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5/12/2018 Digital Signal Processing - slidepdf.com

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ディジタル信号処理試験問題¾ ¼ ½ ¼  

年 

月¿ 

日(火曜日) 

時 ¼ 

分¹ ½ ¼ 

時¾ ¼ 

次の問題 ½  から   について解答せよ.各問題の解答は,対応する解答用紙のページに

記述せよ.各ページの表面が足りないときには,裏面に記入せよ.

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1.  離散時間信号 の離散時間フーリエ変換 は次のように定義される. )(n x )(ω  je X 

∑∞

−∞=

−=n

n j jen xe X 

ω ω )()(  

ここで, π π  ~−= である.以下の問に答えよ. 

(a)  ある離散時間信号 の離散時間フーリエ変換 が次式で与えられてい

るものとする. 

)(n x )(ω  je X 

)cos1()( ω ω ω  += − j j ee X   

振幅スペクトル )(ω  je X  と位相スペクトル を求め,それらを図示せよ.)(

ω  je X ∠

 

(b)  前問(a)の離散時間信号 を求めよ. 

ヒント:必要ならば以下の公式を使ってよい.  

)(n x

2 / )(cosω ω 

ω j j ee −+=

)(2

1   nd en j

δ  ω π 

π 

π 

ω  =∫ −  

ω π 

π 

π 

ω ω d ee X n x n j j

∫ −=  )(

2

1)( (離散時間フーリエ逆変換) 

(c)  前問(a)における離散時間フーリエ変換 と振幅スペクトルが共通で,位

相スペクトルのみを 0 に変更した,次のような離散時間フーリエ変換 を

考える. 

)(ω  je X 

)(ω  jeY 

振幅スペクトル )()(ω ω  j j e X eY  =  

位相スペクトル 0)( =∠ ω  jeY 

( π π ω  ~−= ) 

このとき, に対応する離散時間信号 を求めよ. )( ω  jeY  )(n y

 

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2. N 点の離散時間信号 x(n), n = 0 ∼ N − 1の離散フーリエ変換X (k)は,次式で定義される.

X (k) =

N −1

∑n=0

x(n)W kn

N  , k = 0 ∼ N − 1 (1)

ここで,回転因子W N は,W N  = e−j2π

N である.

また,X (k)の離散フーリエ逆変換 x(n)は,次式で定義される.

x(n) =1

N −1∑

k=0

X (k)W −knN  , n = 0 ∼ N − 1 (2)

離散フーリエ変換,離散フーリエ逆変換に関して,以下の問に答えよ.

(a)次の

8点の離散時間信号 x

(n

)の離散フーリエ変換X 

(k

)を求め,その振幅スペクトル

|X 

(k

)|を図示せよ.

x(n) = [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]

(b) 離散フーリエ変換 Y (k)が次式で与えられる離散時間信号 y(n)を離散フーリエ変換によって求めよ.

Y (k) = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

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3. 単位インパルス応答 h(n)をもつディジタルフィルタについて次の問に答えよ.

(a) このフィルタの入力 x(n)と出力 y(n)の関係を表すたたみこみの表現を示せ.(略記

“*”を用いた表現ではなく,数式を示すこと.)

(b) h(n) = [−1, 2,−1]と x(n) = [1, 3, 2, 4] と与えられているとき,y(n)を計算し,図

示せよ.

(c) (b)のインパルス応答 h(n)をもつフィルタ構造を遅延素子,加算器,乗算器を用い

て図示せよ.

(d) このフィルタの伝達関数H (z)を求めよ.

(e) このフィルタの振幅特性H (ejω)

と位相特性 ̸H (ejω)を求め,それぞれ図示せよ.

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º  低域フィルタの設計仕様が次のような周波数応答によって与えられる場合を考える.

À   ́  

 

µ  

  

 

  

½    ¼        «  

¼  «          

ここで¼  «   ½ 

とする.

´ µ  このフィルタの単位インパルス応答    ́ Ò  µ  は

   ́ Ò  µ   «  × Ò ´  « Ò  µ  Ò    ½   ·  ½ 

となることを示せ.

ヒント:

 ̄

単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

は周波数応答À   ́  

 

µ 

の離散時間フーリエ逆変換

によって次式で与えられる.

   ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À   ́  

 

µ   

Ò 

Ò     ½   ·  ½  ´ ½ µ 

 ̄ × Ò ´  Ü  µ  はカーディナルサイン関数を呼ばれ,× Ò ´  Ü  µ  

× Ò ´   Ü  µ 

Ü 

と定義さ

れる.

´ µ  «  ¼      のとき,単位インパルス応答   ´ ¼ µ    ´ ½ µ    ´ ¾ µ  の値を求めよ.

´ µ  «  ¼     

のとき,単位インパルス応答   ́ Ò  µ ¼ 

となるÒ 

をすべて求めよ.

´ µ  «  ¼     

のとき,Ò           

の範囲で,単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

の概形(お

およその形)を図示せよ.

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º  次に Å Ì Ä  のスクリプを示す.́ µ ¸ ´ µ ¸ ´ µ  の問に答えよ.

Ñ ¼ ¾ ± ´ ½ µ  

´ ¼ º µ º Ñ ± ´ ¾ µ  

Ü Ó Ò × ´ ½ ¸ µ » ± ´ ¿ µ  

Ð Ò Ø Ð Ò Ø ´ µ ± ´ µ  

Ü Ð Ò Ø Ð Ò Ø ´ Ü µ ± ´ µ  

Þ Ö Ó Þ Ö Ó × ´ ½ ¸ Ü Ð Ò Ø ¹ ½ µ ± ´ µ  

Ü Þ Ö Ó Ü Þ Ö Ó × ´ ½ ¸ Ð Ò Ø ¹ ½ µ ± ´ µ  

Ý Ð Ò Ø Ð Ò Ø · Ü Ð Ò Ø ¹ ½ ± ´ µ  

Ý Þ Ö Ó × ´ ½ ¸ Ý Ð Ò Ø µ ± ´ µ  

Ó Ö Ò ¼ Ý Ð Ò Ø ¹ ½ ± ´ ½ ¼ µ  

Ó Ö ¼ Ò ± ´ ½ ½ µ  

Ý ´ Ò · ½ µ Ý ´ Ò · ½ µ · Þ Ö Ó ´ · ½ µ ¶ Ü Þ Ö Ó ´ Ò ¹ · ½ µ ± ´ ½ ¾ µ  

Ò ± ´ ½ ¿ µ  

Ò ± ´ ½ µ  

Ý ± ´ ½ µ  

´ µ  ´ ½ µ ¸ ´ ¾ µ ¸ ´ ¿ µ ¸ ´ µ ¸ ´ µ ¸ ´ µ  の行の実行によって表示される Ñ   ̧    ̧ Ü   ̧ Ð Ò Ø    ̧ Ü Ð Ò Ø  ̧ 

Þ Ö Ó  の値を示せ.

´ µ  ´ ½ ¾ µ  の行は何回実行されるか?

´ µ  ´ ½ ¼ µ  から ´ ½ µ  において,ある重要なディジタル信号処理を行っている.ここで

行っている信号処理として適当なものを離散フーリエ変換,高速フーリエ変換, Á Ê 

フィルリング,Á Á Ê 

フィルタリング,たたみこみの中から選べ.

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ディジタル信号処理試験問題¾ ¼ ¼  

年 

月 

日(火曜日)½  

時¿ ¼ 

分¹ ½  

時½ ¼ 

次の問題½ 

から 

について解答せよ.各問題の解答は,対応する解答用紙のページに

記述せよ.各ページの表面が足りないときには,裏面に記入せよ.

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½ º 

次の離散時間信号Ü   ́ Ò  µ 

を考える.

Ü   ́ Ò  µ  

¿ 

 

  ¼ 

Æ   ́ Ò      µ  Ò 

は整数

ここで̧  Æ   ́ Ò  µ 

は単位インパルスである.

´ µ 

離散時間信号Ü   ́ Ò  µ 

を図示せよ.

´ µ 

離散時間信号Ü   ́ Ò  µ 

の離散時間フーリエ変換   ́  

 

µ 

を求め,       

の範

囲で振幅スペクトル     ́  

 

µ   

を図示せよ.ただし,離散時間フーリエ変換は次

式のように定義される.

   ́  

 

µ  

½ 

 

Ò    ½ 

Ü   ́ Ò  µ   

  Ò 

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2. N 点の離散時間信号 1~0 ),( −= N nn x の離散フーリエ変換 は、次式で定義される。 )(k  X 

 

1~0 ,)()(

1

0

−== ∑−

=

 N k W n xk  X  N 

n

kn N  (1)

ここで、回転因子 は、 N W  N  j

 N  eW 

π  2−

= である。 

また、 の離散フーリエ逆変換 は、次式で定義される。 )(k  X  )(n x

1~0 ,)(1

)(

1

0

−== ∑−

=

− N nW k  X 

 N n x

 N 

kn N  (2)

離散フーリエ変換、離散フーリエ逆変換に関して、以下の問いに答えよ。  

(a)  次の 8 点の離散時間信号 の離散フーリエ変換 を求め、その振幅スペクトル)(n x )(k  X  )(k  X 

を図示せよ。 

( ) [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0] x n =  

(b)  離散フーリエ変換 が次式で与えられる離散時間信号 を、離散フーリエ逆変換によ

って求めよ。 

)(k Y  )(n y

( ) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]Y k  =  

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3. 単位インパルス応答 h(n)をもつディジタルフィルタについて次の問に答えよ.

(a) このフィルタの入力 x(n)と出力 y(n)の関係を表すたたみこみの表現を示せ.(略記

“*”を用いた表現ではなく,数式を示すこと.)

(b) h(n) = [−1, 3,−1]と x(n) = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0]と与えられているとき,y(n)を計

算せよ.

(c) このフィルタの伝達関数H (z)を求めよ.

(d) このフィルタの振幅特性H (ejω)

と位相特性 ̸H (ejω)を求め,それぞれ図示せよ.

(e) このフィルタはどのような信号処理を行っているか,具体的に説明せよ.

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º 

周波数応答が次式によって与えられる理想低域フィルタについて考える.

À   ́  

 

µ  

  

 

  

½    ¼        «  

¼  «          

ここで¼  «   ½ 

である.

´ µ 

このフィルタの単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

   ́ Ò  µ   «  × Ò ´  « Ò  µ 

となることを示せ.

ヒント:

 ̄

単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

は周波数応答À   ́  

 

µ 

の離散時間フーリエ逆変換

によって次式で与えられる.

   ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À   ́  

 

µ   

Ò 

Ò     ½   ·  ½  ´ ½ µ 

 ̄ × Ò ´  Ü  µ 

はカーディナルサイン関数を呼ばれ,× Ò ´  Ü  µ  

× Ò ´   Ü  µ 

Ü 

と定義さ

れる.

´ µ  «  ¼     

のとき,単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

を図示せよ.

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5. 次に示すMATLABプログラムを実行する.下記の問に答えよ.

x = [ 1 0 0 0 0 ] ;N = length(x);

kn = 0:N-1; %(1)

WN = exp(-j*2*pi/N);

WNkn = WN.^kn; %(2)

X = zeros(1,N);

for k = 0:N-1 %(3)

for n = 0:N-1

p = mod(k*n,N);X(k+1) = X(k+1)+x(n+1)*WNkn(p+1);

end

end %(4)

(a) (1)の行において knはどのような値をもっているか.

(b) (2)の行によってどのような計算が行われるか説明せよ.

(c) (3)から (4)の行によってどのような計算が行われるかを説明せよ.

(d) このMATLABプログラムの実行後,Xはどのような値をもっているか.

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ディジタル信号処理試験問題¾ ¼ ¼  

年 

月½ 

日(金曜日)½ ¼ 

時¿ ¼ 

分¹ ½ ¾ 

時¼ ¼ 

次の問題 ½  から   について解答せよ.各問題の解答は,対応する解答用紙のページに

記述せよ.各ページの表面が足りないときには,裏面に記入せよ.

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1.  離散時間信号 の離散時間フーリエ変換 は次のように定義される. )(n x )(ω  j

e X 

∑∞

−∞=

−=n

n j jen xe X 

ω ω 

)()(  

ここで, π  π   ~−= である.以下の問に答えよ. 

(a)  次のような離散時間信号 の離散時間フーリエ変換 を求めよ. )(1 n x )(1

ω  je X 

⎩⎨⎧ ≤≤

=その他のとき

のとき

0

701)(1

nn x  

また, 0= における振幅 )(0

1

 je X  の値を求めよ.さらに, 0)(1 =ω  j

e X  となる

周波数 )( π  ω π   ≤≤− をすべて求めよ. 

(b)  を整数としたとき,m )()(12

mn xn x −= で定義される離散時間信号 を考

える.この信号の離散時間フーリエ変換 を,前問(a)で求めた を

用いて,できるだけ簡単な形で表せ.理由を明記すること.  

)(2n x

)(2

ω  je X  )(

1

ω  je X 

 

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2. N 点の離散時間信号 1~0 ),( −= N nn x の離散フーリエ変換 は、次式で定義される。 )(k  X 

 

1~0 ,)()(

1

0

−==

= N k W n xk  X 

 N 

n

kn

 N  (1)

ここで、回転因子 は、 N W  N  j

 N  eW 

π  2−

= である。 

また、 の離散フーリエ逆変換 は、次式で定義される。 )(k  X  )(n x

1~0 ,)(1

)(

1

0

−== ∑−

=

− N nW k  X 

 N n x

 N 

kn N  (2)

離散フーリエ変換、離散フーリエ逆変換に関して、以下の問いに答えよ。  

(a)  次の 8 点の離散時間信号 の離散フーリエ変換 を求め、その振幅スペクトル)(n x )(k  X  )(k  X 

を図示せよ。 

]0,0,0,0,0,1,0,0[)( =n x  

(b)  離散フーリエ変換 が次式で与えられる離散時間信号 を、離散フーリエ逆変換によ

って求めよ。 

)(k Y  )(n y

]0,0,0,1,0,0,0,1[)( =k Y   

(c)  (b)で求めた離散時間信号 の標本化周波数(サンプリング周波数)が 1 Hz であるとき、

に含まれる再生可能な原信号の周波数成分を列記せよ。(例えば ## Hz の成分と xx

Hz の成分 など) 

)(n y

)(n y

 

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3. 単位インパルス応答 h(n)をもつディジタルフィルタについて次の問に答えよ.

(a) このフィルタの入力 x(n)と出力 y(n)の関係を表すたたみこみの表現を示せ.(略記

“*”を用いた表現ではなく,数式を示すこと.)

(b) h(n) = [−0.25, 0.5,−0.25]と x(n) = [1, 1, 1, 1]と与えられているとき,y(n)を計算

せよ.

(c) このフィルタの伝達関数H (z)を求めよ.

(d) このフィルタの振幅特性H (ejω)

と位相特性 ̸H (ejω)を求め,それぞれ図示せよ.

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º  周波数応答が次式によって与えられる理想低域フィルタについて考える.

À   ́  

 

µ  

  

 

  

½    ¼         

 

¼   

 

         

´ ½ µ 

ここで  

 

は遮断周波数である.

´ µ  このフィルタの単位インパルス応答    ́ Ò  µ  は

   ́ Ò  µ  

 

 

 

¡ 

× Ò ´   

 

Ò  µ 

 

 

Ò 

´ ¾ µ 

となることを示せ.

ヒント:   ́ Ò  µ  は周波数応答 À   ́  

 

µ  の離散時間フーリエ逆変換によって次式で

与えられる.

   ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À   ́  

 

µ   

Ò 

Ò     ½   ·  ½  ´ ¿ µ 

´ µ   

 

    Ö  

のとき,  ´ ¼ µ    ´ ½ µ     ́   ½ µ 

を求めよ.

´ µ   

 

    Ö  

のとき,   ́ Ò  µ ¼ 

となる時刻Ò 

を求めよ.

´ µ  上記の ´ µ ¸ ´ µ ¸ ´ µ  の結果を利用して,  

 

    Ö  のとき,   ́ Ò  µ  の概形

(おおよその形)を描け.

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5. 次に示すMATLABプログラムを実行する.下記の問に答えよ. N = 3 ;

n = 0:N-1;

h = [-0.25 0.5 -0.25];

figure(1)

stem(n, h) %(1)

axis([0 length(n)-1 min(h) max(h)])

xlabel(’Time n’)

ylabel(’h(n)’) %(2)

w = -pi:0.01:pi; %(3)

H = freqz(h,1,w);

  magH = abs(H);

argH = angle(H);

figure(2)

subplot(2,1,1)

plot(w,magH)

axis([-pi pi 0 1.5])

xlabel(’Frequency \omega [rad]’)

ylabel(’|H(e^{j\omega})|’)

subplot(2,1,2)

plot(w,argH)

axis([-pi pi -pi pi])

xlabel(’Frequency \omega [rad]’)

ylabel(’\theta [rad]’) %(4)

(a) nはどのような値をもっているか.

(b) (1)から (2)の行によって表示されるグラフの概形について説明せよ.(説明文とと

もに図を用いてもよい.)

(c) (3)から (4)の行によってどのような計算と表示が行われるかを説明せよ.(説明文

とともに図を用いてもよい.)

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ディジタル信号処理

試験問題例(¾ ¼ ¼ ¼ ¹ ¾ ¼ ¼ µ    

離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換に関して

½ º  離散時間フーリエ変換について次の問に答えよ.

´ µ 

離散時間信号Ü   ́ Ò  µ 

の離散時間フーリエ変換   ́  

 

µ 

と離散時間フーリエ逆変換の定義式を

示せ.

´ µ  指数関数信号 Ü   ́ Ò  µ ´ ¼    µ 

Ò 

¡  Ù 

¼ 

 ́ Ò  µ  に対する離散時間フーリエ変換を求め,その振幅スペク

トルの概形を示せ.

´ µ 

離散時間フーリエ変換と逆変換をディジタルハードウェアやコンピュータのプログラムとし

て実行しようとするときの問題点を挙げよ.

¾ º 

離散フーリエ変換について次の問に答えよ.´ µ  Æ 

点の系列Ü  ´ ¼ µ  Ü  ´ ½ µ    ¡ ¡ ¡  Ü   ́ Æ     ½ µ 

の離散フーリエ変換   ́   µ 

の定義式およびフーリエ逆

変換の式を示せ.ただし,回転因子 Ï  Ü Ô ´  

    ¾  Æ  µ  を用いること.

´ µ  回転因子 Ï  に対して,次式が成立することを証明せよ.

½ 

Æ 

Æ    ½ 

   

  ¼ 

Ï 

     ́ Ò    Ñ  µ 

 

 ́

½  Ñ    Ò 

のとき

¼    その他 ´ ½ µ 

´ µ  以下の   点の系列 Ü   ́ Ò  µ  に対して,離散フーリエ変換    ́   µ  を求め,その振幅スペクトル

     ́   µ   の概形を図示せよ.

Ü   ́ Ò  µ  

 ́

½  Ò  ¼    ½ 

のとき¼  Ò  ¾    ¿ 

のとき´ ¾ µ 

¿ º  Æ  点の信号 Ü   ́ Ò  µ  の離散フーリエ変換    ́   µ  は以下のように定義される.

   ́   µ  

Æ    ½ 

   

Ò  ¼ 

Ü   ́ Ò  µ  Ï 

Ò 

Æ 

  ¼     Æ     ½ ´ ¿ µ

ここで回転因子Ï 

Æ 

は,Ï 

Æ 

Ü Ô ´       ¾  Æ  µ 

である.離散フーリエ変換に関して以下の問い

に答えよ.

´ µ 

次のような 

点の信号Ü   ́ Ò  µ 

に対して,その離散フーリエ変換   ́   µ 

を求め̧ 

その振幅スペ

クトル     ́   µ   

を図示せよ.

Ü   ́ Ò  µ ½    ½    ¼    ¼    ¼    ¼    ¼    ¼ ´ µ  

½ 

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´ µ  Æ 

点の離散フーリエ変換   ́   µ 

から信号Ü   ́ Ò  µ 

を求めるための離散フーリエ逆は次式で与

えられる.

Ü   ́ Ò  µ  

½ 

Æ 

Æ    ½ 

   

  ¼ 

   ́   µ  Ï 

  Ò 

Æ 

Ò  ¼     Æ     ½ ´ µ  

上式が式´ µ 

の逆変換となっていることを証明せよ.

´ µ  次の   点の離散フーリエ変換    ́   µ  に対して信号 Ü   ́ Ò  µ  を求め,図示せよ.

   ́   µ ½    ½    ½    ½    ½    ½    ½    ½ ´ µ  

º  Æ  点の信号 Ü   ́ Ò  µ  の離散フーリエ変換    ́   µ  は以下のように定義される.

   ́   µ  

Æ    ½ 

   

Ò  ¼ 

Ü   ́ Ò  µ  Ï 

Ò 

Æ 

  ¼     Æ     ½ ´ µ

ここで回転因子 Ï 

Æ 

は,Ï 

Æ 

Ü Ô ´  

    ¾  Æ  µ  である.離散フーリエ変換に関して以下の問い

に答えよ.

´ µ 

回転因子Ï 

Æ 

は次のような周期性を有することを証明せよ.

Ï 

 

Æ 

  Ï 

  ·  Ô Æ 

Æ 

´ µ 

ここで Ô 

は任意の整数である.

´ µ 

回転因子Ï 

Æ 

は次のような直交性を有することを証明せよ.

½ 

Æ 

Æ    ½ 

   

  ¼ 

Ï 

  Ò 

Æ 

¡  Ï 

Ñ 

Æ 

    ´  ́ Ò     Ñ  µ 

Æ 

µ ´ µ

ただし,Ò  ¼ 

  Æ 

  ½  Ñ  ¼ 

  Æ 

  ½  であり,   ́

¡ µ  はクロネッカーのデルタ関数であり,

 ́ Ò     Ñ  µ 

Æ 

は,Ò     Ñ  を Æ  で割った余りを表す.

´ µ  Æ 

点の離散フーリエ変換   ́   µ  ́   ¼     Æ     ½ µ 

から信号Ü   ́ Ò  µ 

を求める離散フーリエ逆変換は次式で与えられることを証明せよ(ヒント:́ µ  の直交性を利用することができる).

Ü   ́ Ò  µ  

½ 

Æ 

Æ    ½ 

   

  ¼ 

   ́   µ  Ï 

  Ò 

Æ 

Ò  ¼     Æ     ½ ´ ½ ¼ µ  

º  図 ½  のような   点の信号 Ü   ́ Ò  µ  に対して,その離散フーリエ変換    ́   µ  を求め̧  その振幅スペク

トル     ́   µ   

を図示せよ.

たたみこみと周波数応答, Á Ê 

フィルタに関して

½ º Á Ê  

ディジタルフィルタ   ́ Ò  µ 

について次の問に答えよ.

¾ 

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´ µ 

入力Ü   ́ Ò  µ 

と出力Ý   ́ Ò  µ 

の関係を表すたたみこみの表現を示せ.

´ µ  いま,   ́ Ò  µ ½    ¿       ½   とする.このディジタルフィルタに次のような入力信号

Ü   ́ Ò  µ ¾    ½        ¿ ´ ½ ½ µ  

が入力されたときの出力Ý   ́ Ò  µ 

を求めよ.

¾ º 

単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

をもつディジタルフィルタについて次の問に答えよ.´ µ  このフィルタの入力 Ü   ́ Ò  µ  と出力 Ý   ́ Ò  µ  の関係を表すたたみこみの表現を示せ(略記 ¶   を

用いた表現ではなく,数式を示すこと)

´ µ     ́ Ò  µ ½                ½   とする.このフィルタに次のような信号

Ü   ́ Ò  µ      ½    ½       ¾    ¿ ´ ½ ¾ µ  

が入力されたときの出力Ý   ́ Ò  µ 

を求めよ.

´ µ 

このフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

´ µ 

このフィルタの周波数応答À   ́  

 

µ 

を求め,振幅特性  À   ́  

 

µ   を図示せよ.

´ µ  このフィルタの位相特性は,零位相,線形位相,非線形位相のいずれであるかを理由ととも

に示せ.

¿ º Á Ê   ディジタルフィルタの単位インパルス応答を    ́ Ò  µ  ,入力を Ù   ́ Ò  µ  ,出力を Ý   ́ Ò  µ  とする.

´ µ     ́ Ò  µ  と Ù   ́ Ò  µ  のたたみこみとして,出力 Ý   ́ Ò  µ  を表せ.

´ µ     ́ Ò  µ      ¼        ½       ¼     

とÙ   ́ Ò  µ ½    ½    ½  

のように与えられているとき,出力Ý   ́ Ò  µ 

を計算

し,図示せよ.

´ µ 

このフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

´ µ  このフィルタの周波数応答(振幅特性と位相特性)の概略図を示せ.

º  次のような単位インパルス応答    ́ Ò  µ  を有する Á Ê  ディジタルフィルタを考える.

  ´ ¼ µ ¼        ´ ½ µ ½     ´ ¾ µ ¼       

   ́ Ò  µ ¼  Ò     ¿ ´ ½ ¿ µ

´ µ 

このフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

0 1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.5

0

0.5

1

time n

  s   i  g  n  a   l  x   (  n   )

図½  

点の信号Ü   ́ Ò  µ 

¿ 

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´ µ 

フィルタの周波数応答を求め,その振幅特性と位相特性について概形を図示せよ.

´ µ  次のような入力信号 Ù   ́ Ò  µ  がフィルタに印加されたときの出力 Ý   ́ Ò  µ  を計算し,図示せよ.

Ù   ́ Ò  µ  

 ́

½  Ò  ¼    ½    ¾ 

¼   

その他 ´ ½ µ  

º  単位インパルス応答    ́ Ò  µ  をもつ因果的ディジタルフィルタについて次の問に答えよ.

´ µ  このディジタルフィルタの入力 Ü   ́ Ò  µ  と出力 Ý   ́ Ò  µ  の関係を表すたたみこみの表現を示せ.

´ µ     ́ Ò  µ ½    ¾    ½   とする.このディジタルフィルタに次のような入力信号

Ü   ́ Ò  µ      ½    ½        ¾ ´ ½ µ  

が入力されたときの出力Ý   ́ Ò  µ 

を求めよ.

´ µ 

このディジタルフィルタの周波数応答À   ́  

 

µ 

を求め、振幅特性  À   ́  

 

µ   を図示せよ.

´ µ 

上で用いられた   ́ Ò  µ  Ü   ́ Ò  µ  Ý   ́ Ò  µ 

のÞ 

変換をÀ   ́ Þ  µ     ́ Þ  µ     ́ Þ  µ 

とするとき,   ́ Þ  µ   À   ́ Þ  µ     ́ Þ  µ 

が成立していることを示せ.

差分方程式と安定性,Á Á Ê  フィルタに関して

½ º  差分方程式が

Ý   ́ Ò  µ       

½ 

Ý   ́ Ò     ½ µ ·  Ü   ́ Ò  µ ´ ½ µ  

で与えられるディジタルフィルタがある.ここで,Ü   ́ Ò  µ  と Ý   ́ Ò  µ  は,それぞれフィルタの入力と

出力である.

´ µ 

このディジタルフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

´ µ 

このディジタルフィルタの単位インパルス応答   ́ Ò  µ  ́ Ò     ¼ µ 

を求めよ.ただし,Ý   ́    ½ µ ¼  

であるとする.

¾ º 

次図で表される¾ 

次Á Á Ê 

ディジタルフィルタを考える.

図 ¾ ¾  次 Á Á Ê  ディジタルフィルタ

 

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´ µ 

このフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

´ µ  このフィルタの極と零点の配置を Þ  平面上に描け.ただし,極と零点をそれぞれ ¢   と Æ   で

表すこと.

´ µ 

このフィルタが安定となるためのÖ 

と« 

の範囲を求めよ.

¿ º  次の差分方程式で表されるディジタルフィルタを考える.

Ý   ́ Ò  µ ¼      Ý   ́ Ò     ½ µ     ¼    ½  Ý   ́ Ò     ¾ µ ·  Ü   ́ Ò  µ ·  Ü   ́ Ò     ¾ µ ´ ½ µ  

´ µ 

乗算器,加算器,遅延素子を用いて,このフィルタのブロック図を描け.

´ µ  このフィルタの伝達関数 À   ́ Þ  µ  を求めよ.

´ µ  このフィルタの極と零点を求めて,複素平面上に図示せよ(ただし,極を   ¢     で,零点を

  Æ    

で図示せよ).

´ µ 

このフィルタの安定性を判別せよ.判別の理由も示すこと.

º  次の差分方程式で表されるディジタルフィルタについて,以下の問いに答えよ.

Ý   ́ Ò  µ  

Ô   

¿ 

¾ 

Ý   ́ Ò     ½ µ    

½ 

 

Ý   ́ Ò     ¾ µ ·  Ü   ́ Ò  µ     ¾  Ü   ́ Ò     ½ µ ·  Ü   ́ Ò     ¾ µ ´ ½ µ  

´ µ 

ディジタルフィルタの伝達関数À   ́ Þ  µ 

を求めよ.

´ µ  ディジタルフィルタの極と零点を求め,Þ  平面上に図示せよ.ただし,極を ¢   で図示し,零 

点をÆ  で図示せよ.

´ µ 

ディジタルフィルタが安定か不安定かを理由とともに示せ.

´ µ  乗算器,加算器,遅延素子を用いて,ディジタルフィルタのブロック図を描け.

º  入力を Ü   ́ Ò  µ  とし,出力を Ý   ́ Ò  µ  とする次の ¾  次の Á Á Ê  ディジタルフィルタについて以下の問に

答えよ.

Ý   ́ Ò  µ ¾  Ö  Ó ×    ¡  Ý   ́ Ò     ½ µ     Ö 

¾ 

Ý   ́ Ò     ¾ µ ·  Ü   ́ Ò  µ · ¾  Ü   ́ Ò     ½ µ ·  Ü   ́ Ò     ¾ µ ´ ½ µ  

ただし,Ö 

と 

は非負の実数である.´ µ  このフィルタの伝達関数 À   ́ Þ  µ  を求めよ.

´ µ 

このフィルタの極と零点を求め,Þ 

平面上に図示せよ.

´ µ 

このフィルタが安定となるためのÖ 

と 

に対する条件を求めよ.

´ µ  乗算器,加算器,遅延素子を用いて,このフィルタのブロック図を描け.

º 

入力をÙ   ́ Ò  µ 

とし,出力をÝ   ́ Ò  µ 

とする次の¾ 

次のÁ Á Ê 

ディジタルフィルタについて以下の問に

答えよ.

Ý   ́ Ò  µ ¾  Ö  Ó ×  Ý   ́ Ò     ½ µ     Ö 

¾ 

Ý   ́ Ò     ¾ µ ·  Ù   ́ Ò  µ ´ ¾ ¼ µ  

ただし,Ö  と   は実数である.

´ µ  このフィルタの伝達関数 À   ́ Þ  µ  を求めよ.

´ µ 

このフィルタの極を求め,Þ 

平面上に図示せよ.

´ µ  このフィルタが安定となるための Ö  と   に対する条件を求めよ.

 

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´ µ 

このフィルタの単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

を求めよ.(ヒント:伝達関数À   ́ Þ  µ 

を部分分数の

和として表し,逆 Þ  変換を適用せよ)

º Á Á Ê  

ディジタルフィルタに関して以下の問いに答えよ.

´ µ 

単位インパルス応答   ́ Ò  µ 

を有する因果的ディジタルフィルタの入出力関係はÝ   ́ Ò  µ  

È  

½ 

  ¼ 

   ́   µ  Ü   ́ Ò    

  µ  で与えられる.ここで,Ü   ́ Ò  µ  はフィルタ入力であり,Ý   ́ Ò  µ  はフィルタ出力である.有界

な任意の入力Ü   ́ Ò  µ 

に対して出力Ý   ́ Ò  µ 

が有界であるとき,ディジタルフィルタは有界入力¹ 

有界出力安定であるという.ディジタルフィルタが有界入力¹ 

有界出力安定であるための必 

要十分条件は,½ 

   

  ¼ 

     ́   µ      ½    ´ ¾ ½ µ  

である.この必要十分条件を証明せよ.(注意:任意の Ò  に対して 

   ́ Ò  µ 

  

½   であるとき,

信号    ́ Ò  µ  は有界であるという)

º ¾  次 Á Á Ê  ディジタルフィルタ À   ́ Þ  µ  を考える.このディジタルフィルタが安定であるための必要

十分条件は,二つの極の絶対値が½ 

より小さいことであることを証明せよ.

Á Ê  フィルタの設計に関して

½ º  周波数応答が次式で与えられる理想低域フィルタについて考える.

À   ́  

 

µ  

 ́

½    ¼          

 

¼   

 

          

´ ¾ ¾ µ  

ここで 

 

は遮断周波数である.

´ µ  このフィルタの単位インパルス応答    ́ Ò  µ  を求めよ.ただし    ́ Ò  µ  は次式で与えられる.

   ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À   ́  

 

µ   

Ò 

Ò     ½    ·  ½    ´ ¾ ¿ µ  

´ µ   

 

    Ö  

のとき,   ́ Ò  µ 

の概形を描け.ただし,   ́ Ò  µ 

がピークをもつ時刻,および   ́ Ò  µ ¼ 

となる時刻に留意すること.

¾ º  周波数応答が次式で与えられる理想低域フィルタについて考える.

À   ́  

 

µ  

 ́

½    ¼          

 

¼   

 

          

´ ¾ µ  

ここで 

 

は遮断周波数である.

´ µ  このフィルタの単位インパルス応答    ́ Ò  µ  を求めよ.ただし    ́ Ò  µ  は次式で与えられる.

   ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À   ́  

 

µ   

Ò 

  ´ ¾ µ  

´ µ  このフィルタを有限の次数で実現するためには,インパルス項数を有限の項数で打ち切る必 

要がある.いま,Æ   

項で打ち切った場合のインパルス応答  ´ ¼ µ     ́ ¦   ½ µ     ́ ¦   ¾ µ 

の値を

示せ.ただし, 

 

      であるとする.

 

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´ µ ´ µ  

で与えられる Á Ê 

フィルタを構成するブロック図を示せ.その際フィルタ係数をブロッ

ク図中の乗算器のところに記述しておくこと.

¿ º 

周波数応答À 

 

 ́  

 

µ 

が次式で与えられている理想低域フィルタについて考える.

À 

 

 ́  

 

µ  

 ́

½    ¼          

 

¼   

 

 

  

   

´ ¾ µ  

ここで  

 

 ́   ¼ µ  は遮断周波数である.

´ µ 

次のような周波数応答À 

 

 ́  

 

µ 

の離散時間フーリエ逆変換を実行し,この理想低域フィル

タの単位インパルス応答  

 

 ́ Ò  µ  を求めよ.

 

 

 ́ Ò  µ  

½ 

¾   

  

 

   

À 

 

 ́  

 

µ   

Ò 

Ò     ½    ·  ½    ´ ¾ µ  

´ µ 

求められた単位インパルス応答 

 

 ́ Ò  µ 

に対して, 

 

 ́ Ò  µ    

 

 ́    Ò  µ 

という対称性が成立す

ることを示せ.

´ µ  求められた単位インパルス応答  

 

 ́ Ò  µ  の中心部分  

 

 ́    Å  µ      

 

 ́ Å  µ  (Å  は適当な大きさ

の正整数)を用いて低域 Á Ê 

フィルタを実現することができるが,得られる振幅特性に問

題も発生する.どのような問題が発生するかについて簡潔に述べるとともに,その解決法を

あげよ.

その他

½ º  安定なディジタルフィルタの伝達関数 À   ́ Þ  µ  について考える.このフィルタの振幅特性   À   ́  

 

µ   

は低域通過形(遮断周波数 

 

)であるとする.

´ µ 

伝達関数À   ́    Þ  µ 

を有するフィルタは,高域通過形の振幅特性を示すことを概略図を描き説 

明せよ.

´ µ 

伝達関数À   ́    Þ 

¾ 

µ 

を有するフィルタは,どのような形の振幅特性になるかについて,概略図を描き説明せよ.

¾ º  実験によって,信号 Ü   ́ Ò  µ  が得られた.信号 Ü   ́ Ò  µ  は,Ü   ́ Ò  µ      ́ Ò  µ ·  Û   ́ Ò  µ  のように,我々にとっ

て望ましい信号   ́ Ò  µ 

に不要な信号(雑音)Û   ́ Ò  µ 

が加わったものであることが分かっている.

さらに,   ́ Ò  µ 

の周波数は相対的に低く,Û   ́ Ò  µ 

の周波数は相対的に高いことも分かっている.

´ µ  信号 Ü   ́ Ò  µ  が得られたとき,この中から望ましい信号    ́ Ò  µ  を取り出すためには,離散フー

リエ変換を用いてどのように信号処理を行えばよいか? 必要な信号処理について,その考

え方をブロック図,概念図,式などを使って説明せよ.

´ µ  信号 Ü   ́ Ò  µ  が得られたとき,この中から望ましい信号    ́ Ò  µ  を取り出すためには,ディジタ

ルフィルタを用いてどのように信号処理を行えばよいか? 必要なディジタルフィルタと信

号処理について,その考え方を周波数特性,ブロック図,概念図,式などを使って説明せよ.