97462796 pump-ok1

5

Utilización de las Bombas Espert Alemany, V. Andreu Navarro, M. Gallardo Izquierdo, A. 5.1 Introducción Hemos visto ya las características estructurales básicas de una bomba, por lo que estamos en condiciones de comenzar a desarrollar toda una serie de cuestiones aplicadas de gran interés para el técnico encargado de seleccionar la bomba más adecuada para una determinada instalación. Debemos destacar que nos vamos a referir tan sólo a aspectos hidráulicos del tema, quedando al margen otras cuestiones importantes como pudieran ser las relativas al mecanizado, materiales constitutivos, etc, todo lo cual sobrepasa los límites que nos hemos impuesto al escribir la presente obra. 5.2 Leyes de semejanza en bombas Las leyes de semejanza hidráulica sirven en general para predecir el comportamiento de turbomáquinas hidráulicas geométricamente semejantes, cuando se conoce el comportamiento de una de estas máquinas girando a una velocidad de rotación determinada. Una de las aplicaciones clásicas de las leyes de semejanza es el estudio de prototipos de máquinas hidráulicas por medio de modelos a escala reducida. En estos casos, y con la idea de reducir al máximo el riesgo de diseño defectuoso de las turbomáquinas hidráulicas de gran potencia, las pruebas de funcionamiento y las modificaciones de diseño se llevan a cabo sobre un modelo de la máquina a escala reducida. Para trasladar los resultados obtenidos en el modelo a los valores que se puedan esperar en el prototipo se hace uso de las leyes de semejanza. Las leyes de semejanza se aplican también cuando se pretende conocer el comportamiento de una bomba a diferentes velocidades de rotación, tomando como referencia el comportamiento conocido de esta máquina a una velocidad de rotación determinada. Sería éste el caso anterior cuando modelo y prototipo fuesen la misma máquina. Además, las leyes de semejanza permiten estudiar con cierta aproximación cómo se comporta una bomba, a velocidad de rotación constante, cuando se recorta el diámetro exterior del rodete y se conocen las características de funcionamiento de la bomba con el rodete original. Esta es una acción que suelen llevar a cabo los fabricantes para adaptar la bomba a un punto de funcionamiento determinado. Es a estos dos últimos casos a los que nos vamos a referir en el presente capítulo, y no al estudio de modelos, el cual no tiene interés en la obra que ahora nos ocupa. A su vez, aunque las leyes de semejanza son aplicables a cualquier turbomáquina en general, nosotros las concretaremos, fundamentalmente, al caso de las bombas centrífugas. Las expresiones que constituyen las leyes de semejanza se aplican entre puntos de funcionamiento denominados homólogos. Si tenemos dos puntos de funcionamiento, uno de la bomba modelo y otro de la bomba prototipo, estos puntos serán homólogos si cumplen la llamada semejanza absoluta, la cual incluye las tres condiciones siguientes: -Semejanza geométrica. El modelo ha de ser geométricamente semejante al prototipo; ello quiere decir que debe haber proporcionalidad entre la totalidad de dimensiones de las dos máquinas. -Semejanza cinemática. Se refiere a que en puntos de funcionamiento homólogos los triángulos de velocidad en los mismos puntos de modelo y prototipo deben ser proporcionales.

ING. HID. APLICADA A LOS SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA

203

-Semejanza dinámica. Se considera cumplida esta condición cuando se iguala el número de Reynolds en modelo y prototipo para los puntos de funcionamiento considerados. Digamos que este último requisito presenta unas dificultades a veces prácticamente insalvables, por lo que las leyes de semejanza reales son más complejas que las expuestas seguidamente. Sin embargo, éstas tienen suficiente precisión para los objetivos que aquí perseguimos. Se admite que entre puntos de funcionamiento homólogos en semejanza absoluta se conserva el rendimiento, al dar por válida la semejanza dinámica. De este modo las relaciones de semejanza son aplicables entre alturas y caudales tanto teóricos como reales. Si no se cumple la semejanza dinámica, los puntos de funcionamiento homólogos son aquellos que cumplen solamente las semejanzas geométrica y cinemática. En este caso se habla de semejanza restringida, y los rendimientos no se mantienen constantes entre puntos de funcionamiento homólogos. La utilización de las leyes de semejanza restringida resulta totalmente imprescindible cuando en un banco de pruebas se ensaya un modelo a escala reducida y a partir de los resultados obtenidos se desea conocer cómo se va a comportar el prototipo. En este caso, y debido a que en general no se puede cumplir la semejanza dinámica, los rendimientos no se conservan en puntos de funcionamiento homólogos, razón por la cual se deben aplicar factores de escala y conversión de rendimientos entre modelo y prototipo. En lo que sigue vamos a suponer que estamos en semejanza absoluta. Las leyes fundamentales aplicadas entre puntos de funcionamiento homólogos son realmente dos, la referente a caudales y la referente a alturas, siendo la ley de potencias y la ley de pares en el eje deducibles de las anteriores. Veámoslas: a) La razón de caudales es proporcional al cubo de la razón de longitudes y a la primera potencia de la razón de velocidades de giro. En efecto, según la ecuación (4.2) podemos escribir:

y dividiendo miembro a miembro:

Llamando ahora λ a la relación de tamaños y α a la relación de velocidades de giro, y teniendo en cuenta que se cumple la semejanza cinemática, resulta finalmente:

b) La razón de alturas manométricas es proporcional al cuadrado de la razón de tamaños por el cuadrado de la razón de velocidades de giro. En efecto, por aplicación de la fórmula de Euler, y suponiendo que los rendimientos hidráulicos son iguales al cumplirse por hipótesis la semejanza dinámica, se tiene:

c) La razón de potencias absorbidas, supuesto que se trata del mismo fluido, es proporcional al cubo de la razón de velocidades por la razón de longitudes elevada a la quinta potencia. Esta ley se deduce directamente de las anteriores:

d) La razón de pares en el eje es proporcional al cuadrado de la razón de velocidades por la razón de longitudes elevada a la quinta potencia. Esta ley se deduce inmediatamente de la anterior:

prototipo bomba la parav b r 2 = Qmodelo bomba la para

m222r ′′′′ ππ v b r 2 = Q 2m22r (5.1)

v b rv b r =

QQ =

QQ

m222

2m22

r

r

′′′′′ (5.2)

λαλαλωω

λλλ 32

2

22

2

2 = = r r =

uu =

QQ

′′ ′⋅

′ (5.3)

λαηµηµ 22

22

22

u22

2u2

,t

t,

,th

t,h

b

b = uu =

v uv u =

HH =

H H

= HH

′′′∞′

∞

∞′′

∞

′ ′ (5.4)

λαλαλαγηγη 53223

b

b

bg

bg

a

a = = HH

QQ =

H Q H Q

= PP ⋅

′′′ ′′

′

′

(5.5)

UTILIZACIÓN DE LAS BOMBAS

203

Al aplicar las leyes de semejanza a puntos de funcionamiento homólogos de una misma bomba girando a diferentes velocidades de rotación se tendrá λ = 1 y las precedentes expresiones quedarán:

5.3 Número específico de revoluciones de una bomba El concepto de número específico de revoluciones es importantísimo desde la perspectiva del diseño de bombas, si bien no tanto desde la panorámica de su utilización. Partiendo de los datos fundamentales que caracterizan el funcionamiento de una bomba en su punto nominal o de máximo rendimiento (punto óptimo de funcionamiento): Q0, Hb0, N0, se define el parámetro nq, conocido como número específico de revoluciones, como la velocidad de rotación que tendría otra bomba semejante a la considerada, en un punto de funciona-miento homólogo al anterior y elevando un caudal de 1 m3/s a una altura de 1 m. Para su obtención deben combinarse las expresiones (5.3) y (5.4), eliminando el parámetro de semejanza geométrica λ, lo que permite escribir:

o bien:

Particularizando la anterior igualdad para la bomba patrón antes referida se tendrá: N' = nq , Q' = 1 m3/s y H'b = 1 m, por lo que:

que constituye la expresión utilizada para evaluar el número específico de revoluciones de una bomba. Se observa de inmediato que la expresión anterior no es homogénea y ello hace que debamos expresar las variables N0, Q0 y Hb0 en las unidades consignadas, aun sin pertenecer en su conjunto a un sistema de unidades coherente. De la relación (5.9) se deduce que nq es una constante para todas las bombas geométricamente semejantes, lo que permite asociar dicho parámetro con la morfología de la máquina. En la Figura 5.1 se observa la evolución de la morfología del rodete con el aumento del número específico de revoluciones. Los tamaños de los rodetes representados guardan proporcionalidad con los de la bomba patrón en cada caso (para más detalles ver el concepto de diámetro específico en Sedille, 1967). Un bajo valor de nq presupone una altura manométrica elevada y un caudal discreto (todo ello en términos relativos); caemos entonces de lleno en el campo de las bombas centrífugas. Por el contrario, si el caudal es grande y la altura pequeña, iremos a parar a las bombas axiales de elevado nq.

λαλααω

ω 5253

a

a

e

e = 1 = P P =

MM

′′

′ (5.6)

αααα 2

e

e3

a

a2

b

b = MM; =

PP ; =

HH; =

QQ

′′′′ (5.7)

NN

HH =

N QN Q =

0b

b01/2

0

01/3

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′

′

λ (5.8)

H

Q N =

H

Q N

b3/4 3/4

b0

00

′

′′ (5.9)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

men H

/smen Q

rpmen N y ncon

0b

30

0q

H

Q N = n 3/4

b0

00q (5.10)


203

Figura 5.1. Evolución de la morfología del rodete con nq.

El valor de nq se utiliza ampliamente en el prediseño de turbomáquinas hidráulicas. Sin embargo, la utilidad que para nosotros puede tener este parámetro es conocer a priori qué tipo de bomba será la más adecuada en una determinada instalación. Como de esta instalación se pueden fijar inicialmente valores aproximados del caudal, de la altura que debe de dar la bomba y de la velocidad de rotación del rodete, se podrá evaluar inmediatamente el número específico de revoluciones y, a partir de la Figura 5.1, el tipo de bomba a instalar. De esta manera se dispondrá de un criterio para seleccionar el catálogo donde habrá que buscar esta bomba. 5.4 Utilización práctica de las leyes de semejanza Las leyes de semejanza absoluta se pueden aplicar, con rigor, sólo cuando concurren entre modelo y prototipo las semejanzas geométrica, cinemática y dinámica. Ya hicimos constar en el apartado 5.2 que tal concurrencia resulta prácticamente imposible, especialmente en lo que respecta a la semejanza dinámica, y que, por tanto, hay que recurrir a otras expresiones mucho más complejas que contemplan tales desviaciones. Es lo que se conoce como semejanza restringida. El uso que de la semejanza vamos nosotros a efectuar está encaminado al conocimiento de las posibilidades de trabajo de una bomba, y no al modo de dimensionarla. En consecuencia, y para nuestros fines, la utilización de la semejanza absoluta nos va a resultar de suficiente precisión, ya que el error introducido por ello no será, en orden de magnitud, superior al inherente a los propios datos del problema. En definitiva, vamos a comparar una bomba con ella misma (relación de semejanza geométrica λ = 1), utilizando las expresiones desarrolladas en el apartado 5.2. Vamos a analizar, por una parte, el comportamiento de una bomba en función de la velocidad de rotación del rodete, y por otra, el funcionamiento de la bomba con rodete original y recortado. 5.4.1 Análisis de una bomba centrífuga a distintas velocidades de giro La primera pregunta que nos podemos plantear es la utilidad que de tal conocimiento podemos extraer. En efecto, las bombas giran generalmente a una velocidad de rotación constante, dependiente del motor de arrastre empleado, y en consecuencia pudiera parecer la cuestión planteada más una elucubración teórica que una necesidad práctica. Nada más lejos de realidad, ya que son muchas las ocasiones en que el análisis de tal comportamiento puede resultar de gran interés. A saber: - Las bombas arrastradas por motores diesel, empleadas para extraer agua en zonas de regadío no electrificadas, no tienen porqué tener una velocidad de giro constante. - Para el estudio de un transitorio hidráulico en el que interviene una bomba (por ejemplo, un golpe de ariete en una impulsión), resulta imprescindible conocer su comportamiento a distintas velocidades de giro, desde su valor nominal N0 hasta la parada completa.

Centrífugasmulticelulares

nq 4 15 40 90 125 320 600

Centrífugasmulticelulares

nq 4 15 40 90 125 320 600


203

- La regulación de un sistema de bombeo que debe impulsar caudales variables con el tiempo se puede efectuar cambiando la velocidad de giro de la bomba, si bien ello supone una inversión económica muy superior con respecto al caso de regular el caudal por accionamiento de una válvula. Para el cambio de velocidad de rotación de una bomba, la relación de tamaños o escala geométrica corresponderá a la unidad, λ = 1, por lo que dos puntos de funcionamiento homólogos cumplirán las expresiones:

indicando con el subíndice cero valores de la curva característica a la velocidad de referencia N0. Si ahora combinamos las dos primeras llegaremos a:

indicándonos que el lugar geométrico de los puntos de funcionamiento homólogos, conseguidos a base de modificar la velocidad de rotación de la bomba, son parábolas que pasan por el origen y por el punto de referencia (Q0, Hb0), tal como nos muestra la Figura 5.2. Estas parábolas se denominan de isorrendimiento, ya que unen puntos homólogos que en teoría tienen igual rendimiento. Ello quiere decir que la bomba trabaja con igual rendimiento en los puntos A1, A2 y A3 de la Figura 5.2, conseguidos a base de cambiar la velocidad de rotación de la bomba.

Figura 5.2. Parábolas teóricas de isorrendimiento. Veamos seguidamente cómo, conocido el comportamiento de la bomba a través de las curvas de altura Hb0 = Hb0(Q0) y rendimiento η0 = η0(Q0) para una determinada velocidad de giro N0, podemos deducir de inmediato las curvas Hb = Hb(Q) y η = η(Q) para cualquier otra velocidad. Supongamos para ello que, a partir de los datos del fabricante, hemos ajustado las curvas características mediante las relaciones:

Teniendo en cuenta que estamos en semejanza absoluta, y tras llamar α a la relación de velocidades, se tiene:

que sustituidas en (5.13) nos conducen a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

NN =

PP ;

NN =

HH ;

NN =

QQ

0

3

a0

a

0

2

b0

b

00

(5.11)

Q k = H ; QQ =

HH 2

0

2

b0

b⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.12)

Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H 2000

200b0 η (5.13)

ηηαα 000

2

0

2

b0

b = ; = NN =

QQ ; =

NN =

HH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (5.14)

Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H 22

22b

ααηαα (5.15)

Q0Q1

Q

H

H1

H0 A0

A1

A2

Q0Q1

Q

H

H1

H0 A0

A1

A2


203

Sin embargo, las curvas características de la bomba a diferentes velocidades de rotación que acabamos de obtener no se pueden aplicar hasta las inmediaciones del origen de coordenadas. Ello es así porque, a medida que nos separamos del punto base A0 hacia el origen, la semejanza dinámica está cada vez más lejos de su cumplimiento o, lo que es lo mismo, las relaciones (5.11) modelan más deficientemente el comportamiento de la bomba. La realidad experimental que se constata en un banco de pruebas es que las curvas de isorrendimiento se apartan ligeramente de las parábolas teóricas, dando lugar a elipses de elevada excentricidad. El aspecto general que el conjunto presenta es el detallado en la Figura 5.3, en donde las "colinas de isorrendimiento" se encuentran superpuestas sobre las curvas Hb = Hb(Q) y Pa = Pa(Q), correspondientes a distintas velocidades de giro. Las curvas de isorrendimiento presentan una información mucho más directa e intuitiva que la sola utilización de una única curva η0 = η0(Q0), en correspondencia con la curva Hb0 = Hb0(Q0), válida exclusivamente para N = N0; en efecto, para este último caso, si se desea conocer el rendimiento de un punto cualquiera del plano Q-Hb a una velocidad de rotación distinta N, deberíamos determinar previamente su homólogo (Q0, Hb0) sobre la curva de velocidad de rotación N0, asignándoles a ambos idéntico rendimiento. Por el contrario, si se conocen las curvas de isorrendimiento, la determinación del rendimiento de cualquier punto de funcionamiento cubierto por estas curvas requiere simplemente una lectura directa o, a lo sumo, una interpolación visual.

Figura 5.3. Características de una bomba a diferentes velocidades de giro. Nos resta, para concluir este apartado, analizar las distintas curvas Pa = Pa(Q) que se obtienen para diferentes velocidades de giro. Las potencias detalladas son las absorbidas por la bomba, ya que son éstas las que presentan mayor interés para el proyectista. De cualquier modo la obtención de las curvas Pu = Pu(Q) sería inmediata a partir del rendimiento de la bomba en el punto correspondiente. Pues bien, conocida la potencia absorbida en función del caudal para una velocidad N0, Pa0 = Pa0(Q0), la nueva curva Pa = Pa(Q) correspondiente a otra velocidad de giro N se obtendrá desplazando los puntos sobre las cúbicas de semejanza, de modo que los valores correspondientes sobre estas cúbicas verifican:

La Figura 5.4 aclara cuanto acabamos de exponer en lo que al detalle de las curvas de potencia se refiere.

Q QP = P ; =

QQ ; =

PP 3

30

0 aa

0

3

0 a

a⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα (5.16)

Hb

Pa

Parábola de isorrendimiento

Q

Hb(Q)Pa(Q)η = cte

η = 0.50 η = 0.60η = 0.65

η=

0.65

η = 0.60

η = 0.50N5

N6

N6

N5

N4

N4N3

N3

N2

N2

N1

N1

Hb

Pa

Parábola de isorrendimiento

Q

Hb(Q)Pa(Q)η = cte

η = 0.50 η = 0.60η = 0.65

η=

0.65

η = 0.60

η = 0.50N5

N6

N6

N5

N4

N4N3

N3

N2

N2

N1

N1


203

Figura 5.4. Determinación de las curvas Pa = Pa(Q) para diferentes velocidades de giro. Ejemplo 5.1 Curva característica de una bomba a diferentes velocidades de giro. La curva característica de una bomba vale Hb = 52,58 + 28,34 Q - 2500 Q2, con Q en m3/s y Hb en m, para una velocidad de giro de 1450 rpm. Determinar la curva característica de esta bomba girando a 950 rpm. A la velocidad de rotación de 950 rpm, la curva característica de esta bomba respondería muy aproximadamente a la relación:

o sea:

Cuanto aquí hemos resuelto por vía analítica se puede llevar a cabo gráficamente, punto a punto. En efecto, el punto homólogo de la ordenada en el origen (0, 52,58) se puede calcular con las relaciones:

y análogamente se procedería con cualquier otro punto. La unión de tres o cuatro de ellos proporcionaría, aproximadamente, la representación gráfica de la curva Hb = 22,57 + 18,57 Q - 2500 Q2. Todo ello ha quedado debidamente visualizado en la Figura 5.5. El problema planteado también puede resolverse, como es lógico, en sentido inverso, esto es, conocido el comportamiento de la bomba a la velocidad de rotación N0 (1450 rpm) y deseando trabajar sobre un punto exterior a la curva de la bomba, nos preguntamos cuál debe ser su velocidad de giro para que lo incluya la nueva relación Hb = Hb(Q). El proceso a seguir lo describiremos numéricamente con auxilio de la Figura 5.5. En efecto, supongamos que el punto por donde va a pasar la nueva curva característica es: Hb = 60 m , Q = 0,10 m3/s El paso siguiente consiste en determinar la parábola que pasa por el origen y por el punto considerado:

Q 2500 - Q 1450950 28,34 +

1450950 52,58 = H 2

2

b ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Q 2500 - Q 18,57 + 22,57 = H 2b

0 = Q ; Q = Q

m 22,57 = 1450950 52,58 = H ; =

HH

0

2

b2

b0

b

α

α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Pa

N0

Pa

Pa0

Pa=KQ3

Q0

N

N0

Q

Q

Q

Pa

N0

Pa

Pa0

Pa=KQ3

Q0

N

N0

Q

Q

Q


203

que intersecta con la curva característica Hb = 52,58 + 28,34 Q - 2500 Q2 en el punto (80,3 l/s, 38,72 m), denominado I en la Figura 5.5.

Figura 5.5.Comportamiento de una bomba a distintas velocidades de giro para el ejemplo 5.1. Finalmente, la aplicación de las fórmulas correspondientes a la semejanza absoluta nos proporciona la velocidad de giro deseada:

El rendimiento del nuevo punto de trabajo es, teóricamente, el mismo que el del punto de partida I sobre la curva de velocidad de rotación N0, ya que están situados sobre una parábola que pasa por el origen. Ejemplo 5.2. Cálculo del punto óptimo a distintas velocidades de giro. Una bomba está recomendada para elevar un caudal de 5 m3/h a una altura de 9 m, con una velocidad de 1450 rpm. Estimar cuál será el punto de funcionamiento recomendado si se hace girar la bomba a 2900 rpm. Calcular en ambos casos el número específico de revoluciones nq y comprobar que no resulta afectado por el cambio en la velocidad de giro. A partir de la definición de nq podemos decir:

que, como se desprende de la Figura 5.1, cae de lleno en el campo de las bombas centrífugas. Para la nueva velocidad de giro, el punto de funcionamiento con rendimiento óptimo se determinará a partir de las relaciones (5.11):

Comprobemos, finalmente, que el número específico de revoluciones nq no ha variado:

Q 6000 = Q 0,10

60 = H 222

rpm 1805,7 = 0,08030,10 1450 =

QQ N = N ;

NN =

QQ

I0

0I

rpm 10,40 = 9

5/3600 1450 = H

Q N = n 3/4

b03/40

0q

m 36 = 14502900 9 =

NN H = H ; /sm

2

0

2

0bb3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 10 = 14502900 5 =

NN Q = Q

00

rpm 10,40 = 36

10/3600 2900 = H

Q N = n 3/43/4

bq

0102030405060

Hb (m)

Hb = 22.57+18.57Q–2500Q2

Hb = 52.58+28.34Q–2500Q2

I

50 100

N = 950 rpm

N = 1450 rpm

Q (l/s)0102030405060

Hb (m)

Hb = 22.57+18.57Q–2500Q2

Hb = 52.58+28.34Q–2500Q2

I

50 100

N = 950 rpm

N = 1450 rpm

Q (l/s)


203

5.4.2 El recorte del rodete El problema que vamos a abordar ahora es cómo forzar el paso de la curva característica Hb = Hb(Q) de una determinada bomba centrífuga por el punto de funcionamiento P'(Q', H'b) situado por debajo de la curva dada. Y ello lo pretendemos conseguir con la velocidad de giro inicial, N = N0, pero rebajando el radio exterior r2 de los alabes del rodete. Todo esto queda convenientemente aclarado en la Figura 5.6.

Figura 5.6. Curvas características de una bomba con rodete nominal y recortado. Así como el conocimiento del comportamiento de la bomba a distintas velocidades de giro resulta fundamental para el estudio, por ejemplo, de los transitorios (arranques o paradas), el recorte del rodete es una acción que llevan a cabo con frecuencia los fabricantes al objeto de poder suministrar la bomba adecuada para cada punto de funcionamiento que se desee, disponiendo de una gama de fabricación no excesivamente grande. En definitiva, lo que ahora vamos a ver corresponde a la perfecta adaptación de una bomba a un determinado punto de trabajo que se supone estacionario e invariante, y fijado a partir de las necesidades de la instalación. Es importante destacar que el recorte de los rodetes tan solo afecta a los alabes, pero no así a los discos sobre los que descansan. En este caso todos los parámetros geométricos de la bomba se mantienen constantes (incluso ancho b2 del rodete y ángulo β2 de salida) excepto el radio r2 de salida del rodete. Por ello, los puntos de funcionamiento homólogos en el recorte del rodete serán aquellos que cumplan únicamente la semejanza cinemática, no pudiéndose exigir ahora la semejanza geométrica ni mucho menos la dinámica. Sin embargo, la aplicación a este caso de las leyes de semejanza, aún no siendo formalmente correcta, permite desarrollar un procedimiento de cálculo sencillo y rápido con unos resultados satisfactorios. En consecuencia, y llamando λ = r'2/r2 a la relación de radios con y sin recorte, las leyes de semejanza para N = N0 = cte (α = 1) y b2 = cte resultan:

Insistimos en que la variación que experimenta el bloque de expresiones (5.17) frente a las que representan la semejanza absoluta, expresiones (5.3) a (5.5), radica en que el recorte no afecta a la anchura del rodete.

λ

λαλππ

λαλ

4

b

b

a

a

22

2m22

2m22

222

2u2

2u2

b

b

= Q HQ H =

PP

= = v b r 2v b r 2 =

QQ

= = v uv u =

HH

′

′′′

′′

′′

′

(5.17)

Hb

QQ’

Hb’P’

N=N0 ; r = r2

N=N0r = r2

’

Hb

QQ’

Hb’P’

N=N0 ; r = r2

N=N0r = r2

’


203

Consecuencia de ello es que ahora los puntos de funcionamiento homólogos se encuentran sobre rectas que pasan por el origen, ya que se cumple:

La manipulación de estas expresiones es elemental. Supongamos, por ejemplo, que tenemos en la Figura 5.7 la curva característica de una bomba de radio exterior del rodete r2, y nos preguntamos cuál debe ser r'2 y en consecuencia el recorte (r2 - r'2) para que la curva característica pase por el punto de funcionamiento deseado P0(Q0, Hb0).

Figura 5.7. Determinación del recorte de un rodete. Pues bien, uniendo el origen con P0 obtenemos P1(Q1, Hb1) y la relación:

nos dará el radio final que el rodete debe tener. A partir de las curvas características de la bomba original, en forma analítica, podríamos conocer estas curvas para la bomba con rodete recortado. Razonando de una manera totalmente análoga a como lo hemos hecho para obtener las expresiones (5.15), en este caso quedaría:

Hemos indicado anteriormente que con el recorte del rodete el ángulo de salida β2 se conserva, lo que resulta prácticamente cierto en la mayor parte de los casos, ya que el trazado de los alabes en su parte final se efectúa generalmente con un perfil logarítmico, definido precisamente a partir de la condición β = cte. De no ser ello cierto, la aplicación de las leyes de semejanza sería incorrecta, al no existir en este caso proporcionalidad entre los triángulos de velocidades y no cumplirse la semejanza cinemática. Y en definitiva, la bomba con el rodete recortado debería ser tratada como una bomba diferente a la original, haciéndose necesario la determinación de su curva característica real por métodos experimentales. El recorte del rodete no debe llevarse más allá del 10 ó 12 %, si queremos que se cumplan las hipótesis efectuadas y que el procedimiento de cálculo expuesto sea aceptable. De precisarse un rebaje mayor en los alabes, lo correcto sería adoptar la bomba de catálogo con el tamaño inmediatamente inferior, pero, en cualquier caso, una bomba distinta. Veamos la aplicación que del recorte efectúan los fabricantes de bombas. Para ello nos apoyaremos en la Figura 5.8 que muestra la curva característica de una bomba Hb = Hb(Q), seleccionándose sobre la misma los puntos A y B entre los cuales estimamos que el rendimiento resulta aceptable.

Q k = H ; cte = QQ =

HH

b

b ′′′′ (5.18)

HH r

QQ r = r ;

rr =

QQ

HH

b1

b02

1

022

2

22

1

0

b1

b0 ≡′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′≡ (5.19)

Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H 242

22

2b

λλη

λλ (5.20)


203

Figura 5.8. Zona del diagrama barrida por una misma bomba. Se pretende delimitar la región del diagrama Q-H que puede barrer esta bomba con el rendimiento igual o mayor al valor mínimo adoptado y teniendo muy presente que el recorte no debe rebasar el 12 % del valor nominal del radio primitivo ya que, en caso contrario, se incumpliría la relación β2 = cte. Los puntos semejantes a los que limitan la zona A-B se encuentran sobre sendas rectas que constituirán dos de los contornos de esta región a determinar. El cuarto contorno nos lo proporcionarán las relaciones:

que particularizadas a los puntos A y B proporcionan:

De ello se deduce que, conocidos A y B, la determinación de A' y B' resulta inmediata. El resumen es: la zona delimitada puede ser cubierta por un único rodete, manteniendo un rendimiento igual o superior a un mínimo preestablecido. La superposición de las distintas zonas que puede barrer cada una de las bombas de que dispone una casa comercial, da lugar a que los fabricantes proporcionen ábacos como los mostrados en la Figura 5.9, lo que posibilita el cubrir la práctica totalidad del plano Q-H y en definitiva disponer siempre de una bomba para cada necesidad.

Figura 5.9. Diagrama comercial de selección de bombas.

0,774 = r

r 0,12 - r = rr =

HH

QQ

2

222

2

22

b

b ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′≡′ ′

H 0,774 = H ; Q 0,774 = Q

H 0,774 = H ; Q 0,774 = Q

bBBbBB

bAAbAA

′′

′′

Hb

Q


203

Si posteriormente nos centramos en una de las bombas de la Figura 5.9 a la que corresponde un determinado rectángulo curvilíneo, el mismo catálogo nos deberá dar las curvas características completas para distintos recortes del rodete, Figura 5.10. Así, en la Figura 5.10 se puede observar: - Serie de curvas Hb = Hb(Q) para distintos diámetros del rodete recortado. - Serie de curvas Pa = Pa(Q) en función, asimismo, de los distintos recortes. - Colinas de isorrendimiento, que indican la variación del mismo en función de los distintos puntos de trabajo. - Curva η = η(Q), válida exclusivamente para la bomba con el rodete sin recortar. - Curva NPSHr = NPSHr(Q), de la que se hablará en el próximo capítulo, que apenas varía con el recorte al depender fundamentalmente de las características de entrada del rodete.

Figura 5.10. Curvas características de una bomba con distintos recortes de rodete. Ejemplo 5.3. Determinación del campo de operación de una bomba. Los ajustes analíticos de las curvas características de una bomba, que gira a 1450 rpm y tiene un diámetro exterior de rodete de 340 mm, han proporcionado los resultados siguientes:

donde Q se da en m3/s, Hb en m y η en tanto por uno. Se desea determinar la zona del diagrama Q-H que puede cubrir un fabricante con dicha bomba, con la condición de que el rendimiento no sea inferior al 70 % y practicando un recorte máximo del 10 %. Calcularemos, a partir de la expresión η = η(Q), los puntos extremos en los que el rendimiento vale 0,70:

ecuación que, resuelta, proporciona:

Q 142,50 - Q 21,27 = ; Q 1344,14 - 41,64 = H 22b η

Q 142,50 - Q 21,27 = 0,70 2

η(%)

Hb (m)

0 Q (m3/h)NPSHreq.(m)

150/4001450 rpm

η(%)

Hb (m)

0 Q (m3/h)NPSHreq.(m)

150/4001450 rpm


203

con lo que acabamos de determinar los puntos extremos A y B que se indican en la Figura 5.8. El recorte, manteniendo constantes b2 y β2, da lugar a puntos semejantes a los A y B situados sobre rectas que pasan por el origen, de ecuaciones:

Determinaremos ahora, con la condición de recorte máximo, cuáles son los puntos extremos A' y B'. Calculemos previamente:

por lo que las leyes de semejanza, aplicadas entre puntos de funcionamiento homólogos antes y después del recorte [relaciones (5.17)], proporcionan:

y que, sustituidas en la curva característica de la bomba con recorte,

nos dan:

que es la curva característica de la bomba recortada. Finalmente se determinan las coordenadas de los puntos A' y B' por intersección de la nueva curva con las rectas de isorrendimiento. Se obtiene:

habiendo quedado reflejado todo este proceso analítico sobre el esquema de la Figura 5.11.

Figura 5.11. Campo de operación de la bomba del ejemplo 5.3.

m 28,20 = H ; /sm 0,100 = Q

m 38,41 = H ; /sm 0,049 = Q

bB3

B

bA3

A

Q 282,00 = Q 0,10028,20 = H ; Q 783,88 = Q

0,04938,41 = H ′′′′′′

0,90 = 340

340 0,10 - 340 = ⋅λ

0,81 = = HH

QQ 2

b

b λ′≡′

)Q( 1344,14 - 41,64 = H 22

2b ′′

λλ

)Q( 1659,43 - 33,73 = H 2b ′′

m 22,84 = H ; /sm 0,081 = Q

Q 282,00 = H ; )Q( 1659,43 - 33,73 = H

m 31,32 = H ; /sm 0,040 = Q

Q 783,88 = H ; )Q( 1659,43 - 33,73 = H

Ab3

B

2b

Ab3

A

2b

′′

′

′′

′

′′′

′′′


203

5.5 Punto de funcionamiento de una instalación Hasta aquí hemos estudiado la morfología y características de una bomba prescindiendo de las condiciones de funcionamiento a que va a ser sometida. Sin embargo, ahora nos planteamos analizar el comportamiento de esta bomba teniendo en cuenta las características de la instalación en la que va a funcionar. Para llevar a cabo este análisis hemos de considerar que el punto de trabajo de una bomba depende a la vez de la característica motriz que presenta y de la característica resistente a vencer. Si hasta ahora hemos estudiado con notable profundidad las prestaciones y posibilidades de la bomba, resulta imprescindible para un análisis conjunto del tema la determinación de la curva resistente que a la bomba le ofrecerá la instalación. El problema admite tanto el tratamiento analítico como el gráfico. Sin embargo, vamos a darle preponderancia a este último por dos motivos: - Los fabricantes proporcionan siempre las gráficas de las características motrices de las distintas bombas. Un tratamiento matemático del problema exige previamente un ajuste analítico de las curvas, y por ello resulta menos operativo para el proyectista. - Conceptualmente el método gráfico es mucho más claro e intuitivo, y admite con sencillez el análisis de distintas alternativas que se planteen en torno a un problema dado. En el tema que nos ocupa presentaremos analítica y gráficamente el supuesto más sencillo de impulsión simple, para pasar posteriormente a la resolución gráfica de sistemas más complejos. Volveremos a incidir sobre estos aspectos cuando se aborde el problema de la regulación de sistemas. 5.5.1 Resolución analítica Se conoce la totalidad de datos de la tubería de impulsión del sistema más elemental que nos podemos encontrar, el cual se detalla en la Figura 5.12, a saber: longitud total L, diámetro D y rugosidad de las paredes ε dependiente del material de la tubería. Se deberán conocer asimismo las distintas singularidades que presenta la instalación de codos, válvulas, etc, que son contempladas en la ecuación de pérdidas a través de su longitud equivalente o a través del coeficiente de pérdidas menores, según se verá. Suponemos, en una primera aproximación, que el factor de fricción f de la tubería es constante.

Figura 5.12. Impulsión elemental. La ecuación de Darcy-Weisbach, para el caso de dar las pérdidas por su longitud equivalente, permite escribir:

en donde LT es la suma de la longitud total geométrica, más la longitud equivalente de pérdidas. En consecuencia, la ecuación correspondiente a la curva resistente será la suma del desnivel geométrico y de las pérdidas, resultando:

Q K = Q D g L f 8 =

g 2v

DL f = h 22

52T

2T

fπ

(5.21)


203

Conocida la característica resistente del sistema, a determinar analíticamente a partir de los datos de la instalación, ajustaremos la curva característica de la bomba Hb = Hb(Q) siguiendo lo expuesto en el capítulo anterior, de manera que dispondremos finalmente de:

que modela matemáticamente la curva que el catálogo de bombas detalla. El punto de funcionamiento de la instalación corresponderá a aquel caudal que iguale la altura motriz a la resistente,

La solución de esta última expresión, combinación de las dos ecuaciones precedentes, proporciona el punto de funcionamiento de la instalación por vía analítica. 5.5.2 Resolución gráfica Cuando abordamos el problema de la determinación del punto de funcionamiento de un sistema disponemos de la curva de la bomba en forma gráfica, proporcionada por el catálogo, y de la curva resistente de la instalación en forma analítica, a partir de la ecuación de Darcy-Weisbach. En consecuencia, tan sólo debemos superponer la representación gráfica de esta segunda con la primera, y la intersección de ambas proporcionará el punto de trabajo. Se trata, en definitiva, de resolver gráficamente el sistema (5.24), tal como muestra la Figura 5.13. La resolución gráfica es mucho más intuitiva que la analítica. En su caso, puede de inmediato deducirse cómo se modifica el punto de trabajo cuando en un bombeo desde pozo cambia, por ejemplo, el nivel de la aspiración debido a un descenso de la capa freática, y cómo afecta tal cambio al rendimiento de la instalación. Todo ello queda visualizado en la Figura 5.13.

Figura 5.13. Determinación gráfica del punto de funcionamiento de un bombeo elemental. Ejemplo 5.4. Estudio económico de una bomba. Una bomba centrífuga tiene por curvas características:

con Q en m3/s, Hb en m y η en tanto por uno, cuando gira a 1450 rpm. El diámetro exterior del rodete es de 320 mm. Esta bomba impulsa agua a través del sistema mostrado en la Figura 5.14, donde la tubería de impulsión tiene una longitud de 737,5 m, un diámetro de 500 mm y un factor de fricción de 0,02. Si el rendimiento del motor eléctrico de arrastre es del 96 %, se pide calcular:

Q K + H = (Q)H 2g

(r) (5.22)

Q C + Q B + A = H H 2b

(m) ≡ (5.23)

Q K + H = Q C + Q B + A ; (Q)H = (Q)H 2g

2(r)(m) (5.24)

Q) - (1 Q 3,2 = ; Q 150 - Q 75 + 55 = H 2b η

ηoη´ηoη´


203

a) Costo de elevación del m3 de agua en estas condiciones, si el Kwh eléctrico se paga a 0.06 €. b) Cómo se debe modificar la velocidad de giro, o el diámetro del rodete (analizar ambos casos), al objeto de alcanzar el rendimiento óptimo del sistema. Calcular en estas nuevas condiciones el costo de elevación del m3 de agua. a) Determinemos en primer lugar la curva resistente de la instalación, que va a ser un invariante a lo largo de este ejemplo. Se tiene:

por lo que el punto de funcionamiento será la solución de la ecuación:

Figura 5.14. Esquema de la instalación para el ejemplo 5.4. De aquí se obtiene:

La potencia que solicitaremos de la red eléctrica será:

por lo que en una hora el consumo será de 365,04 Kwh, que importan 21.9 €, elevándose un total de 3600⋅0,5794 = 2085,84 m3 de agua. En consecuencia, el costo por m3 de agua elevado es:

b) Veamos, en primer lugar, el punto de rendimiento óptimo:

lo que supone un incremento de dos puntos. Lo que ocurre en la instalación, así como las soluciones que tenemos que buscar por vía analítica, queda recogido en la Figura 5.15. Podemos mejorar el rendimiento siguiendo dos procedimientos diferentes. Analicemos cada uno de ellos basándonos en la mencionada Figura. Recorte del rodete. Partiendo del punto óptimo P, cuyo caudal es de 0,50 m3/s y su altura de 55 m sobre la curva correspondiente a 320 mm y 1450 rpm, debemos determinar el punto F' y el nuevo diámetro tras el recorte. Esta solución es, lógicamente, mucho más sencilla y económica de implementar que la alternativa de cambiar la velocidad de giro, que analizaremos más adelante.

Q 39 + 35 = Q 0,50 g 737,50 0,02 8 + 35 = Q

D g L f 8 + H = (Q)H 22

522

52g(r)

ππ⋅⋅

Q 39 + 35 = Q 150 - Q 75 + 55 ; (Q)H = (Q)H 22(r)(m)

0,78 = ; m 48,09 = H ; /sm 0,5794 = Q b3 η

Kw 365,04 = 1000

1 0,96 0,78

48,09 0,5794 9,81 1000 = H Q = P

eb

b

⋅⋅⋅⋅

ηηγ

m/€0105,0 = m 2085,84 €9.21 = p 3

3

0,80 = ; /sm 0,50 = Q 0 = Q 6,4 - 3,2 = Q d d

x m3 η

η _


203

Figura 5.15. Modificación de las condiciones de funcionamiento del ejemplo 5.4 para alcanzar el punto de rendimiento máximo.

La recta de isorrendimiento, por tratarse de recorte, será:

El nuevo punto de funcionamiento F' deberá situarse sobre la recta de isorrendimiento y sobre la curva resistente de la instalación. Sus características se determinarán a partir de la solución del sistema:

de donde resulta:

El cálculo del recorte λ es inmediato a partir de la relación

representando un recorte del 14,50 %, valor un poco alto para lo que usualmente se acepta. Podría buscarse ya una bomba dentro de la gama inmediatamente inferior. Si se aceptase el recorte calculado, el nuevo diámetro exterior del rodete sería:

El nuevo costo de elevación del m3 de agua se calcula según:

que representa un ahorro del 18,1 % debido no sólo a la mejora de dos puntos del rendimiento, sino también a la notable disminución de las pérdidas por fricción, al elevarse un caudal inferior. Habría que ver si este nuevo caudal cumple con las exigencias de la instalación. Vemos, pues, el interés que presenta un adecuado recorte del rodete. Cambio de velocidad de rotación. Esta solución, generalmente la más razonable desde la perspectiva hidráulica, presenta serios problemas económicos en arrastres con motores eléctricos. No es así para accionamientos con motor diesel. Veamos los resultados que obtendríamos. En este caso los puntos de isorrendimiento están sobre parábolas y el punto F'' deseado lo localizaremos resolviendo el sistema:

Q 110 = Q 0,5055 = Q k = H

Q 39 + 35 = H ; Q 110 = H 2(r)

0,80 = ; m 40,26 = H ; /sm 0,366 = Q x mb3 η′′

0,855 = 0,50

0,366 = QQ = ′

λ

mm 273,63200,855 = D =⋅'2

m/€ 0086,0 = 3600 0,366

06,0 8822,1 = p

Kw 188,22 = 1000

1 0,96 0,80

40,26 0,366 9,81 1000 = P

3

⋅⋅′

⋅⋅⋅⋅′


203

cuyo resultado proporciona:

La velocidad de rotación a la que deberá girar la bomba para proporcionar el punto F'' será:

El costo de elevación del m3 de agua para este caso quedará:

resultado ligeramente más caro que con la solución del recorte, pese a tener ambos el mismo rendimiento, en base a que el aumento de caudal incrementa las pérdidas. También tendremos más prestaciones (0,440 m3/s frente a 0,366 m3/s). 5.6 Resolución gráfica de sistemas complejos En el apartado 5.5 se ha expuesto la determinación, tanto analítica como gráfica, del punto de funcionamiento de un sistema elemental. Sin embargo, a medida que la instalación se complica, la resolución deja de ser inmediata. Presentamos, en este apartado, algunos sistemas más complejos incluyendo su resolución gráfica, mientras la analítica se pospone para los capítulos donde se estudian las redes hidráulicas. El interés que presenta el familiarizarse con las técnicas gráficas de cara a los capítulos de regulación es, desde luego, muy grande. La idea fundamental en que se basa la resolución gráfica del punto de funcionamiento de un sistema hidráulico es que en cualquier punto físico de la instalación (punto de referencia), siempre se pueden definir las dos curvas siguientes, supuesto conocido el sentido del flujo en todas las líneas del sistema: -Curva motriz de la instalación, H(m) = H(m)(Q): Es la altura piezométrica que dispone el fluido, en función del caudal que circula por el punto de referencia, y que viene proporcionada por el sistema de bombas o depósitos que impulsan dicho fluido. -Curva resistente de la instalación, H(r) = H(r)(Q): Es la altura piezométrica que debe tener el fluido, en función del caudal que circula por el punto de referencia, para alcanzar los depósitos o puntos finales de la instalación, o bien para proporcionar a los usuarios el caudal deseado. La altura piezométrica y el caudal circulante por el punto de referencia serán los correspondientes a la intersección de las curvas motriz y resistente, representadas gráficamente en función del caudal sobre el plano Q-H como se indica en la Figura 5.16. Figura 5.16. Punto de funcionamiento de una instalación, como intersección de las curvas motriz y resistente.

Q 39 + 35 = H ; Q 220 = Q 500,55 = H 2(r)22

2

0,80 = ; m 42,54 = H ; /sm 0,440 = Q x mb3 η′′′′

rpm 1276 = 1450 0,88 = N = N ; 0,88 = 0,500,440 =

QQ = ⋅′′′′

αα

m/€ 0906,0 =

3600 0,44006,0 239,09 = p

Kw 239,09 = 1000

1 0,96 0,80

42,54 0,440 9,81 1000 = P

3

⋅⋅′

⋅⋅⋅⋅′


203

En la resolución gráfica del punto de funcionamiento de una instalación se va a despreciar el término cinético v2/2g, debido a su escaso valor en comparación con la altura piezométrica H = z + p/γ; por ello, la diferencia de alturas piezométricas entre dos puntos de una conducción por la que circule un caudal constante será igual a la suma de pérdidas de carga entre ambos puntos. Una última consideración es que si tenemos un nudo C donde se unen tres (o más) tuberías, se definen los puntos C1, C2 y C3 pertenecientes respectivamente a las tuberías 1, 2 y 3 pero ya sobre dicho nudo, como se indica en la Figura 5.17. Si despreciamos las pérdidas en el nudo siempre podemos decir que HC1(Q1) = HC2(Q2) = HC3(Q3). La ecuación de continuidad indicará Q1 = Q2 + Q3.

Figura 5.17. Nudo donde se unen tres tuberías.

5.6.1. Impulsión que asegura un suministro de caudal en un punto intermedio La Figura 5.18 nos muestra una impulsión simple, pero con la singularidad de tener que proporcionar un caudal q conocido en un punto intermedio I. Pretendemos determinar el punto de trabajo a partir de las características de la bomba y de la instalación (longitud, diámetros, rugosidad, curva característica de la bomba, etc).

Figura 5.18. Sistema con toma intermedia en la tubería de impulsión. El punto de referencia para el trazado de las curvas motriz y resistente será el B a la salida de la bomba. La resolución gráfica del punto de funcionamiento se inicia con el trazado de la curva resistente del punto I2, Figura 5.18,

siendo K2 el coeficiente de pérdidas del tramo 2. La curva resistente del punto I1 se determinará con la condición de que las alturas piezométricas de los puntos I1 e I2 son iguales, y en el nudo I se deberá cumplir la ecuación de continuidad. Así,

Gráficamente, HI1(r) se obtiene desplazando la curva HI2

(r) según el eje de abcisas el caudal q consumido en el

Q K + H = H 222g

(r)I2

q + Q = Q ; H = H 21(r)I2

(r)I1


203

punto I, y que constituye uno de los datos del problema. A continuación se traza la curva HB

(r) teniendo en cuenta que la diferencia de alturas piezométrica entre los puntos B e I1 corresponde a las pérdidas de carga entre ambos puntos,

La curva motriz en el punto B corresponde a la curva característica de la bomba,

la cual, representada gráficamente, nos da el punto B de intersección con HB(r).

Siguiendo ahora el mismo procedimiento a partir del punto B pero en sentido inverso podemos hallar sobre la gráfica los puntos I1 e I2 y determinar los caudales Q1 y Q2 por la tubería de impulsión, así como las alturas piezométricas HB y HI en los puntos correspondientes de la instalación. La interpretación de los resultados obtenidos es particularmente sencilla: del caudal total Q1 impulsado por la bomba, q es consumido en el punto I, y el resto, Q2, es el que asciende hasta el depósito. Y en cuanto a la línea de alturas piezométricas, la altura piezométrica a la salida de la bomba queda determinada por la altura manométrica que genera ella misma, HB ≡ Hb, en tanto que la del depósito por su cota Hg. Finalmente, la del punto I por el desnivel total a vencer más las pérdidas existentes entre I y D para el caudal Q2 = Q1 - q. 5.6.2. Bomba alimentando simultaneamente dos depósitos a cotas distintas Vamos a resolver gráficamente el punto de funcionamiento de un sistema formado por una bomba que alimenta simultáneamente dos depósitos emplazados a distintos niveles y conectados en paralelo. Como de costumbre conocemos la curva característica de la bomba a instalar, así como el sentido del flujo y el diámetro, longitud, etc, de todas las tuberías. En consecuencia, la característica resistente de cada tramo es un dato y el problema radica en cómo se deben combinar para obtener una resultante igual a la curva resistente global del sistema. La Figura 5.19 nos muestra el esquema de la instalación, así como la resolución gráfica del mismo que seguidamente pasamos a comentar. Al igual que en el caso anterior, el punto de referencia será el B a la salida de la bomba.

Figura 5.19. Bombeo a dos depósitos en paralelo a diferente cota y determinación gráfica de su punto de funcionamiento.

En primer lugar se representan independientemente las características resistentes en los puntos C1 y C2, las cuales responderán a las expresiones:

Para la determinación de la curva resistente en C3, HC3(r), se suman para una misma ordenada las abcisas de

Q K + H = H 211

(r)I1

(r)B

H = H b(m)B

Q K + z = H ; Q K + z = H 2222

(r)C2

2111

(r)C1

1

2

3

1

2

3


203

HC1(r) y HC2

(r). Con ello se está haciendo uso de las expresiones indicadas para los nudos, y que en este caso valen:

La curva resistente en B será la correspondiente a C3 aumentada en las pérdidas de la tubería 3. Así,

La curva motriz en B corresponderá a la curva característica de la bomba incrementada con la cota del depósito de aspiración,

El punto de funcionamiento de la instalación se determinará a partir de la intersección de las curvas motriz y resistente en B. Así, en la representación gráfica tenemos los puntos B, C1, C2 y C3, que nos permiten conocer los caudales circulantes por las líneas, Q1, Q2 y Q3, y las alturas piezométricas HB y HC. Como podemos observar en la representación gráfica, la curva resistente HC3

(r) solamente tiene vigencia a partir de z2, ya que estamos suponiendo que la bomba hace subir agua a los dos depósitos, lo cual sólo es posible cuando HC > z2. Para el caso de que, con la instalación propuesta, tanto la bomba como el depósito D2 aportasen agua al depósito D1, el planteamiento que acabamos de exponer daría como resultado curvas motriz y resistente en B que no tendrían punto de intersección. En este caso la distribución inicial de caudales sería incorrecta y se debería replantear el problema invirtiendo el sentido de caudales en la tubería 2. 5.6.3. Red de distribución alimentada simultáneamente desde dos depósitos a cotas diferentes Supongamos el esquema de la Figura 5.20 en el que una red de distribución está alimentada desde dos depósitos a cotas z1 y z2, siendo A el punto de conexión de la tubería 3 con dicha red. Una explicación sencilla del funcionamiento de la red es que los usuarios, que en un momento determinado solicitan agua, abren más o menos sus grifos para obtener el caudal deseado de manera que, en conjunto, por el punto A estará circulando la suma de todos los caudales consumidos. Ello quiere decir que los usuarios van a imponer el caudal circulante por A, según una curva de evolución diaria denominada curva de modulación de consumos.

Figura 5.20. Red de distribución alimentada desde dos depósitos a cotas diferentes y curva simplificada de modulación de consumos.

Se puede calcular el punto de funcionamiento de la instalación si se conoce la curva simplificada de consumos diarios de la red, Figura 5.20, la cota del nivel de agua en los depósitos y las características de las tuberías 1, 2 y 3. Vamos a suponer que durante las horas punta de consumo, los dos depósitos están aportando caudal a la red, mientras que durante las horas valle, el depósito D1 alimenta simultáneamente a la red y al depósito D2. La determinación gráfica del punto de funcionamiento del sistema considerado, para horas punta y valle,

Q + Q = Q ; H = H = H 213(r)C2

(r)C1

(r)C3

Q K + H = H 233

(r)C3

(r)B

z + H = H ab(m)B


203

queda reflejada en la Figura 5.21, habiéndose adoptado el punto A como punto de referencia. El procedimiento seguido para horas punta, supuesto que ambos depósitos aportan caudal, es el siguiente: Curva motriz en el punto B1: HB1p

(m) = z1 - K1 Q12

Curva motriz en el punto B2: HB2p(m) = z2 - K2 Q2

2 Curva motriz en el punto B3: HB3p

(m) = HB1p(m) = HB2p

(m) ; Q3 = Q1 + Q2 Curva motriz en el punto A : HAp

(m) = HB3p(m) - K3 Q3

2

Figura 5.21. Punto de funcionamiento de un sistema de dos depósitos que alimenta una red de distribución.

La curva resistente en el punto A corresponde al caudal demandado por la red en horas punta, Q3 = Qp, la cual viene representada por una vertical por el punto de abcisa Qp. Con ello obtenemos de la representación gráfica los puntos B1p, B2p, B3p y Ap, así como los caudales circulantes Q1p y Q2p y las alturas piezométricas HBp y HAp. Para el caso de horas valle se supone que al depósito D2 sube caudal, como hemos indicado anteriormente, por lo que el procedimiento gráfico se basa ahora en el trazado de las siguientes curvas: Curva motriz en el punto B1: HB1v

(m) = z1 - K1 Q12

Curva resistente en el punto B2: HB2v(r) = z2 + K2 Q2

2 Curva motriz en el punto B3: HB3v

(m) = HB1v(m) = HB2v

(r) ; Q3 = Q1 - Q2 Curva motriz en el punto A : HAv

(m) = HB3v(m) - K3 Q3

2 Ahora la curva resistente en A será una vertical trazada por el punto de abcisa Qv, obteniéndose los puntos B1v, B2v, B3v y Av, los caudales Q1v y Q2v, y las alturas piezométricas HBv y HAv. En definitiva, la red estaría siendo alimentada con alturas piezométricas en el punto A de HAp para horas punta y HAv para horas valle. En caso de que la altura en A para horas punta no fuera suficiente para abastecer correctamente la red, o bien que en horas valle esta altura fuese excesiva, se debería modificar adecuadamente la cota de uno o los dos depósitos de alimentación, o bien las características de las tuberías. 5.7 Estabilidad de funcionamiento de una bomba Cuando un sistema hidráulico se encuentra funcionando en un determinado punto de trabajo y aparece una perturbación, el punto de funcionamiento se modifica. Si al desaparecer tal perturbación el sistema vuelva al punto de trabajo inicial, diremos que este punto de funcionamiento es estable. Si nos alejamos del mismo, estaremos ante un punto de funcionamiento inestable. Como vemos se trata de un concepto similar al de estabilidad de un sistema eléctrico, mecánico, etc. Nos vamos a referir, de una manera cualitativa, al análisis de la estabilidad del sistema hidráulico más sencillo, esto es, del conjunto bomba-impulsión simple. Sabemos que el punto de funcionamiento P1(Q1, Hb1) se encuentra en la intersección de las curvas motriz y resistente, tal como se indica en la Figura 5.22.


203

Figura 5.22. Punto de funcionamiento estable de una bomba centrífuga. Supongamos que por cualquier circunstancia, y sin cambiar las curvas motriz y resistente, el caudal que proporciona la bomba pasa a ser Q1 + ∆Q. En este momento la altura proporcionada por la bomba toma el valor Hb1 - ∆H y la altura necesaria para que circule dicho caudal es Hb1 + ∆H; ello quiere decir que existe un déficit de energía aportada por la bomba con respecto a la consumida por la instalación, lo cual hará que el caudal disminuya hasta alcanzar de nuevo el valor de régimen Q1. En caso contrario, si el caudal pasa a ser Q1 - ∆Q, la altura proporcionada por la bomba es Hb1 + ∆H y la requerida por la instalación Hb1 - ∆H. El exceso de energía que comunica la bomba acelera el fluido, aumentando el caudal hasta alcanzar de nuevo el valor de régimen Q1. Vemos pues que el punto de funcionamiento P1 es estable. Supongamos ahora que las curvas motriz y resistente de la instalación tienen la forma y posición de la Figura 5.23, para las cuales caben dos puntos de funcionamiento posibles P2 y P3. Si en un momento determinado la instalación se encuentra funcionando en el punto P2 y una perturbación hace aumentar el caudal hasta Q2 + ∆Q, en este momento la altura proporcionada por la bomba será Hb y la consumida por la instalación Ha, de manera que Hb > Ha. El exceso de energía aportada por la bomba respecto de la utilizada por la instalación se empleará en acelerar el fluido impulsado, por lo que el caudal irá aumentando y el punto de funcionamiento desplazándose hacia la derecha, hasta alcanzar el punto 3 de funcionamiento estable.

Figura 5.23. Punto de funcionamiento inestable de una bomba centrífuga.

Por contra, si la perturbación hace que el caudal impulsado sea Q2 - ∆Q, ocurrirá ahora que la altura proporcionada por la bomba vale Hc y la requerida por la instalación Hd. Como Hd > Hc, este defecto de energía irá frenando el fluido impulsado, desplazándose el punto de funcionamiento hacia la izquierda hasta que se alcance el punto de caudal nulo. A partir de este momento el caudal comenzará a descender por la tubería, en contra de la acción de la bomba, si no existe válvula de retención que lo impida. El punto de funcionamiento P2 será, pues, inestable Un análisis más cuidadoso, que no más complejo, permite establecer que un punto de funcionamiento Po será estable si se verifica que a su izquierda H(m) > H(r) y a su derecha H(m) < H(r), lo cual se cumplirá siempre que en ese punto la pendiente de la curva motriz sea inferior a la de la resistente, o sea,


203

En instalaciones hidráulicas sencillas, las curvas resistentes suelen ser ascendentes o a lo sumo horizontales, mientras que las motrices son descendentes; por ello no se suele presentar el fenómeno de inestabilidad. Sin embargo, cuando una bomba presenta una parte de su curva característica ascendente, el punto de funcionamiento puede ser inestable si las curvas motriz y resistente se cortan como en el punto P2 anterior. Por ello, a la rama ascendente de la curva característica de una bomba se le denomina rama inestable. Sistemas hidráulicos más complejos pueden llegar a presentar problemas de estabilidad de difícil análisis teórico. 5.8 Acoplamiento de bombas El acoplamiento de bombas puede llevarse a cabo, bien en serie, bien en paralelo. En el primero de los casos la impulsión de una bomba constituye la aspiración de la siguiente unidad, por lo que el caudal bombeado será el mismo en todas ellas aunque las alturas creadas deberán sumarse. Cuando acoplemos las bombas en paralelo, se aspira el fluido de un punto común, inyectándose después el caudal a la impulsión general. Por tanto, en este caso lo que se suman son los caudales, conservándose las alturas. Pasemos a describir las peculiaridades y posibilidades de utilización de cada acoplamiento. 5.8.1 Acoplamiento de bombas en serie El acoplamiento de bombas en serie puede presentar interés cuando haya que elevar un mismo caudal a distintas alturas. Tal situación resulta muy poco frecuente, por lo que en la práctica este montaje es sumamente extraño. Sin embargo, un caso especial de acoplamiento en serie es la disposición de los rodetes en bombas multicelulares. Decimos que es especial porque pese a estar montados los rodetes en serie, como el cuerpo de bomba es único, no existe la posibilidad de seleccionar un determinado número de etapas, al haber sido éste previamente establecido y fijado. Las bombas multicelulares encuentran su campo de aplicación cuando se desean bombear caudales a grandes alturas, como por ejemplo en el caso de bombas de pozo. De hecho, la utilización de un único rodete para estos casos nos llevaría a diámetros excesivamente grandes, con unos tamaños de bomba desproporcionados. Además, este acoplamiento nos permite elevar el número específico de revoluciones de cada rodete con respecto al caso de utilizar bomba de un solo impulsor, lo que siempre supone una mejora del rendimiento al aumentar éste con nq. Ello se pone de manifiesto si se evalúa el nq de la instalación a partir de los datos globales de la misma, supuestos éstos en el punto óptimo de funcionamiento de la bomba:

el cual debería corresponder al rodete caso de ser éste único. Sin embargo, para una bomba multicelular de n rodetes iguales que trabajase en el mismo punto de funcionamiento, cada uno de los rodetes de la misma tendría un número específico de revoluciones de

verificándose por tanto que n'q > nq. La curva característica del acoplamiento de bombas o rodetes en serie se obtiene sumando las alturas, para igualdad de caudales, a partir de la curva característica de cada rodete en particular. Ello se traduce en que las curvas resultantes tienen una pendiente acusada, Figura 5.24 para el caso de bombas o rodetes diferentes, tanto mayor cuanto más grande sea el número de rodetes acoplados.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dQ

dH < dQ

dH (r)

P

(m)

P oo

(5.25)

H

Q N = n 3/4

b0

00q (5.26)

n n = /n)H(

Q N = n 3/4

qb0

3/40

0q ⋅′ (5.27)


203

Figura 5.24. Acoplamiento en serie de bombas diferentes. Cuando se acoplan en serie bombas diferentes se debe vigilar el punto de funcionamiento. Sea por ejemplo el caso presentado en la Figura 5.24 en el que tenemos dos bombas con curvas características B1 y B2; la característica global B1 + B2 del acoplamiento en serie tiene en cuenta la parte de alturas negativas de la curva correspondiente a la bomba menor, B1, en donde funciona como turbina consumiendo energía mecánica. Para evitar el funcionamiento indeseable en esta zona, el punto de funcionamiento de la asociación debe estar a la izquierda de Is. Además, en estos casos resulta muy difícil conseguir que todas las bombas trabajen con rendimientos elevados. Un caso particular, pero mucho más frecuente que el anterior, es el de las bombas multicelulares, donde los rodetes acoplados son todos iguales. Aquí, la curva característica de un rodete y del acoplamiento de n rodetes quedan indicados en la Figura 5.25, donde podemos comprobar que la problemática apuntada para bombas o rodetes diferentes ahora ya no aparece.

Figura 5.25. Acoplamiento en serie de rodetes iguales. Analíticamente, el paso de las curvas características de un impulsor a las de n impulsores iguales en serie resulta inmediato. Si para una etapa las curvas características son:

para n etapas iguales tendremos:

Para el caso de bombas de pozo con gran número de etapas, la elevada pendiente que tiene su curva característica ocasiona que las variaciones estacionales del nivel de agua en el mismo hagan fluctuar poco el caudal que elevan y el rendimiento de la instalación, especialmente cuando la curva resistente presenta escasa pendiente (conducción sobredimensionada). Por último indicar que la asociación en serie no se debe utilizar en inyección directa a redes de distribución de agua, ya que una variación pequeña del caudal demandado puede dar origen a una gran variación de la altura de presión proporcionada por la estación de bombeo.

Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H 22b η (5.28)

Q E + Q D = ; )Q C + Q B + (A n = H 22b η (5.29)


203

5.8.2 Acoplamiento de bombas en paralelo El acoplamiento en paralelo está justificado en multitud de ocasiones. Por ejemplo, en un sistema de riego a la demanda o en un abastecimiento el consumo de agua fluctúa enormemente con el tiempo, si bien las condiciones funcionales de uso se mantienen. El servicio puede garantizarse mediante la progresiva entrada en funcionamiento de distintos grupos de bombeo, consiguiendo mantener el rendimiento del conjunto dentro de unos márgenes aceptables. La utilización de una sola bomba tratando de satisfacer una amplia gama de consumos sería factible, pero a costa de trabajar con rendimientos bajísimos en determinados puntos de funcio-namiento, ya que las curvas de rendimiento no son, por desgracia, planas. Si queremos obtener la curva característica de un conjunto de bombas acopladas en paralelo, tan sólo debemos sumar caudales para una misma altura a partir de la curva de cada una de las bombas acopladas. Ello da lugar a curvas globales Q-H cada vez más planas según aumenta el número de bombas acopladas, como fácilmente se deduce de la Figura 5.26.

Figura 5.26. Acoplamiento de bombas diferentes en paralelo. Sin embargo, el tratamiento analítico del problema resulta más laborioso, sobre todo cuando se acoplan bombas distintas. Y así, para las curvas características de una única bomba dadas por las expresiones (5.28), el acoplamiento de n de ellas en paralelo se caracterizará por las curvas resultantes:

Si las bombas son distintas, esto es, si tenemos:

para determinar la altura total despejaremos previamente los caudales, de manera que obtendremos:

quedando la característica conjunta como Hb = Hb1 = Hb2, Q = Q1 + Q2, o lo que es lo mismo,

que es la resultante deseada. En cuanto al rendimiento habría que calcular previamente el punto de trabajo de cada bomba, recurriendo después a sus curvas respectivas. Se presenta, finalmente, el tratamiento gráfico de los casos más elementales de acoplamiento en paralelo, trabajando sobre una impulsión simple. Se supone la existencia de válvula de retención a la salida de cada una de las bombas acopladas en paralelo.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nQ E +

nQ D = ;

nQ C +

nQ B + A = H

22

b η (5.30)

bomba segunda la para Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H

bomba primera la para

222222

2222222b η

η Q E + Q D = ; Q C + Q B + A = H 211111

211111b1

(5.31)

)H(Q = Q ; )H(Q = Q b222b111 (5.32)

)H(Q + )H(Q = Q b2b1 (5.33)

////


203

Las dos bombas acopladas son iguales. Con referencia a la Figura 5.27, la curva (I) es la correspondiente a cada una de las bombas, en tanto que en (II) se han sumado en paralelo ambas. El punto de funcionamiento ha pasado de P1 a P2. Obsérvese que Q2/2 < Q1; tan sólo en el supuesto de una curva resistente de pendiente nula (ausencia de pérdidas en la impulsión) se verificará la igualdad. Es decir, el caudal total para dos bombas acopladas en paralelo es, casi siempre, inferior al doble del caudal que aporta una sola de las bombas en la misma instalación.

Figura 5.27. Dos bombas idénticas acopladas en paralelo. Las bombas tienen característica distinta, pero la misma ordenada en el origen. A la altura que proporciona una bomba cuando el caudal impulsado es nulo, se le conoce con el nombre de altura a válvula cerrada. En este supuesto es la misma para las dos bombas instaladas en paralelo, aun teniendo curvas distintas. El problema se resuelve del mismo modo que en el supuesto precedente, o sea, se obtiene la curva característica del acoplamiento sumando caudales para igualdad de alturas proporcionadas por las dos bombas. Bombas con características distintas. La diferencia con los casos precedentes estriba en que la curva resultante presenta un tramo común (el II) con la que tiene mayor altura a válvula cerrada, Figura 5.28, zona en la que bajo ningún concepto debe trabajar el conjunto. En efecto, a la bomba I le resulta imposible funcionar en dicha zona, y, consecuentemente, el acoplamiento pierde toda su significación. Es una razón adicional para que en la práctica se tienda casi siempre al acoplamiento de bombas idénticas. La zona (III) es la de funcionamiento correcto de las dos bombas acopladas en paralelo.

Figura 5.28. Curva característica de dos bombas distintas acopladas en paralelo. Insistimos en el hecho de que el análisis de potencias y rendimientos de cada una de las bombas del grupo exige el desglose del caudal total en los parciales, lo que resulta inmediato. Conocido el punto de funcionamiento P y los caudales Q1 y Q2, tan sólo debemos recurrir a las curvas de potencia y rendimiento correspondientes a cada bomba. En la Figura 5.28 se ha visualizado la determinación del rendimiento. La potencia comportaría un tratamiento análogo. Ejemplo 5.5. Asociación de bombas en serie-paralelo.


203

En el circuito de la Figura 5.29 se han instalado dos bombas de características:

en donde las alturas se dan en metros, los caudales en m3/s y los rendimientos en tanto por uno. Se pide determinar: a) Caudal que impulsarán ambas bombas cuando trabajen asociadas en serie, calculando el rendimiento de cada una de ellas y el global del conjunto. Evaluar el costo de elevación del metro cúbico de agua, si el Kwh se paga a 0,06 €. b) Idem. cuando se asocian en paralelo. c) Interpretar cualitativamente los resultados.

Figura 5.29. Esquema de la instalación para el ejemplo 5.5. Determinemos inicialmente la curva resistente del sistema:

a) Cuando asociamos bombas en serie la curva motriz es, sencillamente: quedando fijado el punto de

funcionamiento por la solución de la ecuación:

que resulta ser el caudal trasegado por cada una de las bombas. La altura total que crean entre ambas viene dada por:

y correspondiendo a cada una de ellas:

Los rendimientos se determinan de inmediato a partir de las leyes numéricas que los caracterizan:

El rendimiento global del conjunto lo evaluaremos como:

Q 380 - Q 37 = ; Q 4285 - Q 71 - 54 = H

Q 230 - Q 25 = ; Q 4000 - Q 135 - 69 = H

22

2b2

21

2b1

η

η

Q 322,76 + 40 = Q 0,40 g 2000 0,02 8 + 40 = Q

D g L f 8 + H = (Q)H 22

522

52g(r)

⋅⋅⋅

ππ

Q 8285 - Q 206 - 123 = (Q)H + (Q)H = (Q)H 2b2b1

(m)

/sm 0,087 = Q Q 322,76 + 40 = Q 8285 - Q 206 - 123 322 ⇒

m 42,44 = )(0,087 322,76 + 40 = H 2b ⋅

m 15,43 = )(0,087 4285 - 0,087 71 - 54 = H

m 27,01 = )(0,087 4000 - 0,087 135 - 69 = H

2b2

2b1

⋅⋅

⋅⋅

% 34,40 = ; 0,3440 = )(0,087 380 - (0,087) 37 =

% 43,48 = ; 0,4348 = )(0,087 230 - (0,087) 25 =

22

2

12

1

ηη

ηη

⋅⋅

⋅⋅


203

Calculemos el costo de elevación del m3 de agua cuando se adopta esta solución:

En una hora se consumen 91,26 Kwh que importan 5,4756 €, tras haber elevado 0,087 m3/s ⋅ 3600 s = 313,04 m3 de agua, por lo que resulta un costo de elevación de:

b) Hay que comenzar determinando la curva motriz del conjunto de las dos bombas asociadas en paralelo. Como quiera que se deben sumar caudales, éstos han de despejarse previamente de sus correspondientes curvas características:

La curva motriz del acoplamiento de las dos bombas en paralelo se obtiene de la consideración de que el caudal total es Qt = Q1 + Q2, y que la altura es la misma para cada bomba, Hb = Hb1 = Hb2. Así resulta:

El caudal de funcionamiento de la instalación se determina resolviendo el sistema formado por la expresión anterior y la curva resistente de la instalación. Para ello hay que utilizar un proceso iterativo. La solución obtenida será:

siendo el caudal impulsado por cada bomba igual a:

El rendimiento dado por cada una de las bombas en su punto de funcionamiento correspondiente será:

quedando expresado el rendimiento global como:

% 39,67 = ; 0,3967 =

0,344015,43 +

0,434827,01

42,44 =

= H + H

H = H Q + H Q

H Q = P + P

P =

g

2

b2

1

b1

b

2

b2

1

b1

b

abs,2abs,1

œtilg

η

ηηηγ

ηγ

γη

Kw 91,26 = 0,396736,20 = P ; Kw 36,20 = 42,44 0,087 9,81 = H Q = P abu ⋅⋅γ

m/€ 0175,0 = 313,04

4756,5 = p 3

8570)H - (54 17140 + 5041 + 71 -

= Q Q 4285 - Q 71 - 54 = H

8000)H - (69 16000 + 18225 + 135 -

= Q Q 4000 - Q 135 - 69 = H

b22

2b2

b11

2b1

⇒

⇒

8570

)H - (54 17140 + 5041 + 71 - +

8000)H - (69 16000 + 18225 + 135 -

= Q bbt

/sm 0,1064 = Q ; m 43,65 = H 3tb

/sm 0,0415 = 0,0649 - 0,1064 = Q - Q = Q

/sm 0,0649 =

800043,65) - (69 16000 + 18225 + 135 -

= Q

31t2

31

0,8810 = )(0,0415 380 - 0,0415 37 = Q 380 - Q 37 =

0,6537 = )(0,0649 230 - 0,0649 25 = Q 230 - Q 25 =

22222

22111

⋅⋅

⋅⋅

η

η


203

calculándose el costo de elevación del m3 de agua a partir de:

Durante una hora se consumirán 62,69 Kwh que importan 3,7614 €, mientras que se elevan 0,1064 m3/s ⋅ 3600 s = 383,04 m3 de agua. El costo unitario será:

c) Es conveniente, antes de extraer conclusiones, evaluar el rendimiento máximo de cada bomba y el punto de funcionamiento en que ocurre:

De aquí se concluye que con el acoplamiento en serie las bombas se apartan mucho del punto de funcionamiento óptimo y el rendimiento del sistema es bajo. También concluimos que difícilmente puede interesar acoplar bombas distintas en serie (o montar rodetes diferentes en una bomba multicelular), ya que es imposible que trabajen simultáneamente en el punto óptimo respectivo. Sin embargo, sí tiene interés que las bombas trabajen acopladas en paralelo, e incluso darse el caso, como en nuestro ejemplo teórico, que aún siendo distintas circulen caudales próximos a los de máximo rendimiento. De cualquier modo, siempre es más conveniente acoplar bombas iguales. 5.9 Selección de la bomba, o del sistema de bombeo, más adecuado Los datos de partida son las características del caudal a suministrar, con unas exigencias en lo que a alturas geométricas se refiere que acostumbran a ser constantes, por lo que el acoplamiento en serie de bombas resulta harto improbable. Sin embargo, son muchas las aplicaciones en que nos encontramos caudales a suministrar variables con el tiempo. En este caso, el número de bombas a instalar en paralelo puede establecerse por el cociente entre el caudal máximo y el mínimo, de modo que la elección de las bombas, que en principio deben ser iguales, se efectuará cuidando que presenten un rendimiento elevado para el rango de caudales con el que van a trabajar. Y posteriormente, la modulación del caudal bombeado se efectuará poniendo en marcha o parando bombas, a condición de que el punto de funcionamiento de cada bomba presente siempre un rendimiento igual o mayor que un valor mínimo previamente establecido. Cuando el caudal es constante, la elección resulta mucho más sencilla, ya que tan sólo debemos conseguir una bomba que presente el rendimiento óptimo para el punto de funcionamiento Q-Hb deseado. Sin embargo, encontrar de inmediato una bomba a la que corresponda el máximo rendimiento sobre el punto Q-Hb dato no es frecuente, y habrá que someter por lo general el rodete a un recorte para hacer pasar la curva característica por ese punto con el mejor rendimiento posible. O bien, elegir la bomba con uno de los recortes de serie que ofrece el fabricante. No debe olvidarse que ganar un par de puntos en el rendimiento de una bomba puede ser de vital importancia. Por ejemplo, en una turbomáquina de 100 Kw, trabajando un 50 % de las horas del día y admi-tiendo el Kwh a 0,06 €, el ahorro energético anual alcanzaría los 525 €.

% 72,68 = ; 0,7268 = Q + Q

Q = H Q + H Q

H Q = g

2

2

1

1

t

2

b2

1

b1

btg η

ηηηγ

ηγ

γη

Kw 62,69 = 0,726845,56 = P ; Kw 45,56 = 43,65 0,1064 9,81 = H Q = P abtu ⋅⋅γ

m/€ 0098,0 = 383,04

7614,3 = p 3

% 90,07 = ; /sm 0,049 = Q _ 0 = Q 760 - 37 = dQd

% 67,93 = ; /sm 0,054 = Q _ 0 = Q 460 - 25 = dQd

x m2,3

x 2,2

x m1,3

x 1,1

m

m

ηη

ηη

η

η


203

En ocasiones existen en las exigencias de consumo variaciones de caudal poco significativas, por lo que una bomba es suficiente. En otras, aparecen fluctuaciones en la altura de impulsión, como por ejemplo las varia-ciones estacionales en el nivel freático de un pozo. En estos casos se debe elegir el número de rodetes de la bomba multicelular a instalar para que el punto de trabajo más probable se sitúe lo más cerca posible del punto de rendimiento óptimo, considerando a su vez el valor más frecuente del nivel freático en el interior del pozo. En estas circunstancias, y debido a que la curva característica de la bomba con un número de rodetes determinado tiene gran pendiente, el caudal bombeado cambiará relativamente poco al variar el nivel freático. De todas maneras, y para que el rendimiento de la bomba no cambie excesivamente al variar el caudal bombeado, ésta deberá elegirse con una curva de rendimientos lo más plana posible. En todos los casos se deberá prever la necesidad de disponer de un número suficiente de bombas de reserva, iguales a las de base, que garanticen la continuidad del suministro cuando alguna de estas últimas bombas se encuentre en fase de reparación o mantenimiento. Ejemplo 5.6 Elección de la bomba más adecuada para una instalación. Una comunidad se abastece de un pozo y se pretende analizar el costo anual que en Kwh comportaría una serie de posibles bombas a instalar al objeto de escoger la solución más favorable. Conocemos las características hidráulicas de la instalación, Figura 5.30, las necesidades de consumo mensuales y la variación del nivel freático del pozo a lo largo del año. Son los que se detallan en la tabla 5.1.

Tabla 5.1 Consumos y nivel freático del pozo para el ejemplo 5.6

Mes Consumo (m3)

Nivel P pozo (m)

Enero 0,80⋅105 40

Febrero 0,75⋅105 42

Marzo 0,87⋅105 44

Abril 0,95⋅105 47

Mayo 1,05⋅105 50

Junio 1,15⋅105 54

Julio 1,27⋅105 58

Agosto 1,40⋅105 63

Septiembre 1,15⋅105 57

Octubre 0,99⋅105 50

Noviembre 0,93⋅105 43

Diciembre 0,91⋅105 41


203

Figura 5.30. Esquema de la instalación para el ejemplo 5.6. En principio deberíamos estudiar varias bombas con prestaciones adecuadas y establecer el cuadro comparativo. También podría analizarse qué pasa al añadir una etapa, etc. Otro aspecto a tener en cuenta es la capacidad del depósito, que de ser suficiente, podría permitir el bombeo durante solo 8 horas valle. Estas son cuestiones importantes en un problema real, pero debemos pensar que aquí tan sólo nos preocupa exponer una metodología.. La curva resistente de la instalación será:

Para seleccionar la bomba podemos adoptar como referencia el número de horas máximo que se desea funcione la instalación en el mes punta (agosto). No es conveniente que llegue al 100 % para no bombear en horas punta eléctricas. Supongamos un bombeo de 20 horas/día (horas llano y valle), si este número de horas fuese bajo, el bombeo estaría infrautilizado durante gran parte del año. Adoptemos, por ejemplo, un 80 % de las horas. Se tiene:

Con estos datos podemos ya efectuar una estimación de la solución que más nos conviene: una bomba capaz de elevar unos 240 m3/h a una altura de 84 m. y con rendimiento óptimo a un caudal ligeramente superior (unos 300 m3/h), dado que el resto de meses del año va a trabajar con un nivel del pozo menor, y por lo tanto impulsará caudales más elevados. Escogemos de un catálogo una bomba multicelular con prestaciones lo más próximas posible a los valores de referencia adoptados. El ajuste de una etapa proporciona las siguientes relaciones:

con Q en m3/s, Hb en m y η en tanto por uno. Por las

exigencias de altura deberemos adoptar una bomba con n etapas, cuyos puntos de funcionamiento mensuales vendrán dados por la solución de la ecuación:

siendo P variable según el mes considerado. La solución es:

Para el mes de agosto, con el caudal estimado anteriormente (0,063 m3/s) y un valor de P = 63 m, dado que la altura necesaria es de 82 m, sería necesaria una bomba con n=4, que proporcionaría una altura para ese caudal de 88.25 m.

Q 340,03 + P + 20 = Q D g L f 8 + H = (Q)H 22

52g(r)

π

m 84,45 = )(0,065 340,03 + 63 + 20 = H

/sm 0,065 /hm 235,22 = 595,20

10 1,40 :elevaraCaudal horas 595,20 = 31 24 0,80 :agostoHoras

2(r)agosto

335

⋅

≡⋅

⋅⋅

Q 115,05 - Q 19,35 = ; Q 1017,76 - Q 18,92 + 24,91 = H 22

b η

)Q 1017,76 - Q 18,92 + (24,91 n = Q 340,03 + P + 20 22

340,03) + n (1017,76 2

n) 24,91 - P + (20 340,03) + n (1017,76 4 - )n (18,92 + n 18,92 = Q

2


203

La solución para los distintos valores de P mensuales, con n igual a 4 en este caso, nos proporciona la columna (a) del cuadro final resumen de los cálculos, tabla 5.2. En el mentado cuadro resumen de resultados figura en la columna (b) la altura proporcionada por la bomba, la cual se calcula con la ecuación de la curva resistente de la instalación para los distintos valores de P y Q mensuales. En la columna (c) se indica el rendimiento de la bomba para cada mes, según la expresión correspondiente. La columna (d) es el número total de horas al mes que deberá funcionar la bomba, para elevar el volumen de agua consumido a lo largo del mismo, bombeando el caudal correspondiente a la columna (a). En las columnas siguientes (e) y (f) se determinan el número de horas valle y llano del total de horas del mes. Para ello se considera que la bomba funcionará siempre en horas valle, complementando con las horas llano necesarias. Para determinar la columna (g), potencia útil, no hay más que utilizar la expresión:

La columna (h), potencia absorbida, es el cociente de las (g) y (c), mientras que, la columna (i) que corresponde al consumo mensual resulta de multiplicar las columnas (d) y (h). En las columnas siguientes (j) y (k) aparecen los Kw.h consumidos tanto en horas valle como en horas punto. Finalmente, en la columna (l) se muestra el coste mensual del bombeo (€/mes), considerando un precio del Kw.h de 0,06 € para horas llano y de 0,0342 para horas valle (resultado de aplicar al precio de horas llano un descuento del 43 %).

Tabla 5.2. Resultados obtenidos en el ejemplo 5.6. Bomba con 4 rodetes (n=4)

Mes

(a) Q

(m3/s)

(b) Hb (m)

(c) η

(%)

(d) T

(h)

(e) Tvalle

(h)

(f) Tllano

(h)

(g) Pu

(Kw)

(h) Pa

(Kw)

(i) Energía (Kwh)

(j) Energía (Kwh)

(k) Energía (Kwh)

(l) Coste

(€/mes) Enero 0,104 63,66 76,9 214 214 0 64,80 84,26 18.045 18.045 0 617 Febrero 0,101 65,49 77,9 206 206 0 65,12 83,55 17.175 17.175 0 587 Marzo 0,099 67,32 78,8 244 244 0 65,30 82,82 20.243 20.243 0 692 Abril 0,095 70,07 80,0 278 240 38 65,32 81,66 22.678 19.599 3.079 855 Mayo 0,091 72,82 80,8 321 248 73 65,00 80,44 25.781 19.948 5.833 1.032 Junio 0,085 76,47 81,3 374 240 134 63,99 78,67 29.461 18.881 10.581 1.281 Julio 0,079 80,13 81,1 446 248 198 62,21 76,73 34.202 19.029 15.173 1.561 Agosto 0,071 84,69 79,3 551 248 303 58,65 74,00 40.764 18.351 22.412 1.972 Septiembre 0,081 79,22 81,2 396 240 156 62,74 77,23 30.560 18.536 12.024 1.355 Octubre 0,091 72,82 80,8 302 248 54 65,00 80,44 24.308 19.948 4.360 944 Noviembre 0,100 66,41 78,4 258 240 18 65,23 83,19 21.465 19.965 1.499 773 Diciembre 0,103 64,58 77,4 246 246 0 64,97 83,91 20.680 20.680 0 707

TOTAL 3.836 2.863 (75 %)

973 (25 %)

305.362 230.400 (75 %)

74.962 (25 %)

12.377

El número de Kwh consumidos al año es, pues, de 305.362, consumiéndose un 75 % en horas valle y un 25 % en horas llano. El coste energético total anual es de 12.377 €. Podría repetirse el cálculo para otra bomba, o incluso para n = 5 (este caso nos proporciona caudales superiores), ob-servando el aumento de prestaciones y comparando con el nuevo consumo energético. Los resultados para n=5 quedan recogidos en la tabla 5.3, en la que se aprecia que si bien el porcentaje de energía consumida en horas valle es mayor que en el caso anterior (87 % en este caso frente a un 75 % en el caso de n=4) el coste energético total es ligeramente superior, como consecuencia de la disminución del rendimiento de la bomba. En todos los casos el método a seguir es el mismo. Finalmente, y a partir del coste energético de cada solución, escogeríamos la bomba más conveniente. A destacar que en este estudio no se ha tenido en cuenta, entre otros, el tema de la elección de la tarifa eléctrica más adecuada ni la incidencia del término de potencia contratada.

(m) H /s)m( Q 9,81 = (Kw) P b3

u ⋅⋅


203

Tabla 5.3. Resultados obtenidos en el ejemplo 5.6. Bomba con 5 rodetes (n=5)

Mes

(a) Q

(m3/s)

(b) Hb (m)

(c) η

(%)

(d) T

(h)

(e) Tvalle

(h)

(f) Tllano

(h)

(g) Pu

(Kw)

(h) Pa

(Kw)

(i) Energía (Kwh)

(j) Energía (Kwh)

(k) Energía (Kwh)

(l) Coste

(€/mes) Enero 0,118 64,74 68,1 188 188 0 75,01 110,22 20.739 20.739 0 709Febrero 0,116 66,61 69,3 179 179 0 76,06 109,68 19.630 19.630 0 671Marzo 0,115 68,47 70,6 211 211 0 77,03 109,12 22.994 22.994 0 786Abril 0,112 71,27 72,4 236 236 0 78,33 108,23 25.492 25.492 0 872Mayo 0,109 74,06 74,0 267 248 19 79,44 107,30 28.625 26.610 2.014 1.031Junio 0,106 77,79 76,0 303 240 63 80,59 105,98 32.060 25.436 6.624 1.267Julio 0,102 81,52 77,8 347 248 99 81,35 104,58 36.268 25.935 10.333 1.507Agosto 0,097 86,18 79,6 402 248 154 81,69 102,69 41.326 25.466 15.860 1.823Septiembre 0,103 80,59 77,4 311 240 71 81,19 104,94 32.638 25.185 7.453 1.309Octubre 0,109 74,06 74,0 252 248 4 79,44 107,30 26.989 26.610 379 933Noviembre 0,116 67,54 70,0 224 224 0 76,56 109,40 24.459 24.459 0 837Diciembre 0,117 65,68 68,7 216 216 0 75,55 109,95 23.703 23.703 0 811

TOTAL 3.133 2.724 (87%)

409 (13%)

334.922 292.259 (87%)

42.663 (13%)

12.555

97462796 pump-ok1

Engineering

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