Download - Hoeveel Elementen?

Transcript
Page 1: Hoeveel Elementen?

Hoeveel elementen?Non impeditus ab ulla scientia

K. P. Hart

Faculteit EWITU Delft

Utrecht, 16 januari 2010: 10:00–11:00

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 2: Hoeveel Elementen?

De vragen van vandaag

Hoeveel provincies heeft Nederland?

Hoeveel natuurlijke getallen zijn er?

Hoeveel reele getallen zijn er?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 3: Hoeveel Elementen?

De vragen van vandaag

Hoeveel provincies heeft Nederland?

Hoeveel natuurlijke getallen zijn er?

Hoeveel reele getallen zijn er?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 4: Hoeveel Elementen?

De vragen van vandaag

Hoeveel provincies heeft Nederland?

Hoeveel natuurlijke getallen zijn er?

Hoeveel reele getallen zijn er?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 5: Hoeveel Elementen?

Hoeveel provincies?

tekeni-yawenre,

kaksitoista,

XII,

twaalf

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 6: Hoeveel Elementen?

Hoeveel provincies?

tekeni-yawenre,

kaksitoista,

XII,

twaalf

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 7: Hoeveel Elementen?

Hoeveel provincies?

tekeni-yawenre,

kaksitoista,

XII,

twaalf

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 8: Hoeveel Elementen?

Hoeveel provincies?

tekeni-yawenre,

kaksitoista,

XII,

twaalf

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 9: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 10: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1

, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 11: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2

, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 12: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3

, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 13: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4

, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 14: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5

, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 15: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6

, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 16: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 17: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien

: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 18: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een

, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 19: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee

, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 20: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie

, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 21: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 22: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus

, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 23: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel

, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 24: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om tetellen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Zo te zien: meer dan een, meer dan twee, meer dan drie, . . .

Meer dan eindig veel dus, oneindig veel, maar hoeveel is dat?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 25: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,

nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1 π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 26: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.

De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 27: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π

vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 28: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel

met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 29: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1

vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 30: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts

een omwenteling te laten maken.

0 1

π2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 31: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1 π

2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 32: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1 π2

3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen,

erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 33: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π

2 3

4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.

Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 34: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π

2 3 4

. . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft:

Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 35: Hoeveel Elementen?

Hoeveel reele getallen?

De reele getallen corresponderen met de punten op een lijn,nadat we twee punten de namen 0 en 1 hebben gegeven.De plaats van π vinden we door een cirkel met middellijn 1vanuit 0 naar rechts een omwenteling te laten maken.

0 1

π

2 3 4 . . .

We kunnen de natuurlijke getallen als reele getallen beschouwen, erzijn dus ten minste zoveel reele als natuurlijke getallen.Maar de vraag blijft: Hoeveel?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 36: Hoeveel Elementen?

De vragen zijn niet goed gesteld

De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.

Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.

Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantalprovincies van Nederland.

Wie het Mohawk of Fins niet beheerst heeft aan de eerste tweeantwoorden niets.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 37: Hoeveel Elementen?

De vragen zijn niet goed gesteld

De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.

Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.

Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantalprovincies van Nederland.

Wie het Mohawk of Fins niet beheerst heeft aan de eerste tweeantwoorden niets.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 38: Hoeveel Elementen?

De vragen zijn niet goed gesteld

De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.

Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.

Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantalprovincies van Nederland.

Wie het Mohawk of Fins niet beheerst heeft aan de eerste tweeantwoorden niets.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 39: Hoeveel Elementen?

De vragen zijn niet goed gesteld

De vraag “Hoeveel?” is eigenlijk geen goede vraag.

Een verzameling heeft geen intrinsiek ‘aantal elementen’.

Dat is te zien aan de antwoorden op de vraag naar het aantalprovincies van Nederland.

Wie het Mohawk of Fins niet beheerst heeft aan de eerste tweeantwoorden niets.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 40: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer?

kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 41: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer?

kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 42: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer?

kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 43: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer?

kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 44: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer? kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 45: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer? kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?

Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 46: Hoeveel Elementen?

Wat kunnen we doen?

We kunnen vergelijken.

Denk aan lengten: als je wilt weten wie/wat het langst is danzet/leg je de dingen naast elkaar.

welke is langer? kijk en vergelijk

En als we de objecten niet kunnen verplaatsen?Gebruik een stokje en pas de lengten af.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 47: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Met verzamelingen kan zoiets ook

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zα β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Kijk en vergelijk.

Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘evenveel’ en ‘meer’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 48: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Met verzamelingen kan zoiets ook

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Kijk en vergelijk.

Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘evenveel’ en ‘meer’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 49: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Met verzamelingen kan zoiets ook

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zα β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Kijk en vergelijk.

Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘evenveel’ en ‘meer’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 50: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Met verzamelingen kan zoiets ook

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zα β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Kijk en vergelijk.

Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘evenveel’ en ‘meer’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 51: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Met verzamelingen kan zoiets ook

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zα β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ ν ξ o π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Kijk en vergelijk.

Op deze manier kunnen we betekenis hechten aan ‘minder’, ‘evenveel’ en ‘meer’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 52: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 53: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 54: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,

een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 55: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,

. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 56: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 57: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.

Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 58: Hoeveel Elementen?

Verzamelingen vergelijken

Voor ‘eindige’ verzamelingen werkt deze methode in principe altijd:

een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,een van mij, een van jou,. . .

de verzameling die het eerst leeg is heeft minder elementen dan deandere.Bij gelijk eindigen: even veel.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 59: Hoeveel Elementen?

Vergelijken op afstand

Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?

Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van deverzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.

Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.

Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ganaar de andere en vergelijk.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 60: Hoeveel Elementen?

Vergelijken op afstand

Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?

Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van deverzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.

Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.

Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ganaar de andere en vergelijk.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 61: Hoeveel Elementen?

Vergelijken op afstand

Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?

Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van deverzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.

Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.

Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ganaar de andere en vergelijk.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 62: Hoeveel Elementen?

Vergelijken op afstand

Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?

Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van deverzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.

Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.

Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.

Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ganaar de andere en vergelijk.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 63: Hoeveel Elementen?

Vergelijken op afstand

Wat als de verzamelingen niet bij elkaar te brengen zijn?

Neem een stok en maak een kerfje voor elk element van deverzameling hier en neem die kerfstok mee naar de andere.

Vergelijk de andere verzameling met de verzameling kerfjes, klaar.

Die kerfstok kan vaker gebruikt worden.Markeer de kerfjes die met de ene verzameling corresponderen, ganaar de andere en vergelijk.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 64: Hoeveel Elementen?

Notatiesystemen

Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.

Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .

voor gebruiken.

Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.

Na verloop van tijd gaf zo’n systeem het antwoord op de vraag:

hoeveel elementen?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 65: Hoeveel Elementen?

Notatiesystemen

Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.

Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .

voor gebruiken.

Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.

Na verloop van tijd gaf zo’n systeem het antwoord op de vraag:

hoeveel elementen?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 66: Hoeveel Elementen?

Notatiesystemen

Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.

Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .

voor gebruiken.

Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.

Na verloop van tijd gaf zo’n systeem het antwoord op de vraag:

hoeveel elementen?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 67: Hoeveel Elementen?

Notatiesystemen

Er zijn veel systemen bedacht om aantallen weer te geven.

Al die systemen beschrijven hetzelfde: datgene dat waar wij

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .

voor gebruiken.

Ze maken een betere boekhouding mogelijk dan kerfstokken.

Na verloop van tijd gaf zo’n systeem het antwoord op de vraag:

hoeveel elementen?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 68: Hoeveel Elementen?

Een aantal kerfstokken/notatiesystemen

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 69: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijkegetallen) nu?

Dat kunnen we niet zeggen omdatwe geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.

Als in het begin moeten we het eerst gaan hebben over ‘meer’,‘minder’ en ‘even veel’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 70: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijkegetallen) nu?

Dat kunnen we niet zeggen omdat

we geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.

Als in het begin moeten we het eerst gaan hebben over ‘meer’,‘minder’ en ‘even veel’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 71: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijkegetallen) nu?

Dat kunnen we niet zeggen omdatwe geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.

Als in het begin moeten we het eerst gaan hebben over ‘meer’,‘minder’ en ‘even veel’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 72: Hoeveel Elementen?

Hoeveel natuurlijke getallen?

Hoeveel elementen heeft N (de verzameling der natuurlijkegetallen) nu?

Dat kunnen we niet zeggen omdatwe geen punt op onze kerfstok hebben dat met N correspondeert.

Als in het begin moeten we het eerst gaan hebben over ‘meer’,‘minder’ en ‘even veel’.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 73: Hoeveel Elementen?

Uit een brief van Cantor aan Dedekind

Halle, d. 29ten Nov. 73.

Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen nund bezeichne ihn mit (n); ferner denke man sich etwa denInbegriff aller positiven reellen Zahlgrossen x und bezeichne ihnmit (x); so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) sozuordenen lasse, dass zu jedem Individuum des einen Inbegriffes einund nur eines des andern gehort?

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 74: Hoeveel Elementen?

De betekenis van Cantor’s vraag

Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindigeverzamelingen.

De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen alspunten op een lijn?

Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd: er is eenmassahuwelijk mogelijk waarbij elk natuurlijk getal met een punt opde lijn en elk punt op de lijn met een natuurlijk getal zal trouwen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 75: Hoeveel Elementen?

De betekenis van Cantor’s vraag

Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindigeverzamelingen.

De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen alspunten op een lijn?

Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd: er is eenmassahuwelijk mogelijk waarbij elk natuurlijk getal met een punt opde lijn en elk punt op de lijn met een natuurlijk getal zal trouwen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 76: Hoeveel Elementen?

De betekenis van Cantor’s vraag

Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindigeverzamelingen.

De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen alspunten op een lijn?

Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd

: er is eenmassahuwelijk mogelijk waarbij elk natuurlijk getal met een punt opde lijn en elk punt op de lijn met een natuurlijk getal zal trouwen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 77: Hoeveel Elementen?

De betekenis van Cantor’s vraag

Dit was de eerste keer dat deze vraag gesteld werd voor oneindigeverzamelingen.

De vraag komt neer op: zijn er even veel natuurlijke getallen alspunten op een lijn?

Hierbij is ‘even veel’ ondubbelzinnig gedefinieerd: er is eenmassahuwelijk mogelijk waarbij elk natuurlijk getal met een punt opde lijn en elk punt op de lijn met een natuurlijk getal zal trouwen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 78: Hoeveel Elementen?

In wiskundige termen

In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieveafbeeldingen.

Een afbeelding f : A→ B is bijectief als

voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldtdat f (a1) 6= f (a2) en

voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.

Het “een van mij, een van jou” beslist voor eindige verzamelingenin eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 79: Hoeveel Elementen?

In wiskundige termen

In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieveafbeeldingen.

Een afbeelding f : A→ B is bijectief als

voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldtdat f (a1) 6= f (a2) en

voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.

Het “een van mij, een van jou” beslist voor eindige verzamelingenin eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 80: Hoeveel Elementen?

In wiskundige termen

In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieveafbeeldingen.

Een afbeelding f : A→ B is bijectief als

voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldtdat f (a1) 6= f (a2) en

voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.

Het “een van mij, een van jou” beslist voor eindige verzamelingenin eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 81: Hoeveel Elementen?

In wiskundige termen

In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieveafbeeldingen.

Een afbeelding f : A→ B is bijectief als

voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldtdat f (a1) 6= f (a2) en

voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.

Het “een van mij, een van jou” beslist voor eindige verzamelingenin eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 82: Hoeveel Elementen?

In wiskundige termen

In plaats van ‘massahuwelijken’ spreken we van bijectieveafbeeldingen.

Een afbeelding f : A→ B is bijectief als

voor elk tweetal verschillende elementen a1 en a2 van A geldtdat f (a1) 6= f (a2) en

voor elke b ∈ B een a ∈ A bestaat met f (a) = b.

Het “een van mij, een van jou” beslist voor eindige verzamelingenin eindige tijd of er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 83: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren een bewijs dat deze werkt of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 84: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren

een bewijs dat deze werkt of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 85: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren een bewijs dat deze werkt

of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 86: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren een bewijs dat deze werkt of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 87: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren een bewijs dat deze werkt of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 88: Hoeveel Elementen?

Hoe Cantor’s vraag te beantwoorden?

Men kan:

een formule/beschrijving geven van een bijectieve f : N→ Ren een bewijs dat deze werkt of

een bewijs dat zo’n formule/beschrijving niet bestaat.

Het proces van “een van mij, een van jou” werkt hier niet omdathet geen verifieerbare beschrijving oplevert.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 89: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 90: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 91: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)

laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 92: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen

; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 93: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .

0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 94: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 95: Hoeveel Elementen?

Een paar formules

De formule n 7→ 2n laat zien dat er even veel even natuurlijkegetallen zijn als natuurlijke getallen.

De formule

n 7→ (−1)n(

n

2+−1 + (−1)n

4

)laat zien dat er even veel gehele getallen zijn als natuurlijkegetallen; de echtparen zijn als volgt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 5 −5 . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 96: Hoeveel Elementen?

Paren en breuken

De formule

(m, n)→ 1

2(m + n − 2)(m + n − 1) + m

laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan alsnatuurlijke getallen.

Er zijn dus ook even veel (positieve) breuken als natuurlijkegetallen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 97: Hoeveel Elementen?

Paren en breuken

De formule

(m, n)→ 1

2(m + n − 2)(m + n − 1) + m

laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan alsnatuurlijke getallen.

Er zijn dus ook even veel (positieve) breuken als natuurlijkegetallen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 98: Hoeveel Elementen?

Paren en breuken

De formule

(m, n)→ 1

2(m + n − 2)(m + n − 1) + m

laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan alsnatuurlijke getallen.

Er zijn dus ook even veel (positieve) breuken als natuurlijkegetallen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 99: Hoeveel Elementen?

Paren en breuken

De formule

(m, n)→ 1

2(m + n − 2)(m + n − 1) + m

laat zien dat er even veel paren natuurlijke getallen bestaan alsnatuurlijke getallen.

Er zijn dus ook even veel (positieve) breuken als natuurlijkegetallen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 100: Hoeveel Elementen?

Het antwoord van Cantor op zijn eigen vraag

Uit: Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellenalgebraischen Zahlen, 1874

Stelling

Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihevon einander verschiedener reeller Zahlgroßen

ω1, ω2, . . . , ων , . . . (4)

vorliegt, so laßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eineZahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesenwerden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 101: Hoeveel Elementen?

Het antwoord van Cantor op zijn eigen vraag

Uit: Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellenalgebraischen Zahlen, 1874

Stelling

Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihevon einander verschiedener reeller Zahlgroßen

ω1, ω2, . . . , ων , . . . (4)

vorliegt, so laßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eineZahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesenwerden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 102: Hoeveel Elementen?

Wat betekent dit?

Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R(de verzameling der reele getallen).

Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met desymbolen die Cantor ingevoerd heeft:

ℵ0, de machtigheid van Nc, de machtigheid van R

Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’zouden willen noemen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 103: Hoeveel Elementen?

Wat betekent dit?

Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R(de verzameling der reele getallen).Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met desymbolen die Cantor ingevoerd heeft:

ℵ0, de machtigheid van Nc, de machtigheid van R

Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’zouden willen noemen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 104: Hoeveel Elementen?

Wat betekent dit?

Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R(de verzameling der reele getallen).Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met desymbolen die Cantor ingevoerd heeft:

ℵ0, de machtigheid van N

c, de machtigheid van R

Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’zouden willen noemen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 105: Hoeveel Elementen?

Wat betekent dit?

Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R(de verzameling der reele getallen).Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met desymbolen die Cantor ingevoerd heeft:

ℵ0, de machtigheid van Nc, de machtigheid van R

Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’zouden willen noemen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 106: Hoeveel Elementen?

Wat betekent dit?

Er zijn ten minste twee soorten oneindig: die van N en die van R(de verzameling der reele getallen).Dit geeft ons twee extra kerfjes op de stok; we markeren ze met desymbolen die Cantor ingevoerd heeft:

ℵ0, de machtigheid van Nc, de machtigheid van R

Machtigheid is Cantor’s term voor wat we ‘het aantal elementen’zouden willen noemen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 107: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 108: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben

; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 109: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 110: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok

:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 111: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,

ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 112: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . ,

c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 113: Hoeveel Elementen?

Onze kerfstok

Als we oneindige verzamelingen bekijken kunnen we ons dusafvragen of deze even groot zijn als N of even groot als R.

We vragen dus niet hoeveel elementen N en R hebben; wegebruiken ze als modelverzamelingen om mee te vergelijken.

Hier is de kerfstok:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . ,ℵ0, . . . , c, . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 114: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 115: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?

Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 116: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 117: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 118: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 119: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Eerste vraag: is er iets tussen ℵ0 en c?

ℵ20 misschien?Dat is de machtigheid van N× N, de verzameling van alle parennatuurlijke getallen.

We hebben al een bijectie tussen N× N en N gezien, dus

ℵ20 = ℵ0

Met inductie volgt: ℵn0 = ℵ0 voor alle n.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 120: Hoeveel Elementen?

Continuumhypothese

Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er nietstussen ℵ0 en c te vinden is.

Dit is Cantor’s Continuumhypothese.

Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.

We kunnen dat laatste bewijzen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 121: Hoeveel Elementen?

Continuumhypothese

Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er nietstussen ℵ0 en c te vinden is.

Dit is Cantor’s Continuumhypothese.

Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.

We kunnen dat laatste bewijzen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 122: Hoeveel Elementen?

Continuumhypothese

Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er nietstussen ℵ0 en c te vinden is.

Dit is Cantor’s Continuumhypothese.

Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.

We kunnen dat laatste bewijzen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 123: Hoeveel Elementen?

Continuumhypothese

Cantor vermoedde, en dacht te kunnen bewijzen, dat er nietstussen ℵ0 en c te vinden is.

Dit is Cantor’s Continuumhypothese.

Deze is noch te bewijzen, noch te ontkrachten.

We kunnen dat laatste bewijzen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 124: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Tweede vraag: is er iets boven c?

Bijvoorbeeld c2, de machtigheid van het platte vlak?

Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2.

Er zijn zelfs even veel rijen reele getallen als er reele getallen zijn;met behulp van Cantor’s symbolen: c = cℵ0 .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 125: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Tweede vraag: is er iets boven c?

Bijvoorbeeld c2, de machtigheid van het platte vlak?

Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2.

Er zijn zelfs even veel rijen reele getallen als er reele getallen zijn;met behulp van Cantor’s symbolen: c = cℵ0 .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 126: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Tweede vraag: is er iets boven c?

Bijvoorbeeld c2, de machtigheid van het platte vlak?

Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2.

Er zijn zelfs even veel rijen reele getallen als er reele getallen zijn;met behulp van Cantor’s symbolen: c = cℵ0 .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 127: Hoeveel Elementen?

Is er meer?

Tweede vraag: is er iets boven c?

Bijvoorbeeld c2, de machtigheid van het platte vlak?

Cantor: R en R2 hebben even veel elementen; dus c = c2.

Er zijn zelfs even veel rijen reele getallen als er reele getallen zijn;met behulp van Cantor’s symbolen: c = cℵ0 .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 128: Hoeveel Elementen?

Er is meer

Elke verzameling heeft echt minder elementen dandeelverzamelingen.

Als f : X → P(X ) een willekeurige afbeelding is dan is er geen xmet f (x) = A, waarbij A = {z ∈ X : z /∈ f (z)}.

Geen enkele f : X → P(X ) is dus bijectief.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 129: Hoeveel Elementen?

Er is meer

Elke verzameling heeft echt minder elementen dandeelverzamelingen.

Als f : X → P(X ) een willekeurige afbeelding is dan is er geen xmet f (x) = A, waarbij A = {z ∈ X : z /∈ f (z)}.

Geen enkele f : X → P(X ) is dus bijectief.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 130: Hoeveel Elementen?

Er is meer

Elke verzameling heeft echt minder elementen dandeelverzamelingen.

Als f : X → P(X ) een willekeurige afbeelding is dan is er geen xmet f (x) = A, waarbij A = {z ∈ X : z /∈ f (z)}.

Geen enkele f : X → P(X ) is dus bijectief.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 131: Hoeveel Elementen?

Er is meer

Dit is van toepassing op R: de machtigheid van P(R) is striktgroter dan die van R.

Meer algemeen: er is geen grootste machtigheid.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 132: Hoeveel Elementen?

Er is meer

Dit is van toepassing op R: de machtigheid van P(R) is striktgroter dan die van R.

Meer algemeen: er is geen grootste machtigheid.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 133: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben:

een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 134: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 135: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat

|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 136: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 137: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 138: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 139: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Wat we nog niet hebben: een functie

X 7→ |X |

met de eigenschap dat|X | = |Y |

equivalent is met

“er is een bijectie tussen X en Y ”.

dat is wat we van de notie ‘aantal elementen’ (of ‘kardinaalgetal’)willen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 140: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 141: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 142: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 143: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet

want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 144: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok

, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 145: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

De waarden

|N| = ℵ0 en

|R| = c

voldoen niet want ℵ0 en c waren alleen maar tekentjes op onzekerfstok, geen duidelijke wiskundige objecten.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 146: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n; en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n; en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 147: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n;

en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n; en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 148: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n; en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1;

en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n; en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 149: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n; en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n; en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 150: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n; en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n;

en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 151: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Hier is zo’n functie:

|∅| = 0

|{1, . . . , n}| =∑n

i=1 2−n; en elke X even groot als dezeverzameling krijgt deze waarde

|N| =∑∞

i=1 2−n = 1; en elke aftelbare X krijgt deze waarde

|R| = π; idem voor alles wat even groot is als R

|Pn(R)| = πππ··

·π}n; en alles . . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 152: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima. . .

. . . als we genegen zijn de Gegeneraliseerde Continuumhypotheseaan te nemen.

Dat wil zeggen voor geen enkele oneindige X is er een machtigheidtussen die van X en P(X ).

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 153: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima. . .

. . . als we genegen zijn de Gegeneraliseerde Continuumhypotheseaan te nemen.

Dat wil zeggen voor geen enkele oneindige X is er een machtigheidtussen die van X en P(X ).

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 154: Hoeveel Elementen?

Kardinaalgetallen?

Gek genoeg: voor 99% van de wiskunde voldoet deze functie prima. . .

. . . als we genegen zijn de Gegeneraliseerde Continuumhypotheseaan te nemen.

Dat wil zeggen voor geen enkele oneindige X is er een machtigheidtussen die van X en P(X ).

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 155: Hoeveel Elementen?

Maar nu serieus

Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?

Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?En die geen menselijke tussenkomst vergt?

Die definitie is er maar het is even wennen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 156: Hoeveel Elementen?

Maar nu serieus

Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?

Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?

En die geen menselijke tussenkomst vergt?

Die definitie is er maar het is even wennen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 157: Hoeveel Elementen?

Maar nu serieus

Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?

Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?En die geen menselijke tussenkomst vergt?

Die definitie is er maar het is even wennen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 158: Hoeveel Elementen?

Maar nu serieus

Kan dat niet wat eenvoudiger/basaler/natuurlijker?

Is er een definitie van |X | die wat verzamelingtheoretischer is?En die geen menselijke tussenkomst vergt?

Die definitie is er maar het is even wennen.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 159: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0gekozen en R als die van c.

Hoe zit dat met de eindige machtigheden?

Von Neumann heeft daar wat op gevonden.

De lege verzameling, ∅, is een perfecte representant voor demachtigheid 0.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 160: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0gekozen en R als die van c.

Hoe zit dat met de eindige machtigheden?

Von Neumann heeft daar wat op gevonden.

De lege verzameling, ∅, is een perfecte representant voor demachtigheid 0.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 161: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0gekozen en R als die van c.

Hoe zit dat met de eindige machtigheden?

Von Neumann heeft daar wat op gevonden.

De lege verzameling, ∅, is een perfecte representant voor demachtigheid 0.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 162: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

We hebben N als standaard representant van de machtigheid ℵ0gekozen en R als die van c.

Hoe zit dat met de eindige machtigheden?

Von Neumann heeft daar wat op gevonden.

De lege verzameling, ∅, is een perfecte representant voor demachtigheid 0.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 163: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

{∅} is een prima representant voor 1

{∅, {∅}} is een prima representant voor 2

{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representantvoor 4

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 164: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

{∅} is een prima representant voor 1

{∅, {∅}} is een prima representant voor 2

{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representantvoor 4

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 165: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

{∅} is een prima representant voor 1

{∅, {∅}} is een prima representant voor 2

{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representantvoor 4

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 166: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

{∅} is een prima representant voor 1

{∅, {∅}} is een prima representant voor 2

{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representantvoor 4

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 167: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

{∅} is een prima representant voor 1

{∅, {∅}} is een prima representant voor 2

{∅, {∅}, {∅, {∅}}} is een prima representant voor 3

{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} is een prima representantvoor 4

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 168: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 169: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.

1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 170: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.

2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 171: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.

3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 172: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.

4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 173: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 174: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 175: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.

Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 176: Hoeveel Elementen?

Wat is een natuurlijk getal?

Von Neumann draaide dit om en maakte er een definitie van:

We definieren 0 = ∅.1 = {∅}, dus 1 = {0}.2 = {∅, {∅}}, dus 2 = {0, 1}.3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, dus 3 = {0, 1, 2}.4 = {0, 1, 2, 3}.

Elk natuurlijk getal is de verzameling van zijn voorgangers.Zo kunnen de natuurlijke getallen geheel in termen vanverzamelingen gedefinieerd worden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 177: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 178: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 179: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 180: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 181: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 182: Hoeveel Elementen?

Eindige definitie van N

Merk op, met deze definitie volgt n + 1 = n ∪ {n}.

De verzameling N der natuurlijke getallen is hiermee de kleinsteverzameling met de volgende twee eigenschappen

∅ ∈ N, en

als x ∈ N dan x ∪ {x} ∈ N.

Dit is een definitie zonder . . . er in en in eindig veel symbolen opte schrijven.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 183: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:

ordinaalgetallen.

Een ordinaalgetal is een verzameling x met

als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x , (transitiviteit)

als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y(lineair geordend door ∈)

als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈(welgeordend door ∈)

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 184: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:

ordinaalgetallen.

Een ordinaalgetal is een verzameling x met

als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x , (transitiviteit)

als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y(lineair geordend door ∈)

als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈(welgeordend door ∈)

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 185: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:

ordinaalgetallen.

Een ordinaalgetal is een verzameling x met

als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x , (transitiviteit)

als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y(lineair geordend door ∈)

als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈(welgeordend door ∈)

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 186: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:

ordinaalgetallen.

Een ordinaalgetal is een verzameling x met

als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x , (transitiviteit)

als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y(lineair geordend door ∈)

als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈(welgeordend door ∈)

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 187: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Dit leidde tot een bijzondere klasse van verzamelingen:

ordinaalgetallen.

Een ordinaalgetal is een verzameling x met

als y ∈ x en z ∈ y dan z ∈ x , (transitiviteit)

als y , z ∈ x dan y ∈ z of y = z of z ∈ y(lineair geordend door ∈)

als a ⊆ x dan heeft a een minimum ten opzichte van ∈(welgeordend door ∈)

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 188: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumanngedefinieerd, is een ordinaalgetal

,

N is het ook;

met Cantor noteren we N-als-ordinaalgetal ook wel als ω.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 189: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumanngedefinieerd, is een ordinaalgetal,

N is het ook

;

met Cantor noteren we N-als-ordinaalgetal ook wel als ω.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 190: Hoeveel Elementen?

Ordinaalgetallen

Elk natuurlijk getal, zoals hierboven door Von Neumanngedefinieerd, is een ordinaalgetal,

N is het ook;

met Cantor noteren we N-als-ordinaalgetal ook wel als ω.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 191: Hoeveel Elementen?

De ultieme meetlat

De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.

We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnende verzamelingenleer definieren:

Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat evengroot is als X .

De ordinaalgetallen vormen een wat fijnmaziger structuur dan dieder machtigheden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 192: Hoeveel Elementen?

De ultieme meetlat

De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.

We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnende verzamelingenleer definieren:

Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat evengroot is als X .

De ordinaalgetallen vormen een wat fijnmaziger structuur dan dieder machtigheden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 193: Hoeveel Elementen?

De ultieme meetlat

De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.

We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnende verzamelingenleer definieren:

Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat evengroot is als X .

De ordinaalgetallen vormen een wat fijnmaziger structuur dan dieder machtigheden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 194: Hoeveel Elementen?

De ultieme meetlat

De ordinaalgetallen vormen de ultieme meetlat.

We kunnen nu de machtigheid of het kardinaalgetal geheel binnende verzamelingenleer definieren:

Het kardinaalgetal van X is het kleinste ordinaalgetal dat evengroot is als X .

De ordinaalgetallen vormen een wat fijnmaziger structuur dan dieder machtigheden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 195: Hoeveel Elementen?

Wat met R?

Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0.

Hoe zit het met c, de machtigheid van R?

Cantor’s Continuumhypothese komt neer op

“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.

De plaats van c is dus niet te bepalen; dat wil zeggen niet metbehulp van de gangbare spelregels van de verzamelingenleer.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 196: Hoeveel Elementen?

Wat met R?

Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0.

Hoe zit het met c, de machtigheid van R?

Cantor’s Continuumhypothese komt neer op

“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.

De plaats van c is dus niet te bepalen; dat wil zeggen niet metbehulp van de gangbare spelregels van de verzamelingenleer.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 197: Hoeveel Elementen?

Wat met R?

Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0.

Hoe zit het met c, de machtigheid van R?

Cantor’s Continuumhypothese komt neer op

“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.

De plaats van c is dus niet te bepalen; dat wil zeggen niet metbehulp van de gangbare spelregels van de verzamelingenleer.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 198: Hoeveel Elementen?

Wat met R?

Verzamelingtheoretisch geldt: N = ω = ℵ0.

Hoe zit het met c, de machtigheid van R?

Cantor’s Continuumhypothese komt neer op

“R is net zo groot als het eerste overaftelbare ordinaalgetal”.

De plaats van c is dus niet te bepalen; dat wil zeggen niet metbehulp van de gangbare spelregels van de verzamelingenleer.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 199: Hoeveel Elementen?

R heeft meer elementen dan N

Stelling

Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihevon einander verschiedener reeller Zahlgroßen

ω1, ω2, . . . , ων , . . . (4)

vorliegt, so laßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eineZahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesenwerden.

Met andere woorden: bij elke koppeling van natuurlijke getallenaan reele getallen blijven er altijd reele muurbloempjes over.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 200: Hoeveel Elementen?

R heeft meer elementen dan N

Stelling

Wenn eine nach irgendeinerm Gesetze gegebenen unendliche Reihevon einander verschiedener reeller Zahlgroßen

ω1, ω2, . . . , ων , . . . (4)

vorliegt, so laßt sich in jedem vorgegebenen Intervalle (α . . . β) eineZahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) bestimmen,welche in der Reihe (4) nicht vorkommt; dies sol nun bewiesenwerden.

Met andere woorden: bij elke koppeling van natuurlijke getallenaan reele getallen blijven er altijd reele muurbloempjes over.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 201: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.

Hij begon met een rij

ω1, ω2, . . . , ων , . . .

van reele getallen en een willekeurig interval

(α, β)

Hij liet toen zien dat er een reeel getal η ∈ (α, β) bestaat ongelijkaan alle ων .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 202: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.Hij begon met een rij

ω1, ω2, . . . , ων , . . .

van reele getallen en een willekeurig interval

(α, β)

Hij liet toen zien dat er een reeel getal η ∈ (α, β) bestaat ongelijkaan alle ων .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 203: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

Cantor’s bewijs maakte gebruik van de volledigheid van R.Hij begon met een rij

ω1, ω2, . . . , ων , . . .

van reele getallen en een willekeurig interval

(α, β)

Hij liet toen zien dat er een reeel getal η ∈ (α, β) bestaat ongelijkaan alle ων .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 204: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α β

α1 β1α2 β2α3 β3

Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α, β) liggen en wel zo dat α1 < β1.

Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α1, β1) liggen en wel zo dat α2 < β2.

Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α2, β2) liggen en wel zo dat α3 < β3.

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 205: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1

α2 β2α3 β3

Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α, β) liggen en wel zo dat α1 < β1.

Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α1, β1) liggen en wel zo dat α2 < β2.

Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α2, β2) liggen en wel zo dat α3 < β3.

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 206: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2

α3 β3

Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α, β) liggen en wel zo dat α1 < β1.

Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α1, β1) liggen en wel zo dat α2 < β2.

Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α2, β2) liggen en wel zo dat α3 < β3.

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 207: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α, β) liggen en wel zo dat α1 < β1.

Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α1, β1) liggen en wel zo dat α2 < β2.

Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α2, β2) liggen en wel zo dat α3 < β3.

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 208: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

Laat α1 en β1 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α, β) liggen en wel zo dat α1 < β1.

Laat α2 en β2 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α1, β1) liggen en wel zo dat α2 < β2.

Laat α3 en β3 de eerste twee termen van de rij zijn (zo die erzijn) die in (α2, β2) liggen en wel zo dat α3 < β3.

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 209: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α β

α1 β1α2 β2α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 210: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α β

α1 β1α2 β2α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 211: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1

α2 β2α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 212: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2

α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 213: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 214: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

Bedenk zelf waarom

ω1, ω2 /∈ (α1, β1),

ω3, ω4 /∈ (α2, β2),

ω5, ω6 /∈ (α3, β3),

. . .

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 215: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

ων

η

Geval 1: de constructie stopt bij n.Waarom zou dat kunnen gebeuren?Nog maar een (of geen) ων in (αn, βn); dan is η gauw gevonden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 216: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

ων

η

Geval 1: de constructie stopt bij n.

Waarom zou dat kunnen gebeuren?Nog maar een (of geen) ων in (αn, βn); dan is η gauw gevonden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 217: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

ων

η

Geval 1: de constructie stopt bij n.Waarom zou dat kunnen gebeuren?

Nog maar een (of geen) ων in (αn, βn); dan is η gauw gevonden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 218: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3ων

η

Geval 1: de constructie stopt bij n.Waarom zou dat kunnen gebeuren?Nog maar een (of geen) ων in (αn, βn);

dan is η gauw gevonden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 219: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3ων

η

Geval 1: de constructie stopt bij n.Waarom zou dat kunnen gebeuren?Nog maar een (of geen) ων in (αn, βn); dan is η gauw gevonden.

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 220: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.Laat a = supn αn en b = infn βn.Dan a 6 b.Neem η ∈ [a, b], klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 221: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3

a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.

Laat a = supn αn en b = infn βn.Dan a 6 b.Neem η ∈ [a, b], klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 222: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.Laat a = supn αn en b = infn βn.

Dan a 6 b.Neem η ∈ [a, b], klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 223: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.Laat a = supn αn en b = infn βn.Dan a 6 b.

Neem η ∈ [a, b], klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 224: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.Laat a = supn αn en b = infn βn.Dan a 6 b.Neem η ∈ [a, b]

, klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 225: Hoeveel Elementen?

Het bewijs

α βα1 β1α2 β2α3 β3a b

η

Geval 2: de constructie stopt nooit.Laat a = supn αn en b = infn βn.Dan a 6 b.Neem η ∈ [a, b], klaar!

K. P. Hart Hoeveel elementen?

Page 226: Hoeveel Elementen?

Verder lezen

Website: fa.its.tudelft.nl/~hart

K. P. Hart.De Continuumhypothese, Nieuw Archief voor Wiskunde, 10(2009), 33–39.

K. P. Hart Hoeveel elementen?