Talen
Pages
Wettelijk
Afgeleiden en integralen
Welkom bij de online les afgeleiden en integralen. We beginnen om 9:00 u. stipt met de les.
Enkele praktische zaken:
β’ Om het systeem niet te overbelasten graag je microfoon en camera uitzetten.
β’ Deze les zal worden opgenomen, maar laat dit je niet afschrikken om een vraag te stellen.
β’ Vragen kan je best in de chatruimte zetten. Aan het einde van de les krijg je ook de
mogelijkheid om mondeling vragen te stellen.
β’ Hou je smartphone alvast bij de hand voor een mentimeter.
Organisatie lessen:
β’ Online lessenreeks (planning zie google agenda BLC1)
β’ Alles staat in de cursus maar vaak veel te moeilijk, daarom deze aanvullende presentatie. Jullie krijgen op het einde van de reeks een goed overzicht wat je wel en niet moet kennen.
β’ Op het einde van de les zal ook de gelegenheid geboden worden tot vragen
β’ Permanentie (zie agenda BLC)
Oefeningen:
β’ Oefeningen en theorie lopen door elkaar.
β’ Voorbeeldoefeningen samen in de les + zelfstandig verwerken van opgaven.
β’ Discussieforum voor de oefeningen (Vaak sneller antwoord dan per mail!!)
Afspraken dOLOD afgeleiden en integralen
2
Studiemateriaal
β’ Cursus zal online (op papier) aangekocht kunnen worden?
β’ Canvas
Cursus online (incl oefeningen en formularium)
Module veel gestelde vragen!
Opnames van de lessen
Aanvullende (deze) presentatie
β’ Gebruik van grafisch rekenmachine (GRM): TI-84 plus
Afspraken dOLOD afgeleiden en integralen
3
β’ Examen samen met statistiek (zie aankondiging Canvas)
β’ Uitgebreid formularium (zie achteraan cursus)
β’ Nadruk op kunnen toepassen van theorie examen = groot deel oefeningen
β’ Oefeningen zijn gelijkaardig aan die behandeld in de les
β’ Puntenverdeling van de vragen ongeveer volgens lestijd
β’ RM TI84 Plus mag / moet gebruikt worden
Afspraken dOLOD afgeleiden en integralen
4
Afspraken dOLOD afgeleiden en integralen
5
β’ Wiskunde BLC 1 is een sOLOD (samengesteld OpLeidingsOnderDeel) van 5 studiepunten en bestaat
uit drie deelopleidingsonderdelen (dOLODs):
β’ Functies BLC 1 3 studiepunten - gewicht 2,5
β’ Statistiek BLC 1 2 studiepunten - gewicht 2,5
β’ Afgeleiden en integralen BLC 1 1 studiepunt - gewicht 1,0
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
6
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
7
We beginnen met een voorbeeld van een toepassing van afgeleidenβ¦.
In een labo wordt een bacterie opgekweekt. Regelmatig wordt het aantal bacteriΓ«n geteld.
Van deze tellingen wordt er een grafiek opgemaakt die het aantal bacteriΓ«n weergeeft in functie van de tijd.
Uit onderzoek blijkt dat deze functie goed benaderd wordt door de formule:
ππ(π‘π‘) = 10000 οΏ½ 1 + π‘π‘2
Met P(t) de populatiegrootte of het aantal bacteriΓ«n op tijdstip t
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
8
Kunnen we uit deze grafiek iets te weten komen over:
β’ de gemiddelde groeisnelheid van deze bacteriΓ«n na 2 uren in de incubator (dus in het interval t=[0,2])
β’ de ogenblikkelijke groeisnelheid van deze bacteriΓ«n na 2 uren (dus op het tijdstip t=2)
(cfr. mechanica voor snelheid, gemiddelde snelheid,β¦ en cursus pg 13 e.v. )
ππ(π‘π‘) = 10000 οΏ½ 1 + π‘π‘2
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
9
< π£π£ >=βππβπ‘π‘
=ππ(2)β ππ(0)π‘π‘2 β π‘π‘0
Wat is de gem. groeisnelheid in het interval t=0; t=2
ππ(2) = 10000 οΏ½ 1 + 22
< π£π£ >=50000 β 10000
2 β 0
< π£π£ > = 20000 πππππππ‘π‘ππππππππππ/π’π’π’π’ππ
In het interval t=0; t=2 kwamen er gemiddeld 20000 bacteriΓ«n per uur bij.
Let op! In het interval t0=; t=1 was de toename minder grootIn het interval t=1; t=2 was deze groter.
<v> is de richtingscoΓ«fficiΓ«nt van de rechte tussen P(0) en P(2)
P(t)
P(0)
P(2)
ππ(π‘π‘) = 10000 οΏ½ 1 + π‘π‘2
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
10
Nu zouden we graag de groeisnelheid kennen op het tijdstip t=2
We kunnen deze benaderen door het interval waarin we de gemiddelde snelheid berekenen als maar kleiner te maken.
Met andere woorden, we schuiven het punt P(0) langsheen de groene grafiek op richting P(2)
P(t)
P(0)
P(2)
ππ(π‘π‘) = 10000 οΏ½ 1 + π‘π‘2
P(1)
Afgeleiden β Wat ben ik er mee?
11
Op den duur zal het punt dat we naar boven schuiven zo dicht naar P(2) genaderd zijn dat het bovenop P(2) ligt.
De rechte die daar doorloopt is de raaklijn aan P(t).
Deze raaklijn heeft met P(t) slechts één punt gemeen.
De richtingscoΓ«fficiΓ«nt van deze raaklijn is de ogenblikkelijke groeisnelheid op t=2
Hoe kunnen we de rico van deze rechte nu berekenen?
- Grafisch => zeer onnauwkeurig- Wiskundig => via de afgeleide van P(t)
P(t)
P(0)
P(2)
ππ(π‘π‘) = 10000 οΏ½ 1 + π‘π‘2
P(1)
Afgeleiden β Wat is een afgeleide van een functie?
12
Hoe zit dat βnaderen van 2 puntenβ nu wiskundig?Stel we vertrekken van een rechte door punten A en B en we willen de afgeleide in punt B kennen
CoΓΆrdinaten punt A: (x+h ; f(x+h))CoΓΆrdinaten punt B= (x ; f(x))
De rico zou dan zijn:
Wanneer we nu het punt A oneindig dicht laten komenbij punt B dan zal de blauwe rechte op den duur deRaaklijn worden in het punt B
Punt A oneindig dicht brengen naar punt B betekent dath naar 0 zal naderen. β β 0
In wiskundige symbolen schrijven we:
B
x x+h
h
f(x)
f(x+ h) Aππ =
ππ π₯π₯ + β β ππ(π₯π₯)(π₯π₯ + β) β π₯π₯
limββ0
ππ π₯π₯ + β β ππ(π₯π₯)(π₯π₯ + β) β π₯π₯
Afgeleiden β Wat is een afgeleide van een functie?
13
B
h
A
limββ0
ππ π₯π₯ + β β ππ(π₯π₯)(π₯π₯ + β) β π₯π₯
= limπ₯π₯2βπ₯π₯1
π¦π¦1 β π¦π¦2π₯π₯1 β π₯π₯2
π₯π₯1 π₯π₯2
π¦π¦1
π¦π¦2
limβπ₯π₯ β 0
βππβπ₯π₯ = lim
βπ₯π₯ β 0
βπ¦π¦βπ₯π₯Anders geschreven:
Notatie van de afgeleide:
limββ0
ππ π₯π₯ + β β ππ(π₯π₯)(π₯π₯ + β) β π₯π₯ = π·π·ππ π₯π₯ = ππβ² π₯π₯ = π¦π¦β² = π·π·π¦π¦ =
ππππ(π₯π₯)πππ₯π₯
= πππππππ₯π₯ π₯π₯1
= πππππππ₯π₯ π₯π₯1
Meest gebruikte notatie: = ππβ² π₯π₯ = π¦π¦β²
Afgeleiden β Wat is een afgeleide van een functie?
14
Nemen we nu een heel eenvoudige functie nl. de parabool:
π¦π¦ = π₯π₯2
Je kan in willekeurig punt op die parabool een raaklijn tekenen
π¦π¦ = π₯π₯21
2
32: Raaklijn in punt P2(-1,1)
1: Raaklijn in punt P1(2,4)
3: Raaklijn in punt P3(0,0)
Afgeleiden β Wat is een afgeleide van een functie?
15
Punt P1(2,4) rico raaklijn = +4 Merk op: 2.x = 2.2 = 4
Punt P2(-1,1) : rico raaklijn = β2 Merk op: 2.x = 2.(-1) = -2
Punt P3(0,0) : rico raaklijn = 0 Merk op: 2.x = 2.0 = 0
β¦
β’ In het algemeen blijkt: de rico van de raaklijn aan de grafiek in punt P(x,y) is 2x
De afgeleide functie van de functie ππ π₯π₯ = π₯π₯2 is y = 2x .
De afgeleide van de functie ππ π₯π₯ = π₯π₯2 in x = 2 is 4.
β’ De afgeleide van een functie in een punt = de waarde van de richtingscoΓ«fficiΓ«nt van de
raaklijn aan de grafiek van die functie in dat punt.
β’ De afgeleide functie geeft voor elke x-waarde de afgeleide in dat punt.
Afgeleiden β Wat is een afgeleide van een functie?
16
Keren we nu terug naar ons eerder voorbeeld:
D
C
Afgeleiden β Betekenis van een afgeleide
18
ππ π₯π₯ is stijgendvoor 0 < x < 4
Afgeleide = maat voor verandering = maat voor
βafhankelijkheidβ van x
Afgeleide > 0 raaklijn = stijgende rechte
functie is stijgend
Dus: positieve verandering (toename). Als x toeneemt,
dan neemt y ook toe.
Afgeleiden β Betekenis van een afgeleide
19
Afgeleide = maat voor verandering = maat voor
βafhankelijkheidβ van x
Afgeleide < 0 raaklijn = dalende rechte
functie is dalend
Dus: negatieve verandering (afname). Als x toeneemt, dan
neemt y af.
ππ π₯π₯ is dalend voor x < 0 of x > 4
Afgeleiden β Betekenis van een afgeleide
20
Afgeleide = maat voor verandering = maat voor
βafhankelijkheidβ van x
Afgeleide = 0 raaklijn = horizontale rechte
minimum, maximum of
zadelpunt
Dus: geen verandering. Als x toeneemt, verandert y niet.
Zie voorbeeld slide 16
Afgeleiden β Betekenis van een afgeleide
21
β’ Meer wiskundig verwoord:
β’ ππβ² π₯π₯1 > 0 βΉ ππ π₯π₯ is stijgend in π₯π₯1β’ ππβ² π₯π₯1 < 0 βΉ ππ π₯π₯ is dalend in π₯π₯1β’ Voorbeeld: ππ π₯π₯ = β0,1π₯π₯3 + 0,6π₯π₯2
ππ π₯π₯ is stijgend voor 0 < x < 4 ππ π₯π₯ is dalend
voor x < 0 of x > 4
Afgeleiden β Betekenis van een afgeleide
22
1) ππ(π₯π₯) = π₯π₯2 2) ππ π₯π₯ = βπ₯π₯2 3) ππ π₯π₯ = π₯π₯3
x 0
ππβ²(π₯π₯) - 0 +
ππ(π₯π₯) β min β
x 0
ππβ²(π₯π₯) + 0 -
ππ(π₯π₯) β max β
x 0
ππβ²(π₯π₯) + 0 +
ππ(π₯π₯) β zadelpunt β
rico = 0minimum
rico = 0 maximum zadelpunt
rico = 0
Afgeleiden β Voorbeeld
23
Afgeleiden β Voorbeeld
24
Afgeleiden β Voorbeeld
25
Afgeleiden β Voorbeeld
26
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
27
Als we het functievoorschrift van een grafiek kennen, hoe kunnen we dan de afgeleide
berekenen?
Met andere woorden, hoe vinden we de grafiek die voor elke x van de functie, die rico
van de raaklijn in dat punt x weergeeft?
Rekenregels! (zie ook formularium!!!)
X=0
Rico raaklijn x=0
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
28
β’ Constante functie: f(x) = C f β(x) = 0
Bij een constante functie verandert de functiewaarde inderdaad niet als x verandert.
f β(x) = 0
f(x) = 5
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
29
β’ Machtsfuncties van x: f(x) = π₯π₯ππ f β(x) = ππ. π₯π₯ππβ1.
ππ(π₯π₯) = π₯π₯3
ππβ²(π₯π₯) = 3π₯π₯2
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
30
β’ Machtsfuncties van x: f(x) = π₯π₯ππ f β(x) = ππ. π₯π₯ππβ1.
β’ Bijv. f(x) = π₯π₯2 f β(x) = 2. π₯π₯2β1 = 2π₯π₯
β’ Bijv. f(x) = π₯π₯3 f β(x) = 3. π₯π₯3β1 = 3π₯π₯2
β’ Bijv. f(x) = 1π₯π₯
= π₯π₯β1 f β(x) = β1 . π₯π₯ β1β1 = β 1π₯π₯2
β’ Bijv. f(x) = π₯π₯ = π₯π₯12 f β(x) = 1
2. π₯π₯
12β1 = 1
2. π₯π₯ β12 = 1
2 π₯π₯
De voorgaande formules zijn bijzondere gevallen van deze formule
β’ f(x) = π₯π₯ = π₯π₯1 f β(x) = 1. π₯π₯ 1β1 = 1. π₯π₯0 = 1.1 = 1
β’ f(x) = 1= π₯π₯0 f β(x) = 0. π₯π₯ 0β1 = 0. π₯π₯β1 = 0
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
31
β’ ExponentiΓ«le functie met grondtal e : f(x) = πππ₯π₯ f β(x) = πππ₯π₯
De functie πππ₯π₯ heeft dus zichzelf als afgeleide. Deze unieke eigenschap is in essentie
de reden waarom men voor exponentiΓ«le functies het grondtal e verkiest.
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
32
β’ ExponentiΓ«le functies met andere grondtallen: f(x) = πππ₯π₯ f β(x) = πππ₯π₯. ln ππ
Bijv.: f(x) = 2π₯π₯ f β(x) = 2π₯π₯. ln 2
In het bijzondere geval dat het grondtal e is, vind je de vorige formule terug:
f(x) = πππ₯π₯ f β(x) = πππ₯π₯. ln ππ = πππ₯π₯. 1 = πππ₯π₯f(x) = 2π₯π₯
f β(x) = 2π₯π₯ . ln 2
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
33
β’ Logaritmische functie met grondtal e : f(x) = ln π₯π₯ f β(x) = 1π₯π₯
f(x) = ln π₯π₯
f β(x) = 1π₯π₯
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
34
β’ Logaritmische functies met andere grondtallen: f(x) = logππ π₯π₯ f β(x) = 1π₯π₯.ln ππ
Bijv.: f(x) = log2 π₯π₯ f β(x) = 1π₯π₯.ln 2
In het bijzondere geval dat het grondtal e is, vind je de vorige formule terug:
f(x) = logππ π₯π₯ = ln π₯π₯ f β(x) = 1π₯π₯.ln ππ
= 1π₯π₯.1
= 1π₯π₯
f(x) = log2 π₯π₯
f β(x) = 1π₯π₯.ln 2
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
35
β’ De sinus- en cosinusfuncties : f(x) = sin π₯π₯ f β(x) = cos π₯π₯
f(x) = cos π₯π₯ f β(x) = β sin π₯π₯
Dit kan je kwalitatief (intuΓ―tief) begrijpen op basis van de grafieken:
Afgeleiden β Basisregels voor afgeleiden
36
β’ Somregel: ππ Β± ππ β² = ππβ² Β± ππβ²
Bijv.: π₯π₯ + π₯π₯2 β² = π₯π₯ β² + π₯π₯2 β² = 1 + 2π₯π₯
β’ Factorregel: ππ.ππ β² = ππ. ππβ² ( ππ = constante factor )
Bijv.: 3π₯π₯2 β² = 3. π₯π₯2 β² = 3.2π₯π₯ = 6π₯π₯
β’ Productregel: ππ.ππ β² = ππβ².ππ + ππ.ππβ²
Bijv.: π₯π₯2. sin(π₯π₯) β² = π₯π₯2 β². sin π₯π₯ + π₯π₯2. sin(π₯π₯) β²
= 2π₯π₯. sin π₯π₯ + π₯π₯2. cos π₯π₯
β’ QuotiΓ«ntregel: ππππ
β²= ππβ².ππβππ.ππβ²
ππ2
Bijv.: π₯π₯2
π₯π₯2+1
β²= π₯π₯2
β². π₯π₯2+1 βπ₯π₯2. π₯π₯2+1
β²
π₯π₯2+1 2
= 2π₯π₯. π₯π₯2+1 βπ₯π₯2.2π₯π₯π₯π₯2+1 2 = 2π₯π₯
π₯π₯2+1 2
Afgeleiden β Afgeleiden van basisfuncties
37
ππ π₯π₯ = 3π₯π₯3 β 4π₯π₯2 + 3
Voor een veeltermfunctie: 1. Vermenigvuldig elke coΓ«fficiΓ«nt van x met de macht van x
2. Trek van elke exponent 1 af
3. De afgeleide functie wordt dan:
4. De afgeleide in het punt (0,3) kan je dan vinden door de x in te vullen in ππβ² π₯π₯
3 οΏ½ 3π₯π₯3 β 2 οΏ½ 4π₯π₯2 + 0 οΏ½ 3
3 οΏ½ 3π₯π₯3β1 β 2 οΏ½ 4π₯π₯2β1 + 0 οΏ½ 3
ππβ² π₯π₯ = 9π₯π₯2 β 8π₯π₯
Met deze functie fβ(x) kunnen we dus voor iedere x van f(x) de rico van de raaklijn gaan uitrekenen.
ππβ² π₯π₯ = 9.02 β 8.0 = 0
Afgeleiden β Basisregels voor afgeleiden
38
β’ Kettingregel: ππ ππ π₯π₯β²
= ππβ² ππ(π₯π₯) .ππβ² π₯π₯
Alternatieve notatieπππππππ₯π₯
= ππππππππ
. πππππππ₯π₯
β’ Voorbeeld 1: sin π₯π₯2 β² = ?
ππ π₯π₯ = sin π₯π₯2 ππ = π₯π₯2 ππ ππ = sin ππ
πππππππ₯π₯
= ππππππππ
. πππππππ₯π₯
= cos ππ .2π₯π₯ = cos π₯π₯2 .2π₯π₯
Afgeleiden β Basisregels voor afgeleiden
39
Voorbeeld 2: (sin π₯π₯ )2 β² = ?
a) 2. π π ππππ π₯π₯ . π π ππππ π₯π₯
b) 2. π π ππππ π₯π₯ . πππππ π π₯π₯
c) 2. πππππ π π₯π₯ . cos π₯π₯
Afgeleiden β Basisregels voor afgeleiden
41
Voorbeeld 3: ln(π₯π₯)3π₯π₯2+π₯π₯
β²= ?
a) 3π₯π₯+1β 6π₯π₯+1 .ln(π₯π₯)3π₯π₯2+π₯π₯ 2
b) 3π₯π₯+1β 6π₯π₯+1 .ln(π₯π₯)3π₯π₯2+π₯π₯
c) β 6π₯π₯+1 .ln(π₯π₯)3π₯π₯2+π₯π₯ 2
Afgeleiden β Basisregels voor afgeleiden
43
Voorbeeld 4: β23 π₯π₯2
π₯π₯3
β²= ?
a) 1433 π₯π₯10
b) 733 π₯π₯10
c) 143 π₯π₯10
Top Related