Du mouvement brownien aux équations différentielles...

Le mouvement brownienÉquations diérentielles stochastiques

EDS rétrogrades

Du mouvement brownien

aux équations diérentielles stochastiques rétrogrades

Florian Lemonnier

Institut de recherche mathématique de Rennes

Université Rennes 1, France

Séminaire étudiantToulouse, 15 mars 2018

Florian Lemonnier Du MB aux EDSR

EDS rétrogrades

1 Le mouvement brownienC'est quoi ?Intégration stochastiqueFormule d'Itô

2 Équations diérentielles stochastiques

3 EDS rétrogradesÉquations bien poséesApplication aux EDPComportement en temps long

EDS rétrogrades

C'est quoi ?Intégration stochastiqueFormule d'Itô

Le théorème de Donsker

Soient ξ1, ..., ξn, ... des vaiid valant +1 ou −1 avec probabilité 12.

On pose S0 = 0 et, pour n ≥ 1,

Sn = ξ1 + · · ·+ ξn.

On étend S en un processus à valeurs réelles en posant :

St = (1− t)Sbtc + tSbtc+1,

puis on dénit une suite de processus S (n) par :

S(n)t =

Snt√n

pour t ∈ [0, 1].

S (n) L−→n→∞ B signie :

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

Quelques propriétés du mouvement brownien1 B0 = 0 ps ;

2 t 7→ Bt est ps continue ;3 ∀0 = t0 < t1 < · · · < tk , les va Bti −Bti−1

sont indépendantes et de loiN (0, ti − ti−1).

Ces trois propriétés caractérisent le mouvement brownien.

EDS rétrogrades

On pose S0 = 0 et, pour n ≥ 1,

Sn = ξ1 + · · ·+ ξn.

On étend S en un processus à valeurs réelles en posant :

St = (1− t)Sbtc + tSbtc+1,

puis on dénit une suite de processus S (n) par :

S(n)t =

Snt√n

pour t ∈ [0, 1].

Théorème (Donsker, 51)

La suite (S (n))n converge en loi dans C([0, 1], R) vers une limite notée B et

appelée mouvement brownien.

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

EDS rétrogrades

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

EDS rétrogrades

Sn = ξ1 + · · ·+ ξn ; St = (1− t)Sbtc + tSbtc+1 ; S(n)t =

Snt√n

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

EDS rétrogrades

Snt√n

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

EDS rétrogrades

Snt√n

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

Quelques propriétés du mouvement brownien1 B0 = 0 ps ;2 t 7→ Bt est ps continue ;

3 ∀0 = t0 < t1 < · · · < tk , les va Bti −Bti−1sont indépendantes et de loi

N (0, ti − ti−1).Ces trois propriétés caractérisent le mouvement brownien.

EDS rétrogrades

Snt√n

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

Quelques propriétés du mouvement brownien1 B0 = 0 ps ;2 t 7→ Bt est ps continue ;3 ∀0 = t0 < t1 < · · · < tk , les va Bti −Bti−1

EDS rétrogrades

Snt√n

∀f ∈ Cb(C([0, 1], R), R), E[f (S (n))] −→n→∞ E[f (B)].

Quelques propriétés du mouvement brownien1 B0 = 0 ps ;2 t 7→ Bt est ps continue ;3 ∀0 = t0 < t1 < · · · < tk , les va Bti −Bti−1

Ces trois propriétés caractérisent le mouvement brownien.Florian Lemonnier Du MB aux EDSR

EDS rétrogrades

L'intégrale de Stieltjes

Soit A : R+ → R une fonction continue à droite, ∆ la subdivision0 = t0 < t1 < · · · < tn = t de pas |∆| = sup

|ti+1 − ti |. On pose

S∆t =

|Ati+1 −Ati |.

Proposition

Les fonctions à variation nie peuvent s'écrire comme diérence de deux

fonctions croissantes.

Théorème

Il existe une correspondance bijective entre les mesures de Radon µ sur R+ et

les fonctions continues à droite A à variation nie, donnée par :

At = µ([0, t]).

Ceci permet de dénir∫ t0

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

S∆t =

|Ati+1 −Ati |.

Dénition

A est dite à variation nie si pour tout t ∈ R+,

St = sup∆

S∆t <∞.

S est la variation totale de A ; c'est une fonction positive et croissante.

Proposition

Théorème

At = µ([0, t]).

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

S∆t =

|Ati+1 −Ati |.

Dénition

St = sup∆

S∆t <∞.

Par exemple, les fonctions C1 sont à variation nie.

Proposition

Théorème

At = µ([0, t]).

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

S∆t =

|Ati+1 −Ati |.

Dénition

St = sup∆

S∆t <∞.

Proposition

Théorème

At = µ([0, t]).

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

S∆t =

|Ati+1 −Ati |

Dénition

A à variation nie ⇔ ∀t ∈ R+, St = sup∆ S∆t <∞.

Proposition

Théorème

At = µ([0, t]).

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

S∆t =

|Ati+1 −Ati |

Dénition

A à variation nie ⇔ ∀t ∈ R+, St = sup∆ S∆t <∞.

Proposition

Théorème

At = µ([0, t]).

fs dAs :=∫]0,t]

fs µ(ds).

EDS rétrogrades

Le mouvement brownien est-il à variation nie ?

On dénit 〈B〉∆t :=∑i

|Bti+1 −Bti |2. On remarque que :

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2]

(ti+1 − ti ) = t.

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti )

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

Or : ∑i

|Bti+1 −Bti |2 ≤∑i

|Bti+1 −Bti | supk

|Btk+1−Btk

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

Or : ∑i

|Bti+1 −Bti |2

︸︷︷︸6=0

≤∑i

|Btk+1−Btk

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

Or : ∑i

|Bti+1 −Bti |2

︸︷︷︸6=0

≤∑i

|Btk+1−Btk

|︸︷︷︸−→|∆|→0

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

Or : ∑i

|Bti+1 −Bti |2

︸︷︷︸6=0

≤∑i

|Btk+1−Btk

|︸︷︷︸−→|∆|→0

Donc le mouvement brownien n'est pas à variation ps nie...

EDS rétrogrades

E[〈B〉∆t ] =∑i

E[(Bti+1 −Bti )2] =

(ti+1 − ti ) = t.

Or : ∑i

|Bti+1 −Bti |2

︸︷︷︸6=0

≤∑i

|Btk+1−Btk

|︸︷︷︸−→|∆|→0

Donc le mouvement brownien n'est pas à variation ps nie...Mais à variation quadratique ps nie !

EDS rétrogrades

L'intégrale d'Itô

Dénition (Processus élémentaires)

On dénit l'ensemble E des processus X pouvant s'écrire sous la forme :

∀t ∈ [a, b], ∀ω ∈ Ω, Xt (ω) =n−1∑i=0

Zi (ω)1[ti ,ti+1[(t),

et où les variables Yi sont Fti -mesurables.

EDS rétrogrades

L'intégrale d'Itô

Dénition (Processus élémentaires)

On dénit l'ensemble E des processus X pouvant s'écrire sous la forme :

∀t ∈ [a, b], ∀ω ∈ Ω, Xt (ω) =n−1∑i=0

Zi (ω)1[ti ,ti+1[(t),

et où les variables Yi sont Fti -mesurables.

Dénition

On dénit l'intégrale de X• =∑n−1

i=0 Zi1[ti ,ti+1[(•) ∈ E contre B par :

Xs (ω) dBs (ω) :=n−1∑i=0

Zi (ω)(Bti+1 (ω)−Bti (ω)

EDS rétrogrades

L'intégrale d'Itô

Dénition

Xs (ω) dBs (ω) :=n−1∑i=0

Dénition

Soit X progressivement mesurable ; on dit X ∈ Λ2 ⇔ ∫ba

X 2s ds <∞ ps.

EDS rétrogrades

L'intégrale d'Itô

Dénition

Xs (ω) dBs (ω) :=n−1∑i=0

Dénition

Soit X progressivement mesurable ; on dit X ∈ Λ2 ⇔ ∫ba

X 2s ds <∞ ps.

Proposition

Tout élément de Λ2 est limite d'éléments de E ; on dénit l'intégrale contre B

des éléments de Λ2 par densité.

EDS rétrogrades

L'intégrale d'Itô

Proposition

Soient X ,Y ∈ Λ2, on a :∫ba

(λXs + µYs ) dBs = λ

Xs dBs + µ

Ys dBs ;

et si E

[∫ba

X 2s ds

]<∞ et E

[∫ba

Y 2s ds

]<∞, alors

[∫ba

Xs dBs

]= 0 ;

[∫ba

Xs dBs

Ys dBs

[∫ba

XsYs ds

EDS rétrogrades

Processus d'Itô, Calcul d'Itô

Dénition

On dit que X est un processus d'Itô si il existe a et b dans Λ2 tels que :

dXt = at dt + bt dBt .

Proposition (Intégration par parties)

Si dXt = a1t dt + b1t dBt et dYt = a2t dt + b2t dBt , alors :

d(XtYt ) = Xt dYt + Yt dXt + b1t b2t dt.

Théorème (Formule d'Itô)

Si dXt = at dt + bt dBt et f ∈ C1,2, alors :

df (t,Xt ) = ∂t f (t,Xt ) dt + ∂x f (t,Xt ) dXt +12

∂2xx f (t,Xt )|bt |2 dt.

EDS rétrogrades

Dénition

EDS rétrogrades

Dénition

EDS rétrogrades

Ça ressemble à quoi une EDS ?

Une ED, c'est ça : dXt = b(t,Xt ) dt

X0 = x

On dit que la fonction X est une solution de l'ED sur l'intervalle I ⊂ R+

contenant 0 quand X est continue et :∀t ∈ I ,

∫ t0

b(s ,Xs ) ds est bien dénie

∀t ∈ I , Xt = x +

∫ t0

b(s ,Xs ) ds

EDS rétrogrades

Une EDS, c'est ça : dXt = b(t,Xt ) dt + σ(t,Xt ) dBt

X0 = x

On dit que le processus X est une solution de l'EDS sur l'intervalle I ⊂ R+

contenant 0 quand X est continu, adapté à B et :∀t ∈ I ,

∫ t0

|b(s ,Xs )| ds +∫ t0

|σ(s ,Xs )|2 ds <∞ ps

∀t ∈ I , Xt = x +

∫ t0

b(s ,Xs ) ds +∫ t0

σ(s ,Xs ) dBs ps

EDS rétrogrades

Une EDS, c'est ça : dXt = b(t,Xt ) dt + σ(t,Xt ) dBt

X0 = x

On dit que le processus X est une solution de l'EDS sur l'intervalle I ⊂ R+

contenant 0 quand X est continu, adapté à B et :∀t ∈ I ,

∫ t0

|b(s ,Xs )| ds +∫ t0

|σ(s ,Xs )|2 ds <∞ ps

∀t ∈ I , Xt = x +

∫ t0

b(s ,Xs ) ds +∫ t0

σ(s ,Xs ) dBs ps

Remarque : de façon sous-entendue, on autorise les fonctions b et σ à êtrealéatoires.

EDS rétrogrades

Résolution des EDS

Théorème

Soient b, σ : R+ ×R→ R deux fonctions lipschitziennes en espace,

uniformément en temps (et en aléa si elles sont aléatoires). Alors l'équationdXt = b(t,Xt ) dt + σ(t,Xt ) dBt

X0 = x

admet une unique solution dans Lp(Ω, C([0,T ], R)), pour tous p ≥ 2 et T > 0.

Démonstration.

Utilisation d'un théorème de point xe.

EDS rétrogrades

Résolution des EDS

Théorème

Soient b, σ : R+ ×R→ R deux fonctions lipschitziennes en espace,

uniformément en temps (et en aléa si elles sont aléatoires). Alors l'équationdXt = b(t,Xt ) dt + σ(t,Xt ) dBt

X0 = x

admet une unique solution dans Lp(Ω, C([0,T ], R)), pour tous p ≥ 2 et T > 0.

Démonstration.

Utilisation d'un théorème de point xe.

EDS rétrogrades

Équations bien poséesApplication aux EDPComportement en temps long

Ça ressemble à quoi une EDS rétrograde ?

Pour une EDSR, on aurait envie de poser :dYt = f (t,Yt ) dt + g(t,Yt ) dBt

YT = ξ

avec ξ une variable FT -mesurable.

On a Yt = ξ pour tout t ∈ [0,T ]. Ce n'estpas adapté ! On pose Y ′t = E[ξ|Ft ]. Y ′ est adapté, mais quelle EDSRvérie-t-il ?

Théorème (Représentation des martingales browniennes)

Soit M une (Ft )-martingale issue de 0 telle que ∀t ≥ 0, E[M2

]<∞.

Alors il existe un unique processus Z progressivement mesurable et tel que pour

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

Quand E[|ξ|2] <∞, on a donc dY ′t = Zt dBt , pour un certain processus Z ...

EDS rétrogrades

Exemple fondamental : résolvonsdYt = 0

YT = ξ

On a Yt = ξ pour tout t ∈ [0,T ]. Ce n'est pas adapté ! On poseY ′t = E[ξ|Ft ]. Y ′ est adapté, mais quelle EDSR vérie-t-il ?

]<∞.

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

EDS rétrogrades

YT = ξ

On a Yt = ξ pour tout t ∈ [0,T ].

Ce n'est pas adapté ! On poseY ′t = E[ξ|Ft ]. Y ′ est adapté, mais quelle EDSR vérie-t-il ?

]<∞.

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

EDS rétrogrades

YT = ξ

]<∞.

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

EDS rétrogrades

YT = ξ

]<∞.

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

EDS rétrogrades

YT = ξ

]<∞.

tout t ≥ 0 :

[∫ t0

|Zs |2 ds

]<∞ et Mt =

∫ t0

Zs dBs .

EDS rétrogrades

Une EDSR, c'est ça :dYt = −f (t,Yt ,Zt ) dt + Zt dBt

YT = ξ

avec ξ une variable FT -mesurable de carré intégrable.On dit que le couple de processus (Y ,Z ) est solution de l'EDSR sur l'intervalle[0,T ] quand Y est continu adapté et Z progressivement mesurable et que :

|f (s ,Ys ,Zs )| ds +∫T0

|Zs |2 ds <∞ ps

Yt = ξ +

f (s ,Ys ,Zs ) ds −∫Tt

Zs dBs ps

EDS rétrogrades

Théorème fondamental de résolution des EDSR

Théorème (Pardoux, Peng 90 ; El Karoui, Peng, Quénez 97)

On suppose que :

f est globalement lipschitzienne en (y , z) uniformément en aléa et temps ;

[|ξ|2 +

|f (s , 0, 0)|2 ds

]<∞.

Alors l'EDSR admet une unique solution telle que Z soit de carré intégrable.

Démonstration.

Utilisation d'un théorème de point xe dans l'espace de BanachY, Z prog. mes. et Y continu

∣∣∣∣∣E[

sup0≤t≤T

|Yt |2 +

|Zs |2 ds

]<∞.

EDS rétrogrades

Théorème fondamental de résolution des EDSR

Théorème (Pardoux, Peng 90 ; El Karoui, Peng, Quénez 97)

On suppose que :

f est globalement lipschitzienne en (y , z) uniformément en aléa et temps ;

[|ξ|2 +

|f (s , 0, 0)|2 ds

]<∞.

Alors l'EDSR admet une unique solution telle que Z soit de carré intégrable.

Démonstration.

Utilisation d'un théorème de point xe dans l'espace de BanachY, Z prog. mes. et Y continu

∣∣∣∣∣E[

sup0≤t≤T

|Yt |2 +

|Zs |2 ds

]<∞.

EDS rétrogrades

Solutions des EDP Hamilton-Jacobi-Bellman

On résout :X t,xs = x +

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

Quand b, σ, f sont déterministes, on dénit une fonction déterministe paru(t, x) := Y t,x

t ; et par unicité Y t,xs = u(s ,X t,x

s ). Et si b, σ et f sontsusamment régulières, alors u est C1,2 et, par la formule d'Itô :

du(s ,X t,xs ) = ∂tu(s ,X t,x

s ) ds + ∂xu(s ,X t,xs ) dX t,x

∂2xxu(s ,X t,xs )|σ(s ,X t,x

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

∂2xxu.|σ|2(s ,X t,xs ) ds + ∂xu.σ(s ,X t,x

s ) dBs

dY t,xs = −f (s ,X t,x

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

Donc Z t,xs = ∂xu(s ,X t,x

s )σ(s ,X t,xs ) etf (t, x , u(t, x), ∂xu(t, x)σ(t, x)) + ∂tu(t, x) + ∂xu.b+

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

; et par unicité Y t,xs = u(s ,X t,x

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

s ) dBs

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

Et si b, σ et f sontsusamment régulières, alors u est C1,2 et, par la formule d'Itô :

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

s ) dBs

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

s ) dBs

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

s ) dBs

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

s )σ(s ,X t,xs )

etf (t, x , u(t, x), ∂xu(t, x)σ(t, x)) + ∂tu(t, x) + ∂xu.b+12

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

∫ st

b(r ,X t,xr ) dr +

∫ st

σ(r ,X t,xr ) dBr

Y t,xs = g(X t,x

f (r ,X t,xr ,Y t,x

r ,Z t,xr ) dr −

Z t,xr dBr

s )|2 ds

= ∂tu + ∂xu.b+12

s ) dBs

s ,Y t,xs ,Z t,x

s ) ds + Z t,xs dBs

∂2xxu.|σ|2(t, x) = 0

u(T , x) = g(x)

EDS rétrogrades

Convergence vers une EDSR ergodique

On considère un processus X x satisfaisant

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

en supposant notamment b et σ Lipschitz, b faiblement dissipatif etx 7→ σ(x)−1 bornée.

Soit l'EDSR d'horizon ni T :

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

où f est Lipschitzienne par rapport à (x , zσ(x)−1) et f (•, 0) et g à croissancepolynomiale.Enn, on dénit l'EDSR ergodique d'inconnue (Y x ,Zx , λ) :

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

s )− λ ds −∫Tt

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Théorème (Hu, L. 17)

On dispose des comportements en temps long (i.e. quand T →∞) suivants :

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

T→∞ λ uniformément sur tout compact de R ;

Ordre 2 : ∃L ∈ R, ∀x ∈ R, YT ,x0 − λT −Y x

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .

EDS rétrogrades

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

en supposant notamment b et σ Lipschitz, b faiblement dissipatif etx 7→ σ(x)−1 bornée.Soit l'EDSR d'horizon ni T :

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

où f est Lipschitzienne par rapport à (x , zσ(x)−1) et f (•, 0) et g à croissancepolynomiale.

Enn, on dénit l'EDSR ergodique d'inconnue (Y x ,Zx , λ) :

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .

EDS rétrogrades

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

en supposant notamment b et σ Lipschitz, b faiblement dissipatif etx 7→ σ(x)−1 bornée.Soit l'EDSR d'horizon ni T :

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

où f est Lipschitzienne par rapport à (x , zσ(x)−1) et f (•, 0) et g à croissancepolynomiale.Enn, on dénit l'EDSR ergodique d'inconnue (Y x ,Zx , λ) :

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .

EDS rétrogrades

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .

EDS rétrogrades

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .

EDS rétrogrades

X xt = x +

∫ t0

b(X xs ) ds +

∫ t0

σ(X xs ) dBs , ∀t ∈ R+,

YT ,xt = g(X x

f (X xs ,ZT ,x

s ) ds −∫Tt

ZT ,xs dBs , ∀t ∈ [0,T ],

Y xt = Y x

f (X xs ,Zx

Zxs dBs , ∀0 ≤ t ≤ T <∞.

Ordre 1 :YT ,x0

T−→

0 −→T→∞ L ;

Ordre 3 :

∃P ∈ R[X ], ∃α > 0, ∀x ∈ R, ∀T > 0, |YT ,x0 −λT −Y x

0 −L| ≤ P(x)e−αT .Florian Lemonnier Du MB aux EDSR

EDS rétrogrades

Bibliographie

G. Miermont. Quelques exemples de théorèmes limites fonctionnels.

[Polycopié en ligne]

D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion, 3rd

edition. 1999.

É. Pardoux, S. Peng. Adapted solution of a BSDE. 1990.

Y. Hu, F. Lemonnier. Ergodic BSDEs with an unbounded and

multiplicative underlying diusion. 2017. [arXiv]

Merci pour votre attention.

EDS rétrogrades

Bibliographie

G. Miermont. Quelques exemples de théorèmes limites fonctionnels.

[Polycopié en ligne]

D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion, 3rd

edition. 1999.

É. Pardoux, S. Peng. Adapted solution of a BSDE. 1990.

Y. Hu, F. Lemonnier. Ergodic BSDEs with an unbounded and

multiplicative underlying diusion. 2017. [arXiv]

Merci pour votre attention.

Du mouvement brownien aux équations différentielles...

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