Complexe getallen

Jaap Top

JBI-RuG & DIAMANTj.top@rug.nl

16 december 2014

(studiedag voor leraren wiskunde)

1

(“er” verwijst naar Leopold Kronecker),

uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven door

Heinrich Weber,

Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

2

1823–18913

”mensenwerk” over√−1:

ontstaansgeschiedenis en toepassingen.

uitvoeriger historie en meer/andere toepassingen:

F. van der Blij, J. van der Craats, H.J.A. Duparc, J.T. Fokkema,

A.W. Grootendorst en J.A. van Maanen,

Vacantiecursus 1983 Complexe getallen, CWI Syllabus 15 (1987).

http://www.math.rug.nl/∼top/CWISyllabus15.pdf

4

5

Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)

6

7

Niccolo Tartaglia (1500–1557)

8

geromantiseerde versie:

(Dieter Jorgensen, 2000)

9

Tartaglia gebruikte vierkantswortels uit negatieve getallen.

Zo loste hij vergelijkingen als de volgende op:

x3 = 21x+ 20.

Zijn methode, versimpeld weergegeven:

substitueer x = a+ b, dan

x3 = (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

= 3ab(a+ b) + a3 + b3

= 3abx+ a3 + b3.

Bij ons: a, b leveren een oplossing als ab = 7 en a3 + b3 = 20.

10

(x3 = 21x+ 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a+ b waarbij ab = 7 en a3 + b3 = 20.

De condities impliceren a3b3 = 73 en a3 + b3 = 20,

dus a3, b3 zijn de twee oplossingen van X2 − 20X + 73 = 0.

Wortelformule: ∆ = −3× 182, dus oplossingen 10± 9√−3.

11

(x3 = 21x+ 20 volgens Tartaglia, vervolg.)

Oplossing(en): x = a + b met, na eventueel a en b omwisselen,

ab = 7 en a3 = 10 + 9√−3.

Dit levert (zie verderop!) drie mogelijkheden:

• a = −2 +√−3, dan b = 7/a = −2−

√−3 en x = a+ b = −4;

• a = 52 + 1

2

√−3, dan b = 7/a = 5

2 −12

√−3 dus x = a+ b = 5;

• a = −12 −

32

√−3, dan b = 7/a = −1

2 + 32

√−3 dus x = −1.

12

Controle: inderdaad geldt

(−4)3 = 21× (−4) + 20 en

53 = 21× 5 + 20 en (−1)3 = 21× (−1) + 20.

Dus ondanks dat de methode ”niet bestaande” getallen gebruikt,

leidt het tot correcte antwoorden (en niet alleen in dit voor-

beeld!).

13

Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:

algebraısch, als uitdrukkingen a+ b√−1 met reele a, b;

meetkundig, als punten met coordinaten (a, b) in het xy-vlak.

14

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a+ bi, met aen b reele getallen, en i een nieuw symbool.

Is z = a+ bi een complex getal, dan heet a ∈ R het reele deel vanz en b ∈ R het imaginaire deel van z.Notatie Re(z) := a resp. Im(z) := b.

De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C.

Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di

complexe getallen zijn. Dan

z + w = (a+ bi) + (c+ di) := (a+ c) + (b+ d)i

en

zw = (a+ bi) · (c+ di) := (ac− bd) + (ad+ bc)i.

15

We vatten R op als een deel van C, door r ∈ R te zien als het

complexe getal r + 0i.

Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe

getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn

de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo’n zuiver imaginair

getal schrijven we kortweg als bi.

De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus

het product van twee zuiver imaginaire getallen is een reeel getal.

Voor b = d = 1 staat hier dat i2 = −1.

Dus i is een wortel uit −1. Leonhard Euler (1707–1783) voerde

de notatie i in.

16

Elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat is een w ∈ Czodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het reele geval,

geschreven als z−1. Er geldt

(a+ bi)−1 =a

a2 + b2−

b

a2 + b2i,

zoals je nagaat door met a+ bi te vermenigvuldigen.

Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:

z/w = z · w−1 (mits w 6= 0).

17

De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is

het complexe getal genoteerd als z, gegeven door

z := a− bi.

Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product zz = a2 + b2

een positief reeel getal is. Er geldt

1

z=

z

zzen

w

z=wz

zz

In de praktijk kan hiermee snel een quotient van complexe getallen

in de vorm a+ bi geschreven worden.

18

Voorbeelden:

1

2 + i=

2− i(2 + i)(2− i)

=2− i

5=

2

5−

1

5i.

Zo ook

3 + 5i

1 + i=

(3 + 5i)(1− i)(1 + i)(1− i)

= (3 + 5i)(1− i)/2 = 4 + i.

19

Deze algebraısche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli

(1526–1572), die probeerde iets zinvols te maken van de vreemde

methoden van Tartaglia en diens tijdgenoten.

20

Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a+ bi

te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R2. Optellen in C is

zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi

optellen bij c+ di is het optellen van de vectoren met beginpunt

(0,0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).

Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a,−b), dus

het spiegelen in de x-as.

We spreken van het complexe vlak.

21

De formule z · z = a2 + b2 als z = a+ bi laat zien, dat z · z gelijk is

aan het kwadraat van de afstand tussen (0,0) en (a, b). Kortom,

met

|z| :=√z · z =

√a2 + b2

wordt een reeel getal gedefinieerd dat in het meetkundige plaatje

de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de abso-

lute waarde van z. Voor reele z stemt dit overeen met de gewone

absolute waarde.

Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z|+ |w|.

22

Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|,houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit

ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.

Elk punt op die cirkel heeft coordinaten (cos α, sin α) waarbij α

de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van

de positieve reele as (x-as).

De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:

arg(z).

Er geldt z = r · (cos α+ (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).

23

De accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826)

uit Parijs schreef in 1806 een boek over het meetkundig inter-

preteren van C. Het complexe vlak heet ook wel het Argand

diagram.

Iets eerder, op 20 juni 1805 presenteerde William Morgan (de

grondlegger van het moderne actuariaat, 1750–1833) voor de

Royal Society in Londen het werk van de Franse priester Adrien-

Quentin Buee (1748–1826) die vanwege de Franse Revolutie

naar Engeland was gevlucht. Onderwerp: meetkundig inter-

preteren van negatieve getallen en complexe getallen.

De Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) gaf al in 1799

dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...

24

Buee vermeldt dat al eerder, in 1750, H. Kuhn (wiskundeleraaruit Danzig) een meetkundige interpretatie van complexe getallengaf.

Buee is laatdunkend (“Ik denk niet dat ik hoef te praten over. . . . . . omdat hij daar veronderstelt dat

√−1 = −

√1”), hij noemt

“Mr. Khun” (verkeerde naam), en hij verwijst naar het derdenummer van de “Memoires de Petersbourg” (verkeerde tijd-schrift).

Toch had deze leraar het prima begrepen. Euler schreef hemin 1735 een serie brieven, bij gebrek aan een adres maar naarde Danzigse burgemeester C.L.G. Ehler gestuurd. Onderwerp:hoe maak je, uitgaande van de natuurlijke getallen, achtereenvol-gens de negatieve, de rationale, reele, en uiteindelijk complexe.Vergelijk met Kroneckers uitspraak!

25

Het tijdschrift waarin Kuhns artikel (pp. 170–223) verscheen

26

titelpagina van Kuhns artikel

27

Plaatjes bij Kuhns artikel

28

Notatie: eαi := cos α+ (sin α)i. Dit is het complexe getal op de

eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.

Merk op: e0i = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht

is e0 = 1.

Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten wor-

den gebruikt, laat zien

(cos α+ (sin α)i) · (cos β+ (sin β)i) = cos(α+β) + (sin(α+β))i.

Oftewel: eαi · eβi = eαi+βi.

29

Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en

α = arg(z) en β = arg(w). Dan

z · w = r · eαi · s · eβi = rs · e(α+β)i.

Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waar-

den) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.

30

Voor z = a+ bi schrijven we ez = ea+bi := ea · ebi.

Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven ebi.

Voor b = 0 is dat de gewone, reele ea.

Er geldt ez+w = ez · ew.

Voor a = 0 en b = π staat er eπi = cos π + (sin π)i = −1, dus

eπi + 1 = 0.

Formule gegeven door Euler.

31

Euler voerde ez anders in: hij schreef

ez = limn→∞(1 +

z

n)n.

Invullen z = ix met x reeel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en

x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule

van de Moivre”

(cos(α) + i sin(α))n = cos(nα) + i sin(nα),

tot de conclusie eix = cos(x) + i sin(x).

Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste

formule ooit”).

32

Zwitserland, 1957 (Euler 250)

33

Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:

34

Voorbeeld: los op a3 = 10 + 9√−3.

a×a×a is: hoek arg(a) met 3 vermenigvuldigen, absolute waarde

|a| tot de derde macht nemen.

Hier: |a|3 =√

102 + 3 · 92 =√

343, dus |a| =√

7.

En arg(a3) = arctan( 910

√3) ≈ 1.0004 rad,

dus arg(a) ≈ 0.3335 rad (mod2π/3).

Dan a ≈√

7 · e0.3335i ≈ 52 + 1

2

√−3, en dat blijkt zelfs een exacte

oplossing te zijn. De andere twee oplossingen horen bij de overige

mogelijkheden voor arg(a).

Voorbeeld: de cosinusregel.

a2 = |beαi − c|2 = (beαi − c)(be−αi − c)= b2 + c2 − bc(eαi + e−αi)= b2 + c2 − 2bc cos α.

35

(H.W. Lenstra, Leiden)Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/

Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een Drosteeffect als er een reeel getal r 6= ±1 is zodat de figuur ondervermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.

37

Door de schaling over r bij een Droste effect te combinerenmet een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordtovergevoerd onder vermenigvuldigen met r · eαi.

Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈22,6 en α ≈ 2,75.

38

Gehelen van Gauss: Z[i], alle m+ ni met m,n ∈ Z.

Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z[i].

De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1z ∈ Z[i], zijn 1,−1, i,−i.

‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te

ontbinden zijn: m + ni 6= 1,−1, i,−i en als m + ni = z · w voor

zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1,−1, i,−i}.

Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 4 + i zijn

priemen van Gauss.

39

Ter gelegenheid van het International Congress of Mathemati-

cians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar

van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dis-

sel & Zn (Eindhoven) servetten maken met priemen van Gauss

erop.

40

commerciele priemen van Gauss. . .

41

Bij een klassieke benadermethode voor π = 3,14159 · · · spelen

de gehelen van Gauss een rol.

Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctan-

gens nauwkeurig benaderen...

42

Begin met

1

1 + x2= 1− x2 + x4 − x6 + x8 − . . .

(een meetkundige reeks).

Hiervan de primitieve:

arctan(x) = x−1

3x3 +

1

5x5 −

1

7x7 +

1

9x9 − . . .

Invullen x = 1 geeft

π = 4× (1−1

3+

1

5−

1

7+

1

9− . . .),

een formule bedacht door de Schotse wis– en sterrenkundige

James Gregory (1638–1675).

43

Voorbeeld: 100 termen geeft π ≈ 3,1316 · · ·,1000 termen geeft π ≈ 3,1406 · · ·,10000 termen geeft π ≈ 3,14149 · · ·.

De gebruikte reeks convergeert erg langzaam.

Een oplossing hiervoor bedacht de Engelse sterrenkundige John

Machin (1680–1751).

44

Er blijkt te gelden

(5 + i)4 = (2 + 2i)(239 + i).

Omdat vermenigvuldigen van complexe getallen o.a. betekent:

hoeken optellen, is dus

4 arctan(1

5) =

π

4+ arctan(

1

239).

En dan

π = 16 arctan(1/5)− 4 arctan(1/239) =(16

5 −4

239)− 13(16

53 − 42393) + 1

5(1655 − 4

2395)− 17(16

57 − 42397) + . . .

Iets na 1700 vond Machin hiermee ruim 100 decimalen van π,

dat kan met minder dan 80 termen van de reeks.45

Kwadraten van Gauss

46

Derde machten van Gauss

47