7 章　三平方の定理

198

3 右の図のように，正方形 ABCD の紙を，辺 AD の中点Mと頂点C

を結ぶ直線を折り目として折り返し，頂点Dが移る点をE，線分

ME の延長と辺 AB の交点をFとする。次の問いに答えよ。□⑴　FE＝FB であることを証明せよ。

□⑵　AD＝2，FE＝a とするとき，a の値を求めよ。また，△AFM

の 3 辺の長さの比，AF：AM：FM を求めよ。

★

2 右の図のように，AB＝3 cm，AD＝5 cm の長方形 ABCD の紙を，頂点Aが頂点Cと重なるように折り返したとき，その折り目を EF，頂点Bが移る点をGとする。線分 DE の長さを求めよ。

★

　　 学習の基本　1　図形の折り返し　折り返しの問題では，折り返す前と折り返した後で対応する辺の長さや，対応する角の大きさが等しいことを利用する。また，図形の相似の性質を利用する場合もあるので注意をする。

問題　右の図のように，AB＝8 cm，AD＝17 cm の長方形

ABCD の紙を，頂点Dが辺 BC 上の点Eに重なるように折

ったときの折り目を AF とする。線分 EF の長さを求めよ。解　△AEF≡△ADF だから，AE＝AD＝17 cm

△ABE で三平方の定理より，BE＝15 cm

よって，EC＝BC－BE＝17－15＝2（cm）EF＝DF＝x cm とすると，CF＝（8－x）cm と表せるから，

△ECF で三平方の定理より，22＋（8－x）2＝x2，x＝ 174

別解　EC＝2 cm を求めてから，△ABE ∽△ECF であることを利用して，

　　　AB：EC＝AE：EF より，8：2＝17：x，x＝ 174

としてもよい。

答　 174

cm

★

A D

F

CEB

17cm

8cm

1 右の図のように，AB＝6 cm，AD＝10 cm の長方形 ABCD の紙を，項点Dが辺 BC 上の点Eに重なるように折ったときの折り目を AF

とする。線分 CF の長さを求めよ。

★

➡三平方の定理により，x の方程式をつくろう。

▼チェック問題 扌 P 206，2074 三平方の定理の応用問題

199

4 　三平方の定理の応用問題

5 底面の半径が 2 cm，母線の長さが 8 cm の円錐について，次の問いに答えよ。

□⑴　側面の展開図のおうぎ形の中心角を求めよ。

□⑵　右の図のように，円錐の側面上をまわるように，点 A から点 A までひもをかける。ひもの長さが最短となるとき，その長さを求めよ。

6 次の図のように，円錐の側面上をまわるように，⑴，⑵は点 A から点 A まで，⑶は点 A から母線 OA の中点 M までひもをかける。ひもの長さが最短となるとき，その長さを求めよ。

　⑴　 □⑵　 　⑶　

　　 学習の基本　2　立体の表面上の最短距離直方体の表面上の最短距離

　右の図 1 の直方体で，DP＋PF の長さの最短距離は，図 2 のように，面 ABCD と面 ABFE を同じ平面上に並べた図形の線分 DF の長さになる。

円錐の表面上の最短距離

　右の図 3 のように，円錐の側面上をまわるように，点 A から母線 OA 上の点 B までひもをかけるとき，ひもの長さの最短距離は，図 4 のような側面の展開図のおうぎ形で，太い線分 AB の長さになる。

4 次の図の直方体や立方体で，太線はそれぞれ点 A と点 B を両端とする表面上の線で，〔　　〕内の条件を満たす。太線の長さが最短となるとき，その長さを求めよ。ただし，⑶で，A，B はそれぞれの辺の中点である。

　⑴　〔辺 PQ 上を通る〕 　⑵　〔辺 PQ，RS 上を通る〕 □⑶　〔辺 PQ 上を通る〕

➡展開図上で，始点と終点を結ぶ線分の長さを考えよう。

7 章　三平方の定理

200

　　 学習の基本　3　正多角形の面積問題　次の図形の面積をそれぞれ求めよ。

⑴　1辺の長さが2cm の正六角形

⑵　1辺の長さが6cm の正八角形

解　⑴ 右の図のように6つの正三角形に分けて考えると，

　　　 正三角形の高さは √ 32×2＝√ 3（cm） になるから，

　　　 その面積は 12×2×√ 3＝√ 3（cm2）

　　　 よって，正六角形の面積は，√ 3×6＝6√ 3（cm2）　　⑵ 正八角形の1つの内角の大きさが

　 180°×（8－2）÷8＝135° であることを利用すると，　 右の図のように合同な4つの直角二等辺三角形を　 補って，正方形 ABCD を作ることができる。　 正八角形の面積は，正方形 ABCD の面積から　 △AEF の面積を4つ分ひけばよい。

　 AE＝AF＝ 6√ 2＝3√ 2（cm） だから，△AEF の面積は， 1

2×（3√ 2 ）2＝9（cm2）

　 また，AB＝AF＋FG＋GB＝3√ 2＋6＋3√ 2＝6＋6√ 2（cm） だから，　 正方形 ABCD の面積は，（6＋6√ 2 ）2＝108＋72√ 2（cm2）　 よって，正八角形の面積は，（108＋72√ 2 ）－9×4＝72＋72√ 2（cm2）

答　⑴　6√ 3 cm2　　⑵　72＋72√ 2（cm2）

★

正三角形

2cm

直角二等辺三角形A D

B H I

E L

C

G J

F K135°

6cm

7 次の図で，それぞれの図形の面積を求めよ。　⑴　 □⑵　 　⑶　

□⑷　 　⑸　 □⑹　

★

（正六角形）

6cm

（正六角形）

8cm

（正八角形）

4cm

（正八角形）

8cm

6cm

（正八角形）

8cm

（正十二角形）

➡正三角形や直角三角形に着目しよう。

201

4 　三平方の定理の応用問題

　　 学習の基本　4　立体の切断問題　右の図の立方体で，点 M，N はそれぞれ辺 FG，GH の中点である。

この立方体を次のような平面で切るとき，その切り口はどのような図形になるか。

⑴　3点 M，N，C を通る平面

⑵　3点 M，N，A を通る平面解 ⑴ 右の図のようになる。

点 M と点C，点Nと点Cの間の距離は等しいから，切り口は

MC＝NC の二等辺三角形となる。

⑵ 右の図のようになる。延長して交わる点を利用すると，AP™QN，AQ™PM の五角形となる。

A

B

F

D

C

GMN

EH

A

B

FP

I

D

J

C

GM

E H

Q

N

答　⑴　二等辺三角形　　⑵　五角形

★

A

B

F

D

C

GM

EH

N

9 右の図の正八面体を黒丸で示した3点を通る平面で切断するとき，その切断面の図形の名称を答えよ。ただし，辺上にある黒丸は各辺の中点を表している。

★

□

8 次の図の立方体を黒丸で示した3点を通る平面でそれぞれ切断するとき，その切断面の図形の名称を答えよ。ただし，辺上にある黒丸は各辺の中点を表している。

　⑴　 　⑵　 □⑶　

　⑷　 　⑸　 □⑹　

　

★

➡互いに平行な2つの面にできる切り口の線が平行になるように作図しよう。

7 章　三平方の定理

202

11 次の図は正四面体で，辺上の点はその辺の中点である。影の部分の面積を求めよ。　⑴　 □⑵　 　⑶　

★

12 次の図はすべての辺の長さが等しい正四角錐で，辺上の点はその辺の中点である。影の部分の面積を求めよ。

　⑴　 □⑵　 　⑶　

★

　　 学習の基本　5　立体内にできる多角形　右の図のように，立体の内部には，いろいろな形の多角形ができる。

★

10 次の図は立方体で，辺上の点はその辺の中点である。影の部分の面積を求めよ。　⑴　 □⑵　 □⑶　

　⑷　 □⑸　 　⑹　

★

〈 〉 〈 〉 〈 〉

➡長さの等しい辺を見つけよう。

203

4 　三平方の定理の応用問題

14 右の図のように，線分 AB を直径とする円Oの周上に点Cをとる。∠CAB の二等分線と線分 CB の交点をDとし，点Dから線分 AB に垂線をひき，その交点をEとする。次の問いに答えよ。

□⑴　△ACD≡△AED となることを証明せよ。

□⑵　AB＝5 cm，AC＝4 cm のとき，線分 OD の長さを求めよ。

★

16 右の図で，四角形 ABCD は正方形であり，点Pは正方形 ABCD

の辺 CD 上の点で，線分 BP を直径とする半円Oの弧は，辺 AD と点

Qで接している。正方形 ABCD の1辺の長さを6cm とするとき，半円Oの半径を求めよ。

★

□

15 右の図で，四角形 ABCD は正方形で，点A，Bは円Oの周上の点，点Oは辺 DC 上にある。また，点E，Fはそれぞれ円Oと直線 BO，BD との交点である。AB＝4 cm のとき，次の問いに答えよ。

□⑴　△EBC の面積を求めよ。　　　□⑵　線分 FB の長さを求めよ。★ ★★

　　 学習の基本　6　三平方の定理と円問題　右の図で，点A，B，C，Dは円Oの周上の点で，四角形 ABCD は

正方形である。辺 AD の中点をEとし，直線 CE と円Oとの交点をFと

する。円Oの半径が 10 cm のとき，弦 AF の長さを求めよ。

解　AC＝20 cm より，CD＝ 1√ 2×20＝10√ 2 （cm），DE＝AE＝5√ 2 cm

　　△CDE で，CE＝√（10√ 2 ）2＋（5√ 2 ）2＝5√ 10 （cm）　　△AFE∽△CDE であるから，AF：CD＝AE：CE

　　AF：10√ 2＝5√ 2：5√ 10 ，AF＝2√ 10 cm

答　2√ 10 cm

13 右の図のように，線分 AB を直径とする半円Oの弧上に点 C，D

があり，BC＝2AC である。また，点Eは，線分 AD，BC の交点，点Fは線分 AC の延長と線分 BD の延長の交点である。次の問いに答えよ。

　⑴　△BCF∽△ACE となることを証明せよ。

　⑵　AC＝7 cm，CE＝4 cm のとき，線分 DF の長さを求めよ。

➡半円の弧に対する円周角を利用して，直角三角形を見つけよう。

7 章　三平方の定理

204

19 右の図の正四角錐 O ‒ ABCD で，AB＝4 cm，OA＝6 cm，点M，Nはそれぞれ辺 OB，OC の中点である。次の問いに答えよ。

□⑴　正四角錐 O ‒ ABCD の体積を求めよ。

□⑵　四角形 MADN の面積を求めよ。

★★

18 右の図のように，1 辺の長さが6cm の立方体 ABCD ‒ EFGH において，辺 EF，FG，GH，HE の中点をそれぞれP，Q，R，Sとする。このとき，△BRS と△DPQ とが交わってできる線分の長さを求めよ。

★★□

　　 学習の基本　7　空間図形に関する問題問題　右の図の立体 P ‒ ABC は，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90°，　AP＝BP＝CP＝10 cm の三角錐である。頂点 P から底面 ABC に

　ひいた垂線の長さを求めよ。解　この立体を三角錐 C ‒ APB として考えると，

体積は， 13×��

12

×10×10��×10＝ 5003

（cm3）

△ABC は，1辺が 10√ 2 cm の正三角形で，高さは √ 32×10√ 2 （cm） になるから，

面積は， 12×10√ 2×��

√ 32×10√ 2 ��＝50√ 3 （cm2）

求める長さをhcm とすると，体積について，13×50√ 3×h＝ 500

3 ，h＝ 10√ 3

3

答　 10√ 33

cm

★

17 右の図は，AB＝BC＝4 cm，BF＝8 cm の直方体 ABCD ‒ EFGH である。次の問いに答えよ。

　⑴　頂点Fから線分 AC にひいた垂線の長さを求めよ。

　⑵　頂点Aから線分 FC にひいた垂線の長さを求めよ。

★

➡見る角度を変えながら，空間図形の中に直角三角形を見い出していくことがポイントとなる。

1辺の長さがaの正三角形の

高さは √ 3

2 a，面積は

√ 3

4 a2

205

4 　三平方の定理の応用問題

21 右の図のように，底面の半径が9cm の円柱に半径の等しい2つの球O，O' が内接している。球O，O' の半径が5cm のとき，円柱の高さを求めよ。　　　

★

□9cm

O

O'

22 右の図のように，底面の半径が3cm，母線の長さが5cm の円錐に大小2つの球O，O' が接している。このとき，2 つの球の中心間の距離を求めよ。

★★□

　　 学習の基本　8　内接球問題　右の図のように，底面の半径が6cm，母線の長さが 10 cm の円錐

に，球 O が内接している。このとき，球 O の半径を求めよ。解　右の図で，点Cは円錐の底面と球Oとの接点で，Oは AC 上にある。また，点Dは母線 AB と球Oとの接点だから，BD＝BC＝6 cm より，AD＝AB－BD＝10－6＝4 （cm）△ABC で，AC＝√ 102－62＝8 （cm）△AOD∽△ABC だから，AD：AC＝OD：BC

球の半径をxcm とすると，4：8＝x：6 より，x＝3

※図1のように，三角形の面積を利用してもよい。

内接円の半径の公式より， 12×12×8＝ 1

2×（12＋10＋10）×x，x＝3

また，図2のように，角の二等分線の性質を利用してもよい。BO が∠ABC の二等分線となることから，AO：CO＝BA：BC＝10：6＝5：3 より，

OC＝ 35＋3

AC＝ 38×8＝3 （cm）

答　3cm

★

A

CO

B

図１

12

10 10

A

C

O

B

図２

6

10

20 右の図のように，底面の半径が3cm，母線の長さが9cm の円錐に球Oが内接している。次の問いに答えよ。

　⑴　円錐の体積を求めよ。

　⑵　球Oの半径を求めよ。

★

➡円錐の頂点と球の中心を通る断面図で考えよう。