1 다항식의 연산edu.mirae-n.com/UPLOAD/EShop/EduN/Archive/Learning/Upload... · 2018. 4....

54 정답 및 풀이

01 A-2B

=2xÛ`-3xy+yÛ`-2(xÛ`-2xy-yÛ`)

=2xÛ`-3xy+yÛ`-2xÛ`+4xy+2yÛ`

=(2-2)xÛ`+(-3+4)xy+(1+2)yÛ`

=xy+3yÛ`

02 B-2X=A에서 2X=B-A

즉,X=;2!;(B-A)이므로

X=;2!;{(2xÜ`+xÛ`-4x+1)-(xÛ`-4x+5)}

=;2!;(2xÜ`-4)

따라서 X=xÜ`-2

03 A+2B=xÜ`-2xÛ`+x+6yy①

A-B=4xÜ`+4xÛ`+xyy②

①-②를하면

3B=-3xÜ`-6xÛ`+6

이므로 B=-xÜ`-2xÛ`+2 yy③

③을②에대입하면

A-(-xÜ`-2xÛ`+2)=4xÜ`+4xÛ`+x

A=4xÜ`+4xÛ`+x+(-xÜ`-2xÛ`+2)

=3xÜ`+2xÛ`+x+2

따라서

A+3B

=3xÜ`+2xÛ`+x+2+(-3xÜ`-6xÛ`+6)

=-4xÛ`+x+8

04 (2x-y)(x+3y-2)

=2xÛ`+6xy-4x-xy-3yÛ`+2y

=2xÛ`+5xy-4x-3yÛ`+2y

따라서xy의계수는5이다.

다른 풀이 주어진전개식에서xy항은

2x_3y+(-y)_x=6xy-xy=5xy

따라서xy의계수는5이다.

05 (x-2)(xÛ`+2x+4)(xÜ`+8)

=(x-2)(xÛ`+x_2+2Û`)(xÜ`+2Ü`)

=(xÜ`-2Ü`)(xÜ`+2Ü`)=xß`-2ß`=120-64=56

06 A=(2x-1)Ü`

=(2x)Ü`-3_(2x)Û`_1+3_2x_1Û`-1Ü`

=8xÜ`-12xÛ`+6x-1

B=(2x+1)Ü`

=(2x)Ü`+3_(2x)Û`_1+3_2x_1Û`+1Ü`

=8xÜ`+12xÛ`+6x+1

따라서

A+B

　=(8xÜ`-12xÛ`+6x-1)+(8xÜ`+12xÛ`+6x+1)

　=16xÜ`+12x

07 이웃하는세모서리의길이를각각a,b,c라하면모든모서리의길이의합은

4(a+b+c)=28에서 a+b+c=7 ▶

AGÓ="ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='2�1에서

aÛ`+bÛ`+cÛ`=21 ▶

(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로

2(ab+bc+ca)=(a+b+c)Û -(aÛ +bÛ +cÛ )

=49-21=28

따라서구하는직육면체의겉넓이는28이다. ▶

채점 기준 배점 비율

세 모서리의 길이의 합에 대한 식 세우기 30 %

대각선의 길이에 대한 식 세우기 30 %

직육면체의 겉넓이 구하기 40 %

08 주어진등식의좌변을전개하여정리하면

4xÛ`+yÛ`+1Û`-4xy-2y+4x=5

따라서 4xÛ`+yÛ`-4xy+4x-2y=4

09 aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b)에서

40=4Ü`-12ab, ab=2

따라서

aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=16-4=12

이므로

aÝ`+bÝ`=(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û`=144-8=136

다항식I

정 답 풀 이 및

01 ⑤ 02 ① 03 ② 04 5 05 ④

06 ⑤ 07 28 08 4 09 ② 10 ③

11 ③ 12 14 13 -4 14 ;8!;

학교 시험 기출 문제 2~3쪽

1 다항식의 연산

[054-061]고등수학 자습서 Book2-1단원정답(육).indd 54 2017-11-20 오후 4:03:43

Ⅰ. 다항식 55

10 f(x)=(2xÛ`-3x+1)(x+2)-2x+5이므로

x=2를이식의양변에대입하면

f(2)=3_4-4+5=13

11 2xÜ`+xÛ`+ax+b를xÛ`-x-1로나누면

　　

2x +3xÛ`-x-1<Ò2xÜ`+ xÛ`+(a+ ax+b

2xÜ`-2xÛ`-(a+ 2x

2xÜ`-3xÛ`+(a+2)x+b 2xÜ`-3xÛ`-(a+ 3x-3

xÛ`-x+3<Ò2xÜ`-3xÛ`+(a+5)x+b+3

2xÜ +xÛ +ax+b를xÛ -x-1로나누었을때의나머지

는9x+6이므로

(a+5)x+b+3=9x+6

에서 a+5=9, b+3=6

따라서a=4,b=3이므로 a+b=7

12 f(x)=(2x+1)(x+1)(x-3)Q(x)+2xÛ -4▶

따라서

f(x+2)

=(2x+5)(x+3)(x-1)Q(x+2)

+2xÛ +8x+4

이때2xÛ +8x+4=(x+3)(x-1)_2+4x+10

이므로

f(x+2)

=(x+3)(x-1){(2x+5)Q(x+2)+2}

+4x+10▶

따라서R(x)=4x+10이므로

R(1)=14 ▶


f(x)의 식 세우기 20 %

f(x+2)의 식 세우기 50 %

R(1)의 값 구하기 30 %

13 (x+y+z)Û =xÛ +yÛ +zÛ +2(xy+yz+zx)이므로

1Û`=21+2(xy+yz+zx)

xy+yz+zx=-10

따라서

(x+y)(y+z)(z+x)

=(1-z)(1-x)(1-y)

=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz

=1-1+(-10)-(-6)=-4

14

PQÓ=x,PRÓ=y라하면

직사각형AQPR의둘레의길이가3이므로

2(x+y)=3, x+y=;2#;

반원의중심을O라하고,점P에서선분BC에내린수선

의발을H라하면

PHÓ=1-y, OHÓ=x-1

직각삼각형OHP에서피타고라스정리에의하여

(x-1)Û`+(1-y)Û`=1

위의식을전개하여정리하면

xÛ`+yÛ`-2(x+y)+1=0

(x+y)Û`-2xy-2(x+y)+1=0

2xy=(x+y)Û`-2(x+y)+1

2xy={;2#;}2`-2_;2#;+1=;4!;

따라서직사각형AQPR의넓이는

xy=;8!;

01 주어진등식의우변을전개하여정리하면 xÛ`+4x-3=xÛ`+(a-4)x-2a+b+4

에서 4=a-4, -3=-2a+b+4


다른 풀이 양변에x=2,x=1을각각대입해도주어진

등식이성립하므로

9=b, 2=1-a+b

에서 a=8

따라서 a+b=17

01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 12 05 11

06 ④ 07 -2 08 ② 09 ① 10 ③

11 -6 12 ① 13 54 14 7


2 나머지정리와 인수분해



06 f(x)를2xÛ`-3x-9로나누었을때의몫을Q(x)라하

면나머지가2x+1이므로

f(x)=(2xÛ`-3x-9)`Q(x)+2x+1

=(x-3)(2x+3)`Q(x)+2x+1 y①

나머지정리에의하여(x Û`-5)f(x)를x-3으로나누

었을때의나머지는 4f(3)

x=3을①에대입하면f(3)=7이므로

4f(3)=4_7=28

07 xÝ`+axÛ`+b를xÛ`+x-2,즉(x-1)(x+2)로나누

었을때의몫은Q(x)이고나머지는2x+3이므로

xÝ`+axÛ`+b=(x-1)(x+2)`Q(x)+2x+3

yy①▶

x=1을①에대입하면

1+a+b=5에서 a+b=4 yy②

x=-2를①에대입하면

16+4a+b=-1에서 4a+b=-17 yy③

②,③을연립하여풀면

a=-7,b=11 ▶

따라서

xÝ`-7xÛ`+11=(x-1)(x+2)`Q(x)+2x+3

x=-1을이식에대입하면

5=-2Q(-1)+1, 2Q(-1)=-4

Q(-1)=-2 ▶


xÝ`+axÛ`+b를 몫과 나머지를 이용한 식으로

나타내기20 %

a, b의 값 구하기 50 %

Q(-1)의 값 구하기 30 %

08 f(x)-2를xÛ`-4x+3,즉(x-1)(x-3)으로나누

었을때의몫을QÁ(x)라하면나누어떨어지므로

f(x)-2=(x-1)(x-3)QÁ(x) yy① f(x+1)을x Û`-2x,즉x(x-2)로나누었을때의몫

을Qª(x),나머지를ax+b라하면

f(x+1)=x(x-2)Qª(x)+ax+b yy② x=0,x=2를각각②에대입하면

f(1)=b,f(3)=2a+b

x=1,x=3을각각①에대입하면

f(1)-2=0,f(3)-2=0

에서 f(1)=2,f(3)=2

따라서a=0,b=2이므로구하는나머지는 2

02 xÝ`-axÛ`+x+b=(x-1)(x+2)f(x) yy①


1-a+1+b=0

a-b=2 yy②


16-4a-2+b=0

4a-b=14 yy③


a=4,b=2

따라서 xÝ`-4xÛ`+x+2=(x-1)(x+2)f(x)

x=3을이식에대입하면

50=2_5_f(3)

이므로 f(3)=5

03 f(x)=xÚ`â`+5xß`-3xÜ`+k로놓으면나머지정리에의

하여f(1)=7이므로

f(1)=1+5-3+k=7에서 3+k=7

따라서 k=4

04 f(x)를xÛ`-5x로나누었을때의몫을Q(x)라하면나

머지는x+7이므로

f(x)=(xÛ`-5x)Q(x)+x+7

=x(x-5)Q(x)+x+7

나머지정리에의하여f(x)를x-5로나누었을때의나

머지는 f(5)=5+7=12

05 f(x)를(x-3)(x+2)로나누었을때의몫을Q(x),

나머지를R(x)=ax+b라하면

f(x)=(x-3)(x+2)Q(x)+ax+b yy①

▶

나머지정리에의하여f(3)=8,f(-2)=-7이므로

x=3,x=-2를각각①에대입하면

f(3)=3a+b=8

f(-2)=-2a+b=-7

위의두식을연립하여풀면

a=3,b=-1

따라서R(x)=3x-1이므로 ▶

R(4)=11 ▶


f(x)의 식 세우기 20 %

R(x)의 식 세우기 50 %

R(4)의 값 구하기 30 %


Ⅰ. 다항식 57

09 3xÜ`-xÛ`+4x+5를3x+2로나누었을때의몫과나머

지를구하기위해조립제법을이용하면

-;3@; 3

3

42

6

-1-2

-3

-5-4

-1

따라서a=-;3@;,b=6,c=1이므로

abc=-4

10 xÛ`+x=A라하면

(xÛ`+x)(xÛ`+x-1)-2

　=A(A-1)-2

　=AÛ`-A-2

　=(A-2)(A+1)

　=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x+1)

　=(x-1)(x+2)(xÛ`+x+1)

따라서보기중에서인수인것은③x+2이다.

11 f(x)=xÝ`-8xÛ`+3x+10이라하면f(2)=0이므로

x-2는f(x)의인수이다.

따라서조립제법을이용하여인수분해하면

-1

-2

1

1

1

0-1

-12

1

-81

-72

-5

37

10-10

0

10-10

0

xÝ`-8xÛ`+3x+10=(x+1)(x-2)(xÛ`+x-5)

이므로 a=-2,b=1,c=-5

따라서 a+b+c=-6

12 주어진식에서a=499,b=501이라하면

A=aÜ`+bÜ`a+b =(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)

a+b�

�

=aÛ`-ab+bÛ`

=499Û`-499_501+501Û` yy①

①에서x=500이라하면

A=(x-1)Û`-(x-1)(x+1)+(x+1)Û`

=xÛ`-2x+1-xÛ`+1+xÛ`+2x+1

=xÛ`+3

=500Û`+3

=250003

따라서자연수A의각자리의숫자의합은

2+5+3=10

13 (x+1)Ü`+3(x+1)Û`+3(x+1)+1

={(x+1)+1}Ü`=(x+2)Ü`

이므로(x+2)Ü`을(x-1)Û`으로나누었을때의몫을

Q(x),나머지를R(x)=ax+b라하면

(x+2)Ü`=(x-1)Û`Q(x)+ax+b yy①


27=a+b에서

b=-a+27 yy②

②를①에대입하면

(x+2)Ü`=(x-1)Û`Q(x)+ax-a+27

=(x-1)Û`Q(x)+a(x-1)+27

=(x-1){(x-1)Q(x)+a}+27`

(x+2)Ü -27=(x-1){(x-1)Q(x)+a}에서

좌변을인수분해하면

{(x+2)-3}{(x+2)Û`+3(x+2)+9}

=(x-1)(xÛ`+7x+19)

이므로

(x-1)(xÛ`+7x+19)

=(x-1){(x-1)Q(x)+a}

즉,xÛ`+7x+19=(x-1)Q(x)+a

x=1을이식에대입하면 a=27

a=27을②에대입하면 b=0

따라서 R(x)=27x이므로

R(2)=54

14 f(x)를(x-1)(x-2)로나누었을때의몫을Q(x),

나머지를R(x)=ax+b라하면

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b yy①

x=0을조건㈏의식에대입하면

f(1)=f(0)+1

조건㈎로부터 f(1)=2+1=3

x=1을조건㈏의식에대입하면

f(2)=f(1)+2=5

f(1)=3,f(2)=5이므로x=1,x=2를각각①에대

입하면

f(1)=a+b=3 yy②

f(2)=2a+b=5 yy③


a=2,b=1

따라서R(x)=2x+1이므로

R(3)=7



01 ② 02 ③ 03 ④ 04 ① 05 ③

06 ④ 07 ④ 08 ⑤ 09 ② 10 ⑤

11 ③ 12 ④ 13 ① 14 ④ 15 ②

16 ③ 17 ② 18 25 19 4 20 -60

21 11 22 16 23 10 24 29 25 -20

대단원 평가 문제 6~9쪽

01 BC=(x+1)(xÛ`-x+1)=xÜ`+1이므로

A-4BC

=(4xÜ`+2xÛ`-x+3)-4(xÜ`+1)

=4xÜ`+2xÛ`-x+3-4xÜ`-4

=2xÛ`-x-1

02 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab=6+2=8

(a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab=6-2=4

따라서

(aÛ`-bÛ`)Û`={(a+b)(a-b)}Û`

=(a+b)Û`(a-b)Û`

=8_4=32

03 (xÛ`+ax-2)Ü`

={(xÛ`+ax)-2}Ü`

=(xÛ`+ax)Ü`-6(xÛ`+ax)Û`+12(xÛ`+ax)-8

따라서x의계수는 12a

(x+1)Û`=xÛ`+2x+1이므로x의계수는 2

주어진다항식의전개식에서x의계수가50이므로

　　12a+2=50, 12a=48, a=4

04 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc

=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) yy①

이때

(a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)

이므로

1Û`=9+2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=-4

①에서

3abc

=aÜ`+bÜ`+cÜ`

-(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)

=19-1_(9+4)=6

따라서 abc=2`

05 xÜ`+2xÛ`+ax+9를xÛ`-x+b로나누면

x +3xÛ`-x+b<ÒxÜ`+2xÛ`+ ax+9

xÜ`-2xÛ`+ bx

3xÛ`+(a-b)x+9 3xÛ`- 3x+3b

(a-b+3)x+9-3b

xÜ`+2xÛ`+ax+9는xÛ`-x+b로나누어떨어지므로

(a-b+3)x+9-3b=0

에서 a-b+3=0, 9-3b=0

따라서a=0,b=3이므로

a+b=3

06 가로의길이nÜ`+2nÛ`+n+1을n+1로나누면

nÛ`+nn+1<ÒnÜ`+2nÛ`+n+1

nÜ`+2nÛ`

3nÛ`+n+1 3nÛ`+n

1

몫이nÛ`+n이고나머지는1이므로

nÜ`+2nÛ`+n+1=(n+1)(nÛ`+n)+1

세로의길이2nÛ`+3n을n+1로나누면

2nn+1<Ò2nÛ`+3n

2nÛ`+2n

n

몫이2n이고나머지는n이므로

2nÛ`+3n=2n(n+1)+n`

따라서한변의길이가n+1인정사각형의최대개수는

가로에nÛ`+n개,세로에2n개를채울때이므로

(nÛ`+n)_2n=2nÜ`+2nÛ`

07 (y+k)x+ky+1-3k=0을k에대하여정리하면

(x+y-3)k+xy+1=0

이식이k의값에관계없이항상성립하려면

x+y-3=0, xy+1=0

에서 x+y=3, xy=-1

따라서

xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)

=3Ü`-3_(-1)_3

=36


Ⅰ. 다항식 59

08 xÜ`-3x+a=(x+2)`Q(x)-7 yy①


-8+6+a=-7

따라서구하는값은 a=-5`

09 나머지정리에의하여 f(-1)=-1-a+b=2에서

-a+b=3 yy①

f(1)=1+a+b=8에서

a+b=7 yy②

①,②를연립하여풀면

a=2,b=5

이므로 f(x)=xÜ`+2x+5

따라서f(x)를x-2로나누었을때의나머지는

f(2)=8+4+5=17

10 f(x)를x-1로나누었을때의나머지를r라하면

f(x)=(x-1)(xÛ`+1)+r

f(x)를x-2로나누었을때의나머지는3이므로

f(2)=5+r=3, r=-2

즉,f(x)=(x-1)(xÛ`+1)-2

따라서구하는나머지는

f(-2)=(-3)_5-2=-17

11 나머지정리에의하여 f(3)+g(3)=2, {f(3)}Û`+{g(3)}Û`=20

이므로

{f(3)+g(3)}Û` ={f(3)}Û`+{g(3)}Û`+2f(3)g(3) 에서

2Û`=20+2f(3)g(3), f(3)g(3)=-8

따라서구하는나머지는

{f(3)}Ü`+{g(3)}Ü` ={f(3)+g(3)}Ü -3f(3)g(3){f(3)+g(3)} =2Ü`-3_(-8)_2

=56`

12 f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)+4x+2이고

Q(x)를x+1로나누었을때의몫을QÁ(x)라하면

Q(x)=(x+1)QÁ(x)+1이므로

f(x)=(xÛ`-x+1){(x+1)QÁ(x)+1}

　 +4x+2

=(x+1)(xÛ`-x+1)QÁ(x)

　 +xÛ`-x+1+4x+2

=(xÜ`+1)QÁ(x)+xÛ`+3x+3

따라서f(x)를xÜ`+1로나누었을때의나머지R(x)는

R(x)=xÛ`+3x+3이므로

R(1)=1+3+3=7

13 f(x)를xÛ`-x+1로나누었을때의몫을ax+b라하면

나누어떨어지므로

f(x)=(xÛ`-x+1)(ax+b)

이때f(0)=1_b=5이므로

b=5

따라서 f(x)=(xÛ`-x+1)(ax+5)

또,f(x)-21=(xÛ`-x+1)(ax+5)-21을xÛ`-4

로나누었을때의몫을ax+c라하면나누어떨어지므로

(xÛ`-x+1)(ax+5)-21=(xÛ`-4)(ax+c)

이식의양변을전개하여정리하면

axÜ`+(5-a)xÛ`+(a-5)x-16

=axÜ`+cxÛ`-4ax-4c

에서

5-a=c,　a-5=-4a,　-16=-4c

즉,a=1,c=4

따라서f(x)=(xÛ`-x+1)(x+5)이므로

f(-1)=3_4=12

14 x=21로놓으면

21Ü`+21Û`-21+2=xÜ`+xÛ`-x+2

f(x)=xÜ +xÛ -x+2라하면f(-2)=0이므로x+2

는f(x)의인수이다.


-2 1

1

1-2

-1

-12

1

2-2

0

xÜ`+xÛ`-x+2=(x+2)(xÛ`-x+1) yy① x=21을①에대입하면

21Ü`+21Û`-21+2=(21+2)(21Û`-21+1)

=23_421

따라서자연수a,b는23,421이므로

a+b=23+421=444`

15 x+2와x-3은2xÜ`+4xÛ`-18x-36의인수이므로

조립제법을이용하여인수분해하면



-2

3

2

2

2

4-4

06

6

-180

-1818

0

-3636

0

2xÜ +4xÛ -18x-36=(x+2)(x-3)(2x+6)

따라서h(x)=2x+6이므로

h(4)=8+6=14

16 　xÝ`+2xÜ`-xÛ`-6x-5

=f(x)(xÛ`-x-2)+4x+3

에서

xÝ`+2xÜ`-xÛ`-10x-8=f(x)(xÛ`-x-2)

=f(x)(x+1)(x-2)

x+1과x-2는xÝ`+2xÜ`-x-10x-8의인수이므로


-1

2

1

1

1

2-1

12

3

-1-1

-26

4

-102

-88

0

-88

0

따라서f(x)=xÛ`+3x+4이므로f(x)를x-3으로

나누었을때의나머지는

f(3)=9+9+4=22

17 xÝ +axÛ +x+6=(x-2)(x+b)(xÛ +cx+d)에서

x=2를이식에대입하면

16+4a+2+6=0이므로

a=-6

이때f(x)=xÝ`-6xÛ`+x+6이라하면f(2)=0,

f(-1)=0이므로x-2와x+1은f(x)의인수이다.


2

-1

1

1

1

02

2-1

1

-64

-2-1

-3

1-4

-33

0

6-6

0

xÝ`-6xÛ`+x+6=(x-2)(x+1)(xÛ`+x-3)

따라서b=1,c=1,d=-3이므로

a+b+c+d=-6+1+1-3=-7

18 (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)에서

0=10+2(xy+yz+zx)

xy+yz+zx=-5

이때x+y+z=0이므로

(xy+yz+zx)Û`

=xÛ yÛ +yÛ zÛ +zÛ xÛ +2xyÛ z+2xyzÛ +2xÛ yz

=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2xyz(x+y+z)

=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`

따라서

xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`=(xy+yz+zx)Û`

=(-5)Û`=25

19 삼각형ABC는∠C=90ù인직각삼각형이므로

ACÓ=x,BCÓ=y라하면

xÛ`+yÛ`=(2'3)Û`에서 xÛ`+yÛ`=12 ▶

이때삼각형ABC의넓이가1이므로

;2!;xy=1, xy=2 ▶

즉,(x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy=12+4=16

x>0,y>0이므로 x+y=4

따라서 ACÓ+BCÓ=4 ▶

채점 기준 배점

피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기 1점

삼각형 ABC의 넓이에 대한 식 세우기 1점

ACÓ+BCÓ의 값 구하기 3점

참고 지름에대한원주각은90ù이므로삼각형ABC는

∠C=90ù인직각삼각형이다.

20 xÜ`-4xÛ`-2x+a

=(x-2)Ü`+b(x-2)Û`+c(x-2)-7 yy①

x=2를①에대입하면

-12+a=-7이므로 a=5


-5+a=-1+b-c-7

이때a=5이므로 b-c=8 yy②


a=-8+4b-2c-7

이때a=5이므로 4b-2c=20

즉,2b-c=10 yy③


b=2,c=-6

따라서 abc=5_2_(-6)=-60


Ⅰ. 다항식 61

21 f(x)=g(x)(xÛ`+2)+2xÛ`+6x+3

=(xÛ`+2)g(x)+2(xÛ`+2)+6x-1

=(xÛ`+2){g(x)+2}+6x-1

따라서R(x)=6x-1이므로　　R(2)=12-1=11

22 f(x)를xÛ`-x-1로나누었을때의몫은일차식이고,

Q(x)=ax+b라하면나머지는2이므로

f(x)=(xÛ`-x-1)(ax+b)+2 y①

f(x+1)을xÛ -4로나누었을때의몫을QÁ(x)라하면

나머지가-3이므로

f(x+1)=(xÛ`-4)QÁ(x)-3 y②▶

x=2를②에대입하면 f(3)=-3


f(3)=5_(3a+b)+2=-3

3a+b=-1 y③

x=-2를②에대입하면 f(-1)=-3

x=-1을①에대입하면

f(-1)=-a+b+2=-3

-a+b=-5 y④

③,④를연립하여풀면 a=1,b=-4

따라서Q(x)=x-4이므로 ▶

Q(20)=16 ▶


f(x+1)의 식 세우기 2점

Q(x)의 식 세우기 2점

Q(20)의 값 구하기 1점

23 f(x)를xÛ`+2x+4로나누었을때의몫을QÁ(x)라하

면나머지는x+3이므로

f(x)=(xÛ`+2x+4)QÁ(x)+x+3 yy①

f(x)를xÜ`-8로나누었을때의몫을Qª(x)라하면나

머지는xÛ`+ax+b이므로

f(x)=(xÜ`-8)Qª(x)+xÛ`+ax+b

=(x-2)(xÛ`+2x+4)Qª(x)`

+(xÛ`+2x+4)+(a-2)x+(b-4)

f(x) =(xÛ`+2x+4){(x-2)Qª(x)+1}

+(a-2)x+(b-4)

yy②

①,②에서나머지의계수를비교하면

a-2=1,b-4=3


24 (x-1)(x-3)(x+3)(x+5)+a

={(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+5)}+a

=(xÛ`+2x-3)(xÛ`+2x-15)+a ▶

이때xÛ`+2x-3=A라하면

A(A-12)+a=(xÛ`+bx+c)Û`

AÛ`-12A+a=(xÛ`+bx+c)Û`

이식의좌변이완전제곱식이되려면

a=6Û`=36 ▶

(xÛ`+bx+c)Û`=AÛ`-12A+36

=(A-6)Û`

=(xÛ`+2x-9)Û`

따라서b=2,c=-9이므로

a+b+c=36+2-9=29 ▶


공통부분이 있도록 식 정리하기 2점

a의 값 구하기 2점

a+b+c의 값 구하기 1점

25 조건㈏로부터f(x)를(x-1)Û`으로나누었을때의몫

과나머지를각각ax+b라하면

f(x)=(x-1)Û`(ax+b)+ax+b y①▶

조건㈎로부터f(1)=2이므로x=1을①에대입하면

a+b=2

b=-a+2를①에대입하면

f(x)=(x-1)Û`(ax-a+2)+ax-a+2

=(x-1)Û {a(x-1)+2}+a(x-1)+2

=a(x-1)Ü`+2(x-1)Û`+a(x-1)+2

즉,f(x)를(x-1)Ü`으로나누었을때의나머지는

R(x)=2(x-1)Û`+a(x-1)+2 ▶

R(2)=2+a+2=1에서

a=-3

따라서

f(x)=-3(x-1)Ü +2(x-1)Û -3(x-1)+2

▶

이므로

f(3)=-24+8-6+2=-20 ▶


f(x)의 식 세우기 1점

R(x)의 식 세우기 2점

f(x)의 식 구하기 1점

f(3)의 값 구하기 1점



01 복소수가서로같을조건에의하여 x-y=4yy① 3x+2y=-3 yy② ①,②를연립하여풀면 x=1,y=-3

따라서구하는값은 x+y=-2

02 주어진등식의좌변에서 (2+3i)(4-i)=(8+3)+(12-2)i

=11+10i

1-2i2+i

=(1-2i)(2-i)(2+i)(2-i)

=2-i-4i-2

4+1

=-5i5 =-i

이므로

(2+3i)(4-i)+ 1-2i2+i

=11+10i-i

=11+9i


03 z=x+yi(x,y는실수)라하면 zÕ=x-yi

ㄱ.z+zÕ=2x이므로항상실수이다.

ㄴ.zzÕ=(x+yi)(x-yi)=xÛ`+yÛ`이므로항상실수

이다.

ㄷ.(z+zÕ)(z-zÕ)=2x_2yi=4xyi

ㄹ.1z+ 1

zÕ= zÕ

z_zÕ+ z

z_zÕ=z+zÕ

z_zÕ이고분자,분모가

ㄹ.모두실수이므로항상실수이다.

이상에서항상실수인것은ㄱ,ㄴ,ㄹ이다.

04 z=a+bi(a,b는실수)라하면 zÕ=a-bi

4z-i zÕ=7+2i에서

4(a+bi)-i(a-bi)=7+2i

(4a-b)+(-a+4b)i=7+2i

복소수가서로같을조건에의하여

4a-b=7yy① -a+4b=2 yy②①,②를연립하여풀면 a=2,b=1

이므로 z=2+i,zÕ=2-i

따라서구하는값은

zzÕ=(2+i)(2-i)=4+1=5

05 주어진이차방정식이중근을가지려면판별식D가 D=0이어야하므로

D=(k+2)Û`-4_4_1=kÛ`+4k-12=0

(k+6)(k-2)=0

따라서 k=-6또는k=2

그런데k>0이므로 k=2

06 주어진이차방정식의판별식D가D¾0이어야하므로

D=(2k-1)Û`-4_1_kÛ`

=4kÛ`-4k+1-4kÛ`

=-4k+1¾0

즉,kÉ;4!;이므로 a=;4!;

07 주어진이차방정식의판별식D가D=0이어야하므로

D=4(k-1)Û`-4(2k+6)

=4(kÛ`-4k-5)=0

(k+1)(k-5)=0


그런데k>0이므로 k=5� ▶

k=5를주어진이차방정식에대입하면

xÛ`-8x+16=0, (x-4)Û`=0

즉,x=4이므로 a=4� ▶

따라서구하는값은 k+a=5+4=9� ▶


k의 값 구하기 40 %

a의 값 구하기 40 %

k+a의 값 구하기 20 %

08 주어진이차방정식의판별식D가D=0이어야하므로

D=4(m+a)Û`-4(mÛ`-5m+aÛ`)=0

2ma+5m=0, 2m{a+;2%;}=0

위의식이m의값에관계없이항상성립해야하므로

a+;2%;=0,　a=-;2%;

방정식과 부등식II

01 ① 02 20 03 ⑤ 04 ⑤ 05 ②

06 ④ 07 9 08 ③ 09 ⑤ 10 ①

11 1 12 -4 13 ① 14 12 15 3


1 복소수와 이차방정식

[062-071]고등수학 자습서 Book2-2단원정답.indd 62 2017-12-14 오전 11:41:56

Ⅱ. 방정식과 부등식 63

09 이차방정식xÛ`-4x+k+2=0이서로다른두실근을

가지려면이이차방정식의판별식DÁ이DÁ>0이어야

하므로

DÁ=(-4)Û`-4(k+2)

=8-4k>0

따라서 k<2 yy①이차방정식kxÛ`-4x+4=0이허근을가지려면이이

차방정식의판별식Dª가Dª<0이어야하므로

Dª=(-4)Û`-4_k_4

=16-16k<0

따라서 k>1 yy②①,②에서실수k의값의범위는 1<k<2`

10 이차방정식2xÛ -4x-5=0에서근과계수의관계로부터

a+b=--42 =2,ab=-5

2 =-;2%;


(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab

=2Û`-4_{-;2%;}=14

11 주어진이차방정식의판별식D는 D=4aÛ`-4(2a-1)

=4(a-1)Û`¾0

이므로실근을갖는다.

근과계수의관계로부터

a+b=2a,ab=2a-1

따라서

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =4aÛ`-2(2a-1)

=4aÛ`-4a+2

=4{a-;2!;}Û`+1

이므로a=;2!;일때최솟값1을갖는다.

12 이차방정식xÛ`+2x+3=0의두근이a,b이므로근과계수의관계로부터

a+b=-2,ab=3� ▶

따라서이차방정식xÛ`+ax+b=0의두근은-2,2이

므로근과계수의관계로부터

-a=-2+2=0,　a=0

b=-2_2=-4 ▶

즉,구하는값은 a+b=-4� ▶


a+b, ab의 값 구하기 40 %


a+b의 값 구하기 20 %

13 이차방정식xÛ`-(4k+4)x+48=0의한근을a라하면다른한근은3a이므로근과계수의관계로부터 a+3a=4k+4, 4a=4k+4 yy① a_(3a)=48, 3aÛ`=48yy②②에서aÛ`=16이므로

a=4또는a=-4

Úa=4를①에대입하면 k=3

Ûa=-4를①에대입하면 k=-5

따라서실수k의값의합은

3+(-5)=-2

14 z=2+4i3+i

=(2+4i)(3-i)(3+i)(3-i)

=1+i

이므로 zÕ=1-i

x=z(1-zÕ)'2

=(1+i){1-(1-i)}

'2

x= i(1+i)'2

=-1+i'2

이때

xÛ`={-1+i'2

}Û`=-2i2

=-i

이므로 xÝ`=(xÛ`)Û`=(-i)Û`=-1

따라서 x¡`=(xÝ`)Û`=(-1)Û`=1

즉,n이8의배수일때,x Ç`=1이므로자연수n의개수는

8,16,24,y,96의12이다.

15 이차방정식f(x)=0의두근은a,b이므로 f(a)=f(b)=0

방정식f(4x-2)=0의두근을각각a',b'이라하면f(4a'-2)=f(4b'-2)=0이므로4a'-2,4b'-2

는이차방정식f(x)=0의두근이다.

따라서4a'-2=a,4b'-2=b라하면

a'=;4!;(a+2),　b'=;4!;(b+2)

이때a+b=8이므로구하는값은

이때a'+b'=;4!;(a+b+4)=;4!;_12=3



01 이차방정식x Û`-kx+4=0의판별식D가D=0이어

야하므로

D=(-k)Û`-4_1_4=kÛ`-16=0

(k+4)(k-4)=0


이때k>0이므로 k=4

02 이차방정식-x Û`+4x+k=0의판별식D가D>0이

어야하므로

D=4Û`-4_(-1)_k=16+4k>0

따라서 k>-4

즉,구하는값은 a=-4

03 xÛ`+2x-1=-2x+a에서

xÛ`+4x-a-1=0 yy①이차방정식①의판별식D가D<0이어야하므로

D=4Û`-4_1_(-a-1)=20+4a<0

a<-5

따라서조건을만족시키는가장큰정수a의값은 -6

04 xÛ`-4x+2=x+k에서

xÛ`-5x+2-k=0 yy①� ▶

이차방정식①의판별식D가D>0이어야하므로

D=(-5)Û`-4_1_(2-k)=17+4k>0

k>-174 � ▶

즉,조건을만족시키는가장작은정수k의값은 -4

� ▶


이차방정식 세우기 30 %

k의 값의 범위 구하기 50 %

가장 작은 정수 k의 값 구하기 20 %

05 3xÛ`+ax+6=-2x+b에서

3xÛ`+(a+2)x+6-b=0 yy①이차방정식①의두근의합이2이고,곱이5이므로근과

계수의관계로부터

- a+23 =2, 6-b

3 =5

따라서a=-8,b=-9이므로구하는값은

ab=72

06 조건㈎로부터이차방정식4xÛ`-(a+2)x+1=0의판

별식DÁ이DÁ=0이어야하므로

DÁ=(a+2)Û`-4_4_1=aÛ`+4a-12=0

(a+6)(a-2)=0

따라서 a=-6또는a=2

조건㈏로부터4xÛ`-(a+2)x+1=x+k에서

4xÛ`-(a+3)x+1-k=0 yy①이차방정식①의판별식Dª가Dª<0이어야하므로

Dª=(a+3)Û`-4_4_(1-k)

=(a+3)Û`-16+16k<0

Úa=-6일때,Dª=9-16+16k<0에서

k<;1¦6;이므로가장큰정수는k의값은0이므로

a+k=-6

Ûa=2일때,Dª=25-16+16k<0에서

k<-;1»6;이므로가장큰정수k의값은-1이므로

a+k=1

Ú,Û에서구하는최댓값은 1

07 y=2xÛ`+4x-1=2(x+1)Û`-3

이므로주어진함수의그래프는

오른쪽그림과같다.

따라서x=-1일때

최솟값`-3을가지므로

a=-1,m=-3

즉,구하는값은 a+m=-4

08 y=-;2!;xÛ`-4x-3=-;2!;(x+4)Û`+5이므로

M=5

y=3xÛ`+6x+5=3(x+1)Û`+2이므로

m=2

따라서구하는값은 M+m=7

01 ④ 02 ② 03 ① 04 -4 05 72

06 ④ 07 ② 08 ⑤ 09 ③

10 M의 최솟값: -21, a=2 11 7 12 ③

13 -2 14 ③


2 이차방정식과 이차함수



a=-1을①에대입하면

y=-(x-3)Û`+10=-xÛ`+6x+1

따라서a=-1,b=6,c=1이므로구하는값은

2a+b+3c=7

12 가격이x원일때상품의판매수입을f(x)라하면

f(x)=x{3000-;2!;x}에서

f(x)=-;2!;(x-3000)Û`+4500000

이므로x=3000일때주어진함수의최댓값은

4500000이다.

따라서상품을판매하여얻을수있는수입이최대가되도

록하는상품의판매가격은3000원이다.

13 xÛ`+5x-2=x+k에서

xÛ`+4x-k-2=0 yy①이차방정식①의판별식D가D>0이어야하므로

D=4Û`-4_1_(-k-2)=24+4k>0

따라서 k>-6

또,두교점A,B의x좌표인a,b는이차방정식①의두근이므로근과계수의관계로부터

a+b=-4,ab=-k-2

이때|a-b|=4이므로양변을제곱하면

(a-b)Û`=16

따라서

(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab=(-4)Û`-4_(-k-2)

=24+4k=16

에서4k=-8, k=-2

이고k>-6의범위에속하므로실수k의값은 -2

14 y=f(x-m)=(x-m)Û`-2(x-m)-4

=xÛ`-2(m+1)x+mÛ`+2m-4

={x-(m+1)}Û`-5

Ú -1Ém+1É3,즉-2ÉmÉ2일때,

이차함수y=f(x-m)은x=m+1일때최솟값

-5를가지므로주어진조건을만족시키지않는다.

Û m+1>3,즉m>2이면

이차함수y=f(x-m)은x=3일때최솟값

(2-m)Û`-5를가지므로

(2-m)Û`-5=11, mÛ`-4m-12=0

(m+2)(m-6)=0

09 y=2xÛ`-8x+k=2(x-2)Û`+k-8이므로

x=1일때, k-6

x=2일때, k-8

x=4일때, k

따라서x=2일때최솟값k-8을가지므로

k-8=-5,　k=3

또,x=4일때최댓값k를가지므로최댓값은3이다.

10 y=-xÛ`+4ax-16a-5

=-(x-2a)Û`+4aÛ`-16a-5

이므로주어진함수의최댓값M은

M=4aÛ`-16a-5=4(a-2)Û`-21

따라서a=2일때M의최솟값은 -21

11 조건㈎로부터 6=a+b+c y①조건㈏로부터최댓값을가지므로a<0이고,

y=axÛ`+bx+c=a{x+ b2a }

Û`- bÛ`-4ac4a 이므로

x=- b2a일때최댓값-

bÛ`-4ac4a 를갖는다.

- b2a =3,즉6a+b=0 y②

- bÛ`-4ac4a =10,즉40a+bÛ`-4ac=0 y③

②에서 b=-6a

①에서 c=6-a-b=6+5a� ▶

b=-6a,c=6+5a를③에대입하면

40a+36aÛ`-4_a_(6+5a)=0

aÛ`+a=0,　a(a+1)=0

이므로 a=-1또는a=0

그런데a<0이므로

a=-1,b=6,c=1� ▶


2a+b+3c=-2+6+3=7� ▶


b와 c를 a에 대한 식으로 나타내기 50 %

a, b, c의 값 구하기 30 %

2a+b+3c의 값 구하기 20 %

다른 풀이 조건㈏로부터

y=a(x-3)Û`+10`(a<0) y①조건㈎로부터x=1,y=6을①에대입하면

6=4a+10,　-4a=4,　a=-1



따라서 m=-2또는m=6

그런데m>2이므로 m=6

Üm+1<-1,즉m<-2이면

이차함수y=f(x-m)은x=-1일때최솟값

(m+2)Û`-5를가지므로

mÛ`+4m-1=11, mÛ`+4m-12=0

(m+6)(m-2)=0

따라서 m=-6또는m=2

그런데m<-2이므로 m=-6

Ú,Û,Ü에서모든실수m의값의합은 6+(-6)=0

01 주어진삼차방정식의한근이2이므로f(x)=xÜ`-kxÛ`+(k-1)x+2라하면

f(2)=8-4k+2(k-1)+2=0

-2k+8=0,　k=4

즉,f(x)=xÜ`-4xÛ`+3x+2

이때f(x)는x-2를인수로가지므로조립제법을이용

하여인수분해하면

　

2 1 -4 3 2

2 -4 -2

1 -2 -1 0

f(x)=(x-2)(xÛ`-2x-1)

따라서주어진방정식은(x-2)(xÛ -2x-1)=0이므

로나머지두근은이차방정식xÛ -2x-1=0의근이다.

즉,구하는나머지두근의합은근과계수의관계로부터

- -21

=2

01 ③ 02 34 03 ⑤ 04 2 05 5

06 ④ 07 40`cm 08 11 09 ② 10 -2

11 -2ÉkÉ4 12 ④ 13 20 14 ①

15 34


3 여러 가지 방정식과 부등식

02 1-'2i가주어진삼차방정식의근이므로(1-'2i)Ü`-3(1-'2i)Û`+a(1-'2i)+b=0

위의식의좌변을전개하여정리하면

(a+b-2)+(5-a)'2i=0� ▶


a+b-2=0,5-a=0

따라서 a=5,b=-3� �▶

즉,구하는값은 aÛ`+bÛ`=25+9=34� ▶


한 근을 삼차방정식에 대입하여 정리하기 40 %


aÛ`+bÛ`의 값 구하기 20 %

03 f(x)=xÝ`-3xÜ`-xÛ`+13x-10이라하면

f(1)=1-3-1+13-10=0

f(-2)=16+24-4-26-10=0

f(x)는x-1,x+2를인수로가지므로


　

1 1 -3 -1 13 -10

1 -2 -3 10

　

-2 1 -2 -3 10 0

-2 8 -10

1 -4 5 0

f(x)=(x-1)(x+2)(xÛ`-4x+5)

따라서a,b는이차방정식xÛ`-4x+5=0의두근이므

로근과계수의관계로부터

a+b=4,ab=5

즉,구하는값은

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =16-10=6

04 [xÛ`+xy-2yÛ`=0 yy①xÛ`+2xy+yÛ`=4 yy②

①의좌변을인수분해하면

(x-y)(x+2y)=0� ▶

따라서 x=y또는x=-2y

Úx=y를②에대입하면

yÛ`+2yÛ`+yÛ`=4, yÛ`=1,　y=Ñ1

Úy=1일때, x=1

Úy=-1일때, x=-1



Ûx=-2y를②에대입하면

4yÛ`-4yÛ`+yÛ`=4, yÛ`=4,　y=Ñ2

Úy=2일때, x=-4

Úy=-2일때, x=4

Ú,Û에서구하는연립방정식의해는

[x=1

y=1,[x=-1

y=-1,[x=-4

y=2 ,[x=4

y=-2� ▶

이므로a+b의최댓값은2이다.� ▶


한 이차방정식을 인수분해하기 30 %

연립방정식의 해 구하기 50 %

a+b의 최댓값 구하기 20 %

05 [y-2x-k=0 yy①xÛ`+yÛ`-5=0 yy②

①에서 y=2x+k yy③③을②에대입하면

xÛ`+(2x+k)Û`-5=0

에서 5xÛ`+4kx+kÛ`-5=0 yy④이차방정식④의판별식D가D=0이어야하므로

D=(4k)Û -4_5_(kÛ -5)

=-4kÛ +100=0

kÛ -25=0

따라서 k=5또는k=-5


06 [x+y+a=2 yy①xÛ`+yÛ`+aÛ`=4 yy②

①에서 y=2-a-x yy③③을②에대입하면

xÛ`+(2-a-x)Û`+aÛ`=4

xÛ`+(a-2)x+aÛ`-2a=0 yy④이때x가실수이려면이차방정식④의판별식D가

D¾0이어야하므로

D=(a-2)Û`-4(aÛ`-2a)

=-3aÛ`+4a+4¾0

3aÛ`-4a-4É0

즉,(3a+2)(a-2)É0

따라서-;3@;ÉaÉ2이므로 a=-;3@;,b=2

즉,구하는값은 a+b=;3$;

07 직사각형의가로,세로의길이를각각x`cm,y`cm라하면

[2x+2y=140 yy①xÛ`+yÛ`=2500 yy②

①에서 y=70-x yy③③을②에대입하면

xÛ`+(70-x)Û`=2500,　xÛ`-70x+1200=0

(x-30)(x-40)=0

따라서 x=30또는x=40

그런데가로의길이가세로의길이보다길어야하므로

x=40

따라서직사각형의가로의길이는 40`cm

08 [2x+6¾3x yy①x+9<2x+5 yy②

①을풀면 xÉ6

②를풀면 x>4

①,②의공통부분은 4<xÉ6

따라서정수x의값은5,6이므로구하는합은 11

09 [2(x-1)<5x+10 yy①-(x-3)É4(x+2) yy②

①을풀면

2x-2<5x+10,　-3x<12,　x>-4

②를풀면

-x+3É4x+8,　-5xÉ5,　x¾-1

①,②의공통부분은 x¾-1

즉,주어진조건을만족시키는x의최솟값은-1이다.

10 [-4x+4É10-5x yy①10-5x<-3(x-2)+11 yy②

①을풀면 xÉ6

②를풀면 x>-;2&;



14 xÛ`=t라하면주어진방정식은 tÛ`-2at+b=0

이차방정식tÛ`-2at+b=0이서로다른두양의실근을

가지려면이이차방정식의판별식D가D>0이어야하

므로

D=(-2a)Û`-4_1_b=4aÛ`-4b>0

따라서 aÛ`-b>0 yy①또,이차방정식t Û`-2at+b=0의두양의실근을a,b라하면

a+b=2a>0,ab=b>0 yy②ㄱ.①에서 aÛ`>b

ㄴ.②에서a>0,b>0이므로 ab>0

ㄷ.a=3,b=1일때,aÛ`-b>0,a>0,b>0이지만

1-2a+b=-4<0이므로주어진부등식이항상

성립하지는않는다.

이상에서옳은것은ㄱ이다.

15 주어진부등식에서

|x|=[-x(x¾0)

-x(x<0)

|x-2|=[-x-2 (x¾2)

-(x-2)(x<2)

이므로x의값의범위를x<0,0Éx<2,x¾2의세경

우로나누어서푼다.

Úx<0일때,

-x-(x-2)É8에서

-2x+2É8,　-2xÉ6,　x¾-3

그런데x<0이므로 -3Éx<0 yy①Û0Éx<2일때,

x-(x-2)É8에서2É8이므로부등식은주어진

범위에서항상성립한다.

0Éx<2 yy ②Üx¾2일때,

x+(x-2)É8에서

2x-2É8,　xÉ5

그런데x¾2이므로 2ÉxÉ5 yy ③

①,②,③에서 -3ÉxÉ5

따라서a=-3,b=5이므로구하는값은

aÛ`+bÛ`=9+25=34

①,②의공통부분은

-;2&;<xÉ6

따라서M=6,m=-3이므로구하는값은

Mm = 6

-3=-2

11 xÛ`의계수가양수이므로이차방정식

xÛ`-2(k-1)x+9=0의판별식D가DÉ0이어야

한다.

D={2(k-1)}Û`-4_1_9

=4kÛ`-8k-32É0

따라서kÛ`-2k-8É0에서

(k+2)(k-4)É0

-2ÉkÉ4

12 ㄱ.이차부등식axÛ`+bx+c¾0의해가x=2이므로

a<0

ㄴ.이차방정식axÛ`+bx+c=0이중근을가지므로이

이차방정식의판별식D가

D=bÛ`-4ac=0

ㄷ.axÛ +bx+c=a(x-2)Û =axÛ -4ax+4a이므로

b=-4a,c=4a

즉,a+b+c=a+(-4a)+4a=a<0

이상에서옳은것은ㄱ,ㄴ이다.

13 [|2x-1|>1 yy①2xÛ`-13x+6É0 yy②

①을풀면

2x-1<-1또는2x-1>1

x<0또는x>1

②를풀면

(2x-1)(x-6)É0

;2!;ÉxÉ6

①,②의공통부분은 1<xÉ6

따라서주어진조건을만족시키는모든정수x의값의합은

2+3+4+5+6=20



01 aaÕ+aÕb+abÕ+bbÕ =a(aÕ+bÕ)+b(aÕ+bÕ)

=(a+b)(aÕ+bÕ)

=(a+b)(aÓÓ+bÓ)a=-3+2i,b=2-3i에서

a+b=-1-i,aÓ+bÓ=-1+i

따라서

aaÕ+aÕb+abÕ+bbÕ =(a+b)(aÓÓ+bÓ)=(-1-i)(-1+i)=2

02 { 1+i'2}Û`= (1+i)Û`

2=2i

2=i

{ 1-i'2}Û`= (1-i)Û`

2=-2i

2=-i

이므로

{ 1+i'2}Ý`â`+{ 1-i

'2}Ý`â`

=[{ 1+i'2}Û`]Û`â`+[{ 1-i

'2}Û`]Û`â`

=i Û`â`+(-i)Û`â`=(i Ý`)Þ`+{(-i)Ý`}Þ`=2

03 이차방정식xÛ`+kx+k+8=0의판별식D가D=0이어야하므로

D=kÛ`-4(k+8)=kÛ`-4k-32=0

(k+4)(k-8)=0



04 이차방정식xÛ -ax+b=0의한근이1+3i이므로다른한근은1-3i이다.


a=(1+3i)+(1-3i)=2

b=(1+3i)(1-3i)=10

따라서근과계수의관계로부터이차방정식

xÛ`-bx+a=0의

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ⑤ 05 ③

06 ⑤ 07 ① 08 ② 09 ③ 10 ⑤

11 ⑤ 12 ① 13 ⑤ 14 ① 15 ②

16 ④ 17 ⑤ 18 20 19 -8 20 2

21 -;Á4¦;<k<;Á4Á; 22 3 23 90

24 -3Éa<5 25 20

대단원 평가 문제 16~19쪽 두근의합은 m=--b`1

=b=10

두근의곱은 n= a1

=a=2

따라서구하는값은 m+n=12

05 이차방정식xÛ`+ax+b=0의한근이2+'3i이므로다른한근은2-'3i이다.


-a=(2+'3i)+(2-'3i)=4, a=-4

b=(2+'3i)(2-'3i)=7

따라서 |a|+|b|=4+7=11

06 점(3,3)이직선y=ax+b위의점이므로

3=3a+b,　b=-3a+3 yy①xÛ`-3x+3=ax+b에서

xÛ`-(3+a)x+3-b=0

이이차방정식의판별식D가D=0이어야하므로

D=(a+3)Û`-4_1_(3-b)

D=aÛ`+6a+4b-3=0 yy②①을②에대입하면

aÛ`+6a+4(-3a+3)-3=0

aÛ`-6a+9=0,　a=3

a=3을①에대입하면 b=-6

따라서구하는값은 aÛ`+bÛ`=45

07 y=-xÛ`+2ax+b=-(x-a)Û`+aÛ`+b이므로

x=a일때주어진함수는최댓값을갖는다.

따라서 a=3

또,주어진최댓값은7이므로 aÛ`+b=7 y①a=3을①에대입하면

9+b=7, b=-2

따라서구하는값은 a+b=1

08 y=xÛ`-4x-3=(x-2)Û`-7에서

x=1일때이함수의최솟값은-6이므로

m=-6

또,y=-;2!;xÛ`+x+1=-;2!;(x-1)Û`+;2#;에서

x=1일때이함수의최댓값은;2#;이므로

M=;2#;

따라서구하는값은 M+m=-;2(;



09 y=xÛ`-2ax+7a=(x-a)Û`-aÛ`+7a이므로

f(a)=-aÛ`+7a

부등식f(a)>0에서

-aÛ`+7a>0,　a(a-7)<0

따라서 0<a<7

즉,부등식f(a)>0을만족시키는정수a는1,2,3,4,

5,6의6개이다.

10 f(x)=xÛ`-4x+2=(x-2)Û`-2이므로x=2일때

함수f(x)의최솟값은-2이다.

따라서 a=-2

또,g(x)=x Û`-8x+k=(x-4)Û`+k-16이므로

x=3일때함수g(x)의최솟값은k-15이다.

따라서 b=k-15

y=f(x)+g(x)

=2xÛ`-12x+k+2

=2(x-3)Û`+k-16

이므로x=3일때주어진함수의최솟값은k-16이다.

즉,k-16=-15에서 k=1,b=-14

따라서구하는값은 abk

=28

11 f(x)=xÜ`+4xÛ`+(k-5)x-k로놓으면

f(1)=1+4+k-5-k=0

f(x)는x-1을인수로가지므로조립제법을이용하여

인수분해하면

　

1 1 4 k-5 -k

1 5 k

1 5 k 0

f(x)=(x-1)(xÛ`+5x+k)

삼차방정식x Ü`+4x Û`+(k-5)x-k=0의근이모두

실수가되기위해서는이차방정식xÛ`+5x+k=0이실

근을가져야한다.

즉,이차방정식xÛ`+5x+k=0의판별식D가D¾0이

어야하므로

D=5Û`-4_1_k=25-4k¾0

따라서 kÉ 254

12 (xÛ`+2x+4)(xÛ`+2x-3)+10

=(xÛ`+2x)Û`+(xÛ`+2x)-2

=(xÛ`+2x+2)(xÛ`+2x-1)=0

따라서 xÛ`+2x+2=0또는xÛ`+2x-1=0

ÚxÛ`+2x+2=0일때,

이차방정식xÛ +2x+2=0의판별식DÁ은

DÁ=2Û`-4_1_2=-4<0

이므로서로다른두허근a,b를갖는다.

따라서근과계수의관계로부터 a+b=-2

ÛxÛ`+2x-1=0일때,

이차방정식xÛ +2x-1=0의판별식Dª는

Dª=2Û -4_1_(-1)=8>0

이므로서로다른두실근a,b를갖는다.

따라서근과계수의관계로부터 ab=-1

Ú,Û에서구하는값은 ab+a+b=-3

13 [ xy+x+y=14 yy①xy-x-y=2 yy②

①+②를하면

2xy=16,　xy=8 yy③①-②를하면

2(x+y)=12,　x+y=6 yy④③,④에서x,y는이차방정식t Û`-6t+8=0의두근이

므로근과계수의관계로부터 a+b=6,ab=8


aÝ`+bÝ` =(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`={(a+b)Û`-2ab}Û`-2(ab)Û`=(6Û`-16)Û`-2_8Û`

=400-128=272

14 2x+1>2a에서 x>2a-12

3(x-2)Éx+6에서

3x-6Éx+6,　xÉ6

주어진연립부등식의해가-1<xÉb이므로

2a-12

=-1,b=6

따라서a=-;2!;,b=6이므로 ab=-3

15 주어진부등식에서

|3x-1|=[-3x-1 {x¾;3!;}

-3x+1{x<;3!;}

|2x-7|=[-2x-7 {x¾;2&;}

-2x+7{x<;2&;}



이므로x의값의범위를x<;3!;,;3!;Éx<;2&;,x¾;2&;의

세경우로나누어서푼다.

Úx<;3!;일때,

-3x+1>-2x+7에서 x<-6

그런데x<;3!;이므로 x<-6 y①

Û ;3!;Éx<;2&;일때,

3x-1>-2x+7에서 5x>8, x>;5*;

그런데;3!;Éx<;2&;이므로 ;5*;<x<;2&; y②

Ü x¾ ;2&;일때,

3x-1>2x-7에서 x>-6

그런데x¾ ;2&;이므로 x¾ ;2&; y③

①,②,③에서 x<-6또는x>;5*;

따라서주어진부등식을만족시키는가장작은자연수x

의값은2이다.

16 이차항의계수가1이고해가-;3!;ÉxÉ2인이차부등식은

{x+;3!;}(x-2)É0

위의식의좌변을전개하여정리하면

xÛ`-;3%;x-;3@;É0,　-3xÛ`+5x+2¾0


17 [xÛ`-3x-4É0 yy①(x-a)(x-2)>0 yy②

①을풀면

(x-4)(x+1)É0, -1ÉxÉ4

②를풀면

Úa>2일때, x<2또는x>a

주어진연립부등식의해는2<xÉ4가될수없다.

Ûa<2일때, x<a또는x>2

주어진연립부등식의해가2<xÉ4이어야하므로

따라서 aÉ-1

즉,주어진조건을만족시키는실수a의최댓값은-1이다.

18 z+zi=(a+bi)+(a+bi)i=a+bi+ai-b

=a-b+(a+b)i

이므로 zÓÓ+ziÓ=(a-b)-(a+b)i� ▶


a-b=6 yy① a+b=2 yy②①,②를연립하여풀면 a=4,b=-2� ▶

따라서구하는값은 aÛ`+bÛ`=16+4=20� ▶


z+ziÓ를 a, b에 대한 식으로 나타내기 1점

a, b의 값 구하기 2점

aÛ`+bÛ`의 값 구하기 1점

19 xÛ`-2xy+kyÛ`+6x-18y+5를x에대하여내림차순

으로정리하면

xÛ`-2(y-3)x+kyÛ`-18y+5

위의식이두일차식의곱으로인수분해되기위해서는x

에대한이차방정식

xÛ`-2(y-3)x+kyÛ`-18y+5=0

의판별식이완전제곱식이되어야한다.이이차방정식의

판별식을D라하면

D=4(y-3)Û`-4(kyÛ`-18y+5)

D=4{(1-k)yÛ`+12y+4}

이때x에대한이차방정식(1-k)y Û`+12y+4=0의

판별식D'이D'=0이어야하므로

D'=12Û`-4_(1-k)_4=128+16k=0

따라서 k=-8

20 이차방정식xÛ`+2x-(k+1)=0의두근을a,b라하면두근의차가4이므로b=a+4로놓을수있다.


a+b=a+(a+4)=-2 yy① ab=a(a+4)=-k-1 yy②� ▶

①에서 2a+4=-2, a=-3� ▶

a=-3을②에대입하면

-3_(-3+4)=-k-1, k=2� ▶




이차방정식의 두 근의 합과 곱을 식으로 나타내기 2점

이차방정식의 한 근 구하기 1점

k의 값 구하기 1점

21 xÛ`-4x+2=x+k에서

xÛ`-5x+2-k=0 yy ①

이차방정식 ①의 판별식 D가 D>0이어야 하므로

D�=(-5)Û`-4_1_(2-k)

=17+4k>0

따라서 k>- 174

yy ②� ▶

xÛ`+4x+5=x+k에서

xÛ`+3x+5-k=0 yy ③

이차방정식 ③의 판별식 D가 D<0이어야 하므로

D�=3Û`-4_1_(5-k)

=-11+4k<0

즉, k< 114

yy ④� ▶

②, ④에서 구하는 k의 값의 범위는

- 174

<k< 114� ▶


이차함수 y=xÛ`-4x+2의 그래프와 직선이

서로 다른 두 점에서 만나게 하는 k의 값의 범

위 구하기

2점

이차함수 y=xÛ`+4x+5의 그래프와 직선이

만나지 않게 하는 k의 값의 범위 구하기2점

k의 값의 범위 구하기 1점

22 조건 ㈎로부터 f(x)=(x-2)Û`+k

조건 ㈏로부터 이차방정식

(x-2)Û`+k+1=0, 즉 x Û`-4x+k+5=0

이 중근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식 D가

D=0이다.

D=(-4)Û`-4_1_(k+5)=-4-4k=0

k=-1

즉, 이차함수 f(x)=(x-2)Û`-1=xÛ`-4x+3의 그

래프와 x축의 교점의 좌표는

xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

x=1 또는 x=3

따라서 a+b=4이므로 구하는 값은

a+b+k=3

23 [ xÛ`+2xy-3yÛ`=0 yy ①

xÛ`+3xy+yÛ`=9 yy ②

①의 좌변을 인수분해하면

(x-y)(x+3y)=0

따라서 x=y 또는 x=-3y

이때 a+b이므로 x=-3y

x= -3y를 ②에 대입하면

9yÛ`-9yÛ`+yÛ`=9, yÛ`=9, y=Ñ3

y=3일 때, x=-9

y=-3일 때, x=9

따라서 aÛ`+bÛ`=81+9=90

24 [ xÛ`-4x-5<0 yy ①

(x-a)(x-a-2)>0 yy ②

①을 풀면

(x+1)(x-5)<0,　-1<x<5

②를 풀면 x<a 또는 x>a+2� ▶

①, ②의 공통부분이 존재하려면

또는

-1<a+2<5 또는 -1Éa<5

즉,�-3<a<3 또는 -1Éa<5� ▶

따라서 주어진 조건을 만족시키는 실수 a의 값의 범위는

-3Éa<5� ▶


두 이차부등식의 해 구하기 2점

연립부등식의 해가 존재하는 a의 값의 범위 구

하기2점

a의 값의 범위 구하기 1점

25 [ 2(x-1)<x+4 yy ①

x+4É2+3(x-2) yy ②

①을 풀면 x<6

②를 풀면 x¾4

①, ②의 공통부분은 4Éx<6

따라서 M=5, m=4이므로

Mm=20


Ⅲ. 도형의 방정식 73

01 두 점 A, B 사이의 거리는

ABÓ ="Ã{(-2)-1}Û`+(6-2)Û`='2�5=5

02 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각 구하면

ABÓ ="ÃÃ{(-3)-3}Û`+(0-0)Û`='3�6=6

BCÓ ="ÃÃ{0-(-3)}Û`+(4-0)Û`='2�5=5

CAÓ ="Ã(3-0)Û`+(0-4)Û`='2�5=5

따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는

ABÓ+BCÓ+CAÓ=6+5+5=16

03 ABÓ="Ã(3-a)Û`+{(a-2)-4}Û`=5이므로

2aÛ`-18a+45=25, aÛ`-9a+10=0

실수 a의 값은 이 이차방정식의 해이므로 모든 실수 a의

값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

- -91

=9

04 APÓ=BPÓ이므로 APÓ Û`=BPÓ Û`에서

(a-1)Û`+(0-3)Û`=(a-3)Û`+(0-5)Û`

-2a+10=-6a+34

4a=24,　a=6

05 △ABC가 ∠B=90ù인 직각삼각형이 되려면

ABÓ Û`+BCÓ Û`=CAÓ Û`

ABÓ Û`={a-(-4)}Û`+(5-2)Û`

BCÓ Û`=(6-a)Û`+(2-5)Û`

CAÓ Û`=(-4-6)Û`+(2-2)Û`

이므로

(aÛ`+8a+25)+(aÛ`-12a+45)=100

aÛ`-2a-15=0,　(a+3)(a-5)=0

a=-3 또는 a=5

06 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면

APÓ Û`=(x-2)Û`+(y-1)Û`

BPÓ Û`=(x+1)Û`+(y-6)Û`

CPÓ Û`=(x-5)Û`+(y+1)Û` ▶

이므로

APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`

=3xÛ`+3yÛ`-12x-12y+68

=3(x-2)Û`+3(y-2)Û`+44 ▶

따라서 x=2, y=2, 즉 점 P(2, 2)일 때,

APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 최솟값은 44이다. ▶ 다


APÓ Û`, BPÓ Û`, CPÓ Û`을 식으로 나타내기 40 %

APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`을 식으로 나타내기 40 %

APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`의 최솟값 구하기 20 %

07 ABÓ를 3`:`2로 내분하는 점의 좌표를 (x, y)라 하면

{ 3_6+2_11111133+2

, 3_7+2_(-3)111111123+2

}, 즉 (4, 3)

08 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (4, -1)이므로

a+(-3)+41111113

=4, 2+b+(-6)1111113

=-1

따라서 a=11, b=1이므로 a+b=12

09 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 P의 좌표는

{ 2_5-1_(-1)111111122-1

, 2_(-3)-1_3111111122-1

}

즉, (11, -9)

선분 AB의 중점 Q의 좌표는

{ -1+512

, 3+(-3)111122

}, 즉 (2, 0)

따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는

PQÓ="Ã(2-11)Û`+{0-(-9)}Û`=9'2

10 △ABP와 △ACP의 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변

의 길이의 비와 같다.

즉, △ABP의 넓이가 △ACP의 넓이의 3배이므로 점 P는 변 BC를 3`:`1로 내분하는 점이다.

점 P의 좌표가 (a, b)이므로

a= 3_1+1_(-5)111111123+1

=-;2!;

도형의 방정식III

01 ③ 02 ④ 03 9 04 ③

05 -3, 5 06 44 07 ① 08 ② 09 9'2

10 ④ 11 9 12 (8, 12) 13 16� 14 10'2

3


1 평면좌표



b= 3_3+1_(-3)111111123+1

=;2#;

따라서 a+b=1

11 선분 AB를 1`:`b로 내분하는 점 P의 좌표가 (-2, 3)

이므로

1_1+b_(-3)111111121+b

=-2,　 1_a+b_51111121+b

=3

에서 b=3, a+2b=3

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=3 ▶

A(-3, 5), B(1, -3)에 대하여 선분 AB를 1`:`3으

로 외분하는 점 Q의 좌표는

{ 1_1-3_(-3)111111121-3

, 1_(-3)-3_5111111121-3

}

즉, (-5, 9)이므로 c=9 ▶

따라서 a+b+c=9 ▶ 다



점 Q의 좌표를 구해 c의 값 구하기 40 %

a+b+c의 값 구하기 20 %

12 꼭짓점 B의 좌표를 (a, b)라 하면

2_a+1_11111122+1

=-1,　 2_b+1_31111122+1

=1

이므로 a=-2, b=0

평행사변형 ABCD에서 두 대각선은 서로를 이등분하므

로 선분 AC와 선분 BD의 중점의 좌표가 같다.

꼭짓점 D의 좌표를 (c, d)라 하면

1+51122

=-2+c11142

, 3+91122

=0+d1122

따라서 c=8, d=12이므로 구하는 꼭짓점 D의 좌표는

(8, 12)

13 xy-x+y-4=0에서 x(y-1)+(y-1)-3=0

(x+1)(y-1)=3

위의 x, y에 대한 방정식을 만

족시키는 정수 x, y에 대하여

(x, y)는

(0, 4),　(-4, 0),

(2, 2),　(-2, -2)

이 네 점을 꼭짓점으로 하는 사

각형은 오른쪽 그림과 같은 직사각형이다.

따라서 두 변의 길이는

"Ã(0+4)Û`+(4-0)Û`='3�2=4'2

"Ã(0-2)Û`+(4-2)Û`='8=2'2 이므로 구하는 사각형의 넓이는 4'2_2'2=16

14 점 C의 좌표는

{ 1_1-2_61111121-2

, 1_6-2_11111121-2

}, 즉 (11, -4)

점 D의 좌표는

{ 2_1-1_61111122-1

, 2_6-1_11111122-1

}, 즉 (-4, 11)

따라서 삼각형 OCB의 무게중심 GÁ의 좌표는

{ 0+11+1111123

, 0+(-4)+61111113

}, 즉 {4, ;3@;}

삼각형 OAD의 무게중심 Gª의 좌표는

{ 0+6+(-4)11111233

, 0+1+11111123

}, 즉 {;3@;, 4}

이므로

GÁGªÓ=¾Ð{;3@;-4}Û Ð+{4-;3@;Ð}Û`= 10'213

01 기울기가 m이고 점 (2, 4)를 지나는 직선의 방정식은

y-4=m(x-2)

이 직선이 점 (3, 1)을 지나므로

1-4=m(3-2),　m=-3

02 직선 AB와 직선 AC의 기울기가 서로 같으므로

k-211254-3

= -2-211111(k-3)-3

, k-2= -41125k-6

kÛ`-8k+16=0, (k-4)Û`=0

따라서 k=4

01 -3 02 ④ 03 5 04 ③ 05 ④

06 y=-;2!;x+4 07 ② 08 (4, 5) 09 ①

10 2 11 ② 12 y=x 13 ;2&; 14 6

15 y=3x+10


2 직선의 방정식



03 선분 AB의 중점의 좌표는

{-1+311122

, 4+611252}, 즉 (1, 5)

직선 AB의 기울기는 6-41111253-(-1)

=;2!;이므로

;2!;_a=-1,　a=-2

직선 y=-2x+b가 점 (1, 5)를 지나므로

5=-2+b,　b=7

따라서 a+b=5

04 직선의 x절편을 점 A, y절편을 점 B라 하면

A(2, 0), B(0, 6)

원점을 O라 하면 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직

선 y=mx는 선분 AB의 중점 (1, 3)을 지난다.

따라서 m=3

05 ax+y-3=0에서 y=-ax+3

2x-4y+1=0에서 y=;2!;x+;4!;

두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로

-a_;2!;=-1, a=2

06 두 직선의 방정식

2x-y-1=0, 2x-3y+5=0

을 연립하여 풀면 x=2, y=3이므로 두 직선의 교점의

좌표는 (2, 3)

직선 x+2y+1=0, 즉 y=-;2!;x-;2!;과 평행한 직선

의 기울기는 -;2!;이다.

따라서 점 (2, 3)을 지나고 기울기가 -;2!;인 직선의 방

정식은

y-3=-;2!;(x-2), 즉 y=-;2!;x+4

07 두 직선 ax-8y+b=0, 4x+cy-8=0이 점 (1, 2)를

지나므로

a-16+b=0, a+b=16 yy ①

4+2c-8=0, c=2 yy ②

또, 두 직선이 서로 수직이므로

4a-8c=0, a=2c yy ③

②를 ③에 대입하면 a=4

a=4를 ①에 대입하여 정리하면 b=12

따라서 a+b+c=4+12+2=18

08 직선 x+2y-24=0, 즉 y=-;2!;x+12와 수직으로

만나는 직선의 기울기는 2이고 두 점 A(2, 1), B(a, b)

를 지나므로

b-11125a-2

=2, 2a-b=3 yy ① ▶

선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점은

{ 2_a-1_21111122-1

, 2_b-1_11111122-1

}

즉, (2a-2, 2b-1)

이 점이 직선 x+2y-24=0을 지나므로

(2a-2)+2(2b-1)-24=0

a+2b=14 yy ② ▶

①, ②를 연립하여 풀면 a=4, b=5

따라서 점 B의 좌표는 (4, 5) ▶ 다


직선의 기울기를 이용하여 a, b에 대한 식 세우기 40 %

두 직선의 교점이 ABÓ를 2`:`1로 외분하는 점임

을 이용하여 a, b에 대한 식 세우기40 %

점 B의 좌표 구하기 20 %

09 점 (a, 1)과 직선 3x+4y+2=0 사이의 거리가 6이므

로

|3a+4+2|1"Ã3Û`+4Û`

=6, 3|a+2|=30

a+2=Ñ10, a=8 또는 a=-12

따라서 실수 a의 값의 합은 -4

10 원점과 점 (a, b) 사이의 거리가 3이므로

"ÃaÛ`+bÛ`=3

주어진 두 직선은 서로 평행하므로 직선 ax+by-1=0

위의 점 {;a!;, 0}과 직선 ax+by+5=0 사이의 거리는

|a_{;a!;}+b_0+5|1111111114

"ÃaÛ`+bÛ`=;3^;=2

11 주어진 직선의 방정식을 x, y에 대하여 정리하면 (k+1)x+(k-3)y+4=0

원점과 이 직선 사이의 거리는

|4|111111112

"Ã(k+1)Û`+(k-3)Û`

즉, 41111113

"Ã2(k-1)Û`+8 …… ①



k=1일 때 ①이 최댓값을 가지므로 구하는 최댓값은

41152'2

='2

12 예각의 이등분선 위의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두

직선 3x-y+1=0, x-3y-1=0에 이르는 거리가

같으므로

|3x-y+1|1111125"Ã3Û`+(-1)Û`

=|x-3y-1|1111125"Ã1Û`+(-3)Û`

|3x-y+1|=|x-3y-1| 3x-y+1=Ñ(x-3y-1)

x+y+1=0 또는 x-y=0

이때 두 직선 3x-y+1=0, x-3y-1=0의 기울기

가 모두 양수이므로 두 직선이 이루는 예각을 이등분한 직

선의 기울기도 양수이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은

x-y=0, 즉 y=x

13 [ x+y-2=0 yy ①3x-4y+1=0 yy ②4x-3y+6=0 yy ③

①, ②를 연립하여 풀면 x=1, y=1이므로 두 직선의

교점의 좌표는 (1, 1)

②, ③을 연립하여 풀면 x=-3, y=-2이므로 두 직

선의 교점의 좌표는 (-3, -2)

③, ①을 연립하여 풀면 x=0, y=2이므로 두 직선의

교점의 좌표는 (0, 2) ▶

A(1, 1), B(-3, -2), C(0, 2)라 하면

ABÓ ="Ã(-3-1)Û`+(-2-1)Û`

=5

점 C(0, 2)와 직선 AB, 즉 3x-4y+1=0 사이의 거

리는

|-8+1|1111125"Ã3Û`+(-4)Û`

=;5&; ▶

따라서 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_5_;5&;=;2&; ▶ 다


세 직선의 교점의 좌표를 각각 구하기 30 %

세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 한 변의 길이와

높이 구하기50 %

세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 구하기 20 %

14 x-3y-1=0에서 y=;3!;x-;3!; … ①

x-y-3=0에서 y=x-3 … ②

x-ay-2=0에서 y=;a!;x-;a@;(a+0) … ③

세 직선이 한 점에서 만나거나 세 직선 중 어느 두 직선이

서로 평행할 때 삼각형이 이루어지지 않는다.

Ú 세 직선이 한 점에서 만나는 경우

①, ②를 연립하여 풀면 x=4, y=1

즉 직선 ③이 점 (4, 1)을 지나므로

;a@;=1, 즉 a=2

Û 세 직선 중 두 직선이 서로 평행한 경우

두 직선 ①, ③이 서로 평행할 때,

;a!;=;3!;, -;a@;+-;3!;이므로 a=3, a+6

두 직선 ②, ③이 서로 평행할 때,

;a!;=1, -;a@;+-3이므로 a=1, a+;3@;

Ú, Û에서 모든 실수 a의 값의 합은

2+3+1=6

15 삼각형의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하므로

ABÓ와 QRÓ가 서로 평행하다.

즉, 두 점 Q(2, -3), R(4, 3)을 지나는 직선의 기울기는

3-(-3)111124-2

=3

따라서 두 점 A, B를 지나는 직선은 점 P(-3, 1)을 지

나고 기울기가 3인 직선이므로

y-1=3(x+3), y=3x+10

01 7 02 ④ 03 ④ 04 ② 05 ①

06 (3, 5), '§20 07 ① 08 5 09 15

10 -5<k<15 11 ⑤ 12 -;3$;ÉmÉ;3$;

13 '5x-2y-3=0, '5x+2y+3=0 14 34

15 234p


3 원의 방정식



01 xÛ`+yÛ`+2x-6y-15=0을 변형하면

(x+1)Û`+(y-3)Û`=5Û`

따라서 a+b+r=(-1)+3+5=7

02 구하는 원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를

(a, 0), 반지름의 길이를 r라 하면

(x-a)Û`+yÛ`=rÛ`

이 원이 두 점 (3, 4), (-1, 0)을 지나므로

(3-a)Û`+4Û`=rÛ` …… ①

(-1-a)Û`+0Û`=rÛ` …… ②

①, ②를 연립하여 풀면 8a-24=0, a=3

이것을 ①에 대입하면 rÛ`=16

이때 r>0이므로 r=4

03 xÛ`+yÛ`-2ax+4ay+6aÛ`+a-6=0을 변형하면

(x-a)Û`+(y+2a)Û`=-aÛ`-a+6

반지름의 길이는 양수이므로

-aÛ`-a+6>0, aÛ`+a-6<0

(a+3)(a-2)<0, -3<a<2

따라서 주어진 방정식이 원을 나타내도록 하는 정수 a의

개수는 -2, -1, 0, 1의 4이다.

04 xÛ`과 yÛ`의 계수가 같아야 하므로 a=1

xÛ`+yÛ`+2x+4by=0을 변형하면

(x+1)Û`+(y+2b)Û`=1+4bÛ`

이므로 1+4bÛ`=5Û`, bÛ`=6

따라서 aÛ`+bÛ`=7

05 구하는 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0이라

하면 이 원이 세 점 (0, 0), (4, -2), (2, -6)을 지나

므로

C=0

16+4+4A-2B+C=0 yy ①

4+36+2A-6B+C=0 yy ②

C=0을 대입한 후 ①, ②를 연립하여 풀면

A=-2, B=6

따라서 구하는 원의 방정식은

xÛ`+yÛ`-2x+6y=0

즉, (x-1)Û`+(y+3)Û`=10

직선 y=mx가 원의 중심 (1, -3)을 지날 때 원의 둘

레의 길이를 이등분하므로

-3=m_1, m=-3

06 P(x, y)라 하면 APÓ Û`+BPÓ Û`=80이므로

{(x-1)Û`+(y-1)Û`}+{(x-5)Û`+(y-9)Û`}=80

xÛ`+yÛ`-6x-10y+14=0

(x-3)Û`+(y-5)Û`=20 ▶

즉, 점 P가 그리는 도형은 중심의 좌표가 (3, 5)이고 반

지름의 길이가 '2�0인 원이다. ▶


점 P가 그리는 원의 방정식 구하기 80 %

원의 중심의 좌표와 반지름의 길이 구하기 20 %

07 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 r라 하

자. 직선 x-y+2=0이 제1, 2, 3사분면을 지나므로

Ú 원의 중심이 제1사분면 위에 있을 때,

중심의 좌표는 (r, r)이므로 2=0

따라서 구하는 원의 방정식은 존재하지 않는다.

Û 원의 중심이 제2사분면 위에 있을 때,

중심의 좌표는 (-r, r)이므로

-r-r+2=0, r=1

따라서 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y-1)Û`=1

Ü 원의 중심이 제3사분면 위에 있을 때,

중심의 좌표는 (-r, -r)이므로 2=0

따라서 구하는 원의 방정식은 존재하지 않는다.

이상에서 원의 반지름의 길이 r=1이므로 구하는 원의

넓이는 p_1Û`=p

08 원의 중심인 점 (0, 0)과 직선 2x+y+k=0 사이의 거

리는 원의 반지름의 길이 '5와 같으므로

|k|1112"Ã2Û`+1Û`

=|k|123'5

='5, |k|=5

k=5 또는 k=-5

그런데 k는 양수이므로 k=5

09 xÛ`+yÛ`-6x+4y+8=0을 변형하면

(x-3)Û`+(y+2)Û`=5

중심 (3, -2)와 직선 2x-y+2=0 사이의 거리는

|6-(-2)+2|1"Ã2Û`+(-1)Û`

=2'5

원의 반지름의 길이는 '5이므로

M=2'5+'5=3'5 m=2'5-'5='5 따라서 Mm=15



10 xÛ`+yÛ`-2x-4y+1=0을 변형하면

(x-1)Û`+(y-2)Û`=4

원의 중심인 점 (1, 2)와 직선 3x-4y+k=0 사이의

거리가 반지름의 길이보다 작아야 하므로

|3-8+k|111112"Ã3Û`+(-4)Û`

<2, |k-5|<10

-10<k-5<10, -5<k<15

11 원 (x+1)Û`+(y-3)Û`=r Û`의

중심을 C(-1, 3)이라 하고,

점 A(5, 11)에서 원에 그은 두

접선의 접점을 각각 T Á, T ª라

하면 사각형 ATÁCTª는 한 변

의 길이가 r인 정사각형이다.

CAÓ="Ã{5-(-1)}Û`+(11-3)Û`=10이고,

CTÁÓ`:`CAÓ=1`:`'2이므로

CTÁÓ=1124'2

CAÓ=5'2

따라서 구하는 반지름의 길이는 5'2이다.

12 직선 OP의 기울기는 m이고, 원점을 지나므로

y=mx …… ①

(x-5)Û`+yÛ`=16을 전개하여 정리하면

xÛ`-10x+yÛ`+9=0 …… ②

①을 ②에 대입하면

xÛ`-10x+(mx)Û`+9=0

(mÛ`+1)xÛ`-10x+9=0

직선 OP는 원과 만나야 하므로 위의 방정식의 판별식을

D라 하면

D=10Û`-4_(mÛ`+1)_9¾0

mÛ`É;;Á9¤;;, -;3$;ÉmÉ;3$;

13 두 원에 동시에 접하는 직선의 방정식을 y=mx+n,

즉 mx-y+n=0(m, n은 실수)이라 하자.

점 (0, 0)과 이 직선 사이의 거리는 1이므로

|n|1111122"ÃmÛ`+(-1)Û`

=1 …… ① ▶

점 (0, 3)과 이 직선 사이의 거리는 3이므로

|-3+n|1111122"ÃmÛ`+(-1)Û`

=3 …… ② ▶

①, ②를 연립하면 풀면 |n-3|=3|n|에서

n-3=Ñ3n,　n=;4#; 또는 n=-;2#;

Ú n=;4#;일 때,

mÛ`+1=;1»6;, mÛ`=-;1¦6;

따라서 조건을 만족시키는 실수 m의 값은 없다.

Û n=-;2#;일 때,

mÛ`+1=;4(;, mÛ`=;4%;, m=Ñ'512

▶ 다

Ú, Û에서 Ñ '512

x-y-;2#;=0

따라서 두 원에 동시에 접하는 직선의 방정식은

'5x-2y-3=0, '5x+2y+3=0 ▶ 라


원 xÛ`+yÛ`=1의 중심과 접선 사이의 거리를 이

용하여 식 세우기20 %

원 xÛ`+(y-3)Û`=9의 중심과 접선 사이의 거

리를 이용하여 식 세우기20 %

조건을 만족시키는 m, n의 값 구하기 40 %

두 원에 동시에 접하는 직선의 방정식 구하기 20 %

14 삼각형 ABP에서 변 AB의 중점을 M이라 하면 점 M의

좌표는

{ 3+71122

, 10+1411122}, 즉 (5, 12)

ABÓ="Ã(7-3)Û`+(14-10)Û`=4'2

이므로 AMÓ=2'2 삼각형 ABP에서 중선 정리에 의하여

APÓ Û +BPÓ Û =2( PMÓ Û +AMÓ Û )

=2( PMÓ Û +8)

이때 원 xÛ`+yÛ`=10의 중심을 O라 하면

OM Ó="Ã5Û`+12Û`=13이고 원의 반지름의 길이가 10이

므로 PM Ó의 최솟값은 13-10=3

따라서 APÓ Û`+BPÓ Û`의 최솟값은

2( PM Ó Û`+8)=2(3Û`+8)=34

참고 y

M C(c, 0)B(-c, 0)

A(a, b)

O x

⇨ ABÓ Û`+ACÓ Û`=2(AMÓ Û`+BMÓ Û`)

15 원의 중심이 점 (a, b)이고 y축에 접하는 원의 방정식은

(x-a)Û`+(y-b)Û`=aÛ`



이 원이 점 A(3, 1)을 지나므로

(3-a)Û`+(1-b)Û`=aÛ` …… ①

또, 점 B(6, 4)를 지나므로

(6-a)Û`+(4-b)Û`=aÛ` …… ②

①, ②를 연립하여 정리하면

b=-a+7 …… ③

③을 ①에 대입하여 정리하면

aÛ`-18a+45=0, (a-3)(a-15)=0

a=3 또는 a=15

따라서 구하는 원의 넓이의 합은

9p+225p=234p

01 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이

동하였으므로

a+3=4, b-2=3에서 a=1, b=5

따라서 a+b=6

02 직선 2x+y+1=0을 x축의 방향으로 n만큼, y축의 방

향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식은

2(x-n)+(y-3)+1=0

2x+y-2n-2=0 …… ①

직선 ①이 직선 2x+y-6=0과 일치하므로

-2n-2=-6, n=2

03 직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -2만큼 y축의 방향으

로 4만큼 평행이동하면

y-4=a(x+2)+b

y=ax+2a+b+4

이 직선이 원래의 직선 y=ax+b와 일치하므로

2a+b+4=b에서 a=-2

01 ① 02 ② 03 -4 04 -3

05 -7<a<3 06 4'3 07 3 08 ①

09 ① 10 ② 11 a=;8&;', b=-;8%;

12 2'§41 13 6 14 6 15 -6


4 도형의 이동

또, 직선 y=-2x+b는 점 (0, 2)를 지나므로

b=2

따라서 ab=-4

04 직선 2x+y+6=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의

방향으로 5만큼 평행이동하면

2(x+1)+(y-5)+6=0, 2x+y+3=0

이 직선이 원 (x-a)Û`+(y-3)Û`=5의 중심 (a, 3)을

지날 때 원의 넓이를 이등분하므로

2a+3+3=0, a=-3

05 직선 y=2x+1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으

로 (a-3)만큼 평행이동하면

y-(a-3)=2(x-a)+1

2x-y-a-2=0

원 xÛ`+yÛ`=5의 중심 (0, 0)과 직선 사이의 거리가 원의

반지름의 길이 '5보다 작을 때, 원과 직선이 서로 다른 두

점에서 만나므로

|-a-2|111112"Ã2Û`+(-1)Û`

<'5,　|a+2|<5

-5<a+2<5,　-7<a<3

06 원 xÛ`+(y+1)Û`=16을 x축의 방향으로 -2만큼, y축

의 방향으로 3만큼 평행이동하면

(x+2)Û`+(y-2)Û`=16

이므로 원의 중심 C의 좌표는 (-2, 2) ▶

원이 x축과 만나는 두 점 A, B의 y좌표는 0이므로

(x+2)Û`+(-2)Û`=16,　(x+2)Û`=12

x=-2Ñ2'3 ABÓ=(-2+2'3)-(-2-2'3)=4'3 ▶

따라서 구하는 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_4'3_2=4'3 ▶ 다


평행이동한 원의 중심 C의 좌표 구하기 40 %

평행이동한 원이 x축과 만나는 점의 좌표를 구

하여 ABÓ의 길이 구하기40 %

삼각형 ABC의 넓이 구하기 20 %

07 3x-2y+a=0에서 y 대신 -y를 대입하면

3x+2y+a=0

이 직선이 점 (1,-3)을 지나므로

3-6+a=0, a=3



08 직선 l의 기울기를 m이라 하면 이 직선이 점 A(4, 3)을

지나므로 직선 l의 방정식은

y-3=m(x-4) …… ①

직선 ①을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면

x-3=m(y-4) …… ②

직선 ②를 x축에 대하여 대칭이동하면

x-3=m(-y-4) …… ③

직선 ③이 점 A(4, 3)을 지나므로

4-3=m(-3-4), m=-;7!;

따라서 직선 l의 기울기는 -;7!;이다.

09 lÁ: -y=ax-3, 즉 y=-ax+3

lª: -y=-ax-3, 즉 y=ax+3

두 직선 lÁ, lª가 서로 수직이므로

-a_a=-1, aÛ`=1

이때 a는 양의 실수이므로 a=1

10 점 A(1, 1)을 직선 y=2x+1에 대하여 대칭이동한 점의

좌표를 A'(m, n)이라 하면 직선 AA'과 직선

y=2x+1이 서로 수직이므로

n-11125m-1

_2=-1, 2(n-1)=-(m-1)

m+2n=3 …… ①

또, 직선 y=2x+1이 선분 AA'의 중점

{m+111252

, n+111252}을 지나므로

n+111252 =2_

m+111252 +1

2m-n=-3 …… ②

①, ②를 연립하여 풀면 m=-;5#;, n=;5(;

따라서 점 A'의 좌표는 {-;5#;, ;5(;}

점 A'을 다시 원점에 대하여 대칭이동하면

B{;5#;, -;5(;}

따라서 선분 AB의 길이는

¾Ð{;5#;-1}Û`+{-;5(;-1}Û`=2'2

11 직선 ax+by-1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동

하면 bx+ay-1=0

이 직선이 직선 (a+1)x+(b-2)y+3=0과 일치해

야 하므로

a+1112b

= b-2112a

=-3

-3b=a+1,　-3a=b-2

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=;8&;, b=-;8%;

12 오른쪽 그림과 같이

점 A를 x축에 대하여

대칭이동한 점을

A'(6, -4), 점 B를

y축에 대하여 대칭이동한

점을 B'(-2, 6)이라

하면

APÓ=A'PÓ, QBÓ=QB'Ó이므로

APÓ+PQÓ+QBÓ=A'PÓ+PQÓ+QB'Ó

¾A'B'Ó

따라서 구하는 최솟값은 A'B'Ó='Ä64+100=2'4�1

13 점 P(5, -2)를 x축에 대하

여 대칭이동하면 Q(5, 2),

점 Q(5, 2)를 직선 y=x에

대하여 대칭이동하면

R(2, 5)이다. ▶

따라서 선분 PQ를 밑변으로

하는 삼각형 PQR의 밑변의

길이는 PQÓ=4이고 높이는 5-2=3이므로

삼각형 PQR의 넓이는 ;2!;_4_3=6 ▶


점 Q와 점 R의 좌표 구하기 60 %

삼각형 PQR의 넓이 구하기 40 %

14 점 (x, y)에 대하여 [방법 1]을 a회 시행하여 평행이동한

점의 좌표는 (x-2a, y+a)

점 (x, y)에 대하여 [방법 2]를 b회 시행하여 평행이동

한 점의 좌표는 (x+3b, y-2b)

따라서 점 (0, 1)에 대하여 [방법 1]을 a회 시행하고 다

시 [방법 2]를 b회 시행하면

(0-2a+3b,　1+a-2b)

이 점이 점 (-2, 1)과 일치하므로

0-2a+3b=-2, 1+a-2b=1

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=2

따라서 a+b=4+2=6



15 원 xÛ`+yÛ`-6x-8y+20=0을 변형하면

(x-3)Û`+(y-4)Û`=5 …… ①

원 ①을 x축에 대하여 대칭이동하면

(x-3)Û`+(y+4)Û`=5

이 원이 직선 y=mx에 접하므로

|3m+4|1111123"ÃmÛ`+(-1)Û`

='5

양변을 제곱하여 정리하면

4mÛ`+24m+11=0

상수 m의 값은 위의 방정식의 두 근이므로 근과 계수의

관계에 의하여 그 합은 -6이다.

01 P(x, 0)이라 하면 APÓ Û`=BPÓ Û`에서

(x-2)Û`+4Û`=(x-6)Û`+8Û`, x=10

Q(0, y)라 하면 AQÓ Û`=BQÓ Û`에서

(y+4)Û`+2Û`=(y-8)Û`+6Û`, y=;;Á3¼;;

따라서 P(10, 0), Q{0, ;;Á3¼;;}이므로

PQÓ=¾Ð(0-10)Û`+{;;Á3¼;;-0}Û`= 10'1�0112533

02 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점 P의 좌표는

{ 3_4+2_(-1)13+2

, 3_(-8)+2_213+2

}

즉, (2, -4)

선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점 Q의 좌표는

{ 3_4-2_(-1)13-2

, 3_(-8)-2_213-2

}

즉, (14, -28)

01 ⑤ 02 ⑤ 03 ⑤ 04 ② 05 ④

06 ③ 07 ① 08 ③ 09 ② 10 ⑤

11 ③ 12 ④ 13 ③ 14 ① 15 ⑤

16 ③ 17 ② 18 ⑤ 19 288

20 (7, 3) 21 ;;Á2°;; 22 ;2$5(; 23 108 24 12

25 (x-6)Û`+(y-3)Û`=1


그러므로 선분 PQ의 중점 M의 좌표는

{ 2+1412

, -4-2812

}, 즉 (8, -16)

따라서 a=8, b=-16이므로 a+b=-8

03 꼭짓점 A(2, 4)를 제외한 다른 두 꼭짓점을 각각

B(xÁ, yÁ), C(xª, yª)라 하자.

무게중심 G의 좌표가 (4, -2)이므로

2+xÁ+xª1111243

=4, 4+yÁ+yª1111253

=-2

에서 xÁ+xª=10, yÁ+yª=-10

선분 BC의 중점 M의 좌표는

{ xÁ+xª12

, yÁ+yª12}, 즉 (5, -5)

정삼각형 ABC의 높이는

AMÓ="Ã(5-2)Û`+(-5-4)Û`='9�0=3'1�0 정삼각형의 성질에 의하여

BCÓ=21'3

AMÓ=2'3�0

따라서 정삼각형의 넓이는

;2!;_2'3�0_3'1�0=30'3

참고 한변의길이가a인정삼각형의높이는'312

a

04 직선 ax+y+b=0, 즉 y=-ax-b에서 기울기가 2

이므로 a=-2

또, 직선 y=2x-b가 점 (1, -3)을 지나므로

-3=2-b,　b=5

따라서 a+b=3

05 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리하면

(x-2y+3)k+(2x+3y-1)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

x-2y+3=0, 2x+3y-1=0

위의 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=1

따라서 점 P(-1, 1)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방

정식은

y-1=3(x+1), y=3x+4

이 직선의 x절편이 -;3$;, y절편이 4이므로

구하는 도형의 넓이는

;2!;_;3$;_4=;3*;



06 직선 AB의 기울기는

-3-51112a-2 =-

8112a-2

이므로 선분 AB의 수직이등분선의 기울기는 a-21128

선분 AB의 중점의 좌표는 { a+21122

, 1}이므로 선분 AB

의 수직이등분선의 방정식은

y= a-21128

{x- a+21122}+1

이 직선이 원점을 지나므로

0= a-21128

_{- a+21122}+1

(a-2)(a+2)=16, aÛ`=20, a=Ñ2'5 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 -20이다.

07 kx-y+2k+2=0에서

k(x+2)-(y-2)=0 …… ①

이므로 직선 ①은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-2, 2)

를 지난다.

직선 ①이 직선 2x+y-4=0과 제1사분면에서 만나도

록 움직여 보면

Ú 직선 ①이 점 (2, 0)

을 지날 때,

4k+2=0

k=-;2!;

Û 직선 ①이 점 (0, 4)

를 지날 때,

2k-2=0,　k=1

Ú, Û에서 직선 ①과 직선 2x+y-4=0이 제1사분면

에서 만나도록 하는 k의 값의 범위는 -;2!;<k<1

따라서 a=-;2!;, b=1이므로 a+b=;2!;

08 두 직선 y=;k@;x+k, y=(k+1)x+kÛ`에서

ㄱ. k=1일 때, 두 직선은 y=2x+1로 일치한다.

ㄴ. ;k@;(k+1)=-1을 만족시키는 k의 값은 k=-;3@;

로 유일하다.

ㄷ. ;k@;=(k+1), k+k Û`을 만족시키는 k의 값은 -2

로 유일하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

09 원점과 직선 (k+4)x+(k-1)y+4=0 사이의 거리

를 f(k)라 하면

f(k)=|4|1

"Ã(k+4)Û`+(k-1)Û`=

41"Ã2kÛ`+6k+17

f(k)=41

¾Ð2{k+;2#;}Û`+;;ª2°;;

이때 2{k+;2#;}Û`+;;ª2°;;의 최솟값은 k=-;2#;일 때

;;ª2°;;이므로 f(k)의 최댓값은 k=-;2#;일 때

f {-;2#;}= 41¾Ð;;ª2°;;

= 4'2115

10 xÛ`+yÛ`-2kx-6y+2k-3=0에서

(x-k)Û`+(y-3)Û`=kÛ`-2k+12

반지름의 길이가 6이므로

kÛ`-2k+12=36,　(k+4)(k-6)=0

k=-4 또는 k=6

따라서 모든 실수 k의 값의 합은 2이다.

11 xÛ`+yÛ`-6x-6y-7=0에서

(x-3)Û`+(y-3)Û`=5Û`

원의 중심을 C(3, 3), 직선

y=x+k와 원의 교점을 각각

A, B라 할 때, 선분 AB의 중

점을 M이라 하면 직각삼각형

AMC에서

AMÓ Û`+CMÓ Û`=ACÓ Û`

4Û`+CMÓ Û`=5Û`,　CMÓ Û`=9,　CMÓ=3

따라서 원의 중심 C(3, 3)과 직선 y=x+k, 즉

x-y+k=0 사이의 거리는 3이므로

|k|124'2=3, k=Ñ3'2

이때 k는 양수이므로 k=3'2

12 x+2y-3=0에 평행한 직선의 방정식을

x+2y+k=0이라 할 때, 이 직선은 원 xÛ`+yÛ`=16에

접하므로 원의 중심인 점 (0, 0)과 직선 x+2y+k=0

사이의 거리는 4이다.

|k|51"Ã1Û`+2Û`

=4, k=Ñ4'5



즉, 원에 접하는 두 직선의 방정식은

x+2y+4'5=0,　x+2y-4'5=0

이므로 이 두 직선이 x축과 만나는 점의 좌표는

(-4'5, 0), (4'5, 0) 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 8'5

13 xÛ`+yÛ`+6x-2y=0에서

(x+3)Û`+(y-1)Û`=10

원의 중심을 C라 하면

C(-3, 1)

점 A에서 원에 그은 두 접선의

접점을 각각 P, Q라 하고 선분 AC와 선분 PQ의 교점을

B라 하면

PCÓ='1�0 ACÓ ="Ã(-3-3)Û`+(1-3)Û`=2'§10

PAÓ=¿¹ACÓ Û`-PCÓ Û`='§30 삼각형 PAC에서

PAÓ_PCÓ=ACÓ_PBÓ

'§30_'§10=2'§10_PBÓ, PBÓ= '3�0112

PBÓ=QBÓ이므로 PQÓ=2PBÓ='3�0

14 원 x Û`+(y-4)Û`=9의 넓이를 이등분하는 직선은 원의

중심인 점 (0, 4)를 지나야 한다.

점 (0, 4)를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식

y=mx+4, 즉 mx-y+4=0이 원 xÛ +yÛ =4에 접할

때, 원점과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 2와

같으므로

|4|"ÃmÛ`+(-1)Û``

=2, m=Ñ'3

따라서 두 직선의 방정식은

y='3x+4, y=-'3x+4

이 두 직선의 x절편이 각각 - 4'3113

, 4'3113

이고 y절편은

4이므로 구하는 삼각형의 넓이는

;2!;_[ 4'3113

-{- 4'3113}]_4= 16'3112

3

15 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=4의 중심을 CÁ(1, -2),

원 (x+2)Û`+(y-2)Û`=1의 중심을 Cª(-2, 2)라 하

면 두 원의 중심 사이의 거리는

CÁCªÓ="Ã(-2-1)Û`+{2-(-2)}Û`=5

PQÓ의 길이의 최댓값 M은

M=CÁCªÓ+2+1=8

PQÓ의 길이의 최솟값 m은

m=CÁCªÓ-2-1=2

따라서 Mm=16

16 점 A(3, 6)을 직선 y=x

에 대하여 대칭이동한 점을

A'이라 하면

A'(6, 3) 점 A(3, 6)을 y축에 대하

여 대칭이동한 점을 A"이라 하면 A"(-3, 6)

AB Ó=A'B Ó, CA Ó=CA" Ó이므로 삼각형 ABC의 둘레

의 길이는

ABÓ+BCÓ+CAÓ=A'BÓ+BCÓ+CA"Ó ¾A'A"Ó ="Ã(-3-6)Û`+(6-3)Û`

=3'1�0 따라서 구하는 삼각형 ABC의 둘레의 길이의 최솟값은

3'1�0이다.

17 앞면이 6회 나오고 뒷면이 2회 나오면 점 P(2, -2)를

x축의 방향으로 6-2=4만큼, y축의 방향으로

-6+2_2=-2만큼 평행이동하므로 점 Q의 좌표는

(2+4, -2-2), 즉 (6, -4)

따라서 선분 PQ의 길이는

"Ã(6-2)Û`+{(-4-(-2)}Û`=2'5

18 점 P(4, -2)를 x축에 대하여 대칭이동한 점은

Q(4, 2)

점 Q(4, 2)를 직선 y=x에 대

하여 대칭이동한 점은

R(2, 4)

점 R(2, 4)를 y축에 대하여 대

칭이동한 점은

S(-2, 4)

두 직선 PQ와 RS의 교점을 T라 하면 T(4, 4)

�PQRS=△PST-△QRT

=;2!;_6_6-;2!;_2_2

=18-2=16



19 B(-2, 2), D(4, 8)을 지나는 직선의 방정식은

y-2=8-211112

4-(-2)(x+2), 즉 y=x+4

점 A, B, C, D, E가 직선 y=x+4 위에 있으므로

A(a, a+4), C(c, c+4)라 하자.

점 B는 선분 AC의 중점이므로

a+c1122

=-2, a+c=-4 …… ①

점 C는 선분 AD를 4`:`1로 내분하는 점이므로

4_4+1_a1111124+1

=c

4_8+1_(a+4)111111114+1

=c+4

에서 a-5c=-16 …… ②

①, ②를 연립하여 풀면 a=-6, c=2

즉, A(-6, -2),　C(2, 6)

이때 점 E는 선분 CD를 2`:`1로 외분하는 점이므로

E{ 2_4-1_21111122-1

, 2_8-1_611111252-1

}, 즉 E(6, 10)

따라서 AEÓ Û`=(6+6)Û`+(10+2)Û`=288

다른 풀이 점 A, B, C, D, E가 한 직선 위에 있으므로

조건을 만족시키도록 직선 l 위에 나타내면 다음과 같다.

BDÓ="Ã{4-(-2)}Û`+(8-2)Û`=6'2 AEÓ=2BDÓ=12'2이므로 AEÓ Û`=288

20 삼각형 ABC의 세 꼭짓점을 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª),

C(x£, y£)이라 하면

ABÓ를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표가 (10, 8)이므로

xª+2xÁ111233

=10, yª+2yÁ111243

=8

에서

2xÁ+xª=30, 2yÁ+yª=24 …… ① ▶

BCÓ를 1`:`3으로 내분하는 점의 좌표가 (6, -2)이므로

x£+3xª111234

=6, y£+3yª111234

=-2

에서

3xª+x£=24, 3yª+y£=-8 …… ② ▶

CAÓ를 2`:`3으로 내분하는 점의 좌표가 (6, 4)이므로

2xÁ+3x£111155

=6, 2yÁ+3y£111155

=4

에서

3x£+2xÁ=30, 3y£+2yÁ=20 …… ③ ▶ 다

①, ②, ③을 각각 더하여 정리하면

xÁ+xª+x£=21, yÁ+yª+y£=9

따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

{ xÁ+xª+x£1111143

, yÁ+yª+y£111113

}, 즉 (7, 3) ▶ 라


ABÓ를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표를 이용하여

식 세우기1점

BCÓ를 1`:`3으로 내분하는 점의 좌표를 이용하

여 식 세우기1점

CAÓ를 2`:`3으로 내분하는 점의 좌표를 이용하

여 식 세우기1점

삼각형 ABC의 무게중심의 좌표 구하기 2점

21 직선 y=2x+1위의 점 P의 좌표를 (t, 2t+1)이라 하면

PAÓ Û`=PBÓ Û`

(t-2)Û`+(2t+2)Û`=(t-3)Û`+(2t+3)Û`

2t=-10, t=-5

이므로 P(-5, -9) ▶

선분 AB의 중점 M의 좌표는

{ 2+31122

, -1-211132}, 즉 {;2%;, -;2#;}

삼각형 ABP는 이등변삼각형이므로 AB Ó를 밑변으로 하

면 높이는 PM Ó의 길이와 같다.

ABÓ="Ã(3-2)Û`+{-2-(-1)Û`}='2

PMÓ=¾[;2%;-(-5)]2`+[-;2#;-(-9)]2`

` = 15'211242

▶

따라서 삼각형 ABP의 넓이는

;2!;_'2_ 15'211242

=;;Á2°;; ▶ 다


점 P의 좌표 구하기 2점

삼각형 ABP의 밑변의 길이와 높이 구하기 1점

삼각형 ABP의 넓이 구하기 1점

22 A(a, 0)이라 하면 APÓ=AQÓ이므로

|4a-3|"Ã4Û`+(-3)Û`

=|3a-4|"Ã3Û`+(-4)Û`

|4a-3|=|3a-4|

4a-3=3a-4 또는 4a-3=-3a+4

a=-1 또는 a=1



Ú a=-1일 때, APÓ_AQÓ={;5&;}Û`=;2$5(;

Û a=1일 때, APÓ_AQÓ={;5!;}Û`=;2Á5;

Ú, Û에서 APÓ_AQÓ의 최댓값은 ;2$5(;

23 직선 y=ax+b가 이차함수 y=2xÛ 의 그래프에 접하므로

이차방정식 2xÛ`-ax-b=0의 판별식을 D라 하면

D=aÛ`+8b=0, aÛ`=-8b …… ①

직선 y=ax+b가 원 xÛ +(y+2)Û =2Û 에 접하므로 원의

중심인 점 (0, -2)와 직선 ax-y+b=0 사이의 거리가

원의 반지름의 길이 2와 같다. 즉,

|2+b|"ÃaÛ`+(-1Û`)`

=2

bÛ`+4b+4=4aÛ`+4 …… ②

①을 ②에 대입하여 정리하면

bÛ`+4b+32b=0

b(b+36)=0

이때 b<0이므로 b=-36

따라서 aÛ`+5b=-8b+5b=-3b=108

24 원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 중심과 직선

3x+4y+12=0 사이의 거리는 반지름의 길이와 같다.

Ú 원의 중심이 (r, r)일 때,

|3r+4r+12|"Ã3Û`+4Û``

=r, |7r+12|=5r


rÛ`+7r+6=0, (r+1)(r+6)=0

그런데 r>0이므로 조건을 만족시키는 r는 존재하지

않는다. ▶

Û 원의 중심이 (-r, r)일 때,

|-3r+4r+12|"Ã3Û`+4Û``

=r, |r+12|=5r


rÛ`-r-6=0, (r-3)(r+2)=0

이때 r>0이므로 r=3 ▶

Ü 원의 중심이 (-r, -r)일 때,

|-3r-4r+12|"Ã3Û`+4Û``

=r, |-7r+12|=5r


rÛ`-7r+6=0, (r-1)(r-6)=0

따라서 r=1 또는 r=6 ▶ 다

Ý 원의 중심이 (r, -r)일 때,

|3r-4r+12|"Ã3Û`+4Û``

=r, |-r+12|=5r


rÛ`+r-6=0, (r+3)(r-2)=0

이때 r>0이므로 r=2 ▶ 라

이상에서 모든 원의 반지름의 길이의 합은

3+1+6+2=12 ▶ 마


원의 중심이 제1사분면에 있을 때 반지름의 길

이 구하기1점


이 구하기1점


이 구하기1점


이 구하기1점

모든 원의 반지름의 길이의 합 구하기 1점

25 원의 중심 (2, 1)을 직선 2x+y-10=0에 대하여 대

칭이동한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 선분의 중점

{ 2+a1122

, 1+b1122}가 직선 2x+y-10=0 위에 있으므로

2_ 2+a1122

+ 1+b1122

-10=0

2a+b=15 yy ① ▶

또, 선분을 포함하는 직선이 직선 2x+y-10=0과 수

직이므로 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.

b-1112a-2

_(-2)=-1

a-2b=0 yy ② ▶

①, ②를 연립하여 풀면

a=6, b=3

따라서 대칭이동한 원의 중심은 (6, 3)이다. ▶ 다

이 원의 반지름의 길이는 1이므로 구하는 원의 방정식은

(x-6)Û`+(y-3)Û`=1 ▶ 라


점을 직선에 대하여 대칭이동한 점과 그 점의

중점이 직선 위에 있음을 이용하여 식 세우기1점

점을 직선에 대하여 대칭이동한 점과 그 점을

이은 선분이 직선에 수직임을 이용하여 식 세우기1점

직선에 대하여 대칭이동한 원의 중심 구하기 1점

직선에 대하여 대칭이동한 원의 방정식 구하기 2점



01④ 따뜻하다의기준이명확하지않아서그대상을분명하

게정할수없으므로집합이아니다.

02 A={1,2,3,4,6,8,12,24}이므로

①4<A ②5²A ③8<A

④9²A ⑤24<A

따라서옳은것은①이다.

03②xÛ`+3x+2=0, (x+1)(x+2)=0

x=-1또는x=-2

따라서집합{x|xÛ`+3x+2=0}은집합

{-1,-2}와서로같은집합이다.

04 집합A={a,b,c,d}의부분집합의개수는 2Ý`=16

이중에서진부분집합의개수는 16-1=15

05 A,X,B를만족시키는집합X는{b,c,e}의부분

집합에원소a,d를포함시킨것과같으므로그개수는

{b,c,e}의부분집합의개수인 2Ü`=8

06 A의부분집합중B와서로소인것은원소2,6을포함하

지않으므로{4,8}의부분집합이다. ▶

따라서구하는집합의개수는 2Û`=4 ▶


A의 부분집합 중 B와 서로소인 것 구하기 60 %

주어진 조건을 만족시키는 집합의 개수 구하기 40 %

07④B-A+B

08 {(A;B)'(A;B� )};{(C'B);(C'B� )}

={A;(B'B�` )};{C'(B;B�` )}

=(A;U);(C' )}

=A;C

09 A={2,3,5,7}이므로 A-B={2,5}

따라서구하는원소의합은 2+5=7

10① ② ③

④ ⑤

따라서주어진벤다이어그램이나타내는집합과같은것

은①이다.

11 U={2,3,5,7}이므로 A=(A�` )�`={2,3,5}

A'B=U이므로7<B이고

(A;B)�` ={2,7}이므로 A;B={3,5}

따라서B는3,5,7을포함하는데,B=U이면

A;B=A={2,3,5}이므로조건을만족시키지않는다.

즉,B+U이고,B={3,5,7}이므로 A-B={2}

12 n((A'B)�` )=n(A�`;B�` )=10이므로

n(A'B)=n(U)-n((A'B)�` )

=32-10=22

따라서

n(A)+n(B)=n(A'B)+n(A;B)

=22+7=29

13 학생전체의집합을U,의료봉사를한학생과사무봉사

를한학생의집합을각각A,B라하면의료봉사와사무

봉사중어느것도하지않은학생의집합은A� ;B� 이다.

n(U)=32, n(A)=14, n(B)=10,

n(A-B)=8

이므로

n(A;B)=n(A)-n(A-B)

=14-8=6

따라서

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

=14+10-6=18

이므로

n(A�` ;B�` )=n((A'B)�` )

=32-18=14

따라서구하는학생수는14이다.

집합과 명제IV

01 ④ 02 ① 03 ② 04 ④ 05 ③

06 4 07 ④ 08 ⑤ 09 ⑤ 10 ①

11 {2} 12 29 13 14 14 2 15 7


1 집합

[086-089]고등수학 자습서 Book2-4단원정답(육).indd 86 2017-11-21 오전 9:49:19

Ⅳ. 집합과 명제 87

14 A,B이면a<B이므로a는2,a+1,aÛ`중어느하나

와같아야한다.그런데a+a+1이므로

a=2또는a=aÛ` ▶

Úa=2이면A={2,4},B={2,3,4}이므로

A,B

Ûa=aÛ`이면 a=0또는a=1

a=0일때,A={0,2},B={0,1,2}이므로

A,B

a=1일때,A={1,3},B={1,2}이므로

AøB ▶

Ú,Û에서A,B이기위한모든실수a의합은

2+0=2 ▶


A,B이기 위한 조건 찾기 40 %

a의 값 구하기 40 %

모든 실수 a의 값의 합 구하기 20 %

15 벤다이어그램에서색칠한부분이나타내는집합은

A-B ▶

n((A'B)�` )=12이므로

n(A'B)=n(U)-n((A'B)�` )

=46-12=34 ▶

따라서

n(A-B)=n(A'B)-n(B)

=34-27=7 ▶


색칠한 부분을 집합으로 나타내기 40 %

n(A'B)의 값 구하기 40 %

색칠한 부분이 나타내는 집합의 원소의 개수 구

하기20 %

01③참인지거짓인지판별할수없으므로명제가아니다.

01 ③ 02 ④ 03 6 04 ② 05 ③

06 6 07 ① 08 ⑤ 09 ④ 10 ①

11 ④ 12 5 13 ③ 14 6 15 3


2 명제

02 명제의부정이참이려면그명제가거짓이어야한다.

④2는소수이지만홀수가아니다.

따라서주어진명제가거짓이므로그부정은참이다.

03 xÛ`-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0

따라서 x=1또는x=5

즉,조건p의진리집합은{1,5}이고그원소의합은

1+5=6

04 조건p의진리집합P는 xÛ`-12x+20É0

(x-2)(x-10)É0

2ÉxÉ10

에서 P={2,3,4,5,y,10}

이므로

P;Q�` =P-Q={4,6,8,9,10}

따라서구하는원소의개수는5이다.

05 p1Ú~q가참이려면P,Q�` 이어야하므로

③P;Q=

06 ‘p:`a<x<a+3’,‘q:`-3<x<5’ 라하자.

주어진명제가참이되려면조건p의진리집합이조건q

의진리집합에포함되어야한다.

따라서a¾-3,a+3É5이어야한다. ▶

즉,-3ÉaÉ2이므로정수a는-3,-2,-1,0,1,

2의6개이다. ▶


명제가 참이 될 조건 구하기 60 %

정수 a의 개수 구하기 40 %

07①x=Ñ'3일때 xÛ`=3

따라서참인명제는①이다.

08 주어진명제의부정은 ⑤어떤정사각형은마름모가아니다.

이다.



09 ㄱ.역:x=1이면xÛ`-3x+2=0이다.(참)

ㄴ.역:aÛ`=bÛ`이면a=b이다.(거짓)

[반례]a=2,b=-2이면aÛ`=bÛ`이지만a+b이

다.

ㄷ.역:A'B=B이면A,B이다.(참)

10 명제~r24Úq가참이므로그대우③~q24Úr도참이다.

또,명제p24Ú~q가참이므로②p24Úr와그대우⑤~r24Ú~p도참이다.

명제p24Ú~q의대우④q24Ú~p도역시참이다.

따라서항상참이라할수없는것은①이다.

11 pjjK~q,rjjKq이므로qjjK~p,~qjjK~r

이다.

또,pjjK~r,rjjK~p이므로옳은것은④이다.

12 pjjKq이려면x=3일때xÛ`-ax+6=0이성립해야

하므로

3Û`-3a+6=0, 3a=15, a=5

13 ㄱ.aÛ`+bÛ`-ab=(a-b)Û`+ab¾0이므로

aÛ`+bÛ`¾ab

ㄴ.('a+'b)Û`-('¶a+b)Û`=2'§ab¾0이므로

'a+'b¾'¶a+b

ㄷ.a=b=1일때,1

1+1 <;1!;+;1!;이므로

주어진부등식은항상성립하지는않는다.

따라서항상성립하는부등식인것은ㄱ,ㄴ이다.

14 세조건p,q,r의진리집합을각각P,Q,R라하면

P={x|aÉxÉb}

Q={x|-3ÉxÉ3}

R={x|xÛ`-3x+2É0}

={x|(x-1)(x-2)É0}

={x|1ÉxÉ2}

이때pjjKq,rjjKp이므로 R,P,Q

따라서-3ÉaÉ1,2ÉbÉ3이어야한다.

b-a가최댓값을갖는것은b=3,a=-3일때이므로

구하는최댓값은 3-(-3)=6

01④모든실수에대하여xÛ`+x+1>0이므로

xÛ`+x+1=0을만족시키는실수는없다.

02 B는A'B={1,2,3,6,9,18}의부분집합이고,

A={2,3,6}과서로소이므로 B={1,9,18}

따라서집합B의모든원소의합은 1+9+18=28

03 A={1,2,4,8,16}에서2는포함하고8은포함하지

않는부분집합은{1,4,16}의부분집합에2를포함시킨

것과같으므로그개수는{1,4,16}의부분집합의개수인

2Ü`=8

04 B={1,2,3,4,6,12},C={1,2,3,6}이므로

A,C,B

01 ④ 02 ⑤ 03 ③ 04 ② 05 ④

06 ① 07 ④ 08 ③ 09 ⑤ 10 ②

11 ⑤ 12 ① 13 ② 14 ③ 15 ①

16 ④ 17 ② 18 4 19 6 20 14

21 9 22 15 23 6 24 12

25 풀이 참조


15 a>1에서a-1>0이므로산술평균과기하평균의관계

에의하여

a-1+ 4a-1

¾¾(a-1)_ 4a-1

=2 ▶

즉,a-1+ 4a-1

의최솟값은2이고등호는

a-1= b-1112a-2

,즉a=3일때성립한다. ▶

따라서a+ 4a-1

=1+{a-1+ 4a-1

}의최솟값은

1+2=3 ▶


산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 식 세우기 40 %

a-1+ 4a-1

의 최솟값 구하기 40 %

a+ 4a-1

의 최솟값 구하기 20 %


Ⅳ. 집합과 명제 89

이므로 Q�` ,P

따라서명제~q24Úp는항상참이다.

12①x=5이면x+5=10이므로

‘모든x에대하여x+5<10이다.’는거짓이다.

13 P;Q= 이므로P,Q�` 이다.

따라서명제p2Ú~q가참이다.

14 주어진명제의대우는‘BøA이면A'B+A이다.’이

고주어진명제가참이므로대우는참인명제이다.

15 A-B= 이기위해서는A의모든원소가B에속해

야하므로 A,B

16 두조건p,q의진리집합을각각P,Q라하면

P={x|-2ÉxÉa-2}

Q={x|-1ÉxÉ5}

qjjKp이려면Q,P이어야하므로

따라서5Éa-2,a¾7이므로a의최솟값은7이다.

17② aa+1

- bb+1

= ab+a-ab-b(a+1)(b+1)

= a-b(a+1)(b+1)

>0

이므로 a

a+1 >b

b+1

18 A={1,2,4,5,10,20},B={1,2,5,10} ▶

B,C,A가성립하려면C는집합B의원소를모두

포함하고집합A의부분집합이어야한다. ▶

따라서C의개수는{4,20}의부분집합의개수와같으

므로 2Û`=4 ▶


두 집합 A, B 구하기 1점

집합 C의 조건 알기 2점

집합 C의 개수 구하기 1점

05 C=A-B={5,7,9}이므로 {5,9},C

따라서옳은것은④이다.

06 A-B=A이므로A의원소중B에속하는것은없다.

따라서 A;B=

07 (A;C)'(B;C)

=(A'B);C

={1,2,3,4,5,6};{2,3,5,7}

={2,3,5}

08 n((A;B)�` )=n(A�` 'B�` )=19이므로

n(A;B)=n(U)-n((A;B)�` )

=23-19=4

이다.그런데n(B-A)=7이므로

n(B)=n(A;B)+n(B-A)

=4+7=11

09 요리학원학생전체의집합을U,한식과양식조리사

자격을획득한학생의집합을각각A,B라하면두가지

자격중어느것도획득하지못한학생의집합은

A� ;B� 이다.

n(U)=32, n(A)=17,

n(A;B)=12, n(B-A)=6

에서

n(B)=n(A;B)+n(B-A)=12+6=18

이므로

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

=17+18-12=23

이고,

n(A�` ;B�` )=n((A'B)�` )

=n(U)-n(A'B)

=32-23=9

따라서구하는학생수는9이다.

10②[반례]'2+(-'2)=0이므로무리수의합이유리

수,즉무리수가아니다.

11 (P;Q�` )'(P'Q)�` =(P;Q�` )'(P�` ;Q�` )

=(P'P�` );Q�`

=U;Q�` =Q�`


Ⅴ. 함수 91

01 f(1)=g(1)에서 a+b=1yy① f(2)=g(2)에서 2a+b=3 yy② ①,②를연립하여풀면 a=2,b=-1

따라서 ab=-2

02 f(x)=2x+b가일대일대응이므로치역과공역이같다.

또,직선y=f(x)의기울기가양수이므로

f(-1)=-2+b=0 yy① f(2)=4+b=a yy② ①,②에서 a=6,b=2

따라서 a+b=8

03 g(2)=3_2-1=5이므로

(fç g)(2)=f(g(2))=f(5)

=(-2)_5+1=-9

04 (g ç f )(3)=g( f(3))=g(-1)

=-3+a=-2

에서 a=1

따라서g(x)=3x+1이므로

(fç g)(3)=f(g(3))=f(10)

=10-4=6

05 f(1)=4이고f는일대일대응이므로f(2)의값은5,6

중하나이다.f(2)=6이라하면

(g ç f)(2)=g( f(2))=g(6)=9

그런데(g ç f)(2)=7이어야하므로모순이다.

따라서 f(2)=5,f(3)=6� ▶

(g ç f)(2)=g(f(2))=g(5)=7이므로

g(4)=8� ▶

즉,f(2)+g(4)=5+8=13� ▶


f(2), f(3)의 값 구하기 40 %

g(4)의 값 구하기 40 %

f(2)+g(4)의 값 구하기 20 %

06 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1이므로

fÛ`(1)=f(f(1))=f(2)=3

fÛ`(2)=f(f(2))=f(3)=1

fÛ`(3)=f(f(3))=f(1)=2

또,fÜ`(1)=f(fÛ`(1))=f(3)=1

fÜ`(2)=f(fÛ`(2))=f(1)=2

fÜ`(3)=f(fÛ`(3))=f(2)=3

즉,fÜ`=I(항등함수)이므로

fÛ`â`Ú` ¡`(2)=fÛ`(2)=1

fÛ`â`Ú`á`(3)=fÜ`(3)=3

따라서 fÛ`â`Ú` ¡`(2)+fÛ`â`Ú`á`(3)=4

07 fÑÚ`(5)=a라하면f(a)=5이므로

2a-3=5, a=4

따라서 fÑÚ`(5)=4

08 (fç f)(1)+fÑÚ`(3)=f(f(1))+2

=f(2)+2

=3+2=5

09 함수f(x)=ax+b의그래프가점(1,3)을지나므로

f(1)=a+b=3 yy①� ▶

역함수의그래프가점(1,3)을지나므로f(x)=ax+b

의그래프는점(3,1)을지난다.

f(3)=3a+b=1 yy②� ▶

①,②를연립하여풀면 a=-1,b=4

따라서f(x)=-x+4이므로

f(-2)=-(-2)+4=6� ▶


f(1)=3임을 이용하여 식 세우기 40 %

f(3)=1임을 이용하여 식 세우기 40 %

f(-2)의 값 구하기 20 %

10 g(1)=2+3=5이므로

(gÑÚ` ç f)ÑÚ`(1)=(fÑÚ` ç g)(1)=fÑÚ`(g(1))=fÑÚ`(5)=a

함수V

01 ② 02 ④ 03 ① 04 ⑤ 05 13

06 4 07 4 08 ③ 09 6 10 15

11 -10 12 ⑤ 13 2 14 5


1 함수



즉,f(a)=5

f(a)=a-10=5에서 a=15

따라서 (gÑÚ`çf)ÑÚ`(1)=15

11 fÑÚ`(1)=2에서f(2)=1이므로

2a+b=1 yy① (fç f)(2)=f(f(2))=f(1)=3이므로

a+b=3yy② ①,②를연립하여풀면 a=-2,b=5

따라서 ab=-10

12 함수y=[(k+2)x-1 (x¾2)

(k-2)x+7 (x<2)의역함수가존재하

려면일대일대응이되어야하므로x¾2,x<2에서의두

직선의기울기의부호가같아야한다.

즉,(k+2)(k-2)>0이어야하므로

k<-2또는k>2

따라서역함수가존재하지않도록하는정수k의값의범

위는-2ÉkÉ2이므로정수k는-2,-1,0,1,2의

5개이다.

13 집합X={x|xÛ`-x-6É0}에서

xÛ`-x-6É0, (x+2)(x-3)É0

이므로 -2ÉxÉ3

즉,X={x|-2ÉxÉ3} yy① 조건㈎로부터X;Y={x|1ÉxÉb}이므로x=1

은이차방정식xÛ`+ax+8=0의근이다.

1+a+8=0에서 a=-9

집합Y={x|xÛ`-9x+8É0}에서

xÛ`-9x+8É0, (x-1)(x-8)É0

이므로 1ÉxÉ8

즉,Y={x|1ÉxÉ8} yy② ①,②에서X;Y={x|1ÉxÉ3}이므로

b=3

함수f는일대일대응이고조건㈐를만족시켜야하므로

f(-2)=1,f(3)=8

따라서 a+b+f(3)=-9+3+8=2

14 함수y=f(x)의그래프와역함수y=fÑ Ú`(x)의그래프

는직선y=x에대하여대칭이므로방정식

f(x)=fÑ Ú`(x)의실근은방정식f(x)=x의실근과같

다.

01 2x-1

- 32xÛ`-x-1

=2

x-1 -3

(x-1)(2x+1)

=2(2x+1)-3

(x-1)(2x+1)=

4x-1(x-1)(2x+1)

따라서a=4,b=-1이므로 a+b=3

02 f(x)= ax+1x+b

= a(x+b)-ab+1x+b

=-ab+1

x+b +a

이때함수f(x)의그래프의점근선이두직선

x=-b,y=a이므로 a=3,b=-2

따라서f(x)=3x+1x-2

이므로 f(3)=10

다른 풀이 주어진함수의그래프의점근선이두직선

x=2,y=3이므로 y=k

x-2 +3(k+0)

y=k

x-2 +3=3x-6+k

x-2이므로

a=3,b=-2

-6+k=1에서 k=7

따라서f(x)=3x+1x-2

이므로 f(3)=10

01 ② 02 10 03 ③ 04 ① 05 ②

06 '6 07 ④ 08 ① 09 4 10 9

11 ;2#; 12 ② 13 ;2!; 14 6


2 유리함수와 무리함수

x¾2일때,

xÛ`-4x+6=x,　xÛ`-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0, x=2또는x=3

따라서방정식f(x)=fÑ Ú`(x)의실근은2와3이고,그

합은5이다.

다른 풀이 방정식f(x)=fÑÚ`(x)의실근은방정식

f(x)=x의실근과같으므로실근의합도같다.따라서

이차방정식x Û`-5x+6=0에서근과계수의관계로부

터두실근의합은5이다.


Ⅴ. 함수 93

03 y=3x-2x-a

를x에대하여풀면 x=ay-2y-3

x와y를서로바꾸면역함수는 y=ax-2x-3

두함수y=3x-2x-a

,y=ax-2x-3

의그래프가일치하므로

a=3

04 y= -3x+5x-1

= -3(x-1)+2x-1

= 2x-1

-3

이므로함수y= 2x의그래프를x축의방향으로1만큼,

y축의방향으로-3만큼평행이동하면함수

y=-3x+5

x-1의그래프와일치한다.

따라서a=1,b=-3이므로

a+b=-2

05 주어진함수의그래프의점근선이두직선x=1,y=2

이므로 y=k

x-1+2(k+0)

이그래프가점(2,0)을지나므로

0=k+2에서 k=-2

즉,y=-2x-1+2=

2x-4x-1

이므로

a=2,b=-4,c=-1

따라서 a+b+c=-3

06 점P의x좌표를t라하면 P{t,t-2t+1 }

APÓ‌‌=¾(t+1)Û`+{ t-2t+1-1}Û`

=¾(t+1)Û`+9

(t+1)Û`� ▶

그런데(t+1)Û`>0,9

(t+1)Û`>0이므로

산술평균과기하평균의관계에의하여

APÓ‌Û`=(t+1)Û`+9

(t+1)Û`

¾2¾(t+1)Û`_9

(t+1)Û`

=6� ▶

여기서등호는(t+1)Û`=9

(t+1)Û`,즉t=-1Ñ'3일

때성립한다.

따라서APÓ¾'6이므로최솟값은'6이다.� ▶


APÓ의 길이의 식 세우기 40 %

APÓÛ`의 값의 범위 구하기 40 %

APÓ의 최솟값 구하기 20 %

07= 1'¶x+1+'x

+ 1'¶x+1-'x

=('¶x+1)-'x)+('¶x+1)+'x)

('¶x+1+'x)('¶x+1-'x)

= 2'¶x+1(x+1)-x

=2'¶x+1

따라서x=15일때구하는값은 2_4=8

08 함수y='Ä-x+2의그래프를x축의방향으로2만큼,

y축의방향으로m만큼평행이동하면

y='Ä-(x-2)+2+m='Ä-x+4+m

이함수의그래프가원점을지나므로

0=2+m에서 m=-2

09 y='Ä-2x+7+a

=®É-2{x-72 }+a

-1ÉxÉ3에서주어진함수는

x=3일때,최솟값2를가지므로

2=1+a, a=1

따라서y='Ä-2x+7+1이므로주어진함수의최댓값

은x=-1일때 3+1=4

10 함수y='Äax+b의역함수의그래프가두점(2,0),

(7,9)를지나므로함수y='Äax+b의그래프는두점

(0,2),(9,7)을지난다.

2='b에서 b=4

7='Ä9a+4에서 9a+4=49, a=5

따라서 a+b=9

11 n(A;B)=2이므로함수y='Ä-2x+3의그래프와

직선y=-x+k는서로다른두점에서만난다. ▶



앞의그림과같이직선y=-x+k가점A{ 32 ,0}을

지날때k의값이최소이므로

0=-;2#;+k에서 k=;2#;

따라서실수k의최솟값은;2#;이다.� ▶


n(A;B)=2임을 이용하여 함수의 그래프와

직선의 교점의 개수 구하기40 %

점 A{ 32

, 0}을 지날 때 k의 값이 최소임을 이

용하여 k의 최솟값 구하기

60 %

12 주어진함수의그래프는함수y='§ax(a<0)의그래프

를x축으로2만큼,y축으로2만큼평행이동한것이므로

y='Äax+b+c=!%a(x-2)+2

이함수의그래프가점(0,4)를지나므로

4='¶-2a+2,　a=-2

따라서y="Ã-2(x-2)+2='Ä-2x+4+2이므로

b=4,c=2

함수y=4x+2x-2 =

4(x-2)+10x-2

=10

x-2 +4의그

래프의점근선은두직선x=2,y=4이다.

이때직선y=-x+k가점(2,4)를지나야하므로

4=-2+k, k=6

13 함수f(x)= x-1x 에대하여

함수fÛ`(x)=f(f(x))=

x-1x

-1

x-1x

=-1

x-1

함수fÜ`(x)=f(fÛ`(x))=-

1x-1

-1

-1

x-1

=x

이므로

f(x)=fÝ`(x)=fà`(x)=y fÛ`(x)=fÞ`(x)=f¡`(x)=y fÜ`(x)=fß`(x)=fá`(x)=y 즉,fÜ`=I(항등함수)이므로

따라서 fÛ`â`(-1)=fÛ`(-1)=-1

-1-1=;2!;

14 y='¶x+1+1을x에대하여풀면

x=(y-1)Û`-1(y¾1)

x와y를서로바꾸면역함수는

y=(x-1)Û`-1(x¾1)

함수y=f(x)의그래프와역함수y=fÑ Ú`(x)의그래프

의교점은역함수y=fÑ Ú`(x)의그래프와직선y=x의

교점과같다.

따라서

(x-1)Û`-1=x,　xÛ`-3x=0

x(x-3)=0, x=0또는x=3

그런데x¾1이므로 x=3

즉,교점의좌표는(3,3)이므로 a+b=6

01 ④ 02 ③ 03 ⑤ 04 ① 05 ③

06 ① 07 ② 08 ② 09 ① 10 ③

11 ③ 12 ⑤ 13 ① 14 ② 15 ③

16 ② 17 ④ 18 7 19 15 20 8

21 5 22 9 23 32 24 13

25 -1Ék<-;4#;


01④f(x)=xÛ`-1에서f(0)=-1²Y이므로

f(x)=xÛ`-1은X에서Y로의함수가아니다.

02 직선y=ax-1은항상

점(0,-1)을지나므로

정의역이 {x|1ÉxÉ3},

공역이 {y|0ÉyÉ6}

이려면직선y=ax-1은두직선

l,m사이에있어야한다.

직선y=ax-1이점A(1,0)을

지날때,

0=a-1, a=1

직선y=ax-1이점B(3,6)을지날때,

6=3a-1,　a= 73


Ⅴ. 함수 95

에서 g(3x-4)=2x+1 yy① 3x-4=5일때, x=3

따라서x=3을①에대입하면

g(5)=2_3+1=7

08 f(2)=4,g(4)=3이므로

(g ç f)(2)=g(f(2))=g(4)=3

또,fÑÚ`(4)=2,gÑÚ`(2)=1이므로

(fç g)ÑÚ`(4)=(gÑÚ`ç fÑÚ`)(4)=gÑÚ`( fÑÚ`(4))

=gÑÚ`(2)=1

따라서 (g ç f)(2)+(f ç g)ÑÚ`(4)=4

09 함수y= 3x+1

-2의그래프를x축의방향으로2만큼,

y축의방향으로-3만큼평행이동하면

y=3

x-2+1 -2-3=3

x-1-5

이함수의그래프가점(4,a)를지나므로

a=3

4-1-5=-4

10 함수y= -3x-k+7x+1

= -k+10x+1

-3의그래프의

점근선은두직선x=-1,y=-3이므로다음과같다.

이함수의그래프가제1사분면을지나기위해서는

-k+10>0에서 k<10 yy① 이함수의그래프가y축과만나는점의y좌표는

-k+7>0에서 k<7yy② ①,②에서 k<7

따라서자연수k는1,2,3,4,5,6의6개이다.

11 y= 3x+5x+2

를x에대하여풀면

x=-2y+5

y-3

즉,1ÉaÉ 73 이므로실수a의최솟값은1,최댓값은

73 이고,그합은

103 이다.

03 정의역의원소2,4는각각공역의원소1,3,5중하나와대응하므로2가대응할수있는수는3개이고,이때4

가대응할수있는수는2개이다.또,남은정의역의원소

1,3,5는공역의원소1,3,5중하나와2,4에대응하므

로1이대응할수있는수는3개,3이대응할수있는수

는2개,5가대응할수있는수는1개이다.

따라서주어진조건을만족시키는함수f의개수는

(3_2)_(3_2_1)=36

04 g(-1)=-1이므로

(fç g)(-1)=f(g(-1))=f(-1)=-1

f(1)=1이므로

(g ç f )(1)=g( f(1))=g(1)=-1

따라서 (fç g)(-1)+(g ç f)(1)=-2

05 (fç h)(x)=g(x)에서

f(h(x))=g(x), 2h(x)+3=4xÛ`-1

2h(x)=4xÛ`-4

따라서 h(x)=2xÛ`-2

이때f(1)=5이므로

(hç f)(1)=h(f(1))=h(5)=48

06Ú(fç g)(1)=(g ç f)(1)에서 f(g(1))=g(f(1)),　f(5)=g(3)그런데f(5)=2이므로 g(3)=2

Û(fç g)(3)=(g ç f)(3)에서 f(g(3))=g(f(3)),　f(2)=g(5)그런데f(2)=4이므로 g(5)=4

Ü(fç g)(5)=(g ç f)(5)에서 f(g(5))=g(f(5)),　f(4)=g(2)그런데f(4)=1이므로 g(2)=1

Ý(fç g)(2)=(g ç f)(2)에서 f(g(2))=g(f(2)),　f(1)=g(4)그런데f(1)=3이므로 g(4)=3

Ú ~Ý에서 g(2)+g(3)=3

07 (fÑÚ`ç g)ÑÚ`(x)=(gÑÚ`ç f)(x)=gÑÚ`( f(x))

=gÑÚ`(2x+1)=3x-4



x와y를서로바꾸면역함수는

y=-2x+5

x-3

따라서 fÑÚ`(x)=-2x+5

x-3 =-1

x-3-2

함수y=fÑ Ú`(x)의그래프의점근선은두직선x=3,

y=-2이므로점(3,-2)에대하여대칭이다.

따라서a=3,b=-2이므로 2a+3b=0

12 두직선y=x+4와y=-x+2의교점은

x+4=-x+2에서x=-1이므로점(-1,3)이다.

즉,함수y=f(x)의그래프는점(-1,3)에대하여대

칭이고,점근선은두직선x=-1,y=3이므로

f(x)=k

x+1+3(k+0)

이함수의그래프가점(-3,2)를지나므로

2=k

-2 +3에서 k=2

따라서 f(x)=2

x+1+3=3x+5x+1

즉,a=1,b=3,c=5이므로 a+b+c=9

13= '§x-1'§x+1

+ '§x+1'§x-1

=('§x-1)Û`+('§x+1)Û`

('§x+1)('§x-1)

=x-2'§x+1+x+2'§x+1

x-1 =2(x+1)

x-1

따라서x=1+'2일때구하는값은

2(2+'2)'2 =2(1+'2)

14 함수y="�k(x-3)(k<0)의그래프는점B를지나고,함수y='§2x의그래프는원점을지난다.

점A의좌표를(a,b)라

하면,OBÓ=3이고삼각형

AOB의넓이가3이므로

12 _3_b=3에서

b=2

점A(a,2)는함수

y='§2x의그래프위의점이므로 2='§2a에서 a=2

점A(2,2)는함수y="Ãk(x-3)의그래프위의점이

므로

2="Ãk(2-3),　2='§-k

따라서 k=-4

15 함수y='Ä4x+a+b의정의역은[x|x¾-;4A;],치역은

{y|y¾b}이다.

주어진그림에서정의역은{x|x¾-3},치역은

{y|y¾-1}이므로

b=-1이고,-a4 =-3에서 a=12

따라서 f(x)='Ä4x+12-1

fÑÚ`(7)=k라하면f(k)=7이므로

'Ä4k+12-1=7, 'Ä4k+12=8

4k+12=64, 4k=52, k=13

따라서 fÑÚ`(7)=13

16 hç fÑÚ`=g 에서 (hç fÑÚ`)ç f=gç f, hç (fÑÚ`ç f)=gç f 따라서 h=gç f f(2)=1이므로

h(2)=(gç f)(2)=g(f(2))=g(1)= 12

17 2ÉxÉ5에서함수y= -2x+6x-1

= 4x-1

-2의그래

프는다음그림과같다.

함수y='¶2x-1+k의그래프가점(5,-1)을지날

때,실수k가최솟값을가지므로

-1=3+k에서 k=-4

따라서실수k의최솟값은-4이다.

18Úx¾-2일때,

f(x)=k(x+2)-4x

=(k-4)x+2k


Ⅴ. 함수 97

Ûx<-2일때,

f(x)=k(-x-2)-4x

=-(k+4)x-2k� ▶

함수f가일대일대응이므로Ú,Û에서두직선 y=(k-4)x+2k와y=-(k+4)x-2k의기울기

의부호가서로같다.

-(k+4)(k-4)>0, (k+4)(k-4)<0

-4<k<4� ▶

따라서정수k는-3,-2,-1,0,1,2,3의7개이다.

� ▶


x의 값의 범위에 따른 함수 구하기 1점


정수 k의 개수 구하기 1점

19 y=x-5의역함수는y=x+5이므로

gÑÚ`(x)=x+5

(fç gÑÚ`)(x)=f(gÑÚ`(x))

=2(x+5)+3=2x+13


20 (fç f)(x)=f(f(x))이므로

방정식f(f(x))=f(x)에서f(x)=t로놓으면

f(t)=t, |2t-4|=t, 2t-4=Ñt

이므로 t=;3$;또는t=4

Úf(x)=;3$;일때,

|2x-4|=;3$;에서 2x-4=Ñ;3$;

이므로 x=;3$;또는x=;3*;

Ûf(x)=4일때,

|2x-4|=4에서 2x-4=Ñ4

이므로 x=0또는x=4

Ú,Û에서주어진방정식의모든실근의합은

;3$;+;3*;+0+4=8

21 조건㈎로부터함수f는일대일대응이고,집합X의임의의원소x에대하여 1É f(x)É5

조건㈏로부터

Úf(f(2))=f(2)-4¾1에서f(2)¾5이므로

f(2)=5

Ûf(2)=5이므로f(f(2))=f(2)-4에서

f(5)=5-4=1

Üf(5)=1이므로 f(f(1))=f(1)-2¾2

즉,f(1)¾4이고f(2)=5이므로

f(1)=4

Ýf(1)=4이므로f(f(1))=f(1)-2에서

f(4)=4-2=2

Ú ~Ý에서f(3)=3이므로

f(3)+f(4)=5

22 함수y= bx-1x+a

= -ab-1x+a

+b의정의역은

{x|x+-a인실수},치역은{y|y+b인실수}이므로

a=-2,b=-3� ▶

따라서 f(x)=-3x-1

x-2

함수f의역함수g에대하여g ç f=I(항등함수)이므로

g ç fç g=Iç g=g g(-4)=k라하면f(k)=-4에서

-3k-1

k-2 =-4,　k=9

따라서 (g ç fç g)(-4)=9� ▶


a, b의 값 구하기 2점

(g ç f ç g)(-4)의 값 구하기 2점

23 함수y= 2xx-1

= 2x-1

+2의그래프의점근선은두

직선 x=1,y=2

점P의x좌표를t(t>1)라하면P{t, 2tt-1 }이므로

PRÓ=t-1, PQÓ= 2tt-1-2=

2t-1

직사각형PRSQ의둘레의길이는산술평균과기하평균의

관계에의하여

2(PRÓ+PQÓ)=2{t-1+2

t-1 }

¾2_2¾¨(t-1)_2

t-1

=4'2

여기서등호는t-1=2

t-1,즉t=1+'2일때성립한다.

따라서직사각형PRSQ의둘레의길이의최솟값은4'2 이므로m=4'2에서 mÛ`=32



01 나오는눈의수의합이6인경우는 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)의5가지

나오는눈의수의합이9인경우는

(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)의4가지

따라서구하는경우의수는합의법칙에의하여

5+4=9

02 x,y가자연수이므로x+yÉ3인x+y의값은2,3이고,각경우의순서쌍(x,y)는

Úx+y=2인경우 (1,1)의1개

Ûx+y=3인경우 (1,2),(2,1)의2개

따라서구하는순서쌍(x,y)의개수는 1+2=3

03 두수의합이짝수가되려면두수가모두짝수이거나모두홀수이어야한다.

Ú두수가모두짝수인경우 2_1=2

Û두수가모두홀수인경우 3_3=9

따라서구하는경우의수는 2+9=11

04ÚA`Ú`C`Ú`B인경우 3_2=6

ÛA`Ú`D`Ú`B인경우 2_3=6


05 십의자리숫자와일의자리숫자가서로다른두자리자연수는 9_9=81(개)

그런데각자리숫자가모두소수가아닌두자리자연수

는,십의자리에는1,4,6,8,9의5개,일의자리에는0,

1,4,6,8,9중십의자리숫자를제외한5개가올수있

으므로 5_5=25(개)

따라서두자리수중적어도하나는소수인두자리자연

수의개수는 81-25=56

경우의 수VI

01 ② 02 ① 03 ③ 04 ③ 05 ⑤

06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 36번째 10 ②

11 ① 12 150 13 ④ 14 9

15 n=5, x=9


1 경우의 수

24 모든실수x에대하여"ÃkxÛ -kx+3이실수가되기위해

서는kxÛ`-kx+3¾0을만족시켜야한다.

Úk=0일때,

3¾0이므로성립한다.

Ûk>0일때,

이차방정식kxÛ -kx+3=0의판별식D가DÉ0이

어야하므로

D=kÛ`-12k

=k(k-12)É0

따라서 0<kÉ12

Ú,Û에서0ÉkÉ12이므로정수k는0,1,2,y,

11,12의13개이다.

25 함수y='¶x-1의그래프와직선y=x+k는다음그

림과같다.

Ú직선y=x+k가점(1,0)을지날때,

0=1+k에서 k=-1� ▶

Û직선y=x+k가함수y='¶x-1의그래프와접할때,

x+k='¶x-1에서

(x+k)Û`=x-1

xÛ`+(2k-1)x+kÛ`+1=0

이이차방정식의판별식D가D=0이어야하므로

D=(2k-1)Û`-4(kÛ`+1)

=-4k-3=0

따라서 k=-;4#;� ▶

Ú,Û에서실수k의값의범위는

-1Ék<-;4#;� ▶


직선 y=x+k가 점 (1, 0)을 지날 때, k의 값

구하기2점

직선 y=x+k가 함수 y='¶x-1의 그래프와

접할 때, k의 값 구하기2점



Ⅵ. 경우의 수 99

06 °Pª_3!=20_6=120

07 5개의블록을일렬로쌓는경우의수는 5!=120

이중에서빨간색블록이노란색블록보다위에있는경우

와노란색블록이빨간색블록보다위에있는경우의수는

같으므로구하는경우의수는 ;:!2@:);=60

08 할아버지와할머니를한사람으로생각하면모두4명이고,4명이출입문을통과하는경우의수는4!이다.

이때각경우에대하여할아버지와할머니의자리를정하

는경우의수는2!이다.

따라서구하는경우의수는 4!_2!=48

09 4��꼴의수의개수는 4!=24� ▶

34��꼴의수의개수는 3!=6

324��꼴의수는 2!=2

321��꼴의수는 2!=2� ▶

따라서32041보다큰수의개수가24+6+2+2=34

이므로32041은35번째,32014는36번째수이다.▶


맨 앞자리의 수가 4인 5자리 수의 개수 구하기 40 %

32041보다 큰 수의 개수 구하기 40 %

32014가 몇 번째 수인지 구하기 20 %

10 어른2명이앉을앞줄과뒷줄을정하는경우의수는 2!=2

앞줄에어른이앉을좌석을정하는경우의수는

2!=2

각경우에남은3개의좌석에어린이3명이앉을좌석을

정하는경우의수는 3!=6

따라서구하는경우의수는 2_2_6=24

11 남자5명중2명을택하는경우의수는°Cª이고,그각각에

대하여여자7명중2명을택하는경우의수는¦Cª이다.

따라서구하는경우의수는 °Cª_¦Cª=10_21=210

12 평행사변형은6개의평행선중2개를택하고,또다른5개의평행선중2개를택하여만들수있다.

6개의평행선중2개를택하는경우의수는¤Cª이고,또

다른5개의평행선중2개를택하는경우의수는°Cª이

다. ▶

따라서구하는평행사변형의개수는곱의법칙에의하여

¤Cª_°Cª=15_10=150 ▶


각각의 평행선 중 2개를 택하는 경우의 수 구하기 50 %

평행사변형의 개수 구하기 50 %

13 ÇC£=4_ÇCª에서

n(n-1)(n-2)3_2_1

=4_ n(n-1)2_1

이고n¾2이므로 n-2=12, n=14

14 2Ý`_3Û`_5=6_5_4_3_2=6!이고

ÇP°= n!(n-5)!=6!이므로 n=6

또,2Ý`_3Û`_5=10_9_8=Á¼P£이므로

r=3

따라서 n+r=9

15 이차방정식2xÛ`-ÇPªx+3_Ç*ÁCÇ=0의한근이1이므로

2-ÇPª+3_Ç*ÁCÇ=0 yy① ÇPª=n(n-1),Ç*ÁCÇ=Ç*ÁCÁ=n+1이므로①에대

입하면

2-n(n-1)+3(n+1)=0

nÛ`-4n-5=0, (n+1)(n-5)=0

n=-1또는n=5

이때n¾2이므로 n=5

따라서°Pª=20,¤C°=6이므로주어진방정식은

2xÛ`-20x+18=2(x-1)(x-9)=0

즉,다른한근은 x=9

01 ② 02 ③ 03 ① 04 ④ 05 ①

06 ⑤ 07 ③ 08 ② 09 ② 10 ⑤

11 ③ 12 ① 13 ③ 14 ④ 15 ②

16 ⑤ 17 ① 18 48 19 9 20 4

21 2100 22 24 23 14 24 54 25 540




따라서구하는세자리자연수의개수는

4_¢Pª=4_12=48

10 서로다른5명중2명을택하여일렬로나열하는경우의수와같으므로 °Pª=20

11 민정,연희,세희를한사람으로생각하면모두6명이고,6명의좌석을배정하는경우의수는6!이다.이때각경

우에대하여3명의자리를바꾸는경우의수는3!이다.

따라서구하는경우의수는 6!_3!

12 6개중순서대로2개의좌석을택하는경우의수는 ¤Pª=30이고,이중에서2명이나란히앉는경우의수는

°PÁ_2!=10이다.

따라서구하는경우의수는 30-10=20

13 ¦C£= 7_6_53_2_1

=35

14 서로다른5개의빵중2개를택하는경우의수는 °C ª=10이고,각경우에대하여서로다른4개의쿠키

중3개를택하는경우의수는¢C£=4이다.

따라서구하는경우의수는 10_4=40

15 원소를6개가진집합의부분집합중에서원소가n개인것의개수는6개의원소중n개를택하는경우의수와같

으므로¤CÇ이다. 따라서구하는값은

¤CÁ+¤C£+¤C°=6+20+6=32

16 ¥C£+¥Cª+»Cª=»C£+»Cª=Á¼C£

=10_9_83_2_1 =120

17 ªÇCÁ= ÇCª+ÇC£2

에서

2_2n= n(n-1)2_1

+n(n-1)(n-2)

3_2_1 이식을정리하면

n(n-5)(n+5)=0

이때n¾3이므로 n=5

18 먼저D에칠할색을택하는경우의수는4이고,� ▶

D에칠한색을A,B,E에는칠할수없으므로이들영

01 소수의눈이나오는경우는2,3,5의3가지이고,동전의앞면이나오는경우는1가지이다.


02 이차방정식xÛ -ax+a=0이실근을가지려면이차방정

식의판별식D가D=(-a)Û`-4a=a(a-4)¾0이

어야하므로 aÉ0또는a¾4

이때a는주사위의눈의수이므로 a=4,5,6

따라서구하는경우의수는3이다.

03ÚA`Ú`B`Ú`C인경우 2_2=4

ÛA`Ú`C인경우 2


04 x를택하는경우의수는4이고,그각각에대하여y를택하는경우의수는3이다.

따라서집합C의원소의개수는 4_3=12

05 2x+3yÉ10에서x¾1,y¾1이므로3yÉ8,즉자연

수y는1,2이다.

Úy=1이면2x+3É10을만족시키는자연수x는1,

2,3의3개

Ûy=2이면2x+6É10을만족시키는자연수x는1,

2의2개

따라서구하는순서쌍(x,y)의개수는 3+2=5

06 두수의합이홀수이려면홀수중하나와짝수중하나를택해야한다.홀수중하나를택하는경우의수는5이고,

그각각에대하여짝수중하나를택하는경우의수는4이다.


07 ÇPª=3!_n에서n(n-1)=6n이고n+0이므로

n-1=6,즉 n=7

08 ÇÐÁP£+3_ÇÐÁPª=n(n-1)(n-2)=60이므로

nÜ`-3nÛ`+2n-60=(n-5)(nÛ`+2n+12)

=0

에서 n=5

09 백의자리에올수있는수는1,2,3,4의4가지이고,각경우에대하여백의자리에오는수를제외한나머지4개

의숫자중2개를택하는경우의수는¢Pª이다.


Ⅵ. 경우의 수 101

역에칠할색을택하는경우의수는3!이다.

이때C에는B또는D에칠한색을칠해야하므로구하는

경우의수는 2_4_3!=48� ▶


D에 칠할 색을 택하는 경우의 수 구하기 2점

모든 경우의 수 구하기 3점

19 3명이가위바위보를하여비기는경우는 Ú모두같은것을내는경우의수는 3

Û모두다른것을내는경우의수는 3!=6

Ú,Û에서모든경우의수는합의법칙에의하여 3+6=9

20 A와B사이에있는도로가n개라하면 A`Ú`B`Ú`D인경우의수는 2n

A`Ú`C`Ú`D인경우의수는 3_3=9� ▶

따라서A에서B또는C를거쳐서D로가는경우의수는

2n+9=17

이므로 n=4

따라서A와B사이에있는도로의개수는4이다.� ▶


A에서 B 또는 C를 거쳐서 D로 가는 경우의

수를 문자를 사용하여 나타내기3점

A와 B 사이에 있는 도로의 개수 구하기 2점

21 10송이중4송이를택하는경우의수는

Á¼C¢=10_9_8_74! =210

남은6송이중3송이를택하는경우의수는

¤C£=6_5_43!

=20

나머지3송이를한다발로만들면되는데,앞의3송이와

같은경우가있으므로구하는경우의수는

210_20_;2!;=2100

22 함수f는f(1),f(2),f(3),f(4)의값에의하여결정된다.� ▶

그런데임의의x<X에대하여f(x)¾x를만족시키려

면f(1)은1,2,3,4중하나,f(2)는2,3,4중하나,

f(3)은3,4중하나를,f(4)는4를택하면된다.� ▶

따라서구하는함수의개수는

¢CÁ_£CÁ_ªCÁ=4_3_2=24� ▶


함수가 어떻게 결정되는지 이해하기 2점

함숫값의 경우의 수 구하기 2점

함수의 개수 구하기 1점

23 6장의카드중에서두장을택하는경우의수는 ¤Cª=15

택한카드중3이상의수가적힌카드가포함되면항상

26이상의두자리자연수를만들수있으므로26미만의

두자리자연수가만들어지는경우는2와1이적힌카드

를택하는한가지뿐이다.

따라서구하는경우의수는

15-1=14

24 크기가서로다른4켤레의양말은8개이다.이중에서4개를택하는경우의수는

¥C¢= 8_7_6_54_3_2_1 =70

그런데택한4개모두짝이맞지않으려면4켤레중에서

각각1개씩을택해야하므로그경우의수는

ªCÁ_ªCÁ_ªCÁ_ªCÁ=16

따라서적어도한켤레는짝이맞는경우의수는

70-16=54

25 서로다른6개의사탕을2개씩나누는경우의수는6개의사탕에서2개를택하고,남은4개의사탕에서2개를택하

는경우의수와같으므로

¤Cª_¢Cª=15_6=90� ▶

이각각의경우에이들을세사람에게나누어주는경우의

수는 3!� ▶

따라서구하는경우의수는

90_6=540� ▶


사탕을 나누는 경우의 수 구하기 2점

세 사람에게 나누어 주는 경우의 수 구하기 2점

모든 경우의 수 구하기 1점


1 다항식의 연산edu.mirae-n.com/UPLOAD/EShop/EduN/Archive/Learning/Upload... · 2018. 4....

Documents

Transcript of 1 다항식의 연산edu.mirae-n.com/UPLOAD/EShop/EduN/Archive/Learning/Upload... · 2018. 4....