Download - De Weibull verdeling

weibull verdeling.ppt 1 jan prakkenDe Wilgen

De Weibull verdeling

• Weibull:

• Waloddi Weibull (1887-1979)– A Statistical Distribution Function of Wide Applicability

• Journal of Applied Mechanics (1951)

– '' ... may sometimes render good service''

– '' ... test it empirically and stick to it as long as none

better has been found''


Voorbeelden

• Verdeling van:– Levensduren– De tijd tot ...

– Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw

– Temperatuur spoelwater

– In bovenstaande gevallen

• Kansmodel bruikbaar:

– Veel andere variabelen ( >0 )

– Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' – Als het model past


Levensduur verdeling

• Uitvalkans

F(t) = P(xt)

• Overlevingskans

R(t) = P(x>t)

Lifetime distribution

0.000

0.001

0.002

0 500 1000 1500 2000

time (days)

den

sity

f(t

)F(t)

R(t)

t

• x = tijd tot de 1e fout


Weibull verdelingen

• 2-parameters

Weibull distributions

0.000

0.001

0.002

0 500 1000 1500 2000

time t (days)

dens

ity f(

t)

ß=2 ß=3ß=1

ß=0.5

F(t)= 1- e-(t/)

= karakterstiekelevensduur

= vormgetal

=1 : Negatief exponentiële verdeling

=2 : Rayleigh verdeling

• 3 < < 3.6 : lijkt op Normale verdeling

=3.6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan


Parameters schatten

• 2-parameter Weibull verdeling W(,)

• Grafische schattingen graf en graf

• Maximum Likelihood schattingen en

• Kleinste kwadraten schattingen ' en '– d.m.v. regressie van log t op loglog(1/F(t))

– minder goed dan bovenstaande

– computerprogramma nodig: weibull-2par.xls

– de beste (statistische) eigenschappen

– basis voor betrouwbaarheidsuitspraken


Weibull verdeeld?

• Probability plot

• waarschijnlijkheidspapierWeibull probability plot

10 100

water temperature

cum

%

1%

99%

• voor elke kansverdeling mogelijk

• meerdere mogelijkheden

• rechte lijn?

• cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele

– Weibull verdeling

– Normale verdeling


n=9 trekkingen uit W(,)

nrt

9

1

2

3

4

5

6

7

8

i nr ti

7.4%

60.6

18.1

39.4

92.6

81.9

50.0

71.3

28.7

(i-0.3)(n+0.4)

x100%

1 517

2 182

3 297

4 519

5 319

6 263

7 730

8 418

9 244

2 182

9 244

6 263

3 297

5 319

8 418

1 517

4 519

7 730

F(ti) =


Weibull probability plot (1)

(n+0.4)x 100%

(i-0.3)

• vertikaal: kans

• horizontaal: variabele t

• rechte lijn?

1e punt:

t=182, F(t)=7.4%


Weibull probability plot (2)

t = tijd tot fout

graf = 450

graf = 2.4

F(t)= 1- e-(t/)

F(t) = P[ t < t ]

Onder de 100:

F(100) = 1 - exp[-(100/450)2.4]

= 0.027


Voortgezette schorsingen (1)• n=8 units in

levensduurtest- 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 }- 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 }

r = toename rangnummer ri = rangnr. uitvaltijd

(1+8-0) / (1+7) = 1.125

-

-

(1+8-2.25) / (1+4) = 1.35

-

(1+8-3.60) / (1+2) = 1.80

-

-

-

r1 = 1.125

r2 = 1.125 + 1.125 = 2.25

-

r3 = 2.25 + 1.35 = 3.60

-

r4 = 3.60 + 1.80 = 5.40

r5 = 5.40 + 1.80 = 7.20

( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd )

( 1 + aantal units na schorsing nog in test ) r =

F(ti) =

nr. j tj */S

1

2

3

4

5

6

7

8

763

1059

1093

1161

1531

2269

2415

3042

S

*

*

S

*

S

*

*

(ri-0.3)/(n+0.4)

-

0.098

0.232

-

0.393

-

0.607

0.821


Voortgezette schorsingen (2)

• n=8– 5 uitvallers,– dus 5 punten

graf = 2390

graf = 2.4


Plot van frequentieverdeling

• temperatuur spoelwater

t

25

38

50

12

65

label

koud

lauw

handwarm

warm

heet

f

2

5

5

2

7

cum

2

7

12

14

21

i

1.5

5.0

10.0

13.5

18.0

F(t)

5.6

22.0

45.3

61.7

82.7

(n+0.4)x 100%

(i-0.3) F(t) =

i = gem. rangnummer


Temperatuur Spoelwater (Weibull)

t = temperatuur

spoelwater

graf = 50

graf = 2.0

Evt. normale verdeling:

zie volgende blad

F(t)= 1- e-(t/)


Temperatuur spoelwater (normaal)

0 80 10020 40 60

graf = 43

graf = (64-22)/2

= 21.0

s = 18.91

f.t = 894

f.t2 = 45208

• t = 42.6

Uit frequentieverdeling: