trekzone

Voor veel programmeurs kost de numerieke

vertaling van de zogeheten -grafiek figuur

39 in NEN 6772 de nodige hoofdbrekens

(afb. 2). Om de grafiek goed af te lezen, moet

namelijk dubbel worden genterpoleerd waar-

voor veel tussenwaarden nauwkeurig moeten

worden afgelezen n ingevoerd. Maar ook

voor de gewone constructeur is de grafiek niet

gebruiksvriendelijk, vooral omdat de afstand

tussen de opeenvolgende krommen voor

niet lineair verloopt. Daar komt nog bij dat de

grafiek voor = 6 lange tijd niet goed in de

norm was weergegeven. Hierdoor konden er

bij de interpolatie of bij het aflezen behoorlijke

afwijkingen ontstaan. Inmiddels is deze omissie

in wijzigingsblad NEN 6772/A1 gecorrigeerd.

Kortom: voor alle gebruikers is een numerieke

vertaling in een set formules van de grafiek

uit figuur 39 in NEN 6772 de beste oplossing.

Dit artikel beschrijft de theoretische aanpak

om tot een numerieke oplossing te komen.

Bepaling overgangspuntenDe waarde van in de grafiek hangt af van

de geometrie van de verbinding, uitgedrukt

in de parameters 1 en 2:

In de grafiek lopen de getekende krommen

vanaf een bepaalde waarde van 2 verticaal.Ter plaatse van deze verticale lijnen hangt

1 =m1

m1 + een 2 =

m2m1 + e

23AUGUSTUS 2003 BOUWEN MET STAAL 173

Verbindingen

Bij een geboute aansluiting van een ligger aan een kolom moet onder meer de capaciteit van de trekzone worden

getoetst. Soms worden de flenzen van de kolom daarbij verstijfd door het inlassen van horizontale schotjes (afb. 1).

Voor deze situatie moet de trekzone worden beschouwd als een reeks van vervangende T-stukken met elk een effectieve

lengte lef. NEN 6772 geeft in art. A.3.4.3.2 een set formules voor de effectieve lengte voor elke boutrij naast de

verstijving. In deze formules komt een factor voor, afhankelijk van de geometrie van de verbinding, waarvan de

waarde moeten worden afgelezen uit figuur 39 van NEN 6772. Die figuur is op basis van proeven bepaald.

Voor programmeurs was deze figuur lastig in numerieke waarden te vertalen. De auteur beschrijft in dit artikel een

methode waarmee dat nu wel mogelijk is met een wiskundige formule.

-Grafiek voor boutverbindingenomgezet in n formule

ir. S. van GemerdenSiem van Gemerden werkt als

constructie-adviseur bij Royal

Haskoning in Rotterdam.

1. Boutverbinding met een

gedeeltelijk schot in de trekzone.

2. Oorspronkelijke

figuur 39 uit NEN 6772.

draaid dat de 2-as overeenkomt met de (hori-zontale) x-as en de 1-as met de (verticale) y-as. Vervolgens tekenen we een willekeurige -

grafiek met de limietwaarde y (= 1) = 1 eneen horizontale tak voor grote waarden voor

x (= 2) (afb. 3). De x- en y-waarden horen bijde functie voor een willekeurig gekozen waarde

voor , terwijl 1 en 2 de uit de geometrieberekende waarden zijn. Bij de lijn y = 1 = 1hoort e = 0 en uit formule (2) volgt dan = 4.

Dat betekent dat een kleinere waarde voor

niet mogelijk is!

Voor de willekeurige -grafiek in x = 0 geldt y

= 1. En in het overgangspunt x = a geldt: y = b

en y = 0 (begin horizontale lijn). Volgens for-

mules (3) en (4) geldt dan:

De hierboven beschreven (willekeurige) -gra-

fiek is met de volgende wiskundige formuleset

te omschrijven:

Uit de formule voor de gekromde tak volgt,

na herschrijven:

y = b + (1 b) 1 x

a

f()

voor x a

y = b voor x > a

b =1,25

2,75(5)

a = 0,5b (6)

Voor de verticale tak geldt dan:

De overgangspunten van de kromme naar

verticale tak in de -grafiek liggen dan hier-

mee vast. Uit formule (2) volgt:

Combineren van formule (1) met formule (3)

levert de waarde voor 2 op:

Wiskundige -grafiekOm de wiskundige grafiek te bepalen, wordt

de grafiek uit NEN 6772 zo gespiegeld en ge-

2 = 1,3751 + 0,625

22 = 2,751 + 1,25 =1

2 = 0,51 (4)

1 = 2,751 + 1,25

1 =1,25

2,75(3)

lef

=m1 = 4m1 + 1,25e

m1 = (2,75m1 + 1,25m1) + 1,25e

= 2,75m1 + 1,25(m1 + e)

= 2,75 + 1,25(m1 + e)

m1= 2,75 +

1,251

(2)

24 BOUWEN MET STAAL 173 AUGUSTUS 2003

0,0

yb

ax = 2x-as ( 2-as)

1

y-as

(1-

as)

1,0

3. Bepaling van de wiskundige grafiek

voor een willekeurige waarde voor .

4. Gecorrigeerde figuur 39 uit

NEN 6772 volgens wijzigingsblad A1.

De grafiek is tevens verlengd

naar de maximale waarde 1 = 1,0.

de waarde van dan uitsluitend af van 1.Bij verstijfde verbindingen (met schotjes)

bepaalt de waarde van de effectieve lengte

lef van het vervangende T-stuk. Maar wanneer

de afstand tussen de verstijving en de bout

voldoende groot is, heeft de verstijving geen

invloed meer op de effectieve lengte.

De normale effectieve lengte voor een enkele,

onverstijfde boutrij volgt uit NEN 6772, for-

mule A.3-5b:

lef = 4m1 + 1,25e

waarbij tevens geldt lef 2m2. Een ver-stijving heeft geen invloed meer op de

effectieve lengte voor m2 >0,5lef . Daarom

geldt voor het overgangspunt van de

gebogen tak naar de rechte tak:

0,5lef

= m2 = 2m1 + 0,625e

m2 = (1,375m1 + 0,625m1) + 0,625e

= 1,375m1 + 0,625(m1 + e)

m2m1 + e

= 1,375m1

m1 + e+ 0,625

(m1 + e)

m1 + e

2 = 1,3751 + 0,625 (1)

SpreadsheetMet formule (8) en (9)

worden de krommen van

figuur 36 in NEN 6772

wiskundig beschreven. Om

hiermee voor een bepaalde

verbindingsgeometrie de

exacte waarde voor te

bepalen, moet een iteratie-

proces worden uitgevoerd,

zoals in NEN 6772 om-

schreven. De auteur stelt

hiervoor een (eenvoudig)

programma in Excel gratis

ter beschikking via de site

www.bouwenmetstaal.nl.

Klik op de startpagina op

download en vervolgens

op -Grafiek voor bout-

verbindingen (BmS-173).

25AUGUSTUS 2003 BOUWEN MET STAAL 173

Met de formules (5), (6) en (7) is vervolgens

een curve fitting gedaan met de grafiek van

figuur 39 van NEN 6772 op basis van de

krommen voor = 2, = 4,50 en = 4,45,

die elk een aantal duidelijk afleesbare steun-

punten (de snijpunten van rasterlijnen) hebben

(zie tabel 1).

Het blijkt dat de verhouding f()/ nagenoeg

constant is (de lezer kan dat zelf controleren

voor andere punten). Voor elke waarde van

luidt dan de formuleset:

Opvallend is dat bij = 6 uit formule (5) volgt

dat b = 0,3846. De grafiek in NEN 6772 was

oorspronkelijk echter getekend op b = 0,4.

Op basis van de afgeleide formules werd daar-

om geconcludeerd dat de kromme voor = 6

in NEN 6772 foutief was afgebeeld. Alle andere

verticale takken in figuur 39 kwamen namelijk

wel overeen met de theorethisch bepaalde

waarden voor b (en dus voor 1).De theoretische waarden voor volgens for-

mule (8) en (9) komen perfect overeen met

y = b + (1 b) 1 x

a

0,7

voor x a (8)

y = b voor x > a (9)

f() =

lny b

1 b

ln 1 x

a

(7)

Tabel 2. Resultaten van een iteratieve berekening van .

b a y 4,000 1,0000 2,0000 1,0000 0,5000

5,250 0,5000 1,3125 0,5858 0,0858

5,509 0,4531 1,2480 0,5290 0,0290

5,641 0,4323 1,2194 0,5030 0,0030

5,656 0,4301 1,2163 0,5001 0,0001

5,657 0,4300 1,2162 0,5000 0,0000

Tabel 1. Curve fitting van de theoretische waarden met de getekende grafiek.

b a y = 1 x = 2 f() f()/2 0,3538 1,1115 0,4 0,5 4,4143 0,703

4,50 0,7143 1,6071 0,8 0,5 3,2306 0,718

4,45 0,7353 1,6360 0,8 0,6 3,0835 0,693

Ligger-

kolomverbinding.

de getekende krommen en de gecorrigeerde

kromme voor = 6 in de gecorrigeerde figuur

39 van NEN 6772 (afb. 4).

Bepalen bij gegeven 1 en 2Met de theoretische formules voor de grafiek

voor een willekeurige waarde van is het

vervolgens mogelijk te bepalen welke waarde

van hoort bij een gegeven 1 en 2. Om datiteratief te kunnen doen, wordt een nieuwe

term ingevoerd: = y 1 (zie afb. 3).

Neem nu als startwaarde = 4: kleiner kan

deze waarde namelijk niet zijn. Vervolgens

wordt hiermee b berekend met formule (5),

a met formule (6) en y met formule (8) of (9).

De bijbehorende waarde van is dan bekend.Voor de tweede stap berekenen we uit for-

mule (2). Wanneer de verstijving geen invloed

meer heeft, wordt dan direct de goede waarde

van gevonden, omdat dan geldt = 0. Indeze tweede stap worden weer b, a, y en bepaald. Voor de derde stap gebruiken we

regula falsi:

Vanaf de derde waarde wordt het proces

herhaald totdat = 0. In tabel 2 staan deresultaten van een berekening voor een

boutverbinding met m1 = m2 = e = 50 mm

en 1 = 2 = 0,500.

3 =12 212 1