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7/27/2019 Mat Caderno Professor

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Teste de diagnstico

Sugesto de resoluo

de exerccios do manual

Sugesto de resoluo

de tarefas do manual

CADERNODEAPOIO

AOPROFESSOR

Y 11.oANO

Matemtica A

CARLOS ANDRADE CRISTINA VIEGAS PAULA PINTO PEREIRA PEDRO PIMENTA


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INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

APRESENTAO DO PROJETO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3

Manual. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

Testes 5 + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5

Formulrios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6

Caderno de exerccios e problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Caderno de apoio ao professor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Sitede apoio ao projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Aula digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 8

PLANIFICAO GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9

TESTE DE DIAGNSTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10

Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PROPOSTAS DE RESOLUO DE EXERCCIOS E TAREFAS DO MANUAL . . 16

Volume 1 Geometria no plano e no espao II

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

Volume 2 Introduo ao clculo diferencial I. Funes racionais

e funes com radicais. Taxa de variao e derivada

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

Volume 3 Sucesses Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

NDICE

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortogrfico.


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Colegas,

O projeto Y11resulta da nossa interpretao do Programa de Matemtica A do 11.o ano e da sua articulao

com as atuais necessidades educativas dos alunos, contemplando, sempre que possvel e desejvel, o recurso s

novas tecnologias.

Conscientes da responsabilidade que temos como agentes educativos, procurmos construir um projeto no

apenas consistente e rigoroso mas tambm apelativo, desejando que constitua um incentivo procura de mais

conhecimento. Preocupmo-nos em fornecer uma grande quantidade de recursos a alunos e professores, possibi-

litando assim a adequao do projeto a qualquer turma, em qualquer contexto letivo.

Bom trabalho,

Os autores

INTRODUO

2


4/65

O projeto Y11apresenta os seguintes materiais para o aluno:

Manual Testes 5 + 5 (oferta ao aluno) 3 formulrios (oferta ao aluno) Caderno de exerccios e problemas Manual multimdia (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt) www.y11.te.pt (sitede apoio ao projeto)

Para o professor apresenta ainda:

Caderno de apoio ao professor Aula digital (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)

Manual

Est dividido em trs volumes, que tm como suporte trs grandes temas:

Tema 1: Geometria no plano e no espao II

Tema 2: Introduo ao clculo diferencial I. Funces racionais e funes com radicais. Taxa de variaoe derivada

Tema 3: Sucesses

Cada volume inclui, alm da exposio dos contedos acompanhada de exerccios laterais, tarefas de introdu-

o no incio de cada subtema, exerccios resolvidos, notas histricas, tarefas de explorao e desenvolvimento,

uma tarefa de investigao, Testes AAA (Aplicar, Avaliar, Aprender), + Exerccios e Problemas globais.

Reala-se no volume 2 a explorao de conexes entre funes e a geometria e, no volume 3, a explorao de

conexes entre diversos contedos, contribuindo-se assim para uma viso globalizante da Matemtica.

Visando facilitar a articulao entre os diversos componentes do projeto, no manual encontram-se remisses

para os recursos disponveis no manual multimdia.

APRESENTAO DO PROJETO


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Testes 5 + 5

O livro de testes 5 + 5, que acompanha o manual, inclui cinco testes 5 + 5 e dois testes modelo dos testes

intermdios.

Este um instrumento de trabalho particularmente til em momentos de preparao para testes de avalia-

o e para os testes intermdios.

22

GrupoI

Oscinco itens deste gruposodeseleo. Emcadaumdeles, so indicadasquatro

opes, dasquaiss uma estcorreta. Escreveapenas onmerodecadaiteme a letra correspondenteopoqueselecionares

para respondera esse item. No apresentesclculos, nemjustificaes. Seapresentares maisdoqueumaopo, arespostaserclassificadacomzeropontos,

o mesmoacontecendose aletra transcritaforilegvel.

1. Considera,numreferencialo.n.Oxyz,areta r definidapor:(x,y,z)=(0,0,1)+(1,2,3), IRQualdascondiesseguintesdefineumplanoparaleloreta r? (A)z=1

(B)x+y=0 (C)x+yz=0

(D)x+2y+3z=0

2. No referencialo.n.da figura ao ladoestrepresentadoumquadrado [OABC] de

lado1.Osvrtices A e C pertencemaoseixoscoordenados.Consideraqueoponto P sedeslocasobreolado [AB]. Seja f afunoqueabcissa x doponto P fazcorresponderoprodutoescalarOPOC.

Emqualdosreferenciaisseguintesestrepresentadaafuno f? (A)

(B)

(C)

(D)

PB

C

A

1 x

y

O

TESTEINTERMDIO2

1 x

y

O

1

1 x

y

O

2

1 x

y

O

1

1 x

y

O

2

:

14

TESTE3

GrupoI

Estegrupo constitudo por itens deseleo. Para cadaitem, se

lecionaa opo correta.

1. Nafiguraseguinte est representado ocrculotrigonomtrico. O p

onto A temcoorde-

nadas (1, 0) .

O ponto P pertence circunferncia e est no2.

o quadrante. Oponto Q pertence cir-

cunferncia e est no3.o quadrante. A reta PQ paralela a

oeixo Oy.

Opermetro do tringulo [POQ] 3,6.

Qual o valor, em radianos, arredondado sdcimas,daamplit

ude do ngulo AOP

assinalado na figura?

(A) 0,6 (B) 0,9(C) 2,2 (D) 2,5

2. Considera a pirmide quadrangular regular repre-

sentada nafigura ao lado.

Em relao a umreferencial Oxyz , sejam E1 e E2

equaes cartesianas dos planos ADF e BCF eseja

E3 uma equao cartesiana do plano mediador de

[AB] .

Considerao sistema constitudopelas trs equaesE1, E2 e E3 .

Qualdas afirmaes verdadeira?

(A) O sistematem exatamenteuma soluo.

(B) O sistema tem exatamentetrssolues.

(C) O sistema possvel eindeterminado.

(D) Osistema impossvel.

x

y

O

P

Q

A

A B

F

CD


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Caderno de exerccios e problemas

O Caderno de exerccios e problemas inclui snteses, itens resolvidos, itens de seleo e itens de construo.

Contm diversos itens de exame e testes intermdios.

Muitos exerccios tm um carcter globalizante, tornando este caderno particularmente til em momentos

de preparao para testes de avaliao e para os testes intermdios.

Itensdeconstruo1. Nafiguraestorepresentadas, emreferencialo.n. xOy, umareta AB

e umacircunfernciacom centronaorigemeraioiguala 5.Ospontos A e B pertencem circunferncia.O ponto A tambm pertence aoeixo das abcissas.Admitindoque odeclivedaretaAB iguala

2

1, resolveastrsalneasseguintes.

a) Mostraqueuma equaodareta AB x 2y+5 =0.b) Mostraqueoponto B temcoordenadas (3,4).c) Seja C o pontodecoordenadas ( 3,16).

Verificaqueo tringulo [ABC] retnguloem B.

inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano,janeirode2008.

2. Na figura estrepresentada, numreferencial o.n. xOy, acircunferncia deequao(x4)2 +(y1)2 =25.

O ponto C o centrodacircunferncia.a) Oponto A de coordenadas (0, 2) pertence circunferncia.A reta t tangente circunferncianoponto A .Determinaa equaoreduzida dareta t.b) P e Q so doispontosda circunferncia.

Area da regio colorida 2

6

5.

Determinao valordo produto escalar

CP

CQ.

inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano, janeirode2010.

3. Na figura estrepresentadoumretngulo [ABCD] .

Mostraqueo produtoescalar

AB

AC iguala

AB2 .

inTesteIntermdiodeMatemtica, 11.o ano, maiode2006.

C

B

D

A

Geometrianoplano enoespao IIGeometriaanaltica

46

Ox

y

B

A

5

O

tQ

C

A

P

x

y

Geometrianoplanoenoespa

oIITrigonometria

4

Sntese

TRIGONOMETRIA

Razestrigonomtricas de

umngulo agudo

Numtringuloretngulo,defin

em-se as seguintesrazestrigo

nomtricasdeumnguloagud

odeamplitude :

sen==

cos==

tg==

comprimentodocatetooposto

comprimentodahipotenusa

bc

comprimentodocatetoadjace

nte

comprimentodahipotenusa

ac

comprimentodocatetooposto

comprimentodocatetoadjace

nte

ba

Relaesentrerazestrigo

nomtricas de umngulo

tg=

sencos

Razestrigonomtricas de

nguloscomplementares

Razestrigonomtricasde

ngulos notveis

sen(90o )=cos

cos(90o )=sen

tg(90o )=

1tg

sen2

+cos2 =1(Frm

ulafundamentaldatrigonom

etria)

tg2 +1=

1cos2

a

bc

30o45o

60o

Seno

2

1

2

2

3

2

Cosseno

2

1

3

2

2

2

Tangente

1 3

33


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Caderno de apoio ao professor

Nesta publicao inclumos uma proposta de planificao global, um teste de diagnstico com as respetivas

solues e resolues das tarefas e de alguns exerccios do manual. Estas resolues esto tambm disponveis

em , para poderem ser projetadas na sala de aula.

Sitede apoio ao projeto (www.y11.te.pt)

Permite o acesso aos linksde apoio ao aluno e ao manual multimdia on-line.

Aula digital

Todos os recursos do projeto so disponibilizados em .

A aula digital possibilita a fcil explorao do projeto Y11atravs da utilizao das novas tecnologias em sala

de aula, permitindo-lhe tirar o melhor partido do seu projeto escolar e simplificando o seu trabalho dirio.

Atravs da aula digital poder no s projetar e explorar as pginas do manual na sala de aula, como tambm

aceder a um vasto conjunto de contedos multimdia integrados no manual, tornando assim a aula mais dinmica:

Apresentaes em PowerPoint com as resolues de todas as tarefas e de alguns exerccios do manual.

Flipcharts com exemplos e snteses da matria dada.

Animaes que, integrando imagem e udio, so lies sobre um determinado assunto. Englobam umacomponente interativa que permite avaliar o aluno quanto a esse assunto.

Aplicaes realizadas em Geogebra com exemplos dinmicos relativos aos trs temas estudados.

Testes interativos extenso banco de testes interativos, personalizveis e organizados pelos diversostemas do manual.

Para poder comunicar mais facilmente com os seus alunos, a aula digital permite a troca de mensagens e a

partilha de recursos.

8


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Sendo o Programa de Matemtica A do 11.o ano extenso, uma boa planificao das aulas essencial.

Apresentamos aqui uma proposta de distribuio dos tempos letivos para cada tema, que poder constituir

uma base para uma planificao mais detalhada.

PLANIFICAO GLOBAL

Temas Tempos letivos (90 minutos)

Tema 1 Geometria no plano e no espao II 30

Trigonometria Geometria analtica Programao linear

15

12

3

Tema 2 Introduo ao clculo diferencial I.Funces racionais e funes com radicais.

Taxa de variao e derivada

30

Funes racionais e funes com radicais Taxa de variao e derivada

20

10

Tema 3 Sucesses 24

Sucesses Limites de sucesses

12

12

Temas transversais

Comunicao matemtica Aplicaes e modelao matemtica Histria da Matemtica Lgica e raciocnio matemtico Resoluo de problemas Atividades de investigao

Tecnologia e matemtica


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TESTE DE DIAGNSTICO

NOME: ___________________________________________________________________________________________________TURMA: ______________N.O: ________

Grupo I

Este grupo constitudo por itens de seleo. Para cada item, seleciona a opo correta.

1. Num referencial o.n. xOy , uma equao da reta que passa pelo ponto (1, 5) e perpendicular reta deequao y = 3 , :

(A) x = 1 (B) x= 5

(C) y= 1 (D) y= 5

2. Considera o paraleleppedo [ABCDEFGH] num referencial o.n. Oxyz.Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) O plano ABC pode ser definido por z= 0 .

(B) O plano EFB pode ser definido por y= 6 .

(C) O plano BCG pode ser definido por x= 6 .

(D) O plano ADH pode ser definido por y= 3 .

3. Considera a funo f: [3, 3] IR cujo grfico se apresenta.Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) f injetiva e mpar.

(B) f no injetiva nem mpar.

(C) f mpar, mas no injetiva.

(D) f injetiva, mas no mpar.

4. Considera duas funes reais de varivel real, f e g, tais que g(x) = f(x 3) + 1 . Sabendo que o ponto decoordenadas (1, 5) pertence ao grfico de f , podemos afirmar que:

(A) g(4) = 5 (B) g(4) = 8

(C) g(4) = 2 (D) g(4) = 6

10

z

6

63

9

y

x

A

D

E

H

B

C

F

0 G

x

y

2

2

2 3

23

0


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Grupo II

Este grupo constitudo por itens de construo. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocnio de

forma clara, indicando todos os clculos que efetuares e todas as justificaes necessrias.

1. No referencial Oxyz da figura est representado um prisma quadrangular regular

[ABCOEFGH] . O ponto A tem coordenadas (0, 0, 8) e a rea da base do prisma 16 cm2 .

a. Caracteriza por uma condio o plano paralelo a xOyque,

ao intersetar o prisma, o decompe em dois cubos.

b. Escreve uma equao do plano que contm a face [ABFE] .

c. Define por uma condio a reta EF.

d. Calcula CE.

e. Escreve uma condio que defina a esfera de dimetro [AB] .

2. No referencial ortonormado da figura esto representados

dois prismas retos que constituem um slido. A face [GEH]

do prisma triangular um tringulo issceles, H( 3, 4, 0)

e C(a, b, c) .

a. Determina as coordenadas de C, sabendo que a b= c

2 .

b. Calcula o volume do slido representado na figura.

c. Calcula as coordenadas do vetor v

= 2EA

AB

.d. Escreve uma equao vetorial da reta GH.

3. Para cada a IR , a expresso g(x) =ax

2

3 define uma funo afim, g.

a. Se a = 4 , determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseo do grfico da funo com

os eixos coordenados.

b. Determina a de modo que o grfico da funo passe no ponto de coordenadas (1, 3) .

c. Indica o valor de a de modo que g no tenha zeros.

d. Determina a de modo a que a funo g seja decrescente.

y

x

C

B

G

F

H

E

A

O

z

z

y

x

F

G

E

D

H

C

A

B

O

I


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4. Na figura est representada graficamente a funo f.

Sabe-se que esta funo tem domnio [4, +[ e que crescente no intervalo [2, +[ .

a. Diz, justificando, se o nmero 2 elemento do contradomnio da funo f .

b. Constri a tabela de monotonia e extremos da funo f.

c. Sabendo que os nmeros 3, 0 e 3 so os trs zeros de f, constri a tabela de zeros e de sinal da funo f.

d. Diz se a funo f , ou no, injetiva. Justifica a resposta.

e. A funo f par? Justifica a resposta.

5. De uma funo quadrtica f, sabe-se que:

a reta de equao x= 3 eixo de simetria do grfico de f ; Df = ], 5] ;

2 zero de f .

Identifica, das expresses seguintes, a nica que pode definir a funo f .

(A) 5

1 (x+ 3)2 + 5

(B) 5

1 (x+ 3)2 5

(C) 5

1 (x 3)2 + 5

(D) 5

2 (x+ 3)2 + 5

Numa pequena composio, indica, para cada uma das outras trs expresses, uma razo pela qual a rejeitas.

12

x

y

5

1

22

4 0

f


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Resoluo do teste de diagnstico

Grupo I

1. (A)

2. (D)

3. (C) f no injetiva, pois h objetos diferentes com imagens iguais. Por exemplo, f(2) = f(3) .

A observao do grfico permite concluir que a funo mpar, pois o grfico simtrico em relao ori-

gem do referencial.

4. (D) Como o ponto de coordenadas (1, 5) pertence ao grfico de f , tem-se que f(1) = 5 e, portanto,

g(4) = f(4 3) + 1 = f(1) + 1 = 5 + 1 = 6 .

0

x= 1

y= 3

1

1

2

3

4

2

3

4

5

1 1 2 3 4234 x

y

z

6

63

9

y

x

A

D

E

H

B

C

F

O G

x

y

2

2

2 3

23

0


15/65

Grupo II

1. a. Abase = 16 cm2 e, portanto, arestabase = 4 cm .

A aresta da base 4 e a altura do prisma 8. Se dividirmos o prisma ao meio por um plano paralelo a xOy,

obtemos dois cubos de aresta 4. Uma condio que caracteriza o plano paralelo a xOy que passa no pontomdio de [OA] z = 4 .

b. z = 8

c. A reta EF resulta da interseo dos planos ABE e FEG, com equaes z= 8 e x= 4 , respetivamente.

Uma condio que define a reta x = 4 z = 8 .

d. C(0, 4, 0); E(4, 0, 8)

CE= (0 + 4)2+(4 0)2+ (0 8)2= 4 6

e. A esfera tem centro no ponto mdio de [AB] , que tem coordenadas (0, 2, 8) e tem raio 2, que metade

de AB. Uma condio que define a esfera :

x2 + (y+ 2)2 + (z 8)2 4

2. a. Sendo H(3, 4, 0) , temos que C(3, 4, c) .

Como a b= 3 4 = 1 , tem-se c= 2 . O ponto C tem coordenadas (3, 4, 2) .

b. Volume do prisma [OAHEIBCD] :

V= 3 4 2 = 24

Volume do prisma [EHAOGF] :

EH= 4 e EG= 4

V=4

24 3 = 24

O volume do slido 48.

c. EA

= (0, 4, 0) (3, 0, 0) = (3, 4, 0)

AB

= (0, 4, 2) (0, 4, 0) = (0, 0, 2)

v

= 2EA

AB

= (6, 8, 0) (0, 0, 2) = (6, 8, 2)

d. GH

= (3, 4, 0) (3, 0, 4) = (0, 4, 4)

Uma equao vetorial da reta GHpoder ser (x,y, z) = ( 3, 0, 4) + k(0, 4, 4) , k IR

14

y

x

C

B

H

F

G

E

A

O

z


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3. a. g(x) =4x

2

3

As coordenadas do ponto de interseo do grfico de g com o eixo das abcissas so 43, 0 , pois:

4x

2

3 = 0 x=

4

3

As coordenadas do ponto de interseo do grfico de g com o eixo das ordenadas so 0, 23 , pois:

y=4

2

0 3 y=

2

3

b. 3 = g(1) 3 =a

2

1 3 a= 9

c. Se a = 0 , g(x) = 2

3 , e o grfico de g uma reta paralela ao eixo das abcissas.

d. Para que a funo g seja decrescente o declive da reta que o seu grfico tem de ser negativo, ou seja,

g decrescente se a IR .

4. a. No, porque o contradomnio de f [1, +[ e 2 no pertence a este intervalo.

b.

c.

d. A funo f no injetiva, pois, por exemplo, 2 2 , mas f(2) = f(2) .

e. A funo f no par, pois o seu domnio no contm os simtricos de alguns dos seus elementos. Por

exemplo, 5 pertence a Df e 5 no pertence a Df , pelo que no se pode afirmar que f(5) = f(5) .

5. A funo f da famlia das funes quadrticas definida por y = a(x+ h)2 + k, com a o e h, k IR .

O vrtice da parbola tem coordenadas (h, k) e o eixo de simetria a reta de equao x= h. Como o eixode simetria tem equao x= 3 , temos h= 3 . Assim, rejeitamos a opo (C).

Como o contradomnio da funo f ], 5] , temos que k =5 , em que 5 o mximo absoluto da funoatingido em x= 3 . Assim, rejeitamos a opo (B).

Como f(2) = 0 , temos que 0 = a(2 + 3)2 + 5 a= 51 . Assim, rejeitamos a opo (D). A opo correta a

opo (A).

x 4 2 0 2 +

f(x) 5 1 0 1

Mximo

relativo

Mnimo

absoluto

Mximo

relativo

Mnimo

absoluto

x 4 3 0 3 +

f(x) 5 + 0 0 0 +


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RESOLUO DE EXERCCIOS DO MANUAL

VOLUME 1

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAO II

PG. 12

5. Sendo xo comprimento do tabuleiro esquerda do alicerce prin-cipal e y o comprimento do tabuleiro direita desse alicerce,

o comprimento da ponte dado por x+y, com 10

x

0 = tg 21o

x 260,509 e 10

y

0= tg 16o y 348,741 . Logo, a ponte mede,

aproximadamente, 609 m.

6.

5

x = cos 40o x 3,830

5

h = sen 40o h 3,214

y

h = tg 25o h 3,214 y 6,892

AB

= x+y 10,72 dm e BC

h = sen 25o BC

7,60 dm

PG. 13

7.

a. AC

15 = cos 30o AC

17,3 cm

b. 15

BC

= tg 30o BC

= 15 tg 30o

BD2 = AB

2 AD2 BD

2 = 152 (15 tg 30o )2

BD

= 150 (cm)

Vprisma = (15 tg 30o)2 150 918,6 (cm3)

PG. 16

10. 4 cos x + 3 sen x= 5

cos x =5 3 sen x

4

sen2 x+ cos2 x= 1 sen2 x+ x= 1

cos x =

5 3 sen x4

16 sen2 x + 25 30 sen x+ 9 sen2 x= 16

cos x =

5 3 sen x

4

25 sen2 x 30 sen x+ 9= 0

cos x =5 3 sen x

4

cos x = 5

4

(5 sen x 3)2 = 0 sen x= 5

3

Logo, cos x sen x = 5

4

5

3 =

5

1.

11.

a.sen2

1 + cos =

1 cos2

1 + cos = = 1 cos

b. (cos sen)2 2 = cos2 + sen2 2 sen cos 2 =

= 1 2 sen cos = (1 + 2 sen cos) = (sen + cos)2

12. = =

= = = = cos

PG. 17

14. Sendo ha altura do trapzio, temos: 5

h = sen 45o h=

5

2

2,

Atrapzio =12 + 3

2

5

2

2=

75

4

2

PG. 27

3.

Sejam l a largura do rio e h a altura do penhasco. Tem-se:

h

l = tg 62o l= htg 62o

h tg 62

26 tg 52

h+26

l = tg 52o h+ 26

= tg 52o h=tg 62o tg 52o

l 104 m

h 55 m

7.

a. (cos x sen x) tg x

sen x= (cos x sen x)

sen

sen x

x cos x =

= (cos x sen x) 1

cos x= 1 tg x

b. tg xcos x+1 sen2 x

sen x =sen x

cos x cos x+cos2 x

sen x = sen x+ cos x

8. 2 (cos x sen x)2 2 cos xsenx=

= 2 (cos2 x+ sen2 x 2 sen xcosx) 2 cos xsen x=

= 2 1 + 2 sen xcos x 2 cos xsen x= 1

(1 + cos ) (1 cos )

1 + cos

1

s

c

e

o

n

s

sen + cos

1

tg sen + cos

1

co

1

s

1

sen2

co

+

s

c

os2

1

s

c

e

o

n

s

2

+ cos

(5 3 sen x)2

16

2540

5 dm

h

x yA B

C

38

28

A D

C

B

l

26 m

h

52

62


18/65

9.

a. 3

h = tg 45o h= 3 1 = 3 ; h= 3 cm

b. BC2 = 32 + 32 BC

= 18= 3 2 ; BC

= 3 2cm

c. Ptrapzio = 8 + 3 + 11 + 3 2= 22 + 3 2(cm)

10.

a. Como o hexgono regular, o triangulo [ODE] equiltero.

Portanto, a amplitude do ngulo ODE 60o.

b. Seja h a altura do tringulo [DOE] . Ento, 4

h = tg 60o

h= 4 3; h= 4 3cm

c. Ahexgono = 68 4

2

3= 96 3; Ahexgono = 96 3cm2

PG. 28

1.

A distncia a que os dois amigos se encontravam dada por

x+y, onde x e y so tais que:

x

368 = tg 45o x=

tg 45o368 x= 368

y

368 = tg 65o y=

tg 65o368 y 171,601

Logo, x+y 540 m.

2.

Onde c o comprimento do poste.

a. = sen = sen1 19,5o

b. 43c

2

= 41c

2

+ 32 c2 = 18 c = 18= 3 2; 3 2m

3.

a. = cos = cos 1 22 = 45o

b. Como EA^D= EC^A = 45o. Conclui-se queAE^C= 90.o

c. Sendo = tg 45o h=

2

2a, tem-se

Vpirmide = 3

1 a2

2

2a=

6

2a3

PG. 29

4.

34c

14c

1

3

4

1 c

4

3 c

2

2a

a

h

2

2a

B A

D E8

FC O

4

h

2a

a

a

a

A B

D C

A

3 87 46

C

O

D

r

r

x y

45 6560

368

A B8

CDE 3

45


19/65

18


r+ 3

r = sen (87o 46) r=

1

3

s

s

e

e

n

n

(8

(8

7

7

o

o

4

4

6

6

)

)

r 3946,521 milhas

r 6350 km

5.

[ABCD] um trapzio issceles. A base maior mede 12 cm,

o lado AD mede 6 cm e o ngulo tem 55o de amplitude.

5.1 a.6

DE = sen 55o DE = 6 sen 55o DE 4,9 (cm)

b.6

AE

= cos 55o AE

= 6 cos 55o AE

3,4 (cm)

5.2 DB2 = DE2 + EB2DB2= (6 sen 55o)2 + (12 6 cos 55o)2

DB

9,9 (cm)

5.3 DF

CD

= tg 6 sen 55o 2

12 12 cos 55o = tg

= tg1 6 sen 55o12 12 cos 55o 60o

5.4 AF2

= 2

2

+ (6 cos 55

o

)

2 AF

3,98 (cm) ,

FC = AC AF FD 5,92 (cm)

P[EFDB] 2 + 5,92 + 6 + 12 3,44 22,5 (cm)

PG. 30

6.

x+y= 9 y= 9 x

h

x = tg 40o h= xtg 40o

h

y = tg 70o h= (9 x) tg 70o xtg 40o = (9 x) tg 70o

y 2,106

h 5,785

x=

tg 40o

+ tg 70o

9 tg 70o

x 6,894

a2 = h2 + x2 a 8,9996 (m) , b2 = h2 +y2 b 6,156 (m)

O comprimento total dos cabos dado por a+ b 15,16 (m) .

7.

a. A rea da zona colorida a amarelo pode obter-se da seguinte forma:comeamos por determinar metade da rea do crculo 2 ( ilustrado

na Fig. 1). De seguida, determinamos a rea do setor circular de cen-

tro em A , raio AC e amplitude 2 (ilustrado na Fig. 2). Por fim,

necessrio subtrair a rea do tringulo [ACE] , para que no seja

contabilizada duas vezes (Fig. 3).

A

D

E

F

C

B55

6

12

Fig. 1

40 70

9 m

a b

x y

h

A

c2

c1

B

C

D

A

c2

c1

B

C

E

D

A

c2

c1

B

C

E

D

Fig. 2


20/65

2

Ac2 =

2

CD

2

Como AC

CD

= sen e AC

= 10, tem-se CD

= 10 sen . Ento,

2

Ac2=

2

(10 sen)2

= 50 sen2 .

A setor circular =360

10 2=

9

5

A [ACE] =2

CE

AD

Como CE

= 2CD

= 20 sen e AC

AD

= cos AD

= 10 cos ,

tem-se A[ACE] =2

20 sen 10 cos= 100 sen cos .

Logo, a rea pretendida 50 sen2 + 9

5 100 sen cos .

b. O valor exato dessa rea para = 60o :

50 sen2 60o + 9

5 60 100 sen 60o cos 60o =

4

6

25 25 3 cm2

PG. 47

28. Como 1 sen 1 , tem que se ter 1 k2

2

3 1 .

1 k2

2

3 1

k2

2

3 1

k2

2

3 1 k2 1k2 5

(k 1k 1) (k 5 k 5 )

k [ 5 , 1] [1, 5 ]

PG. 53

32. A partir do cosseno de , pode obter-se o seno de :

sen2 + cos2 = 1 sen = +1 412

sen = + 415

Como ]2

,[ , sen =

4

15 .

De tg =sen

cos conclui-se que tg = = 15

Assim, tg sen = 15

4

15 =

5

4

15 .

33. A partir do valor da tangente possvel determinar o valor do

cosseno, como se segue:

tg2 + 1 =cos

12

31

2

+ 1 =cos

12

cos2 =1

9

0

cos = +3

10

10

Como 32

, 2 , cos =3 1010 .

Agora, a partir do cosseno, pode obter-se o seno de :

sen2 + cos2 = 1 sen = +1 3 10102 sen = +

1010

Como 32

, 2 , sen = 1010 .

Assim, sen cos =

10

10

3

10

10 =

1

3

0 .

PG. 56

35.

a. cos ( +) cos ( ) = cos (cos) = 0

b. sen ( ) sen ( +) = sen (sen) = 2 sen

c. tg ( ) cos ( +) = tg (cos) = s

c

e

o

n

s

(cos) = sen

PG. 58

36. Tem-se cos() = 5

2 cos =

5

2

Simplificando a expresso dada, obtm-se:

sen () 2tg ( ) cos ( +) = sen 2 (tg ) ( cos) =

= sen + 2 tg + cos

A partir do cosseno, pode obter-se o seno de :

sen2 + cos2 = 1 sen = +1 522

sen = + 521

Como ], 0[ , sen =

5

21 .

Agora, a partir do seno e do cosseno, obtm-se a tangente de :

tg =

2

21

4

15

4

1

Fig. 3

A

c2

c1

B

C

E

D


21/65

20


Assim, o valor exato da expresso dada :

5

21 + 2

2

21 + 5

2 =6 25

1 2

PG. 59

38. Tem-se cos 2 x = 1

5

3 sen x=

1

5

3 .

Simplificando a expresso dada, obtm-se:

sen (x) tg 2 x sen (x) = sen xtg

1

x + sen x = cos x+ sen x

A partir do seno, pode-se obter o cosseno de x :

sen2 x+ cos2 x = 1 cos x = +1 1532

cos x= + 11

3

2

Como x 23,

3

2

, o cos x negativo.

Logo, cos x= 1

1

3

2 .

Assim, o valor exato da expresso dada 11

3

2 1

5

3 =

1

7

3 .

39. tg 2 x tg x cos 2

x sen ( x) = tg

1

x tg x sen x sen x=

= 1 sen2 x = cos2 x

PG. 61

41.

a. A = A[ABCD] A[ADP] = 42

A

D

D

P = tg x DP

=t

4

g x

A rea da regio colorida , portanto, dada por:

16 = 16 tg

8

x

b. cos x+ 2 = 1132 sen x= 1132

sen2 x+ cos2 x= 1 cos x= +1 11322

cos x= + 15

3

Como x , , cos x = 15

3 .

tg x = 1

5

2

Logo, A = 16 =3

3

8 .

PG. 78

2.

a. A = = (cm2)

b. B3 cos 56, 3 sen 56 , ou seja, B , 23 .

c. A [OBB] = = (cm2)

PG. 79

3.

3.1 Determinemos as coordenadas do ponto C:

x2 +y2 = 1

x=

6

6

y= 5x y =

6

30

sen=

6

30 , cos= e tg= = 5

3.2

a. sen ( ) =

6

30 ,cos( ) = , tg( ) = 5

c. sen () =

6

30 , cos () = , tg () = 5

4.

a. O ponto Q pertence circunferncia trigonomtrica, pois:

3

3

2

+ 3

6

2

= 1

b. O ponto P est no 4.o quadrante e pertence reta que passa pela

origem e pelo ponto Q. Logo, P

3

3

,

3

6

.c. = +

tg = tg + =

cos (+) =

3

3 cos=

3

3 , sen (+) =

3

6

DP AD

2

tg

4

x 4

2

2

4

8

1

5

2

154

5

6

32

2

3 3

2

6

2

3

2

3

2

30

6

6

6

2

9 3

4

6

6

6

6

1

tg

2

b. sen ( +) =

6

30

, cos ( +) = , tg ( +) = 5

6

6

d. sen = , cos = 630 , tg =2

6

6

2

2

5

5

sen = sen + = cos , cos = cos + = sen ,2

2


22/65

sen =

3

3 , cos =

3

6 , tg =

2

2

PG. 80

5. cos ( ) + cos + + tg () = cos sen tg =

6.

a. A (cos, sen) , C(cos, sen)

b. A[ABC] =AC

2h = = sen (1 + cos )

c. Se o tringulo [ABC] for equiltero, os seus ngulos internos tm

3 radde amplitude. Assim, o ngulo OBA tem de amplitude

6 .

Como o ngulo ao centro correspondente ao ngulo inscrito

OBA , a sua amplitude o dobro da amplitude de OBA . Logo, =

3

l= AC = 2 sen

3 = 3

d. Recorrendo frmula da alnea b, tem-se:

A3 = sen

3 1 + cos 3 =

PG. 87

47.

a. = cos AC = 20 cos ,

f() = 10 + 10 + 20 cos = 20 + 20 cos

b. Df = 0, , Df= ]20, 40[

PG. 89

50. Tem-se g(x) = cos x = sen x= cos + x = g(x) .Logo, a funo g mpar.

PG. 93

52.

a. Seja h a altura do trapzio. Tem-se h

2 = tgx h= 2 tg x.

Logo, A(x) =8 +

24 2 tgx= 12 tg x.

b. DA = 0, , DA= ]0, +[

c. A = 12 tg = 12 3

PG. 116

1.

a. A expresso sen(100t) toma todos os valores do intervalo[1, 1] se t toma todos os valores do intervalo [0, +[ . Logo, a fun-o V(t) toma todos os valores do intervalo [330, 330] e, por-tanto, o valor mximo da tenso eltrica 330 V.

b. V(t) = 0 330 sen (100t) = 0 sen (100t) = 0

100t= 0 + k , kINo t= 0,01k, k INo

O valor da tenso eltrica nulo 100 vezes por segundo.

c.V(t) =Vef

330 sen (100t) =

sen (100t) =

t= 0,0025 + 0,02 k t= 0,0075 + 0,02, k INo

Para k= 0 , t= 0,0025 segundos.

2.

a. T(2) = 8 + 3 cos (2 +127) = 8 5,9 oC

s 2 horas desse dia a temperatura foi, aproximadamente, 5,9graus Celsius.

b. Se t toma todos os valores do intervalo [0, 24[ , toma

e, portanto, a expresso cos toma todos os valores dointervalo [1, 1] . Logo, a funo T(t) toma todos os valores do in-tervalo [5, 11] . A temperatura mnima foi 5 oC e a temperaturamxima foi 11 oC.

T(t) = 8 + 3 cos = 5 cos = 1

A temperatura mnima ocorreu s 5 horas.

2

2

2 sen (1 + cos )

2

3 3

4

AC

120

2

2

2

3

3

2

2

330

2

3 2

2

(t+ 7)

12

(t+ 7)

12

(t+ 7)

12(t+ 7)

12

4

8AD

C B

x

h

10

AC

B

sen= , tg=sencos = 2

6

3

= 0,6 + 0,8 43 =2315

c. f = 20 + 20 cos = 20 + 10 24

4

100t = + k2 100t = + k2, k INo

43

4

todos os valores do intervalo , que tem amplitude 27

1231

12

= + 2k , k ZZ t= 5 + 24k, k ZZ(t+ 7)

12


23/65

22


T(t) = 11 8 + 3 cos = 11 cos = 1

= 0 + 2k , k ZZ t= 7 + 24k, k ZZ

A temperatura mxima ocorreu s 17 horas.

c. O Antnio pde ir brincar para a rua durante 6 horas e 25 minutos.

3.

a. Tem-se = cos AB= 2 cos . Logo, f() = 2 cos .

b. Tem-se A[ABC] = e = sen .

Logo, g() = = sen cos .

c. D= 0, d. A funo g no injetiva, pois, por exemplo,

g = g e .

f. No existe nenhum valor de para o qual a rea do tringulo [ABC]seja uma unidade quadrada, pois o mximo das funes seno e cos-

seno 1, mas no ocorre nas duas funes para o mesmo valor de .

PG. 117

4.

a. A[ABC] =

= cos AC = 6 cos

= sen BC = 6 sen

Logo, A() = = 18 cos sen .

b. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

A rea mxima do tringulo [ABC] 9 dm2, para = . Nesse

caso, o tringulo issceles.

c. A = 18 cos sen = 18 sen cos =A ()

d. 1 + tg2 = 1 + 32 = cos =

sen =1 2 sen =

A() = 18 A () = 5,4

A rea do triangulo 5,4 dm2 .

AB2

h

1

AB h

2

2 cos sen

2

2

6

3

6

3

(t+ 7)

12

(t+ 7)

12

(t+ 7)

12

ACBC

2

AC

6

BC

6

6 cos 6 sen

2

4

2

2

2

10

10

1

cos2

1

cos2

90

10

10

10

10

10

90

10

A B

C

h

11

0

(0,79; 9)

4

2

6

8

2

x

y

4 0,79

0

(13,79; 10) (20,21; 10)

2

6

10

2 6 10 14 18 22 t

T

A B

C

6

e. 0, f() = 2 2 cos = 2 0, 2

2

cos = cos = 0, = 4 22

2

2

2


24/65

2

5.

a. Tem-se: = cos AB = 4 cos

= sen BC = 4 sen

Logo A() = 22 4 cos 4 sen = 4 16 sen cos .

b. A = 4 16 sen cos = 4

4 3

c. 1 + tg2 = 1 + 2

= cos =

sen =1 2

sen = 55

A() = 4 16

5

5 A() = 4

3

5

2

d. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

]0,2; 1,4[

PG. 118

6.

EC2 = 12 + 22 EC = 5

Como EC = EH, tem-se EH = 5

= sen HI = 5 sen

DI = EI 1 = 5 cos 1

A() = ( 5 cos 1)

b. D= ]0, tg1 (2)[

c. A = 5 cos 4 1 = 4

3

d. No referencial seguinte apresenta-se o grfico da funo A .

A rea mxima do trapzio [HIDG] aproximadamente 0,83

para 0,63 .

7.

a. A[ABCD] = h, sendo h a altura do trapzio.

= cos BC= 6 cos , AD = 3 +3

2 =

9

2

AB

4

BC

4

6

6

6

2 5

5

1

cos2

1

2

1

cos2

2 5

5

2 5

5

HI

5

5 sen + tg

2

5 sen 4 + tg 4

2

4

BC + AD

2

BC

2

3

B

A3

D

C

O

y

x

32

-

0

(0,2; 10) (1,4; 10)

4

2

6

8

10

12

14

2

x

y

O

D C

A B

4

A F

H

E D

C

I

B

G

2

1

0

(0,63; 0,83)

0,5

1

x

y

= tg DG = tgDG

1

= cos EI = 5 cosEI

5

a. A [HIDG] = DIHI + DG

2


25/65

24


A() = 3 sen = 9 sen cos +2

4

7 sen

b. A = 9 sen cos +247 sen = + 28

7

c. 1 + tg2 = 1 + 41

2

= cos =

sen =1 2 sen =

A() = 9 + = +

d. Quando o trapzio [ABCD] retngulo cos = = 2

1 e = .

O valor exato da rea do trapzio :

A = 9 sen cos +247 sen =

PG. 119

8.

a. A = AE ET, = cos ET=

A() = 10 =

b. D= 0,

d. A() = 125 = 125 = cos1 0,64 rad

e. A afirmao falsa, pois se o ponto T coincidir com o ponto

mdio da aresta [FG] , tg =1

5

0 =

2

1 , mas tg 0,41 .

PG. 13579. AB

= B A = (4, 1) , AD

= D A = (1, 4)

AB

AD

= (4, 1) (1, 4) = 4 1 + 1 4 = 0

Logo, AB

e AD

so perpendiculares.

BA

= A B= (4, 1) , BC

= C B= (1, 4)

BA

BC

= (4, 1) (1, 4) = 4 1 1 4 = 0

Logo, BA

e BC

so perpendiculares.

CB

= B C= (1, 4) , CD

= D C= (4, 1)

CB

CD

= (1, 4) (4, 1) = 1 4 + 4 1 = 0

Logo, CB

e DC

so perpendiculares.

DC

= CD = (4, 1) , DA

= A D= (1, 4)DC

DA

= (4, 1) (1, 4) = 4 1 1 4 = 0

Logo, DC

e DA

so perpendiculares.

Como os vetores definidos por lados consecutivos so perpendi-

culares e tm todos normas iguais, conclumos que o quadriltero

[ABCD] um quadrado.

PG 143

91. x2 5x+y2 2y+ z2 + 4z+ 7 = 0

x 522

+ (y 1)2 + (z+ 2)2 + 7 2

4

5 1 4 = 0

x 522

+ (y1)2 + (z+ 2)2 = 147

C52 , 1 , 2 r =

PG 154

18. B(3, 7, 0) e CD

= 2

a. AD

= DA = (0, 7, 2) (3, 0, 0) = (3, 7, 2)

DB

= BD= (3, 7, 0) (0, 7, 2) = (3, 0, 2)

b. cos (AD BD) = =

= =

AD BD = cos1 63o

PG. 155

24. u v u v = 0 (k, 3 k) (2, k) = 0 k 2 + (3 k)(k) = 0 k2 k= 0 k= 0 k= 1

17

2

|(3, 7, 2) (3, 0, 2)|

||(3, 7, 2)|| ||(3, 0, 2)||

13

62 13

| 3 3 + 7 0 2 2|

(3)2 +72 +22 32+ (2)2

13

62 13

4 17

17

1

cos2

1

cos2

17

17

4 17

17

27 17

68

36

17

17

17

27

4

4 17

17

17

17

3

32

3

45 3

8

3

3

3

3

10

cos

10

ET

100

cos

10

cos

4

100

125

100

cos

8

9 3

4

6

6

6

6

6 cos + 9

2

2

A B

H

D

E

G

C

T

F

10

h

3 = sen h= 3 sen

Se = 0 , a seo coincide com o quadrado [ABFE]

e A = 10 10 = .100

cos 0

c. A = =6100

cos(6)

200 3

3


26/65

2

PG. 156

32. Seja P(x,y) um ponto da circunferncia:

PA

PB

= 0 (2 x, 1 y) (1 x, 1 y) = 0

(2 x)(1 x) + (1 y) (1 y) = 0 x2 x+y2 3 = 0

33.

a. A (2, 2) , B(1, 2) , M , M 21, 0

b. Seja P(x,y) um ponto da mediatriz.

Equao da mediatriz do segmento de reta [AB] :

MA

MP

= 0 32 , 2 . x+ 21 ,y = 0

3

2 x+ 2

1 2y= 0 6x+ 8y= 3

35. Comecemos por determinar uma equao da reta r. Seja P(x,y)

um ponto de r.AB

BP

= 0 (2, 2) (x 4,y 3) = 0

2(x 4) + 2(y 3) = 0 x+y 7 = 0

As coordenadas dos pontos de interseo da reta rcom os eixos

coordenados so (7, 0) e (0, 7) .

PG. 157

39. A equao dada define o plano mediador do segmento [AB] .

A(0, 3, 2) e B(1, 1, 4) .

M , , M 21 , 1, 1

AB

MP

= 0 (1, 4, 6) x 12 ,y+ 1, z+ 1 = 0 x

2

1 + 4(y+ 1) 6(z+ 1) = 0 2x+ 8y 12z 5 = 0

PG. 158

3.

a. OA

= A O= (xA , 0) , OB

= B O= (xB,yB)

b. OA

OB

= (xA , 0) (xB,yB) = xA xB

c. H(xB, 0)

d. OA

OH

= (xA , 0) (xB, 0) = xA xB = OA

OB

PG. 159

6. r: 2x+y 3 = 0 y= 2x+ 3

a. 6 = 2x+ 3 x=

b. P r P(2, k) k= 2 2 + 3 k= 1

c. 5 = 2 (1) + b b= 3 , s:y= 2x+ 3

d. t:y=

1

2 x y=

2

1 x

e. (x,y) = (0, 3) + k(2, 1) , k IR

f. 0 = 2

1 5 + b b=

5

2 , y =

2

1 x

5

2

g. No plano, existem infinitas retas perpendiculares reta r.

h. y = 2

1 x+ b , b IR

7. Sejam A (3, 1) e B(1, 2) . C(x, y) o ponto tal que o tringulo[ABC] retngulo em A e tem rea 25.

Tem-se AB

= (4, 3) e, portanto AB = ||AB

|| = 5 .

Como a rea do tringulo [ABC] 25 e AB = 5 ,

tem-se = 25 AC = 10 . Ento, AC

um vetor per-

pendicular a AB

com o dobro da norma do vetor: AC

= (6, 8) ou

AC

= (6, 8).

Portanto, C= A + (6, 8) = (3, 9) ou C= A + (6, 8) = (9, 7).

O ponto C tem coordenadas (3, 9) ou (9, 7) .

PG. 161

12.

a. A(1, 2) , B(1, 0) e M(0, 1) .A equao reduzida da reta r, mediatriz de [AB] dada por

AM

MP

= 0 (1, 1) (x,y+ 1) = 0 x+y+ 1 = 0 y= x 1 .

A equao reduzida da reta s y= x 1 .

b. Como a circunferncia tem centro em A e passa pela origem doreferencial, o raio 12 + (2)2= 5 e a equao da circuferncia

(x 1)2 + (y+ 2)2 = 5 .

c. Uma condio que define a parte colorida da figura :(x 1)2 + (y+ 2)2 < 5y> x 1y< x 1 .

14.

a. A(3, 0) , B(0, 4) , D(3, 0) , E(3, 8)

AB

= B A = (3, 4) , AB: y= 43x+ 4

DE

= E D= (6, 8) , DE: y= 4

3x+ 4

b. y 43 x+ 4 y 4

3x+ 4

PG. 175

110. (a, 3, 4) (a, 1, a) = 0 a2 4a+ 3 = 0 a= 1 a= 3

2 + 2

0

2 + 1

2

2 4

2

3 + 1

2

0 + 1

2

3

2

5AC

2

y 43 x+ 4 y 4

3x+ 4 x2 + (y 4)2 25


27/65

26


PG. 176

111. Tem-se x

2

1 = =

2

5

z = = .

Logo, um vetor diretor da reta 2, 3, 5

2 .Tem-se 2(x+y) 2z= 2 y 2x+ 3y2z= 2 . Logo, um vetor nor-mal ao plano (2, 3, 2) .

Como 2, 3, 52 (2, 3, 2) = 22 + 33 +5

2 (2) = 0 , conclumos

que a reta paralelaao plano.

PG. 199

1.

a. Sendo (3, 2) o vetor diretor da reta, um vetor normal ter coor-denadas k(2, 3) , k IR \{0} .

b. Como o declive da reta 2 , um vetor diretor da reta (1, 2)e um vetor normal ser da forma k(2, 1) , k IR \{0} .

c. Tem-se 3x+y= 7 y= 3x+ 7 . Como o declive da reta 3, umvetor diretor da reta (1, 3) e um vetor normal ser da forma

k(3, 1) , k IR \{0} .

2. Tem-se 2(x+y) = 3 y= x 3

2 . O declive da reta r 1, logo

o declive da reta s perpendicular a r = 1 e um vetor diretor

dessa reta (1, 1) .

Equao vetorial da reta s: (x,y) = (1, 1) + k(1, 1) , k IR .

Equao reduzida da reta s: y= x, pois 1 = 1 1 + b b= 0 .

3. Um vetor diretor da reta AB AB

=BA = (3, 4) e um vetor diretor

da reta CD CD

=DC= (4, 3) . Como (3, 4) (4, 3) = 0 , conclu-mos que as retas AB e CD so perpendiculares.

4. Um vetor diretor da reta AB AB

= B A = (2, 5) e o declive

desta reta 5

2 . Logo, o declive de uma reta perpendicular reta

AB = 2

5 e a equao reduzida dessa reta da forma

y= 2

5 x+ b, b IR.

6. O plano que contm o tringulo [ABC] o plano definido pelostrs pontos no colineares A , B e C.

Tem-se AB

= B A = (2, 4, 0) e AC

= C A = (2, 0, 2) . Seja

n(a, b, c) um vetor normal ao plano definido por A , B e C. Esse

vetor tem de verificar as condies:

nAB

nAC

n

AB

= 0 n

AC

= 0 , ou seja,

(a, b, c) (2, 4, 0) = 0

2a 4b= 0

b= 2

1a

(a, b, c) (2, 0, 2) = 0 2a+ 2c= 0 c= a

O vetor n

da forma a, 21a, a . Se considerarmos a= 2 ,

vem n

(2, 1, 2) e a equao pretendida 2x+y 2z+ d= 0 .

Substituindo as coordenadas do ponto B, obtm-se

2 0 4 2 0 + d= 0 d= 4 . Assim, a equao do

plano que contm o tringulo [ABC] 2x+y 2z+ 4 = 0 .

10. Tem-se : 2(x+y) = 2x z+ 1 2y+ z 1 = 0 e : 0 =x+ z . Logo,o plano paralelo ao eixo Ox, pois a primeira coordenada do

respetivo vetor normal nula, e o plano paralelo ao eixo Oy,

pois a segunda coordenada do respetivo vetor normal nula.

PG. 202

1.

a. A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C(1, 1, 1) , D(1, 0, 1) , E(0, 0, 0) , F(0, 1, 0) , G(0, 1, 1) ,H(0, 0, 1) .

b. EFG: x= 0 ; ABC: x= 1 ; ADH: y= 0 ; BCG: y= 1 ; ABF: z= 0 ;

CDG: z= 1 .

c. Vamos determinar vetores diretores das retas que contm as dia-gonais faciais do cubo.

EG

= G E= (0, 1, 1) , x = 0 y = z ;

FH

= H F= (0, 1, 1) , x = 0 y = z 1 ;

AC

= C A = (0, 1, 1) , x = 1 y = z ;

BD

= DB= (0, 1, 1) , x = 1 y = z 1 ;

AH

= HA = (1, 0, 1) , y = 0 x + 1 = z ;

DE

= E D= (1, 0, 1) , y = 0 x= z;

BG

= G B= (1, 0, 1) , y = 1 x + 1 = z ;

CF

= FC= (1, 0, 1) , y = 1 x= z;

AF

= F A = (1, 1, 0) , z = 0 x + 1 =y ;

BE

= EB= (1, 1, 0) , z = 0 x =y;

CH

= H C= (1, 1, 0) , z = 1 x =y ;

DG

= GD= (1, 1, 0) , z = 1 x+ 1 =y;

2.

a. A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0)

C(0, 1, 3) , pois a altura do tringulo [ABC] determinada por

x2 = 22 12 x = 3 .

D(5, 0, 0) , pois a altura do prisma 5 cm.

E(5, 2, 0) , F(5, 1, 3 )

1

1

1

5

2

z

5

2

y+ 3

3

x+ 1

2

y+ 3

3

z

y

x

D

H

A

E

C

G

B

F


28/65

2

b. Tem-se AC

= C A = (0, 1, 3 ) e AB

= B A = (0, 2, 0) .

Logo, AC

AB

= (0, 1, 3 ) (0, 2, 0) = 2

c. V= 5 = 5 3 (cm3)

d. ABE: z= 0

Tem-se AD

= D A = (5, 0, 0) e AC

= C A = (0, 1, 3) . Sejan

(a, b, c) um vetor normal ao plano que contm a face [ACFD] .

Esse vetor tem de verificar as condies:

nAD

nAC

n

AD

= 0 n

AC

= 0 , ou seja:

(a, b, c) (5, 0, 0) = 0 5a = 0 a= 0

(a, b, c) (0, 1, 3) = 0

b+ 3c= 0

b= 3c

O vetor n

da forma (0, 3c, c) . Se considerarmos c= 1 , vemn(0, 3 , 1) e a equao pretendida 3y+ z+ d= 0 . Recor-rendo s coordenadas do ponto A , obtm-se d = 0 . Assim,

uma equao do plano que contm a face [ACFD] do prisma

3y+ z = 0 .

Tem-se BC

= C B= (0, 1, 3) e BE

= E B= (5, 0, 0) . Seja

n

(a, b, c) um vetor normal ao plano que contm a face [BCEF].

Esse vetor tem de verificar as condies:

nBC

nBE

n

BC

= 0 n

BE

= 0 , ou seja:

(a, b, c) (0, 1, 3) = 0 b+ 3c= 0 b= 3c

(a, b, c) (5, 0, 0) = 0

5a = 0

a= 0

O vetor n

da forma (0, 3c, c) . Se considerarmos c= 1 , vemn(0, 3, 1) e a equao pretendida 3y+ z+ d= 0 . Recorren-do s coordenadas do ponto B , obtm-se d= 2 3 . Assim,uma equao do plano que contm a face [BCEF] do prisma

3y+ z 2 3 = 0 .

e. Tem-se CF

= F C= ( 5, 0, 0) , logo as equaes cartesianas da

reta CF podem ser y= 1 z= 3 .

f. Um plano paralelo face [BCEF] tem uma equao cartesianada forma 3y+ z+ d= 0 . Como esse plano contm a origem doreferencial, uma equao 3y+ z = 0 .

PG. 203

4.

a. O ponto A tem de coordenadas (x, 0, 0) . Substituindo-as na equa-o que define o plano ABC, obtemos x= 2 . Assim, A(2, 0, 0). Pro-

cedendo de forma idntica, obtm-se B(0, 1, 0) e C(0, 0, 2) .b. Tomando [AOB] para base da pirmide, tem-se:

V= 3

1 2 =

3

2

PG. 204

7.a. V(3, 3, 0)

b. Um vetor diretor da reta FV FV

= V F= (3, 3, 6) . Logo, as

equaes cartesianas dessa reta podem ser:

= = = = 6

z .

c. Uma equao cartesiana do plano EFG z = 6 .

9. Vamos comear por escrever uma condio da reta perpendicularao plano que passa em P:

= = x+ 1 =y

2 = z 3

De seguida, vamos determinar as coordenadas do ponto de inter-

seo dessa reta com o plano:

x 2y+ z= 3 x= 6

5

x+ 1 =

y

2 y= 2x 2 y=

3

1

x+ 1 = z 3 z= x+ 4 z= 1

6

9

Agora vamos determinar a distncia deste ponto ao ponto P:

6

5

+

1

2

+

3

1

0

2

+

1

6

9

3

2

=

Logo, a distncia do ponto P ao plano de equao x 2y+ z= 3

.

VOLUME 2

INTRODUO AO CLCULO DIFERENCIAL I

FUNES RACIONAIS E FUNES COM RADICAIS

TAXA DE VARIAO E DERIVADA

PG. 7

1.

a. D= {x IR: x+ 2 0} = IR \ {2}

b. D= {x IR: x2 4 0} = IR \ {2, 2}

c. D= IR

d. D= {a IR: (a+ 5)(a 3) 0} = IR \ {5, 3}

PG. 20

9. A funo racional cujo grfico a hiprbole de assntotas x= 0

e y= 2 tem uma expresso analtica da forma f(x) = 2 + a

x . Como

passa no ponto (3, 1) , verifica 1 = 2 + a

3 , ou seja, a= 3 . Logo,

f(x) = 2 3

x .

PG. 22

13.

a. = = , a= 4 , b= 0 , c= 2

2 1

2

y 3

3

x 3

3

z 0

6

y 3

3

x 3

3

z 31

y 02

x (1)1

6

6

6

6

2 3

2

4

x+ 2

12

3(x+ 2)

12

3x+ 6


29/65

28


b. 1 + = 1 + , a= 2 , b= 1 , c= 5

2

PG. 2418.

a. f(x) = = 5 Assntotas: x= 2 , y= 5

b. g(x) = = 3 + Assntotas: x= ,y= 3

c. h(x) = = Assntotas: x= 3

5 , y=

3

2

PG. 32

23.

a. f(x) = x+ 3 x

1

2 Assntotas: x= 2 , y= x+ 3

b. g(x) = = 2

1 x 2

2

1

x Assntotas: x= 0 , y=

2

1 x 2

c. h(x) = = 2x+ 3 + Assntotas: x= 1 , y= 2x+ 3

PG. 33

26.

a. = D= IR \ {2, 0}

b. = D= IR \ {1}

c. = D= IR \ {1, 1}

27. = = x 2

PG. 38

32.a. = =

D= IR \ {2}

b. = =

D= IR \ {3, 0, 3}

c. : = =

D= IR \ {2, 0, 1, 2}

d. : = = 2x

D= IR \ {2, 0}

33.

a. 1 + : = =D= IR \ {1, 0, 1}

b. = = =

D= IR \ {0, 2}

PG. 39

34.

a. = 0 x 5 = 0 x+ 1 0 x= 5 x 1

C.S. = {5}

b. = 0 x2 4 = 0 x 2 0 (x= 2 x= 2) x 2

C.S. = {2}

c. = 3 3 = 0 = 0

2x 5 = 0 x+ 1 0 x= 5

2 x 1

C.S. =

5

2

d. = 2 2 = 0 = 0Impossvel C.S. = { }

PG. 40

35.

a. = 6 + 6 = 0 = 0

6x+ 9 = 0 x 1 0 x= 3

2 x 1

C.S. = 32b.

4

x + =

4

x + = 0

= 0 = 0

10x 8 = 0 x(x+ 2)(x 1)0 x= 4

5 x 2x 0 x 1

C.S. = 45

13

x+ 2

5x 3

x+ 2

1

2

8

2x+ 1

5 6x

2x+ 1

1

3

0

3x 5

2

3

2x

3x 5

x2 4x 1

2x

5

x 1

2x2 + x+ 2

x 1

x 2

3x

x2 4

3x2 + 6x

x2 + x+ 1

x 1

x3 1

x2 2x+ 1

1 2x

x+ 1

2x2 3x+ 1

1 x2

x2 3x+ 2

x 1

f(x) f(1)

x 1

x

6

2x(x+ 2)

3(x+ 2) 4

x2 + 2x4

2

3x+ 6

2

a+ 3

2a(a 3)a

a2 (a 3)(a+ 3)

a

a2 9

2a2 6a

a2

x+ 2

x

(x 2) (x+ 2)

x2x(x 1)

(x 1) (x 2)

x2

x2 4

x2 x

x2 3x+ 2

x3 + 2x2

2

4

x(x+ 2)

x2(x+ 2)

2

x2 + 2x

4

x+ 1

2

(x 1) (x+ 1)

2x

x

x 1

2x

x2 1

1

x 1

1

2x

2 x

2x(x 2)

2

2

x

x

x 2

x

1

2

1

x 2

x 5

x+ 1

x2 4

x 2

2x 5

x+ 1

5x 2

x+ 1

5x 2

x+ 1

7

x 3

2x+ 1

x 3

2x+ 1

x 3

6x+ 9

x 1

1

x 1

2

x 1

1

1 x

2

x 1

6

x 1

2

x+ 2

6

x 1

2

x+ 2

10x 8

x(x+ 2)(x 1)

4(x+ 2)(x 1) + 2x(x1) 6x(x+ 2)

x(x+2)(x 1)

2

x 5

2

4

2x 5


30/65

2

c. + = + = 0

x2 4 = 0 x2 2x 0 (x = 2 x= 2) x 0 x 2

C.S. = {2}

d. = + = 0

= 0 = 0

x2 + 5x 4 = 0 (x 1)(x 3)(x+ 3) 0

(x= 1 x= 4) x 1 x 3 x 3

C.S. = {4}

e. + = = 0

= 0 = 0

x2 + 6x 8 = 0 3x 6 0 (x= 2 x= 4) x 2

C.S. = {4}

PG. 43

40.

a. x

1 2

x

1 2 0 0 x0, 2

1

b. < 0 x ]2, 1[ ]2, +[

c. > 0 x ], 3[]1, 2[

d. 0 x2 6x< 0 x]0, 6[

e. x

12 0 xIR \ {0}

f. 0 0

0 x ], 2 [ [0, 2[ ]2, +[

g. x 1 + 1 0 0

0 x [0, 2 [ [4, +[

PG. 51

42.

a. Df + g= Df Dg= IR \ {1, 2} ], 2] = ], 2[ \ {1}

b. D = DfDg {xIR: g(x) 0} =

= IR \ {1, 2} ], 2] IR\ {3} = ], 2[ \ {3, 1}

c. D = DgDf {xIR : f(x) 0} =

= ], 2] IR \ {1, 2} IR\ {2, 3} = ], 2[ \ {2, 1}

d. D = DgDg {x IR: g(x) 0} =

= ], 2] IR\ {3} = ], 2] \ {3}

1

x 1

1

(x 3)(x+ 3)

4

(x 1)(x+ 3)

1

x 1

1

9 x24

x2 + 2x 3

x2 + 5x 4

(x 1)(x 3)(x+ 3)

4(x 3) + x 1 (x 3)(x+ 3)

(x 1)(x 3)(x+ 3)

x 1

3

3

3(x 2)

x 1

x 2

x 1

3

3

6 3x

x 1

x 2

x2 + 6x 8

3x 6

3(x 1) 3 (x 1)(x 2)

3(x 2)

1 2x

x

4 x2

x 1

x+ 1

(2 x)(x+ 3)

x2 + 1

x2 6x

4x x(x+ 2)

x2 4

x

x 2

4x

(x 2)(x+ 2)

x

x 2

4x

x2 4

x2 + 2x

x2 4

4 x(x 2) + 2(x 2)

2(x 2)

x

2

2

x 2

1

2

2

x 2

x2 + 4x

2x 4

8

x(x2)

4

x 2

x 2

x

8

x2 2x

4

x 2

x 2

x

fg

g

f

gg

x 0 12

+

1 2x + + + 0

x 0 + + +

n.d. + 0

x 2 1 2 +

4 x2 0 + + + 0

x 1 0 + + +

+ 0 n.d. + 0

x 3 1 2 +

x+ 1 0 + + +

(2 x)(x+ 3) 0 + + + 0

(2 x)(x+ 3)

x 1 + n.d. 0 + n.d.

x 2 0 2 +

x2 + 2x 0 + 0

x2 4 + 0 0 +

n.d. + 0 n.d.

x 0 2 4 +

x2 + 4x 0 + + + 0

2x 4 0 + + +

+ 0 n.d. + 0

x2 + 2x

x2 4

x2 + 4x

2x 4

4 x2

x 1

1 2x

x 1

= 0 = 0

(x 2)2 + 4x 8

x2 2x

x2 4

x2 2x


31/65

30


PG. 52

43. Sejam f(x) = e g(x) =

b. Dfg= Df Dg= IR \ {1} IR \ {1, 1} = IR \ {1, 1}

(f g)(x) = f(x) g(x) = = + =

= = = =

D = Dg Df {xIR : f(x) 0} =

= IR \ {1, 1} IR\ {1} IR \ {2} = IR \ {2, 1, 1}

gf (x) = = = =

PG. 56

47. A imagem, por g, de f(3) g(f(3)) = g(5) = 5

1 e a imagem, por f,

de g(3) f(g(3)) = f31 = 3

7 .

48. (f g) (2) = f(g(2)) = f(4) = 5 (g f ) (2) = g(f(2)) = g(3) = 9

PG. 5749.

a. (g f ) (2) = g(f(2)) = g(1) = 1 (f g) (0) = f(g(0)) = f(2) = 1

b. Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} =

= {xIR : x[2, 3] f(x) [2, 2]} = [2, 3] [2, 1 ] = [2, 1]

Dfg= {xIR : xDg g(x) Df} =

= {xIR : x[2, 2] g(x) [2, 3]} = [2, 2]

Dgf = [2, 2] Dfg= [1, 3]

PG. 58

50.

a. g(f(x)) = 4 f(x) = 0 x= 2

b. f(g(x)) = 2 g(x) = 0 x= 2 x= 2

c. g(f(x)) 0 2 f(x) 2 4 x 0

51. Df g= {xIR : xDg g(x) Df} =

= xIR : xIR \ {0} IR \ {0} = IR \ {1, 0}

Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} =

= xIR : xIR \ {0} x

1 IR \ {0} = IR \ {0}

(g f )(x) = g(f(x)) = gx1 = = = 1 + x

2

(x+ 1)(x 1)

x+ 2

x+ 1

2

1 x2x+ 2

x+ 1

x

x 1

(x+ 2)(x 1) + 2

x2 1

g

f

2

2 x x2

1

2

x2

x

x

+

+

2

1

g(x)f(x)

2

1 x2x+ 2

x+ 1

x2 + x

x2 1

x(x+ 1)

(x+ 1)(x 1)

2

(1 x)(1 + x)x+ 1x+ 2

x+ 1x

x

1 + 1

x

1

x

1

f

x

y

113 30

1

3

1

g

x

y

113 30

1

2

g

x

y

124 30

1

3

2

f

x

y

124 30

1

3

2

a. (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 2 + 2 = 4

g

f

(2) = = = 0

f(2)

g(2)

0

32

(f g)(x) = f(g(x)) = f =x+ 1xx

x+ 1

1 + x

x


32/65

PG. 60

53. Seja f a funo definida por f(x) = 2x+ 1 e seja g a funo

definida por g(x) =x 1 se x 0

=x + 1 se 0 < x 5

(g f )(x) = g(f(x)) =f(x) 1 se f(x) 0

=f(x) + 1 se 0< f(x) 5

=

2x+ 1 1 se 2x+ 1 0=

2x se x 2

1

2x+ 1 + 1 se 0 < 2x+ 1 5 2x+ 2 se 2

1 < x 2

PG. 64

59. Seja f(x) = definida em [0, +[ .

Tem-se Dg = 2

1, +

f(x) =y =y = x

f1(x) = f1 : 21, + IR

PG. 66

61. g(x) =y =y 2x + 1 = xy+ 3y 1 3y= x(y 2)

g1(x) = Dg1 = IR \ {2}

PG. 69

64.

a. D= {x IR : 2 x 0} = ], 2]

b. D= {x IR : x2 1 0} = ], 1] [1, +[

c. D= IR

d.D= x

IR : 1

3

x

0 = x

IR :

0 = ]

, 0[

[3, +

[

PG. 71

67.

a. Tem-se A = .

Sendo BP= x e x= 2 , vem 62 = 22 + AP2 AP= 32= 4 2 .

Logo, A = = 4 2 .

b. Tem-se A = . Sendo BP= x, vem AP2 = 62 x2

AP= 36 x2 Logo, A = , com x ]0, 6[ .

c. O tringulo de maior rea o tringulo issceles, cujos catetos

medem 3 2 , pois 62 = x2 + x2 x= 18= 3 2 .

PG. 72

68. Sejam f e g as funes definidas respetivamente por,

f(x) = 1 x e g(x) = x2 .a. (g f)(x) = g(f(x)) = g( 1 x ) = ( 1 x)

2= 1 x

Dg f= {xIR : xDf f(x)Dg} =

= {xIR : x], 1] 1 x IR} = ], 1]

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 1 x2

Df o g= {xIR : xDg g(x)Df} =

= {xIR : x2], 1]} = [1, 1]

b. Df f= {xIR : xDf f(x)Df} =

= {xIR : x], 1] 1 x ], 1]} = [0, 1]

PG. 73

69.

a. x+1 + 1 = 2x x+1 = 2x 1 ( x+1)2 = (2x 1)2

x+ 1 = 4x2 4x+ 1 4x2 5x= 0 x= 0 x = 4

5

Verificao:

Para x= 0 , obtm-se 0+1 + 1 = 2 0 2 = 0

Como esta afirmao falsa, conclui-se que 0 no soluo da

equao.

Para x=

4

5 , obtm-se

4

5 + 1 + 1 = 2

4

5

5

2

= 5

2

Esta afirmao verdadeira e, portanto, 4

5 soluo da equao.

O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = 45 .

b. x + 2x 3 = 3 2x 3 = 3 x ( 2x 3 )2 = (3 x)2

2x 3 = 9 6x+ x2 x2 8x+ 12 = 0 x= 2 x= 6

Verificao:

Para x = 2 , obtm-se 2 + 2 2 3 = 3 3 = 3

Como esta afirmao verdadeira, conclui-se que 2 soluo da

equao.

3x+ 2

4

4y 2

3

3x+ 2

4

4x 2

3

2x+ 1

x+ 3

1 3x

x 2

x 3

x

BP AP

2

2 4 2

2

BP AP

2

x 36 x2

2

A B

P

C

x y =4x 2

3

x=1 3y

y 2


33/65

32


Para x= 6 , obtm-se 6 + 2 6 3 = 3 9 = 3

Esta afirmao falsa e, portanto, 6 no soluo da equao.

O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = {2} .

c. x+2 x= 2 x+2 = 2 + x ( x+2 )2 = (2 + x)2

x+ 2 = 4 + 4x+ x2 x2 + 3x+ 2 = 0 x= 2 x= 1

Verificao:

Para x= 2 , obtm-se 2+ 2 (2) = 2 2 = 2


equao.

Para x= 1 , obtm-se 1+ 2 (1) = 2 2 = 2

Esta afirmao verdadeira e, portanto, 1 soluo da equao.

O conjunto-soluo da equao , portanto, C.S. = {2, 1}.

PG. 7470.

a. Tem-se A = 4 = 4 x= 4 . Logo, P(x, x ) = (4, 2) .

b. Tem-se OP2 = x2 + ( x)2 OP= x2 +x .

Logo, P = x + x + x2 +x , com x]0, +[ .

PG. 82

73.

a. Dg= {xIR : x2 4 0} = IR\ {2, 2}

b. g(x) = = =

c. limx 2

g(x) = limx 2

=

PG. 83

74.

a. = = = = x+ 2

b. limx 1

= limx 1

(x+ 2) = 3

75.

a. g(1 + h) = (1 + h)2 + 3(1 + h) = h2 + h 2

b. = = = h+ 1

c. limh 0

= limh 0

(h+ 1) = 1

76.

a. limx 2

f(x) = 1

b. limx 1

f(x) = 0

c. limx 1+

f(x) = 2

d. limx +

f(x) = 0

e. limx 2+

f(x) = +

PG. 95

38.

a. f(0) = 1,6 8

k = 1,6 k= 5

b. f(t) = 1,9 = 1,9 t= 10 dias

PG. 96

45.

a. (f+ g)(1) = f(1) + g(1) = 1 + (3) = 4

b. (f g)(x) = 0 (x2 + 2x= 0 x 1)

= 0 x > 1 x2 4 = 0 x2, 0, 2c. g

f(x) 0 x ], 2[ ]2, 0] ]2, +[

47.

x x

2

2x 1

x 2

2(x+ 2)(x 0,5)

(x+ 2)(x 2)

2x2 + 3x 2

x2 4

5

4

2x 1

x 2

(x+ 2)(x 1)

x 1

x2 + x 2

x 1

x2 + x 3 (1)

x 1

f(x) f(1)

x 1

f(x) f(1)

x 1

h2 + h 2 (2)

h

g(1 + h) g(1)

h

g(1 + h) g(1)

h

3t+ 8

1,5t+ 5

h (h+ 1)

h

x+ 5

2

O A

P

x

f

x

y

0

2

1

3

124 3 5 x

y

f

0

1

2

3

4

5

112 2 x

y

h

x 2 0 1 2 +

x2 + 2x + 0 0 + +

+ + +

x2 4 + 0 0 +

+ n.d. + 0 n.d. +

x+ 5

2

f

g


34/65

3

a. (h+ f) (2) = h(2) + f(2) = 3 + 0 = 3 (h g)(3) = h(3) g(3) = 0

gf(1) = = = 16 g2(1) = g(1) g(1) = 31

3

1 =

9

1

b. Df g= Df Dg= IR \ {3, 3} IR \ {2} = IR \ {3, 2, 3}

(f g) (x) = f(x) g(x) = =

c. D = DhDf {x IR: f(x) 0} = IR IR \ {3, 3} IR \ {2} =

= IR \ {3, 2, 3}

d. h(x) 3 x], 2] {0} [2, +[

e. g(x) 1 1 0 x , 31 ]2, +[

PG. 97

50. f(x) = 2 x

a. Df+ g= Df Dg= IR IR = IR

b. f g tem trs zeros, que so as abcissas dos pontos de interseo

dos grficos de f e g; g

f no tem zeros.

c. gf(x) 0 xIR \ {1, 2}

PG. 98

59. Tem-sey= yx+y= 2x 3 yx 2x= y 3 x= .

62. Tem-se y= t = .

Logo, t = e Da1 = [3; 10,5] . A funo inversa de a

d o tempo, em horas, que decorreu depois de ser dado o alerta

de fogo, em funo da rea ardida (em hectares).

63.

O grfico da funo f a semicircunferncia constituda pelos

pontos de ordenada no negativa da circunferncia de centro no

ponto de coordenadas (3, 0) e raio 2. Assim, a expresso analtica

da funo f dada por:

(x 3)2 +y2 = 22 y 0 y= x2 +6x5 ; D= [1, 5]

66. g(x) = x2

Dg f= {xIR : xDf f(x) Dg} = {xIR : f(x) [2, +[ } =

= ], 2] {0} [2, +[

67. Da equao da elipse vem y= 5

3 25x2 .

Como o ponto P tem coordenadas (x,y) , com x> 0 e y> 0 a

rea do retngulo 2x 2y, ou seja,

A = 2x 2 5

3 25x2 = 25x2 .

x 2

x2 9

x+ 3

4 2x

1

6 2x

h

f

x+ 3

4 2x

3x 1

4 2x

2x 3

x+ 1

y+ 3

2 y

3 + 12t

1 + t

y 3

12 y

a 3

12 a

2

8

1

g(1)

f(1)

12x

5

1 2 x

y

g

0

Logo, g1(x) = e Dg1 = IR \ {2} .x+ 3

2 x

0

1

1

2

1 1 2 3 4 5 x

y

0

1

2

3

4

5

112 2 x

y

f

D = DgDf {x IR : f(x) 0} = IR IR \ {2} = IR \ {2}g

f

x 13

2 +

3x 1 0 + + +

4 2x + + + 0

4 2x

3x 1 0 + n.d.

x 1 2 +

f(x) + + + 0

g(x) + 0 + 0

g(x)

f(x)+ n.d. + n.d. +


35/65

34


68.

a. f(x) = x+ 5 + 42 +(x 3)2 f(x) = x+ 5 + x2 6x+25

b. f(x) = 16 x + 5 + x2 6x+25 = 16 x2 6x+25 = x+ 11

( x2 6x+25)2 = (x+ 11)2 16x= 96 x= 6

Verificao:

Para x= 6 , obtm-se 6 + 5 + 62 6 6 + 25 = 16 16 = 16


equao.

Para que o permetro do tringulo [OPQ] seja 16, a abcissa do

ponto Q tem de ser 6.

PG. 99

1.

1.1 f(0) = =10k

0 , k o nmero de indivduos da referida

espcie em 1 de janeiro de 2009.

1.2

a. f(12) = = 1,25

Ao fim de um ano suposto existirem 125 indivduos da espcie.

b. f(t) = 2 = 2 = 0

2t 108 = 0 100 + t 0 t= 54 meses

O nmero de indivduos da espcie em estudo deve atingir as duas

centenas em julho de 2013.

c. f(t+ 1) f(t) = =

Para t IN , representa, aproximadamente, o aumento do n-

mero de indivduos (em centenas) da contagem do dia 1 de um ms

para o dia 1 do ms seguinte.

d. 0 t 0

t [23,6; +[

O nmero de indivduos da espcie que, de acordo com o modelo apre-

sentado, devem nascer no decorrer de janeiro de 2011, ser inferior a

2. No entanto, se considerarmos que, qualquer valor no inferior a 1,5

deve ser arrredondado a 2, a resposta ser o ms de Agosto de 2012.

1.3 f(12) f(0) = 0,30 = 0,3 k= 120

1.4 f(t) = = 4 +

b= 4 ; se o programa se prolongar por muito tempo, o nmero

de indivduos da espcie em recuperao vai estabilizar em torno

de 400.

1.5 Para que t passe a ser expresso em anos, basta substituir, naexpresso dada no enunciado, tpor 12t, obtendo-se a expresso

pretendida.

1.6 (C) h(x) = = 4 +

As coordenadas do centro de simetria da hiprbole so (100, 4) .

PG. 102

4.

a. Uma condio que define a semicircunferncia c :

(x 2)2 +y2 = 4y 0

b. (x 2)2 +y2 = 4y 0y= x2 +4x .

Sabendo que o ponto P tem ordenada 1, vamos determinar a sua

abcissa.

x2 +4x = 1 x2 + 4x 1 = 0 x= 2 3 x= 2 + 3

Logo, a rea de cada um dos tringulos que se obtm

e , ou seja, e .

c. A = = , com x]0, 4[ .

d. Recorrendo calculadora grfica para determinar o mximo dafuno A , obtemos x= 3 .

5.

a. O comprimento do trajeto d pode ser dado em funo de x por

d= AD+ DC.

Como AD2 = AB2 + BD2AAD2 = 32 + (9 x)2

4 0 + k

100 + 0

4 12 + 92

100 + 12

4t+ 92

100 + t

2t 108

100 + t

4(t+ 1) + 92

100 + t+ 1

4t+ 92

100 + t

308

(101 + t)(100 + t)

308

(101 + t)(100 + t)

4 12 + k

100 + 12

4 0 + k

100 + 0

4t+ k

100 + t

k 400

100 + t

4x+ k

100 + x

k 400

100 + x

(2 3) 1

2(2 + 3) 1

2

2 3

2

2 + 3

2

x y

2x x2 +4x

2

P(3, 4)

QxO x

y

5

B C

A

D x

9 km

3 km

AD = x2 18x+90, vem d= x+ x2 18x+90, com x]0, 9[ .

x

y

P

B AO

c


36/65

3

b. d= 10 x+ x2 18x+90= 10 x2 18x+90= 10 x

( x2 18x+90)2 = (10 x)2 x2 18x+ 90 = x2 20x+ 100

2x= 10 x= 5

Verificao:Para x= 5 , obtm-se 5 + 52 185 + 90 = 10 10 = 10


equao. Assim, o valor de x 5 km.

c. Se x= 6 , o tringulo [ABD] issceles e a amplitude do ngulo

ADC = .

d. = tg x= 9 3 tg , ou seja, DC= 9 3 tg .

Logo, DC= 9 3 = 9 .

PG. 108

82. A taxa mdia de variao de fno intervalo de extremos a e b

igual ao declive da reta que passa em A e B, ou seja, tmv [a,b] = 3

2 .

PG. 111

83.

a. f(2) = limh2

= limx 2

= limx 2

= limx 2

(x+ 2) = 4

b. limh 0

= limh 0

= limh 0

=

PG. 118

88.

a. f(x) = limh 0

= limh 0

=

= limh 0

= limh 0

= limh 0

= 2

x

b. Tem-se f(2) =

2

2= 1 e, portanto, o declive da reta tangente 1;

f(2) =(

4

2)2 = 1 e 1 = 1 (2) + b b= 1 .

Logo, a equao reduzida da reta tangente ao grfico de f no

ponto de abcissa 2 y= x 1 .

c. Para um determinado valor de b, a reta de equao y= 3x+ b

tangente ao grfico de f . Ento, f (x) = 3 , para algum x IR .

f (x) = 3 2

x= 3 x= 6 e y= f(6) = 9 . Logo, 9 = 3 6 +bb= 9 .

O ponto da tangncia tem coordenadas (6, 9) .

PG. 121

93. Tem-se g(x) = .

a. A reta tangente ao grfico da funo g no ponto de abcissa 1

tem equao reduzida y=mx+ b, ondem= g(1) = 4

7 .

g(1) = 4

5 . Ento,

4

5 =

4

7 (1) +b b=

2

1 e a equao reduzida

da reta y= 4

7 x+

2

1 .

b. x 4y= 0 y=

4

1 x

g(x) = 4

1 =

4

1 x=

2

1 ; g2

1 = 4

1

4

1 =

4

1

2

1 + b b=

8

1

y= 4

1 x+

8

1

94. d(t) = 2,5t2 + 4t, d(t) = 5t+ 4

a. d(2) = 2,5 22 + 4 2 = 18 , d(2) = 5 2 + 4 = 14

Ao fim de 2 sa bola tinha percorrido 18 m e tinha atingido a velo-

cidade de 14 ms1 .

b.d(t) = 210

2,5t

2

+ 4t= 210

t= 8,4 , d(8,4) = 5

8,4 + 4 = 46 ms1

PG. 124

98. f(x) = 3ax2 + b

O grfico de f interseta o eixo das ordenadas no ponto de orde-

nada 1: f(0) = 1 c = 1

A reta de equao y= 2x 2 tangente ao grfico de f no ponto

de abcissa 1: f(1) = 2 e f(1) = 4 .

f(1) = 2 3a+ b= 2 b= 2 3a

f(1) = 4 ab+ c= 4 a 2 + 3a+ 1 = 4 a= 3

2

b= 2 3

3

2

=

1

2

3

99. Tem-se h(x) = 3x2 10x.

A reta tangente ao grfico da funo h no ponto de abcissa 3

1

tem declive h31 = 3 e a reta tangente ao grfico da funo

h no ponto de abcissa 3 tem declive h(3) = 3 . As duas retas

tm o mesmo declive, logo so paralelas.

PG. 133

108. Seja x o lado dos quadrados a retirar e seja C a funo que a

cada x faz corresponder a capacidade da caixa.

4

3

4

9 x

3

13

2

13

6

f(x) f(2)

x 2

x2 4

x 2

f(2 + h) f(2)

h

(2 + h)2 4

h

h2 + 4h

h

f(x+ h) f(x)

h

(x+4h)2

x4

2

h

h2 + 2hx

4h

h+ 2x

4

3 4x

4

3 4x

4

(x+ 2)(x 2)

x 2

h(h+ 2x)

4h

Tem-se 1 + tg2 = 1 + tg2 = tg = .1

cos2

1

6

7

2

13

6

DC= 9 km 132

= limh 0

= limh 0

(h+ 4) = 4h(h+ 4)

h


37/65

36


Tem-se C(x) = (30 2x)(16 2x)x= 4x3 92x2 + 480x e

C(x) = 12x2 184x+ 480 .

C(x) = 0 12x2 184x+ 480 = 0 x= 1

3

0 x= 12.

A medida dos lados dos quadrados que maximiza a capacidade

da caixa aproximadamente 3,3 cm.

PG. 145

3. tmv[4, b] = = = 5

1

=51 5 b 10 =b 4 5 b =b+ 6 25b= (b+ 6)2

b2 13b+ 36 = 0 b= 4 b= 9

Como b> 4 , tem-se b= 9 . O intervalo [4, 9] .

7.

a. f(x+ h) f(x) = 3(x+ h) (x+ h)2 3x+ x2 = 3h 2xh h2

b. f (x) =limh0

=limh0

=limh0

(3 2xh) = 3 2x

c. Tem-se f(2) = 2 , f(2) = 1 e 2 = 1 2 +b b= 4 . Logo, y= x+ 4 .

d. Tem-se xy= 2 y= x 2 , f(x) = 1 x= 1 ,

f(1) = 2 e 2 = 1 1 + b b= 1 . Logo, a equao pedida y= x+ 1 .

PG. 146

10. Seja f a funo definida por f(x) = 1 x2 3x.

Ento, f (x) = 2x 3 e f(0) = 3 .

Logo, = tg1 ( 3) + 180o = 120o .

15.

a. ax+ 2a+ b+ = =

= = f(x)

b. f (x) = ax+ 2a+ b+ = ac. O ponto A(0, 5) pertence ao grfico de f:

f(0) = 5 = 5 c= 10

A reta tangente ao grfico de fno ponto A paralela ao eixo das

abcissas:

f (0) = 0 a = 0 c= 10 b= 5

A reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 1 tem declive 3:

f (1) = 3 a = 3 c= 10 b= 5 a= 1

16. Tem-se f(x) = x+ 3 , f(a) = a+ 3 , f(a) =a

2

2

+ 3a

a

2

2

+ 3a= (a+ 3)a+ b b= 2

1a2

y= (a+ 3)x 2

1a2

A reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa a passa no

ponto de coordenadas 0, 32 e, portanto, 21a2 =

3

2 .

2

1a2 =

3

2 a= 3 a = 3

PG. 147

18.

a. Por leitura do grfico, conclui-se que g(4) = 1 e, portanto, m= 1 .

2 = 1 4 + b b= 6 . Logo, y= x 6 .

b. A afirmao falsa, pois, como g positiva no intervalo [1, 6] ,a funo g crescente nesse intervalo.

19.

a. f(x) = x2 4x 5

f(x) = 0 x2 4x 5 = 0 x= 1 x= 5

f crescente em ], 1] e em [5, +[ e decrescente em [1, 5] .

f tem mximo relativo f(1) =1

3

4 e f tem mnimo relativo f(5) =

9

3

4

b. A reta tangente ao grfico de fno ponto da abcissa 1 a reta de

equao y = 1

3

4 .

f(x) = 1

3

4

x

3

3

2x2 5x+ 2 = 1

3

4

x

3

3

2x2 5x+ 2 1

3

4 = 0.

f(b) f(4)

b 4

b 2

b 4

b 2

b 4

f(x+ h) f(x)

h

3h 2xh h2

h

4a+ 2b+ c

x 2

(ax+ 2a+ b)(x 2) + 4a+ 2b+ c

x 2

ax2 + bx+ c

x 2

4a+ 2b+ c

(x 2)2

0 + 0 + c

0 2

4a+ 2b+ c

(0 2)2

4a+ 2b+ c

x 2

4a+ 2b+ c

(1 2)2

x

y

0

1

1 4 6

x 1 5 +

f + 0 0 +

fMx.relat.

Min.relat.

x 0 103 8

C + 0

CMx.abs.


38/65

3

Como f(1) = 1

3

4 , podemos decompor

x

3

3

2x2 5x+ 2 1

3

4 em

fatores, dividindo este polinmio por x+ 1 .

Tem-se x

3

3

2x2 5x+ 2 1

3

4 = 0 (x+ 1)13 x2

7

3 x

8

3 = 0

x= 1 x = 8 . As coordenadas pedidas so 8,143 .

PG. 148

25.

a. A expresso representa a medida do comprimento da

outra aresta da base.

b. Seja h a medida da altura dos paraleleppedos desta famlia.

Tem-se V=a h e, portanto, h=a(P

2V

2a) .

Assim, a expresso dada representa a medida da altura do para-leleppedo.

c. A = 2a + 2ah+ 2h

Se P= 20 e V = 50 , h=a(

2

20

5

2

0

a) e

A = 2a20

2

2a + 2a

a(

2

20

5

2

0

a) + 2

a(

2

20

5

2

0

a)

20

2

2a =

=

e A = 2r2 + 2rh A = + 2 12h .

27. Tem-se 2rh+ 2r2 = 80 h=

e V = r2h V= 40rr3 .

28.

a. D= ]0, 8[

b. Como o tringulo [ABC] issceles (AB

=BC

) , tambmQP

=PC

.

f(x) = =

f (x) = = 4 x, f(x) = 0 4 x= 0 x= 4

f tem como mximo absoluto f(4) = 8 .

c. O tringulo [PBQ] que tem maior rea issceles.

PG. 156

7.

7.1 I(0) = 2 b c

1 = 2

O nmero de infetados estabilizou quando atingiu aproximada-

mente o dobro de infetados da contagem inicial, logo, b= 4 .

4 c

1 = 2 c=

2

1

7.3

a. I(3,5) = = 0,0625 ; 62,5 infetados por semana.

9.1 A expresso representa o custo mdio de produo de

cada unidade quando se produzem x unidades.

9.2 Suponhamos que, para um determinado produto,

C(x) = 0,3x2 + 2x+ 400 d o custo de produo de x unidades.

a. C(41) C(40) = 26,3 C(51) C(50) = 32,3

b. C(x) = 0,6x+ 2

C(40) = 0,6 40 + 2 = 26 C(50) = 0,6 50 + 2 = 32

Os custos marginais so prximos das diferenas determinadas; di-

ferem apenas de 3 dcimas.

c. C(x+ 1) C(x) = 0,3(x+ 1)2 + 2(x+ 1) + 400 0,3x2 2x 400 = 0,6x+ 2,3

d. O custo marginal, C(x) , d um valor aproximado do custo de pro-

duo de mais uma unidade, quando j se produziram xunidades.

PG. 158

12.

24

h

40 r2

r

(8 x)x

2

8x x2

2

P 2a

2

P 2a

2

P 2a

2

2a2(10 a)2 + 1000

a(10 a)

P 2a

2

8 2x

2

1

(3,5 + 0,5)2

C(x)

x

26. Tem-ser

2

h= 12 r2

= r=

12

h

12h

h

C

Q

A B

P

x

x 0 4 8

f + 0

fMx.

absoluto

x

y

A B

CO

7.2 I(t) = > 0, t 01(t+ c)2

b. I(t) < 0,03 < 0,03 t> 5,3 ; no decorrer da quinta

semana.

1

(t+ 0,5)2


39/65

38


12.1 2

2

+ x (4 x2) =

12.2

= , = 0 x=

2

3

Seja A(x) a rea do trapzio em funo de x:

B32 ,

3

9

2

12.3 B(1, 3 ) , C(2, 0) , m= 3 = tg1(3) + 180o 108o

12.4a. Tem-se OC= 2 , OA= 4 x2 , AB= x e BC2 = (2 x)2 + (4 x2)2

BC= x47x2 4x+20

Logo, p(x) = 6 + x x2 + x47x2 4x+20.

b. lim p(x) = limx 0+

(6 + x x2 + x47x2 4x+20) = 6 + 20

Quando x tende para 0, o ponto B tende a coincidir com o ponto

A ; o trapzio tende para o tringulo retngulo [OAC] de catetos

4 e 2 e hipotenusa 20.

limx 2

p(x) = limx 2

(6 + x x2 + x47x2 4x+20) = 4

Quando x tende para 2, o ponto A tende a coincidir com o

ponto O , o ponto B tende a coincidir com o ponto C e o valor de

limx2

p(x) corresponde ao dobro do comprimento do segmento [OC] .

PG. 159

14.

a. Tem-se f3(x) = 0 3 = 0 x= . Logo, A = , 0 .

A = CD A =1 +

2

3 A =

b. Tem-se fa(x) = 0 a = 0 x = .

Logo, A =

, 0

Tem-se fa(0) = a = a 1 . Logo, B(0, a 1) .

c. A = CD A =1 +

2

a

2a

a

2 A =

a2

a

1

Observaes:

A abcissa de A a soluo da equao f(x) = 0

a = 0 x= .

A altura do trapzio simtrica da abcissa do ponto A , uma vez

que esta negativa.

A base menor sempre igual a 1: BC= a f(0)

BC= a a BC= 1 .

VOLUME 3

SUCESSES

PG. 19

3. Na sucesso (un) , os termos decrescem do 1.o ao 11.o termo e cres-cem a partir do 11.o termo. Logo, a sucesso (un) no montona.

PG. 21

5. Sejam (an) e (bn) as sucesses definidas respetivamente por:

an= (1)n+ 5 e bn= (1)

nn.

Se n par, an = 6 ; se n mpar, an= 4 . Logo, 4 an 6 , ou

seja, (an) limitada.

Se determinarmos os primeiros termos da sucesso (bn) , obtemos

1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. Verificamos que os termos de ordem mpar

so os simtricos dos nmeros mpares e os termos de ordem par

so os nmeros pares. Os termos de ordem mpar decrescem para

. Os termos de ordem par crescem para + . Conclumos ento

que (bn) no limitada.

PG. 22

6. Seja (un) o termo geral de uma sucesso e suponhamos que existem IR+ de modo que nIN , |un| m.

Ento, nIN , m un m, ou seja, (un) limitada.

PG. 31

15.

c. Da igualdade wn+ 1 = 4

3wn , conclumos que r =

4

3 .

Logo, wn= 6 43

n 1

.

2

x+ 2

2 2a

a

2 2a

a

2

0 +2

BC + AD

2

2

x+ 2

4

3

4

3

BC + AD

2

4

3

8

3

4 4x 3x2

2

4 4x 3x2

2

8 + 4x 2x2 x3

2

2

0 + 2

2

x+ 2

2 2a

a

8 + 4x 2x2 x3

2

x

y

D

A

C

B

0

fa

x 0 23 2

A + 0

AMx.abs.

Tem-se f3 (0) = 3 = 2 . Logo, B= (0, 2) .2

0 + 2


40/65

3

d. Tem-se t

t

6

3

= r3 , que equivalente a:

21

1

6 = r3 r =3 2116 r = 61 . Logo, tn= 2 61

n 3

.

PG. 34

18. 1000 (1 + 0,05)6 1340,10

PG. 35

19. 20 000 (1 0,1)12 5649 peixes

PG. 40

6.

a. A partir de uma folha de papel A4 possvel obter duas folhas A5 ;

a partir de uma folha de papel A3 possvel obter duas folhas A4 ;



a partir de uma folha de papel A0 possvel obter duas folhas A1 .

Logo, a partir de uma folha A10 possvel obter 2 2222 = 32

folhas de papel A5 .

b. A razo entre as reas de uma folha de papel A1 e uma folha de

papel A0 2

1 .

A razo entre as reas de uma folha de papel An e uma folha de

papel An 1 tambm 2

1 .

c. Considere-se uma folha de papel de um destes formatos, de dimen-

ses a e b, que dobrada ao meio segundo o seu comprimento.

Mostremos que as folhas so retngulos semelhantes se e s se o

quociente entre o comprimento e a largura da folha 2 :

a

b =

2

b2 = a2

a

b = 2

PG. 43

6.

a. c1 = 3 , c2 = 2 3 = 6 , c3 = 2 6 = 12

b. c3 = 2 2 3 = 22 3 , c10 = 2

9 3 = 1536

c. cn= 2n 1 3

10.

a. A sucesso (an) decrescente. Assim, o 1.o termo um majorante.Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 6, nunca

chegando a tomar esse valor.

Logo, nIN , 6 < an 7 .

b. A sucesso (bn) crescente. Assim, o 1.o termo um minorante.

Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 4, nunca


Logo, nIN , 3 bn < 4 .

c. A sucesso (cn) decrescente. Assim, o 1.o termo um majorante.

Por outro lado, os termos da sucesso aproximam-se de 1, nunca


Logo, nIN , 1 < cn 3 .

17.

O comprimento das semicircunferncias da figura obtm-se

somando os comprimentos das cinco semicircunferncias que

formam a figura dada. Vamos calcular os comprimentos dessas

semicircunferncias, comeando no interior da espiral. O

comprimento da 1.a semicircunferncia dado por = ;

o comprimento da 2.a semicircunferncia dado por

= 3

2 ; o comprimento da 3.a semicircunferncia

semicircunferncias da figura + 3

2 + 2 +

5

2 + 3 = 10 .

18. Seja (an) uma progresso geomtrica tal que o 4.o termo e o

6.o termo so respetivamente 15 e 1,35. Tem-se a

a

4

6 = r2 , que

equivalente a: 1,

1

3

5

5 = r2 r2 = 0,09 r = + 0,09

r = 0,3 r= 0,3 .

a

b

2

2 1

2

2 3

2

2

a

b

0 42 3112

y

x

d. 1,4138 21189841

ferncia dado por = 3 . Assim, o comp