College 6 – Timeseries

(Source: http://scifun.chem.wisc.edu/WOP/RandomWalk.html )

Hoofdstukken

Kortom: Wat is er blijven hangen van het vorige college?

Waarom timeseries

Wat zijn timeseries

Decompositie van timeseries

Basis functies voor timeseries

Stabiliseren van timeseries

Omgaan met NA in timeseries

Analyse van de ruis (AR/MA/white noise)

CREDITS TO • Michelangelo Vargas voor vak 3.4 SEC

• NA n dataset http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

• Decompositie https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/

• Basis functies https://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-refcard-ts.pdf

• AR/MA modelleren https://www.analyticsvidhya.com/blog/2015/12/complete-tutorial-time-series-modeling/

• Forecast https://media.readthedocs.org/pdf/a-little-book-of-r-for-time-series/latest/a-little-book-of-r-for-time-series.pdf

Het doel van dit college is• Data kunt ombouwen naar timeseries• Tijdreeks formules begrijpen• Tijdreeksen transformeren middels

decompositie• Met de timeseries package kunt werken

Waarom timeseries

Een voorbeeldEr is een distributie-centrum met producten die in opslag zijn en producten die niet in opslag zijn. Dit heeft te maken met het aantal bestellingen per maand. Verschillende mensen in het bedrijf vermoeden dat het aantal bestellingen van een bepaald product stijgt. Hoe controleren we dit? Wat zullen de bestellingen in detoekomst zijn?

Wat is een tijdreeks/timeseries?

Een tijdreeks Xt is een verzameling van waarnemingen, elk gedaan op een specifiek tijdstip t.

De verzameling T van tijdstippen zou continu kunnen zijn, maar wij zullen uitgaan van een discrete verzameling T.

Sterker nog, we zullen uitgaan van tijdreeksen met waarnemingen op een vaste afstand van elkaar.

Een tijdreeks is meestal een samenstelling van componentenVoor het beschrijven van een tijdreeks maken we gebruik van vier componenten.• De trend De trend geeft de globale beschrijving van de stijging of

daling van een tijdreeks.• De seizoencomponent Deze component geeft het cyclische

gedrag van de tijdreeks. De periode van dit gedrag hoort constant en bekend te zijn.

• De conjunctuurcomponent Deze component geeft het cyclische gedrag waarvan de periode niet bekend is. Deze periode zal over het algemeen langer zijn dan de seizoensperiode.

• De toevallige component Dit is het gedrag dat we niet kunnen beschrijven met de drie andere componenten.

Basics van stats, tseries, ast and lmtest package

cycle()# gives the positions in the cycle of each observation (stats) deltat()# returns the time interval between observations (stats) end()# extracts and encodes the times the last observation were taken (stats) frequency()# returns the number of samples per unit time (stats) read.ts()# reads a time series file (tseries) start()# extracts and encodes the times the first observation were taken (stats) time()# creates the vector of times at which a time series was sampled (stats)

ts()#creates time-series objects (stats) window()# is a generic function which extracts the subset of the object 'x' observed between the times 'start' and 'end'. If a frequency is specified, the series is then re-sampled at the new frequency (stats)

#het begint allemaal met installeren en inladen van de packageinstall.packages('tseries')library(tseries)

Maken van een Tseries object

Installatie package

https://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-refcard-ts.pdf

Tests doen op de timeseries (er zijn meer tests maar die zijn out of scope

Decompositie

https://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-refcard-ts.pdf

decompose()# decomposes a time series into seasonal, trend and irregular components using moving averages. Deals with additive or multiplicative seasonal component (stats) filter()# linear filtering on a time series (stats) HoltWinters()# computes Holt-Winters Filtering of a given time series (stats) sfilter()#removes seasonal fluctuation using a simple moving average (ast) spectrum()# estimates the spectral density of a time series (stats) stl()# decomposes a time series into seasonal, trend and irregular components using 'loess' (stats) tsr()# decomposes a time series into trend, seasonal and irregular. Deals with additive and multiplicative components (ast)

adf.test()#computes the Augmented Dickey-Fuller test for the null that 'x' has a unit root (tseries) Box.test()# computes the Box-Pierce or Ljung-Box test statistic for examining the null hypothesis of independence in a given time series (stats)

Basics van stats, tseries, ast and lmtest package

Grafieken

Modelleren

https://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-refcard-ts.pdf

Basics van stats, tseries, ast and lmtest package

ar()# fits an autoregressive time series model to the data, by default selecting the complexity by AIC (stats) arima()# fits an ARIMA model to a univariate time series (stats) arima.sim()# simulate from an ARIMA model (stats) arma() # fits an ARMA model to a univariate time series by conditional least squares (tseries)

lag.plot# plots time series against lagged versions of themselves. Helps visualizing "auto-dependence" even when auto-correlations vanish (stats) plot.ts()# plotting time-series objects (stats) seqplot.ts()# plots a two time series on the same plot frame (tseries) tsdiag()# a generic function to plot time-series diagnostics (stats) ts.plot()# plots several time series on a common plot. Unlike 'plot.ts' the series can have a different time bases, but they should have the same frequency (stats) acf() # the function 'acf' computes (and by default plots) estimates of the autocovariance or autocorrelation function. pacf() # Function 'pacf' is the function used for the partial autocorrelations. lag()# computes a lagged version of a time series, shifting the time base back by a given number of observations (stats)

Opbouw van timeseries

Additive:Time series = Seasonal + Trend + Random

https://anomaly.io/seasonal-trend-decomposition-in-r/

Multiplicative:Time series = Trend * Seasonal *Random

kijk goed naar de twee figuren en vertel hoe je het verschil ziet

https://drsifu.wordpress.com/2012/11/27/time-series-econometrics/

1. Is the Mean constant ? The mean of the series should not be a function of time

2. Is the Variance constant?The variance of the series should not a be a function of time.

3. Is the Covariance constant?The covariance of the i th term and the (i + m) th term should

not be a function of time

Om een tijdreeks te analyseren moet deze stationair zijn

Zijn de onderstaande reeksen stationair?

https://drsifu.wordpress.com/2012/11/27/time-series-econometrics/

https://www.analyticsvidhya.com/blog/2015/12/complete-tutorial-time-series-modeling/

The mean of the series should not be a function of time rather should be a constant. The image below has the left hand graph satisfying the condition whereas the graph in red has a time dependent mean.

The variance of the series should not a be a function of time. This property is known as homoscedasticity. Following graph depicts what is and what is not a stationary series. (Notice the varying spread of distribution in the right hand graph)

The variance of the series should not a be a function of time. This property is known as homoscedasticity. Following graph depicts what is and what is not a stationary series. (Notice the varying spread of distribution in the right hand graph)

Examples of non stationary time series WHY?

https://drsifu.wordpress.com/2012/11/27/time-series-econometrics/

Handmatige decompositie van een additieve tijdreeks (4 stappen)

Stap 1: Importeer en converteer de data

Stap 2: detecteer de trend

install.packages("fpp")library(fpp)data(ausbeer)timeserie_beer = tail(head(ausbeer, 17*4+2),17*4-4)plot(as.ts(timeserie_beer))

Doe een moving average met een window gelijk an de frequentie (kwartaal data bijv) en separeer de trend.

library(forecast)trend_beer = ma(timeserie_beer, order = 4, centre = T)plot(as.ts(timeserie_beer))lines(trend_beer)plot(as.ts(trend_beer))

Handmatige decompositie van een additieve tijdreeks (4 stappen)

Stap 3: haal de trend uit de tijdreeks

Stap 4: haal seizoenseffecten eruitHet makkelijkst is het gemiddelde seizoenseffect te berekenen door een matrix te maken van per frequentie en de gemiddelden per kolom maken

detrend_beer = timeserie_beer - trend_beerplot(as.ts(detrend_beer))

Let op het verschil tussen multiplatief en additief

#maak een matrix van de data met kolommen gelijk aan de frequentie#en kantel de matrix zodat de kolommen m_beer = t(matrix(data = detrend_beer, nrow = 4))#bereken per frequentie element het gemiddelde seasonal_beer = colMeans(m_beer, na.rm = T)plot(as.ts(rep(seasonal_beer,16)))

Handmatige decompositie van een additieve tijdreeks (4 stappen)

Stap 5: onderzoek het random effect

Stap 6: recnstrueer het signaal (om te checken)

Let op het verschil tussen multiplatief en additiefrandom_beer = timeserie_beer - trend_beer - seasonal_beerplot(as.ts(random_beer))

recomposed_beer = trend_beer+seasonal_beer+random_beer

plot(as.ts(recomposed_beer))

Automatische decompositie van een additieve tijdreeks

Stap 5: onderzoek het random effectLet op het verschil tussen multiplatief en additief#data converteren naar timeseries met frequentiets_beer <- ts(timeserie_beer, frequency = 4)#decompose is de functie die het allemaal doetdecompose_beer <- decompose(ts_beer, "additive") #het resultaat van de functie is een object met de verschillende data erinplot(as.ts(decompose_beer$seasonal))plot(as.ts(decompose_beer$trend))plot(as.ts(decompose_beer$random))plot(decompose_beer)

Maar wat nu als je frequentie vd sezoensinvloed niet weet?

De Fourier transformatie – dummy style uitgelegdDe Fourier transformatie breekt een signaal uiteen naar alle mogelijke frequenties waar het signaal uit bestaat:

een sinus een samengesteld signaal

Het resultaat is een grafiek waarbij de pieken de frequenties van de seizoensinvloed zijn, denk erom frequentie dus T = 1 / f

Sin(ϖt)

Maar wat nu als je frequentie vd sezoensinvloed niet weet?

De Fourier transformatie in R

https://anomaly.io/detect-seasonality-using-fourier-transform-r/

# Install and import TSA packageinstall.packages("TSA")library(TSA) # Lees een dataset inraw = read.csv("iets.csv") # compute the Fourier Transformp = periodogram(vectormetwaarden)#let op dit is een object met data erin!

#maak df met frequenie en spec = hoogte piekdd = data.frame(freq=p$freq, spec=p$spec)

#rangschik df van hoge naar lage piekenorder = dd[order(-dd$spec),]#pak de belangijkste 2 (of meer) pieken eruittop2 = head(order, 2) # display the 2 highest "power" frequenciestop2

# convert frequency to time periodstime = 1/top2$ftime

Omgaan met Missing Data in R: het ontstaan van NA’sBeschouw de volgende tijdreeks wat is er mis?

http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

tijdreeks<-data.frame(jaar=rep(2015,10), maand=c(1:5,7:9,11:12), waarde=runif(10))

Hoewel er geen NA’s zijn is de reeks, zit er niet dezelfde afstand tussen de waarnemingen`

Omgaan met Missing Data in R: het ontstaan van NA’sBeschouw de volgende tijdreeks wat is er mis?

http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

tijdreeks<-data.frame(jaar=rep(2015,10), maand=c(1:5,7:9,11:12), waarde=runif(10))

Hoewel er geen NA’s zijn is de reeks, zit er niet dezelfde afstand tussen de waarnemingen`

12345

789

1112

123456789101112

De oplossing

Omgaan met Missing Data in R: het ontstaan van NA’s

http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

De oplossing

#tijdreeks met ontbrekende maanden#maar geen NAtijdreeks<-data.frame(jaar=rep(2015,10), maand=c(1:5,7:9,11:12), waarde=runif(10))

#een totaal jaar zonder waarden TOTAALjaar<-data.frame(jaar=rep(2015,12), maand=c(1:12))

#een samengevoegde tijdreeks met alle maanden#en met NA op de momenten dat de tijdreeks geen #data heeftTijdreeks_correctie<-merge(tijdreeks, TOTAALjaar, by=c("maand","jaar"), all.y = TRUE)

Omgaan met Missing Data in R: Omit? Of locf, Approx, or Spline

Eerder hebben we gedefinieerd:Sterker nog, we zullen uitgaan van tijdreeksen met waarnemingen op een vaste afstand van elkaar.

maar wat nu als je NA hebt, dan heb je of • een gat in je series (wel tijdpunt behouden, NA als waarde)• Niet meer een vaste afstand tussen opvolgende punten (als je NA

verwijdert)

http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-1/

zoo package heeft 3 functies die helpen bij NA’s in timeseries• na.locf() ->last observation carried forward • na.approx() ->linear interpolation• na.spline() ->polynomial interpolation

install.packages('zoo')library(zoo)#datasetje aanmakenmissingData<-c(4,5,3,NA,NA,7,NA,4)

plot(missingData)

Omgaan met Missing Data in R: Omit? Of locf, Approx, or Spline

Omgaan met Missing Data in R: Omit? Of locf, Approx, or Spline

na.spline()na.locf() na.approx()

Verder lezen, kijk dan op http://publish.illinois.edu/spencer-guerrero/2014/12/11/2-dealing-with-missing-data-in-r-omit-approx-or-spline-part-2/

#na.locf plot( na.locf(missingData),type='l',col=623)points(missingData,col='blue')

#lineaire approximatie plot(na.approx(missingData),type='l',col=459)points(missingData,col='blue')

#polynome benaderingplot(na.spline(missingData),type='l',col=300)points(missingData,col='blue')

Analyse van de ruis

Verdeling maken van de ruis

hist(decompose_beer$random)

Het AR model

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)Neem de volgende functie

Als Rho = 0 dan is het resultaat een heerlijk stuk witte ruis

Het AR model

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)Neem de volgende functie

Als Rho = 0.5 wat voor verschil zie je dan?

Het AR model

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)Neem de volgende functie

Als Rho = 0.9 wat voor verschil zie je nu?

Het AR model

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)Neem de volgende functie

Als Rho = 1.0 dan hebben we een random walk

Die niet stationair is want E[X(t)] = Rho *E[ X(t-1)]

een mooi voorbeeld van een AR(1) model

Het bruto nationaal product (bnp) is de waarde van alle goederen en diensten die in een bepaalde periode (meestal een jaar) door een bepaald land worden geproduceerd: het bruto binnenlands product plus de door de staatsburgers in het buitenland verdiende primaire inkomens minus de door buitenlanders in het betreffende land verdiende primaire inkomens. De hypthese is dat

BNP(t) = alpha *  BNP(t – 1) + error (t)

Tweede voorbeeld AR(1)Stel je verkoopt een product X met een stabiele verkoop van X0. Op een gegeven moment maak je reclame op t=9 waardoor de verkopen stijgen. Een alpha % van de klanten die product kopen, kopen je product nog een keer. Het verloop van je verkoop ziet er dan als volgt uit.

Het Moving Average modelx(t) = beta *  error(t-1) + error (t)

Merk op dat een MA(1)-proces niet hetzelfde is als de moving average die we gebruiken om te effenen. * De ene zal gebruikt worden om de trend te bepalen van een deterministisch proces.* De andere, het MA(1)-proces, zal gebruikt worden alsbouwsteen om voorspellingen te doen voor een kansproces

Welk model hebben we mee te makenZodra je een stationair proces hebt (decompositie) moet je je afvragen met welk type model je te maken hebt (i) ruis, (ii) AR (iii) MA (iv) anders. Dit vinden we door de correlatie tussen Xt en X(t-n) te onderzoeken. We ondercheiden de ACF en PACF • ACF = auto correlatie functie• PACF = partiele correlatie functie (ACF minus lags)

Welk model hebben we mee te maken

Timeseries 1 geeft onderstaande plot Timeseries 2 geeft onderstaande plot

Duidelijk een AR(2) model:• Exponentieel aflopende ACF• PACF is niet meer significant bij 2

https://www.analyticsvidhya.com/blog/2015/12/complete-tutorial-time-series-modeling/

Duidelijk een MA(2) model:• Exponentieel aflopende PACF• ACF is niet meer significant bij 2

Welk model hebben we mee te maken

http://stats.stackexchange.com/questions/45539/ar1-selection-using-sample-acf-pacf

Hoe zou witte ruis eruit zien??

Welk model hebben we mee te maken

http://stats.stackexchange.com/questions/45539/ar1-selection-using-sample-acf-pacf

Forecasts using Exponential Smoothing¶Exponential smoothing can be used to make short-term forecasts for time series data.

http://a-little-book-of-r-for-time-series.readthedocs.io/en/latest/src/timeseries.html

DICKEY FULLER TEST OF STATIONARITY

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)

Þ  X(t) - X(t-1) = (Rho - 1) X(t - 1) + Er(t)

We have to test if Rho – 1 is significantly different than zero or not. If the null hypothesis gets rejected, we’ll get a stationary time series.

Stationary testing and converting a series into a stationary series are the most critical processes in a time series modelling. You need to memorize each and every detail of this concept to move on to the next step of time series modelling.

https://www.analyticsvidhya.com/blog/2015/12/complete-tutorial-time-series-modeling/

Handmatige decompositie van een multiplatieve tijdreeks

Stap 1: Importeer en converteer de data

Stap 2: detecteer de trendDoe een moving average met een window gelijk an de frequentie (in dit geval 12 maanden per jaar) en separeer de trend.

install.packages("Ecdat")library(Ecdat)data(AirPassengers)timeserie_air = AirPassengersplot(as.ts(timeserie_air))

install.packages("forecast")library(forecast)trend_air = ma(timeserie_air, order = 12, centre = T)plot(as.ts(timeserie_air))lines(trend_air)plot(as.ts(trend_air))

Stap 3: haal de trend uit de tijdreeks

Stap 4: haal seizoenseffecten eruitHet makkelijkst is het gemiddelde seizoenseffect te berekenen door een matrix te maken van per frequentie en de gemiddelden per kolom maken

Let op het verschil tussen multiplatief en additief, dus nu delen door!

Handmatige decompositie van een multiplatieve tijdreeks

detrend_air = timeserie_air / trend_airplot(as.ts(detrend_air))

Je ziet dat het seizoenseffect niet meer toeneemt, logisch de vermenigvuldiging is eruit

m_air = t(matrix(data = detrend_air, nrow = 12))seasonal_air = colMeans(m_air, na.rm = T)plot(as.ts(rep(seasonal_air,12)))

Stap 5: onderzoek het random effect

Stap 6: recnstrueer het signaal (om te checken)

Let op het verschil tussen multiplatief en additiefrandom_air = timeserie_air / (trend_air * seasonal_air)plot(as.ts(random_air))

recomposed_air = trend_air*seasonal_air*random_airplot(as.ts(recomposed_air))

Handmatige decompositie van een multiplatieve tijdreeks

Stap 5: onderzoek het random effectLet op het verschil tussen multiplatief en additief

Automatische decompositie van een multiplatieve tijdreeks

ts_air = ts(timeserie_air, frequency = 12)decompose_air = decompose(ts_air, "multiplicative") plot(as.ts(decompose_air$seasonal))plot(as.ts(decompose_air$trend))plot(as.ts(decompose_air$random))plot(decompose_air)