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1 數學領域意教學 數學領域意教學 數學領域意教學 數學領域意教學『e 起 GO GO GO GO』 . . . . --- --- --- --- 活中的畢達哥拉定理 活中的畢達哥拉定理 活中的畢達哥拉定理 活中的畢達哥拉定理 --- --- --- --- 作者: 莊照 雲林縣西螺鎮中山國小學 程璟 雲林縣西螺鎮中山國小學

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數學領域創意教學數學領域創意教學數學領域創意教學數學領域創意教學『『『『eeee 起起起起 GOGOGOGO』』』』 課課課課 程程程程 設設設設 計計計計

向向向向 左左左左 走走走走 . . . . 向向向向 右右右右 走走走走

------------ 生活中的畢達哥拉斯定理生活中的畢達哥拉斯定理生活中的畢達哥拉斯定理生活中的畢達哥拉斯定理 ------------

作者: 莊文照 雲林縣西螺鎮中山國民小學

程璟滋 雲林縣西螺鎮中山國民小學

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雲 林 縣 數 學 領 域 學 習 領 域 課 程 與 教 學 深 耕 輔 導 團

國民小學「數學領域」主題探討系列

向向向向 左左左左 走走走走 . . . . 向向向向 右右右右 走走走走

埃及人利用直角來決定廟宇的方位,他們將一條繩子繞過三支釘子形成一個

三角形,且使其三邊的長度比為 3:4:5,其中一股的方位對準南北線,則另一

股便會對準東西線,而這一條繩子就是決定廟宇方位簡易有利的工具。

內容:

一、模組結構及使用說明

(一)模組之教學概要圖

(二)活動項目一覽表

(三)主題探討活動

(四)各活動科學智能培養一覽表

(五)學習成就評量

二、模組內各項活動之教學示例

(一)分分合合小乾坤(面積分割法面積分割法面積分割法面積分割法)

(二)左傾右斜的奧秘(倒水法倒水法倒水法倒水法)

(三)子子孫孫不斷絕(畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的聯想的聯想的聯想的聯想)

(四)小畢的生活啟示(畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用)

三、學習手冊(研發中)

使用說明:

本模組以四個活動的根本,活動一:利用面積切割拼湊的教學活動,導引學生進入數領域的

趣味幾何世界。活動二:透過簡單的教具操作或網路 e 教具的練習與觀察,誘惑出學生對直

角三角形的特殊感覺,並初步歸納出直角三角形各邊長的關係。活動三:指導學生有耐心的

利用尺規作圖畫出綿延不絕的『畢達哥拉斯樹』,體驗數學活動工程的浩大。活動四:秉持『數

學生活化,生活數學化』的原則,提示學生利用畢氏定理來解決實際生活中距離測量中的難

題。教師可依實際情境需要使用圖片、影帶、網際網路來輔助教學,但各項活動應以學生為

主體進行設計,教師應避免過多講述式的教學,多給學生觀察、思考、討論、主動探究的機

會,以期達到手到、眼到、口到、心到、腳到的科學觀察實作精神原則。

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安排系列的教學活動(分組、同時進行相同的工作):

� 知道的直角三角形是什麼

� 很有耐心的拼湊出所要求的大正方形

� 透過實作或網際網路的練習,了解實驗的數學精神

� 數學與生活

(一)模組之教學概要圖

向向向向 左左左左 走走走走 . . . . 向向向向 右右右右 走走走走

� 早上的太 � 埃及的金字塔工人隨身會攜帶一條打有 12 個結的繩子,你知道

為什麼嗎?

� 你知道華麗宫殿的地磚和數學的關係嗎?

� 你知道中國數學開始於何時嗎?

� 你相信生活中處處是數學嗎?你知道條條道路通數學嗎?

數學對我們很重要嗎?說說看: 數學對人們而言是大自然很普通

也很重要的概念,但也是關係我們生活作息重要的指標。每天生活

中到處有數學,舉凡食、衣、住、行生物最自然的生理現象,在在

離不開數學,小從家裡無處不在的小小灰塵,大至外太空浩瀚宇宙

不知名的空間,無ㄧ不數學!

待答問題的發現。例如:

‧ 除了老師的活動設計外,畢氏定理還有什麼其

他可以應用的地方?

‧ 你可以經由你的小創意,成為小小數學家嗎?

‧ 你知道數理說明可以不用文字嗎?

‧ 刻卜勒 (Kepler) 曾說:「畢氏定理與黃金分

割,是幾何學兩大寶藏。」。重要的是:你挖

到寶藏了嗎?

作業、應用推廣

教學成效評鑑

觀察情境

察覺問題

引導討論

確定問題

分工合作

進行探究

分享經驗

整合成果

綜合評鑑

推廣運用

� 整理觀測資料、製作表格、簡要報告、聆聽別人的報告、能比

較別人的報告和自己的差異,進一步能修正資料。

� 讓孩子統整數學的學習,不只是限定在學校、課堂、書本。

� 利用數學來有效解決生活上的難題,進而知道數學、認識數學、

了解數學、欣賞數學、喜歡數學、熱愛數學。

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(二)活動項目一覽表

項目(活動方式) 器材與資源 活動內容

活動一

分分合合小乾坤

(面積分割法面積分割法面積分割法面積分割法)

固定邊長正方形

紙張、剪刀、膠

水、壁報紙

1.把兩個固定關係小正方形紙張,請小朋

友用剪刀剪開再重新組合。

2.看看小朋友是否可以組成另ㄧ個大正方

形。

3.不需藉助任何文字與符號,讓小朋友比一

比,看誰切的又少塊又漂亮。

4.由老師示範一。

活動二

左傾右斜的奧秘

(倒水法倒水法倒水法倒水法)

正方形水箱三個 1.在直角三角形的三個邊上,各做一個厚度

相同的正方形水箱,且在三個正方形相連

的頂點打洞,讓水可以自由流動於各個正

方形水箱內。(附件一)

2.將三個水箱直立,並加以旋轉,裝滿兩個

小正方形的水箱可以正巧裝滿另一個大的

水箱嗎?

附件一

活動三

子子孫孫不斷絕

(畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的聯想的聯想的聯想的聯想)

B4 影印紙若干

張、彩色筆、直

尺、ㄧ人ㄧ機

1. 老師在黑板上示範畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的畫

法,並解釋名詞”何謂畢達哥拉斯畢達哥拉斯畢達哥拉斯畢達哥拉斯

樹樹樹樹”?

2. 由學生自己選擇適當長度,自由畫出畢

達哥拉斯樹。(附件二)

附件二:正、負向生長的畢達哥拉斯樹。

活動四

小畢的生活啟示

(畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用)

B4 影印紙若干

張、筆、計算機

1.老師引導學生觀察生活中,直角三角形的

實際應用。

2.由活動一、二、三,導引出所謂的【畢氏

定理】。

3.老師為學生述說偉大數學畢達哥拉斯的

生平及不朽學理學說。

4.參考網站:數學樂園

www.tacocity.com.tw/math01/pythafor.htm

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(三)主題探討活動

「向左走.向右走」教學活動流程 說明

【觀察情境察覺問題】

『『『『生活數學化生活數學化生活數學化生活數學化,,,,數學生活化數學生活化數學生活化數學生活化』』』』,我們每天的生活

再再離不開數學,本教學活動從學生的日常生

活經驗出發,實際讓學生從觀測直角三角形開

始而能進一步了解直角三角形對人們生活的巨

大影響,並由正方形的剪剪貼貼來發掘直角三

角形三個邊長的神祕關係。

學生可能引發以下的問題:

‧ 三角形一共可分為幾種?最明顯的差異是什

麼?

‧ 直角三角形的必備條件是什麼?

‧ 古今中外的數學家有什麼偉大事蹟?

‧ 埃及的金字塔和直角三角形有何關聯?

‧ 生活中,哪些是直角三形?

‧ 如何利用直角三角形三個邊長的特殊關係解

決問題。

……

【引導討論確定問題】

由以上的討論活動,學生可能發現生活中很多

與數學幾何圖形有關的問題,再做進一步的探

究:

‧ 哪些物品和數學有較直接的關係?

‧ 和數字代數觀念有關的物品是什麼?

‧ 和幾何圖形觀念有關的物品是什麼?

‧ 常用的幾何圖形有哪些?

‧ 數學如何影響人類的生活?

‧ 是否感受到【數學生活化,生活數學化】的真

實性?

【分工合作進行探究】

可將研究問題分成四個步驟來實施:

1. 分分合合小乾坤(面積分割法面積分割法面積分割法面積分割法)

‧引導孩子細心使用剪刀或美工刀的正確態度

‧引導孩子觀察老師示範傳達的面積切割概念

‧各組討論不同的切割和拼湊方法,必要時可加

以著色,以利觀察和拼貼比較

‧ 準備ㄧ些日常生活中

有三角形形狀的用

品、金字塔照片、御

飯糰、三稜鏡

‧ ㄧ人ㄧ機

‧ 指導學生正確利用網

際網路蒐群資料的方

法,落實資訊融入

教學的理念

‧ 提醒學生使用有效的

關鍵字

‧ 請學生注意網路的使

用倫理和應有的網路

禮貌

‧ 可用數位相機拍下

住家或校園一固定物

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2. 左傾右斜的奧秘(倒水法倒水法倒水法倒水法)

‧利用網站上的線上實際操作,由老師先行示範

解說教學活動步驟

‧引導孩子觀測水流的方式,並理解相同高度的水

量,其容器底面積的相對關係

‧引導孩子討論如何實際做出和網路上相同的教

‧分組討論是否所有直角三角形都有相似的結論。

‧欣賞古時人們的智慧

3. 子子孫孫不斷絕(畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的聯想的聯想的聯想的聯想)

‧指導老師先行解說畢達哥拉斯樹的涵義。

‧經由網站教材的介紹,引導孩子實際操作,並

探討畢達哥拉斯樹的正確畫法

‧引導孩子說出此活動想表達的真正意念

‧由孩子實際操弄,畫出自己獨具特色的畢達哥

拉斯樹,為增加活動樂趣,可請小朋友發揮著色

天份,為自己的作品彩妝

4. 小畢的生活啟示(畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用)

‧引導孩子仔細觀察生活中有關直角三角形的應

‧由老師舉出實際例子,說明畢氏定理在生活上、

在工程上、在地理測量上的應用

‧必要時ㄧ人ㄧ機,利用網站互動作業讓學生做

線上練習

【分享經驗整合成果】

1、指導細心觀察、小心實作、專心拼貼的學習活

動(進行教學活動一、二、四)

‧包括如何整理觀測資料、製作表格、簡要報告、

聆聽別人的報告、能比較別人的報告和自己的

差異,進一步能修正資料,使資料更具有正確

2、指導網站教學遊戲和實際利用直尺繪圖學習

活動(活動活動三)

‧包括整理所推測數據資料、製作畢達哥拉斯樹

(山、大廈),再由數學

的角度來分析相片實

‧ 請小朋友從早上起床

開始,直到晚上上床睡

覺,細數生活作息和數

學圖形的關係

‧ 欣賞中外數學家神奇

的傳說,並傳導處處是

數學的重要理念

‧ 我們如何利用數學

觀念來解決生活上的

難題

‧ 除了觀察著名數學家

數學方面的傳奇理論

外,也引導學生探討數學

家的人格特質以及成長

環境

‧ 參考網站:

畢氏定理知識網

‧ 教導學生正確的網路

倫理和網路禮貌

‧ 告訴孩子如何有效

的利用關鍵字來搜尋

資料

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與解決實際問題、聆聽別人的結果、利用討論

來進行學習。

3、統整概念(活動四)

‧藉由數學理念和人們生活的息息相關,讓孩子

統整『數學』會影響全球生物作息, 數學對我

們是很重要的。

【綜合評鑑推廣應用】

1、學生學習成就之檢核

‧藉由觀測實際操弄的過程及發現,知道如何具

體證明數學理念,為什麼一定要用這種方式證

明?是否有其他方法可以證明?

‧學習如何蒐集資料、整理資料、歸納資料,並

且由報告彼此學習共同合作及分享,在討論中

提出自己的意見,並且可由別人的意見中進行

自己想法的修正與提昇,並能和同伴達成共識。

‧能對耐心觀察,知道小組成員如何分配工作、

準備工具、知道實作的重點是什麼

‧知道數學對人類的生活,主宰地球科學環境

2、引發對相關問題的研究興趣

‧數學對人類還有哪些作用

探討地球宇宙大環境與數學的關係,在 e世代的

今日,除了學生書本上課內的學習,人類如何靈

活的應用數學,讓學生不再因數學而頭痛

‧ 讓學生領會『條條條條條條條條

道路通數學道路通數學道路通數學道路通數學』』』』, 『『『『數數數數

學為科學之母學為科學之母學為科學之母學為科學之母』』』』的意念

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(四)各活動科學智能培養之一覽表

科學智能評量細目表

素養要項 評量指標 學習活動項目 □1 □2 □3 □4 □5

觀察

□̌ □̌ □̌ □̌□ □□□□□ □□̌□□̌□

比較 與

分類

1-3-2-1 實驗前,估量「變量」可能的大小及變化範圍……………………

1-3-2-2 由改變量與本量之比例,評估變化程度…………………………

1-3-2-3 依差異之層次,作二級以上分類……………………………………

□□□□□ □□□□□ □□□□□

組織 與

關連

1-3-3-1 實驗時確認相關的變因,作操控運作……………………………

1-3-3-2 由主變數與應變數,找出相關關係………………………………

1-3-3-3 由系列的相關活動,綜合說出活動的主要特徵………………

□̌ □̌ □̌ □̌□ □̌ □̌ □̌ □̌□ □̌ □̌ □̌ □̌□

歸納 研判 與

推斷

1-3-4-1 能由各不同來源的資料,構想成一個整體性的胚圖…………

1-3-4-2 辨識出資料的特徵及通性並作詮釋………………………………

1-3-4-3 由資料顯示的相關,推測其背後可能的因果關係……………

1-3-4-4 由實驗的結果,獲得研判的論點……………………………………

□□□□□ □□□□□ □̌ □̌ □̌ □̌□□̌ □̌ □̌ □̌□

傳達

1-3-5-1 將資料用合適的圖表來表達………………………………………...

1-3-5-2 用適當的方式表述資料(例如數線、表格、曲線圖) ……………

1-3-5-3 清楚的傳述科學探究的過程和結果………………………………

1-3-5-4 願意與同儕相互溝通,共享活動的樂趣…………………………

1-3-5-5 傾聽別人的報告,並作適當的回應 ……………………...…

□□□□□ □̌ □̌ □̌ □̌□ □̌ □̌ □̌ □̌□ □̌ □̌ □̌ □̌□□̌ □̌ □̌ □̌□

3-3-0-1 能由科學性的探究活動中,瞭解科學知識是經過考驗的……

3-3-0-2 知道有些事件(如飛碟)因採證困難,無法做科學性實驗……

3-3-0-3 發現運用科學知識來作推論,可推測一些事並獲得證實……

3-3-0-4 察覺在「以新觀點看舊資料」或「以新資料檢視舊理論」時,常可發現出問題……………………………….………………..

3-3-0-5 察覺有時實驗情況雖然相同,也可能因存在著未能控制的因素之影響,使得產生的結果有差異…………………….…

□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□

□□□□̌□

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細心 切實

5-3-1-1 能依據自己所理解的知識,做最佳抉擇…………………………

5-3-1-2 知道細心、切實的探討,獲得的資料才可信……………………

5-3-1-3 相信現象的變化有其原因,要獲得什麼結果,需營造什麼變因…………………………………………………………………………

□̌ □̌ □̌ □̌□□̌ □̌ □̌ □̌□□□□□□

批判 思考

6-3-1-1 對 他 人 的 資 訊 或 報 告 提 出 合 理 的 求 證 和 質疑…………………

□̌ □̌ □̌ □̌□

創造 思考

6-3-2-1 察覺不同的辦法,常也能做出相同的結果………………………

6-3-2-2 相信自己常能想出好主意來完成一件事…………………………

6-3-2-3 面對問題時,能做多方思考,提出解決方法……………………

□□□□□□□□□□□□̌□□□

解決 問題

6-3-3-1 能規畫、組織探討的活動……………………………………………

6-3-3-2 體會在執行的環節中,有許多關鍵性的因素需要考量 ...............

□̌ □̌ □̌ □̌□□̌ □̌ □̌ □̌□

7-3-0-1 察覺運用實驗或科學的知識,可推測「可能發生的事」……… 7-3-0-2 把學習到的科學知識和技能應用於生活中…………………….. 7-3-0-3 能規劃、組織探討的活動……………………………………………. 7-3-0-4 察覺許多巧妙的工具常是簡單科學原理的應用......................

□□̌□̌ □̌□□□̌□̌ □̌□□̌ □̌ □̌ □̌□□□̌□̌ □̌□

科技 的

本質

4-3-1-1 認識科技的分類………………………………………………………… 4-3-1-2 了解機具、材料、能源……………………………………………….

□□□□□□□□□□

科技 的

演進

4-3-2-1 認識農業時代的科技……………………………..………………….. 4-3-2-2 認識工業時代的科技…………………………………………………. 4-3-2-3 認識資訊時代的科技…………………………………………………. 4-3-2-4 認識國內、外的科技發明與創新……………………………………

□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□

科技 與

社會

4-3-3-1 了解社區常見的交通設施、休閒設施等科技……………………

□□□□□

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8-3-0-1 能運用聯想、腦力激盪、概念圖等程序發展創意及表現自己對產品改變的方法………………………………………………….

8-3-0-2 利用多種思考的方法,思索變化事物的機能和形式……….. 8-3-0-3 認識並設計基本的造形………………………………………………. 8-3-0-4 了解製作原型的流程…………………………………………………..

□□□□□□□□□□□□̌□□□□□̌□̌□□

(五) 數學領域能力指標

幾何

S-1-01 能由物體的外觀,辨認、描述與分類簡單幾何形體。

S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。

S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。

S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。

S-1-05 能透過操作,將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。

S-1-06 能描述物體的相對位置。

S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。

S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素,作不同形體的分類。

S-2-02 能理解垂直與平行的意義。

S-2-03 能透過操作,認識簡單平面圖形的性質。

S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。

S-2-05 能理解旋轉角的意義。

S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。

S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。(N-2-17)

S-2-08 能運用切割重組,理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

(N-2-19)

S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。

S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響,並認識比例

尺。

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S-3-03 能以適當的正方形單位,對曲線圍成的平面區域估算其面積。(N-3-15)

S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式,並計算簡單扇形面積。(N-3-16)

S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。

S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(N-3-17)

S-4-01 能利用形體的幾何性質來定義某一類形體。

S-4-02 能指出合於所給定性質的形體。

S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係。

S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題。

S-4-05 能運用面積計算導出勾股定理。

S-4-06 能理解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。

S-4-07 能根據直尺、圓規操作過程的敘述,完成尺規作圖。

S-4-08 能理解三角形的幾何性質。

S-4-09 能理解多邊形的幾何性質。

S-4-10 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。

S-4-11 能理解平行線的定義與相關性質。

S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似。

S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量。

S-4-14 能理解圓的幾何性質。

S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理。

(六)學習成就評量

由學生利用各種思考路徑、網際網路、參考書籍,發揮手到、腳到、眼到、心到、

口到建構出【相似三角形的基本概念和其生活應用】的主題探究。

( ( ( (一一一一))))「「「「分分合合小分分合合小分分合合小分分合合小乾坤乾坤乾坤乾坤((((面積分割法面積分割法面積分割法面積分割法))))」」」」活動指導活動指導活動指導活動指導

1.教學要點:

本活動之重點有:

‧能細心分割兩個正方形為不同面積的區塊。

‧能小心使用剪刀,注意公共安全。

‧能在住家或校園找出和直角三角形有直接或間接關係的物品。

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‧中外古代數學家還有哪些相關的神話。

2.教學資源

‧器材:固定邊長正方形紙張、剪刀、膠水、壁報紙。

‧時間:120 分鐘〈三節課〉。

‧資料:三角形物品的圖片、或網路相關資訊。

3.使用說明

‧學生發表所觀察到的生活經驗、討論各種幾何圖和人們生活的關係。

‧老師出示不同邊的正方形,讓學生做各種剪裁嘗試和拼貼。

‧試試看:是不是所有任意兩個正方形都可以裁撿拼貼成另ㄧ個大正方形。

‧討論各組觀察小正方形面積、中正方形面積、大正方形面積的關聯性。

‧隨時注意學生討論之內容,適時引導、協助。

4.教學活動示例:

活動流程 說明

【協助學生確定問題】

‧把兩個固定關係小正方形紙張,請小朋友用

剪刀剪開再重新組合。

由老師示範。

【協助學生獲取資料】

學生發現,並儘量列舉:

‧看看小朋友是否可以組成另ㄧ個大正方形。

‧由老師示範。

【鼓勵學生提出想法】

不需藉助任何文字與符號,讓小朋友比一比,

看誰切的又少塊又漂亮。

‧引導學生提出想法

【激勵學生推廣應用】

想像一下

‧ 如果兩個正方形總面積大於第三個正方形

面積,我們是否可以推論出其他相關數學理

論?

‧ 如果兩個正方形總面積小於第三個正方形

‧ 可參閱附錄 1.1

‧ 參考網站:

畢氏定理的証明

www.mingyuen.edu.hk/math/

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13

面積,我們是否可以推論出其他相關數學理

論?

‧ 參考網站:

畢氏定理知識網 steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/tjy/Pythagorean

((((二二二二))))「「「「左傾右斜的奧秘左傾右斜的奧秘左傾右斜的奧秘左傾右斜的奧秘((((倒水法倒水法倒水法倒水法))))」」」」活動指導活動指導活動指導活動指導

1.教學要點:

本活動之重點有:

‧利用網站上的線上實際操作,由老師先行示範解說教學活動步驟

‧引導孩子觀測水流的方式,並理解相同高度的水 量,其容器底面積的相對關係

‧引導孩子討論如何實際做出和網路上相同的教具

‧分組討論是否所有直角三角形都有相似的結論。

‧欣賞古時人們的智慧

2.教學資源

‧器材:正方形水箱三個。

‧時間:120 分鐘〈三節課〉。

‧資料:一人ㄧ機。

3.使用說明

‧在直角三角形的三個邊上,各做一個厚度相同的正方形水箱,且在三個正方形

相連的頂點打洞,讓水可以自由流動於各個正方形水箱內。(附件一)

‧將三個水箱直立,並加以旋轉,裝滿兩個小正方形的水箱可以正巧裝滿另一個

大的水箱嗎?

‧隨時注意學生討論之內容,適時引導、協助。

4.教學活動示例:

活動流程 說明

【協助學生確定問題】

‧ 引導小朋友細心觀察、小心操作的能力。

‧ 讓學生根據網路上的模型製作教學活動三的

教具。

‧ 可參閱附錄 2.1

‧ 參考網站:

畢氏定理知識網

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【協助學生獲取資料】

學生發現,並儘量列舉:

‧ 如何成功地製作出滴水不漏的實驗教具。

【鼓勵學生提出想法】

假設中間的直角三角形換成銳角三角形或鈍角

三角形,結果會是如何?

【激勵學生推廣應用】

想像一下

是不是三個正方形的水深都要相同?以多少公

分比較有說服力?

steiner.math.nthu.edu.tw

((((三三三三))))「「「「子子孫孫不斷絕子子孫孫不斷絕子子孫孫不斷絕子子孫孫不斷絕((((畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的聯想的聯想的聯想的聯想))))」」」」活動指導活動指導活動指導活動指導

1.教學要點:

本活動之重點有:

‧指導老師先行解說畢達哥拉斯樹的涵義。

‧經由網站教材的介紹,引導孩子實際操作,並探討畢達哥拉斯樹的正確畫法

‧引導孩子說出此活動想表達的真正意念

‧由孩子實際操弄,畫出自己獨具特色的畢達哥拉斯樹,為增加活動樂趣,可請

小朋友發揮著色天份,為自己的作品彩妝

2.教學資源

‧器材:B4 影印紙若干張、彩色筆、直尺、ㄧ人ㄧ機

‧時間:40 分鐘〈一節課〉。

‧資料:

3.使用說明

‧由學生自己選擇適當長度,自由畫出畢達哥拉斯樹。

4.教學活動示例:

活動流程 說明

【協助學生確定問題】

讓學生透過網際網路徹底了解畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的定

義和畫法

【協助學生獲取資料】

‧由指導老師提供網站網址,讓學生做資訊融入

數學的學習。

【鼓勵學生提出想法】

‧ 可參閱附錄 3.1

‧ 參考網站:

畢達哥拉斯定理的幾何動畫 www.dcsh.tp.edu.tw/

‧老師在黑板上示範畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹的畫法,並解釋名詞”何謂畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹”?

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15

‧畢達哥拉斯還有什麼其他著名數學理念的發現。

【激勵學生推廣應用】

想像一下

‧『畢達哥拉斯定理』為什麼又稱為『商高定理』?

((((四四四四))))「「「「小畢的生活啟示小畢的生活啟示小畢的生活啟示小畢的生活啟示((((畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用畢氏定理的生活應用))))」」」」活動指導活動指導活動指導活動指導

1.教學要點:

本活動之重點有:

‧引導孩子仔細觀察生活中有關直角三角形的應用

‧由老師舉出實際例子,說明畢氏定理在生活上、在工程上、在地理測量上的應

‧必要時ㄧ人ㄧ機,利用網站互動作業讓學生做線上練習

2.教學資源

‧器材:B4 影印紙若干張、筆、計算機

‧時間:80 分鐘〈二節課〉。

‧資料:

3.使用說明

‧老師引導學生觀察生活中,直角三角形的實際應用。

‧由活動一、二、三,導引出所謂的【畢氏定理】。

‧老師為學生述說偉大數學畢達哥拉斯的生平及不朽學理學說。

‧舉例人們如何利用畢氏定理來解決生活上的難題。

4.教學活動示例:

活動流程 說明

【協助學生確定問題】

透過網站:數學

www.nani.com.tw/big5/content/2003-01/29/content_11151.htm

了解畢氏定理中,三邊長的平方關係

【協助學生獲取資料】

‧由老師提課內或課外的範例讓學生做練習

‧ 可參閱附錄 4.1

‧ 參考網站:

畢氏定理的兩個推廣

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【鼓勵學生提出想法】

‧引導學生歸納及提出想法:

讓學生自由上網搜尋其他相關畢氏定理的應用

【激勵學生推廣應用】

想像一下

‧ 其他三角形在生活上是不是也有不同的應用?

‧ 相似三角形又有什麼樣的實際應用?

episte.math.ntu.edu.tw/

附錄 1.1

教學活動一

5 塊 5 塊 5 塊 5 塊

6 塊 7 塊 7 塊 8 塊

8 塊 9 塊

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附錄 2.1

教學活動二

附錄 3.1

教學活動三

畢 達 哥 拉 斯 樹

正向生長的畢達哥拉斯樹

反向生長的畢達哥拉斯樹

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附錄 4.1

教學活動四

畢畢畢畢 氏氏氏氏 定定定定 理理理理 應應應應 用用用用

把三角形邊上的正方形,改成

相似的圖形,也會滿足:兩股

上的圖形面積和等於斜邊上的

面積!

拼拼拼拼 圖圖圖圖 遊遊遊遊 戲戲戲戲

你可以將兩個正方形的拼圖重新組成一個新的大正

方形嗎?

拼圖數:5 塊

難 度:

拼圖數:5 塊

難 度:

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拼圖數:6 塊

難 度:

拼圖數:7 塊

難 度:

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附錄 4.2

其其其其 它它它它 文文文文 字字字字 證證證證 明明明明

畢氏定理:「直角三角形,兩股平方和等於斜邊平

方。」 畢氏定理的成形至今,許多人們努力不斷地尋找更多

的方法來證明,在《數學家傳奇》一書中,就收錄了 400 多種證明,

讓我們以欣賞地角度,看看這些不同的證明吧!

歐幾里得的證明

趙爽 (趙君卿) 的

證明

美國總統 Garfield 的證明

義大利文藝復興時

代達文西的證明

相似三角形邊長比例證明

相似三角形面積證

利用托勒密(Ptolemy)定理

證明

相似法證明

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內切圓證法一

內切圓證法二