1

The Physics of FluidsConservation of Energy

Conservation of Momentum

2

Inhoud

Behoud van energie

Bernoulli

Verschillende voorbeelden

- spin-effect van een bal

- tsunami

Behoud van impuls

3

Daniel Bernoulli

4

Probleemstelling

Wat is het verschil in druk p1 en p2

Wat is het verschil in de snelheden v1 en v2?

h1 h2

p1 v1

p2 v2

A1

A2

5

Waar is de druk het hoogst?

v2v1

A1

A2

6

energie: E

vermogen om arbeid te verrichten

energie kent vele vormen, die in elkaar zijn om te zetten:

bewegingsenergiezwaartekrachtsenergiewarmtechemische energie……..

7

basis: energie-behoudenergievormen zijn in elkaar om te zetten

•kinetische energie: 2mv21

mgz•potentiële energie:

pV•druk energie:

2v21

gz

p

vloeistoffen per kilogram: deel door m

Vm

indien wrijving verwaarloosbaar

Bernoulli

constρp

gz2v21

8

Bernoulli's vergelijking

Op een stroomlijn geldt

€

p +ρgh +12

ρv2 = constant

1. steady-state stroming

2. incompressibel

3. wrijvingsloze vloeistof

Toepasbaar alleen als

9

Toepassing 1Pijp met variabele diameter

v2v1

Bernoulli toepassen

Op stroomlijn geldt

€

12

v12 +

p1

ρ=

12

v22 +

p2

ρ ⇔

p2 −p1

ρ=

v12 −v2

2

2

10

Toepassing 1Pijp met variabele diameter

v2v1

Massabehoud toepassen

€

v1A1 = v2A2

A1

A2

Bernoulli en massabehoud

indien A1>A2

€

p2 −p1

ρ=

v12 −v2

2

2=

v12

21−

A1

A2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥< 0

Druk p2 is lager dan p1

11

Druk neemt dus af naarmate de snelheid hoger is

Op een stroomlijn geldt

€

p +ρgh +12

ρv2 = constant

12

Cavitatie

v2v1

p2 < p1

National Research Council Canada

13

Stagnatiepunt

Elk lichaam in een stroming heeft een stagnatiepunt

Een gedeelte van de stroming gaat bovenlangs of onderlangs

De lijn die deze stroomlijnen scheidt: stagnatiestroomlijn

De stagnatiestroomlijn eindigt op het stagnatiepunt waar de snelheid

nul is

Figuur 3.5 Munson

14

Hoe groot is de druk op het gezicht van de fietser?

Op een stroomlijn geldt:

€

p +ρgh +12

ρv2 = constant

€

p1 +ρgh1 +12

ρv12 = p2 +ρgh 2 +

12

ρv22

€

p2 −p1 =12

ρv12

Beweeg mee met de fietser

15

Hoe groot is de druk op het gezicht van de fietser?

Rekenvoorbeeld:

Dichtheid van lucht =1.2

kg/m3

Snelheid v1 = 10 ms-1

Drukverschil p2-p1 = 60 Pa

€

p2 −p1 =12

ρv12

Kracht werkend op gezicht van

wielrenner:

oppervlak gezicht A=0.015 m2

F = pA = 60 x 0.015 = 0.9 N

16

Veelgebruikte aannames bij Bernoulli

1. Snelheid V0 = 0

Volume dat per tijdseenheid wegstroomt is klein tov totale volume.

Dan mag de neerwaartse snelheid van het wateroppervlak

verwaarloosd worden.

v

H

V0=0

17

Veelgebruikte aannames bij Bernoulli

2. Drukken bij in/uitstroomopeningen zijn gelijk aan de

atmosferische druk

In de praktijk wordt de atmosferische druk op 0 gesteld. De berekende druk

worden dan de "gage" pressures genoemd, oftewel de druk tov de

atmosferische druk

v

H

V0=0

patmosfeer

18

v

H

Bernoulli: gH v 212

H=50m v=31m/s

v gH 2

patmosfeer

V0=0

19

Illustratie

v gH 2

Des te kleiner H, des te kleiner de

uitstroomsnelheid

20

voorbeeld: ping-pong bal in gasstraal

Fz

w

Fwr +

Fopw •vertikaal: zwaartekracht gecompenseerddoor opwaartse kracht engasstroom

•‘horizontaal’:stabiliteit dankzij

Bernoulli

stilstaande lucht,hogere druk

opwaartse snelheid,lagere druk

21

spin effecten

http://www.youtube.com/watch?v=oqWXKt16svs

22

v

draaiende balbeweegt van linksnaar rechts

v

voor wie met de bal mee reist ….

Rv + v

R

v - v

v - v

v + v

p + p

p - p

F

23

Het verhaal is iets gecompliceerder

Photograph taken by F. N. M. Brown, courtesy of the University of Notre Dame. Illustration by Barbara Aulicino

impulsbehoud

24

Tsunami: golven verplaatsen zich met hoge snelheid

25

Tsunami

http://www.pep.bc.ca/tsunamis/causes_2.htm

26

beweeg mee met de golf

HH + h

v+vv-v

H+h H-h

massabehoud:

(H+h)(v-v) = (H-h)(v+v) H=4km v = 200 m/s!!! = 720 km/uHv = hv

gh = vv

v = (gH)

Bernoulli:

g(H+h) + ½(v-v)2 = g(H-h) + ½(v+v)2

27

Bernoulli’s wet

•energie behoud en ‘geen’ wrijving•simpel idee, krachtige instrument

constρp

gz2v21

28

x

yz

u(x,y,z)

u(x+x,y,z)

dPin uit F

dt

impulsbehoud

• druk• gravity• wrijving

x-impuls

€

uΔxΔyΔz

links: in =

€

u( )uΔtΔyΔz

voor: in =

€

v( )vΔtΔyΔz

Behoud van impuls: Navier-Stokes vergelijking

29

vt

0

Massabehoud

Impulsbehoud: Navier-Stokes vergelijking

verandering in de tijd

letterlijk stroming(in – uit)

vvv p v g

t

productie= krachten

30

Deformatie van vaste stof tussen twee platen

y

b

Vaste plaatA

BP

31

Deformatie van vaste stof tussen twee platen

y

b

Vaste plaatA

B B'

δA

δ

P

32

Vloeistof tussen twee platen waarvan er eentje beweegt

y

b

U

P

Vaste plaatA

B B'

δa

δ

no-slip condition: vloeistof blijft 'plakken' aan randen

vloeistof tussen platen gaat stromen!

schuifspanning werkt parallel aan het vlak

€

dudy

=Ub

33

Newtoniaanse vloeistof: schuifspanning evenredig met

snelheidsgradiënt

y

b

U

P

Vaste plaatA

B B'

δa

δ

€

dudy

=Ub

In tijd t de denkbeeldige lijn AB roteert met een hoek B:

€

tan δB ≈ δB =δab

Rate of "shearing strain" ( deformatie):

€

˙ γ = limδt→0

=δβδt

=Ub

=dudy

s-1( )

Schuifspanning voor een Newtoniaanse vloeistof:

€

∝ ˙ γ ⇒ τ = μdudy

Nsm-2( )

34

Dynamische of absolute viscositeit

water (38 0C)

water (3 0C)

lucht (3 0C)

ruwe olie (3 0C)

lucht is veel minder 'stroperig'

dan vloeibaar water

35

Bloed is geen Newtoniaanse vloeistof

rode bloedcellenwww.sciencemuseum.org.uk

36

Samenvatting

Behoud van impuls

- viscositeit , Newtoniaanse vloeistof

Behoud van energie

Bernoulli

- incompressibel, steady-state, wrijvingsloos

- stagnatiepunt

- cavitatie

Verschillende voorbeelden

- druk lager naarmate stroomsnelheid groter is

- ondiep-water golven