Download - Curs Us Cont Role

Transcript
Page 1: Curs Us Cont Role

1

Inhoudstabel Cursus Controletheorie1. Hoofdstuk I: Inleiding 3

I.1 Beknopt historisch overzicht van controletheorie 4I.2 Intuïtieve inleiding tot terugkoppeling (feedback) 24I.3 Doel controle 27I.4 Intuïtieve vergelijking open en gesloten lus regelsystemen 28I.5 Rekenen met en vereenvoudigen van blokschema’s 30I.6 Intuïtieve studie gesloten lus regelkring 37

I.6.1 Teken terugkoppeling 37I.6.2 Storingsgedrag + nauwkeurigheid regelkring 38I.6.3 Invloed meet- of sensorfout 39I.6.4 Besluit 40

I.7 Inleiding tot een praktijkvoorbeeld: antenne-azimut-positieregelsysteem 41I.8 Moderne controle 43

2. Hoofdstuk II: Lineaire systemen 44II.1 Eenvoudige voorbeelden 45II.2 Toestandsvergelijkingen van een systeem 47II.3 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking en omgekeerd 49

II.3.1 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking 49II.3.2 Overgang toestandsvergelijking naar differentiaalvergelijking 50

II.4 Tijdantwoord 52II.4.1 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de differentiaalvergelijking 52II.4.2 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de toestandsvergelijkingen 52II.4.3 Stapantwoord 53II.4.4 Statische fout 58II.4.5 Statische fout bij verstoringen 61

II.5 Praktijkvoorbeeld: antenne-azimut positieregeling 64II.6 Frequentieantwoord 65

II.6.1 Bode diagrams 65II.6.2 Winst- en fasemarge 65II.6.3 Systemen met vertraging 68

II.7 Poolbanen 70II.7.1 Definities en voorbeelden 70II.6.2 Schetsen van positieve poolbanen 72II.7.3 Schetsen van negatieve poolbanen 75

II.8 Nyquist criterium 76

Page 2: Curs Us Cont Role

2

II.8.1 Nyquist stabiliteitscriterium 76II.8.2 Schetsen van het Nyquist diagram 78

3. Hoofdstuk III: Regelen van lineaire systemen 82III.1 State feedback regelaars 83

III.1.1 Regelbaarheid (controllability) van een systeem 83III.1.2 Waarneembaarheid (observability) van een systeem 85III.1.3 Regelaarontwerp 86III.1.4 Waarnemerontwerp 89III.1.5 Integrerende regeling 91III.1.6 Bespreking 92III.1.7 Praktijkvoorbeeld: de antennebesturing 93

III.2 Compensatie regelaars 97III.2.1 PD compensation 97III.2.2 Lead compensatie 98III.2.3 PI compensatie 100III.2.4 Lag compensatie 101III.2.5 PID compensator 102

4. Hoofdstuk IV: Praktische voorbeelden 106IV.1 De operationele versterker 107IV.2. De spanningsregulator 111IV.3 De compact disk speler 113

5. Bibliografie 1176. Oefeningen 118

Rik Pintelon, Brussel, september 2004versie 25 november 2011

Page 3: Curs Us Cont Role

3

Hoofdstuk I: Inleiding

Page 4: Curs Us Cont Role

4

I.1 Beknopt historisch overzicht van controletheorie

Reprinted from Chapter 1: Introduction to Modern Control Theory, in: F.L. Lewis, Applied OptimalControl and Estimation, Prentice-Hall, 1992.

A BRIEF HISTORY OF FEEDBACK CONTROL

Contents

• Outline

• A Brief History of Automatic Control Water Clocks of the Greeks and Arabs The Industrial Revolution The Millwrights Temperature Regulators Float Regulators Pressure Regulators Centrifugal Governors The Pendule Sympathique The Birth of Mathematical Control Theory Differential Equations Stability Theory System Theory Mass Communication and The Bell Telephone System Frequency-Domain Analysis The World Wars and Classical Control Ship Control Weapons Development and Gun Pointing M.I.T. Radiation Laboratory Stochastic Analysis The Classical Period of Control Theory The Space/Computer Age and Modern Control Time-Domain Design For Nonlinear Systems Sputnik - 1957 Navigation Optimality In Natural Systems Optimal Control and Estimation Theory Nonlinear Control Theory Computers in Controls Design and Implementation

Page 5: Curs Us Cont Role

5

The Development of Digital Computers Digital Control and Filtering Theory The Personal Computer The Union of Modern and Classical Control

• The Philosophy of Classical Control

• The Philosophy of Modern Control

• References

OutlineIn this chapter we introduce modern control theory by two approaches. First, a short history ofautomatic control theory is provided. Then, we describe the philosophies of classical and moderncontrol theory.

Feedback control is the basic mechanism by which systems, whether mechanical, electrical, orbiological, maintain their equilibrium or homeostasis. In the higher life forms, the conditions underwhich life can continue are quite narrow. A change in body temperature of half a degree is generally asign of illness. The homeostasis of the body is maintained through the use of feedback control [Wiener1948]. A primary contribution of C.R. Darwin during the last century was the theory that feedback overlong time periods is responsible for the evolution of species. In 1931 V. Volterra explained the balancebetween two populations of fish in a closed pond using the theory of feedback.

Feedback control may be defined as the use of difference signals, determined by comparing the actualvalues of system variables to their desired values, as a means of controlling a system. An everydayexample of a feedback control system is an automobile speed control, which uses the differencebetween the actual and the desired speed to vary the fuel flow rate. Since the system output is used toregulate its input, such a device is said to be a closed-loop control system.

In this book we shall show how to use modern control theory to design feedback control systems. Thus, weare concerned not with natural control systems, such as those that occur in living organisms or insociety, but with man-made control systems such as those used to control aircraft, automobiles,satellites, robots, and industrial processes.

Realizing that the best way to understand an area is to examine its evolution and the reasons for itsexistence, we shall first provide a short history of automatic control theory. Then, we give a briefdiscussion of the philosophies of classical and modern control theory.

The references for Chapter 1 are at the end of this chapter. The references for the remainder of thebook appear at the end of the book.

1.1 A BRIEF HISTORY OF AUTOMATIC CONTROL

There have been many developments in automatic control theory during recent years. It is difficult toprovide an impartial analysis of an area while it is still developing; however, looking back on theprogress of feedback control theory it is by now possible to distinguish some main trends and point outsome key advances.

Page 6: Curs Us Cont Role

6

Feedback control is an engineering discipline. As such, its progress is closely tied to the practicalproblems that needed to be solved during any phase of human history. The key developments in thehistory of mankind that affected the progress of feedback control were:

1. The preoccupation of the Greeks and Arabs with keeping accurate track of time. This represents aperiod from about 300 BC to about 1200 AD.

2. The Industrial Revolution in Europe. The Industrial Revolution is generally agreed to have started inthe third quarter of the eighteenth century; however, its roots can be traced back into the 1600's.

3. The beginning of mass communication and the First and Second World Wars. This represents aperiod from about 1910 to 1945.

4. The beginning of the space/computer age in 1957.

One may consider these as phases in the development of man, where he first became concerned withunderstanding his place in space and time, then with taming his environment and making his existencemore comfortable, then with establishing his place in a global community, and finally with his place inthe cosmos.

At a point between the Industrial Revolution and the World Wars, there was an extremely importantdevelopment. Namely, control theory began to acquire its written language- the language ofmathematics. J.C. Maxwell provided the first rigorous mathematical analysis of a feedback controlsystem in 1868. Thus, relative to this written language, we could call the period before about 1868 theprehistory of automatic control.

Following Friedland [1986], we may call the period from 1868 to the early 1900's the primitive period ofautomatic control. It is standard to call the period from then until 1960 the classical period, and the periodfrom 1960 through present times the modern period.

Let us now progress quickly through the history of automatic controls. A reference for the period -300through the Industrial Revolution is provided by [Mayr 1970], which we shall draw on and at timesquote. See also [Fuller 1976]. Other important references used in preparing this section included [M.Bokharaie 1973] and personal discussions with J.D. Aplevich of the University of Waterloo, K.M.Przyluski of the Polish Academy of Sciences, and W. Askew, a former Fellow at LTV Missiles and SpaceCorporation and vice-president of E-Systems.

Water Clocks of the Greeks and ArabsThe primary motivation for feedback control in times of antiquity was the need for the accuratedetermination of time. Thus, in about -270 the Greek Ktesibios invented a float regulator for a waterclock. The function of this regulator was to keep the water level in a tank at a constant depth. Thisconstant depth yielded a constant flow of water through a tube at the bottom of the tank which filled asecond tank at a constant rate. The level of water in the second tank thus depended on time elapsed.

The regulator of Ktesibios used a float to control the inflow of water through a valve; as the level ofwater fell the valve opened and replenished the reservoir. This float regulator performed the samefunction as the ball and cock in a modern flush toilet.

A float regulator was used by Philon of Byzantium in -250 to keep a constant level of oil in a lamp.

Page 7: Curs Us Cont Role

7

During the first century AD Heron of Alexandria developed float regulators for water clocks. TheGreeks used the float regulator and similar devices for purposes such as the automatic dispensing ofwine, the design of syphons for maintaining constant water level differences between two tanks, theopening of temple doors, and so on. These devices could be called “gadgets” since they were among theearliest examples of an idea looking for an application.

In 800 through 1200 various Arab engineers such as the three brothers Musa, Al-Jazari, and Ibn al-Saatiused float regulators for water clocks and other applications. During this period the important feedbackprinciple of "on/off" control was used, which comes up again in connection with minimum-timeproblems in the 1950's.

When Baghdad fell to the Mongols in 1258 all creative thought along these lines came to an end.Moreover, the invention of the mechanical clock in the 14th century made the water clock and itsfeedback control system obsolete. (The mechanical clock is not a feedback control system.) The floatregulator does not appear again until its use in the Industrial Revolution.

Along with a concern for his place in time, early man had a concern for his place in space. It is worthmentioning that a pseudo-feedback control system was developed in China in the 12th century fornavigational purposes. The south-pointing chariot had a statue which was turned by a gearing mechanismattached to the wheels of the chariot so that it continuously pointed south. Using the directionalinformation provided by the statue, the charioteer could steer a straight course. We call this a “pseudo-feedback” control system since it does not technically involve feedback unless the actions of thecharioteer are considered as part of the system. Thus, it is not an automatic control system.

The Industrial RevolutionThe Industrial Revolution in Europe followed the introduction of prime movers, or self-driven machines.It was marked by the invention of advanced grain mills, furnaces, boilers, and the steam engine. Thesedevices could not be adequately regulated by hand, and so arose a new requirement for automaticcontrol systems. A variety of control devices was invented, including float regulators, temperatureregulators, pressure regulators, and speed control devices.

J. Watt invented his steam engine in 1769, and this date marks the accepted beginning of the IndustrialRevolution. However, the roots of the Industrial Revolution can be traced back to the 1600's or earlierwith the development of grain mills and the furnace.

One should be aware that others, primarily T. Newcomen in 1712, built the first steam engines.However, the early steam engines were inefficient and regulated by hand, making them less suited toindustrial use. It is extremely important to realize that the Industrial Revolution did not start until theinvention of improved engines and automatic control systems to regulate them.

The MillwrightsThe millwrights of Britain developed a variety of feedback control devices. The fantail, invented in 1745by British blacksmith E. Lee, consisted of a small fan mounted at right angles to the main wheel of awindmill. Its function was to point the windmill continuously into the wind.

The mill-hopper was a device which regulated the flow of grain in a mill depending on the speed ofrotation of the millstone. It was in use in a fairly refined form by about 1588.

Page 8: Curs Us Cont Role

8

To build a feedback controller, it is important to have adequate measuring devices. The millwrightsdeveloped several devices for sensing speed of rotation. Using these sensors, several speed regulationdevices were invented, including self-regulating windmill sails. Much of the technology of themillwrights was later developed for use in the regulation of the steam engine.

Temperature RegulatorsCornelis Drebbel of Holland spent some time in England and a brief period with the Holy RomanEmperor Rudolf II in Prague, together with his contemporary J. Kepler. Around 1624 he developed anautomatic temperature control system for a furnace, motivated by his belief that base metals could beturned to gold by holding them at a precise constant temperature for long periods of time. He also usedthis temperature regulator in an incubator for hatching chickens.

Temperature regulators were studied by J.J. Becher in 1680, and used again in an incubator by the Princede Conti and R.-A.F. de Réaumur in 1754. The "sentinel register" was developed in America by W.Henry around 1771, who suggested its use in chemical furnaces, in the manufacture of steel andporcelain, and in the temperature control of a hospital. It was not until 1777, however, that atemperature regulator suitable for industrial use was developed by Bonnemain, who used it for anincubator. His device was later installed on the furnace of a hot-water heating plant.

Float RegulatorsRegulation of the level of a liquid was needed in two main areas in the late 1700's: in the boiler of asteam engine and in domestic water distribution systems. Therefore, the float regulator received newinterest, especially in Britain.

In his book of 1746, W. Salmon quoted prices for ball-and-cock float regulators used for maintainingthe level of house water reservoirs. This regulator was used in the first patents for the flush toiletaround 1775. The flush toilet was further refined by Thomas Crapper, a London plumber, who wasknighted by Queen Victoria for his inventions.

The earliest known use of a float valve regulator in a steam boiler is described in a patent issued to J.Brindley in 1758. He used the regulator in a steam engine for pumping water. S.T. Wood used a floatregulator for a steam engine in his brewery in 1784. In Russian Siberia, the coal miner I.I. Polzunovdeveloped in 1765 a float regulator for a steam engine that drove fans for blast furnaces.

By 1791, when it was adopted by the firm of Boulton and Watt, the float regulator was in common usein steam engines.

Pressure RegulatorsAnother problem associated with the steam engine is that of steam-pressure regulation in the boiler, forthe steam that drives the engine should be at a constant pressure. In 1681 D. Papin invented a safetyvalve for a pressure cooker, and in 1707 he used it as a regulating device on his steam engine.Thereafter, it was a standard feature on steam engines.

The pressure regulator was further refined in 1799 by R. Delap and also by M. Murray. In 1803 apressure regulator was combined with a float regulator by Boulton and Watt for use in their steamengines.

Page 9: Curs Us Cont Role

9

Centrifugal GovernorsThe first steam engines provided a reciprocating output motion that was regulated using a deviceknown as a cataract, similar to a float valve. The cataract originated in the pumping engines of theCornwall coal mines.

J. Watt's steam engine with a rotary output motion had reached maturity by 1783, when the first one wassold. The main incentive for its development was evidently the hope of introducing a prime mover intomilling. Using the rotary output engine, the Albion steam mill began operation early in 1786.

A problem associated with the rotary steam engine is that of regulating its speed of revolution. Some ofthe speed regulation technology of the millwrights was developed and extended for this purpose.

In 1788 Watt completed the design of the centrifugal flyball governor for regulating the speed of therotary steam engine. This device employed two pivoted rotating flyballs which were flung outward bycentrifugal force. As the speed of rotation increased, the flyweights swung further out and up, operatinga steam flow throttling valve which slowed the engine down. Thus, a constant speed was achievedautomatically.

The feedback devices mentioned previously either remained obscure or played an inconspicuous role asa part of the machinery they controlled. On the other hand, the operation of the flyball governor wasclearly visible even to the untrained eye, and its principle had an exotic flavor which seemed to many toembody the nature of the new industrial age. Therefore, the governor reached the consciousness of theengineering world and became a sensation throughout Europe. This was the first use of feedbackcontrol of which there was popular awareness.

It is worth noting that the Greek word for governor is kußernan. In 1947, Norbert Wiener at MIT wassearching for a name for his new discipline of automata theory- control and communication in man andmachine. In investigating the flyball governor of Watt, he investigated also the etymology of the wordkußernan and came across the Greek word for steersman, kußerntV . Thus, he selected the namecybernetics for his fledgling field.

Around 1790 in France, the brothers Périer developed a float regulator to control the speed of a steamengine, but their technique was no match for the centrifugal governor, and was soon supplanted.

The Pendule SympathiqueHaving begun our history of automatic control with the water clocks of ancient Greece, we round outthis portion of the story with a return to mankind's preoccupation with time.

The mechanical clock invented in the 14th century is not a closed-loop feedback control system, but aprecision open-loop oscillatory device whose accuracy is ensured by protection against externaldisturbances. In 1793 the French-Swiss A.-L. Breguet, the foremost watchmaker of his day, invented aclosed-loop feedback system to synchronize pocket watches.

The pendule sympathique of Breguet used a special case of speed regulation. It consisted of a large,accurate precision chronometer with a mount for a pocket watch. The pocket watch to be synchronizedis placed into the mount slightly before 12 o'clock, at which time a pin emerges from the chronometer,inserts into the watch, and begins a process of automatically adjusting the regulating arm of the watch'sbalance spring. After a few placements of the watch in the pendule sympathique, the regulating arm is

Page 10: Curs Us Cont Role

10

adjusted automatically. In a sense, this device was used to transmit the accuracy of the largechronometer to the small portable pocket watch.

The Birth of Mathematical Control TheoryThe design of feedback control systems up through the Industrial Revolution was by trial-and-errortogether with a great deal of engineering intuition. Thus, it was more of an art than a science. In the mid1800's mathematics was first used to analyze the stability of feedback control systems. Sincemathematics is the formal language of automatic control theory, we could call the period before thistime the prehistory of control theory.

Differential EquationsIn 1840, the British Astronomer Royal at Greenwich, G.B. Airy, developed a feedback device forpointing a telescope. His device was a speed control system which turned the telescope automatically tocompensate for the earth's rotation, affording the ability to study a given star for an extended time.

Unfortunately, Airy discovered that by improper design of the feedback control loop, wild oscillationswere introduced into the system. He was the first to discuss the instability of closed-loop systems, andthe first to use differential equations in their analysis [Airy 1840]. The theory of differential equations wasby then well developed, due to the discovery of the infinitesimal calculus by I. Newton (1642-1727) andG.W. Leibniz (1646-1716), and the work of the brothers Bernoulli (late 1600's and early 1700's), J.F.Riccati (1676-1754), and others. The use of differential equations in analyzing the motion of dynamicalsystems was established by J.L. Lagrange (1736-1813) and W.R. Hamilton (1805-1865).

Stability TheoryThe early work in the mathematical analysis of control systems was in terms of differential equations.J.C. Maxwell analyzed the stability of Watt's flyball governor [Maxwell 1868]. His technique was tolinearize the differential equations of motion to find the characteristic equation of the system. He studiedthe effect of the system parameters on stability and showed that the system is stable if the roots of thecharacteristic equation have negative real parts. With the work of Maxwell we can say that the theory ofcontrol systems was firmly established.

E.J. Routh provided a numerical technique for determining when a characteristic equation has stable roots[Routh 1877].

The Russian I.I. Vishnegradsky [1877] analyzed the stability of regulators using differential equationsindependently of Maxwell. In 1893, A.B. Stodola studied the regulation of a water turbine using thetechniques of Vishnegradsky. He modeled the actuator dynamics and included the delay of the actuatingmechanism in his analysis. He was the first to mention the notion of the system time constant. Unaware ofthe work of Maxwell and Routh, he posed the problem of determining the stability of the characteristicequation to A. Hurwitz [1895], who solved it independently.

The work of A.M. Lyapunov was seminal in control theory. He studied the stability of nonlineardifferential equations using a generalized notion of energy in 1892 [Lyapunov 1893]. Unfortunately,though his work was applied and continued in Russia, the time was not ripe in the West for his eleganttheory, and it remained unknown there until approximately 1960, when its importance was finallyrealized.

Page 11: Curs Us Cont Role

11

The British engineer O. Heaviside invented operational calculus in 1892-1898. He studied the transientbehavior of systems, introducing a notion equivalent to that of the transfer function.

System TheoryIt is within the study of systems that feedback control theory has its place in the organization of humanknowledge. Thus, the concept of a system as a dynamical entity with definite "inputs" and "outputs"joining it to other systems and to the environment was a key prerequisite for the further developmentof automatic control theory. The history of system theory requires an entire study on its own, but abrief sketch follows.

During the eighteenth and nineteenth centuries, the work of A. Smith in economics [The Wealth ofNations, 1776], the discoveries of C.R. Darwin [On the Origin of Species By Means of NaturalSelection 1859], and other developments in politics, sociology, and elsewhere were having a greatimpact on the human consciousness. The study of Natural Philosophy was an outgrowth of the work ofthe Greek and Arab philosophers, and contributions were made by Nicholas of Cusa (1463), Leibniz,and others. The developments of the nineteenth century, flavored by the Industrial Revolution and anexpanding sense of awareness in global geopolitics and in astronomy had a profound influence on thisNatural Philosophy, causing it to change its personality.

By the early 1900's A.N. Whitehead [1925], with his philosophy of "organic mechanism", L. vonBertalanffy [1938], with his hierarchical principles of organization, and others had begun to speak of a"general system theory". In this context, the evolution of control theory could proceed.

Mass Communication and The Bell Telephone SystemAt the beginning of the 20th century there were two important occurrences from the point of view ofcontrol theory: the development of the telephone and mass communications, and the World Wars.

Frequency-Domain AnalysisThe mathematical analysis of control systems had heretofore been carried out using differentialequations in the time domain. At Bell Telephone Laboratories during the 1920's and 1930's, the frequencydomain approaches developed by P.-S. de Laplace (1749-1827), J. Fourier (1768-1830), A.L. Cauchy(1789-1857), and others were explored and used in communication systems.

A major problem with the development of a mass communication system extending over long distancesis the need to periodically amplify the voice signal in long telephone lines. Unfortunately, unless care isexercised, not only the information but also the noise is amplified. Thus, the design of suitable repeateramplifiers is of prime importance.

To reduce distortion in repeater amplifiers, H.S. Black demonstrated the usefulness of negative feedback in1927 [Black 1934]. The design problem was to introduce a phase shift at the correct frequencies in thesystem. Regeneration Theory for the design of stable amplifiers was developed by H. Nyquist [1932].He derived his Nyquist stability criterion based on the polar plot of a complex function. H.W. Bode in 1938used the magnitude and phase frequency response plots of a complex function [Bode 1940]. He investigatedclosed-loop stability using the notions of gain and phase margin.

The World Wars and Classical ControlAs mass communications and faster modes of travel made the world smaller, there was much tension asmen tested their place in a global society. The result was the World Wars, during which the development

Page 12: Curs Us Cont Role

12

of feedback control systems became a matter of survival.

Ship ControlAn important military problem during this period was the control and navigation of ships, which werebecoming more advanced in their design. Among the first developments was the design of sensors forthe purpose of closed-loop control. In 1910, E.A. Sperry invented the gyroscope, which he used in thestabilization and steering of ships, and later in aircraft control.

N. Minorsky [1922] introduced his three-term controller for the steering of ships, thereby becoming thefirst to use the proportional-integral-derivative (PID) controller. He considered nonlinear effects in theclosed-loop system.

Weapons Development and Gun PointingA main problem during the period of the World Wars was that of the accurate pointing of guns aboardmoving ship and aircraft. With the publication of "Theory of Servomechanisms" by H.L. Házen [1934],the use of mathematical control theory in such problems was initiated. In his paper, Házen coined theword servomechanisms, which implies a master/slave relationship in systems.

The Norden bombsight, developed during World War II, used synchro repeaters to relay informationon aircraft altitude and velocity and wind disturbances to the bombsight, ensuring accurate weaponsdelivery.

M.I.T. Radiation LaboratoryTo study the control and information processing problems associated with the newly invented radar,the Radiation Laboratory was established at the Massachusetts Institute of Technology in 1940. Muchof the work in control theory during the 1940's came out of this lab.

While working on an M.I.T./Sperry Corporation joint project in 1941, A.C. Hall recognized thedeleterious effects of ignoring noise in control system design. He realized that the frequency-domaintechnology developed at Bell Labs could be employed to confront noise effects, and used this approachto design a control system for an airborne radar. This success demonstrated conclusively theimportance of frequency-domain techniques in control system design [Hall 1946].

Using design approaches based on the transfer function, the block diagram, and frequency-domainmethods, there was great success in controls design at the Radiation Lab. In 1947, N.B. Nicholsdeveloped his Nichols Chart for the design of feedback systems. With the M.I.T. work, the theory oflinear servomechanisms was firmly established. A summary of the M.I.T. Radiation Lab work isprovided in Theory of Servomechanisms [James, Nichols, and Phillips, 1947].

Working at North American Aviation, W.R. Evans [1948] presented his root locus technique, whichprovided a direct way to determine the closed-loop pole locations in the s-plane. Subsequently, duringthe 1950's, much controls work was focused on the s-plane, and on obtaining desirable closed-loopstep-response characteristics in terms of rise time, percent overshoot, and so on.

Stochastic AnalysisDuring this period also, stochastic techniques were introduced into control and communication theory. AtM.I.T in 1942, N. Wiener [1949] analyzed information processing systems using models of stochasticprocesses. Working in the frequency domain, he developed a statistically optimal filter for stationary

Page 13: Curs Us Cont Role

13

continuous-time signals that improved the signal-to-noise ratio in a communication system. TheRussian A.N. Kolmogorov [1941] provided a theory for discrete-time stationary stochastic processes.

The Classical Period of Control TheoryBy now, automatic control theory using frequency-domain techniques had come of age, establishingitself as a paradigm (in the sense of Kuhn [1962]). On the one hand, a firm mathematical theory forservomechanisms had been established, and on the other, engineering design techniques were provided.The period after the Second World War can be called the classical period of control theory. It wascharacterized by the appearance of the first textbooks [MacColl 1945; Lauer, Lesnick, and Matdon1947; Brown and Campbell 1948; Chestnut and Mayer 1951; Truxall 1955], and by straightforwarddesign tools that provided great intuition and guaranteed solutions to design problems. These toolswere applied using hand calculations, or at most slide rules, together with graphical techniques.

The Space/Computer Age and Modern ControlWith the advent of the space age, controls design in the United States turned away from the frequency-domain techniques of classical control theory and back to the differential equation techniques of thelate 1800's, which were couched in the time domain. The reasons for this development are as follows.

Time-Domain Design For Nonlinear SystemsThe paradigm of classical control theory was very suitable for controls design problems during andimmediately after the World Wars. The frequency-domain approach was appropriate for linear time-invariant systems. It is at its best when dealing with single-input/single-output systems, for the graphicaltechniques were inconvenient to apply with multiple inputs and outputs.

Classical controls design had some successes with nonlinear systems. Using the noise-rejectionproperties of frequency-domain techniques, a control system can be designed that is robust tovariations in the system parameters, and to measurement errors and external disturbances. Thus,classical techniques can be used on a linearized version of a nonlinear system, giving good results at anequilibrium point about which the system behavior is approximately linear.

Frequency-domain techniques can also be applied to systems with simple types of nonlinearities usingthe describing function approach, which relies on the Nyquist criterion. This technique was first used bythe Pole J. Groszkowski in radio transmitter design before the Second World War and formalized in1964 by J. Kudrewicz.

Unfortunately, it is not possible to design control systems for advanced nonlinear multivariable systems,such as those arising in aerospace applications, using the assumption of linearity and treating the single-input/single-output transmission pairs one at a time.

In the Soviet Union, there was a great deal of activity in nonlinear controls design. Following the lead ofLyapunov, attention was focused on time-domain techniques. In 1948, Ivachenko had investigated theprinciple of relay control, where the control signal is switched discontinuously between discrete values.Tsypkin used the phase plane for nonlinear controls design in 1955. V.M. Popov [1961] provided hiscircle criterion for nonlinear stability analysis.

Sputnik - 1957Given the history of control theory in the Soviet Union, it is only natural that the first satellite, Sputnik,was launched there in 1957. The first conference of the newly formed International Federation of

Page 14: Curs Us Cont Role

14

Automatic Control (IFAC) was fittingly held in Moscow in 1960.

The launch of Sputnik engendered tremendous activity in the United States in automatic controlsdesign. On the failure of any paradigm, a return to historical and natural first principles is required.Thus, it was clear that a return was needed to the time-domain techniques of the "primitive" period ofcontrol theory, which were based on differential equations. It should be realized that the work ofLagrange and Hamilton makes it straightforward to write nonlinear equations of motion for manydynamical systems. Thus, a control theory was needed that could deal with such nonlinear differentialequations.

It is quite remarkable that in almost exactly 1960, major developments occurred independently onseveral fronts in the theory of communication and control.

NavigationIn 1960, C.S. Draper invented his inertial navigation system, which used gyroscopes to providedaccurate information on the position of a body moving in space, such as a ship, aircraft, or spacecraft.Thus, the sensors appropriate for navigation and controls design were developed.

Optimality In Natural SystemsJohann Bernoulli first mentioned the Principle of Optimality in connection with the BrachistochroneProblem in 1696. This problem was solved by the brothers Bernoulli and by I. Newton, and it becameclear that the quest for optimality is a fundamental property of motion in natural systems. Variousoptimality principles were investigated, including the minimum-time principle in optics of P. de Fermat(1600's), the work of L. Euler in 1744, and Hamilton's result that a system moves in such a way as tominimize the time integral of the difference between the kinetic and potential energies.

These optimality principles are all minimum principles. Interestingly enough, in the early 1900's, A.Einstein showed that, relative to the 4-D space-time coordinate system, the motion of systems occurs insuch as way as to maximize the time.

Optimal Control and Estimation TheorySince naturally-occurring systems exhibit optimality in their motion, it makes sense to design man-madecontrol systems in an optimal fashion. A major advantage is that this design may be accomplished in thetime domain. In the context of modern controls design, it is usual to minimize the time of transit, or aquadratic generalized energy functional or performance index, possibly with some constraints on theallowed controls.

R. Bellman [1957] applied dynamic programming to the optimal control of discrete-time systems,demonstrating that the natural direction for solving optimal control problems is backwards in time. Hisprocedure resulted in closed-loop, generally nonlinear, feedback schemes.

By 1958, L.S. Pontryagin had developed his maximum principle, which solved optimal control problemsrelying on the calculus of variations developed by L. Euler (1707-1783). He solved the minimum-timeproblem, deriving an on/off relay control law as the optimal control [Pontryagin, Boltyansky,Gamkrelidze, and Mishchenko 1962]. In the U.S. during the 1950's, the calculus of variations wasapplied to general optimal control problems at the University of Chicago and elsewhere.

Page 15: Curs Us Cont Role

15

In 1960 three major papers were published by R. Kalman and coworkers, working in the U.S. One ofthese [Kalman and Bertram 1960], publicized the vital work of Lyapunov in the time-domain control ofnonlinear systems. The next [Kalman 1960a] discussed the optimal control of systems, providing thedesign equations for the linear quadratic regulator (LQR). The third paper [Kalman 1960b] discussedoptimal filtering and estimation theory, providing the design equations for the discrete Kalman filter. Thecontinuous Kalman filter was developed by Kalman and Bucy [1961].

In the period of a year, the major limitations of classical control theory were overcome, important newtheoretical tools were introduced, and a new era in control theory had begun; we call it the era ofmodern control.

The key points of Kalman's work are as follows. It is a time-domain approach, making it more applicablefor time-varying linear systems as well as nonlinear systems. He introduced linear algebra and matrices, sothat systems with multiple inputs and outputs could easily be treated. He employed the concept of theinternal system state; thus, the approach is one that is concerned with the internal dynamics of a systemand not only its input/output behavior.

In control theory, Kalman formalized the notion of optimality in control theory by minimizing a verygeneral quadratic generalized energy function. In estimation theory, he introduced stochastic notionsthat applied to nonstationary time-varying systems, thus providing a recursive solution, the Kalman filter,for the least-squares approach first used by C.F. Gauss (1777-1855) in planetary orbit estimation. TheKalman filter is the natural extension of the Wiener filter to nonstationary stochastic systems.

Classical frequency-domain techniques provide formal tools for control systems design, yet the designphase itself remained very much an art and resulted in nonunique feedback systems. By contrast, thetheory of Kalman provided optimal solutions that yielded control systems with guaranteed performance. Thesecontrols were directly found by solving formal matrix design equations which generally had uniquesolutions.

It is no accident that from this point the U.S. space program blossomed, with a Kalman filter providingnavigational data for the first lunar landing.

Nonlinear Control TheoryDuring the 1960's in the U.S., G. Zames [1966], I.W. Sandberg [1964], K.S. Narendra [Narendra andGoldwyn 1964], C.A. Desoer [1965], and others extended the work of Popov and Lyapunov innonlinear stability. There was an extensive application of these results in the study of nonlineardistortion in band-limited feedback loops, nonlinear process control, aircraft controls design, andeventually in robotics.

Computers in Controls Design and ImplementationClassical design techniques could be employed by hand using graphical approaches. On the other hand,modern controls design requires the solution of complicated nonlinear matrix equations. It is fortunatethat in 1960 there were major developments in another area- digital computer technology. Withoutcomputers, modern control would have had limited applications.

The Development of Digital ComputersIn about 1830 C. Babbage introduced modern computer principles, including memory, programcontrol, and branching capabilities. In 1948, J. von Neumann directed the construction of the IAS

Page 16: Curs Us Cont Role

16

stored-program computer at Princeton. IBM built its SSEC stored-program machine. In 1950, SperryRand built the first commercial data processing machine, the UNIVAC I. Soon after, IBM marketed the701 computer.

In 1960 a major advance occurred- the second generation of computers was introduced which usedsolid-state technology. By 1965, Digital Equipment Corporation was building the PDP-8, and theminicomputer industry began. Finally, in 1969 W. Hoff invented the microprocessor.

Digital Control and Filtering TheoryDigital computers are needed for two purposes in modern controls. First, they are required to solve thematrix design equations that yield the control law. This is accomplished off-line during the design process.Second, since the optimal control laws and filters are generally time-varying, they are needed toimplement modern control and filtering schemes on actual systems.

With the advent of the microprocessor in 1969 a new area developed. Control systems that areimplemented on digital computers must be formulated in discrete time. Therefore, the growth of digitalcontrol theory was natural at this time.

During the 1950's, the theory of sampled data systems was being developed at Columbia by J.R. Ragazzini,G. Franklin, and L.A. Zadeh [Ragazzini and Zadeh 1952, Ragazzini and Franklin 1958]; as well as byE.I. Jury [1960], B.C. Kuo [1963], and others. The idea of using digital computers for industrial processcontrol emerged during this period [Åström and Wittenmark 1984]. Serious work started in 1956 with thecollaborative project between TRW and Texaco, which resulted in a computer-controlled system beinginstalled at the Port Arthur oil refinery in Texas in 1959.

The development of nuclear reactors during the 1950's was a major motivation for exploring industrialprocess control and instrumentation. This work has its roots in the control of chemical plants duringthe 1940's.

By 1970, with the work of K. Åström [1970] and others, the importance of digital controls in processapplications was firmly established.

The work of C.E. Shannon in the 1950's at Bell Labs had revealed the importance of sampled datatechniques in the processing of signals. The applications of digital filtering theory were investigated at theAnalytic Sciences Corporation [Gelb 1974] and elsewhere.

The Personal ComputerWith the introduction of the PC in 1983, the design of modern control systems became possible for theindividual engineer. Thereafter, a plethora of software control systems design packages was developed,including ORACLS, Program CC, Control-C, PC-Matlab, MATRIXx, Easy5, SIMNON, and others.

The Union of Modern and Classical ControlWith the publication of the first textbooks in the 1960's, modern control theory established itself as aparadigm for automatic controls design in the U.S. Intense activity in research and implementationensued, with the I.R.E. and the A.I.E.E. merging, largely through the efforts of P. Haggerty at TexasInstruments, to form the Institute of Electrical and Electronics Engineers (I.E.E.E) in the early 1960's.

Page 17: Curs Us Cont Role

17

With all its power and advantages, modern control was lacking in some aspects. The guaranteedperformance obtained by solving matrix design equations means that it is often possible to design acontrol system that works in theory without gaining any engineering intuition about the problem. On theother hand, the frequency-domain techniques of classical control theory impart a great deal of intuition.

Another problem is that a modern control system with any compensator dynamics can fail to be robust todisturbances, unmodelled dynamics, and measurement noise. On the other hand, robustness is built inwith a frequency-domain approach using notions like the gain and phase margin.

Therefore, in the 1970's, especially in Great Britain, there was a great deal of activity by H.H.Rosenbrock [1974], A.G.J. MacFarlane and I. Postlethwaite [1977], and others to extend classicalfrequency-domain techniques and the root locus to multivariable systems. Successes were obtainedusing notions like the characteristic locus, diagonal dominance, and the inverse Nyquist array.

A major proponent of classical techniques for multivariable systems was I. Horowitz, whose quantitativefeedback theory developed in the early 1970's accomplishes robust design using the Nichols chart.

In 1981 seminal papers appeared by J. Doyle and G. Stein [1981] and M.G. Safonov, A.J. Laub, and G.L.Hartmann [1981]. Extending the seminal work of MacFarlane and Postlethwaite [1977], they showedthe importance of the singular value plots versus frequency in robust multivariable design. Using theseplots, many of the classical frequency-domain techniques can be incorporated into modern design. Thiswork was pursued in aircraft and process control by M. Athans [1986] and others. The result is a newcontrol theory that blends the best features of classical and modern techniques. A survey of this robustmodern control theory is provided by P. Dorato [1987].

1.2 THE PHILOSOPHY OF CLASSICAL CONTROL

Having some understanding of the history of automatic control theory, we may now briefly discuss thephilosophies of classical and modern control theory.

Developing as it did for feedback amplifier design, classical control theory was naturally couched in thefrequency domain and the s-plane. Relying on transform methods, it is primarily applicable for linear time-invariant systems, though some extensions to nonlinear systems were made using, for instance, thedescribing function.

The system description needed for controls design using the methods of Nyquist and Bode is themagnitude and phase of the frequency response. This is advantageous since the frequency response canbe experimentally measured. The transfer function can then be computed. For root locus design, thetransfer function is needed. The block diagram is heavily used to determine transfer functions ofcomposite systems. An exact description of the internal system dynamics is not needed for classical design; that is,only the input/output behavior of the system is of importance.

The design may be carried out by hand using graphical techniques. These methods impart a great deal ofintuition and afford the controls designer with a range of design possibilities, so that the resulting controlsystems are not unique. The design process is an engineering art.

A real system has disturbances and measurement noise, and may not be described exactly by themathematical model the engineer is using for design. Classical theory is natural for designing controlsystems that are robust to such disorders, yielding good closed-loop performance in spite of them.Robust design is carried out using notions like the gain and phase margin.

Page 18: Curs Us Cont Role

18

Simple compensators like proportional-integral-derivative (PID), lead-lag, or washout circuits are generallyused in the control structure. The effects of such circuits on the Nyquist, Bode, and root locus plots areeasy to understand, so that a suitable compensator structure can be selected. Once designed, thecompensator can be easily tuned on line.

A fundamental concept in classical control is the ability to describe closed-loop properties in terms of open-loopproperties, which are known or easy to measure. For instance, the Nyquist, Bode, and root locus plots arein terms of the open-loop transfer function. Again, the closed-loop disturbance rejection properties andsteady-state error can be described in terms of the return difference and sensitivity.

Classical control theory is difficult to apply in multi-input/multi-output (MIMO), or multi-loop systems. Due tothe interaction of the control loops in a multivariable system, each single-input/single-output (SISO)transfer function can have acceptable properties in terms of step response and robustness, but thecoordinated control motion of the system can fail to be acceptable.

Thus, classical MIMO or multiloop design requires painstaking effort using the approach of closing oneloop at a time by graphical techniques. A root locus, for instance, should be plotted for each gain element,taking into account the gains previously selected. This is a trial-and-error procedure that may requiremultiple iterations, and it does not guarantee good results, or even closed-loop stability.

The multivariable frequency-domain approaches developed by the British school during the 1970's, aswell as quantitative feedback theory, overcome many of these limitations, providing an effectiveapproach for the design of many MIMO systems.

1.3 THE PHILOSOPHY OF MODERN CONTROL

Modern controls design is fundamentally a time-domain technique. An exact state-space model of thesystem to be controlled, or plant, is required. This is a first-order vector differential equation of theform

(1)

where is a vector of internal variables or system states, is a vector of control inputs, and is avector of measured outputs. It is possible to add noise terms to represent process and measurementnoises. Note that the plant is described in the time-domain.

The power of modern control has its roots in the fact that the state-space model can as well represent aMIMO system as a SISO system. That is, and are generally vectors whose entries are theindividual scalar inputs and outputs. Thus, are matrices whose elements describe the systemdynamical interconnections.

Modern controls techniques were first firmly established for linear systems. Extensions to nonlinearsystems can be made using the Lyapunov approach, which extends easily to MIMO systems, dynamicprogramming, and other techniques. Open-loop optimal controls designs can be determined fornonlinear systems by solving nonlinear two-point boundary-value problems.

dx t( )dt----------- Ax t( ) Bu t( )+=

y t( ) Cx t( )=

x t( ) u t( ) y t( )

u t( ) y t( )A B C, ,

Page 19: Curs Us Cont Role

19

Exactly as in the classical case, some fundamental questions on the performance of the closed-loopsystem can be attacked by investigating open-loop properties. For instance, the open-loop properties ofcontrollability and observability of (0 (Chapter 2) give insight on what it is possible to achieve usingfeedback control. The difference is that, to deal with the state-space model, a good knowledge of matrices andlinear algebra is required.

To achieve suitable closed-loop properties, a feedback control of the form

(2)

may be used. The feedback gain is a matrix whose elements are the individual control gains in thesystem. Since all the states are used for feedback, this is called state-variable feedback. Note that multiplefeedback gains and large systems are easily handled in this framework. Thus, if there are statecomponents (where can be very large in an aerospace or power distribution system) and scalarcontrols, so that is an -vector, then K is an matrix with entries, corresponding to control loops.

In the standard linear quadratic regulator (LQR), the feedback gain K is chosen to minimize a quadratictime-domain performance index (PI) like

(3)

The minimum is sought over all state trajectories. This is an extension to MIMO systems of the sorts ofPIs (ITSE, ITAE, etc.) that were used in classical control. and are weighting matrices that serve asdesign parameters. Their elements can be selected to provide suitable performance.

The key to LQR design is the fact that, if the feedback gain matrix can be successfully chosen tomake finite, then the integral (3) involving the norms of and is bounded. If and arecorrectly chosen, well-known mathematical principles then ensure that and go to zero withtime. This guarantees closed-loop stability as well as bounded control signals in the closed-loop system.

It can be shown (see Chapter 3), that the value of that minimizes the PI is given by

(4)

where is an matrix satisfying the Riccati equation

(5)

Within this LQ framework, several points can be made. First, as long as the system (1) is controllableand and are suitably chosen, the given by these equations guarantees the stability of the closed-loopsystem

(6)

Second, this technique is easy to apply even for multiple-input plants, since can be a vector havingmany components.

u t( ) Kx t( )–=

K

nn m

u t( ) m m n× mn mn

J x t( )TQx t( ) u t( )TRu t( )+( ) td0

∫=

Q R

KJ u t( ) x t( ) Q R

u t( ) x t( )

K

K R 1– BTS=

S n n×

0 ATS SA SBR 1– BTS– Q+ +=

Q R K

dx t( )dt----------- A BK–( )x t( ) Bu t( )+=

u t( )

Page 20: Curs Us Cont Role

20

Third, the LQR solution relies on the solution of the matrix design equation (4), and so is unsuited to handcalculations. Fortunately, many design packages are by now available on digital computers for solvingthe Riccati design equation for , and hence for obtaining . Thus, computer-aided design is anessential feature of modern controls.

The LQR solution is a formal one that gives a unique answer to the feedback control problem once thedesign parameter has been selected. In fact, the engineering art in modern design lies in the selection of the PIweighting matrices and . A body of theory on this selection process has evolved. Once is properlyselected, the matrix design equation is formally solved for the unique that guarantees stability.

Observe that is computed in terms of the open-loop quantities , so that modern and classical designhave this feature of determining closed-loop properties in terms of open-loop quantities in common.However, in modern control, all the entries of are determined at the same time by using the matrixdesign equations. This corresponds to closing all the feedback control loops simultaneously, which is in completecontrast to the one-loop-at-a-time procedure of classical controls design.

Unfortunately, formal LQR design gives very little intuition on the nature or properties of the closed-loop system.In recent years, this deficiency has been addressed from a variety of standpoints.

Although LQR design using state feedback guarantees closed-loop stability, all the state components areseldom available for feedback purposes in a practical design problem. Therefore, output feedback of theform

(7)

is more useful. LQR design equations for output feedback are more complicated than (4), but are easilyderived (see Chapter 4).

Modern output-feedback design allows one to design controllers for complicated systems with multiple inputs andoutputs by formally solving matrix design equations on a digital computer.

Another important factor is the following. While the state feedback (2) involves feedback from all statesto all inputs, offering no structure in the control system, the output feedback control law (7) can beused to design a compensator with a desired dynamical structure, regaining much of the intuition of classicalcontrols design.

Feedback laws like (2) and (7) are called static, since the control gains are constants, or at most time-varying. An alternative to static output feedback is to use a dynamic compensator of the form

(8)

The inputs of this compensator are the system inputs and outputs. This yields a closed-loop and iscalled dynamic output feedback. The design problem is to select the matrices , , , , for goodclosed-loop performance. An important result of modern control is that closed-loop stability can beguaranteed by selecting for some matrix which is computed using a Riccati designequation similar to (5). The other matrices in (8) are then easily determined. This design is based on the

S K

QQ R Q

K

K A B Q, ,

K

u t( ) Ky t( )–=

dz t( )dt----------- Fz t( ) Gy t( ) Eu t( )+ +=

u t( ) Hz t( ) Dy t( )+=

F G E H D

F A LC–= L

Page 21: Curs Us Cont Role

21

vital separation principle (Chapter 10).

A disadvantage with design using is that then the dynamic compensator has the samenumber of internal states as the plant. In complicated modern aerospace and power plant applications,this dimension can be very large. Thus, various techniques for controller reduction and reduced-order designhave been developed.

In standard modern control, the system is assumed to be exactly described by the mathematical model(1). In actuality, however, this model may be only an approximate description of the real plant.Moreover, in practice there can be disturbances acting on the plant, as well as measurement noise indetermining .

The LQR using full state feedback has some important robustness properties to such disorders, such asan infinite gain margin, 60° of phase margin, and robustness to some nonlinearities in the control loops(Chapter 10). On the other hand, the LQR using static or dynamic output feedback design has noguaranteed robustness properties. With the work on robust modern control in the early 1980's, there isnow a technique (LQG/LTR, Chapter 10) for designing robust multivariable control systems. LQG/LTR design incorporates rigorous treatments of the effects of modelling uncertainties on closed-loopstability, and of disturbance effects on closed-loop performance.

With the work on robust modern design, much of the intuition of classical controls techniques can now beincorporated in modern multivariable design.

With modern developments in digital control theory and discrete-time systems, modern control is very suitablefor the design of control systems that can be implemented on microprocessors (Part III of the book).This allows the implementation of controller dynamics that are more complicated as well as moreeffective than the simple PID and lead-lag structures of classical controls.

With recent work in matrix-fraction descriptions and polynomial equation design, a MIMO plant can bedescribed not in state-space form, but in input/output form. This is a direct extension of the classicaltransfer function description and, for some applications, is more suitable than the internal description(1).

REFERENCES FOR CHAPTER 1

Airy, G.B., "On the Regulator of the Clock-Work for Effecting Uniform Movement of Equatorials,"Memoirs of the Royal Astronomical Society, vol. ll, pp. 249-267, 1840.

Åström, K.J., Introduction to Stochastic Control Theory, New York: Academic Press, 1970.Åström, K.J., and B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems: Theory and Design, New Jersey:

Prentice-Hall, 1984.Bellman, R., Dynamic Programming, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1957.Bertalanffy, L. von, "A quantitative theory of organic growth," Human Biology, vol. 10, pp. 181-213,

1938.Black, H.S., "Stabilized Feedback Amplifiers," Bell Syst. Tech. J., 1934.Bode, H.W., "Feedback Amplifier Design," Bell System Tech. J., vol. 19, p. 42, 1940.Bokharaie, M., A summary of the History of Control Theory, Internal Rept., School of Elect. Eng., Ga.

Inst. of Technology, Atlanta, GA 30332, 1973.Brown, G.S. and D.P. Campbell, Principles of Servomechanisms, New York: Wiley, 1948.Chestnut, H. and R.W. Mayer, Servomechanisms and Regulating System Design, vol. 1, 1951, vol. 2,

F A LC–=

y t( )

Page 22: Curs Us Cont Role

22

1955, Wiley.Desoer, C.A., "A Generalization of the Popov Criterion," IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-10, no.

2, pp. 182-185, 1965.Dorato, P., "A Historical Review of Robust Control," IEEE Control Systems Magazine, pp. 44-47, April

1987.Doyle, J.C. and G. Stein, "Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical/Modern Synthesis,"

IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-26, pp. 4-16, Feb. 1981.Evans, W.R., "Graphical Analysis of Control Systems," Trans. AIEE, vol. 67, pp. 547-551,1948.Friedland, B., Control System Design: An Introduction to State-Space Methods, New York: McGraw-

Hill, 1986.Fuller, A.T., "The Early Development of Control Theory," Trans. ASME (J. Dynamic Systems,

Measurement, & Control), vol. 98G, no. 2, pp. 109-118, June 1976.Fuller, A.T., "The Early Development of Control Theory II," Trans. ASME (J. Dynamic Systems,

Measurement & Control), vol. 98G, no. 3 pp. 224-235, September 1976.Gelb, A., ed., Applied Optimal Estimation, Cambridge: MIT Press, 1974.Hall, A.C., "Application of Circuit Theory to the Design of Servomechanisms," J. Franklin Inst., 1966.Házen, H.L., "Theory of Servo-mechanisms," J. Franklin Inst., 1934.Hurwitz, A., "On the Conditions Under Which an Equation Has Only Roots With Negative Real

Parts," Mathematische Annalen, vol. 46, pp. 273-284, 1895.James, H.M., N.B. Nichols, and R.S. Phillips, Theory of Servomechanisms, New York: McGraw-Hill,

M.I.T. Radiation Lab. Series, Vol. 25, 1947.Jury, E.I., "Recent Advances in the Field of Sampled-Data and Digital Control Systems," Proc. Conf.

Int. Federation Automat. Control, pp. 240-246, Moscow, 1960.Kalman, R.E., "Contributions to the theory of optimal control,"Bol. Soc. Mat. Mexicana, vol. 5, pp.

102-119, 1960.Kalman, R.E., "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems," ASME J. Basic Eng.,

vol. 82, pp.34-45, 1960.Kalman, R.E. and R.S. Bucy, "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory," ASME J. Basic

Eng., vol. 80, pp. 193-196, 1961.Kalman, R.E., and J.E. Bertram, "Control System Analysis and Design via the 'Second Method' of

Lyapunov. I. Continuous-time Systems," Trans. ASME J. Basic Eng., pp. 371-393, June 1960.Kolmogorov, A.N., "Interpolation and Extrapolation von Stationaren Zufalligen Folgen," Bull. Acad.

Sci. USSR, Ser. Math. vol. 5, pp. 3-14, 1941.Kuhn, T.S., The Structure of Scientific Revolutions, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1962.Kuo, Benjamin C., Analysis and Synthesis of Sampled-Data Control Systems, New Jersey: Prentice-Hall,

1963.Lauer, H., R.N. Lesnick, and L.E. Matdon, Servomechanism Fundamentals, New York: McGraw-Hill

1947.Lyapunov, M.A., "Problème général de la stabilité du mouvement," Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. 9, pp.

203-474, 1907. (Translation of the original paper published in 1892 in Comm. Soc. Math. Kharkowand reprinted as Vol. 17 in Ann. Math Studies, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1949.)

MacColl, L.A., Fundamental Theory of Servomechanisms, New York: Van Nostrand, 1945.MacFarlane, A.G.J., and I. Postlethwaite, "The Generalized Nyquist Stability Criterion and Multivariable

Root Loci," Int. J. Contr., vol. 25, pp. 81-127, 1977.Maxwell, J.C., "On Governors," Proc. Royal Soc. London, vol. 16, pp. 270-283, 1868.Mayr, O., The Origins of Feedback Control, Cambridge: MIT Press, 1970.Minorsky, N., "Directional Stability and Automatically Steered Bodies," J. Am. Soc. Nav. Eng., vol. 34, p.

280, 1922.Narendra, K.S., and R.M. Goldwyn: "A Geometrical Criterion for the Stability of Certain Nonlinear

Page 23: Curs Us Cont Role

23

Nonautonomous Systems," IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-11, no. 3, pp. 406-407, 1964.Nyquist, H., "Regeneration Theory," Bell Syst. Tech. J., 1932.Pontryagin, L.S., V.G. Boltyansky, R.V. Gamkrelidze, and E.F. Mishchenko, The Mathematical Theory

of Optimal Processes, New York: Wiley, 1962.Popov, V.M., "Absolute Stability of Nonlinear Systems of Automatic Control," Automat. Remote

Control, vol. 22, no. 8 , pp. 857-875, 1961.Ragazzini, J.R., and G.F. Franklin, Sampled-Data Control Systems, New York: McGraw-Hill, 1958.Ragazzini, J.R. and L.A. Zadeh, "The Analysis of Sampled-Data Systems," Trans. AIEE, vol. 71, part II,

pp. 225-234, 1952.Rosenbrock, H.H., Computer-Aided Control System Design, New York: Academic Press, 1974.Routh, E.J., A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, London: Macmillan & Co., 1877.Safonov, M.G., A.J. Laub, and G.L. Hartmann, "Feedback Properties of Multivariable Systems: The

Role and Use of the Return Difference Matrix," IEEE Trans. Auto. Cont., vol. 26, no. 1, pp. 47-65,1981.

Sandberg, I.W., "A Frequency-Domain Condition for the Stability of Feedback Systems Containing aSingle Time-Varying Nonlinear Element," Bell Syst. Tech. J., vol. 43, no. 4, pp. 1601-1608, 1964.

Truxal, J.G., Automatic Feedback Control System Synthesis, New York: McGraw-Hill, 1955.Vyshnegradsky, I.A., "On Controllers of Direct Action," Izv. SPB Tekhnolog. Inst., 1877.Whitehead, A.N., Science and the Modern World, Lowell Lectures (1925), New York: Macmillan, 1953.Wiener, N., The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with

Engineering Applications, New York: Wiley, 1949.Wiener, N., Cybernetics: or Control and Communication in the Animal and the Machine, Cambridge:

MIT Press, 1948.Zames, G., "On the Input-Output Stability of Time-Varying Non-linear Feedback Systems, Part I:

Conditions Derived Using Concepts of Loop Gain, Conicity, and Positivity," IEEE Trans. AutomaticControl, vol. AC-11, no. 2, pp. 228-238, 1966.

Zames, G., "On the Input-Output Stability of Time-Varying Non-linear Feedback Systems, Part II:Conditions Involving Circles in the Frequency Plane and Sector Nonlinearities," IEEE Trans.Automatic Control, vol. AC-11, no. 3, pp. 465-476, 1966.

Page 24: Curs Us Cont Role

24

I.2 Intuïtieve inleiding tot terugkoppeling (feedback)

Voorbeelden regelsystemen:- waterklok voor tijdsmeting, 3de eeuw v. Chr. (China, later Arabië) [Franklin et al. (2002)]

- incubator voor uitbroeden van eieren (1624) of couveuse premature baby’s (eind 19de eeuw,Franse geneesheren) [Franklin et al. (2002)]

- snelheidregeling windmolens (Lee Edmund, 1745) via positie bladen wieken (harde wind =>bladen kantelen naar achteren => effectief oppervlakte kleiner …)

Page 25: Curs Us Cont Role

25

- snelheidregeling stoommachine van James Watt (1788) [Franklin et al. (2002)]

Principeschema

Comparator Compensator Te regelensysteem

Sensor

referentiewaarde

Storing

Page 26: Curs Us Cont Role

26

Andere voorbeelden regelsystemen:- temperatuur menselijk lichaam- liften: positie + snelheid- doorspoeling toilet- snelheidscontrole in (vracht)wagens- volgen van het spoor op een CD- spanningsregulator- feedbackversterkers- temperatuurregeling moederbord computer

Page 27: Curs Us Cont Role

27

I.3 Doel controle

Merk op:• statische fout• oscillaties• vertraging in antwoord

Gevolg de drie hoofddoelen in het ontwerpen van regelsystemen zijn:

1. een goed volggedrag:

1.a minimaliseren van de statische fout1.b produceren van het gewenste overgangsgedrag

2. een goed stoorgedrag:

2.a onderdrukken van storingen zoals ruis, externe signalen2.b onderdrukken van tijdsvariaties en niet lineariteiten van het systeem

3. stabiliteit (bijv. gevechtsvliegtuigen zijn intrinsiek instabiel)

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

TijdS

tapantw

oord

regelsysteemingangssignaal uitgangssignaal

gewenst antwoord werkelijk antwoord

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Tijd

Sta

pantw

oord

Page 28: Curs Us Cont Role

28

I.4 Intuïtieve vergelijking open en gesloten lus regelsystemen

Vier hoofdredenen om regelsystemen te bouwen

1. nauwkeurig volgen van het ingangssignaal

2. onderdrukken (compenseren) van storingen (ruis, tijdsvariatie, verloop, niet lineariteiten …)

3. besturen op afstand

4. vermogenversterking

Twee mogelijke regelstructuren

1. open lus regelkring (open loop or feedforward)

2. gesloten lus regelkring (closed loop or feedback)

Omzetter Regelaar Te regelensysteem

referentiewaarde

Storing

ingangs-signaal

++

uitgangs-signaal

geregeldegrootheid

Omzetter Regelaar Te regelensysteem

Sensor

referentiewaarde

Storing

ingangs-signaal

+++

- uitgangs-signaal

geregeldegrootheid

Page 29: Curs Us Cont Role

29

Voor- en nadelen regelstructuren

Een moderne regelkring bestaat meestal uit de combinatie van meerdere open lus en een gesloten lusregelstructuren. De feedforward corrigeert het “vaste” deel van het systeem, terwijl de feedback zorgtvoor het corrigeren van tijdsvariatie, niet lineariteiten, ruis in het te regelen systeem.

Opmerking: de nauwkeurigheid van een gesloten lus systeem hangt sterk af van de nauwkeurigheid vande sensor.

Tabel I.1

open lus(open loop,

feedforward)

gesloten lus(closed loop,

feedback)

stabiliteit ++ -

storingsgevoeligheid(ruis, tijdsvariatie, niet

lineairiteiten, …)

-- ++

materiaal kost + -

kennis systeem - +

nauwkeurigheid + ++

regelen instabiele systemen (bijv. de

omgekeerde slinger)

-- +

Page 30: Curs Us Cont Role

30

I.5 Rekenen met en vereenvoudigen van blokschema’s

• Signaal

• Systeem

• Optelpunt

• Aftakpunt

• Cascade (hypothese: de blokken belasten elkaar niet; bijv. ingangsimpedantie elke blok = , ofuitgang blok = ideale bron)

R s( )

U s( ) Y s( ) G s( )U s( )=G s( )

+

+-

R1 s( )

R2 s( )R3 s( )

Y s( ) R1 s( ) R2 s( ) R3 s( )–+=

R s( )R s( )

R s( )

R s( )

U s( ) Z s( ) G1 s( )U s( )=G1 s( ) G2 s( )

Y s( ) G1 s( )G2 s( )U s( )=

U s( ) Y s( )G1 s( )G2 s( )

Page 31: Curs Us Cont Role

31

Tegenvoorbeeld: RC-kringen

• Parallelstructuur

E s( )

R1

C1

R2

C2V1 s( ) V1 s( ) V2 s( )

G1 s( )V1 s( )E s( )------------= G2 s( )

V2 s( )V1 s( )------------=

R1

C1 X s( )

R2

C2 V2 s( )E s( )

G s( )V2 s( )E s( )------------

V2 s( )X s( )------------X s( )

E s( )---------- G1 s( )G2 s( )≠= =

R1

C1 V1 s( )

R2

C2 V2 s( )E s( )

G s( )V2 s( )E s( )------------

V2 s( )V1 s( )------------

V1 s( )E s( )------------ G1 s( )G2 s( )= = =

V1 s( )

R s( )

G1 s( )

G2 s( )

G3 s( )

Y s( ) G1 s( )± G2 s( )± G3 s( )±( )R s( )=

Y s( )

≡ G1 s( )± G2 s( )± G3 s( )±R s( ) Y s( )

Page 32: Curs Us Cont Role

32

• Terugkoppelstructuur (gesloten lus, closed loop, feedback)

Inderdaad, uit en leiden we af dat

en

Hieruit volgt de algemene regel: de transferfunctie van een signaal buiten de gesloten lus naar eenwillekeurig signaal in de gesloten lus wordt gevonden door de transferfunctie van het rechtstreekse padte delen door één plus het product van de transferfuncties in de gesloten lus.

• Verplaatsen blokken

R s( ) Y s( )G s( )

H s( )

E s( )≡

Y s( )R s( ) G s( )1 G s( )H s( )+-------------------------------

E s( ) R s( ) H s( )Y s( )–= Y s( ) G s( )E s( )=

Y s( ) G s( )1 G s( )H s( )+-------------------------------R s( )= E s( ) 1

1 G s( )H s( )+-------------------------------R s( )=

R s( ) Y s( )G s( )

X s( )

≡R s( ) Y s( )

G s( )

X s( )

G s( )

R s( ) Y s( )G s( )

X s( )

≡R s( ) Y s( )

G s( )

X s( )

1G s( )----------

Page 33: Curs Us Cont Role

33

• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 1

R s( )

G s( )

R s( )G s( ) 1

G s( )----------

1G s( )----------

G s( )R s( )

R s( )

R s( )

G s( )R s( )

R s( )

R s( )

R s( )G2 s( )G1 s( ) G3 s( )

Y s( )

H1 s( )

H2 s( )

H3 s( )

R s( )G2 s( )G1 s( ) G3 s( )

Y s( )

H1 s( )

H2 s( )

H3 s( )

Page 34: Curs Us Cont Role

34

• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 2

R s( )G1 s( ) G2 s( )G3 s( )

Y s( )

H1 s( ) H2 s( )– H3 s( )+

R s( ) G1 s( )G2 s( )G3 s( )1 G2 s( )G3 s( ) H1 s( ) H2 s( )– H3 s( )+( )+----------------------------------------------------------------------------------------------

Y s( )

R s( )G2G1 G3

Y s( )

H1

H2 H3

R s( )G2G1

G31 G3H3+-----------------------

Y s( )

H1

H2

1G2-------

Page 35: Curs Us Cont Role

35

• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 2

G1G21

G2------- 1+⎝ ⎠

⎛ ⎞ G31 G3H3+-----------------------

Y s( )

H2G1------- H1+

R s( )

1G2------- 1+⎝ ⎠

⎛ ⎞ G31 G3H3+-----------------------

Y s( )R s( )

G1G21 G2 H2 G1H1+( )+-------------------------------------------------

G1G3 1 G2+( )

1 G2 H2 G1H1+( )+( ) 1 G3H3+( )-----------------------------------------------------------------------------------

Y s( )R s( )

R s( )G1G2

1G2------- 1+⎝ ⎠

⎛ ⎞ G31 G3H3+-----------------------

Y s( )

H1

H2G1-------

Page 36: Curs Us Cont Role

36

• Reductie van blokschema’s: voorbeeld 3

R s( )ss 1 s⁄

Y s( )

s

1 s⁄

Page 37: Curs Us Cont Role

37

I.6 Intuïtieve studie gesloten lus regelkring

I.6.1 Teken terugkoppeling

• Groot gevaar voor instabiliteit bij positieve terugkoppeling want voor wordt degesloten lus transfer functie

(9)

Indien de coëfficiënten van de veelterm van teken wisselen dan is zeker instabiel.

• Bij negatieve terugkoppeling wordt

(10)

Kans op tekenwisseling in coëfficiënten veelterm is kleiner doch zelfs bij zelfde tekens isstabiliteit nog niet gegarandeerd.

Intuïtieve uitleg: bij het aanleggen van een sinus bij een bepaalde frequentie ⇒ fasedraaiing van 180° + ⇒ foutsignaal neemt toe. Toepassing: oscillatoren.

R s( ) Y s( )E s( )G s( )

Y s( ) G s( )1 G s( )+−-------------------R s( )=

G s( ) B s( ) A s( )⁄=Gc s( )

Gc s( ) G s( )1 G s( )–------------------- B s( )

A s( ) B s( )–--------------------------= =

A s( ) B s( )– Gc s( )

Gc s( )

Gc s( ) G s( )1 G s( )+-------------------- B s( )

A s( ) B s( )+--------------------------= =

A s( ) B s( )+

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

G s( ) Ks3 2s2 2s 1+ + +-----------------------------------------=

K 0:1:5[ ]=

Kinstabiel 3= ωosc, 2=

Voorbeeld 1:

K 5= 4 3 2 1 0

01 2 … 5

G jω( ) 1≥ E jω( )

Page 38: Curs Us Cont Role

38

Voorbeeld 2: de opamp als spanningsbuffer

Ga voor de volgende open lus transfer functies na of de spanningsbuffer instabiel kan worden met alsparameter de DC-winst

(11)

en waarbij .

I.6.2 Storingsgedrag + nauwkeurigheid regelkring

met het te regelen systeem en de regelaar. Neem bijvoorbeeld (= proportioneleregelaar) dan is de uitgang (output) gegeven door

(12)

Voor wordt (12)

(13)

• Besluit: voor

1. invloed storing (ruis, tijdsvariatie, niet lineariteit, …) op uitgang gaat naar nul

2. uitgang volgt perfect het referentiesignaal

Vout s( ) A s( ) V+ s( ) V- s( )–( )= Vout s( )⇒ A s( )1 A s( )+-------------------Vin s( )=

Vout s( )Vin s( ) A s( )

A0 0>

A s( )A0

1 τ1s+-----------------A0

1 τ1s+( ) 1 τ2s+( )--------------------------------------------

A0 1 τ0s±( )

1 τ1s+( ) 1 τ2s+( )--------------------------------------------

A01 τ1s+( ) 1 τ2s+( ) 1 τ3s+( )

-------------------------------------------------------------------, , ,=

τ0 τ1 τ2 τ3, , , 0>

R s( ) Y s( )H s( )

E s( )

V s( )

Y s( ) G s( )H s( )1 G s( )H s( )+-------------------------------R s( ) 1

1 G s( )H s( )+-------------------------------V s( )+=

G s( )U s( )

G s( ) H s( ) H s( ) K=

Y s( ) KG s( )1 KG s( )+------------------------R s( ) 1

1 KG s( )+------------------------V s( )+=

K 1»

Y s( ) 1 1KG s( )---------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ R s( ) V s( )KG s( )---------------+≈

K ∞→

V s( ) Y s( )

Y s( ) R s( )

Page 39: Curs Us Cont Role

39

• Opgelet: stabiliteit gesloten lus voor groot (zie vorige Sectie I.6.1).

• Gevolg: niet te groot om stabiele closed loop transfer functie te hebben ⇒ regellaar ontwerpen =streven naar robuuste stabiliteit (maximale fase en amplitude marge, of phase and gain margin) + maximale statische endynamische performantie (minimale statische fout, minimale stijgtijd, percentage doorschot, …)

• De transferfunctie van de storing naar de uitgang

(14)

noemt men de gevoeligheidsfunctie (sensitivity). Een lage gevoeligheid van de regelkring t.o.v. storingenhoudt in dat de gevoeligheidsfunctie laag moet zijn (veel kleiner dan één).

I.6.3 Invloed meet- of sensorfout

Neem bijvoorbeeld (= proportionele regelaar) met dan is de uitgang (output)gegeven door

(15)

• Besluit: de meet- of sensorfout wordt niet weggeregeld!

• De transferfunctie van de storing naar de uitgang

(16)

noemt men de complementaire gevoeligheidsfunctie (complementary sensitivity). Opdat de uitgang hetreferentiesignaal zo goed mogelijk zou volgen moet zo dicht mogelijk bij één liggen.

• Het ingangssignaal van het te regelen proces is gegeven door

(17)

waarbij de ingangsgevoeligheid (input sensitivity) wordt genoemd. Deze transferfunctiebepaalt de gevoeligheid van de ingang t.o.v. storingen en het commandosignaal.

KG s( ) 1 KG s( )+( )⁄ K

K

S s( ) V s( ) Y s( )

S s( ) 11 G s( )H s( )+-------------------------------=

S s( )

Y s( )H s( )

E s( )

V s( )

G s( )

Y s( ) G s( )H s( )1 G s( )H s( )+-------------------------------R s( ) G s( )H s( )

1 G s( )H s( )+-------------------------------V s( )–=

U s( )R s( )

H s( ) K= K 1»

Y s( ) R s( ) V s( )–≈

T s( ) V s( )– Y s( )

T s( ) G s( )H s( )1 G s( )H s( )+-------------------------------=

T s( )

U s( )

U s( ) H s( )1 G s( )H s( )+------------------------------- R s( ) V s( )–( )=

H s( ) 1 G s( )H s( )+( )⁄

Page 40: Curs Us Cont Role

40

I.6.4 Besluit

Gezien de meeste systemen laagdoorlaat zijn, d.w.z. als , kan een goedvolggedrag en een goede storingsonderdrukking maar in een zekere frequentieband gegarandeerdworden. De bandbreedte waarover de regelaar goed moet werken wordt opgelegd door detoepassing. Een goede regelkring heeft dus de volgende sensitiviteitsfuncties

De bandbreedte van de gesloten lus regelaar kan als volgt vergroot worden door een feedforwardcompensator

Merk op dat de gesloten lus transferfunctie in zeer goedebenadering linear en tijdsinvariant is zodat aan alle voorwaarden is voldaan voor een feedfowardcompensatie. Dit kan ook gerealiseerd worden als

Indien dan is de gesloten lus transferfunctie gelijk aan één.

R s( ) Y s( )H s( )

E s( )G s( )

U s( )

H jω( )G jω( ) 0→ ω ∞→

ωB

0

1|S(jω)||T(jω)|

ω0

ωB

F s( )

R s( ) Y s( )H s( )

E s( )G s( )

U s( )F s( )

Gc s( ) H s( )G s( ) 1 H s( )G s( )+( )⁄=

R s( ) Y s( )H s( )

E s( )G s( )

U s( )

F s( )Y s( ) H s( )G s( ) F s( )G s( )+

1 G s( )H s( )+-------------------------------------------------R s( )=

F G 1–=

Page 41: Curs Us Cont Role

41

I.7 Inleiding tot een praktijkvoorbeeld: antenne-azimut-positieregelsysteem

motor potentiometer

antenne

verschil- envermogenversterker

gewensteazimut hoek

θi t( )

θu t( )azimut hoek

θuVe

K0Km

s s am+( )-----------------------

θi

voor- motor en last

potentiometer

K1s a+-----------Kpot

versterker

Kpot

potentiometer

Vi Vp Ea

vermogens-versterker

Kg

azimut-hoek

θm

Page 42: Curs Us Cont Role

42

Modelvergelijkingen:

1. Tientoeren potentiometer gevoed tussen en

(18)

2. Verschilversterker

(19)

3. Vermogenversterker

(20)

4. Motor + belasting

⇒ (21)

(termen en verwaarlozen)5. Overbrenging

(22)

Vragen:

1. Kan de gesloten lus transferfunctie instabiel worden als te groot wordt?

2. Wat indien de vermogenversterker gemodelleerd wordt als ?

+Vcc -Vcc

Kpot2Vcc

10 2π×------------------

Vcc10π---------= =

Vp s( ) KVe s( )=

Ea s( )K1

s a+-----------Vp s( )=

Jd2θm t( )

dt2------------------ Ddθm t( )

dt--------------- Eθm t( )+ + T t( )=

T t( ) Kia t( )=

Raia t( ) Ladia t( )

dt-------------+ ea t( )=

θm s( )Km

s s am+( )-----------------------Ea s( )≈

Eθm t( ) Ladia t( ) dt⁄

θu t( ) Kgθm t( )=

K

K1

Page 43: Curs Us Cont Role

43

I.8 Moderne controle

Deze cursus: voornamelijk lineaire tijdsinvariante een ingang, een uitgang systemen (= SISO: singleinput, single output systems) + analoge regelaars. Toepassing: analoge feedbackversterkers in deelektronica, DC voedingen.

Praktisch: meer ingang, meer uitgang systemen (= MIMO: multiple input, multiple output systems) +digitale regelaars ⇒ gemengde (hybride) data systemen.

Moderne regelaars:

1. state feedback controllers

2. (dynamic) output feedback controllers

3. adaptieve regelaars

4. neuro-fuzzy controllers

5. niet-lineaire controle

Opmerking: state en output feedback regelaars vereisen een goede kennis van het te regelen systeem,d.w.z. een (transferfunctie of toestands-) model moet beschikbaar zijn ⇒ systeemidentificatie. Dit isniet het geval voor de neuro-fuzzy regelaars.

Echter: in industrie hoofdzakelijk (> 90%) PID regelaars waarvan typisch 30% nog met de handingesteld worden

Page 44: Curs Us Cont Role

44

Hoofdstuk II: Lineaire systemen

Page 45: Curs Us Cont Role

45

II.1 Eenvoudige voorbeelden

• Voorbeeld 1: LRC-kring

Stel

(23)

dan

(24)

• Voorbeeld 2: massa-veer-demper systeem

Stel

LR

u t( )

i t( )

C y t( )

u t( ) Ri t( ) Ldi t( )dt---------- 1

C---- i t( ) td0t∫+ +=

y t( ) 1C---- i t( ) td0

t∫=

x1 t( ) i t( )=

x2 t( ) i t( ) td0t∫=

dx1 t( )dt-------------- R

L---x1 t( )– 1LC-------x2 t( )– 1

L---u t( )+=

dx2 t( )dt-------------- x1 t( )=

y t( ) 1C----x2 t( )=

k

b

mu t( )

z t( )

md2z t( )dt2

-------------- u t( ) bdz t( )dt-----------– kz t( )–=

y t( ) dz t( )dt-----------=

Page 46: Curs Us Cont Role

46

(25)

dan

(26)

• Voorbeeld 3: elektrisch netwerk

Stel

(27)

dan

(28)

waarbij .

x1 t( ) z t( )=

x2 t( ) dz t( )dt-----------=

dx1 t( )dt-------------- x2 t( )=

dx2 t( )dt-------------- k

m----x1 t( )– bm----x2 t( )– 1

m----u t( )+=

y t( ) x2 t( )=

L1R1

u t( )

i1 t( ) R2

L2

i2 t( )

L3

i3 t( )

L1di1 t( )

dt------------- u t( ) R1i1 t( )– L2di2 t( )

dt-------------–=

L2di2 t( )

dt------------- R2i3 t( ) L3di1 t( )

dt-------------di2 t( )

dt-------------–⎝ ⎠⎛ ⎞+=

y t( ) i2 t( ) i3 t( )–=

x1 t( ) i1 t( )=

x2 t( ) i2 t( )=

dx1 t( )dt--------------

R1 L2 L3+( ) R2L2+∆

-------------------------------------------------– x1 t( )R2L2

∆------------x2 t( )

L2 L3+( )

∆-----------------------u t( )+ +=

dx2 t( )dt--------------

R1L3 R2L1–∆

-------------------------------– x1 t( )R2L1

∆------------x2 t( )–

L3∆------u t( )+=

y t( ) 2x2 t( ) x1 t( )–=

∆ L1L2 L1L3 L2L3+ +=

Page 47: Curs Us Cont Role

47

II.2 Toestandsvergelijkingen van een systeem

Merk op: alle vergelijkingen van de eenvoudige voorbeelden kunnen geschreven worden onder de vorm

(29)

met het ingangssignaal, het uitgangssignaal, de systeemmatrix (system matrix), deingangsmatrix (input matrix), de uitgangsmatrix (output matrix), de doorkoppelmatrix (directtransmission matrix), en de toestandsvector

(30)

• Definities:

1. Orde van het systeem = aantal onafhankelijke energieopslag mogelijkheden (potentiële energie,kinetische energie, …) = orde van de differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft.

2. Toestandsveranderlijken = kleinste verzameling linear onafhankelijke systeem-veranderlijken diede waarde van alle systeemveranderlijken bepalen.

3. Toestandsvector = vector waarvan de elementen de toestandsveranderlijken zijn.

4. Toestandsruimte = -dimensionale ruimte waarvan de assen de toestands-veranderlijken zijn.Voor spreekt men ook van het fasevlak.

5. Toestandsvergelijkingen = verzameling van (gekoppelde) eerste orde differentiaal-vergelijkingen met veranderlijken (= toestandsveranderlijken).

6. Uitgangsvergelijking = algebraïsche vergelijking die de uitgang van het systeem uitdrukt alslineaire combinatie van de toestandsveranderlijken en de ingangssignalen.

• Opmerkingen:

dx t( )dt----------- Ax t( ) Bu t( )+=

y t( ) Cx t( ) Du t( )+=

u t( ) y t( ) A BC D

x t( )

x

x1 t( )

x2 t( )

…xn t( )

=

n

nn 2=

x1 t( )

x2 t( )

x t( )

toestandsbaan (trajectory)

toestandsruimte (fasevlak)

nn

Page 48: Curs Us Cont Role

48

1. Keuze toestandsveranderlijken is niet uniek. Inderdaad neem een reguliere bij matrix envermenigvuldig de toestandsvergelijking in (29) met

(31)

Definieer nu , dan wordt (31)

(32)

waarbij

(33)

Vergelijking (33) heet men een gelijkvormigheidstransformatie (similitude transformation), dieaanleiding geeft tot een andere toestandsvector en andere toestandsmatrices , , ,doch met hetzelfde ingang- uitgangsverband (de uitgangsvergelijking blijft ongewijzigd). Gevolg:

, , , en zijn ook niet uniek en zij gekoppeld aan de keuze van .2. De toestandsvergelijkingen (29) gelden zowel voor een ingang, een uitgangsystemen (= single

input, single output = SISO) als meer ingang, meer uitgangsystemen (multiple input, multipleoutput = MIMO). Het enige verschil tussen beiden zijn de matrix dimensies van , , en .

• De vraag stelt zich nu of (29) bestaat voor om ‘t even welk lineair tijdsinvariant systeem. Dit wordtbehandeld in de volgende Sectie.

n n TT

Tdx t( )dt----------- TAx t( ) TBu t( )+=

y t( ) Cx t( ) Du t( )+=

Tx t( ) xT t( )=

dxT t( )dt-------------- ATxT t( ) BTu t( )+=

y t( ) CTxT t( ) DTu t( )+=

AT TAT 1–= BT, TB= CT, CT 1–= DT, D=

xT t( ) AT BT CT

A B C D x t( )

B C D

Page 49: Curs Us Cont Role

49

II.3 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijking en omgekeerd

II.3.1 Overgang differentiaalvergelijking naar toestandsvergelijkingOm de notaties te vereenvoudigen vertrekken we van een 2de orde differentiaalvergelijking

(34)

waarbij we kiezen (dit is geen beperking van de algemeenheid). Onder transferfunctie vormwordt dit (vertrek vanuit rust: initiële condities = 0)

(35)

Vermenigvuldig teller en noemer van de transferfunctie (35) met

(36)

en kies zodanig dat

(37)

Omgezet naar het tijdsdomein (initiële condities = 0) geeft dit

(38)

Kiezen we nu de 2 toestandsveranderlijken (2e orde systeem) als volgt

(39)

dan wordt (38)

(40)

Uit de tweede vergelijkingen van (39) en (40) halen we de toestandsvergelijking

(41)

Substitutie van de tweede vgl. van (41) in de eerste vgl. van (40) levert finaal de uitgangsvergelijking

a2d2y t( )dt2

-------------- a1dy t( )dt----------- a0y t( )+ + b2

d2u t( )dt2-------------- b1

du t( )dt------------ b0u t( )+ +=

a2 1=

G s( ) y s( )u s( )---------

b0 b1s b2s2+ +

a0 a1s s2+ +--------------------------------------= =

x s( ) 0≠

y s( )u s( )---------

b0 b1s b2s2+ +( )x s( )

a0 a1s s2+ +( )x s( )----------------------------------------------------=

x s( )

y s( ) b0 b1s b2s2+ +( )x s( )=

u s( ) a0 a1s s2+ +( )x s( )=

y t( ) b0x t( ) b1x' t( ) b2x'' t( )+ +=

u t( ) a0x t( ) a1x' t( ) x'' t( )+ +=

x1 t( ) x t( )=

x2 t( ) x' t( )=

y t( ) b0x1 t( ) b1x2 t( ) b2x2' t( )+ +=

u t( ) a0x1 t( ) a1x2 t( ) x2' t( )+ +=

x1' t( ) x2 t( )=

x2' t( ) a0x1 t( )– a1x2 t( )– u t( )+=

Page 50: Curs Us Cont Role

50

(42)

Merk op dat (41) en (42) van de vorm (29) zijn met

, , , en (43)

• Opmerkingen:

1. De redenering verloopt gelijkaardig voor een de orde systeem.

2. De bewijsvoering gaat niet meer op indien de order van de teller van de transfer-functie groter isdan deze van de noemer. Systemen (transferfuncties) waarvoor dit het geval is noemt menimproper (graad teller = graad noemer ⇒ proper; graad teller < graad noemer ⇒ strictly proper).Gevolg: de toestandsbeschrijving (29) bestaat enkel voor proper systems.

Indien men een toestandsbeschrijving van een improper system wenst moet men de rol van ingangen uitgang omwisselen.Indien de orde van de teller één hoger is dan die van de noemer kan men de volgendeuitbreiding van het toestandsmodel gebruiken

(44)

Toepassing van (44): modeleren van impedantie of admittantie matrices.3. De Matlab instructie ss zet transferfunctie modellen om in state space vorm

II.3.2 Overgang toestandsvergelijking naar differentiaalvergelijking(a) Rechtstreeks in tijdsdomein. We maken de redenering voor SISO systemen; deze voor MIMOsystemen verloopt gelijkaardig. Afleiden naar de tijd van de uitgangsvergelijking in (29) geeft

(45)

waarbij de overgang gebruik maakt van de toestandsvergelijking (29). Leiden we (45) af naar de tijd danbekomen we op dezelfde manier

(46)

Herhaaldelijk toepassen tot de de afgeleide en onder het elkaar schikken van de uitgangsvergelijkingmet al zijn afgeleiden levert de volgende vergelijkingen

(47)

waarbij

y t( ) b0 b2a0–( )x1 t( ) b1 b2a1–( )x2 t( ) b2u t( )+ +=

A 0 1a0– a1–

= B 01

= C b0 b2a0– b1 b2a1–= D b2=

n

dx t( )dt----------- Ax t( ) Bu t( )+=

y t( ) Cx t( ) Du t( ) Edu t( )dt------------+ +=

y 1( ) t( ) Cx 1( ) t( ) Du 1( ) t( )+=

CAx t( ) CBu t( ) Du 1( ) t( )+ +=

y 2( ) t( ) CAx 1( ) t( ) CBu 1( ) t( ) Du 2( ) t( )+ +=

CA2x t( ) CABu t( ) CBu 1( ) t( ) Du 2( ) t( )+ + +=

nn 1+

Yn 1+ t( ) On 1+ x t( ) Sn 1+ Un 1+ t( )+=

Page 51: Curs Us Cont Role

51

, , en (48)

en gelijkaardig voor . De onbekenden in (47) worden als volgt geëlimineerd.

Construeer de volgende projectiematrix

(49)

waarbij , en vermenigvuldig (47) links met . Dit

geeft de volgende differentiaalvergelijkingen

(50)

Gezien bevat (50) slechts één lineaire onafhankelijke differentiaal vergelijking ⇒selecteer een niet nulle rij in ⇒

(51)

is de gezochte differentiaalvergelijking.

(b) Via Laplace getransformeerde. De eerste stap bestaat erin om op te stellen

(52)

en vervolgens de gemeenschappelijke polen en nullen te vereenvoudigen. Dit geeft ,en finaal wordt de invers Laplace getransformeerde berekend van de volgende input/output betrekking

(53)

Opmerking: de Matlab instructie tf zet een state space model om in een transferfunctie model.

Yn 1+ t( )

y t( )y 1( ) t( )y 2( ) t( )

y n( ) t( )

= On 1+

CCACA2

CAn

= Sn 1+

D 0 0 … 0CB D 0 … 0

CAB CB D … 0… … … … …

CAn 1– B CAn 2– B … CB D

=

Un 1+ t( ) n x t( )

Π

Π In 1+ On 1+ On 1+T On 1+( ) 1– On 1+

T–=

rang Π( ) n 1 rang On 1+( )–+ n 1 n–+ 1= = = Π

n 1+

ΠYn 1+ t( ) ΠSn 1+ Un 1+ t( )=

rang Π( ) 1=Πj Π

ΠjYn 1+ t( ) ΠjSn 1+ Un 1+ t( )=

G s( )

G s( ) C sIn A–( ) 1– B D+=

G s( ) B s( ) A s( )⁄=

A s( )y s( ) B s( )u s( )=

Page 52: Curs Us Cont Role

52

II.4 Tijdantwoord

II.4.1 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de differentiaalvergelijking• Rechtstreeks

(54)

met beginvoorwaarden , , … ; , , …, (zie cursusanalyse).

• Via de Laplace getransformeerde (initiële condities = 0; anders bijkomende termen)

met en (55)

(zie cursus systeemtheorie).

II.4.2 Berekenen tijdsdomein oplossing vanuit de toestandsvergelijkingen• Rechtstreeks

(56)

met beginvoorwaarde . De oplossing van het differentiaalstelsel wordt gegeven door

(57)

waarbij de volgende eigenschappen heeft

(58)

Bewijs: gebruik makend van (58) kan gemakkelijk aangetoond worden dat de oplossing van dehomogene vergelijking gegeven wordt door

(59)

met een constante vector. Toepassing van de variatie van de constante geeft

⇒ (60)

ana

dnay t( )

dtna---------------- ana 1–

dna 1– y t( )

dtna 1–------------------------ … a0y t( )+ + + bnb

dnbu t( )

dtnb----------------- bnb 1–

dnb 1– u t( )

dtnb 1–------------------------ … b0u t( )+ + +=

u 0-( ) u 1( ) 0-( ) u nb 1–( ) 0-( ) y 0-( ) y 1( ) 0-( ) y na 1–( ) 0-( )

y t( ) L 1– y s( ) L 1– G s( )u s( )= = G s( )bksk

k 0=nb∑

akskk 0=na∑

----------------------------= u s( ) Lu t( )=

dx t( )dt----------- Ax t( ) Bu t( )+=

y t( ) Cx t( ) Du t( )+=

x 0-( )

x t( ) eAtx 0-( ) eA t τ–( )Bu τ( ) τd0

t∫+=

eAt Aktkk!----------k 0=

∞∑=

AeAt eAtA= eAt( ) 1– e At–=

deAt

dt----------- AeAt=

x' t( ) Ax t( )=

x t( ) eAtK=

K

AeAtK t( ) eAtK' t( )+ eAtK t( ) Bu t( )+= K t( ) K 0( ) e A– τBu τ( ) τd0

t∫+=

Page 53: Curs Us Cont Role

53

Samenbrengen van (59) en (60) geeft finaal de oplossing van de gedwongen vgl. (56)

(61)

Invullen van de initiële conditie ⇒ geeft wat (57) bewijst. G

Substitutie van (61) in de uitgangsvgl. van (56) geeft het gezochte uitgangssignaal

Opmerkingen:

1. voor enkelvoudige eigenwaarden kan de matrixexponentiaal berekend worden via deeigenwaardenontbinding van de matrix

⇒ (62)

met en .2. vgl. (57) stelt een convolutie integraal voor.

• Via de Laplace getransformeerde van (56)

⇒ (63)

en .

II.4.3 Stapantwoord• Berekening stapantwoord via

(64)

waarbij de som strekt over de polen van , en met de Laplace getransformeerde van deHeavyside stap. Het stapantwoord (64) kan via de instructie step in Matlab uitgerekend worden voorstabiele rationale functies .

• Eerste orde laagdoorlaat systeem

Toepassen van (64) op levert

(65)

x t( ) eAtK 0( ) eA t τ–( )Bu τ( ) τd0

t∫+=

t 0= x t( ) x 0-( )= K 0( ) x 0-( )=

y t( ) CeAtx 0-( ) CeA t τ–( )Bu τ( ) τd0

t∫ Du t( )+ +=

eAt

A

A TΛT 1–= eAt TeΛtT 1–=

Λ diag λ1 λ2 … λn, , ,( )= eΛt diag eλ1t eλ2t … eλnt, , ,( )=

sx s( ) x 0-( )– Ax s( ) Bu s( )+=y s( ) Cx s( ) Du s( )+=

y s( ) C sIn A–( ) 1– B D+( )u s( ) C sIn A–( ) 1– x 0-( )+=

y t( ) L 1– y s( )=

y t( ) L 1– 1s---G s( ) Res 1

s---G s( )est( )∑polen 1

s---G s( )

= =

G s( ) s⁄ 1 s⁄

G s( )

G s( ) 1 τs 1+( )⁄=

y t( ) 1 e t τ/––=

Page 54: Curs Us Cont Role

54

• Tweede orde laagdoorlaatsysteem

(66)

met de natuurlijke frequentie (undamped natural frequency), en de relatieve demping (dampingratio). De vorm van het stapantwoord (64) wordt bepaald door de ligging van de polen van (66)

(67)

We onderscheiden de volgende gevallen

1. : ongedempt (undamped)

(68)

2. : onderkritisch gedempt (under critically damped)

(69)

3. : kritisch gedempt (critically damped)

(70)

4. : bovenkritisch gedempt (over critically damped)

(71)

X

X

φ

sinφζωnωn

---------- ζ= =ωn

ζωn

0 ζ 1< <

G s( ) 1s

ωn------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 22ζ s

ωn------ 1+ +

--------------------------------------------=

ωn ζ

s1 2, ζ– ζ2 1–±( )ωn=

ζ 0=

y t( ) 1 cos ωnt( )–=

0 ζ 1< <

y t( ) 1 1

1 ζ2–------------------e ζωnt– cos ωn 1 ζ2– t arctan ζ

1 ζ2–------------------( )–( )–=

ζ 1=

y t( ) 1 e ωnt–– tωne ωnt––=

ζ 1>

y t( ) 1s2

s2 s1–----------------es1t–s1

s1 s2–----------------es2t–=

Page 55: Curs Us Cont Role

55

Antwoord tweede orde systeem als functie van de relatieve demping

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

onderkritisch gedempt

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

y(t)

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

t

y(t)

ongedempt

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

t

y(t)

kritisch gedempt

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

t

y(t)

bovenkritisch gedempt

jωn

j– ωn

ζ 0=

0 ζ 1< <

σ

jωn 1 ζ2–

σ

j– ωn 1 ζ2–

ζ– ωn

σ

ζ– ωn

ζ 1=

σ

ζ– ζ2 1––( )ωn

ζ 1>

ζ– ζ2 1–+( )ωn

ζ = 0.1, 0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8

Page 56: Curs Us Cont Role

56

• Definities

1. piektijd (peak time) : tijd vereist om de eerste of maximale piek te bereiken.

2. percentage doorshot (overshoot) : de hoeveelheid waarmee de golfvorm de eindwaarde(steady state value) op de piektijd overschrijdt uitgedrukt in percentage van de eindwaarde

. (72)

3. insteltijd (settling time) : tijd die de gedempte oscillaties van de overgangsverschijnselen nodighebben om binnen ±2% van de eindwaarde te komen.

4. stijgtijd (rise time) : tijd nodig om van naar te gaan.

• Merk op dat voor een tweede orde systeem :

1. de omhullende van het stap- of impulsantwoord enkel functie is van het reëel gedeelte van depool,

2. de frequentie van de oscillaties in het stap- of impulsantwoord enkel functie zijn van hetimaginair gedeelte van de pool,

3. het percentage doorschot bij het stapantwoord enkel functie is van de demping, en dus van de

Tp ymax%DS

%DS 100ymax yeind–

yeind-----------------------------=

Ts

Tr 0.1yeind 0.9yeind

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

onderkritisch gedempt

ymax

yeind

1.02yeind

0.98yeind0.9yeind

Tr

Tp

y t( )

tTs

0.1yeind

G s( ) 1 s ωn⁄( )2 2ζ s ωn⁄( ) 1+ +( )⁄=

Page 57: Curs Us Cont Role

57

hoek tussen de pool en de imaginaire as.

Bewijs dit gedrag als oefening.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

zelfde frequentie

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

y(t)

zelfde omhullende

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

y(t)

zelfde doorschot

σ

1

23

12

3

σ

123

1

2

3

σ

12

3123

Page 58: Curs Us Cont Role

58

• Tweede orde laagdoorlaatsystemen met een nul op de reële as,

(73)

Voor stabiele systemen onderscheidt men naargelang het teken van

1. ⇒ nul in het linkerhalfvlak ⇒ minimum fase systeem,

2. ⇒ nul in het rechterhalfvlak ⇒ niet-minimum fase systeem.

Verklaring: noem het stapantwoord op het systeem (66) zonder nul in de teller. Als we nu een nul

toevoegen aan de teller dan wordt het stapantwoord gegeven door

(74)

Gevolg:

1. ⇒ doorschot (overshoot) groter ( tot aan eerste piek).

2. en ⇒ stapantwoord sneller, wat een algemene eigenschap van de differentiator is.

3. ⇒ ⇒ negatief stapantwoord voor “voldoende klein”.Voorbeeld: mocht een robot een niet minimum fase karakteristiek hebben dan zou deze op eencommando om naar links te gaan eerst even naar rechts uitwijken.

• Algemene definitie

1. minimum fase systeem = alle polen en nullen liggen in het linkerhalfvlak

2. niet-minimum fase systeem = één of meerdere nullen en/of polen liggen in het rechterhalfvlak.

II.4.4 Statische fout

G s( )

sa---

1+

sωn------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 22ζ s

ωn------ 1+ +

--------------------------------------------=

a

a 0>

a 0<

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

y(t)

niet-minimum fase: a < 0

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

t

y(t)

minimum fase: a > 0

a 3=a 5=

a 10=

a ∞=

a 2–=

y0 t( )

s a⁄ 1+ y t( )

y t( ) L 1– y0 s( ) s a⁄ 1+( ) 1a---

dy0 t( )dt-------------- y0 t( )+= =

a 0> dy0 t( ) dt⁄ 0>

a 0> a 0→

a 0< y 0+( ) y0' 0+( ) a⁄= 0< t

Page 59: Curs Us Cont Role

59

• Klassieke testsignalen

Opmerkingen:

1. de talud en parabool kunnen herleid worden tot de stap wanneer toegepast op respectievelijk deafgeleide en de tweede afgeleide van het referentiesignaal. Bijgevolg beperken we ons in destudie tot de statische fout op de stap.

2. het impuls- en stapantwoord kunnen in Matlab via de instructies impulse en step berekendworden.

• Definitie

(75)

wanneer de ingang een eenheidsstap is.

11s---stap constante

positie

talud constantesnelheid

1s2-----t

parabool constanteversnelling

t2

2----1s3-----

estap ∞( ) 1 y ∞( )–=

u t( )

statischefout

Page 60: Curs Us Cont Role

60

• Eenvoudige voorbeelden:

• Berekening statische fout in het algemeen

Algemeen hebben we dat ( voor en voor )

(76)

Bewijs (einde waarde theorema):

(77)

Indien enkel polen heeft in het linker halfvlak (en niet op de imaginaire as) dan convergeert deintegraal in (77) voor alle . Bijgevolg kunnen we (77) evalueren in

⇒ (78)

Merk op dat een enkelvoudige pool in de oorsprong mag hebben. G

• Berekening statische fout voor eenheidsterugkoppeling

(79)

Besluit

y t( )e t( )K

y t( )e t( ) Ks----

y t( ) K1 K+-------------= estap ∞( )⇒ 1 y ∞( )– 1

1 K+-------------= = y t( ) 1 e Kt––= estap ∞( )⇒ 1 y ∞( )– 0= =

u t( ) 1= t 0≥ u t( ) 0= t 0<

estap ∞( ) sestap s( )s 0→lim 1 sy s( )

s 0→lim–= =

Ldy t( )dt----------- sy s( ) y 0-( )–=

Ldy t( )dt----------- dy t( )

dt-----------e st– td0-

∫=

sy s( )Re s( ) 0≥ s 0=

Ldy t( )dt-----------

s 0→lim dy t( )

dt----------- td0-

∫ y ∞( ) y 0-( )–= = sy s( )s 0→lim y ∞( )=

y s( )

y t( )e t( )G s( )

estap ∞( ) sestap s( )s 0→lim s 1

s---1s---

G s( )1 G s( )+--------------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞s 0→lim 1

1 G s( )s 0→lim+-------------------------------= = =

Page 61: Curs Us Cont Role

61

1. indien dan is de statische fout gelijk aan nul. Deze voorwaarde is voldaan indien een integrator bevat (= pool in de oorsprong).

2. indien geen integrators bevat dan is de statische fout op een stap verschillend van nul.

• Opgelet, voor niet-eenheidsterugkoppelingen geldt de voorgaande integratorregel niet noodzakelijk.Inderdaad beschouw

met en , dan vinden we dat de fout op het stapantwoord

(80)

verschillend is van nul! Verklaar dit!

• Voor de fout op het talud- en paraboolantwoord van een eenheidsterugkoppeling krijgen werespectievelijk

(81)

II.4.5 Statische fout bij verstoringen• Eenheidsterugkoppeling

Het verschil tussen het gewenste signaal en het werkelijke uitgangssignaal wordt gegeven door

G 0( ) ∞=G s( )

G s( )

y t( )e t( )G s( )

H s( )

estap s( ) 1s---

y s( )–=

1s--- 1 G s( )

1 G s( )H s( )+-------------------------------–⎝ ⎠⎛ ⎞=

1s---

1 G s( )H s( ) G s( )–+1 G s( )H s( )+-----------------------------------------------=

G s( ) 100 s s 10+( )( )⁄= H s( ) 1 s 5+( )⁄=

estap ∞( ) sestap s( )s 0→lim H 0( ) 1–

H 0( )-------------------- 4–= = =

etalud ∞( ) t y t( )–( )t ∞→lim 1

sG s( )s 0→lim-------------------------= =

eparabool ∞( ) 12---t2 y t( )–⎝ ⎠

⎛ ⎞t ∞→lim 1

s2G s( )s 0→lim

----------------------------= =

y t( )e t( )G1 s( ) G2 s( )

r t( )

d t( )regelaar systeem

r s( ) y s( )

Page 62: Curs Us Cont Role

62

(82)

In de onderstelling dat en enkel polen hebben in hetlinkerhalfvlak + eventueel in de oorsprong, dan wordt de statische fout gegeven door

(83)

De eerste term is de statische fout ten gevolge van , de tweede term deze ten gevolge van de storing. Voor de statische fout op het stapantwoord (zowel voor als een stap nemen) wordt dit

(84)

De bijdrage van de eerste term in (84) is nul indien de regelaar een integrator bevat en het

systeem geen nul heeft bij DC. De tweede term is nul indien de regelaar een integrator

bevat of indien het systeem een nul heeft bij DC. Gezien een nul bij DC de bijdragevan de eerste term verschillend van nul maakt is de geschikte strategie om beide termen in (84) klein temaken door en te kiezen (in de limiet een integrator ).

• Niet-eenheidsterugkoppeling

Het verschil tussen het gewenste signaal en het werkelijke uitgangssignaal wordt nu gegevendoor

(85)

De statische fout op het stapantwoord ( , ) is nul indien (bij onderstelling zijnde transferfuncties in (85) stabiel)

er s( ) r s( ) y s( )– r s( )1 G1 s( )G2 s( )+------------------------------------

G2 s( )d s( )1 G1 s( )G2 s( )+------------------------------------–= =

1 1 G1 s( )G2 s( )+( )⁄ G2 s( ) 1 G1 s( )G2 s( )+( )⁄

er ∞( ) ser s( )s 0→lim sr s( )

1 G1 s( )G2 s( )+------------------------------------s 0→lim

sG2 s( )d s( )1 G1 s( )G2 s( )+------------------------------------

s 0→lim–= =

r s( )d s( ) r t( ) d t( )

estap ∞( ) 11 G1 s( )G2 s( )+------------------------------------

s 0→lim 1

1G2 s( )------------- G1 s( )+---------------------------------

s 0→lim–=

G1 s( )

G2 s( ) G1 s( )

G2 s( ) G2 0( ) 0=

G1 0( ) 1 G2 0( )⁄» G1 0( ) 1» G1 0( ) ∞=

y t( )e t( )G1 s( ) G2 s( )

r t( )

d t( )regelaar systeem

H s( )

sensor

r s( ) y s( )

er s( ) r s( ) y s( )– r s( )1 G1 s( )G2 s( ) H s( ) 1–( )+

1 G1 s( )G2 s( )H s( )+-------------------------------------------------------------G2 s( )d s( )

1 G1 s( )G2 s( )H s( )+-----------------------------------------------–= =

r s( ) 1 s⁄= d s( ) 1 s⁄=

Page 63: Curs Us Cont Role

63

en (86)

Deze voorwaarden zijn voldaan indien

1. de regelaar een integrator bevat: ,

2. het systeem geen nul heeft bij DC: ,

3. de DC-versterking van de sensor één is: .

De laatste eis kan gemakkelijk intuïtief begrepen worden: het is onmogelijk om de statische fout van hetstapantwoord (= DC fout) nul te maken indien de meting van het DC-niveau aan de uitgang nietcorrect is.

1 G1 s( )G2 s( ) H s( ) 1–( )+1 G1 s( )G2 s( )H s( )+-------------------------------------------------------------

s 0→lim 0=

G2 s( )1 G1 s( )G2 s( )H s( )+-----------------------------------------------

s 0→lim 0=

G1 s( ) G1 0( ) ∞=

G2 s( ) G2 0( ) 0≠

H s( ) H 0( ) 1=

Page 64: Curs Us Cont Role

64

II.5 Praktijkvoorbeeld: antenne-azimut positieregeling

• Blokschema (zie ook Hoofdstuk 1, sectie 7)

Dit schema kan vereenvoudigd worden tot

• De statische fout op het stapantwoord ( ), het taludantwoord ( ), en het

paraboolantwoord ( worden respectievelijk gegeven door

(87)

(88)

(89)

Vraag: kan willekeurig klein gemaakt worden door ? Wat indien de

vermogenversterker gemodelleerd wordt door .

• Besluit: de regelkring laat toe om de hoek foutloos in te stellen met een (kleine?) statische fout op desnelheid. De versnelling kan echter niet ingesteld worden.

θuVe

K0Km

s s am+( )-----------------------

θi

voor- motor en last

potentiometer

K1s a+-----------Kpot

versterker

Kpot

potentiometer

Vi Vp Ea

vermogens-versterker

Kg

azimut-hoek

θm

θu t( )e t( )G s( )

θi t( )

G s( ) Ks s a+( ) s am+( )----------------------------------------= K KpotK0K1KmKg=waarbij

θi t( ) 1 s⁄= θi t( ) 1 s2⁄=

θi t( ) 1 s3⁄=

estap ∞( ) 11 G s( )+--------------------

s 0→lim 0= =

etalud ∞( ) 1sG s( )

s 0→lim-------------------------

aamK----------= =

eparabool ∞( ) 1s2G s( )

s 0→lim

---------------------------- ∞= =

etalud ∞( ) K ∞→

K1

Page 65: Curs Us Cont Role

65

II.6 Frequentieantwoord

II.6.1 Bode diagramsLangsheen de imaginaire as kan de transferfunctie geschreven worden als

(90)

waarbij de amplitude en de fase karakteristiek voorstelt. (decibel

schaal) en in graden uitgezet als functie van op een logaritmische as noemt men de Bodediagrams. Voorbeeld

In Matlab wordt deze grafiek getekend via de instructie Bode.

II.6.2 Winst- en fasemarge

• Beschouw een eenheidsterugkoppeling met open lus transferfunctie .

G jω( ) G jω( ) ej G jω( )∠=

G jω( ) G jω( )∠ 20log10 G jω( )

G jω( )∠ ω

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

-100

-80

-60

-40

-20

0

100

101

102

103

-250

-200

-150

-100

-50

G s( ) 8000s 5+( ) s 20+( ) s 50+( )

--------------------------------------------------------=

G s( )

y t( )u t( )G s( )

r t( )

Page 66: Curs Us Cont Role

66

De winstmarge (gain margin) wordt gedefinieerd als de versterking die nodig is om de amplitude van te laten stijgen tot 0 dB bij de frequentie waar de fase van gelijk is aan 180°.

De fase marge (fase margin) wordt gedefinieerd als het faseverschil van t.o.v. 180° bij die frequentiewaar de amplitude van gelijk is aan 0 dB. Deze frequentie noemt men de crossover frequentie.

• Voorbeeld: winstmarge = 21 dB, fasemarge = 108°, en crossover frequentie = 5.7 rad/s.

• Nut: voor stabiele open loop transferfuncties zijn de winst- en fasemarge zijn een maat van hoever de regelkringvan de instabiliteitsgrens werkt (= maat robuustheid t.o.v. verloop van de karakteristieken). Dit volgt uit degesloten lus transferfunctie

(91)

Deze bereikt de stabiliteitsgrens (oscillerend antwoord) wanneer voor een zekere pulsatie

of (92)

wat voldaan is wanneer en . De winstmarge en fasemarge geven dus aanhoeveel de open lus winst (open loop gain) nog mag toenemen en de fase verder mag afnemen voordatde gesloten lus transferfunctie (closed loop transfer function) instabiel wordt. In Matlab wordt dezeberekend via de instructie margin.

• Tegenvoorbeelden

G jω( ) G jω( )

G jω( )G jω( )

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

-100

-80

-60

-40

-20

0

Gm=21.606 dB (at 36.742 rad/sec), Pm=108.23 deg. (at 5.771 rad/sec)

101

102

-250

-200

-150

-100

-50

G s( ) 8000s 5+( ) s 20+( ) s 50+( )

--------------------------------------------------------=

G s( )

Gc s( ) G s( )1 G s( )+--------------------=

ω

1 G jω( )+ 0= G jω( ) 1–=

G jω( ) 1= G jω( )∠ 180°=

Page 67: Curs Us Cont Role

67

(i) Beschouw de open lus transferfunctie

Uit de grafiek volgt dat de winstmarge = -2.9 dB, en fasemarge = 10°. Alhoewel de winstmarge eeninstabiele werking van de gesloten lus kring suggereert, is in werkelijkheid de gesloten lustransferfunctie stabiel (polen op -5.338, en -0.8309 ±11.42j). De tegenstelling is een gevolg van deinstabiliteit van de open lus transferfunctie (drie-voudige pool in de oorsprong).

(ii) Beschouw de volgende open lus transferfunctie

Uit de grafiek volgt dat de winstmarge = 2.1 dB, en fasemarge = 36.5°. Het overeenstemmende Bodediagram heeft drie crossover frequenties, namelijk , , en rad/s (3 frequenties waar

). De Matlab routine margin selecteert deze met de kleinste fasemarge. In dit voorbeeld isenkel de winstmarge een maat voor de eerder zwakke stabiliteit van het systeem.

• Besluiten

1. voordeel van de aanpak: uit open lus metingen van de frequentieresponsiefunctie (frequencyresponse function) kan men de stabiliteit van de gesloten lus voorspellen,

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

0

50

100

Gm=-2.9226 dB (at 10 rad/sec), Pm=10.029 deg. (at 11.924 rad/sec)

100

101

-250

-200

-150

-100

G s( ) 7 s 10+( )2

s3-------------------------=

G s( ) 85 s 1+( ) s2 2s 43.25+ +( )s2 s2 2s 82+ +( ) s2 2s 101+ +( )-----------------------------------------------------------------------------=

ω 0.7= 8.5 9.8G jω( ) 1=

Page 68: Curs Us Cont Role

68

2. de stabiliteitsanalyse via de winst- en fasemarge parameters moet met de nodige omzichtigheidgebeuren, gezien die enkel geldt voor stabiele open lus systemen,

3. voor open loop systemen met meerdere crossover frequenties is de stabiliteitsanalyse via Bodediagrams ambigu.

II.6.3 Systemen met vertraging

• Beschouw een systeem met vertraging (delay)

(93)

De fase van de open loop wordt dan

(94)

Vgl. (94) toont aan dat een vertraging de fasemarge doet afnemen en dus de kans op instabiliteit doet toenemen. In deprocesindustrie heeft men dikwijls systemen van de vorm (93); denk bijv. aan het transport van stoffenover een zekere afstand.

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

-50

0

50

Gm=2.1271 dB (at 10.343 rad/sec), Pm=36.539 deg. (at 0.73832 rad/sec)

10-1

100

101

-250

-200

-150

-100

-50

τ

G s( )e τs–

G jω( )∠ τω–

Page 69: Curs Us Cont Role

69

• Voorbeeld

De oscillatievoorwaarde (92) is voldaan voor

of met (95)

(toon dit aan!).

y t( )u t( )e τs–

r t( )

τω 2n 1+( )π= ω 2n 1+( ) π τ⁄( )= n 0 1 …, ,=

Page 70: Curs Us Cont Role

70

II.7 Poolbanen

II.7.1 Definities en voorbeelden• Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstruktuur

met gesloten lus transferfunctie

en (96)

De poolbanen figuur toont nu de polen van de gesloten lus transferfunctie als functie van de open

lus winst

closed loop polen = wortels van (97)

Deze figuren kunnen via (97) gemakkelijk in Matlab gegenereerd worden via de instructie rlocus. Dewaarde van op de poolbaan vindt men via de instructie rlocfind.

• Voorbeelden

y t( )e t( )G s( )

u t( )K

Gc s( )

Gc s( ) KG s( )1 KG s( )+------------------------= G s( ) B s( )

A s( )----------=

Gc s( )

K

A s( ) KB s( )+ 0=

K

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) s 3+( ) s 4+( ) s 5+( )s 1+( ) s 2+( ) s 2.5+( )

------------------------------------------------------=

-6 -4 -2 0 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) s 3+( )s s 1+( ) s 2+( ) s 4+( )-----------------------------------------------------=

K 9.7=

Page 71: Curs Us Cont Role

71

Merk op:

1. de regel dat de kans op instabiliteit toeneemt voor stijgende waarden van geldt enkel voorstabiele open lus systemen,

2. de stabiliteit uit de Bode-diagrams halen gaat enkel voor stabiele open lus systemen

-3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Real axisIm

agin

ary

axis

Poolbaan

G s( ) s2 2s– 2+s 1+( ) s2 4s 5+ +( )

------------------------------------------------= G s( ) s2 2s 2+ +s 1+( ) s2 4s 5+–( )

------------------------------------------------=

K 1=

K 0=K ∞=

K 0= K ∞=K 1=K 4.4=K 3.8=

K

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

10-1

100

101

0

50

100

150

200

G s( ) s2 2s 2+ +s 1+( ) s2 4s 5+–( )

------------------------------------------------= K 1=,

Page 72: Curs Us Cont Role

72

• De poolbanen (wortels van vgl. (97)) kunnen ook geschetst worden via eenvoudige grafische regeltjes(zie verder). Het voordeel van deze grafische techniek is dat deze inzicht geeft in het verband tussen enerzijdsde stabiliteit van de closed loop en anderzijds het aantal open loop polen en nullen en hun positie in hetcomplexe vlak.

Definities ( )

1. open loop polen = wortels

2. open loop nullen = wortels

3. closed loop polen = wortels van

Opmerking: indien we de polen en nullen in het oneindige meetellen, dan heeft de rationale vorm evenveel polen als nullen.

II.7.2 Schetsen van positieve poolbanen

• Regels voor het schetsen van de poolbanen waar

met (98)

Basisregels positieve poolbanen (positive root locus):

1. Aantal takken: aantal takken van de poolbaan = aantal open loop polen,

2. Begin- en eindpunten: closed loop polen gaan van open loop polen ( in (97)) naar open loopnullen ( in (97)),

3. Symmetrie: de poolbaan is symmetrisch t.o.v. de reële as,

4. Reële as: op de reële as liggen rechts van de poolbaan een oneven aantal eindige open loop polenen/of nullen,

5. Gedrag in het oneindige: voor nadert de poolbaan de asymptoten met hoeken

voor (99)

Het snijpunt van de asymptoten met de reële as is

(100)

Aanvullende regels positieve poolbanen (root locus):6. Uitbreek- en invalspunten op de reële as: in een uitbreek- en invalspunt is de hoek van de poolbaan

met de reële as gelijk aan met het aantal polen dat de reële as verlaat of aankomt,

7. Snijpunten met de imaginaire as: los op,

G s( ) B s( ) A s( )⁄=

A s( ) 0=

B s( ) 0=

A s( ) KB s( )+ 0=

G s( ) B s( ) A s( )⁄=

Gc s( ) KG s( ) 1 KG s( )+( )⁄=

G s( ) B s( )A s( )----------

brsr

r 0=

nb

arsr

r 0=

na

∑---------------------------- KG

s zr–( )r 1=

nb

s pr–( )r 1=

na

∏-------------------------------------= = = KKG 0>

K 0=K ∞=

K ∞→

θasympt2k 1+( )π

# eindige polen # eindige nullen–--------------------------------------------------------------------------------- 2k 1+( )πna nb–-----------------------= = k 0 1± 2± …, , ,=

σasympteindige polen∑ eindige nullen∑–

# eindige polen # eindige nullen–--------------------------------------------------------------------------------------pr

r 1=

na

∑ zrr 1=

nb

∑–

na nb–---------------------------------------------------= =

π n⁄ n

A jω( ) KB jω( )+ 0=

Page 73: Curs Us Cont Role

73

8. Hoeken van vertrek- en aankomst: de poolbaan verlaat een complexe open loop pool met dehoek

(101)

en komt in een complexe nul aan met de hoek

. (102)

• Het bewijs van de grafische regels vertrekt van de definitie van de closed loop polen

(103)

(zie Franklin et al., 2002, en Nise, 2002 voor de details). In de onderstelling dat leiden we uit(103) af dat

(104)

Bewijs regel 4: Voor , een punt op de reële as, vereenvoudigt (104) zich tot

(105)

(de bijdrage van complex toegevoegde polen en nullen vallen tegen elkaar weg), waarbij

(106)

Gevolg: indien er rechts van een even aantal polen en/of nullen zijn is het linkerlid in (105) eenveelvoud van en behoort dus niet tot de poolbaan. Indien er daarentegen een oneven aantalpolen en/of nullen rechts van liggen dan is het linkerlid van (105) een oneven veelvoud van en behoort tot de poolbaan. G

Bewijs regel 8: Neem een punt op de poolbaan met willekeurig klein. Betrekking (104)wordt dan

(107)

Neem nu de limiet van (107) voor waarbij per definitie

pj

θjvertrek pj zr–( )∠r 1=

nb

∑ pj pr–( )∠r 1= r j≠,

na

∑– 2k 1+( )π–=

zj

θjaankomst zj pr–( )∠r 1=

na

∑ zj zr–( )∠r 1= r j≠,

nb

∑– 2k 1+( )π+=

KG s( ) 1–= KKG

s zr–( )r 1=

nb

s pr–( )r 1=

na

∏------------------------------------- 1–=⇔

KKG 0>

s zr–( )∠r 1=

nb

∑ s pr–( )∠r 1=

na

∑– 2k 1+( )π=

s σ=

σ zr–( )∠reële nullen∑ σ pr–( )∠

reële polen∑– 2k 1+( )π=

σ x–( )∠0 σ x≥π σ x<⎩

⎨⎧

=

σ2π σ

σ π σ

s pj ε+= ε

pj ε zr–+( )∠r 1=

nb

∑ pj ε pr–+( )∠r 1= r j≠,

na

∑– ε∠– 2k 1+( )π=

ε 0→

Page 74: Curs Us Cont Role

74

(108)

Dit bewijst (101). Het bewijs van (102) verloopt op dezelfde manier (neem ). G

Bewijs regel 5: Neem een punt op de poolbaan en laat . Vgl. (104) wordt dan

⇒ (109)

voor , wat overeenkomt met (99).

• Voorbeeld van het grafisch schetsen: neem

(110)

⇒ hoeken asymptoten = , en ; snijpunt asymptoten

(111)

Samen met regel 4 voor de reële as levert dit de volgende schets

ε∠ε 0→lim θjvertrek=

s zj ε+=

s s ∞→

s∠r 1=

nb

∑ s∠r 1=

na

∑– 2m 1+( )π= s∠ 2m 1+( )πnb na–------------------------- 2k 1+( )π

na nb–-----------------------= =

k 0 1± 2± …, , ,=

G s( ) s 3+s s 1+( ) s 2+( ) s 4+( )-----------------------------------------------------=

π 3⁄± π

σasympt1– 2– 4–( ) 3–( )–

3----------------------------------------------- 43---

–= =

-6 -4 -2 0 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

-4/3

G s( ) s 3+s s 1+( ) s 2+( ) s 4+( )-----------------------------------------------------=

π/3

Page 75: Curs Us Cont Role

75

II.7.3 Schetsen van negatieve poolbanen

• Wanneer de coëfficiënten van de hoogste macht van in teller en noemer van de open lus transferfunctie een verschillend teken hebben (bijv. niet-minimum fase transfer functie) of in geval van eenpositieve terugkoppeling is in (103). Men spreekt dan van een negatieve poolbanen (negative rootlocus). De basisregels voor het schetsen blijven geldig met de volgende wijzigingen: regel 4 vervangoneven door even, regel 5: vervang in door , en regel 8: vervang in

en door .

• Voorbeeld, de hoogtecontrole transferfunctie van een Boeing 747,

s

KKG 0<

θasympt 2k 1+( )π 2kπ θjvertrek

θjaankomst 2k 1+( )π 2kπ

0 5 10-5

0

5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 6 s–s s2 4s 13+ +( )------------------------------------- s 6–

s s2 4s 13+ +( )-------------------------------------–= =

K 0=

K ∞=

K 4.9=

Page 76: Curs Us Cont Role

76

II.8 Nyquist criterium

II.8.1 Nyquist stabiliteitscriterium• Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur

en teken het beeld in het complexe vlak wanneer de kromme doorloopt

Het Nyquistcriterium legt nu een verband tussen het aantal polen van de gesloten lus transferfunctie binnen in het -vlak en het netto aantal keren dat het punt (-1, 0) in

wijzerszin omcirkelt wordt in het -vlak. Door de straal van naar oneindig te laten gaan omvat in de limiet het ganse rechterhalfvlak.

Nyquist stabiliteitscriterium:

1. teken het beeld wanneer het ganse rechterhalfvlak (RHV) in wijzerszin omloopt,

2. bepaal , het netto aantal omcirkelingen in wijzerszin rond het punt (-1, 0),

3. bepaal , het aantal instabiele open loop polen (= polen in het RHV),

4. bereken , het aantal instabiele closed loop polen (= nullen in het RHV)

(112)

• Bewijs: het bewijs gebeurt in twee stappen. Eerst bewijzen we Cauchy’s principe van het argument vooreen analytische functie . Vervolgens passen we deze stelling toe op .

Stap 1 (Cauchy’s principe van het argument): beschouw een eenvoudige gesloten kromme waarbinnen een analytische functie is van behalve in een eindig aantal polen, en met

y t( )u t( )G s( )

r t( )

G s( ) s C

C

s-vlak G(s)-vlaks

G s( )

Im s( )

Re s( ) Re G s( )( )

Im G s( )( )

-1+

Gc s( ) G s( ) 1 G s( )+( )⁄= C s

G s( ) C C

G s( ) s

N

P G s( )

Z 1 G s( )+

Z N P+=

f s( ) f s( ) 1 G s( )+=

Cf s( ) s f s( ) 0 ∞,≠

Page 77: Curs Us Cont Role

77

op . Er geldt dan

(113)

waarbij en respectievelijk het aantal nullen en polen van binnen voorstellen (multipliciteitmeegerekend, bijv. een dubbele pool telt voor twee), en waarbij de kromme in tegenwijzerszindoorlopen wordt. Vgl. (113) toont men aan via de residu stelling

(114)

toegepast op . In een nulpunt met multipliciteit , of een pool met

multipliciteit kunnen we altijd schrijven als

(115)

waarbij en analytisch zijn in respectievelijk en . Bijgevolg

(116)

waaruit we besluiten dat de logaritmische afgeleide enkel polen met multipliciteit één heeft.Samenvoegen van (114) en (116) geeft (113).

Gebruik makend van kunnen we het linkerlid in (113) schrijven als

(117)

Gezien continu is over ( over ) is de eerste term in het rechterlid van (117)nul. De tweede term stelt het netto aantal omcirkelingen in tegenwijzerszin rond de oorsprong voor( ). Samen met (113) resulteert dit in Cauchy’s principe van het argument

(118)

Stap 2: we passen Cauchy’s principe van het argument (118) toe op waarbij eenkromme is die het ganse RHV omsluit en in wijzerszin doorlopen wordt. stelt dan het netto aantalomcirkelingen in wijzerszin van rond de oorsprong voor, wat gelijk is aan het netto aantalomcirkelingen in wijzerszin van rond het punt (-1, 0). zijn het aantal nullen van in het

C

12πj-------- sd

d logf s( )dsC+∫° Z P–=

Z P f s( ) CC

12πj-------- g s( )ds

C+∫° Res g s( )( )

polen g s( ) binnen C∑=

g s( ) dlogf s( ) ds⁄= z0 n p0

m f s( )

f s( ) s z0–( )nh s( )= h z0( ) 0 ∞,≠

f s( ) k s( )s p0–( )m----------------------= k p0( ) ∞ 0,≠

h s( ) k s( ) z0 p0

1f s( )--------df s( )

ds----------- 1h s( )---------dh s( )

ds------------ ns z0–-------------+=

1f s( )--------df s( )

ds----------- 1k s( )---------dk s( )

ds------------ ms p0–--------------–=

f s( ) f s( ) ej f s( )∠=

12πj-------- sd

d logf s( )dsC+∫°

12πj-------- dlog f s( )

C+∫°

12π------ d f s( )∠

C+∫°+=

log f s( ) C f s( ) 0 ∞,≠ C

N≡

N Z P–=

f s( ) 1 G s( )+= CN

1 G s( )+G s( ) Z 1 G s( )+

Page 78: Curs Us Cont Role

78

RHV wat precies gelijk is aan de closed loop polen in het RHV ( ). stelt ten slottehet aantal open loop polen voor in het RHV.

• Opmerkingen:

1. uit het bewijs volgt dat geen polen noch nullen op de kromme mag bevatten.Indien toch polen op de -as heeft dan moet deze rechts omcirkeld worden waarbij destraal van de cirkel in de limiet naar nul gaat. Bijvoorbeeld voor een open loop pool in deoorsprong,

2. om de stabiliteit van te analyseren tekenen we het beeld van en tellen wehet netto aantal omcirkelingen in wijzerszin van rond het punt ( , 0),

3. het bepalen van de stabiliteit van de gesloten lus transferfunctie via het Nyquist diagram stamtvanuit de periode dat digitale computers niet voorhanden waren (bijv. om de wortels van eenveelterm numeriek te berekenen). Via de kleinste afstand tussen het punt (-1, 0) en de Nyquistkromme (= vector marge) toont het diagram echter mooi aan hoe robuust de stabiliteit van degesloten lus kring is.

II.8.2 Schetsen van het Nyquist diagramHet schetsen van het Nyquist diagram wordt uitgelegd aan de hand van een aantal voorbeelden. Merkop dat de Matlab instructie nyquist niet de waarden van tekent in het oneindige.

• Voorbeeld 1:

(119)

Teken wanneer de kromme doorloopt:

1. lijnstuk : met en

,

Gc G 1 G+( )⁄= P

1 G s( )+ CG s( ) jω

C

s-vlakIm s( )

Re s( )

KG 1 KG+( )⁄ G s( )G s( ) 1 K⁄–

G s( )

G s( ) s 3+( ) s 5+( )s 2–( ) s 4–( )

---------------------------------=

G s( ) s C

ab

)

s jω= ω 0+ +∞→=

G jω( ) ω2 9+( ) ω2 25+( )ω2 4+( ) ω2 16+( )

---------------------------------------------= G jω( )∠ bgtg ω3----( ) bgtg ω

5----( ) bgtg ω2----( ) bgtg ω

4----( )+ + +=

Page 79: Curs Us Cont Role

79

⇒ (120)

(fase neemt toe ⇒ draaien in tegenwijzerszin)2. cirkel : met en ⇒ ,

3. lijnstuk : complex toegevoegde van het beeld van het lijnstuk .

Besluiten:

1. voor : (tweemaal in tegenwijzerszin rond het punt (-1, 0)), (tweeinstabiele open loop polen) ⇒ (geen instabiele closed loop polen,

2. de closed loop is stabiel voor zover (het punt ( , 0) moet binnen detwee omcirkelingen liggen).

• Voorbeeld 2:

(121)

Teken wanneer de kromme doorloopt:

1. lijnstuk : met ⇒

(122)

(fase neemt af ⇒ draaien in wijzerszin)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Reële asIm

agin

aire

as

Nyquist

C

s-vlakIm s( )

Re s( )

G s( ) s 3+( ) s 5+( )s 2–( ) s 4–( )

---------------------------------=

ω 0=ω ∞=a

b

c

d

ω 0>

ω 0>

ω 0<

ω 0<

G jω( ) 15 8⁄ 1→=G jω( )∠ 0 π 2π→ →=⎩

⎨⎧

bcd

)

s Rejθ= θ π 2⁄ 0 π 2⁄–→ →= R ∞→ G s( ) 1=

da

)

ab

)

K 1= N 2–= P 2=Z N P+ 0= =

K 1 1.33⁄> 3 4⁄= 1 K⁄–

G s( ) 1s s 1+( )2----------------------=

G s( ) s C

ab

)

s jω= ω 0+ +∞→=

G jω( ) +∞ 0→=G jω( )∠ π 2⁄– π– 3π 2⁄–→ →=⎩

⎨⎧

Page 80: Curs Us Cont Role

80

2. cirkel : met en ⇒ ,

3. lijnstuk : complex toegevoegde van het beeld van lijnstuk ,

4. cirkel : met en ⇒

(123)

(fase neemt af ⇒ draaien in wijzerszin)

Besluiten:

1. voor : (geen omcirkelingen rond het punt (-1, 0)), (geen instabiele openloop polen) ⇒ (geen instabiele closed loop polen,

2. de closed loop is stabiel voor zover (het punt ( , 0) moet buiten de kleineomcirkeling liggen).

• Voorbeeld 3:

(124)

Teken wanneer de kromme doorloopt:

1. lijnstuk : met ⇒

(125)

(fase neemt toe ⇒ draaien in tegenwijzerszin),

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Reële as

Imag

inai

re a

s

Nyquist

C

s-vlakIm s( )

Re s( )a

b

d

e

f

g

G s( ) 1s s 1+( )2----------------------=

ω 0+=

ω 0-=

ω ∞=

ω 0>

ω 0<

bde

)

s Rejθ= θ π 2⁄ 0 π 2⁄–→ →= R ∞→ G s( ) 0=

ef

)

ab)

fga

)

s rejθ= θ π 2⁄– 0 π 2⁄→ →= r 0→

G jω( ) +∞=G jω( )∠ π 2⁄ 0 π 2⁄–→ →=⎩

⎨⎧

K 1= N 0= P 0=Z N P+ 0= =

K 1 0.5⁄< 2= 1 K⁄–

G s( ) s 10+( )2

s3----------------------=

G s( ) s C

ab

)

s jω= ω 0+ +∞→=

G jω( ) +∞ 0→=G jω( )∠ 3π 2⁄– π– π 2⁄–→ →=⎩

⎨⎧

Page 81: Curs Us Cont Role

81

2. cirkel : met en ⇒ ,

3. lijnstuk : complex toegevoegde van het beeld van lijnstuk ,

4. cirkel : met en ⇒

(126)

(fase neemt af ⇒ draaien in wijzerszin).

Besluiten:

1. voor : (twee omcirkelingen rond het punt (-1, 0) voorgesteld door ‘+’ in deNyquist figuur), (geen instabiele open loop polen) ⇒ (twee instabieleclosed loop polen),

2. de closed loop is stabiel voor zover (het punt ( , 0) moet binnen de kleineomcirkeling liggen).

• Opmerking: het snijpunt van de Nyquist curve met de reële as wordt gevonden door op te lossen naar en vervolgens te evalueren in . Ga dit na voor de drie voorbeelden envergelijk dit met de stabiliteitsanalyse via de poolbanen.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

Reële as

Imag

inai

re a

s

Nyquist

C

s-vlakIm s( )

Re s( )a

b

d

e

f

g

ω 0+=

ω ∞=

ω 0>

ω 0<

+

ω 0-=

G s( ) s 10+( )2

s3----------------------=

-0.2

bde

)

s Rejθ= θ π 2⁄ 0 π 2⁄–→ →= R ∞→ G s( ) 0=

ef

)

ab)

fga

)

s rejθ= θ π 2⁄– 0 π 2⁄→ →= r 0→

G jω( ) +∞=G jω( )∠ 3π 2⁄ 0 3– π 2⁄→ →=⎩

⎨⎧

K 1= N 2=P 0= Z N P+ 2= =

K 1 0.2⁄> 5= 1 K⁄–

Im G jω( )( ) 0=ω G jω( )

Page 82: Curs Us Cont Role

82

Hoofdstuk III: Regelen van lineaire systemen

Page 83: Curs Us Cont Role

83

III.1 State feedback regelaars

III.1.1 Regelbaarheid (controllability) van een systeem• Definities

1. Een systeem is regelbaar (controllable) indien er een ingangssignaal van het systeem kangevonden worden dat de toestandsvector (alle toestandsverandelijken) van een willekeurigebegintoestand naar een willekeurige eindtoestand brengt.

2. Beschouw een -de orde systeem met toestandsvergelijking , dan is

(127)

de regelbaarheidsmatrix (controllability matrix).

• Stelling: een systeem van orde is regelbaar enkel en alleen indien de regelbaarheidsmatrix rang heeft:.

Bewijs: de oplossing van de toestandsvergelijking is gegeven door (57)

(128)

Evaluatie van (128) in gebruik makende van de definitie van de matrixexponentiaal geeft

(129)

Gezien een vierkante matrix een oplossing is van zijn karakteristieke vergelijking (stelling van Cayley-Hamilton) kan , geschreven worden als een lineaire combinatie van , , , …,

. Bijgevolg kan de oneindige som in (129) herleidt worden tot een som bestaande uit termen

u t( )x t( )

x 0( ) x tf( )

n x· Ax Bu+=

Cn B AB A2B … An 1– B=

n nrang Cn( ) n=

x· Ax Bu+=

x t( ) eAtx 0( ) eA t τ–( )Bu τ( ) τd0

t∫+=

t tf=

x tf( ) eAtfx 0( ) 1r!---- tf τ–( )rAr

r 0=

∑ Bu τ( ) τd0

tf∫+=

eAtfx 0( ) B AB A2B … ArB …

u τ( ) τd0

tf∫

tf τ–( )u τ( ) τd0

tf∫

12--- tf τ–( )2u τ( ) τd

0

tf∫

1r!---- tf τ–( )ru τ( ) τd

0

tf∫

+=

Ar r n n 1 …,+,= In A A2

An 1– n

Page 84: Curs Us Cont Role

84

(130)

met een lineaire combinatie van alle elementen van de vector in (129) die afhangt van . Voor

willekeurige waarden van en kan er een gevonden worden uit (130) enkel en alleen indien

de rang van gelijk is aan (SISO ⇒ = matrix; MIMO ⇒ = matrix). Om

het bewijs volledig te maken zou men nog moeten aantonen dat er een ingangssignaal bestaat datde gegeven realiseert. Een sluitend bewijs vindt de lezer in Franklin et al. (2002). G

• Opmerkingen

1. de regelbaarheid (controleerbaarheid) is een functie van de toestand van het systeem en kan nietafgeleid worden uit de transferfunctie,

2. de rang van de controleerbaarheidsmatrix wordt in de praktijk berekend via een singulierewaarden ontbinding van . In Matlab via de instructie svd.

• VoorbeeldenHet systeem

⇒ (131)

is niet-regelbaar (uncontrollable) want . Verklaar dit zonder berekening van deregelbaarheidsmatrix. De overeenstemmende transferfunctie wordt in ‘t algemeen gegeven door( )

(132)

Merk op dat (132) een tweede orde systeem is terwijl in (131).

Het systeem

⇒ (133)

x tf( ) eAtfx 0( ) B AB A2B … An 1– B

α0α1…

αn 1–

+=

eAtfx 0( ) Cnα+=

αr u t( )

x 0( ) x tf( ) α

Cn n Cn n n× Cn n nun( )×

u t( )α

CnCn

x· t( )

a1– 0 0

0 a2– 0

0 0 a3–

x t( )011

u t( )+= Cn

0 0 01 a2– a2

2

1 a3– a32

=

rang Cn( ) 2 3<=

C c1 c2 c3, ,[ ]=

G s( )c2

s a2+--------------c3

s a3+-------------- d+ +=

n 3=

x· t( )1– 1 2

0 1– 50 3 4–

x t( )211

u t( )+= Cn

2 1 11 4 9–1 1– 16

=

Page 85: Curs Us Cont Role

85

is controleerbaar want ( ).

III.1.2 Waarneembaarheid (observability) van een systeem• Definities

1. Een systeem is waarneembaar (observable) indien de toestandsvector afgeleid kan worden uitde kennis van het ingangssignaal en het ingangssignaal .

2. Beschouw een -de orde systeem met toestandsvergelijking , enuitgangsvergelijking , dan is

(134)

de waarneembaarheidsmatrix (observability matrix).

• Stelling: een de orde systeem is waarneembaar enkel en alleen indien de waarneembaarheidsmatrix rang heeft:.

Bewijs: afleiden naar de tijd van de uitgangsvergelijking geeft

(135)

waarbij de overgang gebruik maakt van de toestandsvergelijking . Leiden we (135) af naarde tijd dan bekomen we op dezelfde manier

(136)

Herhaaldelijk toepassen tot de de afgeleide en onder het elkaar schikken van deuitgangsvergelijking met al zijn afgeleiden levert de volgende vergelijkingen

(137)

waarbij

, , en (138)

rang Cn( ) 3= det Cn( ) 80 0≠=

x t( )u t( ) y t( )

n x· Ax Bu+=y Cx Du+=

On

CCACA2

CAn 1–

=

n nrang On( ) n=

y Cx Du+=

y 1( ) t( ) Cx 1( ) t( ) Du 1( ) t( )+=

CAx t( ) CBu t( ) Du 1( ) t( )+ +=

x· Ax Bu+=

y 2( ) t( ) CAx 1( ) t( ) CBu 1( ) t( ) Du 2( ) t( )+ +=

CA2x t( ) CABu t( ) CBu 1( ) t( ) Du 2( ) t( )+ + +=

n 1–n

Yn t( ) Onx t( ) SnUn t( )+=

Yn t( )

y t( )y 1( ) t( )y 2( ) t( )

y n 1–( ) t( )

= On

CCACA2

CAn 1–

= Sn

D 0 0 … 0CB D 0 … 0

CAB CB D … 0… … … … …

CAn 2– B CAn 3– B … CB D

=

Page 86: Curs Us Cont Role

86

en gelijkaardig voor . Het stelsel (137) kan opgelost worden naar enkel en alleen indien de

rang van gelijk is aan

(139)

(SISO ⇒ = matrix; MIMO ⇒ = matrix). G

• Opmerkingen

1. de waarneembaarheid (observeerbaarheid) is een functie van de toestand van het systeem en kan nietafgeleid worden uit de transferfunctie,

2. de rang van de observeerbaarheidsmatrix wordt in de praktijk berekend via een singulierewaarden ontbinding van .

• VoorbeeldenHet systeem

met ⇒ (140)

is niet waarneembaar want ( ). Het systeem is echter welcontroleerbaar (toon dit als oefening aan!). De overeenkomstige transferfunctie wordt gegeven door

(141)

Merk op dat (141) een eerste orde systeem is terwijl in (140).

Het systeem

met ⇒ (142)

is waarneembaar want ( ). Ga na of het systeem controlleerbaaris?

III.1.3 Regelaarontwerp

• De toestandsvergelijkingen zonder directe term (⇒ order teller < order noemer )

(143)

Un t( ) x t( )

On n

x t( ) OnTOn( ) 1– On

T Yn t( ) SnUn t( )–( )=

On n n× On nny( ) n×

OnOn

x· 0 15– 21 4⁄–

x 01

u+= y 5 4 x= On5 420– 16–

=

rang On( ) 1 2<= det On( ) 0=

G s( ) 4s 5+s2 5.25s 5+ +---------------------------------- 4

s 4+-----------= =

n 2=

x·2– 1– 3–

0 2– 17– 8– 9–

x212

u+= y 4 6 8 x= On

4 6 864– 80– 78–

674 848 814

=

rang On( ) 3= det On( ) 1576–=( ) 0≠

D G s( ) G s( )

x· t( ) Ax t( ) Bu t( )+=y t( ) Cx t( )=

Page 87: Curs Us Cont Role

87

kunnen als volgt voorgesteld worden d.m.v. een blokschema

In de state feedback controller (toestandsveranderlijke regelaar) wordt elke toestandsveranderlijketeruggekoppeld via een proportionele versterking naar de ingang van het systeem

(144)

met het referentiesignaal (stuursignaal), de ingang van het te regelen systeem, en een matrix. Het overstemmende blokschema is

met als gesloten lus toestandsvergelijkingen

(145)

Het ontwerpen (design) van de toestandsveranderlijke regelaar bestaat erin om te kiezen zodanig dat degesloten lus transferfunctie aan gegeven specificaties voldoet. Dit kan op verschillende manierengebeuren, bijv. door zodanig te kiezen dat

(146)

minimaal is = Linear Quadratic Regulator (zie inleiding blz. 19: voor goed gekozen gewichtsmatrices en verzekert de gevonden waarde de stabiliteit van de gesloten lus transferfunctie). Een anderemanier bestaat erin om de polen van de gesloten lus transferfunctie op te leggen = poolplaatsing (poleplacement). Dit wordt hieronder verder besproken.

y t( )x· t( ) 1s---

u t( )B

A

x t( )C

u t( ) r t( ) Kx t( )–=

r t( ) u t( ) Knu n×

y t( )x· t( ) 1s---

u t( )B

A

x t( )C

K

r t( )

x· t( ) A BK–( )x t( ) Br t( )+=y t( ) Cx t( )=

K

K

x t( )TQx t( ) u t( )TRu t( )+( ) td0

QR K

Page 88: Curs Us Cont Role

88

• Poolplaatsing ontwerp van de regelaar (SISO geval): we vertrekken van een strikt eigenlijke (strictly proper)transferfunctie

(147)

Gebruik makend van dezelfde redenering als in Sectie II.3.1 kunnen we (147) omzetten intoestandsvergelijking vorm (143) met

, , , en (148)

Vgl. (148) is de toestandsvergelijking in regelbaarheid canonieke vorm (control canonical form). Met de keuze

(149)

(SISO) heeft de systeemmatrix van het gesloten lus systeem de vorm

(150)

De gesloten lus transferfunctie is bijgevolg gelijk aan

(151)

De noemer van wordt nu gelijk gesteld aan de gewenste noemer (= poolplaatsing)

(152)

waarin de ‘s de gewenste noemer coëfficiënten zijn,

⇒ voor (153)

Opmerkingen:

1. de coëfficiënten volgen uit de opgelegde specificaties (stabiliteit, doorschot, insteltijd …),

2. de poolplaatsing methode beïnvloed niet de ligging van de nullen van de gesloten lustransferfunctie,

G s( )bn 1– sn 1– bn 2– sn 2– … b1s b0+ + + +

sn an 1– sn 1– … a1s a0+ + + +--------------------------------------------------------------------------------------------------=

A

0 1 0 … 00 0 1 … 0… … … … 00 0 0 … 1a0– a1– a2– … an 1––

= B

00…1

= C b0 b1 … bn 1–= D 0=

K k1 k2 … kn=

A BK–

0 1 0 … 00 0 1 … 0… … … … 00 0 0 … 1

a0 k1+( )– a1 k2+( )– a2 k3+( )– … an 1– kn+( )–

=

Gc s( )bn 1– sn 1– bn 2– sn 2– … b1s b0+ + + +

sn an 1– kn+( )sn 1– … a1 k2+( )s a0 k1+( )+ + + +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Gc s( )

sn dn 1– sn 1– … d1s d0+ + + +

di

di ai ki 1++= ki 1+ di ai–= i 0 1 … n 1–, , ,=

di

Page 89: Curs Us Cont Role

89

3. de state feedback aanpak gaat er van uit dat alle toestandsveranderlijken kunnen gemetenworden.

4. In Matlab gebeurt de pole placement via de instructies acker (SISO) en place (MIMO).

III.1.4 Waarnemerontwerp• Het regelaarontwerp vereist de kennis van alle toestandsveranderlijken van het systeem. Dit vereist deaanwezigheid van sensoren (bijv. positie en snelheid op een ruimtevaartuig) die om redenen van prijs,nauwkeurigheid (veroudering of verloop van de sensoren) of beschikbaarheid niet altijd aanwezig zijn.Indien de toestandsveranderlijken niet beschikbaar zijn vanwege de systeemconfiguratie of de kostendan worden deze op een of andere manier geschat (estimated) of waargenomen (observed). Het principeschemavan het gesloten lus systeem ziet er dan als volgt uit

• Een eerste mogelijkheid om de toestanden te schatten bestaat erin om de toestandsvergelijking

(154)

te integreren. Om in te schatten hoe goed de waarneming aansluit bij de echte waarde maken wehet verschil tussen (143) en (154)

of (155)

De dynamica van het verschil is een ongedwongen vergelijking en bijgevolg nadert de fout tengevolge van verschillen in initiële condities naar nul als het open lus systeem stabiel is. Deconvergentiesnelheid van de waarnemer (schatter) is dezelfde als de responsietijd van het open lussysteem. Dit is duidelijk te traag: opdat de regelaar ogenblikkelijk de geschatte toestanden zouontvangen moet de responsietijd van de waarnemer veel korter zijn dan deze van het gesloten lussysteem.

y t( )

u t( )r t( )

waarnemer(observer)

systeem

regelaar(controller)

x t( ) geschattetoestanden

x· Ax Bu+=

x x

x· x·

– A x x–( )= e·x Aex=

ex

Page 90: Curs Us Cont Role

90

• De convergentiesnelheid van de waarnemer wordt verhoogd door het verschil tussen de echte uitgangen de voorspelde uitgang terug te koppelen. Dit geeft de volgende waarnemervergelijkingen

⇒ (156)

met een matrix en met als overeenstemmend blokschema

De dynamica van het verschil wordt gevonden door vgl. (143) en (156) van elkaar af tetrekken

⇒ (157)

Als alle eigenwaarden van een negatief reëel deel hebben dan convergeert de fout naar nul.

Het ontwerpen (design) van de waarnemer (observer) houdt in dat we zodanig kiezen dat de responsietijd van(157) veel kleiner dan deze van het geregelde gesloten lus systeem. Dit kan bijv. via de poolplaatsingprocedure.

• Poolplaatsing ontwerp van de waarnemer (SISO geval): de strikt eigenlijke (strictly proper) transferfunctie(147) kan in toestandsvergelijking vorm (143) geschreven worden met

, , , (158)

ey y y–=

Ax Bu L y y–( )+ +=

y Cx=

A LC–( )x Bu Ly+ +=

y Cx=

L n ny×

y t( )x·

t( ) 1s---

u t( )B

A

x t( )C

y t( )

Ley t( )

naar de regelaar

systeem-input

systeem-output

ex x x–=

e·x Aex Ley–=

ey Cex=e·x A LC–( )ex=

A LC– ex

L

A

an 1–– 1 0 0 … 0

an 2–– 0 1 0 … 0

… … … … … …a1– 0 0 0 … 1

a0– 0 0 0 … 0

= B

bn 1–bn 2–

…b0

= C 1 0 … 0= D 0=

Page 91: Curs Us Cont Role

91

(ga dit na!). Vgl. (158) is de toestandsvergelijking in waarneembaarheid canonieke vorm (observer canonical form).Met de keuze

(159)

(SISO) heeft de systeemmatrix van de waarnemer (156) de vorm

(160)

De karakteristieke vgl. van

(161)

wordt nu gelijk gesteld aan de gewenste karakteristieke vgl.

(162)

wat resulteert in

⇒ voor (163)

Opmerkingen:

1. de coëfficiënten volgen uit de opgelegde specificatie: responsietijd bijv. tien maal kleiner danhet geregelde gesloten lus systeem.

2. de observer wordt in Matlab ontworpen via acker of place en de geschatte toestandsvector wordt berekend via de instructie estim.

III.1.5 Integrerende regelingDe statische fout op het stapantwoord van de state feedback controller

is gegeven door ( )

(164)

Deze fout is in het algemeen verschillend van nul omdat de poolplaatsing methode de nullen van degesloten lus transferfunctie niet oplegt (nullen gesloten lus transfer functie = nullen open lus transferfunctie; vergelijk (147) en (151)). Links toevoegen van een integrator binnen een eenheidsterugkoppel

L

l1l2…ln

=

A LC–

an 1– l1+( )– 1 0 0 … 0

an 2– l2+( )– 0 1 0 … 0

… … … … … …a1 ln 1–+( )– 0 0 0 … 1

a0 ln+( )– 0 0 0 … 0

=

A LC–

sn an 1– l1+( )sn 1– … a1 ln 1–+( )s a0 ln+( )+ + + +

sn dn 1– sn 1– … d1s d0+ + + +

ai ln i–+ di= ln i– di ai–= i 0 1 … n 1–, , ,=

di

x

r s( ) 1 s⁄=

estap ∞( ) s r s( ) y s( )–( )s 0→lim 1 C A BK–( ) 1– B+( )= =

Page 92: Curs Us Cont Role

92

structuur laat toe om nul te maken

De vergelijkingen die deze regelstructuur beschrijven zijn

⇒ (165)

Uit toestandsvgl. (165) volgt dat de orde van het gesloten lus systeem ( ) één hoger is dan hetoorspronkelijk systeem ( ). Het ontwerp van de integrerende regelkring bestaat erin om en te kiezenzodat het gesloten lus gedrag aan bepaalde specificaties voldoet. Dit kan bijvoorbeeld via depoolplaatsing methode.

III.1.6 Bespreking• Voordelen van het ontwerpen via de toestandsvorm

1. de poollocaties kunnen zo gespecificeerd worden dat alle niet-dominante polen eenverwaarloosbaar effect hebben op het overgangsgedrag (transient behaviour),

2. gemakkelijk toepasbaar voor MIMO systemen,

3. methoden lenen zich tot ontwerpautomatisering met de computer (bijv. Matlab),

r t( )

K

u t( )systeem

y t( )

x t( )

x· Ax Bu+=y Cx=u r Kx–= ⎭

⎪⎬⎪⎫

⇒ y s( ) C sI A– BK+( ) 1– Br s( )=

estap ∞( )

r

K

usysteem

y

x

Ke1s---

ze

x· Ax Bu+=y Cx=u Kez Kx–=

z· r y–=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x·

z·A BK–( ) BKe

C– 0xz

01

r+=

y C 0xz

=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

n 1+n Ke K

Page 93: Curs Us Cont Role

93

4. via de waarnemer (observer) is het niet nodig om de toestandsveranderlijken rechtsreeks temeten (duur of fysiek ontoegankelijk of onnauwkeurig).

• Nadelen van het ontwerpen via de toestandsvorm

1. de lokatie van de nullen van de gesloten lus transferfunctie is niet beïnvloedbaar,

2. de gevoeligheid van het ontwerp m.b.t. parametervariaties kan te groot zijn,

3. niet-intuïtieve aanpak: het verband tussen de gewenste responsie en de poollocaties is niet altijdduidelijk,

4. een goed model van het te regelen systeem moet beschikbaar zijn (⇒ systeemidentificatie)

III.1.7 Praktijkvoorbeeld: de antennebesturingWe vertrekken van het vereenvoudigd blokschema in Sectie II.5 op blz. 64

met , , en .

Opgave: ontwerp een state feedback controller die een doorschot van 10% en een insteltijd van 1s heeft.Plaats de derde pool tienmaal zover van de imaginaire as als het dominante tweede orde paar. Ga ervanuit dat de toestandsveranderlijken van het systeem niet gemeten kunnen worden. Het gewenstetransient gedrag van de observer is een doorschot van 10% en een natuurlijke frequentie die tienmaalgroter is dan de systeemresponsie. Plaats, zoals in het geval van de regelaar, de derde pool tienmaalzover van de imaginaire as als de dominante tweede orde polen van de waarnemer.

(a) Ontwerp van de regelaar.Via

en (166)

vinden we

en (167)

De karakteristieke vgl. voor de dominante polen is dus

⇒ wortels (168)

De derde pool ligt op ⇒ de gewenste noemer voor de gesloten lustransferfunctie

(169)

De open lus transferfunctie is gelijk aan

G s( ) Ks s a+( ) s am+( )----------------------------------------=

u s( ) y s( )

K 1325= a 1.71= am 100=

%DS 100exp ζ– π 1 ζ2–⁄( )= Ts 4 ζωn( )⁄≈

ζ 0.591= ωn 6.77=

s2 8s 45.8+ + s 4– j5.46±=

10 Re 4– j5.46±( )× 40–=

s2 8s 45.8+ +( ) s 40+( ) s3 48s2 365.8s 1832+ + +=

Page 94: Curs Us Cont Role

94

(170)

In regelbaarheid canonieke vorm wordt de toestandsvgl. overkomstig (170)

en (171)

(gebruik (148)). Ga na dat (171) regelbaar is. Via de theorie van poolplaatsing weten we dat

(172)

waaruit

, , en (173)

(b) Ontwerp van de waarnemer.In waarneembaarheid canonieke vorm wordt de toestandsvgl. overkomstig (170)

en (174)

Ga na dat (174) waarneembaar is. Uit de specificaties van de waarnemer halen we

(175)

De derde pool ligt op ⇒ de gewenste noemer voor de gesloten lustransferfunctie

(176)

Via de theorie van poolplaatsing weten we dat

(177)

waaruit

, , en (178)

Het impulsantwoord van de regelkring en van de waarnemer worden in de onderstaande figuurgetoond. Merk op dat de tijdschaal van de waarnemer (figuur rechts) tien keer kleiner is dan deze vanhet gesloten lus systeem.

G s( ) 1325s s 1.71+( ) s 100+( )------------------------------------------------- 1325

s3 101.71s2 171s+ +---------------------------------------------------= =

x·0 1 00 0 10 171– 101.71–

x001

u+= y 1325 0 0 x=

s3 101.71 k3+( )s2 171 k2+( )s k1+ + + s3 48s2 365.8s 1832+ + +=

k1 1832= k2 194.8= k3 53.71–=

x·101.71– 1 0

171– 0 10 0 0

x00

1325u+= y 1 0 0 x=

s2 2ζωns ωn2+ + s2 2 0.591 67.7×× s 67.7( )2+ + s2 80s 4583+ += =

10 Re 40– j54.62±( )× 400–=

s2 80s 4583+ +( ) s 400+( ) s3 480s2 36580s 1833000+ + +=

s3 101.71 l1+( )s2 171 l2+( )s l3+ + + s3 480s2 36580s 1833000+ + +=

l1 378.3= l2 36410= l3 183300=

Page 95: Curs Us Cont Role

95

De volgende 2 figuren tonen de invloed van de initiële condities van de toestandsvector op hetantwoord van de waarnemer. Merk op dat de overgangsverschijnselen in de tweede figuur na ongeveer0.1 s uitgedempt zijn, wat overeenkomt met het impulsantwoord van de waarnemer (zie bovenstaandefiguur)..

Ten slotte vergelijken de onderstaande figuren het stapantwoord van het gesloten lus systeem zonder(links) en met (rechts) de regelaar.

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 0.5 1 1.5

0

0.5

1

1.5

2

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 0.05 0.1 0.15

0

0.005

0.01

0.015

0.02

gesloten lus impulsantwoord waarnemer impulsantwoord

x1 0( ) x1 0( ) 0= = x1 0( ) 0.006= x1 0( ) 0=

Page 96: Curs Us Cont Role

96

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

gesloten lus stapantwoord met

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1.6 3.2 4.8 6.4 8

0

0.5

1

1.5

gesloten lus stapantwoordstate feedback regelaarzonder regelaar

Page 97: Curs Us Cont Role

97

III.2 Compensatie regelaars

Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur

met het te regelen proces (systeem), en de compensatieregelaar. Het ontwerpen van decompensatie regelaar bestaat erin en zodanig te kiezen dat de gesloten lus transferfunctie aanbepaalde eisen (specificaties) voldoet, bijv. stabiliteit, doorschot, statische fout, insteltijd … Dezeregelstructuur heeft de volgende voor- en nadelen.

• voordelen

1. de nulpunten van de gesloten lus transferfunctie zijn beïnvloedbaar,

2. goed intuïtief inzicht.

• nadelen

1. uitbreiding naar MIMO is niet eenvoudig

III.2.1 PD compensation• De compensatie transferfunctie van de proportionele-plus-differentiërende (PD) regelaar is gegeven door

(179)

met en . Het toevoegen van een nul in het linkerhalfvlak heeft een stabiliserende werking.Inderdaad,

1. de hoeken van de asymptoten in de poolbanen worden groter

(180)

met het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van ,2. de fase van is groter dan deze van

(181)

zodat de fasemarge verhoogt.

• Ontwerp: de tijdsconstante wordt zodanig gekozen dat de gewenste fasetoename gebeurt in de

buurt van de crossover frequentie (deze waar ).

y t( )u t( )G s( )

r t( )KD s( )

G s( ) KD s( )K D s( )

D s( ) τDs 1+=

τD 0> K 0>

2k 1+( )π d⁄ 2k 1+( )π d 1–( )⁄→

d G s( )KD s( )G s( ) G s( )

KD jω( )G jω( )∠ G jω( )∠ bgtg τDω( )+=

τD

KD jω( )G jω( ) 1=

Page 98: Curs Us Cont Role

98

• Voorbeeld:

• Besluit: de PD regelaar heeft een stabiliserende werking + versneld antwoord (reageert ook op deafgeleide van het ingangssignaal)

III.2.2 Lead compensatie• Een ideale differentiator versterkt de hoogfrequente ruis, wat in sommige toepassingen problemenkan leveren. Dit kan opgevangen worden door een hoogfrequente pool toe te voegen aan (179). Ditresulteert in de lead compensatie

met (182)

waarbij de benaming lead duidt op het voorijlen van de fase

(183)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 1= G s( ) 1

s s 1+( )-------------------= D s( ), s 2⁄ 1+=

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10-1 10 0-180

-160

-140

-120

-100

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-20

-10

0

10

20

30

40

Gm = Inf, Pm=72.822 deg. (at 0.83247 rad/sec)

10-1 100-180

-160

-140

-120

-100

D s( )τDs 1+

ατDs 1+----------------------= α 1<

D jω( )∠ bgtg τDω( ) bgtg ατDω( )– 0≥=

Page 99: Curs Us Cont Role

99

Merk op dat (183) een maximum bereikt

bij (184)

(toon dit aan als oefening!). De stabiliserende werking van de lead compensator zit in

1. het verhogen van de fasemarge: zie vgl. (183),

2. het snijpunt van de poolbaanasymptoten met de reële as schuift op naar links

(185)

met het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van .

• Voorbeeld:

max D jω( )∠( ) bgsin 1 α–1 α+-------------( )= ωmax 1 τD α( )⁄=

σasympt D s( )G s( )( ) σasympt G s( )( ) 1 α–( )dατD

-----------------–=

d G s( )

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 1= G s( ) 1

s s 1+( )-------------------= D s( ), s 2⁄ 1+

s 10⁄ 1+---------------------=

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10-1 10 0-180

-160

-140

-120

-100

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=68.098 deg. (at 0.8302 rad/sec)

10-1 100 101-180

-160

-140

-120

-100

Page 100: Curs Us Cont Role

100

• Ontwerp van de lead compensator. De volgende iteratieve procedure is meestal succesvol:

1. Bepaal de open loop gain uit opgelegde statische fout of bandbreedte:

a. statische fout: kies zodat de foutspecificatie op het stap- of talud- of paraboolantwoordvoldaan is,b. bandbreedte: kies zodat de open loop crossover frequentie een factor twee lagerligt dan de gewenste closed loop bandbreedte,

2. Bepaal de fasemarge en de crossoverfrequentie van het ongecompenseerde openloop systeem met de -waarde uit stap 1,

3. Laat een extra fasemarge toe van typisch 10°.

4. Stel , , en haal uit vgl. (184) en .

5. Bepaal de fasemarge van het gecompenseerde systeem en pas indien nodig de compensatorparameters (nul, pool, en winst) aan totdat aan alle specificaties voldaan is (eventueel een leadcompensatie toevoegen).

III.2.3 PI compensatie• De compensatie transferfunctie van de proportionele-plus-integrerende (PI) regelaar is gegeven door

(186)

met en . Het toevoegen van een pool in de oorsprong verlaagt de statische fouten (stap,talud, en parabool: zie Sectie II.4.4, blz. 58), doch werkt destabiliserend. Inderdaad,

1. het snijpunt van de poolbaanasymptoten met de reële as (zie vgl. (100) op blz. 72) verschuiftnaar rechts

(187)

met het verschil tussen het aantal eindige open loop polen en open loop nullen van .2. de fase van is kleiner dan die van

(188)

• Ontwerp: om de afname van de fasemarge te beperken in (188) wordt de tijdsconstante zodanig

gekozen dat de frequentie veel lager ligt dan de crossover frequentie .

• Besluit: de PI regelaar verlaagt de statische fouten, doch heeft een destabiliserende werking.

K

K

K ωcrossover

ωcrossoverK

φ

max D jω( )∠( ) φ= ωmax ωcrossover= α τD

D s( ) 1 1τIs-------+ 1

τIs------- τIs 1+( )= =

τI 0> K 0>

σasympt D s( )G s( )( ) σasympt G s( )( ) 1 dτI( )⁄+=

d G s( )KD s( )G s( ) G s( )

KD s( )G s( )∠ G s( )∠ bgtg τIω( ) π 2⁄–+=

τI

1 τI⁄ ωcrossover

Page 101: Curs Us Cont Role

101

• Voorbeeld

III.2.4 Lag compensatie• Een ideale integrator versterkt de laagfrequente ruis, wat in sommige toepassingen problemen kanleveren. Dit kan opgevangen worden door de ideale integrator in (186) te vervangen door eenlaagfrequente pool. Dit resulteert in de lag compensatie

met (189)

waarbij de benaming lag duidt op het naijlen van de fase

(190)

Merk op dat de parameter de toename in DC-winst weergeeft.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 1=

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10-1 10 0-180

-160

-140

-120

-100

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 4s 1+( )

4s-------------------=

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

2040

60

80100

Gm=-268 dB (at 0 rad/sec), Pm=33.8 deg. (at 0.812 rad/sec)

10 -2 10-1 10 0-180

-175

-170

-165

-160

-155

-150

-145

D s( )1 1 τIs( )⁄+

1 1 ατIs( )⁄+-------------------------------- ατIs 1+

ατIs 1+--------------------= = α 1>

D jω( )∠ bgtg τIω( ) bgtg ατIω( )– 0≤=

α

Page 102: Curs Us Cont Role

102

• Voorbeeld:

• Ontwerp van de lag compensator:

1. Bepaal de ongecompenseerde open lus winst dat voldoet aan de vereiste fasemarge,

2. Bepaal van het ongecompenseerde open lus systeem uit stap 1 de crossover frequentie en deDC-winst (of laagfrequente winst),

3. Bereken de bijkomende factor nodig om de opgelegde DC-winst (laagfrequente winst) tehalen, en bepaal de nieuwe crossover frequentie ,

4. Kies de tijdsconstante zodat de frequentie tussen een factor twee en tien keer kleiner isdan ,

5. Pas de compensator parameters (pool, nul, en winst) aan totdat aan alle specificaties voldaan is.

III.2.5 PID compensator

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 1=

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10-1 10 0-180

-160

-140

-120

-100

G s( ) 1s s 1+( )-------------------= D s( ), 2 4s 1+( )

8s 1+-------------------=

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

40

60

Gm = Inf, Pm=42.722 deg. (at 0.80569 rad/sec)

10-2 10-1 100-180

-160

-140

-120

-100

K

α 1>ωcrossover

τI 1 τI⁄ωcrossover

Page 103: Curs Us Cont Role

103

• De transferfunctie van de proportionele-plus-integrerende-plus-differentiërende (PID) regelaar is gegeven door

(191)

met , , en . De PID regelaar combineert de , , en acties en is geschikt voorproblemen waar zowel de fasemarge als de DC-winst verhoogt moeten worden.

• Ontwerp van de parallel vorm via de regels van Ziegler-Nichols. Deze gaan uit van een eerste ordebenadering met tijdsvertraging van het reële systeem

(192)

De eerste instelregels van Ziegler-Nichols kiezen de PID parameters zodanig dat de transients van hetgesloten lus stapantwoord 75% afnemen over een oscillatieperiode (zie Tabel III.1). De parameters ,

Tabel III.1: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op stapantwoord.

Type regelaar

P - -

PI -

D s( )

τDs 1+( ) 1 1τIs-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ cascade vorm

1 τDs 1τIs-------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞ parallel vorm⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

=

K τDs 1+τIs 1+

τIs----------------

1

τDs

1τIs-------

Cascade

Parallel

K

K 0> τD 0> τI 0> P I D

G s( ) Aτs 1+--------------e τds–∼

A

K τI τD

τ τdA( )⁄

0.9τ τdA( )⁄ τd 0.3⁄

Page 104: Curs Us Cont Role

104

en worden experimenteel uit het stapantwoord afgeleid.

De tweede instelregels van Ziegler-Nichols zijn gebaseerd op de amplitude en frequentie van deoscillaties van het gesloten lus systeem op de rand van zijn stabiliteit. Deze gegevens wordenexperimenteel bepaald door de winst van de -regelaar ( ) op te drijven totdat het geslotenlus systeem begint te oscilleren. De overeenstemmende -waarde en oscillatieperiode worden dan gebruikt in de ontwerpregels (zie Tabel III.2).

PID

Tabel III.2: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op oscillaties.

Type regelaar

P - -

PI -

PID

Tabel III.1: Ziegler-Nichols PID instelregels gebaseerd op stapantwoord.

Type regelaar K τI τD

1.2τ τdA( )⁄ 2τd 0.5τd

τ τd

0 5 10 150

0.5

1

1.5

Tijd (s)

Sta

pant

woo

rd

τd

A

τ

0.63 A

P D s( ) 1=K Kosc Tosc

y t( )u t( )G s( )

r t( )Kosc

Tosc

K τI τD

0.5Kosc

0.45Kosc Tosc 1.2⁄

0.6Kosc Tosc 2⁄ Tosc 8⁄

Page 105: Curs Us Cont Role

105

III.2.6 Opmerkingen i.v.m. het ontwerpen van compensatieregelaars

• De compensatieregelaars (PD, lead, PI, lag, PID, lead-lag, …) bevatten een aantal parameters

( , , , , …) die via ontwerpregels (+ eventueel experimenten zoals stapantwoord oflimietcyclus) bepaald worden. Men kan echter ook het niet-lineair verband opstellen tussen despecificaties (fasemarge, insteltijd, doorschot, …) en de regelaarparameters

(193)

Dit vereist echter een parametrisch model voor terwijl de standaard ontwerpregels vertrekken vanniet-parametrische gegevens (stapantwoord, Bode diagram, limietcyclus). Het numeriek oplossen van(193) naar via Newton-Raphson vergt startwaarden die via de standaard ontwerpregelsbekomen kunnen worden.

• Het afregelen van PID regelaars is sinds 1936 een onderzoeksonderwerp, en is nog steeds zeer actueel:

1. er worden jaarlijks wetenschappelijke congressen uitsluitend aan dit onderwerp gewijd,

2. er verschijnen nog regelmatig wetenschappelijke publicaties over dit onderwerp, zie bijv. Åströmen Hägglund (1995),

3. het beter instellen van een PID regelaar resulterend in een verbetering van enkele procentenheeft in de procesindustrie (bijv. petrochemie) een enorme economische impact.

• Poolbaanontwerp van compensatieregelaars is mogelijk via de Matlab instructie rltool.

y t( )u t( )G s( )

r t( )KD s( )

θregelaar

K τD τI α

θregelaar

Specificaties f θregelaar( )=

G s( )

θregelaar

Page 106: Curs Us Cont Role

106

Hoofdstuk IV: Praktische voorbeelden

Page 107: Curs Us Cont Role

107

IV.1 De operationele versterker

• Beschouw de volgende operationele versterker ontworpen met CMOS transistoren

De input-output transferfunctie is gegeven door

(194)

met

(195)

Met een 0.18 micrometer CMOS proces kunnen we een DC-winst en een gain-bandbreedte

product bekomen van

en (196)

CL

M1B

VDD

gnd or VSS

+

--vIN/2

21

3

+

-+vIN/2

+

-vOUT

4

M2A

M1A

M4

M3M2B

CC

M5B

IBIAS

3

M5A

ID

VDS

VGS

slope = go

g0gmvs

RL Vout

G s( )Vout s( )Vin s( )---------------- A0

1 s z1⁄–( )

1 s p1⁄+( ) 1 s p2⁄+( )----------------------------------------------------= =

A0gm1gm3

g01 g02+( ) g03 g04 GL+ +( )---------------------------------------------------------------------= p1

g01 g02+( ) g03 g04 GL+ +( )

gm3Cc---------------------------------------------------------------------= p2

gm3CL---------= z1

gm3Cc

---------=, , ,

A0

fGBW

A0 103∼ fGBW A0p1 2π( )⁄ 160 MHz∼=

Page 108: Curs Us Cont Role

108

Hiertoe worden de componentwaarden (capaciteiten + instelling CMOS transistoren voor en )

als volgt gekozen: gegeven , en ⇒ kies , en , enbepaal hieruit

, , en (197)

Dit geeft de volgende DC-winst en polen/nul ligging

, , , en (198)

• Om de stabiliteit van het ontwerp in een eenheidsterugkoppeling na te gaan, is het vanuit numeriek

standpunt altijd beter om eerst de frequentieas te schalen zodat de open lus transferfunctiecoëfficiëntendimensieloze getallen worden. Als schaalfrequentie nemen we typisch de bandbreedte (crossoverfrequentie) van het open lus systeem. Bijvoorbeeld, nemen we als schaalfactor zodat vervangen

wordt door ( ), dan wordt de open lus transferfunctie (194)

(199)

Uit de negatieve root locus van (199) volgt dat de gesloten lus transferfunctie stabiel is voor. Voor oscilleert de kring bij . Uit het Bode diagram leiden we af

dat de winstmarge 32 dB (⇒ factor 40) is bij 2 kHz en de fasemarge 75° bij 154 Hz.

gm g0

CL 10 pF= GL 0.1 mS= Cc 1 pF= gm1 1 mS=

gm3 40gm1= g01 g02 gm1 200⁄= = g03 g04 gm3 20⁄= =

A0 997.5= p1 2π( )⁄ 160 kHz= p2 2π( )⁄ 637 MHz= z1 2π( )⁄ 6.37 GHz=

y t( )u t( )KG s( )

r t( )

p1 s

sn s p1⁄= ω ωn→ ω p1⁄= G s( )

G s( ) G p1sn( ) A01 p1 z1⁄( )sn–( )

1 sn+( ) 1 p1 p2⁄( )sn+( )-----------------------------------------------------------= =

0 2 4 6 8 10

x 104

-5

0

5x 10

4

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

K 40=

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Gm=32.0 dB (at 12619 rad/sec), Pm=75.0 deg. (at 969.58 rad/sec)

100 101 102 103 104 105

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 K 40<≤ K 40= fosc 2 kHz=

Page 109: Curs Us Cont Role

109

• Door een weerstand in serie met de condensator te plaatsen, kan men de nul verplaatsen

van het rechterhalfvlak naar het linkerhalfvlak. Deze wordt dan zo dicht mogelijk bij de pool

geplaatst (ideaal ). Het invoeren van de weerstand voert ook een derde pool in die

hoger ligt dan . De open lus transferfunctie (194) wordt dan

(200)

met , en gegeven door (195),

, en , (201)

waarbij de parasitaire capaciteit voorstelt gezien in de het knooppunt . In genormaliseerde

frequentie wordt (200)

(202)

Gezien we nooit perfect gelijk aan kunnen maken kiezen we . Een realistische

waarde voor is . Uit de overeenstemmende poolbaan en Bode diagram volgt dat hetgesloten lus systeem nu onvoorwaardelijk stabiel is zonder reductie in bandbreedte t.o.v. het eersteontwerp.

Rc Cc

CL

M1B

VDD

+

-

-vIN/2

+

-

+vIN/2

M2A

M1A

M4

M3

M2B

CC

M5B

IBIAS

M5A

1 : 1 1 : B

RL

RC

p

z1

p2

z1 p2= Rc p3

p2

G s( ) A01 s z1⁄+( )

1 s p1⁄+( ) 1 s p2⁄+( ) 1 s p3⁄+( )-------------------------------------------------------------------------------=

A0 p1 p2

z1Gcgm3

Cc Gc gm3–( )----------------------------------= p3

GcCp------=

Cp p

sn s p1⁄=

G s( ) G p1sn( ) A01 p1 z1⁄( )sn+( )

1 sn+( ) 1 p1 p2⁄( )sn+( ) 1 p1 p3⁄( )sn+( )----------------------------------------------------------------------------------------------------= =

z1 p2 z1 1.1p2=

p3 p3 1.5p2=

Page 110: Curs Us Cont Role

110

-6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000-5000

0

5000

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40

60

Gm = Inf, Pm=79.551 deg. (at 979.54 rad/sec)

100 10 1 102 10 3 104

-150

-100

-50

Page 111: Curs Us Cont Role

111

IV.2. De spanningsregulator

De spanningsregulator dient om de gefilterde en gelijkgerichte netspanning om te zetten in DC-spanning met een zo klein mogelijke rimpel. De gefilterde gelijkgerichte spanning wordt aangebodenaan de pin I, pin O is de geregelde spanning (rimpel veel kleiner dan op pin I), en pin A hetterugkoppelpunt of “sense” punt van de regulator. Typisch gebruik van de regulator

Onder de vorm van een blokschema kan de werking van de spanningsregulator als volgt weergegevenworden

Hierbij stel de rimpel op de ingangsspanning voor, de interne referentiespanning van de

I AO

LM317I = input

O = output

A = adjust

imax = 1.5 A

Vout = 1.2 V tot 37 V

IN OUT

ADJ R1

R2

VoutVin

Vadj

IN OUT

ADJ R1

R2

VoutVin

Vadj

regelbare spanningR1 = 240 Ω

R2 = 5 kΩ

C1 = 0.1 µF

C2 = 1 µFC1C2

C1C2

C3

verhoogde rimpel

R1 = 240 Ω

R2 = 5 kΩ

C1 = 0.1 µF

C2 = 1 µF

onderdrukking

C3 = 10 µF

∆Vin t( ) Vref

Page 112: Curs Us Cont Role

112

regulator (gemaakt met een Zenerdiode), de geregelde spanning (pin O), de spanning

aan de “sense” ingang (pin A). is de overdrachtsfunctie van de uitgangsspanning naar

(203)

en de overdrachtsfunctie van de spanning aan de ADJ pin naar de interne referentiespanning

(204)

Om de rimpel zo goed mogelijk te onderdrukken moet het sensor circuit zo breedbandig mogelijk zijn,zoniet worden snelle variaties niet weggeregeld. Daarom wordt in de schakeling die de rimpel beteronderdrukt via een pool geplaatst ( ) die zo goed mogelijk de nul van ( )

compenseert. Het geheel reageert dan nagenoeg als een P-regelaar. Het verband tussen degeregelde spanning, de referentiespanning en de ingangsrimpel is

(205)

Vout t( )e t( )G s( )

H s( )

Vref

D1 s( )D2 s( )Vadj t( )

∆Vin t( )

Vout t( ) Vadj t( )

D1 s( ) Vadj

D1 s( )

R2 R1 R2+( )⁄ K1= regelbare spanning

R2 R1 R2+( )⁄

1 C3R1R2 R1 R2+( )⁄( )s+-----------------------------------------------------------------K1

1 τ1s+-----------------= verhoogde rimpel onderdrukking⎩⎪⎨⎪⎧

=

D2 s( )

D2 s( ) K2 1 τ2s+( )=

C3 s 1 τ1⁄–= D1 s 1 τ2⁄–=

D1D2

Vout s( ) G s( )1 D1 s( )D2 s( )G s( )+-----------------------------------------------

Vrefs--------- H s( )

1 D1 s( )D2 s( )G s( )+-----------------------------------------------∆Vin s( )+=

Page 113: Curs Us Cont Role

113

IV.3 De compact disk speler

De compact disk (CD) is niets meer dan een plastiek (polycarbonaat) opgebouwd uit verschillendelagen. De diameter is ongeveer 12 cm en de dikte 1.2 mm. Het spoor dat de informatie bevat kan ruim5 km lang zijn. De dikte van het spoor bedraagt 0.5 µm en de afstand tussen twee sporen is 1.6 µm (bijeen klassieke vinylplaat bedraagt de intergroefafstand 100 µm). De informatie is digitaal opgeslagen: eenlogische nul is een bult (bump) en een logische één een put (pit). Deze worden gedetecteerd doormiddel van een laserbundel gericht op de CD. Naargelang de bundel al dan niet op de detector valt heeftmen een logische één (detectie) of een logische nul (geen detectie).

A: labelB: protectionC: data (reflection)D: transparent protectionE: logical 0 (bump)F: logical 1 (pit)

5 km spoor

1.2 mm

12 cm

Page 114: Curs Us Cont Role

114

De CD-speler zelf ziet er als volgt uit. De rotatie van de CD gebeurt via een draaitafel DC motor. Deomwentelingsfrequentie varieert naargelang de positie van het gelezen spoor op de CD. In huidigeuitvoeringen (2002) varieert de omwentelingsfrequentie van ongeveer 8 Hz (binnenkant CD) tot 4 Hz(buitenkant CD). Het spoor wordt gevolgd door een radiale arm waarop een optisch elementgemonteerd is. Een diode in dit optisch element genereert een laserstraal die, via een systeem vanlenzen, gefocust is op de informatielaag van de CD. Het focuseren van de laserbundel gebeurt via eenobjectieflens die in de vertikale richting beweegt. Noch de spoorpositie, noch de laserspotpositie op deCD kunnen opgemeten worden. Een regelaar is nodig om de radiale positie in te stellen op 0.1 µm ende vertikale positie op 1 µm, en dit in de aanwezigheid van storingen te wijten aan de excentriciteit vande CD (radiale afwijkingen van maximaal 100 µm) en de golving van het CD-oppervlak(focusafwijkingen van maximaal 1 mm). In huidige (2002) uitvoeringen worden de radiale en focusposities door twee afzonderlijke SISO regelaars. Dit is verrechtvaardigd door de zwakke dynamischekoppeling tussen de twee bewegingen. Het multivariabel (MIMO) controleren van beide bewegingen ismomenteel (2003) nog onderwerp van onderzoek.

logische nul logische één

Sterk vereenvoudigd beeld van het detectiemechanisme

Page 115: Curs Us Cont Role

115

De radiale beweging van de arm is in eerste benadering beschreven door een dubbele integrator, wat een instabiel systeem is (door wrijving schuiven de polen naar het linkerhalfvlak,

doch de niet-lineariteiten duwen ze terug in het rechterhalfvlak). Via een lead compensator met kan de radiale beweging gestabiliseerd worden. Nemen we

om de gedachten te vestigen , , en , dan zien de poolbanen en de Bodediagrams er als volgt uit (in genormaliseerde frequenties)

Opmerkingen:

1. Terwijl de regelaars in de CD-spelers vroeger uitsluitend analoog waren, worden ze nu digitaalgeïmplementeerd (zie hybride systemen in deel systeemtheorie).

2. Bij lage frequenties gedraagt de radiale arm zich als en star lichaam met een dubbele integratieals gevolg. Bij hogere frequenties (> 500 Hz) wordt het model veel ingewikkelder door deresonantiemodes van de arm (flexible balk), de draaitafel, en de flexibele modes van de CD zelf.Metingen uitgevoerd binnen de dienst ELEC (1992) wijzen uit dat een model van orde 14/18 demetingen (= CD-speler + analoge lead-lag regelaar van orde 2/2) goed beschrijft. Hierbij ligteen complex toegevoegd poolpaar dicht bij de oorsprong in het rechterhalfvlak (zie niet-lineariteiten). De poolbanen (in genormaliseerde frequentie) van het radiale systeem (lead-lagregelaar inbegrepen) tonen dat het gesloten lus systeem stabiel is voor (rode “+” in degrafiek). Merk op dat de geregelde kring stabiel is voor .

y t( )u t( )G s( )

r t( )KD s( )

G s( ) b0 s2⁄=

D s( ) τDs 1+( ) ατDs 1+( )⁄= α 1<

b0 1= τD 4= α 0.25=

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-50

0

50

100

Gm=-260 dB (at 0 rad/sec), Pm=36.5 deg. (at 0.426 rad/sec)

10-2 10-1 100-180

-175

-170

-165

-160

-155

-150

-145

K 1=0.26 K 26< <

Page 116: Curs Us Cont Role

116

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4

FR

F (

dB)

Frequentie (kHz)

-100

0

100

200

300

0 1 2 3 4F

RF

(°)

Frequentie (kHz)

X : gemeten FRF: model 14/18

-4 -3 -2 -1 0 1

-10

-5

0

5

10

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Poolbaan

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Gm=-11.6 dB (at 0.4817 rad/sec), Pm=44.0 deg. (at 1.335 rad/sec)

10 -1 100 101

-300

-200

-100

0

100

200

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

Real axis

Imag

inar

y ax

is

Nyquist

Page 117: Curs Us Cont Role

117

BibliografieBasiswerkenDutton, K., S. Thompson, and B. Barraclough (1998). The Art of Control Engineering. Addison Wesley:

Harlow (UK).Goodwin, G. C., S. F. Graebe, and M. E. Salgado (2001). Control System Design. Prentice-Hall: Upper

Saddle River, New Jersey (USA).Lewis, F. L. (1992). Applied Optimal Control and Estimation. Prentice-Hall: Upper Saddle River, New Jersey

(USA).Nise, N. S. (2002). Regeltechniek voor Technici. John Wiley & Sons: New York (USA).Franklin, G. F., J. D. Powell, and A. Emami-Naeini (2002). Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice-

Hall: Upper Saddle River, New Jersey (USA).

Digitale controleJacquot, R. G. (1995). Modern Digital Control Systems. Marcel Dekker Inc.: New York (USA).Söderström, T. (1994). Discrete-time Stochastic Systems Estimation and Control. Prentice-Hall: Hemel

Hempstead (UK).

PID regelaarsÅström, K. J., and T. Hägglund (1995). PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. Research Triangle Park,

NC, ISA.Panagopoulous, H., K. Åström, and T. Hägglund (1999). Design of PID controllers based on non-

convex optimization, Proceedings of American Control Conference, San Diego, California (USA), pp. 3858-3862.

Neuro-fuzzy controleMiller, W. T., R. S. Sutton, and P. J. Werbos (1995). Neural Networks for Control. MIT Press: Cambridge

(USA).Passino, K. M., and S. Yurkovitch (1998). Fuzzy Control. Addison-Wesley: Menlo Park (USA).

Niet lineaire controleIsidori, A. (1995). Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag: Lomdon (UK).Glad, T., and L. Ljung (2000). Control Theory: Multivariable and Nonlinear Systems. Taylor & Francis:

London (UK).

Page 118: Curs Us Cont Role

118

OefeningenReeks 1:

1. Reduceer de volgende blokschema’s:

R s( ) Y s( )1s2----- 50

s 1+----------- s

2s---

2s---

a.

b.

R s( ) Y s( )G1 s( ) G2 s( )

H1 s( )

R s( ) Y s( )G1 s( ) G2 s( )

G3 s( )

H s( )

G4 s( )

c.

Page 119: Curs Us Cont Role

119

2. Bepaal de waarde (open lus winst, open loop gain) voor dewelke de gesloten lus transferfunctie(closed loop transfer function) instabiel wordt; met stabiel +

proportionele regelaar (algemeen + dan toepassen op ) ⇒ welke is deminimale orde van opdat instabiel zou kunnen worden?Toepassing: de opamp, model met een of twee polen ⇒ nooit instabiel; model met drie polen ⇒

is instabiel. Bij een positieve terugkoppeling van de opamp voor welke orde van

wordt de schakeling instabiel?

3. Beschouw het volgende eenheidsterugkoppelsysteem

3.a Bepaal of dit systeem instabiel kan zijn met

(206)

3.b Bepaal het bereik van voor stabiliteit wanneer

(207)

Voor welke -waarde oscilleert het systeem? Wat is de oscillatiefrequentie?

(antw. , en ).

3.c Bepaal het bereik van voor stabiliteit wanneer

(208)

(antw. , , ).

KGc s( ) G s( ) 1 A s( )⁄= A s( )

A s( ) s3 2s2 2s 1+ + +=A s( ) Gc s( ) KG s( ) 1 KG s( )+( )⁄=

Gc s( ) A s( )1 A s( )+-------------------=

A s( )

Vout s( ) A s( ) V+ s( ) V- s( )–( )= Vout s( )⇒ A s( )1 A s( )+-------------------Vin s( )=

Vout s( )Vin s( ) A s( )

r s( ) y s( )e s( )G s( )

G s( ) K s2 1+( )s 1+( ) s 2+( )

---------------------------------=

K

G s( ) K s 1+( )s s 2+( ) s 3+( ) s 4+( )-----------------------------------------------------=

K

Kstab 0 140.80 ),(∈ ωosc 4.2791= Kosc 140.80=

K

G s( ) Ks s 2+( )s2 4s– 8+( ) s 3+( )

------------------------------------------------=

Kstab 5 ∞,( )∈ ωosc 6= Kosc 5=

Page 120: Curs Us Cont Role

120

Reeks 2:

1. Beschouw de volgende vergelijkingen

(209)

(toepassing: oplossen oneigenlijk netwerk). Toon aan dat (209) kan geschreven worden onder devolgende toestandsvergelijking vorm

(210)

met , , , en (hint: ).

2. Beschouw de volgende toestandsvergelijkingen

(211)

waarbij , , , en getallen zijn. Bereken de differentiaalvergelijking van het overeenkomstigesysteem (i) rechtstreeks, en (ii) via de projectie (50).

3. Rekenen met blokschema’s in geval van meeringang-, meeruitgang (MIMO) systemen. Bereken degesloten lus transfer functie van de volgende regelkring

waarbij en vectoren zijn met dimensie en respectievelijk. Aanwijzing: bepaaleerst de transfer functie van

4. Beschouw de toestandsvergelijkingen (29) en de overeenstemmende transferfunctie in vgl. (63). Toonaan dat de transferfunctie (63) niet wijzigt onder de gelijkvormigheidstransformatie (33).

dx t( )dt----------- Ax t( ) Bu t( ) Fdu t( )

dt------------+ +=

y t( ) Cx t( ) Du t( )+=

dxF t( )dt-------------- AFxF t( ) BFu t( )+=

y t( ) CFxF t( ) DFu t( )+=

AF A= BF B AF+= CF C= DF D CF+= xF t( ) x t( ) Fu t( )–=

x' t( ) ax t( ) bu t( )+=y t( ) cx t( ) du t( )+=

a b c d

y s( )H s( ) G s( )

r s( )

C s( )

r s( ) y s( ) nr 1× ny 1×

y s( )H s( ) G s( )

r s( )

Page 121: Curs Us Cont Role

121

5. Bewijs via de definitie van de matrixexpontentiaal dat

⇒ (212)

met en .

6. Bereken het stapantwoorden (68)-(71) van het tweede orde systeem (66).

7. Bewijs dat de fout op het taludantwoord van een eenheidsfeedback systeem gegeven wordt door( )

(213)

Hoeveel integrators moet bevatten opdat ?

8. Bewijs dat de fout op het paraboolantwoord van een eenheidsfeedback systeem gegeven wordt door( )

(214)

Hoeveel integrators moet bevatten opdat ?

9. Gegeven een eenheidsterugkoppelstruktuur met

(215)

a. Kies zodat de statische positiefout gelijk is aan 0.01 voor een input van .b. Wat is de kleinst mogelijke statische positiefout voor het in (a) gegeven ingangssignaal?

10. Gegeven de volgende eenheidsterugkoppelstruktuur

Bepaal hierin , , en zodat (i) statische fout op een eenheidsstap = 0.1, (ii) de relatieve demping

0.5, en (iii) de natuurlijke frequentie = (antw. , , ).

eAt Aktkk!----------k 0=

∞∑=

A TΛT 1–= eAt TeΛtT 1–=

Λ diag λ1 λ2 … λn, , ,( )= eΛt diag eλ1t eλ2t … eλnt, , ,( )=

u t( ) t=

etalud ∞( ) t y t( )–( )t ∞→lim 1

sG s( )s 0→lim-------------------------= =

G s( ) etalud ∞( ) 0=

u t( ) t2 2⁄=

eparabool ∞( ) 12---t2 y t( )–⎝ ⎠

⎛ ⎞t ∞→lim 1

s2G s( )s 0→lim

----------------------------= =

G s( ) eparabool ∞( ) 0=

G s( ) Ks s 5+( ) s 10+( )---------------------------------------=

K 0.1t

r s( ) y s( )e s( ) K s α+( )s β+( )2---------------------

K α β

10 β 1±= K 10 2+−= α 9 10 2+−( )⁄=

Page 122: Curs Us Cont Role

122

11. Gegeven de volgende eenheidsterugkoppelkring met vertraging

a. Bepaal de waarde van de vertraging die het systeem instabiel maakt. Wat is de oscillatiefrequentie?

(antw. , )

b. Wanneer bepaal -waarden in zodat de regelkring stabiel wordt. (antw.; bij ⇒ )

Reeks 3:

Beschouw de volgende eenheidsterugkoppelstructuur

1.a. Schets de poolbanen van de volgende open lus transferfuncties

, , , , (216)

Bepaal, indien van toepassing, de -waarde en de bijhorende van de oscillaties.

b. Kontroleer de in a. gevonden resultaten in Matlab.

2.a. Schets het Nyquist diagram van de volgende open lus transferfuncties

, , , (217)

Bepaal de -waarden waarvoor de closed loop stabiel is.

b. Vergelijk de in a. gevonden resultaten in Matlab.

y t( )e t( )e τs– 1

s s 2+( )-------------------

r t( )

τ

τ 2.74= ωosc2 2– 5+=

τ 10= K K s s 2+( )( )⁄K 0 0.3 ),[∈ K 0.3= ωosc 0.14961=

y t( )u t( )K G s( )

r t( )

G s( ) s 1–s2 s 9+( )----------------------= s 1+

s2 s 9+( )---------------------- 1

s s 2+( ) s 1+( )2 4+( )----------------------------------------------------- s 5+

s s 20+( ) s 1+( )--------------------------------------- 4s– 2+

s2 s 9+ +-----------------------

K ωosc

G s( ) s 2+s 10+--------------= 1

s s 1+( )2---------------------- s 1+s s 3+( )------------------- 4s– 2+

s2 s 9+ +-----------------------

K

Page 123: Curs Us Cont Role

123

Reeks 4:

2. Beschouw het open-keten systeem

(218)

Ontwerp een state feedback controller die een gesloten-keten antwoord van 15% doorschot en een

piektijd van 0.2 s oplevert (aanwijzing: , en ).Kontroleer het resultaat in Matlab.

3. Beschouw het open-keten systeem

(219)

waarvan de toestandsveranderlijken niet toegankelijk zijn. Ontwerp een waarnemer (observer) die eenovergangsgedrag (transient behaviour) levert beschreven door en . Plaats de derdepool tienmaal zover van de imaginaire as als de dominante polen. Kontroleer het resultaat in Matlab.

4. Gegeven de open lus transferfunctie

(220)

Ontwerp een integrerende state feedback controller zodanig dat het gesloten lus stapantwoord een

doorschot van 10% en een insteltijd van 0.5 s heeft (aanwijzing: , en; leg de derde pool op vijf keer het reële gedeelte van de gewenste dominante tweede

orde polen).

G s( ) 100s s 4+( ) s 8+( )------------------------------------=

%DS 100exp ζ– π 1 ζ2–⁄( )= Tp π 1 ζ2– ωn( )⁄=

G s( ) 1s s 3+( ) s 7+( )------------------------------------=

ζ 0.4= ωn 75=

G s( ) 1s2 5s 3+ +--------------------------=

%DS 100exp ζ– π 1 ζ2–⁄( )=Ts 4 ζωn( )⁄≈