Download - A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Transcript
Page 1: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and

Portfolio MortalityHok Kwan Kan

Primary supervisor: dr. Katrien AntonioSecondary supervisor: Prof.dr.ir. Michel Vellekoop

Page 2: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Introductie

Sterftemodellen• Schatten van de huidige bevolkingssterfte• Voorspellen van de toekomstige bevolkingssterfte

Pensioenfondsen, verzekeraars• Pricing• Reservering

Portefeuille sterfte bevolkingssterfte• Historische portefeuille data te beperkt voor

meeste sterftemodellen

Page 3: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Doelstellingen van de scriptie

Eerste deel:• Onderzoek naar de geschiktheid van het Lee-Carter

model in de Poisson-gamma setting (voor NL)• Vergelijking met het Lee-Carter model in de

Poisson setting Tweede deel:

• Ontwikkeling van een Bayesiaanse uitbreiding op het Lee-Carter model voor portefeuillesterfte

• Analyse m.b.v. AEGON portefeuilledata

Page 4: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Poisson Lee-Carter model

• : exposure op leeftijd x in jaar t • sterfte-intensiteit :• , en schatten met maximum likelihood

Impliciete beperking: Als data meer variantie bevat dan het model

voorspelt overdispersie

txtxtx meD ,,, Poisson~

txe ,

txxem tx ,

x x t

txtx DVarDE ,,

Page 5: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Poisson-gamma Lee-Carter model (1)

Onzekerheid in de Poisson parameter:

Zelfde verwachting als Poisson Lee-Carter model

• modelleert overdispersie• is de overdispersie parameter (leeftijdsonafh.)

txtxtx DEDEDVar ,2

,,

txtx DEDVar ,,

ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝒁ഥ~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝑚𝑥,𝑡𝒁ഥ൯𝒁ഥ~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎൫𝜑ത−1,𝜑ത−1൯

Page 6: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Poisson-gamma Lee-Carter model (2)

Leeftijdspecifieke overdispersie parameter :

Zelfde verwachting als Poisson Lee-Carter model txxtxtx DEDEDVar ,

2,, txtx DEDVar ,,

ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝑍ҧ𝒙~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑍ҧ𝒙൯𝑍ҧ𝒙~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝒙−1,𝜑ത𝒙−1ሻ

𝜑ത𝒙

Page 7: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Bron van de sterftedata

Nederlandse bevolkingssterfte Human Mortality Database

• http://www.mortality.org Jaren 1950 t/m 2009 Leeftijden 0 t/m 99

Page 8: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Parameter schattingen (man)

0 20 40 60 80 100

-10

-8-6

-4-2

Males: x

Age

x

Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)Poisson model

0 20 40 60 80 100

0.00

00.

010

0.02

00.

030

Males: x

Age

x

Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)Poisson model

Page 9: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Parameter schattingen (man)

1950 1970 1990 2010

020

4060

8010

0

Males: t

Year

t

Poisson modelPoisson-gamma model (general)Poisson-gamma model (age-specific)

0 20 40 60 80 100

0.00

0.05

0.10

0.15

Males: ^

x

Age

^ x

Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)

Page 10: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Quality of the fit (man)

Lee-Carter modellen:• Poisson• Poisson-gamma (leeftijdsonafh.)• Poisson-gamma (leeftijdsafh.)

Overdispersie test, zie Denuit et al. (2007)

Likelihood-Ratio-Test

Page 11: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Projectie bevolkingssterfte (man)

1960 1980 2000 2020 2040 2060

-9.5

-9.0

-8.5

-8.0

-7.5

-7.0

-6.5

Year(t)

Raw dataMean forecast (Poisson)95% confidence interval (Poisson)Mean forecast (Poisson-gamma)95% confidence interval (Poisson-gamma)

1960 1980 2000 2020 2040 2060

-5.5

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

Year(t)

Raw dataMean forecast (Poisson)95% confidence interval (Poisson)Mean forecast (Poisson-gamma)95% confidence interval (Poisson-gamma)

Leeftijd 25 Leeftijd 65

Page 12: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Portefeuillesterfte

Beperkte historische data van de portefeuille Veel gebruikte oplossing:

• Schat portefeuillesterfte via ervaringsfactor• Portefeuillesterfte = bevolkingssterfte * ervaringsfactor

Combinatie van externe data en eigen data Wiskundig formaliseren met Bayesiaanse statistiek

Page 13: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Bayesiaanse uitbreiding LC-model

Poisson-gamma Lee-Carter model schatten op bevolkingssterfte

is de geschatte bevolkingssterfte interpreteren als een ervaringsfactor

• heeft structuur zodanig dat• Voor bevolkingssterfte is dit gewenst

ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝑍ҧ𝑥~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝒎𝒙,𝒕𝒁ഥ𝒙൯𝑍ҧ𝑥~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝑥−1,𝜑ത𝑥−1ሻ

xZ

xZ

txm ,

1xZE

Page 14: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Bayesiaanse uitbreiding LC-model

Poisson-gamma Lee-Carter model toepassen op portefeuille

: geobserveerde dodenaantal, leeftijd x, jaar t is ervaringsfactor portefeuille

ቊ𝐷𝑥,𝑡𝒑𝒐𝒓𝒕|𝑍ҧ𝑥~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝒑𝒐𝒓𝒕𝑚𝑥,𝑡𝑍ҧ𝑥൯𝑍ҧ𝑥~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝑥−1,𝜑ത𝑥−1ሻ

porttxd ,

T

ttx

porttxx

T

t

porttxx

portTx

porttxx medGammaddZ ,,

1,

1,, , ~,...,|

portTx

porttxx ddZE ,, ,...,|

?~,...,| ,,portTx

porttxx ddZ

Page 15: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Eigenschappen

Gewogen gemiddelde van geobserveerde- en bevolkingservaringsfactor

Gewicht:

meet onverklaarbare heterogeniteit • Als , dan• Als , dan

𝐸 �𝑍ҧ𝑥 ห𝑑𝑥,0𝑝𝑜𝑟𝑡 ,…,𝑑𝑥,𝑇𝑝𝑜𝑟𝑡൧= 𝑓∙𝐸ሾ𝑍ҧ𝑥ሿ+ሺ1−𝑓ሻ σ 𝑑𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑇𝑡=0σ 𝑒𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑇𝑡=0

𝑓= 𝜑ത𝑥−1𝜑ത𝑥−1+σ 𝑒𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑇𝑡=0

x 0f0x 1f

x

Page 16: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

AEGON portefeuille data

Leven- en pensioen portefeuille van AEGON Jaren 2003 t/m 2009 Resultaat voor vrouwen:

25 45 65 90

1.705.141 974.875 793.8901 931.9494

0,9999988 0,9859078 1,040745 0,9617708

ES-P2 factors 0,5835 0,7611 0,9034 0,9394

𝑬 �𝒁ഥ𝒙𝒑𝒐𝒓𝒕ห𝒅𝒙,𝟎𝒑𝒐𝒓𝒕,…,𝒅𝒙,𝑻𝒑𝒐𝒓𝒕൧ 𝝋ഥ𝒙−𝟏

Page 17: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Projectie portefeuillesterfte (vrouw)

1960 1980 2000 2020 2040 2060

-10

.0-9

.5-9

.0-8

.5-8

.0-7

.5

lnm

25,t

Yeart

Portfolio log-mortality development for females of age 25

Mean forecast (country)95% confidence interval (country)Mean forecast (portfolio)95% confidence interval (portfolio)

1960 1980 2000 2020 2040 2060

-5.5

-5.0

-4.5

-4.0

lnm

65,t

Yeart

Portfolio log-mortality development for females of age 65

Mean forecast (country)95% confidence interval (country)Mean forecast (portfolio)95% confidence interval (portfolio)

Leeftijd 25 Leeftijd 65

Page 18: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Bijdragen & Conclusies

Eerste deel:• Poisson-gamma LC-model met leeftijdspecifieke

overdispersie parameters levert de beste fit Tweede deel:

• Een statistisch model voor ervaringssterfte Bayesiaanse statistiek Ideeën uit credibiliteitstheorie (schade actuariaat)

• Analyse op AEGON portefeuille data Portefeuillesterfte wijkt weinig af van bevolkingssterfte Lage heterogeniteit in de bevolkingssterfte

Page 19: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Verder onderzoek

Uitbreiding:• Multivariate verdeling van de

Alternatieven• Andere verdelingen, bv Beta-Binomial• Andere credibiliteitsmodellen

xZ

Page 20: A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality

Vragen

?