Samenhangende Wiskunde
Complexe Getallen
Gonio
Analyse
Vectoren
Synthetische Meetkunde
Algebra
Symmetrie
Programma
• Inleiding over meetkundige technieken (15’’)
• Aan de slag (keuze van opgaven) (30’’)
• Afronding (15’’)
Meetkundige technieken
• Synthetisch, axiomatisch, zonder coördinaten • Analytisch, algebraïsch, met coördinaten • Gonio • Vectoren (al dan niet met kentallen) • Matrices • Symmetrieën • Complexe getallen
Moraal
Onderzoekt alles en behoudt het goede
Keuze van methode doet ertoe!
Gegeven ϕ, bepaal ψ. • Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ • Analytisch lastig: Bijvoorbeeld
A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ))
• v := 𝐵𝐵𝐵𝐵 = cos 𝛼𝛼 − cos (𝛽𝛽)sin 𝛼𝛼 − sin (𝛽𝛽)
• Analoog w := 𝐵𝐵𝐵𝐵.
• cos(ψ) = 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘
= 𝒗𝒗𝟏𝟏𝒘𝒘𝟏𝟏+𝒗𝒗𝟐𝟐𝒘𝒘𝟐𝟐𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘
Keuze van methode doet ertoe!
Gegeven ϕ, bepaal ψ. • Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ • Analytisch lastig: Bijvoorbeeld
A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ))
• v := 𝐵𝐵𝐵𝐵 = cos 𝛼𝛼 − cos (𝛽𝛽)sin 𝛼𝛼 − sin (𝛽𝛽)
• Analoog w := 𝐵𝐵𝐵𝐵.
• cos(ψ) = 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘
= cos(½ϕ) ???
Speciale gevallen
Gegeven ϕ, bepaal ψ.
• Speciale gevallen zijn haalbaarder voor leerlingen:
• Voorbeeld: A = (1,0), B = (-½√2, -½√2) en ϕ = 90° of 60°
• Goede algebra/gonio-opgaven!
Driehoek in Rechthoek
• Gegeven gelijkzijdige driehoek ‘ingeschreven’ in rechthoek.
• Te bewijzen: opp. rode ∆ = opp. blauwe ∆ ∆
• Heel lastig met algebra (3 × Pythagoras),
• maar simpel met gonio.
Driehoek in Rechthoek
• Z.b.d.a. driehoekzijde 1. • Kunnen nu alle opper-
vlakten uitdrukken in ϕ • Leidt tot een mooie, niet
te lastige gonio-identiteit. • (Opgave voor workshop)
Zeshoekprobleem
• Zeshoek met om-en-om rode en blauwe zijden.
• De rode zijden ‘sluiten’ ⇔ de blauwe zijden ‘sluiten’.
• ‘sluiten’: sluiten na parallelle verschuiving tot een gesloten driehoek.
• Triviaal met juiste techniek
Zeshoekprobleem
• Maak vectoren van de zijden (tegen de klok in)
• Som van 6 vectoren = 0 • Dan: Deelsom van
3 rode vectoren = 0 ⇔ deelsom van 3 blauwe vectoren = 0.
• Synthetisch kan ook (zie plaatje).
Zes Workshopproblemen
• Ingeschreven gelijkzijdige
driehoek in rechthoek. • Druk alle oppervlakten
in ϕ uit en laat zien dat blauwe opp. = rode opp.
Archimedes’ Kwadratuur v.d. Parabool
• Gegeven parabool k en 3 punten A, B, C op k zodat BC // raaklijn aan k in A.
• Dan oppervlakte tussen BC en k = 4
3 × oppervlakte
van ∆ABC • Zo nodig specialiseren tot
y = x2, A = (0,0) of (1, 1), B = …,
• Algemene geval?
Genie van Syracusa
• Kwadratuur v.d. Cirkel (Ellips) • Kwadratuur v.d. Parabool • Kwadratuur v.d. Hyperbool (y = 1/x)
• Iets met π
• Iets met 43
• Iets met e
Zwaartelijnen
• Zwaartelijnen door
1 punt en snijden 2 : 1. • Bewijs heel eenvoudig
met juiste techniek. • Hoe?
Schateiland
• Loop van X = schildpad naar steen 1.
• Rechte hoek naar rechts en zelfde afstand lopen: punt Y
• Idem bij steen 2: punt Z • Schat halverwege Z en X • Wat te doen als
schildpad is verdwenen?
Y Z
X
cos(α + β) en sin(α + β)
• Gebruik plaatje om formules voor cos(α+β) en sin(α+β) af te leiden
• Hint: neem |AD| = 1.
Rugbyprobleem
Rugbyprobleem
• Gegeven O = (0,0), A = (a, 0) en B = (b, 0).
• Welk punt P op y-as heeft maximale kijkhoek op AB?
• Synthese van analytische & synthetische meetkunde?
• Kies zo nodig a = 4 en b = 9.
Oplossingen
Gelijkzijdige Driehoek in Rechthoek • Komt neer op: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°)
+ sin(2ϕ – 120°) = 0 • sin(α+β) = ⋅⋅⋅, enz. Klaar. • Mooier: symmetrie gebruiken
• Vectorsom invar. onder 120° • Kan ook met C en exp(2πi/3).
Archimedes’ Kwadratuur v.d. Parabool
• Z.b.d.a. y = x2 • A = (a, a2), B = (b, b2),
C = (c, c2) • Rico(BC) = b + c = 2a • Lijn BC: y = (b + c)x – bc • Integreer (b + c)x – bc – x2
van b tot c: 16(c – b)3
• Opp(∆) is 18(c – b)3
• Handig met uitproduct
Oppervlakte driehoek & Uitproduct • Lengte van uitproduct a × b
is gelijk aan oppervlakte parallellogram.
• In 2 dimensies: oppervlakte driehoek = ½ |𝑎𝑎1𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏1|.
• Hier: a = 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 en b =
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 en a = ½ (b + c), dus
opp. ∆ = ½ (c – b)(c – a)(b – a) = 16
𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 3 • Heerlijk symmetrische algebra!
Trafo’s ⇒ Z.b.d.a. (Zonder Beperking der Algemeenheid)
• Z.b.d.a. y = x2, want alle parabolen gelijkvormig.
• Affiene trafo (x, y) → (x + p, y + 2px + p2) ⇒ z.b.d.a. A = (0,0). Is simpeler!
• Affiene trafo (x, y) → (kx, k2y) ⇒ z.b.d.a. A = (0,0) en C = (1,1). Is nog simpeler!
• Moraal: Meer wiskunde-kennis ⇒ simpeler bewijzen!
Zwaartepunt
• Plaatsvector van punt A noteren we als a, enz.
• Dan u = ½ (b + c), enz.
• Dus 23𝒖𝒖 + 1
3𝒂𝒂 is gelijk
aan 13𝒂𝒂 + 1
3𝒃𝒃 + 1
3𝒄𝒄
• Symmetrisch in a, b, c • Dus … Q.E.D.
Schateiland
• Draai X naar Y om steen 1 en Y naar Z om steen 2.
• Beide 90°, dus samen (X → Z) is rotatie over 180°.
• Dat is puntspiegeling om punt halverwege X en Z.
• Welk punt? De schat! • Die hangt dus niet van
positie X af! • Dit kan ook met C of R2.
Y Z
X
cos(α + β) en sin(α + β)
• AD = 1, dus AC = cos(β) en CD = sin(β)
• Dus BC = sin(α) ⋅ cos(β), AB = cos(α) ⋅ cos(β) CE = cos(α) ⋅ sin(β) DE = sin(α) ⋅ sin(β)
sin(α + β) = BC + CE cos(α + β) = FE – DE
Rugbyprobleem
• Schrijf P = (0, p). • Druk cos2(ϕ) uit in de
variabele p en de constanten a en b.
• Differentieer naar p om p met minimale cos2(ϕ) te vinden:
• 2(a2 + p2)⋅(b2 + p2) = = (ab + p2)⋅(a2 + b2 +2p2),
• dus … p2 = ab.
Rugbyprobleem
• Oplossing: p = √(ab) • Opmerkingen/controles: symmetrisch in a, b en √(afstand⋅afstand) =
afstand Speciale (limiet)gevallen?
• Meetkundige interpretatie of constructie van de oplossing?
Rugbyprobleem
• Teken de cirkelboog van alle punten met dezelfde kijkhoek: door A, B, P.
• Rakende cirkel geeft grootste kijkhoek in P.
• De ‘hoogte’ p = MN van die cirkel is √(ab) : zie volgende dia.
Rugbyprobleem
• Rugbyprobleem = Stelling Constante (kijk)hoek + Pythagoras
• Synthetische terugblik, maar gevonden door analyse (differentiëren) en vectoren (inproduct) en algebra.
• Samenhangende, niet-dogmatische wiskunde!
Huiswerk
Leid de formule voor de afstand van P = (p, q) tot de lijn y = ax + b af met zoveel mogelijk verschillende technieken.
Top Related