17 september 2019 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan ... · Brenda Casteleyn, PhD Page 2 1....

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Wiskunde: integralen en afgeleiden

17 september 2019

Brenda Casteleyn, PhD

Met dank aan: Atheneum van Veurne

Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

http://users.telenet.be/toelating)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema.

De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.

2. Oefeningen over integralen

1997 – juli Vraag 7

Bereken de waarde van de volgende bepaalde integraal:∫ 푒 푑푥 − ∫ 푑푥

<A> -1 0 <C> 1 <D> 2

1997 – Juli Vraag 8

Beschouw de volgende functie: 61( ) . .(6. ( ) 1)36

y x x Ln x C

Deze functie is het resultaat van:

<A>

5. xx e dx



5. ( )x Ln x dx

<C>

7 . xx e dx

<D> 5( )Ln x dx

1997 – Augustus Vraag 4

Eerste bewering: ∫ 푥푒 푑푥 = 푥푒 − ∫ e + 퐶

http://www.keu6.be

Tweede bewering: als u(x) ebn v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:

푢(푥)푑푣(푥) = 푢(푥)푣(푥)− 푣(푥)푑푢(푥)

<A> Alleen de eerste bewering is juist Alleen de tweede bewering is juist <C> Beide beweringen zijn juist <D> Beide beweringen zijn onjuist


De waarde van ∫ 푑푥 is

<A> ln 4 ½ ln4 <C> 2 ln24 <D> 2ln22


De waarde van ∫ 푥푒 푑푥/ is:

<A> e/3 1/3 <C> 1/4 <D> 1/5


De waarde van ∫ 푑푥 is:

<A> e-5 e-3 <C> 0 <D> e-1


∫ x. sin 푥 푑푥 =

<A> –π –π/2 <C> π/2 <D> π

http://www.keu6.be

Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van onderstaande beweringen is dan juist?

<A> De functies F(x) en G(x) zijn gelijkwardig Er bestaat een reëel getal r zodat F(x) = rG(x) <C> De functies F(x) en G(x) kunnen hoogstens in een constante verschillen <D> F(x) en G(x) kunnen alleen rationale functies zijn


Gegeven is ∫ = ln x en ∫ cos푥푑푥 = sin 푥

Welke bewerig is dan juist

<A> ∫ = ln sin x

 ∫ = sin ln x

<C> ∫ = ln x +

<D> ∫ is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens

2008 -Augustus Vraag 2

Voor partiële integratie geldt: ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )f x g x dx g x f x g x f x dx

Bepaal de volgende bepaalde integraal:

0

.(sin( ) cos( ))x x x dx

<A> /2 -/2 <C> π + 2 <D> π - 2


Be beschouwen twee uitdrukkingen:

Uitdrukking 1: ln( ) ln( ) tex dx x x c

http://www.keu6.be

Uitdrukking 2:

2 1 1(2 ) (4 )2 8

teSin x dx x Cos x c

Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?

<A> Uitdrukkingen 1 en 2 zijn juist. Uitdrukkingen 1 en 2 zijn fout. <C> Uitdrukkingen 1 is juist en uitdrukking 2 is verkeerd. <D> Uitdrukkingen 1 is verkeerd en uitdrukking 2 is juist.

2012 – Juli Vraag 6 versie 1

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

232.ex

x e dx

<A>

23 .23 .

2

e xtee e c



23 .23 . .

e xtee x e c

<C>

232

3

ex

tee ce

<D>

232.

3

ex

tex e ce



223.

xx e dx

<A>

2234

3x tee c



2233

4x

e k

<C>

2232

3x

e k

http://www.keu6.be

<D>

2233

2x

e k


Bereken de volgende onbepaalde integraal: 5 2 .

2xSin dx

<A>

2 5 25 2

xCos C

 2 5 25 2

xCos C

<C> 5 5 22 2

xCos C

<D> 5 5 22 2

xCos C

2014 – Juli – Vraag 2

Werk de volgende onbepaalde integraal uit:

<A>

14. ( ) 4.

xI x Ln x x e C



14

. ( )4

xeI x Ln x x C

<C>

14

. ( )4

xeI x Ln x C

<D>

14. ( ) 4.

xI x Ln x e C

14( )

xI Ln x e dx

http://www.keu6.be

2014 – Augustus – Vraag 2

Gegeven zijn twee uitwerkingen van een onbepaalde integraal:

I1 = ∫ 푥. cos(푥)푑푥 = 푥. sin(푥) + cos(푥) + 푐

I2 = ∫ 푒 .푑푥 = 2푥. 푒 + 푐

Welke van deze twee uitwerkingen zijn correct?

<A> I1 en I2 zijn correct I1 en I2 zijn verkeerd <C> I1 is verkeerd en I2 is correct <D> I2is verkeerd en I1 is correct

2015 - Juli Vraag 1

Gegeven de volgende gelijkheid

푥 푑푥 + (푥 − 1) 푑푥 + (푥 − 2) 푑푥 + … (푥 − 푛 + 1) 푑푥 = 280

Welke waarde heeft n in deze vergelijking?

<A> 100 93,3 <C> 120 <D> 200

2015 - Juli Vraag 12

Bereken de volgende bepaalde integraal:

sin(푥) cos(푥)푑푥/

<A> 3/2 3/4 <C> 3/8 <D> 3


Voor welke waarde van x geldt dat

(3푡 − 1) 푑푡 = 21

http://www.keu6.be

<A> x = 6 x = 5 <C> x = 3 <D> x = 2


Bepaal n waarvoor

∫ 푥 푑푥 + 2 ∫ (푥 − 1) 푑푥 + 3 ∫ (푥 − 2)푑푥… + 푛 ∫ (푥 − 푛 + 1)푑푥 = 18

<A> n = 14 n = 10 <C> n = 8 <D> n = 7

2016 – Juli geel Vraag 2

Gegeven is de functie f met als voorschrift f(x) =

Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f’?

<A> f’(x) = ( )

 f’(x) = ( )

<C> f’(x) =

<D> f’(x) =


De afgeleide van een functie f, gedefinieerd op 0, + is gegeven door

f’(x) = ln x. Bovendien is f (e ) = e2. Dan is f (e2) gelijk aan:

<A> e2 2e2 <C> 2 + e2 <D> e4

2016 – Augustus geel Vraag 12

http://www.keu6.be

Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) =

. De afgeleide functie f’ heeft als

voorschrift

<A> f’x) =

 f’(x) =

<C> f’(x) = −

<D> f’(x) =-


Bereken ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx

<A> 7 ln4 9 ln4 <C> 14 ln4 <D> 16 ln4


De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = Aeωx. Hierbij zijn A en ω constanten. Er is gegeven dat f(0) =2 en f’(0) = 1

Bepaal ∫ 푓(푥) 푑푥

<A> 4(√푒 +1)

 √

– 4

<C> 4√푒 <D> 4(√푒 -1)


Bereken de integraal ∫ 푥. 푒 푑푥 ( )

<A> ln √2 1 + ln √2 <C> ln √2푒 <D> 1 + ln √2푒

2018 – Arts geel Vraag 5

Bepaal de afgeleide van de functie f met voorschrift

f(x) = (x – 1)tan(x2)

http://www.keu6.be

voor x = √휋

<A> 2√휋 √휋 1 − √휋 <C> 2√휋 (√휋 − 1) <D> 2√휋(√휋 + 1)


Als t een reëel getal is waarvoor

∫ 푥 + 푑푥 = -2

Dan is

<A> t3 + t – 6 = 0 t3 + t – 2 = 0 <C> t3 + t + 2 = 0 <D> t3 + t + 6 = 0

http://www.keu6.be


3. Oplossingen oefeningen

1997 – juli Vraag 7

푒 푑푥 − 1

1 + 푥 푑푥

e0 – e-∞ - ∫ 푑푦 (waarbij y = 1+x en dy = dx; ennieuwe grenzen:

voor x = 0 y=1 en voor x = e-1 y =e))

1 – 0 - (ln(e) – ln(1))

1 – (1-0) = 0

Antwoord B


Gegeven:

61( ) . .(6. ( ) 1)36

y x x Ln x C

Gevraagd: van welke integratie is deze functie het resultaat

Oplossing: vanprimitieve terug naar integraal = afleiden:

Y’(x) = [6x5(6lnx – 1) + x6 ]

= [36x5lnx –6x5 + 6x5]

= x5lnx

Antwoord B


Gegeven: Eerste bewering:∫ 푥푒 푑푥 = 푥푒 − ∫ e + 퐶

Tweede bewering: als u(x) en v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:

푢(푥)푑푣(푥) = 푢(푥)푣(푥)− 푣(푥)푑푢(푥)

Gevraagd: welke beweringen juist?

http://www.keu6.be


Oplossing:

De eerste bewering is een toepassing van de tweede bewering. Ze zijn allebei juist:

Antwoord C


De waarde van ∫ 푑푥 is

Oplossing:

Gebruik substitutie: y = ln x dan is dy = 1/x dx

Vervanging in de integraal geeft: ∫ 푦 푑푦

Primitieve: = ln(x)2/2

Invulling van waarden: = ( ) – ( )

= ( ) – 0 (want ln 1 = 0)

Pas eigenschappen log toe: logaxn = n logax

= ( )

= 2푙푛 2

Antwoord D


De waarde van ∫ 푥푒 푑푥/ is:

Gebruik substitutie en partiëel integratie:

Y = 2x, dus dy = 2dx

Vervanging in integraal geeft: ∫ 푦푒 푑푦 /

= (푦푒 − 푒 )

= (2푥푒 − 푒 )

= 2 푒 − 푒 – (0− 1)

http://www.keu6.be


= (푒 − 푒) +

= ¼

Antwoord C


De waarde van ∫ 푑푥 is:

Oplossing: ∫ 푑푥 (in teller 2 optellen en terug aftrekken)

= ∫ 1 − 푑푥

= x – 2ln(x+1) Ι0e-1

= (e-1-2lne) – (0-2ln1)

= e-1-2 (ln1 = 0)

= e-3

Antwoord B


x. sin 푥 푑푥

Gebruik partieel integratie:

∫ x. sin 푥 푑푥= (-cos x)x – ∫(− cos푥) 푑푥

= -x cos x + sin x

Waarden invullen: (-πcos π + sin π) – ((-0.cos(0) + sin(0)) = -π(-1)+0 =π

Antwoord D


Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van onderstaande beweringen is dan juist?

De functies F(x) en G(x) kunnen hoogstens in een constante verschillen

Antwoord C


http://www.keu6.be


Gegeven is ∫ = ln x en ∫ cos푥푑푥 = sin 푥

Welke bewering is dan juist

∫ = ln sin x

∫ = sin ln x

∫ = ln x +

∫ is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens

Gemakkelijkste manier is uitkomst van elke oplossing afleiden:

Bij A: (ln sinx)’ = ( ) = (gebruik: (ln f)' = f'/f )

Bij B: (sin ln x)’ = cos lnx . (lnx)’ = cos 푙푛푥

Bij C: (ln x + )’ = −

A, B en C zijn alledrie onjuist

Antwoord D

Om de integraal op te lossen: gebruik ∫ = ln

∓ + Cte

∫ = ∫ = ∫ ( ) = ln + Cte

2008 -Augustus Vraag 2

Voor partiële integratie geldt: ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )f x g x dx g x f x g x f x dx

Bepaal de volgende bepaalde integraal:

0

.(sin( ) cos( ))x x x dx

Oplossing:

∫ 푥. (sin 푥 + cos푥)푑푥 = ∫ 푥. sin 푥 푑푥 + ∫ 푥. cos 푥 푑푥

= −cos x. x—∫−cos x 푑푥 + sin x .x – ∫ sin 푥 푑푥

= -cos x.x + sinx + sin x.x + cos x

http://www.keu6.be


Waarden invullen:

= (-cosπ.π + sinπ + sin π.π + cosπ)- (-cos(0).0 + sin(0) + sin (0).0 + cos (0))

= (-(-1)π + 0 + 0.π + (-1)) - (-1.0 + + 0 + 1)

= π – 1 -1

= π -2

Antwoord D


Be beschouwen twee uitdrukkingen:

Uitdrukking 1: ln( ) ln( ) tex dx x x c

Uitdrukking 2:

2 1 1(2 ) (4 )2 8

teSin x dx x Cos x c

Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?

Oplossing:

Uitdrukking 1: gebruik partiële integratie toegepast op ∫1. ln 푥 푑푥

∫ ln푥푑푥 = 푥 ln 푥 −∫푥 푑푥 = 푥푙푛푥 − 푥 + 퐶푡푒, dus uitdrukking 1 is fout

Uitdrukking 2: zet het kwadraat om door gebruik te maken van machtsreductieregel:

푠푖푛 푥 = ( )

De integraal uit uitdrukking 2 wordt dan

∫ ( )푑푥 = ∫ - ∫ cos(4푥)푑푥 =

= x - ∫ cos(푢) 푑푢 (met u = 4x en du = 4dx)

= x - sin 푢 + 퐶푡푒

= x - sin 4푥 + 퐶푡푒

Ook uitdrukking 2 is fout Antwoord B


http://www.keu6.be



232.ex

x e dx

Oplossing:

Gebruik substitutie: = 푢

du = = 푒. (푥 )′ = 3 ex dx dx =

De integraal wordt dan: ∫ 푒 푑푢 = ∫ 푒 푑푢 = 푒 = 푒

Antwoord C


Bereken de volgende onbepaalde integraal: 22

3.x

x e dx

Oplossing:

Gebruik subsitutie: e = u

du = (e )′ = e . ( x )′ = e . ( x)dx

dx = du/e . x

De integraal wordt dan: ∫ .

푑푢 = ∫푑푢 = 푢 = e + Cte

Antwoord B



5 2 .2

xSin dx

Oplossing:

Gebruik substitutie: = 푢

http://www.keu6.be


du = 5/2 dx, dus: dx = 2/5 du

De integraal wordt dan: ∫ sin 푢 푑푢 = − cos푢 = − cos + Cte

Antwoord B

2014 – Juli – Vraag 2

Gevraagd: bereken = ∫ 퐿푛(푥) + 푒 푑푥

Oplossing: splits de somI = ∫ 퐿푛(푥)푑푥 + ∫ 푒 푑푥

Bereken de eerste term van de som dmv partiële integratie:

∫ 퐿푛(푥)1푑푥 = 푥푙푛(푥)− ∫ 푥 푑(ln(푥))= x.ln(x) - ∫푥. 푑푥 = x.ln(x) – x

Bereken de tweede term dmv substitutie:

¼ x = t, dus dt = d(1/4x) = ¼ dx en dus is dx = 4.dt

Vervang: ∫ 푒 푑푥 = ∫4. 푒 푑푡 = 4.푒 = 4. 푒

Dus I = x.ln(x) – x + 4. 푒 +C

Antwoord A

2014 – Augustus – Vraag 2

Gegeven zijn twee uitwerkingen van een onbepaalde integraal:

I1 = ∫ 푥. cos(푥)푑푥 = 푥. sin(푥) + cos(푥) + 푐

I2 = ∫ 푒 .푑푥 = 2푥. 푒 + 푐

Welke van deze twee uitwerkingen zijn correct?

Oplossing:

2 manieren: ofwel integraal uitwerken. Ofwel oplossing terug afleiden.

I1 : via integraal:

I1 = ∫ 푥. cos(푥)푑푥 =

= sin(x).x - ∫ sin (푥).1. 푑푥 (gebruik partiëel integratie waarbij x = u en cos x = v’)

= 푥. sin(푥) + cos(푥) + 푐

http://www.keu6.be


Via afleiding:

(푥. sin(푥) + cos(푥))′ = (xsin(x)’ + (cos(x))’

= sin(x) + x.cos(x) – sin(x)

= x.cos(x)

I1 is juist

I2 via integraal:

I2 = ∫ 푒 .푑푥 = formule voor normaalverdeling, heeft geen primitieve functie.

Via afleiding

2푥. 푒 = 2. 푒 + 2푥. 푒 . 2푥

= 2. 푒 + 4푥 . 푒

I2 is fout Antwoord D

2015 - Juli Vraag 1

Gegeven de volgende gelijkheid

푥 푑푥 + (푥 − 1) 푑푥 + (푥 − 2) 푑푥 + … (푥 − 푛 + 1) 푑푥 = 280

Gevraagd: Welke waarde heeft n in deze vergelijking?

Elke term in deze som heeft dezelfde algemene vorm: nl. ∫ (푥 − 푛 + 1) 푑푥 waarbij n gaat na 1 tot n.

Bereken de waarde van de eerste term met n = 1:

∫ 푥 푑푥 = + C = 8/3 - 1/3 = 7/3

Vermits elke term dezelfde vorm heeft is dit ook de uitkomst van elke term.

Het aantal termen is gelijk aan n want we vertrekken van 1 en eindigen bij n.

Wanneer we dan delen door 7/3 weten we n: 120

Antwoord C

2015 - Juli Vraag 12

http://www.keu6.be


Bereken de volgende bepaalde integraal:

sin(푥) cos(푥)푑푥/

Oplossing:

Gebruik substitutie: stel sin(x) = u dan is du = cos (x), dus cos (x) = du

De integraal wordt dan ∫푢 푑푢 = + 퐶 = ( ) + C

Invullen grenzen: ( / ) - ( ) = - 0 = / = 3/8

Antwoord C


Voor welke waarde van x geldt dat

(3푡 − 1) 푑푡 = 21

Oplossing:

(3푡 − 1) 푑푡 = 21

9 푡 + 1 − 6푡) 푑푡 = 21

+ 푡 − 6. = 21

Voor x = 2: . + 2 – 6. - (-3 -1 – 3) = 24 + 2 -12 +3 +1 +3 = 21

Antwoord D


Bepaal n waarvoor

∫ 푥 푑푥 + 2 ∫ (푥 − 1) 푑푥 + 3 ∫ (푥 − 2)푑푥… + 푛 ∫ (푥 − 푛 + 1)푑푥 = 18

Oplossing:

Zoek de oplossing van de algemene term n∫ (푥 − 푛 + 1) 푑푥

Substitutie: x-n+ 1 = t d(t) = d(x-n+1) = dx

http://www.keu6.be


n∫ (푡) 푑푡 = 푛 = 푛 ( ) = n(1/2 – 0) = ½ n

Dus voor n = 1 geldt: 1∫ (푥) 푑푥 = ( ) = ½ - 0 = 1.1/2

Voor n = 2 geldt: 2∫ (푥 − 1) 푑푥 = 2 ( ) = 2.(½ - 0 )= 2.1/2

We krijgen dan voor heel de reeks S = ½ + 2/2 + 3/2 + … + (n-1)/2 + n/2

De vraag is nu voor welke n deze som gelijk wordt aan 18?

Zet ½ buiten de haakjes:

S = ½ (1 + 2 + 3 + … (n-1) + n) = 18 of (1+2+3+ … (n-1) + n = 36

Tel op tot je aan 36 komt: 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

n = 8

Antwoord C


Gegeven is de functie f met als voorschrift f(x) =

Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f’?

Oplossing:

(1/f’) = -f’/f2

’ = =

. =( )(

. ) =

=

( )

Antwoord A


De afgeleide van een functie f, gedefinieerd op 0, + is gegeven door

f’(x) = ln x. Bovendien is f (e ) = e2. Dan is f (e2) gelijk aan:

Oplossing:

푓( 푥) = ln푥 푑푥 = 푥 푙푛푥 − 푥 + 퐶

f( e) = e ln e – e + c = e.1 – e + c = c

http://www.keu6.be


maar we weten ook dat f (e ) = e2 dus c = e2

f(x) = x lnx – x + e2

f(e2) = e2.ln e2 – e2 + e2 = e2 ln e2 = e2. 2.ln e = 2.e2

Antwoord B


Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) =

. De afgeleide functie f’ heeft als

voorschrift

A. f’x) =

B. f’(x) =

C. f’(x) = −

D. f’(x) =-

Oplossing:

=

= 1/sin x

f’ = (1/sin x)’ = ( ) = ( ) = −

Antwoord C


Bereken ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx

Oplossing:

2∫ dx + 4∫ dx + 8∫ dx

= 2[ln푥] + 4[ln푥] + 8[ln푥]

= 2(ln2 – ln1) + 4(ln4 – ln2) + 8(ln8 – ln4)

= 2 (ln2) + 4(ln2) = 8(ln2)

= 14 (ln2)

= 7.2 ln2

= 7 ln22

= 7 ln4

http://www.keu6.be


Antwoord A


De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = Aeωx. Hierbij zijn A en ω constanten. Er is gegeven dat f(0)=2 en f’(0) = 1

Bepaal ∫ 푓(푥) 푑푥

Oplossing: vermits f(0) en f’(0) = 1 weten we dat A = 2 en ω = ½

Immers: Aeω0 = 2 als A =2 en

(Aeω0)’ = 1 als (A.eω0.ω) = 1 of A.ω = 1 en vermits A = 2, is ω = 1/2

Ae 푑푥

Substitutie: stel 1/2x = t

d(1/2x) = dt

d(x) = dt/1/2 = 2.dt

2.2 e 푑푡

= 4 푒 /

= 4(e1/2 – e0)

= 4(√푒 -1)

Antwoord D


Bereken de integraal ∫ 푥. 푒 푑푥 ( )

Oplossing:

Gebruik partiële integratie:

∫ 푥. 푒 = x.ex - ∫ 푒

De berekening wordt dan: [푥. 푒 − 푒 ] ( )

= (e – e) – (ln ½ eln1/2 – eln1/2)

http://www.keu6.be


= -ln1/2. (1/2) + ½

= ½ (-ln ½ + 1)

Noteer dan ln ½ = ln1 – ln 2 = -ln2 en dat 1 = ln e en vervang

= ½ (ln2 + lne)

= ½ (ln 2e )

= ln (2e)1/2

= ln √2푒

Antwoord C


f(x) = (x-1)tan(x2)

f’(x) = (x-1)’tan(x2)+ (x-1)((tan(x2))’

= (tan(x2) + (x-1)( ( ) ( )

= (tan(x2) + (x-1)( ( )

= (tan(√휋2) + (√휋-1)( √ (√ )

= 0 + (√휋-1) √( )

= + (√휋-1) 2√휋

Antwoord C 2019 – Arts geel Vraag 1

∫ 푥 + 푑푥 =-2

+ 1/3푥 =( + t) – 0 = -2

t3 + t = -6

t3 + t +6 = 0

http://www.keu6.be


Antwoord A

http://www.keu6.be

17 september 2019 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan ... · Brenda Casteleyn, PhD Page 2 1....

Documents

Transcript of 17 september 2019 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan ... · Brenda Casteleyn, PhD Page 2 1....