Download - Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw ([email protected]) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Transcript
Page 1: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Analytische Meetkunde

Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017

Jeroen Spandaw ([email protected])

Page 2: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Samenhangende Wiskunde

Complexe Getallen

Gonio

Analyse

Vectoren

Synthetische Meetkunde

Algebra

Symmetrie

Page 3: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Programma

• Inleiding over meetkundige technieken (15’’)

• Aan de slag (keuze van opgaven) (30’’)

• Afronding (15’’)

Page 4: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Meetkundige technieken

• Synthetisch, axiomatisch, zonder coördinaten • Analytisch, algebraïsch, met coördinaten • Gonio • Vectoren (al dan niet met kentallen) • Matrices • Symmetrieën • Complexe getallen

Page 5: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Moraal

Onderzoekt alles en behoudt het goede

Page 6: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Keuze van methode doet ertoe!

Gegeven ϕ, bepaal ψ. • Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ • Analytisch lastig: Bijvoorbeeld

A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ))

• v := 𝐵𝐵𝐵𝐵 = cos 𝛼𝛼 − cos (𝛽𝛽)sin 𝛼𝛼 − sin (𝛽𝛽)

• Analoog w := 𝐵𝐵𝐵𝐵.

• cos(ψ) = 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘

= 𝒗𝒗𝟏𝟏𝒘𝒘𝟏𝟏+𝒗𝒗𝟐𝟐𝒘𝒘𝟐𝟐𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘

Page 7: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Keuze van methode doet ertoe!

Gegeven ϕ, bepaal ψ. • Synthetisch gemakkelijk: ψ = ½ϕ • Analytisch lastig: Bijvoorbeeld

A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), C = (cos(γ), sin(γ))

• v := 𝐵𝐵𝐵𝐵 = cos 𝛼𝛼 − cos (𝛽𝛽)sin 𝛼𝛼 − sin (𝛽𝛽)

• Analoog w := 𝐵𝐵𝐵𝐵.

• cos(ψ) = 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘 𝒗𝒗 ∙ 𝒘𝒘

= cos(½ϕ) ???

Page 8: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Speciale gevallen

Gegeven ϕ, bepaal ψ.

• Speciale gevallen zijn haalbaarder voor leerlingen:

• Voorbeeld: A = (1,0), B = (-½√2, -½√2) en ϕ = 90° of 60°

• Goede algebra/gonio-opgaven!

Page 9: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Driehoek in Rechthoek

• Gegeven gelijkzijdige driehoek ‘ingeschreven’ in rechthoek.

• Te bewijzen: opp. rode ∆ = opp. blauwe ∆ ∆

• Heel lastig met algebra (3 × Pythagoras),

• maar simpel met gonio.

Page 10: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Driehoek in Rechthoek

• Z.b.d.a. driehoekzijde 1. • Kunnen nu alle opper-

vlakten uitdrukken in ϕ • Leidt tot een mooie, niet

te lastige gonio-identiteit. • (Opgave voor workshop)

Page 11: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Zeshoekprobleem

• Zeshoek met om-en-om rode en blauwe zijden.

• De rode zijden ‘sluiten’ ⇔ de blauwe zijden ‘sluiten’.

• ‘sluiten’: sluiten na parallelle verschuiving tot een gesloten driehoek.

• Triviaal met juiste techniek

Page 12: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Zeshoekprobleem

• Maak vectoren van de zijden (tegen de klok in)

• Som van 6 vectoren = 0 • Dan: Deelsom van

3 rode vectoren = 0 ⇔ deelsom van 3 blauwe vectoren = 0.

• Synthetisch kan ook (zie plaatje).

Page 13: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Zes Workshopproblemen

• Ingeschreven gelijkzijdige

driehoek in rechthoek. • Druk alle oppervlakten

in ϕ uit en laat zien dat blauwe opp. = rode opp.

Page 14: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Archimedes’ Kwadratuur v.d. Parabool

• Gegeven parabool k en 3 punten A, B, C op k zodat BC // raaklijn aan k in A.

• Dan oppervlakte tussen BC en k = 4

3 × oppervlakte

van ∆ABC • Zo nodig specialiseren tot

y = x2, A = (0,0) of (1, 1), B = …,

• Algemene geval?

Page 15: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Genie van Syracusa

• Kwadratuur v.d. Cirkel (Ellips) • Kwadratuur v.d. Parabool • Kwadratuur v.d. Hyperbool (y = 1/x)

• Iets met π

• Iets met 43

• Iets met e

Page 16: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Zwaartelijnen

• Zwaartelijnen door

1 punt en snijden 2 : 1. • Bewijs heel eenvoudig

met juiste techniek. • Hoe?

Page 17: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Schateiland

• Loop van X = schildpad naar steen 1.

• Rechte hoek naar rechts en zelfde afstand lopen: punt Y

• Idem bij steen 2: punt Z • Schat halverwege Z en X • Wat te doen als

schildpad is verdwenen?

Y Z

X

Page 18: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

cos(α + β) en sin(α + β)

• Gebruik plaatje om formules voor cos(α+β) en sin(α+β) af te leiden

• Hint: neem |AD| = 1.

Page 19: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

Page 20: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

• Gegeven O = (0,0), A = (a, 0) en B = (b, 0).

• Welk punt P op y-as heeft maximale kijkhoek op AB?

• Synthese van analytische & synthetische meetkunde?

• Kies zo nodig a = 4 en b = 9.

Page 21: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Oplossingen

Page 22: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Gelijkzijdige Driehoek in Rechthoek • Komt neer op: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°)

+ sin(2ϕ – 120°) = 0 • sin(α+β) = ⋅⋅⋅, enz. Klaar. • Mooier: symmetrie gebruiken

• Vectorsom invar. onder 120° • Kan ook met C en exp(2πi/3).

Page 23: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Archimedes’ Kwadratuur v.d. Parabool

• Z.b.d.a. y = x2 • A = (a, a2), B = (b, b2),

C = (c, c2) • Rico(BC) = b + c = 2a • Lijn BC: y = (b + c)x – bc • Integreer (b + c)x – bc – x2

van b tot c: 16(c – b)3

• Opp(∆) is 18(c – b)3

• Handig met uitproduct

Page 24: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Oppervlakte driehoek & Uitproduct • Lengte van uitproduct a × b

is gelijk aan oppervlakte parallellogram.

• In 2 dimensies: oppervlakte driehoek = ½ |𝑎𝑎1𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏1|.

• Hier: a = 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 en b =

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 en a = ½ (b + c), dus

opp. ∆ = ½ (c – b)(c – a)(b – a) = 16

𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 3 • Heerlijk symmetrische algebra!

Page 25: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Trafo’s ⇒ Z.b.d.a. (Zonder Beperking der Algemeenheid)

• Z.b.d.a. y = x2, want alle parabolen gelijkvormig.

• Affiene trafo (x, y) → (x + p, y + 2px + p2) ⇒ z.b.d.a. A = (0,0). Is simpeler!

• Affiene trafo (x, y) → (kx, k2y) ⇒ z.b.d.a. A = (0,0) en C = (1,1). Is nog simpeler!

• Moraal: Meer wiskunde-kennis ⇒ simpeler bewijzen!

Page 26: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Zwaartepunt

• Plaatsvector van punt A noteren we als a, enz.

• Dan u = ½ (b + c), enz.

• Dus 23𝒖𝒖 + 1

3𝒂𝒂 is gelijk

aan 13𝒂𝒂 + 1

3𝒃𝒃 + 1

3𝒄𝒄

• Symmetrisch in a, b, c • Dus … Q.E.D.

Page 27: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Schateiland

• Draai X naar Y om steen 1 en Y naar Z om steen 2.

• Beide 90°, dus samen (X → Z) is rotatie over 180°.

• Dat is puntspiegeling om punt halverwege X en Z.

• Welk punt? De schat! • Die hangt dus niet van

positie X af! • Dit kan ook met C of R2.

Y Z

X

Page 28: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

cos(α + β) en sin(α + β)

• AD = 1, dus AC = cos(β) en CD = sin(β)

• Dus BC = sin(α) ⋅ cos(β), AB = cos(α) ⋅ cos(β) CE = cos(α) ⋅ sin(β) DE = sin(α) ⋅ sin(β)

sin(α + β) = BC + CE cos(α + β) = FE – DE

Page 29: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

• Schrijf P = (0, p). • Druk cos2(ϕ) uit in de

variabele p en de constanten a en b.

• Differentieer naar p om p met minimale cos2(ϕ) te vinden:

• 2(a2 + p2)⋅(b2 + p2) = = (ab + p2)⋅(a2 + b2 +2p2),

• dus … p2 = ab.

Page 30: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

• Oplossing: p = √(ab) • Opmerkingen/controles: symmetrisch in a, b en √(afstand⋅afstand) =

afstand Speciale (limiet)gevallen?

• Meetkundige interpretatie of constructie van de oplossing?

Page 31: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

• Teken de cirkelboog van alle punten met dezelfde kijkhoek: door A, B, P.

• Rakende cirkel geeft grootste kijkhoek in P.

• De ‘hoogte’ p = MN van die cirkel is √(ab) : zie volgende dia.

Page 32: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Rugbyprobleem

• Rugbyprobleem = Stelling Constante (kijk)hoek + Pythagoras

• Synthetische terugblik, maar gevonden door analyse (differentiëren) en vectoren (inproduct) en algebra.

• Samenhangende, niet-dogmatische wiskunde!

Page 33: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Huiswerk

Leid de formule voor de afstand van P = (p, q) tot de lijn y = ax + b af met zoveel mogelijk verschillende technieken.

Page 34: Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 . Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde . Complexe Getallen

Analytische Meetkunde

Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017

Jeroen Spandaw ([email protected])