 - 122. ISBN 80-8050-896-8.

[9] Palumbíny,D., Čeretková,S.: Názornosť v teórii grafov. In: Názornosť vo vyučovaní matematiky: zborník príspevkov z vedeckého seminára. Nitra, FPV UKF, 2006, s. 15 - 25. ISBN 80-8094-024-X.

[10] Rosenstein, J.G., Franzblau, D.S., Roberts, F.S.: Discrete Mathematics in the Schools: DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science: v. 36, AMS/DIMACS series, 1997. ISBN-0-8218-0448-0.

[11] Scholtzová, I.: Integrácia diskrétnej matematiky do školskej matematiky, autoreferát dizertačnej práce. Košice: PF UPJŠ, 2003.

[12] Scholtzová. I.: Cesty diskrétnej matematiky (kombinatoriky) na základnú školu, Prešov. Prešovská univerzita, 2007, ISBN 978-80-8068-579-9

[13] Šedivý, J.: Vybrané kapitoly z modernej matematiky, zošit 1, študijný text pre učiteľov 6. – 9. ročníka ZDŠ. Bratislava, 1972

[14] Tóth, P.: Využitie teórie grafov pri vyučovaní matematiky: autoreferát dizertačnej práce. Bratislava: PdF UK, 2002

TEÓRIA GRAFOV AKO SÚČASŤ DISKRÉTNEJ MATEMATIKY…

131

[15] NCTM: National council of teachers of mathematics, Standard 12 – Discrete Mathematics, 1989 (dostupné na http://standards.nctm.org/)

[16] NJMCF: New Jersey Mathematics Curriculum Framework, Standard 14-Discrete Mathematics. K-12 Overview. New Jersey Mathematics Coalition. (1996).

[17] Yanagimoto, T., Nakamoto, A., Mazura, N.: A study on teaching graph theory - for primary & junior high school students. In: ICME 10, zborník z medzinárodnej konferencie ICME-10: The 10’s international congress on mathematics education, Kodaň, CoLab Preprint ,2004

[18] Učebné osnovy matematiky pre 5. až 9. ročník základnej školy, (dostupné na http://www.infovek.sk/predmety/matem/pedd/o-zs2p.pdf), 1997

[19] Židek, O.: O skúsenstiach so zavedením niektorých pojmov z teórie grafov do záujmovej matematiky na ZDŠ. In: Matematika a fyzika ve škole, 1973

[20] Židek, O.: Teória grafov a jej aplikácia v školskej praxi, Bratislava, PdF UK, 1997, ISBN 80-88868-21-1

[21] http://www.ngm.ed.ynu.ac.jp/negami/

PaedDr. Janka Melušová Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. e-mail: [email protected]


133

ANALÝZA KOVARIANCIE - ANALÝZA EXPERIMENTÁLNYCH DÁT

MICHAL MUNK

ABSTRACT. The article deals with analysis of covariance, which we account as an optimal method by the data processing pretest-posttest. In the second part of the article we present sample of ANCOVA application for the purpose of experimental data processing.

Úvod

Výskumné plány predstavujú postupy, ktoré nám umožnia zodpovedať výskumné otázky. Štatistické zisťovanie a experiment patria medzi základné výskumné plány. Pri štatistickom zisťovaní sledujeme jedincov a zaznamenávame premenné, ale nemanipulujeme s premennými na rozdiel od experimentu, kde cielene manipulujeme s nezávislou premennou, aby sme zistili ako ovplyvňuje závislú premennú. V článku sa zaoberáme práve analýzou experimentálnych dát typu pretest-posttest a porovnávame možnosti a výsledky dvoch analýz – analýzy rozptylu a analýzy kovariancie.

1 Analýza rozptylu jednoduchého triedenia (1-way ANOVA)

Analýza rozptylu jednoduchého triedenia (jednofaktorová) je najjednoduchšou formou analýzy rozptylu, ktorá skúma závislosť kvantitatívnej premennej od kvalitatívnej (faktora). Cieľom analýzy rozptylu je odhaliť, či rozdiely priemerov jednotlivých skupín (podľa úrovne faktora) sú štatisticky významné (premenná závisí od faktora) alebo iba náhodné (premenná nezávisí od faktora). Významná hodnota F štatistiky vedie k zamietnutiu nulovej hypotézy o rovnosti priemerov, a tým k prijatiu alternatívnej hypotézy, ktorá tvrdí, že priemer aspoň jednej skupiny je rôzny od ostatných.

Model jednofaktorovej analýzy rozptylu: ijiij eY ++= αµ ,

kde µ je priemer, iα je príspevok (efekt) i - tej úrovne faktora A a ije je rezíduum.

Parametre iαµ, , i = 1,2,...,I sú neznáme a ije , i = 1,2,...,I, j = 1,2,...,ni sú nezávislé

veličiny s rozdelením N(0, 2σ ). Zaujíma nás jedna nulová hypotéza:

H0A: 0...1 === Iαα (všetky efekty sú nulové) Rovnocenný model jednofaktorovej analýzy rozptylu:

ijiij eY += µ ,

kde iµ je priemer v i - tej úrovne faktora A. Zaujíma nás jedna nulová hypotéza:

H0A: Iµµ == ...1 (priemery skupín sú rovnaké)

MICHAL MUNK

134

Obidva modely a hypotézy sú úplne rovnocenné a vedú k rovnakým vzorcom.

Variabilita Stupne voľnosti SŠ PŠ F

Nezávislá premenná (A) I - 1 SA SA/(I – 1) PŠA/PŠe

Chyba (e) n - I Se Se/(n – I) Celkom (T) n - 1 ST ST/(n – 1)

Tabuľka 1: Tabuľka analýzy rozptylu jednoduchého triedenia (1-way ANOVA)

I - počet úrovní, ktoré nadobúda nezávislá premenná. n – počet pozorovaní. SŠ – súčet štvorcov odchýlok.

)()()()()()( 222 ySySyynyyyyyS Aeii j i

iiiji j

ijT +=−+−=−= ∑∑ ∑∑∑

PŠ – priemerné štvorce (SŠ/stupne voľnosti). F – testovacia štatistika (PŠA/PŠe). V prípade, že )(,1 αInIA FF −−≥ , zamietame

hypotézu H0. Všeobecne má F štatistika v analýze rozptylu formu: F = vážený rozptyl medzi priemermi skupín/rozptyl medzi subjektmi v rovnakej skupine p – hodnota významnosti (prevedenie F do pravdepodobnostnej škály), ak je p menšie

ako zvolená hladina významnosti α, tak nulovú hypotézu zamietame a prijímame alternatívnu hypotézu. Inak nulovú hypotézu nezamietame.

2 Analýza kovariancie (ANCOVA)

Analýza kovariancie spája prvky analýzy rozptylu a viacrozmernej regresie. Do modelu analýzy rozptylu, ktorý skúma závislosť intenzívnej/kvantitatívnej premennej na nominálnych faktoroch sa pridá jeden alebo viac kvantitatívnych faktorov – kovariátov/kovariančných premenných.

Regresný model pre analýzu kovariancie v prípade dvoch skupín a jednej kovariančnej premennej X:

iiiii zxzxY 3210 ββββ +++= , kde Z označuje hodnotu indikátorovej premennej. Tá nadobúda hodnoty 0 alebo 1 podľa toho, či meranie patrí jednej alebo druhej skupine. Koeficient 2β odráža pôsobenie nominálneho faktora. Koeficient 1β hodnotí vplyv kovariančnej premennej. Koeficient 3β zastupuje prítomnosť interakcie medzi kovariátom a nominálnym faktorom.

Rovnocenný model analýzy kovariancie s jedným nominálnym faktorom a jedným kovariátom:

ijijiij exxY +−++= )(βαµ ,

kde µ je priemer, iα je príspevok i - tej úrovne faktora A a ije je rezíduum. Parametre

iαµ, , i = 1,2,...,I sú neznáme a ije , i = 1,2,...,I, j = 1,2,...,ni sú nezávislé veličiny

s rozdelením N(0, 2σ ).


135

Ak je vzťah medzi X a Y významný, potom model analýzy kovariancie vysvetľuje viac variability premennej Y ako model analýzy rozptylu. Analýza kovariancie testuje či upravené priemery skupín sú rozdielne. Priemery sú upravené tak, ako keby vo všetkých skupinách bola rovnaká (priemerná) hodnota intenzívneho/kvantitatívneho faktora.

Variabilita Stupne voľnosti upravený SŠ upravený PŠ F

Nezávislá premenná (A) I - 1 SA(upr) = ST(upr) – Se(upr) SA(upr)/(I – 1) PŠA(upr)/PŠe(upr)

Chyba (e) n - I -1 Se(upr) = Se(y) – (Se(xy)2/Se(x)) Se(upr)/(n - I – 1) Celkom (T) n - 2 ST(upr) = ST(y) – (ST(xy)2/ST(x))

Tabuľka 2: Tabuľka analýzy kovariancie s jedným nominálnym faktorom a jedným kovariátom (1-way ANCOVA)

I - počet úrovní, ktoré nadobúda nezávislá nominálna premenná. n – počet pozorovaní. upravený SŠ – upravený súčet štvorcov odchýlok.

)()()()()()( 222 xSxSxxnxxxxxS Aeii j i

iiiji j

ijT +=−+−=−= ∑∑ ∑∑∑

)()()()()()( 222 ySySyynyyyyyS Aeii j i

iiiji j

ijT +=−+−=−= ∑∑ ∑∑∑

)()(

))(())(()()()(

xySxyS

yyxxnyyxxyyxxxyS

Ae

iii j i

iiijiiji

ijj

ijT

+=

−−+−−=−−= ∑∑ ∑∑∑

upravený PŠ – upravený priemerný štvorec (upravený SŠ/stupne voľnosti). F – testovacia štatistika (upravený PŠA/upravený PŠe). V prípade, že

)(1,1 α−−−≥ InIA FF , zamietame hypotézu H0. p – hodnota významnosti (prevedenie F do pravdepodobnostnej škály), ak je p menšie

ako zvolená hladina významnosti α, tak nulovú hypotézu zamietame a prijímame alternatívnu hypotézu. Inak nulovú hypotézu nezamietame.

Na použitie testov je nutné splniť nasledujúce predpoklady: Platia predpoklady ANOVY. Regresný koeficient β je rovnaký vo všetkých skupinách.

3 Aplikácia ANOVY/ANCOVY

3.1 Príklad. Učiteľ chcel zistiť, či vytvorená pomôcka má priaznivý vplyv na výsledky študentov. Rozhodol sa, zaoberať sa efektívnosťou jej využitia v praxi. Za týmto účelom bol uskutočnený výskum. Ako metódu výskumu zvolil experiment a ako nástroj výskumu použil didaktický test (pretest, posttest). Hypotézou výskumu je hypotéza, že uvedená pomôcka je efektívna.

Postup pri realizácii výskumu: 1. Vytvorenie kontrolnej a experimentálnej skupiny. 2. Vytvorenie kvalitných meracích procedúr. 3. Realizácia experimentálneho plánu. 4. Porozumenie dátam. 5. Overovanie validity použitých štatistických metód. 6. Analýza dát a interpretácia výsledkov.

MICHAL MUNK

136

PRETEST POSTTEST SKUPINA 1 21 22 EXP 2 20 23 KON

...

...

...

...

50 19 24 EXP 51 20 16 KON

Tabuľka 3: Vstupná dátová tabuľka

Riešenie. Po uskutočnení výskumu sme mali k dispozícii výsledky pretestu a výsledky posttestu

u experimentálnej i u kontrolnej skupiny. U každého študenta bol zaznamenaný počet bodov, ktoré získal za pretest a počet bodov získaný za posttest. Za pretest (posttest) mohol študent získať maximálne 40 (35) bodov.

Popisné štatistiky

Úroveň N Post. Priemer

Post.Odch

Post. Chyba

Post.-95%

Post.+95%

1.Pre. Priemer

1.Pre.Odch

1.Pre. Chyba

1.Pre. -95%

1.Pre.+95%

Celkom 51 22,45 6,66 0,93 20,58 24,32 20,65 4,38 0,61 19,42 21,88 Skupina EXP 28 26,25 5,71 1,08 24,03 28,47 20,65 4,53 0,86 18,90 22,41 Skupina KON 23 17,83 4,48 0,93 15,89 19,76 20,65 4,29 0,89 18,80 22,51

Tabuľka 4: Popisné charakteristiky

Tabuľka obsahuje popisné štatistiky (priemer, smerodajná odchýlka, smerodajná chyba a 95% interval spoľahlivosti priemeru) skóre posttestu i pretestu pre obidve skupiny aj pre každú skupinu zvlášť.

Na základe týchto výsledkov potrebujeme overiť platnosť nasledujúcich hypotéz: 1.H0: Medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou nie je štatisticky významný

rozdiel v poznatkoch zo štatistiky a metodiky. 2.H0: Výsledky posttestu nezávisia od použitia pomôcky. Prvú z týchto hypotéz by sme chceli prijať na základe výsledkov pretestu, tým by sa

potvrdil náš predpoklad o rovnocennosti úrovne vedomostí zo štatistiky a metodiky výskumu u študentov experimentálnej a kontrolnej skupiny. Z výsledkov popisných štatistík je už teraz jasné, že nulovú hypotézu nezamietneme. Pre úplnosť, však test hypotézy uvedieme.

Druhú hypotézu chceme naopak zamietnuť, lebo zamietnutím tejto hypotézy nadobúda platnosť alternatívna hypotéza, ktorá tvrdí, že výsledky posttestu od použitia pomôcky závisia. Vzhľadom na lepší priemer bodov posttestu dosiahnutý v experimentálnej skupine by to znamenalo potvrdenie hypotézy nášho výskumu:

Používanie pomôcky v praxi je efektívne. Na testovanie vyššie uvedených hypotéz sme vybrali analýzu rozptylu (ktorá je

v prípade dvoch skupín ekvivalentná t-testu) a analýzu kovariancie. Skôr ako tieto metódy použijeme musíme overiť predpoklady ich použitia.

Overenie validity použitých štatistických metód: Predpoklady použitia analýzy rozptylu.

Normálne rozdelenie závislej premennej v jednotlivých skupinách.


137

Preveríme normalitu pre závislé premenné (posttest, pretest) v jednotlivých skupinách podľa úrovne faktora (experimentálna, kontrolná skupina). Tento predpoklad overíme skontrolovaním kategorizovaného normálneho grafu pravdepodobnosti. Grafmi porovnáme rozdelenie hodnôt závislých premenných v skupinách podľa úrovne faktora s normálnym rozdelením pravdepodobnosti.

Obrázok 1: Kategorizovaný normálny graf pravdepodobnosti

Z grafov vidieť, že hodnoty závislých premenných v jednotlivých skupinách kopírujú normálne rozdelenie. Môžeme konštatovať, že predpoklad je splnený.

Rovnosť rozptylov. Tieto testy testujú nasledovnú nulovú hypotézu:

H0: 221 ... iσσ ==

Proti alternatíve H1, že H0 neplatí. Testy homogenity rozptylu Efekt: Skupina

HartleyovF-max

CochranovC

BartlettovChí-kv. p

Posttest 1,627121 0,619355 1,371268 0,2415941.Pretest 1,115584 0,527317 0,070746 0,790254

Tabuľka 5: Testy rovnosti rozptylov

MICHAL MUNK

138

Leveneov test homogenity rozptylu Efekt: Skupina PČ PČ F p

Posttest 8,580639 7,828914 1,096019 0,3002781.Pretest 0,281834 6,387832 0,044121 0,834501

Tabuľka 6: Test rovnosti rozptylov

Testy sú štatisticky nevýznamné (p > 0,05), t. j. hypotéza o rovnosti rozptylov sa nezamieta. Môžeme konštatovať, že k porušeniu predpokladu nedošlo.

Predpoklady použitia analýzy kovariancie. Platia predpoklady analýzy rozptylu. Regresný koeficient β je rovnaký vo všetkých skupinách.

Najjednoduchším spôsobom ako overiť túto podmienku je skontrolovať kategorizovaný korelačný graf, pre každú úroveň faktora. Na horizontálnej osi je kvantitatívny faktor, na vertikálnej osi je závislá premenná. Ak majú jednotlivé priamky približne rovnaký sklon, podmienka je splnená.

Obrázok 2: Korelačný graf

Krivky sú podobné, t. j. regresný koeficient je približne rovnaký v obidvoch skupinách.

Homogenita variančno-kovariančných matíc.


139

Na testovanie rovnosti rozptylov použijeme multivariačný test, ktorý je určený pre analýzu kovariancie a multivariačnú analýzu rozptylu.

Boxov M test Efekt: Skupina (Vypočítané pre všetky premenné) Boxovo M Chí-kv. SV p

Boxovo M 1,594230 1,522748 3 0,677030

Tabuľka 7: Test homogenity

Test je štatisticky nevýznamný, teda hypotéza o homogenite variančno-kovariančných matíc sa nezamieta. Môžeme konštatovať, že k porušeniu predpokladu nedošlo.

Analýza dát: K analýze dát typu pretest-posttest sme sa rozhodli použiť nasledujúce metódy: 1. Analýzu rozptylu jednoduchého triedenia uplatnenú zvlášť na dáta pretestu

a posttestu. 2. Analýzu kovariancie, ktorá sa považuje za optimálny prístup (prevedie sa na

výsledkoch posttestu ako závislej premennej, pričom kovariantu predstavuje pretest).

Tabulka 8: ANOVA

Zamietame nulovú hypotézu, tvrdiacu, že rozdiel v skóre posttestu medzi experimentálnou a kontrolnou skupinou, nie je štatisticky významný, t. j. závislá premenná posttest je závislá na faktore skupina. Naopak nezamietame nulovú hypotézu, tvrdiacu, že rozdiel v skóre pretestu medzi experimentálnou a kontrolnou skupinou, nie je štatisticky významný, t. j. závislá premenná pretest nie je závislá na faktore skupina.

Analýza kovariancie

Stupne Post. SŠ

Post. PŠ

Post. F

Post. p

Abs. člen 1 586,856 586,8557 22,45703 0,0000191.Pretest 1 68,200 68,1998 2,60978 0,112761Skupina 1 895,926 895,9257 34,28411 0,000000Chyba 48 1254,355 26,1324 Celkom 50 2218,627

Tabuľka 9: ANCOVA

Analýza rozptylu

Stupne Post. SŠ

Post. PŠ

Post. F

Post. p

1.Pre. SŠ

1.Pre. PŠ

1.Pre. F

1.Pre. p

Abs. člen 1 24531,37 24531,37 908,8753 0,000000 21545,76 21545,76 1102,744 0,000000Skupina 1 896,07 896,07 33,1991 0,000001 0,00 0,00 0,000 1,000000Chyba 49 1322,55 26,99 957,38 19,54 Celkom 50 2218,63 957,38

MICHAL MUNK

140

Z tabuľky vidíme, že vzťah medzi posttestom a pretestom je štatisticky nevýznamný (p = 0,112761 > 0,05), t. j. výsledky z pretestu neovplyvnili výsledky z posttestu. Zamietame nulovú hypotézu, tvrdiacu, že rozdiel v skóre posttestu medzi experimentálnou a kontrolnou skupinou, nie je štatisticky významný, t. j. závislá premenná posttest je závislá na faktore skupina.

Záver

Predchádzajúcou analýzou sme overili efektívnosť vytvorenej pomôcky v praxi, t. j. preukázali sme, že pomôcka mala pozitívny vplyv na výsledky kontrolného testu. Aby sme neznižovali silu štatistických testov overili sme ich validitu. Na riešenie tohto výskumného problému sme použili dve metódy, analýzu rozptylu a analýzu kovariancie, kde analýza rozptylu je jednoduchšia a nevyžaduje predpoklad o zhode regresie posttestu na pretest v jednotlivých skupinách. Na druhej strane je interpretácia menej validná, keď existujú medzi skupinami rozdiely v pretestoch. Podobne ako v iných situáciách sa odporúča previesť oba spôsoby analýzy a porovnať ich výsledky. V našom prípade sú výsledky zhodné, máme dôvod ich považovať za robustné.

LITERATÚRA

[1] ANDĚL, J.: Statistické metody. Praha : Matfyzpress, 1998. ISBN 80-85863-87-8

[2] HENDL, J.: Přehled statistických metod zpracování dat. Praha : Portál, 2004. ISBN 80-7178-820-1

[3] MUNK, M. – KAPUSTA, J.: Virtuálna škola „Štatistika“. Forum Statisticum Slovacum, 2005, č. 3, s. 44–49, ISSN 1336-7420

[4] MUNK, M. – KLOCOKOVÁ, D.: Optimálny prístup k štatistickému spracovaniu pedagogického experimentu. In: Riadenie škôl po transformačnom procese III.: Zborník. Nitra : UKF, 2006. ISBN 80-8050-953-0

[5] VRÁBELOVÁ, M.: Čo je to ANOVA table? In: Acta Mathematica 4: Zborník. Nitra : UKF, 2000.

[6] ZVÁRA, K. - ŠTĚPÁN, J.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA, 2002. ISBN 80-2240736-4

RNDr. Michal Munk Ústav technológie vzdelávania Pedagogická fakulta Univerzita Konštantína Filozofa Dražovská cesta 4 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc. e-mail: [email protected]


141

ANALÝZA SPOĽAHLIVOSTI/POLOŽIEK DOTAZNÍKA

MICHAL MUNK

ABSTRACT. The article deals with reliability/item analysis, which is used to score the quality of measurement procedure. We present the application of the analysis on resolved problem. The aim of the resolved problem was verified the quality of questionnaire.

Úvod

Predpokladom analýzy dát je získanie kvalitných dát a predpokladom získania kvalitných dát je vytvorenie/použitie kvalitnej meracej procedúry. Preto zdôrazňujeme potrebu zaoberať sa kvalitou meracej procedúry, v našom prípade dotazníka. Pri realizácii výskumu si musíme uvedomiť, že ak budú na vstupe „smeti“ na výstupe budú tiež, bez ohľadu na to akú sofistikovanú metódu na spracovanie a analýzu dát použijeme.

1 Meracie procedúry

Rozlišujeme nasledovné meracie procedúry: Dotazovanie tu rozlišujeme viaceré formy, k základným patrí výkaz, ktorý je

špecifickou formou pre štátnu štatistiku, je určený k sledovaniu činnosti ekonomických subjektov, ďalšou formou je dotazník, jeho podstatou sú podrobne naformulované položky a poslednou základnou formou je rozhovor, najčastejšou formou je štandardizovaný rozhovor (pri komunikácii s respondentom sa postupuje podľa záznamového archu).

Pozorovanie napr. zisťovanie cien v obchodoch, pozorovanie vyučovacieho procesu.

Testovanie napr. didaktické, psychologické, diagnostické testy. Didaktický test je meraním kvality a kvantity skutočných vedomostí a zručností študentov z istej skúmanej problematiky (oblasti).

Meranie metrických údajov napr. hmotnosť, teplota a iné fyzikálne veličiny. Špeciálne formy meracích procedúr:

o AVL (Audio/Video-Likeability) patrí medzi špeciálne formy dotazovania, táto forma spočíva v hodnotení multimediálnych ukážok.

o Peoplemetre patria medzi špeciálne formy pozorovania, slúžia hlavne na elektronické meranie sledovanosti televíznych programov, ale aj rozhlasového vysielania.

MICHAL MUNK

142

2 Analýza spoľahlivosti/položiek

Analýza spoľahlivosti/položiek patrí medzi viacrozmerné prieskumné techniky a slúži k posúdeniu kvality – spoľahlivosti meracej procedúry, napríklad škály dotazníku a k identifikovaniu podozrivých položiek. K priamym odhadom spoľahlivosti patrí Cronbachov koeficient alfa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−= ∑

2

2

11

ˆs

sm

m jα ,

kde m je počet položiek dotazníku, 2s je rozptyl škály dotazníku, 2js je rozptyl škály j -

tej položky dotazníku. Odhad reliability môžeme dostať aj z priemerného korelačného koeficientu r

jednotlivých položiek. Nazývame ho štandardizovaný Cronbachov koeficient alfa

rmrm

)1(1 −+=α ,

kde m je počet položiek. Štandardizovaný Cronbachov koeficient alfa dostaneme aj z predchádzajúceho vzťahu,

ak sme všetky merania dopredu štandardizovali, t. j. od každej hodnoty premennej sa odpočíta jej priemer a vydelí sa jej smerodajnou odchýlkou.

Ak sú obidva odhady príliš odlišné, indikuje to, že jednotlivé položky nemajú rovnakú variabilitu.

3 Aplikácia analýzy spoľahlivosti/položiek - posúdenie kvality dotazníka

3.1 Príklad. Marketingový riaditeľ cestovnej kancelárie chcel zistiť spokojnosť klientov s kvalitou poskytovaných služieb v rámci jednotlivých turnusov. Za týmto účelom sa vytvoril dotazník k hodnoteniu kvality služieb. Na základe prvotných výsledkov dotazovania chcel zistiť, spoľahlivosť škály dotazníka a identifikovať problémové položky dotazníka ešte pred distribúciou dotazníka na jednotlivé turnusy.

1. POLOŽKA 2. POLOŽKA ... 9. POLOŽKA 10. POLOŽKA 1 4 5 ... 6 3 2 4 3 ... 2 4

...

...

...

...

...

...

99 3 4 ... 4 5 100 6 6 ... 6 6


Riešenie. Jednotlivé položky boli ohodnotené deväť bodovou škálou, kde 1 znamená

nedostatočné/podpriemerné hodnotenie, 5 priemerné hodnotenie a 9 znamená výborné/nadpriemerné hodnotenie. K analýze spoľahlivosti jednotlivých položiek dotazníka použijeme analýzu spoľahlivosti/položiek, ktorá patrí medzi viacrozmerné prieskumné techniky a ponúka nám techniky a metódy na posúdenie kvality dotazníka a identifikovanie problémových položiek.


143

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1,00 0,58 0,49 0,43 0,04 0,14 0,54 0,38 0,40 0,50 2 0,58 1,00 0,46 0,36 -0,03 0,12 0,57 0,55 0,44 0,47 3 0,49 0,46 1,00 0,36 0,11 0,05 0,47 0,38 0,35 0,29 4 0,43 0,36 0,36 1,00 0,06 -0,04 0,27 0,35 0,42 0,37 5 0,04 -0,03 0,11 0,06 1,00 0,03 0,01 0,13 -0,04 0,01 6 0,14 0,12 0,05 -0,04 0,03 1,00 0,14 0,10 0,07 0,09 7 0,54 0,57 0,47 0,27 0,01 0,14 1,00 0,44 0,29 0,43 8 0,38 0,55 0,38 0,35 0,13 0,10 0,44 1,00 0,41 0,51 9 0,40 0,44 0,35 0,42 -0,04 0,07 0,29 0,41 1,00 0,41 10 0,50 0,47 0,29 0,37 0,01 0,09 0,43 0,51 0,41 1,00

Tabuľka 2: Korelačná matica (Correlations)

Korelačná matica je symetrická, takže nad diagonálou aj pod diagonálou máme rovnaké výsledky. Na diagonále sú korelačné koeficienty rovné 1, vzhľadom na to, že ide o mieru korelácie medzi totožnými premennými. Záporný koeficient znamená, že hodnoty sa menia spolu opačným smerom – sú nepriamo úmerne závislé a kladný koeficient znamená, že hodnoty sa menia spolu jedným smerom – sú priamoúmerne závislé.

Z matice vidíme, že medzi väčšinou položiek je pozitívna korelácia, výnimkou je položka 5 a 6. Tieto položky sa na základe týchto výsledkov javia ako podozrivé. K vizualizácii korelačnej matice môžeme zvoliť maticový graf, ktorý môžeme použiť pri identifikácii extrémnych prípadov.

Mean 46,11Sum 4611 Standard Deviation 8,26 Variance 68,30Skewness -0,26 Kurtosis -0,01 Minimum 21 Maximum 66 Cronbach’s alpha 0,79 Standardized alpha 0,80 Average Inter-Item Correlation 0,30

Tabuľka 3: Výsledky reliability (Reliability results)

Mean – priemerné skóre dotazníka. Sum – súčet skóre dotazníkov. Standard Deviation – smerodajná (štandardná) odchýlka. Variance – rozptyl. Skewness – šikmosť. Kurtosis – špicatosť. Minimum – minimálne skóre. Maximum – maximálne skóre. Cronbach’s alpha – hodnota koeficientu reliability, priamy odhad Cronbachovou

metódou.

MICHAL MUNK

144

Standardized alpha – koeficient reliability, ktorý je vypočítaný pre štandardizované premenné. Štandardizácia znamená, že od každej hodnoty premennej sa odpočíta jej priemer a vydelí sa jej smerodajnou odchýlkou.

Average Inter-Item Correlation – priemerná korelácia medzi položkami. Ak je koeficient reliability, Cronbachova alfa, väčší ako 0,6 môžeme škálu dotazníka

považovať za spoľahlivú. Tabuľka zobrazuje sumár štatistík pre súčet škál položiek dotazníka. Šikmosť

a špicatosť nadobúdajú hodnoty blízke nule, t. j. môžeme predpokladať, že súčet škál pochádza viac menej z normálneho rozdelenia.

Hodnota koeficientu reliability 0,79 (79%) vyjadruje podiel variability súčtu skóre položiek k celkovej variabilite dotazníka.

Obidva odhady (Cronbachova alfa, štandardizované alfa) nie sú príliš odlišné, t. j. jednotlivé položky majú rovnakú variabilitu.

Škálu dotazníka môžeme považovať za spoľahlivú.

Mean if Var. if StDv. if Itm-Totl Alpha if deleted deleted deleted Correl. deleted ITEM1 41,61 51,94 7,21 0,66 0,75 ITEM2 41,37 53,79 7,33 0,67 0,75 ITEM3 41,41 54,86 7,41 0,55 0,77 ITEM4 41,63 56,57 7,52 0,47 0,78 ITEM5 41,52 64,17 8,01 0,05 0,82 ITEM6 41,56 62,69 7,92 0,12 0,82 ITEM7 41,46 54,03 7,35 0,59 0,76 ITEM8 41,33 53,32 7,30 0,61 0,76 ITEM9 41,44 55,07 7,42 0,50 0,77 ITEM10 41,66 53,78 7,33 0,57 0,76

Tabuľka 4: Štatistiky položiek/prvkov (Item-total statistics)

Mean if deleted – priemerné skóre dotazníku po odstránení príslušnej položky. Var. if deleted – rozptyl skóre dotazníku po odstránení príslušnej položky. StDv. if deleted – smerodajná odchýlka skóre dotazníku po odstránení príslušnej

položky. Itm-Totl. Correl. – korelácia medzi príslušnou položkou a celkovým skóre. Alpha if deleted – Cronbachova alfa po odstránení príslušnej položky. Z tabuľky vidíme, že položka 5 a 6 nekoreluje s celkovým skóre a po ich odstránení

vzrástol koeficient reliability. U ostatných položiek sledujeme opačný stav, po ich odstránení koeficient reliability klesol. Potvrdili sa predchádzajúce podozrenia z výpočtu korelačnej matice. Odstránením položky 5 a 6 z dotazníka sa zvýši jeho spoľahlivosť. Po ich odstránení sa zvýšil koeficient reliability – Cronbachova alfa z 0,79 až na 0,85.

Záver

Aplikáciou tejto analýzy môžeme zvýšiť spoľahlivosť dotazníka, respektíve môžeme zabrániť použitiu nekvalitného dotazníka, prostredníctvom ktorého získané dáta by nemali žiadnu výpovednú hodnotu, bez ohľadu na to, akú pokročilú metódu na ich ďalšie spracovanie použijeme.


145

LITERATÚRA



[3] KAŇOVÁ, E.: Reliabilita a didaktické testy. In: Acta Mathematica 8: Zborník. Nitra : FPV UKF, 2005. ISBN 80-8050-896-8


[5] MUNK, M. – KLOCOKOVÁ, D.: Optimálny prístup k štatistickému spracovaniu pedagogického experimentu. In: Riadenie škôl po transformačnom procese III.: Zborník. Nitra : UKF, 2006. ISBN 80-8050-953-0

[6] VRÁBELOVÁ, M. – MARKECHOVÁ, D.: Pravdepodobnosť a štatistika. Vysokoškolské skriptá. Nitra : FPV UKF, 2001.


RNDr. Michal Munk Ústav technológie vzdelávania Pedagogická fakulta Univerzita Konštantína Filozofa Dražovská cesta 4 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]



147

ANALÝZA SPOĽAHLIVOSTI/POLOŽIEK TESTU

DAŠA MUNKOVÁ - MICHAL MUNK

ABSTRACT. The article deals with reliability/item analysis, which is used to score the quality of test. We present the application of the analysis on resolved problem. The aim of the resolved problem was verified the quality of test.

Úvod

Proces merania je predpokladom získania dát. Namerané hodnoty odrážajú vplyv meranej veličiny/konštruktu, ďalej vplyv iných veličín/konštruktov a náhodnej chyby. Napríklad, keby meracou procedúrou bol didaktický test, tak konštruktom, ktorý nás zaujíma je vedomosť a konštrukty, ktoré nás nezaujímajú sú strach z testu, jazyková schopnosť a náhodná chyba je chyba hodnotiteľa.

Model pre meranie inštrumentom: nameraná hodnota = hypotetická správna hodnota + chyba merania

Pri chybe merania rozlišujeme náhodnú a systematickú chybu. Systematická chyba nadobúda približne rovnaké hodnoty.

1 Kvalita merania

Základnými charakteristikami merania sú objektivita, reliabilita a validita. Objektivita znamená stupeň toho, ako sú výsledky nezávislé na výskumníkovi

alebo meranej jednotke v zmysle skreslenia merania. Reliabilita je ukazovateľom presnosti, spoľahlivosti merania. Validita predstavuje platnosť merania, t. j. požaduje, aby meracia procedúra

skutočne merala to, čo predpokladáme, že meria. Koncept validity a objektivity je triviálny, keď sa jedná o meranie metrických údajov.

Ale pri hodnotení merania v psychológii alebo sociológii sa objektivita musí preskúšať. Rovnako validita sa stáva komplikovanou záležitosťou, keď sa jedná o osobnostné charakteristiky.

Bližšie si vysvetlíme objektivitu, reliabilitu a validitu na didaktickom teste ako príklade meracej procedúry.

Objektivitu didaktického testu môžeme zaručiť tým, že v teste použijeme tzv. objektívne úlohy (s výberom odpovede, usporiadacie, doplňovacie, priraďovacie), takéto úlohy môžu byť ohodnotené prostredníctvom výpočtovej techniky. Odhad objektivity je dôležitý hlavne pri úlohách skórovaných zložene (nie binárne 0/1), respektíve pri testoch, ktoré obsahujú neobjektívne úlohy.

Reliabilita didaktického testu je ukazovateľom presnosti, spoľahlivosti merania. Reliabilita sa určuje koeficientom reliability. Ak sa koeficient reliability rovná jednej, tak výsledok didaktického testu neovplyvnila únava, strach, opisovanie, vyrušovanie, nepochopenie zadania úlohy, a pod. Takúto hodnotu koeficientu reliability nemôže didaktický test dosiahnuť. Istá chyba sa vyskytne pri každom meraní. Našou snahou je túto chybu zredukovať na minimum. Reliabilita odzrkadľuje technickú kvalitu testu. Vysoká


148

reliabilita testu však ešte nezaručuje, že test je validný. Ale naopak, ak test má byť validný, musí byť vysoko reliabilný.

Validita didaktického testu je najdôležitejším ukazovateľom kvality didaktického testu. Je to miera zhody, do akej miery didaktický test naozaj meria to, čo merať má. Rozlišujeme validitu obsahovú, kritériovú, predikčnú a pojmovú. Obsahová validita určuje, či test rovnomerne pokrýva celé učivo, ktoré je obsahom testovania. Kritériová validita predstavuje mieru zhody medzi výsledkami didaktického testu a nejakým iným kritériom úspešnosti (napr. známkami z príslušného predmetu). Predikčná validita slúži na prognózovanie, predpovedanie určitej vlastnosti, schopnosti a pod. Pojmová (konštruktová) validita didaktického testu vyjadruje rozsah, v akom didaktický test meria určitú charakteristiku alebo psychologický konštrukt (napr. schopnosť študovať na určitom type školy).

2 Analýza spoľahlivosti/položiek

Analýza spoľahlivosti/položiek patrí medzi viacrozmerné prieskumné techniky a slúži k posúdeniu kvality – spoľahlivosti meracej procedúry, napríklad testu a k identifikovaniu podozrivých úloh.

2.1 Odhad objektivity

Objektivitu testu vypočítame ako súčiniteľ korelácie medzi dvoma hodnoteniami testu od dvoch rôznych hodnotiteľov. Môžeme použiť napríklad Pearsonov koeficient korelácie. Vysoký koeficient korelácie zaručuje objektivitu. Odhad objektivity je hlavne dôležitý pri úlohách skórovaných zložene, respektíve pri testoch, ktoré obsahujú tzv. neobjektívne úlohy.

2.2 Odhad reliability

Odhad reliability prostredníctvom koeficientu korelácie Metóda test - retest

Táto metóda spočíva v tom, že ten istý test sa zadá tým istým žiakom dvakrát (s niekoľkodňovým odstupom) a vypočíta sa koeficient korelácie medzi výsledkami oboch riešení testu. Tomuto spôsobu sa hovorí aj zisťovanie stability didaktického testu v čase. Metódu nie je vhodné používať najmä u didaktických testov s malým počtom úloh.

Metóda ekvivalentných foriem testu Tým istým žiakom sa zadá súčasne alebo v priebehu niekoľkých dní nie pôvodný test, ale jeho ekvivalentná rovnocenná forma. Potom vypočítame koeficient korelácie medzi výsledkami oboch foriem didaktického testu.

Metóda „split- half“ rozdelenia testu na dve polovice Vypočítame koeficient korelácie medzi párnymi a nepárnymi úlohami testu (dvoma skupinami). Pomocou Spearmanovej-Brownovej korekcie koeficient korelácie rozšírime na celý didaktický test

skup

skupSB r

r+

⋅=

12

α .

Hodnota tohto koeficientu sa považuje za mieru reliability didaktického testu. Tento typ reliability sa nazýva tiež vnútorná konzistencia didaktického testu.


149

Metódu používame v prípade homogénnych didaktických testov, v ktorých všetky úlohy testujú ten istý cieľ. Spearmanov-Brownov odhad je lepší za predpokladu, že rozptyly sú rovnaké v oboch skupinách. V prípade, že tento predpoklad je porušený je vhodnejší Guttmanov odhad

2

22

21

2 ))((2ˆs

sssG

+−=α ,

kde 2s je rozptyl skóre testu, 21s a 2

2s sú rozptyly skóre v oboch skupinách (napr. párne, nepárne úlohy).

Priamy odhad reliability Metóda KR20

Metóda je vhodná u testov, ktoré sú skórované binárne. Výsledok každej úlohy testu skórovaného binárne môže byť jedna alebo nula. Ak je úloha vyriešená správne, výsledok je jedna. Ak úloha nie je vyriešená správne, výsledok úlohy je nula. Kunderov-Richardsonov vzťah KR20

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−⋅

−== ∑

220

11

1ˆ

spp

mmKR jjα ,

kde m je počet úloh testu, 2s je rozptyl skóre testu, jp je relatívna úspešnosť riešenia j - tej úlohy všetkými žiakmi.

Cronbachova metóda Metódu použijeme, ak je didaktický test skórovaný zložene. Potom môžeme vypočítať koeficient reliability pomocou Cronbachovho vzťahu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−= ∑

2

2

11

ˆs

sm

m jα ,

kde m je počet úloh testu, 2s je rozptyl skóre testu, 2js je rozptyl skóre j - tej

úlohy didaktického testu. Ak sú hodnotenia len náhodné a neodrážajú skutočné vedomosti, potom sú to iba náhodné chyby a tie sú nekorelované. Súčet rozptylov sa v tomto prípade rovná rozptylu súčtu a Cronbachov koeficient alfa je rovný nule. V prípade, že všetky úlohy sú reliabilné a odrážajú skutočnú úroveň vedomostí je koeficient alfa rovný jednej. Čím je Cronbachova alfa väčšia, tým je test reliabilnejší. Odhad reliability môžeme dostať aj z priemerného korelačného koeficientu r jednotlivých položiek. Nazývame ho štandardizovaný Cronbachov koeficient alfa

rmrm

)1(1 −+=α ,

kde m je počet úloh. Štandardizovaný Cronbachov koeficient alfa dostaneme aj z predchádzajúceho vzťahu, ak sme všetky merania dopredu štandardizovali, t. j. od každej hodnoty premennej sa odpočíta jej priemer a vydelí sa jej smerodajnou odchýlkou. Ak sú obidva odhady príliš odlišné, indikuje to, že jednotlivé položky nemajú rovnakú variabilitu.


150

2.3 Odhad validity

Súbežnú validitu testu vypočítame ako súčiniteľ korelácie medzi testom a iným testom, ktorý by mohol mať s ním určitý vzťah. Môžeme použiť napríklad Pearsonov koeficient korelácie. Súčiniteľ korelácie môžeme počítať aj medzi výsledkami testu a iným kritériom napríklad známkou žiakov z daného predmetu. Podmienkou je, že danú známku musíme považovať za validné kritérium.

Validitu môžeme zistiť aj tak, že vypočítame koreláciu daného testu s iným testom, ktorý by s ním mohol mať vzťah. Validita je ovplyvnená reliabilitou oboch testov. Čím je menšia reliabilita, tým je menšia korelácia medzi testami, a preto počítame korigovaný koeficient korelácie

YYXX

XYkorigovanéXY rr

rr

⋅= ,

v menovateli sú reliability porovnávaných testov, napr. Cronbachovu alfu.

3 Aplikácia analýzy spoľahlivosti/položiek - posúdenie kvality testu

3.1 Príklad. Vzhľadom na súčasnú situáciu v školstve a širšie zodpovednosti riaditeľa školy oproti minulosti je nutné, aby bol riaditeľ školy oboznámený s novými trendmi uplatňujúcimi sa v súčasných školách a nutnosťou riešiť okrem pedagogických problémov aj problémy finančného, legislatívneho, materiálneho - technického charakteru. Vzhľadom k uvedenému sa školská inšpekcia rozhodla v rámci kontroly sledovať aj úroveň teoretickej pripravenosti súčasných riaditeľov škôl. Za týmto účelom bol vytvorený test k posúdeniu tohto stavu. Na základe prvotných výsledkov testu chcela zistiť, spoľahlivosť testu a identifikovať problémové položky testu ešte pred celoplošnou distribúciou testu na školy.

1. ÚLOHA 2. ÚLOHA ... 29. ÚLOHA 30. ÚLOHA 1 0 1 ... 1 1 2 1 1 ... 1 1

...

...

...

...

...

...

121 1 0 ... 0 0 122 0 0 ... 0 1


Riešenie. Zo vstupnej dátovej tabuľky výsledkov testu vidíme, že jednotlivé úlohy boli

skórované binárne.

K analýze spoľahlivosti jednotlivých úloh testu použijeme analýzu spoľahlivosti/položiek, ktorá patrí medzi viacrozmerné prieskumné techniky a ponúka nám techniky a metódy na posúdenie kvality testu a identifikovanie problémových úloh. Súčasťou analýzy je aj analýza rozptylu pre opakované merania, ktorá slúži k posúdeniu, či sú úlohy rovnako obtiažne. V našom prípade by bol za týmto účelom vhodnejší Cochranov Q test, vzhľadom na to, že premenné sú dichotomické.


151

Mean 17,43Sum 2127 Standard Deviation 4,24 Variance 17,99Skewness 0,56 Kurtosis 0,22 Minimum 10 Maximum 30 Cronbach’s alpha 0,68 Standardized alpha 0,67 Average Inter-Item Correlation 0,07

Tabuľka 2: Výsledky reliability (Reliability results)

Mean – priemerné skóre testu. Sum – súčet skóre testov. Standard Deviation – smerodajná odchýlka. Variance – rozptyl. Skewness – šikmosť. Kurtosis – špicatosť. Minimum – minimálne skóre. Maximum – maximálne skóre. Cronbach’s alpha – hodnota koeficientu reliability, priamy odhad Cronbachovov

metódou. Standardized alpha – koeficient reliability, ktorý je vypočítaný pre štandardizované

premenné. Štandardizácia znamená, že od každej hodnoty premennej sa odpočíta jej priemer a vydelí sa jej smerodajnou odchýlkou.

Average Inter-Item Correlation – priemerná korelácia medzi úlohami. Ak je koeficient reliability, Cronbachova alfa, väčší ako 0,6 môžeme test považovať za

spoľahlivý. Tabuľka zobrazuje sumár štatistík pre celkové skóre testu. Hodnota koeficientu reliability 0,68 (68%) vyjadruje podiel variability súčtu skóre

úloh k celkovej variabilite testu. Obidva odhady (Cronbachova alfa, štandardizované alfa) nie sú príliš odlišné, t. j.

jednotlivé položky majú rovnakú variabilitu. Test môžeme považovať za spoľahlivý, avšak nízka priemerná korelácia medzi

úlohami naznačuje, že po odstránení niektorých úloh by sme mohli spoľahlivosť testu zvýšiť.

Mean if Var. if StDv. if Itm-Totl Alpha if deleted deleted deleted Correl. deleted 1 16,90 16,43 4,05 0,29 0,67 2 16,85 17,34 4,16 0,07 0,69 3 16,57 18,00 4,24 -0,09 0,69 4 16,58 17,36 4,17 0,12 0,68 5 16,90 16,88 4,11 0,18 0,68 6 16,83 16,50 4,06 0,28 0,67


152

7 16,71 16,66 4,08 0,27 0,67 8 16,99 16,70 4,09 0,22 0,67 9 17,10 16,42 4,05 0,32 0,67 10 17,21 15,69 3,96 0,60 0,65 11 16,77 17,28 4,16 0,09 0,68 12 16,97 15,87 3,98 0,44 0,66 13 17,10 17,32 4,16 0,08 0,69 14 16,75 18,26 4,27 -0,16 0,70 15 16,87 17,80 4,22 -0,05 0,70 16 16,98 15,96 3,99 0,41 0,66 17 16,52 17,35 4,17 0,18 0,68 18 16,61 17,60 4,20 0,03 0,69 19 16,51 17,61 4,20 0,08 0,68 20 16,74 16,98 4,12 0,17 0,68 21 16,77 15,78 3,97 0,49 0,65 22 16,93 16,65 4,08 0,23 0,67 23 16,94 17,15 4,14 0,11 0,68 24 16,95 16,59 4,07 0,25 0,67 25 17,17 16,03 4,00 0,46 0,66 26 17,01 16,89 4,11 0,18 0,68 27 16,70 16,52 4,06 0,32 0,67 28 17,11 16,06 4,01 0,42 0,66 29 17,07 16,77 4,10 0,22 0,67 30 16,48 17,50 4,18 0,17 0,68

Tabuľka 3: Štatistiky položiek/prvkov (Item-total statistics)

Mean if deleted – priemerné skóre testu po odstránení príslušnej úlohy. Var. if deleted – rozptyl skóre testu po odstránení príslušnej úlohy. StDv. if deleted – smerodajná odchýlka skóre testu po odstránení príslušnej úlohy. Itm-Totl. Correl. – korelácia medzi príslušnou úlohou a celkovým skóre. Alpha if deleted – Cronbachova alfa po odstránení príslušnej úlohy. Z tabuľky vidíme, že úlohy 2, 3, 13, 14, 15 a 18 nekorelujú s celkovým skóre a po ich

odstránení vzrástol koeficient reliability. U ostatných položiek sledujeme opačný stav, po ich odstránení koeficient reliability klesol, respektíve sa nezmenil. Po odstránení vyznačených úloh sa zvýšil koeficient reliability – Cronbachovo alfa z 0,68 až na 0,75.

Summary Summary 1st Half 2nd Half No.Items 15 15 Mean: 8,901638985 8,5327873Sum: 1086 1041 Std.Dv. 2,290512085 2,5199521Variance 5,246444225 6,3501558Alpha 0,458879292 0,543435 ITEMS 1: 1 2 ITEMS 2: 3 4 ITEMS 3: 5 6


153

ITEMS 4: 7 8 ITEMS 5: 9 10 ITEMS 6: 11 12 ITEMS 7: 13 14 ITEMS 8: 15 16 ITEMS 9: 17 18 ITEMS 10: 19 20 ITEMS 11: 21 22 ITEMS 12: 23 24 ITEMS 13: 25 26 ITEMS 14: 27 28 ITEMS 15: 29 30

Corr. 1st & 2nd half 0,55468 Split-half reliability 0,713561Guttman split-half reliability 0,711474

Tabuľka 4: Metóda rozdelenia na dve polovice (Split-half Reliability)

Summary 2nd Half – prvá polovica testu – nepárne úlohy. Summary 1st Half – druhá polovica testu – párne úlohy. No.Items – počet úloh. Mean – priemerné skóre testu párnych a nepárnych úloh. Sum – súčet skóre testov pre párne a nepárne úlohy. Standard Deviation – smerodajná odchýlka párnych a nepárnych úloh. Alpha – hodnota koeficientu reliability, priamy odhad - Cronbachova alfa pre párne

a nepárne úlohy. Corr. 1st & 2nd half – korelácia skóre párnych a nepárnych úloh. Split-half reliability - korekcia koeficientu korelácie – rozšírenie na celý didaktický

test. Guttman split-half reliability - korekcia koeficientu korelácie – rozšírenie na celý

didaktický test. Ak je koeficient reliability, Cronbachova alfa, väčší ako 0,6 môžeme test považovať za

spoľahlivý. Z tabuľky vidíme, že hodnoty štatistík pre obe polovice – párne a nepárne úlohy sú

takmer zhodné. Z druhej tabuľky vidíme, že odhadom reliability metódou rozdelenia testu na dve polovice 0,71 sme získali podobné výsledky ako priamym odhadom reliability 0,68. Vypočítané hodnoty reliability sa interpretujú rovnako ako Cronbachova alfa.

Záver

Aplikáciou tejto analýzy môžeme zvýšiť spoľahlivosť testu, respektíve môžeme zabrániť použitiu nekvalitného testu, prostredníctvom ktorého získané dáta by nemali žiadnu výpovednú hodnotu, bez ohľadu na to, akú pokročilú metódu na ich ďalšie spracovanie použijeme.


154

LITERATÚRA



[3] KAŇOVÁ, E.: Reliabilita a didaktické testy. In: Acta Mathematica 8: Zborník. Nitra : FPV UKF, 2005. ISBN 80-8050-896-8


[5] MUNK, M. – KLOCOKOVÁ, D.: Optimálny prístup k štatistickému spracovaniu pedagogického experimentu. In: Riadenie škôl po transformačnom procese III.: Zborník. Nitra : Združenie SLOVDIDAC, 2006. ISBN 80-8050-953-0

[6] TUREK, I.: Učiteľ a didaktické testy. Bratislava : Metodické centrum, 1996. ISBN 80-7164-139-1

[7] VRÁBELOVÁ, M. – MARKECHOVÁ, D.: Pravdepodobnosť a štatistika. Vysokoškolské skriptá. Nitra : FPV UKF, 2001.


RNDr. Daša Munková RNDr. Michal Munk Ústav technológie vzdelávania Pedagogická fakulta Univerzita Konštantína Filozofa Dražovská cesta 4 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]



Příspěvek byl zpracován v rámci výzkumného záměru „Speciální potřeby žáků v kontextu Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání, jehož identifikační kód je 0021622443.

155

ZAMĚNITELNÉ MATICE VE CVIČENÍ Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

JIŘINA NOVOTNÁ

ABSTRACT. This paper deals with some properties of commutative matrices. Examples of construction them are presented to better find out their topic. It shoud help students and teachers to use these mathematical terms properly in their practice.

1. Úvod

Problém najít všechny matice X, které jsou zaměnitelné s maticí A, tedy matice, které splňují rovnost: (1) AX = XA,

formuloval už Frobenius, a proto bývá tato úloha nazývána Frobéniovou úlohou . Všechny matice zaměnitelné s danou maticí A, může vyjádřit dle [2] ve tvaru (2) X = UXA U-1,

kde XA označuje libovolnou matici zaměnitelnou s maticí A , což je normální Jordanova forma matice A a U je libovolná regulární matice příslušného typu a U-1 je inverzní matice k matici U.

Abychom mohli určit matici XA , musíme nejdřív znát její elementární dělitele, to znamená, že je třeba nejdříve určit spektrum matice A, to je najít všechna řešení charakteristické rovnice det (A - λE) = 0, kde E je jednotková matice. Neexistuje však algoritmus, kterým bychom určili kořeny charakteristického polynomu vyššího než 4 stupně.

Uvedeme nyní příklad zaměnitelné matice k matici A, která má tyto elementární dělitele: ( 1)4, ( 1)3, ( 2)2, 2, přičemž 2.V tomto případě má matice XA následující tvar:

JIŘINA NOVOTNÁ

156

2. Konstrukce zaměnitelných matic

Ukážeme, jak lze konstruovat podobné matice bez použití vlastních čísel. K libovolné matici A = (ajk), kde j, k 1, 2 určeme nejdříve všechny matice X (xjk), pro které platí rovnost (1). Množinu všech těchto matic označme AZ. Homogenní systém lineárních rovnic, které odpovídají podmínce (1) má pro matice druhého řádu tvar:

a21 x12 + a12 x21 = 0 (3) -a12 x11 + (a11-a22) x12 + a12 x22 = 0

a21 x11 + (a22 – a11) x21 – a2 1x22 = 0 a21x12 -a12 x21 = 0

Matice S soustavy (3) je čtvercová matice 4. řádu tvaru:

Po úpravě této matice na schodovitý tvar obdržíme následující schodové matice: a12 a22-a11 0 -a12 a21 0 a22-a11 - a21 0 a21 -a12 0 nebo 0 a21 -a12 0 . . Jestliže aspoň jedno z čísel a12 a a21 je různé od nuly, pak tyto matice mají vždy hodnost 2, a tedy soustava (3) má podle Frobeniovy věty nekonečně mnoho řešení závislých na dvou parametrech α, β R. Položme x21 = α a x22 = , potom řešení soustavy můžeme vyjádřit takto:

x = ( + (a11/a21) α - (a22/a21) α, (a12/a21) α, α, ).

Tvrzení 1.

Jestliže A = (ajk), kde j, k 1, 2, pak matice X, pro kterou platí AX = XA má tvar:

(4)

Důkaz. Vypočítáme součiny AX a XA a porovnáme je.

ZAMĚNITELNĚ MATICE VE CVIČENÍ Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

157

= = XA.

V článku [G1 str.183] jsme dokázali následující dvě tvrzení, která popisují vlastnosti zaměnitelných matic. Tato tvrzení jsou schopni dokázat i šikovnější studenti 1. ročníku učitelství matematiky pro ZŠ na naší fakultě.

Tvrzení 2

Nechť X, Y jsou libovolné různé matice druhého řádu zaměnitelné s maticí A. Pak matice X je zaměnitelná s maticí Y.

Tvrzení 3.

Nechť X, Y jsou dvě různé matice zaměnitelné s maticí A. Pak matice

Z = kX + lY, kde k, l R, je také zaměnitelná s maticí A.

3. Popis a-didaktické situace

Výsledky výše zmíněné teorie můžeme aplikovat ve cvičení z lineární algebry ve druhém semestru interního studia učitelství matematiky pro základní školy. Pro studenty můžeme připravit tak zvanou a-didaktickou situaci tak, že každá dvojice studentů dostane jinou čtvercovou matici A druhého řádu a má za úkol k ní určit všechny matice s ní zaměnitelné. Uveďme si jeden konkrétní příklad. Určete všechny matice zaměnitelné s maticí:

A = .

Nejprve sestavíme rovnici:

.

Po vynásobení matic a po porovnání odpovídajících prvků obdržíme následující soustavu rovnic:

2x +5z = 2x + y 2y + 5t = 5x+3y x+3z = 2z+t y+3t = 5z+3t.

JIŘINA NOVOTNÁ

158

Po úpravě dostáváme: -y +5z = 0

-5x -y +5t = 0 x + z - t = 0

y -5z = 0 První řádek předchozí soustavy je mínus násobek čtvrtého řádku, rozšířenou matici soustavy můžeme tedy napsat ve tvaru:

S =

Tuto matici upravujeme na schodovitý tvar a obdržíme matici:

.

Při volbě parametru = 1, = 2 obdržíme matici

X1 = .

Stejný výsledek dostaneme, když do obecného řešení (4) dosadíme stejnou hodnotu parametrů, což umožňuje určit řešení úloh zadaným studentům, aniž bychom všechny soustavy rovnic vytvářeli a řešili. Vynásobením se studenti snadno přesvědčí, že matice X1 je zaměnitelná s maticí A.

Studenti si při řešení této úlohy uvědomí, že množina matic, která je zaměnitelná s danou maticí je nekonečná a tvoří 2-dimenzionální podprostor W vektorového prostoru R4 všech uspořádaných čtveřic reálných čísel. Přesto existuje nekonečně mnoho matic, kde vektor (a11, a12, a21, a22) náleží do vektorového prostoru W - R4. Je zajímavé, že mnozí studenti si původně mysleli, že daná čtvercová matice komutuje pouze s maticí nulovou, jednotkovou a pokud je regulární, tak i s maticí inverzní. Studenti byli překvapeni, že jsem znala řešení všech úloh. Byli zvědavi, zda jsem propočítala všechny úlohy. Když si uvědomili, jak jsem využila obecné řešení, najednou jim už nepřipadalo obtížné a zbytečné, dokonce se někteří přihlásili, že doma dokáží tvrzení 1, 2 a 3 a své výsledky budou prezentovat na příští cvičení.

Při řešení poznali studenti radost „z objevu“ a věřím, že pokud budeme studenty vhodně motivovat a připravovat pro ně a-didaktické situace, budou i oni podobně vyučovat matematiku na základní škole. Jak je uvedeno ve [4] cílem vyučování matematiky by měl být šťastný člověk.

Studenty také zajímalo, jak by vypadala rozšířená matice soustavy pro zaměnitelné matice třetího, respektive n-tého řádu. U matice třetího řádu už je jasně znát její struktura, její rozklad na 9 blokových matic, z nichž je šest diagonálních.

ZAMĚNITELNĚ MATICE VE CVIČENÍ Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

159

Matice soustavy S pro matice třetího řádu má následující tvar:

Tato matice má hodnost menší nebo rovnu osmi, neboť součet prvního, pátého a desátého řádku je roven nulovému vektoru. Hodnost matice S je větší nebo rovna 4, jestliže a21 je nenulový prvek zadané matice, neboť například sloupce 1, 2, 3, a 8 jsou lineárně nezávislé, protože: s41 = s52 = s63 = a21 a s78 = -a21, přičemž a21 ≠ 0.

3. Stuktura matice S

Nyní uvedeme strukturu matice S, která je maticí soustavy AX = XA pro libovolnou čtvercovou matici A n-tého řádu. Věta 4. Ke každé čtvercové matici A n-tého řádu můžeme určit množinu matic, které jsou s danou maticí zaměnitelné, jako řešení homogenního systému rovnic, jehož matice soustavy S je čtvercová matice řádu n2 a má následující strukturu: S = (Ajk), kde j, k 1, 2, …, n a Ajk jsou čtvercové matice n-tého řádu. Jestliže j k, pak Ajk je diagonální matice, jejíž každý prvek na diagonále je roven prvku ajk matice. Jestliže j = k, pak se matice Akk pro k = 1, 2, …, n liší pouze prvky na hlavní diagonále, ostatních n2- n mají stejných a jsou následujícího tvaru. Důkaz: Struktura matice soustavy plyne z definice násobení matic a rovnosti matic.

4. Závěr

Navržený postup určení zaměnitelné matice k dané matici A je numericky mnohem jednodušší, než určování zaměnitelné matice pomocí vlastních čísel. Navíc existují programy pro řešení homogenních soustav lineárních rovnic. Z parametrického řešení je snadné sestavit matici X zaměnitelnou s maticí A a tedy určit množinu všech zaměnitelných matic s danou maticí. Shrňme tedy postup pro určení množiny zaměnitelných matic s maticí A.

JIŘINA NOVOTNÁ

160

1. Podle věty 4 sestavíme k dané matici A n-tého řádu matici S, která je řádu n2. 2. Matici S upravíme na schodovitý tvar. 3. Určíme parametrické řešení soustavy lineárních homogenních rovnic

reprezentovaných maticí S . V souladu s [2], [3] a [4] by mělo být snahou vyučujícího vzbudit zájem žáků o

matematiku a také o vzdělávání, o intelektuální práci. Tato práce by neměla být pro žáka zátěží, ale naopak by ji měl vykonávat rád. Proto je velmi důležitá motivace a my ji v matematice můžeme realizovat tak, že žákům předkládáme zajímavé a poutavé úlohy, které dokáží žáky „vtáhnout“ do řešené problematiky tak, že se jim věnují i ve svém volném čase.

Domníváme se, že příslušnou teorii zaměnitelných matic je možno studentům přiblížit a tím nejen přispět k rozvoji jejich matematických znalostí, ale i podnítit jejich zájem o studium matematiky.

LITERATÚRA

[1] Fulier, J., Šedivý, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučování matematiky, Edicía prírodovedec č.87. UKF v Nitre, 2001, ISBN 80-8050-445-8

[2] Gantmacher, F., R. Matriezen theorie, Berlin, VEB Deutcher Verlag der Wissenschaften, 1986, 654 s.

[3] Kopka, J.: Výzkumný přístup při výuce matematiky, Ústí nad Labem, UJEP, Acta Universitatis, 2004

[4] Lengyelfalusy, T.: Cieĺom vyučovania matematiky je šťastný člověk, in 3. matematický workshop. Sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. FAST VUT Brno, 2004, ISBN 80-274-2741-8

[5] Novotná, J.: Možina zaměnitelné matice, in Sborník příspěvků z 2. mezinárodní matematické konference Aplimat. Katedra matematiky SjF STU Bratislava, 2003. ISBN 80-227-18-13-0

PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykova Univerzita Poříčí 31 ČR – 603 00 Brno e-mail: novotná@ped.muni.cz

Recenzent: RNDr. Šárka Hošková, PhD e-mail: [email protected]


161

INFINITEZIMÁLY, PYTAGOROVA VETA A DĹŽKA KRIVKY

OLEG PALUMBÍNY

ABSTRACT. The paper deals with generalized Pythagorean theorem as well as an establishing of a curve lenght by means of infinitezimals.

1. Úvod I n f i n i t e z i m á l y, nazývajú sa aj n e k o n e č n e m a l é v e l i č i n y, umožňujú

stanoviť v geometrii nekonečne malé útvary. Cieľom predloženej prá-ce je pomocou nich do vyučovania matematiky na vysokých školách zaviesť 1) zovšeobecnenú Pytagorovu vetu platnú na množine pravouhlých zovše-obecnených trojuholníkov (pozri definície 2,3,4,8 a 9), 2) odvodenie dĺžky krivky pomocou infinitezimálov. Pripomíname, že nekonečne malá veličina je každá nekonečná reálna postupnosť majúca za limitu číslo nula. Analyticky to možno vyjadriť takto (tiež pozri prácu [1], definícia 5): Definícia 1. Nekonečne malá veličina (alebo tiež infinitezimál) je každá reálna postupnosť ∞

=1 nna taká, že pre ňu platí .:0 εε <≥∀∈∃>∀ namnNm

Definícia 2. Zovšeobecnená úsečka je ľubovoľná postupnosť ∞=1 nnU , kde nU sú

úsečky. Definícia 3. Dĺžka zovšeobecnenej úsečky ∞

=1 nnU je postupnosť ∞=1 nnu , kde 0>nu je

dĺžka úsečky .nU

Teda dĺžka zovšeobecnenej úsečky nie je vo všeobecnosti reálne číslo, ale kladná reálna postupnosť (to je taká postupnosť, že existuje index i tak, že všetky jej členy s väčším indexom ako i sú kladné; tiež pozri [1], definícia 6). Ak však zovšeobecnená úsečka je postupnosť rovnakých úsečiek ∞

=1 nU , potom jej dĺžka je konštantná postupnosť ∞=1 nu ; v

tomto prípade stotožňujeme úsečky U a ∞=1 nU ako aj ich dĺžky u a ∞

=1 nu .

Definícia 4. Nekonečne malá úsečka je taká zovšeobecnená úsečka ∞=1 nnU , že jej

dĺžka je infinitezimál.

Definícia 5. Zovšeobecnený interval je ľubovoľná postupnosť ∞=1 nnI , kde nI sú

intervaly.

Definícia 6. Dĺžka zovšeobecneného intervalu ∞=1 nnI je postupnosť ∞

=1 nni , pričom 0>ni je dĺžka intervalu .nI

OLEG PALUMBÍNY

162

Definícia 7. Nekonečne malý zovšeobecnený interval je taký zovšeobecnený interval ∞

=1 nnI , že jeho dĺžka ∞=1 nni je infinitezimál.

Poznámka 1. Dôležitou triedou nekonečne malých intervalov budú (do seba zapadajúce) nekonečne malé intervaly tvaru ∞

=+

1,

nnixx , pričom platí 0>ni ,

.,0lim ∞→= nin Ak nekonečne malú dĺžku ∞=1 nni tohto nekonečne malého intervalu

označíme symbolom ,dx potom tento interval budeme značiť symbolom .d, xxx +

Poznámka 2. Podobne by sme mohli zaviesť aj ďalšie nekonečne malé útvary, napríklad nekonečne malý uhol (a jeho nekonečne malú veľkosť; pozri [2], definícia 5 a 6).

2. Zovšeobecnená Pytagorova veta

Klasický trojuholník so stranami CBA ,, , ktoré sú klasické úsečky, budeme označovať symbolom ).,,( CBAT

Definícia 8. Postupnosť trojuholníkov ∞=1),,( nnnnn CBAT budeme nazývať

zovšeobecnený trojuholník.

Definícia 9. Zovšeobecnený trojuholník ∞=1),,( nnnnn CBAT , pričom nT sú pravouhlé

trojuholníky s odvesnami nn BA , a preponou nC , budeme nazývať pravouhlý

zovšeobecnený trojuholník s odvesnami ∞=

∞= == 11 , nnnn BBAA

a preponou . 1∞== nnCC

Dĺžky strán nnn CCBBAA ,,,,, budeme po rade značiť .,,,,, nnn ccbbaa Názvy "odvesna" a "prepona" v definícii 9 sú oprávnené, lebo platí nasledujúca

Veta 1 (Zovšeobecnená Pytagorova veta). Nech ∞=1),,( nnnnn CBAT je pravouhlý

zovšeobecnený trojuholník s odvesnami BA, a preponou C . Potom platí .222 cba =+ Dôkaz. Keďže ∞

=1),,( nnnnn CBAT je pravouhlý zovšeobecnený trojuholník s odvesnami BA, a preponou ,C potom platí, že ),,( nnnn CBAT sú pravouhlé trojuholníky s odvesnami nn BA , a preponou .nC S využitím klasickej Pytago-rovej vety pre každé Nn∈ potom dostávame

, 2

12

122

111122 ccbabbaaba nnnnnnnnnnnnn ==+=⋅+⋅=+ ∞

=∞=

∞=

∞=

∞=

∞=

pričom sme využili definíciu zovšeobecnenej úsečky a algebraických operácií s postupnosťami ∞

=∞= 11 , nnnn ba (kladieme , 111

∞=

∞=

∞= +=+ nnnnnnn baba po-dobne

∞=

∞=

∞= ⋅=⋅ 111 nnnnnnn baba ; tiež pozri [1], definícia 1 a 2), q.e.d.


163

3. Rektifikácia krivky pomocou infinitezimálov

V klasickej analýze existuje viacero možností ako definovať dĺžku krivky. Jedna z nich je táto: Definícia A. Dĺžka krivky je ,sup M kde M je množina dĺžok všetkých lomených čiar (skladajúcich sa z konečného počtu úsečiek) vpísaných danej krivke.

Táto definícia je založená na nasledujúcom princípe, ktorý reflektuje naše skúsenosti z okolitého priestoru.

Princíp A. Úsečka spájajúca dva rôzne body v rovine má menšiu (alebo rovnú) dĺžku ako krivka spájajúca tieto dva body.

Princíp A sa už v ďalších úvahách nezdôvodňuje; jednoducho sa pokladá za a priori platný. Nekonečne malé veličiny umožňujú nahradiť princíp A nasle-dujúcim tvrdením:

Princíp B. Dĺžku krivky na nekonečne malom intervale definujeme ako dĺžku jej dotyčnice na tomto intervale.

Tu treba poznamenať, že x -ová súradnica dotykového bodu dotyčnice je ľavá hranica (je to reálne číslo) nekonečne malého intervalu xxx d, + . Na základe princípu B môžeme k definícii dĺžky krivky dospieť nasledujúcou úvahou: Pre jednoduchosť predpokladajme, že krivka K je spojito diferencovateľná funkcia )(xf definovaná na kompaktnom intervale ,,, baba < kde hranice daného

intervalu sú reálne čísla. Nech nezáporná funkcia )(xs definovaná na intervale ba,

udáva dĺžku krivky K na intervale .,, bxaxa ≤≤ Zrejme je .0)( =as Uvažujme

nekonečne malý interval xxx d, + , kde xd je kladný infi-nitezimál. Zvoľme

pevne ).,( bax∈ Dĺžku krivky K na intervale xxx d, + mô-

žeme pomocou funkcie )(xs vyjadriť takto (kladieme ( ) ,)( 11∞=

∞= = nnnn afaf definujeme

diferenciál ),()d()(d xfxxfxf −+= pričom platí, že ∞== 1d nnix a súčet

∞=

∞= +=+ 11 d nnn ixxx ; tiež pozri [1], definícia 7 a 8):

).(d)()d( xsxsxxs =−+ (1)

Dĺžka dotyčnice na nekonečne malom intervale xxx d, + je vlastne dĺžka pre-pony pravouhlého zovšeobecneného trojuholníka, kde dĺžka jednej odvesny je dĺžka intervalu

xxx d, + , t.j. infinitezimál xd , dĺžka druhej odvesny je infini-tezimál xxf d)(′ (je to

vzdialenosť y -ových súradníc bodu ))(,( xfx krivky K a bodu )d)()(,d( xxfxfxx ′++ dotyčnice; symbol )(xf ′ je derivácia funkcie f v bode x ). Zovšeobecnená Pytagorova veta hovorí, že dĺžka dotyčnice na intervale xxx d, + sa rovná infinitezimálu

OLEG PALUMBÍNY

164

( ) ( ) .d.)(1d)()d( 222 xxfxxfx ′+=′+ (2) Zároveň použitím princípu B dostávame, že nekonečne malé veličiny tvoriace výrazy v (1) a (2) sú rovnaké, t.j. platí

( ) xxfxs d.)(1)(d 2′+= . (3) Ak obe strany vo vzťahu (3) vydelíme kladným infinitezimálom xd , stotožníme zlomok

xxs

d)(d

s deriváciou )(xs′ (lebo ich rozdiel je podľa [1], poznámky 6, nekonečne malá

veličina), dostaneme tak nasledujúcu rovnosť

( ) .)(1)( 2xfxs ′+=′ (4) Na základe vzťahu (4) môžeme vysloviť definíciu dĺžky krivky K tak, že ur-číme základnú vlastnosť vyjadrenú pomocou diferenciálnej rovnice, ktorú musí funkcia dĺžky )(xs spĺňať:

Definícia B. Dĺžka krivky K je nezáporná funkcia )(xs definovaná na intervale ba,

spĺňajúca v ňom Cauchyho úlohu ( ) .0)(,)(1)( 2 =′+=′ asxfxs

Pomocou definície B už ľahko sformulujeme a dokážeme teorému, pomocou ktorej

budeme počítať dĺžku krivky: Veta 2 (O výpočte dĺžky krivky). Nech )(xf je spojite diferencovateľná funkcia na intervale .,, baba < Ak krivka K je určená grafom funkcie )(xf na intervale ,,ba

potom pre dĺžku )(xs krivky K na intervale ,, xa kde bax ,∈ , platí vzorec

( ) .d)(1)( 2 uufxsx

a∫ ′+=

Dôkaz. Integráciou rovnosti (4) na intervale xa, , kde bax ,∈ , dostaneme

rovnosť

( ) .d)(1)()( 2 uufasxsx

a∫ ′+=−

Avšak v súlade s definíciou B funkcie )(xs máme ,0)( =as q.e.d.


165

Poznámka 3. Výpočet dĺžky krivky sa nazýva aj r e k t i f i k á c i a krivky. Základ tohto termínu je latinské slovo "recta", čo znamená "priamka". Pojem "rektifikácia" by sa teda dal preložiť ako "spriamkovanie". Jeho podstatou je nahradenie krivky priamkou (dotyčnicou) na nekonečne malom intervale. Až infinitezimály umožňujú exaktné vyjadrenie tejto jednoduchej myšlienky v geometrických úvahách.

LITERATÚRA

[1] PALUMBÍNY, O.: Alternatívne zavedenie nekonečne malých veličín, Zborník Seminára "Učiteľ matematiky" na KM FPV UKF Nitra (2005), 27–31

[2] PALUMBÍNY, O.: Aplikácia infinitezimálov v geometrii, Acta Math. FPV UKF Nitra, Zväzok 9 (2006), 39–44.

doc. RNDr. Oleg Palumbíny, CSc. Ústav aplikovanej informatiky a matematiky Materiálovotechnologická fakulta Slovenská technická univerzita v Bratislave Hajdóczyho 1 Sk - 917 24 Trnava e-mail: [email protected]



167

MATEMATICKÁ INDUKCIA NA KONEČNÝCH MNOŽINÁCH

OLEG PALUMBÍNY – DANIEL PALUMBÍNY

ABSTRACT. The paper deals with a mathematical induction on finite sets.

V matematickej praxi sa často používa matematická indukcia ako dôkazová metóda na množine všetkých prirodzených čísel. Menej je známe, že ju možno použiť aj na konečných množinách. Cieľom nášho článku je zavedenie matematickej indukcie pre konečné množiny do vyučovacieho procesu na vysokých školách. Teoretické základy pre toto zavedenie tvoria predmet nasledujúcich úvah. Chceme ešte poznamenať, že množinu všetkých prirodzených čísel (t.j. množinu všetkých kladných celých čísel) budeme v celej práci označovať symbolom .N Definícia 1. O lineárne usporiadanej množine hovoríme, že je dobre usporiadaná, ak každá jej neprázdna podmnožina má najmenší prvok. Definícia 2. Množinu : nkMkU n <∈= budeme nazývať úsek lineárne usporiadanej množiny M prislúchajúci prvku n . Definícia 3. Nech M je lineárne usporiadaná množina, nech Myx ∈, sú také, že platí

yx < a zároveň neexistuje také ,Mz∈ že .yzx << Potom prvok x sa nazýva bezprostredný predchodca prvku y v danom lineárnom usporiadaní. Budeme ho označovať symbolom y` .

Definícia 4. Nech M je dobre usporiadaná množina. Potom najmenší prvok tejto množiny v tomto usporiadaní budeme označovať symbolom .u Nasledujúce tvrdenia, známe z teórie dobre usporiadaných množín, nebudeme dokazovať: Veta 1. Každú konečnú množinu možno dobre usporiadať. Veta 2. Ku každému prvku ux ≠ dobre usporiadanej konečnej množiny existuje jeho bezprostredný predchodca x .


168

Na základe predchádzajúcich tvrdení dokážeme dve vety o matematickej in-dukcii na konečných množinách: Veta 3 (Prvá veta o indukcii). Nech K je konečná dobre usporiadaná množina. Nech u je najmenší prvok tejto množiny. Nech )(xV znamená, že prvok Kx∈ má vlastnosť

.V Nech sú splnené nasledujúce dve podmienky: (1) platí ),(uV

(2) ak Kxu ∈≠ je ľubovoľný taký prvok, že )`( xV , potom platí )(xV .

Potom pre každý prvok Kx∈ platí ).(xV

Dôkaz. Budeme postupovať nepriamo. Nech sú splnené oba horeuvedené predpoklady a nech neplatí tvrdenie vety. To znamená, že existuje taký prvok Ky∈ , že neplatí ).(yV Nech KL ⊆ je množina všetkých tých prvkov množiny K ktoré nemajú vlastnosť

.V Zrejme Ly ∈ , preto L je neprázdna. Pretože K je dobre usporiadaná, existuje najmenší prvok množiny .L Označme ho symbolom x . Z podmienky (1) vyplýva, že

.ux ≠ Podľa vety 2 existuje existuje k nemu bezprostredný predchodca x . Vzhľadom na definíciu množiny L platí, že )`( xV , čo protirečí vlastnosti (2), q.e.d.

Veta 4 (Druhá veta o indukcii). Nech K je konečná dobre usporiadaná množina. Nech u je najmenší prvok tejto množiny. Nech )(xV znamená, že prvok Kx∈ má vlastnosť .V Nech pre každý úsek KU x ⊆ platí, že ak pre každý prvok xUy∈ platí

)(yV , potom platí tiež ).(xV Potom pre každý prvok Kx∈ platí ).(xV

Dôkaz. Budeme postupovať nepriamo. Nech sú splnené horeuvedené predpoklady a nech neplatí tvrdenie vety. To znamená, že existuje taký prvok Ky∈ , že neplatí ).(yV Nech KL ⊆ je množina všetkých tých prvkov množiny K ktoré nemajú vlastnosť

.V Zrejme Ly ∈ , preto L je neprázdna. Pretože K je dobre usporiadaná, existuje najmenší prvok množiny .L Označme ho symbolom x . Ak ux = , potom xU je prázdna množina. To znamená, že všetky prvky z úseku xU majú vlastnosť ,V čo odporuje predpokladu. Ak ,ux ≠ potom vzhľadom na definíciu množiny L platí, že všetky prvky xUy∈ majú vlastnosť V , čo opäť protirečí predpokladu, q.e.d. Ako ukážku použitia odvodenej teórie dokážeme pomocou prvej vety o in-dukcii nasledujúce tvrdenie z kombinatoriky: Propozícia. Nech symbol )(nVk označuje počet všetkých variácií bez opako-vania k-tej triedy danej n-prvkovej množiny. Potom platí

).1.().2).(1.()( +−−−= knnnnnVk

MATEMATICKÁ INDUKCIA NA KONEČNÝCH MNOŽINÁCH

169

Dôkaz. Nech n je pevne zvolené prirodzené číslo. Z predpokladov vety zrejme vyplýva platnosť obmedzujúcej podmienky .nk ≤ Označme symbolom K množinu všetkých prirodzených čísel spĺňajúcich nerovnosti .1 nk ≤≤ Naša propozícia bude dokázaná, ak pre každý prvok Kk ∈ ukážeme, že platí formula

).1.().2).(1.()( +−−−= knnnnnVk Pretože množina K je konečná (obsahuje n prvkov) a dobre usporiadaná (podľa vety 1), môžeme ako dôkazovú metódu použiť prvú vetu o indukcii: (1) Nech 1=k . Ak dosadíme toto k do horeuvedeného vzorca, dostaneme, že

.)(1 nnV = Táto rovnosť platí, lebo )(1 nV podľa definície znamená počet všetkých usporiadaných „jedníc“ z n-prvkovej množiny a tých je zrejme n. (2) Bez problémov nahliadneme platnosť nasledujúcej rekurentnej formuly

)).(()(1 knnVnV kk −=+ pre všetky .nKk −∈ Naozaj, z každej variácie k-tej triedy (ktorou je usporiadaná k-tica) totiž získame pridaním ďalšieho nepoužitého prvku n-prvkovej množiny (tých je kn − ) kn − variácií )1( +k -ej triedy. Na základe tohoto výsledku už ľahko vykonáme indukčný krok

))(1.().2).(1.()).(()(1 knknnnnknnVnV kk −+−−−=−=+ .

Pravá strana poslednej rovnosti je však vzorec pre ),(nVs kde ,1+= ks q.e.d.

Poznamenávame, že podrobnejšie sa s týmto dôkazom možno oboznámiť v stredoškolskej učebnici [4]. Poznámka 1. V tejto súvislosti je zaujímavé uviesť, že kým druhú vetu o indukcii je možné použiť ako dôkazovú metódu v každej usporiadanej množine, prvú vetu o indukcii je možné použiť len ak K je konečná dobre usporiadaná množina alebo ak K je nekonečná dobre usporiadaná množina typu ω (čo je najmenšie transfinitné ordinálne číslo). Takou je napr. množina všetkých prirodzených čísel s prirodzeným usporiadaním. Je to tak preto, lebo ak má dobre usporiadaná množina ordinálne číslo väčšie ako ω , potom existuje taký prvok danej dobre usporiadanej množiny, ktorý nemá bezprostredného predchodcu. Poznámka 2. Dôkaz matematickou indukciou pre konečné množiny možno vykonať aj transformáciou na dôkaz matematickou indukciou na množine všetkých prirodzených čísel. Transformácia spočíva v tomto: Predpokladajme, že je daná nejaká konečná dobre usporiadaná množina ,1: nkNkK ≤≤∈= kde Nn∈ je pevne zvolené číslo. Chceme dokázať, že každé Kk ∈ má vlastnosť ,V t.j. že platí všeobecný výrok

).(: kVKk ∈∀ Definujme pre každé Nk ∈ výrokovú funkciu )(kW predpisom

.,,,3,2,1),()(,),()(

…… rnnnnKNknVkWKkkVkW

++++=−∈=∈=


170

Teraz stačí dokázať matematickou indukciou na množine N všeobecný výrok ).(: kWNk ∈∀ Z neho potom bezprostredne vyplýva platnosť všeobecného výroku ).(: kVKk ∈∀ Podrobnosti o tejto metóde možno nájsť napr. v učebnici diferenciálneho

počtu [2]. Poznámka 3. Dôkaz matematickou indukciou možno (po príslušnej modifikácii) použiť aj pre také lineárne usporiadané množiny ktoré nie sú dobre usporiadané. Napríklad dôkaz matematickou indukciou možno použiť v spojito usporiadanej množine (ako je napr. množina všetkých reálnych čísel s prirodzeným usporiadaním). Vtedy hovoríme o tzv. indukcii v kontinuu. Podrobnosti o nej možno nájsť napr. v článku [3]. Poznámka 4. V predloženej práci sme pomocou matematickej indukcie dokazovali, že vlastnosť V má každý prvok p e v n e z v o l e n e j konečnej dobre usporiadanej množiny. V teórii množín sa ako dôkazová metóda často používa tzv. princíp indukcie pre konečné množiny, pomocou ktorého možno dokázať, že v š e t k y konečné množiny majú vlastnosť .V Podrobnosti možno nájsť napr.v publikácii [1].

LITERATÚRA

[1] BALCAR, B.—ŠTĚPÁNEK, P. : Teorie množin, Academia, Praha 1986.

[2] JARNÍK, V. : Diferenciální počet I, Academia, Praha 1974.

[3] PALUMBÍNY, O. : On mathemtical induction, Acta Math. FPV UKF Nitra, Zväzok 7 (2004), 111–115.

[4] SMIDA, J. : Kombinatorika pre gymnáziá, SPN, Bratislava 1989.

doc. RNDr. Oleg Palumbíny, CSc. Ústav aplikovanej informatiky a matematiky, Materiálovotechnologická fakulta, Slovenská technická univerzita v Bratislave, Hajdóczyho 1, Sk - 917 24 Trnava e-mail: [email protected]

doc. RNDr. Daniel Palumbíny, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]



GAM č. VIII/2007/FPV 171

NIEČO O GEOMETRII NA 1. STUPNI ZÁKLADNEJ ŠKOLY

SOMETHING ABOUT GEOMETRY AT THE FIRST LEVEL OF ELEMENTARY SCHOOLS

GABRIELA PAVLOVIČOVÁ

ABSTRACT. In the article we present practical tasks oriented on the introduction of circumference and area at the first level of elementary schools. The solution of these tasks may help better understanding of these concepts and their mutual relations.

Úvod

Žiaci sa so základnými geometrickými pojmami ako sú napríklad: bod, priamka, úsečka, dĺžka úsečky, obvod, obsah geometrických útvarov, oboznamujú už na 1. stupni základnej školy. Je dôležité, aby sa už na tejto prvotnej úrovni naučili chápať jednotlivé pojmy nie izolovane, ale vo vzťahu k ostatným, a aby vedeli k nim priraďovať konkrétne geometrické predstavy. V článku uvádzame praktické úlohy na obvod a obsah na 1. stupni základnej školy. Riešenie týchto úloh môže pomôcť k lepšiemu chápaniu týchto pojmov a ich vzájomných vzťahov. Dôraz kladieme nie na naučenie vzorcov vedúcich k ich výpočtu, ale na hlbšie prepojenie týchto pojmov s konkrétnymi geometrickými modelmi a manipuláciou s nimi.

1 Vyučovanie geometrie na 1. stupni základnej školy

Vyučovanie geometrie sa na 1. stupni základnej školy podieľa na harmonickom rozvoji priestorovej predstavivosti, logického myslenia a utvárania návykov pre praktické aplikácie. Jeho základnou úlohou je formovanie jasných predstáv a vedomostí o geometrických útvaroch, pričom vychádzame z predstáv a poznatkov detí predškolského veku. Detské predstavy o geometrických útvaroch a ich vzájomnej polohe sa postupne upresňujú a približujú realite. Pri vyučovaní geometrie je potrebné voliť vhodné metódy a formy práce tak, aby vybudované poznatky neboli formálne, teda aby sa žiaci naučili spájať názvy a obrazy geometrických útvarov s konkrétnou predstavou alebo s reálnym modelom útvaru. Preto je pri vyučovaní geometrie potrebné používať rôzne názorné pomôcky, napríklad geometrické modely zhotovené z rôzneho materiálu, plagáty, náčrty na tabuli, predmety z okolia žiakov a vhodný didaktický softvér. Nové pojmy z geometrie nezavádzame definíciami, ale požadujeme, aby sa žiaci na základe praktických činností, pozorovaním, experimentovaním, sami dopracovali k pojmom intuitívne. Pritom vedieme žiakov k objavovaniu nových poznatkov, učíme ich logicky triediť a aplikovať získané vedomosti v rôznych konkrétnych situáciách so zreteľom na úroveň myslenia žiakov.

Podľa súčasných učebných osnov sa žiaci oboznamujú s geometrickým učivom postupne od prvého ročníka takto: 1.ročník Naučia sa rozlišovať geometrické tvary: trojuholník, kruh, štvorec, obdĺžnik,

kocka guľa, valec, rozlišovať a kresliť rovné a krivé čiary, otvorené a uzavreté čiary, získavajú prvé zručnosti s narábaním s rysovacími pomôckami.


172

2.ročník Naučia sa rysovať a vyznačovať priamku, úsečku, body v rovine a na priamke, rysovať úsečku danej dĺžky a porovnávať úsečky podľa ich dĺžky (numericky aj graficky), spoznajú jednotky centimeter a meter.

3.ročník Spoznajú jednotky dm, mm, km a ich premieňanie, naučia sa rysovať a rozoznávať kružnicu a kruh (polomer, priemer kružnice), rysovať trojuholník, štvoruholník a pomenovať ich vrcholy a strany (počítať ich obvod), štvorec a obdĺžnik rysujú len vo štvorcovej sieti.

4.ročník Naučia sa rysovať kolmice a rovnobežky pomocou trojuholníka s ryskou, spoznajú pravý uhol, grafický súčet, rozdiel a násobok úsečky (obvod mnohouholníka), rysovanie štvorca a obdĺžnika, výpočet obsahu trojuholníka, obdĺžnika a štvorca vo štvorcovej sieti.

2 Obvod a obsah na 1. stupni základnej školy

Obvod mnohouholníka je súčet dĺžok jeho strán. Môžeme ho určiť dvoma spôsobmi: 1. zostrojením grafického súčtu jeho strán (numericky), 2. odmeraním dĺžok jeho strán a ich spočítaním (graficky).

Žiakov je potrebné viesť k tomu, aby si uvedomili hranicu mnohouholníka, a potom buď prenášaním úsečiek alebo priamo meraním zistili jeho obvod. Je vhodné používať štvorcovú sieť, pričom strana základného štvorca je jednotková úsečka.

Na výpočet obsahu obrazcov na 1. stupni využívame štvorcovú sieť, pričom si vopred zvolíme jeden jej štvorec za jednotku obsahu. Obsah mnohouholníka štvorcovej siete sa potom rovná počtu jednotkových štvorcov, ktorých zjednotením je daný mnohouholník. Špeciálne sa neskôr zameriame na obsah štvorca, obdĺžnika a pravouhlého trojuholníka.

Podľa aktuálnych učebníc matematiky sa s obvodom žiaci stretávajú v 3. ročníku ako s jedným z pojmov strana, vrchol trojuholníka a štvoruholníka. S obvodom aktívne však nepracujú, naučia sa len , že je to súčet dĺžok strán mnohouholníka, ktoré zistíme meraním. Riešia aj slovné úlohy na porovnanie obvodov dvoch útvarov, ak sú dané dĺžky ich strán. Vo štvrtom ročníku ďalej určujú obvod trojuholníka, štvorca a obdĺžnika konštrukčne, teda ako grafický súčet ich strán. S obsahom obrazcov sa stretnú vo 4. ročníku, pričom majú znázornený štvorec s označením 1cm2, ktorý tvorí základ štvorcovej siete a úlohou je určovať obsah štvorcov, obdĺžnikov a takých trojuholníkov, ktoré vzniknú rozdelením obdĺžnika pomocou jeho uhlopriečky. So vzorcami na výpočet obvodov a obsahov sa žiaci neoboznamujú.

3 Zaujímavé úlohy

Nasledujúce úlohy pomáhajú k pochopeniu vzťahov medzi objemom a obsahom. Konkrétne k uvedomeniu si, že obrazce s rovnakým obvodom majú rôzny obsah a naopak, že obrazce rôzneho tvaru môžu mať rovnaký obsah alebo rovnaký obvod. Úlohy je vhodné zaradiť v rámci skupinového vyučovania, pričom žiaci vlastnou experimentálnou činnosťou objavujú tieto vzťahy.

ÚLOHA 1(rovnaký obvod - rôzny obsah) Gazda chce ohradiť pre svoje kačičky miesto na dvore, aby im ostatné zvieratká nebrali potravu. Z dreva si narezal 16 rovnakých latiek a pustil sa do práce. No skôr ako začal stavať plot rozmýšľal, aký bude mať tvar, aby mali kačičky na dvore čo najviac ohradeného miesta. Pomôžeš mu, ak gazda môže použiť len 16 pripravených latiek? Pomôcky: drevené špajdle alebo zápalky rovnakej dĺžky napr.5cm (aspoň 20 kusov), štvorcová sieť s dĺžkou strany základného štvorca rovnou dĺžke špajdle.


173

Postup • vyber si 16 špajdlí, ktoré budú predstavovať drevené latky

• na štvorcovej sieti, ktorá predstavuje gazdov dvor, vytváraj rôzne tvary uzavretej

ohrady a spočítaj koľko štvorcov tak ohradíš, • všetky návrhy si zakresli a hľadaj taký tvar, ktorý ohradí čo najväčšiu plochu

a) S=11 štvorcov

b) S=8 štvorcov

c) S=10 štvorcov

d) S=16 štvorcov

e) S=15 štvorcov f) S=11 štvorcov g) S=11 štvorcov Riešenie: Maximálnu plochu ohradíme tvarom štvorca, ktorý má na jednej strane štyri špajdle. Metodické poznámky Je potrebné žiakov upozorniť, že: • rovnaký počet špajdlí pri rôznych tvaroch ohrady znamená, že všetky tvary majú

rovnaký obvod, a to 16 zvolených jednotiek dĺžky, • počet ohradených štvorcov predstavuje obsah ohradenej plochy, • obsah môže byť pri rôznych tvaroch rôzny, ale to stále neplatí (viď prípady a) f) g)), • niektoré navzájom rôzne tvary môžu mať rovnaký obvod aj obsah, • pri inom počte špajdlí môžeme dostať iné riešenie ako je tvar štvorca.

Ďalšie aplikácie úlohy • zistite, prečo v riešeniach a)f)g) majú vzniknuté tvary rovnaký obsah, • vypočítajte koľko cm má obvod štvorca, ak jedna špajdľa meria 5cm, 7cm, 15cm, • skúste riešiť túto úlohu s 18, 19, 20 špajdľami, • zistite, pri akých iných obvodoch je riešením úlohy tvar štvorca.

ÚLOHA 2 (rovnaký obsah - rôzny obvod) Mamička chce vytvoriť peknú farebnú dekoráciu z látky do bytu. Vystrihla si 8 rovnakých štvorcov z rôznych látok a pripravila dlhú zlatú stuhu. Zošitím štvorcov po ich stranách chcela vytvoriť taký tvar, aby ho mohla olemovať čo najdlhšou zlatou stuhou. Pomôžeš jej vytvoriť takúto dekoráciu a zistiť akú dlhú stuhu bude na ňu potrebovať? Pomôcky: rôznofarebné štvorce rovnakej veľkosti vystrihnuté z papiera (aspoň 10 kusov) s dĺžkou strany napr. 5cm.


174

Postup • vyber si 8 štvorcov, ktoré budú predstavovať štvorce z látky

• spájaním štvorcov celými stranami vytváraj rôzne tvary a počítaj, akú dlhú stuhu

potrebuješ na ich olemovanie, • všetky návrhy si zakresli a hľadaj taký tvar, na olemovanie ktorého budeš

potrebovať čo najdlhšiu stuhu

a) o=16

b) o=14

c) o=18

d) o=12

e) o=18

f) o=18 Riešenie: Najdlhšia možná stuha bude mať dĺžku 18-tich strán štvorca. Dekorácia môže mať tvar e) obdĺžnika, tvary c) f), ale aj iné tvary. Metodické poznámky Je potrebné žiakov upozorniť, že: • dĺžka stuhy na olemovanie predstavuje obvod vzniknutých tvarov, • rovnaký počet štvorcov pri rôznych tvaroch dekorácie znamená, že všetky tvary

majú rovnaký obsah, a to 8 zvolených jednotkových štvorcov, • obvod môže byť pri rôznych tvaroch rôzny, to záleží na počte spoločných strán

štvorcov • aj pri inom počte štvorcov bude jedným z riešení tvar obdĺžnika.

Ďalšie aplikácie úlohy • nájdite ďalšie tvary, ktoré môžu byť riešením tejto úlohy, • zistite, prečo v riešeniach c) e) a f) majú vzniknuté tvary rovnaký obvod, • zistite, koľko spoločných strán musia mať štvorce, aby vznikol maximálny obvod, • vypočítajte koľko cm má obvod vzniknutých tvarov, ak jeden štvorec má dĺžku

strany 5 cm, • vypočítajte koľko cm2 má obsah vzniknutých tvarov, ak jeden štvorec má dĺžku

strany 5 cm, 6cm, 10cm, • zistite, aký maximálny obvod bude pri počte štvorcov 10, ak pri deviatich sa obvod

rovná 20 • skúste nájsť pravidlo, podľa ktorého určíme maximálny obvod pri ľubovoľnom

počte štvorcov.


175

Posledná z uvedených úloh je náročnejšia, a preto uvádzame jej riešenie: ⎯ vidíme, že pri danom počte štvorcov je maximálny obvod pri tvare obdĺžnika, ktorý

získame pospájaním štvorcov v rade vedľa seba ⎯ takýto obdĺžnik má dĺžku určenú počtom štvorcov a jeho šírka je stále 1 ⎯ obvod obdĺžnika je súčtom dĺžok jeho strán

Ak je počet štvorcov=9 maximálny obvod o=20=2.9 +2.1 počet štvorcov=10 maximálny obvod o=22=2.10+2.1 počet štvorcov=15 maximálny obvod o=32=2.15+2.1 počet štvorcov=101 maximálny obvod o=204=2.101+2.1 Hľadané pravidlo pre maximálny obvod teda je o = 2.(počet štvorcov) +2

Záver

Uvedené úlohy majú široké použitie, ktoré záleží len na voľbe učiteľa a jeho tvorivosti. Pri riešení týchto úloh môžeme vysvetliť žiakom nové pojmy, ako sú: obvod, jednotková dĺžka, jednotkový štvorec, obsah, alebo sa v ich vedomosti utvrdzovať. Môžeme ich však použiť aj vo vyšších ročníkoch a nie len pri vyučovaní geometrie. Vzťah medzi obvodom a obsahom môžeme poslúžiť napríklad ako geometrický model pri vyučovaní iných tematických celkov napr. pri funkciách.

Pri vyučovaní matematiky je veľmi dôležité nie len to čo žiakom povieme, ale hlavne ako to povieme. A aj v tom je čaro vyučovania matematiky.

LITERATÚRA

[1] Šedivý, O. -Križalkovič, K.: Didaktika matematiky pre štúdium učiteľstva 1. stupňa ZŠ, Bratislava, SPN, 1990, ISBN 80-08-00378-2

[2] King, A.: Pohrajme sa s matematikou, Bratislava, BELIMEX, 1999, ISBN 80 -85327-55-4

[3] www.statpedu.sk

PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Janka Drábeková, PhD. e-mail: [email protected]


177

PRÍKLADY CHÝB V POROZUMENÍ ZÁKLADNÝCH POJMOV MATEMATICKEJ ANALÝZY SKÚMANÝCH U ŠTUDENTOV

UČITEĽSTVA MATEMATIKY

ZBIGNIEW POWĄZKA

ABSTRACT. Students make a lot of errors during studying of mathematical analysis. Some of them are common for major group of students. One called it Error Beliefs. The thesis contains five examples of error beliefs.

1. Úvod

Od roku 2003 sme realizovali u študentov učiteľstva matematiky Pedagogickej akadémie v Krakove výskumy, ktoré sa týkali ich osvojovania základných pojmov matematickej analýzy.

Tieto výskumy prebiehali počas reformy školstva v Poľsku, ktorá prebiehala na všetkých stupňoch škôl.

Výber matematickej analýzy ako predmetu týchto výskumov bol ovplyvnený faktom, že matematická analýza patrí medzi základné predmety na všetkých typoch štúdia matematiky a má aplikácie v rôznych častiach matematiky.

Pokrok v jej štúdiu iste závisí od matematickej prípravy v pogymnaziálnej škole. Zavedená reforma školstva v roku 2002 v pogymnaziálnych školách spôsobila zmenšenie rozsahu vyučovania matematických pojmov, ktoré sú potrebné pre štúdium matematickej analýzy. Tento fakt poskytuje výzvy pre prednášateľov tohto predmetu najmä počas prvého ročníka vysokoškolského štúdia a zväčšuje ťažkosti takzvaného prechodu medzi pogymnaziálnou školou a vysokou školou. V súvislosti s tým úlohy preberané na cvičeniach, tempo výkladu, ako aj stupeň zovšeobecnenia prednášaného materiálu sú previazané so znalosťami študentov, s ktorými prichádzajú do prvého ročníka vysokoškolského štúdia.

Výskumy tohto typu boli realizované aj na Slovensku J. Fulierom a J. Gunčagom (Fulier, Gunčaga, 2006), ako aj Š. Tkačikom (Tkačik, 2004). Prezentácia niektorých výsledkov výskumov realizovaných J. Gunčagom na Slovensku a Z. Powązkom v Poľsku sa nachádza v časopise Dydaktyka Matematyki (Gunčaga, Powązka, 2006).

V tomto článku predstavím niekoľko charakteristických chýb v pochopení matematických pojmov študentmi rôznych ročníkov pozorovaných počas prednášok a cvičení z matematickej analýzy. V skúmanej skupine študentov sa objavili s pomerne veľkou frekvenciou. Preto ich nazývam falošnými presvedčeniami.

Pojem falošné presvedčenia zaviedla do didaktiky matematiky B. Pawlik v roku 2005 pri analyzovaní ťažkostí študentov prvého ročníka vysokoškolského štúdia na prednáškach a cvičeniach z geometrie (Pawlik 2005). Do popisu ťažkostí študentov prvého ročníka vysokoškolského štúdia na prednáškach a cvičeniach z matematickej analýzy sme ich zaviedli v roku 2006 (Powązka 2006).

V našich výskumoch sme pojem presvedčenie (belief ) prevzali zo psychológie, kde sa používa vo význame emocionálneho aspektu akceptovania akéhosi úsudku, tvrdenia alebo

ZBIGNIEW POWĄZKA

178

doktríny (Reber, 2005, s. 555). Niet divu, že chybné emocionálne reakcie na pojem alebo tvrdenie, nazývame falošné presvedčenia (errorred belief ).

Výskumným nástrojom boli súbory testových úloh, ako aj písomné práce študentov, ktoré boli vypracované počas cvičení.

Výskumná metóda spočívala na analýze produktov aktivity, t. j. prác študentov, ktorá bola zameraná na osvojenie a porozumenie nasledovných matematických pojmov: spojitosť, diferencovateľnosť, integrovateľnosť. Realizovali sme aj analýzu chýb, ktorých sa študenti dopustili.

2. Príklady falošných presvedčení V tejto časti článku predstavíme niekoľko príkladov úloh, pri riešení ktorých sa

študenti dopustili rôznych druhov vecných chýb. Ich príčinami mohli byť: a) nesprávne používaná definícia alebo tvrdenie, b) využitie nesprávneho pravidla usudzovania, c) chybná interpretácia faktov, d) neopatrné preformulovanie predtým získaného poznatku.

Príklad 1

Po prebratí diferenciálneho a integrálneho počtu funkcie jednej premennej študenti druhého ročníka učiteľstva riešili nasledujúcu úlohu: Uvažujme nasledovné podmienky: A) Funkcia f: D→R je spojitá na množine D B) Funkcia g: D→R daná vzťahom g(x) = |f(x)| je spojitá na množine D Zistite, či sú nasledovné výroky pravdivé: a) Podmienka A implikuje podmienku B. b) Podmienka B implikuje podmienku A. c) Podmienky A a B sú navzájom ekvivalentné. d) Nie je žiadna súvislosť medzi podmienkami A a B. Chyby, ktorých sa študenti druhého ročníka učiteľstva matematiky dopustili, poukazujú na to, že pojem absolútnej hodnoty je pre nich stále ťažký. Presvedčenie, že zo spojitosti funkcie f vyplýva spojitosť funkcie f (okolo 22% študentov zo skúmanej vzorky) alebo že výrok c) je pravdivý (13% študentov zo skúmanej vzorky) môže vzniknúť z používania nepravdivej ekvivalencie

(p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p). Ďalej je veľmi pravdepodobné, že študenti používali pojem zloženej funkcie alebo využívali intuitívnu predstavu osovej súmernosti podľa osi Ox a vďaka týmto úvahám sa dopustili chýb. Falošné presvedčenia tohto typu boli už skúmané a popísané v literatúre (porovnaj napríklad Czaplińska, 2003, Czaplińska, Major, 2004, Major, 2006, Major, Powązka, 2006).

Podobné ťažkosti sa objavili pri skúmaní diferencovateľnosti funkcie v absolútnej hodnote.

Príklad 2

Tento príklad bol predložený tej istej skupine študentov ako príklad 1.

PRÍKLADY CHÝB V POROZUMENÍ ZÁKLADNÝCH POJMOV …

179

Uvažujme nasledovné podmienky: A) Funkcia f: D→R je diferencovateľná na množine D. B) Funkcia g: D→R daná vzťahom g(x) = |f(x)| je diferencovateľná na množine D. Zistite, či sú nasledovné výroky pravdivé: a) Podmienka A implikuje podmienku B. b) Podmienka B implikuje podmienku A. c) Podmienky A a B sú navzájom ekvivalentné. d) Vzťah medzi podmienkami A a B záleží od tvaru funkcie f. Výsledky výskumov ukázali, že 58% študentov uviedlo chybné odpovede, pričom: • odpoveď a) uviedlo 17 osôb (15,1% študentov), • odpoveď b) uviedlo 43 osôb (38,4% študentov), • odpoveď c) uviedlo 5 osôb (4,5% študentov zo skúmanej vzorky).

Tak veľké percento nesprávnych odpovedí poukazuje na to, že študenti nedávajú do súvisu tento príklad s najjednoduchšími príkladmi, akými sú funkcie f(x) = x a g(x) = |x|. Tento prípad je tzv. hraničným prípadom.

Študenti zatiaľ nemajú upevnený pojem diferencovateľnosti funkcie v bode náležitým spôsobom.

Nesprávne použitie nespojitosti funkcie v bode v súvislosti s existenciou asymptoty bez smernice, sa stalo prameňom falošných presvedčení, ktoré dokumentuje nasledovný príklad.

Príklad 3

Skúmaní študenti riešili nasledujúcu úlohu: Funkcia f: R\ x0 → R má v bode x0 jednostranné limity. Zistite, či nasledovné výroky sú pravdivé: a) Funkcia má asymptotu bez smernice s rovnicou x = x0. b) Existencia asymptoty bez smernice je možná jedine v prípade, keď obe jednostranné limity sú nevlastné. c) Funkcia f nemá asymptotu s rovnicou x = x0, lebo x0 je izolovaným bodom, ktorý nepatrí definičnému oboru tejto funkcie. d) Ak aspoň jedna z jednostranných limít funkcie f v bode x0 je nevlastná, tak existuje asymptota bez smernice s rovnicou x = x0. Vyskytli sa nasledovné chybné odpovede: • odpoveď a) uviedlo 9 osôb (8% študentov), • odpoveď b) uviedlo 20 osôb (17,9% študentov zo skúmanej vzorky), • odpoveď d) uviedla len jedna osoba.

Výber odpovedí a) a b) poukazuje na to, že táto skupina študentov mala zle vybudovaný pojem asymptoty bez smernice. Pri svojich úvahách pravdepodobne použili nasledovné nepravdivé tvrdenie: - Ak funkcia nie je spojitá v danom bode, tak má asymptotu bez smernice v tomto bode. Študenti nevyužili vo svojich riešeniach príklady funkcií, ktoré boli s nimi preberané na prednáškach a cvičeniach:

ZBIGNIEW POWĄZKA

180

a) Funkcia f(x) = sgn x je nespojitá na množine reálnych čísel a nemá asymptotu bez smernice.

b) Funkcia

g(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠

0,0

,0,1sin

x

xx

nie je spojitá v bode x = 0 a nemá asymptotu bez smernice, ani jednostranné limity v bode x = 0.

Nižšie uvedený príklad poukazuje na to, akých chýb sa môžu študenti dopustiť, keď nepoznajú predpoklady použitého tvrdenia.

Príklad 4

Skúmanej vzorke študentov druhého ročníka učiteľstva matematiky bola predložená nasledovná úloha:

Funkcia f(x) = x1

má zápornú prvú deriváciu na svojom definičnom obore. Zistite, či

nasledujúce tvrdenia sú pravdivé. a) Funkcia f je klesajúca na svojom definičnom obore. b) Funkcia f je rastúca na svojom definičnom obore. c) Pre funkciu f nie je možné použiť tvrdenie o súvislosti znamienka prvej derivácie a monotónnosti funkcie pre jej celý definičný obor. d) Znamienko prvej derivácie určuje, či je funkcia konvexná alebo konkávna.

Viac ako 21% študentov zo skúmanej vzorky (24 osôb) vybralo odpoveď a) za správnu. Je to o to viac prekvapujúce, keď táto funkcia by mala byť študentom známa ešte počas štúdia na pogymnaziálnej škole ako príklad funkcie, ktorá nie je monotónna, ale klesajúca na každom z intervalov ( )0,∞− alebo ( )+∞,0 zvlášť. Táto chyba študentov má príčinu v tom, že študenti majú falošné presvedčenie, že monotónnosť funkcie, ktorá je diferencovateľná na danej množine, závisí na tejto množine od znamienka prvej derivácie. Pritom to platí jedine na intervale.

Jedna z najdôležitejších funkcií, preberaných na rôznych stupňoch školskej matematiky, je lineárna funkcia, ktorá je chápaná ako aditívne a rovnorodé zobrazenie vektorového priestoru X do vektorového priestoru Y. Počas vysokoškolského štúdia sa s touto funkciou študenti stretnú na prednáškach a cvičeniach z algebry a analýzy, kde X = Y = IR, pričom IR označuje množinu reálnych čísel. Lineárne zobrazenie L: IR → IR má tvar

( ) ,,\ IRxaxxL ∈ pričom a je ľubovoľné reálne číslo. Tieto funkcie poznajú žiaci už na gymnáziu a v pogymnaziálnej škole sa dozvedia, že derivácia tejto funkcie v každom bode je rovná číslu a.

Za účelom zistenia toho, či študenti tretieho ročníka učiteľského štúdia matematiky sú schopní použiť vo svojich úvahách analógiu, predložili sme im po preberaní diferencovateľnosti zobrazení Banachovho priestoru X do Banachovho priestoru Y nasledujúcu úlohu.

Príklad 5

PRÍKLADY CHÝB V POROZUMENÍ ZÁKLADNÝCH POJMOV …

181

Nech X a Y sú Banachove priestory nad poľom reálnych čísel a nech L: X → Y je spojitým lineárnym zobrazením priestoru X do priestoru Y. Zistite, či nasledujúce tvrdenia sú pravdivé: a) Zobrazenie L je diferencovateľné v ľubovoľnom bode p0 ∈ X a súčasne L'(p0)h = L(h). b) Zobrazenie L nemá v ľubovoľnom bode p0 ∈ X deriváciu orientovanú v smere ľubovoľného nenulového vektora. c) Zobrazenie L nemusí byť diferencovateľné v danom bode p0 ∈ X. d) Zobrazenie L nemusí mať v danom bode p0 ∈ X deriváciu v ľubovoľnom smere.

Očakávali sme, že táto úloha bude pre študentov veľmi ľahká. Napriek tomu 58% študentov zo skúmanej vzorky uviedlo nesprávnu odpoveď, pričom až 44,6% študentov uvádzalo, že toto zobrazenie nemusí byť diferencovateľné v ľubovoľnom bode priestoru. Tu vyvstáva otázka príčiny tohto javu.

Určite časť študentov zo skúmanej vzorky nepoznalo definíciu diferencovateľnosti zobrazenia v Banachovom priestore alebo nevedelo ju použiť v prípade lineárneho zobrazenia. Je ešte pravdepodobné, že študenti uvažovali nasledovne:

Priestor IR je modelom Banachovho priestoru, zatiaľ čo známe fakty z tohto modelu môžu inak vyzerať vo všeobecnom prípade. Preto tieto falošné presvedčenia zaraďujeme medzi také, ktoré vznikli dôsledkom neopatrného použitia analógie

Záverom chceme konštatovať, že tieto príklady majú veľký význam pre vyučujúcich na prednáškach a cvičeniach z matematickej. Poukazujú na dané spôsoby uvažovania študentov a ukazujú techniky učenia, ktoré títo študenti používajú.

LITERATÚRA

[1] Czaplińska, J., 2003, Trudności do stosowania pojęć analitycznych przez absolwentów szkół średnich podczas rozwiązywania zadania egzaminacyjnego, Disputationes Scientificae, Universitatis Catholicae in Ružomberok, Ružomberok, Katolicka Univerzita, 2003, roč. 3, č. 3.

[2] Czaplińska, J., Major, M., 2004, Some remarks on the studens knowledge of the absolute value, Mathematica, Proc. of the XIth Slovak-Czech-Polish Mathematical School, ed. Takáč Z., [XIth SCP MS, Ružomberok, June, 2-5,2004], 116 – 121.

[3] Fulier, J., Gunčaga, J., 2006, Modul matematickej analýzy v kurze ďalšieho vzdelávania učiteľov, Matematika v škole dnes a zajtra, Zborník 6, ročníka konferencie s medzinárodnou účasťou, Ružomberok, 66-74.

[4] Gunčaga, J., Powązka, Z., 2006, Badania nad wykorzystaniem pojęcia ciągłości funkcji do definiowania pochodnej funkcji w punkcie, Roczniki PTM, seria V, Dydaktyka Matematyki, 29, 5 – 28.

[5] Major, J., 2006, Uwagi na temat obrazu wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej u studentów III roku matematyki, Matematika v škole dnes a zajtra, Zborník 6, ročníka konferencie s medzinárodnou účasťou, Ružomberok, 171 – 176.

[6] Major, J., Powązka, Z., 2006, Pewne problemy dydaktyczne związane z pojęciem wartości bezwzględnej, Annales Academiae Pedagogice Cracoviensis Studia Ad Didacticam Mathematicae Pertinentia I, 163 - 185.

ZBIGNIEW POWĄZKA

182

[7] Pawlik, B., 2005, Fałszywe przekonania dotyczące przekształceń geometrycznych na płaszczyźnie w rozumowaniach studentów matematyki, Roczniki PTM, seria V, Dydaktyka Matematyki28, 365 – 376.

[8] Powązka, Z., 2006, Wyniki badań wstępnych dotyczących fałszywych przekonań w analizie matematycznej, http//fdm.e-dlaszkoly.pl/file.php/6/CD/XXSDM.

[9] Reber, A., S., Reber, E., S.: 2005, The Penguin Dictionary of Psychology, wyd.polskie, Wydawnictwo Naukowe SCHOLAR, Warszawa

[10] Tkačik Š., 2004, Spojitosť a limity trochu inak. In: Zborník konferencie Setkání kateder matematiky České a Slovenské republiky připravující budoucí učitele, Ústí nad Labem, UJEP, s. 85 – 89.

Dr Zbigniew Powązka Instytut Matematyki Akademia Pedagogiczna ul. Podchorążych 2 30 – 084 Kraków e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Ján Gunčaga, Phd. e-mail: [email protected]


183

NIEKTORÉ METRICKÉ VLASTNOSTI VZHĽADOM NA VZÁJOMNÚ POLOHU PRIAMOK

OLIVER RALÍK

ABSTRACT. In the article we demonstrate on the model of a cube the relative position of points, lines and planes, and sets of points with the same distance from two different lines are described, too.

Vzájomnú polohu bodov, priamok a rovín demonštrujeme študentom predškolskej

a elementárnej pedagogiky na kocke. Body predstavujú vrcholy kocky, priamky hrany kocky, roviny steny kocky. Geometrické útvary, ktorých body majú rovnakú vzdialenosť od dvoch priamok ukazujeme tiež na kocke. V stene kocky je množina bodov rovnako vzdialených od dvoch rovnobežných hrán stredná priečka štvorca, rovnobežná s danými hranami. Množina bodov v stene kocky rovnako vzdialených od rôznobežných hrán steny, je uhlopriečka štvorca prechádzajúca priesečníkom rôznobežných hrán a na ňu kolmá priamka prechádzajúca ich priesečníkom, ak uvažujeme stenu kocky nielen ako štvorec, ale rovinu obsahujúcu tento štvorec. Množina bodov v priestore rovnako vzdialených od dvoch rovnobežných hrán kocky je rovina súmernosti týchto hrán. Množina bodov rovnako vzdialených od dvoch rôznobežných hrán je dvojica rovín súmerností tých rôznobežiek.

Pri skúmaní bodov rovnako vzdialených od dvoch mimobežiek kocky napr. EF a BC (obrázok 1) zistíme, že takéto body vytvárajú hyperbolický paraboloid (HP).

Obr. 1

Rovina súmernosti kocky ABCDEFGH rovnobežná s dolnou a hornou podstavou pretína HP v rôznobežkách PO a p, p∋O, p ⊥ PO.

OLIVER RALÍK

184

Uhlopriečna rovina súmernosti kocky DBFH pretína HP v priamke PO. Stredom S kocky prechádzajú dve priamky HP, spomínaná PO a telesová uhlopriečka AG. Predná stena ABFE pretína HP v parabole idúcej bodom A, určenej vrcholom O a riadiacou priamkou EF. Jej ohniskom je bod B. Bočná stena BCGF pretína HP v parabole s vrcholom O, riadiacou priamkou BC, ohniskom F a prechádza bodom G.

Horná podstava pretína HP v rovnoosovej hyperbole s hlavným vrcholom G, stredom F, a jej asymptoty sú priamka HF a na ňu kolmá priamka idúca bodom F. V dolnej podstave je rezom HP rovnoosová hyperbola so stredom B a hlavným vrcholom A.

Pre lepšiu predstavivosť uvedených množín bodov je možné ku dvom kolmým mimobežkám m, n priradiť štyri kocky s hranami zhodnými s osou o mimobežiek m, n, pričom os o je spoločná týmto štyrom kockám a dve z hrán každej kocky ležia na mimobežkách m, n.

LITERATÚRA

[1] Sklenáriková, Z. – Čižmár, J.: Elementárna geometria euklidovskej roviny. Univerzita Komenského, Bratislava 2005, ISBN 80-223-2020-X.

[2] Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I. Alfa, Bratislava 1971. [3] Martinov, N. J.: Analitična geometrija. Nauka i izkustvo, Sofia, 1989. [4] Odvárko, O. a kol.: Matematika pre 2. ročník gymnázia. SPN, Bratislava 1985. [5] Šedivý, J. a kol.: Matematika pre 3. ročník gymnázia. SPN, Bratislava, 1986.

RNDr. Oliver Ralík Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Ondrej Švec, CSc. e-mail: [email protected]


Grant č. XI/2007/FPV: Aplikačné úlohy vo vyučovaní stereometrie 185

VÝSLEDKY DIDAKTICKÉHO EXPERIMENTU PREZENTOVANÉ ŠTATISTICKÝM PROGRAMOM C.H.I.C.

LUCIA RUMANOVÁ – JANKA DRÁBEKOVÁ

ABSTRACT. New view on quantitative analysis results of didactical experiment us provides statistical program C.H.I.C. It’s something new, but C.H.I.C. slowly gets in awareness of didactics. The results of experiment are representing in three graphs: Similarity tree, Implicative tree and Implicative graph, which we explain in this paper on task of solid geometry.

Úvod

V článku sa budeme venovať jednej z možností ako prezentovať kvantitatívne výsledky didaktického experimentu. Štatistický program C.H.I.C. je didaktikmi v zahraničí často používaní, no u nás je pomerne neznámy. Výsledky z experimentu, ktorý sa uskutočnil na stredných školách (3., 4. ročník; Nitra, Bratislava), sú pre spracované práve v programe C.H.I.C.

Experiment pozostával z jednej stereometrickej úlohy a zúčastnilo sa ho 108 študentov. Študenti boli vyzvaní k riešeniu úlohy všetkými možnými spôsobmi a mali použiť všetky svoje nadobudnuté vedomosti z rôznych oblastí matematiky, prípadne aj vedomosti z iných vyučovacích predmetov. Úloha bola vybratá tak, aby ju nebolo možné riešiť jednoduchým použitím niektorého z naučených algoritmov, a ktorá sa dala riešiť v rôznych teoretických rámcoch.

Úloha: Daná je kocka ABCDEFGH a body K, L, M, N tak, že Bod K je stredom podstavy EFGH, bod L je stred úsečky AB, bod M patrí úsečke AE tak, že platí

AEAM31

= a bod N patrí úsečke BG, kde BGBN31

= . Dokážte, že body K, L, M, N

ležia v jednej rovine.

Didaktické premenné pre C.H.I.C.

Pod pojmom didaktická premenná sa rozumie taký typ premennej, ktorá je pre učiteľa (aj pre študenta) k dispozícii, a ktorá súvisí zo zadaním, riešením úloh alebo cvičení. O didaktickej premennej hovoríme tiež vtedy, ak existuje medzi premenným aspoň jedna taká, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty (numerické alebo iné). Môže byť vybraná učiteľom (bez toho, aby zmenil úlohu), a ktorej rôzne hodnoty majú za následok rôzny prístup k riešeniu úlohy a môžu u študentov vyvolať rôzne postupy riešenia. [1]

V našom experimente boli didaktickými premennými jednotlivé kroky riešenia danej úlohy (možné stratégie študentov: vektorové riešenie, analytické riešenie, syntetické riešenie, barycentrum). Predstavili sme si konkrétnu triedu, konkrétnych študentov a snažili sme sa demonštrovať, ako by rozmýšľali, a aké by boli ich jednotlivé kroky pri riešení danej úlohy. Jednotlivé možné stratégie študentov sú označené veľkými písmenami (A, B, C, D) a pre každú stratégiu sú didaktické premenné označené číslami.


186

Tieto didaktické premenné nám poslúžia k štatistickému vyhodnoteniu experimentu s využitím programu C.H.I.C., pričom môžu nadobúdať pravdivostnú hodnotu pravda (použil študent pri svojom riešení úlohy – 1) alebo nepravda (nepoužil študent pri riešení úlohy – 0).

Didaktické premenné (analýza a-priori úlohy): A1) Študent využije vektorové riešenie úlohy. A2) Študent použije pri riešení pojem vektora. A3) Študent pracuje s vektormi a s ich operáciami. A4) Študent využije kolineárnosť alebo komplanárnosť vektorov.

A5) Študent vyjadrí vektor LK ako lineárnu kombináciu vektorov BG a AE .

A6) Študent vyjadrí vektor LS ako lineárnu kombináciu vektorov BG a AE .

A7) Študent ukáže, že vektory LS a LK sú kolineárne (S je stred úsečky MN). B1) Študent rieši úlohu analytickým prístupom. B2) Študent si vhodne zvolí súradnicovú sústavu. B3) Študent určí rovinu bodom a dvoma vektormi. B4) Študent napíše všeobecnú rovnicu roviny určenú tromi z daných štyroch bodov. B5) Študent ukáže, že aj štvrtý bod je bodom roviny danej všeobecnou rovnicou. B6) Študent napíše parametrické vyjadrenie roviny určenej troma zo štyroch daných bodov. B7) Študent dokáže incidenciu štvrtého bodu v rovine danej parametrickým vyjadrením. B8) Študent určí priamku bodom a vektorom. B9) Študent využije na určenie roviny dve rôzne priamky z daných bodov s parametrickým vyjadrením. B10) Študent využije na určenie roviny dve rôzne priamky, kde každá priamka je určená ako prienik dvoch rovín daných všeobecnou rovnicou. C1) Študent využije syntetické riešenie - zostrojenie rezu rovinou z daných bodov. C2) Študent vyrieši úlohu zostrojením rezu na kocke rovinou z daných bodov. C3) Študent si uvedomí, že treba dokázať aj incidenciu štvrtého bodu v rovine určenej zvyšnými troma bodmi. C4) Študent dokáže, že dĺžky úsečiek YG a ZE sa rovnajú. C5) Študent dokáže, že štvrtý bod patrí rovine rezu s využitím podobnosti (zhodnosti) trojuholníkov. C6) Študent pri dôkaze incidencii štvrtého bodu v rovine uvažuje o rovnobežnosti priamok LB, MN, ZY alebo ZM, KL, PN. D1) Študent využije na riešenie úlohy vlastnosti barycentra určitej sústavy bodov s pridelenými váhami. D2) Študent pridelí hmotnosť vrcholom kocky. D3) Študent pridelí hmotnosť barycentrám K, L, M, N. D4) Študent ukáže riešenie úlohy s využitím barycentra.

Výsledky experimentu s využitím štatistického programu C.H.I.C. (kvantitatívna analýza)

V štatistickom programe C.H.I.C. sú vytvorené nasledujúce grafy Similarity tree, Implicative tree, Implicative graph a v tejto časti si popíšeme ich význam. Didaktické premenné vyskytujúce sa v grafoch Similarity tree, Implicative tree a Implicative graph sme si už definovali.

VÝSLEDKY DIDAKTICKÉHO EXPERIMENTU PREZENTOVANÉ ...

187

Similarity tree

Obrázok 1: Similarity tree

Similarity tree definuje podobnosť a intenzívnosť medzi dvoma triedami premenných definovaných v analýze a-priori. Pri konštrukcii grafu sa do jednej triedy (najvyššia úroveň) spájajú dve premenné na najpodobnejšom základe. Ďalej sa k nim pridajú jedna alebo dve premenné s podobným základom, tie už tvoria ďalšiu, ale slabšiu úroveň. Takýmto spôsobom sa priradia aj ďalšie premenné alebo množiny premenných na podobných základoch. Pre vyhodnotenie výsledkov z experimentu sú významné len dve najvyššie úrovne v grafe, ostatné úrovne sú bezvýznamné.

Z grafu môžeme vyčítať nasledovné podobnosti: - najsilnejšia podobnosť je medzi premennými B1 a B2 v analýze a-priori, lebo sú

najvyššie spojené, t. j. medzi premennou študent riešil úlohu analytickým prístupom (B1) a premennou študent si vhodne zvolí súradnicovú sústavu (B2). Vzťah medzi nimi tvorí prvú úroveň. Študent, ktorý si vyberie stratégiu B1, použije tú istú úvahu (myslenie) v prípade stratégie B2. To znamená, že študent chce využiť na riešenie úlohy analytický prístup (15 študentov) a vo väčšine prípadov si zvolí aj súradnicovú sústavu (11 z 15 študentov).

- druhá úroveň je medzi množinou premenných B1, B2 a premennou B3, pričom táto úroveň je ale slabšia ako medzi premennými B1 a B2. Premenná B3 sa pripája k množine B1, B2, t. j. B3 sa globálne podobá premenným B1 alebo B2. Premenná študent si určí rovinu bodom a dvoma vektormi (B3) sa vo všeobecnosti podobá tvrdeniam: študent si vyberie pri riešení úlohy analytický prístup (B1) alebo študent si vhodne zvolí súradnicovú sústavu (B2). Analytický prístup riešenia úlohy (B1) si vybralo 15 študentov, 11 študentov z nich si zvolilo vhodne súradnicovú sústavu (B2) a na ďalšie riešenie úlohy si osem študentov určilo rovinu bodom a dvoma vektormi (B3).

- v grafe ešte vidieť (nie veľmi významné úrovne) dve množiny premenných A1, A2 a B1, B2, B3, B6, B7, C1, C2. Možno povedať, že sú to protikladné množiny, bez žiadnej podobnosti. To, čo je spoločné pre množinu B1, B2, B3, B6, B7, C1, C2, nevyhovuje pre množinu A1, A2.

- medzi ostatnými premennými, definovaných v analýze a-priori úlohy, nie je žiadna podobnosť, ani súvislosť.


188

Implicative tree

Obrázok 2: Implicative tree

Implicative tree predstavuje implikácie alebo ekvivalencie medzi niektorými premennými a množinami premenných v analýze a-priori. Podobne ako v grafe Similarity tree, sú pre vyhodnotenie výsledkov významné len dve najvyššie úrovne, ostatné sú bezvýznamné pre hodnotenie experimentu.

Z grafu možno zistiť: - najsilnejšia hierarchia (prvá úroveň) je medzi premennými C1 a C2. Študent, ktorý si

vyberie stratégiu C1 mohol by si vybrať tiež stratégiu C2, a naopak. Ekvivalencia medzi premennými C1 a C2 znamená, že študent využije na riešenie úlohy syntetické riešenie (študenta aspoň napadne riešiť úlohu zostrojením rezu rovinou z daných bodov (C1)) práve vtedy, keď aj úlohu vyrieši zostrojením rezu na kocke rovinou z daných bodov (C2). 92 študentov prišlo nato, že sa dá úloha riešiť zostrojením rezu na kocke rovinou z daných bodov, pričom len 38 študentov z nich zostrojilo daný rez správne.

- druhú úroveň tvorí hierarchia medzi premennou B7 a množinou premenných C1, C2, a to ak si študent vyberie stratégiu B7, tiež by si mohol vybrať stratégie z množiny C1, C2: ak študent dokáže incidenciu štvrtého bodu v rovine danej parametrickým vyjadrením (B7), tak študent využije syntetický prístup na riešenie úlohy - zostrojenie rezu rovinou z daných bodov (C1) alebo úlohu aj vyrieši zostrojením rezu na kocke rovinou z daných bodov (C2). Šesť študentov dokázalo incidenciu štvrtého bodu v rovine danej parametrickým vyjadrením, 92 študentov sa pokúsilo riešiť úlohu syntetickým prístupom (38 študentov aj uviedlo správny rez na kocke z daných bodov), pričom práve päť študentov zo šiestich, ktorí dokázali incidenciu štvrtého bodu v rovine danej parametrickým vyjadrením, patrí aj do skupiny študentov, ktorí správne vyriešili úlohu zostrojením rezu na kocke.

- medzi zvyšnými množinami premenných B1, B2, B3, B6 sú menej významné implikácie pre výsledky experimentu.

- medzi ostatnými premennými, definovaných v analýze a-priori úlohy, nie sú žiadne implikácie, ani ekvivalencie.

VÝSLEDKY DIDAKTICKÉHO EXPERIMENTU PREZENTOVANÉ ...

189

Implicative graph

61 62 63 64

Obrázok 3: Implicative graph

Graf implikácii predstavuje možnosti, ako študent môže rozmýšľať alebo zamýšľať sa nad postupom pri riešení danej úlohy. Farebné rozlíšenie šípok medzi jednotlivými premennými alebo množinami premenných naznačujú, aká percentuálna intenzita je medzi nimi alebo na koľko percent, ak študent má istú vedomosť, sa dostane k tej ďalšej premennej. Pre výsledky experimentu, ako sám autor programu uvádza, sú podstatné vzťahy medzi premennými od 85 %.

Keď sa pozrieme na graf implikácii z experimentu, vidieť závislosť medzi niektorými premennými. Intenzita medzi nimi prestavuje len 62 %, čo nie je veľmi významné percento vzťahov.

Ak študent riešil úlohu analytickým prístupom (B1), tak na 62 % si zvolil súradnicovú sústavu (B2), potom na 62 % si určí rovinu bodom a dvoma vektormi (B3), ďalej napíše na 62 % parametrické vyjadrenie roviny určenej troma zo štyroch daných bodov (B6) a dokáže na 62 % incidenciu štvrtého bodu v rovine danej parametrickým vyjadrením, potom na 62 % sa študent aspoň pokúsi riešiť úlohu syntetickým riešením (C1) a na 62 % aj vyrieši úlohu zostrojením rezu na kocke rovinou z daných bodov.

Medzi ostatnými premennými, definovaných v analýze a-priori danej úlohy, nie je významná percentuálne intenzita, resp. C.H.I.C. nezobrazuje slabšie vzťahy ako 50 %.

Záver

Popísali sme výsledky jedného experimentu s využitím štatistického programu C.H.I.C. Je to niečo nové a máme v úmysle sa tomuto trendu vyhodnocovania didaktických experimentov aj naďalej podrobnejšie venovať.


190

LITERATÚRA

[1] Bereková, H. – Földesiová, L. – Hríbiková, I. – Regecová, M. – Trenčanský, I.: Slovník teórie didaktických situácií, 1. časť, Zborník 4 príspevkov na seminári z teórie vyučovania matematiky, Bratislava, 2001, VEGA 1/8257/01, ISBN 80–223–1704–7

[2] Bereková, H. – Földesiová, L. – Regecová, M. – Kremžárová, L. – Slávičková, M. – Trenčanský, I. – Vankúš, P. – Zámožíková, Z.: Slovník teórie didaktických situácií, 2.časť, Zborník 5 príspevkov na seminári z teórie vyučovania matematiky, Bratislava, 2003, ISBN 80–223–1874–4

[3] Scimone, A.: Pupil’s conceptions about an open historical question: Goldbach´s conjecture. The improvement of mathematical education from a historical viewpoint,

Doctoral Thesis, Bratislava, 2002

PaedDr. Lucia Rumanová, PhD. RNDr. Janka Drábeková, PhD. Katedra matematiky Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Fakulta ekonomiky a manažmentu Univerzita Konštantína Filozofa Slovenská poľnohospodárska univerzita Trieda A. Hlinku 1 Trieda A. Hlinku 2 SK – 949 74 Nitra SK – 949 76 Nitra e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Tomáš Pechočiak, PhD e-mail: [email protected]


191

SKÚSENOSTI S VYUČOVANÍM MATEMATIKY V NEW YORKU (OSOBNÁ REFLEXIA)

JÁN ŠUNDERLÍK

ABSTRACT. In this paper I discuss some experiences with teaching in New York City public school system. I am talking about Math education, how it is reforming, describing the new standards, organization of the school year, describing New York state test and teaching in the classroom using workshop model.

Úvod

Po absolvovaní magisterského štúdia učiteľstva v odbore matematika - chémia na UKF v Nitre som nastúpil ako učiteľ matematiky do New Yorku. Tu som v školských rokoch 2005/2006 a 2006/2007 pôsobil na druhom stupni základnej školy (middle school). Počas uvedenej praxe som nadobudol skúsenosti nielen s vyučovaním matematiky v anglickom jazyku, ale i skúsenosti s adaptáciou sa na s odlišný vzdelávací systém a oboznámil som sa s novými metódami a prístupmi vo vyučovaní matematiky a tiež som si musel osvojiť odlišný spôsob hodnotenia výkonov a výsledkov žiakov.

Organizácia školstva v New Yorku

Školstvo v meste New York spravuje Oddelenie pre vzdelávanie mesta New York (New York City Department of Education), ktoré je jedno z najväčších na svete. Disponuje rozpočtom 13 miliárd USD na jeden rok, čo je približne 325 mld. SK, a to predstavuje 6-násobok rozpočtu Ministerstva školstva SR. Školstvo v New Yorku pozostáva z 1 400 škôl, vzdeláva 1,2 milióna študentov a zamestnáva približne 40 000 učiteľov a iných pracovníkov.

Obrázok 1: Rozloženie školských regiónov v meste New York

JÁN ŠUNDERLÍK

192

Oddelenie pre vzdelávanie mesta New York nedávno preorganizovalo pôvodných 45 školských regiónov na terajších 10. Táto reorganizácia pomohla ušetriť asi 20% nákladov na chod samotného oddelenia. Na čele oddelenia stojí kancelár. V súčasnosti je to kancelár Joel I. Klein, a celé oddelenie školstva priamo spadá pod primátora (majora) mesta New York, ktorým v súčasnosti je Michael R. Bloomberg.

Systém školstva

V Spojených štátoch neexistuje jednotný školský systém. Každý štát si školstvo upravuje pomocou vlastných zákonov. Školstvo v New Yorku môžeme rozdeliť na primárne a sekundárne. Do primárneho patria materské škôlky a tzv. základné školy. Do základnej školy (elementary school) deti nastupujú od šiestich rokov. Elementary school pokrýva 1.- 5. ročník. Po piatom ročníku žiaci pokračujú na vyššom stupni základnej školy (middle school). Tento stupeň pokrýva 6.-8. ročník. Po úspešnom ukončení 8. ročníka žiaci pokračujú na stredných školách (high school), teda 9.–12. ročník vzdelávania. Na niektoré renomované stredné školy sú prijímacie pohovory nevyhnutnosťou, prevažne sú však žiaci na stredné školy prijímaní na základe študijných výsledkov zo základnej školy. Po ukončení strednej školy (po ukončení 12. ročníka) žiaci získajú stredoškolský diplom.

Postrehy počas dvojročného pôsobenia

Z problémov, s ktorými som sa stretol uvádzam len niektoré: • nízka úroveň vedomostí žiakov z matematiky, • poruchy učenia a správania sa, • nedostatok kvalifikovaných učiteľov prírodovedných predmetov, • veľká etnická rôznorodosť žiakov.

Reforma školstva

Kancelár Klein spustil v prebehu roka 2 002 program na obnovu školstva pod názvom Deti na prvom mieste (Children first), v ktorom sa snaží transformovať školstvo v New Yorku. [3] Za cieľ si zobral zmeniť systém, ktorý dovoľoval generáciám opúšťať školu bez zručností a vedomostí potrebných na uplatnenie sa v živote. Na 1 400 excelentných školách by tak bolo žiakom poskytnuté dobré vzdelanie s cieľom, aby boli v živote úspešní. Zmenou, v rámci nového programu „Children first“, sú tri princípy: vedenie, zvyšovanie právomocí a zodpovednosť. Školy potrebujú silných riaditeľov - lídrov, ktorí majú právomoc robiť rozhodnutia a sú pripravení niesť zodpovednosť za svoje výsledky. Tejto reforme predchádzala celoštátna reforma z januára roku 2002 s názvom: Žiadne dieťa nezostane bokom (No child left behind), ktorú zaviedol súčasný prezident USA J. W. Bush.

Výučba predmetu matematika na vyššom stupni základnej školy

Samotný predmet matematika je jeden z dvoch hlavných predmetov vzdelávania na základnej škole (elementary + middle school), druhým predmetom je anglický jazyk. V posledných rokoch sa výučba matematiky reformuje. Reforma sa týka zmien:

• Obsahu, predstavuje ju úprava štandardov v roku 2005. • Formy, ktorá znamená používanie nových metód a prístupov vo vyučovaní

matematiky ako napríklad: Understanding by design, Workshop model, Diferencované vyučovanie.

SKÚSENOSTI S VYUČOVANÍM MATEMATIKY V NEW YORKU ...

193

• Diagnostiky, tým je každoročné testovanie žiakov 3.–8. ročníka formou štátnych testov (na základe reformy „No child left behind“).

Organizácia školského roka

Školský rok je rozdelený do štyroch hodnotiacich období tzv. „marking periods“. Na konci každého obdobia dostanú žiaci písomné hodnotenie. Žiaci sú hodnotení v percentách a úspešné zvládnutie predmetu predstavuje získanie ohodnotenia vo výške minimálne 65%. K postupu do nasledujúceho ročníka je nutné úspešne ukončiť aspoň tri hodnotiace obdobia. Samotný hodnotiaci systém, jednotný pre všetky predmety, si určuje škola. Kategórie výkonov v predmete, ktoré sa hodnotia, sa môžu medzi jednotlivými školami líšiť. Škola, na ktorej som pôsobil používala v každom štvrťročnom hodnotení v predmete matematika nasledovné kategórie, ktoré uvádzam aj s ich percentuálnym podielom na hodnotení výkonu žiaka:

• testy a kvízy 30% • aktivita na hodine 30% • domáce úlohy 20% • dochádzka 10% • zošit a žurnál 10%

Podľa môjho názoru, takto nastavený hodnotiaci systém kladie príliš malý dôraz na

samotné výsledky teda na hodnotenie vedomostí žiakov (testy a kvízy 30%). To môže mať za následok napríklad nedostatočnú motiváciu žiakov na dosahovanie lepších výsledkov z daného predmetu. Veľa žiakov sa totiž spolieha na to, že aj keď neštudujú veľa a nie sú úspešní v testoch, systém im umožní prejsť do ďalšieho ročníka iba na základe dobrých výsledkov v ostatných kategóriách (aktivita na hodine, domáce úlohy, dochádzka a zošit).

Štandardy

Obsah vyučovania určujú štandardy z daného predmetu. Neexistujú jednotné učebné osnovy. Dokonca sa stávalo, že na škole dvaja učitelia učili v tom istom ročníku úplne odlišné tematické celky. Na eliminovanie takýchto situácií sa učitelia jednotlivých ročníkov stretávali a spoločne vytvárali tzv. „curriculum maps“; teda zjednotenie tém a rozvrhnutie učiva do celkov na daný mesiac. Obsah učiva bol potom bližšie rozdelený na jednotlivé týždne. Výsledkom boli akoby učebné osnovy, ktoré však aj napriek tomuto procesu neboli záväzné. Pozostávali z väčšej miery z rozvrhnutia obsahu používaných učebníc do mesiacov a týždňov.

Vzdelávacie štandardy sa všeobecne delia na procesné a obsahové tak, že každý proces sa odráža v každom obsahu a naopak (viď. obrázok 2). Jednotlivé časti štandardov sú navzájom prepojené a vytvárajú sieť. Päť procesných štandardov:

• Problém Solving • Zdôvodnenie (argumentácia) a dôkazy • Komunikácia • Spájanie vedomostí a ich nadväznosť resp. aplikácie • Reprezentácia

JÁN ŠUNDERLÍK

194

Päť obsahových štandardov: • Operácie s číslami • Algebra • Geometria • Meranie • Štatistika a Pravdepodobnosť

Obrázok 2. Prepojenie procesných a obsahových štandardov [3]

Štátne testy

Štátne testy absolvujú žiaci už od tretieho ročníka základnej školy. Preverovanie vedomostí a zisťovanie slabých a silných stránok žiakov vyplýva z celoštátnej reformy z roku 2002 („No Child Left Behind“).

Testy sú zamerané na zistenie vedomostí žiakov, na to, ako spĺňajú matematické štandardy v jednotlivých ročníkoch. Predmety testovania sú matematika a anglický jazyk. Vo vyšších ročníkoch sú to aj ďalšie predmety zahŕňajúce históriu s geografiou a predmet s názvom „veda“ (science), ktorý obsahuje chémiu, fyziku a biológiu.

Matematický test žiaci riešia každý školský rok približne v polovici marca. Obsahuje test učiva, ktoré žiaci prebrali za jeden rok, t.j. od posledného testu v marci minulého roka. Obsah testu nie je presne stanovený oficiálnym dokumentom, ako sú napríklad na Slovensku učebné osnovy. Testy sú zostavené na základe štandardov pre daný ročník profesionálnymi testovacími centrami.


195

Samotný test pre 8. roč. pozostáva z troch častí. Prvá časť sú úlohy s možnosťou výberu odpovede. Obsahuje 27 úloh. Žiaci majú na riešenie prvej časti 45 minút. Úlohy sú zamerané na zistenie základných matematických vedomostí a zručností.

V ten istý deň žiaci riešia aj druhú časť, pozostávajúcu zo štyroch problémov s krátkymi odpoveďami a z dvoch problémov vyžadujúcich komplexnejšie riešenie. V tejto časti sú hodnotené aj jednotlivé kroky riešenia, ktoré žiak uviedol. Druhú časť testu riešia žiaci 35 minút.

Poslednú, tretiu časť testu, riešia žiaci nasledujúci deň. Obsahuje dvanásť úloh, z toho osem si vyžaduje kratšie riešenie a štyri úlohy sú komplexnejšie. Tieto úlohy si vyžadujú aj slovné popísanie riešenia a odpoveď na konkrétnu teoretickú otázku súvisiacu s úlohou, ktorú žiaci riešili v teste. Na riešenie tretej časti majú žiaci 65 minút.

Za distribúciu testov a zaslanie žiackych riešení je zodpovedný riaditeľ školy a ním poverená osoba. Vyriešené testy sa po ukončení testovania zapečatia a pošlú do centra, kde sú vyhodnotené. Na opravovaní testov sa zúčastňujú učitelia matematiky z rôznych škôl počas dvoch dní; fyzicky sa opravuje druhá a tretia časť testu, prvá časť sa vyhodnocuje počítačom. Aj ja som mal možnosť zúčastniť sa na takomto hodnotení. Samotnému opravovaniu predchádzalo krátke školenie.

Výsledky testov majú veľkú váhu pri postupe žiakov do ďalšieho ročníka. Žiak, ktorý nespĺňa štandardy (vedomostná úroveň 1) musí absolvovať letnú školu, ktorá začína začiatkom júla a trvá 6 týždňov. Vyhnúť sa tejto povinnosti môže žiak pomocou tzv. „Portfólia“. Je to zbierka najlepších prác žiaka, ktoré vypracovával počas celého školského roka a ktoré majú dokumentovať, že študent ovláda dané učivo a môže pokračovať v ďalšom ročníku.

Ako môžeme vidieť v grafickom zobrazení výsledkov testov 8. ročníka z roku 2006 (Obrázok 3), tak viac ako polovica žiakov nespĺňa ani základné štandardy z matematiky. Ďalej môžeme pozorovať, že vo všetkých ročníkoch je podiel žiakov nespĺňajúcich štandardy vysoký v porovnaní so žiakmi ktorí štandardy spĺňajú.

Obrázok 3.: Výsledky štátnych testov v meste New York za rok 2006 3. -8. roč. [3]

Úroveň 4 reprezentuje nadštandardné výsledky Úroveň 3 dosahovanie štandardu Úroveň 2 čiastočne spĺňa štandardy Úroveň 1 nespĺňa štandardy

JÁN ŠUNDERLÍK

196

Uvedený nepriaznivý trend sa snaží Oddelenie pre vzdelávanie mesta New York zmeniť pomocou uplatňovania nových vyučovacích metód založených na výskumoch v teórii vyučovania matematiky. Ich cieľom je školiť učiteľov tak, aby dokázali zavádzať moderné učebné postupy do vyučovania matematiky. Ďalšou možnosťou riešenia problému so slabo prospievajúcimi žiakmi je úprava vzdelávacích štandardov.

Vyučovací proces

Oddelenie pre vzdelávanie mesta New York je známe tým, že je priekopníkom nových prístupov vo vyučovaní matematiky a snaží sa v školách aplikovať výsledky najnovšieho výskumu. Jednou z takýchto metód je aj učenie s porozumením „Understanding by design“ v rámci tzv. „workshop model“. Učiteľ je počas vyučovacej hodiny sústredený na aktivitu žiakov, prácu v skupinách, prezentovanie výsledkov žiakmi, diferencované vyučovanie a projekty.

Učenie s porozumením („Understanding by design“)

Understanding by design (UbD) je špeciálny prístup, ktorý sa zameriava na vyučovanie s porozumením. Daný prístup bližšie rozpracovali Wiggins a McTighe. Model navrhuje také inštrukcie pre učiteľa smerom k žiakovi a k organizácií vyučovacej hodiny, ktoré podporujú porozumenie a zvyšujú záujem žiakov o učivo.

Samotný proces prípravy vyučovania tematického celku pozostáva z didaktického spracovania celej kapitoly z učebnice, (napríklad lineárna závislosť). Tento celok tvorí niekoľko vyučovacích hodín, ktoré súvisia s danou témou z učebnice alebo s jej hlavnou, „nosnou myšlienkou“.

UbD tvoria tieto kroky: 1. Definovanie požadovaných výsledkov. Vždy je potrebné určiť si tzv. esenciálne, nosné otázky. Napríklad: „Ako môžeme

situácie z reálneho života reprezentovať pomocou lineárnej závislosti?“. Stanoví sa, cieľ, ktorý popíše, akým pojmom a vzťahom by mali žiaci rozumieť, čo by

mali vedieť a čo by mali byť schopní riešiť po odučení danej kapitoly. 2. Dôkaz, že žiaci porozumeli. Dôkazom je práca, ktorú by mali žiaci samostatne alebo v skupinách vytvoriť a potom

prezentovať pred triedou. Môže to byť projekt, zadanie a riešenie problému a pod. Napríklad, pri vyučovaní celku lineárna závislosť, žiaci mali na overenie porozumenia vytvoriť projekt reprezentujúci lineárnu závislosť na situácií z reálneho života. Znamenalo to: nájsť resp. vytvoriť a popísať problém z reálneho života, zostrojiť tabuľku, graf a na základe priebehu grafu vysloviť prognózu. K tomuto kroku patria aj klasické metódy skúšania ktorými sú testy, kvízy.

3. Príprava priebehu hodiny. Naplánovanie aktivít, ktoré predstavujú, akým spôsobom chceme daný cieľ dosiahnuť.

V tejto časti sa učiteľ sústredí na priebeh hodiny, rôzne aktivity rešpektujúce spôsoby učenia sa žiakov, pmôcky a podobne. Tematický celok je týmto postupom rozdelený na jednotlivé časti a konkrétne hodiny.


197

Diferencovaný prístup

Je zameraný na priblíženie danej látky primeraným spôsobom všetkým učebným typom a štýlom učenia sa žiakov. Učiteľ sa snaží pomocou rôznych prístupov zistiť, ako možno žiakov na hodine aktivizovať na základe ich potrieb a daností. Zameriava sa viac na kvalitatívnu stránku osvojovania si vedomostí. V centre diania je žiak. Samotné diferencovanie je organický proces, ktorý sa prispôsobuje okolnostiam v triede, škole.

Záver

Zahraničné skúsenosti mi umožnili vhľad do odlišného školského systému a hodnôt v ňom preferovaných, umožnili hlbšie pochopiť problematiku vyučovania matematiky ale aj výchovného pôsobenia učiteľa. Posilnili moje presvedčenie o dôležitosti poznávania prístupov k vyučovaniu a inšpirovali ma k myšlienkam výskumu reálne uskutočniteľného v rámci doktorandského štúdia v teórií vyučovania matematiky.

Je nepochybné, že učiteľ by mal svoju prácu so žiakmi neustále rozvíjať. Neznamená to iba zvyšovať nároky na vedomosti žiakov a kladenie dôrazu na ich výkony v testoch. Je potrebné sledovať trend vývoja spoločnosti a jej prístupu k vzdelávaniu a k vedomostiam. Podobne, je potrebné neustále sa vzdelávať a sledovať najnovšie trendy v pedagogických a psychologických disciplínach, neustále precvičovať a rozširovať vlastné matematické vzdelanie a posilňovať matematickú kultúru komunikácie v triede. Uvedeným príkladom sa podarí motivovať žiakov na ich ceste k matematickým vedomostiam a na ich uplatnení sa v spoločnosti, v ktorej sa bude čím ďalej väčší dôraz klásť na porozumenie problému, aplikáciu vedomostí, využívanie informačných technológií a hlavne na samostatnosť pri riešení komplexnejších problémov.

LITERATÚRA

[1] Carol Ann Tomlinson: How to Differentiate Instruction in Mixed – Ability Classrooms, Alexandria, Association for Supervision and Curriculum Development, 2001 , ISBN 978-0-87120-512-4

[2] Carol Ann Tomlinson and Jay McTighe: Integrating Differentiated Instruction + Understanding by design, Alexandria, Association for Supervision and Curriculum Development, 2006, ISBN 1-4166-0284-4

[3] http://schools.nyc.gov/default.aspx [ 15.8.2007]

Mgr. Ján Šunderlík Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzovala: doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. e-mail: [email protected]


199

WILCOXONOVE TESTY PRI OVEROVANÍ ÚČINNOSTI VYUĆOVACIEHO MODELU

ANNA TIRPÁKOVÁ – DAGMAR MARKECHOVÁ – VIERA TOMKOVÁ

ABSTRACT. V príspevku analyzujeme pomocou Wilcoxonových testov efektívnosť výučbového programu. Úroveň vedomostí žiakov experimentálnej a kontrolnej skupiny boli porovnávané pomocou dvojvýberového Wilcoxonovho testu. Rozdiely medzi výsledkami vstupného a výstupného testu sme testovali jednovýberovým Wilcoxonovým α – testom.

Úvod

Vzdelávacie smernice vydané Ministerstvom školstva Slovenskej v roku 2002 republiky stanovujú požiadavky na úroveň grafického vyjadrovania žiakov v predmete technická výchova na základných školách. Podľa prieskumu realizovaného autorkou práce 1. skutočná úroveň grafického vyjadrovania žiakov v predmete technická výchova na základných školách stanoveným požiadavkám nezodpovedá. Preto autorka citovanej práce navrhla model riešenia tvorivých úloh v predmete technická výchova na základných školách, ktorého cieľom bolo zlepšiť úroveň neverbálnych komunikačných schopností žiakov.

Charakteristika výskumu a použité metódy

Navrhnutý model bol overovaný na vybraných piatich základných školách v nitrianskom kraji. V každej 9.A triede vybranej školy učiteľ vyučoval predmet technická výchova klasickým spôsobom a v každej 9.B triede bol tento predmet vyučovaný pomocou navrhnutého modelu. 9. A trieda bude predstavovať kontrolnú skupinu a 9.B trieda skupinu experimentálnu.

Pred začatím experimentu sme pomocou vstupného testu zisťovali, či je vedomostná úroveň žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny rovnaká. Celkový počet bodov, ktoré mohli žiaci v teste dosiahnuť bol 25, počet úloh 18. Test pozostával z otvorených a uzavretých úloh. Za vyriešenie uzavretej úlohy žiak získal jeden bod a za vyriešenie otvorenej úlohy dva body. Hypotézu o rovnosti vedomostnej úrovne žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny sme overovali pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu.

Po realizácii experimentu žiaci písali výstupný test. Výstupný test pozostával z 18 otázok a žiaci v ňom mohli získať 26 bodov. Obsahoval taktiež uzavreté a otvorené úlohy, ktoré boli bodované rovnako ako vo vstupnom teste. Najskôr sme zisťovali pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu, či je štatisticky významný rozdiel medzi žiakmi kontrolnej a experimentálnej skupiny vo vedomostnej úrovni.

Potom pomocou Wilcoxonovho α –testu sme zisťovali, či na konci experimentu nastalo zlepšenie vo vedomostnej úrovni žiakov v každej triede, v experimentálnej aj v kontrolnej. Výpočty boli realizované na počítači pomocou programu STATISTICA.


200

Výsledky testov – vstupného aj výstupného sme zapísali do nasledujúcej tabuľky a tiež aj znázornili graficky.

ZŠ I. ZŠ II. ŽŠ III. ZŠ IV. ZŠ V. 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B

vstupný test 8,72 8,67 10,8 7,64 15 14,7 11,3 10,8 10,6 8,62

výstupný test 8,94 13,5 9,94 13,37 12,89 18,24 10,6 15,91 9,35 14,32

Tabuľka č.1

Priemerné hodnoty výsledkov testov

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.A 9.A 9.B

ZŠ I. ZŠ II. ŽŠ III. ZŠ IV. ZŠ V.

prie

mer

né h

odno

ty

vstupný testvýstupný test

Graf. č.1

Wilcoxonove testy

Wilcoxonov dvojvýberový test je jednou z najpoužívanejších neparametrických metód matematickej štatistiky. Používa sa ako neparametrická alternatíva parametrického t-testu pre dva nezávislé výberové súbory. Použitie parametrických metód je viazané na splnenie určitých predpokladov (predpoklad o normálnom rozdelení, predpoklad rovnakej variability a iné). Tieto predpoklady by mali byť overené predtým, ako sa príslušný test použije. Ak neplatí niektorý z predpokladov použitia štatistickej metódy, príslušná štatistická metóda je použitá neoprávnene a závery, ktoré sú vyvodené pomocou tejto metódy z experimentálnych údajov, môžu byť skreslené. Veľakrát sú k dispozícii údaje, pri ktorých nie je možné overiť, či pre ne platia predpoklady pre použitie niektorej parametrickej metódy. V takýchto prípadoch je výhodné použiť niektorú z neparametrických metód, ktorých použitie predpokladá splnenie menej prísnych podmienok. Keďže neparametrické metódy sú menej citlivé a presné ako metódy parametrické, platí pravidlo, že ak sú splnené predpoklady použitia parametrickej metódy,

WILCOXONOVE TESTY PRI OVEROVANÍ ÚČINNOSTI VYUČOVACIEHO ...

201

dávame prednosť parametrickej metóde pred metódou neparametrickou. Prehľad najznámejších a najpoužívanejších parametrických a neparametrických metód a tiež základné predpoklady ich použitia je možné nájsť napríklad v 1.

Testovanou hypotézou je nasledujúca nulová hypotéza. H0: Oba výberové súbory pochádzajú z toho istého základného súboru, t. j. medzi

oboma skupinami žiakov nie je štatisticky významný rozdiel vzhľadom na dosiahnuté výsledky v teste. Nulovú hypotézu budeme testovať oproti alternatívnej hypotéze:

H1: Výberové súbory nepochádzajú z toho istého základného súboru, t. j. medzi oboma skupinami žiakov je štatisticky významný rozdiel vzhľadom na dosiahnuté výsledky v teste.

Keďže predpoklad o normálnom rozdelení početností chýb v testoch nie je opodstatnený, nulovú hypotézu sme testovali pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu. Test sme realizovali pomocou programu STATISTICA. Po zadaní vstupných údajov vo výstupnej zostave počítača dostaneme pre zvolený Wilcoxonov dvojvýberový test tieto výsledky: hodnotu testovacieho kritéria z a hodnotu p, čo je pravdepodobnosť chyby, ktorej sa dopustíme, keď zamietneme testovanú hypotézu. Ak je vypočítaná hodnota p dostatočne malá (p < 0,05 resp. p < 0,01), testovanú hypotézu H0 o rovnosti stredných úrovní pozorovaných znakov zamietame (na hladine významnosti 0,05 resp. 0,01). V opačnom prípade hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť, pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné.

Wilcoxonov α - test je test významnosti diferencií medzi dvoma závislými výbermi. Je to párový test a používa sa ako neparametrická obdoba párového t- testu. Predpokladajme, že na n štatistických jednotkách sme zisťovali hodnotu dvoch štatistických znakov X,Y. Pričom sme namerali hodnoty ( 11 , yx ),( 22 ,yx ), ...., ( nn yx , ). Pri testovaní sa počítajú rozdiely 11 yx − , 22 yx − ,...., nn yx − , ktorým sa priradia poradia.

Testovanou hypotézou je nasledujúca nulová hypotéza. H0: Priemerné úrovne znakov X, Y sa rovnajú.

Nulovú hypotézu budeme testovať oproti alternatívnej hypotéze: H1: Priemerné úrovne znakov X, Y sa nerovnajú.

Rovnako ako aj pri Wilcoxonovom dvojvýberovom teste dostaneme z počítača hodnotu testovacieho kritéria z a hodnotu p, čo je pravdepodobnosť chyby, ktorej sa dopustíme, keď zamietneme testovanú hypotézu. Ak je vypočítaná hodnota p dostatočne malá (p < 0,05 resp. p < 0,01), testovanú hypotézu H0 zamietame (na hladine významnosti 0,05 resp. 0,01). V opačnom prípade hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť, pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné.

Štatistická analýza výsledkov výskumu

Pri vyhodnocovaní výsledkov výskumu boli získané nasledujúce výsledky. Pred začatím experimentu sme porovnávali úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny dvojvýberovým Wilcoxonovým testom.

Na Základnej škole I. bolo zistené, že úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny je rovnaká. Hodnota testovacieho kritéria z = 0,187 a hodnota pravdepodobnosti p = 0,85. To znamená, že testovanú hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť, pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné.

Po odučení daného učiva v predmete technická výchova sme zisťovali, či nastalo


202

zlepšenie vo vedomostnej úrovni žiakov v experimentálnej aj kontrolnej skupine pomocou Wilcoxonovho α – testu. Boli získané výsledky, ktoré sú zapísané v nasledujúcej tabuľke.

skupina z p kontrolná 0,188 0,85 experimentálna 3,621 0,0003

Tabuľka č.2

Z tabuľky je zrejmé, že v prípade kontrolnej skupiny testovanú hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť, pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné. Na základe výsledkov výstupného testu sme zistili, že nenastalo zlepšenie v úrovni neverbálnych komunikačných schopností žiakov. Na rozdiel od kontrolnej skupiny v experimentálnej skupine po aplikácii navrhnutého modelu riešenia tvorivých úloh vo vyučovaní technickej výchovy nastalo zlepšenie. Navrhnutý model štatisticky významne ovplyvnil vedomostnú úroveň žiakov.

Nakoniec sme po odučení daného učiva porovnali úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu. Dostali sme nasledujúce výsledky. Hodnota testovacieho kritéria bola z = -2,964 a hodnota pravdepodobnosti p = 0,00284. To znamená, že testovanú hypotézu H0 zamietame, pozorované rozdiely sú štatisticky významné. Štatisticky významný rozdiel vo vedomostnej úrovni žiakov experimentálnej a kontrolnej skupiny po realizácii experimentu dokazuje, že navrhnutý model riešenia tvorivých úloh v predmete technická výchova je účinný.

Rovnako sme postupovali pri vyhodnocovaní výsledkov výskumu, ktorý bol realizovaný na ďalších štyroch základných školách. Pred začatím experimentu sme porovnávali úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny dvojvýberovým Wilcoxonovým testom. Výsledky testov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Základná škola ZŠ II. ZŠ III. ZŠ IV. ZŠ V. z 2,24 0,28 0,516 1,662 p 0,02 0,778 0,605 0,0964

Tabuľka č.3

Výsledky testovania zapísané v tabuľke interpretujeme nasledovne. Keďže hodnota pravdepodobnosti p > 0,05 v prípade základných škôl III., IV., V., testovanú hypotézu H0 nemôžeme zamietnuť. Pred realizáciou experimentu bola úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny žiakov na týchto školách rovnaká.

Iná situácia bola na ZŠ II., kde hodnota pravdepodobnosti p < 0,05. Z toho vyplýva, že testovanú hypotézu H0 zamietame. Rozdiely vo vedomostnej úrovni žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny sú štatisticky významné. Táto skutočnosť bola podmienená tým, že 9.A trieda bola výberová. Napriek tomu sme sa rozhodli uskutočniť experiment aj na tejto výskumnej vzorke. Experimentálnu triedu predstavovali žiaci s horším prospechom a chceli sme ukázať, že využívaním modelu tvorivých úloh vo vyučovaní technickej výchovy ovplyvní vedomostnú úroveň žiakov tejto triedy do takej miery, že sa po experimente vyrovnajú žiakom výberovej triedy.

Po odučení daného učiva v predmete technická výchova sme zisťovali, či nastalo

WILCOXONOVE TESTY PRI OVEROVANÍ ÚČINNOSTI VYUČOVACIEHO ...

203

zlepšenie vo vedomostnej úrovni žiakov v experimentálnej aj kontrolnej skupine aj na ostatných školách. Pomocou Wilcoxonovho α – testu boli získané výsledky, ktoré sú zapísané v nasledujúcej tabuľke.

ZŠ II. ZŠ III. ZŠ IV. ZŠ V. Základná škola 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B 9.A 9.B

z -2,23 3,82 -2,61 3,42 -0,95 3,91 -0,82 4,107 p 0,026 0,00013 0,0089 0,00064 0,341 0,000092 0,411 0,00004

Tabuľka č.4

Na základe výsledkov realizovaného testu vidíme, vo všetkých experimentálnych triedach nastalo zlepšenie po aplikácii navrhnutého modelu riešenia tvorivých úloh vo vyučovaní technickej výchovy. Navrhnutý model štatisticky významne ovplyvnil vedomostnú úroveň žiakov. Kontrolné skupiny ZŠ II. a ZŠ III. dosiahli štatisticky významne horšie skóre výstupného testu v porovnaní s výsledkami vstupného testu. Túto skutočnosť potvrdzujú aj výsledky priemerných hodnôt znázornené na grafe č. 1.

Nakoniec sme po odučení daného učiva porovnali úroveň vedomostí žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny na jednotlivých školách pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu. Hodnoty testovacieho kritéria z a hodnoty pravdepodobnosti p sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Základná škola ZŠ II. ZŠ III. ZŠ IV. ZŠ V. z -0,15 -4,67 -4,844 -4,4495 p 0,879 0,000003 0,000001 0,000007

Tabuľka č. 5

Z uvedených výsledkov vyplýva, že vo všetkých prípadoch s výnimkou školy II. zamietame nulovú hypotézu. Po realizácii experimentu sú rozdiely vo vedomostnej úrovni žiakov kontrolnej a experimentálnej skupiny štatisticky významné. Na základnej škole II. realizáciou navrhnutého modelu došlo u žiakov experimentálnej skupiny k takému výraznému zlepšeniu, že sa vyrovnali vo vedomostnej úrovni žiakom kontrolnej skupiny.

Záver

Použitím Wilcoxonových testov sme dokázali, že navrhnutý vyučovací model riešenia tvorivých úloh v predmete technická výchova je efektívny. Úroveň neverbálnych komunikačných schopností žiakov sa realizáciou tohto modelu vo vyučovaní štatisticky významne zlepšila.


204

LITERATÚRA

[1] Chajdiak, J.- Rubliková, E.- Gudába, M.: Štatistické metódy v praxi, STATIS, Bratislava, 1994, ISBN 80-85659-02-6

[2] Vrábelová, M. - Markechová, D.: Pravdepodobnosť a štatistika, Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2001, ISBN 80-8050-429-6

[3] Clauss, G. - Ebner, H.: Základy štatistiky pre psychológov, pedagógov a sociológov, SPN, Bratislava, 1988.

[4] Urbaníková, M.: O testovaní štatistických hypotéz trochu inak. In. Zborník: 25. konferencia VŠTEP, Praha; JČMF, 1998, s. 323-328. ISBN 80-227-1112-8

[5] Urbaníková, M.: Probability of ruin. In. The 1st International Conference on APLIED MATHEMATICS AND INFORMATICS AT UNIVERSITIES 2002. Bratislava; STU, 2002, s.87-91, ISBN 80-227-1752-5

[6] Tirpáková, A.- Markechová, D.: Štatistika pre psychológov, pedagógov, sociológov archeológov, FPV UMB, Banská Bystrica, FPV UKF, Nitra, 2001 (vydané v rámci riešenia projektu TEMPUS PHARE AC-JEP-13425-98), 147 strán

Doc. RNDr. Anna Tirpáková, CSc. Katedra matematiky Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc. Katedra matematiky Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

PaedDr. Viera Tomková. Katedra techniky a informačných technológií Univerzita Konštantína Filozofa Dražovská 4 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Dana Országhová, PhD. e-mail: [email protected]


KEGA č. 3/3269/05 205

POČIATKY ZAVEDENIA LOGARITMU

ŠTEFAN TKAČIK

ABSTRACT. Rarely in history of science has an abstract mathematical idea been received more enthusiastically by the entire scientific community than the invention of logarithms. In this paper we describe of the different accounts of the origin of logarithms including the current one.

Úvod

Objav logaritmu v roku 1614 Johnom Napierom, barónom Merchistonu v Škótsku, je jedným z tých významných udalostí v histórií vedy, ktorý bol predzvesťou ďalších významných zmien v iných oblastiach (astronómii, fyzike, geografii). Práve v týchto oblastiach trávili vedci strašne veľa času numerickými výpočtami, a preto sa čas pre tvorivosť vedcov vďaka ďalekosiahlym výpočtom zmenšoval. Objav logaritmu pomohol zložitejšie operácie násobenia a delenia, umocňovania a odmocňovania previesť na jednoduchšie sčítanie a odčítanie resp. násobenie a delenie.

Túto ideu najprv rozvinul prostredníctvom geometrickej postupnosti, teda postupnosti čísel s konštantným podielom susedných členov, nazývaným kvocient. Napríklad postupnosť 1, 2, 4, 8, 16, ... je geometrickou postupnosťou s kvocientom 2. Ak označíme kvocient q a ak začneme od 1, tak členy postupnosti sú 1, q, q2, q3, ... (n-tý člen označíme ako qn-1 ).

Dlho pred Napierovými časmi existovali jednoduché vzťahy medzi členmi geometrickej postupnosti a zodpovedajúcimi exponentmi. Už v roku 1360 Nicola Oresme v diele De proportionibus proportionum zahrnul niekoľko pravidiel pre počítanie mocnín s racionálnymi exponentmi, dnes by sme mohli napísať xm . xn = xn+m a (xm)n = xmn. Tieto vzťahy presnejšie formuloval v roku 1544 v knihe Arithmetica integra nemecký matematik Michael Stifel : „ak násobíme ľubovoľné dva členy geometrickej postupnosti 1, q, q2, q3,..., výsledok dostaneme spočítaním zodpovedajúcich exponentov, ... pri delení dvoch členov geometrickej postupnosti výsledok dostaneme odpočítaním zodpovedajúcich exponentov“. Problémy nastanú, ak exponent v čitateli je menší alebo sa rovná exponentu v menovateli,

ale to sa odstráni definovaním nn

qq 1

=− a q0=1, preto 22

5

3 1q

qqq

== − a 103

3

== qqq .

Pomocou tejto definície môžeme rozšíriť geometrickú postupnosť z oboch strán, teda ..., q-

3, q-2, q-1, q0=1, q1, q2, q3, ... Všetky členy danej mocniny majú rovnaký základ q a jej exponenty tvoria členy aritmetickej postupnosti t.j. ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... (v aritmetickej postupnosti rozdiel medzi dvoma susednými členmi je konštantný, v tomto prípade 1).

ŠTEFAN TKAČIK

206

1. Prvé zavedenie logaritmu-Napierov logaritmus

Vzťah medzi geometrickou a aritmetickou postupnosťou je kľúčovou myšlienkou pre zavedenie logaritmu. Stifel ešte uvažoval o tomto vzťahu na množine celých čísel a Napier bol prvý, ktorý tento vzťah rozšíril spojito na množinu reálnych čísel vo svojom diele „Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio“ v roku 1614.

Jeho myšlienka bola : Ak napíšeme nejaké kladné číslo ako mocninu pevne daného čísla (neskôr nazývané základ), tak násobenie a delenie takýchto čísel bude ekvivalentné sčítavaniu a odčítaniu ich exponentov. Túto myšlienku môžeme ilustrovať na nasledujúcom príklade pri základe 2. Nasledujúca tabuľka udáva základné hodnoty :

N –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n

81

41

21 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Ak by sme chceli vynásobiť čísla 16 a 64, stačí v tabuľke pozrieť na exponenty,

ktoré zodpovedajú týmto číslam, sú to čísla 4 a 6. Ak ich spočítame dostaneme 10 a tomu exponentu zodpovedá číslo 1024 a to je odpoveď. Ďalší príklad je vypočítať 44. Nájdeme najprv exponent zodpovedajúci 4, to je 2 a to vynásobíme 4 dostaneme 8. potom pozrieme, ktorému číslu zodpovedá 8 a to je 256. To vlastne znamená 44 = (22)4 = 28 = 256.

Samozrejme tieto výpočty nie je problém robiť pre ľubovoľné celé čísla. Metóda by mala širšie použitie, keby sa rozšírila na racionálne čísla. To by znamenalo, že by sme museli zaplniť strašne veľa dier v našej tabuľke. Môžeme sa vydať dvoma cestami: • použiť zlomky v exponentoch, • veľmi málo zmeniť základ tak, aby sme dosiahli mocninu, ktorá rastie pomaly. Ale aký ma byť základ, aby veľmi malá zmena základu spôsobila malú zmenu mocniny? Práve takýmto číslom sa zdá by číslo blízke 1. Podľa Napiera by tým číslom malo byť 0,9999999 alebo 1–10-7. Napier minul 20 rokov práce (od 1594 do 1614), aby prišiel na to ako správne nájsť rozdelenie. Jeho inicializačná tabuľka mala 101 vstupov, začala 107 = = 10 000 000 a nasledovali 107(1–10-7)=9 999 999, potom 107(1–10-7)2= 9 999 998 a tak ďalej až 107(1–10-7)100= 9 999 900. Pritom však ignoroval desatinnú časť 0,0004950. Každý výraz dostal pomocou rozdielov z predchádzajúceho výrazu práve o 0,9999999, lebo ( ) ( ) ( )iii 777177 10110110101109999999,0 −−+− −=−−−= . Teda počítal s presnosťou 10-7. Potom opakoval celý proces znovu začínajúc 107, ale násobil to zlomkom, ktorý bol

posledným v počiatočnej tabuľke. Teda 99999,0000000109009999

= alebo 1 – 10-5. Táto druhá

tabuľka pozostávala len z 51 vstupov. Prvým bolo číslo 107 = 10 000 000, potom nasledovali 107(1–10-5)=9 999 900, potom 107(1–10-5)2= 9 999 800, a tak ďalej až

107(1–10-5)50= 9 995 001. Tretia tabuľka mala 21 vstupov používala pomer 000000100019959

a v jej poslednom riadku bolo číslo 107(0,9995)20= 9 900 473. Nakoniec pre každé z týchto čísel, Napier v poslednej tabuľke vytvoril 68 nových čísel vytvorených z pomeru

99,000000010

9004739≈ a posledným číslom bolo 499860999,09004739 68 ≈× , čo je približne

polovica z počiatočného čísla.


207

V súčasnosti môžeme povedať, že ak N = 107 (1–10-7)L, tak exponent L je (Napierovým) logaritmom čísla N. Napierová definícia logaritmu bola rozdielna ako je dnes (dnešnú podobu zaviedol v roku 1728 Leonhard Euler) : ak N=bL, kde b je dané kladné číslo rôzne od 1, tak L je logaritmus (pri základe b) z čísla N. Teda L=0 Nap log 107 = 0 L=1 Nap log 9 999 999 = 1 atď. Pre počítanie s Napierovým logaritmom je oproti logaritmom dnešným zložitejšie. Platia v ňom nasledujúce vzťahy : Ak 11 log NL Nap= , teda ( ) 177

1 10110L

N −−=

22 log NL Nap= , teda ( ) 2772 10110

LN −−= ,

tak ( ) 21777

21 1011010

LLNN +−−= alebo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − )1(7

11 10

log n

nNnL Nap .

Vzťah medzi súčasným logaritmom :

( )7

7

101ln10

lnlog −−

=

N

NNap ;

( ) ( )7

7

2121 101ln10

lnlogloglog −−

++=

N

NNNN NapNapNap .

2. Rozvoj logaritmu podľa Henriho Briggsa

Publikácia z roku 1614 bola veľkým podnetom k rozvoju poznania. Jedným z najväčších nadšených obdivovateľov tohto objavu bol Henry Briggs, prvý saviliansky profesor geometrie na Oxforde. V roku 1615 navštívil Napiera v Škótsku a spolu diskutovali o možných modifikáciách v metóde logaritmov. Briggs navrhoval použiť za základ logaritmu 10. Na to myslel predtým aj Napier, ktorý sa pohrával s myšlienkou použiť v tabuľke 01log = a 101010log = , aby sa vyhol zlomkom a Briggs s myšlienkou

010log = . Nakoniec sa obidvaja muži dohodli na vzťahoch 01log = a 110log = . Dnes v modernej terminológií hovoríme, že ak ľubovoľné kladné číslo N napíšeme v tvare

LN 10= , tak L je Briggsov alebo dekadický logaritmus N. Píšeme N10log a lebo len 10log . Takto sa zrodila myšlienka základu logaritmu. Ďalšie ich dohody týkajúce sa logaritmov, zhrnul Napier tesne pred svojou smrťou

v knihe Mirifici logarithmorum canonis constructio, v nej podrobne vysvetľuje metódy použité pri tvorbe tabuliek logaritmov.

Briggs pomocou dekadického logaritmu odstránil počiatočný problém Napierového

logaritmu. Namiesto základu mocniny veľmi blízkej 1, ktorú použil Napier, Briggs začal s tým, že 110log = a potom našiel postupne iné logaritmy ako odmocniny. Napríklad

pomocou 162277,310 = Briggs dostal 5,0162277,3log = a z ( ) ( ) === + 21

21

21

21

43

10101010 1 623413,562277,31 == dostal 75,0623413,5log = . Pokračujúc týmto spôsobom

vypočítal aj iné dekadické logaritmy. Tieto výsledky publikoval Briggs v diele Logarithmorum chilias prima, kde vypočítal logaritmy čísel od 1 do 1000 každé

ŠTEFAN TKAČIK

208

s presnosťou na 14 miest. V roku 1624 v knihe Arithmetica logarithmica, Briggs rozšíril tabuľku dekadických logaritmov čísel od 1 do 20 000 a od 90 000 do 100 000 opäť na 14 desatinných miest. Metódy, ktoré používal Briggs pre výpočet tabuliek logaritmov dnes poznáme ako pravidlá pre výpočet logaritmov. Tiež prvykrát použil slová mantisa a charakteristika. Bez rovnosti 01log = by štandardná vlastnosť logaritmov

BAAB logloglog += nemohla platiť.

3.Logaritmické systémy v 17.storočí

Prvý kto sa pokúsil definovať pojem logaritmus bol Napier. V knihe „Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio“ definuje logaritmus pomocou geometrickej úvahy. Nech SQ je úsečkou dĺžky 107 a nech AZ je polpriamka. Predpokladajme, že z bodu S sa

začne pohybovať bod R, ktorého rýchlosť je daná veľkosťou úsečky RQ. V tom istom okamihu sa začne pohybovať z bodu A bod P s rovnomernou rýchlosťou veľkosti 107 (Obrázok 1). Napier nazval veľkosť úsečky AP logaritmom vzdialenosti RQ. „The Logarithme therfore of any sine is a number very neerely expressing the line,

which increased equally in the meane time, whiles the line of the whole sine decreased proportionally into that sine, both motions being equal-timed, and the beginning equally swift.“

Teda APRQ =logNap . Henri Briggs v diele Arithmetica

logarithmica začal s výrokom, že ak členy geometrickej postupnosti sú vo vzťahu s členmi aritmetickej postupnosti, tak členy aritmetickej postupnosti sa nazývajú logaritmami zodpovedajúcim členom geometrickej postupnosti „ Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant differentias“.

Tento opis bol základom všetkých logaritmických konštrukcií do roku 1649. V prvej kapitole Briggs ilustruje jeho definíciu logaritmu pre 4 verzie logaritmov : Proporcionálne

čísla Alternatívne systémy logaritmov

1 1 5 5 35 2 2 6 8 32 4 3 7 11 29 8 4 8 14 26

16 5 9 17 23 32 6 10 20 20 64 7 11 23 17

128 8 12 26 14 Tieto 4 verzie logarimov dnes môžeme vyjadriť algebraicky vzťahom

Obrázok 1

Obrázok 2

2×106 4×106 6×106 8×106 1×107

2×107

4×107

6×107

8×107

1×108

RQ

AP


209

nn +↔12 , nn +↔ 52 , nn 352 +↔ , nn 3352 −↔ . Až do čias Eulera v roku 1728, ktorého definícia logaritmu ostala nezmenená až

dodnes existovalo niekoľko logaritmických systémov:

Čísla geometrickej postupnosti Čísla aritmetickej postupnosti Napier, 1614 ( )n77 10110 −− n

Briggs, 1617 n10 n

Speidell, 1619 ( )n77 10110 −− 100

108 n−

Bürgi, 1620 ( )n48 10110 −+ 10n

Kepler, 1624 ( )n55 10110 −− n

Cavalieri, 1632 n10 10+ n Caramuel, 1670 n10 10 – n

Záver

Myšlienka logaritmu, ktorú objavil Napier (slovo logaritmus vzniklo spojením gréckych slov λόγος – pomer, άριθµός – číslo) je revolučným mílnikom v histórií. Jeho myšlienka logaritmu bola rýchlo prijatá vedcami v celej Európe ale aj v ďalekej Číne.

Krásu a silu logaritmu môžeme prezentovať na výpočte 32

104,567,238,493 . Na približný

výpočet postačuje „tabuľka logaritmov od 10 do 52“ a vedieť sčítať, odčítať a deliť tromi.

LITERATÚRA

[1] Tkačik, Š.: Why Logarithms?, In: XIV Czech-Polish-Slovak Mathematical School, Czenstochowa 2007, (v tlači)

[2] Gunčaga, J.: Limitné procesy v školskej matematike. Dizertačná práca, FPV UKF, Nitra, 2004

[3] Maor, E.: The Story of a Number, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-05854-7

[4] Fulier J.: Funkcie a funkčné myslenie vo vyučovaní matematickej analýzy. Nitra, UKF, 2001.

[5] Burn, R.P.: Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms, In: Historia Mathematica 28, 2001, ISSN: 0315-0860

ŠTEFAN TKAČIK

210

RNDr. Štefan Tkačik, PhD. Katedra matematiky Pedagogická fakulta Katolícka univerzita v Ružomberku Nám. A.Hlinku 56/1 SK – 034 01 Ružomberok e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Roman Frič, DrSc. e-mail: [email protected]


211

nnnnnn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

......

...

2211

11212111

O CRAMEROVOM PRAVIDLE

MAGDALENA TOMANOVÁ

ABSTRACT. The paper deals with the value of proofs in mathematics teaching and proves Cramer's rule (solution of equation system with n variables) using invertible matrices.

Úvod

Reforma vysokého školstva, odštartovaná zhruba pred desiatimi rokmi ,nemá priaznivý dopad na vyučovanie matematiky na technických fakultách. Tento fakt je už roky známy a známe sú aj príčiny. Jednou z nich je, niekedy až drastické, zníženie hodinovej dotácie na výučbu matematických predmetov, pričom obsah zostáva nezmenený. Stretávame sa s vytratením predmetu Lineárna algebra z osnov 1. semestra a so začlenením jeho obsahu do predmetu, ktorý sa najčastejšie označuje Matematika 1. Počet vyučovacích hodín tohto predmetu sa ale nenavyšuje. Aspoň jeden konkrétny príklad z FŠT TnUAD – v akademickom roku 2003/04 bol v osnovách prvého semestra predmet Matematika 1 s hodinovou dotáciou 4P + 3C a predmet Lineárna algebra s dotáciou 2P + 2C. O rok na to, teda v akademickom roku 2004/05, osnovy obsahovali už len predmet Matematika 1 s hodinovou dotáciou 3P + 3C. Rozdiel 5 hodín kontaktnej výučby. Zákonite sa tento jav odráža na kvalite vyučovania. V časovej tiesni núti vyučujúcich odbúravať dôkazy a logické súvislosti prednášaných tém. Matematika sa občas mení na „návody na riešenie“, či systém dobre fungujúcich algoritmov. Žiaľ približuje sa tak k predstavám o vyučovaní matematiky ktoré má časť technickej, ale i ekonomickej inteligencie.

Oblasť matematiky, v ktorej sa dá skĺznuť do učenia algoritmov je aj časť lineárnej

algebry, ktorá je venovaná maticiam, determinantom a riešeniu sústav lineárnych rovníc. Technický inžinier uvedené témy musí zvládať rutinne (až mechanicky). Neznamená to však, že aj ich sprístupňovanie vo vyučovaní má byť mechanické – na to dnes slúžia mnohé softwarové produkty. Na riešenie sústav m - lineárnych rovníc o n - neznámych slúži univerzálna Gaussova resp. Gauss-Jordanova metóda. Okrem nej je známe Cramerovo pravidlo, ktoré je použiteľné v prípade, že sústava má za riešenie jedinú n -ticu čísel.

Veta (Cramerovo pravidlo)

Nech je sústava n - rovníc o n - neznámych. Ak sa determinant matice systému nerovná nule,

0≠A , potom má systém jediné riešenie, a to ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

DD

DD

DD n,...,, 21 , kde A=D a iD je

determinant matice A , ktorý vznikne ak zameníme i -ty stĺpec n -ticou ( )nbb ...1 .

MAGDALENA TOMANOVÁ

212

nnnnnn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

......

...

2211

11212111

Praktický význam Cramerovho pravidla je hlavne pri sústavách troch rovníc s troma neznámymi. Ak je počet neznámych vyšší, použitie tohto pravidla je nevýhodné, pretože treba riešiť determinanty vyšších rádov, čo je často prácne a zdĺhavé. Dôkazu Cramerovho pravidla sa nevenuje zvláštna pozornosť. V staršej literatúre sa niekedy stretneme s rozsiahlymi dôkazmi, prípadne dôkaz nie je uvedený. Súčasné osnovy vysokoškolskej matematiky obsahujú ešte jednu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc – pomocou inverznej matice. K tejto metóde sú potrebné základné znalosti o maticových rovniciach a o inverznej matici.

Veta (o inverznej matici)

Nech )( ija=A je regulárna matica n -tého rádu. Potom k nej inverzná matica 1−A sa dá napísať v tvare:

)(.11 AA

A adj=−

A - determinant matice A

)(Aadj - adjungovaná matica – transponovaná matica algebraických doplnkov, teda T

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

adj

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

...............

...

...

)(

21

22221

11211

A

ijA - algebraický doplnok prvku ija je rovný súčinu čísla ( ) ji+−1 a determinantu matice stupňa 1−n , ktorá vznikne vynechaním i -tého riadku a j -tého stĺpca v matici A .

Veta (o riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice)

Nech je sústava n - rovníc o n - neznámych. Ak je determinant matice A rôzny od nuly, potom má sústava jediné nenulové riešenie, ktoré v maticovom tvare možno zapísať

BAX .1−=

kde ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nx

x...

1

X je matica neznámych, 1−A je inverzná matica k matici A ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nb

b...

1

B je matica pravých strán.

O CRAMEROVOM PRAVIDLE

213

Existuje úzky súvis medzi uvedenou metódou výpočtu sústav rovníc a Cramerovým pravidlom, v podstate popisuje rovnaký postup riešenia, čo sa dá jednoducho dokázať. Je možné formulovať napr. úlohu: Dokážte Cramerovo pravidlo s využitím vety o riešení sústav rovníc pomocou inverznej matice. Obmedzte sa na sústavu troch rovníc o troch neznámych. Dôkaz: Na základe uvedenej vety platí BAX .1−= Po nahradení matíc

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

122122111321231122313221

132123111331331123313321

132223121332331223323322

3

2

1 1

bbb

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

xxx

A

Pre 1x teda platí

( ) ( ) ( )[ ]31322231211332331212332332211 baaaabaaaabaaaax −+−+−=A

Súčet v zátvorke môžeme nahradiť

33323

23222

13121

1

aabaabaab

D =

a dostaneme A

11

Dx = , čo je vlastne výpočet neznámej 1x pomocou Cramerovho pravidla

Záver

V úvode sme spomenuli nízke hodinové dotácie matematických predmetov na technických fakultách. S ohľadom na túto skutočnosť nie je efektívne zaraďovanie podobných dôkazových úloh do kontaktnej výučby. Takéto úlohy je však veľmi vhodné zaradiť do samostatných seminárnych prác študentov.

LITERATÚRA

[1] Kluvánek I., Mišík L., Švec M.: Matematika 1, Bratislava, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, 1959, Pov. č. HSV-610/58 – A-694369

[2] Kaňka M., Coufal J., Klůfa J., Henzler, J.: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty, Praha, Victoria Publishing, 1996, ISBN 80-7187-148-6

[3] Matejdes M.: Lineárna algebra, Zvolen, MAT-Centrum, 1998, ISBN 80-9680-570-3

MAGDALENA TOMANOVÁ

214

RNDr. Magdalena Tomanová Katedra matematiky ÚPHV TnUAD Študentská 2 SK – 911 01 Trenčín e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc. e-mail: [email protected]


215

NUMERICKÁ KVADRATÚRA S VYUŽITÍM M-FUNKCIÍ V MATLABE

ALENA VAGASKÁ

ABSTRACT. In this paper will be described some possibilities of using program system Matlab to numeric quadrature in teaching of numerical mathematics at technical universities.

Úvod

V matematickom vzdelávaní na technických univerzitách nemožno ignorovať význam implementácie informačno-komunikačných technológií (ICT) do výučby. S rastúcim významom matematického modelovania, ktoré preniká do rôznych oblastí priemyslu, totiž súčasne narastá potreba zefektívňovania riešenia či vizualizácie matematických modelov, zvyšujú sa nároky na rýchlosť a presnosť matematických výpočtov. Keďže tieto požiadavky možno zvládnuť využívaním tzv. CAS systémov (Matlab, Maple, MathCAD...), je nevyhnutné vysokoškolských študentov, ako budúcich technikov, oboznamovať s nimi už počas štúdia na univerzite. V článku si ukážeme možnosti, ktoré nám ponúka Matlab pri numerickom integrovaní.

Numerická kvadratúra

Pri numerickom integrovaní aproximujeme určitý integrál ( )dxxfb

a∫ funkcie f na

intervale [ ]ba, na základe hodnôt funkcie f v konečnom počte bodov ix intervalu [ ]ba, . Integrovanie pomocou známych Newton-Cotesových vzorcov spočíva v myšlienke rozdelenia intervalu [ ]ba, sieťou bodov ( )ix , ni ,...,2,1= pričom bxxxa n =<<<= ...21 na jednotlivé podintervaly [ ]1, +ii xx , na ktorých potom následne aproximujeme funkciu f interpolačným polynómom iP . Vďaka aditivite integrovania aproximáciu integrálu I

na [ ]ba, dostaneme sčítaním aproximácií získaných na podintervaloch [ ]1, +ii xx :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxPdxxfdxxfdxxfdxxfIn

i

x

x

ix

x

x

x

x

x

b

a

i

i

n

n

∑ ∫∫∫∫∫−

=

+

−

≈+++==1

1

1

1

3

2

2

1

... . (1)

Ak iP je „dobrá“ aproximácia funkcie f na [ ]1, +ii xx , tak ( )dxxPi

i

x

x

i∫+1

je „dobrá“

aproximácia ( )dxxfi

i

x

x∫+1

a chyba integračného N-C vzorca je menšia. Pre rovnomernú sieť

bodov ( )ix je hxx ii =−+1 .konšt= , sú uzly interpolácie rozložené rovnomerne. V závislosti od stupňa s interpolačného polynómu iP získavame odpovedajúce elementárne N-C vzorce: obdĺžníkový, lichobežníkový, Simpsonov, Booleov a Milneho vzorec (písané postupne pre 4,3,2,1,0=s , kde 1−= ms , m je počet uzlov interpolácie).

ALENA VAGASKÁ

216

Pre elementárne N-C vzorce môžeme písať všeobecný kvadratúrny vzorec ( ) fw ..abI −= v ktorom w je riadkový vektor váh a f je stĺpcový vektor funkčných hodnôt ( f -hodnôt)

v uzloch interpolácie, t.j. [ ] Tm1 fff ,...,, 2=f . Pre riadkový vektor váh platí: ak 2=m ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

21,

21w ; ak 3=m , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

61,

64,

61w ; ak 4=m ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

81,

83,

83,

81w , ak 5=m ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

907,

9032,

9012,

9032,

907w . Aplikovaním elementárnych N-C vzorcov na podintervaly

[ ]1, +ii xx a využitím vzťahu (1) získavame zložené N-C vzorce. Využitie Matlabu a M-funkcií v aplikáciach numerickej kvadratúry

Ukážme si, ako môžeme pomocou Matlabu numericky vypočítať určitý integrál, ku ktorému sa dostaneme po aplikácii teórie diferenciálnych rovníc pri riešení nasledovného problému. Každý tepelný proces, teda aj ohrev vody, môžeme popísať diferenciálnou rovnicou.

Ak by sme mali určiť čas t , za ktorý elektrickou špirálou ohrejeme kg1 vody z izbovej teploty C°20 na teplotu varu C°100 , ak vieme, že elektrické napätie je V120 , odpor špirály Ω4,14 a je známe, že kg1 vody ochladne zo C°40 na C°30 za 10 minút; tak počas riešenia sa dopracujeme k diferenciálnej rovnici ohrevu vody, ktorá za daných podmienok vyzerá nasledovne:

30

2ln.600

2ln24,0 +−= TdtdT . (1)

Odtiaľ separáciou premenných a aplikáciou určitého integrálu nájdeme hľadaný čas t :

[ ] s.4212ln2ln20144ln2ln

6002ln2ln20144

600 10020

100

20≈−+−=

−+= ∫ T

TdTt (2)

Hľadaný čas t ohrevu vody na požadovanú teplotu je teda ss 1min7421 =≈t .

Je zrejmé, že určitý integrál zo vzťahu (2) sa dá vypočítať aj analyticky, jeho presná

hodnota je ( ) 9201059,420144ln2ln1002ln20144ln.2ln

600=−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − . Vďaka tomu pri

numerickej kvadratúre budeme vedieť určiť, akej skutočnej chyby sa dopustime pri aproximácii podľa jednotlivých metód.

Pri aproximácii určitého integrálu zo vzťahu (2) nám Matlab ponúka viaceré možnosti. Buď editujeme príkazy (podľa jednotlivých N-C vzocov) rovno do promptu, čo je zdĺhavejšie, alebo môžeme použiť M-fukcie. Uveďme si najprv ukážku numerickej integrácie v Matlabe bez použitia M-funkcií. Zvoľme pre náš prípad numerickú integráciu pomocou lichobežníkovej a Simpsonovej metódy s vopred daným počtom podintervalov

8=n . Využijúc lichobežníkový (3) a Simpsonov (4) zložený vzorec

( ) ( )( )nn

b

aTTTThdTTf ++++= −∫ 110 ...2.

2, (3)

( ) ( )nn

b

aTTTTTTThdTTf +++++++= −∫ 143210 4...2424.

3, (4)

budeme do jednotlivých promptov editovať nasledujúce príkazy, vďaka ktorým po odklepnutí cez Enter získame aproximáciu určitého integrálu. Ak nechceme, aby nám


217

Matlab vypisoval jednotlivé hodnoty, stačí na konci posledného príkazu v prompte napísať bodkočiarku. >> a=20;b=100; h=(b-a)/8; x=linspace(a, b, 9) x = 20 30 40 50 60 70 80 90 100 >> fx=600*((144 + 20*log(2) - x.*log(2)).^(-1)) fx = 4.1667 4.3774 4.6105 4.8699 5.1602 5.4873 5.8587 6.2841 6.7760 >> Lich=h*( (fx(1)+fx(9))/2 + sum(fx(2:8)) ) Lich = 421.1948 >> Simp=(h/3)*(fx(1)+4*fx(2)+2*fx(3)+4*fx(4)+2*fx(5)+4*fx(6)+2*fx(7)+4*fx(8)+fx(9)) Simp = 420.9210

Vidíme, že využitím zložených N-C vzorcov už pri Simpsonovej metóde dostávame celkom presný výsledok. Ak by sme sa rozhodli zvyšovať presnosť aproximácie zvyšovaním počtu podintervalov, či využiť Booleov alebo Milneho vzorec, museli by sme vždy nanovo editovať zmenené zložené N-C vzorce do príkazových riadkov, čo by bolo pomerne pracné. Ukážme si, ako možno tomu elegantne predísť využitím M-funkcií, ktoré nám umožňujú modifikovať kolekciu príkazov (meniť N-C vzorce či počet podintervalov) bez pracného vpisovania zmien do promptov.

M-funkcie M-súbory systému Matlab (t.j. súbory *.m) sú dvoch typov – buď sú to scripty, alebo

M-funkcie. Vytvárame ich ako užívatelia systému a rozširujeme nimi možnosti systému vzhľadom na naše konkrétne potreby. Výhodou M-funkcie oproti scriptu je, že funkcia môže pracovať s ľubovoľným počtom vstupných a výstupných argumentov a „komunikuje“ s okolím len prostredníctvom nich. Práca s nimi je rovnako pružná ako s funkciami „built-in“ (zabudovanými do systému).

M-funkcia je (po obsahovej stránke) postupnosť príkazov zapísaná do súboru pod

nejakým menom. Súbor musí mať vždy rovnaké meno ako funkcia. M-funkciu napíšeme v editore Matlabu, ktorý vyvoláme cez Menu: File/New/M-file, po napísaní ju ukladáme vo formáte M-files (*.m). Prvý riadok M-funkcie musí začínať kľúčovým slovom function a za ním nasleduje vektor výstupných argumentov, meno funkcie a v okrúhlych zátvorkách mená vstupných argumentov. Do druhého a prípadne ďalších riadkov M-funkcie je vhodné písať komentár. Takéto riadky musia začínať symbolom „%“, vtedy ich interpreter Matlabu ignoruje. Odporúča sa písať komentár aj pre krátke funkcie. Vďaka komentáru bude totiž pre nás M-funkcia zrozumiteľná aj po dlhšom čase a taktiež si pripomenieme význam a poradie vstupných a výstupných argumentov, čo je nevyhnutné pre správne volanie funkcie. Riadky komentára zobrazujeme príkazom „help menofunkcie“. Ukážme si príklad prvej M-funkcie nazvanej „NCvahy“, ktorú potrebujeme pri riešení našej problematiky. Už z jej pomenovania je jasné, že nám poskytuje vektory váh, ktoré využijeme v druhej M-funkcii nazvanej „NCqelem“ (viď obr.1).

ALENA VAGASKÁ

218

function w=NCvahy(m) %Vahy pre Newton-Cotesove formule (uzavreteho typu) % m: 2 <= m <= 5 pocet uzlov pre interpolacny polynom if m==2 w=[1 1]/2; %lichobeznikovy vzorec elseif m==3 w=[1 4 1]/6; %Simpsonov vzorec elseif m==4 w=[1 3 3 1]/8 %Booleov vzorec else w=[7 32 12 32 7]/90; %Milneho vzorec end

Názov „NCqelem“ nie je náhodný. Písmeno „q“ je začiatočným písmenom anglického slova „quadrature“ = “kvadratúra“, „elem“ je skrátenie slova „elementárne“. Funkcia „NCqelem“ teda realizuje kvadratúru Newton-Cotesovými kvadratúrnymi elementárnymi vzorcami podľa vzťahu ( ) fw ..cdI −= , ak interval integrovania je [ ]dc, , w je riadkový vektor váh a f je stĺpcový vektor funkčných hodnôt funkcie v uzloch interpolácie.

Obr.1 Zápis M-funkcie „NCqelem“ v editore Matlabu

Ak chceme pomocou M-funkcie „NCqelem“ aproximovať určitý integrál (2), ku ktorému sme dospeli riešením diferenciálnej rovnice ohrevu, tak je vhodné funkciu vystupujúcu ako integrand v (2) zapísať ako M-funkciu napr. s názvom „IDRohrevu“. function y=IDRohrevu(x) % num.kvadratura integralu z DR ohrevu y=600*((144+20*log(2)-x.*log(2)).^(-1))

Podľa komentára funkcie „NCqelem“ je zrejmé, že „IDRohrevu“ bude prvým

vstupným argumentom M-funkcie „NCqelem“. Nasledujúcou ukážkou použitia M-funkcie „NCqelem“ ilustrujeme, že pri kvadratúre elementárnymi vzorcami zvyšovaním počtu uzlov interpolácie m v intervale [ ] [ ]100,20, =dc sa zvyšuje presnosť integrovania. Je nám jasné, že prvý výsledok sme získali pomocou elementárneho lichobežníkového vzorca (2 uzly interpolácie), druhý elementárnym Simpsonovym vzorcom (3 uzly), tretí Booleovym vzorcom (4 uzly) a štvrtý výsledok pomocou elementárneho Milneho vzorca (5 uzlov).


219

>> format long >> for i=2:5, aprox(i)=NCqelem('IDRohrevu',20,100,i); end, aprox(2:5) ans = 1.0e+002 * 4.37705412497180 4.21113536472869 4.21008046716879 4.20922133759089

Vidíme, že zvyšovanie počtu uzlov interpolácie (a tým aj stupňa interpolačného polynómu) viedlo k zvýšeniu presnosti elementárneho N-C vzorca. No neplatí to vždy. Ak

by sme zobrali napr. Rungeho funkciu ( )125

12 +

=x

xf , o ktorej je známe, že ju

interpolačné polynómy s rovnomerne rozloženými uzlami neaproximujú dobre, tak zvyšovanie stupňa interpolačného polynómu by neviedlo k lepším výsledkom pri výpočte

určitého integrálu dxx∫ +

1

02 1251 . Preto je výhodnejšie najprv rozdeliť interval [ ]dc, na

podintervaly a až na nich uplatniť elementárne N-C kvadratúrne vzorce. Vtedy hovoríme o kvadratúre pomocou zložených N-C vzorcov. To, že týmto spôsobom získame presnejšie výsledky už pri nižšom stupni interpolačného polynómu, nám dokazujú výsledky, ktoré sme získali pomocou zloženého lichobežníkového a Simpsonovho vzorca priamym editovaním príkazov do promptov.

Ukážme si, že aj pri tzv. zloženej kvadratúre môžeme výhodne využiť M-funkcie, vďaka čomu sa rýchlo dopracujeme k výsledkom pri ľubovoľnej modifikácii vstupných argumentov. Vytvorme si M-funkciu s názvom „NCqzloz“ podľa danej predlohy:

function y=NCqzloz(maf,a,b,m,n) % Newton-Cotesova kvadratura na [a,b] % m - pocet uzlov elem.vzorca na podintervale % n - pocet podintervalov na [a,b] % w=NCvahy(m); %vektor vah x=linspace(a,b,n*(m-1)+1); %vektor uzlov na [a,b] fx=feval(maf,x); fx=fx(:); %fx bude stlpcovy vektor f-hodnot y=0; index1=1; index2=m; for i=1:n y=y + w*fx(index1:index2); index1=index2; index2=index2 + m-1; end y=y*(b-a)/n;

Aproximujme určitý integrál z (2) pomocou funkcie „NCqzloz“. Ak sa rozhodneme, že počet podintervalov bude trebárs 8=n a na každom z nich použijeme Booleov vzorec, t.j.

4=m , jednoduchým volaním funkcie rýchle získame výsledok – bez pracného vypisovania zložených vzorcov do príkazových riadkov. >> NCqzloz('IDRohrevu', 20, 100, 4, 8) ans = 4.209201316352159e+002

ALENA VAGASKÁ

220

Na záver si ukážme, čo nám Matlab pri numerickej kvadratúre ešte ponúka. Napr. vo verzii MATLAB 7 máme k dispozícii M-funkciu „quadl“, ktorej podstatou sú moderné metódy numerického integrovania používajúce adaptívne algoritmy. Ide o to, že M-funkcia používa adaptívny NC vzorec, čo znamená, že algoritmus optimálne určuje polohu bodov, v ktorých sa vyčísľujú hodnoty funkcie (nejde teda o rovnomerné rozloženie uzlov interpolácie). Napr. pre náš prípad by volanie funkcie vyzeralo takto:

>> [nI,k]=quadl('IDRohrevu', 20, 100, 5e-8) nI = 4.209201059354103e+002

Volanie funkcie aj so štvrtým vstupným argumentom umožňuje stanoviť chybu výpočtu. Záver

Na základe skúsenosti s výučbou cvičení z predmetu Numerická matematika a štatistika môžeme vysloviť presvedčenie, že vhodnou kombináciou klasických metód vyučovania s novými metódami, využívajúcimi softwérovu podporu, docielime skvalitnenie a zefektívnenie edukačného procesu. V rámci edukačného procesu je vhodné počas výučby numerickej kvadratúry prejsť aj štádiom „nevyužívania“ M-funkcií v Matlabe, aby si študenti vpisovaním elementárnych či zložených vzorcov do jednotlivých príkazových riadkov Matlabu nielen osvojovali dané vzorce, ale aby si aj uvedomovali princípy numerickej kvadratúry.

LITERATÚRA

[1] Пономарев, К. К.: Составление дифференциальных уравнений. Минск: Выщзйщая школа, Минск, 1973.

[2] Volauf, P.: Numerické a štatistické výpočty v Matlabe. Bratislava: STU, 2005, ISBN 80-227-2259-6

PaedDr. Alena Vagaská, PhD. Katedra matematiky, informatiky a kybernetiky Fakulta výrobných technológií so sídlom v Prešove Technická univerzita v Košiciach Bayerova 1 SK – 080 01 Prešov e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. PaedDr. Peter Beisetzer, PhD. e-mail: [email protected]


Príspevok vznikol s podporou grantu Názornosť vo vyučovaní matematiky (priestorová predstavivosť) celoškolskej grantovej agentúry UKF v Nitre s registračným číslom V/5/2005

221

CABRI 3D V ŠKOLSKEJ STEREOMETRII A METÓDA PRIDAJ KOCKU

DUŠAN VALLO, JÚLIA ZÁHORSKÁ

ABSTRACT: In our contribution we are concerned with solution stereometry problems supported by software Cabri 3D. Our main purpose is also the presentation one metod called “Add cube”, which could be usefull by searching special orthogonal linear shapes.

Úvod

V tomto príspevku budeme prezentovať výhody interaktívneho geometrického programu Cabri 3D a možnosti jeho použitia pri riešení niektorých vybraných stredoškolských úloh zo stereometrie. Súčasne poukážeme na účinnú didaktickú metódu (s pracovným názvom „metóda pridania kocky“), ktorej použitie v metrických úlohách výrazne napomôže k lepšej priestorovej orientácii, podporí argumentačnú bázu a nakoniec privedie študenta k riešeniu samotného problému.

Myšlienka metódy pridaj kocku

V metrických úlohách zo stereometrie majú študenti problém, ako nájsť vhodný kolmý útvar (priamku, rovinu), pomocou ktorého určia odpovedajúcu vzdialenosť, resp. veľkosť uhla. Tí šikovnejší, s lepšou priestorovou orientáciou, často intuitívne odhadnú polohu kolmého útvaru, avšak zdôvodnenie môže so sebou priniesť isté komplikácie, najmä v prípadoch, ak sa hľadané kolmé útvary nachádzajú mimo danej kocky.

Myšlienka metódy „pridaj kocku“ je jednoduchá – k danej kocke, na ktorej sa rieši úloha, sa pridá kocka, resp. viac kociek, takým spôsobom, že kocky majú spoločnú stenu a vytvoria pomerne názorné, študentom známe teleso. Z vlastností tohto telesa ľahko odvodia argumenty podporujúce opodstatnenosť výberu kolmého útvaru. Vyššie uvedené myšlienky demonštrujeme na troch príkladoch. Príklad 1

Vypočítajte vzdialenosť bodu B od roviny AHF v kocke ABCDEFGH, ak 1AB = .

Riešenie. Z názorného obrázku je jasné, že kolmica k z bodu B na rovinu AHF nepretína kocku ABCDEFGH. Doplníme teda jednu jednotkovú kocku tak, ako je na obr. 1, čím vznikne kváder A*B*CDE*F*GH a zostrojíme rez rovinou AHF . V doplnenej kocke


222

Obr. 1

A*B*BAE*F*FE je rezom rovnostranný trojuholník AB*F (jeho strany sú stenové uhlopriečky). Trojuholník AB*F je podstavou pravidelného trojbokého ihlana AB*FB s vrcholom B a teda kolmica k z bodu B na rovinu AHF je výška ihlana. Päta kolmice –

bod 0B je stredom podstavy a zároveň aj ťažiskom trojuholníka AB*F . Vypočítame výšku ihlana! Nech 1S je stred štvorca * *ABB A . V pravouhlom trojuholníku 1S FB majú odvesny

dĺžky 1BF = , 12

2BS = .

Prepona podľa Pytagorovej vety je 16

2FS = a pre obsah S trojuholníka 1FS B platí

1 0 12. . .S FS BB BS FB= = .

Číselne 06 2 1

2 2BB⋅ = ⋅ . Odtiaľ 0

33

BB = .

Príklad 2

Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte uhol priamok EC , BG , ak 1AB = .

Riešenie. V drôtenom modeli kocky ABCDEFGH vyznačíme úsečky EC, BG. Vidíme, že sú to mimobežky. Bodom C zostrojíme úsečku

*CG rovnobežnú s úsečkou CG a pridáme kocku DCC*D*HGG*H*. Vznikne štvorboký hranol ABFED*C*G*H*. Pomocou Pytagorovej vety vypočítame dĺžky strán trojuholníka ECG*. Uhlopriečka štvorca s dĺžkou strany 1 má dĺžku 2 , preto 2AC = a tiež * 2BG CG= = . Pre

telesovú uhlopriečku EC platí 2 2 3EC AE AC= + = .


223

Obr. 2

Strana *EG trojuholníka ECG* je preponou trojuholníka EFG* v hornej podstave kvádra, pričom odvesny majú dĺžky 1a 2. A teda

2 2* 1 2 5EG = + = .

Ak ϕ je uhol priamok EC , *CG , potom podľa

kosínusovej vety platí

2 2 2* * 2. . * .cosEG EC CG EC CG ϕ= + − . Číselne:

( ) ( ) ( )2 2 25 3 2 2. 3. 2.cosϕ= + − a odtiaľ cos 0 90ϕ ϕ= ⇒ = .

Nasledujúci príklad patrí medzi náročnejšie úlohy zo stredoškolskej stereometrie.

Príklad 3

Vypočítajte vzdialenosť priamok HF , BG v kocke ABCDEFGH , ak 1AB = . Riešenie. Vzdialenosť dvoch mimobežiek určuje dĺžka osi mimobežiek, t.j. úsečky kolmej na obe priamky. Predpokladáme, že čitateľovi je jasný postup konštrukcie osi dvoch mimobežiek a v ďalšom texte sa sústredíme len na ukážku riešenia metódou „pridaj kocku“. Označíme HF q= , BG p= . Bodom G budeme pomocnú priamku q* rovnobežnú s HF q= . Priamka q* prechádzajúca bodom G , nepretína kocku ABCDEFGH v inom bode než G. Doplníme teda priestor ďalšími 7 kockami (obr. 3a, b) na jednu „veľkú“ kocku, pozostávajúcu z 8 jednotkových kociek. Zostrojíme rez rovinou α určenou priamkami p, q*. Rezom je pravidelný šesťuholník, ktorý môžeme a budeme považovať na podstavu pravidelného šesťbokého ihlana s vrcholom v bode E*, keďže dĺžka každej hrany vychádzajúcej z vrcholu E* je uhlopriečkou obdĺžnika s rozmermi 1x2 ako vidíme na obr. 3b.


224

Obr. 3a

Obr. 3b

Kolmým priemetom vrcholu ihlana E* do roviny podstavy je bod P, ktorý je nielen stredom podstavy ihlana, ale súčasne aj stredom „veľkej kocky“. Z toho vyplýva, že hľadaná kolmica k (kolmá na priamky p a q* ) prechádza bodom P a je telesovou uhlopriečkou „veľkej“ kocky . Následne, rovina β , určená priamkami k, p a zobrazená na obr. 3c ako rovnobežník, pretne


225

Obr. 3c

úsečku EF v strede 1S . Prienik priamok q, 1GS je jeden z hľadaných bodov osi – bod K. Bodom K zostrojená rovnobežka s priamkou k pretína priamku p v druhom bode L osi o. Musíme vypočítať dĺžku úsečky KL. V prvom rade bod K je ťažiskom

Obr. 3d

trojuholníka BGE* (na obr. 3d sme doplnili zhodný štvorec

0 0E F FE a uhlopriečku 0HF obdĺžnika

0 0HGF E . Ťažnice 1,GS HF trojuholníka

0HGF sa pretínajú ťažisku K a tým je úsečka 1GS rozdelená bodom K v pomere 1: 2 . Súčasne je úsečka 1GS aj ťažnicou v trojuholníku BGE*) . V trojuholníku BGE* je úsečka KL kolmá na BG (KL je osou mimobežiek) a rovnobežná s GE* , preto z podobnosti vyplýva, že má tretinovú dĺžku z * 3GE = , t.j.

číselne 1 33

KL = ⋅ .

Záver

Záverom ešte dve drobné pripomienky. Hoci sme ukázali, ako šikovne a nápadito riešiť komplikovanejšie stereometrické úlohy, musíme upozorniť, že v klasickej školskej výučbe predstavuje metóda „pridaj kocku“ prístup didakticky menej vhodný. Problematická je najmä viditeľnosť jednotlivých hrán názorného telesa, ak bola na papier, resp. tabuľu ako prvá umiestnená daná kocka. Počítačový program Cabri 3D tieto komplikácie úplne


226

eliminuje, keďže jeho konštrukčné nástroje umožňujú užívateľovi manipuláciu s objektmi, prezeranie si konštrukcií z rôznych pohľadov a naviac má program priamo zabudovaný konštrukčný nástroj na pridávanie zhodných kociek (obrázky v texte boli zostrojené v tomto programe). Druhý postreh sa týka samotnej kocky. Kocka je najpreferovanejšie teleso školskej stereometrie a metóda „pridaj kocku“ si môže nájsť svoje uplatnenie. Vo výučbe je potrebné venovať pozornosť aj iným rovnobežnostenom, ako i hranolom a ihlanom a analogická metóda s pracovným názvom „pridaj rovnaké teleso“ by vo všeobecnosti mohla viac skomplikovať úlohu, než je žiaduce.

LITERATÚRA

[1] Kuřina, F.: 10 pohledu na geometrii, Albra Praha 1996, ISBN 80-85823-21-7

[2] Vidermanová, K.: Výučba stereometrie a rozvoj priestorovej predstavivosti pomocou počítačových programov, In. Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní matematiky, Nitra, 2005 Prírodovedec č. 199, ISBN 80-8050-925-5

RNDr. Dušan Vallo Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Mgr. Júlia Záhorská Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Peter Csiba, PhD. e-mail: [email protected]


227

POZNÁMKA K NIEKTORÝM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM VYŠŠÍCH RÁDOV

MAREK VARGA

ABSTRACT. This article deals with solving of first and higher grade differential equations employing derivation of implicitly given function.

Úvod

Skúmanie fyzikálnych problémov nás často privedie k riešeniu diferenciálnych rovníc. Táto situácia nastane aj v prípade sledovania pohybu mechanického oscilátora. Ak naň totiž pôsobí sila F, ktorá mu udelí počiatočné zrýchlenie a, podľa 2. Newtonovho zákona môžeme písať

2

2d yF ma mdt

= = ,

kde y = y(t) je okamžitá výchylka oscilátora s hmotnosťou m v čase t. Pre túto elastickú silu F však súčasne platí

F ky= − , kde k > 0 je konštanta úmernosti (znamienko „–“ je spôsobené opačnou orientáciou sily F a výchylky y). Keďže máme dve možnosti ako vyjadriť silu F, dostávame diferenciálnu rovnicu

2

2d ym kydt

= − ,

resp. ak označíme km

ω= , dostávame

22

2 0d y ydt

+ ω = .

Skôr než ju budeme riešiť, pomôžme si tradičným označením z fyziky pre derivácie podľa

času, totiž 2

2,dy d yy ydt dt

= = .

V knihe [1] sa uvádza takýto postup na výpočet našej diferenciálnej rovnice: vynásobme ju funkciou y , potom máme

2 0yy yy+ ω = . Keďže platí

212

dyy ydt⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a zároveň 212

dyy ydt⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

dostávame 2 2 21 1 0

2 2d y ydt⎛ ⎞+ ω =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

MAREK VARGA

228

Odtiaľ už vyplýva, že výraz 2 2 21 1

2 2y y+ ω

je kladnou konštantou (označme ju 2 2aω ), tj. 2 2 2 2 21 1

2 2y y a+ ω = ω .

Po úprave dostávame diferenciálnu rovnicu

2 2

dy dta y

= ω−

,

ktorej riešením je funkcia ( )siny a t= ω + α .

V článku sa pokúsime nájsť ďalšie typy diferenciálnych rovníc, kde by sme mohli použiť opísaný šikovný obrat.

Diferenciálne rovnice prvého rádu

Nech y je funkcia premennej x, tj. y = y(x). Pre deriváciu mocnín tejto funkcie potom platí

( ) ( )2 3 22 , 3y yy y y y′ ′′ ′= = …

Tento fakt využívame v „opačnom garde“, tj.

2 2 31 1,2 3

yy y y y y′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠…

Nech ( )P P x= je funkcia premennej x, ktorá je integrovateľná. Potom diferenciálnu rovnicu tvaru

( )ny y P n R′ = ∈ môžeme riešiť naznačeným postupom. Tj. keďže

111

n ny y yn

+′⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠,

dostávame

111

ny Pn

+′⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

a potom

( )1 1ny n P dx+= + ∫ .

Poznámka. Vidíme, že vyššie opísaným postupom môžeme riešiť istý typ separovateľných diferenciálnych rovníc ( ) ( ) 0a x dx b y dy+ = , totiž pre ( ) nb y y= .

POZNÁMKA K NIEKTORÝM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM VYŠŠÍCH …

229

Diferenciálne rovnice vyšších rádov

Nech y je ešte stále funkciou premennej x, tj. y = y(x). Pre derivácie vyšších rádov funkcie y zrejme platí

( ) ( ) ( )2 3 22 , 3y y y y y y

′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′′ ′ ′ ′′= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

…

Resp., z „druhej strany“:

( ) ( ) ( )2 2 31 1,2 3

y y y y y y′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′′ ′ ′ ′′ ′= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦…

To znamená, že aj diferenciálne rovnice druhého rádu tvaru

( ) ( )n

y y P n R′ ′′ = ∈

môžeme riešiť nasledovne – keďže

( ) ( ) 111

n ny y y

n

+ ′⎡ ⎤′ ′′ ′= ⎢ ⎥+⎣ ⎦,

dostaneme

( ) 111

ny P

n

+ ′⎡ ⎤′ =⎢ ⎥+⎣ ⎦.

Riešením sú potom funkcie y, pre ktoré platí

( )1 1ny n P dx dx+= +∫ ∫ .

Túto myšlienku môžeme samozrejme ďalej zovšeobecňovať. Pre funkciu y = y(x) totiž platí

( ) ( ) ( )2 241 1,2 2

y y y y y y′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′′ ′′ ′′′ ′′′= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦…

Preto môžeme diferenciálnu rovnicu tvaru ( ) ( )1n ny y P+ =

prepísať na tvar

( )( )212

ny P′⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

,

odkiaľ už ľahko nájdeme hľadanú funkciu y. Navyše aj diferenciálne rovnice typu

( ) ( )1mn ny y P+⎡ ⎤ =⎣ ⎦

môžeme zjednodušiť prepisom na tvar

( )( ) 111

mny Pm

+ ′⎡ ⎤ =⎢ ⎥+⎣ ⎦,

odkiaľ už zistíme predpis hľadanej funkcie y.

MAREK VARGA

230

Poznámka. Vyššie uvedené diferenciálne rovnice sú špeciálnymi prípadmi diferenciálnych rovníc typu

( )( ), , , 0kF x y y y′ ′′ =… , resp. ( ) ( ) ( )( )1, , , 0k k sF x y y y+ =… .

Obvykle ich riešime substitúciou z y′= , resp. ( )kz y= ; kde z = z(x).

Záver

Ak y = y(x) je funkcia premennej x, pre jej derivácie platí

( )( ) ( )( ) ( )1 1m mn n ny m y y− +

′⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦.

V článku sme ukázali ako možno tento fakt (a jeho rozmanité variácie) využiť pri riešení istých typov diferenciálnych rovníc vyšších rádov.

LITERATÚRA

[1] Kvasnica, J.: Matematický aparát fyziky; Academia, Praha, 1997, ISBN 80-200-0603-6.

[2] Piskunov, N.S.: Differenciaľnoje i integraľnoje isčislenija; Gosudarstvennoje izdateľstvo techniko – teoretičeskoj literatury, Moskva, 1957.

PaedDr. Marek Varga, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. e-mail: [email protected]


231

ŠTATISTICKÉ VYHODNOTENIE EXPERIMENTU SO STAVEBNICOU POLYDRON

KITTI VIDERMANOVÁ

ABSTRACT. This paper deals with the system POLYDRON and it’s using in teaching of spatial geometry. We write about one experiment with this system. We researched it’s effectiveness in the teaching of nets of cubes.

Úvod

Za jednu z priorít vyučovania matematiky na všetkých stupňoch škôl považujeme rozvoj priestorovej geometrickej predstavivosti. V každodennej vyučovacej praxi je vidieť, že tradičný vyučovací obsah geometrie aplikovaný tradičnými vyučovacími technológiami neprináša požadovaný a očakávaný efekt. Je potrebné vnášať do vyučovania geometrie nové didaktické postupy. V praxi sa osvedčil princíp využívania manipulácií. Pomôcky na aplikovanie manipulácií je možné špecificky navrhnúť, kúpiť, alebo jednoducho vytvoriť z papiera. V tomto príspevku predstavujeme stavebnicu Polydron, ktorá môže slúžiť ako vhodná didaktická pomôcka pri výučbe geometrických útvarov a telies. V praxi sme pomocou experimentu overili jej využitie pri hľadaní sietí kocky.

Stavebnica POLYDRON

Polydron je systém pevných farebných modelov nasledovných útvarov: rovnostranný trojuholník (v dvoch veľkostiach), rovnoramenný trojuholník, pravouhlý rovnoramenný trojuholník, štvorec, obdĺžnik, pravidelný päťuholník a pravidelný šesťuholník. (Existujú sady, ktoré obsahujú aj iné útvary, napr. časti valca a gule). Základná vlastnosť modelov uvedených n-uholníkov spočíva v možnosti jednoduchého spájania pomocou závesnej svorky. Na spojenej hrane je možné vykonať „ohýbanie“. Táto vlastnosť umožňuje využitie týchto modelov pri zhotovovaní rôznych konvexných i nekonvexných telies. Jednotlivé útvary sú vyrábané z umelej hmoty v štyroch farbách: červená, modrá, zelená a žltá. [2]

Experiment SIETE KOCKY

Pomocou experimentu skúmame úlohu nájsť všetky siete kocky. Táto úloha a jej riešenie sa vyskytuje v rôznych prácach. Je vďačným námetom, pretože umožňuje experimentovať, tvoriť hypotézy a overovať ich nenáročným laboratórnym postupom.

Pod pojmom sieť kocky rozumieme rovinný mnohouholník, ktorého zložením vznikne kocka. V niektorých prácach sa navrhuje používať termín rozvinutý povrch. Za zhodné (rovnaké) siete považujeme tie, ktoré majú tú vlastnosť, že jednu je možné pokryť druhou.

Daná úloha má jedenásť riešení – kocka má jedenásť rôznych sietí. Na obr. 1 uvádzame všetkých jedenásť aj s príslušným očíslovaním, ktoré sme využívali pri vyhodnotení študentských riešení.

KITTI VIDERMANOVÁ

232

Obrázok 1: Jedenásť sietí kocky

Študentov sme rozdelili na dve skupiny – experimentálnu a kontrolnú. Študenti v skupinách pracovali pri riešení daného problému samostatne. Študentov sme si označili ako Š1 – Š 40. Rozdelenie študentov v rámci skupín uvádzame v tab. 1 a v tab. 2.

Experimentálna skupina 20 študentov (Š1 – Š20) 1. ročník (kvinta) 2. ročník Gymnázium 6 (2) študentov 6 študentov SOŠ 5 študentov 3 študenti

Tabuľka 1:Počet zúčastnených študentov v experimentálnej skupine

Kontrolná skupina 20 študentov (Š 21 – Š 40) 1. ročník (kvinta) 2. ročník Gymnázium 6 (3) študentov 5 študentov SOŠ 6 študentov 3 študenti

Tabuľka 2:Počet zúčastnených študentov v kontrolnej skupine

V experimentálnej skupine sme rozdali každému študentovi šesť kusov štvorcov stavebnice Polydron a štvorčekový papier pre zakreslenie nájdených riešení. V tab. 3 uvádzame úspešnosť študentov experimentálnej skupiny a v tab. 4 úspešnosť študentov kontrolnej skupiny.

V kontrolnej skupine každý študent kreslil sieť kocky podľa vlastnej predstavivosti.

V tabuľkách vidíme, že všetci študenti objavili sieť č. 1. Najmenšie zastúpenie v študentských riešeniach mali siete č. 10 a č. 11.

V tabuľke je pri danej sieti telesa 1, ak daný študent sieť našiel; a 0, ak táto sieť nebola

zakreslená v jeho riešení.

ŠTATISTICKÉ VYHODNOTENIE EXPERIMENTU SO STAVEBNICOU …

233

Študent Počet

nájdených sietí

Sieť č. 1

Sieť č. 2

Sieť č. 3

Sieť č. 4

Sieť č. 5

Sieť č. 6

Sieť č. 7

Sieť č. 8

Sieť č. 9

Sieť č.10

Sieť č.11

Š1 9 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Š2 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Š3 10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Š4 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Š5 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Š6 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Š7 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Š8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Š9 8 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

Š10 10 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Š11 10 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Š12 8 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Š13 7 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 Š14 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Š15 8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Š16 8 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 Š17 9 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 Š18 7 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 Š19 10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Š20 7 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0

Úspešnosť sietí kocky 20 19 19 18 19 13 17 15 16 11 13

Tabuľka 3: Úspešnosť riešenia študentov experimentálnej skupiny

Študent Počet

Nájdených sietí

Sieť č. 1

Sieť č. 2

Sieť č. 3

Sieť č. 4

Sieť č. 5

Sieť č. 6

Sieť č. 7

Sieť č. 8

Sieť č. 9

Sieť č.10

Sieť č.11

Š21 8 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Š22 6 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 Š23 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Š24 9 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 Š25 5 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Š26 9 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 Š27 5 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 Š28 10 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 Š29 9 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 Š30 7 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 Š31 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Š32 7 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 Š33 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Š34 8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Š35 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Š36 7 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 Š37 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Š38 8 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0

KITTI VIDERMANOVÁ

234

Š39 9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 Š40 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Úspešnosť sietí kocky 20 20 16 15 19 17 13 9 11 8 6

Tabuľka 4: Úspešnosť riešenia študentov kontrolnej skupiny

Výsledky experimentu

Skúmali sme nasledovnú výskumnú hypotézu H1: H1: Používanie stavebnice Polydron je efektívne pri vyučovaní sietí kocky. Stanovili sme si nulovú hypotézu nasledovne:

0H : Nie je štatisticky významný rozdiel v počte nájdených sietí kocky medzi experimentálnou a kontrolnou skupinou študentov.

Overili sme, či výberové súbory sú realizáciami náhodných výberov z normálnych

rozdelení. V štatistickom programe STATISTICA pomocou normálneho pravdepodobnostného grafu (obr. 3 a 4) sme zistili, že body ležia blízko priamky, čo svedčí o normalite rozdelenia.

Normál. p-graf:EXP

6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5

Hodnota

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Oče

k. n

orm

ál. h

odno

ta

Obrázok 3:Normálny pravdepodobnostný graf pre experimentálnu skupinu

ŠTATISTICKÉ VYHODNOTENIE EXPERIMENTU SO STAVEBNICOU …

235

Normál. p-graf:KONTR

4 5 6 7 8 9 10 11 12

Hodnota

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Oče

k. n

orm

ál. h

odno

ta

Obrázok 4: Normálny pravdepodobnostný graf pre experimentálnu skupinu

Budeme testovať hypotézu, ktorá tvrdí, že stredná hodnota počtu nájdených sietí kocky je v obidvoch skupinách rovnaká oproti hypotéze, že nie je rovnaká. Náš testovací problém má tvar

0 1 2H : µ =µ proti 1 2H1: µ µ≠ . Aby sme vedeli vybrať testovacie kritérium, vypočítame charakteristiky pre

experimentálnu aj kontrolnú skupinu: experimentálna skupina: 2

1n=20; x=9; s =1,5789 ;

kontrolná skupina: 22m=20; y=7,7; s =3,27 .

Pomocou F-testu sme testovali hypotézu o rovnosti rozptylov. Hodnota náhodnej

premennej je F=0,48 ; kritický obor s hladinou významnosti α=0,05 je ( )0,05W = 0; 0,38 .

Keďže 0,05F W∉ , hypotézu o rovnosti rozptylov prijímame. Riešenie problému dostaneme pomocou analytického nástroja Dvojvýberový t-test

s rovnosťou rozptylu. Hodnota testovacieho kritéria t=2,6391. Kritický obor s hladinou významnosti α=0,05 je 0,05W =(- ; -2,02) (2,02; )∞ ∪ ∞ . Dostali sme 0,05t W∈ , preto

hypotézu 0H zamietame a tvrdíme, že používanie stavebnice Polydron je efektívne pri vyučovaní sietí kocky.

KITTI VIDERMANOVÁ

236

Záver Ďalšou zaujímavou úlohou pre študentov je nájsť siete aj ďalších platónskych telies

(obr. 5).

Štvorsten Kocka Osemsten Dvanásťsten Dvadsaťsten

Obrázok 5: Platónske telesá vytvorené pomocou stavebnice POLYDRON

Stavebnica POLYDRON je vhodnou a dostupnou didaktickou pomôckou, ktorá nájde svoje využitie pri riešení rôznych úloh v bežnej školskej praxi.

LITERATÚRA

[1] Munk, M.: Analýza Dát, dostupné na: www.stat.studnet.sk,[citované dňa 30.7. 2007] [2] Vrábelová, M. – Markechová, D.: Pravdepodobnosť a štatistika, vysokoškolské

skriptá, FPV UKF, edícia Prírodovedec č. 81, Nitra, 2001, ISBN 80-8050-429-6. [3] Židek, O.: Náčrt ukážok z manipulačnej geometrie, zborník z medzinárodnej

vedeckej konferencie "Kolokvium pre učiteľov stredomoravského kraja", Olomouc, Univerzita Palackého v Olomouci, 2003.

[4] Židek, O.: Polydron verzus Geomag, zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie Príprava učiteľov elementaristov v novom storočí, s. 423 – 427, UPJŠ, Prešov, 2002, ISBN 80-8068-146-5.

[5] www.polydron.co.uk, [citované dňa 25. 4. 2007]

RNDr. Kitti Vidermanová Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. e-mail: [email protected]


237

METÓDA OD ŠPECIÁLNEHO PRÍPADU K VŠEOBECNÉMU RIEŠENIU

PETER VRÁBEL

ABSTRACT. The method generalization and specialization is one from mathematical strategies which is used by solving of various problems in mathematics. This method is illustrated on solvig of typical tasks from various domains of mathematics in the paper.

Úvod

V matematickom uvažovaní sa často používajú dva viac menej opačné postupy a to zovšeobecňovanie a špecializácia. Pri zovšeobecňovaní prechádzame od špeciálneho prípadu k všeobecnému nahradením konštanty premennou s vhodným definičným oborom, resp. rozšírením oboru premennej. Zovšeobecnenie často vedie v matematike k novým pojmom a k novým poznatkom. Ako príklad možno uviesť použitie komplexných funkcií pri hľadaní reálnych riešení napríklad lineárnych diferenciálnych rovníc. Reálne funkcie reálnej premennej xxe x cos , sin , sa dajú rozvinúť do svojich MacLaurinových radov:

( ) ( )

( ) ( ) . !2

1!4!2

1cos

!121

!5!31!sin

!!2!11

242

1253

2

+⋅−+−+−=

++

⋅−+−+−=

+++++=

+

nxxxx

nxxxxx

nxxxe

nn

nn

nx

Prirodzené zovšeobecnenie teórie nekonečných reálnych číselných radov na komplexné rady umožňuje definovať komplexné funkcie komplexnej premennej zz cos ,sin nahradením reálnej premennej x v predchádzajúcich vzťahoch komplexnou premennou z, pretože tieto rady komplexných čísel konvergujú pre každé komplexné číslo z. Potom špeciálne platí:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . sin cos!12

1 !2

1! 0

12

0

2

0xix

nxi

nx

nix

en

nn

n

nn

n

nix +=∑

+−⋅+∑ −=∑=

∞

=

+∞

=

∞

=

Pomocou pojmu súčinu radov možno dokázať, že pre každé komplexné čísla z1, z2 platí:

. 2121 ezeze zz ⋅=+ Takto pre každé komplexné číslo βα i+ a ľubovoľné reálne číslo x platí: ( ) ( ) ( ) . sin cos)( xeixeeee xxxixxi ββ ααβαβα +=⋅=+ Ak βα i+ je k-násobným koreňom

charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice 0)1(1

)( =+++ − ayay nnn

s konštantnými koeficientmi, tak možno dokázať, že reálne funkcie reálnej premennej

PETER VRÁBEL

238

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

cos , cos , , cos ,

sin , sin , , sin

x x k x

x x k x

x x x x

x x x xe e x ee e x e

α α α

α α α

β β β

β β β

−

−

…

….

sú lineárne nezávislé riešenia danej diferenciálnej rovnice. V tomto príspevku sa však budeme zaoberať jednou metódou riešenia úloh, keď

k riešeniu úlohy všeobecnejšieho charakteru sa môžeme prepracovať tak, že vyriešime niekoľko špeciálnych prípadov, prípadne len jeden špeciálny prípad, ktorý nám poskytne myšlienku na zovšeobecnenie riešenia. Špeciálne prípady pritom môžu mať rôzne postavenia a vplyv na riešenie všeobecného prípadu.

Od špeciálneho prípadu k všeobecnému

Rozoberme na jednom príklade hry NIM, keď študovaním riešenia špeciálneho prípadu zistíme, že riešenie rovnako pracuje vo všeobecnom prípade. Dvaja hráči striedavo berú z kopy jeden alebo dva kamene. Na kope je 7 kameňov. Vyhráva ten z hráčov, ktorý vezme posledný kameň ( posledné dva kamene). Je zrejmé, že situácia, keď sú na kope už iba tri kamene, je pre hráča, ktorý je na ťahu, prehrávajúca. Potom je pre hráča na ťahu prehrávajúca aj situácia, keď je na kope šesť kameňov, pretože pri akomkoľvek prípustnom braní kameňov protihráč má možnosť takého ťahu, že na kope zostanú tri kamene. Začínajúci hráč má teda víťaznú stratégiu: pri prvom ťahu vezme jeden kameň a v nasledujúcom svojom ťahu má pri akomkoľvek postupe protihráča možnosť ťahať tak, že na kope zostanú tri kamene. Teraz prichádza prvá fáza zovšeobecnenia. Prehrávajúce situácie hráča na ťahu nezávisia od počiatočného počtu kameňov. Mení sa iba ich počet: ak je na začiatku hry na kope 7 (16) kameňov, tak „prehrávajúce počty kameňov“ sú 3, 6 (3, 6, 9, 12, 15).

Všimnime si, že spomenuté kritické počty kameňov sú všetko násobky čísla 3. Teraz prichádza druhá fáza zovšeobecnenia, ktorá spočíva v uvedomení si faktu, že podobne môžeme postupovať v ľubovoľnom prípade takejto hry, teda keď na kope máme n kameňov )1 ( −∈Nn a z kopy môžeme zobrať aspoň jeden kameň ale najviac k kameňov, kde k < n. Prehrávajúce sú počty kameňov: ),1( , ),1(2 ,1 +++ krkk … kde r je najväčšie prirodzené číslo, pre ktoré platí nkr ≤+ )1( . Ak nkr <+ )1( , tak začínajúci hráč vyhráva, ak nkr =+ )1( , tak začínajúci hráč prehráva.

V nasledujúcom príklade ukážeme ako jedno riešenie úlohy generuje všetky ostatné.

Príklad 1

Zistite, či existuje nekonečne veľa takých prirodzených čísel, ktoré sú štvorcami a zostanú druhými mocninami, ak k nim pripíšeme sprava jednotku (v desiatkovej numeračnej sústave).

Riešenie. Zo zadania úlohy vyplýva, že treba hľadať také dvojice prirodzených čísel (m, k), pre ktoré platí ( )∗ 10m2 + 1 = k2. Najskôr ukážeme, že aspoň jedna vyhovujúca dvojica existuje. Ak za m postupne dosadzujeme prvé prirodzené čísla, tak zistíme, že najmenšie prirodzené číslo m s danou vlastnosťou je číslo 6: . 191610 22 =+⋅ Teda (6, 19) je vyhovujúca dvojica.


239

Treba hľadať taký vzťah, ktorý by pomocou vyhovujúcej dvojice (m, k) generoval ďalšie vyhovujúce dvojice. Všimnime si, že ak využijeme vzťah ( )∗ pre výraz ( ) 110 2 +amk , tak pre vhodné a môžeme dostať trojčlen, ktorý je štvorcom. Totiž platí:

( ) ( ) ( ) 11010111010110 22422222 ++=++=+ mamammaamk , pričom

( ) ( )222242 1)10(11010 +=++ mamama práve vtedy, keď aa 2010 2 = , teda pre a = 2.

Pre a = 2 dostávame: ( )2224 120140400 +=++ mmm . Ďalšia vyhovujúca dvojica bude

( ). 120 ,2 2 +mmk Takto dostávame postupnosť riešení úlohy:

. , 1102 , , , 161062228 ,62

222

222 …… ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅⋅= mmm

V nasledujúcom príklade ukážeme, ako zo vzťahu prvých dvoch riešení možno

odvodiť postup vytvárania ďalších riešení úlohy.

Príklad 2

Dokážte, že existuje nekonečne veľa takých dvojíc (n, n+1), Nn∈ , ktoré majú nasledovnú vlastnosť: každé prvočíslo vyskytujúce sa v prvočíselnom rozklade čísla n alebo čísla n+1 je v tomto rozklade aspoň v druhej mocnine.

Riešenie. Hľadajme nejaké usporiadané dvojice (n, n+1), ktoré vyhovujú úlohe. Pre n ako najmenšie čísla prichádzajú do úvahy čísla:

, , , , , , , , , , , , , , , 11325233227322352322 2322242362225324232 ⋅⋅⋅⋅ . , , , , , , , , , , , 173223533252721332 25 225852233232222473 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Našej úlohe

vyhovujú iba dvojice ( ) ( )173232 22523 , , , ⋅ , teda (8, 9), (288, 289). Všimnime si, že druhú dvojicu dostaneme z prvej: 288 = )18(84 +⋅⋅ ,

( ) . 182184841)18(84289 22 +⋅=+⋅+⋅=++⋅⋅= Ale z každej dvojice podobným postupom môžeme dostať ďalšiu: Ak (m, m+1) je vyhovujúca dvojica, tak aj dvojica čísel (4m(m+1), 4m(m+1)+1) vyhovuje úlohe. Totiž 4m(m+1) = )1(22 +mm , m a m+1 úlohe vyhovujú a 4m(m+1)+1) = ( ) . 12 2+m

Veľa príkladov na použitie našej metódy nájdeme aj v geometrii. Často riešenie úlohy

poskladáme zo špeciálneho prípadu (prípadov). Uvedieme jednoduchý príklad. Súčet vnútorných uhlov ľubovoľného konvexného n-uholníka sa rovná ( ) . 1802 ⋅−n Vieme, že takúto vlastnosť má každý trojuholník. Nech M je ľubovoľný konvexný n-uholník ( n > 3) s vrcholmi A1, A2, nA , … . Vezmime ľubovoľný vnútorný bod S n-uholníka M. Mnohouholník M je „zložený“ z trojuholníkov , , , , 13221 SAASAASAA n… pričom súčet

všetkých vnútorných uhlov týchto trojuholníkov sa rovná .180⋅n Súčet vnútorných uhlov všetkých trojuholníkov pri vrchole S sa rovná .360 Takto súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka M sa rovná ( ) .1802360180 ⋅−=−⋅ nn

PETER VRÁBEL

240

Príklad 3

Nech βα , sú rôznobežné roviny, ktoré sa pretínajú v priamke r a zvierajú uhol δ . Nech vypuklý mnohouholník M leží v rovine α a M1 je jeho kolmý priemet do roviny .β Nájdite vzťah obsahov P a P1 mnohouholníkov M a M1.

Riešenie Vezmime najskôr špeciálny prípad, keď M je trojuholník T , pričom jedna strana (napríklad a) je rovnobežná s priamkou r ( a je teda rovnobežná s rovinou β ). Nech v je výška v trojuholníku T na stranu a. Potom pre kolmý priemet T1 trojuholníka T platí: a1 = a, výška v sa premietne do výšky v1 na stranu a1, pričom v1= .cosδv Z uvedeného vyplýva, že .cos1 δ⋅= PP Tento špeciálny prípad je kľúčový pre vyriešenie celej úlohy. Treba si uvedomiť, že každý vypuklý mnohouholník (v rovine α ) môžeme rozrezať na trojuholníky, z ktorých každý má jednu stranu rovnobežnú s priamkou r. Nech

)()2()1( nTTTM ∪∪∪= , kde T (i) , i = 1, 2, ..., n, sú neprekrývajúce sa trojuholníky, pričom každý z týchto trojuholníkov má jednu stranu rovnobežnú s priamkou r. Nech

)( )(iTP resp. )( )(1

iTP označuje obsah trojuholníka T(i) resp. obsah jeho kolmého priemetu )(

1iT . Potom pre obsah P mnohouholníka M a obsah P1 jeho kolmého priemetu M1 platí:

=+++= )( )()( )(1

)2(1

)1(11

nTPTPTPP δδδδ coscos)( cos)(cos)( )(2)1( ⋅=+++ PTPTPTP n .

Uveďme ešte jeden prípad z matematickej analýzy. Pri vyšetrovaní lokálnych

extrémov často používame nasledovnú vetu 1: Nech funkcia f má v bode a derivácie až do rádu n včítane, pričom n je párne prirodzené číslo a ( ). 0)( 0)( , 0)()()( )()()1( <>===′′=′ − afafafafaf nnn Potom funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum (maximum). Táto veta sa obyčajne dokazuje iba pre prípad n = 2 alebo tvrdenie je začlenené do všeobecnejšej vety (vynechá sa predpoklad o párnosti čísla n), ktorá sa dokáže matematickou indukciou. Iný prístup dôkazu vety, ktorý teraz uvedieme, bude spočívať vo viacnásobnom využití špeciálneho prípadu. Platí nasledovné tvrdenie : (1) Nech funkcia f má v okolí U(a) bodu a druhú deriváciu, pričom 0)( =′ af a

( ) 0)( 0)( <′′>′′ xfxf pre každé . x),( aaUx ≠∈ Potom funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum (maximum). Tvrdenie vyplýva z toho, že funkcia f je v okolí U(a) rýdzo konvexná (rýdzo konkávna) a rovnica dotyčnice ku grafu funkcie f v bode T[a, f(a)] je tvaru y = f(a). Z geometrickej vlastnosti rýdzej konvexnosti (rýdzej konkávnosti) potom vyplýva, že pre každé

aaUx ≠∈ x),( , platí: f(x) > f(a) ( f(x) < f(a) ).


241

Uvedené tvrdenie je možno zovšeobecniť takto: (2) Nech funkcia f má v okolí U(a) bodu a deriváciu rádu n (n je párne prirodzené číslo), pričom 0)()()( )1( ===′′=′ − afafaf n a ( ) 0)( 0)( )()( <> xfxf nn pre každé

. x),( aaUx ≠∈ Potom funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum (maximum). Dôkaz okamžite vyplýva z dôkazu špeciálneho prípadu pre n = 2, ktorý použijeme viacnásobne (k-krát, kde n = 2k) pre funkcie )2()2()( , , , fff nn …− .

Dôkaz vety1 teraz vyplýva z tvrdenia 2. Ak napríklad 0)()( >af n tak funkcia )1( −nf je rastúca v bode a, teda existuje také okolie U(a) = ),( δδ +− aa bodu a, že pre každé

2121 ),( , xaxaUxx <<∈ , platí )(0)()( 2)1()1(

1)1( xfafxf nnn −−− <=< . Potom funkcia

)2( −nf je na intervale ⟩− aa ,( δ klesajúca a na intervale ) , δ+⟨ aa rastúca, teda funkcia )2( −nf nadobúda v bode a ostré lokálne minimum. Keďže 0)()2( =− af n , tak sú splnené

predpoklady tvrdenia 2 a teda funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum.

LITERATÚRA

[1] Polya, G.: Mathematics and plausible reasoning. Volume 1, Princeton, New Jersey (1954).

[2] Vrábel, P.: Heuristika a metodológia matematiky. FPV UKF Nitra (2005), ISBN 80-8050-840-2.

doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied UKF Trieda A. Hlinku 1 Sk – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. RNDr. Štefan Solčan, CSc. e-mail: [email protected]


Supported by grant VEGA 1/2002/05 243

AN EXTENSION OF MV-ALGEBRA-VALUED SUBADDITIVE INTEGRALS

MARTA VRÁBELOVÁ – MONIKA ŽILKOVÁ

ABSTRACT. An extension of the subadditive operators in the real case can be found in [3] and the extension of the lattice ordered group-valued subadditive measure is done in [5]. The extension of the complete and weakly-σ -distributive MV-algebra-valued subadditive integral 0J defined on the sub MV-algebra A of the set of fuzzy sets F to the conditionallyσ -complete MV-algebra S is constructed.

1 Assumptions

1) Let X be a non-empty set and F (F= , ),\,,*,1,0 ⊗⊕ a MV-algebra of functions [ ]1,0: →Xf such that there exists ∈= i

iff sup F for every sequence ∈ ,..., 21 ff F

and preserving the operation \ , i.e. ( )∈−= gffgf ,min\ F for every ∈gf , F. The operations *, ⊗⊕ , are defined as follows:

( )ff −=∗ 1: , ( )gfgf +=⊕ ,1min: , ( )1,0max: −+=⊗ gfgf ,

( ) 00 =x and ( ) 11 =x for every Xx∈ and the lattice operations are defined as usual:

( ) ( )∈=⊕⊕=∨∗∗ gfggfgf ,max F,

( ) ( )∈=∨=∧∗∗∗ gfgfgf ,min F,

i.e. ( )∧∨,,F is a lattice, where ( )≤,F is a partially ordered set ( gf ≤ iff 0=⊗ ∗gf ).

In regard of the property ∈=∨∞

=i

ii

iff sup

1F for every sequence ( ) ⊂∞

=1iif F, F is a σ –

complete MV-algebra.

2) Let A⊂ F be a sub-MV-algebra of F preserving the operation \ , i.e. A ( ),\,,,1,0, ⊗⊕∗= A is a MV-algebra and ( )∧∨,,A is a lattice.

3) Let M ) ,, 1, 0, ,(MMM

M ⊗⊕∗= be a complete weakly-σ -distributive MV-algebra (that is, every upper bounded subset of M has the supremum in M and for every bounded double sequence ( ) ⊂

jijia,, M such that 0, ↓jia ( ),...,ij 21 , =∞→ (sequence ( )

jijia,,

is called regulator in M ) we have ( ) 0, =∨∧∈

iiiN

aN

ϕϕ

) represented by an interval [ ]u,0

of l -group G , where u is a strong unit (i.e. ∈∃∈∀ nMa , nua ≤: ) and M =

M0 ( )uG, . We define: ( ) ubabaM

∧+=⊕ , ( ) 0∨−+=⊗ ubabaM

, auaM

−=∗ , u=1 for every Mba ∈, . ( l -group G is complete and weakly-σ-distributive).

MARTA VRÁBELOVÁ, MONIKA ŽILKOVÁ

244

4) Let :0J A→M be a subaditive integral, i.e. a mapping satisfying the following conditions:

(i) ( ) ( ) ( )gJfJgfJM

000 ⊕≤⊕ for every ∈gf , A; (ii) if gf ≤ , ∈gf , A, then ( ) ( )gJfJ 00 ≤ ;

(iii) if ∈nf A, 0↓nf , ( ( ) 0 ,,...2,1 t.j.1n

1 ==≥ ∧∞

=+ nnn fnff ), then ( ) 00 ↓nfJ ;

(iv) if there exist a regulator ( ) ⊂jijia

,, M and sequences ( ) ⊂uunl , A

( )... ,2 ,1=n , ( ) ⊂nnt A such that ( )... 2, ,1..., 2, ,1 1,, ==≥ + null unun ,

( )... 2, ,1 1 =≤ + ntt nn , nn

umum

tl ∨∧∨ ≤, and ( ) ( )iii

unnu

altJ ϕ,,01

\ ∨∨ <∞

= for every

∈n , then there exist ∈0n such that ( ) ( )iii

nmm

attJ ϕ,0 \ ∨∨ < for every

0nn > ; (if there exist a regulator ( ) ⊂

jijia,, M and sequences ( ) ⊂

uunk , A ( )... ,2 ,1=n , ( ) ⊂nnt A such that ( )... 2, ,1..., 2, ,1 1,, ==≤ + nukk unun ,

( )... 2, ,1 1 =≥ + ntt nn , nn

umum

tk ∧∨∧ ≥, and ( ) ( )iii

nunu

atkJ ϕ,,01

\ ∨∨ <∞

= for every

∈n , then there exist ∈0n such that ( ) ( )iii

mnm

attJ ϕ,0 \ ∨∨ < for every

0nn > ). Further properties of 0J are obtained in the following lemma.

Lemma 1

(v) ( ) ( ) ( )fJfgJgJM

000 \ ⊕≤ for every ∈gf , A. (vi) If ∈↑ ffff nn , , A ,...)2,1( =n , then ( ) ( )fJfJ n 00 ↑ . (vii) If ∈↓ gggg nn , , A ,...)2,1( =n , then ( ) ( )gJgJ n 00 ↓ .

Proof. (v) From the unequality ( ) ffgg ⊕≤ \ and from the assumptions (ii) and (i) we have

( ) ( )( ) ( ) ( )fJfgJffgJgJM

0000 \\ ⊕≤⊕≤ . (vi) As ∈↑ ffff nn , , A ,...)2,1( =n , then applying the assumption (ii) we get

( ) ( ) ( )fJfJfJ nn 0100 ≤≤ + for every ∈n . Following (v) we have

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnnnn

M

n ffJfJuffJfJffJfJfJ \ \ \ 0000000 +≤∧+=⊕≤ for every ∈n in the l -group G . Then

( ) ( ) ( )nn ffJfJfJ \ 000 ≤− for every ∈n . Hence


245

( ) ( )( ) ( )nn

nn

ffJfJfJ \ 000 ∧∧ ≤− and

( ) ( ) ( ) 0 \ 000 =≤− ∧∨ nn

nn

ffJfJfJ , according to (iii).

At the end we get ( ) ( )nn

fJfJ 00 ∨=

in the l -group G , so in the MV-algebra M.

(vii) Following the assumption ∈↓ gggg nn , , A ,...)2,1( =n and from monotonicity of the mapping 0J we obtain

( ) ( ) ( )gJgJgJ nn 0100 ≥≥ + for every ∈n . From (v)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ggJgJuggJgJgJ nnn \ \ 00000 +≤∧+≤ for every ∈n in the l -group G . Further we get

( ) ( ) ( )ggJgJgJ nn \ 000 ≤− for every ∈n . Hence

( ) ( )( ) ( )ggJgJgJ nn

nn

\ 000 ∧∧ ≤− and

( ) ( ) ( ) 0\ 000 =≤− ∧∧ ggJgJgJ nn

nn

, according to (iii),

and therefore ( ) ( )gJgJ n

n00 ≤∧ .

Finally, we have shown that ( ) ( )n

ngJgJ 00 ∧=

in the l -group G , so in the MV-algebra M.

Lemma 2 If ∈nn gf , A gfggffn nn ≤↑↑= , , ,...),2,1( ) , ,( gfggff nn ≤↓↓ , then ( ) ( )n

nn

ngJfJ 00 ∨∨ ≤

( ) ( ))( 00 nn

nn

gJfJ ∧∧ ≤ .

Proof. Following the assumptions (ii), (vi) ((vii)) we get ( ) ( ) ( ) ( )m

mmn

mnn gJgfJgfJfJ 0000 ∨∨ ≤∧=∧= ,

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≥∨=∨= ∧∧ m

mmn

mnn fJfgJfgJgJ 0000

for every n , and therefore ( ) ( )m

mn

ngJfJ 00 ∨∨ ≤ ,

( ) ( ))( 00 mm

nn

fJgJ ∧∧ ≥ .


246

2 Extension

Definition 1 Put A+ ∈= f F; ∈∃ nf A ( ) ffn n ↑= ,,...2,1 , A- ∈= g F; ∈∃ ng A ( ) ggn n ↓= ,,...2,1

and define the mappings :+J A+→ M and :−J A- →M by the formulas : ( ) ( )n

nfJfJ 0∨=+

( ) ( )nn

gJgJ 0∧=− .

Further put ∈= hS F; ∃ regulator ( )jijia

,, in M, such that for every :ϕ → there

exist ∈ϕg A-, ∈ϕf A+, ϕϕ fhg ≤≤ and ( ) ( ) iii

agfJ ϕϕϕ

,\ ∨≤+ and define →SJ : M

by the formula ( ) ( ) ∈≥= +∧ fhffJhJ , ; A+ .

Remark The mappings +J , −J , J are correctly defined. The MV-algebra M can be represented by an interval [ ]u,0 of the l -group G , where u is the strong unit, hence M [ ]u,0= , and M G⊂ . We can therefore assume that 0J is G -valued mapping. From the

completeness and the weak-σ -distributivity assumption of the MV-algebra M results, that the l -group G is also complete and weakly-σ -distributive and for every Shgf ∈,,

( ) ( ) [ ]ufJfJ nn

,00 ∈= ∨+ ,

( ) ( ) [ ]ugJgJ nn

,00 ∈= ∧− ,

( ) ( ) ∈≥= +∧ fhffJhJ ,; A+ [ ]u,0∈ .

According to lemma 2, +J and −J are uniquely defined.

Lemma 3 Let ∈nf A+ , ∈ng A- ( ),...2,1=n , ggff nn ↓↑ , . Then ∈f A+, ∈g A- and ( ) ( )n

nfJfJ ++ ∨= , ( ) ( )n

ngJgJ −− ∧= .

Proof. For ∈nf A+ there exist ∈mnf , A, ( )∞→↑ mff nmn , . Put nm

n

mn fh ,

1∨=

= . Hence

nn fh ≤ , ∈nh A, and because of A is a lattice and ( ) ( ) ( )( ),...2,1 0 =≤= ++ nfJhJhJ nnn , fhn ↑ , which implies that ∈f A+ and

( ) ( ) ( ) ( )fJfJhJfJ nn

nn

++++ ≤≤= ∨∨ .


247

Further let ∈ng A- , so there exist ∈mng , A, ( )∞→↓ mgg nmn, . Put nm

n

mn gk ,

1∧=

= . Then

nn gk ≥ , ∈nk A and ( ) ( ) ( ) ( ),...2,1,0 =≥= −− ngJkJkJ nnn , gkn ↓ , which implies ∈g A- and

( ) ( ) ( ) ( )gJgJkJgJ nn

nn

−−−− ≥≥= ∧∧ .

Lemma 4 Let ∈gf , A+, ∈lh, A-. Then ∈⊕ gf A+, ∈hg \ A+, ∈gh \ A-, ∈⊕ lh A-

and ( ) ( ) ( )gJfJgfJM

+++ ⊕≤⊕ , ( ) ( ) ( )lJhJlhJM

−−− ⊕≤⊕ ,

( ) ( ) ( )hJhgJgJM

−++ ⊕≤ \ , ( ) ( ) ( )gJghJhJM

+−− ⊕≤ \ .

If gf ≤ , then ( ) ( )gJfJ ++ ≤ , if lh ≤ , then ( ) ( )lJhJ −− ≤ , if hf ≤ , then ( ) ( )hJfJ −+ ≤ , and if fh ≤ , then ( ) ( )fJhJ +− ≤ .

Proof. Let us prove some of the assertions stated above. The rest can be proved analogue.

Firstly show, that ∈gh \ A-. Since ∈g A+, ∈h A- there exist ∈nn hg , A, that gg n ↑ , hhn ↓ . Obviously ∈nn gh \ A for every ∈n . We have to show that

( )( ) ( )( )xghxgh nn \\ ↓ for every Xx∈ . Let Xx∈ , then ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1,0,,, ∈xgxhxgxh nn and ( ) ( )xgxgn ↑ , ( ) ( )xhxhn ↓ . Hence, for every 0>ε there exist ∈21,nn that the following unequalities hold

( ) ( )2ε

<− xhxh n for every 1nn ≥ ,

( ) ( )2ε

<− xgxg n for every 2nn ≥ .

Put ( )213 ,max nnn = . Let ∈n , 3 nn ≥ . Then for ( ) ( )xgxh ≥ holds ( ) ( )xgxh nn ≥ for every ∈n and moreover

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−≤−=−= ++ xgxhxgxhxgxhxhxgh nnnnnnnnn 11,min\ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xghxgxhxh nnnnn 11111 \,min +++++ =−= for every ∈n .

Therefore

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) =−−−=−≤ xgxhxhxgxhxhxgxhxgxh nnnnn ,min,min\\0 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ≤−−−=−−−= xgxgxhxhxgxhxgxh nnnn

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) εεε=+<−+−≤

22xgxgxhxh nn .

If ( ) ( )xgxh < , then there exist ∈4n that ( ) ( )xgxh nn ≤ for every 4nn ≥ . Let ( )430 ,max nnn = . Then for every ∈n , 0 nn ≥ holds ( ) ( ) 0\ =xgxh nn and

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ε<=−−−=−−− 0,min,min xhxhxhxhxgxhxhxgxhxh nnnnn

. From the results presented above we have


248

( )( ) ( )( ) ε<− xghxgh nn \\ for every ∈n , 0 nn ≥ , and ghgh nn \\ ↓ . Therefore ∈gh \ A-.

Secondly, we show ( ) ( ) ( )gJghJhJM

+−− ⊕≤ \ . Because

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnnnnnn

M

nnn gJghJugJghJgJghJhJ 0000000 \\\ +≤∧+≤⊕≤ for every ∈n in the the l -group G , we get

( ) ( ) ( )nnnn ghJgJhJ \000 ≤− for every ∈n and

( ) ( )( ) ( )nnn

nnn

ghJgJhJ \000 ∧∧ ≤− ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ghJghJgJhJgJhJ nnn

nn

nn

\\000−+− =≤−=− ∧∨∧

Therefore ( ) ( ) ( )gJghJhJ +−− +≤ \

in the l -group G and moreover

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )gJghJugJghJhJM

+−+−− ⊕=∧+≤ \\ .

Lastly we show the last assertion of the lemma 4: if fh ≤ , then ( ) ( )fJhJ +− ≤ . Let fh ≤ , then

( ) ( ) ( ) ( )fJfhJhJhJM

nn+−− ⊕≤≤ \0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fJfJfJhhJfJfhJhJMM

nn

M

nn

+++−+−− =⊕=⊕≤⊕≤ ∧∧ 0\\ .

Lemma 5 Let Sgf ∈, . Then Sgf ∈⊕ , Sgf ∈\ , Sf ∈∗ .

Proof. Let ∈11, gf A-, ∈22 , gf A+, 21 fff ≤≤ , 21 ggg ≤≤ such that ( ) ( )ii

iaffJ ϕ,12 \ ∨≤+ , ( ) ( )ii

ibggJ ϕ,12 \ ∨≤+ .

Let Xx∈ , then ( )( ) ( )( ) ( )( )xgfxgfxgf 2211 ⊕≤⊕≤⊕ , ( )( ) ( )( ) ( )( )xgfxgfxgf 1221 \\\ ≤≤

and ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )xggffxgfgf 12121122 \\\ ⊕≤⊕⊕ , ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )xggffxgfgf 12122112 \\\\\ ⊕≤ .

According to lemma 4 we have

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )iii

M

iii

MbaggJffJgfgfJ ϕϕ ,,12121122 \\\ ∨∨ ⊕≤⊕≤⊕⊕ +++

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )iii

M

iii

MbaggJffJgfgfJ ϕϕ ,,12122112 \\\\\ ∨∨ ⊕≤⊕≤ +++ .


249

Put ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊕⊕⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊕= ji

M

ji

M

ji

M

jiji babac ,,,,, , ,...2,1, =ji . Then ( )jijic

,, is a regulator in M and

( ) ( ) ( )iii

iii

M

iii

cba ϕϕϕ ,,, ∨∨∨ ≤⊕

holds for every :ϕ →. Hence Sgf ∈⊕ , Sgf ∈\ . Lastly we show that Sf ∈∗ . We have SffS ∈=−∈ \11 ,1 .

Lemma 6 Let Sf ∈ , then ( ) ( ) ∈= −∨ hhJfJ ; A-, fh ≤ .

Proof. Let ∈g A+, ∈h A-, gfh ≤≤ such that ( ) ( )iii

ahgJ ϕ∨≤+ \ . Then

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∈≤⊕≤⊕≤≤ −−++ ∨∨ hfhhJahJhgJgJfJM

iii

M,;\ ,ϕ A-

holds for every :ϕ →. Moreover, from the weak-σ -distributivity of M we get

( ) 0,1

=∨∧∞

=∈ii

iNa

Nϕ

ϕ and therefore

( ) ( ) ∈≤≤ −∨ hfhhJfJ ,; A- .

According to lemma 4 ( ) ( )gJhJ +− ≤ for every ∈g A+, ∈h A-, gfh ≤≤ and hence ( ) ∈≤−∨ hfhhJ ,; A- ( ) ∈≥≤ +∧ fhffJ , ; A+ ( )fJ= .

Theorem 1 (1) If Sfn ∈ , ff n ↑ , then Sf ∈ and ( ) ( )n

nfJfJ ∨= .

(2) If Sgn ∈ , ggn ↓ , then Sg ∈ and ( ) ( )nn

gJgJ ∧= .

Proof. (1) Let Sfn ∈ , then there exist regulators ( )

jinjina,,,, in M, ( ),...2,1=n such that for every

:ϕ → there exist ∈ϕnh A- , ∈ϕ

ng A+, ϕϕnnn gfh ≤≤ and

( ) ( )niini

nn ahgJ ++ ∨≤ ϕ

ϕϕ,,\ , for ,...2,1=n .

Put ϕϕk

n

kn gk ∨

==

1, ϕϕ

k

n

kn hl ∨

==

1. Hence ∈ϕ

nk A+, ∈ϕnl A-, ϕϕ

nnk

n

kn gffl ≤=≤ ∨

=1 and for every

n we have

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )≤≤⊕⊕⊕≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∨∨

=

++

==

++n

kkknnk

n

kk

n

knn hgJhghghgJhgJlkJ

12211

11\\...\\\\ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

≤ ( ) ( )∑∨∑∨∞

=+

=+ ≤

1,,

1,,

kkiik

i

n

kkiik

iaa ϕϕ .


250

Therefore

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∧≤ ∑∨

∞

=+

+

1,,\

kkiik

inn aulkJ ϕϕϕ ,

where u is the strong unit. Furthermore according to Fremlin lemma ([4]), there exist a regulator ( )

jijia,, in M such that

( ) ( )iiik

kiiki

aau ϕϕ ,1

,, ∨∑∨ ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∧

∞

=+ .

Let ϕϕn

ngg ∨

∞

==

1. Then ϕϕ gkn ↑ and following lemma 3 we get ∈ϕg A+, that means there

exist ∈nt A such that ϕnn kt ≤ , ϕgtn ↑ . Now we have 0\ ↓ntgϕ , ∈ntg \ϕ A+, ( ) ( ) ( )( )ϕϕϕϕϕϕ

nnnn lkkgJlgJ \\\ ⊕≤ ++

( ) ( )ϕϕϕϕnn

M

n lkJkgJ \\ ++ ⊕≤

( ) ( )ϕϕϕnn

M

n lkJtgJ \\ ++ ⊕≤

( )iii

M

nmm

attJ ϕ,1

\ ∨∨ ⊕⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤

∞

=

+ .

Since ∈ϕnl A- for every n , a non-increasing sequence ( ) ⊂

uunl , A ( ),...2,1=n exist such

that ϕnun

ull =∧ , for every n and n

nn

nn

ntgkl ∨∨∨ ==≤ ϕϕϕ . Moreover

( ) ( ) ( ) ( )iii

nnunu

nunnu

unnu

altJltJltJltJ ϕϕ

,,,,0 \\\\ ∨∧∨∨ <=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= +++

for every n . According to assumption (iv) there exist 0n such that for every 0nn > holds

( ) ( )iii

nmm

attJ ϕ∨∨ <∞

=\0

1.

Put ji

M

jiji aab ,,, ⊕= , ,...2,1, =ji . Then ( )jijib

,, is a regulator in M and for every

:ϕ → there exist ∈ϕg A+, ∈ϕnl A-, ϕϕ gfln ≤≤ such that

( ) ( )iii

n blgJ ϕϕϕ

,\ ∨≤+ .

Hence we get that Sf ∈ and for every :ϕ → the following unequalities holds

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn

M

iii

n

M

n fJblJlgJgJfJ ∨∨ ⊕≤⊕≤≤ −++ϕ

ϕϕϕϕ,\ .

From the weak-σ -distributivity of M we have ( ) ( )nn

fJfJ ∨≤ . Since ffn ≤

( ),...2,1=n , according to lemma 4 and lemma 6 also a contrary unequality holds, therefore ( ) ( )n

nfJfJ ∨= .

Part (2) can be proven dually.


251

Theorem 2 The mapping →SJ : M is subadditive.

Proof. Let Sgf ∈, . Then the regulators ( )jijia

,, , ( )jijib

,, exist in M such that for every

:ϕ → there exist ∈ϕϕ11 , gf A-, ∈ϕϕ

22 , gf A+, ϕϕ21 fff ≤≤ , ϕϕ

21 ggg ≤≤ and ( ) ( )ii

iaffJ ϕ

ϕϕ,12 \ ∨≤+

( ) ( )iii

bggJ ϕϕϕ

,12 \ ∨≤+ .

Hence

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fJfJfJfJffJaMM

iiě

\\\ 21212,ϕϕϕϕϕ

ϕ+−++ ≥≥≥∨ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )gJgJgJgJggJbMM

iiě

\\\ 21212,ϕϕϕϕϕ

ϕ+−++ ≥≥≥∨ .

Furthermore

( ) ( ) ( ) ( ) ≥⊕⊕⊕ ∨∨ iii

M

iii

MMbagJfJ ϕϕ ,,

( ) ( ) ( ) ( )gfJgfJgJfJM

⊕≥⊕≥⊕≥ +++ ϕϕϕϕ2222 .

Let ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊕⊕⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊕= ji

M

ji

M

ji

M

jiji babac ,,,,, , ,...2,1, =ji . Then ( )jijic

,, is a regulator in M and

( ) ( ) ( )iii

iii

M

iii

cba ϕϕϕ ,,, ∨∨∨ ≤⊕

for every :ϕ →. From the weak-σ -distributivity of M we have

( ) ( ) ( ).gJfJgfJM⊕≤⊕

Theorem 3 The set S is a σ - complete sub-MV-algebra of F. The mapping →SJ : M is the extension of the subadditive integral 0J , such that J satisfies properties (i)-(iii), (v)-v(ii). If →′ SJ : M is an extension satisfying properties (i)-(iii), (v)-v(ii) then JJ =′ .

Proof. The definition of the set S , the lemma 5 and the theorem 1 imply, that S is a σ - complete sub MV-algebra of the set F containing the sub MV-algebra A. The property (i) is proven already in the theorem 2, the definition of the mapping →SJ : M implies the property (ii), the validity of the properties (vi) a (vii) is proven in the theorem 1 and (iii) can be proven analogue. It remains to prove the property (v), i.e. to prove the assertion:

( ) ( ) ( )fJfgJgJM⊕≤ \ for every Sgf ∈, .

The properties (i), (ii) imply

( ) ( )( ) ( ) ( )fJfgJffgJgJM⊕≤⊕≤ \ \ .

Yet, the uniqueness has to be proven. Let ( ) ( ) fJfJSfU ′=∈= ; . Then A+ U⊂ , A- U⊂ , because of if ∈nf A, ( ),...2,1=n ,

ff n ↑ ( )ff n ↓ , then


252

( ) ( ) ( ) ( )fJfJfJfJ nn

nn

==′=′ ∨∨∞

=

∞

= 11,

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==′=′ ∧∧

∞

=

∞

=fJfJfJfJ n

nn

n 11.

Let Sf ∈ . Then the regulator ( )jijia

,, exist in M such that for every :ϕ → there exist

∈ϕ1f A-, ∈ϕ

2f A+, ϕϕ21 fff ≤≤ , that ( ) ( )ii

iaffJ ϕ

ϕϕ,12 \ ∨≤+ holds.

Furthermore

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ1,1,1122 \ fJafJafJffJfJfJ

M

iii

M

iii

M′⊕=⊕≤⊕≤≤ ∨∨ −−++

( ) ( )fJaM

iii

′⊕≤ ∨ ϕ, for every :ϕ →,

and from the weak-σ -distributivity of M we have ( ) ( )fJfJ ′≤ .

On the other hand

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fJafJffJfJfJM

iii

M⊕≤⊕≤≤′ ∨−++

ϕϕϕϕϕ

,1122 \ ,

for every :ϕ →. Finally we get ( ) ( )fJfJ ′≥ ,

hence ( ) ( )fJfJ ′= .

REFERENCES

[1] Chovanec, F.: States and observables on MV algebras, Tatra Mt Math Publ 3, 1993, p. 55-64

[2] Mundici, D.: Interpretation of AFC*-algebras in Łukasiewicz Sentential Calculus, J Funct Anal 65, 1986, p. 15-63

[3] Riečan, B. - Neubrunn, T.: Integral, Measure and Ordering, Kluwer, Dordrecht, 1997

[4] Riečan, B. - Volauf, P.: On a technical lemma in lattice ordered groups, Acta Math Univ Comenian 44-45, 1984, p. 31-35

[5] Vrábelová, M.: On the extension of subadditive measures in lattice ordered groups, Czechoslovak Math J 57 (132), 2007, p. 95-103


253

Doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc. Department of Mathematics Faculty of Natural Science, Constantine the Philosopher University Trieda A. Hlinku 1 SK - 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

RNDr. Monika Žilková Department of Mathematics Faculty of Material Sciences and Technology Slovak University of Technology Hajdóczyho 1 SK - 917 24 Trnava

e-mail: [email protected]

Recenzoval: Prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc., Dr.h.c. e-mail: [email protected]


255

O VYUŽITÍ ŠPECIÁLNYCH REZOV NA PRAVIDELNOM ŠTVORSTENE

OLIVER ŽIDEK

ABSTRACT. The first part describes a square cross section of tetrahedron as an inspiration for a design of a construction puzzle. Another type of cross section allows to construct a type of unusual tetrahedron net.

Úvod

Z rôznych pedagogických výskumov, ale aj z bežných pozorovaní výučby, sa často konštatuje nižšia úroveň poznatkov z geometrie v porovnaní s poznatkami z aritmeticko-algebraického učiva. Možno tomu tak naozaj je, ale v niektorých prípadoch je to možno len výsledok neobjektívneho merania vedomostí, pretože správnosť, či nesprávnosť riešenia geometrickej úlohy je spravidla evidentná už na prvý pohľad a v opravách riešení úloh aritmeticko-algebraických často menej zaváži parciálna chyba.

Ak by sme chceli bližšie špecifikovať slabšie miesta výučby geometrie, tak sa pravdepodobne zhodneme na tom, že stereometrické učivo je pre mnohých žiakov ťažko prekonávanou prekážkou.

Príčin načrtnutého stavu je iste veľa, ale ak si uvedomíme, že často je pre tradičný spôsob výučby geometrie príznačný postup, pri ktorom učiteľ kreslí, alebo rysuje na tabuľu rôzne geometrické konštrukcie a snaží sa ich žiakom objasniť. Realita býva taká, že žiak si prezentované obrázky čo najvernejšie prenesie do zošita a o porozumení podstaty učiva nemáme dostatočnú spätnú väzbu. Z mnohých, takto vyučovaných žiakov, sa neskôr stanú učitelia, ktorí nemajú a ani nemôžu mať kladný postoj k učivu geometrie a pomyselný kruh sa tým uzatvára. Uvedená nelichotivá charakteristika je príliš zjednodušená a v mnohých prípadoch nepravdivá, avšak v praxi sa vyskytuje, teda úplne vylúčiť sa nedá.

Čo a ako zmeniť vo výučbe geometrie?

Príspevok si nekladie za cieľ urobiť kompletnú analýzu súčasného stavu a tobôž nemožno očakávať nejakú univerzálnu cestu k zlepšeniu, avšak v dvoch ukážkach budeme prezentovať učivo, spracované netradičnou technológiou, ktoré sa v praxi osvedčilo ako učivo pre žiakov inšpirujúce, zaujímavé a z poznatkového hľadiska prínosné.

V obidvoch prípadoch sa jedná o využití špeciálnych rezov na telesách v kontexte známej skutočnosti, že sú to práve rovinné rezy telies, ktoré v praxi dobre otestujú nielen dispozície a poznatky žiakov, ale neraz aj učiteľov.

S cieľom sprístupniť a zároveň zatraktívniť uvedené učivo je vhodné vybrať, najmä v počiatočných fázach výučby, rezy telies špeciálnymi rovinami a zásadne by sa nemala podceniť nielen ukážka, ale aj tvorba trojdimenzionálnych modelov telies a ich častí. Domnievame sa, že to je jedna z možných ciest optimalizácie výučby geometrie s cieľom vypestovať u žiakov abstraktné predstavy o geometrických objektoch.

OLIVER ŽIDEK

256

Ukážka č.1: Pri výučbe geometrie na základnej, alebo strednej škole, ale taktiež v počiatočnej fáze

v učiteľskej príprave si môžeme všimnúť, že napr. špeciálnym a zaujímavým rovinným rezom kocky je rez tvaru pravidelného šesťuholníka. Tento rez rozdelí kocku na dva zhodné objekty, ktorých modely umožňujú ilustrovať model šikmého hranola a diskrétne sa tu objaví existencia i funkcia príslušného normálového rezu.

Podobná situácia, s prekvapivým efektom, sa dá pozorovať prostredníctvom štvorcového rezu na pravidelnom štvorstene (obr. 1a). Tento rez (podobne ako pri kocke šesťuholníkový rez) rozdelí pravidelný štvorsten na dve zhodné telesá - špeciálne trojboké hranoly (obr. 1b). Sieť každého z nich (obr. 2) je ľahko zostrojiteľná, teda aj výroba modelov týchto častí štvorstena (napr. z kartónu) nie je náročná.

Obrázok 1a: Štvorcový rez na pravidelnom

štvorstene. Obrázok 1b: Trojboké hranoly.

Obrázok 2: Sieť trojbokého hranola.

Z praxe je známe, že výroba kartónových modelov geometrických telies je žiakmi (študentmi) zo známych príčin z počiatku s neochotou prijímaná, ale v priebehu práce sa stáva pre mnohých obľúbenou a realizujú sa pri nej aj žiaci, ktorí k tradičnej „obrázkovej geometrie“ pozitívny vzťah nemajú.

O VYUŽITÍ ŠPECIÁLNYCH REZOV NA PRAVIDELNOM ŠTVORSTENE

257

Toľko z geometrickej „kuchyne“ a teraz prekvapivé využitie uvedeného rezu. Ak poskytneme žiakovi, alebo aj dospelému, ktorý uvedenú geometrickú vlastnosť rezu nepozná, spomenuté dva špeciálne trojboké hranoly s úlohou zložiť z nich model pravidelného štvorstena, výsledok je prekvapivý. Nejeden riešiteľ bude spočiatku tvrdiť, že sa to nedá, a až po niekoľkých neúspešných pokusoch zistí, aké je to jednoduché. Hľadanie a nájdenie riešenia je spravidla silný emotívny zážitok.

Praktická rada: Je vhodné, aby modely obidvoch častí štvorstena mali povrch rovnakej farby - nie je vhodné štvorcovú stenu zafarbiť inak.

Ukážka č.2: Pás papiera dlhý 28 cm a široký 4 cm rozdeľte podľa obr.3a na 8 pravouhlých

trojuholníkov a pripravte ich k ohýbaniu podľa predlohy. Spojením pása do prstenca a jeho ďalšou manipuláciou môžete získať niekoľko zaujímavých tvarov, vrátane finálneho produktu, ktorým je model pravidelného štvorstena (obr.3b).

Obrázok 3a: Predloha na prípravu modelu pravidelného štvorstena.

Obrázok 3b: Postup tvorby modelu pravidelného štvorstena.

Z vlastností vzťahu medzi stranou rovnostranného trojuholníka a jeho výškou vyplýva ,že údaje 7 cm a 4 cm nie sú presné, avšak pre zhotovenie modelu navrhovaná presnosť úplne postačuje. V riešení sú diskrétne využité dva neúplné rovinné rezy pravidelného štvorstena.

I napriek tomu, že vyspelý čitateľ príslušnému skladaniu „siete“ porozumie, skutočným zážitkom sa stane konkrétna manipulačná činnosť spojená s konštrukciou uvedeného modelu. Hmatom podporený získaný poznatok z tejto činnosti často prekvapí nielen žiaka základnej školy, ale aj dospelého „experimentátora“.

OLIVER ŽIDEK

258

Námety na cvičenia

1. Dokážte, že štvoruholník vyznačený na štvorstene je štvorec. 2. Načrtnite sieť štvorstena v tvare pása a znázornite v nej rozvinutú hranicu

štvorcového rezu. Vyšetrite zákonitosti a dôsledok vhodného posunutia roviny rezu. 3. Návod na zhotovenie skladačiek štvorstena obsahuje približné údaje vyjadrené

v centimetroch. Vypočítajte ich presnejšie. 4. Je známe, že pravidelný štvorsten môže mať najviac dva rôzne tvary sietí.

Rozhodnite, či štvorec môže byť sieťou štvorstena.

Záver

Výučbu geometrie je vhodné obohatiť o hmatové zážitky , najmä v jej počiatočných fázach. Inak sa pre mnohých žiakov i učiteľov stane postrachom a neprekonateľnou prekážkou v matematickom učive takmer na všetkých stupňoch a typoch škôl.

LITERATÚRA

[1] Bolt, Brian: Mathematical Activities. A resource book for teachers. Cambridge: Cambrige University Press, 1982, ISBN 0 521 28518 6

[2] Bolt, Brian: Mathematical Activities. A resource book for teachers. Cambridge: Cambrige University Press, 1985, ISBN 0 521 31951 X

[3] Židek, Oliver: Manipulačné a virtuálne štúdium niektorých vlastností špeciálnych mnohostenov. In: Vyučování matematice z pohledu kompetencí žáka a učitele 1. stupně základního vzdělávání. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007, ISBN 978-80-7043-548-9

Doc. PhDr. Oliver Židek, CSc. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná 4 SK – 918 43 Trnava e-mail: [email protected]

Recenzent: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. e-mail: [email protected]


259

VYBRANÉ PRVKY POTENCIÁLU SYSTÉMU DERIVE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY

KATARÍNA ŽILKOVÁ

ABSTRACT. Detailed methodical design of solving a mathematics problem using Derive allows for a selection of a particular segment of the task as well as a global perspective of the solution. Presented approach emphasizes elements of visualization, exploration and hypotheses testing with an option to change input parameters interactively.

Programové produkty vo vyučovaní matematiky

Využívanie špeciálnych softvérových produktov určených na matematické symbolické, numerické a grafické výpočty vo vyučovaní matematiky má svoje špecifiká, ktoré sa týkajú nielen konkrétneho obsahového diapazónu možností, ktoré daný produkt ponúka, ale najmä voľby jeho metodického zaradenia v rámci stanovenej vyučovacej štruktúry a dosahovaného cieľa. V súvislosti s integráciou IKT prostriedkov do výučby matematiky sa, nepochybne oprávnene, často akcentuje aspekt názornosti a vizualizácie matematického problému. Popri týchto hľadiskách treba upozorniť aj na ďalšie benefity, ktoré môžu cieľavedome učitelia matematiky využiť za podmienky výberu vhodného problému určeného na riešenie v počítačovom prostredí. V riešení nasledujúcej úlohy (cieľová skupina: žiaci 4. ročníka gymnázia) sa využíva syntéza elementárnych poznatkov z oblasti diferenciálneho a integrálneho počtu.

Úloha: Určte hodnoty parametrov a, b z množiny reálnych čísel tak, aby funkcia y=a·sin(x)+b·cos(x) nadobúdala maximum pre x = π

41 a graf tejto funkcie spolu s osou x

vymedzoval na intervale <2

,0 π > rovinný obrazec, ktorého obsah je 6.

Návrh metodického postupu riešenia úlohy pomocou systému Derive

Najskôr v okne algebry zapíšeme výraz #1: a·SIN(x) + b·COS(x) Ak by sme chceli v systéme Derive vykresliť graf vyššie definovanej funkcie (kliknutím na ikonu 2D-plot Window – okno pre grafické výstupy), Derive oznámi, že má príliš veľa neznámych. Pre parametre a, b treba zadefinovať posuvnú lištu, aby sme mohli priebežne meniť ich hodnoty a sledovať interaktívne zmeny na zodpovedajúcom grafe funkcie. V hlavnom menu grafického okna nájdeme Insert - Slider Bar (obr. 1, 2) a vyplníme príslušné údaje pre obidva parametre, ktorými sú názov parametra, jeho najmenšia a najväčšia nadobúdacia hodnota a počet častí delenia daného rozsahu.

KATARÍNA ŽILKOVÁ

260

Obr. 1: Definovanie posuvnej lišty pre parameter b. Obr. 2: Posuvné lišty pre premenné a, b.

Na obrazovke sa ukážu posuvné lišty pre konkretizované premenné. Počiatočné hodnoty (obr.2) sú nastavené na a = b = 1. Teraz možno vykresliť graf (obr.3) kliknutím na ikonu Plot, alebo pravým tlačidlom na grafické okno a voľbou Insert Plot. Popis grafu získame podobne cez kontextové menu vložením anotácie.

Obr. 3: Graf funkcie y = a·sin(x) + b·cos(x) pre hodnoty parametrov a = b = 1.

V bode x = π41

má funkcia y = a.sin(x) + b.cos(x) nadobúdať na intervale <2

,0 π>

maximum. Do okna algebry definujeme x = 4π

a v grafickom okne znázorníme rovnosť

analogicky ako v predchádzajúcom prípade (obr.4).

#2: x =4π

VYBRANÉ PRVKY POTENCIÁLU SYSTÉMU DERIVE VO VYUČOVANÍ ...

261

Obr. 4: Graf funkcie so zvýraznením bodu, v ktorom má byť lokálne maximum.

V nasledujúcom experimentovaní môžeme meniť mierku osí grafu, prípadne

zobrazovanú časť grafu, pomocou ikon v paneli nástrojov, ktorý je aktivovaný pre grafické okno.

Obr. 5: Graf po zmene mierky.

Experimentovaním s hodnotami parametrov a, b sa možno pokúsiť o odhad hodnôt, aby boli splnené podmienky úlohy o maxime na uvedenom intervale.

KATARÍNA ŽILKOVÁ

262

Obr. 6, 7: Experimentovanie s hodnotami parametrov a, b.

Z vykonaných experimentov sa dá stanoviť hypotéza o rovnosti parametrov a = b. Na dôkaz použijeme prostriedky matematiky. Vypočítame prvú deriváciu danej funkcie v bode π

41 , ktorá sa (kvôli podmienke maxima) musí rovnať nule:

#3: a·SIN(x) + b·COS(x)

#4: dxd

a·SIN(x) + b·COS(x)

#5: a·COS(x) - b·SIN(x)

#6: SOLVE [ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = x,0)

4b.SIN(-)

4(a.COS ππ

#7: [a - b = 0]

Po derivácii a aplikácii podmienky o maxime je zrejmé, že a = b. V ďalšom postupe využijeme informáciu o obsahu oblasti ohraničenej danou funkciou a osou x. Na znázornenie obsahu rovinného obrazca v Derive použijeme nasledujúci príkaz:

#8: PlotInt ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2,0,),b.COS()(a.SIN πxxx

Poznámka: Ak by Derive nevyznačil oblasť, ktorej obsah má byť 6, treba najskôr v

hlavnom menu nastaviť Options-Simplify Before Plotting a znovu sa pokúsiť o znázornenie.

VYBRANÉ PRVKY POTENCIÁLU SYSTÉMU DERIVE VO VYUČOVANÍ ...

263

Obr. 8: Vyznačenie rovinného obrazca na určenom intervale.

Na vypočítanie presnej hodnoty obsahu použijeme symbolický výpočet určitého integrálu:

#9: a.SIN(x) + b.COS(x)

Obr. 9: Postup výpočtu určitého integrálu.

#10: ∫ +2/

0

xb·COS(x))d (a.SIN(x)π

#11: a + b Zhrnutie: Ak obsah vyznačenej časti je a + b = 6 (j2) a zároveň sme zistili, že a = b,

potom riešením úlohy je a = 3, b = 3.

KATARÍNA ŽILKOVÁ

264

Odpoveď: Aby funkcia y = a·sin(x) + b·cos(x) nadobúdala maximum pre x = π41

a

graf tejto funkcie spolu s osou x vymedzoval na intervale <0, 2π

> rovinný obrazec,

ktorého obsah je 6, musia byť hodnoty parametrov a = b = 3.

Niektoré dôsledky pôsobenia systému Derive vo výučbe matematiky

Vstupnými predpokladmi pre úspešné riešenie uvedenej úlohy je zvládnutie učiva o vlastnostiach elementárnych funkcií, o lokálnych a globálnych extrémoch, potrebné sú poznatky zo základov diferenciálneho a integrálneho počtu, nutné je vedieť realizovať jednoduché symbolické derivácie a integrácie, zvládnuť výpočet určitého integrálu. V konečnom dôsledku je však úloha veľmi jednoduchá a zúži sa na realizáciu jednej jednoduchej derivácie a na výpočet jedného určitého integrálu. Zložitý je proces hľadania cesty k tomuto jednoduchému riešeniu. Treba syntetizovať všetky doterajšie poznatky, mať istú dávku nadhľadu, nezľaknúť sa parametrov vyskytujúcich sa vo funkčnom predpise a podobne. Navrhnutý metodický postup umožní študentovi znázorniť graf funkcie, definovaním posúvačov infiltruje prvky interaktivity a dynamiky do procesu skúmania priebehu funkcie v závislosti od meniacich sa hodnôt parametrov a, b a následne umožňuje aktivovať experimentálne metódy. Dôležitou súčasťou riešiteľského procesu je aj realizovanie odhadu a jeho prípadnej korekcie v nadväznosti na voľbu jednak ďalšieho riešiteľského postupu, alebo aspoň (nie menej dôležitej) intuitívnej kontroly výsledku. Derive možno použiť aj v závislosti od stanoveného cieľa buď na odbremenenie výpočtov vo fáze zdôrazňovania riešiteľskej stratégie, alebo aj ako „kontrolný kalkulátor“ umožňujúci spracovávať rôzne druhy vstupných údajov.

LITERATÚRA

[1] Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, 2000, 303 s., ISBN 80-7196-099-3.

PaedDr. Katarína Žilková, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Univerzita Komenského Moskovská 34 SK – 813 34 Bratislava e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. e-mail: [email protected]

Prílohy

267

Program V. nitrianskej matematickej konferencie

6. – 7. september 2007

Rokovacie miestnosti : M-5 budova UKF, blok C, 2. poschodie prezentácia účastníkov, prednášky v pléne, rokovania v 1. sekcii M-1 budova UKF, blok C, 1. poschodie

rokovania v 2. sekcii

6. september 2007 (štvrtok)

miestnosť M - 5

800 – 830 hod. prezentácia účastníkov

830 hod. otvorenie konferencie – prof. RNDr. O. Šedivý, CSc.

príhovor dekana Fakulty prírodných vied UKF v Nitre

prof. RNDr. Ľubomíra Zelenického, CSc.

Plenárne prednášky

miestnosť M - 5 čas : 845 – 1200 hod.

Vystúpia :

845 hod. doc. RNDr. Ivan Trenčanský, CSc. (FMFI UK Bratislava)

Prednáška:Teória didaktických situácií a výskum v didaktike matematiky

1000 hod. doc. RNDr. Juraj Kostra, CSc.(PdF OU v Ostravě) Prednáška: Motivácia k štúdiu okruhov celých algebraickych čísel

1100 hod. doc. PhDr. Emil Komárik, CSc.

Katedra pedagogiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Komenského v Bratislave Prednáška: Postavenie matematických vedomostí v štruktúre ľudského potenciálu

Rokovania v sekciách

Začiatok rokovania: 12.30 hod.

Sekcia 1 Miestnosť M – 5 Rokovanie vedie : prof. RNDr. J. Fulier, CSc. Zbigniew Powązka (Akademia Pedagogiczna, Krakow) PRÍKLADY CHÝB V POROZUMENÍ ZÁKLADNÝCH POJMOV

Peter Vrábel (KM FPV UKF, Nitra) METÓDA OD ŠPECIÁLNEHO PRÍPADU K VŠEOBECNÉMU RIEŠENIU Štefan Tkáčik (Pedagogická fakulta KU, Ružomberok) POČIATKY ZAVEDENIA LOGARITMU

Hashim Habiballa (Katedra informatiky a počítačů, Ostravská Univerzita, Ostrava) PŘÍPRAVA SLUCHOVĚ POSTIŽENÝCH STUDENTŮ KE STUDIU VŠ – KURZ MATEMATIKA Antonín Jančařík (Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova, Praha) MS EXCEL A LINEÁRNÍ ALGEBRA 14.00 – 14.30 hod. Coffee break (miestnosť M – 2)

Stanislava Beláková (KM FPV UKF, Nitra), Lucia Záhumenská (KM FPV UKF, Nitra) RIEŠENIE PROBLÉMOVÝCH ÚLOH S VYUŽITÍM GRAFICKÉHO KALKULÁTORA Ján Gunčaga (Pedagogická fakulta KU, Ružomberok) LEONARD EULER A NEKONEČNÉ RADY Tomáš Lengyelfalusy (FPV ŽU, Žilina) ODKAZ G. POLYU PRE DIDAKTIKU MATEMATIKY 21. STOROČIA Jaroslav Beránek (Pedagogická fakulta MU, Brno) CANTOROVA MNOŽINA VE VYSOKOŠKOLSKÉ MATEMATICE Adriana Kolevová (MU, Šahy) ANALYTICKÁ GEOMETRIA V SR A V MAĎARSKEJ REPUBLIKE Janka Melušová (KM FPV UKF, Nitra) TEÓRIA GRAFOV AKO SÚČASŤ DISKRÉTNEJ MATEMATIKY VO VYUĆOVANÍ MATEMATIKY

Sekcia 2 Miestnosť M – 1 Rokovanie vedie : doc. RNDr. M. Vrábelová, CSc. Oleg Palumbíny (UAIM MtF STU, Trnava) INFINITEZIMÁLY, PYTAGOROVA VETA A DĹŽKA KRIVKY Mária Kmeťová (KM FPV UKF, Nitra) O JEDNEJ ŠPECIÁLNEJ TRIEDE PRIAMKOVÝCH PLÔCH Marta Vrábelová (KM FPV UKF, Nitra) ROZŠÍRENIE SUBADITÍVNYCH INTEGRÁLOV S HODNOTAMI V MV-ALGEBRE Daniel Palumbíny (KM FPV UKF, Nitra) MATEMATICKÁ INDUKCIA NA KONEČNÝCH MNOŽINÁCH Alena Vagaská (KMIK, Fakulta výrobných technológií, Technická univerzita v Košiciach, Prešov) NUMERICKÁ KVADRATÚRA S VYUŽITÍM M- FUNKCIÍ V MATLABE 14.00 – 14.30 hod. Coffee break (miestnosť M – 2)

Anna Macúrová (KMIK, Fakulta výrobných technológií, Technická univerzita v Košiciach, Prešov) NIEKTORÉ SÚRADNICOVÉ SYSTÉMY PRI RIEŠENIÍ NELINEÁRNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC Ondrej Šedivý (KM FPV UKF, Nitra) ZVYŠUJME HODNOTY VYUČOVANIA MATEMATKY APLIKÁCIAMI Magdaléna Tomanová (KM ÚPHV TnUAD, Trenčín) O CRAMEROVOM PRAVIDLE Katarína Žilková (Katedra matematiky a informatiky PdF UK, Bratislava) VYBRANÉ PRVKY POTENCIÁLU SYSTÉMU DERIVE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY Renata Majovská (VŠB TU, Ostrava) LIMITA FUNKCE NEMUSÍ PATŘIT K OBTÍŽNÝM TÉMATUM 16.30 hod.

SPOLOČENSKÉ STRETNUTIE ÚČASTNÍKOV KONFERENCIE

7. september 2007 (piatok)

Začiatok rokovania: 8.30 hod.

Sekcia 1 Miestnosť M – 5 Rokovanie vedie : prof. RNDr. J. Fulier, CSc. Michal Munk (PF UKF, Nitra) 1. ANALÝZA KOVARIANCIE – ANALÝZA EXPERIMENTÁLNYCH DÁT 2. ANALÝZA SPOĽAHLIVOSTI POLOŽIEK DOTAZNÍKA Anna Tirpáková, (KM FPV UKF, Nitra), Dagmar Markechová (KM FPV UKF, Nitra), Viera Tomková (KTv PF, Nitra ) WILCOXONOVE TESTY PRI OVEROVANÍ ÚČINNOSTI VYUĆOVACIEHO PROCESU MODELU Daša Munková (PF UKF, Nitra) ANALÝZA SPOĽAHLIVOSTI POLOŽIEK TESTU Lucia Rumanová (KM FPV UKF, Nitra) VÝSLEDKY DIDAKTICKÉHO EXPERIMENTU PREZENTOVANÉ ŠTATISTICKÝM PROGRAMOM C.H.I.C. Kitti Vidermanová (KM FPV UKF, Nitra) ŠTATISTICKÉ VYHODNOTENIE EXPERIMENTU SO STAVEBNICOU POLYDRON Sekcia 2 Miestnosť M – 1 Rokovanie vedie: doc. PaedDr. S. Čeretková, PhD. Oliver Židek (PdF TU, Trnava) O VYUŽITÍ ŠPECIÁLNYCH REZOV NA PRAVIDELNOM ŠTVORSTENE Gabriela Pavlovičová (KM FPV UKF, Nitra) NIEČO O GEOMETRII NA 1. STUPNI ZŠ Oliver Ralík (KM FPV UKF, Nitra) NIEKTORÉ METRICKÉ VLASTNOSTI VZHĽADOM NA VZÁJOMNÚ POLOHU PRIAMOK Dušan Vallo (KM FPV UKF, Nitra), Júlia Záhorská (KM FPV UKF, Nitra) CABRI 3D V ŠKOLSKEJ STEREOMETRII

Marek Varga (KM FPV UKF, Nitra) POZNÁMKA K NIEKTORÝM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM Soňa Čeretková (KM FPV UKF, Nitra) MATURITA Z MATEMATIKY NA SLOVENSKU A V RAKÚSKU (náčrt porovnávacej štúdie). Milan Pokorný (Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity, Trnava) VYUŽITIE DIPLOMOVÝCH PRÁC V POČÍTAČOM PODPOROVANOM VYUČOVANÍ MATEMATIKY NA PdF TU Ján Šunderlík (KM FPV UKF, Nitra) SKÚSENOSTI S VYUČOVANÍM MATEMATIKY V NEW YORKU NA ZÁKLADE DVOJ ROČNÉHO POBYTU

Prosíme účastníkov rokovaní v jednotlivých sekciách, aby obmedzili rozsah svojich

vystúpení maximálne na 15 minút. Za pochopenie ďakujeme.

Organizátori

ACTA MATMEMATICA 10

OBSAH

TRENČANSKÝ, I.: Teória didaktických situácií – možné aplikácie vo výskume v didaktike matematiky 3

KOMÁRIK, E.: Miesto matematických znalostí v štruktúre ľudského potenciálu 11

ŠEDIVÝ, O.: Zvyšujme hodnotu vyučovania matematiky aplikáciami 19

BELÁKOVÁ, S. – ZÁHUMENSKÁ, L.: Solving mathematical problems with the use of graphing calculator 27

BERÁNEK, J.: Cantorova množina ve vysokoškolské matematice 33

ČERETKOVÁ, S.: Maturita z matematiky v rakúskej republike 41

ĎURIŠ, V.: Šachové úlohy vo výpočtovom prostredí Matlab® 47

FULIER, J.: Riemannova hypotéza, Bazilejský problém a Sumácia istých nekonečných radov 53

GUNČAGA, J.: Leonhard Euler a Nekonečné rady 59

HABIBALLA, H. – HABIBALLA, L. – TELNAROVÁ, Z.: Příprava slochově postižených studentů ke studiu VŠ – Kurz matematika 65

HÍC, P. – POKORNÝ, M.: Využitie diplomových prác v počítačom podporovanom vyučovaní matematiky na Pdf TU 71

HRKOTA, K. – HRKOTA, K. ML.: Dve poznámky ku vnímaniu konvergencie nekonečných radov zo strany študentov 77

CHVÁLNY, M.: Výpočet a vizualizácia dotykovej roviny s využitím výpočtového systému Mathematica” 81

JANČAŘÍK, A.: MS Excel a lineární algebra 87

KMEŤOVÁ, M.: O jednej špeciálnej triede priamkových plôch 93

KOLEVOVÁ, A.: Vyučovanie analytickej gemetrie v SR a MR 99

LENGYELFALUSY, T.: Odkaz G. Polyu pre didaktiku matematiky 21. storočia 107

MACUROVÁ, A.: Niektoré súradnicové systémy použité pri riešení sústav nelineárnych diferenciálnych rovníc 115

MAJOVSKÁ, R.: Limita funkce nemusí patřit k obtížným tématům 121

MELUŠOVÁ, J.: Teória grafov ako súčasť diskrétnej matematiky vo vyučovaní matematiky (stručný prehľad) 127

MUNK, M.: Analýza kovariancie - analýza experimentálnych dát 133

MUNK, M.: Analýza spoľahlivosti/položiek dotazníka 141

MUNKOVÁ, D. - MUNK, M.: Analýza spoľahlivosti/položiek testu 147

NOVOTNÁ, J.: Zaměnitelné matice ve cvičení z Lineární algebry 155

PALUMBÍNY, O. : Infinitezimály, Pytagorova veta a dĺžka krivky 161

PALUMBÍNY, O. – PALUMBÍNY, D.: Matematická indukcia na konečných množinách 167

PAVLOVIČOVÁ, G.: Niečo o geometrii na 1. stupni základnej školy 171

POWĄZKA, Z.: Príklady chýb v porozumení základných pojmov matematickej analýzy skúmaných u študentov učiteľstva matematiky 177

RALÍK, O.: Niektoré metrické vlastnosti vzhľadom na vzájomnú polohu priamok 183

RUMANOVÁ, L. – DRÁBEKOVÁ, J.: Výsledky didaktického experimentu prezentované štatistickým programom C.H.I.C. 185

ŠUNDERLÍK, J.: Skúsenosti s vyučovaním matematiky v New Yorku (osobná reflexia) 191

TIRPÁKOVÁ, A. – MARKECHOVÁ, D. – TOMKOVÁ, V.: Wilcoxonove testy pri overovaní účinnosti vyučovacieho modelu 199

TKAČIK, Š.: Počiatky zavedenia logaritmu 205

TOMANOVÁ, M.: O Cramerovom pravidle 211

VAGASKÁ, A.: Numerická kvadratúra s využitím m-funkcií v matlabe 215

VALLO, D. - ZÁHORSKÁ, J.: Cabri 3D v školskej stereometrii a metóda pridaj kocku 221

VARGA, M.: Poznámka k niektorým diferenciálnym rovniciam vyšších rádov 227

VIDERMANOVÁ, K.: Štatistické vyhodnotenie experimentu so stavebnicou Polydron 231

VRÁBEL, P.: Metóda od špeciálneho prípadu k všeobecnému riešeniu 237

VRÁBELOVÁ, M. - ŽILKOVÁ, M.: An extension of MV-algebra-valued subadditive integrals 243

ŽIDEK, O.: O využití špeciálnych rezov na pravidelnom štvorstene 255

ŽILKOVÁ, K.: Vybrané prvky potenciálu systému Derive vo vyučovaní matematiky 259

Prílohy

Harmonogram a účastníci V. nitrianskej matematickej konferencie 267

Názov diela: ACTA MATHEMATICA 10 Vydavateľ: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre Edícia: Prírodovedec č. 270 Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa 2.10.2007 Vedeckí redaktori: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. Doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. Doc. RNDr. Anna Tirpáková, CSc. RNDr. Dušan Vallo, PhD. Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová RNDr. Kitti Vidermanová Rok vydania: 2007 Poradie vydania: prvé vydanie Počet strán titulu: 276 strán Počet výtlačkov: 100 kusov Sadzba: Použitím textového editora Microsoft© Office Word Tlač: Vydavateľstvo Michala Vašku, Námestie Kráľovnej pokoja 3, 080 01 Prešov © UKF v Nitre 2007 ISBN 978-80-8094-181-9 EAN 9878080941819

ACTA MATHEMATICA 10ACTA MATHEMATICA 10 3 TEÓRIA DIDAKTICKÝCH SITUÁCIÍ – MOŽNÉ APLIKÁCIE VO...

Documents

Transcript of ACTA MATHEMATICA 10ACTA MATHEMATICA 10 3 TEÓRIA DIDAKTICKÝCH SITUÁCIÍ – MOŽNÉ APLIKÁCIE VO...