Post on 24-Feb-2016
description
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
1. Exponentiële groei
2. Begrensde groei
3. Logistische groei
Exponentiële Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bij exponentiële groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :
De oplossingsfuncties zijn :
ykdtdy
ktecy
Exponentiële Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Voorbeeld :
Bepaal de oplossingsfunctie van :
12)0( arderandvoorwamet 3,0 PPdtdP
Antwoord : teP 3,012
tt
tt
eeP
eedtdP
3,03,0
3,03,0
6,3123,03,0
6,33,012
Controleren :
Begrensde Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Een pan soep, die aan de kook is, wordt van het vuur gehaald en op tafel gezet.Vanaf dat moment begint de soep af te koelen.Volgens de afkoelingswet van Newton geldt dan :
De snelheid waarmee de temperatuur van de soep daalt is evenredig methet verschil in temperatuur van de soep en de omgeving.
Deze omgevingstemperatuur is gelijk aan 20C en we veronderstellen dat deze niet verandert door de warmte die de pan afgeeft.
)20( TadtdT
Differentiaalvergelijking :
Begrensde Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
)100)0(:(
)20(
Tkoken
TadtdT
Gegeven :
Controleer of ateT 8020 een oplossingsfunctie is.
1008020)0(80)208020()20(
8080
TeaeaTa
eaaedtdT
atat
atat
Begrensde Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bij begrensde groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :
De oplossingsfuncties zijn :
)( pykdtdy
ktecpty )(
Logistische Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Bakkersgist, dat aan deeg wordt toegevoegd, bestaat uit levende cellen.Wanneer je een zakje gedroogd gist oplost in water, ‘ontwaken’ de gistcellen uit hun rusttoestand en beginnen ze zich onmiddellijk door deling te vermenigvuldigen.
Vlak nadat het gist wordt opgelost, is de toenamesnelheid van het aantal gistcellenevenredig met het aanwezige aantal. Na verloop van tijd zal het aantal gistcellenper cm³ deeg echter minder snel gaan groeien omdat er een verzadigingsniveau wordt genaderd.
Tijdstip t (uren)
Aantal gist-cellen A per cm³
Tijdstip t (uren)
Aantal gist-cellen A per cm³
0 14 8 290
1 21 9 360
2 33 10 430
3 50 11 490
4 74 12 540
5 110 13 570
6 160 14 600
7 220 15 620
Logistische groei
Logistische groei
5,174
1105074
3350
2133
1421
rgroeifacto
In het begin van het groeiproces lijkt het aantal cellen exponentieel toe te nemen.Kenmerk van exponentiële groei is dat de groeifactor constant is.
ttAformule 5,114)(:
Logistische groei
Logistische groei
AcdtdAtA t aan voldoet 5,114)(
41,0)5,1ln(5,114
)5,1ln(5,114
c
cAcdtdA
t
t
want :
Op de iets langere termijn beschrijft het exponentiële groeimodel het proces niet goed,omdat er in werkelijkheid slechts plaats is voor een beperkt aantal gistcellen per cm³.
Logistische groei
Naarmate het aantal cellen dit verzadigingsniveau nadert, zal de groei afgeremd wordendoordat gistcellen zich minder snel delen of eerder sterven.
De maximale capaciteit lijkt ongeveer gelijk te zijn aan 650 gistcellen per cm³.
Het exponentiële model wordt nu aangepast via een zogenaamde remfactorAcdtdA
remfactorAcdtdA
Logistische groeiDe waarde van de remfactor zal afhangen van de waarde van A en wel zo dat:
• Als A 0, dan remfactor 1, want dan vindt nog nauwelijks remming plaats.• Als A 650, dan remfactor 0, want dan is er nauwelijks groei meer.• Naarmate A dichter bij het maximum van 650 komt, neemt de groei af.
Het simpelste is om aan te nemen dat remfactor een dalende lineaire functie van A is.
650650
65011
16501
AAremfactor
Aremfactor
Begrensde Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
65065041,0 AA
dtdA
De differentiaalvergelijking :
• Hierbij is 0,41 de evenredigheidsconstante als de groei ongeremd zou zijn.
• De factor zorgt voor de remming.
• Maximale capaciteit is gelijk aan 650 gistcellen per cm³650
650 A
Logistische Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
)1(Myyk
dtdy
Bij logistische groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :
De oplossingsfuncties zijn :
ktebMty
1
)(
)()1(MyMyk
dtdyof
Myyk
dtdy
Logistische Groei
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
65065041,0 AA
dtdA
tetA 41,042857,451
650)(
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010
Grenswaarde M = 650 en k = 0,41
Beginhoeveelheid y(0)=14
Deze gegevens invullen in de standaardoplossing levert de waarde voor b:
73451
14650
114650
141
650)0( 0
b
b
eby
Differentiaalvergelijkingen
VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010