Hoofdstuk 2

Addendum: de z-transformatie

De Laplace-transformatie is bij uitstek geschikt voor het analyseren van tijdcontinue signalen en tijd-continue systemen. In dit hoofdstuk behandelen we een transformatie die een belangrijke rol speeltbij de analyse van tijddiscrete signalen en systemen. Dit is de zogenaamde z-transformatie. De z-transformatie voegt aan een tijddiscreet signaal f [n] een functie F z toe, die gedefinieerd is in hetcomplexe z-vlak als som van de tweezijdige reeks:

F

z

n

f [n]z n

De behandeling van de z-transformatie zal dezelfde weg volgen als de behandeling van elk anderetransformatie in deze cursus. Eerst de definitie met daarbij aandacht voor convergentieproblemen (Para-graaf 2.1). Vervolgens een aantal belangrijke eigenschappen of rekenregels (Paragraaf 2.2). In Para-graaf 2.4 zal het convolutieprodukt worden behandeld dat bij de z-transformatie past. De eenzijdige z-getransformeerde, een analogon van de eenzijdige Laplace-transformatie voor tijddiscrete signalen ishet onderwerp van Paragraaf 2.5. In Paragraaf 2.6 ten slotte wordt enige aandacht besteed aan toepassin-gen van de z-transformatie bij lineaire tijdinvariante tijddiscrete systemen. Net als bij de Laplace-transformatie zullen we overigens geen Hoofdstelling van de z- transformatie formuleren. De reden isdat we voor een correcte behandeling van een dergelijke stelling, waarin dan aangegeven moet wordenhoe een signaal weer uit zijn z-getransformeerde kan worden teruggevonden, gebruik zouden moetenmaken van de integratietheorie van functies gedefinieerd in het complexe vlak. Deze theorie valt buitenhet bestek van deze cursus. Reconstructie van een signaal uit zijn gegeven z-getransformeerde zalvrijwel uitsluitend beperkt blijven tot in de praktijk veel voorkomende situaties, waarin de z-getrans-formeerde gegeven is als een rationale functie van z. In Paragraaf 2.3 zullen we zien hoe de techniekvan breuksplitsen ons het oorspronkelijk signaal zal opleveren.In deze korte inleiding willen we al vast twee tijddiscrete signalen invoeren, die men vaak in de sig-naaltheorie voor discrete signalen kan tegenkomen.

De discrete delta-functie of discrete eenheidspuls [n] wordt gedefinieerd door

[n] 0

n 0 1

n 0

De discrete stapfunctie [n] wordt gedefinieerd door

[n] 1

n 0 0 n 0

Merk op dat [0] 1.

1

2 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

2.1 Definitie en convergentie van de z-transformatie

Met behulp van de delta-trein

n

t nT is het mogelijk om op een formele manier een bemon-stering f [n] f

nT van een tijdcontinu signaal f

t met bemonsteringsperiode T te interpreterenals een tijdcontinu signaal. Door vermenigvuldiging van f

t met de delta-trein ontstaat namelijk hetsignaal:

f

t

n

t nT

n

f

t

t nT

n

f [n]

t nT

We hebben nu een zogenaamde trein van delta-pulsen verkregen, waarbij van f

t slechts de waar-den f [n] van de bemonstering zijn gebruikt. Op deze manier kan dus van een tijddiscreet signaal eentijdcontinu signaal worden gemaakt. Berekening van het frequentiespectrum levert:

F

!

n

f [n] "$#

t nT %

n

f [n]e jn & T

Het frequentiespectrum is blijkbaar een Fourier-reeks in het frequentiedomein met periode 2 ')( T , dusmet grondfrequentie T . Stellen we in bovenstaande reeks z e j & T , dan staat er

n

f [n]z n , die wevervolgens voor algemene complexe z beschouwen. Het is duidelijk dat deze reeks bij de bestuderingvan spectra van tijddiscrete signalen een belangrijke rol speelt. Wij zullen overigens frequentiespectravan tijddiscrete signalen in deze cursus niet behandelen.Definitie 2.1.1. Zij f [n] een tijddiscreetsignaal. De z-getransformeerde F

z van f [n] wordt gegevendoor

F

z

n

f [n]z n *

voor die waarden van z waarvoor de reeks convergeert.

We zien dat de z-getransformeerde opgevat kan worden als een Laurent-reeks, d.w.z. een tweezijdigemachtreeks, waarin niet alleen positieve gehele machten van z maar ook negatieve gehele machten vanz voorkomen. Voor deze reeksen gelden soortgelijke convergentie-eigenschappen als voor machtreek-sen. Om deze eigenschappen te vinden, gaan we de z-getransformeerde splitsen in twee delen, namelijk,het zogenaamde causale deel gegeven door de reeks

n 0f [n]z n en het anti-causale deel

1

n

f [n]z n .Merk op dat het anti-causale deel door de omzetting

1

n

f [n]z n

n 1f [ n]zn

overgaat in een machtreeks in z met coefficienten f [ n]. Convergentie van de z-getransformeerdebetekent dat de partiele sommen

N

n Mf [n]z n

moeten convergeren voor M +-, en N +-, , onafhankelijk van elkaar. We beschouwen dus geenhoofdwaarde-som zoals bij Fourier-reeksen in Hoofdstuk 2 het geval was. Het gevolg is dat de z-getransformeerde dan en slechts dan convergeert als zowel het causale deel als het anti-causale deelconvergeren. We geven de som van het causale deel aan met F.

z en van het anti-causale deel metF

z . Dus in geval van convergentie geldt:

F

z

n

f [n]z n F.

z / F

z (2.1.1)

2.1. Definitie en convergentie van de z-transformatie 3

Het is dus belangrijk om na te gaan voor welke waarden van z beide delen convergeren. Het anti-causale deel is een machtreeks in z. Stellen we 021 1 3 z, dan zien we dat het causale deel een machtreeksis in 0 . Complexe machtreeksen 4

5

n 6 0anzn hebben net als reele machtreeksen een convergentiestraal R,

waarvoor een van de drie volgende situaties geldt:

i) Als R 1 0, dan convergeert de reeks alleen voor z 1 0.ii) Als R 187 , dan convergeert de reeks absoluut voor alle complexe z.iii) Als R 9 0, dan convergeert de reeks absoluut voor : z :: z : ; R2 (zie figuur). Voor : z : 9 R2 convergeert het causale deel en divergeert hetanti-causale deel en dus is de z-getransformeerde divergent. Voor : z : ; R1 convergeert het anti-causaledeel en divergeert het causale deel en dus is eveneens de z-getransformeerde divergent.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

A B

C D

E F G

H I J K L M

N O P

Figuur 2.1: Ringvormig gebied R1 Q : z : Q R2

We zullen de ring R1 ;R: z :7 , dan is het convergen-tiegebied het buitengebied van de cirkel met straal R1.

In de praktijk hebben we veelal te maken met signalen die op een zeker moment zijn ingeschakeld.Deze signalen noemen we signalen met een eindig inschakelpunt. Voor die signalen geldt dat f [n] 1 0voor alle n ; N en zekere gehele N. Het anti-causale deel bestaat dan uit slechts eindig veel termenongelijk nul en dus convergeert dit deel voor alle z. Het convergentiegebied is dan het buitengebiedvan een cirkel in het complexe vlak (zie onderstaand figuur). Voorbeelden hiervan zijn natuurlijk decausale signalen.De transformatie die aan f [n] de z-getransformeerde F T z U toevoegt, wordt de z-transformatie ge-noemd: notatie VW f [n] XY1 F T z U . Als V het convergentiegebied is, dan geven we de z-getransformeerdeook wel aan met het transformatiepaar:

f [n] Z F T z U[T z \ V U ]

4 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

We noemen F ` z a de beschrijving van het signaal f [n] in het zogenaamde z-domein. Het z-domein ishet complexe vlak.

Voorbeeld 2.1.1. Laat f [n] het signaal zijn gegeven door:

f [n] bdce f

1 g n ` n h 0 a i0 ` n b 0 a i2n ` n j 0 a k

Het anti-causale deel is de machtreeks l1m

n n

lq a q . Het convergentiegebied is dus het buitenge-bied van de cirkel in het complexe vlak met straal q a q . De som van deze meetkundige reeks is gelijkaan z g` z { a a . We hebben nu gevonden dat

an u [n] | zz { a

` q z qhyq a q a k (2.1.2)t

Voorbeeld 2.1.3. Zij f [n] het discrete signaal gedefinieerd door:

f [n] by} 0 ` n r 0 a i{ an ` n j 0 a k

Hierin is a v Cw

2.2. Eigenschappen van de z-transformatie 5

Dit is weer een meetkundige reeks met rede z a, die convergeert voor z

6 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

5. Schaling in het z-domein: an f [n] F z a a 0

n

an f [n]z n

n

f [n] z a n

6. Differentieren in het z-domein: n f [n] zF z

n

n f [n]z n

n

f [n]z z n z

n

f [n] z n zF z

Bij het laatste = teken hebben we sommatie en differentiatie verwisseld om tot het uiteindelijkeresultaat te komen. Men kan aantonen dat deze verwisseling in het convergentiegebied van dez-getransformeerde is toegestaan. Dit bewijzen we verder niet.

Voorbeeld 2.2.1.

a) Een tijddiscreet signaal f [n] kan met behulp van de discrete eenheidspuls beschreven worden doorde som:

f [n]

k f [k] [n k]

Convergentie van bovenstaande reeks is natuurlijk geen probleem. Immers bij gegeven n zijn van-wege [n k] alle termen gelijk aan nul, behalve de tern met k n. Deze is gelijk aan f [n] [0] f [n]. Nemen we nu van het linkerlid en het rechterlid de z-getransformeerde en passen we deverschuivingsregel toe dan staat er F z

k f [k]z k . We krijgen zo de z-getransformeerde

van f [n] weer terug.b) De z-getransformeerde van de discrete stapfunctie [n] is gelijk aan z z 1 met convergentiege-

bied z 1 (zie Voorbeeld 2.1.2 met a 1). Uit de differentiatieregel volgt:

n [n] z ddzz

z 1

z

z 1 2

Toepassing van de verschuivingsregel geeft n 1 [n 1] 1 z 1 2 Nogmaals toepassenvan de differentiatieregel geeft: n n 1 [n 1] 2z z 1 3 . Merk op dat n n 1 [n 1] n n 1 [n]. Dus n n 1 [n] 2z z 1 3. We kunnen dit proces voortdurend herhalen, zegk maal, zodat uiteindelijk het volgende transformatiepaar ontstaat.

n n 1 n k 1 [n] k! z z 1 k 1

Met behulp van binomiaalcoefficienten kan dit transformatiepaar ook als volgt worden uitgedrukt:

n

k [n] z

z 1 k 1 z 1

De binomiaalcoefficienten zijn zoals gebruikelijk gedefinieerd door:

n

k

n n 1 ) n k 1 k!

Merk op dat

n

k 0 voor k n

2.3. De inverse z-transformatie van rationale functies 7

Toepassing van de schalingsregel geeft dan het transformatiepaar:

n

k an [n] a

kz

z a k 1

zy

a

De verkregen resultaten zijn verzameld in de volgende tabel.

Tabel 2.1f [n] F z conv. gebied [n k] z k alle z

[n] zz 1

z

1

nk a

n [n] ak z

z a k 1

z

a

2.3 De inverse z-transformatie van rationale functies

In de introductie hebben we opgemerkt dat we geen inverse van de z-transformatie zullen introduceren.Dat wil niet zeggen dat er geen inverse z-transformatie zou bestaan. Echter in de meest algemene sit-uatie vereist de inverse z-transformatie een nogal geavanceerd wiskundig gereedschap. In de praktijkkomen vaak z-getransformeerde voor die rationale functies zijn van z. Wij zullen ons dan ook bij hetbepalen van een inverse tot die functies beperken. Een rationale functie F z is te schrijven in de vorm:

F

z anzn an

1zn

1

a1z a0

bmzm bm

1zm 1

b1z b0 (2.3.4)

In teller en noemer staan polynomen in de complexe variabele z. Noem de teller P z en de noemerQ z . Wij nemen aan dat bm 0 en an 0. Dus P z is van de graad n en Q z is van de graad m.Bovendien gaan we ervan uit dat teller en noemer geen gemeenschappelijke factoren hebben, dat wilzeggen dat er geen polynoom D z van de graad groter of gelijk aan 1 bestaat, dat zowel een deler is vanP

z als van Q z . Het probleem is nu om een tijddiscreet signaal f [n] te vinden met f [n] F z .We weten dat zonder het convergentiegebied aan te geven het signaal f [n] niet ondubbelzinnig is vast-gelegd (Zie de Voorbeelden 2.1.2 en 2.1.3) waar verschillende signalen dezelfde z-getransformeerdehebben, maar waarvan de convergentiegebieden verschillen). Echter als we ons beperken tot signalenmet een eindig inschakelpunt, dan is het convergentiegebied altijd een buitengebied van een cirkel.Gevolg is dat Q z , de noemer van F z , geen nulpunten in dat gebied mag hebben. De nulpuntenvan Q z worden de polen van F z genoemd. We weten dat ieder polynoom in het complexe vlakvolledig in lineaire factoren is te ontbinden, dus dat:

Q z c z z1 1 z z2 2 z zl l

(2.3.5)

met c

0

1

2

l geheel en positief, en z1

z2

zl , de verschillende nulpunten van Q

z .Het punt z j wordt dan een pool van F

z genoemd van de orde

j . Zonder bewijs delen we nu mee dathet convergentiegebied van de z-getransformeerde F z van een signaal met een eindig inschakelpunt,het buitengebied is van de cirkel in het complexe z-vlak met z 0 als middelpunt en die gaat door eenpool die het verst van de oorsprong afligt.

8 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

Voorbeeld 2.3.1. Zij

F z z2

2z 1 z 1 Er zijn twee polen: z 1 en z 1 2. Het convergentiegebied van deze z-getransformeerde met eeneindig inschakelpunt is dus z 1.

Om nu het signaal f [n] te bepalen met een gegeven rationale F z en met een eindig inschakelpuntpassen we partiele breuksplitsing toe. Aan de hand van een aantal voorbeelden zullen we dit illustreren,waarbij we veelvuldig gebruik maken van Tabel 2.1.Voorbeeld 2.3.2.

a) Zij de functie F z gegeven door:

F z z4

z2 1 z 1 2 1 > z 1 j z 1 j .Partiele breuksplitsing van F z z geeft

F z z

1z z 1 j z 1 j

12z

1 j4

1z 1 j

1 j4

1z 1 j

Dus

F z 12

1 j4

z

z 1 j 1 j

4z

z 1 j

2.4. Convolutie 9

Door de termen met behulp van Tabel 2.1 terug te transformeren vinden we

f [n] 12 [n] 12 1 j n 1 1 j n 1 [n] 12 [n] Re 1 j n 1 [n]

Schrijf

1 j in de vorm

1 j 2e j met 3 ) 4. Dan hebben we

f [n] 12 [n] 2 n 1 cos 34 n 1 [n]

Als f [n] een causaal signaal is, dan is F

z

n 0f [n]z n , dus de positieve machten van z ontbreken.

Men kan in dit geval dan ook bewijzen dat lim z

F

z f [0]. Het bestaan van de limiet betekentin geval dat F

z een rationale functie is dat de graad van de teller niet groter mag zijn dan de graadvan de noemer.

Voorbeeld 2.3.3. We berekenen het causale signaal f [n] met z-getransformeerde de functie

F

z 1

z

z

2 2

Na breuksplitsing van F

z z krijgen we het volgende resultaat:

F

z 14

1 1z

z

z

2

z

z

2 2

Terugtransformeren naar het n-domein geeft

f [n] 14

[n]

[n

1]

2n [n] n2n 1 [n]

Merk op dat lim z

F

z 0 en dat inderdaad f [0] 0.

2.4 ConvolutieBij elke transformatie die we tot dusver hebben behandeld was het mogelijk in het tijddomein een con-volutieprodukt van twee signalen te definieren, waarvan de getransformeerde gelijk is aan het gewoneprodukt van de getransformeerden van de betreffende signalen. Dit kan ook bij de z-transformatie. Wijnemen aan dat van de twee tijddiscrete signalen f [n] en g[n] de z-getransformeerden gegeven zijn doorrespectievelijk F

z en G

z . In het n-domein wordt een signaal h[n] gezocht, waarvan de z- getrans-formeerde gelijk is aan het gewone produkt F

z G

z . We proberen dus een tijddiscreet signaal h[n]te vinden zodanig dat:

n

h[n]z n

l

f [l]z l

k

g[k]z k

In het rechterlid van deze uitdrukking staat een produkt van twee oneindige reeksen. Om een uit-drukking voor h[n] te vinden gaan we dit produkt op een formele wijze uitwerken en de termen sorterennaar gelijke machten van z. De coefficient voor z n is dan gelijk aan de oneindige som van die pro-dukten van de coefficienten f [l] en g[k] waarvoor l k n. Dus

h[n]

l

f [l]g[n

l]

Het is dus duidelijk hoe we met betrekking tot de z- transformatie het convolutieprodukt van tweetijddiscrete signalen moeten definieren en wel als volgt.

10 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

Definitie 2.4.1. Van twee tijddiscrete signalen f [n] en g[n] wordt de convolutie of het convolutiepro-dukt f g [n] gedefinieerd door:

f g [n]

l

f [l]g[n l]

Toon zelf aan dat net als bij ieder ander convolutieprodukt, het convolutieprodukt bij de z-transformatiecommutatief is. Het convolutieprodukt in Definitie 2.4.1 is een oneindige reeks, waarvan zelfs absoluteconvergentie verzekerd is in geval de convergentiegebieden van de z-getransformeerden van f [n] eng[n] een niet-lege doorsnede hebben. We bewijzen dit overigens niet. In geval f [n] en g[n] causalesignalen zijn, is er helemaal geen convergentieprobleem. In deze situatie geldt namelijk dat

f g [n]

l

f [l]g[n l] f [l] 0 voor l 0

l 0f [l]g[n l]

g[n l] 0 voor l n n

l 0f [l]g[n l]

We hebben in het voorafgaande de convolutie zo gedefinieerd, dat de z-getransformeerde van f g [n] gelijk is aan het gewone produkt van de z-getransformeerden van f [n] en van g[n]. We for-muleren dit als een stelling.

Stelling 2.4.1 ( Convolutiestelling van de z-tranformatie): Zijn f [n] en g[n] tijddiscrete signalen metz-getransformeerden respectievelijk F z en G z , dan geldt

f g [n] F z G z

Voorbeeld 2.4.1. Laten de discrete signalen f [n] en g[n] gegeven zijn door: f [n] 2 n [n] en g[n] 3 n [n]. De z-getransformeerde van f [n] is gelijk aan F z z z 1 2 met convergentiegebied

z

1 2. De z-getransformeerde van g[n] is gelijk aan G z z z 1 3 met convergentiegebied

z

1 3. Het convolutieprodukt heeft als z-getransformeerde het produkt

F z G z z2

z 1 2 z 1 3

Partiele breuksplitsing van F z G z z (zie Voorbeelden 2.3.1 en 2.3.2) en terugtransformatie geeftdan het resultaat:

f g [n] y 3 2 n 2 3 n [n]

Voorbeeld 2.4.2. De somn

l

f [l]

kan gezien worden als een convolutie met de discrete stapfunctie [n]. Immers,

f [n]

l

f [l] [n l] n

l

f [l]

vanwege [n l] 0 voor l n.Omdat [n] z z 1 geeft toepassing van de convolutiestelling het transformatiepaar

n

l

f [l] zF z z 1

2.5. De eenzijdige of unilaterale z-transformatie 11

2.5 De eenzijdige of unilaterale z-transformatieZij f [n] een tijddiscreet signaal. In de signaaltheorie wordt het causale deel

F z

n 0f [n]z n

van de z-getransformeerde van f [n] ook wel de eenzijdige of unilaterale z-getransformeerde van f [n]genoemd. Merk op dat de eenzijdige z-getransformeerde van f [n] gelijk is aan de z-getransformeerdevan f [n] [n]. Het convergentiegebied van een eenzijdige z-getransformeerde is dus het convergen-tiegebied van een z-getransformeerde van een causaal signaal en dit is, zoals we aan het begin vandit hoofdstuk hebben gezien, het buitengebied van een cirkel in het complexez-vlak. Het is duidelijkdat bij terugtransformatie van een eenzijdige z-getransformeerde het signaal f [n] alleeen voor n 0bepaald kan worden en dat in geval F z een rationale functie is (na breuksplitsing van F z z) daarbijgebruik gemaakt kan worden van Tabel 2.1.In het volgende overzicht zijn eigenschappen en rekenregels van de eenzijdige z-getransformeerdeopgenomen. Behalve verschuiving in het n-domein stemmen deze rekenregels geheel overeen met dievan de z-getransformeerde in Paragraaf 2.2. De transformatie die aan f [n] de eenzijdige z-getrans-formeerde F z toevoegt wordt de eenzijdige of unilaterale z-transformatie genoemd. Het transfor-matiepaar geven we aan met f [n] F z .

Eigenschappen en rekenregels van de eenzijdige z-getransformeerde

1. Linearitiet: a f [n] bg[n] aF z bG z voor willekeurige complexe getallen a en b.

2. Conjugatie: f [n] F z 3. Verschuiving in het n-domein:

f [n k] z k F z f [ k] z 1 f [ k 1] ! z k 1 f [ 1] k 0

Men kan dit als volgt aantonen.

n 0f [n k]z

n#" n vervangen door n k $%

n

kf [n]z

n

k

n 0f [n]z n k f [ k] z 1 f [ k 1] ! z k 1 f [ 1]

z k F z f [ k] z 1 f [ k 1] # z k 1 f [ 1]

4. Schaling in het z-domein: an f [n] F z a & a ' 0 5. Differentieren in het z-domein: n f [n] ( zF )

z

n 0n f [n]z n

n 0f [n] z ddz z n %* z

n 0f [n] ddz z

n

+ zddz F z

Bij het laatste = teken hebben we sommatie en differentiatie verwisseld om tot het uiteindelijkeresultaat te komen. Men kan aantonen dat deze verwisseling in het convergentiegebied van deeenzijdige z-getransformeerde is toegestaan. Dit bewijzen we verder niet.

12 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

6. Convolutie:n,

l - 0f [l]g[n . l] / F01 z 2 G 01 z 2

Merk op dat het convolutieprodukt hier overeenkomt met het convolutieprodukt bij de (tweezi-jdige) z-getransformeerde van causale signalen.

Voorbeeld 2.5.1. Van een tijddiscreet signaal f [n] is gegeven datf [n] 3 2 f [n . 1] . f [n . 2] 1 n 4 0 2 5f [ . 1] 3 0 5 f [ . 2] 3*. 1

Met behulp van de eenzijdige z-transformatie is het mogelijk om f [n] voor n 4 0 te bepalen. Daar-toe passen we op het linkerlid en rechterlid van bovenstaande betrekking voor f [n] de eenzijdige z-transformatie toe onder gebruikmaking van de verschuivingsregel.

F01 z 23 2 1 z 6 1 F01 z 27 f [ . 1] 2%.!8 z 6 2 F01 z 2%. f [ . 2] . z 6 1 f [ . 1]9:Vul nu de gegeven waarden voor f [ . 1] en f [ . 2] in. Dan ontstaat de volgende vergelijking voorF01 z 2

1 1 . 2z6

17 z6

22 F01 z 23 1 :

Dus

F01 z 231

1 . 2z6

17 z6

2 3z2

z2 . 2z 7 13

z2

1 z . 1 2 2:

Na partiele breuksplitsing vanF 1 z 2 ; z vinden we

F01 z 23z

z . 17

z

1 z . 1 2 2:

We maken nu gebruik van Tabel 2.1. en vinden voor n 4 0 dat

f [n] 3 1 7 n :Door herhaalde toepassing van de betrekking voor f [n], te beginnen met n 3 1, kunnen de waardenf [0] 5 f[1] 5 : : : ook succesievelijk worden bepaald. We vinden dan inderdaad de rij 1 5 2 5 3 5 4 5 : : : . u[n] @3 y[n] of door u[n] A y[n].De definities die nu volgen zijn rechtsreekse tijddiscrete varianten van soortgelijke definities bij tijd-continue systemen in Hoofdstuk 5.

Definitie 2.6.1. Een tijddiscreet systeem heet lineair indien voor alle ingangssignalen u1[n] en u2[n]en alle (complexe) a1 en a2 geldt:

=?> a1u1[n] 7 a2u2[n] @%3 a1 =?> u1[n] @B7C=?> u2[n] @ :

Definitie 2.6.2. Een tijddiscreet systeem = heet tijdinvariant indien voor elk ingangssignaal u[n] metbijbehorend uitgangssignaal y[n] 3!=?> u[n] @ en alle gehele k geldt:

u[n . k] A y[n . k] :

2.6. Toepassingen van de z-transformatie 13

Definitie 2.6.3. Een tijddiscreet systeem D heet causaal, indien voor alle ingangssignalen u1[n] enu2[n] met bijbehorende uitgangssgnalen y1[n] EFD?G u1[n] H en y2[n] EFD?G u2[n] H en alle gehele k geldt:Als u1[n] E u2[n] voor n I k, dan is y1[n] E y2[n] voor n I k.

Definitie 2.6.4. Een tijddiscreet systeem D heet reeel, indien de responsie op een reeel ingangssignaalook weer reeel is.

De uitdrukking lineair tijdinvariant systeem wordt weer afgekort tot LT-systeem. Zoals bij een tijd-continue LT-systeem is een tijddiscreet LT-systeem causaal dan en slechts dan als de responsie op eencausaal ingangssignaal eveneens causaal is.Voor de beschrijving van een tijddiscreet LT-systeem in het n-domein speelt de responsie op de discreteeenheidspuls J [n], de zogenaamde impulsresponsie, een belangrijke rol. Zij h[n] de responsie op J [n].Dan is voor iedere gehele k vanwege de tijdinvariantie de responsie op J [n K k] gelijk aan h[n K k].Een willekeurig ingangssignaal u[n] kan opgevat worden als een superpositie van verschoven discreteeenheidspulsen (zie Voorbeeld 2.2.1a ):

u[n] EMLN

k OPL

u[k] J [n K k] Q

Het systeem is bovendien lineair, dus voor iedere eindige som geldt

MN

k OP Nu[k] J [n K k] R

MN

k OP Nu[k]h[n K k] Q

We zullen nu aannemen dat LT-systemen die wij beschouwen de eigenschap hebben dat bovenstaanderegel ook voor oneindige sommen geldt. Dit betekent dat

u[n] RSLN

k OPL

u[k]h[n K k] Q

Dus als we de responsie op u[n], zoals gebruikelijk met y[n] aangeven en het convolutieprodukt bijde z-transformatie hanteren, dan zien we dat een tijddiscreet LT-systeem met behulp van de impulsre-sponsie als volgt in het n-domein kan worden beschreven.

y[n] EUT h V u W [n] (2.6.6)

Het ligt voor de hand om de convolutiestelling bij de z-transformatie toe te passen. Het resultaat is:

Y T z WE H T z W U T z W Q (2.6.7)

Hierin is u[n] X U T z W , y[n] X Y T z W en h[n] X H T z W .De functie H T z W wordt de overdrachtsfunctie van het tijddiscrete LT-systeem genoemd.

Voorbeeld 2.6.1. [Moving average] De responsie y[n] van een bepaald causaal LT-systeem op hetingangssignaal u[n] wordt gegeven door

y[n] EUT u[n] Y 2u[n K 1] Y u[n K 2] W Z 4 Q

Het systeem berekent blijkbaar op het tijdstip n een gewogen gemiddelde van een ingangssignaal opde tijdstippen n [ n K 1 en n K 2. Toon zelf aan dat het systeem een LT-systeem is, dat bovendiencausaal is. De impulsresponsie vinden we door substitutie van J [n] voor het ingangssignaal u[n]. Dush[n] E\T J [n] Y 2 J [n K 1] YFJ [n K 2] W Z 4. De overdrachtsfunctie is derhalve gelijk aan H T z W&E\T 1 Y2z P 1 Y z P 2 W Z 4 W .]

14 Hoofdstuk 2. Addendum: de z-transformatie

Het tijddiscrete systeem in het voorafgaande voorbeeld heeft de eigenschap dat slechts een eindig aan-tal waarden van h[n] van nul verschillen. Een dergelijk systeem wordt een Finite Impuls Response fil-ter (FIR filter) genoemd. Een Infinite Impuls Response filter (IIR filter) wordt gegeven in het volgendevoorbeeld. Hiervan zijn oneindig veel h[n] verschillend van 0.

Voorbeeld 2.6.2. Van een causaal LT-systeem is gegeven dat de responsie y[n] het ingangssignaalu[n] voldoet aan

y[n] ^ y[n _ 1] _ 14 y[n _ 2] ` u[n] _ u[n _ 1] a

Om nu de impulsresponsie te berekenen gaan we eerst de overdrachtsfunctie bepalen door in boven-staande betrekking van zowel het linkerlid als het rechterlid de (tweezijdige) z-getransformeerde tenemen. Stel u[n] b U c z d en y[n] b Y c z d . Toepassing van de verschuivingsregel leidt tot

Y c z d^Uc z e 1 _ 14 z e2d Y c z d`#c 1 _ z e 1 d U c z d a

Dus

Y c z d^ H c z d U c z d^1 _ z

e

1

1 _ ze

1`

14 z e

2a

We concluderen dat

H c z d^z2 _ z

z2 _ z ` 14^

z2 _ z

c z _ 12 d2a

Breuksplitsing van H c z d f z en terugtransformatie geeft vervolgens het resultaat

h[n] ^Uc 1 _ n d c 12 d n g [n] a

Het signaal h[n] is causaal en oneindig veel waarden van h[n] verschillen van nul. Het systeem is eenIIR-filter.h