03 TEXTO ESCOLAR_ALGEBRA 1°

Álg

eb

ra

Unidad 1 Unidad 2

IntelectumÁlgebra

IXIndicadores

de logro

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

La factorización no es más que una agrupación, lo que busca es facilitar y reducir problemas complejos a través de, como su nombre lo indica, la factorización (reducción) de problemas grandes en pequeños.En la vida cotidiana la mente funciona de la misma manera, por ejemplo agrupamos cuchillos, navajas, vidrios, y demás similares como objetos con los cuales podemos cortarnos, no tenemos que irnos cortando con cada uno de ellos.Cuando memorizas un número telefónico largo, igual tiendes a agrupar según sea más fácil, en binas de números o tercias, eso es factorizar un problema grande en varios pequeños.Cuando manejas un auto factorizas el arte de manejar en pequeñas cosas como acelerar, frenar, girar la guía, etc.En fin, todo lo que se divide en pasos es una factorización del problema, no necesitan ser números.

• Identifica la base, el exponente y la potencia de una expresiónexponencial.

• Reconocetérminossemejantes,identificandoexponentesyvariables.• Identificamonomiossemejantes.• Calcularesultadosaplicandodefinicionesbásicassobreexponentes.• Simplificaexpresionesexponencialesaplicandopropiedades.• Reconoce la relación entre términos semejantes y calcula el valornuméricodeestas.

• Evalúapropiedadesderadicaleshomogéneos.• Aplicalasprincipalespropiedadesexponencialesconradicalesparalaresolucióndeproblemas.

• Reconocelosdistintoscasosdeecuacionesexponencialessegúnsussoluciones.

• Calculaelvalordeunavariabledentrodeunaecuación.• Reconocelasclasesdeexpresionesalgebraicas:monomioypolinomio.• Reconoceelgradoabsolutoyrelativodeunmonomioydeunpolinomio.

• Evalúaeldesarrollodelbinomioal cuadradoyelbinomioal cuboeidentificaladiferenciadecuadradosylasidentidadesdeLegendre.

• Calcula el valor de expresiones algebraicas aplicando los diversosproductosnotables.

• Reconoceloselementosdentrodeunadivisióndepolinomios.• DiscriminaentreelmétododeHorneryelteoremadelresto,yanalizalateoríadedivisibilidadparaladivisióndepolinomios.

• Efectúa la divisióndepolinomiosaplicandoelmétododeHorner, elteoremadelrestoocriteriosdedivisibilidad.

• Evalúa los métodos de factorización de polinomios, agrupandotérminosoaplicandoproductosnotables.

• Aplicaelmétododelfactorcomún,métododeidentidadesoelmétododelaspasimpleparalafactorizacióndepolinomios.

• Analiza las propiedades de la radicación, utilizando teoría deexponentes.

• Determina la homogenización de radicales utilizando teoría deexponentes.

Unidad 3 Unidad 4

Contenido:Unidad 1

• Leyes de la teoría de exponentes I.

• Leyes de la teoría de exponentes II.

• Ecuaciones trascendentes.• Expresiones algebraicas -

Monomios.• Polinomios.

Unidad 2

• Productos notables.• División de polinomios.• Factorización.• Radicación.• Racionalización.

Unidad 3

• Ecuaciones de primer grado. Planteo de ecuaciones.

• Sistema de ecuaciones lineales.• Ecuaciones de segundo grado.

Planteo de ecuaciones.• Desigualdades e inecuaciones.

Unidad 4

• Valor absoluto.• Logaritmos.• Funciones.• Progresiones.

• Evalúalanaturalezadelaraízosolucióndelasecuacionesdeprimerysegundogrado.

• Utilizaprocedimientosaritméticospararesolverecuacionesdeprimergrado.

• Discriminaentreelmétododesustitución,igualaciónyreducciónparalaresolucióndesistemasdeecuaciones.

• Evalúa la utilización de matrices en los sistemas de ecuacioneslineales.

• Aplicalosdistintosmétodosderesolucióndeecuacionesdesegundogrado(porfactorizaciónofórmulageneral).

• Identifica variables dentro de un enunciado y las expresa utilizandoteoríadeecuaciones.

• Identifica intervalos acotados y no acotados, intervalos abiertos ycerrados.

• Expresagráficamentelosdiferentestiposdeintervalos.• Determinaelconjuntosolucióndelasinecuaciones.

• Analizalaaplicacióndelvalorabsoluto.• Relacionaalvalorabsolutocon lasecuacionesdeprimerysegundogrado.

• Aplicalasdefinicionesdevalorabsolutodentrodeecuaciones.• Evalúa las diversas propiedades de logaritmos y su aplicación enproblemas.

• Aplica ladefiniciónde logaritmosen lasecuacionesparacalcularelvalordelaincógnita.

• Discriminaentrerelaciónyfunción.• Identifica el dominio y el rango de una función expresada en paresordenados.

• Reconoce y define las funciones especiales (función lineal o afín yfuncióndeproporcionalidadinversaydirecta).

• Diferencia gráficamente una función de una relación utilizandodiagramasdeVenn.

• Identificaloselementosdeunaprogresiónaritméticaygeométrica.

5ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES I

unidad 1

DEFINIcIóNSon aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

cONcEPTO DE POTENcIAcIóNOperación matemática que consiste en hallar un número llamado potencia a partir de otros dos llamados base y exponente, según:

an = P a ! R, n ! Z+ y P ! R

Donde: a: base; n: exponente; P: potencia

PROPIEDADES DE LOS ExPONENTES1. De la expresión exponencial: an

Si el exponente (n) es un entero positivo (Z+) puedes escribir la expresión en forma expandida.Ejemplos:

• 57 =5.5.5.5.5.5.5 • 53

53

53

2592

= =d d dn n n

• (-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343; (-)impar = (-) •(-4)2 = (-4)(-4) = 16; (-)par = (+)

2. Producto de bases iguales: suma los exponentes.

am . an = am + n

Ejemplos:

• 73 . 75 = 73 +5 = 78

• x6 . x15 = x6 +15 = x21

3. Cociente de bases iguales: resta a los exponentes.

aa

n

m = am - n

Ejemplos:• 9 9

99

3

6 6 3 3= =-

•,

,

1 87

1 878

13

=__

ii

(1,87)13 - 8 = (1,87)5

4. Exponente cero: es igual a uno.

a0 = 1 ; a ! 0 Ejemplos:

• Z0 =1 •(3x+ 33y)0 = 1

• 100 =1 •((56)3)0 = 1

5. Exponente negativo: invierte la base.

a- n = a1

n ; n ! Z+

a ! 0 Ejemplos:

• 5-2 = 51

2 •8-6 = 81

6

6. Potencia de potencia: multiplica los exponentes.

(am)n = am . n

Ejemplos:• (67)8 = 67 . 8 = 656

• (x-1)2 = x(-1) . 2 = x-2

7. Potencia de un producto: eleva cada factor a la potencia. (ab)n = anbn

Ejemplos:• (7 . 9)4 = 74 . 94

• (x . y)2 = x2 . y2

8. Potencia de un cociente: eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia.

ba

ban

n

n=b l

Ejemplos:

• 72

726

6

6=d n • y

xyx2

2

2=d n

9. Exponentes sucesivos La forma práctica de reducirlos es agrupándolos

de dos en dos de arriba hacia abajo.

a a a a ab b b b hc c c g hde de gf f= = = =

== =

¡Atención!

Alapropiedaddelossignos:

Multiplicación:(+).(+) =(+)(+).(-) =(-)(-).(+) =(-)(-).(-) =(+)

Potenciación:(+)par =(+)(+)impar =(+)(-)impar=(-)(-)par =(+)

División:

+

+= +^

^ ^hh h

-

+= -^

^ ^hh h

+

-= -^

^ ^hh h

-

-= +^

^ ^hh h

Aplicación:potenciadepotencia

(343)7=?Descomponemosensus fac-toresprimoselnúmero343:343 749 7

7 71 1

&343=73

Luego:(343)7=(73)7=73.7=721

`(343)7=721

Nota

6 Intelectum 1.°

Recuerda

a am n m

n

!^ h

Ejemplos:

3 32 3 2

3

!^ h36!38

Ejemplo de exponente sucesivo:

734092 1

=

-

73409 2 1- " Por exponente negativo2 2

11=-

& " Por potencia

de potencia7340 912

9 3 3 32.2

12 2

121

= = =^ h

& 734 0 3 " El cero en cualquier exponente es cero:

03 = 0

& 73 4 0 " Por exponente cero:

40 = 1

& 7 7 3433 31 3 31= =

" =

TéRMINOS SEMEjANTESSon aquellos que tienen las mismas variables (x, y, z, etc.) afectadas del mismo exponente, no importa el coeficiente.

Ejemplo:

2x12 ; 7x12 ; 6x12

Igual exponente

Igual variable x

Operaciones con términos semejantesSe pueden sumar o restar los términos semejantes de la siguiente manera:

• 2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10 x2 = 2x3 + 4 +5+ 7x6 + 6 + 6x10 + 2

= 2x12 + 7x12 + 6x12 Extraemos el factor común

= (2 + 7 + 6)x12 =15x12

` 2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10x2 =15x12

• 2x3x7x - x10x - 7x - x7x3 = 2x3 + 7 + 1 - x10 + 1 - 7x1 + 7 + 3

= 2x11 - x11 - 7x11 Extraemos el factor común

= (2 - 1 - 7)x11 = -6x11

` 2x3x7x - x10x - 7x - x7x3 = -6x11

• 3m+ 7m - 2m = (3 + 7 - 2)m =8m •2z2 + 3z2 - z2 = (2 + 3 - 1)z2 = 4z2

Efectuar

1. 71

2. 63

3. 82

4. 25

5. . . . ... .x x x xveces10

1 2 344 44

6. . . . ... .x x x xveces

2 2 2 2

151 2 3444 444

7. . . . ... .x x x xveces20

1 2 344444 44444

8. . . . ... .x x x xveces

3 3 3 3

161 2 3444 444

9. 8-2

10. x-3

11. 5-1

12. 6-1

13. (a2 + 3a)0

14. (2012)0

15. (16)0 + (24)0

16. (1001)0 + (2001)0

17. 28 . 210 . 23

18. 512.5-7.52

19. x-3 . x4 . x5

20. 55

7

10

21. 22

25

27

Calcula el valor de los siguientes exponentes:


Problemas resueltos X

1 Efectúa:M = 3-1 + 3-2 + 3-3 + 3-4

Resolución:Por propiedad de exponente negativo:M 3

131

31

31

2 3 4= + + +

Operamos las fracciones:M

33 3 3 1

8127 9 4

8140

4

3 2= + + + = + + =

Por lo tanto: M 8140

=

2 Si: A = 74 - n . 7n - 2 y B = 73n -1 . 72 - 3n

Halla BA

Resolución:Usamos la propiedad de producto de bases iguales:A = 74 - n . 7n - 2 = 74 - n + n - 2 = 72

B = 73n - 1 . 72 - 3n = 73n - 1 + 2 - 3n = 71

Nos piden: BA

77

1

2=

Por la propiedad de división de bases iguales:

BA 7 72 1 1= =- ` 7B

A=

3 La expresión: 2232, se asocia a:

(1) 282 (2) 229

(3) 2512 (4) 212

Resolución:Tomamos de dos en dos de arriba hacia abajo:

2 22 23 92= (equivalente a (2))

Otra secuencia de solución:

2 22 23 92= = 2512 (equivalente a (3))

` Son ciertas (2) y (3)

4 Simplifica la expresión:

Ex y zx y z

7 4

2 5 3 4

=- -

- -

f p

Resolución:Por la propiedad de cociente de bases iguales:

E = (x-2 + 7y5+ 4z-3 -1)4

E = (x5y9z-4)4

Empleamos: (am)n = amn

E = x5.4y9 . 4z-4 . 4 = x20y36z-16

Usamos: a-m = a1m ` E =

zx y

16

20 36

5 Determina el valor de S:

.S

xx

62 3

x x

x x3 1=

-

+ -_ i

Resolución:Expresamos: 6 = 2 . 3 y usamos: (am)n = am . n

. .. .S

xx

2 32 3

x x x

x x x3=

-

+ -

Usamos la propiedad de la división de bases iguales:S = 2x + 3 - x = 23 = 8` S = 8

6 Calcula:P = 4xm + 1xn - 2 + 6xm - 2xn + 1 + 6xm - 3xn + 2

Resolución:Usamos la propiedad de producto de bases iguales:4xm + 1 + n - 2 + 6xm - 2 + n + 1 + 6xm - 3 + n + 2

4xm + n - 1 + 6xm + n - 1 + 6xm + n - 1

Reducimos términos semejantes:(4 + 6 + 6)xm + n - 1 = 16xm + n - 1

` P = 16xm + n - 1

7 Si: R = x2 - 2x - 2 y S = x2 + x -5Determina: R + S y R - S

Resolución:Calculamos: R + SR + S = (x2 - 2x - 2) + (x2 + x -5)Reducimos términos semejantes:R + S = (x2 + x2) + (x - 2x) - (2 +5)` R + S = 2x2 - x - 7

Cálculo de R - S:R - S = (x2 - 2x - 2) - (x2 + x -5)R - S = x2 - 2x - 2 - x2 - x +5R - S = (x2 - x2) - (2x + x) - (2 -5)

Reducimos términos semejantes:R - S = 0 - 3x + 3` R - S = - 3x + 3

8 Reduce:

L = ( )

( )6 6

6 6 6n

n n

3

4-+

+

Resolución:Usamos: am + n = am . an y reducimos:

L = . .

. .6 6 6

6 6 6 6n

n n

3

4-

Extraemos: 6n

. .L

6 6 66 6 6

6 66 6 1

66 1

n

n

3

4

3

3

3

3=

-=

-= -

__ _

ii i

` L = 216215

8 Intelectum 1.°

cONcEPTO DE RADIcAcIóNEs una de las operaciones matemáticas inversas a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión llamada raíz (R), conociendo otras dos lla madas radicando am e índice n.

a a Rmn nm

= = ; n ! N ; n $ 2 Donde n: índice : radical am: cantidad subradical

Se lee: La raíz enésima de “a” elevado a la “m” es igual a R. Raíz de índice “n” elevado a la “m” es igual a R.

Exponente fraccionarioSignifica sacar la raíz enésima de una catindad subradical. Veamos:

a nm

= amn Ejemplos: • a a31

3= • 5 32

= 5 2523 3=

• 4 32

- = 4

41

16123

23 3= =- • 5 2

1- = 5

1512

1=c m

PROPIEDADES

Producto de raíces con igual índiceSe considera solo el índice común y los radicandos se multiplican:

. .a b c abcn n n n= Ejemplo: . . . .7 2 5 7 2 5 703 3 3 3 3= =

Cociente de radicales homogéneosSe considera el índice homogéneo y los radicandos se dividen:

ba

ba

n

nn= Ejemplos: •

48

48 27

77 7= = • 5

151

513

3

3

3= =

Radical de radicalSolo los índices se multiplican:

x x x. .cba a b c= = abc1

Ejemplos: • 2 2 2. .2 2 2 8= = • 7 7 7.52 2 5 10= =

Propiedad:

a a a an q srpmmpr

np q r s=

+ +_ i

Aplicación:

2 2 22 5 343=2 ( )( )

( ( ) )3 4 2

2 4 5 2 3+ +

= 2 2429

SUMA O RESTA DE RADIcALESSe pueden sumar o restar aquellos que poseán igual índice y la misma cantidad subradical.

Ejemplo:

10 3 8 3 4 3+ +

3Igual índice (2). Igual cantidad subradical (3).

& (10 + 8 + 4) 3 = 22 3

Recuerda

Atención

Cuandon=2en an ,enlugardeescribir a2 escribimos a .Selee:raízcuadradadea.Sesobreentiendequeelíndicees2.

LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES II

Se puede hacer la simplifica-ción directa del índice con elexponentedelabaseenelra-dicando:

• a a2

=

• 55n nn n3 3

=+ +^ h

• 464 43 33= =

Noteolvidesdelasleyesdelossignos:

par + =+

-^ fh p impar + = +^ ^h h

impar - = -^ ^h h par - =^ h Cant idadimaginaria

Ejemplos:• 24 != Por lo general se

tomaelvalorconelsignopositivo:+2

• 232 25 55= =

• 327 33 33- = - =-^ h

Atención

Tenencuenta:Introduccióndefactoresenunradical:

• 7 .2 7 23 33=

Potenciadeunradical:

• 22 233 3 3

= =^ h

Nota



1 Halla: M = 4 2

20n n

nn

2 2 2

1

++ +

+

Resolución:

M = 4 2

20n n

nn

2 2 2

1

++ +

+ = .

4 4 2 220 20

n n

nn

2 2 2+

M = ( ) ( )

.4 16 4 4

20 20n n

nn

+ =

( ).

4 16 420 20

n

nn

+

M = 4

20n

nn = 4

20 nn d n & M =5

2 Calcula: E = 32 27161 5 34 1 1 1

+ -- -

- -

Resolución:

E = 32 27161 4 5 3

11 1

+ -- -

- -

Analizamos los exponentes:4 4

11- =-- ; 5 5

11=- ; 3 3

11=-

Reemplazamos:-

32 27E 161 3

1514

1

= + -

E = 16 41

32 275 3+ -

E 16 32 27 2 2 34 5 3 44 55 33= + - = + -

E = 2 + 2 - 3 & E = 1

3 Reduce: M = b

b bm

m m

16

3 23

-

+ +

Resolución:

Por exponente fraccionario: M = .b bm

m m

61

23

32

-

+ +

bPor multiplicación y división de bases iguales:

M bm m m

23

32

61

=+ + + - -

m m m

69 3 4 2 1+ + + - +

M b=

M = bm

612 6+

M = b2 + m

4 Reduce:

S = . . .. . .

2 2 2 2 22 2 2 2 2

3 3 3 3 3f

f

100veces

120veces

Resolución:Por multiplicación de bases iguales:

S = 22

3 120

100 =

22

40

50

Por división de bases iguales:S = 250- 40

& S = 210 = 1024

5 Simplifica:

R = m n

m n mn19 1320

3 54 25

Resolución:Por exponente fraccionario:

R = m n m n2019

2013

43

45

51

52

m n

Por multiplicación y división de bases iguales:

R = .m n43

51

2019

45

52

2013

+ - + -

R = .m n2015 4 19

2025 8 13+ - + -

R = .m n200

2020

= m0 . n1

R = 1 . n & R = n

6 Halla E: E = x

x x x2 3 433

1814

Resolución:En el numerador, por propiedad:

x x x x . .( . )

2 3 433 3 2 32 2 3 3 4

=+ +

= x 1825

En el denominador, por exponente fraccionario:

x x x.1814

18 214

187

= =

Reemplamos en E:

E = x187

1825

x = 18

25187

-x = 1818

x

` E = x

7 Calcula el producto de los dígitos del valor de la expresión:

M x x xb ca b c ab c a bc a= -- -- --

Resolución:Por radical de radical y exponente fraccionario, obtenemos:

M = x ( )( )a b b c1

- - . x ( )( )b c c a1

- - . x ( )( )c a a b1

- -

Aplicamos producto de bases iguales y operamos:

M = x ( )( )( )a b b c c ac a a b b c

- - -- + - + -

= x0 = 1Nos piden el producto de los dígitos al valor de la expresión es 1, entonces:` Producto de dígitos = 1

10 Intelectum 1.°

ECUACIONES TRASCENDENTES

DEFINIcIóNSon aquellas cuya incógnita figura en el exponente o en la base. Se estudian aquellos casos cuya solución es factible gracias a la utilización de las leyes de la teoría de exponentes.

cASOS

Primer caso: bases iguales

ax = an & x = n , donde: a ! {-1; 0; 1}

Segundo caso: analogía o semejanza

xx = aa & x = a , donde: x, a ! {0; 1}

Tercer caso: exponentes iguales

xa = ya & x = y , donde: a ! {0}

EcUAcIONES LINEALES (EcUAcIONES DE PRIMER GRADO)En la secuencia de solución de los diferentes casos presentados, nos encontraremos con una ecuación de primer grado cuya solución es simple. Por ello ten en cuenta los casos y sus soluciones:

Caso IEcuación lineal de la forma:

ax ! b = c

Cuya solución es:

x ac b"

=

Ejemplo:• 2x - 4 =4 •5x+5=35 •3n- 3 = 21

x = 24 4+ x = 5

35 5- n = 321 3+

x = 4 x = 6 n = 8

Caso IIEcuación lineal de la forma:

ax ! b = cx ! d

Cuya solución es:

x a cd b! "

=-

Ejemplos:• 16x- 9 = 8x +16 •12n- 22 = 6n + 8

x = 16 816 9

-+ n = 12 6

8 22-+

x = 825 n =5

EfectuAR

Grupo I

1. 6x + 2 = 620

2. 8x - 4 = 87

3. 9x - 7 = 915

4. 10x + 4 = 106

5. 7x - 15 = 78

6. a2x = a20

7. b2x - 1 = b7

8. N3x + 1 = N25

9. 132x - 4 = 1320

10. 173x - 8 = 1722

11. 27x + 14 = 2786

12. 20114x - 7 = 201133

Grupo II

13. (x +5)20 = 1020

14. (2x - 3)7 = 177

15. (x - 10)2011 = 82011

16. (3x + 8)197 = 38197

17. (6x + 4)n = 16n

18. xx =55

19. xx = 88

20. (x - 1)x - 1 = 77

21. (x + 4)x + 4 = 99

22. (2x - 1)2x - 1 = 2727

Atención

A las ecuaciones trascenden-testambiénselesllamaecua-cionesexponenciales.

Observación

Respecto a las analogías, sepuedenpresentarcasoscomo:

• x a x a1 1x a

1

&= =ccm

m

• x a x a1 1x a1

1 1&= =

+ +

ccm

m

• x a x ax a1 1x a

&= =+ +^ ^h h

Practica con los ejemplos deaplicacióndelostrescasos:Basesiguales:7x-15=78

x-15=8(casoI) x=23

Analogías:(x-1)(x-1)=77

x-1=7 x=8

Exponentesiguales:(x+5)20=1020

x+5=10 x=5

1 Resuelve:243 729x x2 5 4=- -_ _i i

Resolución:Pasamos a bases iguales: Entonces:

3 3x x5 2 5 6 4=- -_ _i i 10 25 6 24x x- = -

3 3x x10 25 6 24=- - 4 24 25x x 41

&=- + =

2 Halla n en:

28 8 n3 2 3 31

+ =- - -

_ _i i: D

Resolución:Aplicamos leyes de exponentes para llegar a bases iguales:

28 8 n3 2 3 31

+ =- - -

_ _i i: D 241

81 n

1

- =

-

< F

2 2 3 n21

-- --

2=_ _i i: D 281 n

1

=

-

d n

221

21 n2 3

1

- =-

d dn n> H 22 n31

=_ i

Por bases iguales:

2 2n3

1= & 1 3n n3 `= =

3 Resuelve:81x 1 x 2

+ =+_ i

Resolución:Adaptamos la ecuación para resolverla por otro caso de semejanza:

x

x

x

1 81

1 3

1 3

x

x

x

2

1 1 4

1 1 3 1

+ =

+ =

+ =

+

+

+ +

+

+

___

_

_ _

iii

i

i i

De donde:x + 1 = 3 ` x = 2

4 Halla x:

16 232 2x x2 4=

- +

Resolución:Llevamos a bases iguales: Entonces:

.2 2 22 2

x x

x x

2 5 10 4

2 5 10 4=

=

- +

++ -16 2

2 2.

32 2

4 2 2

x x

x x

2 4

5 2 4=

=

- +

- +_ i

Por lo tanto:5x- 8 = x + 4 ` x = 3

5 Resuelve:7 3431 32x

=+

Resolución:Buscamos bases iguales:7 343 7 71 132 32 3x x

&= =+ +

Entonces:

32 2 2 21 32 3x

x x5&

+ =

= =

Por lo tanto: 5 1x x 5

1&= =

6 Halla el valor de m en:

32255 5mm m12 2=

- +

Resolución:Buscamos bases iguales:

+ +32 2 22 .55 5 5

55 5mm m m

mm12 2

122

&= =-

-

Bases iguales, se igualan los exponentes:

55

5m

m m12 2 1=

-+ + &512 - m- m =5m + 3

De donde:12 - 2m = m + 3 & m = 3

7 Halla n3, si: ,n 0 125n 1

=+

Resolución:Transformamos0,125aunafracción:0,125 1000

12581

= =

Reemplazamos en la expresión:n

n

n

81

21

21

21

n

n

n

1

13 2

3

1 21 1

=

= =

=

+

+

++

d d

d

n n

n

Por un caso particular de semejanza, concluimos:n 2

1=

Nos piden:

n 21

813

3= =d n ` n3 = 8

1

12 Intelectum 1.°

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - MOnomios

ExPRESIONES ALGEBRAIcASSon expresiones matemáticas donde las variables y constantes están ligadas entre sí por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces.

Ejemplos:

• 3x4 - 6x2y +x Síesexpresiónalgebraica,porquetienecantidadfinitadetérminos.

• 2 + 3x +5x2 +... Noesexpresiónalgebraica,porquetienecantidadinfinitadetérminos.

Clases de expresiones algebraicas: monomios y polinomios

MONOMIOSEs una expresión algebraica que está constituida por una parte numérica (coeficiente) y una parte literal (variables gobernadas solo por las operaciones de multiplicación y potenciación de exponente natural).

Ejemplo:

1. Parte literal: está constituida por las letras o variables y sus exponentes: Exponentes

x 3 y 2

Variables

2. Parte numérica:llamadacoeficiente,esunnúmeroreal(R) que aparece multiplicando a las variables.

7- x3y2

• 7- x3y2 Parte Parte numérica literal

Notación matemática de un monomioLa característica fundamental de esta notación es el poder diferenciar las variables de las constantes así como de sus exponentes.

Ejemplo:

Variables: x e y (siempre son a los que estan en paréntesis)

Exponentes: 3 y 2

Constantes: -a72 , z3

• Z(x;y)= -a72 x3y2z3

Importante: los exponentes en un término algebraico son cualquier número. Los exponentes en un monomio son enteros y positivos (z+)

Elementos de un monomio (término algebraico)

Signo Exponentes

7- x 3 y 2

Coeficiente Variables

GRADO DE UN MONOMIOGrado absoluto (GA)Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.Ejemplos:

• Z(x;y)= - a72 x3y2

& GA(Z) = 3 + 2 =5•A(x;y)= xya3 & GA(A) = 1 + 1 = 2

• P(x;y;z)= 31 x2y10z3 & GA(P) = 2 + 10 + 3 =15•R(m;n)= 49

2 m2n7 & GA(R) = 2 + 7 = 9

Paralaescrituraalgebraica:Se representará a las canti-dades que no son conocidas(constantes) por las PRIME-RASLETRASdelalfabeto:

a,b,c,d,e...Se representarána lascanti-dadesquesondesconocidas(variables) por las últimasletrasdelalfabeto:

...v,w,x,y,zParaunirestascantidadesseemplean: SIGNOS de OPE-RACIÓNdeRELACIÓNydeAGRUPACIÓN.

Signosdelálgebra:• SIGNOS DE OPERAcIóNx+y :xmásyx-y :xmenosyx.y1 2xy :xmultiplicamos

poryoxpory

x÷y1 2 yx :xdivididopory

xy :xelevadoalay

xy : la raíz y-ésimadex

• SIGNOS DE RELAcIóN= :iguala2 :mayorque$ :mayoroigualque1 :menorque# :menoroigualque

SIGNOS DE AGRUPAcIóN():paréntesis{}:llaves[] :corchetes

Nota

Recuerda

• Si se menciona solo elGRADO de un monomio opolinomio este se sobreen-tiende que es el GRADOABSOLUTO.

• GRADOse refiereal expo-nentedelavariablemásnoalexponentedeconstantes.


X

Atención

• Elgradodeunaconstantesiempreescero.Ejemplo:A(x)=74&GA(A)=0

• Elgradodelnúmerocero,siempreesindefinido.Ejemplo:

B(x)=0&GA(B)esnodefinido.

Recuerda

Silosmonomiosnosonseme-jantesseobtieneunpolinomio:

3x7y3+x6z

Grado relativo (GR)Es el exponente de la variable indicada.

Ejemplos:

• A(x) = a2x7 & GR(x) = 7

• B(x ; y) = (121)2x3y10z3 & GR(x) = 3 ; GR(y) = 10

• P(m ; n) = 49m6n2 & GR(m) = 6; GR(n) = 2

MONOMIOS SEMEjANTES (TéRMINOS SEMEjANTES)Son aquellos términos algebraicos que sin importar sus coeficientes poseen las mismas variables afectadas del mismo exponente (misma parte literal).

Ejemplos: • 3

1 x3y2

-2x3y2 Tienen igual variable x con exponente 3: x3

Tienen igual variable y con exponente 2: y2 ` 31 x3y2; -2x3y2;5x3y2

Son términos semejantes 5x3y2

• 5x3y4 Tienen igual variable x con diferentes exponentes: x3, x4

Tienen igual variable y, pero con diferentes exponentes: y4, y3

`

5x3y4; -5x4y3

No son términos semejantes -5x4y3

Operaciones con monomios semejantesSe suman y restan los términos semejantes.

Suma:Caso general:

• axm + bxm = (a + b)xm

• axmyn + bxmyn + cxmyn = (a + b + c)xmyn

Ejemplos:

• 2x3 + 21x3 =(5+ 21)x3 = 26x3

• 7x2y + 3x2y + x2y = (7 + 3 + 1)x2y = 11x2y

Resta:Caso general:

• axm - bxm = (a - b)xm

• -axn + bxn = (b - a)xn

• axmyn - bxmyn - cxmyn = (a - b - c)xmyn

Ejemplos:

• 5x3 - 21x3 =(5- 21)x3 = -16x3

• -5x3 + 21x3 = (21 -5)x3 = 16x3

• 7x2y - 3x2y - x2y = (7 - 3 - 1)x2y = 3x2y

VALOR NUMéRIcO (VN) DE UN MONOMIOEs un número que se obtiene cuando se sustituye las variables del monomio por valores numéricos dados arbitrariamente realizando en estas, las operaciones indicadas.

Ejemplo:Halla el valor numérico (VN) de: P(x; y) = 7- x3y2 para: x = 2; y = 74 .

Resolución:Reemplazamos los valores de las variables en el monomio:VN(P) = P (2; 74 ) = 7- (2)3( 74 )2 = 7- (8)( 7 ) = -7 . 8 = -56` VN(P) = -56

14 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Si: a = 2; b = 3 y c = 4

Determina el valor numérico del monomio para:x = 3; y = 2; z = 1

H(x; y; z) = 61 xaybzc

Resolución:El monomio se puede escribir como:

H(x; y; z) = 61 x2y3z4

Luego, reemplazamos los valores respectivos para sus variables:

H(3; 2; 1) = 61 (3)2(2)3(1)4 = .

.3 2

3 22 3 = 32 - 1 23 - 1 = 3 . 22

` VN(H) = H(3; 2; 1) = 12

2 Determina el coeficiente del monomio:

K(x; y) = 21 n-

d n x3n -5ym +5

Si el grado relativo respecto a x es 1.

Resolución:El grado relativo respecto a x del monomio es (3n -5)yestepordato del problema es igual a 1. Luego: 3n -5= 1 3n = 6 & n = 2

Elcoeficientedelmonomioestádadopor:

21 n-

d n = 21 2-

d n = 22 = 4

Entonces el monomio estará expresado como: K(x; y) = 4 xym +5 Coeficiente`Coeficientedelmonomioes 4.

3 Halla m si el monomio es de quinto grado.M x x xm m2 2 3

=

Resolución:M x x x xm m m2 2 3 2 5= = +

Del dato: 2 5 5m m 5

3&+ = =

4 Si: P(x; y) = 7x5y8

Calcula:

EGR y GR xGR x GA P

=-

+

_ __ _i ii i

Resolución:GR(x) =5,GR(y)= 8& GA(P) = 13

E 8 55 13

318

=-+ = ∴ E = 6

5 El grado absoluto del siguiente monomio: N(x; y) = 4xa - 8y3 es 13. Determina el valor de a.

Resolución:GA(N) = a - 8 + 3; que por dato es 13.& a - 8 + 3 = 13 a -5= 13 ` a = 18

6 Determina GR(x) + GA(P) ; si:P(x; y; z) = 7xm y7 - m z4; además GR(y) = 3

Resolución:Si GR(y) = 3 & 7 - m = 3 m = 4 = GR(x)GA(P) = m + 7 - m + 4 = 11` GR(x) + GA(P) = 4 + 11 =15

7 Reduce la siguiente expresión:A = x (1 - x + y) - y (x + 1 - y) - (y2 - x2)

Resolución:A = x - x2 + xy - yx - y + y2 - y2 + x2 Agrupamos términos semejantes:A = x + (-x2 + x2) + (xy - yx) - y + (y2 - y2)A = x + (0) + (0) - y + (0)A = x - y

8 Halla el valor de N.N = (a + b)(a2 - ab + b2)

Resolución:N = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3

Agrupamos:N = a3 + (- a2b + a2b) + (ab2 - ab2) + b3

N = a3 + 0 + 0 + b3

N = a3 + b3

9 Efectúa:

( )( ) ( ) ( ) ( )Q a b a b a ba b a b a b a b

5 4 5 62 3 4 9= - - + - ++ + - + + - -

Resolución:

Q a b a b a ba b a b a b a b

5 5 4 5 62 2 3 3 4 4 9 9= - - + - ++ + - + + - +

Agrupamos:

( ) ( )( ) ( )Q a a a b b b

a a a a b b b b5 4 5 5 6

2 3 4 9 2 3 4 9= - - + - + ++ + - + - + +

Q bb

0 60 12= ++

Q = 2


X

10 Reduce la siguiente expresión:M = 2x(3 + y) + 3y(2 - x) - 6(x - y) + xy

Resolución:Operamos:M = 6x + 2xy + 6y - 3xy - 6x + 6y + xy

Agrupando convenientemente:M = (6x - 6x) + (2xy - 3xy + xy) + (6y + 6y)M = 0 + 0 + 12yM = 12y

11 Halla M.M = 3xy + 4xy -5xz- 6xz - 7xy + 10xz

Resolución:Agrupamos términos semejantes:M = (3xy + 4xy - 7xy) + (-5xz- 6xz + 10xz)M = (0) + (- xz)M = - xz

12 Determina una expresión para el perímetro de la figura sombreada:

x3 - x2 + x

x2

8

Resolución:

x2

x3 − x2 + x − 8

& Sumando los lados: el perímetro = 2(x3 - x2 + x - 8) + 2x2 = 2x3 + 2x - 16

13 Calcula A.

A = (x - 2y)2 - x2 - y2 - 3y2 + 3xy

Resolución:

A = (x - 2y) (x - 2y) - x2 - y2 - 3y2 + 3xy

A = x2 - 2xy - 2xy + 4y2 - x2 - y2 - 3y2 + 3xy

Por términos semejantes:

A = (x2 - x2) + (-2xy - 2yx + 3xy) + (4y2 - y2 - 3y2)

A = 0 + (- xy) + 0

A = - xy

14 Halla el área del rectángulo.

2x - 1

x + 1

Resolución:

Por fórmula del área del rectángulo se tiene:

A = largo # ancho

A = (2x - 1)(x + 1)

A = 2x2 + 2x - x - 1

A = 2x2 + x - 1

15 Calcula E.E = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (- 32 + x3)

Resolución:

E = x3 + 3x2 + 9x - 3x2 - 9x - 27 + 32 - x3

E = (x3 - x3) + (3x2 - 3x2) + (9x - 9x) +5

E = 0 + 0 + 0 +5

E =5

16 Efectúa:S = -x + 2x - 3x + 4x -5x+ 6x - ... + 40x

Resolución:

S = (-x - 3x - … - 39x) + (2x + 4x + … + 40x)

S = - x (1 + 3 + … + 39) + x(2 + 4 + … + 40)

S = - x((20) 2) + x((20)(21))

S = - 400x + 420x

S = 20x

17 Halla el valor de la siguiente expresión:

( )( )

N m nm m m n n n

25 4 3 2 3

= -- - + + -7 A

Resolución:

N = m nm m m n n n

2 25 4 3 2 3

-- + + - -

N = m nm n

m nm n

2 24 4

24

-- =

--

__

ii

N = 2

16 Intelectum 1.°

POLINOMIOS

DEFINIcIóNEs una expresión algebraica formada por más de un monomio, cuyas variables poseen exponentes enteros no negativos.

Ejemplos:

P(x; y) = 3x2y3 + x4y2 + x3y3 P(x; y; z) = 3xy2 + y2z3 + 120

NOTAcIóN MATEMÁTIcA DE UN POLINOMIOPermite representar a una expresión matemática a través del cual identificamos variables, exponentes y coeficientes.

Veamos: Variables: x e y (siempre están entre paréntesis)

Exponentes: 2; 3; 3; 1; 1Constantes (coeficientes): ; 2;a b

2-P(x; y) = 2ax x y b xy2

2 3 3+ -

GRADO DE UN POLINOMIOGrado absoluto (GA)Es el mayor de los GA de los monomios que conforman el polinomio.

Ejemplo:P(x; y) = 24x10y2 + 4

3 x5y5 - 7 x3y4 Escogemos el mayor grado, entonces:GAP(x; y) = 12

GA = 12 GA = 10 GA = 7

Grado relativo (GR)Es representado por el valor del mayor exponente de la variable en referencia.

Ejemplos:

P(x; y) = 24x10y2 + 43 x5y5 - 7 x3y4 & GR(x) = 10 y GR(y) =5

Q(x; y; z) =5x8y20z12 - 8x8y21x11 + x9yz4 & GR(x) = 9; GR(y) = 21 y GR(z) = 12

VALOR NUMéRIcO DE UN POLINOMIOEs el resultado definido que se obtiene al sustituir las variables por un número cualquiera, realizando las operaciones indicadas previamente.

Ejemplo:Si: P(x) = x3 + 3x + 1

Halla: P(0) = (0)3 + 3(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 P(b) = (b)3 + 3(b) + 1 = b3 + 3b + 1

P(1) = (1)3 + 3(1) + 1 = 1 + 3 + 1 =5 P(-1) = (-1)3 + 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3

cAMBIO DE VARIABLE DE UN POLINOMIOConsiste en reemplazar la variable de un polinomio por una nueva variable.

Ejemplos:

1. Si: T(x) = 7x + 1, halla: T(7a), T(a + 2), T(x2 + 1) y T(6a - 1)

T(7a) = 7(7a) + 1 = 49a + 1 T(a + 2) = 7(a + 2) + 1 = 7a + 14 + 1 = 7a +15 T(x2 + 1) = 7(x2 + 1) + 1 = 7x2 + 7 + 1 = 7x2 + 8 T(6a - 1) = 7(6a - 1) + 1 = 42a - 7 + 1 = 42a � 6

Atención:

Tenencuentalaspropiedadesdelgradoabsoluto:1.Si:P(x)=(axm+b)(cxn+d)

& GA(P)=m+n

2.Si:T(x)=xx9 107 8n

m

+

+

& GA(T)=m-n

3.Si:A(x)=(4xm+100)n

& GA(A)=mn

4.Si:R(x)= x5 6nm+

& GA(R)=mn


X

Observación

Sienelejemplonospidieran: A(x+2)

Entonces:x+3=x+2x=x+2-3x=x-1

Escomola2a.forma,sedes-peja la variable del primermiembro:A(x+3)=A(x+2)=(x-1)-7`A(x+2)=x-8

2. Si: A(x + 3) = x - 7, calcula: A(2)

1.a forma: A(x + 3) = x - 7 Se busca: x + 3 en el 2.° miembro: A(x + 3) = (x + 3) - 3 - 7 Entonces: A(x) = x - 10 Luego: A(2) = 2 - 10 ` A(2) = - 8

2.a forma: Hacemos x + 3 = 2 & x = - 1 Reemplazando tenemos: A(2) = (-1) - 7 ` A(2) = - 8

VALORES NUMéRIcOS NOTABLES

Suma de coeficientes: ∑coef.Se obtiene reemplazando las variables por la unidad.Sea el polinomio:P(x) = anx

n + an - 1xn - 1 + an - 2x

n - 2 + ... + a1 x + a0Si: x = 1

/coef.(P) = P(1) = an + an - 1 + an - 2 + ... + a1 + a0

Ejemplos:• P(x)= 6x4 + 7x3 + 3x - 1 & /coef.(P) = P(1) = 6(1)4 + 7(1)3 + 3(1) - 1 =15

• T(x)= (3x - 1)10 + x - 1 & /coef.(T) = T(1) = (3(1)-1)10 + 1 - 1 = 1024

Término independiente: TISe obtiene reemplazando las variables por ceros.Sea el polinomio: P(x) = anx

n + an - 1xn - 1 + an - 2x

n - 2 + ... + a1x + a0Si: x = 0

TI(P) = P(0) = a0

Ejemplos:• P(x)= 6x4 + 7x3 + 3x - 1 & TI(P) = P(0) = 6(0)4 + 7(0)3 + 3(0) - 1 = - 1

• T(x)= (3x - 1)10 + x - 1 & TI(T) = T(0) = (3(0) - 1)10 + 0 - 1 = 0

Ejemplo:Del siguiente polinomio:M(x) = (2x - 1)20 +5x- 1Halla el termino independiente, la suma de coeficientes y el grado absoluto del polinomio.

Resolución:Hallamos el término independiente:M(0) = [2(0) - 1]20 +5(0)- 1M(0) = (-1)20 + 0 - 1 = 1 + 0 - 1& M(0) = 1 + 0 - 1 = 0 La suma de coeficientes es:! coef.(M) = M(1) = [2(1) - 1]20 +5(1)- 1! coef.(M) = M(1) = (1)20 +5- 1

& ∑coef.M =5

Ahora hallamos el grado absoluto de M(x):No es necesario desarrollar el polinomio, por propie-dad del grado absoluto tenemos:GA(M(x)) = 20 (mayor exponente de la variable)

Efectuar

Grupo IHalla el grado absoluto y los grados relativos en cada caso:1. M(x) = 6x5

2. M(x) = 32 xn + 1

3. M(x; y) = 8x10y5

4. M(x; y) = -18x3y16

5. M(x; y; z) = 9x5y4z18

6. M(x; y; z) = 14x6y9z 7. M(x; y) = 2xn-1yn+1

8. P(x; y) = 8x6y7 - 3x5y9 + xy11

9. P(x; y) = 10x9y9 + 2x10y8 - x13y5

10. P(x; y) = xy + x3y - y4

Grupo II11. Si: P(x) = x2 - x + 1 Halla: P(7)

12. Si: P(x) = x2 - x + 10 Halla: P(8)

13. Si: P(x) = x2 + 3x + 1 Halla: P(2)

14. Si: P(x) = x3 + x2 + x Halla: P(3)

15. Si: P(x) = 3x + 2 Halla: P(x + 2)

16. Si: P(x) = 4x +5 Halla: P(x + 3)

17. Si: P(x) = 6x - 2 Halla: P(x + 4)

18. Hallalasumadecoeficientesdelospolinomios dados a continuación:

P(x) = 8x2 + 7x + 1 P(x) = 10x3 + 8x2 - 7x + 12 P(x) = 3x4 -5x3 + 12x2 - 2

19. Halla el término independiente de: P(x) = nx2 + (n + 2)x + 12

20. Si: P(x) = 9x - 10 Halla: P(x + 3)

DelpolinomioP(x):an:coeficienteprincipal,esel

coeficiente de la variableconmayorexponente.

Nota

18 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Si los términos del siguiente polinomio son semejantes: T(x; y) = (ba(b - a) + 1)x 1a2 + yb + 4 + (b2(a - b) - 17)x2(3a - 4)y b2 7 3-

Calculalasumadesuscoeficientes.

Resolución:Por ser términos semejantes, igualamos los exponentes de las variables “x” e “y” respectivamente:

Resolución:Reemplazamos:

( ( ))P P x P xx

22 1

=--d nS

Ahora reemplazamos xx

22 1

-- en P(x) y operamos:

P xx

xxxx

xx x

xx x

x x22 1

22 1 2

2 22 1 1

22 1 2 4

24 2 2

33

( )P x

-- =

-- -

-- -

=

-- - +-

- - += =d

dn

n

1 2 344 44

Por lo tanto: P(P(x)) = x

5 Dado: P(x) = 3m(x + 3) -5Calcula m para que el término independiente sea 22.

Resolución:P(x) = 3m(x + 3) -5 Luego:

P(0) = 3m(0 + 3) -5= 22 3m . 3 = 27 3m + 1 = 33

& m + 1 = 3 & m = 2

Dato:TI(P) = P(0) = 22

6 Si: P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3

Calcula: GR(x) + GR(y)

Resolución:Para hallar el grado relativo tomamos el mayor exponente de las variables x e y del polinomio, entonces:GR(x) = 9 / GR(y) = 9

Piden: GR(x) + GR(y) = 9 + 9 = 18

7 Dado el polinomio: P(x; y) = xa - 2y2a + 7x2 - ay4a + 1

Se tiene GR(y) = 9, calcula el grado absoluto de P(x; y).

Resolución:Comparando los exponentes de la variable y tenemos:

8 2a < 4a + 1 & GR(y) = 4a + 1Luego:4a + 1 = 9, de donde: a = 2Para el grado absoluto comparamos los grados absolutos de cada término:a - 2 + 2a = 3a - 2 & GA(P) = 3a + 3 = 3(2) + 3 = 92 - a + 4a + 1 = 3a + 3` GA(P) = 9

9 Si el polinomio Q se reduce a un solo término, halla: m + n;Q x y x y x ym n1 6 3 1

= +- -_ i Resolución Del dato, el polinomio se reduce a un solo término, entonces los exponentes son iguales, asi:m - 1 = 3 & m = 4n - 1 = 6 & n = 7Nos piden: m + n = 11

a2 + 1 = 2(3a - 4) a2 + 1 = 6a - 8 a2 - 6a + 9 = 0 (a - 3)2 = 02

a - 3 = 0 a = 3

b + 4 = b2 7 - 3

(b + 7)2 = 2 7b 2_ i b2 + 14b + 49 = 4(7b) b2 - 14b + 49 = 0 (b - 7)2 = 02

b - 7 = 0 b = 7

Lasumadecoeficientesloexpresamoscomosigue:/coef.(T) = T(1; 1) = (ba(b - a) + 1) + (b2(a - b) - 17)

Reemplazamos los valores de a y b: /coef. = 73(7 - 3) + 1 + 72(3 - 7) - 17 = 343(4) - 16 + 49(-4) = 1372 - 16 - 196` /coef.(T) = 1160

2 Si: P(x) = x3

2 1+

Calcula: ( )P 4 1+

Resolución:Hallamos P(4):

P(4) = ( )3

2 4 1+ & P(4) = 3

Nos piden:( )P 4 1+ = 3 1+ = 2

3 Si: P(x + 2) = 2(x + 2)3 + x2 + 4x + 4Calcula: P(3)

Resolución:Haciendo: x + 2 = 3 & x = 1Luego, reemplazamos:P(1 + 2) = 2(1 + 2)3 + (1)2 + 4(1) + 4

P(3) = 2(3)3 + 1 + 4 + 4

P(3) = 2#27 + 9

` P(3) = 63

4 Si P(x) = xx

22 1

-- ; x ! 2

Halla: P(P(x))

S


PRODUCTOS NOTABLES

unidad 2

CONCEpTOSon aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación.

pRINCIpALEs pRODUCTOs NOTABLEs1. Binomio al cuadrado

Binomio suma al cuadrado:

(a + b)2 / a2 + 2ab + b2

Trinomio cuadrado perfecto

Binomio diferencia al cuadrado:

(a - b)2 / a2 - 2ab + b2

Trinomio cuadrado perfecto Atención

Tener en cuenta que es necesario identificar los términos para desarrollar sin inconvenientes los productos notables.

Potencia de potencia:

(am)n = am . n

n n n2 2 2= =

Nota

Ejemplos:1. Desarrolla: (2x + 3y)2

Resolución: Identificamos los términos de la expresión

general:(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2

a b a2 2ab b2

Aplicamospotenciadepotenciaalostérminos(2x)2 y (3y)2 del segundo miembro:

(2x + 3y)2 = 22x2 + 2(2)(3)xy + 32y2 = 4x2 + 12xy + 9y2

2. Desarrolla: (4x - 3y)2

Resolución:Similar al ejemplo anterior, solo hay que tener

en cuenta el signo negativo:

(4x - 3y)2 = (4x)2 - 2(4x)(3y) + (3y)2 a b a2 2ab b2

= 42x2 - 2(4)(3)xy + 32y2

= 16x2 - 24xy + 9y2

2. Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a - b)2 / 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 / 4ab

Ejemplos:1. Desarrolla: (x + 7n)2 + (x - 7n)2

Resolución:Identificamostérminos:(x + 7n)2 + (x - 7n)2 = 2((x)2 + (7n)2)

a b a b a2 b2

= 2(x2 + 72n2) = 2(x2 + 49n2)

2. Desarrolla: (5x + 9y)2 - (5x - 9y)2

Resolución:

(5x + 9y)2 - (5x - 9y)2 = 4 . 5x . 9y a b a b a b = 4(5)(9)xy = 180xy

3. Binomio suma por binomio diferencia (diferencia de cuadrados)

(a + b)(a - b) / a2 - b2

Ejemplo:1. Desarrolla: (x3 + 1)(x3 - 1)

Resolución:Identificamostérminos:(x3 + 1)(x3 - 1) = (x3)2 - 12 = x6 - 1

a b a b a2 b2

Observación

1. De las identidades de Legendre:(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

Se deduce:(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

2. (a - b)2 = (b - a)2

Ejemplo:(9x - 2y)2 = (2y - 9x)2

20 Intelectum 1.°

4. Multiplicación de binomios con un término en común (identidad de Stevin)

(x + a)(x + b) / x2 + (a + b)x + abVeamos algunos ejemplos:

Es necesario tener en cuenta que si: (a + b)(a - b) / a2 - b2

Entonces también se cumple:a2 - b2 / (a + b)(a - b)

Ejemplo:9m2 - 49 = (3m)2 - 72 = (3m + 7)(3m - 7)A este proceso de solución se le llama FACTORIZACIÓN, tema que se verá más adelante.

Nota

5. Binomio al cuboBinomio suma al cubo Binomio diferencia al cubo

(a + b)3 / a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 / a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplos:

6. Identidades de Cauchy (otras formas de expresar un binomio al cubo) Binomio suma al cubo Binomio diferencia al cubo

(a + b)3 / a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 / a3 - b3 - 3ab(a - b)

Ejemplos:

7. Suma y diferencia de cubosSuma de cubos Diferencia de cubos

(a + b)(a2 - ab + b2) / a3 + b3

Suma de cubos

(a - b)(a2 + ab + b2) / a3 - b3

Diferencia de cubos

Ejemplos:1. Desarrolla: (x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2)

Resolución:Dandounaformaadecuadaalaexpresiónparaidentificartérminos:(x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2) = (x + 3y)(x2 - (x)(3y) + (3y)2) = x3 + (3y)3 = x3 + 27y3

a b a2 ab b2 a3 b3

2. Desarrolla: (m - n2)(m2 + mn2 + n4)Resolución:

(m - n2)(m2 + m . n2 + (n2)2) = (m)3 - (n2)3 = m3 - n6

a b a2 ab b2 a3 b3

1. Desarrolla: (x + 8)(x + 3)Resolución:(x + 8)(x + 3) = x2 + (8 + 3)x + 8 . 3

a b a b a b = x2 + 11x + 24

2. Desarrolla: (m - 7)(m + 5)Resolución:Hacemos que lo propuesto tome forma de la identidad:(m - 7)(m + 5) = (m + (-7))(m + 5) = m2 + (-7 + 5)m + (-7)(5)(m - 7)(m + 5) = m2 - 2m - 35

1. Desarrolla: (m + 7)3

Resolución:Identificamostérminos:

(m + 7)3 = m3 + 3m2 . 7 + 3 . m . 72 + 73

a b a3 a2 b a b2 b3

= m3 + 21m2 + 147m + 343

2. Desarrolla: (m - 7)3

Resolución:(m - 7)3 = m3 - 3m2 . 7 + 3m . 72 - 73

a b a3 a2 b a b2 b3

= m3 - 21m2 + 147m - 343

1. Desarrolla: (2m2 + n)3

Resolución: (2m2 + n)3 = (2m2)

3+ (n)3 + 3(2m2)(n)(2m2 + n)

a b a3 b3 a b a b = 8m6 + n3 + 6m2n (2m2 + n)

2. Desarrolla: (7m - n3)3

Resolución: (7m - n3)3 = (7m)3 - (n3)

3 - 3(7m)(n3)(7m - n3)

a b a3 b3 a b a b

= 343m3 - n9 - 21mn3(7m - n3)

Efectuar

1. (x + 2)2

2. (x + 5)2

3. (3 + x)2

4. (x - 4)2

5. (x - 6)2

6. (x - y)2

7. (x + 2)2 + (x - 2)2

8. (4 + a)2 + (4 - a)2

9. (6 + a)2 - (6 - a)2

10. (n + x)2 - (n - x)2

11. (x + 5)(x - 5)

12. (y + 2)(y - 2)

13. (x + 1)(x - 1)

14. (x2 + 2)(x2 - 2)

15. (x3 + 5)(x3 - 5)

16. (x + 9)(x + 2)

17. (x + 4)(x + 3)

18. (x + 2)(x + 7)

19. (x - 5)(x + 10)

20. (a + 2)3


Problemas resueltos x

1 Efectúa: R = (x + 1)2 + (x + 2)2 - 2x(x + 3)

Resolución:Desarrollamos los binomios al cuadrado: R = x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 - 2x2 - 6xR = x2 + x2 - 2x2 + 2x + 4x - 6x + 1 + 4 0 0R = 0 + 0 + 5 & R = 5

2 Calcula: M = ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)7 5 5 7+ + - -

Resolución: En la expresión se observa diferencia de cuadrados:M = ( 2) ( 2) ( 1) ( 1)7 7 5 5+ - + - M = ( ) ( ) ( ) ( )7 2 5 12 2 2 2- -7 7A AM = [7 - 4][5 - 1] & M = 3 # 4 & M = 12

3 Efectúa: H = ( 1) ( 1)3 9 33 3 3+ - +

Resolución:En la expresión se observa suma de cubos:H = ( 1) ( 1)3 9 33 3 3+ - + a b a2 ab b2

H = ( 1) (( ) ( ) (1) (1) )3 3 33 3 2 3 2+ - +H = ( ) (1)33 3 3+ & H = 4

4 Efectúa: M = ( ) ( )10 2 100 20 43 3 3 3 3- + +

Resolución:En la expresión se observa diferencia de cubos:M = ( ) (( ) ( ) ( ) ( )10 2 10 10 2 23 3 3 2 3 3 3 2- + + )

a b a2 ab b2 M = ( ) ( )10 23 3 3 3- = 10 - 2 & M = 8

5 Si ab = 8 y a2 + b2 = 20, además: a, b ! R+, entonces el valor de: (a + b)3 es: Resolución:Por binomio suma al cuadrado se sabe:

2a b a b ab2 2 2/+ + +_ iReemplazamos:

20 2a b 82+ = +_ _i i36a b 2+ =_ i & a + b = 6

Nos piden: 6 216a b 3 3+ = =_ i

6 Si 4x y- = , además xy = 3; halla: x y3 3-

Resolución:Por identidad de Cauchy:

3x y x y xy x y3 3 3/- - - -_ _i i

Nos piden x y3 3- , entonces:3x y x y xy x y3 3 3- = - + -_ _i i

Reemplazamos datos:3x y 4 3 43 3 3- = +_ _ _i i i

64 36x y3 3- = +100x y3 3- =

7 Efectúa: x x x9 3 1 3 12 + + -_ _i i

Resolución:

Por diferencia de cubos se sabe: a b a b a ab b3 3 2 2/- - + +_ _i iNotamos que el problema es un caso de diferencia de cubos:

x x x9 3 1 3 12 + + -_ _i i ( ) ( ) ( ) ( ) (3 1)x x x3 3 1 12 2= + + -8 B

a2 b2 a bab

x3 13 3= -_ _i i

27 1x3= -

8 Reduce: 1x x x x x x1 1 1 12 2- + + + - + +_ _ _ _i i i i

Resolución:En el problema se observa simultáneamente suma y diferencia de cubos:

1x3 3-Dif. de cubos:

1x x x x x x1 1 1 12 2- + + + - + +_ _ _ _i i i i

1x3 3+Suma de cubos:

Entonces se convierte en:1 ( ) 1 1x x x x x1 1 1 13 3 3 2 2 6 6- + + = - + = - + =_ _i i

Dif. de cuadrados

9 Si 4x x2 2+ =- , calcula: x x6 6+ -

Resolución:Sea:

4x a x a x x a a1 12 2 2 2

& &= = + = + =- -

Nos piden x x6 6+ - :

x x x x6 6 2 3 2 3+ = +- -_ _i i aa133= +

Identidad de Cauchy: 3a b a b ab a b3 3 3/+ + + +_ _i i

Luego:

3 .a a aa

a a a a1 1 1 13 3

3+ = + + +d dn n

3aa

4 1 43 33= + +_ _i i

52 52aa

x x133

6 6&+ = + =-

22 Intelectum 1.°

DIvIsIóN DE pOLINOmIOsEs aquella operación inversa a la multiplicación definida para polinomios en una sola variable cuyo objetivo es calcular dos expresiones algebraicas llamadas cociente y residuo obtenidas de otras dos expresiones llamadas dividendo y divisor.

Representación

D(x) d(x)R(x) Q(x)

Elementos:D(x): dividendod(x): divisor

Q(x): cocienteR(x): resto o residuo

Estos polinomios están relacionados mediante la identidad fundamental:

D(x) = d(x)Q(x) + R(x)

pROpIEDADEsEs necesario que: D°(x) $ d°(x), esto para asegurar que el cociente sea un polinomio, a partir de ello:

1. El grado del cociente es el exceso entre el grado del dividendo respecto al grado del divisor.

Q°(x) = D°(x) - d°(x)

2. El grado del residuo máximo es una unidad menor que el grado del divisor.

R°(x)máx. = d°(x) - 1

TéCNICAs pARA DIvIDIR1. HornerVálido para la división de polinomios de cualquier grado. Considerando solo los coeficientes, veamos su ubicación en el esquema de Guillermo Horner.

d D I V I D E N D Oivisor

C O C I E N T E R E S I D U O

El coeficiente no cambia de signo

Cambian de signo

n.° lugares = d°(x)

Pasos:P1:dividirelprimercoeficientedeldividendoporelprimerodeldivisor;esteeselprimertérminodelcociente.P2:elprimertérminodelcocientesemultiplicaporcadaunodeloscoeficientesdeldivisor,losresultadosse

colocan dejando una columna de lado.P3:reducirlasiguientecolumnayrepetirelpasoanteriortantasveceshastaobtenerelúltimotérminodel

cociente(términoindependientedelcociente).P4: toda suma de columnas que se realiza en la zona del residuo no se divide, se coloca directamente.

Ejemplo:

Divide: x x

x x x1 2

1 4 9 63

4 3 5

- +- + + +

Resolución:• Completamos y ordenamos:

x x

x x xx

x x2 1

6 4 9 10

0 03

5 4 32

2

+ + -+ + + -+

d°(x) = 3

división de polinomios

Atención

veamos la siguiente simbolización:D° = D°(x): grado del dividendo.d° = d°(x): grado del divisor.Q° = Q°(x): grado del cociente.R° = R°(x): grado del resto o

residuo.R°máx. = R°(x)máx.: grado del resto o residuo máximo.

Ten en cuenta:• Una división es exacta

cuando: R(x) = 0Luego:D(x) = d(x)Q(x) o

( )( )d xD x = Q(x)

• Una división es inexacta cuando: R(x) ! 0Luego:D(x) = d(x)Q(x) + R(x) o

( )( )d xD x = Q(x) + ( )

( )d xR x

Nota

Tener en cuenta que en todas las técnicas para dividir, los polinomios deben estar ordenados en forma descendente respecto a una sola variable y si falta alguna se completan con ceros.

Nota


x

El método de Ruffini se considera como un caso particular del método de Horner.

Nota

• Disponemos solo de los coeficientes en elesquema de Horner:

2 6 4 9 0 0 -10 0 -3 3

-1+1

3

'

P23#3#

3#

P1

n.° lugares = d°(x) = 3

2 6 4 9 0 0 -10 0 -3 3

-1 0 -2 2+1 # 0 -3 3

3 2 3 1 -1 2

'

'

++ + + +

2#2#

2#

4 6

x2 x TI x2 x TI

P3P4

` Q(x) = 3x2 + 2x + 3 (cociente) R(x) = x2 - x + 2 (resto)

2. RuffiniAplicable cuando el divisor es de la forma ax ! b o cualquier otra expresión transformable a esta. ParaelCASOGENERALDESOLUCIÓNveamoselesquemadePaoloRuffini:

D I V I S O Rax ! b = 0 x = " a

b

D I V I D E N D O

Primer coeficiente del divisor: ' a Coeficientes del cociente alterado. RESTO

Verdaderos coeficientes del cociente luego de dividir entre “a”.

Pasos:P1: el primer elemento del dividendo se baja, este corresponde al primer coeficiente del cociente.P2: se procede como en la división por Horner y el resultado de reducir la última columna es el resto de la

división.

Ejemplos:1. Cuando: a = 1

Efectúa:

xx x x

22 53 2

-+ + -

Resolución:• Ordenamos el dividendo:

xx x x

25 23 2

-- + +

x - 2 = 0 1 -5 1 21x - 2 = 0

x = 2 2 -6 -10

' a = 1 1 -3 -5 -8

1 -3 -5

+ + +P1

1

x2 x TI

residuo

Donde:` Q(x) = x2 - 3x - 5 (Cociente) R(x) = -8 (Residuo)

2. Cuando: a ! 1 Divide:

3 7 2 1x

x x x x3 1

4 2 3

-- + - +

Resolución:• Ordenamos el dividendo:

xx x x x

3 13 2 7 14 3 2

-+ - - +

Luego:3x - 1 = 0 3 2 -7 -1 1

x = 31 1 1 -2 -1

' 3 3 3 -6 -3 0

1 1 -2 -1x3 x2 x TI

Donde:` Q(x) = x3 + x2 - 2x - 1 R(x) = 0

TEOREmA DEL REsTOTe permite encontrar el resto de la división sin efectuarla, siempre y cuando el divisor sea un binomio.

Lema o enunciado de Descartes

Sea P(x) un polinomio no constante; el resto de dividir P(x) por (ax ! b) viene dado por P ab

"c m.

Recuerda

El resto obtenido por Ruffini siempre es una constante.

Observación

• Cuadrícula para identificar filas y columnas:

Filas

Columnas

• El número de columnas que presenta el RESTO es numéricamente igual al grado del divisor contado de derecha a izquierda.

n.° lugares = d°(x)

• TI: término independiente

24 Intelectum 1.°

Regla práctica:

1. El divisor se iguala a cero: ax ! b = 02. Despejar la variable: x = a

b"

3. Reemplazamos el valor de “x” en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el RESTO de la división.

Ejemplos:

1. Halla el resto en: ( )x

x x6

5 12009 2

-- + +

Resolución: Según la regla práctica:

x - 6 = 0 x = 6

Reemplazamos x = 6:R(x) = (6 - 5)2009 + (6)2 + 1 = 12009 + 36 + 1` R(x) = 38

2. Calcula “n”, si el resto de la división:

( )x

x x n x3

3 24 1 54 2

-- + + - es 31.

Resolución:Aplicamos la regla práctica:x - 3 = 0 x = 3

Reemplazamos x = 3: R(x) = 3(34) - 24(3)2 + (n + 1)(3) - 5 R(x) = 35 - 24(9) + 3n + 3 - 5 R(x) = 243 - 216 + 3n - 2 = 27 + 3n - 2(Dato)

31 = 25 + 3n 31 - 25 = 3n 6 = 3n ` n = 2

DIvIsIBILIDADUn polinomio es divisible por otro, si la división es exacta, es decir, si: R(x) = 0

Teoremas:I. Si un polinomio P(x) se anula para x = a (P(a) = 0), entonces P(x) es divisible por (x - a). Además; x = a es un cero o raíz de P(x).

P(x) = (x - a)Q(x)

Ejemplo:P(x) = 5x3 + x2 - 6 se anula para x = 1.P(1) = 5(1)3 + (1)2 - 6 = 6 - 6 = 0& P(x) es divisible por (x - 1) P(x) = (x - 1)Q(x)

II. Si un polinomio P(x) es divisible por separado por los binomios (x - a), (x - b) y (x - c), entonces será divisible por el producto de ellos.Si:P(x) = (x - a)Q1(x) & R(x) = 0P(x) = (x - b)Q2(x) & R(x) = 0 & P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)Q(x) & R(x) = 0P(x) = (x - c)Q3(x) & R(x) = 0

Ejemplo:Un polinomio cúbico mónico P(x) es divisible por (x - 3) y (x - 6), además, P(7) = 20.Determina dicho polinomio.

Resolución:Del enunciado, P(x) será de la forma siguiente:P(x) = (x - 3)(x - 6)(ax - c) a = 1 (polinomio mónico)

Además:P(7) = (7 - 3)(7 - 6)(7 - c)

20 = 4 . 1 . (7 - c) 5 = 7 - c & c = 2

Luego:P(x) = (x - 3)(x - 6)(x - 2)` P(x) = x3 - 11x2 + 36x - 36

Recuerda

Consideremos el polinomio de grado 2:P(x) = ax2 + bx + c; a ! 0

Suma de coeficientes:

!Coef. = P(1) = a + b + c

Término independiente:

TI = c = P(0)

Atención

Del polinomioP(x) = ax3 + bx2 + cx + d; a ! 0a, b, c y d: son los coeficientes del polinomio.a: coeficiente principal.b: coeficiente del término

cuadrático.c: coeficiente del término

lineal.



1 Halla el cociente de la siguiente división:

x xx x x

2 14 2 2

24 3

- -- + -

Resolución:Según las propiedades:

Q°(x) = D°(x) - d°(x) = 4 - 2 = 2

R°(x)máx. = d°(x) - 1 = 2 - 1 = 1

Por Horner, tendremos:

2 4 -2 0 1 -2+1 2 2+1 0 0

1 12 0 1 2 -1

x 2 x TI x TI

+ +

Q°(x) = 2

'

Por consiguiente:Q°(x) = 2x2 + 1

2 Encuentra el cociente de la división:

m mm m m m

32 3 2

25 4 3 2

+ ++ + + +

Resolución:Según las propiedades:

Q°(m) = D°(m) - d°(m) = 5 - 2 = 3

R°(m)máx. = d°(m) - 1 = 2 - 1 = 1

Ordenamos y completamos:

1 1 1 3 2 0 2-1 -1 -3-3 0 0

0 0-2 -6

1 0 0 2 -2 -4m 3 m2 m TI m TI

Q°(m) = 3

Nos piden el cociente de la división:

` Q(m) = m3 + 2

3 Halla la suma de coeficientes del cociente obtenido al dividir:

xx x x x

3 16 8 4 85 4 3

-+ + - +

Resolución:PorRuffini:

3x - 1 = 0 6 1 8 0 -4 8 x = 3

1 2 1 3 1 -1

' 3 6 3 9 3 -3 7

2 1 3 1 -1

Coeficientes del cociente

Luego, nos piden: Scoef. Q(x) = 2 + 1 + 3 + 1 - 1` Scoef. Q(x) = 6

4 Encuentra el cociente de:

yy y y

5 335 4 4 114 3

-+ - +

Resolución:CompletamosyaplicamosRuffini:

5y - 3 = 0 35 4 0 -4 11 y = 5

3 21 15 9 3

' 5 35 25 15 5 14

7 5 3 1y3 y2 y TI

` Q(y) = 7y3 + 5y2 + 3y + 1

5 Halla el resto de la división:3

xx x x x x

21 3 15 3 4 3

-- + + + + + +^ ^h h

y calcula: residuo 73 +

Resolución:Según la regla práctica:1. El divisor se iguala a cero: x - 2 = 02. Despejar la variable: x = 23. Reemplazamos en el polinomio dividendo: R(x) = (2 - 3)5 + (2 + 1)3 + 24 + 23 + 3(2) + 1 = (-1)5 + 33 + 16 + 8 + 7

Tenemos en cuenta que: (-)par = + / (-)impar = -

Luego: R(x) = -1 + 27 + 31` R(x) = 57 = residuo

Nos piden: 2 4residuo 7 57 7 23 3 63 2+ = + = = =

` 4residuo 73 + =

26 Intelectum 1.°

CONCEpTOEs el procedimiento mediante el cual los polinomios se expresan como producto de dos o más factores polinomiales.

CAmpOs NUméRICOsUnconjuntodenúmerospertenecenauncamponumérico,sicuandoserealizaunadeterminadaoperaciónfundamentalentreestos,elresultadotambiénperteneceadichoconjunto.

Seanloscamposnuméricos:

• Conjuntodelosnúmerosnaturales: N = {1; 2; 3; 4; ...}

• Conjuntodelosnúmerosenteros: Z = {... -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;...}

• Conjuntodelosnúmerosracionales: Q = { ;32

54 ; -4; -2; 0; 5; 10;...}

• Conjuntodelosnúmerosirracionales: I = { ; ; ; ; ...e 7 2π }

• Conjuntodelosnúmerosreales: R = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ...e 11 3021

117 9 0 2 100π - -' 1

• Conjuntodelosnúmeroscomplejos: C = -7i; 2i; p; e; 11 ; 117 ; 9; 100- ;...

Polinomio definido en un campo numéricoUnpolinomioestádefinidoenuncamponuméricositodossuscoeficientesestánincluidosendichocampo.

Ejemplos:• A(x;y)= - 3xy2 + 7

5 x2 - 92 xy9 : está definido en Q.

• B(x;y)= 2 x2y2 - xy3 + 7 y3 - 3 : está definido en R.

• C(x;y)= 7 ixy7 + 32 ix2 - 2

1 xy2 + 3xy : está definido en C.

Donde: i = 1- (unidad imaginaria)

Factor primo en el campo de los números racionales (Q)Es aquella expresión algebraica que se puede identificar con los siguientes criterios:1. Debe ser un polinomio de coeficientes contenidos en los racionales.2. Admite dos divisores (la unidad y la misma expresión).3. El factor primo contiene por lo menos una variable.

Ejemplos:• 3x+1 • x2 - xy +y •x-y • a3 + 2 • ab-1 • m-n • 2m+5n • m- n2

Factor o divisor algebraicoEs aquel polinomio no constante que divide en forma exacta a un polinomio.

Ejemplo:Sea: P(a; b) = a2 - b2 uno de sus factores es: a + b

Es decir; ( ; )a b

P a b+ es exacta: a b

a b2 2

+- = a - b (R(a; b) = 0)

méTODOs DE fACTORIzACIóNA) Método del factor común (agrupaciones de términos)

Consisteenlocalizaruntérminoqueserepiteenlaexpresiónafactorizar.

Ejemplos:1. Factoriza: P(a; b) = ab + a2b2 + a3b3

Siobservamoslaexpresión,eltérminoqueserepiteesab;luegoagrupamos:P(a; b) = ab(1 + ab + a2b2)

factorización

Recuerda

Esquemáticamente los conjuntos numéricos, se representan asi:

CR

I

QZ

N

Observación

A menos que se diga lo contrario, generalmente la factorización se realiza en los racionales (Q).


x

Efectuar

2. Factoriza: M(x) = ax + 7a + x + 7 Aquí,porejemplo,alagruparlosdosprimerostérminos,elfactorcomúnesa; es decir:

M(x) = (ax + 7a) + (x + 7) = a(x + 7) + (x + 7)Ahoraeltérminocomúnes:(x+ 7)M(x) = (x + 7)(a + 1)

B) Método de las identidadesEnestemétodosedebemanejaralgunaspropiedadescomoeselhechodereconocerunproductonotable.

Trinomio cuadrado perfecto : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Trinomio cuadrado perfecto : a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Diferencia de cuadrados : a2 - b2 = (a + b)(a - b)Suma de cubos : a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)Diferencia de cubos : a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo:Factoriza: (3x + 2y)2 - (3x - 7y)2

Desdoblando la diferencia de cuadrados obtenemos:(3x + 2y)2 - (3x - 7y)2 = (3x + 2y + 3x - 7y)(3x + 2y - 3x + 7y) = (6x - 5y)9y

C) Método del aspa simpleCriterio aplicado generalmente para factorizar polinomios completos de segundo grado.

Ejemplos: 1. Factoriza: T(x) = x2 + 12x + 35

Pasos:i. Descomponemoselprimerytercertérminoen

sus factores primos: T(x) = x2 + 12x + 35 . . x 5 Factores primos. x 7

ii. Efectuamos el producto de los factores primos en aspa, el resultado debe coincidir con el términocentral:

T(x) = x2 + 12x + 35 x 5 " 5x x 7 " 7x Coinciden 12x

iii. Los factores son la suma horizontal. ` T(x) = (x + 5)(x + 7)

2. Factoriza: C(a; b) = a6b2 - a3b - 6Teniendo en cuenta los pasos señalados:i. Descomponemoselprimerytercertérminoen

sus factores primos. C(a; b) = a6b2 - a3b - 6 . .

a3b -3 Factores primos. a3b +2

ii. Efectuamos el producto en aspa:C(a; b) = a6b2 - a3b - 6 a3b -3 " -3a3b a3b +2 " 2a3b a b3-

iii.Alfinallosfactoresson: ` C(a; b) = (a3b - 3)(a3b + 2)

Observación

Del ejemplo 2:Cuando el tercer término tiene signo (-), sus factores tendrán signos diferentes, de manera que el resultado coincida con el 2.° término.

Grupo I1. ax + bx + ay + by2. 6ax + 3a + 1 + 2x3. xy2 + xz2 + yz2 + xy2

4. 16x2 + 40x + 255. x4 – 4b2

6. x2 + 5x + 67. ax + a + bx + b8. (a + 1)(a – 2) + 3b(a + 1)9. ax + x – 3a – 310. az – aq + bz – bq

Grupo II1. c2x + c2y + 2x + 2y2. a2x + a2y + cx + cy3. x2 – y2 + x2 – y2

4. (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2

5. 2x + 3a + 4xy + 6ay6. 7x2y3 + 14x3y2

7. a2x2 + b2y2 – b2x2 – a2y2

8. 9y2 – 81y9. a4m + a4n – b4n - b4m10. (3x + 1)(2a + 3) + (2a + 3)(4x + 2)

Factoriza los siguientes polinomios:

28 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Factoriza: T(x; y) = x8y2 - x2y8

Da como respuesta la suma de sus factores cuadráticos.

Resolución:Extraemos el factor común: x2y2

T(x; y) = x2y2(x6 - y6)Desdoblamos la diferencia de cuadrados: x6 - y6

T(x; y) = x2y2(x3 - y3)(x3 + y3)Observamos la diferencia y suma de cubos respectivamente, luego:T(x; y) = x2y2(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 - xy + y2)Nos piden:Sfact. primos cuadráticos = (x2 + xy +y2) + (x2 - xy + y2)Sfact. primos cuadráticos = 2x2 + 2y2 = 2(x2 + y2) ` Sfpc = 2(x2 + y2)

2 Halla la suma de los términos independientes de los factoresprimos de:Z(x) = 2(x2 + 1) + (x2 + 1)(2x + 1) + (x2 + 1)(x + 1)

Resolución:Porelmétododelfactorcomún:x2 + 1Z(x) = (x2 + 1)(2 + (2x + 1) + (x + 1))Reducimostérminossemejantesdentrodelparéntesis:Z(x) = (x2 + 1)(2 + 2x + 1 + x + 1) = (x2 + 1)(3x + 4)Los factores primos son:x2 + 1 & TI = 1 / 3x + 4 & TI = 4 ` !TI = 4 + 1 = 5

3 Factoriza: B(x) = 35x4 - 9x2 - 2.Luego,indicaelfactorprimodemenorsumadecoeficientes.

Resolución:Factorizamosporelmétododelaspasimple:

35x4 - 9x2 - 2 5x2 -2 " - 14x2

7x2 1 " 5x2

9x2-

1.er factor2.° factor

Los factores primos son:5x2 - 2 & Scoef. = 5 + (-2) = 3 (menor)7x2 + 1 & Scoef. = 7 + 1 = 8`Elfactorprimodemenorsumadecoeficienteses:5x2 - 2

4 Factoriza: E(x) = (mx - 2n)2 - (nx - 2m)2

e indica el número de factores primos.

Resolución:Desdoblamos la diferencia de cuadrados:E(x) = ((mx - 2n) + (nx - 2m))((mx - 2n) - (nx - 2m))Agrupamosconvenientementeencadaparéntesis:E(x) = ((mx - 2m) + (nx - 2n))((mx + 2m) - (2n + nx))Factorizamosmynrespectivamenteencadaparéntesis:E(x) = (m(x - 2) + n(x - 2))(m(x + 2) - n(x + 2))Extraemos los factores: (x - 2) y (x + 2)E(x) = (x - 2)(m + n)(x + 2)(m - n)` Observamos 2 factores primos.

5 Factoriza:A = m2xy + mny2 + mnx2 + n2xy

Resolución:Agrupamos de dos en dos y buscamos factores en común:A = (m2xy + mny2) + (mnx2 + n2xy)

Factorizando obtenemos: A = my(mx + ny) + nx(mx + ny)` A = (mx + ny)(my + nx)

6 Factoriza:(a + b + c)y2 - (a + b + c)x2. Indica la suma de los factores primos.

Resolución:Factorizamos:(a + b + c) (y2 - x2)Desarrollamos la diferencia de cuadrados:(a + b + c) (y - x) (y + x)` S factores primos = a + b + c + 2y

7 Factoriza:18x2 - 69x + 21Indica la suma de sus factores primos.

Resolución:Aplicamoselmétododelaspasimple:

18x2 - 69x + 21 2x -7 " - 63x 9x -3 " - 6x 69x-


Luego:18x2 - 69x + 21 = 3(2x - 7)(3x - 1) & (2x - 7) + (3x - 1) = 2x - 7 + 3x - 1 = 5x - 8` La suma de sus factores primos es: 5x – 8

8 Indica la cantidad de factores primos de:P(x) = x4 + 2x2 - 3

Resolución:

Factorizamosutilizandoelmétododelaspasimple:


P(x) = x4 + 2x2 - 3 x2 3 " 3x2

x2 -1 " -x2 2x2

Luego, los factores son:(x2 + 3)(x2 - 1)& P(x) = (x2 + 3)(x + 1)(x - 1)

` La cantidad de factores primos es 3.


x

CONCEpTOEs aquella operación matemática de aplicación a una expresión algebraica llamada subradical. Consiste en hallar otra expresión algebraica denominada raíz, que elevada al índice del radical nos resulte la cantidad subradical.

Representación

Raíz

+x yn =

Índice

Operadorradical Cantidad subradical o radicando

x = yn

Ejemplos:1. 273 = 3 , 27 = 33

2. 643 = 4 , 64 = 43

3. 4 = 2 , 4 = 22

4. 1253 = 5 , 125 = 53

5. 100 = 10 , 100 = 102

6. 6254 = 5 , 625 = 54

Exponente fraccionario

a a anm

mn n m= = _ i

Ejemplos:

1. 7 772

7 2= _ i

2. 11 1131

3=

3. 31 31 31310 103 3 10

= =^ _h i

4. 2 247

74=

5. 3 31015

1510=

6. 125 12531

3- = -^ h

7. 7 743

34=

8. 5 52010

1020=

9. 81 8141

4=^ h

Raíz de un producto

.ab a bn n n=Ejemplos:

1. . .20 4 5 4 53 3 3 3= =

2. . . . .30 5 3 2 5 3 27 7 7 7 7= =

3. . .45 9 5 9 55 5 5 5= =

4. . .4 16 4 16 643 3 3 3= =

Raíz de una raíz

a a apnm mnp mnp1

= =

Ejemplos:

1. 20 20 20.35 5 3 15= =

2. 111 111 111. .37 7 3 2 42= =

3. 10 10 10. .53 2 3 5 30= =

4. 7 7 7.4 4 2 8= = = 7 81

Raíz de una fracción

;ba

ba b 0n

nn

!=

radicación

Atención

Ley de signos: el signo de una raíz depende del signo del radicando.

impar + = +impar - = -

+par = +

-par = número imaginario

Así:

• 2325 =+• 113 - =-

• 2164 =+

• 2i164 - =

• i: unidad imaginaria 1-^ h• A la unidad imaginaria

la estudiaremos en el siguiente capítulo:NÚMEROS COMPLEJOS

Recuerda

En las operaciones con radicales se procede así:

I. Introducir factores en una raíz.Se realiza potenciando el factor a un exponente igual al índice que tiene la raíz.Veamos:2x4y3 x y x y x y225 5 4 5 3 5 25

= ^ _h i

x y32 22 16=

II. Extraer factores de una raízSe realiza solo cuando el exponente del factor es mayor o igual que el índice.Veamos:

x y z w7 21 30 57

x y z z w7 3 7 4 7 2 57= _ ^i h

xy z z w3 4 2 57=

30 Intelectum 1.°

Ejemplos:

1. 278

278

323

33

= =

2. 240116

240116

724

44

= =

3. 24332

24332

325

55

= =

4. 12564

12564

543

33

= =

5. 2

642

64 32 255

5 5= = =

6. 16100

16100

410= =

HOmOGENIzACIóN DE RADICALEsEs la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice, en radicales con igual índice. Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo, se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas.Regla I: se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los índices de los radicales, que será el índice común.Regla II: se divide el MCM encontrado entre el índice original de cada radical, y cada cociente se multiplica por

elexponentetambiénoriginaldelacantidadsubradical.

Ejemplo:Dados: ; ;a b cd y5 37 ^ h ; expresarlos comoradicaleshomogéneas.

Resolución:Regla I: MCM (2; 5; 7) = 70

Regla II: ; ;a b cd y27070

57070 3 7

7070 ^` h j

CLAsEs DE RADICALEsRadicales semejantesTienen la misma expresión subradical y el mismo índice.

Ejemplo:Los radicales son semejantes: - ; ;x x x2 5 7 5 2

1 5

Se observa que tienen la misma expresión subradical ( x5 ) y el mismo índice (2).

RadicaleshomogéneosSe caracterizan por tener el mismo índice.

Ejemplos:1. ; ;b b5 :sonhomogéneosdeíndice2.

2. ;2 ;b a43 3 3 :sonhomogéneosdeíndice3.

Atención

Simplificación de radicalesSimplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas de radicales y exponentes.Veamos:

• . . .a a a16 2 273 3 63=

. .a a2 23 63 3=

2a a22 3=

Reducción de radicales semejantesLos radicales semejantes se reducen como si fueran términos semejantes.Veamos:• 5 2 73 3 3- +

5 2 7 3= - +] g 10 3=

Efectuar

Grupo I

1. 100

2. 25

3. 121

4. 225

5. 81

6. 273

7. 16 23

8. 125 32

9. 643

10. 27 32

Grupo II

1. 251

2. 259

3. 22443

4. 54838

5. 81253

6. 27643

7. 16 25#

8. 8 273 #

9. 16 33 #

10. 8 23 #



1 Halla x, siendo:3 3x2 8=

Resolución:

3 3x2 8=

3 3 3x2 28

4= =& 2x = 4 ` x = 2

2 Si: ;a b2 12 1

2 12 1=

+- =

-+

Calcula: V = a3b - ab3

Resolución: Nos piden:V = a3b - ab3 = ab(a + b)(a - b) ...(1)Dato:

;a b2 12 1

2 12 1=

+- =

-+ ...(2)

& ab = 1 ...(3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1):V = (a + b)(a - b)

V2 12 1

2 12 1

2 12 1

2 12 1

& =+- +

-+

+- -

-+d dn n

V2 1 2 1

2 1 2 12 1 2 1

2 1 2 12 2 2 2=

+ -- + +

+ -- - +

_ __ _f

_ __ _f

i ii i p

i ii i p

. .

V2 1

2 2 1 4 2 11

2 3 4 22 2 2

2 2=

-

+ -=

-

_

_ _ _

i

i i i

` V = -24 2

3 Calcula:6 8 4E 3

28116

121

49 183 3 3 3 3= + + - -

Resolución:Dando forma:E = 2 . 3 4 . 2 2 . 23

28116

121

49 183 3 3 3 3+ + - -

E 2 . 4 2 .32

8116 27

128

49 8 183 3 3 3 3= + + - -

E = 2 . 4 232

38 2

32 18 183 3 3 3 3+ + - -

4 4 3E 32

32

32 183 3 3 3= + + -

E = 9 3 3 . 3 332 18 3

2 183 3 3 3- = -

E = 3 . 332 27 183 3-

E = 3 3 018 183 3- =

4 Calcula: .A6

8 27=

Resolución:Sabemos que: .ab a b=

Entonces: A =

.. . .

2 34 2 9 3

A = .

. . .2 3

4 2 9 3

A . 2 . 34 9= =

` A = 6

5 Calcula: M 26053=

Resolución:

Sabemos que: a apnm mnp=

Entonces: M = 2 2. . 602 3 5 6030=

Por la propiedad del exponente fraccionario:

M = 2 3060

= 22

` M = 4

6 Calcula: 1916

169+ -

Resolución:

1916

169+ -

134

43

22

22

+ -

1 134

43

1216 9

1213+ - = + - =

7 Halla k 43

, si:k2 2 2 4 23 3 6 4+ + = +

Resolución:

k2 2 2 4 23 3 6 4+ + = +

k2 8 4 16 26 6 6 6 4+ + = +

k4 2 2 1 4 26 6 6 6 4+ + = +_ i

k4 2 2 2 1 212 6 2 6 6 4+ + = +_a i k 2 16 2+_ i k2 2 1 26 6 6 4+ = +_ i k2 2 23 6 6 4+ = + k 24 3& =

2k k 241

31

41 3

31 3

&= =a ak k 2k 43

` =

32 Intelectum 1.°

CONCEpTORacionalizar el denominador o el numerador de una fracción es transformarla en otra fracción equivalente de denominador o numerador racional.Lomásfrecuenteesracionalizardenominadores,paralocualbastamultiplicarlosdostérminosdeunafracciónpor un número irracional convenientemente escogido llamado factor racionalizante.

Racionalización de denominadores de la forma: ;x a b>ba

Procedimiento1. Determina el factor racionalizante (FR) que será de la forma: xa a b-

2. Multiplica al numerador y denominador de la fracción por el FR determinado en el procedimiento anterior.

Ejemplos:I. Racionaliza el denominador: A

1015

35=

Resolución:

Procedimiento: 1. El factor racionalizante estará dado por: FR10 105 35 25= =-

2. Multiplicamos el numerador y denominador de A por el FR.

1,5A1015

1015

1015 10 10

1010

35 35

2525

25

25= = = =f p

II. Racionaliza el denominador: ( ; ; )B x y zx y z101

3 7 29=

Resolución:

Procedimiento:

1. FR x y z x y z9 3 9 7 9 29 6 2 79= =- - -

2. ( ; ; )B x y zx y z x y z xyz

x y zx y zx y z101 101 101

3 7 29 3 7 29

6 2 79

6 2 79

6 2 79= = =f p

Racionalización de denominadores de la forma:

;x a b>ba

x y!

Procedimiento1. Determina el factor racionalizante (FR) que será la conjugada de x y! y tendrá la forma: x y"

2. Multiplica el numerador y denominador de la fracción por el FR determinado en el procedimiento anterior.

Ejemplos:I. Racionaliza el denominador: C

7 1164

=-

Resolución: Procedimiento: 1. El factor racionalizante (FR) es la conjugada del denominador: 7 11+ 2. Multiplicamos el numerador y denominador de C por el FR.

16C7 11

647 11

647 11

64 7 11 7 117 117 11

=-

=-

=-+

=- ++

+ ^ ^eh ho

II. Racionaliza el denominador: ( ; ) , 0D x y y xx y y x

2 2!= -

- -

Resolución:

Procedimiento: 1. FR = y x+

2. ( ; )D x y y xx y

y xx y

y xy x x y y x

x y x yy xy x2 2 2 2

= -- = -

- =-

- - + +=- + +

++ _ _ _

_ _fi i i

i ip

Racionalización

Atención

Al factor racionalizante (FR)también se le llama conjugado del denominador.

Recuerda

1 ;x y : son radicales cuadráticos

2. Observa que la conjugada implica solo el cambio de signo:• 5 7+ su conjugada

es: 5 7-

• 7 5+ su conjugada es: 7 5-

• 3 2- su conjugada es: 3 2+

• 710 + su conjugada es: 710 -

Si se tiene:

a bM

m m2 2!

m ! N m $ 2

Se multiplica el numerador y denominador por la "conjugada".

a bm m2 2"

Nota



1 Racionaliza: 2

6435

Resolución:El factor racionalizante (FR) es:

2 25 35 25=-

& 2

642

6422

264 2

264 2

35 35 25

25

55

25 25= = => H

(FR)

` 322

64 235

25=

2 Efectúa: A = 110 3

1 10-

+ -

Resolución:El factor racionalizante es la conjugada del denominador:

. 1A10 3

110 310 3 10=

- ++ + -

A = 110 3 10 3

1 10 310

- ++

+ -_ _

_i i

i

A = 110 310 3 102 2-+ + -

A = 110 910 3 10-+ + -

A = 3 110 10+ + -

` A = 4

3 Racionaliza: x y z

42 3 57

Resolución:El factor racionalizante es:

x y z x y z7 2 7 3 7 57 5 4 27=- - -

& .x y z x y z

x y zx y zx y z4 4

2 3 57 5 4 27

5 4 27

7 7 77

5 4 27= xyz

x y z4 5 4 27=

(FR)

` x y z xyz

x y z4 42 3 57

5 4 27=

4 Reduce:

8 62

7 61

8 71

++

--

-

Resolución:

.8 6

28 68 6

7 61

7 67 6

+ --

+- +

+_ _

__ _

_i i

ii i

i

8 7

18 78 7

-- +

+_ _

_i i

i

= 22 8 6

17 6

18 7-

+ + - +_ i

= 08 6 7 6 8 7- + + - - =

5 Reduce:

3 72

7 52

3 54

++

-+

+

Resolución:El factor racionalizante es la conjugada del denominador:

.( )

.3 7

23 73 7

7 52

7 57 5

+ --

+- +

+_

__ _

_i

ii i

i

.3 5

43 53 5

++ -

-_ _

_i i

i

= 22 3 7

22 7 5

44 3 5-

++

+-_ _ _i i i

= 3 3 67 7 5 5- + + + - =

6 Efectúa: A7

14 7= -

Resolución:

A7

14 7= -

.. .A

7 714 7 7 7

14 7 7= - = -

2A 7 7 7= - =

7 Racionaliza: 2

3234

Resolución:El factor racionalizante (FR) es:

2 24 34 4=-

232

232

22

232 2

34 34 44 4

& $= =

` 2

32 16 234

4=

8 Racionaliza: W10 45 2=--

Resolución:

W10 45 2=--

W2 5 2

5 2=--

_ i

.W2

12

122= = ` W 2

2=

34 Intelectum 1.°

ECUACIONES DE PRIMER GRADO PLANTEO DE ECUACIONES

unidad 3

¿Qué es una ecuación?Es la igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica para valores particulares atribuidos a su única incógnita.

Ejemplo: 5x - 3 = 3x + 1 1.er miembro 2.° miembro

Se verifica solo para: x = 2

solución o raíz de una ecuación algebraicaEs un valor que toma la incógnita que reemplazando en la ecuación original, se obtiene una igualdad numérica.

Ejemplo: 10x + 1 = 7x + 13

Es una igualdad que se cumple para: x = 4 (solución o raíz)En efecto, si sustituimos la variable “x” por “4”, tenemos: 10(4) + 1 = 7(4) + 13 41 = 41

ecuaciones de primer grado (ecuación lineal)Una ecuación de primer grado con una incógnita, es aquella que puede reducirse a la siguiente forma general:

ax + b = 0 ; a ! 0; cuya solución o raíz es: x = - ab

Transposición de TérminosDe la ecuación: 71x + 3 = 21x - 7Al pasar los términos de un miembro a otro el símbolo de la igualdad (=) permite establecer la operación inversa de la inicial.

Explicamos:Si un término esta sumando, pasa al otro miembro restando. Ejemplo:• x + 9 = 10 & x = 10 - 9 & x = 10 - 9 = 1

Si un término está restando, pasa al otro miembro sumando. Ejemplo:• x - 10 = -15 & x = -15 + 10

& x = -15 + 10 = -5

Si un término está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo. Ejemplo:

• 7x = -21 & x = - 721 & x = 7

21- = -3

Si un término está dividiendo, pasa al otro miembro multiplicando. Ejemplo:

• 8x = 3 & x = 3 . 8 & x = 3 . 8 = 24

Si un término está como exponente, pasa al otro miembro como índice de un símbolo radical. Ejemplo:

• x3 = 1 & x = 13 ; x ! R & x = 1

Si un término está como índice de un símbolo radical, pasará al otro miembro como exponente. Ejemplo:

• x4 = 2 & x = 24 & x = 24 = 16

Para resolver ecuaciones sigue estos pasos:

Paso 1: desarrollar las diferentes operaciones indicadas relacionadas con la variable en este orden:1.° Potenciación, 2.° División, 3.° Multiplicación, 4.° Adición y 5.° Sustracción. Teniendo cuidado con los signos negativos que lo anteceden.

Paso 2: reducir los términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

Paso 3: aplicar la transposición de términos (es recomendable tener a la incógnita en el primer miembro).

Paso 4: volver a reducir términos semejantes, luego despejar la variable para su respectivo cálculo.

Recuerda

Una igualdad es una relación o comparación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor.• Por ejemplo:

2x - 1 = x - 5 x - 6 = 9 - 2x

7 4x x3 6

5+ = +

Atención

Existen dos clases de igualdades:

1. identidad (igualdad absoluta)Esaquellaqueseverificasiempre, es evidente por sí misma.Veamos:

(x + 3)2 / x2 + 6x + 9

ResultadoOperación indicada

2. ecuación (igualdad condicional)Es aquella que solo se verificaparavaloresparticulares atribuidos de su incógnita, así:

3x - 1 = 2x + 6, solo se verificaparax= 7.

Recuerda

En los diferentes casos de transposición de términos, se DESPEJÓ LA INCÓGNITA, esto es como se pudo apreciar; hacer los procedimientos necesarios con la idea de que la incógnita aparezca sola.

35Álgebra - Teoría unidad 3

x

Observación

Considera las traducciones del lenguaje escrito al lenguaje matemático:

• El doble de un número

2 . N

aumentado en 20 nos da 30.

+ 20 = 30

Esto quedaría así:

2(N + 20) = 30

• El doble de un número,

2 . N

aumentado en 20 nos da 30.

+ 20 = 30

Esto quedará así:

2N + 20 = 30

Ejemplos:1. Resuelve la siguiente ecuación de coeficientes

enteros:8x - 4 + 3x = 7x + x + 14

Resolución:Paso 1: 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14Paso 2: 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14

11x - 4 = 8x + 14Paso 3: 11x - 8x = 14 + 4Paso 4: 11x - 8x = 14 + 4

3x = 18& x = 6

2. Resuelve la siguiente ecuación de coeficientesfraccionarios:

x + x x x4

12

32

4- - + = + + 5

Resolución:Paso 1: el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores es 4.4 4x x x x

41

23

24 5- - + + = + +c cm m

x - 1 - 2(x + 3) + 4x = 2(x + 4) + 20Paso 2: 3x - 7 = 2x + 28Paso 3: 3x - 2x = 28 + 7Paso 4: & x = 35

planTeo de ecuacionesTen en cuenta los diferentes significados de nuestro vocablo matemático, deducidos a partir de diferentes palabras:

1. De; del; de la; de los. Significa producto.

Ejemplos:

I. El doble de un número2 . x

& 2x II. El séxtuple de la mitad de un número6 . . x

21

& 6 21c mx

2. Es; son; en; será; sea; queda; obtiene; tiene; tendrá. Significa igualdad.

Ejemplos: I. La tercera parte de un número es la sexta parte de 120. Esto quedaría así: 3

1 N = 61 (120)

31 . N = 6

1 . 120

3. Veces. Significa producto.

Ejemplo:

La edad de Pedro es 5 veces la edad de su hijo.P 5. H=

Esto quedaría así: P = 5H

4. Mayor que; más que. Significa suma. Ejemplos

I. Un ángulo es mayor que otro en 10°.

q = + a 10° Esto quedaría así: q = a + 10°

II. Un ángulo es 20° más que el doble de otro.

b = 20° + 2f Esto quedaría así: b = 20° + 2f

5. Menos que. Significa una cantidad tiene menos que otra.

Ejemplo:

Cierto ángulo es 10° menos que el doble de otro ángulo. Esto quedaría así: g = 2q - 10° g = 10° - 2 . q

6. Es a; es al. Significa división entre dos cantidades.

Ejemplo:

El doble de un número es al triple de su cuadrado como 10 es a 18. 2x ' 3 . x2 = 10 / 18

Esto quedará así: xx

32

1810

2 = o también: x x102

183 2

=

Atención

Lasecuacionesseclasificande acuerdo a su estructura algebraica, como:

• Ecuación polinomial:

x5 - x2 + 3x + 1 = 0

• Ecuaciones fraccionarias:

0x x3 13

110

2 ++ - =

• Ecuaciones irracionales:

0x x20 1 5 12 + + - =

• Ecuaciones trascendentes:

7x - 1 + 7x - 3 = 10

36 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Resuelve:9x + 4 = 2(4x + 9)

Resolución:9x + 4 = 8x + 18 & 9x - 8x = 18 - 4 x = 18 - 4 ` x = 14

2 Resuelve:2 2 x - 2x = 0

Resolución:

0x2 2 2- =^ h , como: 2 2 - 2 ! 0 & x = 0

3 Resuelve:4x - (3x + 9) = (x + 2) - (2x - 1)

Resolución:

4x - 3x - 9 = x + 2 - 2x + 1 & x - 9 = - x + 3

x + x = 9 + 3 & 2x = 12 & x 212=

` x = 6

4 Resuelve:6x - 3(1 - x) = 8(x + 2)

Resolución:

6x - 3 + 3x = 8x + 16 & 9x - 3 = 8x + 16 9x - 8x = 16 + 3 ` x = 19

5 Resuelve:

x bx a

ab

-- =

Resolución:

x bx a

ab

-- = & a(x - a) = b(x - b)

ax - a2 = bx - b2 & ax - bx = a2 - b2 = (a + b)(a - b)

(a - b)x = (a + b)(a - b) & x = a + b

6 Resuelve:

b xa x

ba

2

2

-- =

Resolución:

b xa x

ba

2

2

-- = & b2(a - x) = a2(b - x)

b2a - b2x = a2b - a2x & a2x - b2x = a2b - ab2

x(a + b)(a - b) = ab(a - b)

& x a bab= +

7 Resuelve: (3x - 5)6 + 12 = 36

Resolución:18x - 30 + 12 = 36 & 18x - 18 = 3618x = 36 + 18 & 18x = 54 & x = 3

8 Halla el valor de x: 2(x - 3) - 23 + 22 = 18 - 3

Resolución:2(x - 3) - 23 + 22 = 18 - 3 & 2x - 6 - 1 = 152x = 22 & x = 11 ` CS = {11}

9 Tengo 100 lapiceros y regalo 41 de lo que no regalo. ¿Cuántos

lapiceros he regalado?

Resolución:Tengo: 100Regalo: xNo regalo: 100 - x

Como lo que regalo es 41 de lo

que no regalo, entonces:

x = 41 (100 - x)

& 4x = 100 - x 5x = 100 x = 20` He regalado 20 lapiceros.

10 Un cuaderno de 100 hojas pesa p gramos y un libro de matemáticas pesa m gramos. ¿Cuántos libros de matemáticas pesan tanto como s cuadernos de 100 hojas?

Resolución: Cuaderno Libro de matemáticasPeso: p m

Del enunciado: x . m = s . p peso 1 = peso 2

` x = .ms p

11 El segundo ángulo de un triángulo mide la tercera parte del valor del primer ángulo. El tercer ángulo mide el doble del primero menos 20°. Calcula las medidas de los ángulos.

Resolución:La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°:q + (2q - 20°) + 3

θ = 180° & q = 60°

12 Luego, los ángulos serán:1.er ángulo: q = 60°2.° ángulo: q/3 = 20°3.er ángulo: 2q - 20° = 100°

2.° ángulo

3.er ángulo

2q - 20°q1.er ángulo

3θ


xSISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

definiciones previasMatrizEs aquel arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.

Ejemplo:

x

Columnas

37 2

41

"

"

. . .

J

LKK

N

POO Filas • Es una matriz de orden 2 #3,porquetiene2filasy3columnas.

• Enlaprimerafilayprimeracolumnaapareceelnúmero3.• Enlasegundafilaysegundacolumnaapareceelnúmero2.• Enlasegundafilayprimeracolumna,aparecela 7 .

Matriz cuadradaEs aquella matriz donde el número de filas es igual al número de columnas.Este concepto de orden también se extiende a los determinantes.

Ejemplo:

A 13

101= -

J

LKK

N

POO • Es una matriz de orden 2 # 2 o simplemente es una matriz de orden 2.

determinanteEs una función que aplicada a una matriz cuadrada nos proporciona un número real. Se le representa encerrando los elementos de la matriz entre dos barras verticales.Se denota: |A|, D(A) o Det(A).

Desarrollo de un determinante de orden 2De la matriz de orden 2:

Sea: A ac

bd A a

cbd&= =

J

LKK

N

POO

con signo cambiado (-)= ad - bccon su propio signo (+)

|A| = ad - bc

Ejemplo:

A = xx

52-

J

LKK

N

POO & |A| = x(-2) - 5(x) = -2x - 5x = -7x

Sistema de ecuaciones linealesSe denomina así al conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas, cuya solución es un grupo de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo: x + 6y = 27 ...(1)7x - 3y = 9 ...(2)

• Forma un sistema de dos ecuaciones lineales (primer grado) con dos incógnitas.

• Susoluciónseverificasimultáneamenteparax= 3 / y = 4.

méTodos de resolución1. Método de sustitución

Ejemplo:Resueve el sistema: x + 3y = 6 ...(1)5x - 2y = 13 ...(2)

Resolución:Seguir los siguientes pasos:

1. Despejar cualquiera de las incógnitas: despejando x de la ecuación (1).

2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación y resolver la ecuación obtenida: reemplazar (3) en (2).

3 Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita: reemplazar (4) en (3).

x = 6 - 3y ...(3) 5x - 2y = 135(6 - 3y) - 2y = 13 & y = 1 ...(4) x = 6 - 3 (1) x = 3

Observación

• A las matrices se les denota con letra mayúscula y se les encierra entre paréntesis o corchetes.

M 25

105

131

25

105

131= - = -

d nR

T

SS

V

X

WW

• Una matriz por ser un arreglo rectangular no posee valor numérico.

Atención

A las propiedades:• Sidoslíneas(filaso

columnas) de una matriz son proporcionales, su determinante es cero:

24

12 = 2(2) - 1(4) = 0

• Sean A y B dos matrices cuadradas, luego:

|AB| = |A||B|

Recuerda

CONJUNTO SOLUCIÓN, es el conjunto de valores que toman las incógnitas para los cualesseverificaelsistema.Del ejemplo: x + 6y = 277x - 3y = 9

CS = {(3; 4)}

38 Intelectum 1.°

2. Método de igualación

Ejemplo:Resuelve el sistema: x + 2y = 3 ...(1)

5x - 3y = 2 ...(2)Resolución:Seguir los siguientes pasos:

1. Despejar de las ecuaciones la misma variable: en este caso despejamos x de las ecuaciones.

2. Igualar las dos expresiones de la variable despejada y resolver la ecuación obtenida: igualamos (3) y (4).

3. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita: reemplazando (5) en (3).

x = 3 - 2y ...(3) x = y

52 3+ ...(4)

3 - 2y = y5

2 3+

15 - 10y = 2 + 3y13 = 13y & y = 1 ...(5)

x = 3 - 2 (1) x = 1

3. método de reducciónEjemplo:Resuelve el sistema: 5x + 6y = 20 ...(1)4x - 3y = -23 ...(2)

Resolución:Seguir los siguientes pasos:

1. Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos: multiplicamos la ecuación (2) por 2.

2. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro y resolver la ecuación obtenida: sumamos las ecuaciones (1) y (3).

3. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y calcular la otra incógnita: reemplazamos (4) en (1):

2(4x - 3y) = (-23)2 8x - 6y = -46 ...(3)5x + 6y + 8x - 6y = 20 - 46 13x = -26 x = -2 ...(4) 5(-2) + 6y = 20 -10 + 6y = 20 6y = 30 y = 5

ecuación maTricialEs aquella ecuación donde la incógnita es una matriz.

Observación

• El método más usado y más rápido es el método de reducción.

• En el método de reducción, se elige una variable y se trata de eliminarla haciendo operaciones.

Recuerda

•ac

bd

= ad - bc

Ejemplos:

& 1237 = 1(7) - 2(3) = 1

14 0

2-= 4(2) - (-1)0 = 8

Ejemplo:Examen de admisión UNI 2010-I (matemática)Considera la ecuación matricial:

X 12

37

41

02= -

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO, donde X es una matriz.

Halla la Det(x).Resolución:• Aplicamoslapropiedad:• Delaecuaciónmatricial:• Tomandodeterminantesmiembroamiembro:

• |A . B| = |A| . |B|

• X 12

37

41

02= -

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO

• X 12

37

41

02= -

|X|.(1) = 8 |X| = 8 ` Det(X) = |X| = 8

Es de la forma:

AX = C

Donde: X: matriz incógnitaA y C: matrices cuya determinante son constantes.



1 Determina el valor de:aa

aa

aa

aa

1121

1222

1121

1222

++

-- Si: 10

aa

aa

1121

1222

=

Resolución:Del dato:a11a22 - a12a21 = 10

Nos piden:a aa a

a aa a

11 1221 22

11 1221 22

++

--

= (a11 + a12)(a21 - a22) - (a21 + a22)(a11 - a12)= (a11a21 - a11a22 + a12a21 - a12a22) - (a21a11 - a21a12 + a22a11 - a22a12)= -(a11a22 - a12a21) - (a11a22 - a12a21)= -2(a11a22 - a12a21) = -2(10)= -20

2 Calcula x en: x + 2y = 7 2x + 5y = 17

Resolución:Resolveremos este problema por el método de sustitución:

Del sistema x + 2y = 7 ...(1)2x + 5y = 17 ...(2)

Despejamos cualquiera de las incógnitas, sea x en la ecuación (1):x + 2y = 7 & x = 7 - 2y, este valor se reemplaza en la ecuación (2): 2(7 - 2y) + 5y = 17 14 - 4y + 5y = 17 & y = 17 - 14 y = 3Sustituimos y = 3, en cualquiera de las ecuaciones dadas, sea en la ecuación (1):x + 2y = 7 & x + 2(3) = 7 x = 7 - 6 ` x = 1

3 Resuelve: 3x - 2y = 13 x + 3y = 19

Resolución:Resolveremos el sistema por el método de sustitución:

Del sistema 3x - 2y = 13 ...(1) x + 3y = 19 ...(2)

Despejamos x de la ecuación (2):x + 3y = 19 & x = 19 - 3y

Reemplazamos este valor en la ecuación (1):3(19 - 3y) - 2y = 13 & 57 - 9y - 2y = 13& -11y = 13 - 57 & -11y = -44 y = 4Sustituimos y = 4; en la ecuación (1):3x - 2(4) = 13 & 3x - 8 = 13 3x = 21 & x = 7Por lo tanto: x = 7 / y = 4

4 Resuelve: x + 3y = 14 2x + y = 13

Resolución:Aplicaremos el método de igualación:

Del sistema : x + 3y = 14 ...(1)2x + y = 13 ...(2)

Despejamos x en ambas ecuaciones:Ecuación (1): x + 3y = 14 & x = 14 - 3yEcuación (2): 2x + y = 13 & x = y

213 -

Luego se igualan entre sí los dos valores de x:14 - 3y = 28 6 13y y y2

13&

- - = -

28 - 13 = -y + 6y & 15 = 5y & y = 3

Reemplazando y = 3, en la ecuación (1):x + 3(3) = 14 & x = 14 - 9 & x = 5

Por lo tanto: x = 5 / y = 3

5 Resuelve el sistema en x e y: x + 2y - 3 = 0

x - a + 5 = 0 y luego halla el mayor valor entero de y, si: a 1 R+.

Resolución: Del sistema:x + 2y - 3 = 0 ...(I)x - a + 5 = 0 ...(II)

Restando (I) y (II) tenemos:2y + a - 8 = 0 y = a

28 -

Como piden el mayor valor entero de y: a = 2, a ! R+.

Luego:ymáx. = 2

8 2- = 3

6 Resuelve: x - 3y = 4 2x + y = 22

Resolución:Resolveremos este problema por el método de reducción:

Del sistema : x - 3y = 4 ...(1)2x + y = 22 ...(2)

Multiplicamos la ecuación (2) por 3. Tenemos el nuevo sistema: x - 3y = 4 6x + 3y = 66 7x = 70 & x = 10

sumamos

Reemplazamos en la ecuación (1): 10 - 3y = 4 & y = 2Por lo tanto: x = 10 / y = 2

40 Intelectum 1.°

ECUACIONES DE segundo GRADO PLANTEO DE ECUACIONES

concepToLas ecuaciones de segundo grado son todas aquellas ecuaciones de la forma:

ax2 + bx + c = 0 ; a ! 0 Donde: ax2: término cuadrático. bx: término lineal. c: término independiente.

resolución de ecuaciones de segundo gradopor factorización

1. De la forma: ax2 + c = 0

Ejemplo:x2 - 49 = 0Factorizando: (x + 7)(x - 7) = 0 x + 7 = 0 0 x - 7 = 0 x1 = -7 0 x2 = 7 \ CS = {-7; 7}

2. De la forma: ax2 + bx = 0

Ejemplo:9x2 + x = 0Factorizando: x(9x + 1) = 0 x = 0 0 9x + 1 = 0 x1 = 0 0 x2 = 9

1-

\ CS = ;91 0-' 1

3. De la forma: ax2 + bx + c = 0 (factorización por aspa simple)

Ejemplo:I. Resuelve: x2 - 6x - 16 = 0 x + 2 2x x - 8 -8x 6x- (x + 2)(x - 8) = 0 x + 2 = 0 0 x - 8 = 0 x1 = -2 0 x2 = 8 ` CS = {-2; 8}

II. Resuelve: 21x2 - 20x - 9 = 0 3x +1 7x 7x -9 -27x 20x- (3x + 1)(7x - 9) = 0 3x + 1 = 0 0 7x - 9 = 0 x1 = 3

1- 0 x2 = 79

` CS = ;31

79-' 1

Por fórmula general

Sea: ax2 + bx + c = 0; a ! 0 & x1; 2 = ab b ac

242!- -

Ejemplo:• Determinaelconjuntosoluciónde: 2x2 + 15x + 7 = 0• Identifiquemosloscoeficientes: a = 2; b = 15; c = 7• Reemplazamosenlafórmulageneral:

x1; 2 = ( )( ) ( ) ( )

2 215 15 4 2 72!- -

x1; 2 = x

x4

15 13 415 13

21

415 13 7

1

2

!- = - + =-

= - - =-

Z

[

\

]]

]]

` CS = ;7 21- -' 1

planTeo de ecuacionesejemplos con datos numéricos1. Sea 3x + 1 la altura de un rectángulo. La base de dicho rectángulo excede a la altura en 2x + 4, sabiendo

que su área es 105 m2, determina sus dimensiones.

Resolución:• Según el enunciado del ejemplo:

105 m2

5x + 5

3x + 1

Atención

• Para la resolución de ecuaciones de 2.° grado por el método de la factorización, se emplea el siguiente procedimiento:

A . B = 0A = 0 0 B = 0

De A y B se obtienen las soluciones igualando cada factor a cero.

Observación

A la constante (b2 - 4ac) se le denomina:DISCRIMINANTEes representado por:

T = b2 - 4ac

Además, si T 2 0 la ecuación tiene raíces reales y diferentes.

De la ecuación: ax2 + bx + c = 0• “a”eselcoeficiente

principal.• Estas ecuaciones se

caracterizan por poseer dos raíces x1 y x2, de este modo presenta como conjunto solución (CS):CS = {x1; x2}

Nota


x

Cada factor de la ecuación del ejemplo1, se iguala a cero: 3x2 + 4x - 20 = 0(3x + 10)(x - 2) = 0

x = 310- 0 x = 2

(No es posible)

Nota

• Laregiónrectangularsedeterminacomo: (Base)(Altura) = Área(5x + 5)(3x + 1) = 105 (x + 1)(3x + 1) = 21 3x2 + 4x - 20 = 0

3x + 10 " 10xx - 2 " -6x

4x & x = 2

• Lasdimensionesserán. Base = 5x + 5 = 5(2) + 5 = 15 m Altura = 3x + 1 = 3(2) + 1 = 7 m

2. El producto de dos números consecutivos impares es 15. Determina la suma de dichos números.

Resolución:• Seanlosnúmerosconsecutivosimpares: 2x - 1 y 2x + 1 (menor) (mayor)• Delenunciadosuproductoes15: (2x - 1)(2x + 1) = 15 4x2 - 1 = 15 x = 2• Lasumadedichosnúmeroses: (2x - 1) + (2x + 1) = 4x = 4(2) = 8

* Otra representación de los números impares consecutivos:

x / x + 2 / x: impar• Porcondición:

x(x + 2) = 15 & x2 + 2x - 15 = 0 & (x + 5)(x - 3) = 0, de donde x = 3

• Lasumadelosnúmeroses:2x + 2 = 8

3. Arleth es dos años mayor que Sarah y la suma de los cuadrados de ambas edades es 74 años. Determina ambas edades.

Resolución:• Sea:

A: la edad de ArlethA - 2: la edad de Sarah

• Según el enunciado: A2 + (A - 2)2 = 74A2 + A2 -4A + 4 = 74 2A2 - 4A - 70 = 0

A2 -2A - 35 = 0(A - 7)(A + 5) = 0A = 7 0 A = - 5

Se rechaza la solución A = -5, ya que la edad de Arleth no puede ser - 5 años, se considera A = 7.Luego, Arleth tiene 7 años y Sarah tiene A - 2 = 5 años.

Efectuar

Grupo IResuelve:

1. x2 - x - 2 = 02. x2 + 3x - 4 = 03. x2 - 2x - 3 = 04. x2 + 2x - 3 = 0 5. x2 + 5x + 6 = 06. x2 + 8x - 9 = 07. x2 - 6x - 7 = 08. x2 + 6x - 7 = 09. x2 - 9x - 10 = 010. x2 - 3x + 1 = 0

Grupo IIResuelve:

1. (x + 2)(x - 3) = 02. (x - 4)(x - 5) = 03. (x - 7)(x + 4) = 04. (3x + 1)(x - 2) = 05. (2x + 3)(2x - 3) = 06. x2 - 4 = 07. x2 + 3x + 2 = 08. x2 + 3x - 1 = 09. x2 - 9 = 010. x2 - 16 = 0

Observación

En el rectángulo la base excede a la altura en 2x + 4.Base = Altura + (2x + 4) = 3x + 1 + 2x + 4

Base = 5x + 5

Recuerda

• Diferenciadecuadrados: (a + b)(a - b) = a2 - b2

(2x - 1)(2x + 1) = (2x)2 - 1

= 4x2 - 1

• Además: x2 = 4 x = ! 2

x = -2 0 x = 2

42 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Resuelve: x2 - 4x + 3 = 0 e indica la mayor raíz. Resolución:Factorizamos por aspa simple:x2 - 4x + 3 = 0x -3 -3x x -1 -x

sumar

-4x & (x - 3)(x - 1) = 0 x - 3 = 0 0 x - 1 = 0 x1 = 3 0 x2 = 1

` La mayor raíz es: 3

2 Resuelve:x2 - 9 = 0

Resolución:

x2 - 9 = 0 & x2 = 9 (El 9 pasa sumando: 3x 9! != =Entonces: x1 = - 3 0 x2 = 3 ` CS = {-3; 3}

3 Resuelve: x2 - 2x - 2 = 0

Resolución:Cuando una ecuación de segundo grado no se puede factorizar por aspa simple se emplea la fórmula general:

. .x ab b a c

24

;1 22!= - -

Para este problema, a = 1; b = -2 y c = -2Reemplazamos:

.( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 2 1

2 2 4 1 2;1 2

2!= - - - - -

x 22 4 8

22 12

22 2 3

;1 2! ! != + = =

1x 3;1 2 !=

Entonces: 1 1x x3 31 20= - = +` CS = ;1 3 1 3- +# -

4 Resuelve: x2 + 2x - 1 = 0 e indica la mayor raíz.

Resolución:Usamos fórmula general donde: a = 1; b = 2 y c = 1

Reemplazamos:

( )( ) ( ) ( ) ( )x 2 12 2 4 1 1

22 8

;1 2

2! != - - - = -

1x 22 2 2 2;1 2!

!= - =-

Entonces:1 1x x2 21 2/=- - =- +

` La mayor raíz es: 12 -

5 Halla el conjunto solución de:3x2 + x - 10 = 0

Resolución:

3x2 + x - 10 = 03x -5 x 2 (3x - 5)(x + 2) = 0& 3x - 5 = 0 0 x + 2 = 0

x = 35 0 x = - 2

CS = ;2 35-( 2

6 La longitud de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 metros y el ancho en 6 metros, el área se duplica. Halla las dimensiones del terreno.

Resolución:Asumimos: A el ancho del terreno 2A la longitud del terrenoDel enunciado:

Área 1

2A

A

Área 2

2A + 40

A + 6

Área 2 = 2 Área 1

(Base # Altura) 2 = 2 (Base # Altura) 1(2A + 40)(A + 6) = 2(2A)(A)2(A + 20)(A + 6) = 2(2A)(A) A2 + 26A + 120 = 2A2

A2 - 26A - 120 = 0 (A - 30)(A + 4) = 0 & A = 30 0 A = -4

Se acepta A = 30 (ancho) & 2A = 60 (longitud)

7 Al resolver la ecuación: 2x2 - 4x + 8 = 5x2 + 2x - 5, el valor de x1; 2 toma la forma: a b3

4! .

Indica el valor de: a + b

Resolución:2x2 - 4x + 8 = 5x2 + 2x - 53x2 + 6x - 13 = 0Por fórmula general tenemos:

x2 3

6 36 4 3 13!=- - -

__ _i

i i

1 !x 66 8 3

34 3!= - =-

Dato:x a b3

4!=

Luego, tenemos:a = -1 / b = 3

Nos piden:a + b = -1 + 3 = 2

xdesigualdades e inecuaciones

desigualdadSe denomina desigualdad a la relación de orden que se establece entre dos cantidades que poseen diferente valor.

Axiomas de orden1. Ley de la tricotomía

Siendo a y b, reales una y solo una de las siguientes sentencias es válida.

a b

2. Ley aditivaSi a 0 & ac < bc

Si a bc

4. Ley de la divisiónSi a > b / c > 0 & c

acb>

Si a > b / c < 0 & ca

cb1

5. Ley transitivaSi a N , M - N > 0

Ejemplos:• 9> 2 , 9 - 2 > 0 (9 - 2 = 7) , 7 > 0• 3> - 3 , 3 - (-3) > 0 (3 - (-3) = 6) , 6 > 0

B) Se define que UN NÚMERO ES MENOR QUE OTRO si y solo si su diferencia es un número negativo.

De los números M, N donde:

M < N , M - N < 0

Ejemplos:• 10< 13 , 10 - 13 < 0 (10 - 13 = -3) , - 3 < 0• -5 < -1 , -5 - (-1) < 0 (-5 - (-1) = -4) , -4 < 0

inTervalosEs aquel subconjunto de los números reales que define un conjunto de valores entre dos límites, inferior y superior.Existen dos tipos de intervalos:

Intervalo acotadoEs aquel cuyos extremos son números reales (límites finitos), se presentan como:I. Intervalo cerrado

En este caso se consideran a los extremos finitos.

+3-3 ba

x ! [a; b] , a # x # b ; a < b

II. Intervalo abiertoEn este caso no se consideran a los extremos finitos.

+3-3 ba

x ! Ga; bH , a < x < b ; a < b

III. Intervalo semiabierto por la derecha(cerrado en “a” y abierto en “b”)

+3-3 ba

x ! [a; bH , a # x < b ; a < b

IV. Intervalo semiabierto por la izquierda(abierto en “a” y cerrado en “b”)

+3-3 ba

x ! Ga; b] , a < x # b ; a < b

Recuerda

• Lasiguientegráficaeslarecta de los números reales (R):

+3-3

Números positivos

Números negativos

2,40 1-3 -1

- 3

-4

2

14

Donde:+3:másinfinito-3:menosinfinito• Aquel número mayor

que el cero se denomina NÚMERO POSITIVO.

a > 0

• Aquel número menor que el cero se denomina NÚMERO NEGATIVO.

b < 0

• Los símbolos de las relaciones de orden son representados como:

> “mayor que”< “menor que”

$ “mayor o igual que”# “menor o igual que”

estrictas

NO estrictas

• El símbolo 6significaentérminos matemáticos:

6: para todo

Nota

• Cierto número M es MENOR O IGUAL QUE otro N si:M # N , (M < N 0 M = N)

• Cierto número M es MAYOR O IGUAL QUE otro N si:M $ N , (M > N 0 M = N)

• A los intervalos que usan el símbolo H o G también se les representa como ] o [, respectivamente.

Nota

44 Intelectum 1.°

Intervalo no acotadoEs aquel en donde por lo menos, uno de sus extremos es el límite: +3 o -3.

I. +3-3 a

Ga; +3H = {x ! R / x > a}

II. +3-3 a

[a; +3H = {x ! R / x $ a}

III. +3-3 a

G-3; aH = {x ! R / x < a}

IV. +3-3 a

G-3; a] = {x ! R / x # a}

V. +3-3

G-3, +3H = {x ! R / -3 < x < +3}

propiedades de las desigualdades1. Si elevamos los miembros de una desigualdad a un exponente impar positivo; el sentido de esta no cambia.

6a; b ! R y n (impar) ! z+, se cumple:

a -2 , 53 > (-2)3 , 125 > -8• -8 < -3 , (-8)3 < (-3)3 , -512 < -27

2. Si los miembros de una desigualdad son números positivos y estos los elevamos a un exponente entero y positivo el sentido de la desigualdad no cambia.6a; b ! R+ y n ! Z+, se cumple:

a > b , an > bn

Ejemplos:• 3> 1 , 32 > 12 , 9 > 1• 9> 3 , 94 > 34 , 6561 > 81• 4< 7 , 16 < 49

3. Si los miembros de una desigualdad son números negativos y estos los elevamos a un exponente PAR, el sentido de la desigualdad cambia. 6a; b ! R- y n (par), se cumple:

a > b , an < bn

Ejemplos:• -6 < -1 , (-6)2 > (-1)2 , 36 > 1

• 32

21

32

21

94

41< > >

2 2, ,- - - -c cm m

4. Es posible multiplicar desigualdades que tengan un mismo sentido si y solo sí los componentes de estas sean números positivos; el sentido de la desigualdad resultante en este caso será la misma.6a,b,c,d ! R+ , se cumple:

& ac > bda > b c > d

Ejemplos:

• & 9 . 10 > 2 . 7 & 90 > 149 > 210 > 7

• & 5 < a < 10 5 . 1 < a . b < 10 . 21 0 , [(a > 0 / b > 0) 0 (a < 0 / b < 0)]

Ejemplos:1. 5 . 2 > 0 & 10 > 0 , 5 > 0 / 2 > 02. (-3)(-7) > 0 & 21 > 0 , -3 < 0 / -7 < 0

a . b < 0 , [(a < 0 / b > 0) 0 (a > 0 / b < 0)]

Ejemplos:1. 9(-7) < 0 & -63 < 0 , 9 > 0 / -7 < 02. (-8)5 < 0 & -40 < 0 , -8 < 0 / 5 > 0

6. 6a, b ! R, se verifican las relaciones:

0 < a < b , 0 < b a1 1<

Ejemplo:• 0< 2 < 4 , 0 < 4

121< , 0 < 0,25 < 0,5

a 0

a ! 0 & a > 0 0 a < 0

• 6 a > 0 & a + a1 $ 2

• 6 a < 0 & a + a1 # -2

• 6 a / b ! R+ & a b ab2 $+

La propiedad 1 también verificacuandoseextraeunaraíz de índice impar.6c, d ! R y n (impar)

c > d , >c dn n

Así:-8 < 216 , <8 2163 3- , -2 < 6

Nota

La propiedad 2 también se cumple cuando extraemos raíces de índices de números enteros positivos.6c, d ! R+ y n ! Z+

c < d , <c dn n

Así:9 > 4 , >9 4 , 3 > 2

Nota

x7. Si a y b tienen el mismo signo, se cumple:

a < x < b , b x a1 1 1< <

Ejemplos:

1. 2 < c < 5 , c51 1

21< <

2. 5 < a1 < 7 , a7

151< <

operaciones enTre inTervalosSi los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellos las siguientes operaciones:1. Unión: A , B = {x / x ! A 0 x ! B}2. Intersección: A + B = {x / x ! A / x ! B}

3. Diferencia: A - B = {x / x ! A / x " B}4. Complemento: A' = {x / x ! R / x " A}

Ejemplos:Sean los conjuntos: A = [-4; 5H; B = G0; 8] ; C = [-1; +3HRealiza las siguientes operaciones:1. A , B 2. B + C 3. A - C 4. B'

Resolución:1. Graficamos los intervalos en la recta real:

A = [-4; 5H; B = G0; 8]

+3-3 850-4

B,A

& A , B = [-4; 5H , G0; 8] = [-4; 8]

2. Graficamos:B = G0; 8] ; C = [-1; +3H

+3-3 80-1

+B C

& B + C = G0; 8] + [-1; +3H = G0; 8]

3. Graficamos:A = [-4; 5H ; C = [-1; +3H

+3-3 5-4 -1

A - C

& A - C = [-4; 5H- [-1; +3H = [-4; -1H

4. Graficamos:B = G0; 8]

+3-3 80

B' B'

& B' = G0; 8]' = G-3, 0] , G8; +3H

inecuaciones de primer gradoSon aquellas que se reducen a las formas generales:

ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b $ 0 ax + b # 0 ; a ! 0

Despejando la variable x (teniendo en cuenta las propiedades de los números reales vistas al inicio del tema):

Casos: Si a > 0Ley multiplicativa 0

Si a < 0Ley multiplicativa

I. ax + b > 0 & ax > -b & ;x ab x a

b> , 3!- - + 0 ;x ab x a

b< , 3!- - -

II. ax + b < 0 & ax < -b & ;x ab x a

b< , 3!- - - 0 ;x ab x a

b> , 3!- - +

III. ax + b $ 0 & ax $ -b & ;x ab x a

b, 3$ !- - +< 0 ;x a

b x ab

, 3# !- - - F

IV. ax + b # 0 & ax # -b & ;x ab x a

b, 3# !- - - F 0 ;x a

b x ab

, 3$ !- - +<

Intervalos de solución Intervalos de solución

Ejemplos:1. Determina el conjunto solución de la inecuación: 6x + 3 > x - 2

Resolución:• Sumando -x a cada uno de los miembros: 6x + 3 - x > x - 2 - x 5x + 3 > -2

Observación

Los símbolos:0:significa“o”./:significa“y”." : no pertenece al conjunto.

Recuerda

• Si:

a ! 0 & a > 0 0 a < 0

• el conjunto solución (cs) de una inecuación serán aquellos números reales queverificanlainecuación.

• Al conjunto solución se le denomina también intervalo solución.

CS < > INTERVALO SOLUCIÓN

< >Significa:“equivalentea”

46 Intelectum 1.°

• Sumando -3 a cada uno de los miembros: 5x + 3 - 3 > -2 - 3• Este es el caso I. Con a > 0: 5x > -5

• Multiplicando por 51 a cada miembro de la inecuación: 5x 5

1 5 51> -c cm m

• Luego, el conjunto solución será: x > -1 CS = G-1; +3H

2. Determina el conjunto solución de la inecuación: x x x2 3 6

16 6

5#+ + +

Resolución:• Multiplicamosaambosmiembrosdelainecuaciónporel MCM de los denominadores (MCM(2; 3; 6) = 6): x x x6 2 3 6

1 6 6 65#+ + +c cm m

3x + 2x + 1 # x + 5

• Reduciendotérminossemejantes: 5x+ 1 # x + 5

• Sumando-x a ambos miembros de la inecuación: 5x - x + 1 # x - x + 5

4x + 1 # 5

• Sumando-1 a ambos miembros de la inecuación: 4x + 1 - 1 # 5 - 1

• EsteeselcasoIVcona> 0: 4x # 4

x # 1

• Elconjuntoointervalosoluciónserá:CS= G-3; 1]

sisTemas de inecuaciones de primer gradoEs aquella agrupación de inecuaciones cuyas soluciones verifican simultáneamente a cada inecuación. Se presenta el siguiente caso:

Sistema expresado en función de una sola incógnita

1.er Caso: 6a; b; c; d ! R a < cx + d < b

Ejemplo: Determina el conjunto solución de: 3 # 7 - 2x < 13

Resolución:La solución se hará de dos maneras:

A) Por separado:

3 # 7 - 2x < 13

(II)

(I)

El conjunto solución estará dado por:(I) + (II)(I) 3 # 7 - 2x & 2x # 7 - 3

2x # 4x # 2

(II) 7 - 2x < 13 & 7 - 13 < 2x-6 < 2x2x > -6x > -3

+3-3 2

(I)(II)

-3

CS = G-3; 2]

B) En forma simultánea:

• Sumando-7 a cada miembro del sistema: 3 - 7 # 7 - 7 - 2x < 13 - 7 -4 # -2x < 6

Multiplicando por 21-c m a los miembros de la

inecuación:

4 2 6x21

21

21>$- -- - -c c cm m m

2 $ x > -3

También se puede escribir como:-3 < x # 2CS = G-3; 2]

Recuerda

• En el sistema de inecuaciones cuando no existen soluciones comunes el sistema será imposible de resolverse.

Lasolucióngráficadelainecuación del ejemplo 1 es:

+3-3 -1

CS = x ! G-1; +3H

Nota

Del ejemplo 2 • El mínimo común múltiplo

(MCM) de : 2; - 3; - 6; - 6 y - 6 es:2 - 3 - 6 - 6 - 6 21 - 3 - 3 - 3 - 3 31 - 1 - 1 - 1 - 1MCM = 2 . 3 = 6

• Larepresentacióngráficadel conjunto solución será:

+3-3 1 x ! G-3; 1]

Nota

x2.° Caso: 6a; b; c; d; e; f ! R ax + b < cx + d < ex + f

Ejemplos:1. Resuelve el siguiente sistema: 3x - 4 # 5x + 2 #- x + 8 Resolución:

• Desarrollando la inecuación por separado, luego la solución estará dado por la intersección de (I) y (II): 3x + 4 # 5x + 2 #- x + 8

(II)

(I)

• En (I) sumando a la vez -5x y 4 a ambos miembros de la inecuación:

3x - 4 # 5x + 23x - 5x - 4 + 4 # 5x - 5x + 2 + 4

-2x # 6

• Multiplicando por 21-c m a los miembros de la inecuación: 2

1-c m(-2x) $ 6 21-c m

x $ -3 (A)

• Sumando a la vez x y -2 a ambos miembros de la inecuación (II): 5x + 2 # -x + 85x + x + 2 - 2 # -x + x + 8 - 2 6x # 6

• Multiplicando por 61 a los miembros de la inecuación:

6 6x61

61#c cm m

x # 1 (B)

• Intersectando los conjuntos (A) y (B):+3-3 1

(A)(B)

-3

• El conjunto solución estará dado por: CS = [-3; 1]

2. Sabiendo que 2 # x # 5; determina el intervalo de la expresión x 11- .

Resolución:• Partimos de la condición, a partir de ella le damos forma hasta llegar

a la expresión solicitada:2 # x # 5

• Sumando-1 a cada miembro del sistema: 2 - 1 # x - 1 # 5 - 11 # x - 1 # 4

• Como los extremos de la inecuación son positivos podemos invertirlos: x4

11

1 1# #-

• Porconsiguiente,lopedidopertenecealintervalo: ;x 11

41 1!- < F

Recuerda

Si se multiplica a los miembros de una inecuación por un número real negativo, el sentido de la inecuación cambia.

Recuerda

Cuando hay fracciones se tienen que eliminar los denominadores, esto se logra multiplicando a los miembros de la inecuación por el MCM de los denominadores.

Atención

Si a y b tienen el mismo signo, se cumple:

a < x < b b x a1 1 1< <,

Efectuar

1. Interpretaconintervaloslassiguientesgráficas.

a) 15 21

b) 3 25-3 +3

c) 2 5-3 +3

2. Grafica las siguientes desigualdades y expresiones.a) -7 # x # 5b) -1 1 x 1 1c) 2 # x 1 13d) x # -7e) x $ 2f) x ! R - {0; 1; 2}

48 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Si la intersección de los intervalos P y Q es: ]a + 5; b - 8[ y P = [-7; 10[; Q = ]2; 19[Calcula: a.b

Resolución:

7 2

PQ

10 19

P + Q = ]2; 10[ = ]a + 5; b - 8[& a + 5 = 2 / b - 8 = 10 a = -3 b = 18` a . b = -54

2 Encuentra el menor número natural par que verifica:x x x3

5 253 2>- - +_ i

Resoluciónx x x

35 2 3

53 6>- - +

10x - 10 > 9x + 18 x > 28 ...(1)

Porlotanto,elmenorenteroparqueverifica(1)es:30

3 Resuelve:

bx

ax

b a2 2 5 1>+ - - -

Teniendo en cuenta que: b > a > 0

Resolución

abax a bx b

aba b2 2 5>+ - + -

x(a - b) + 2a + 2b > 5a - b

x(a - b) > 3a - 3b

x(a - b) > 3(a - b)

Como a < b & a - b < 0& x < 3` CS = G-3; 3[

4 Resuelve: 7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1

Resolución: (II) 7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1

(I)

De (I):7x + 9 < 6x + 3 x < -6 …(1)

De (II):6x + 3 < 5x + 1 x < -2 …(2)

(1) + (2):

-3 +3-6 -2

` x ! G-3; -6H

5 Resuelve:(x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x - 1)(x + 2)(x + 1) < (x + 1)(x + 3)e indica la suma de soluciones enteras comunes.

Resolución:

(I) + (II): -1 < x < 717 ` x ! G-1; 2,43H

Piden, soluciones enteras: x = {0; 1; 2}S soluciones enteras = 3

6 Si x ! ]-1; 4], halla el intervalo de -4x + 3.

Resolución:-1 < x # 4 , 4 > -4x $ -16 7 > -4x + 3 $ -13 -13 # -4x + 3 < 7 ` -4x + 3 ! [-13; 7[

7 Resuelve:x x x

45 1

103 13

35 1>- - - +

Resolución:

0x x x4

5 110

3 133

5 1 >- - - - +

MCM(4; 10; 3) = 60

0x x x60

75 15 18 78 100 20 >- - + - -

-43x + 43 > 0 43x < 43

x < 4343

x < 1 & x ! G-3; 1H

8 Sean los conjuntos:A = {x = r/s / r, s ! Z con 1 < r < 3 y 0 < s < 3};B = {x ! R / 1 < x < 2}Calcula: A , B

Resolución:Como r, s ! Z, se tiene: 1 < r < 3 & r = 2; 0 < s < 3 & s = 1; s = 2Luego: A = {1; 2}Además: B = G1; 2HUnidendo: A , B = [1; 2]

(x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x - 1) x2 + x - 12 < x2 - 6x + 5 7x < 17

x < 717 …(I)

(x + 2)(x + 1) < (x + 1)(x + 3) x2 + 3x + 2 < x2 + 4x + 3 x > -1 …(II)

VALOR ABSOLUTO

CONCEPTOEl valor absoluto de un número real x, denotado por |x|, es un número real no negativo definido por:

;;x x x

x x00<

$= -*

Ejemplo:

1. f(x) = |x - 1| = x - 1; x - 1 $ 0-(x - 1); x - 1 < 0

& f(x) = |x - 1| = x - 1; x $ 1-x + 1; x < 1

2. g(x) = |x + 1| = x + 1; x + 1 $ 0-(x + 1), x + 1 < 0

& g(x) = |x + 1| = x + 1 ; x $ - 1- x - 1; x < -1

Interpretación geométrica del valor absolutoEl valor absoluto del número real x indica gráficamente la longitud del origen al número x o del origen al número -x.

+3-3 0

(origen)

x|x|

-x|-x|

Ecuaciones con valor absolutoDeberás tener presente las siguientes dos propiedades:

|x| = b , (b $ 0) / (x = b 0 x = -b)

Ejemplos:1. Resuelve: |x - 9| = 7

Resolución:Aplicando la propiedad: x - 9 = 7 0 x - 9 = -7 x = 7 + 9 0 x = -7 + 9 x = 16 0 x = 2El conjunto solución (CS) es: CS = {2; 16}

2. Resuelve: |x - 7| = 2x - 1

Resolución:Aplicando la condición: 2x - 1 $ 0 & x $ 2

1

Aplicando la propiedad x - 7 = 2x - 1 0 x - 7 = - (2x - 1) x - 2x = -1 + 7 0 x + 2x = 1 + 7 -x = 6 0 3x = 8 x = -6 0 x = 3

8

Descartamos (x = -6) porque no satisface la condición: x $ 2

1

El conjunto solución es: CS = 38' 1

|x| = |b| , x = b 0 x = -b

Ejemplos:1. Resuelve: |10x - 1| = |7x + 5|

Resolución:Aplicando la propiedad: 10x - 1 = - (7x + 5) 0 10x - 1 = 7x + 5 10x - 1 = -7x - 5 0 10x - 7x = 5 + 1 10x + 7x = -5 + 1 0 3x = 6 17x = -4 0 3x = 6 x = - 17

4 0 x = 2

El conjunto solución (CS) será: CS = 17

4 ; 2-' 1

2. Resuelve: 5|x| = |3x - 4|

Resolución:Aplicando la propiedad: 5x = - (3x - 4) 0 5x = 3x - 4 5x + 3x = 4 0 5x - 3x = -4 8x = 4 0 2x = -4

x 21= 0 x = -2

El conjunto solución (CS) será:

CS = ;2 21-' 1

Atención

El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo o cero:Así:

|9| = 9 siendo 9 > 0 |0| = 0 siendo 0 = 0|-9| = -(-9) siendo -9 < 0

Recuerda

Las operaciones con valor absoluto:

1. |x| = |-x|; 6x ! R2. |xy| = |x||y|; 6x; y ! R

3. ;yx

yx

= y ! 0

4. |x|2 = x2 = |x2|; 6x ! R

Asimismo considera también:

1. |x| $ 0 ; 6x ! R2. |x| = 0 , x = 03. x2 $ 04. x2 = |x|; 6x ! R5. 2|b| = |2b|6. |x - b| = |b - x|

unidad 4

50 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 Define: |x - a|; si a ! r.

Resolución:

|x - a| = x - a ; x - a $ 0

-(x - a) ; x - a < 0 & |x - a| = x - a ; x $ a

a - x ; x < a

2 Resuelve: |x - 10| - |2x - 5| = 0

Resolución:Por definición tenemos:|x - 10| = |2x - 5| x - 10 = 2x - 5 0 x - 10 = -2x + 5 -5 = x 3x = 15 x = 5

` CS = {-5; 5}

3 Resuelve: 1 5x1 + =

Resolución: Despejamos la variable en la ecuación:

5 1x1 = - x 4

1& =

x x41

41

0= =-

;CS 41

41

` = -( 2

4 Resuelve: |3x + 7| = |2x|

Resolución:3x + 7 = 2x 0 3x + 7 = -2x x = -7 5x = -7

x = 57-

;CS 7 57

` = - -( 2

5 Resuelve: |5x - 1| = |x + 12|

Resolución:|5x - 1| = |x + 12| + (5x - 1)2 = (x + 12)2

& (5x - 1)2 - (x + 12)2 = 0 (por diferencia de cuadrados)

(6x + 11)(4x - 13) = 0

& x = - 611 0 x = 4

13

` CS = ;611

413-( 2

6 Resuelve: |5x - 7| = 11 - x

Resolución:Por definición:|5x - 7| = 11 - x & 11 - x $ 0 / 5x - 7 = 11 - x 0 5x - 7 = x - 11 & x # 11 / x = 3 0 x = -1` CS = {-1; 3}

7 Encuentra el valor de la expresión para:.z

x y ; si: x = -4; y = 3; z = -5

Resolución:Reemplazando los valores, obtenemos:

. .z

x y5

4 3512

512= -

- = -- =

8 Siendo x = -4; y = 3; z = -5 determina el valor de la expresión:.y

x z

Resolución:Reemplazando los valores, obtenemos:

. .y

x z3

4 534 5

320=

- -= - =-

9 Si: x = -4; y = 3; z = -5, encuentra el valor de la expresión:.y

x z

Resolución:. . .y

x z3

4 53

4 5320=

- -= =

10 Si: x = -4; y = 3; z = -5, encuentra el valor de la expresión:

z xx y

2 -+

Resolución:1

z xx y

2 2 5 44 3

10 4 61

-+

= - - -- +

= - +-

=^ ^h h

11 Encuentra el valor de la expresión que se da a continuación para x = -4, y = 3; z = -5.

z xx y

32-

-

Resolución:

z xx y

32-

- = 3 5 44 2 3

15 44 6

1110

- - -- - = -

- - =-


xLOGARITMOS

DEFINICIÓNEl logaritmo de un número real y positivo N, en la base b, (b > 0 / b ! 1) es el exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número N, es decir:

logbN = x , bx = N Donde:x: resultado (logaritmo)b: base del logaritmo, b > 0 / b ! 1N: número real y positivo

Se lee: logaritmo de N en base b.

Ejemplo:Determina el valor de x en la expresión:

log2(x2 + 7x) = 3

Resolución:• Aplicando la definición: x2 + 7x = 23

• Calculamos los valores de x por el método del aspa simple:

x2 + 7x - 8 = 23 x +8 x -1

• Se obtienen dos factores: (x + 8)(x - 1) = 0• Igualando cada factor a cero: x + 8 = 0 0 x - 1 = 0• Obtenemos de esta manera las soluciones: x = -8 0 x = 1

` CS = {-8; 1}

IDENTIDAD FUNDAmENTALDe la definición se desprende que: b Nlog Nb = ; N / b > 0 / b ! 1

Ejemplos:• 7 5log 5 =7 • 37 9log 9 =37 • 3,71log 7,3 71 = 7 • bLogb11 = 11

PROPIEDADEs GENERALEs DE LOs LOGARITmOs1. Siendo: b > 0 / b ! 1

Observación

Verifica que los valores hallados hacen que N sea positivo, de lo contrario se descarta aquel valor que no cumpla con dicha condición.Así: N > 0x2 + 7x > 0x = -8: (-8)2 + 7(-8) = 8 > 0x = 1: (1)2 + 7(1) = 8 > 0En este caso se toman los dos valores, no descartamos ninguno de ellos.

1. Para n ! Z+; n > 1 log An

b = (logbA)n

De aquí se desprende que:

logbAn ! lognbA

2. En la práctica son dos los sistemas de logaritmos más utilizados: el sistema de logaritmos cuya base es 10 que fue introducido por el matemático inglés Henry Briggs y el sistema de logaritmos naturales o neperianos introducido por el matemático escocés John Neper cuya base es el número irracional e.e = 2,7182...

3. Propiedad:6 a; b; c ! R+/b ! 1

alogbc = clogba

Nota0 ; 1log log b1b b= =

Ejemplos:• 0log 19 = • , 1log 9 8,9 8 =• 0log 1,3 71 = • 1log 39

2 =

2. Siendo: A > 0 / B > 0 / C > 0; b > 0 / b ! 1

log log log logABC A B Cb b c c= + +

Ejemplos:• log521 = log53 + log57• log42 + log45 + log47 = log470

3. Siendo: A / B > 0 , b > 0 / b ! 1

logb BAc m = logbA - logbB

Ejemplos:

• log3 47 = log37 - log34

• log56 = log512 - log52

4. Regla del sombrero Siendo: A / b > 0 / b ! 1, 6 n ! R

logbAn = nlogbA

Ejemplos:• log5125 = log553 = 3log55 = 3• log381 = log334 = 4log33 = 4

5. Siendo: A / b > 0 / b ! 1 6n $ 2; n ! z+

log log logA n A nA1

bn

bb= =

Ejemplo:• log7 log7 3

1 7 313

7= =

6. Regla de la cadenaA; B; C y D ! R+ / A; B; C y D ! 1

logBA . logCB . logDC = logDA

Ejemplo:• log75 log97. log39 = log35

logAB . logBC . logCD = logAD• log310 log108 . log817 = log317

7. Cambio de baseN > 0 , b ! R+

log logb N1

Nb

=

Ejemplos:

• 2log log 51

52

= • log log9 1019

=

52 Intelectum 1.°

ECUACIONEs LOGARÍTmICAs

Siendo: b > 0 / b ! 1, la ecuación: logbA(x) = aSe resuelve por medio de las relaciones:

A(x) > 0 / A(x) = ba

Ejemplos:1. Examen de Admisión UNI 2003-II (matemática)

Determina las soluciones reales de la ecuación: log5(x2 - 20x) = 3

Resolución:

EfectuarGrupo I1. Calcula el logaritmo de 16 en base 2.

2. Calcula log1255.

3. Determina el valor de x en:

log(x2 - 15x) = 2

4. Determina el valor de x en: 7log7(2x-19) = 4 + x

5. Resuelve: log16 + logx + log(x - 1) = log15 + log(x2 - 4)

Grupo II1. Halla x: logx7log732 = 5

2. Resuelve: logxa . logab . logb(x2 - 2) = logcc

3. Resuelve: log5log4log3(4x + 1) = 0

4. Resuelve: log2x + log2(x - 6) = 4

5. Resuelve e indica la menor solución de:

log2(x2 + 12) - log2x = 3

6. Halla el valor de a: loga0,5 = 0,2

Observaciones

1. Cuando se emplean logaritmos cuya base es 10 se acostumbra omitir el subíndice 10.

Veamos:• 100 = 1; escribiremos: log1 = 0 + log101 = 0

• 101 = 10; escribiremos: log10 = 1 + log1010 = 1

• 102 = 100; escribiremos: log100 = 2 + log10100 = 2

• 103 = 1000, escribiremos: log1000 = 3 + log101000 = 3

• 104 = 10 000; escribiremos: log10 000 = 4 + log1010 000 = 4

2. Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notación será la siguiente:

lnN = logeN

Veamos:• lne = logee = 1• ln8 = loge8• ln11 = loge11

Atención

El conjunto de valores admisibles (CVA) estará conformado por:

CVA: A(x) > 0

Aplicando la propiedad propuesta: x2 - 20x > 0 / x2 - 20x = 53

Factorizando la desigualdad:x(x - 20) > 0 / x2 - 20x - 125 = 0Factorizando la igualdad:x < 0 0 x > 20 / (x - 25)(x + 5) = 0

Igualando cada factor de la igualdad a cero:x < 0 0 x > 20 / x = 25 0 x = - 5Como estos valores satisfacen el CVA, entonces son las soluciones reales: x1 = -5 ; x2 = 25

2. Examen de Admisión UNI 2011-II (matemática) Determina el valor de x en la siguiente ecuación: logxlogx - logx - 6 = 0Da como respuesta la suma de las soluciones.

Resolución:Aplicamos la regla del "sombrero": logxlogx - logx - 6 = 0(logx)(logx) - logx - 6 = 0Se forma una ecuación cuadrática:(logx)2 - logx - 6 = 0logx -3logx 2Factorizamos por el aspa simple:(logx - 3)(logx + 2) = 0

Igualando cada factor a cero:logx - 3 = 0 0 logx + 2 = 0Estos valores verifican la existencia del logaritmo: x = 103 0 x = 10-2

Luego, la suma de soluciones es:103 + 10-2 = 1000 + 0,01 = 1000,01

3. Resuelve: log2x + log2x2 + log2x3 = 24

Resolución: log2x + log2x2 + log2x3 = 24 log2x + 2log2x + 3log2x = 24

6log2x = 24 & log2x = 4 ` x = 24 = 16

4. Calcula x: log logx 5( )log log logy z x 3=-yx z7 7 7 7 AA A A

Resolución: De la ecuación:

5log logxlog log logy z x 3x y z =-_ i7 A 5log logx ( )log x 3x =-_ i

log(x - 3) = log5 x - 3 = 5 & x = 8



1 Resuelve: 7log7(x4 + 2x2 - 14) =1

Resolución:Por la identidad fundamental:x4 + 2x2 - 14 = 1 & x4 + 2x2 - 15 = 0

Resolviendo la ecuación tenemos:(x2 + 5)(x2 - 3) = 0x2 + 5 = 0 & x2 = -5; x g rx2 - 3 = 0 & x2 = 3; x = 3!

` CS = 3!# -

2 Calcula x en: log(x + 1)81 = 2

Resolución:Por definición sabemos:81 = (x + 1)2 & x + 1 = !9 / x + 1 > 0 / x + 1 ! 1 & x > -1 / x ! 0x + 1 = 9 0 x + 1 = -9 x = 8 x = -10La única solución posible será: x = 8

3 Simplifica: M = log 2 log log1675

95

24332- +d d dn n n

Resolución:Aplicamos la regla del sombrero en el término central:

M = log log log1675

95

243322

+ +-

d d dn n n

M = log. .. .

16 5 24375 9 32

22

f p (Recuerda: logA + logB = logA.B)

M = log2 . 25 . 3

3 . 25 . 3 . 24 5

4 5f p

M = log 2

4 Halla x en: logx 811d n = log8 16

1d n

Resolución:logx(3

-4) = log23(2-4)

logx(3-4) = 3

4-

Sabemos que por definición se cumple:

34-

x = 3-4

31

x = 3 & x = 27

5 Halla x: 3log x9

+ log9x3 = 0

Resolución:

loglog

loglog

x x9

393=- & log3log9x = -log3log x

9

log3(log9 + logx) = -log3(logx - log9) log9 + logx = log9 - logx 2logx = 0 logx = 0 ` x = 100 = 1

6 Encuentra el valor de:5 9 13log log logA log log log

7343

2128

525= + -5 139

Resolución:Por identidad fundamental: A = log7343 + log2128 - log525 A = log773 + log227 - log552 ` A = 3 + 7 - 2 = 8

7 Calcula el valor de:R = 5 9log log 23log log

381 5

2345 3+ +

Resolución:

81 (3 )log logR2121

23log3

5 2233= + +

3 5 23log logR 34 2

2321

= + +

4 25R 21= + +

` R = 259

8 Calcula el valor de: 125 25P log log2 31

2 51

= +

Resolución:

P = 125 + 25 log 3511 --

P = 125 + 25 log 35

P = 125 + (5 )log 3 25

P = 125 + (3)2 = 125 + 9` P = 134

9 Calcula el valor de m en: log m = log 3 - 2

Resolución:log m = log103 - 2 log1010log m = log103 - log10100log m = log10 100

3d n

log m = log 0,03 ` m = 0,03

54 Intelectum 1.°

FUNCIONES

DEFINICIONEs PREvIAsProducto cartesiano A # BSean A = {2; 4; 6} y B = {1; 3; 5} dos conjuntos.Se define A # B ={(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (6; 1), (6; 3), (6; 5)} como el conjunto de pares ordenados de A en B.

Propiedad n(A # B) = n(A) . n(B)n(A # B): n.° de elementos de A # Bn(A) : n.° de elementos del conjunto An(B) : n.° de elementos del conjunto B

Gráfica de un producto cartesiano:

x: eje de abscisasy: eje de ordenadas

5(6; 5)(6; 3)

3

2 4 6

1

x

y

n(A # B) = n(A) . n(B) = 3 . 3 ` n(A # B) = 9 elementos

RelaciónDados 2 conjuntos no vacíos A y B; llamaremos relación o relación binaria a todo subconjunto R del producto cartesiano A # B.

R es una relación de A en B , R 1 A # B

Ejemplo:Dados los conjuntos: A = {3; -5} y B = {0; 1; -1} Determina si R1; R2; R3 son relaciones de A en B.R1 = {(3; 0), (-5; -1), (-5; 1)}R2 = {(3; 1), (3; -1), (-5; 0), (-5; -1)}R3 = {(3; 2), (-5; 0), (3; 1)}

Resolución:A # B = {(3; 0), (3; 1), (3; -1), (-5; 0), (-5; 1), (-5; -1)}Se observa que: R1 1 A # BR2 1 A # B R3 A # B` R1 y R2 son relaciones de A en B, R3 no lo es.

También se puede representar a una relación en un diagrama sagital:

BAR1

3

-510

-1

DondeA: conjunto de partidaB: conjunto de llegada

BAR2

3

-510

-1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓNSe conoce como función a toda correspondencia entre 2 magnitudes.Dado un subconjunto f de A # B, si a cada primera componente solo le corresponde una única segunda componente, entonces f es una función.

Notación: f: A & B se lee: la función f de A en B.

BAf

Recuerda

Par ordenado:

(a; b)primera

componentesegunda

componente

A # B ! B # A

Atención

Debes saber que; en una relación R:

BA R

a

b

c

1

2

3

- Dominio de R- Conjunto de

partida

- Rango de R- Conjunto de

llegada

R = {(a; 2), (b; 3)}


xExplícitamente:La función de A en B se denota así:

f = {(x; y) ! A # B / y = f(x)}

Conjunto de llegada

Elementos de f conjunto de partida

regla de correspondenciaDonde: x: primera componentey: segunda componente

Propiedad:f es función de A en B si:

i) f 1 A # B / ii) Si (a; b) ! f / (a; c) ! f & b = c

De (ii) se infiere que a primeras componentes iguales le corresponde segundas componentes iguales.Ejemplo:

Dados los conjuntos:M = {3; 4; 6}, N = {1; 5; 8; 13}; f1 = {(3; 1), (4; 8), (6; 13)}; f2 = {(1; 4), (5; 4), (8; 3), (13; 6)} y f3 = {(3; 8), (3; 1), (6; 13), (4; 5)}¿Son f1; f2 y f3 funciones de M en N?

Resolución:• Observamos que f1 está incluido en M # N y a cada primera componente le corresponde un único valor.

` f1 es función, ya que cumple i) y ii) de la definición.

• f2 es función de N en M, ya que está incluido en N # M y a cada primera componente le corresponde una única segunda componente.` f2 es función de N en M, cumple i) y ii).

• f3 no es función M en N, ya que aunque pertenezca a M # N, a la primera componente 3 le corresponde distintas segundas componentes. f3 = {(3; 8), (3; 1), (6; 13), (4; 5) }

!

Mediante diagramas:

M N

f1

4

3

6

51

813

f1 es función.

N M

f2

4

3

6

51

813

f2 es función.

M N

f3

4

3

6

51

813

f3 no es función, es relación.(A una misma primera componente no le puede corresponder diferentes valores)

REPREsENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONEs

Ejemplo: Sea f = {(3; 3), (4; 1), (8; -1), (9; -2)} una función, realiza su gráfica:

Resolución: Ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano.

Donde:f(3) = 3f(4) = 1f(8) = -1f(9) = -26 87531 9

23

1

2

-2-1

4 x

y

0

Atención

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Si, g = {(7; 6), (3; 8), (6; 1), (m; n)}g(3) = 8g(6) = 1g(m) = nSi, f(x) = 4x - 1f(2) = 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7f(0) = 4(0) - 1 = 0 - 1 = -1f(n) = 4n - 1

Regla de correspondencia Relaciona a la primera y segunda componente. y = f(x).Donde f(x) depende de los valores que toma x.

Ejemplo:f(x) = 3x

y = 3x

(nos indica que los valores que toma y son el triple de los valores de x).

Nota

56 Intelectum 1.°

Gráfica de una función con regla de correspondencia y = f(x)Sea la función f(x) = 2x, realiza su gráfica.

Resolución:Elaboramos un cuadro con algunos valores de x; y evaluamos en la regla de correspondencia f(x) = 2x.Tabulamos:

x f(x) = 2x

h-3-2-1

0123h

h-6-4-2

0246h

1

2

2 3

4

6

-6

-4

-3

-2

-2 -1 x

yf(x)

& Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos.

DOmINIO y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dominio

• Sea f = {(3; 6), (7; 2), (5; 11), (9; 17)}; una función, el dominio se denota por Dom(f) o Df y representa a las primeras componentes de f.

& Dom(f) = {3; 7; 5; 9}

• Sea g(x) = x - 3, una función en R. El dominio son los valores que toma la variable x. & Dom(g) = R; es decir; x toma cualquier valor real.

RangoEl rango de una función f; se denota como Ran(f) o R(f) y representa a las segundas componentes de f.

• Si; f = {(3; 6), (7, 2), (5; 11), (9; 17)} es una función: Ran(f) = {6; 2; 11; 17}

• Si; g(x) = x - 3 es una función en R. & Ran(g) son los valores que toma x - 3, en este caso todos los reales Ran (g) = R.

Ejemplos:

1. Sea M = {(3; 1), (1; 3), (7; 21), (5; 15)} y la función f(x) = {(x; y) ! M / y = 3x}, determina Dom(f) y Ran(f).

Resolución:• Hallamos f(x), de acuerdo a su regla de correspon-

dencia los valores de y o segunda componente son el triple de x o primera componente.M = {(3; 1), (1; 3), (7; 21), (5; 15)}

• Observamos que {(1; 3), (7; 21), (5; 15)} cumplen con la regla correspondencia o condición.f(x) = {(1; 3); (7; 21); (5; 15)}

` Dom(f) = {1; 7; 5} y Ran(f) = {3; 21; 15}

2. Halla el rango de la función f(x) = 3x - 2; si x ! [2; 5].

Resolución:• Como tenemos de dato el dominio, formamos f(x) = 3x - 2, que son los valores que toma el rango.

& 2 # x # 5 6 # 3x # 15 4 # 3x - 2 # 13 4 # f(x) # 13 ` Ran(f) = [4; 13]

Observación

f(x) = 2x es equivalente a

y = 2x e indica que losvalores de y son el doble que los de x.Si: x = -3 & y = 2x = -6 x = 2 & y = 2x = 4

Atención

Si:f1 = {(4; 2), (6; 3)}Dom(f1) = {4; 6}Ran(f1) = {2; 3}

Recuerda

• Representación verbal de una función.El costo de un lapicero es de S/.1,5.

• Representación tabular:

Cantidad 1 2 3 4

Costo 1,5 3 4,5 6

• Representación gráfica:

1

1,5

4,5

3

6

2 3 4Los puntos no se unen, ya que no podemos determinar el precio de 1,5 ; 2,5; ... lapiceros.

x FUNCIONEs EsPECIALEs A EsTUDIAR

Función lineal (afin)Es una función polinomial de primer grado de la forma: f(x) = ax + b cuya gráfica es una recta.Gráfica de una función lineal:

Para hallar los puntos de intersección con los ejes. Hacemos:

1.° f(x) = 0 & x = ab- / 2.° x = 0 & f(x) = b

Entonces, los puntos de intersección con los ejes son:

;ab 0-c m y (0; b)

x

y

b

y = f(x) = ax + b

(0; b) = (0; f(0))

( ; 0)- ba

Ejemplos:1. Grafica la función: f(x) = x + 1

Resolución:• Para graficar la función debemos hallar los

interceptos con los ejes: f(x) = 0 & 0 = x + 1 x = -1 punto (x; f(x)): (-1; 0) x = 0 & f(0) = 0 + 1 punto (x; f(x)): (0;1)

x(-1; 0)

y

(0; 1)

f(x)

• También podemos graficar la función tabulando valores.

x y = x + 1-2-1 0 1 2 h

-1 0 1 2 3 h

x1

2

2

3y

1

-2

-2

-1 -1-3

f(x)

2. Grafica la función: f(x) = 2x - 3 Resolución:• Hallamos los interceptos con los ejes:

f(x) = 0 & 2x - 3 = 0 x = 3/2 punto (x; f(x)); (3/2; 0) x = 0 & f(0) = 2(0) - 3 f(0) = -3 punto (x; f(x)); (0; -3)

• Ubicamos los puntos en los ejes y unimos con una recta.

(3/2; 0)

f(x)

x1

-1-2

y

(0; -3)

Función de proporcionalidad directaEs una función lineal cuya regla de correspondencia es y = kx ; Su gráfica pasa por el origen de coordenadas; es decir, (0; 0) pertenece a la función.

Constante de proporcionalidad.Si k > 0 & la función es creciente.Si k < 0 & la función es decreciente.x

y k=

Ejemplos:1. f(x) = 3x & y = 3x

Tabulamos:x y

-2 -1

-6-3

0 012

36

Reconocimiento gráfico de una función.Una gráfica será función si toda recta vertical la interseca en un solo punto.

x

f(x)

y

x

g(x)

y

x

R(x)y

x

P(x)y

f(x) es función.

g(x) es función.

R(x) no es función.

P(x) no es función.

Nota

x

y f(x)

1 2 4 6

3

6

-1-2

-3

-4

-6

-6

Observación

Que una recta vertical corte en un punto a una gráfica representa una función porque cumple la condición “6 x ! Dom(f), 7! y” = f(x) (definición de función).

58 Intelectum 1.°

2. f(x) = -3x & y = -3x

Tabulamosx y

-2 -1

63

0 012

-3-6

x

y

1 2 4 6

3

6

-1-2

-3

-4

-6

-6

3. Arturo ahorra S/.7 cada semana, representa una función que indique cuánto tendrá en 2; 4; 6 y 10 semanas. Resolución:

x = semanasf(x) = 7x

Función soles por x semanas

Tabulamos:x = semanas 1 2 4 6 10y = 7(x) soles 7 14 28 42 70

& En x semanas tendrá S/.7x.

La gráfica de la función 7x soles por semana sería:

1

714

28

42

2 4 6 x

y

(semanas)

(soles)

Función de proporcionalidad inversaEs aquella función que tiene por regla de correspondencia:

f(x) = y = xk

Ejemplos:

1. Realiza la gráfica de y = x2

Resolución:Tabulamos:

x y-2 -1-1 -2

0 b

1 22 13 2/3

x

y

1

1

2

2

3

3-1

-2

-1-2-3

2. Realiza la grafica de y = x2-

Resolución:Tabulamos:

x y-3 2/3-2 1-1 2

0 b

2 -13 -2/3

x

y

1

2

3

-1

-2

-1-2-3 1 2 3

Se observa que si x aumenta y disminuye en la misma proporción, y viceversa.

Recuerda

• 2 números A y B están en proporción directa si:

BA = k (constante)

& Si A aumenta; B aumenta en la misma proporción que A.

• 2 números A y B están en

proporción inversa si:A # B = k (constante)

& Si A aumenta; B disminuye en la misma proporción que A y viceversa.

Aplicación de una función inversaUn automóvil va a 90 km/h y demora 3 horas en ir de una ciudad A a otra B.¿Cuánto demorará si va a 60 km/h y a qué velocidad tendrá que ir, si quiere tardar solo 2 horas?

Resolución:Deducimos que a mayor velocidad, menor tiempo,Entonces: es una función inversamente proporcional.y = x

k x: t(tiempo) y: v(velocidad)yx = k. .

v t

& 90 # 3 = k ... (1) 60 # t = k ... (2)(1) ' (2) t = 4,5

Demora 4,5 horas

& 90 # 3 = k ... (1) v # 2 = k ... (2)(1) ' (2) v = 135

Deberá ir a 135 km/h

Atención



1 Coloca una regla de correspondencia a cada una de las imágenes de las siguientes relaciones.

BAR1

53

731

5

BAR2

97

1814

BAR3

qn

tpm

s

Resolución:• R1 = {(1; 3), (1; 5), (1; 7)}

Las imágenes de R1 siguen una progresión aritmética de razón 2.• R2 = {(7; 14), (9; 18)}

Las imágenes son el doble de las primeras componentes. • R3 = {(m; n), (p; q), (s; t)}

La segunda componente es la letra consecutiva a la primera.

2 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos representa una función?A = {(2; 3), (3; 3), (4; 3), (4; 5)}B = {(2; 3), (2; 3), (2; 3), (3; 3)}C = {(a; a2)/ a = -1; 0; 1; 2}

Resolución:El conjunto A no es función, ya que hay dos pares ordenados distintos que tienen el mismo primer elemento (4; 3) y (4; 5).El conjunto B = {(2; 3), (3; 3)} es una función.El conjunto C = {(-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4)} es una función.

` Solo B y C son funciones.

3 Si f = {(3; 0), (7; 5), (7; m - 2), (5; 8)} es una función, determina: f(3) + f(m) + f(5)

Resolución:Si f es función, a la primera componente le corresponde una única segunda componente.

& (7; 5), (7; m - 2) ! f & 5 = m - 2 m = 7& f(3) = 0& f(m) = f(7) = 5& f(5) = 8

` f(3) + f(m) + f(5) = 0 + 5 + 8 = 13

4 Completa el recuadro y dibuja la gráfica de f(x) = 3x + 1

x 0 1 2 4f(x) -2 7

ResoluciónEl valor de f(x) es el triple de x aumentado en 1.

x -1 0 1 2 4f(x) -2 1 4 7 13

▪ Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos. 13

7

4

42

-2

11 x

y f(x)

-1

5 Sea f(x) = x - 7 y g(x) = 7x - 5, dos funciones, determina f(g(1)).

Resolución:Primero hallamos: g(1) = 7(1) - 5 g(1) = 2 & f(g(1)) = f(2) = 2 - 7 = -5 ` f(g(1) = -5

6 Sean los conjuntos A = {11; 13; 16; 14} y B = {12; 15; 18} determina el dominio y rango de: f = {(x; y) ! A # B / y = x + 2}

Resolución:A es el conjunto de partida, entonces posee los posibles valores del Dom(f). Veamos: x y = x + 2 (x; y)

11 13 (11; 13) " " A # B 13 15 (13; 15) " ! A # B 16 18 (16; 18) " ! A # B 14 16 (14; 16) " " A # B

Luego: f = {(13; 15), (16; 18)}` Dom(f) = {13;16} / Ran(f) = {15; 18}

7 Determina el dominio y rango de la función:f(x) = -2x + 1 si x ! [-2; 2]; luego grafica la función.

Resolución:Dominio: x ! [-2; 2] & -2 # x # 2Rango: -2 # x # 2 -4 # -2x # 4 -3 # -2x + 1 # 5Como es una función lineal, hallamos los interceptos con los ejes. Dato: ▪ Punto(0; f(0)) & en la función:

f(0) = -2(0) + 1 = 1 Punto: (0; 1) ▪ Punto(x; 0) & en la función:

0 = -2x + 1 & x = 21

Punto: 21 ; 0d n

-2 x

y

(0; 1)

2(1/2; 0)

60 Intelectum 1.°

8 Sean las funciones F y G:F = {(1; 3), (3; 2), (4; 5), (6; 1)}

34

6

0 4

y

x6 8-2

G(x)

2

Calcula:F(1) - G(-2) + F(3) - G(0) + F(4) - G(4) + F(6) - G(6) + G(8)

Resolución:F(1) = 3; F(3) = 2; F(4) = 5; F(6) = 1

Del gráfico:G(-2) = 0; G(0) = 3; G(4) = 6; G(6) = 4; G(8) = 2` F(1) - G(-2) + F(3) - G(0) + F(4) - G(4) + F(6) - G(6) + G(8) = 3 - 0 + 2 - 3 + 5 - 6 + 1 - 4 + 2 = 0

9 La siguiente gráfica representa a la distancia recorrida por Eder en su moto con respecto al tiempo que se demora en recorrerlo.

D (km)

t (h)3 3,82

200 km

250 kmUniversidad

Grifo

V

Responde:

I. ¿En qué tiempo hizo el recorrido de 200 km? II. ¿Cuánto tiempo estuvo estacionado en el grifo?III. Del grifo a la universidad qué tiempo emplea y qué distancia

existe.

ResoluciónI. Del gráfico: 200 km lo recorre en 2 horas.

II. De la 2.a y 3.a hora no recorre distancia alguna, entonces estuvo en el grifo una hora.

III. Espacio entre el grifo y la universidad 50 km y demora 0,8 h.

10 Calcula el dominio y el rango de la función:

f(x) = xx

22 7

++

Resolución:Se observa que x no puede tomar el valor de -2, (x ! -2); luego: Dom(f) = R - {-2}

Para calcular el rango, despejamos x en términos de y:

y = xx

22 7

++ & y(x + 2) = 2x + 7

yx + 2y = 2x + 7x(y - 2) = 7 - 2y

x = yy

27 2

-- ...(1)

Se observa de (1) que y no puede tomar el valor 2, (y ! 2).Luego: Ran(f) = R - {2}

11 Un jardinero demora en podar el césped de un campo 96 horas, trabajando 8 horas diarias. Completa la siguiente tabla y responde:

n.° jardineros (x) 1 6n.° horas (y) 96 32

a) ¿Cuántos jardineros se necesitan para terminar dicho trabajo en 32 horas?

b) ¿Cuántas horas se demorarán 6 jardineros?

Resolución:Jardineros con horas son inversamente proporcionales:

& y = xk & 96 = k

1 & k = 96 la función es y = x96

a) y = 32 horas & 32 = x96 & x = 3 jardineros

b) x = 6 jardineros & y = 696 & y = 16 horas

x 1 3 6y 96 32 16

12 De la gráfica, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x), así como su dominio y rango.

5

2-2-6

6

x

y

f(x)

Resolución:Observamos que la gráfica es decreciente en:[-6; -2] se cumple: Si x1 $ x2 & f(x1) # f(x2)

La gráfica es creciente en:[-2; 2H se cumple: si: x1 # x2 & f(x1) # f(x2)

Dom(f): [-6: 2H ; Ran(f): [0; 6H

xprogresiones

IDEA DE PROGREsIÓNEn un cuartel el general manda a formar a su tropa de la siguiente manera: en la primera fila habrá 3 soldados en la segunda 5, en la tercera siete, es decir; van aumentando el número de soldados 2 por fila.

Fila 1 2 3 ...

n.° soldados 3 5 7 ...

¿Puedes determinar el n.° de soldados que hay en la fila n.° 15?Veamos:Fila 1 & 3 = 3 # 1 Fila 2 & 5 = 3 # 2 - 1 Fila 3 & 7 = 3 # 3 - 2 Ley de formación

Fila 4 & 9 = 3 # 4 - 3 h hFila n & = 3n - (n - 1)` Fila 15 = 3 # 15 - 14 = 31 soldados

DEFINICIONEs PREvIAs

SucesiónEs un conjunto de términos o números ordenados y que siguen una secuencia establecida.

Ejemplo: 4; 9; 16; ... (n + 1)2; ... es una sucesión, (n + 1)2 es el término general.

ProgresiónEs una sucesión de términos en la cual existe una ley o regla de formación.

PROGREsIÓN ARITméTICA (PA)Los términos de esta progresión aumentan o disminuyen en una cantidad constante llamada razón (r).

Ejemplo: 7; 10; 13; ... razón (13 - 10 = 3); la sucesión aumenta de tres en tres.

Forma general de una progresión aritmética: a1; a2, a3, ...; an / : a1; a1 + r; a1 + 2r; ...; a1 + (n - 1)r

+ r + r

Donde: a1: primer términoan: término enésimon: n.° de términosr: razón aritmética

Para hallar la razón se resta el término de lugar n con su antecedente, veamos:r = a2 - a1 = a3 - a2 = ...

En general: r = an - an - 1 (Diferencia de términos consecutivos)r: razón de una PA

El término de lugar n o término enésimo de una PA(an)Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r h h

an = a1 + (n - 1)r

Primer término

Término de lugar n

Razón

El n.° de términos de una PA (n)Despejamos n de an = a1 + (n - 1)r:

1n ra an 1=-

+ an: último término

Observación

Estos números siguen una regla:1; 3; 9; 27Cada número es el triple del anterior.

Observación

En una PA de razón r:• Si: r > 0

:4; 9; 14; ... PA creciente.

• Si: r < 0:20; 17; 14; ... PA decreciente.

• Si: r = 0 PA trivial.

seriees una sumatoria y se expresa así: S (sigma)Ejemplo:

2 4 6 ... 30S i2i 1

30= = + + + +

=

/Series notables:

S = 1 + 2 + 3 + ... n= ( )n n21+

S = 2 + 4 + 6 + ... 2n = (n)(n + 1)

S = 1 + 3 + 5 + ... 2n - 1 = n2

Nota

62 Intelectum 1.°

Ejemplo:

Determina la razón; el término de lugar 6 y el número de términos de: : 5; 10; 15; ...; 45.

Resolución:Razón: r = 15 - 10, también r = 10 - 5 = 5T6 = T1 + (n - 1)r reemplazamos valores:T6 = 5 + (6 - 1)5& El término de lugar 6: T6 = 5 + (5)5 = 30

El número de términos: n = ra a 1n1 +

+

& n 55 45 1= + + = 11 términos

Suma de los n primeros términos de una PA (Sn)Sea la PA: a1; a2; a3; ...; an

Sn a a n2n1=

+d n

a1: primer términoan: último término n: n.° de términos

Del ejemplo anterior la suma de términos es: Sn = 25 45+d n11 = 275

PROGREsIÓN GEOméTRICA (PG)Es una sucesión de números en donde cada una de ellas se obtiene multiplicando su antecedente por una constante llamada razón geométrica (q).

Forma general de una PG:: a1; a2; a3: ...; an / ::a1; a1q; a1q2; ...; a1qn - 1

# q # q

Donde:a1: primer término.an: término enésimo.q: razón geométrica

Para hallar la razón (q) se divide uno de los términos con su antecedente.

aa

aa q

2

3

12= =

En general: q a

an

n1

=-

Término de lugar general o término enésimo (an)

an = a1qn-1

Donde:an: término de lugar na1: primer término n: término buscado

Fórmula para determinar cualquier término, conociendo otro término, y la razón.

an = akqn - k

ak: término k ésimo

Suma de los n primeros términos de una PG

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ... a1qn - 1

Sn = a1(1 + q + q2 + q3 + ... qn - 1) cociente notable

S a qq

11

n

n

1= --f p

Producto de términos de una progresión geométrica (Pn)Sea la PG :: a1; a2; a3; ... ; an

P a an nn

1 #= _ i a1: primer término.an: último término. n: n.° de términos.

Atención

Cuando una PA tiene un número impar de términos::a1; a2; ...; an n (impar)Entonces el término central sedetermina así:

( )Tc a a2

n1=+

CorolarioSn = Tc # n

Sea la PA: a; ... ; b

m medios aritméticos

Observación

El producto de dos extremos equidistantes de una PG es constante.

a1; a2; a3; ... an - 2; an - 1; an

& a1 # an = a2 # an - 1 = a3 # an - 2...

PG creciente: cuando (q > 1):: 4; 12; 36; ...

3q 412

1236

= = =

PG decreciente: cuando (0 < q < 1):: 81; 27, 9; ...q 81

27279

31

= = =

PG oscilante; (q < 0):: 4; -8; 16

2q 48

816

= - =-

=-

Nota

xEjemplo:De la siguiente PG :: 2; 4; 8; ...; 1024 calcula: a9; S9; Pn

Resolución:Observamos que la PG tiene la siguiente forma: :: 21; 22; 23; ...; 210

& n.° de términos: n = 10; a1 = 2; q = 222

= 2; an = 210

Término noveno:a9 = a1 # 29 - 1

a9 = 2 # 28 = 29 = 512

Suma de los 9 primeros términos:

S9 = a1 qq

11n

--f p = ( )

2 12 2 19

-- = 2 # (512 - 1) = 1022

Producto de términos: PnSabemos que: n = 10

& P10 = a ann

1 #_ i = 2 210 10#_ i = (211)5 = 255

` P10 = 255

Suma límiteEs usada solo para sumar progresiones geométricas decrecientes (razón entre 0 y 1) e ilimitadas que presentan la siguiente forma::: a1; a2; a3; ... 0 a1; a1q; a1q2; ...

donde q = k1 / 0 < q < 1 S q

a1L

1= - a1: primer término q: razón geométrica

Ejemplos:

1. Calcula: 4 + 1 + ; ...41

161

641+ +

Resolución: Es una suma ilimitada de razón: q = 4

1 ; a1 = 4

& SL = qa

11

- = 1 4

14

316

-=

2. Determina la suma: ...22

21

21

n n n 1+ + ++

Resolución: Observamos que es una PG de razón q = 2

1 ; como 0 < q < 1; es una suma infinita.

Aplicamos Slim. donde a1 = ; q22

21

n =

& SL = 1 2

122

22

21n

n n

2

2-

= =-

Efectuar

Observación

En una PG de grado impar podemos hallar el término central, veamos:t1; t2; ... tc; ... tn - 1; tn

t t tc n1=

El término central es la raíz cuadrada del producto de los extremos.

I. Halla el término 10 de:

A) : 8; 11; 14; ...

B) : 4; 6; 8; ...

C) :: 6; 12; 24; ...

D) :: 7; 1; 71 ; ...

II. Determina el n.° de términos de:

A) 13; 15; 17; ...; 6

B) 4; 8; 12; ...; 92

C) 6; 62;...; 68

D) 1/3; 1/9; ... ; 3127

III. Calcula: A) S = 6 + 10 + 14 + ... + 54

B) S = 3 + 5 + 13 + ... + 78

C) S = 2 + 4 + 8 + ... + 1024

D) S = 7 + 72 + 73 + ... + 712

E) S = 1 + ...21

41+ +

F) S = 1 + ...31

91+ +

En una sucesión de números:a1; a2; a3; ...; an

Media aritmética: (MA)

...MA na a an1 2=

+ + +

Media geométrica: (MG)

...MG a a ann1 2# # #=

Nota

64 Intelectum 1.°

Problemas resueltos

1 De las siguientes sucesiones cuáles son PA.A) 12; 22; 32; ... C) 3m; 3(m - 1); 3(m - 2); ...B) 3; 5/2; 2; ... D) 1; 3/2; 3; ...

Resolución:En toda PA la razón constante, es la diferencia de 2 términos consecutivos. En cada caso tenemos:A) 32 - 22 = 22 - 12 = 10 es PA.B) 2 - 5/2 = 5/2 - 3 = -1/2 es PA.C) 3(m - 2) - 3(m - 1) = 3(m - 1) - 3m = 3 es PA.D) 3 - 3/2 ! 3/2 - 1 & no es PA.

2 ¿Qué término de la PA es 89?-15; -13; -11; ...

Resolución:r = (-13) - (-15) = 2a1 = -15an = 89Para determinar n empleamos:an = a1 + (n - 1)r89 = (-15) + (n - 1)2De donde: n = 53 ` El término buscado es el n.° 53.

3 El tercer término de una PA es 18 y el séptimo término es 30. Calcula a17.

Resolución:a3 = a1 + 2r = 18 ...(1)a7 = a1 + 6r = 30 ...(2)De (1) y (2): Piden: a174r = 12 & r = 3 a17 = 12 + 16(2) = 44 De(1) a1 = 12

4 Determina a20 ' a10, en la siguiente progresión: :: 4; 8; 16; ...

Resolución:Es una PG: a1 = 4 / q = 2& a20 = a1 . q19 = 4 . 219 = 221

& a10 = a1 . q9 = 4 . 29 = 211

` a20 ' a10 = 221 / 211 = 210 = 1024

5 En una PG se conoce que: a1 = 12; an = 972; Sn = 1452Halla n.

Resolución:a1 = 12an = a1 . qn - 1

& 972 = 12 . qn - 1

81 = qn - 1 & 81q = qn ...(1)

Sn = a qq

11n

1 --d n

1452 = qq

112 1n

--_ i

121(q - 1) = qn - 1 ...(2)

Reemplazando (1) en (2):121q - 121 = 81q - 1 40q = 120 q = 3Reemplazando q = 3 en (1):34 .3 = 3n & 35 = 3n ̀ n = 5

6 Halla el producto de términos en la siguiente PG::: 4; 8; ... ; 256

Resolución:an = a1 . q

n - 1 donde: q = 2; a1 = 4 256 = 4 . 2n - 1 & 64 = 26 = 2n - 1

n - 1 = 6 n = 7

.P a a7 1 77& = _ i

.P 2 272 8 7= _ i

2P 2770 35= = ` P7 = 235

7 Halla la suma de los 8 primeros múltiplos de 4 que ! N.

Resolución:Los números serán: 4; 8; 12; ...Es una PA de razón 4.Donde: n = 8 & a8 = a1 + (n - 1)r = 4 + (8 - 1)4 = 32& a8 = 32Reemplazamos: en Sn = a a n2

n1 +d n ; donde n = 8

S8 = 24 32 8+d n = 144

8 La suma de los n términos de la PA : 2 ; 5 ; 8 ; ... es 950.¿Cuánto vale n?

Resolución:a1 = 2 / r = 3an = 2 + (n - 1)3 = 3n - 1

Sn = a a n2n1 +d n

950 = n2

2 3 1+ -d nn = n n23 1+d n

1900 = n(3n + 1) = 3n2 + n

3n2 + n - 1900 = 03n +76 n -25

& n = 25

03 TEXTO ESCOLAR_ALGEBRA 1°

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