Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 1
Dag van wiskunde
Zaterdag 17 november 2007
Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad
Inhoudstafel
pagina
1. Verticale samenhang leerinhouden
2. Zwaartepunt van een driehoek → werken met formule?
3. Afstand van een punt tot een rechte → werken met parametervoorstelling?
4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades
5. Meetkundige problemen analytisch oplossen
6. Van goniometrische getallen naar analytische meetkunde
7. Meetkundige plaatsen
2–4
5
6-7
8-10
11-20
21-22
23-32
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 2
1. Analytische Meetkunde van het vlak:
tweede-derde graad ASO-KSO-TSO
1ste
graad A-stroom→ A.M. 2de
graad:
1ste
leerjaar:
- punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen
- in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en definiëren
- eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand van rechten verwoorden
- de afstand van een punt tot een rechte definiëren
- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek definiëren en tekenen
met behulp van een geodriehoek
- een hoogtelijn en een zwaartelijn van een driehoek definiëren
- hoogtelijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen met behulp van een geodriehoek
- straal, middellijn, koorde en middelpuntshoek in een cirkel herkennen en tekenen
2de
leerjaar – leerplan a
- het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden
- de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen alsook de omgekeerde van
deze eigenschap bewijzen
- het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden
- de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen alsook de
omgekeerde van deze eigenschap bewijzen
- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met
behulp van de passer
2de
leerjaar – leerplan b
- het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden
- het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden
- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met
behulp van de passer
2de
graad
1ste
leerjaar ASO, TSO/KSO (lpl a)
- algemene vergelijking van een rechte ( 0=++ cbyax met 0≠a of 0≠b ) en verband
leggen met de verwante eerstegraadsfunctie
- stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden
- problemen analytisch oplossen:
vraagstukken,
eigenschappen analytisch bewijzen (niet in ASO 4u)
- vectoren (niet in ASO 4u, B IW, U elders TSO/KSO)
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 3
opmerking ASO (5u):
‘het vectorbegrip gebruiken om een vergelijking van een rechte op te stellen’ ?
→ parametervoorstelling van
een rechte
2de
leerjaar ASO (5u)
- loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte,
bissectrices van een rechtenpaar
- de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en)
van twee cirkels
- problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels)
opmerking: in 4u enkel vergelijking cirkel
1ste
leerjaar TSO (lpl b):
- algemene vergelijking van een rechte ( 0=++ cbyax met 0≠a of 0≠b ) en verband
leggen met de verwante eerstegraadsfunctie
- stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden
- vraagstukken
- vectoren (B 4+1, U 4)
1ste
leerjaar TSO (lpl c) - 2de
leerjaar TSO/KSO (lpl d)
- algemene vergelijking van een rechte ( 0=++ cbyax met 0≠a of 0≠b ) en verband
leggen met de verwante eerstegraadsfunctie
- stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden
- vraagstukken
3de
graad
TSO/KSO (lpla)
Vlakke analytische meetkunde
- vectoren
- loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte,
bissectrices van een rechtenpaar
- de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en)
van twee cirkels
- problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels)
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 4
Elementaire kegelsneden (verplicht IW, keuze elders)
- Een ellips, een hyperbool en een parabool definiëren als een verzameling van punten.
- De canonieke vergelijking opstellen van een ellips, een hyperbool en een parabool.
- De vergelijking opstellen van de raaklijn in een punt van een ellips, een hyperbool en een
parabool.
- De vergelijking opstellen van de normaal in een punt van een ellips, een hyperbool en een
parabool.
- De vergelijking opstellen van de middellijn toegevoegd aan een richting.
Krommen (keuze)
- Meetkundige voorwaarden analytisch vertolken.
- De baan van een punt in het vlak beschrijven met een stel parametervergelijkingen.
- Een kromme tekenen als de poolvergelijking gegeven is.
- Een kromme gegeven in poolcoördinaten omzetten naar zijn cartesiaanse gedaante en
omgekeerd.
ASO (lpl a)
Analytische Meetkunde A (keuze)
- De parabool, ellips en hyperbool als meetkundige plaatsen definiëren en hun
eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen.
- Poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen.
- Parametervergelijkingen gebruiken om krommen te bestuderen.
- Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste
vergelijking.
Analytische Meetkunde B (keuze)
- Punten en rechten beschrijven t.o.v. een affiene en euclidische ijk
- Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste
vergelijking
- Punten en rechten beschrijven in het gecompleteerde vlak
- Affiene eigenschappen van kegelsneden in het gecompleteerde vlak onderzoeken en
toepassen
- Euclidische eigenschappen van kegelsneden onderzoeken en toepassen
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 5
2. Zwaartepunt van een driehoek: werken met formule?
- m.b.v. tekenprogramma kunnen leerlingen exploratieopdracht uitvoeren
zwaartepunt_numeriek.fig
- elke leerling kan zijn/haar ‘zwaartepunt’ berekenen
- is er een verband tussen de coördinaten van het zwaartepunt en de coördinaten van de
hoekpunten van de gegeven driehoek?
- leerkracht kan, m.b.v. symbolisch programma, dit verband aantonen
Beschouw hiertoe zo algemeen mogelijk een driehoek ABC met ( ) ( ) ( )e,fCdcBbaA en ,;, .
De drie zwaartelijnen gaan respectievelijk door
( ) ( ) ( )
++
++
++
2,
2en ,;
2,
2en ,;
2,
2en ,
dbcaFfeC
fbeaEdcB
fdecDbaA .
In dit bewijs maken we bewust gebruik van een cartesiaanse vergelijking van een rechte
door twee punten in de vorm ( )( ) ( )( )121121 yyxxxxyy −−=−− !
Men toont dan aan dat
++++
3,
3
fdbecaZ . Zie zwaartepunt.dfw
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 6
3. Afstand van een punt tot een rechte: werken met parametervoorstelling?
Numeriek
Bepaal de afstand van het punt ( )2,1P tot de rechte 032 =++↔ yxr of 32 −−= xy .
Methode 1: klassieke methode
Methode 2
Stel ( )32, −− ttQ het voetpunt van de loodlijn uit P op r.
Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ( ) 121
52−=−⋅
−
−−
t
t waaruit
5
9−=t .
Het punt Q heeft dan coördinaten
−
5
3,
5
9.
De gevraagde afstand is 5
7
5
32
5
91
22
=
−+
+=PQ .
Methode 3
Deze methode steunt op de afstand als ‘minimale afstand’:
Stel terug ( )32, −− ttQ het voetpunt van de loodlijn uit P op r.
( ) ( ) 26185251 222++=++−= ttttPQ .
PQ is minimaal van zodra dat 2
PQ minimaal is (en omgekeerd).
Nu is 26185 2++ tt minimaal voor
5
9
10
18−=−=t .
Het vervolg is analoog als hierboven.
Veralgemening tot 22
vu
wvduc
+
++
• Bepaal de afstand van het punt ( )dcP , tot de rechte baxyr +=↔
Stel ( )battQ +, het voetpunt van de loodlijn uit P op r.
Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is 1−=⋅−
−+a
ct
dbat waaruit
12+
+−=
a
cabadt .
Het punt Q heeft dan coördinaten
+
++
+
+−
1,
1 2
2
2a
bacda
a
cabad.
De gevraagde afstand
2
2
2
2
2
11
+
−++
+
−−=
a
dbac
a
caabadPQ
( ) ( )
( )22
222
1+
−++−+=
a
dbacdbaca
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 7
( )
12
2
+
−+=
a
dbac
12
+
−+=
a
dbac (1)
• Is een vergelijking van de rechte gegeven in de vorm 0=++ wvyux met 0≠v
(dus v
wx
v
uy −−= ) dan wordt (1) herleid tot
22
2
2
1vu
wvduc
v
u
dv
wc
v
u
+
++=
+
−−−
= (2).
• Is een vergelijking van de rechte van de vorm 0=+ wux (de rechte is dan verticaal), dan
kan men gemakkelijk aantonen dat (2) geldig blijft.
Een analoge opmerking geldt indien de rechte een horizontale stand aanneemt
( 0=+ wvy ).
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 8
4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades …
Multiple choice → open vragen ?
Synthetisch – analytisch ?
Voorbeeld 1: ’87-’88 R1 vraag 19
Gegeven het vierkant hiernaast.
Wat geldt er voor de oppervlakten A, B en C?
Voorbeeld 2: ’90-’91 R1 vraag 21
Voorbeeld 3: ’95-’96 R2 vraag 18
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 9
Voorbeeld 4: ’90-’91 R1 vraag 29
Voorbeeld 5: ’93-’94 R2 vraag 23 → opgave aanpassen ?
Voorbeeld 6: ’98-’99 R1 vraag 21
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 10
Voorbeeld 7: ’95-’96 R2 vraag 17
Voorbeeld 8: ’01-‘02 R1 vraag 5
Voorbeeld 9: ’04-’05 R1 vraag 20
enz …
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 11
5. Meetkundige problemen analytisch oplossen
Zwaartelijn in een rechthoekige driehoek:
in een rechthoekige driehoek is de
zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang
als de schuine zijde
A
C
B
M
Middenparallel van een trapezium:
het lijnstuk dat de middens van de niet-
evenwijdige zijden van een trapezium
verbindt is evenwijdig met de twee
evenwijdige zijden en half zo lang als hun
som
D
A
C
M
N
Eigenschappen van een vierhoek:
in een vierhoek zijn de middens van de
diagonalen en het midden van het lijnstuk dat
de snijpunten van de overstaande zijden
verbindt collineair
eig_vierhoek(1).fig
D
A B
CM
N
E
FO
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 12
de lijnstukken die de middens van twee
opeenvolgende zijden van een willekeurige
vierhoek verbinden vormen een
parallellogram
eig_vierhoek(2).fig
D
AB
C
E
F
G
H
Opgelet met: ‘Toon analytisch de stelling van Pythagoras aan’ !!!
Projectie-eigenschap:
Projecteer elk hoekpunt van een driehoek
ABC loodrecht op een willekeurig
gekozen rechte r. Noem de loodrechte
projecties respectievelijk A’, B’ en C’.
Vanuit A’ laat je de loodlijn a’ neer op
BC, vanuit B’ laat je de loodlijn b’ neer
op AC en vanuit C’ laat je de loodlijn c’
neer op AB.
Stel vast dat de rechten a’, b’ en c’ door
één punt S gaan.
Toon bovenstaande vaststellingen aan op
analytische wijze.
Doe dit voor driehoek ABC met A (-2,5) ,
B (8,3) en C (3,1). Welke rechte kies je
voor r?
projectie-eigenschap.fig
B
C
A
A'
C'
B'
a'b'
c'
S
r
Cirkel van Feuerbach
Maak gebruik van een tekenprogramma om de volgende opdracht uit te voeren :
- Teken een driehoek ABC.
- Bepaal de middens van de drie zijden ( )P P P1 2, en 3 .
- Bepaal de voetpunten van de drie hoogtelijnen ( )P P P4 5, en 6 .
- Bepaal het snijpunt van de hoogtelijnen (H).
- Bepaal de middens van [ ] [ ] [ ]AH BH CH, en . ( )P P P7 8, en 9 .
- Toon aan dat de punten P P P1 2 9, ,......, op één cirkel liggen.
Bepaal het middelpunt M en de straal r van deze cirkel.
Men noemt de cirkel door de negen punten P P P1 2 9, ,......, de negenpuntscirkel
van Feuerbach.
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 13
De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan kan je ook
op analytische wijze aantonen.
Doe dit voor driehoek ABC met A(-5,-3), B(1,5) en C(7,3).
cirkel van Feuerbach.fig
1
1
A
B
C
P3
P2
P1
H
P4
P5
P6
P7
P8
P9
M
Cirkel van Feuerbach en kegelsneden:
- Alle kegelsneden die de drie hoekpunten van een driehoek ABC en het snijpunt H van de
hoogtelijnen bevatten, zijn orthogonale hyperbolen.
- De meetkundige plaats van het middelpunt van de voorgaande hyperbolen is een cirkel.
- Deze cirkel gaat door de middens van de zes zijden van de volledige vierhoek ABCH en
door de drie diagonaalpunten, namelijk BHCACABCCHAB ∩∩∩ en, .
Voor meer uitleg: zie cirkel van Feuerbach.dfw
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 14
Raaklijn aan een cirkel
ABCD is een vierkant met AB = 60 . P is een punt
van [CD] zodat DP = 30 .
Q is een punt van [BC] zodat BQ = 20.
Is de rechte PQ een raaklijn aan de cirkel met A als
middelpunt en straal 60?
⇓
Veralgemening tot ‘eigenschap’?
raaklijn aan cirkel(1).fig
ABCD is een rechthoek.
P is een punt op [AB] zodat AD AP= .
Door P trekt men de rechte r evenwijdig met AD.
c is de cirkel met B als middelpunt en straal BC .
Noem Q het snijpunt van r en c binnen
de rechthoek ABCD.
Is de driehoek ABQ rechthoekig in Q?
⇓
gulden snede!
raaklijn aan cirkel(2).fig
Parabool en rechthoekige driehoek
Men beschouwt een parabool met topvergelijking pxy 22= . Door het punt ( )0,pA trekt men
een rechte, niet evenwijdig met de as van de parabool, en die de parabool snijdt in de punten
B en C. De rechte evenwijdig met de as door het midden van [ ]BC snijdt de topraaklijn in D.
Toon aan dat de driehoek ABD rechthoekig is.
( )0,pA , ( )pxmyBC −=↔ .
B en C ‘vinden’ we via ( )
−=
=
pxmy
pxy 22
.
Bijgevolg is ( ) pxpxm 222
=− of
( ) 012 22222=++− pmxmpxm .
De som van de oplossingen van deze vergelijking is gelijk
aan ( )
2
2 12
m
mp + zodat
( )2
2 1
m
mpxM
+= en
m
pyM = .
Hieruit volgt dat
m
pD ,0 . Rico AD =
m
1− en rico BC =
m zodat beide rechten loodrecht op elkaar staan.
parabool(1).fig
1
1
F A
B
C
M
D
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 15
Parabool en concurrentie van rechten
Beschouw een parabool met brandpunt F. De loodlijn l in F op de as van de parabool snijdt
de parabool in de punten Q en R . De normaal in Q snijdt de parabool een tweede keer in S.
Toon aan dat de raaklijn in Q, de evenwijdige door R aan de y-as en de raaklijn in S door één
punt gaan.
2,
2,0,22 p
ydp
FpyxP −=↔
=↔
2
pyl =↔
snijdt de parabool in de punten
−
2,en
2,
ppR
ppQ .
- raaklijn t in Q: 2
pxy −−= , normaal n in Q
2
3pxy += .
- snijpunten van n met de parabool:
+=
=
2
3
22
pxy
pyx
Hieruit volgt dat 032 22=−− ppxx .
parabool(2).fig
1
1FQ R
S
Eén van de oplossingen (zie punt Q) is p− zodat de andere oplossing 3p is.
Bijgevolg is S
2
9,3
pp .
- raaklijn in S: 2
93
pxy −= , de rechte door R en evenwijdig met de y-as: px = .
Men toont gemakkelijk aan dat
−
2
3,
pp de enige oplossing is van
−=
=
−−=
2
93
2
pxy
px
pxy
.
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 16
Ellips en midden van een lijnstuk
Op een ellips neemt men de toppen S en T op de grote as en een willekeurig punt P. De
topraaklijn in S snijdt de rechte TP in U en de raaklijn in P aan de ellips in V.
Bewijs dat V het midden is van [ ]SU .
Neem bijvoorbeeld de ellips met als
vergelijking 1925
22
=+yx
.
Stel ( )ttP sin3,cos5 .
- topraaklijn in S : 5−=x
- raaklijn in P: 13
sin
5
cos=+
tytx
- rechte PT: ( )55cos5
sin3−
−= x
t
ty
- ( )0,5−S ,
+−
t
tV
sin
cos33,5 en
ellips(1).fig
−−
t
tU
cos1
sin6,5 of nog:
( )
+−
t
tU
sin
cos16,5 . Hieruit volgt dat V het midden is van [ ]SU .
Alternatieve oplossing
Stel ( )dcP , een punt van de ellips, dus 1925
22
=+dc
.
- topraaklijn in S : 5−=x
- raaklijn in P: 1925
=+dycx
- rechte PT: ( )55
−−
= xc
dy
- ( )0,5−S , ( )
+−
d
cV
5
59,5 en
−−
c
dU
5
10,5 .
- Het midden van [ ]SU heeft coördinaten
−−
c
d
5
5,5 .
Dit punt valt samen met het punt V als en slechts als ( )
d
c
c
d
5
59
5
5 +=
− of nog:
( ) eKPdccd
cd ∈⇔=+⇔−=⇔−= 192525
19
259252222
22
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 17
Ellips en cirkel
Toon aan: het beeld van een brandpunt van een ellips door de spiegeling t.o.v. een
willekeurige raaklijn behoort tot de cirkel die als middelpunt het andere brandpunt heeft en als
straal de lengte van de grote as.
ellips2.fig
Oplossing: zie bestand ellips(2).dfw
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 18
Een ellips anders bekeken …
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 19
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 20
Hyperbool en parallellogram
Op een hyperbool neemt men een willekeurig punt P. De rechten door P evenwijdig met de
asymptoten van deze hyperbool vormen met deze asymptoten een parallellogram waarvan het
maatgetal van de oppervlakte constant is. Toon dit aan.
hyperbool(1).fig
O1
1
P
Q
R
Oplossing: zie bestand hyperbool(1).dfw
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 21
6. Van goniometrische getallen → analytische meetkunde
Beschouw de goniometrische cirkel …
We verkrijgen:
( ) ( ) ( ) ( )
tF
tEtDtCtBtA
sin
1,0en 0,
cos
1;1,cot;tan,1;sin,0;0,cos
Een analoge constructie m.b.v. een cirkel met straal r levert dan:
( ) ( ) ( ) ( )
t
rF
t
rErtrDtrrCtrBtrA
sin,0en 0,
cos;,cot;tan,;sin,0;0,cos
⇓
Bovenstaande resultaten zijn een uiterst handig hulpmiddel voor de volgende constructies:
- ellips:
=
=
tby
tax
sin
cos met [ [π2,0∈t ; 1
2
2
2
2
=+b
y
a
x
- raaklijn in een punt van een ellips aan die ellips 1sincos
=+↔b
ty
a
tx: deze rechte snijdt de
x-as in
0,
cos t
aS
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 22
- hyperbool: [ [
∈
=
=
2
3,
2\2,0en
tan
cosππ
πt
tby
t
ax
; 12
2
2
2
=−b
y
a
x
- raaklijn in een punt van een hyperbool aan hyperbool 1tan
cos=−↔
b
ty
ta
x : deze rechte
snijdt de x-as in ( )0,cos taS .
Zie hiervoor de bestanden:
ellips_parametervgln.fig
raaklijn ellips.fig
hyperbool_parametervgln.fig
raaklijn hyperbool.fig
7. Meetkundige plaatsen
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 23
Meetkundige plaats 1
Gegeven is een parabool met top T. Op deze parabool neemt men een variabel punt A.
De raaklijn a in A aan de parabool snijdt de raaklijn t in de top in het punt B.
Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de omgeschreven cirkel van de
driehoek TAB.
Neem voor de eenvoud de parabool met als vergelijking 4
2x
y =
MP1.fig
1
1
T
x² - 4 y = 0
A
B
S
2 x² - y + 1 = 0
( )
12:eliminatie
28
4:lijnmiddellood
4rico,
8,
2midden,
4:lijnmiddellood
0,2
,4
,,0,0
4
2
2
2
2
2
+=
++−=
=
=
=↔
xy
tx
tyTA
tTA
ttTA
txTB
tB
ttAT
xyP
Meetkundige plaats 2
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 24
Op een cirkel met straal r neemt men de vaste middellijn AB en één variabel punt P.
Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt Z van de driehoek ABP als P de cirkel
doorloopt.
MP2.fig
1
1
BA
P
S
Stel ( ) ( ) ( ) 222met ,en 0,;0, rdcdcPrBrA =+− .
Voor het zwaartepunt geldt:
3,
3
dcZ , m.a.w.:
=
=
3
3
dy
cx
.
De parameters c en d elimineren we via de verbindingsvergelijking 222rdc =+ zodat de
meetkundige plaats van het zwaartepunt wordt gegeven door 9
222 r
yx =+ .
Meetkundige plaats 3 !!!
Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm.
De rechte t raakt aan C in het punt A.
1. Er zijn vier punten die zowel op afstand 1 cm van t als op afstand 1 cm van c liggen.
Construeer deze vier punten.
2. Bepaal de meetkundige plaats van de punten die even ver van t als van c liggen.
constructie ↔ analytische uitwerking !!!
MP3.fig
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 25
1
1
A t
P Q VW
3=PQ en V en W (spiegelbeeld van W t.o.v. Q) fungeren als ‘schuifpasser’.
Stel M(0,0) , 922=+↔ yxc , 3−=↔ yt en ( )3,0 −A .
Een punt P(x,y) ligt op de meetkundige plaats als en slechts als
( ) MPtPd −= 3, (P binnen de cirkel) of ( ) 3, −= MPtPd (P buiten de cirkel).
Dit betekent dat 2233 yxy +−=+ of 33 22−+=+ yxy en dus
3322+−=+ yyx of 3322
++=+ yyx .
• Is 3−≤y dan volgt hieruit dat
yyx +=+ 622 of yyx −=+22
Bijgevolg: yx
=−
12
362
mits 36 −≤≤− y (enkel voor ( )3,0 − !) of x = 0 mits 3−≤y .
• Is 3−≥y dan volgt hieruit dat
yyx −=+22 of yyx +=+ 622
Bijgevolg: x = 0 mits 03 ≤≤− y of yx
=−
12
362
mits 3−≥y
• Samengevat: x = 0 voor 0≤y ; 12
362−
=x
y voor 3−≥y .
Merk op dat 12
362−
=x
y een parabool is met brandpunt het punt M en als richtlijn de
rechte met als vergelijking y = 6− .
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 26
Meetkundige plaats 4
Constructieopdracht
Een driehoek ABC heeft twee vaste hoekpunten A en B terwijl het hoekpunt C zich verplaatst
op een vaste rechte evenwijdig met AB. Bepaal de meetkundige plaats van
- het zwaartepunt van deze driehoek (MP4_Z.fig),
- het hoogtepunt van deze driehoek (MP4_H.fig),
- het middelpunt van de omgeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_M.fig)
- het middelpunt van de ingeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_I.fig).
Neem bijvoorbeeld A(-4,0), B(4,0) en C(t,4)
Z: 3
4=y
D
1
1
A B
C
FE
S
H: 44
1 2+−= xy
1
1
A B
C
H
M: x = 0
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 27
1
1
A B
C
M
I: ( ) 0322162 222=−+−+ xyxy
1
1
A B
C
I
Oplossing: zie bestand MP4.dfw
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 28
Meetkundige plaats 5 ⇒ link met projectieve kegelsneden
Gegeven is een vaste driehoek ABC. De rechte r is een variabele rechte evenwijdig met de
zijde AB van de driehoek. Het snijpunt van r met BC is het punt D en het snijpunt van r met
AC is E. We bepalen de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechten AD en BE.
We veronderstellen stilzwijgend dat r verschillend is van AB.
MP5.fig
1
1
A B
C
P DE
S
Neem bijvoorbeeld ( ) ( ) ( )4,0en 0,3,0,2 CBA − .
De rechte r heeft als vergelijking ty = .
Hieruit volgt:
−
−t
tEt
tD ,
2
4en ,
4
312, ( ) 082034 =+−+↔ tyttxAD en ( ) 06102 =−−+↔ tyttxBE .
Eliminatie t levert 48 +−= xy .
Uitgebreide uitwerking: zie bestand MP5.dfw
Link met projectieve kegelsneden:
de gevraagde meetkundige plaats kan ook beschouwd worden als de poollijn van het
punt ∞AB ten opzichte van de ontaarde kegelsnede bepaald door de rechten AC en CB.
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 29
Meetkundige plaats 6
Beschouw de ellips ↔eK 12
2
2
2
=+b
y
a
x, T is de top met coördinaten (-a,0).
De loodlijn uit een willekeurig punt P van de ellips eK op de x-as snijdt deze x-as in het punt
Q. Noem s de rechte door P en evenwijdig met de x-as.
De rechte r door Q en evenwijdig met de rechte TP snijdt de rechte s in een punt S.
Toon aan: de meetkundige plaats van de punten S, als P de ellips doorloopt, is de ellips met
vergelijking ( )
14 2
2
2
2
=+−
b
y
a
ax.
MP6.fig
Stel ( )dcP , met 12
2
2
2
=+b
d
a
c, voor Q geldt: ( )0,cQ , rico TP =
ca
d
+ met 0≠+ ca .
( )
=
−+
=↔
dy
cxca
dy
S .
Uit dit stelsel halen we c en d en we substitueren de verkregen resultaten in de
‘verbindingsvergelijking’ 12
2
2
2
=+b
d
a
c:
=
−=
yd
axc
2 zodat ( )
14 2
2
2
2
=+−
b
y
a
ax.
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 30
Meetkundige plaats 7
Beschouw een willekeurige rechte l door de oorsprong die de cirkel 222
1 ayxc =+↔ snijdt in
een punt P en de cirkel 222
2 byxc =+↔ in een punt Q.
Men construeert de raaklijn p in P aan 1c en de raaklijn q in Q aan 2c .
De rechte p snijdt de x-as in een punt R en de rechte q snijdt de y-as in een punt S.
Door R tekent men een evenwijdige r met de y-as en door S tekent men een evenwijdige s met
de x-as. De rechten r en s snijden elkaar in het punt T.
Bepaal de meetkundige plaats van het punt T als l om de oorsprong wentelt.
MP7.fig
Voor het punt T geldt dat
=
=
t
by
t
ax
sin
cos. Hieruit volgt dat 1
2
2
2
2
=+y
b
x
a een vergelijking is van de
gevraagde meetkundige plaats.
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 31
Meetkundige plaats 8: trifolium van de Longchamps
Gegeven zijn twee vaste punten O en A en een rechte l die O bevat. De orthogonale projectie
van A op l is B. Bepaal de meetkundige plaats van de orthogonale projectie P op l van het
symmetrisch punt C van B ten opzichte van de rechte OA als l rond O wentelt.
MP8.fig
We redeneren voor de eenvoud in het
eerste kwadrant.
Neem O in de oorsprong en aOA = .
De rechte l heeft als cartesiaanse
vergelijking θtanxy = .
Voor het punt B geldt (polair):
( )θθ ,cosaB . Bijgevolg is
( )θθ −,cosaC waardoor
( )θθθ ,2cos.cosaP (te verkrijgen via
een eenvoudige redenering in de
rechthoekige driehoek OPC).
De gevraagde meetkundige plaats heeft
als poolvergelijking
θθ 2cos.cosar = .
O1
1
A
l
B
C
P
Om een cartesiaanse vergelijking van
θθ 2cos.cosar = te vinden merken we vooraf op
dat deze kromme de pool O bevat.
θθ 2cos.cosar = ( )2224 cos2.cos rrarr −=⇔ θθ
( ) ( )22222 . yxaxyx −=+⇔
Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 32
Meetkundige plaats 9
Gegeven zijn de vaste punten O en A. Beschouw de cirkel c met diameter OA en de raaklijn
t aan c in A. Een variabele rechte l door O snijdt c in C en t in B. Bepaal de meetkundige
plaats van het midden P van [ ]BC .
MP9.fig
We redeneren ‘voor de eenvoud’ in het eerste
kwadrant:
Stel ( )0,0O en ( )0,aA .
De variabele rechte l gaat door het punt
( )θθ ,cosaC (redeneer in de rechthoekige
driehoek OCA).
Voor het punt B geldt:
θ
θ,
cos
aB .
De gevraagde meetkundige plaats heeft als
poolvergelijking
+=
θθ
cos
1cos
2
ar .
Een analoge redenering in het vierde
kwadrant leidt tot eenzelfde resultaat.
Een cartesiaanse vergelijking vinden we als
volgt:
O1
1
A
c
t
CB
P
uit
+=
θθ
cos
1cos
2
ar volgt dat
+=
x
r
r
xar
2 of
rx
rxar
22
2+
= zodat
( )2222 rxaxr += .
Bijgevolg verkrijgen we als cartesiaanse vergelijking ( ) ( )2222 22 yxaxyx +=+ .
Opmerking
Het is heel wat moeilijker om de gezochte meetkundige plaats te bepalen ten opzichte van een
cartesiaans assenstelsel. We illustreren dit met behulp van het bestand MP9.dfw.
Top Related