Download - 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figu- ren LJ2P1... · 13 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een straal van 2m. 14 Bereken de oppervlakte en de inhoud van

28 28

28 28

1 BALK EN KUBUS

lengtebreedte

hoogte

Figuur 1

In figuur 1 is een balk getekend. Bij een balk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken zijn rechthoekig.

De oppervlakte van een balk kunnen we berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Dus. oppervlakte = ×2 lengte × breedte + ×2 breedte × hoogte + ×2 lengte × hoogte.Of in formulevorm: A l b b h l h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2

De inhoud of het volume berekenen we als volgt:Volume = lengte × breedte × hoogte.Of in formulevorm: V l b h= ⋅ ⋅

zijdezijde

zijde

Figuur 2

4 Oppervlakte en inhoudvan ruimtelijke figu-ren

© ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

29 29

29 29

In figuur 2 zien we een kubus getekend, hierbij zijn alle zijden gelijk, dus lengte = breedte = hoogte. Zo’n zijde noemen we meestal ribbe.

De oppervlakte van een kubus kunnen we weer berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Omdat deze vlakken gelijke vier-kanten zijn, geldt voor de oppervlakte van een kubus:

Oppervlakte = ×6 zijde × zijde Of in formulevorm: A z z z= ⋅ ⋅ = ⋅6 6 2

Voor de inhoud van een kubus geldt: Volume = zijde × zijde × zijde Of in formulevorm: V z z z z= ⋅ ⋅ = 3

GegevenVoor een balk geldt: lengte = 2 m ; breedte = 3 m en hoogte = 25 dm .

GevraagdOppervlakte en inhoud

OplossingHoogte = =25 2 5dm m,A l b b h l hA

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒= × × + × × + ×

2 2 22 2 3 2 3 2 5 2 2m m m m, mm m m× =2 5 37 2,

V l b h V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =2 3 2 5 15 3m m m m,

Oefeningen

1 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een balk met de volgende afmetingen: l b= =3 3m, dm en h = 15 cm .

2 Bereken de oppervlakte en het volume van een kubus met een ribbe van 12 cm .

3 Van een balk is de oppervlakte 1090 2cm . De lengte is 13 cm en de hoogte is 2 1, dm . Bereken de breedte en het volume van de balk.

Vb. 1


Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 25

30 30

30 30

4 De inhoud van een balk is 533 52 3, cm . De breedte is 1 2, dm , terwijl de hoogte 5 7, cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze balk.

5 Een kubus heeft een inhoud van 1728 3cm . Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte.

6 De totale oppervlakte van een kubus is A = 726 2cm . Bereken de lengte van een zijde en de inhoud.

2 HET PRISMA EN DE PIRAMIDE

In figuur 3 is een driezijdig prisma getekend. Bij een prisma is de dwarsdoorsnede overal gelijk. Een prisma kan ook meer zijden hebben. Deze zijden kunnen recht-hoekig zijn, maar kunnen ook de vorm van een parallellogram hebben.

hoogte

dwarsdoorsnede

Figuur 3

De oppervlakte van een prisma kunnen we berekenen door de oppervlakte van alle zijden bij elkaar op te tellen. Of in formulevorm: A Azijde= Σ

De inhoud of het volume van een prisma berekenen we met: volume = oppervlakte dwarsdoorsnede × hoogte


26 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

31 31

31 31

De dwarsdoorsnede loopt evenwijdig aan het grondvlak, de oppervlakte van de dwarsdoorsnede kunnen we vervangen door de oppervlakte van het grondvlak, dus ook geldt: volume = oppervlakte grondvlak × hoogteOf in formulevorm: V A hgv= ⋅

In figuur 4 is een piramide getekend. Ook nu kunnen we een dwarsdoorsnede tekenen. Merk op dat deze naar boven toe steeds kleiner wordt.

dwarsdoorsnede

hoog

te

A BE

C

FE

F

D

T T

T1 T1

Figuur 4

De oppervlakte van een piramide berekenen we door de oppervlakten van de grensvlakken bij elkaar op te tellen. Voor de piramide in figuur 4 geldt dan: oppervlakte piramide = ×4 oppervlakte driehoek ABT + oppervlakte grondvlakOf in formulevorm: A z h z z h zz z= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +4 21

22 2 waarbij z = zijde grond-

vlak en hz = hoogte zijvlak.

Tip: om de hoogte van driehoek ABT te berekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras.

De inhoud of het volume van een piramide berekenen we met:

volume = ×13

oppervlakte × hoogte

Of in formulevorm: V z h= ⋅ ⋅13

2



32 32

32 32

GegevenVan de piramide uit figuur 4 is het grondvlak een vierkant met een zijde van 6 cm . De hoogte van de piramide is 7 cm .

Gevraagda. Bereken het volume.b. Bereken de totale oppervlakte.

Oplossing

a. V z h A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =13

13

6 7 842 2 3( cm) cm cm

b. We berekenen eerst de hoogte hz van !ABT met de stelling van Pythagoras.

h z2 2 23 7 58= + = ⇒

hz = =58 7 6, cmA z h zz= ⋅ ⋅ + ⇒2 2 A = × × + =2 6 7 6 6 127 22 2cm cm ( cm) cm, ,

GegevenHet prisma van figuur 3 heeft als grondvlak een driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 6 cm . De hoogte van het prisma is 18 cm .

GevraagdBereken het volume van het prisma.

OplossingV A h Vgv= ⋅ ⇒ = × × × =1

28 6 18 432 3cm cm cm cm

Oefeningen

7 De dwarsdoorsnede van figuur 3 is een gelijkbenige driehoek met gelijke recht-hoekzijden van 6 cm . De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 10 cm .

a Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede.

b Bereken de oppervlakte van het prisma.

c Bereken het volume van het prisma.

Vb. 2

Vb. 3



33 33

33 33

8 Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5 cm . De hoogte TT1 15= cm .

a Bereken de oppervlakte van de piramide.

b Bereken de inhoud van de piramide.

9 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De hoogte bedraagt 30 cm.

a Bereken de oppervlakte van de piramide.

b Bereken de inhoud van de piramide.

10 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De inhoud bedraagt 2000 3cm .

a Bereken de hoogte van de piramide.

b Bereken de oppervlakte van de piramide.

11 Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 6 cm en 7 cm . De inhoud is 126 3cm .

a Bereken de hoogte van het prisma.

b Bereken de oppervlakte van het prisma.



34 34

34 34

12 Het grondvlak van een recht regelmatig prisma heeft 6 zijden van elk 8 cm . De hoogte bedraagt 15 cm .

a Bereken de omtrek van het grondvlak.

b Bepaal de oppervlakte van het grondvlak.

c Bereken de totale oppervlakte van het prisma.

d Bereken het volume van het prisma.

3 DE BOL

De oppervlakte van een bol berekenen we met: oppervlakte bol = × ×4 π straal 2 Of in formulevorm: A r= ⋅ ⋅4 2π

Voor de inhoud of het volume van een geldt: volume bol = × ×43

π straal3

Of in formulevorm: V r= ⋅ ⋅43

3π

GegevenEen bol heeft een straal van 1 5, m .

GevraagdBereken de oppervlakte en de inhoud.

OplossingA r A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =4 4 1 5 28 32 2 2π π ( , ) ,m m

V r V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =43

43

1 5 14 13 3 3π π ( , ) ,m m

Vb. 4



35 35

35 35

Oefeningen

13 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een straal van 2 m .

14 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een middellijn van 6 cm .

15 Een bol heeft een oppervlakte van 100 2cm . a Bereken de straal van de bol.

b Bepaal de inhoud van de bol.

16 Een bol heeft een inhoud van 250 3cm . a Bereken de straal van de bol.

b Bereken de oppervlakte van deze bol.



36 36

36 36

4 DE CILINDER

Bij een cilinder zijn het grond- en bovenvlak cirkels. Zie figuur 5. De uitslag van de mantel is een rechthoek. Zie figuur 6.

dwarsdoorsnede

h

r

Figuur 5

mantel

2 × π × r

h

Figuur 5

Voor de oppervlakte van een cilinder geldt dan ook: oppervlakte cilinder = ×2 oppervlakte cirkel + oppervlakte mantel

In formulevorm: A r r h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 22π π

De inhoud of het volume van een cilinder berekenen we als volgt:volume cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte

In formulevorm: V r h= ⋅ ⋅π 2



37 37

37 37

GegevenEen cilinder heeft een diameter van 18 cm en een hoogte van 22 cm .

GevraagdBereken de oppervlakte.Bereken de inhoud.

Oplossingr d r= ⋅ ⇒ = × =1

212

18 9cm cm A h A= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × × =2 2 2 9 2 9 22 17532 2π π π πr r cm cm cm( ) ccm2

A h A= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × × =2 2 2 9 2 9 22 17532 2π π π πr r cm cm cm( ) ccm2

V r h V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =π π2 2 39 22 5598 3( ) ,cm cm cm

Oefeningen

17 Een conservenblik heeft een diameter van 10 cm en is 12 7, cm hoog. a Bereken de oppervlakte van het blik.

b Bereken de inhoud van het blik.

18 Een ander blik heeft dezelfde inhoud van 750 3cm en is 15 cm hoog. a Bereken de straal van de bodem.

b Bereken de oppervlakte.

19 Een cilinder heeft een inhoud van 80 3cm en een diameter van 8 cm . a Bereken de hoogte.

b Bereken de totale oppervlakte.

Vb. 5



38 38

38 38

20 De oppervlakte van de mantel van een cilinder is 30 2cm . De straal is 4 cm . a Bereken de hoogte van de cilinder.

b Bereken de inhoud van de cilinder.

5 DE KEGEL

De kegel heeft als grondvlak een cirkel. De hoogte h is de afstand tussen de top T en het middelpunt van het grondvlak, rg is de lengte van de straal van het grond-vlak. Zie figuur 7.

h

T

A B

rg

Figuur 7

De uitslag van de mantel is een cirkelsector. Zie figuur 8. De straal van de cirkel-sector is r TAm = .

T

α

A B

rm

Figuur 8



39 39

39 39

Voor de oppervlakte van een kegel geldt: oppervlakte kegel = oppervlakte grondvlak + oppervlakte cirkelsector

Of in formulevorm: A r rg m= ⋅ + ⋅ ⋅π α π2 2

360. Dit is te herleiden tot:

A r r rg g m= × + × ×π π2

De inhoud of het volume van een cilinder berekenen we als volgt:

inhoud kegel = ×13

oppervlakte grondvlak × hoogte

In formulevorm: V r hg= ⋅ ⋅ ⋅13

2π

GegevenHet grondvlak van de kegel van figuur 8 heeft een straal van 5 cm . De hoogte van de kegel is 8 cm .

GevraagdBereken de oppervlakte.Bereken de inhoud.

OplossingOm rm uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras.

r h rm g2 2 2= + ⇒

rm2 2 28 5 89= + = ⇒

rm = =89 9 43, cm

A r r r Ag g m= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = × + × × =π π π π2 25 5 9 43 226 4( ) , ,cm cm cm cm22

V r h Vg= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × × =13

13

5 8 209 42 2 3π π ( ) ,cm cm cm

Oefeningen

21 Een kerktoren heeft een diameter van 7 m . De spits is 5 m hoog. a Bereken de oppervlakte van de spits.

b Bereken de inhoud van de spits.

Vb. 6



40 40

40 40

22 Het grondvlak van een kegel heeft een straal van 8 cm . De hoogte is 10 cm . a Bereken de oppervlakte van deze kegel.

b Bereken de inhoud van deze kegel.

23 Een kegel heeft een inhoud van 1000 3cm . De hoogte is 12 cm . a Bereken de straal van het grondvlak van deze kegel.

b Bereken het oppervlak van deze kegel.

24 Een kegel heeft een inhoud van 480 3cm . De straal van het grondvlak is 7 cm . a Bereken de hoogte van deze kegel.

b Bereken het oppervlak van deze kegel.



41 41

41 41

Antwoorden

1 A = 279 dm2 ; V = 135 3dm

2 A = 864 2cm ; V = 1728 3cm

3 b = 8 cm ; V = 2184 3cm

4 l = 7 8, cm ; A = 412 92 2, cm

5 z = 12 cm ; A = 864 2cm

6 z = 11 cm ; V = 1331 3cm

7a 8 5, cm b 241 2cm c 180 3cm

8a 177 2cm b 125 3cm

9a 2250 2cm b 6250 3cm

10a 9 6, cm b 1415 2cm

11a 6 cm b 175 2 2, cm

12a 48 cm b 165 6 2, cm c 1051 2 2, cm d 2484 3cm

13 50 3 2, m ; 35 5 3, m

14 113 1 2, cm ; 113 1 3, cm

15a 2 8, cm b 92 0 3, cm

16a 3 9, cm b 191 1 2, cm

17a 556 1 2, cm b 997 5 3, cm



42 42

42 42

18a 4 0, cm b 477 5 2, cm

19a 1 6, cm b 140 7 2, cm

20a 4 0, cm b 201 1 3, cm

21a 105 6 2, m b 61 4 3, m

22a 523 0 2, cm b 670 0 2, cm

23a 8 9, cm b 665 4 2, cm

24a 9 4, cm b 411 4 2, cm

