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第三章 平面向量
§31 平面向量運算 在第一章裡,我們利用“相似三角形”的概念表達三角形邊與角的關係,建立三
角函數,進而以“三角函數”為工具,求“長度、角度、面積”等幾何量,並證明“正
弦定理,餘弦定理以及海龍公式,用以解決測量的問題。在第二章裡,我們利
用直角坐標系,將幾何問題經代數運算求解,再詮釋幾何意義,如直線的傾斜
程度、聯立方程式與直線交點,以及圓與直線的關係,進而研究它們的性質。
本章要再介紹新的數學概念 向量 (具有方向與大小),包括向量的表徵、向量
的運算,用以處理幾何的問題,如長度 ( 距離 ),角度、平行、垂直、正射影
以及面積。考慮向量所在的環境,平面或空間,本章先來討論平面向量,第四
冊第一章再繼續討論空間向量。 (甲)向量的基本概念 (1)具有大小方向的量 以「位移」為例:
某甲從 A 點出發,朝西北方前進,走了 10 公里到達 B地。某乙從 A 點出發,朝北走了 10 公里到達 C 點,
考慮從 A 點到 B 點與 C 點雖然路徑相同,但方向卻不
一樣。有向線段 AB 的始點 A 其方向為西北方,其長
度 10 公里。有向線段 AC 的始點 A 其方向為北方,長
度為 10 公里。 以「合力」為例:
甲、乙兩人拔河,甲用大小 2F 的水平力向右邊拉,乙用大小 F 的水平力向左
邊拉,我們亦可用有向線段來表示這兩個力,其始點為施力點,方向分別是兩
力的方向,而長度分別是兩力的大小。
像位移、力、速度等物理量包含大小與方向雙重觀念,我們引進「向量」的觀
念,將這些物理觀念(朝西北移動 10 公里、向右 2F 的水平拉力)看成有向線段,
而引入向量,物理觀念經數學化之後,便於物理觀念的溝通與物理量的計算。
(2)向量的概念:
(a)向量的表示: 在數學上,常用有向線段來表示向量,而且有向線段的方向代表向量的方向;
有向線段的長度代表向量的大小。
以 A 為始點,B 為終點的有向線段,稱之為向量,符號:AB,它的方向是由 A
指向 B,大小為AB,記為 | AB |,即 | AB |=
AB。
當 A=B 時,AB為零向量,記為 AA = 0 ;注意: 0 的大小為 0,但方向為任意。
AB與 BA長度相等,但方向相反,稱 BA為 AB的反向量,記為: AB= BA。
向量若不特別指名始點與終點,亦可用 a 、 b 、 u 、…來表示。 (b)向量的相等:
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例如:
右圖的平行四邊形 ABCD,有向線段 AB可以經由
平移移動與有向線段 DC完全重合,此時有向線段 AB、
DC大小相等且方向相同,此時它們代表同一個向量,
即AB=DC。 兩個向量若大小相等方向相同,則稱兩個向量相等。
a = b a 與 b 方向相同且 | a |=| b |。
因此根據這個結果可知,向量可以自由的平行移動。 (練習1) 如右圖,O 點為正六邊形 ABCDEF 的中心,以圖中七個點之一為始點,
另一點為終點的向量中: (1) 有哪些和 AB 相等? (2) 有哪些是 AB 的反向量? [解法]: (1) 和 AB 相等的向量有 FO , OC , ED 。 (2) AB 的反向量有 OF , CO , DE 。
(乙)向量的坐標表示法 用坐標表示的向量,稱為坐標向量,將向量予以坐標化,即向量除了幾何表示(即有向線段)外,希望能利用代數法或代數式表示,使得向量能發揮更大的效益。 (1)平面向量的坐標表示:
設 a 為一個平面向量,如何用坐標來表示 a 呢? 在坐標平面上,設 O 為原點,P ( a1,a2 ) 為任一點,則以 O 為始點,P 為終
點的向量 OP ,就稱為在 P 點這個位置的位置向量,而 OP 由 P 點唯一決定。
對於此平面上任意一個向量 a ,我們都可以找到唯一的位置向量 OP ,使得
a = OP ,如右圖此時 P 點的坐標 ( a1,a2 ),稱為向量 a 的坐標表示法,記
作 a =(a1,a2),其中 a1,a2 分別稱為 a 的 x 分量與 y 分量。
當向量 a 用坐標 ( a1,a2 ) 表示時,其方向與大小仍可看出:
(1) a 的方向是由原點 O 指向 P( a1,a2 );
(2) a 的大小為 | a |= OP = a12+a2
2 。
特別地,零向量 0 的坐標為 ( 0 ,0 ),即 0 =( 0,0 )。 因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素大小與方向
如果 a = b ,則它們對應的位置向量相同,於是我們有以下的結論:
DC
B A
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結論:
(a)若向量 a =(a1,a2),則其大小 | a |= a12+a2
2 ,其方向是由(0,0)指向(a1,a2)。
(b)若 a =(a1,a2), b =(b1,b2),則 a = b a1=b1 且 a2=b2。
[例題1] 一物體由坐標平面中的點(3,6)出發,沿著向量 v 所指的方向持續前進,可
以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) v =(1,2) (2) v =(1,1) (3) v =(0.001,0) (4) v =(0.001,1)
(5) v =(0.001,1) (2014 學科能力測驗) Ans:(2)(3)(4)
(練習2) 如右圖,在坐標平面上, a = OP ,試求:
(1) P 點與 a 的坐標表示法。
(2) a 的 x 分量與 y 分量。
(3) | a |。
(2)兩點坐標決定一個向量的坐標表示法
設 A(x1,y1)、B(x2,y2)為坐標平面上的兩點,那麼 AB如何表示呢?
若設 A(a1,a2)、B(b1,b2)為坐標平面上的兩點,則 AB=(b1a1 , b2a2)。 [說明]:
如下圖,設 AB對應的位置向量為 OP ,其中 O 為原點,P 點的坐標為(x,y),則
由全等三角形的性質可得:x=b1-a1,y=b2-a2,即 P ( b1-a1,b2-a2 )。因
此AB=( b1-a1,b2-a2 )。
(a) O,A,B 三點不共線 (b) O,A,B 三點共線
(練習3) 設 A (-2,5 ),B ( 1,1 ),試以坐標表示 AB 與 BA ,
並求 | AB |。
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Ans: AB=(3,4)、 BA=(3,4), |AB|=5
結論: 已知兩點 A(a1,a2),B(b1,b2),則
(a)坐標化: AB=(b1a1 , b2a2)
(b)求分量: AB的 x 分量為 b1a1,y 分量為 b2a2。
(c)求長度: |AB|2= (b1a1)2+(b2a2)2 (3)用長度、方向角決定一個向量:
將AB平移到 OP,其中 O 為原點,令 | OP |=r 從 x 軸正
向 逆 時 針 轉 到 OP 的 有 向 角 為, 我 們 稱 為方向角,
0<360,則 AB= OP =(rcos,r sin)。 [說明]:
設 A(x1,y1)、B(x2,y2) OP =(x2x1,y2y1), 即 P(x2x1,y2y1)根據正餘弦的定義, 可知 x2x1=rcos,y2y1=rsin。
AB= OP =(rcos,r sin)。
結論:A(x1,y1)、B(x2,y2), AB=(x2x1 , y2y1)= (rcos,r sin)。 例如:
如圖,正六邊形 ABCDEF 的邊長為 3 單位長,且 cos= 2 3
,因為 |AB|=3,且 cos= 2 3 ,故 AB=(3cos,3sin)=(2, 5)
[例題2] 如圖,以 M 為圓心、MA=8 為半徑畫圓,
AE為該圓的直
徑,B、C、D 三點皆在圓上,且AB =
BC=
CD =
DE 。若
MD=8(cos(+90),sin(+90))。請選出正確選項。
(1) MA=8(cos,sin)
(2) MC=8(cos(+45),sin(+45)) (3) (內積) MA.MA=8
(4) (內積) MB.MD=0
(5) BD =8(cos +cos(+90),sin +sin(+90)) (2015 學科能力測驗)
F
E
D
C
B
O A
x
y
P
A
B
O x
y
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Ans:(2)(4)
(練習4) 如右圖,正六邊形 ABCDEF 的邊長為 3 單位長,
且 cos= 2 3 ,試求 AC=?
Ans: AC=(6 15
2 ,3 5+2 3
2 )
(練習5) 設 A ( 3,-2 ),B (-1,2 ),C ( 2,3 ) 為坐
標平面上的三點,若四邊形 ABCD 為平行四
邊形,試求 D 點的坐標。 Ans:( 6,-1 )
(丙)向量的加減法 許多物理量都具有大小與方向,例如:速度、力、…,這些物理量都可以用向
量來描述。在實際生活中,會遇到兩個不同的速度或力的合成問題,因此我們
可以進一步定義向量的運算,來描述這些現象。
(1) 向量的加法:給定二個向量 a , b 如何定義 a + b 呢? (a)三角形法(可用位移為模型):
設 a =AB, b = BC ,使得 a 的終點與 b 的始點為同一點,定義 a + b =AC。
( a 的始點指向 b 的終點)
[討論]:如右圖, AB+ BC +CD+ DE =?
C
B
A
A B C
A C
A B C
A C A
A
B C
D
E
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(b)平行四邊形法(可用合力為模型):
設 a =AB, b =AC,使得 a 與 b 的始點為同一點,
則定義 a + b =AD,ABDC 為平行四邊形。
[說明]:因為 AC=BD,所以 AB+AC=AB+BD=AD (2)向量的減法:
給定兩個向量 a , b ,如何定義 a b 呢?
可設→■a =AB,→■b =AC,使得 a 與 b 的始點為同一點,
則定義 a b = a +( b )=ABAC=CB (由 b 的終點指向 a 的終點)。 [說明]:
設 a =AB, b =AC,我們定義 a b = a +( b )
根據右圖可知 AD =→■b ,ADEB 為平行四邊形,
a b = a +( b )=AB+AD= AE =CB,即 ABAC= CB。 (3)向量的拆解
(a)任何一個向量 AB,都可以拆解為 AP + BP 兩向量的和,其中 P 為任一點。
即AB= AP + BP 。(可用位移為模型)
(b)任何一個向量 AB,都可以拆解為 PB PA 兩向量的差,其中 P 點為任一點。
即AB= PB PA 。(可用相對運動為模型) (3)坐標向量的加減法 設在坐標平面上, a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ),若 O 為原點,且 A,B 兩點
的坐標分別為( a1,a2 ),( b1,b2 ),則 a = OA , b = OB 。 (a)向量的加法:
如果 O,A,B 三點不共線,那麼以 OA , OB 為兩鄰邊,可作一平行四邊
形 OACB,如圖(a)所示。故得 OA + OB = OC 。令 C 點的坐標為( c1,c2 ),因
為 OC 的中點與 AB 的中點重合,所以 c1=a1+b1,c2=a2+b2,
A B
C D
A B
C
D E
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(a) (b)
於是 OA + OB = OC =( a1+b1,a2+b2 ),即 a + b =( a1+b1,a2+b2 )。
如果 O,A,B 三點共線,且 OA + OB = OC ,那麼 OC 的中點與 AB 的中
點也會重合,所以這個結果仍然成立,如圖(b)所示。 (b)反向量的坐標表示法 接下來,在介紹向量減法的坐標表示法之前,讓我們先來看看反向量的坐標表
示法,設 A'的坐標為 (-a1,-a2 ),則原點 O 為 AA' 的中點,所以OA'與 OA 互
為反向量,即OA'=- OA ,於是 若 a =( a1,a2 ),則 a 的反向量為- a =(-a1,-a2 )。 (c)向量的減法 利用向量相加與反向量的坐標,我們就可以求出向量相減的坐標表示。 a - b = a +(- b )
=( a1,a2 ) +〔-( b1,b2 ) 〕 =( a1,a2 )+(-b1,-b2 ) =( a1+(-b1 ),a2+(-b2 ) ) =( a1-b1,a2-b2 )。
結論: 向量加減法的坐標表示
設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ),則 (1) a + b =( a1+b1,a2+b2 )。 (2) a - b =( a1-b1,a2-b2 )。 [例題3] 設 a =( 5,3 ), b =(-2,1 )。
(1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b 。 (2) 若 P ( 4,-2 ),且 PQ = a - b ,求 Q 點坐標。 [解法]: (1) a + b =( 5,3 )+(-2,1 )=( 5+(-2 ),3+1 )=( 3,4 )。 a - b =( 5,3 )-(-2,1 )=( 5-(-2 ),3-1 ) =( 7,2 )。
(2) 設 Q 點的坐標為 ( x,y ),因 PQ = a - b , 故 ( x-4,y-(-2 ) )=( 7,2 )。
即 x-4=7y+2=2,得 x=11,y=0,所以 Q 點坐標為 ( 11,0 )。
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(練習6) 設 a =(-3,2 ), b =( 4,-1 )。 (1) 試以坐標表示 a + b 與 a - b 。 (2) 試求 | a + b |與 | a - b |。 Ans:(1) a + b =(1,1)、 a - b =(7,3)
(2) | a + b |= 2, | a - b |= 58
(4)向量加法的性質: 利用向量加減法的坐標表示,可以到以下的性質:
(a)交換性: a + b = b + a
(b)結合性:( a + b )+ c = a +( b + c )
(c)零向量: a + 0 = 0 + a
(d)可逆性:對於任一向量 a ,若以 AB表示 a ,則 BA所表示的向量以 a 表示。
(丁)向量的係數積 (1)係數積的定義: 我們用一個力 f 去推動一個物體,如果推不動,我們希望再加倍用力去推,那
麼這個加倍的力就可以用 2 f 表示;如果我們希望只用一半且方向相反的力去
推,那麼“這個大小一半,方向相反的力就可以用- 1 2 f ”表示,如圖所示。
一般而言,一個實數 r 與一個向量 a 的乘積,稱為向量的係數積。
設 a 是一個向量,r 為實數,則係數積 r a 仍是一個向量,定義如下:
長度: | r a |=|r|| a | 方向:
若 a 為非零向量且 r0:
r0:r a 與 a 同向;r0:r a 與 a 反向
若 r=0 或 a = 0 :r a = 0
注意:0 a 、r 0 均為零向量 0 ,而不是 0。
(練習7) 下圖中,每個小正方形的邊長皆為 1 單位,試圖示 2 a - 1 3 b 。
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[例題4] 在正六邊形 ABCDEF中,令AB= a ,BC = b ,試以 a 和 b 表示下列諸向量:
(1)AC (2)BD (3) CD。
Ans:(1) a + b (2) 2 b a (3) a + b
(練習8) 正六邊形 ABCDEF, AB= a , BC = b ,則
○A BE =2 b -2 a ○B BD=2 b - a
○C BF = b -2 a ○D BF =2 a - b
○E BD= a -2 b 。Ans:(A)(B)(C)
(練習9) 如圖所示,設四邊形 ABCD、EFGH、DCGH、ABFE、ADHE 和 BCGF
都是平行四邊形, BA = a , BC = c , BF = d ,
試以 a , c , d 表示 CE 和 AG 。
Ans: a c + d , a + d + c
(2)向量平行: 利用係數積可使向量在同向(r0)或反向(r0),伸縮向量的長度。
例如:設 A,B,C 為一直線上的三點,且AB:
BC=3:2,
則 AB=35AC, BC =
23 BA。
設向量 a 與 b 中有一個可以寫另一個的係數積,則稱這兩個向量 a 與 b 平行,
符號以 a // b 來表示。即 根據向量平行的定義,可知: (a)兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向
(b) 0 之方向不予限定,故 0 可視為與任何向量均平行。
a // b 可找到實數 t 或 s,使得 a =t b 或 b =s a
BA C
A
B C
DF
E
G
H
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[例題5] 設相異三點 A,B,C 共線
若 C 為線段AB之中點,則 AC =________ AB ,CA =________CB
若 C 在線段AB上,且 AC =
23CB,則BC =_______ AC , AB =________ AC
(練習10) 如圖 A,B,C,D,E,F 共線,且
EFDECDBCAB ==== ,則下
列敘述何者正確?
(A) AB =15 AF
(B) AB =13 CF (C) BE =
–32 DB
(D) AB +2 DE =3 BC
(E)BD–CB= AF 。Ans:(A)(B)(C)(D)
(3)向量係數積的坐標表示 我們已經學過向量係數積的幾何圖示法,接下來我們要再進一步探討其坐標表
示法。 設 a = OA =( a1,a2 ),r a = OB =( b1,b2 ),當 r≠0 時,如下圖
(a) r>0 (b) r<0
過 A,B 兩點作 x 軸的垂線,其垂足分別為 A' ( a1,0 ),B' ( b1,0)。 因為△OAA'~△OBB',
(1) 若 r>0,則 OB'
OA' =
OB
OA =r,得 b1=ra1。
(2) 若 r<0,則 OB'
OA' =
OB
OA =-r,得-b1=(-r ) a1,即 b1=ra1。
於 r=0 的情形,因 r a = 0 =( 0,0 ),故 b1=0=0 ·a1=ra1。 同理可得 b2=ra2,因此我們可以得到向量係數積的坐標表示法。
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設 a =( a1,a2 ),r 是任意實數,則 r a =r ( a1,a2 )=( ra1,ra2 )。 (4)係數積的基本性質: 利用向量係數積的坐標表示法,可得以下的性質:
設 r,s R, a 與 b 為二任意向量,則:
(a)分配律一:r( a + b )=r→■a +r→■b 分配律二:(r+s) a =r a +s b
(b)結合律:r(s→■a )=(rs)→■a
[例題6] 設 a =(-1,2 ), b =( 2,1 ), c =(-5,3 )。
(1) 試以坐標表示 a +2 b ,並求| a +2 b |。 (2) 試以坐標表示 4 a +3 b -2 c ,並求| 4 a +3 b -2 c |。 [解法]: (1) a +2 b =(-1,2 )+2 ( 2,1 )=( 3,4 ),
| a +2 b |= 32+42 = 25 =5。 (2) 4 a +3 b -2 c =4 (-1,2 )+3 ( 2,1 )-2 (-5,3 )=( 12,5 ),
| 4 a +3 b -2 c |= 122+52 = 169 =13。
[例題7] 設 a =( a1,a2 ), b =( b1,b2 ) 為兩個非零向量,試證:
a // b ⇔ a1b2=a2 b1。
[證明]: (1) 若 a // b ,則存在非零的實數 r,使得 a =r b , 即 ( a1,a2 )=r ( b1,b2 )=( rb1,rb2 ),得 a1=rb1,a2=rb2, 故 a1b2=( rb1 )b2=b1 ( rb2 )=a2b1。
(2) 若 a1b2=a2b1,當 b1b2≠0 時,則 a1 b1
= a2 b2
,
令此值為 r,r≠0, 則 a =( a1,a2 )=( rb1,rb2 )=r ( b1,b2 )=r b ,故 a // b 。 當 b1b2=0 時,則 b1,b2 恰有一數為 0。 可令 b1=0,b2≠0,則 a1=0,a2≠0,故存在非零實數 r,使得 a2=rb2,於
是 a =( 0,a2 )=( 0,rb2 )=r ( 0,b2 )=r b ,即 a // b 。
由(1) (2)知: a // b ⇔ a1b2=a2b1。
[例題8] 設 a =(2,–3), b =(1,4),t 為實數,試求當 t=?時,| a +t b |的最小值。
Ans:1017
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[例題9] (1)求一向量→■u 使|→■u |=1 且→■u 與→■v =(5,6)同方向。
(2) 求一向量→■u 使|→■u |=1 且→■u 與→■v =(5,6)反方向。
Ans:(1)(561
,661
) (2) (–561
,–661
)
平面上每一個非零的向量,都有一個長度為 1 且與它同方向或反方向的向量,
我們把長度為 1 的向量,稱為單位向量。
若非零向量 a 與單位向量 e 同方向,則由係數積的定義可得 a = | a | e ,換句
話說, e 可以表為1
| a | a 。
(練習11) 設 a =(1,1), b =(5,2),試求:
(1)2 a +3 b (2)4 a 5 b (3)| a +2 b | Ans: (1) (13,4) (2)(29,14) (3) 146
(練習12) 設→■a =(2,1),→■b =(3,4),當 | a +t b |最小時,t=? Ans:2
(練習13) 設→■a =(1,2)、→■b =(3,4),若 t→■a +→■b 與→■a +t→■b 平行,求實數 t=?
Ans:t=1 或1
(練習14) 設 A ( 1,t ),B ( 3,-2 ),C (-1,6 ),若 A,B,C 三點共線, 試求 t 的值。 Ans:2
(練習15) 請求出與→■a =(4,3)平行的單位向量。Ans:15
(4,3)或15
(4,3)
(練習16) 設→■a =(3,1)、→■b =(1,2)、→■c =(3,8),若→■c =x→■a +y→■b ,則實數對(x,y)=?
Ans:(x,y)=(2,3)
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O A B
(戊)向量的內積
一個物體在定力 f 作用下,若在力 f 的方向上有一位移 d,則該力對物體所作的
W=fd;但當力的方向與位移的方向有一夾角時,所作的功就不再單純的只是
力與位移的乘積,而與夾角有關。 如下圖,對一個重物施以與水平方向成角大小 5 牛頓的力 f 使得重物沿水平方
向移動 10 公尺,試求所作的功=? [解答]:因為 f 的水平分力為 5cos,因此所作的功 W=(5cos )10(焦耳) [數學化]:
現在將力視為向量 f ,位移視為向量 d ,因為力與水平方向夾角為,則可視
為 f 與 d 的夾角為,
所作的功 W=(5cos )10=(| f |cos )| d |=| f || d |cos ,其中為 f 與 d 的夾
角,這樣的概念數學化之後,就稱為向量 f 與 d 的內積。 (1)向量的夾角:
a 、 b 為平面上的兩個非零向量,根據向量的意義,我們可以將兩個向量平行
移動,使得 a 與 b 的起點重合(如下圖),令 a =OA, b =OB, 定義兩向量的夾角為AOB。(0180) 0<<90 90<<180 =90 =0 =180
為 0 之方向不予限定,因此我們規定 0 與任何向量的夾角為任意角度。 注意: (2)向量的內積: 定義:
設 a 與 b 為兩向量,為其夾角,定義 a 與 b 的內積為 | a || b |cos,符號記
為: a . b =| a || b |cos,"."念成 dot。
特別的, 0 . a =| 0 || a |cos=0,因此 0 與任何向量 a 的內積都是 0。
O
A
B
O
A
B
O
A
B
A O B
10 公尺
5 牛頓
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注意: a . b 是一個實數而非向量,就好像功是一個純量,而沒有方向。
當 a . b >0 0<夾角<90,當 a . b <0 90<夾角<180 例:設正三角形 ABC 之邊長為 1,
求(1)AB. AC之值;(2)AB. BC 之值。
(3)內積的另一種看法:
令 a =AB, b =AC,為 a 與 b 的夾角
(a) 當 0<<90
如圖, | b |cos =|AC|cos =AD
a . b =| a || b |cos= AB.
AD >0
(b)當 90<<180
如圖, | b |cos =|AC|cos = AD
a . b =| a || b |cos= AB.
AD <0
(c)當 =90 a . b =0
如圖, | b |cos =0 a . b =| a || b |cos=0
[例題10] ABC 之三邊長為AB=4,
BC =5,
CA =6,
則求(1)AB.AC=? (2)AB.BC =? Ans:(1)272 (2)
52
A(D) B
C
A B
C
D
A
B C
A B
C
D
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(3)向量垂直的定義:
當 a 與 b 之夾角為直角時,我們稱 a 與 b 垂直,記為 a b 。
因為一向量 a 與 0 之夾角可視為任意角,為了方便起見,我們將任何向量與
零向量都視為垂直,於是 a b 表示 a = 0 或 b = 0 或=2,但不管是那一種
情形, a . b =0。所以規定: a b a . b =0。 (4)向量內積的坐標表示法:
(1)設 a =(a1,a2), b =(b1,b2),我們如何用 a1,a2,b1,b2 表示 a . b 呢?
a 與 b 不平行:
設OA=(a1,a2)和 OB=(b1,b2)且兩非零向量的夾角為, 根據餘弦定理:
|BA|2=|OA|2+|OB|22|OA||OB| cos 因此
OA. OB=|OA||OB|cos=12(|OA|2+|OB|2 |BA |2)
=12
[(a12+a2
2)+(b12+b2
2)[(a1b1)2+(a2b2)2]]=a1b1+a2b2
故 a . b = a1b1+a2b2。
a 平行 b :
可令 a =t b (a1,a2)=t(b1,b2) a1=tb1 且 a2=tb2
a . b =( t b ). b =t| b |2=t(b12+b2
2) a1b1+a2b2=( tb1)b1+( tb2)b2= t(b1
2+b22)
故 a . b = a1b1+a2b2。
根據前面的計算, a . b = a1b1+a2b2。
根據這個結果,可知當我們將 a 、 b 坐標化之後, a . b 就可以容易由分量
計算出來,此時可以反過來向量的夾角與長度。
結論:設 a =(a1,a2), b =(b1,b2)
(a) a . b =| a || b |cos=a1b1+a2b2。
(b) a b a . b =0 a1b1+a2b2=0 (向量與垂直的關係)
(c)若 a 與 b 皆不為 0 ,則 cos=|||| ba
ba
=
a1b1+a2b2
a12+a2
2 b12+b2
2(向量與角度)
(d) a . a =| a || a |cos0=| a |2。(向量與長度) 由(c)與(d)可知內積與求角度、長度都有關係,這也是內積重要的地方。
O
B
A
x
y
~3116~
[例題11] (1)設 a =(2,4)、 b =(1,2),為 a 、 b 的夾角,試求 cos的值。 (2)設ABC 的三頂點為 A(3,2)、B(1,4)、C(6,3),求內角A 的角度。
Ans:(1)cos=35 (2)135
[例題12] 設 u 、 v 為兩長度為 1 的向量。若 u + v 與 u 的夾角為 75,
則 u 與 v 的內積為 。(化為最簡根式) (2014 學科能力測驗)
[答案]:2
3
[例題13] 設向量 a 與另一向量 b =( 3,1)的夾角是 120°且| a |=8,試求向量 a 。
Ans: a =(0,8)或(4 3,4)
v
u
u + v
~3117~
(練習17) 設 a =(2,0)、 b =(1, 3),試求:
(1) a ∙ b (2) a 與 b 的夾角。Ans:(1)2 (2)120
(練習18) 設 u =(k,1), v =(2,3),求 k 使:
(1) u 和 v 垂直 (2) u 和 v 平行 (3) u 和 v 的夾角為 60°
Ans:(1)k=32 (2)k=
23 (3)k=8+
13 33
(練習19) 設 A(4,0),B(0,-3),動點 P 為直線 x+y=0 上之一點。則 PA . PB
之最小值= 。Ans:–49
8
[提示:令 P(t,t), PA . PB =(4t,t)∙(t,3+t)=2t27t]
(練習20) 設 A(1,2)、B(0,2)、C(3,4)為ABC 之三頂點,求 sinA=?Ans:5221
(練習21) 設OA=(3,1), OB =(1,2),若 OCOB, BC //OA,且OD+OA=OC,
則OD=? Ans:(11,6)
(5)向量內積的性質: 利用向量內積坐標表示法,可以得出以下的性質:
設 a , b , c 為任意三向量,r 為任意實數,則
(a) a . b = b . a (交換性)
(b) a .( b + c )= a . b + a . c (分配性)
(c)r( a . b )=(r a ). b = a .(r b )
(d) 0 . a =0 (注意: 0 . a =0 而非零向量)
(e)| a |2= a . a 0, | a |2=0 a = 0 注意: | a |2= a . a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換,是一個簡單但重要的性質。
(f)| a b |2=( a b ).( a b )=| a |22 a . b +| b |2
令 a =OA, b =OB
BA=OAOB= a b ,
| a b |2=| a |2+| b |22 a . b 可以寫成:
|BA|2=|OA|2+|OB|22|OA||OB|cos,當 a 與 b 不平行時,上式即為餘弦公式。
O A
B C
~3118~
(g)|m a +n b |2=m2| a |2+n2| b |2+2mn a ∙ b
|m a +n b |2=( m a +n b )∙( m a +n b )= m2| a |2+n2| b |2+2mn a ∙ b
[例題14] 二向量 a , b ,若| a |=3,| b |=4,且| a + b |= 13 ,則
(1) a 與 b 之夾角為何? (2)|3 a +2 b |=? Ans:(1)120 (2) 73
[例題15] 設∣ a ∣=3,∣ b ∣=5,∣ c ∣=7,且 a + b + c = 0 ,試求:
(1) a . b =________。(2) a 與 b 之夾角為________。Ans:(1)152 (2)60
[例題16] 設 a =(2,4), b =(2,1),設 c = a +t b 且平分 a 與 b 的夾角,
(1)試求 t。 (2)試求平分 a 與 b 夾角的單位向量。
Ans:(1)2 (2)1
2 2(2,2)
[例題17] | a |=3,| b |=1,且 a 與 b 之夾角為,其中 cos=13
,
若 OP = a + b ,OQ =2 a b ,則| PQ |=? Ans: 17
~3119~
(練習22) 正三角形 ABC 的邊長為 2,M 為BC的中點,試求
(1)(BC +AM).AC =? (2)(BCAM).(AB+AM)=?Ans:(1)5 (2)8
(練習23) 設 a =(1,3), b =(3,1),令單位向量 c 平分 a 與 b 的夾角,試求 c 。
Ans:1
2 5(2,4)
(練習24) 設 ─OA=2, ─OB=3,OA與 OB之夾角為 60°,試求:
(1)OA. OB。(2)∣2OA+ OB∣。(3)∣OA-2OB∣。Ans:(1)3(2) 37
(3)2 7
~3120~
y
x
D C
B
AO
綜合練習
(1) 設 a =(3,1), b =(1,2), c =(2,5),試求
(a)3 a (2 b + c ) (b)| 3 a (2 b + c )| (c) a ∙( b +2 c ) (d)( a ∙ b ) c
(2) 設 a = (3,1) , b = (1, 4) , c =(5,9),
(a) 若 c =x a +y b ,求 ,x y 之値。
(b) 若 c = a +t b ,且│ c │= 41 ,求 t 之値。
(3) 有一正立方體,其邊長為 1,如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點,
且| a |=1,則共有多少個不相等的向量 a ? (A)3 (B) 6 (C)12 (D)24 (E)28 。 (86 學科)
(4) 在坐標平面上,A(150,200)、B(146,203)、C(4,3)、O(0,0),下列敘述何者為真? (A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形。 (B)四邊形 ABCO 是一個長方形。 (C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直。
(D)四邊形 ABCO 的對角線AC長度大於 251。
(E)四邊形 ABCO 的面積為 1250。 (90 學科)
(5) 在坐標平面上有四點 O(0,0),A(3,5),B(6,0),C(x,y)。今有一質點在 O 點沿AO方
向前進AO距離後停在 P,再沿 BP 方向前進 2
BP 距離後停在 Q。假設此質點繼
續沿CQ方向前進 3CQ距離後回到原點 O,則(x,y)= 。
(2009 學科能力測驗)
(6) 如右圖所示,O 為正方形 ABCD 對角線的交點, 且 E、F、G、H 分別為線段 OA,OB,OC,OD 的中點。 試問下列何者為真?
(A)AB +BC =AE + EF + FG +GC (B)AB =2 EF (C)ABBC =DB (D)AB + BF + FE =GC (E) AE BF =0
(7) 在平行四邊形 ABCD 中, AC 為一條對角線,若 BA
=(2, 4), CA
=(1, 3),
則 CB
=?
(8) 設 a
= (3,4) , b
= (1,0) ,若 c
平分 a
與 b
的夾角,且 c
為單位向量,則 c
=?
(9) 如圖:坐標平面上,O 為原點, 8OA , 4AB ,
2BC , 1CD , AOB = ABC = BCD =120, (a)試求 C 點坐標
(b)設 DO
= x AO
+ y BO
,試求 ,x y 之値
B C
A D
O
E H
G F
~3121~
(10) (a) 正ABC 之邊長為 1, AH 為 BC 上的高,求 ( CB
+ HA
). AC
。
(b) 平行四邊形 ABCD 中, 7AB , 5BC ,求 CA
. DB
。
(11) 設 a =(k,2), b =(2,3)
(a)若 a 垂直 b ,求 k 的值。 (b)若 a 平行 b ,求 k 的值。
(12) (a) 設 | a |=1,| b |=2, a 與 b 之夾角為 60,
若 OP =2 a 3 b ,OQ=4 a + b ,則 | QP
|=?
(b) 已知 a
與 b
滿足 | a
+ b
| = 4,| a b
| = 2,求 | a 2 b
| 2 + |2 a b
| 2 =?
(13) 坐標平面中,向量 w 與向量 v =(2, 5)互相垂直且等長。請問下列哪些選項是
正確的?(2011 學科能力測驗)
(1)向量 w 必為( 5,2)或( 5,2)
(2)向量 v + w 與 v w 等長
(3)向量 v + w 與 w 的夾角可能為 135
(4)若向量 u =a v +b w ,其中 a,b 為實數,則向量 u 的長度為 a2+b2
(5)若向量(1,0)=c v +d w ,其中 c,d 為實數,則 c>0。
(14) 坐標平面上,直線 L1 與 L2 的方程式分別為 x+2y=0 與 3x5y=0。為了確定平面
上某一定點 P 的坐標,從 L1 上的一點 Q1 偵測得向量Q1P=(7,9),再從 L2 上的
一點 Q2 偵測得向量Q2P=(6,8),則 P 點的坐標為 。(2015 學科能
力測驗)
(15) 令 A , B 為坐標平面上兩向量。已知 A 的長度為 1, B 的長度為 2 且 A 與
B 之間的夾角為 60。令 u A B , v x A y B ,其中 ,x y 為實數
且符合 6 8x y 以及 2 0x y ,則內積 u v 的最大值為 。 (2013 學科能力測驗)
(16) 若| b |=2| a |0,且( a + b )( a 25 b ),則 a 與 b 之夾角為何?
(17) 設→■u 、→■v 為兩非零向量,以|→■u |表示→■u 之長度,若|→■u |=2|→■v |=|2→■u +3→■v |,
且表示→■u 與→■v 的夾角,則 cos= 。 (2006 指定甲)
(18) 引擎馬力的計算公式是 P= 175 ( F . v ),其中 F 是引擎所帶動物體的重量,
單位是 kgw, v 是引擎帶動物體的速度,單位是 m/sec。 現在有一貨車拉動軌道上重 1000 公斤的貨車,而纜線與水平線的夾角是 30,貨車的速度是 15m/sec,求貨車引擎的馬力。
(19) 設 ABCD 是平行四邊形,AB=2,
BC=3,則AC.BD =?
~3122~
A
B
CD
(20) ABC 中,設 A(2,1),B(1,2),C(4,3),試求ABC 的垂心 H。
(21) 三向量 a , b , c ,若 a + b + c = 0 ,且| a |=2,| b |=3,| c |=4,則
(a) a . b + b . c + c . a =? (b)求 a 與 b 之夾角,cos=?
(22) 一單位圓之內接ABC,圓心 O,若 4OA+5OB+6OC=→■0 ,
則(a)OA.OB =? (b)AB =?
(23) 如圖所示,一公路依地形迂迴而建,從 A 地到 B 地,
B 地到 C,C 地到 D 地,距離分別是 4 3、11、6 公里, 而 AB 與 BC,BC 與 CD 間,兩公路的夾角分別是 90、120,試求 A 地到 D 地的直線距離。
進階問題
(24) 設 a 、 b 均非零向量,若 a 在 b 方向的投影量為| b |的 3 倍,而 b 在 a 方
向的投影量為| a |的16倍,則 a 與 b 之夾角為何?
(25) △ABC 中, a =OA, b =OB, c =OC, a + b + c = 0 ,
a . b =1, b . c =2, c . a =3,則:
(a)∣2 a +3 b +4 c ∣=__________。(b)△ABC 之面積為_________。
(26) 若| a |=| b |0, 且| a + b || a b |= 2| a |,求 a , b 之夾角。
(27) 坐標平面上,A、B、C 三點不共線,若OA+OB+OC= 0 ,|OA|=1,|OB|=2,
|OC|= 2 ,求(a)OA與OB之夾角的正弦值, (b)ABC 的面積。
(c)|OA +2OBOC|=?
(28) 設O 為原點,以 (12, 5)G 為圓心,7為半徑作一圓,再作此圓之一內接正 ABC ,
試求│ AO
+ BO
+ CO
│之値。
~3123~
綜合練習解答 (1)(a) (5,12) (b)13 (c)3 (d) (2,5)
(2)(a) 1, 2x y (b) 1 或31
17
(3)(B) (4)(A)(B)(E) (5)(4,20) (6)(全) (7)(1, 1)
(8)2 5 5
( , )5 5
(9)(a) (9,3 3) (b) 7 3
,8 2
x y
(a ∵) AO
= (8,0) , BA
= (4cos 60 ,4sin 60 ) = (2,2 3) ,
CB
= (2cos120 , 2sin120 ) = ( 1, 3) , DC
= (cos180 ,sin180 ) = ( 1,0) ,
CO
= AO
+ BA
+ CB
= (8,0) + (2,2 3) + ( 1, 3) = (9,3 3)
∴ C 點坐標為 (9,3 3)
(b) DO
= AO
+ BA
+ CB
+ DC
= (9,3 3) + ( 1,0) = (8,3 3) ,
又 DO
= x AO
+ y BO
(8,3 3) = x (8,0) + y (10, 2 3) = (8 10 ,2 3 )x y y
8 10 8x y 且 2 3 3 3y 7 3
,8 2
x y
(10)(a)5
4 (b) 24
(11)(a)3 (b)43
(12) (a) 84 (b) 26 (13)(1)(2)(5) (14)(9,1)
[解法]: 依題意,令 Q1(2t,t)、Q2(5s,3s)、P(x,y)
Q1P=(x+2t,yt)=(7,9)
Q2P=(x5s,y3s)=(6,8)
得到
)2(9
)1(72
ty
tx與
)4(83
)3(65
sy
sx
(1)(3)得到 2t+5s=1,(4)(2) 得到 t3s=17 解得 s=3、t=8 故(x,y)=(9,1),因此 P 點坐標為(9,1)。
(15)31 (16)60
(17) 78
(18)100 3
~3124~
(19)5[提示: AC. BD=(AB+ BC ).(BC +CD)=( BC +AB).(BCAB)]
(20)(52 ,
32 )
(21) (a)29
2 (b)14
(22) (a)18 (b)
32 [提示: |OA|=|OB|=|OC|=1]
(23)7 7公里
[提示:AD=AB+BC +CD]
(24)45 [提示:→■a 對→■b 方向的投影量為 |→■a |cos ,其中為→■a 與→■b 之夾角]
(25) (a) 15(b)3 11
2
[提示:(a)→■a (→■a +→■b +→■c )=|→■a |2+→■a →■b +→■a →■c =0 |→■a |=2 同理可以求得 |→■b
|= 3 , |→■c |= 5 ,
再求 |2→■a +3→■b +4→■c |2 的值。(b)ABC=OAB+OBC+OCA]
(26)30
[提示:可令 a , b 之夾角,因為 | a |=| b |,所以 | a + b |=2| a |cos2.,
| a b |=| a |sin2]
(27)(a)7
4 (b)3 7
4 (c) 22
(28)39